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ESCOLHA DA ALTURA DE LAJES COM NERVURAS PR-MOLDADAS PARAPAVIMENTOS DE EDIFICAES CONSIDERANDO AS VERIFICAES DO ESTADOLIMITE LTIMO E DE DEFORMAO EXCESSIVARoberto Chust Carvalho*, Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho*, Sydney Furlan Junior*,Vitor Vanderlei Mesquita*** - Doutores em Engenharia de Estruturas, Professores adjuntos do Departamento de EngenhariaCivil da Universidade Federal de So Carlos, BRASIL**-Aluno de Engenharia Civil da Universidade Federal de So Carlos, Bolsista de IniciaoCientfica FAPESP- BRASILRESUMOAnecessidadedereduodecustosnasedificaesvemintensificandoautilizaodesistemasestruturaiscompavimentosexecutadoscomlajescomnervuraspr-moldadas,principalmenteemedificaesdepequenoporte,ascaractersticasdestaslajespermitemsuautilizaocomseguranaeeconomia.Entretantovriosaspectosaindanoestodevidamentesolucionados, e entre eles se enquadra a determinao da altura das lajes que atendem s condiesde deformao excessiva, levando em conta o efeito da fluncia e fissurao do concreto.Oobjetivoprincipaldestetrabalhodeterminarumprocedimentodeclculoqueleveemconta no s a segurana no estado limite ltimo, mas tambm a funcionabilidade da estrutura sobcargas de servio.Apresentam-se tabelas que permitem obter a altura da laje com nervuras pr-moldadas sendoconhecidososistemaestrutural(simplesmenteapoiadas),valordevoecarregamentoatuante.Atabelafornecetambmaarmaonecessriaparaoatendimentodoestadolimiteltimo,assimcomo ode deformao excessiva. Esta pesquisa faz parte de um estudo mais amplo que visa melhorar o projeto e execuo depavimentosqueusamlajescomnervuraspr-moldadasque,apesardointensouso,sopoucoabordadasnaliteraturatcnicanacional,assimcomotratadasdemaneirabastantesuperficialpelaNorma Brasileira de concreto.JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A L1.INTRODUOEstetrabalhotrazumestudotericodesenvolvidosobreoassuntoapresentandodiversasconcluses.Planeja-severificar,posteriormente,atravsdeestudosexperimentais,osprincipaisaspectos do clculo, principalmente as hipteses empregadas. Estes estudos sobre o comportamentodosistemaservirotambmparaajustarasfrmulaseasconstantesempregadosnosprocedimentos de clculo.Atualmente j se encontra em desenvolvimento um estudo experimental do espaamento deescorasemlajescomnervuraspr-moldadasquepodertrazer,almdadeterminaodomenorespaamentoentreasescoras,informaesimportantessobreamelhorcontra-flechaaserempregada. Est pronto, espera de dotao de recursos, o plano de um projeto que visa estudar ocomportamento da deformao do sistemaao longo do tempo (fluncia). Em fase de planejamentoestoosestudosexperimentaisdainflunciadafissuraonadeformaoecomportamentodesistemas hiperestticos de laje com nervuras pr-moldadas.Todosostrabalhosdesenvolvidospelogruposebaseiamemnormasbrasileiraseprocedimentos disponveis na literatura atual, porm acredita-se que aps o desenvolvimento destesestudosexperimentaisosresultadosfinaisteroumsignificadomaior,poisestaro,dentrodoslimites financeiros existentes para experimentao, devidamente testados.Apesar dosclculos utilizados terem sido feitos pela redao da norma NB1-80oroteiroeprocedimento utilizado podem ser adaptados facilmente para qualquer norma.Basta,em princpio,modificar os coeficientes empregados (combinaes de aes e de segurana) ou alterar os valoreslimitesindicadosparaasflechas.Mudandoestesparmetros,osvaloresdevomximoparaumtipodenervura,eventualmente,irosealterar,principalmentenassituaesqueoestadodedeformaoparacombinaofreqentedeterminante.Aindanestassituaesatabelaeosresultadosaquiapresentadospermitiroaoscalculistasteremumaordemdegrandezadaalturadenervuraoumesmoadot-lacomovalorinicialparaumclculodeverificaoporprocessotentativo.2.BREVE DESCRIO DO SISTEMA DE LAJES COM NERVURAS PR-MOLDADASSolajesformadaspornervuraspr-moldados(trilhooutrelia),lajotas(normalmentecermicas)eumacapadeconcretomoldadanolocal.Aarmaduradoelementotipotrilhocomposta de barras retas colocadas na parte inferior do mesmo, e a do elemento tipo trelia umatreliaespacialdeaocompostaportrsbanzosparalelosediagonaislateraisdeformasenoidal,soldadas por processo eletrnico aos banzos (figura 1).FIGURA 1. Sees transversais de lajes pr-moldadas tipo trilho, tipo trelia e armaduraJUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LAlmdostiposdelajespr-moldadasaquicitadas,pode-seacrescentaraindaaquelasemque as nervuras so protendidas com aderncia inicial (que no sero objeto de estudo deste artigo),commelhorcomportamentonafissurao,permitindo-se,emalgunscasos,aeliminaodeescoramento.Htambmaquelasemque,aoinvsdeseusarlajotascermicasoudeconcreto,usam-seelementosdeisoporquesomaislevesqueosltimosepossibilitamousodeumadistncia