Coleo Licenciatura em Matemtica lgebra Linear I Dedicatria minhaesposaFernanda,meuspais,JosRaimundoeJoana, meus irmos, Ricardo e Brbara, e sobrinhos (muitos), e aos meus filhos,FbioHugoeFabiana,emespecial,poisoestudooali-cerce da vida. (F.F.F.) minha querida esposa Tatiana Abreu, meus familiares e amigos. (B.F.M.) AJaqueline,AnaClaraeCarolineemretribuioaoamor,cari-nho,dedicaoepacinciaquevocstemmedispensado.Vocs fazem a diferena. (H.N.P.) Coleo Licenciatura em Matemtica lgebra Linear I Fbio Freitas Ferreira Licenciado em Matemtica pela FFP/UERJ, Mestre e Doutor em MatemticaAplicadaeModelagemComputacionalpelo IPRJ/UERJ.FoiprofessorsubstitutodaFFP/UERJedo GEM/UFF.AtualmenteCoordenadoreProfessordocursode Licenciatura em Matemtica da FACNEC-ITA. Bruno da Fonseca Monteiro Licenciado em Matemtica pela FFP/UERJ, Mestre em Engenha-riaCivilpelaCOPPE/UFRJ.Foiprofessordecursospr-vestibulares e colgios da rede privada. Atualmente professor da rede estadual de ensino do Rio de Janeiro e do curso de Licencia-tura em Matemtica da FACNEC-ITA. Herivelto Nunes Paiva bacharelemestatsticapelaFACEN/UNIVERSO,Licenciado em Matemtica pela UNIVERSO, Ps-graduado em Matemtica e Estatstica pela UFLA, e Mestre em Ensino de Cincias da Sade edoAmbientepelaUNIPLI.Maisde22anoscomoProfessor dasredespblicaseprivadasdeensino.Atualmente,lecionana FACNEC nos cursos de Administrao, Matemtica e Pedagogia. Sumrio 1Matrizes.......................................................................................... 1 1.1Igualdade entre matrizes...................................................... 4 1.2Tipos especiais de matrizes ................................................. 5 1.3Operaes com matrizes ..................................................... 8 1.4Adio de matrizes ............................................................... 9 1.5Propriedades da adio de matrizes.................................10 1.6Exerccios.............................................................................11 1.7Multiplicao de uma matriz por um escalar..................13 1.8Propriedades........................................................................14 1.9Transposta de uma matriz.................................................16 1.10Propriedades que envolvem matrizes transpostas.........16 1.11Multiplicao de matrizes..................................................17 1.12Propriedades da multiplicao de matrizes.....................22 1.13Matriz Inversa .....................................................................25 1.14Propriedades da Matriz Inversa........................................26 1.15Questes de vestibular.......................................................27 2Sistemas Lineares........................................................................56 2.1Introduo ...........................................................................56 2.2Equaes lineares................................................................57 2.3Soluo das equaes lineares...........................................57 2.4Sistemas de equaes lineares...........................................58 2.5Soluo do sistema linear ..................................................61 2.6Sistemas Lineares Homogneos.......................................66 2.7Matriz escalonada ...............................................................67 2.8Soluo do sistema por retro-substituio......................71 2.9Soluo do sistema pelo mtodo de Gauss Jordan....75 2.10Soluo do sistema pelo mtodo da Matriz Inversa .....79 2.11Clculo da Matriz Inversa..................................................80 2.12Exerccios.............................................................................83 2.13Questes de vestibular.......................................................86 2.14Resposta dos exerccios propostos ..................................98 2.15Questes de vestibular.......................................................99 3Espao Vetorial ........................................................................100 3.1Combinao linear............................................................102 3.2Subespao vetorial ............................................................103 3.3Exerccios...........................................................................105 3.4Dependncia e independncia linear .............................107 3.5Base de um espao vetorial .............................................109 3.6Dimenso...........................................................................111 3.7Exerccios...........................................................................112 3.8Os quatro subespaos fundamentais .............................112 3.9Exerccios...........................................................................118 4Transformaes Lineares ........................................................127 4.1Transformaes do plano no plano...............................131 4.2Exerccios...........................................................................137 4.3Questes de vestibular.....................................................141 Prefcio Desde os tempos de graduao e agora lecionandopara cur-sosdelicenciaturaemmatemticasentimosacarnciadelivros voltados exclusivamentepara estefim. Emsua maioria solivros de contedo extremamente tericos, pouco explicativos e de dif-cilleitura,oulivrosvoltadosparaoscursosdeengenharia,no sendoassim adequados formaode novos professorespara os ensinos fundamentais e mdios. Partindodesteprismasurgiuodesejodeescreverumacole-o para satisfazer asnecessidades deste seguimento. Este, ento, vem a ser o primeiro livro deste projeto. lgebra Linear I traz um texto claro e auto-explicativo que vai deencontro snecessidadestanto doprofessor quanto do aluno. Tornando-se um livro til para a vida acadmica e para as ativida-des profissionais.Esteprimeirolivrosedesenvolveem4captulos:Matrizes, SistemasLineares,EspaoVetorial,TransformaesLineares, todoscomexemplosresolvidospassoapassoalmdeexerccios propostos. Fica aqui o desejo de suprir este vcuo. Os autores. 1Matrizes A quantidade de informaes que so geradas nos dias de ho-jeenorme.Apesardoenormeesforoemcomoger-lasou obt-las,outragrandequestoestemcomotrat-las.Nobasta gerar ou obter dados de forma aleatria. necessrio organiz-los, orden-los,edarsignificadosaeles.Amaiorpartedestesdados (informaes)estorganizadaemformadetabelas,oupodeser organizada desta forma. Temos como exemplos pesquisas quanti-tativas(pesquisaseleitorais,porexemplo),ouresultadosdepes-quisascientficas(distribuiodetemperaturaemsuperfcies,por exemplo),entreoutros.Istonosmotivaaentendermelhorestas tabelas. Assim, introduzimos a idia de matriz. Umexemplosimplesdadoaseguir:podemosorganizaras informaespertinentesaosvrticesdeumicosaedroregular,de raio unitrio, cujos dois vrtices opostos esto fixados nos pontos ( ) 0, 0, 1 e( ) 0, 0, 1 ,vejaaFigura1.1,emformadeumatabela, veja a Tabela 1. 2 lgebra Linear 1 Figura 1.1: Icosaedro regular Tabela 1: Vrtices do icosaedro regular de raio unitrio. xyz V01001 V020,8900,45 V030,280,850,45 V04-0,720,530,45 V05-0,72-0,530,45 V060,28-0,850,45 V070,720,53-0,45 V08-0,280,85-0,45 V09-0,890-0,45 lgebra Linear 1 3V10-0,28-0,85-0,45 V110,72-0,53-0,45 V1200-1 Fazendoumaanlisemaisdetalhadadestatabela,temosas coordenadasx dispostasnacolunaum,ascoordenadasy dis-postasnacolunadois,eascoordenadasz dispostasnacoluna trs.Osvrticesreferem-seslinhasdatabela.Assim,sequiser-mos saber qual a coordenada y do vrtice onze do icosaedro, basta eu ir at a linha onze, e at a coluna dois. Desta forma, numa no-taomaisformal,queveremosmaisadiante,amatrizA repre-senta as coordenadas do icosaedro descrito. 0 0 100 1A ( ( ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0,89 0,450,28 0,85 0,45-0,72 0,53 0,45-0,72 -0,53 0,450,28 -0,85 0,450,72 0,53 -0,45-0,28 0,85 -0,45-0,89 0 -0,45-0,28 -0,85 -0,450,72 -0,53 -0,450 4 lgebra Linear 1 Motivadospeloexemplodadoanteriormente,amatrizque contmosvrticesdoicosaedro,observamosquecadaelemento damatrizA podeserrepresentadopor ija ,onde1, ,12 i = e 1, , 3 j = .Deformagenrica,usandoanotaomatemtica, representamos uma matriz de m linhas por n colunas por 11 11nm mna aAa a ( (= ( (

..

ondealetramaisculaArepresentaamatriz,mquantidadede linhasdamatriz,nquantidadedecolunasdamatriz,m n a ordemdamatriz,e ija ,1, , i m = ,1, , j n = ,representacada elemento da matriz. Podemos representar as matrizes, tambm, atravs de parn-teses e barras, como nos exemplos a seguir. 11 11nm mna aAa a| | |= | |\

..

, ou 11 11nm mna aAa a=

..

. 1.1Igualdade entre matrizes Duasmatrizes mnAe mnBsoditasiguaisseelastmo mesmo nmero de linhas e o mesmo nmero de colunas, e todos os seus elementos correspondentes (elementos que esto posicio-lgebra Linear 1 5nadosna mesmalinhaenamesmacolunadeambas asmatrizes) so iguais. A seguir vemos um exemplo. 223 1 log12 2 5 2 4 5 (( (( 09 sen 90 0= 1.2Tipos especiais de matrizes Vriosproblemasdeengenhariapodemserrepresentados porequaesmatriciais.Nestescasos,geralmente,asmatrizes associadas aos problemas aparecem de uma forma especial, facili-tando assim a interpretao do comportamento destes problemas. Assim, veremos a seguir alguns tipos especiais de matrizes. Matriz nula toda matriz onde o elemento0ija =para todo 1, , i m = ,1, , j n = . 0 00 0A ( (= ( (

..

. Matriz quadrada toda matriz ondem n = . Neste caso, di-zemos que a matriz tem ordemn , isto ,1, , i n = e1, , j n = . 11 11nn nna aAa a ( (= ( (

..

. 6 lgebra Linear 1 Matrizdiagonaltodamatrizquadradadeordemn onde 0ija =sempre quei j . 110 0000 0nnaAa ( ( (= ( (

.

.

. Matriz identidade toda matriz diagonal de ordemnonde 1ija =sempre quei j = . Usamos a letraIpara denotar a matriz identidade. 1 00 1I ( (= ( (

..

. Matriztriangularsuperiortodamatrizquadradadeor-demnonde0ija =sempre quei j > . 11 12 122 200 0nnnna a aa aAa ( ( (= ( (

. ..

. Matriz triangular inferior toda matriz quadrada de ordem nonde0ija =semprei j < . lgebra Linear 1 71121 221 20 00n n nnaa aAa a a ( ( (= ( (

. ..

. Matriz coluna toda matriz onde1 n = . Assim, um vetor ou uman -upla tambm uma matriz coluna. 1111ijmnaA aa ( ( ( = = ( ( . . Matriz linha toda matriz onde1 m = . [ ]11 11ij nnA a a a ( = = . Matrizsimtricatodamatriz quadradade ordemn onde ij jia a = . 11 12 112 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a ( ( (= ( (

. ..

. Matrizantissimtricatodamatrizquadradadeordemnonde ij jia a = . 12 112 21 2000nnn na aa aAa a ( ( (= ( (

. ..

