3a Lista de Exercícios de Cálculo II: Integrais Impróprias / EquaçõesDiferenciais Elementares
Licenciatura em Química- UNESP - 2013
Profa Responsável: Larissa Ferreira Marques
1. Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergeme calculando-as, caso contrário.
(a)∫ ∞0
e−xdx.
(b)∫ 1
−∞exdx.
(c)∫ 0
−∞x5−x
2
dx.
(d)∫ ∞1
2−xdx.
(e)∫ ∞−∞
3x
(3x2 + 2)3dx.
(f)∫ ∞√3
3
x2 + 9dx.
(g)∫ ∞−∞
dx
16 + x2.
(h)∫ ∞1
lnxdx.
(i)∫ ∞0
e−xcosxdx.
RESPOSTA:
(a) 1 (b) e (c) − 12ln5
(d) 12ln2
(e) 0 (f) π3
(g) π4
(h)∞(diverge) (i)12
2. Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade
(a) yy′+ t = 0 R : 1aordem não-linear.
(b) x2y′′+ bxy
′+ cy = 0 R : 2aordem linear.
(c)d4y
dt4+
d3y
dt3+
dy
dt+ y = 1 R : 4aordem linear.
3. Determine qual (ou quais) das funções y1(x) = x2, y2(x) = x3, y3(x) = e−x
são soluções da equação diferencial
(x+ 3)y′′+ (x+ 2)y
′ − y = 0.
R:y3(x)
1
4. Determine todas as soluções da equação diferencial
xy′′+ (x− 1)y
′ − y = 0,
que são funções de primeiro grau, ou seja, da forma y = ax + b, a e bconstantes.
5. Resolva os problemas de valor inicial abaixo (PVI):
(a) y′+ (1− 2x)y = xe−x, com y(0) = 2.
(b) y′+ 3t2y = e−t
3+t, com y(0) = 2.
(c) y′ − cost y = tet
2+sent, com y(0) = 2.
(d) y′+ x4y = x4e
4x5
5 , com y(0) = 1.
6. Resolva as equações diferenciais abaixo:
(a) y′ − 4
xy = − 2
x3.
(b) y′ − 1
xy = −x.
(c) y′ − 4
xy = x5ex.
7. Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
(a) (1 + x2)y′ − xy = 0.
(b) y2 − 1− (2y + xy)y′= 0.
(c) xdx−√4− x
ydy = 0.
(d)dy
dx= 3x− 1.
(e) ydx− xdy = 0.
8. Encontre a solução do PVI :
dy
dx=
2x+ 1
3y2 − 3, com y(0) = 0.
9. Num tanque há 100 litros de salmoura contendo 30 gramas de sal em so-lução. Água (sem sal) entra no tanque à razão de 6 litros por minuto e amistura se escoa à razão de 4 litros por minuto, conservando-se a concen-tração uniforme por agitação. Vamos determinar qual a concentração desal no tanque ao fim de 50 minutos.
Dica: dQdt
= −4 Q100+2t
, com Q(0) = 30 modela o problema anterior.
Bom trabalho!
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