maior entre as nervuras.Os elementos pr-moldados, antes do endurecimento do concreto da capa, so os elementosresistentes do sistema, e tm capacidade de suportar, alm do seu peso prprio, a ao das lajotas, adoconcretodacapaedeumapequenacargaacidental(homemselocomovendo)paraumvodeat1,7mSILVA(1999).Destamaneira,oescoramentonecessrioparaexecutarumalajedestetiponorequerumgrandenmerodepontaletesouescoras.Almdisso,paraseexecutaraconcretagemdacapanonecessrioousodefrmas,comoocasodaslajesmaciasdeconcreto, pois o elemento pr-moldado e a lajota fazem este papel. Portanto, as principais vantagensdeste tipo de laje so a eliminao dos gastos para confeco de frmas e a reduo dos elementosde escoramento.3.MODELO DO COMPORTAMENTO DA LAJE PR-MOLDADAOselementosestruturaisdaslajespr-moldadas(trilhosoutrelias)sodispostosemumanica direo (geralmente a do menor vo) e simplesmente apoiados nas extremidades. As vigas emqueasnervurasseapoiamreceberoamaiorpartedacarga.Assim,estaslajessoconsideradasarmadas em uma direo. Normalmente, admite-se que a ao das lajes pr-moldadas ocorre apenasnasvigasemqueoselementosseapoiam,noconsiderandoqualqueraodaslajesnasvigasparalelasaoselementos.Oestudodaparcelarecebidapelasvigasparalelaspelaaodalajeeaquantoseacrescentanarigidezcomacapadeconcreto,assimcomoocomportamentodacontinuidade das lajes, tambm motivo de estudo do grupo da UFSCar.Paraoclculodeflecha,assimcomoparaodemomentofletor,serconsideradoumcomportamentodeelementosisoladosdevigaconformeCARVALHOETALLI(1998).Asnervurasestarosolicitadasaflexonormalsimpleseadeterminaodaarmaduradeflexoserfeita no estado limite ltimo, com combinaes de aes majoradas de acordo com as hipteses doitem4.1.1.daNBR6118(AeseSegurananasEstruturas).Aseoseradmitida,porsimplificao, funcionando como um T equivalente, da forma mostrada na figura 2.FIGURA 2. Esquema da seo transversal da laje e o respectivo modelo adotadoJUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A L4. ESCOLHA DAALTURA DA LAJE: O USO DE TABELASOprojetodelajepr-moldadatemincionaescolhadaalturatotaldalaje.Estevalorserusadoparaoclculodasaespermanentesnopavimento(queprovocamtambmoefeitodafluncia). Normalmente, as lajes pr-moldadas apresentam rigidez inferior s lajes macias e de seesperarqueassituaesdedeformaosejam,namaioriadasvezes,determinantesnaescolhadaaltura.Emgeral,aparceladedeformaodaflunciadamesmaordemdegrandezadadeformaoimediata,queporsuavezbastanteinfluenciadapelafissuraodoconcretosobcargas de servio. Assim,a escolhadaalturadevesercriteriosaparaque,almdaverificaodoestadolimiteltimo,ascondiesprescritasemnormaparaoestadodedeformaoexcessivasejam atendidas. Apesar disto, talvez at pela dificuldade em se executar os clculos ou por falta deinformaesadequadas,notmsidoprticadosprojetistasconsiderarosefeitosdafissuraoefluncia na verificao de flechas.Fixado o vo, o espaamento entre nervuras,osistemaestrutural(simplesmenteapoiadooucontnuo)easobrecarga(cargaacidentalesobrecargapermanente)deve-sedeterminarqualamenoralturanecessriaparaopavimentoesuarespectivaarmadura.Pode-seainda,comoalternativadeprojetoconsiderarumaalturamaioredeterminaranovaarmaduraquedeversermenorqueaanterior.Existeumasriedetabelassimilaressmostradasnoitemseguinteequefornecemtaisindicaes(obtidasapenasemfunodacondiodoestadolimiteltimoouverificaes simplistas de deformao) para sistemas isostticos.Paraocasodelajespr-moldadascomcontinuidadenosapoiosinternos,humagrandedificuldadeemsemontartabelassimilaressobtidasparasistemassimplesmenteapoiados.Aprimeiradificuldaderesidenapequenaresistnciaamomentosnegativosdanervura.precisoresolver a estrutura para se determinar os momentos nos apoios e, ento, verificar se haver ou noplastificaodoconcretonestaseo.SegundoMERLIN(1999)acapacidadedaseogeralmenteinferioraomomentoqueocorreriaconsiderandoaestruturahiperesttica.Existiamtabelasnomercadoqueindicavamsituaesdesemi-engasteeengastereferindo-seaosesquemas estruturais em que em um apoio extremodo vo, ou em ambos, h o impedimento totalde rotao. Tais situaes so difceis de acontecer epara considerar o que realmente ocorre seriaprecisodesenvolvertabelasqueconsiderassemdiversaspossibilidadesentrearelaodosvaloresdos vos dos diversos tramos.Emvirtudedestasdificuldadesmaisprudentenoconfeccionartabelasparasistemashiperestticosmas,tomarosvaloresdastabelasdelajessimplesmenteapoiadascomopontodepartida para, em seguida,obter uma otimizao da armadura usando o roteiro descrito no relatriode MESQUITA (1999).Aidiacentraldestetrabalhoconfeccionartabelassemelhantessexistentesatualmente,considerandotambmasverificaesdoestadolimitededeformaoexcessivacomosefeitosdafissurao e fluncia do concreto.As tabelas existentes permitem, a