. 8 lgebra Linear 1 Podemos observar, pelo fatode termos ij jia a = , queadia-gonalprincipaltemquesernula,eoselementossimtricoscom relao diagonal principal so opostos. 1.3Operaes com matrizes Voltamosaoexemplodadoanteriormente:amatrizquear-mazenainformaessobreosvrticesdoicosaedroregular.Se quisermos transladareste icosaedrosobre o eixoxtrsunidades paraadireita,bastasomarmostrsunidadesnacoordenadax , isto , 0 0 1 3 0 00 3 0 03 0 03 0 03 0 03 0 03 0 03 0 03 00 10,89 0,450,28 0,85 0,45-0,72 0,53 0,45-0,72 -0,53 0,450,28 -0,85 0,450,72 0,53 -0,45-0,28 0,85 -0,45-0,89 0 -0,45-0,28 -0,85 -0,450,72 -0,53 -0,450 ( ( ( ( ( ( ( ( (+ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 0 1003 0 03 0 03 0 0 0 13,89 0,453,28 0,85 0,45-3,72 0,53 0,45-3,72 -0,53 0,453,28 -0,85 0,453,72 0,53 -0,45-3,28 0,85 -0,45-3,89 0 -0,45-3,28 -0,85 -0,453,72 -0,53 -0,453 ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ((((((((((((((( ( ( (. Podemos observar na Figura 1.2 os dois icosaedros: o original e o transladado em trs unidades no eixox . lgebra Linear 1 9Nesteexemplodado,vimoscomoimportanteasomade matrizes.Existemoutrasoperaesqueenvolvemmatrizes,eas veremos, numa notao formal, a partir deste momento. Figura 1.2: Icosaedro transladado 1.4Adio de matrizes Sejam mn ijmnA a ( = e mn ijmnB b ( = , ento a adio de ma-trizes ij ijmnA B a b ( + = + .Notamosqueparasomarmosmatri-zesnecessrioqueasmesmastenhamomesmonmerodeli-nhasedecolunas,oquejfoiintroduzidonanotaodeforma implcita. Veja um exemplo a seguir. 10 lgebra Linear 1 2 0 4 2 5 11 2 5 7 0 32 2 0 5 4 1 4 5 31 7 2 0 5 3 8 2 8 ((+ = (( + + ((= = ((+ + + 1.5Propriedades da adio de matrizes Veremosnestaseo,comexemplos,aspropriedadesque envolvem a adio de matrizes. Sejam entoA ,BeCmatrizes de mesma ordemm n . Comutativa:A B B A + = + . Com efeito, pois ij ij ij ijmn mnA B a b b a B A (( + = + = + = + . 2 0 4 2 5 1 4 5 31 2 5 7 0 3 8 2 8 (((+ = ((( . 2 5 1 2 0 4 4 5 37 0 3 1 2 5 8 2 8 (((+ = ((( . Associativa: ( ) ( )A B C A B C + + = + + . Comefeito,pois ( ) ( )ij ij ijA B C a b c (+ + = + + = ( )ij ij ija b c (+ + = ( )A B C + + . 1 2 2 0 4 3 1 2 6 3 7 52 2 1 2 8 8 2 2 9 6 7 8| | ((((((+ + = + = | (((((( \ . lgebra Linear 1 111 2 2 0 4 3 3 2 4 3 7 52 2 1 2 8 8 1 0 8 8 7 8| | ((((((+ + = + = | (((((( \ . Elementoneutrodaadio:0 A A + = ,onde0 denotaa matriz nula. fcil de verificar, pois0 0ij ijA a a A(( + = + = = . 0 05 5 0 0 50 0cos 0 cos 0 0 0 cos 0sen sen sen ((( ( + ++ = = ((( (+ + . 1.6Exerccios 1)Qual o valor dekpara que a igualdade a seguir seja verdadei-ra? 2) 0 1 00 1 0 1k ((= (( sen. 3)Quaisosvaloresdex quesatisfazemaigualdade 20 0 0 00 0 2 x ((= (( ? 4)Quaisosvaloresdexey paraquea matriz 00x yx y+ ( ( seja uma matriz identidade? 12 lgebra Linear 1 5)Sejam 2 50 1A (= ( e 7 00 7B (= ( .Faaa)A B + ;b)B A + ; c)A A + ; d)B B + ; e)A A ; e f)B B . 6)Quaissoosvaloresdex ek paraqueamatriz 21 3 5cos 2 10 2 2 4 5kx x ( ( ( (+ seja uma matriz triangular superior? 7)Responda quais os possveis resultados das adies a seguir. a) Duas matrizes triangulares superior. b) Duas matrizes onde uma oposta a outra. c) De uma matriz diagonal com uma matriz nula. d) De uma matriz identidade com uma matriz triangular inferior. e) De uma matriz simtrica com uma matriz diagonal. f) Duas matrizes simtricas. g)Deumamatriztringuloinferiorcomumamatriztriangular superior. h) De uma matriz simtrica com uma matriz cheia qualquer. lgebra Linear 1 131.7Multiplicao de uma matriz por um escalar Se multiplicarmos cada componente dos vrtices do icosaedro que est sendo utilizado como exemplo por dois, ento a distncia da origem do sistema cartesiano para cada vrtice do icosaedro tam-bm ser multiplicada por dois. Figura 1.3: Icosaedro regular expandido. 14 lgebra Linear 1 0 0 1 0 0 20 020 10,89 0,45 1,79 0,900,28 0,85 0,45 0,56 1,70 0,90-0,72 0,53 0,45-0,72 -0,53 0,450,28 -0,85 0,450,72 0,53 -0,45-0,28 0,85 -0,45-0,89 0 -0,45-0,28 -0,85 -0,450,72 -0,53 -0,450 ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 2-1,44 1,06 0,90-1,44 -1,06 0,900,56 -1,70 0,901,44 1,06 -0,90-0,56 1,70 -0,90-1,79 0 -0,90-0,56 -1,70 -0,901,44 -1,06 -0,900 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Sejam uma matrizAe um escalark , ento ijkA ka( = . 5 1 5 5 5 15 5 552 21 0 0 5 5 010 10 (( ( ((= =( (( (( . 1.8Propriedades SejamAeBmatrizes de ordemm n ek , 1ke 2kescala-res. i) ( )k A B kA kB + = +Temos que ( )( )ij ij ij ijk A B k a b ka kb kA kB ( ( + = + = + = + . lgebra Linear 1 151 1 2 1 3 2 9 63 31 1 1 2 2 3 6 9| | ((((+ = = | (((( \ . 1 1 2 1 3 3 6 3 9 63 31 1 1 2 3 3 3 6 6 9 (((((+ = + = ((((( . ii)( )1 2 1 2k k A k A kA + = + . Com efeito, pois ( )1 2k k A + =( )1 2 ijk k a( + = 1 2 ij ijk a k a( + = 1 2k A kA + . ( )3 5 3 5 21 352 5 78 15 8 15 56 105 (((+ = = ((( . ( )3 5 3 5 3 52 5 2 58 15 8 15 8 15 (((+ = + = ((( 6 10 15 25 21 3516 30 40 75 56 105 (((= + = ((( . iii)0 0 A = .1 Com efeito,0 0 0ijA a( = = . 3 10 000 03 ( (= ( ( . iv) ( ) ( )1 2 1 2k kA k k A = . 1 Note que o smbolo0disposto no lado esquerdo da igualdade refere-se ao escalar zero, e o smbolo0que aparece no lado direi-to da igualdade refere-se matriz nula. 16 lgebra Linear 1 Com efeito, pois ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 ij ijk kA k k a k k a k k A ( ( = = = . 3 5 15 25 30 502 5 28 15 40 75 80 150| | (((= = | ((( \ . ( )3 5 3 5 30 502 5 108 15 8 15 80 150 ((( = = ((( . 1.9Transposta de uma matriz Seja mn ijmnA a ( = . A transposta da matrizA a matriz TAtal que Tmn jin mA a ( = . Em outras palavras, o que linha se torna coluna, e o que coluna se torna linha. Se 3 4 78 2 4A (= ( , ento 3 84 27 4tA ( (= ( ( . 1.10Propriedades que envolvem matrizes transpostas i) Uma matriz simtrica se e somente se TA A = . Comefeito,comoemumamatrizsimtrica, ij jia a = ,temos que Tji ijA a a A(( = = = . lgebra Linear 1 172 88 3TA A (= = ( . ii) ( )TTA A = . Com efeito, pois TjiA a( = . Assim, ( )TTijA a A( = = . 3 84 27 4A ( (= ( ( , 3 4 78 2 4TA (= ( , e ( )3 84 27 4TTA ( (= ( ( . iii) ( )TT TA B A B + = + . Temosque ij ijA B a b( + = + .Mas ( )Tji jiA B a b( + = + .Co-mo TjiA a( = e TjiB b( = ,logotemos ( )TT Tji jiA B a b A B( + = + = + . iv) ( )TTkA kA = , para todokescalar. Com efeito, pois temos que ( )TTTij jikA ka ka kA(( = = = . 1.11Multiplicao de matrizes Umaaplicaoprticaseriasepararascoordenadasx ,y e z ,doicosaedro,emmatrizesdiferentes.Bem,poderamossim-18 lgebra Linear 1 plesmentecriartrsmatrizescolunaearmazenaressasinforma-es.OutraformaseriausaramatrizA jexistenteparaobter essas matrizes coluna. Veja a seguir. 30 0 100010 10,89 0,450,28 0,85 0,45-0,72 0,53 0,45-0,72 -0,53 0,450,28 -0,85 0,45 e 0,72 0,53 -0,45-0,28 0,85 -0,45-0,89 0 -0,45-0,28 -0,85 -0,450,72 -0,53 -0,450A e ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( , ento ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )30 0 0 0 1 10, 89 0 0 0 0, 45 10, 28 0 0, 85 0 0, 45 10, 72 0 0, 53 0 0, 45 10, 72 0 0, 53 0 0, 45 10, 28 0 0,85 0 0, 45 10, 72 0 0, 53 0 0, 45 10, 28 0 0, 85 0 0, 45 10,89 0 0 0 0, 45 10, 28 0 0,85 0 0, 45Ae + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + ( ) ( )( )10, 450, 450, 450, 450, 450, 450, 450, 451 0, 450, 72 0 0, 53 0 0, 45 1 0, 450 0 0 0 1 1 1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( + + ( ( ( ( + + . lgebra Linear 1 19Comopodemosobservar,multiplicamosumamatrizA de ordem12 3 porumamatrizcolunadeordem3 1 ,eobtemos comoresultadoumamatrizcolunadeordem12 1 .Oprimeiro elemento da matriz resultante foi obtido multiplicando o primeiro elementodaprimeiralinhadamatrizA peloprimeiroelemento da coluna da matriz coluna, o segundo elemento da primeira linha da matrizApelo segundo elemento da coluna da matriz coluna, o terceiroelementodaprimeiralinhadamatrizA peloterceiro elementodacolunadamatrizcoluna,eporltimosomandoo resultado destas trs multiplicaes, isto ,0 0 0 0 1 1 1 + + = . Este procedimentofoirealizadoparaobtercadaelementodamatriz resultante.Notamosqueasegundamatrizstemumacoluna,o que facilitou um pouco o nosso trabalho. Considerandoque o circuncentro do icosaedro queest sen-dotratadoestnaorigemdosistemacartesiano,temosqueas coordenadasdosvrticesdoicosaedroformamvetoresquetem extremidadesnaorigemdosistemacartesianoenosvrticesdo icosaedro.Assim, umaaplicao interessanteseriaobterinforma-es sobre os ngulos formados entre esses vetores, veja na Figura 1.4:Representaodevetoresnoicosaedro..Estamatrizsim-trica, pois o ngulo formado pelos vetoresiej o igual ao n-gulo formado pelos vetoresjei . 20 lgebra Linear 1 0 0 100 10,89 0,450,28 0,85 0,45-0,72 0,53 0,45-0,72 -0,53 0,450,28 -0,85 0,450,72 0,53 -0,45-0,28 0,85 -0,45-0,89 0 -0,45-0,28 -0,85 -0,450,72 -0,53 -0,450A ( ( ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( ( ( e 001 1TA ( (= ( ( 0,89 0,28 -0,72 -0,72 0,28 0,72 -0,28 -0,89 -0,28 0,72 00 0,85 0,53 -0,53 -0,85 0,53 0,85 0 -0,85 -0,53 00,45 0,45 0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 lgebra Linear 1 2111TAA =1 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -10,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 -0,450,45 0,45 1 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 -0,450,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 -0,450,45 111 1 -0,45 -0,45 0,45 0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,450,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45-0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45-0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 0,45 1 0,45 -0,45 -0,45 0,45-0,45 -1 -0,45 (

0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 1 0,45 -0,45 0,45-0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 1 0,45 0,45-0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 1 0,45-1 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 1((((((((((((((((( Figura 1.4: Representao de vetores no icosaedro. O resultado foi obtido multiplicando cada linha da matrizApor cada coluna da matriz TA . Por exemplo, o elemento da linha trs,colunaquatro,foiobtidofazendo 0,28 (-0,72) + 0,85 0,53 + 0,45 0,45 = 0,45 .Destaforma,ongulo formadopelosvetores3 e4 deaproximadamente63o.Ain-formao que a matriz resultante, TAA , nos mostra que na dia-gonal principal esto os valores dos cossenos dos ngulos forma-22 lgebra Linear 1 dos entre os vetores com eles mesmos. O resultado s poderia ser 1, pois o ngulo formado entre um vetor e ele mesmo 0o grau, ou seja,cos0 1 = . Os outros ngulos so fceis de determinar, pois basta calcular o arco cosseno dos valores obtidos na matriz resul-tante. Definimosamultiplicaodematrizesnumanotaomais formal.Sejam [ ]m p ikm pA a= e p n kjp nB b ( = ,ento ijmnAB c ( = onde 1pij ik kjkc ab== . Em outras palavras, na multi-plicaodematrizes,multiplicamoscadalinhada primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. Por este motivo, o nmero de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao nmero de linhas da segunda matriz, como pode ser observado na definio. Desta forma,semultiplicarmosumamatriz 3 2Aporumamatriz 2 7B obteremos uma matriz de ordemC AB =de ordem3 7 . Outro exemplo de multiplicao de matrizes pode ser obser-vado a seguir. ( ) ( )( ) ( )3 2 8 0 3 1 8 3 3 8 2 1 6 214 2 2 0 4 1 2 3 4 2 0 3 8 2 + + ( (((= = ( ((( + + . 1.12Propriedades da multiplicao de matrizes i) Em geral,AB BA . lgebra Linear 1 23Para que possamos fazer a multiplicaoABeBA, neces-srio que o nmero de colunas da matrizAseja igual ao nmero delinhasdamatrizB ,eonmerodelinhasdamatrizA seja igual ao nmero de colunas da matrizB . SeAtem ordemm n entoB temqueterordemn m .Da,oprodutoAB temor-demm e o produtoBA tem ordemn . Para que exista a comuta-tividade,necessrioqueasmatrizesA eB sejamquadradase tenhamamesmaordem. Mesmonestascondieshapossibili-dade de no existir a comutatividade (o que mais comum). Temosque 1nij ik kikmAB c ab= (= = e 1mji jk kiknBA c b a= (= = ,oquepodegerarresultadosiguaisnas condies discutidas anteriormente. Desta forma, 6 21 57 30 31 2 38 2 2 14 223 2 11 0 1 2 3 (( ( (( = ( (( (( , e 6 211 2 3 21 258 23 2 1 33 671 0 ( (( ( = (( ( ( . 24 lgebra Linear 1 ii)AI IA A = = . 2 1 0 01 2 3 1 2 30 1 03 2 1 3 2 10 0 1 ( (( ( = (( ( ( , e 1 0 1 2 3 1 2 30 1 3 2 1 3 2 1 (((= ((( . iii) ( )AB C AB AC + = + . 1 0 2 3 4 2 1 0 6 1 6 11 1 3 2 2 1 1 1 1 3 7 2| | ((((((+ = = | (((((( \ 1 0 2 3 1 0 4 2 2 3 4 2 6 11 1 3 2 1 1 2 1 5 1 2 3 7 2 (((((((+ = + = ((((((( iv) ( )A BC AC BC + = + . v) ( ) ( )ABC ABC = . vi) ( )TT TAB BA = . vii)0 0 A =3 e0 0 A = . 0 0 1 2 3 0 0 00 0 3 2 1 0 0 0 (((= ((( , e 2 Note que seA uma matriz de ordemm n , ento a matriz identida-de que multiplicaApela direita de ordemn , e a matriz identidade que multiplicaApela esquerda de ordemm. 3 Aqui o smbolo0denota a matriz nula. lgebra Linear 1 250 0 01 2 3 0 0 00 0 03 2 1 0 0 00 0 0 ( (( ( = (( ( ( . 4 Aspropriedadesnoexemplificadasficamcomoexerccios para o leitor. 1.13Matriz Inversa UmamatrizquadradaA deordemninvertvel,ouno-singular,seexisteumamatrizB ,quadradaedemesmaordem que satisfaa a condioAB BA I = = . B chamada inversa deAe se representa por 1A. Se a matrizAno possui inversa, dizemos queA singular ou no-invertvel. Comoexemplo,tomemosasmatrizes 2 51 3A (= ( e 3 51 2B(= ( ,ecalculemosAB .Logo,temosque 22 5 3 5 1 01 3 1 2 0 1AB I(((= = = ((( .Omesmoresultadoaconte-cersefizermosamultiplicaoBA, 4 A matriz nula pode ter qualquer ordem, alterando assim a ordem do produto, basta respeitar a condio necessria para multiplicar matrizes26 lgebra Linear 1 23 5 2 5 1 01 2 1 3 0 1BA I(((= = = ((( .PortantoB ainversade A . 1.14Propriedades da Matriz Inversa i)Seumamatrizpossuiumainversa,entoestainversa nica. De fato, vamos supor queA invertvel, queBeCsejam suasinversaseaindaB C .DessaformaAB BA I = = e AC CA I = = .Tomandoaprimeiraequaoemultiplicandoam-bososladosdaequaoesquerdaporC ,temos ( )C AB CI = , ou seja, ( )CAB C = . Logo,B C = . ii)SeA invertvel, ento 1A tambm e ( )11A A= . iii)SeA eB soinvertveis,entoAB tambme ( )11 1AB B A = . Paraverificarmosestapropriedadedevemosmostrarque ( )1 1ABB A I = e ( )1 1B A AB I = .Mostraremossomentea primeira identidadej queasegunda anloga. Destaforma,Te-mos que ( )( )1 1 1 1 1 1ABB A ABB A AIA AA I = = = = . iv)SeA invertvel, ento TAtambm e ( ) ( )11TTA A= . lgebra Linear 1 27Comefeito, ( ) ( )1 1TT TT TA A A A I I (= = = ( eanalogamente mostra-se que ( )1TTA A I=1.15Questes de vestibular 1)(FUVEST 94) a) Dada a matrizA , calcule a sua inversa 1A. b) A relao especial que voc deve ter observado entreAe 1A, seria tambm encontrada se calculssemos as matrizes inversas de B ,CeD .Generalize e demonstre o resultado observado. 2 31 2A (= ( , 3 42 3B (= ( , 5 64 5C (= ( e 1 20 1D (= ( . 2)(ITA 95) Dizemos que duas matrizesn n AeBso seme-lhantesseexisteumamatrizn n inversvelP talque 1B P AP= . SeAeBso matrizes semelhantes quaisquer, ento: a)B sempre inversvel. b) seA simtrica, entoBtambm simtrica. c) 2B semelhante aA . d) seC semelhante aA , entoBC semelhante a 2A . e) ( ) ( )det det I B I A = , onde um real qualquer. 28 lgebra Linear 1 3)(ITA 95) SejamAeBmatrizes reais3 3 . Se ( )tr Adenota asomadoselementosdadiagonalprincipaldeA ,considereas afirmaes: (I) ( ) ( )tr tr A B =(II) SeA inversvel, ento ( )tr 0 A . (III) ( ) ( ) ( )tr tr tr A B A B + = + , para todo R . Temos que: a) todas as afirmaes so verdadeiras. b) todas as afirmaes so falsas. c) apenas a afirmao (I) verdadeira. d) apenas a afirmao (II) falsa. e) apenas a afirmao (III) falsa. 4)(UNESP 94) Determine os valores dex ,yezna igualda-de a seguir, envolvendo matrizes reais2 2 : 0 0 0 0 4 00 0 0 0x x y zx x z y z ((((= + (((( 5)(UNESP93)Seja ijA a (= amatriz2 2 realdefinidapor 1ija =sei j e1ija = sei j > . Calcule 2A . lgebra Linear 1 296)(UNESP93)Seja ijA a (= amatrizreal2 2 definidapor 1ija =sei j e1ija = sei j > . Calcule 1A. 7)(UFPR95)Considereamatriz ijA a (= ,deordem4 4 , cujos elementos so mostrados a seguir. 1,0,iji jai j= = correto afirmar que: 01) Na matrizA , o elemento 23a igual ao elemento 23a . 02)OselementosdadiagonalprincipaldamatrizA sotodos nulos. 08)SeamatrizB [ ]1 1 1 1 ,entooprodutoB .A a matrizB . 16) SendoIa matriz identidade de ordem 4, a matrizA I +pos-sui todos os elementos iguais a 1. 8)(FEI94)Seasmatrizes ( )ijA a = e ( )ijB b = estoassim definidas: 1,0,ijija i ja i j= == e 1, 40, 4ijijb i jb i j= + == + onde3 i ,3 j , ento a matrizA B +: 30 lgebra Linear 1 a) 1 0 00 1 00 0 1 ( ( ( ( b) 0 0 10 1 01 0 0 ( ( ( ( c) 1 0 10 1 01 0 1 ( ( ( ( d) 1 0 10 2 01 0 1 ( ( ( ( e) 1 1 00 1 10 1 0 ( ( ( ( 9)(FEI95)DadasasmatrizesA eB ,amatrizdex de2 ordemquesoluodaequaomatricial0 Ax B + = ,onde0representa a matriz nula de ordem 2 : 1 23 4A (= ( e 4 32 1B (= ( a) 6 55 4 ( ( b) 1 34 5 ( ( c) 2 37 9 ( ( d) 1 34 2 ( ( e) 1 24 7 ( ( 10)(ITA 96) Sejaa R ,0 a >e1 a e considere a matrizA : ( )2331011 110log loglog loglog logaaaa aa aaA| | |\ ( ( ( ( ( = ( ( ( ( Para que a caracterstica deAseja mxima, o valor deadeve ser tal que: a)0 a e1 3 a b)10 a e1 3 a c)5 a e10 a d)2 a e3 a e)2 a e10 a lgebra Linear 1 31 11)(ITA 96) SejaaRe considere as matrizes reais2 2 , 3 11 3aaA (=(( e 1 337 87 2a aB (=( ( O produtoABser inversvel se e somente se: a) 25 6 0 a a + b) 25 0 a a c) 23 0 a a d) 22 1 0 a a + e) 22 0 a a 12)(PUCCAMP 95) Os nmeros reaisx ,yezque satisfazem aequaomatricialmostradasaseguir,sotaisquesuasoma igual a 1 2 1 1 3 00 1 2 5x yz x y z + (((= (((+ + a) -3b) -2c) -1d) 2e) 3 13)(UEL 94) SejamAeBmatrizes quadradas de ordem 2. Se I e0 so,respectivamente,asmatrizesidentidadeenula,de ordem 2, verdade que a)A B B A + +b) ( ) ( )ABC ABC =c)0 0 ou0 AB A B = = = d)AB BA =e)AI I = 32 lgebra Linear 1 14)(UEL96)ConsidereasmatrizesM e 2M representadasa seguir. Conclui-se que o nmero real a pode ser0 aMb a (= ( e 28 00 8M (= ( . a)2 3 b)2 2 c) 2d)2 e)3 15)(UNESP 96) Considere as matrizes reais2 2 do tipo ( )cos sensen cosx xAxx x (= ( a) Calcule o produto ( ) ( )Ax Ax . b)Determinetodososvaloresde [ ]0, 2 x paraosquais ( ) ( ) ( )Ax Ax Ax = . 16)(UECE96)Sejamasmatrizes 1M e 2M representadasna figura a seguir e considere a operao entre estas matrizes. 11 01 0M (= ( , 21 1pqM (= ( e 2 1 1 22 23 2M M M M ( = ( . Nessas condiesp q + igual a: a) 5b) 6c) 7d) 8 lgebra Linear 1 3317)(MACKENZIE 96) Considere as matrizesAeBa seguir. 2 01 03 1A ( (= ( ( e 1 10 1 0aB (= ( . Sea R , ento a matrizAB : a) inversvel somente se0 a = . b) inversvel somente se1 a = . c) inversvel somente se2 a = . d) inversvel qualquer que sejaa . e) nunca inversvel, qualquer que sejaa . 18)(FGV 95) Observe que se 0 12 3A (= ( e 4 56 7B (= ( , entoAB a matriz a) 0 512 21 ( ( b) 6 726 31 ( ( c) 6 267 31 ( ( d) 0 125 21 ( ( e) 0 012 14 ( ( 19)(UEL 95) Sejam as matrizesAeB , respectivamente,3 4 e p q . Se a matrizAB3 5 , ento verdade que a)5 p =e5 q = b)4 p =e5 q = c)3 p =e5 q =d)3 p =e4 q = e)3 p =e3 q = 34 lgebra Linear 1 20)(MACKENZIE 96) Sejam as matrizes a seguir ( )( )4 33 4,,jij ijiij ijA a a iB b b j= == = SeC AB = , ento 22cvale: a) 3b) 14c) 39d) 84e) 258 21)(FEI 96) Considere as matrizesAeB . 20 2a aAa (= ( e 2 20b bBb (= ( Se a inversa da matrizA a matrizBento: a)0 a =ou0 b = b)1 ab = c)1/ 2 ab =d)0 a =e0 b = e)1/ 2 a b + = 22)(UFF97)Todamatrizdeordem2 2 ,queigualasua transposta, possui: a) pelo menos dois elementos iguais. b) os elementos da diagonal principal iguais a zero. c) determinante nulo. d) linhas proporcionais. e) todos os elementos iguais a zero. lgebra Linear 1 3523)(UECE 97) Sejam as matrizes 33qMn (=( ( e 6 66 6P (= ( . Se TMM P = ,sendo TMamatriztranspostadeM ,ento 2n nq + igual a: a) 6b) 9c) 12d) 18 24)(UNIRIO97)ConsidereasmatrizesA ,B eC nafigura adiante: 3 52 10 1A ( (= ( ( , 43B (= ( e [ ]2 1 3 C = . A adio da transposta deAcom o produto deBporC: a)impossvelde seefetuar, poisno existeoprodutode B por C . b)impossveldeseefetuar,poisasmatrizessotodasdetipos diferentes. c)impossveldeseefetuar,poisnoexisteasomadatransposta deAcom o produto deBporC . d) possvel de se efetuar e o seu resultado do tipo2 3 . e) possvel de se efetuar e o seu resultado do tipo3 2 . 25)(ITA 98) Sejam as matrizes reais de ordem 2, 21 1aaA+ (= ( e 1 12Ba a (= (+ 36 lgebra Linear 1 Ento,asomadoselementosdadiagonalprincipalde ( )1AB igual a: a)1 a + b) ( )4 1 a +c) ( )21/ 4 5 2a a + +d) ( )21/ 4 1 2a a + + e) ( )21/ 2 5 2a a + + 26)(UEL 97) Sobre as sentenas: I. O produto de matrizes 3 2 2 1A B uma matriz3 1 . II. O produto de matrizes 5 4 5 2A B uma matriz4 2 . III. O produto de matrizes 2 3 3 2A B uma matriz quadrada2 2 . verdade que a) somente I falsa. b) somente II falsa. c) somente III falsa. d) somente I e III so falsas. e) I, II e III so falsas. lgebra Linear 1 3727)(UNIRIO96)Oprodutodasmatrizesrepresentadasase-guir, tal que abAba (= ( e c dBd c (= ( a) acbdABbd ac (= ( b) adbdABbd ac (= ( c) ac bdBAbd ac+ (= (+ d) abcdabcdABabcdabcd (= ( e)AB BA = , a ,b ,ced . 28)(UNESP 99) Seja a matrizAmostrada na figura adiante. 3 102 21 302 20 0 1A ( ( ( (= ( ( ( ( ( a) Justifique, atravs do clculo do determinante, queA invers-vel. b) Mostre que 1A A= . 38 lgebra Linear 1 29)(UNESP 99) SeA ,BeCforem matrizes quadradas quais-quer de ordemn , assinale a nica alternativa verdadeira. a)AB BA = . b) SeAB AC = , entoB C = . c) Se 20nA =(matriz nula), ento0nA = . d) ( ) ( )ABC ABC = . e) ( )22 22 A B A AB B + = + + . 30)(UFRJ99)Antnio,BernardoeCludiosaramparatomar chope, de bar em bar, tanto no sbado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:4 1 40 2 03 1 5S ( (= ( ( e 5 5 30 3 02 1 3D ( (= ( ( Srefere-se s despesas de sbado eDs de domingo. Cada elemento ijanos d o nmero de chopes queipagou para j , sendo Antnio o nmero 1, Bernardo o nmero 2 e Cludio o nmero 3 (ijarepresenta o elemento da linhai , colunajde cada matriz). Assim, no sbado Antnio pagou 4 chopes que ele prprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cludio (primeira linha da matrizS ). a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cludio ficou devendo para Antnio? lgebra Linear 1 39 31)(UFRJ 99) Seja a matrizArepresentada a seguir: a) Determine 3A AAA = 1 10 1A (= ( b)Se nA denotaoprodutodeA porA n vezes,determineo valor do nmero naturalktal que 25 6 k kA A A I + = , ondeI a matriz identidade. 32)(UNIRIO 98) Dada a matriz representada na figura adiante 5 33 2A (= ( Determine o valor de 12A A I+ . 33)(PUCCAMP98)SejamA ,B eC matrizesquadradasde ordemne os nmeros reaise , no nulos. Das sentenas a seguir, a FALSA a) ( ) ( )ABC ABC = b) ( ) ( )A BC CA B + = +c)IA AI A = = d) ( ) ( )A B C A B C + + = + +e) ( )A A A + = + 40 lgebra Linear 1 34)(UEL98)UmamatrizquadradaA sedizANTI-SIMTRICA se TA A = . Nessas condies, se a matrizAmos-trada na figura adiante uma matriz anti-simtrica, entox y z + + igual a a) 3b) 1c) 0d) -1e) -3 2 0 31 3 0x y zA ( (= ( ( 35)(UNICAMP 99) Considere as matrizes mostradas na figura, cos sen 0sen cos 00 0 1M ( (= ( ( , xX yz ( (= ( ( e 103Y ( (= ( ( . a) Calcule a matriz inversa deM . b) Resolva o sistemaMX Y = . 36)(UFRS96)AmatrizC fornece,emreais,ocustodaspor-es de arroz, carne e salada usados num restaurante: A matrizPfornece o nmero de pores de arroz, carne e salada usados na composio dos pratos tipo 1P , 2P , 3Pdesse restauran-te: Amatrizqueforneceocustodeproduo,emreais,dospratos 1P , 2Pe 3P , est indicada na alternativa lgebra Linear 1 41 37)(ITA 99) Considere as matrizes 1 0 10 1 2A (= ( , 1 00 1I (= ( , xXy (= ( e 12B (= ( . Sexeyso solues do sistema ( )3TAA I X B = , entox y + igual a: a) 2b) 1c) 0d) -1e) -2 38)(ITA 99) Sejam x, y e z nmeros reais com y 0. Considere a matriz inversvel 1 10 01 1xA yz ( (= ( ( Ento : 42 lgebra Linear 1 a) A soma dos termos da primeira linha de 1A igual a1 x + . b) A soma dos termos da primeira linha de 1A igual a 0. c) A soma dos termos da primeira coluna de 1A igual a 1. d) O produto dos termos da segunda linha de 1A igual ay . e) O produto dos termos da terceira coluna de 1A igual a 1. 39)(UERJ 99) Joo comeu uma salada de frutas coma ,m eppores de 100 g de abacaxi, manga e pra, respectivamente, con-forme a matrizX . A matrizArepresenta as quantidades de calo-rias,vitaminaC eclcio, em mg,eamatrizBindica ospreos, emreais,dessasfrutasem3diferentessupermercados.Amatriz Cmostra que Joo ingeriu 295,6cal, 143,9 mg de vitamina C e 93 mg de clcio. lgebra Linear 1 43Considerando que as matrizes inversas deAeBso 1A e 1B, o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, determi-nado pelas seguintes operaes: a) 1BA Cb) 1CA Bc) 1 1A B C d) 1 1B A C 40)(UFF 99) Determine o(s) valor(es) dexpara que a matriz 30 11 00 1xM xx ( (= ( ( ,x R . no admita inversa. 41)(UFV99)Considerandoamatriz 3 3Acujotermogeral dado por( )1x yxya+= , CORRETO afirmar que: a) TA A = b)A inversvel.c) 11 22 330 a a a + + =d) ( ) ( )cosxya x y = + e) 11 21 310 a a a + + = 42)(UFV 99) Dada a matriz mostrada na figura adiante 1 2 30 1 21 1 1A ( (= ( ( determine: a) 2A b) TAAc)2 3TA A + 44 lgebra Linear 1 43)(UEL99)Asomadetodososelementosdainversadama-trizMmostrada na figura igual aa) -2b) -1c) 0d) 1e) 2 1 10 2M (= ( 44)(UFES 99) Considere a matriz mostrada na figura a seguir 1 33 1A (=( ( . Determine 1998A . 45)(MACKENZIE MACKENZIE MACKENZIE MACKENZIE99)DadaamatrizM ,mostradanafigura adiante 3232kMk ( ( (= ( ( se 1M M= , entokpode ser: a)3/ 4 b)3/ 4 c) 1/ 4 d)3/ 2 e) 1/ 2 lgebra Linear 1 4546)(ITA ITA ITA ITA 2000) Considere as matrizes mostradas na figura adi-ante 1 1 30 1 02 3 1M ( (= ( ( , 1 0 23 2 01 1 1N ( (= ( ( , 010P ( (= ( ( e xX yz ( (= ( ( . SeX soluo de 1M NX P= , ento 2 2 2x y z + + igual a a) 35b) 17c) 38d) 14e) 29 47)(UFRJ)H5senadoresdesignadosparaaComissoParla-mentar de Inquritos. Estes devem escolher entre si um presiden-teparaaComisso,sendoquecadasenadorpodevotaremat trsnomes.Realizadaavotaoondecadaumdelesrecebeuum nmerodeumacinco,osvotosforamtabuladosnamatriz ( )ijA a = , abaixo indicada. Na matrizA , cada elemento ija igual a 1 (um), seivotou emj , e igual a 0 (zero) caso contrrio. A = 1 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 1 10 0 0 0 11 0 0 0 1| | | | | | | |\ Responda, justificando: 46 lgebra Linear 1 a)Qual o candidato mais votado? b)Quantos candidatos votaram em si mesmo? 48)(UFRJ)Emumacidade,htrsrevistasdenoticiriosema-nal: 1, 2 e 3. Na matriz ( )ijA a =abaixo, o elemento ijarepresen-taaprobabilidade de um assinante trocar deassinatura da revista ipara a revistaj , na poca da renovao. A = 0, 6 0,1 0, 30,1 0, 7 0, 20, 4 0, 2 0, 4| | | | |\ a) Qual a probabilidade de os assinantes da revista 2 trocarem de revista quando forem renovar a assinatura. b) Quais os leitores menos satisfeitos com a revista que esto assinando? 49)(UFRJ) Considere as matrizes 19941994 1994199419941994 19941995A| |= |\ e1 11 1B| |= |\ . Seja 2A AA = e 2B BB = . Determine a matriz ( )( )2 2C A B A B A B = + . lgebra Linear 1 4750)(UFRJ)Umaconfecovaifabricar3tiposderoupautili-zandomateriaisdiferentes.Considereamatriz ( )ijA a = abaixo, onde ija representaquantasunidadesdomaterialjseroempre-gadas para fabricar uma roupa do tipo i. 5 0 20 1 34 2 1A| | |= | |\ a) Quantas unidades do material 3 sero empregadas na confeco e uma roupa do tipo 2? b) Calcule o total de unidades do material 1 que ser empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. 51)(UNIFICADO-RJ)Cludioanotousuasmdiasbimestrais dematemtica,portugus,cincias estudossociaisemuma tabela comquatrolinhasequatro colunas,formandoumamatrizcomo mostra a figura. 1 2 3 4 5, 0 4, 5 6, 2 5, 98, 4 6, 5 7,1 6, 69, 0 7, 8 6,8 8, 67, 7 5, 9 5, 6 6, 2| | | | | |\ Sabe-sequeasnotasdetodososbimestrestmomesmopeso, isto , para calcular a mdia anual do aluno em cada matria basta fazer a mdia aritmtica de suas mdias bimestrais. 48 lgebra Linear 1 Paragerarumanovamatrizcujoselementosrepresentamasm-dias anuais de Cludio na mesma ordem acima apresentada bastar multiplicar essa matriz por: a) 1/ 2 b) (1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 ) c) 1/ 21/ 21/ 21/ 2| | | | | |\ d) 1/ 4e) 1/ 41/ 41/ 41/ 4| | | | | |\ 52)(ACAFE-SC) Considere as matrizes 1 22 1A| |= | \ , xBy| |= |\ e 69C| |= |\ . Sabendo-se queAB C = , o valor dex y +: a) 15 b) 1 c) 57 d) 9 e) 39 53)(ACAFE-SC) Dadaamatriz 0 12 2A| |= |\ ,seja TAa sua ma-triz transposta. O produto TAA a matriz: a) 0 12 2| | |\ b) 0 21 2| | |\ c) 1 22 0| | |\ d) 1 02 1| | |\ e) 1 22 8| | |\ lgebra Linear 1 4954)(UFRS)Amatriz ( )2 2ijA a= definidapor2ija i j = . Determine TA A . a) 0 33 0| | |\ b) 0 33 0| | |\ c) 0 33 0| | |\ d) 0 22 0| | |\ e) 0 22 0| | |\ 55)(PUC-SP) Determine a os quais 13 6aA| |= |\ inversvel. a) a 0 b) a 6 c) a 3 d) a -2 e) a -6 56)(PUC-PR)Seamatriz 13 22Ax| |= |\ amatrizinversade 1 1312A| | |= | |\ , ento o valor dex: a) -1 b) 2c) 1 d) -2 e) 0 57)(ITA-SP)ConsidereP amatrizinversadamatriz 103117M| | | | = | |\ .Asomadoaelementosdadiagonalprincipalda ma-trizP: a) 49 b) 94 c) 4 d) 95e) 91 50 lgebra Linear 1 58)(UCSALVADOR)Asoluodaequaomatricial 1 2 1 10 1 2 21 0 1 3xyz| || | || | | | = | | | | | |\ \ \ a matriz: a) 321|||||\b) 320|||||\ c) 302|||||\ d) 230|||||\ e) 203|||||\ 59)(UNESP)Seja ( )ijA a = amatriz2x2realdefinidapor 1ija =sei j e1ija = sei j > . Calcule 1A. 60)(UEL)Asomadetodososelementosdainversadamatriz 1 10 2M| |= |\ igual a: a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2 61)(UEL)ConsidereasmatrizesM e 2M representadasase-guir. Conclui-se que o nmero real pode ser: 0 aMb a| |= |\ 28 00 8M| |= |\ a) 23b) 22c) 2 d) -2 e) -3