partir do vo e carga acidental, determinar a altura e umaclassederesistncia(soasdiferentesreasdeaoutilizadaspelofabricante)dalajerequerida.Apresenta-seemseguidaumdiagramaqueexplicaummodelodestastabelas.Nocasousou-secomomodeloastabelasdaASSOCIAOBRASILEIRADAINDSTRIADASLAJESetalli(1998)SistemaTreliadoGlobal(referidaapartirdestepontoapenascomoSistemaTreliadoGlobal). As classesreferidasanteriormentepodemserobtidasatravsdatabela2mostradalogoaseguir e referem-se a arranjos usuais de armaduras. Umatabela completa que permite determinar aaltura da laje em funo do vo e do carregamento est apresentada na tabela 3.JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LTabela 1 Explicao da determinao de altura de lajesLAJE TRELIADA 10CARGASCLASSE FORRO 50 100 150 200 350 500030405060708091011121314151617Tabela 2 Tabela: Classes de resistncia e reas de aoTabela de Correspondncia Classe X rea de aoClasse rea (cm2) Classe rea (cm2) Classe rea (cm2)03 0,367 16 1,267 29 4,37404 0,404 17 1,394 30 4,81105 0,444 18 1,533 31 5,02906 0,488 19 1,686 32 5,24707 0,537 20 1,855 33 5,46508 0,591 21 2,040 34 5,68309 0,650 22 2,244 35 5,90010 0,715 23 2,469 36 6,11811 0,787 24 2,716 37 6,33612 0,865 25 2,987 38 6,55413 0,952 26 3,266 39 6,77214 1,047 27 3,615 40 7,08015 1,152 28 3,976 - -Tipo deProdutoCargasAcidentaisClasse deResistnciaCarga emkgf/m2Vos Livres paraLajesUnidirecionaisAltura Total daLaje AcabadaJUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LTabela 3 Determinao do vo mximo Fornecida pelo Manual Tcnico para laje de 10 cmde altura (nervura + capa) e distncia entre elementos de 50 cmLAJE TRELIADA 10CARGASCLASSEFORRO 50 100 150 200 350 50006 3,60 3,45 3,10 2,85 2,65 2,20 1,9507 3,80 3,60 3,25 2,95 2,75 2,30 2,0508 4,00 3,80 3,40 3,10 2,90 2,40 2,1009 4,15 3,95 3,55 3,25 3,00 2,55 2,2010 4,35 4,15 3,70 3,40 3,15 2,65 2,3511 4,55 4,35 3,90 3,55 3,30 2,80 2,4512 4,75 4,55 4,10 3,75 3,45 2,95 2,5513 4,75 4,25 3,90 3,60 3,05 2,6514 7,95 4,45 4,10 3,80 3,20 2,8015 4,65 4,25 3,95 3,30 2,9016 4,85 4,45 4,15 3,45 3,0517 5,10 4,65 4,30 3,65 3,2018 5,30 4,85 4,50 3,80 3,3519 5,45 5,05 4,70 3,95 3,4520 5,30 4,90 4,10 3,6021 5,50 5,10 4,30 3,7522 5,70 5,30 4,45 3,9523 5,55 4,65 4,1024 5,70 4,70 4,20Nas tabelas anteriores P a carga atuante (q+g2), no sendo somado o peso prprio da laje,que j foi computado no clculo. A indicao de 10 quer dizer que a laje tem altura total de 10 cm.Emboraexistaminmerastabelascomoasmostradasanteriormente(ManualTcnicoSistema Treliado Global), pode-se notar que seus valores muitas vezes so conflitantes e, o que mais grave, induzem o projetista, fabricante ou cliente, imaginar que possvelobter sistemas pr-moldadosfuncionandobemcomvodeat12,60msemquesejamtomadoscuidadosespeciais,inclusivecomoempregodecontra-flechasadequadas,poisnoindicamasflechasdeaopermanente ou de carga acidental.Umprocedimentoparadeterminaodaalturadalajequeleveemcontaafissuraoefluncia do concreto poder no resultar em uma tabela que possa ser empregada em uma situaogenricapois,aovalordeflechaencontrada,devesersomadoodeslocamentoprovenientedadeformaodasvigasdeapoio.Destaforma,seriapreciso,principalmenteparaoscasosmaiscomplexos,resolveropavimentocomoumtodo.Porm,aindaassim,oprocedimentobuscadoneste trabalho pode ser aplicado como orientao ao projetista ou como um valor de referncia parapr-dimensionamento sujeito a uma verificao final.JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A L5.CONSIDERAESEHIPTESESDECLCULOPARAVERIFICAODOSESTADOS LIMITESTodoelementoestruturaldeveatendersverificaesdosestadoslimitesltimosedeservio.Nocasodaslajescomnervuraspr-moldadassodeterminantesnodimensionamento:oestado limite ltimo de capacidaderesistente das sees sob flexo, e o estado limite de utilizaode deformao excessiva.Averificaodecolapsonaflexofeitadeacordocomashiptesesbsicasdaflexocontidas nas diversas normas e de ampla divulgao no meio tcnico. Considera-se, neste caso, quea seo transversal tenha a forma de um t, como mostrado no item 4 (fig.2).Paraaverificaodoestadolimitededeformaoexcessivapode-seseguiroroteirodeCARVALHO R. C. et alli (1997),baseadonos preceitos daNB1-80,aindaemvigor(deversersubstitudapelaNB1-2000proximamente),queprevcomoflechaslimites! /300paraparacombinaofreqentedeaesel/500paraaodacargaacidental.Asflechasdevemsercalculadas para as combinaes de ao permanente, quase permanente, freqente e rara cujas aespodem ser dadas por:Fd = Fgk + Fqk com=0,0paracombinaopermanente,0,2paraquasepermanente,0,7parafreqente(deverdiminuirpara0,4notextodanovanorma)e1,0paraarara.AaoSgcorrespondeaopermanente e Sq ao acidental.Oefeitodafissuraopodeserconsideradousando-senoclculodaflechaovalordainrcia mdiaIm dada porBRANSON (1966) (constante no novo texto da norma);as expressesda flecha e inrcia mdia so dadas por:mpI Epa 38454!II3atRI3atRmIMM1 IMMI 11]1