lgebra Linear 1 5162)(FGV-SP)Observeque,se 0 12 3A| |=|\ e 4 56 7B| |=|\ ,ento AB a matriz: a) 0 512 21| | |\ b) 6 726 31| | |\ c) 6 267 31| | |\ d) 0 125 21| | |\ e) 0 012 14| | |\ 63)(PUCCAMP-SP) Os nmeros reais x, y e z, que satisfazem a equao matricial mostradas a seguir, so tais que a soma igual a: 1 2 1 1 3 00 1 2 5x yz x y z + | || | | |= | ||+ + \ \ \ a) -3b) -2 c) -1d) 2e) 3 64)(FAAP-SP) Dada a matriz 2 11 1A| |= |\ , achar a matrizB , tal queAB I = , sendo 1 00 1I| |= |\ . a) 1 11 2| | |\ b) 1 11 2| | |\ c) 1 12 2| | |\ d) 1 01 0| | |\ e) n.d.a. 65)(FUVEST-SP) Considere as matrizes: 1) ( )ijA a = , 4 7, definida por ija i j = ; 2) ( )ijB b = , 7 9, definida por ijb i = ; 3) ( )ijC c = ,C AB = ; O elemento 63C: 52 lgebra Linear 1 a) -112b) -18 c) -9 d) 112e) no existe. 66)(UNB-DF)Amatrizopostadamatriz2 2,definidapor 2 ,2 ,ijija i j i ja i j i j= + = =, : a) 1 54 2| | |\ b) 1 45 2| | |\ c) 2 45 1| | |\ d) 1 54 2| | |\ e) 5 14 2| | |\ 67)(UFPA) A matriz ( )3 3ijA a= definida de tal modo que( 1) ,0,i jiji jai j+ = =. Ento,A igual a : a) 0 1 11 0 11 1 0| | | | |\ b) 1 0 00 1 00 0 1| | | | |\ c) 0 1 11 0 11 1 0| | | | |\ d) 1 0 00 1 00 0 1| | | | |\ e) 0 1 11 0 11 1 0 | | | | |\ lgebra Linear 1 5368)(UNIRIO) Um laboratrio farmacutico fabrica trs tipos de remdiosutilizandodiferentescompostos.Considereamatriz ( )ijA a = dadaaseguir,onde ija representaquantasunidadesdo compostojsero utilizadas para fabricar uma unidade do rem-dio do tipoi . 1 2 42 5 30 1 4A| | |= | |\ Quantas unidades do composto 2 sero necessrias para fabricar 3 remdios do tipo 1; 2 remdios do tipo 2 e 5 remdios do tipo 3? 69)(UNIRIO) Seja 00aBb| |= |\ ,, 0 a b uma matriz quesatisfaz aequao 10 935 0aB A| |+ = |\ ,onde 0 32 0A| |= |\ .Asomadosele-mentos da diagonal principal deB: a) 13 b) -1 c) 116 d) 136 e) 196 70)(UFF-RJ) Nos processos de digitalizao, imagens podem se r representadas por matrizes cujos elementos so algarismos 0 e 1. Considere que a matriz linha ( )1 0 1 0 0 1 L =representa a figura a seguir: 54 lgebra Linear 1 onde 1 representa o quadrinho escuro e 0 representa o quadrinho branco.SejaX amatrizlinhadadaporX LM = ,ondeM a matriz ( )ijM m =com 1, 7, 1 6, 1 60, 7iji jM i ji j+ == + Dessa forma, a matrizXrepresenta a figura da opo: a) b) c) d) e) 71)(UFRRJ)Determineamatrizinversadamatriz ( )2 2ijA a= , emqueoselementosdeA sodefinidospor sen( ) ,cos( ) ,iji j i jaj i i j+ == . 72)(PUC-SP) Considere a equao matricial: 1 30 1 1i i x iy i +| || | | |= | || +\ \ \ . lgebra Linear 1 55emqueiaunidadeimaginria.Osnmeroscomplexosx eysatisfazem essa equao so tais que a medida do argumento prin-cipal dex y +: a) 120 b) 135c)225d) 240e) 330 73)(UNIRIO)Matrizesbinriassomatrizescujoselementos pertencemaoconjunto { }0,1 etmaplicaoemCinciada Computao.Amatrizobtidapelasomadetodasasmatrizes binrias2 2 : a) 6 66 6| | |\ b) 6 44 8| | |\ c) 4 44 4| | |\ d) 8 88 8| | |\ e) 4 66 4| | |\ 2 Sistemas Lineares 2.1Introduo Os sistemas lineares esto presentes e so de relevante impor-tnciaemdiversas aplicaes dafsica, qumica, engenharia,com-putao e da prpria matemtica. Aolongodahistria,osproblemasqueimplicavamemsis-temasde equaeslinearesderamgrandevigor aoestudode ma-trizesedeterminantes,conceitosestes,quetiveram,suahistria entrelaada.OmatemticoitalianoGernimoCardano(1501-1576), em sua obra Ars Magna (A Grande Arte), de 1545, mostrou umaregraparaasoluodesistemasdeduasequaeslineares chamada regula de modo. Outros resultados importantes foram mos-tradospelomatemticoalemoGottfriedWilhelmVonLeibniz (1646-1716) e pelo matemtico suo Gabriel Cramer (1704-1752), tornando estes conceitos objetos de investigao matemtica. Neste captulo sero apresentados conceitos e mtodos para a resoluo de sistemas de equaes lineares. lgebra Linear 1 572.2Equaes lineares Umaequaoditalinearquandotemaforma 1 1 2 2...n na x ax ax b + + + = ,onde, 1 2, ,..., a a b soconstantesreaise o expoente das variveis 1 2, ,...,nx x x no mximo 1. So equaes lineares 1 2 32 5 3 20 x x x + = ,5 4 40 x y =e3 5 8 16 0 a b c + + = . Soequaesnolineares 23 5 0 x y + = ,2 3 2 5 xy x y + = , 12 0x =e3 2 1 a b + = . 2.3Soluo das equaes lineares Dizemos que a soluo de uma equao de n variveis uma seqnciaouuman -uplaordenadadenmerosreais,deforma quequandosubstitudasnolugardasrespectivasvariveisforne-cemuma sentenaverdadeira,ouseja, 1 2 3[ , , ,..., ]nS s s s s = solu-odaequaolinear 1 1 2 2 3 3...n na x ax ax ax b + + + + = se 1 1 2 2 3 3...n na s as a s as b + + + + = forumasentenaverdadeira.O conjuntoS chamadoconjuntosoluodaequaoouraizda equao. Como exemplo simples, temos que a equao2 6 0 x =tem comosoluooconjunto {}3 ,pois2 3 6 0 = .Jaequao 58 lgebra Linear 1 6 x y + =admite infinitas solues, onde algumas dessas solues so os pares ordenados ( )5;1 ; ( )2; 4 ; ( )10;16 e ( )25; 19 .5 2.4Sistemas de equaes lineares Um sistema de equaes lineares ou simplesmente sistema li-near um conjunto de equaes lineares cuja forma 11 1 12 2 13 3 1 121 1 22 2 23 3 2 21 1 2 2 3 3.........n nn nm m m mn n ma x a x a x a x ba x a x a x a x ba x a x a x a x b+ + + + = + + + + =+ + + + =. . . emque ija e kb soconstantesreais,para, 1, , ik m =e 1, , j n =,emoutraspalavrasumsistemalinearcommequa-es e n incgnitas. Todo sistema de equaes linearespodeserreescritoatravs deumanotaomatricial.Destaforma,a matriz doscoeficien-tes 11 12 121 22 21 2nnm m mna a aa a aAa a a ( ( (= ( (

. ..

, 5 Esta equao linear tambm conhecida como equao Diofantina, e nocursodeTeoriadosNmerospossveldeterminarasuasoluo geral. lgebra Linear 1 59eamatrizdostermosindependentesumamatrizcolunade ordem 1 m , 12mbbbb ( ( (= ( ( .. A matriz incgnita tambm uma matriz coluna de ordem 1 m , isto , 12mxxxx ( ( (= ( ( .. Desta forma, podemos reescrever o sistema de equaes line-ares anterior como um produto de matrizes formando uma equa-o matricial,Ax b = . Almdamatrizdoscoeficientes,umsistemadeequaesli-nearespossuiumamatrizaumentada,cujaordem ( )1 m n + , formadapelamatrizdoscoeficientes,A ,eamatrizdostermos independentes,b , disposta como segue. 11 12 1 121 22 2 21 2[ | ]nnm m mn ma a a ba a a bABa a a b ( ( (= ( ( . .. .. .. .. 60 lgebra Linear 1 Aseguirmostramostrsexemplosdesistemaslinearesnas formasdeequaeslineares,equaomatricialecomomatriz aumentada. Exemplo 1: Sistema de equaes lineares: 3 22 3x yx y = + =. Equao matricialAx b = : 1 3 22 1 3xy(((= ((( . Matriz aumentada: 1 3 22 1 3( ( Exemplo 2: Sistema de equaes lineares:2 32 3 43 2 1x y zx y zx y z+ + = = =. Equao matricialAx b = :1 2 1 32 3 1 43 1 2 1xyz ((( ((( = ((( ((( . Matriz aumentada:1 2 1 32 3 1 43 1 2 1 ( ( ( ( . Exemplo 3: lgebra Linear 1 61Sistema de equaes lineares:1 2 31 2 31 21 2 32 3 12 5 53 6 104 2 1x x xx x xx xx x x+ = + = = + = . Equao matricialAx b = :12341 2 3 12 5 1 53 6 0 104 1 2 1xxxx((( ((( (((= ((( ((( . Matriz aumentada:1 2 3 12 5 1 53 6 0 104 1 2 1( ( ( ( ( . 2.5Soluo do sistema linear Umsistemalinearquantosoluopodeserclassificadode acordo com o diagrama a seguir. Para ilustraras possibilidadesque podem ocorrernasoluo desistemaslineares,vamosconsiderarumsistemageraldeduas equaes lineares nas incgnitasxey , 1 1 11 1 2 22 2 2, com, , , 0.a x b y ca b a bax by c+ = + = 62 lgebra Linear 1 Osgrficosdestasequaes(umestudomaisaprofundado podeserfeitonocursodegeometriaanaltica)soretasquede-nominaremospor 1r e 2r .Asoluodosistemacorresponder aos pontos de interseo das retas 1re 2r . Temos dessa forma trs possibilidades.Naprimeirapossibilidadediscutimosaidiade quandoosistemasejapossveledeterminado,isto,tenhasolu-o nica. Neste caso, as 1re 2r , se interceptam num nico ponto e, assim, o sistemas possuiexatamente uma nica soluo, Figura 2.1. Sistema Linear Ax b =Possvel: Admite solu-o Indeterminado: Admite infinitas solues Determinado: Admite uma nica soluo Impossvel: No admite soluo P 1r 2r x y Figura 2.1: A interseo de 1re 2r { }P . lgebra Linear 1 63 Na Figura 2.2 observamos a possibilidade de obtermos infini-tassolues,isto,osistemaserpossveleindeterminado.As retas 1re 2rdeste caso so coincidentes existindo assim infinitos pontosdeinterseoentreelas.Aterceiraeltimapossibilidade refere-se ao caso do sistema no ter soluo, isto , ser impossvel. Geometricamente isso acontece quando as retas 1re 2r so parale-las, Figura 2.3. 1 2r r x y 1r 2r x y Figura 2.2: A interseo de 1re 2r a prpria reta. Figura 2.3: A interseo de 1re 2r vazia. 64 lgebra Linear 1 Agoraficafcildeanalisarosistemadeequaesedizerse ele possvel e determinado, ou se possvel e indeterminado, ou se impossvel. Veremos alguns exemplos comentados a seguir. Seja o sistema de equaes 2 13 2 4x yx y+ = + =. Para sabermos o comportamento da soluo, basta olhar para a matriz aumentada do sistema, isto , para os coeficientes e para ostermosindependentes.Nesteprimeiroexemplotemosque 2 3 1 2 1 4 .Istosignificaqueasretasseinterceptamnum nicoponto, ouseja,osistemadeequaeslinearestemsoluo nica. Seja agora o sistema de equaes 10 5 152 3x yx y+ = + =. Neste caso temos que10/ 2 5/1 15/ 3 5 = = = . Como os coefi-cientesdaprimeiraretasoproporcionaisaoscoeficientesda segundareta numamesmarazok , temosque asretassocoin-cidentes.Emoutraspalavras,osistemadeequaeslinearestem infinitas solues. Nesteltimocasoapresentamosretasparalelas.Sejaosiste-ma de equaes lgebra Linear 1 653 2 13 2 4x yx y+ = + =. Observamosque3/ 3 2/ 2 1 1/ 4 = = ,oquenosgaranteque asretassoparalelas,eosistemadeequaeslinearesnotem soluo. Para o caso de trs equaes nas incgnitas x, y e z, podemos ilustrar da seguinte maneira: Figura 2.4: uma nica soluo Figura 2.5: nenhuma soluo 66 lgebra Linear 1 Figura 2.6: infinitas solues 2.6Sistemas Lineares Homogneos Um sistema linear dito homogneo quando todos os termos independentes de todas as equaes que compe este sistema so iguais a zero. So sistemas lineares homogneos 2 8 06 0x yx y+ = =,2 03 4 2 06 2 8 0x y zx y zx y z+ + = + = + =, e 1 2 31 2 35 3 9 02 7 0x x xx x x+ + = + =. Pode-se observar que o sistema linear homogneo que tem o mesmo nmero de incgnitas e equaes admite sempre a soluo nula, ( ) elementos0, 0, 0, , 0n, que chamada soluo trivial. Assim, o sistema homogneo sempre compatvel. Quando determinadoadmiteapenasasoluotrivialequandoindeter-minado admite outras infinitas solues. lgebra Linear 1 672.7Matriz escalonada Uma forma de resolver um sistema linear substituir o siste-mainicialporoutroquetenhaomesmoconjuntosoluodo primeiro,masquesejamaisfcilderesolver.Ooutrosistema obtidodepoisdeaplicarsucessivamenteumasriedeoperaes, que no alteram a soluo do sistema, sobre as equaes. As operaes elementares com matrizes (operaes elementa-resdelinhasparaobterumamatrizequivalente)sooperaes que mantm tanto a ordem da matriz quanto a sua caracterstica. So operaes elementares de linhas: trocar a posio de duas equaesdosistema,queindicaremospor i jl l ;multiplicar umaequaoporumescalarno-nulo,queindicaremospor i il kl ; somar a uma equaooutra equaomultiplicadapor um escalar, que indicaremos por i i jl l kl + . Umamatriz ijmnA a ( = estnaformaescalonadareduzi-da(veremoscomodetermin-lanaprximaseo)quandosatis-fazasseguintescondies:todasaslinhasnulas(formadasintei-ramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas no nulas; o primei-ro elemento no nulo de cada linha no nula igual a 1 (chamado de piv); o piv da linha1 i +ocorre direita do piv da linha i, 68 lgebra Linear 1 para1, , 1 i m = ;seumacolunacontmumpiv,entotodos os seus outros elementos so iguais a zero. Seumamatrizsatisfazastrsprimeirascondies,masno necessariamente satisfaz a ltima condio, dizemos que ela uma matrizescalonada,oquepodemosverificarnosexemplosa seguir. Vamosescalonar a matriz 1 2 11 3 22 4 5A| | |= | |\ .Para realizarmos o escalonamento desta matriz vamos utilizar as operaes elemen-tares de linhas. Como na primeira linha o primeiro elemento igual a1, no h nada o que fazer nela (segunda condio). Logo, vamos traba-lhar para obter linhas equivalentes para as linhas2e3, elegendo o primeiro elemento da primeira linha como piv, e fazendo com queosprimeiroselementosdessaslinhasequivalentessejamnu-los.Emoutraspalavras,vamossubstituirasegundalinha,reali-zando uma operao elementar de linhas, por ela prpria menos a linha1,evamossubstituira terceiralinhaporelamesmamenos duas vezes a linha 1. 1 2 11 3 22 4 5| | | | |\ 2 2 13 3 12l l ll l l 1 2 10 1 10 0 3| | | | |\ piv lgebra Linear 1 69A matriz equivalente obtida ainda no est na forma escalona, poisoprimeiroelementodaltimalinhanoiguala1.Ento faremosmaisumaoperaoelementardelinhas,ouseja,dividi-remos a terceira linha por trs. 1 2 10 1 10 0 3| | | | |\ 3 313l l 1 2 10 1 10 0 1| | | | |\ Portanto 1 2 1 0 1 10 0 1A| | |= | |\ a matriz escalonada, e conseqen-temente equivalente, da matrizAdada. Vamos agora escrever a matriz 2 4 11 3 14 6 2A| | |= | |\ na forma es-calonada.Podemosobservarqueaprimeiralinhanotempiv. Ento vamos procurar na primeira coluna um piv para a primeira linha6.Iremosrealizarumaoperaoelementardelinhas,atroca de linhas, para trazer o piv para a primeira linha. Como o piv igualaum,escolhemosparapivoelementodeposio2 1. Comoobjetivodesimplificaralgumascontas,ecomotodosos elementos da terceira linha so divisveis por dois, iremos troc-la por uma linha equivalente. 6 Vale pena ressaltar que podemos trocar, sem preocupao, linhas e colunas at encontrar o piv, sem perdas de equivalncia. 70 lgebra Linear 1 2 4 11 3 14 6 2| | | | |\ 1 23 312l ll l

1 3 12 4 12 3 1| | | | |\ Observe que a nova matriz (equivalente) agora possui um pi-v na primeira linha. Desta forma, iremos trocar as linhas2e3porlinhasequivalentesondeoselementosdaprimeiracoluna sejam nulos. 1 3 12 4 12 3 1| | | | |\ 2 2 13 3 122l l ll l l

1 3 10 2 10 3 1| | | | | \

Podemosobservaragoraquealinhadoisnotemumpiv, pois o primeiro elemento no nulo diferente de1. Logo dividi-remos esta linha por2 . 1 3 10 2 10 3 1| | | | | \ 1 112l l 1 3 110 120 3 1| | | | | | \ Agoratemosquesubstituiralinha3 porumalinhaequiva-lente onde os elementos abaixo dos pivs sejam todos nulos. 1 3 110 120 3 1| | | | | | \ 3 3 23 l l l +1 3 110 1210 02| | | | | | | | |\ lgebra Linear 1 71Parafinalizaroprocessodeescalonamentodamatriz,basta obter o piv da ltima linha, isto , basta multiplicar a linha3 por 2 . 1 3 110 1210 02| | | | | | | | |\ 3 32 l l 1 3 110 120 0 1A| | | | = | |\ Temosento queA amatriz escalonadada matrizA da-da. 2.8Soluo do sistema por retro-substituio Uma das formas de resolver um sistema de equaes lineares atravs da retro-substituio. um processo simples que envol-veamatrizaumentadadosistema,eoescalonamentodestama-triz. Vamos trabalhar no sistema a seguir como exemplo. 64 2 53 2 13x y zx y zx y z+ + = + =+ + = Fazendo uma breve anlise, como as equaes no so mlti-plasentresi,duasaduas,sabemosqueosistematemsoluo nica. Escrevendo o sistema na forma de matriz aumentada temos 72 lgebra Linear 1 1 1 1 64 2 1 51 3 2 13| | | | |\ Comonaprimeiralinhatempiv,nohnadaoquefazer com ela. Logo, vamos substituir as linhas2e3por linhas equiva-lentes onde os elementos da primeira coluna so nulos. 1 1 1 64 2 1 51 3 2 13| | | | |\ 2 2 13 3 14 l l ll l l + 1 1 1 60 2 5 190 2 1 7| | | | |\ 1 1 1 60 2 5 190 2 1 7| | | | |\ 3 2 3l l l 1 1 1 60 2 5 190 0 4 12| | | | |\ 1 1 1 60 2 5 190 0 4 12| | | | |\ 2 23 31214l ll l1 1 1 65 190 12 20 0 1 3| | | | | |\ Estamatrizescalonadaequivalenteaosistemadadoea matriz aumentada do sistema 65 192 23x y zy zz+ + = + ==. lgebra Linear 1 73Por retro-substituio obtemos ( )5 1932 2y + = , isto ,2 y = . Continuandoaretro-substituio,temosque ( ) ( )2 3 6 x + + = ,ou seja,1 x = . Assim, a soluo do sistema ( )1, 2, 3 S= . Para fixarmos o processo de retro-substituio, resolveremos o sistema a seguir. Seja 1 2 31 2 31 2 32 162 152 17x x xx x xx x x+ + = + + =+ + =. Como primeiro passo devemos extrair a matriz aumentada do sistema,1 2 1 162 1 1 151 1 2 17| | | | |\ . Agoradevemosescalonaressamatriz.Comonaprimeirali-nha temos piv, passemos ento para as outras linhas. Seguindo o script,trocamosaslinhas2 e3porlinhasequivalentesondeos elementos da primeira coluna so nulos. 1 2 1 162 1 1 151 1 2 17| | | | |\ 2 1 23 3 12 l l ll l l 1 2 1 160 3 1 170 1 1 1| | | | |\ Paraobtermosopivdalinha2 faremosumaoperaode troca de linhas. 74 lgebra Linear 1 1 2 1 160 3 1 170 1 1 1| | | | |\ 2 3l l 1 2 1 160 1 1 10 3 1 17| | | | |\ Trabalharemos agora para obter uma linha equivalente a linha 3 onde os elementos das colunas que contem piv sejam nulos. 1 2 1 160 1 1 10 3 1 17| | | | |\ 3 3 23 l l l 1 2 1 160 1 1 10 0 4 20| | | | |\ Para obter o piv da linha3 basta dividi-la por4 . 1 2 1 160 1 1 10 0 4 20| | | | |\ 3 314l l 1 2 1 160 1 1 10 0 1 5| | | | |\ Estamatrizescalonadaamatrizaumentadadosistemae-quivalente ao sistema dado 1 2 32 332 161 5x x xx xx+ + = = =. Realizandooprocessoderetro-substituio,obtemos ( )25 1 x = , isto , 24 x = ; e ( ) ( )12 4 5 16 x + + = , ou seja, 13 x = . Portanto, a soluo do sistema ( )3, 4, 5 S= . lgebra Linear 1 752.9Soluo do sistema pelo mtodo de Gauss Jordan Estemtodoutilizadoparaobterasoluodeumsistema denequaeslinearesemesmonmerodevariveisdeforma prtica. Da mesma forma que aplicamos as operaes elementares de linhas para obter a matriz escalonada procedemos para obter a matrizunidadeapartirdamatrizdoscoeficientes,acrescentando operaesnaslinhasacimadopivescolhido,paraqueosele-mentosdamesmacolunadestepivsejamtodosiguaisazero. Devemosescreverosistemanaformadematrizaumentadae destaformaquandoamatrizdoscoeficientessetornaramatriz identidade a matriz dos termos independentes ficar transformada nasoluo do sistema.Observeaaplicao deste mtodoatravs da resoluo do sistema abaixo: 1 2 31 2 32 31 2 32 5 13 4 7152 3 8x x xx x xx xx x x+ + =+ + = = + + = Observamosinicialmentequeasequaesnosomltiplas entresi,duasaduas,logoosistematemsoluonica.Escreve-mos o sistema linear na forma de matriz aumentada: 2 1 5 11 3 4 70 5 1 151 2 3 8| | | | | | \ 76 lgebra Linear 1 Vamos aproveitar que se tem 1 na primeira coluna para esco-lh-locomopiv,paratantopermutaremosaslinhas1e2,ese-guimos com as operaes elementares de linhas. 2 1 5 11 3 4 70 5 1 151 2 3 8| | | | | | \ 1 2l l 1 3 4 72 1 5 10 5 1 151 2 3 8 | | | | | | \ 2 2 14 4 12 l l ll l l + 1 3 4 70 5 3 150 5 1 150 5 7 15 | | | | | |\ 2 215l l 1 3 4 730 1 350 5 1 150 5 7 15 | | | | | | | |\ 1 1 23 3 24 4 2355l l ll l ll l l Observequenestepontovoltamosaoperarcomaprimeira linha para que o elemento acima do piv seja zero. 111 0 2530 1 350 0 4 00 0 4 0| | | | | | | | |\ 3 314l l 111 0 2530 1 350 0 1 00 0 4 0| | | | | | | | |\ 1 1 32 2 34 4 3115354l l ll l ll l l 1 0 0 20 1 0 30 0 1 00 0 0 0| | | | | |\