,_

+

,_

ondeap a flecha relativa a uma intensidade de ao distribuda p; p- a taxa de carga definida para uma certa combinao (por exemplo freqente);!- vo da nervura;E - mdulo de deformabilidade do concreto,MR momento de fissurao da seo mais solicitada;Mat-momentofletorrelativoaintensidadep,naseomaissolicitada;IIeIIIinrciasnoestdio I e II, respectivamente, da seo mais solicitada.Oefeitodaflunciapodeserobtidomultiplicando-seaflechadevidasaesdascargaspermanentes (na verdade a ao quase permanente), pela razo entre as curvaturas no tempo infinitoe zero. Esta razo, segundo a NB1-80, dada por:JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LR 0 ttRR s cs c ++ +.). 1 (OndeRt= a curvatura no tempo infinitoRt=0 a curvatura inicial (no tempo zero) o coeficiente de fluncia;c a deformao especfica do concreto;s a deformao especfica do ao; d a altura til da pea.Assim, a flecha em um tempo qualquer dada por:a(t) = a(t0).+ a(t0).Rt,/Rt0onde, a(t) o deslocamento no tempo t;a(t0) o deslocamento inicial no instante t0. Salienta-se que devido ao comportamento no linear a flecha devida a carga acidental no pode sercalculada diretamente e sim pela expresso aq = ag1+g2+q- ag1+g2.Onde aq flecha devida carga acidentalag1+g2+q-flechadevidacargapermanenteestrutural,sobrecargapermanenteecargaacidentalag1+g2.- flecha devida carga permanente estrutural, sobrecarga permanente flecha devida6.CONFECODETABELADEALTURAEVO,CONSIDERANDODEFORMAO, USANDO PLANILHA DE CLCULOParaconfeccionarumatabelasimilartabela3,mostradaanteriormente,equeleveemcontaaverificaodadeformaoexcessiva,montou-seumaplanilhadeclculo(usandooprogramaEXCELdaMicrosoft)que,medianteaentradadecertosdadoscalcula,apresentaeverificaasdeformaesparaasdiversascombinaesdeaes,indicandoinclusiveseasduascondies descritas no item anterior esto atendidas.Umesquemadamesmamostradonatabela4emqueseapresentaasclulasdaplanilhacomvaloresnumricospreenchidoseaindicaodequadros(aolado)comnmerosparaaspassagens mais importantes.Descreve-seresumidamente,atravsdequadrosoquecalculadonaplanilha,lembrandoquealgumaspassagensintermediriasforampropositalmentedeixadasparaseremconferidasaqualquer momento.QUADRO1ondequesedaentradadovalordovo(l)edadistncia(e)entreasnervuras. Ao lado desta entrada mostra-se, j, o resultado final, da flecha atuante a final (sem contra-flechas)e naclula debaixooresultadodacomparaocomovalordaflechalimiteestabelecidapornorma(l/300).Nacolunaaoladoapareceaflecha,a cfg1,devidaaopesoprprio(g1)jconsiderada com acontra-flecha e, finalmente, na ltima coluna,a flecha devido acargaacidental(q) comparado ao limite (l /500). Aparecendo a palavra No quando a flecha no atendida e OKao contrrio..JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LTabela 4 Esquema da planilha de clculo para a verificao de deformao excessivaDados Resultado Finall e a finala cf g1a q3,75 0,5 No OK OKGeometria Concreto AoM bwbfd hfh fckEcfyk As2,7334 10 50 9 3 10 20 28795 60 7,2929 1,855AesSit. g q g+0,2q g+0,7q g+q g1g2Ao 1,61 1,5 1,91 2,66 3,11 1,11 0,5Mom. 1,415 1,3184 1,6787 2,3378 2,7334Estdio IAc1Ac2 As.AtotalMs1Ms2Ms3X120 100 11,673 231,67 180 500 105,06 3,3886I1I2AT1 AT2 IfIh90 833,33 428,04 259,65 367,56 1978,6Estdio II Fissuraoa1a2a3x IcIasIiioftkMR25 13,528 -121,8 1,9528 124,12 671,85 795,97 1,9 0,6823Fluncia cccs(1/r)o(1/r) Relac3 4,1185 108,39 0,000140,00052 7E-05 0,0001 1,434InrciasSit. g q g+0,2q g+0,7q g+q g1Ao 1,61 1,5 1,91 2,66 3,11 1,11Mom. 1,415 1,3184 1,6787 2,33789 2,7334 0,9756R 0,4822 0,5176 0,4065 0,29186 0,2496 0,6994Inerc 928,57 959,93 875,39 825,371 814,37 1200,6FlechasBsica g Q g+0,2q g+0,7q g+q0,006 1,61 1,5 1,91 2,66 3,110,006 0,0078 0,0093 0,014 0,01441 0,0171Flecha final 0,028Com Contra-flechaPeso Prpriog1l/300 Max. a total1,11 0,01250,0041 0,0125 0,0166 0,0118Resultado OKContra-flecha Carga Acidentala ql/500 Result0,0093 0,0075 OKQuadro 1Quadro 2Quadro 3Quadro 4Quadro 5Quadro 9Quadro 10Quadro 8Quadro 7Quadro 6JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LQUADRO2-Ondedevemserfornecidostodososvaloresgeomtricos(osvaloresaserfornecidos esto escritos em azul) e das caractersticas dos materiais.QUADRO 3 -Onde devem ser fornecidos os valores das intensidades dos carregamentos g (gengloba g1 -peso prprio e g2- sobrecarga permanente de revestimento/piso) e q (carga acidental). Aplanilhacalculaautomaticamenteovalordomomentoreferenteacadacombinaodeaoeosseusvaloresseroutilizadosparaoclculodainrciaequivalente.Ovalordeg1poderserconsiderado fixo para cada tipo de laje e retirado das tabelas dos fabricantesQUADROS 4 e 5 Nestas clulas determinada a inrcia no Estdio I considerando a seohomogeneizada e, usando-se o mesmo procedimento no quinto quadro, considerando porm queaseo funcionar no estdio II0 ( 2 puro), calcula-sea inrcia e posio da linha neutra. Determina-setambmomomentodefissurao(Mr).Nafiguraestoindicadosasdimensesquesoconsideradas no clculo. Nas tabelas 5 e 6 o formulrio usado para determinao das caractersticasgeomtricasFigura 3.a) Seo transversal,b) Seo transversal em forma de TTabela 5- Caractersticas geomtricas de sees transversais em t- Estdio IExpressorea Ag= (bf - bw) hf + bw.hCentro de gravidadeyb bhbhAgf wfwg