Vemos que a matriz dos coeficientes foi transformada na ma-triz identidade e desta forma a matriz dos termos independentes asoluodosistema ( ) 2, 3, 0 S= .Defato,temosqueosistema inicial de equaes lineares se transformou no sistema equivalente lgebra Linear 1 771 2 31 2 31 2 31 2 30 0 20 0 30 0 00 0 0 0x x xx x xx x xx x x+ + = + + = + + =+ + =,isto ,123230xxx== = Que a soluo do sistema. Caroleitor,acompanheagoraaresoluoparaobtenoda equao geral do sistema homogneo 2 3 41 2 3 41 2 3 41 3 45 8 03 2 02 05 3 0x x xx x x xx x x xx x x + = + + = + = + + =. Tomando a matriz dos coeficientes e aplicandoas operaes elementares sobre linhas temos 3 311 05 51 80 15 50 0 0 00 0 0 0| | | | | | | | |\ . Dessa forma temos o sistema equivalente 78 lgebra Linear 1 1 3 42 3 43 3105 51 805 5x x xx x x =+ = e isolando 1 2ex x temosasoluogeral dosistema 1 3 43 315 5x x x = + e 2 3 41 85 5x x x = + , 3 4, x x R so chamadas variveis livres. Uma ressalva importante que podemos fazer neste ponto re-fere-seaonmerodesoluesdosistemalinearapartirdasim-ples observao da matriz escalonada. Se o nmero de incgnitas forigualaonmerodeequaesno-degeneradassuasoluo nica, se o nmero de incgnitas for superior ao nmero de equa-esno-degeneradastm-seinfinitassoluesepode-seexpres-sar a soluo geral em funo das variveis livres. E, por fim, se os coeficientes de uma equao forem zeros e o termo independente nonulo,osistema inconsistenteou incompatvel, ouseja,no temsoluo.Vamosaplicaresteconhecimentonoexemploa seguir. Determine o valor de para que o sistema 1 21 2 31 2 3204x xx x xx x x = + + = + = se-ja compatvel. Escrevendonaformadematrizaumentadaeaplicandoas operaes elementares sobre as linhas temos: lgebra Linear 1 791 1 0 21 1 01 1 1 4 | | | | | \ 2 2 13 3 1l l ll l l + 1 1 0 20 1 1 20 0 1 6 | | |+ | |\ 2 2 3l l l + 1 1 0 20 1 0 40 0 1 6 | | |+ | |\ Nesteponto,observamosquenasegundaequaose 1 0 + =esta equao se torna degenerada e o sistema incompa-tvel.Portanto,paraqueomesmosejacompatveldevemoster 1 0 + , logo1 . 2.10Soluo do sistema pelo mtodo da Matriz Inversa UmsistemadeequaeslinearesAx b = podeserresolvido multiplicando-seamatrizinversadeA ,isto, 1A,casoexista, pela matriz dos coeficientesb . Com efeito, admitindo que exista 1A, ento podemos multi-plicarAx b = emambososmembrospor 1A,ouseja, 1 1A Ax A b = . Mas 1A A I=eIx x = . Portanto 1x A b= . Comoexemplo,temososistema 2 43 4 8x yx y+ = + = queequiva-lente a 1 2 43 4 8xy (((= ((( . A matriz inversa da matriz dos coeficien-tes 2 13 2 1 2( ( .Defato,pois 1 2 2 1 1 03 4 3 2 1 2 0 1(((= ((( .Dessa 80 lgebra Linear 1 formaasoluodosistemapodeserobtidamultiplicando-sea matrizinversapelamatrizdostermosindependentes 2 1 4 163 2 1 2 8 10 (((= ((( . Portanto a soluo do sistema 1610S (= ( . 2.11Clculo da Matriz Inversa EstemtodoconsisteemdeterminarainversadamatrizAaplicando o mtodo de Gauss-Jordan na matrizA I( , at que se obtenhaamatrizescalonadareduzidadamatrizA ,B S( .Se B I = entoS amatrizinversadamatrizA ,isto, 1A S= ; caso contrrio, a matrizAno admite inversa ( A singular). Dessaformavamostomarcomoexemploamatriz 2 1 11 1 12 3 2A| | |= | |\ cujainversasedesejaobter.Inicialmentevamos escrever na formaA I(