_, + ( )2 22 2Momento de inrcia flexoIb b h b hb b yhb h yhgf w f wf w gfw g ++

_, +

_,

( )( )3 32 212 12 2 2JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LTabela 6- Caractersticas geomtricas de sees transversais em t com armaduralongitudinal As - Estdio IExpressorea Ah= (bf - bw) hf + bw.h + As (-1)Centro de gravidadeyb bhbhA dAhf wfw sh

_, + + ( ) ( )2 22 21 Momento de inrcia flexoIb b h b hb b yhb h yhgf w f wf w hfw h ++

_, +

_,

( )( )3 32 212 12 2 2 + As (-1) (yh-d)2Asfrmulasrelacionadasnastabelasanterioresvalemtambmparaasseesretangularesbastando igualar os valores de bf e hf a zero.- no ocorre escoamento do ao nem do concreto.Figura 4 - Seo transversal em forma de T no estdio II puroNo clculo do momento de inrcia no estdio puro necessrio que se conhea a posiodalinhaneutra.Paratanto,pode-seutilizaraexpressopropostaporGHALI(1986),queemcasos de vigas com seo em forma de T dada por:a1 x2 + a2 x + a3 = 0onde: a1 = bw/2a2 = hf(bf - bw) + (e - 1).As + e.Asa3 = - d(e- 1).As -d.e.As - hf2(bf - bw)Assim, o valor de x resulta em:x= t a a a aa2 221 3142.. ..QUADRO 6 adotado um valor de coeficiente de fluncia () (neste caso j se considerana verdade o valor de 1+ ,) Neste adota-se um valor representado pela coluna ,e calcula-searelao entre curvatura no tempo infinito (coluna (1/r)) e tempo zero (coluna (1/r)0).As expressesJUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A Lda curvatura j foram apresentadas no item anterior os valores das deformaes especficas podemser calculadas pelas expresses que se seguem:3xdMFc x bFfcc2 cccE

s stsA EF. ondeM o momento atuantex a altura da linha neutraEs mdulo de elasticidade do concreoQUADRO 7 so apresentados, atravs de clculo automtico, os valores das inrcias mdias(usandoBranson(1996)),cujaexpressodainrciaestexplicitadanoitemanterior,paraascombinaes de carregamento.QUADRO8-apresentadoovalordaflechaatuante(total)emcmparaaseoconsiderada.QUADRO9-apresenta-seovalorreferenteflechadevidaaopesoprprioconsiderando-se a utilizao de contra-flechas.QUADRO10-calculadaaflechadevidaacargaacidental.Osdoisltimosquadrosinformam se as flechas calculadas atendem s recomendaes normativas descritas anteriormente.Assim, para montar uma tabela do tipo da tabela 3, usando a planilha descrita anteriormente,pode-seprocederdaformadescritaaseguir.Escolhe-seumtipodelaje(12 porexemplo)eentrandonaplanilhaanteriorcomsuascaractersticasgeomtricas,umvalorparaarmadura,eumcertocarregamento,pode-severificarparaumcertovalordevol,seoestadodedeformaoexcessivaatendido.Inicia-secomovopropostopelatabeladoManualdoSistemaTreliadoGlobal,queatendeaoestadolimiteltimo(colapso).Aplanilhafornecerautomaticamenteosresultados dos deslocamentoseverificarsecomovalordovoadotado,considerandoaflunciado concreto, oestado limite de deformaoexcessiva atendido. Caso a deformao seja superioraos limites de Norma,deve-se adotar umnovovo(inferioraoanterior)atqueoresultadofinalencontradonacolunaRESULTADOapresenteasiglaOK(casocontrrioapresentadoalegenda NO ).Paraaconfecodastabelasforamutilizadososdadosdaslajesdotipo10,12, 16fornecidospeloManualdoSistemaTreliadoGlobal.Emtodasassituaesconsiderou-separaocoeficiente de fluncia o valor 2,0recomendado pela NB1- 80 e para o concreto considerou-setambm em todos os casos o valor de fck=20 MPa. O procedimento deve ser feito para cada uma dasintensidadesdecargaacidentalconstantesnatabela(quecorrespondemssituaesmaisfreqentes) e para as diversas categorias de resistncia. A verificao sempre iniciada com o valordovofornecidopelatabeladofabricante,reduzindo-ogradualmenteemvaloresde5cm,atencontrar o novo vo que ser anotado para confeco da nova tabela.Observa-se que a tabela inicial (10) (tabela 3) constituda por 104 valores de vo limites.Assim, ser necessrio no mnimo 104 tentativas para montar uma nova tabela. Como quase sempreno se obtm resultado na primeira tentativao nmero de operaes bem maior que o indicado epara esta tabela foram usadas em torno de 416 tentativas de clculo.JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LParacadatipodelaje(altura)podesermontadaumaplanilhaqueficarcomosdadosarmazenados.EmalgumassituaesovodatabeladoSistemaTreliadoGlobaljatendesdeformaes limites como mostra a situao do exemplo seguinte.Paraseusaralajecomnervurapr-moldadautilizandotodoseupotencialtorna-seimportanteoempregodacontra-flecha,queconsistenaintroduodedeformaescontrrias(atravs do calamento dos pontaletes) quelas que a estruturater ao se deformar sob as cargas deutilizaoTabela 4. Valores mximos (m) de vos para lajes simplesmente apoiadas comaltura de 10 cm (capa de 3cm); ruptura e deformao excessiva atendidasLAJE TRELIADA 10CARGAS (kgf/m2)Classe earmadura(cm2)FORRO 50 100 150 200 350 5006 - 0,488 3,15 2,95 2,85 2,80 2,65 2,20 1,957 - 0,537 3,20 3,00 2,90 2,90 2,75 2,30 2,058 - 0,591 3,20 3,05 3,00 2,95 2,85 2,40 2,109 - 0,650 3,25 3,10 3,05 3,00 2,85 2,55 2,2010 - 0,715 3,30 3,20 3,15 3,05 2,90 2,65 2,3511 - 0,787 3,35 3,25 3,25 3,10 2,95 2,70 2,4512 - 0,865 3,40 3,35 3,35 3,15 3,05 2,75 2,5513 - 0,952 3,40 3,40 3,20 3,10 2,80 2,6014 - 1,047 3,50 3,45 3,30 3,15 2,85 2,6515 - 1,152 3,50 3,35 3,25 2,95 2,7516 - 1,394 3,60 3,45 3,30 3,00 2,8017 - 1,533 3,65 3,50 3,40 3,10 2,8518 - 1,686 3,75 3,60 3,45 3,15 2,9519 - 1,855 3,85 3,65 3,55 3,25 3,0020 - 2,040 3,75 3,65 3,30 3,1021 - 2,244 3,85 3,70 3,40 3,1522 - 2,469 3,95 3,80 3,50 3,2523 - 2,716 3,90 3,55 3,3524 - 2,987 4,00 3,65 3,40Intereixo = 50 cm; peso prprio = 111 kgf/m2; fck = 20 MPa; coeficiente de fluncia = 2.A contra flecha a ser adotada deve ser tal que a laje apresente deformaes que atendam oslimites prescritos. Assim a expresso da contra-flecha (ac) aplicada :-ac+ ag1+g2+0,7q +R ag1+g2+0,2q alimite e |-ac+ ag1+g2 | alimiteJUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A Londeac - valor da contra-flechaag1+g2+0,7q flecha para a combinao freqente (no tempo infinito)ag1+g2+0,2q flecha para a combinao quase permanenteag1+g2 - flecha para a ao de cargas permanentes alimite- flecha limiteApartirdoprocedimentodescritoanteriormentepode-seconstruirtabelasdotipodastabelas 4 e 5apresentadas logo em seguidas.Apresenta-se tambm a tabela 6 que mostra,a ttulode exemplo como podem ser resumidas as contra-flechas para a laje de 10 cm de altura.Tabela 5. Valores mximos (m) de vos para lajes simplesmente apoiadas comaltura de 12 cm (capa de 4cm); ruptura e deformao excessiva atendidasLAJE TRELIADA 12CARGAS (kgf/m2)Classe earmadura(cm2)FORRO 50 100 150 200 350 5006 - 0,367 3,75 3,55 3,25 3,00 2,80 2,40 2,107 - 0,404 3,80 3,60 3,40 3,15 2,95 2,50 2,208 - 0,444 3,85 3,65 3,50 3,30 3,10 2,60 2,309 - 0,488 3,90 3,70 3,55 3,40 3,20 2,70 2,4010 - 0,537 3,95 3,75 3,60 3,45 3,30 2,80 2,5011 - 0,591 4,05 3,80 3,65 3,50 3,40 2,85 2,5512 - 0,650 4,10 3,90 3,70 3,55 3,45 2,95 2,6513 - 0,715 4,15 3,95 3,75 3,65 3,50 3,00 2,7014 - 0,787 4,25 4,05 3,85 3,70 3,55 3,10 2,8015 - 0,865 4,35 4,10 3,90 3,75 3,65 3,20 2,8516 - 0,952 4,20 4,00 3,85 3,70 3,30 2,9517 - 1,047 4,10 3,95 3,80 3,45 3,0518 - 1,152 4,20 4,05 3,90 3,55 3,1519 - 1,686 4,30 4,10 4,00 3,65 3,2520 - 1,855 4,40 4,20 4,05 3,75 3,3521 -2,040 4,30 4,15 3,80 3,4522 -2,244 4,45 4,30 4,00 3,5523 - 2,469 4,55 4,40 4,00 3,6524 - 2,716 4,65 4,50 4,10 3,8025 - 2,987 4,75 4,60 4,20 3,9026 - 3,266 4,85 4,70 4,30 4,0027 - 3,615 5,00 4,80 4,45 4,15Elementos espaados de 50 cm; peso prprio = 141 kgf/m2; fck = 20 MPa; coeficiente defluncia = 2.JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LTabela 6 Contra-flecha (mm) utilizada para atendimento dos estados de deformaoexcessiva e limite ltimo laje 10CONTRA-FLECHA UTILIZADA (mm) 10CARGASCLASSE FORRO 50 100 150 200 350 50006 0 0 3 6 8 8 707 0 0 3 8 9 8 808 0 1 5 9 9 9 809 0 2 6 9 8 9 810 0 3 8 9 9 9 811 0 4 10 10 9 9 812 0 5 11 10 10 9 813 6 11 10 10 9 814 7 11 11 10 9 815 11 10 11 10 916 12 11 11 9 917 11 11 11 10 918 12 12 11 10 919 13 11 12 11 920 12 12 10 1021 12 12 11 1022 13 12 11 1023 13 11 1124 13 12 117. EXEMPLO NUMRICO Sejadeterminaraalturadelajepr-moldada,simplesmenteapoiadacomosseguintesdados:vo de 3,55 m,carga acidental q = 150 kgf/m2;sobrecarga permanente g2 = 50 kgf/m2;concreto com fck=20 MPa;coeficiente de fluncia de =2,Aotipo CA60 .SOLUO -Usando a tabela 4 comentrada de p= 150 (q) + 50 (g2) = 200 kfg/m2 conclu-se que a laje 10, classe 19 (As=1,885 cm2) atende as condies. Consultando a tabela 5 verifica-seque para alaje 12, classe 14 (rea de ao de As=0,785 cm2) o vo que atende a todas condies ode 3,55 m.Caso se deseje o menor consumo de concreto opta-se pela primeira soluo (10, classe 19).Caso contrrio adotaria-se a segunda (12, classe 14). Para efeito de exemplo opta-se pela primeirasoluo - 10, classe 19 - Verificando, em seguida, os resultadose apresentando-seos clculos dearmaduraeosvaloresdasflechasparadiversassituaes.AseotransversalapresentadanaFigura 3.JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LFigura 3 Seo transversal de clculo do exemplo-Clculo da armaduraComovalordeMd=3,41kN.m;d=9cm;fck=20MPa;=2,aoCA-60chega-seemumaarmadura de As=0,75 cm2, bem inferior a utilizada na soluo que de 1,885 cm2. bom salientarquesefosseconsideradaapenasacondiodeestadolimiteltimoestevalordearmadurapermitiria,comocarregamentoemquesto,ousodeumvode5,45m.SegundoatabeladoManualdoSistemaTreliadoGlobal(tabela3)ovonestecasoseriade4,7mque,comoservistoadiante,ovoobtidoconsiderandoacondiodeflechalimitecomainrcianoestdioI.Notarquesefosseadotadaasegundasoluo,ovalordaarmaduranecessriaestariabemmaisprximo do exigido pela verificao de deformao excessiva.-Verificao das flechasInicialmenteprecisodeterminaraspropriedadesdaseonoestdioIeII.Usandoosprogramas desenvolvidos por Molina (1999) obtm-se:II = 1885 cm4 (inrcia no estdio I), MR = 0,68 kN.m (momento de fissurao), III=809 cm4(inrciano estdio II puro), yII =2,1 cm (linha neutra no estdio II)Com estes valores e usando a expresso de Bransonpode-se obter as flechas imediatas paraas diversas combinaes da tabela 6.Tabela 6 Flechas imediatas considerando o efeito da fissuraoao M (kN.m) MR/M Im (cm4) a (cm).g1+g21,26 0,539 978 0,59g1+g2+0,2q 1,496 0,454 909 0,75g1+g2+0,7q 2,087 0,326 846 1,12g1+g2+q 2,441 0,278 832 1,33O valor do mdulo de deformao do concreto vale Ec= + 5 , 3 5940ckf 2,88x104 MPa . Como valor do momento para a combinao quase permanente (M=1,496 kN.m) e considerando a linhaneutra do estdio II (yII =2,1 cm) chega-se a : c = 1,19x10-4 e s = 4,55x10-4. Usando =2 obtm-separa a relao entre as curvaturas R=1,414Valores das flechasafinal = ag1+g2+0,7q +R ag1+g2+0,2q = 1,12+1,41x0,75= 2,17 cmaq = ag1+g2+q +ag1+g2 = 1,33-0,59= 0,74 cmJUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LValores limitesCombinao freqente alimite =355/300=1,18 cm (em princpio menor que a flecha final)Carga acidental alimite =355/500=0,71 cm (valor praticamente igual ao da flecha atuante)Valor mximoe mnimo da contra flechaMximo ac = (0,59+1,18)= 1,77 cmmnimo ac =2,17-1,18 = 0,99Valor final da flecha aps a contra-flechaafinal = ag1+g2+0,7q +R ag1+g2+0,2q - ac = 1,12+1,41x0,75 0,99 = 1,18 cm alimiteCasofosseconsideradaaseotrabalhandonoestdioIesemconsideraroefeitodafluncia, o valor do vo mximo poderia ser obtido igualando-se a flecha atuante com o valor limitechegando-se a:300 10 885 , 1 10 88 , 2 3841325 , 0 55 64! ! a! = 4,70 m exatamente o valor proposto pela tabela do Manual Sistema Treliado Global.7.CONCLUSES, COMENTRIOS E SUGESTESA principal concluso que pode ser obtida deste estudo que a escolha da altura da laje, namaioriadoscasos,ficadeterminadapelaverificaodadeformaoexcessiva.Apenasparapequenos vos e grandes sobrecargas de uso que condio do estado limite ltimo de runa passa aserdeterminante.Destamaneira,astabelasencontradasnomercadosoinadequadasparaseremusadas, pois no consideram o efeito da fissurao e fluncia do concreto.Os resultados obtidos no trabalho mostram como importante usar a contra-flecha, pois sema sua considerao haveria uma limitao muito grande no valor do vo a ser vencido. Porm, nestecasobastanteimportanteavaliarcomprecisoaflechaimediataparaindicaracontra-flechaadequada evitando-se provocar um arqueamento excessivo da laje.O grupo de autores continuar a desenvolverasegundapartedesteestudoqueconsisteemanalisar,experimentalmente,oefeitodafissuraodoconcretonaflexo,oefeitodafluncia,dacontinuidadeeespaamentodasescorasduranteaconcretagem.ProcurarusarosresultadosobtidosnoestudoexperimentaldadeterminaodoespaamentoentreescorasduranteaconcretagemSILVA[2000],quepoderotrazeroutraslimitaesaousodecontraflechas.Apsarealizaodestaspesquisasexperimentaispoder-se-contarcomumprocedimentodeclculoetabelas para a determinao da altura e armadura bem mais precisas que as atuais.Embora os procedimentos aqui descritos estejam baseados no texto da NB1-80, no difcil,adapt-losao texto da nova norma que dever entrar em vigor em um futuro prximo.O estudo deJUSTE[1997]quejconsideravaostextosdediversasnormasconcluiqueotextodaNB1-80,entre as normas analisadas, era o mais conservador. Assim, acredita-se que refazendo-se as tabelasaqui apresentadas, levando em conta os limites e combinaes de aes previstos pela nova norma,obter-se- maiores vos para a maioria das situaes.Apesar da crtica feita s tabelas usuais de determinao de vo mximo (ou altura mnima),elas apresentam um modelo bastante interessante e mostra-se que basta considerar a verificao doestado de deformao excessiva, levando em conta a fluncia e fissurao do concreto, para torn-las completas. As duas restries que podem ainda ser feitas so quanto ao coeficiente de fluncia ea resistncia compresso do concreto (que influencia diretamente o mdulo de deformabilidade),que devem ser fixados previamente para se obter as referidas tabelas. Ainda assim, esta sistemticapassaaserbemmaisapropriadaqueaseguidaatento,poisalmdanovatabela,devidamenteJUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A Lcorrigidaeapresentadanoformatoconvencional,indicam-se,emtabelascomplementares,osvalores de contra-flecha que devem ser usados em cada situao. As tabelas apresentadas neste trabalho servem para sistemas simplesmente apoiados. No sejustificapormtentarconfeccionartabelassimilaresparasistemascontnuos,devidodificuldadeem se determinar com exatido os momentos fletores nos apoios internos (devido plastificao doconcreto) ea possibilidade deocorrnciadediferentesrelaesentrevos.Recomenda-se,nestescasos, usar os valores das tabela das lajes simplesmente apoiadas como ponto de partida para obter-seatravs de verificaes a otimizao da quantidade da armadura da mesma.Como j foi amplamente citado neste trabalho e nos de JUSTE [1997] e MORAES [1997] oclculo do estado de deformao de uma estrutura de concreto armado apresenta um grande grau dedificuldade,devidoaograndenmerodevariveisqueneleinfluem.Osresultadosobtidospeloprocedimentoescolhidopodemnorepresentarexatamentearealidade,maspermitemqueosprojetistas usando-os com critrio nas anlises, criem com uma probabilidaderazovel de sucesso,as condies propcias de funcionamento daestruturafazendo com queas deformaes excessivassejamevitadas.Estescuidadosfazemcomqueusuriosdestasestruturasfiquemlivresdostranstornosquepodemocorrerquandoestascondiesnosoatendidas,taiscomoconsertos,reforos etc.Naprticaocorremvriassituaesquenopuderamserconsideradosnoestudos,equepodem influenciar significativamente nos valores dos deslocamentos, tais como: condies da curado concreto (especialmente a capa), variaes no valor do mdulo de deformabilidade do concreto,condiesdeapoioqueimpedemolivregirodasnervuras,condiesclimticasvariveisediferentesdasadotadas(temperatura,umidaderelativaetc),coeficientedeflunciadiferentedovaloradotadoeoutrosmais.Algumasdestascondiespodeminfluenciaraumentandooudiminuindoasdeformaes,eassimrecomenda-se,semprequepossvel,adotarprovidnciasquemelhorem a cura do concreto, retardem a retirado do escoramento (permitindo um valor maior paraaresistnciacompresso,docoeficientededeformabilidadeediminuiodocoeficientedefluncia do concreto), e incluir armaduras que ajudem o funcionamento da continuidade.Os autores agradecem o auxlio recebido da FAPESP para o desenvolvimento deste trabalho.8.BibliografiaASSOCIAO BRASILEIRA DA INDSTRIA DAS LAJES; SINDICATO DA INDSTRIA DEPRODUTOSDECIMENTODOESTADODESOPAULO(1998):ManualTcnicoSistema Treliado Global. So Paulo.ASSOCIAOBRASILEIRADENORMASTCNICAS(1980).NBR-6120:Cargasparaoclculo de estruturas de edificaes. Rio de Janeiro.ASSOCIAOBRASILEIRADENORMASTCNICAS(1980).NBR-1:Projetoeexecuodeobras de concreto armado. Rio de Janeiro.ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (1984). NBR-8681: Aese Segurananas Estruturas. Rio de Janeiro.BORGES, J.U.A (1997). Critrios de projeto de lajes nervuradas com vigotas pr-fabricadas. SoPaulo. Dissertao (Mestrado) Escola Politcnica da Universidade de So Paulo.BRANSON,D.E.Deflectionofreinforcedconcreteflexuralmembers.JournalofAmericanConcrete Institute. New York, 1966.CAIXETA,P.D.(1998).Contribuiodelajemistaspr-fabricadascomvigastreliadas.Campinas.Dissertao(Mestrado)FaculdadedeEngenhariaCivilUniversidadeEstadualde Campinas.CARVALHO,R.C.(1994).Anliseno-lineardepavimentosdeconcretoatravsdaanalogiadegrelha. So Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade deSo Paulo.CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R.; (1998). Construes de Concreto 1. SoCarlos.Apostila Universidade Federal de So Carlos.JUBILEOProf.JULIORICALDONIX X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A LCARVALHO,R.C.;FIGUEIREDOFILHO,J.R.;FURLANJUNIOR,S(1998).Processoaproximadoparaoclculodelajespr-moldadasnervuradas.Anais:IIICongressodeEngenharia Civil. UFJF. Juiz de Fora.CARVALHO R. C., JUSTE A. E.; MORAES C. A. (1997). Diretrizes para a verificao doestado limite de deformao excessiva de pavimentos de concreto armado - XXVII JornadasSul-Americanas de Engenharia Estrutural, pg. 735 vol. 2. So Carlos.DIPIETRO,J.E.Projeto,execuoeproduodelajescomvigotaspr-moldadasdeconcreto.Florianpolis, 1993, 99 p. Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Santa Catarina.DINIZ, H. (1988). Lajes com armao em trelia. 2.ed. 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