2 1 1 1 0 01 1 1 0 1 02 3 2 0 0 1| | | | |\ . ProcedemosagoraaplicandoGauss-JordanatqueA estejana formaescalonadareduzida.Faremos,acargodemaisumexem-plo, o escalonamento passo a passo. O primeiro passo obter um lgebra Linear 1 81piv para a linha 1. Poderamos simplesmente dividir a linha 1 por 2,masapareceriafraes(asvezesinevitvel).Aoinvsdisso, substitumos a linha 1 por uma combinao entre ela e a linha 2. 2 1 1 1 0 01 1 1 0 1 02 3 2 0 0 1| | | | |\ 1 1 2l l l Agora temos que transformar as linhas 2 e 3 em linhasequi-valentes onde os elementos abaixo do piv so nulos.1 0 0 1 1 01 1 1 0 1 02 3 2 0 0 1 | | | | |\ 2 2 13 3 12l l ll l l Na linha 2 j apareceu um piv com as operaes que foram feitas. 1 0 0 1 1 00 1 1 1 2 00 3 2 2 2 1 | | | | |\ 3 3 23 l l l Agora iremos trocar a linha 3 por uma linha equivalente onde os elementos abaixo do piv so nulos. Como na linha 3 apareceu um elemento diferente de 1, iremos troc-la por uma linha equiva-lente onde esse elemento seja 1. 1 0 0 1 1 00 1 1 1 2 00 0 1 1 4 1 | | | | | \ 3 3l l 82 lgebra Linear 1 Por fim, falta apenas trocar as linhas 1 e 2 por linhas equiva-lentes onde os elementos acima do piv sejam nulos. 1 0 0 1 1 00 1 1 1 2 00 0 1 1 4 1 | | | | | \ 2 2 3l l l Temos ento a matriz inversa da matrizA . 1 0 0 1 1 00 1 0 0 2 10 0 1 1 4 1 | | | | | \ ComoamatrizA linha-equivalentematrizidentidade, temos que a matriz 1 1 00 2 11 4 1 | | | | | \ a inversa da matrizA . Outro exemplo pode observado agora, considerando a matriz 1 6 42 4 11 2 5A| | |= | |\ naqualbuscaremossuainversa.Asoperaes sero indicadas ao lado de cada passo. 1 6 4 1 0 02 4 1 0 1 01 2 5 0 0 1| | | | |\ 2 2 13 3 12 l l ll l l + 1 6 4 1 0 00 8 9 2 1 00 8 9 1 0 1| | | | |\ 3 3 2l l l +lgebra Linear 1 831 6 4 1 0 00 8 9 2 1 00 0 0 1 1 1| | | | |\ Como ns obtivemos uma linha de zeros no lado esquerdo, a matrizAno invertvel, isto ,A singular. 2.12Exerccios 1)Determine se os vetores ( 8, 6,1,1) u = e ( 10, 5,1, 2) v = so solues do sistema de equaes lineares 4 3 52 3 2 12 5 4 3x y z wx y z wx y z w+ + + = + + =+ + =. 2)Resolva os sistemas abaixo: a) 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4 3 2 5428993512177x x x xx x x xx x x x+ + = + + =+ + = b) 1 2 31 2 31 2 3 2 325 432 5x x xx x xx x x+ + = + = =c) 2223 9332 3x y zx y zx y z+ = + =+ = d) 100 50 30x yx zy z+ = = =e) 22 5 22 3 2x y zx y zx y z+ + = + + =+ + = f) 1 2 31 2 31 2 32 82 3 13 7 4 10x x xx x xx x x+ + = + = + =g) 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 42 12 2 2 22 4 13 3 3x x x xx x x xx x x xx x + = + = + + = = 84 lgebra Linear 1 h) 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 4 13 7 2 212 11 16 5x x x xx x x xx x x x + = + + + = =i) 82 3 13 7 4 10x y zx y zx y z+ + = + = + = j) 4 2 28 4 5 612 7 10 6x y zx y zx y z+ + = + + =+ + =k) 2 23 71x y zy zx z+ = + = = 3)Determineovalordeemcadasistemaabaixodeacordo com cada exigncia: a) 6 124 4 8x yx y + = + = seja indeterminado. b) 3 2 14 0x yx y + = = admita uma soluo nica. c) 22 4 5y zx y z ax y z + = + + = + = seja compatvel e determinado. d) 2245x yx y zx y z+ = + =+ + = seja impossvel. e)(FUVEST-SP/adaptado) 13232x y zx y zy z + + = + =+ = compatvele determinado. 4)(UFES) Examinando os anncios a seguir, conclua o preo de cada faca, garfo e colher.lgebra Linear 1 85 5)Umalojavendecertoequipamentodeinformtica,que fabricado por trs marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobreasvendasdesseequipamento,realizadodurantetrsdias consecutivos, revelou que: no1dia,foramvendidosdoisequipamentosdamarcaA,um da marca B e um da marca C, resultando um total de vendas igual a R$ 150,00; no2dia,foramvendidosquatroequipamentosdamarcaA, trs da marca B e nenhum da marca C, num total de R$ 240,00; no ltimo dia, no houve vendas da marca A, mas foram vendi-dos cinco da marca B e trs da marca C, totalizando R$ 350,00. Qual o preo do equipamento fabricado por A? E por B? E por C? 86 lgebra Linear 1 6)Na feira uma dona de casa verificou que as barracas A, B e C tinham preos diferentes por quilo de produto, conforme a tabela a seguir: TomateBatataCebola R$40,00R$50,00R$30,00 R$50,00R$40,00R$40,00 R$50,00R$40,00R$30,00 Comprando-se x quilos de tomate, y quilos de batatas e z qui-losdecebolastantonabarracaAquantonaB,adonadecasa gastariaamesmaquantia:R$260,00.Comprando-seasmesmas quantidadesnabarracaC,elaeconomizariaR$10,00.Determine x+y+z. 2.13Questes de vestibular 1.(FMU SP) O valor de a para que o sistema = = +54 318 2ay xy x seja possvel e indeterminado : a) -6b) 6c) 2d) -2e) 3/2 lgebra Linear 1 872. (FGV SP) O sistema 2 3 02 4 014 0x y zx y zx z+ =+ + = = : a)determinado. b)Impossvel c)Determinado e admite como soluo (1, 1, 1). d)Indeterminado. e)N.D.A. 3. (UFRN) A soluo do sistema 64 2 53 2 13x y zx y zx y z+ + =+ =+ + = : a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3) 4. (OSEC SP) O sistema linear 2 22 3 4 94 2 7x y zx y zx y z + =+ + =+ + =: a)admite soluo nica; b)admite infinitas solues; c)admite apenas duas solues; d)no admite soluo; e)N.D.A. 88 lgebra Linear 1 5.(EFOA MG) O sistema de equaes = += +05 5y bxy ax, ter uma nica soluo se: a)b a 5 =b)0 5 = + b ac)0 5 b ad)0 5 = abe)0 5 ab6.(FAAP SP) Para que o sistema linear = += 1 5 27y xby ax admita uma nica soluo, necessrio que: a) 52ba b) 52ba= c) 25ba d) 52ba e) 25ba= 7.(FCC BA) O sistema linear = += +12y x aa y x impossvel se e somente se: a)1 ae1 a b)1 = aou a = 1 c) 1 = a d)1 = ae)R a 8.(FEI SP) Se x = A, y = B e z = C so as solues do sistema 344 10x yx zy z =+ =+ =, ento ABC vale: a) -5b) 8c) -6d) -10 e) 5 lgebra Linear 1 899.(UFRS) O sistema sobre R 2 3 124 11 11x y zx y z bx y z + = = + = , ter soluo apenas se o valor de b for igual a: a) 6b) 4c) 1d) -11e) -12 10. (MACK SP) O sistema 24 2x y kx my+ =+ = indeterminado. Ento k + m vale: a) 1/2b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3 11. (UFSC) Para qual valor de m o sistema = = = 0 2 30 20 2y xz my xz y mxad-mite infinitas solues? a) m = 0 b)0 mc) m = 2 d) m = 10 e)m = 1 12. (FCC BA) O sistema = += 002ky xy x k nas incgnitas x e y: a) impossvel se1 kb)admite apenas a soluo trivial se k = 1 c) possvel e indeterminado se k = -1 d) impossvel para todo k real e)admite apenas a soluo trivial para todo k real. 90 lgebra Linear 1 13. (CESGRANRIO) O sistema = += + = +b y xz ay xz y ax10 tem uma infini-dade de solues. Ento, sobre os valores dos parmetros a e b, podemos concluir que: a) a = 1 e b arbitrrio.b) a = 1 e0 bc) a = 1 e b = 1d) a = 0 e b = 1 e) a = 0 e b = 0 14. (FUVEST SP) O sistema linear: = = + += +310 2z y xz y xz y xno admi-te soluo se for igual a: a)0b) 1c) -1d) 2 e) -215. (FUVESTSP)CarlosesuairmAndriaforamcomseu cachorroBidufarmciadeseuav.Lencontraramumavelha balanacom defeito ques indicava corretamentepesos superio-res a 60kg.Assimeles sepesaram dois a doiseobtiveramas se-guintes marcas: Carlos e o co pesam juntos 87 kg; Carlos e Andria pesam 123 kg; Andria e Bidu pesam 66 kg. lgebra Linear 1 91Podemos afirmar que: a) cada um deles pesa menos que 60 kg. b) dois deles pesam mais de 60 kg. c) Andria a mais pesada dos trs. d) o peso de Andria a mdia aritmtica dos pesos de Carlos e de Bidu e) Carlos mais pesado que Andria e Bidu juntos. 16.(UNESP)Umindivduofezumaviagemde630kmeteria gastado menos de 4 dias se tivesse caminhado mais 10 km por dia. Quantosdiasgastounaviagemequantosquilmetroscaminhou por dia? 17.(UNICAMP) O IBGE contratou um certo nmero de entre-vistadorespararealizaro recenseamento emuma cidade. Se cada umdelesrecenseasse100residncias,60delasnoseriamvisita-das. Como, no entanto, todas as residncias foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residncias tem a cidade? 18.(UFMG)Umbarrilcheio,contendoumamisturacom70% devinho puroe30%desuco,custaR$240,00.Olitrodevinho puro R$ 6,00 e o preo do litro do suco R$ 2,00. Qual a ca-pacidade do barril? 19.(UNICAMP)Emumrestaurante,todasaspessoasdeum 92 lgebra Linear 1 grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobreme-sa.Comopratoprincipal,ogrupogastouR$56,00ecomaso-bremesa, R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos que o prato principal. a)Encontre o nmero de pessoas neste grupo. b)Qual o preo do prato principal? 20.(FEI-SP)Se ( ), P a b = opontodeinterseodasretas 9 3 7 0 x y =e3 6 14 0 x y + = . Entoa b + igual a: a)1 a = b)1 b =c)1 a = d)2 b = e)2 a =21.(UEL)Seossistemasaseguirsoequivalentes,entoab igual a: 3 02 0ax yx by = = e 2 3 13 2 4x yx y+ =+ =. a) 27 b)4c) 29 d) -5e) 6 22)(UFPE) Se ( ), , abc a soluo do sistema 2 3 1113 2 5x y zx y zx y z+ + = + =+ + =, calcule ( )4a b c + + . 23)(FUVEST) 22y x bS z y baz x b+ == =+ =. Resolva o sistemaSpara: lgebra Linear 1 93c)0 a =e1 b =d)4 a =e0 b =24)(PUC-MG) O sistema 32 4 3x myx y m+ =+ = indeterminado. O valor de 2/ 2 m m: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3e) 4 25)(UEL) O sistema 3 22 0ax yx y+ = = possvel e indeterminado e)para qualquer valor de0 a =f)somente para0 a =g)somente para6 a =h)se0 a i)se6 a 26)(UEL)Considereoseguintesistemanasincgnitasx e y3 53 6 15kx yx y+ = + = . Essesistematemumaeumassoluoseonmerorealk for diferente de: a) 1/5b) 1/4 c) 2/5 d) 1/3 27)(UNITAU) O sistema 2 53 6 15x yx y = + = j) possvel e determinado. k) possvel e indeterminado. l) impossvel. m)Tem determinante principal diferente de zero. 94 lgebra Linear 1 n)No admite nenhuma raiz real. 28)(UNITAU) Calcule o valor dekpara que o sistema a seguir tenha soluo diferente da trivial. 3 02 (2 ) 2 0(1 ) 2 0x y zx k y zx y k y z+ + =+ + =+ + + = 29)(UFJF)Calculeosvaloresdea eb paraqueosistema 3 3 4( ) 2 8x y a ba bx y+ = ++ + = seja possvel e indeterminado. 30)(UFMG)Umaindstriaproduztrsprodutos,A ,B eC , utilizandodoistiposdeinsumo,X eY .Paraamanufaturade cada quilo deAso utilizados 1 grama do insumoXe 2 gramas doinsumoY ;paracadaquilodeB ,1gramadeinsumoX e1 gramade insumoY e,paracada quilodeC , 1grama deX e4 gramas deY . O preo de venda do quilo de cada um dos produ-tosA ,BeC de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. ComavendadaproduodeA ,B eC manufaturadacom1 quilo deXe 2 quilos deY , essa indstria arrecadou R$ 2.500,00. DeterminequantosquilosdecadaumdosprodutosA ,B eCforam vendidos. 31)(FGV-SP) Considere o sistema linear nas incgnitasxey , 2 34 4 2mx yx y b = =; o)Para que valores dem eno sistema determinado, indeter-minado ou impossvel? lgebra Linear 1 95p)Resolva o sistema para3 m =e2 n . 32)(FUVEST-SP) Seja o sistema 2 03 03x y zx my zx y mz m+ = =+ + = q)Determinetodososvaloresdemparaosquaisosistema admite soluo. r)Resolva o sistema supondo0 m = . 33)(UNB) Para o dia das mes, uma loja ofereceu a seus clientes apossibilidadedecompraremlenis,fronhasecolchas,agrupa-dos nos seguintes jogos: I.2 lenois e 2 fronhas. II.2 lenois e 2 colchas. III. 1 lenol, 1 fronha e 1 colcha. Considerando que o preo de cada pea o mesmo em qualquer umdosjogosI,IIeIIIquesovendidosporR$130,00,R$ 256,00eR$143,00,respectivamente,calcule,emreais,opreo unitrio da colcha, desprezando os centavos, caso existam. 34)(UNESP) U m negociante trabalha com as mercadorias A, B e C das quais, de cada uma, tem um pequeno estoque no nulo. Se vender cada unidade de A por R$ 2,00, cada unidade de B por R$ 3,00ecadaunidadedeCporR$4,00,obtmumareceitadeR$ 50,00.MassevendercadaunidadeporrespectivamenteporR$ 2,00,R$6,00eR$3,00,areceitaserdeR$60,00.Calculeo nmero de unidades que possui cada uma das mercadorias. 96 lgebra Linear 1 35) (FEI-SP) Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns com 30 m outros com 20 m, num total de 2.080 m de comprimen-to. Quantos rolos de 30 m foram adquiridos? a) 40 b) 52c) 28 d) 32e) 48 36)(CESGRANRIO)Resolvendo-seaequaomatricialmos-trada na figura, encontramos paraxeyvalores respectivamente iguais a 1 2 54 3 10xy| || | | |= | ||\ \ \ . a) -2 e 1 b) -1 e 2c) 1 e -2d) 1 e 2 e) 2 e -1 37)(FUVEST-SP) Durante uma viagem, choveu 5 vezes. A chu-va caa pela manh ou tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhs e 3 tardes sem chuvas. Quantos dias durou a viagem? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 38)(FUVEST-SP) O valor, em reais, de um a pedra semipreciosa semprenumericamenteigualaoquadradodesuamassa,em gramas.Infelizmenteumadessaspedras,de8gramas,caiuese partiu em dois pedaos. O prejuzo foi o maior possvel. Em rela-o ao valor original, o prejuzo foi de: a) 92% b) 80%c) 50% d) 20% e) 18% 39)(UFMG)Supondo que 48 quilogramas dechumbocustamo mesmoque56.000gramasdeaoe7quilosaocustamR$ 300,00, o preo de 150 quilogramas de chumbo : a) R$ 7.500,00 b) R$ 9.000,00 c) R$ 12.000,00 d) R$ 13.500,00 40)(PUCCAMP-SP) Um certo nmero de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se 15 moas, ficando lgebra Linear 1 97onmeroderapazesigualaodobrodonmerodemoas.Em seguida,retiraram-se31rapazes,ficandonasalaigualnmerode moas e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era: a) 96b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 41)(UEL) Um lojista pretende colocar um certo nmero de aga-salhosemalgumasprateleiras,demodoqueonmerodepeas em cada prateleira sejao mesmo.Se colocar9agasalhos em cada prateleira, duas delas deixaro de ser usadas; entretanto, se colocar 7 em cada um, usar todas as prateleiras. O nmero de agasalhos que deve acomodar : a) 52b) 56 c) 58d) 61e) 63 42)(UFES)PorocasiodoNatal,umaempresagratificarseus funcionrioscomumcertonmerodecdulasdeR$50,00.Se cadafuncionrioreceber8 cdulas sobraro 45 delas; se cadaum receber 11 cdulas, faltaro 27. O montante a ser distribudo : a) R$ 9.600,00b) R$ 10.500,00 c) R$ 11.000,00d) R$ 13.250,00 e)R$15.000,00 43)(UNIRIO)LuseMariaresolveramcompararsuascolees de CDs. Descobriram que tm ao todo 104 compact disc e que, seMariativesse12CDsamenos,teriaotriplodonmerode discosdeLus.possvelafirmarqueaquantidadedeCDsque Lus possui : a) 23 b) 29c) 31 d) 52e) 7544)(UNIRIO) Na soluo do sistema98 lgebra Linear 1 = = +7 42 log 3 log 1 log(y xy x, o valor de x : a) 15b) 13 c) 8 d) 545)(PUC-PR)Resolvendoosistema + + += = + +3 31 2 32 3z y xz y xz y x,ovalor da somax y z + +: a) 5b) 15 c)6 d) 12 e) 0 46)(UNIFICADO-RJ) Se o sistema 3(2 1) 4y mxy m x= += +, tem ape-nas uma soluo (x,y), ento o parmetro m satisfaz a condio: a) m 1 b) m -1 c) m 0 d) m e) m 2 2.14Resposta dos exerccios propostos i) u soluo do sistema pois soluo de cada equao j v no soluo do sistema pois no soluo da segunda equao (no necessrio substituir v na terceira equao). ii) a)no possui soluo; b){(2, 1, 3)} S= c){(2, 1, 0)} S= d){(1, 2, 3)} S=e){(6, 4,1)} S=f){(1, 2, 1)} S= lgebra Linear 1 99g) 1 4 2 3 3 4{ 1; 2 ; , } S x x x x x x = = = R h)Sistema Incompatvel i){(11 3, 5 3, 8 3)} S=j){(2, 2, 4)} S= k){(1,1, 2)} S=l)iii) a) = 6 b) 6 c) { }| 4 e1 Rd) = 4 ou = 1 e) 1|4 ` )R iv)Faca: 5,50; colher: 3,00; garfo: 4,00 v)30+40+50=120 2.15Questes de vestibular 1.a 2.d 3.e 4.b 5.c 6.a 7.d 8.c 9.b 10.e 11.c 12.c 13.d 14.e 15.e 3Espao Vetorial Voltamos ao icosaedro, ou melhor, as coordenadas do icosa-edrorepresentadaspelamatrizA nocaptulo0.Vimosqueao multiplicar a matrizApor um escalarkqualquer, resultou-se em ouumicosaedroexpandido( 1 k> ),ouumicosaedrocontrado 0 1 k < < , ou reduzimos o icosaedro a um ponto ( 0 k= ), ou refle-timosoicosaedro( 0 k< ).Omesmoacontecequandosomamos ascoordenadasdedoisicosaedros,ouquandotransladamoso icosaedro.Todasessasoperaesirogerarumnmeroinfinito de icosaedros. Somam-se a este conjunto as operaes com matri-zesdeordem12 3 quenorepresentamascoordenadasdeum icosaedro,etambmnocontribuemparaastranslaes.Resu-mindo,comtodasessasoperaesmencionadas,etalvezmais algumas,temosumconjuntodeinfinitasmatrizesdeordem 12 3 ,querepresentamounoumicosaedro.Aesteconjunto chamaremos de espao vetorial. Veremosento,numanotaomaisformal,adefiniode espaovetorial.SejaK umcorpo7(conjuntodosnmerosreais, 7 A definio de corpo pode ser vista em qualquer livro de lgebra abstra-ta. lgebra Linear 1 101conjunto dosnmerosracionais, etc.)esejaVum conjuntono vaziocomapropriedadedofechamentoparaasoperaesde adio e de multiplicao por escalar, isto , sejam, u v V ento a somau v + pertenceaV ,eseja eu V k K entooproduto ku pertenceaV .Logo,V chamadodeespaovetorialsobre Kse os seguintes axiomas so verdadeiros: A1)Propriedadeassociativadaadiosejam, , , u vw V en-to( ) ( )u v w u v w + + = + + . A2)Elementoneutrodaadio, 0 u V u u + = onde0 o vetor nulo. A3) Elemento oposto da adio ( ), 0 u V u u + = . A4)Propriedadecomutativadaadiosejam, u v V ,ento u v v u + = + . M1) Sejamk K e, u v V , ento( )k u v ku kv + = + . M2) Sejam, a b K eu V , ento ( )a bu au bu + = + . M3) Sejam, a b K eu V , ento ( ) ( )abu abu = . M4) Elemento neutro da multiplicao sejau V , ento 1u u = . Os elementos de um espao vetorial so chamados de veto-res. 102 lgebra Linear 1 3.1Combinao linear J foram discutidas aqui vrias idias envolvendo a matriz dos vrticesdeumicosaedro.Vimosqueatranslaodoicosaedro na verdade a soma de duas matrizes. Neste exemplo transladamos o icosaedro trs unidades referentes ao eixox . Podemos reescre-ver esta translao da forma 0 0 101 30 1u ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0,89 0,450,28 0,85 0,45-0,72 0,53 0,45-0,72 -0,53 0,450,28 -0,85 0,450,72 0,53 -0,45-0,28 0,85 -0,45-0,89 0 -0,45-0,28 -0,85 -0,450,72 -0,53 -0,4501 0 0 3 0 11 0 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 0v ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3,89 0,453,28 0,85 0,45-3,72 0,53 0,45-3,72 -0,53 0,453,28 -0,85 0,453,72 0,53 -0,45-3,28 0,85 -0,45-3,89 0 -0,45-3,28 -0,85 -0 1w ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0,453,72 -0,53 -0,453, onde denotando 11 a =e 23 a = , reescrevemos esta ltima expres-socomo 1 2a u a v w + = .Assim,podemosdizerquew uma combinaolinearu ev .Valeapenanotarque 1a e 2a pode assumir qualquer valor, e queuevpodem ser quaisquer matrizes de ordem12 3 . Evidentemente, uma combinao deuevno necessariamente representar os vrtices de um icosaedro. lgebra Linear 1 103Assim,estamos prontos paradefiniruma combinao linear. SejamVum espao vetorial real (ou complexo), 1 2, , ,nv v v V e 1 2, , ,na a anmerosreais(oucomplexos).Ento,ovetor 1 1 2 2 n nv a v a v a v = + + +umelemento deV ao quechamamos de combinao linear de 1 2, , ,nv v v. 3.2Subespao vetorial Dados 1, ,nv v V , o conjuntoWde todos os vetores deVque socombinaolineardestes,um subespaovetorial.Di-zemos queW um subespao vetorial gerado por 1 2, , ,nv v v, e usamosanotao [ ]1, ,nW v v =.Tambmpodemosescrevero conjuntoWcomo { }1 1: , ,1n n iW v V v a v a v a i n = = + + R .Veremosaseguiralgunsexemplosclssicosdesubespaos vetoriais. Podemos enxergar a reta como um espao vetorial. Isto , seja 3V= R ,v V ,0 v , ento [ ] { }: v av a = R , ou seja, [ ]v a reta que contm o vetorv . Figura 3.1: reta gerada pelo vetorv . y x z [ ]vv 104 lgebra Linear 1 Numsegundoexemplo,temos 2V= R ,onde 110e (= ( e 201e (= ( soosvetorescannicosde 2R .Logo,temosqueo espao 2R geradoporessesvetores,isto, [ ]1 2, V e e = .Isto fcil de verificar, pois qualquer vetor da forma 2xvy (= ( R , ou seja, 1 00 1xx yy (((= + ((( , 1 2v xe ye = + . Figura 3.2: espao 2Rgerado por 1ee 2e . Vejamos agora o subespao vetorial gerado pelas matrizes de ordem2 2 daforma 11 00 0v (= ( e 20 10 0v (= ( .Temosque [ ]1 2, : ,0 0a bv v a b ( = ` ( )R . Sejam 31 2, v v Rtal que 1 2v v (1vno seja paralelo e nem coincidentea 2v ), R ,ento [ ]1 2, v v seroplanoquepassa pela origem e contm 1 2ev v . xy1 2v e x ey = +1e2elgebra Linear 1 105Seja um terceiro vetor que gerado por1 2ev v , [ ]3 1 2, v v v , ento temos que [ ] [ ]1 2 1 2 3, , , v v v v v = , pois todo vetor que combi-nao linear de 1 2 3,ev v v tambm combinao linear de 1 2ev v . Figura 3.3: plano, em 3R , gerado por 1ve 2v . 3.3Exerccios 01.Escrevaovetor 125v ( (= ( ( comocombinaolineardosveto-res 1 2 11 1 21 , 2 e 11 3 1u u u ((( (((= = = ((( ((( . x y z[ ]1 2, v v1v2v106 lgebra Linear 1 02.Escrevaovetor 253v ( (= ( ( comocombinaolineardosveto-res 1 2 11 2 13 , 4 e 52 1 7u u u ((( (((= = = ((( ((( . 03.Determineovalordekparaqueovetor 12 uk ( (= ( ( sejauma combinao linear dos vetores 1 23 20 e 12 5v v (( ((= = (( (( . 04.Escrevaopolinmio 24 3 v t t = + comoumacombinao linear dos polinmios 212 5 u t t = + , 222 3 u t t = e 33 u t = + . 05.Escrevaamatriz 3 11 1A (= ( comoumacombinaolinear das matrizes 1 11 0B (= ( , 0 01 1C (= ( e 0 20 1D (= ( . 06.Suponhamosqueu umacombinaolineardosvetores 1, ,nv v esuponhamosquecadavetor iv combinaolinear dos vetores 1, ,nw w . Mostrequeu tambm uma combinao linear dos iw . lgebra Linear 1 1073.4Dependncia e independncia linear Seja um espao vetorialVe a combinao linear dos vetores 1, ,nv v V comoscoeficientes 1, ,na a ,isto, 1 1 2 2 n nw a v a v a v = + + + .Osvetores 1, ,nv v solinearmente independentes, e que a partir de agora chamaremos simplesmente deLI,seanicacombinaolinearqueproduzovetornulo quandooscoeficientessonulos,isto, 1 20na a a = = = =. Casocontrrio,ouseja,seexistealgum0ia dizemosqueos vetores 1, ,nv v so linearmente dependentes, ou, para referncias futuras, LD. Varemos alguns exemplos a seguir. Seja 1 4 1 23 5 3 22 2 1 3B ( (= ( ( .TemosqueascolunasdamatrizB soLD,poissefizermosumacombinaolineardelas,temos 121 2 3 4341 4 1 2 1 4 1 23 5 3 2 3 5 3 22 2 1 3 2 2 1 3aaa a a aaa ( (((((( ((((((+ + + = (((((( (((((( .Paraqueas colunasdeBfossemLI,teramosqueterumanicasoluo 12340000aaaa (( (( ((= (( (( paraosistema0 Ba = .Masestesistematemvrias 108 lgebra Linear 1 solues, pois homogneo e o nmero de linhas menor que o nmero de colunas. Logo, os vetores so LD. Sejam 3V= Re 1 2, v v V .Logo, 1 2ev vso LD se e somen-tese 1 2v v = ,isto, 1 2ev v estiveremsobreamesmaretaque passa pela origem. Figura 3.4: 1ve 2vso colineares. Sejam 3V= R e 1 2 3, , v v v V , 1 2 3, , v v v soLDseelesestive-rem no mesmo plano, que passa pela origem. Isto significa que ou 1vou 2vou 3v uma combinao linear dos outros dois. Figura 3.5: 1v , 2ve 3vso coplanares. x y z 1v2v3vx y z 1v2vlgebra Linear 1 109Sejam 2V= R , 110e (= ( e 201e (= ( .Osvetores 1e e 2e so LI,poisanicaformapara 1 1 2 20 a e a e + = quando 10 a = e 20 a = .Emoutraspalavras, 1 21 0 00 1 0a a (((+ = ((( ,isto, 1200aa ((= (( . O mesmo acontece com o espao nR . Os vetores cannicos desteespaosoLI.Outro exemplorefere-seaoespao 3V= R . Sejam 1 2, e e e 3e osvetorescannicosdesteespao.Logo, 1 1 2 2 3 3 1 2 31 0 0 00 1 0 00 0 1 0a e a e a e a a a (((( ((((+ + = + + = (((( (((( , isto , 123000aaa (( ((= (( (( . 3.5Base de um espao vetorial SejaV umespaovetorial.Abasedesseespaovetorial formadapelosvetores 1, ,nv v,LI,quegeramomesmo.Deno-tamos esta base por , { }1, ,nv v = . Sejam 2V= R , 110e (= ( e 201e (= ( .Logo, [ ]1 2, V e e = ,isto, 1ee 2eformam a base deVque conhecida como base cannica de 2R . 110 lgebra Linear 1 Figura 3.6: base cannica de 2R . Temosque 101v (= ( e 202v (= ( noformamumabasepara 2R , pois 1 21 20 0 0 02 1 2 0a aa a ((((+ = = ((((+ , isto , 1 22 a a = . Logo, podemos ter valores diferentes de0para 1ae 2aque faam com que a combinao linear de 1ve 2vseja nula. Assim 1v e 2v so LD. Figura 3.7: 1ve 2vno geram 2R . Oconjuntodetodososvetorescannicosdoespao nRformaumabasedomesmo.ElessoLIentresiegeramtodoo espao nR .Diferentementedoexemploqueveremosaseguir. xy1v2vxy1e2elgebra Linear 1 111Sejam 1100e ( (= ( ( e 2010e ( (= ( ( vetorescannicosde 3R .Apesarde seremLI,elesnoformamumabasepara 3R ,poiselesnoge-ram todo o espao. Na verdade eles geram todo o planoxy , isto , 1 00 10 0 0xx y y ((( (((+ = ((( ((( , que um subespao de 3R . Seja ( )2, 2 V M =o espao de todas as matrizes de ordem2 . Logo, 1 0 0 1 0 0 0 0, , e formam uma base para.0 0 0 0 1 0 0 1V (((( (((( Vale pena ressaltar que um espao vetorial tem mais de uma base, alm da base cannica. Mas o que interessa para ns no a quantidade de bases que um espao tem, mas sim a quantidade de elementos que essa base tem. Faremos essa discusso a seguir. 3.6Dimenso Qualquerbasedeumespaovetorialtemsempreomesmo nmero de elementos.Esse nmero chamado de dimenso da base.Verificandoalgunsexemplosdeespaosvetoriaisdados anteriormente,temos 2V= R ,onde [ ]1 2, V e e = .Ento dim 2 V= .Outroexemplooespao 3V= R onde 112 lgebra Linear 1 [ ]1 2 3, , V e e e = ,isto,dim 3 V= .Vimostambmoespaodas matrizes de ordem2onde a dimenso da base deste espao 4 . Um corolrio importante diz sedimV n = , qualquer conjunto de n vetores LI, pertencentes aV , formar uma base de V. 3.7Exerccios 1.Verifique se os vetores abaixo formam uma base de 4R . Diga qual a dimenso do espao gerado por esses vetores. 1 0 0 01 1 0 0, ,e 1 1 1 01 1 1 1 (((( (((( (((( (((( (((( . 2.Encontreumabasepara 2 5 43 , 2 , 64 1 8V ( ((( ( (((= ( ((( ( ((( .Digaquala dimenso de V. 3.8Os quatro subespaos fundamentais Ns vimos que a base de um espao vetorial gera todo o es-pao.Isto,todososoutroselementosdoespaosoobtidos atravsdeumacombinaolineardoselementosdabasedesse espao. Por exemplo, os espaosR , 2R , ou nRso obtidos pela lgebra Linear 1 113combinaodeseusvetorescannicos.Claroqueessesespaos podem ter outras bases. Essa noo nos levar a definir a imagem ouespaocolunaassociadomatrizA .Porexemplo,sejam 1, ,nv v vetoresquegeramoespao nR .Logo, 1 1 n n ix v x v b + + =,isto,paracadaconjuntodevaloresreais 1, ,nx x obtemosumvetor ib diferente.Podemosdizerento que 1, ,nv v gera uma imagem que est contida em mR , ondem aquantidadedeelementosdovetor iv (nmerodelinhasda matrizA ).Nesteexemploqueestamostrabalhandotemosnvetores que formam a base do espao, comnelementos cada um. Logoaimagemoprprio nR .Emoutraspalavras,qualquer vetorde nR podeserescritocomoumacombinaolinearde 1, ,nv v . Reescrevendo 1 1 n n ix v x v b + + = numa notao matrici-al, temos que 1 11| || |nn nx bv vx b ((( (((= ((( ((( . . , ou de forma mais compacta, Ax b = .Estanotaonosajudaaentenderporqueaimagemde Atambm chamada de espao coluna deA , ou seja, o espao que geradopelascolunas damatrizA(isto setodas as colunas forem LI). Osegundoespaofundamentaloespaonulo,tambm conhecido como ncleo, da matrizA . O espao nulo o espao que contm todos os vetoresxque multiplicados pela matrizA114 lgebra Linear 1 retornamovetornulo,isto,0 Ax = .Comoovetorx temnelementos, ento o espao coluna deAest contido em nR . O espaolinhadeAgeradopelascolunas damatriz TAquesoLI.Porissoesseespaotambmchamadodeespao coluna de TAou imagem de TA . O quarto e ltimo espao fundamental chamado de espao nulo de TA ,ecomo0TAy =seesomentese0Ty A = ,este es-pao tambm conhecido como espao nulo a esquerda deA . Apresentamos, de forma resumida, uma tabela contendo todos os espaosfundamentaisapresentadosnestaseo,assimcomoas suas respectivas dimenses. Tabela 3.1: os 4 subespaos fundamentais Espao coluna( )ImmA Rdim r =mxnAEspao nulo( )nN A Rdim n r = Espao coluna de TAEspao linha de A ( )ImTAdim r =TnxmAEspao nulo de TAEspao nulo a es-querda de A ( )TN Adim n r = lgebra Linear 1 115Nesta tabelarrepresenta a dimenso do espao coluna deA(quantidadedepivsobtidosnoescalonamentodamatrizA , equivalenteaopostodamatrizA queaquantidadedelinhas nonulasnoprocessodeescalonamento),en aquantidadede colunas da matrizA . 3.8.1Fatorao A=LU Toda matriz A pode ser fatorada da formaPA LU = , onde Pamatrizpermutao,Lumamatriztriangularinferiorque contm os pivs utilizados no escalonamento da matriz A e U a matriz resultantedo escalonamentode A. Como exemplo fatora-mosamatriz 2 1 14 6 02 7 2A ( (= ( ( .Noprocessodeescalonamento obtemosamatrizquecontmospivsdoescalonamento 1 0 02 1 01 1 1L ( (= ( ( ,eamatrizequivalenteescalonada 2 1 10 8 20 0 1U ( (= ( ( . A matriz permutao , inicialmente, a matriz identidade. No processodeescalonamento,quandotrocamosumalinhaouuma colunadelugarcomoutra,devemosrealizaramesmatrocana matriz permutao. Como no houve permutao de linhas ou de 116 lgebra Linear 1 colunasnoprocessodeescalonamento,a matriz 1 0 00 1 00 0 1P ( (= ( ( a prpria matriz identidade, e comoIA A = , no h necessidade de escreverPA LU = ,bastandoapenasescreverA LU = .Ascontas podem ser refeitas pelo leitor a cargo de prtica. 3.8.2Base dos quatro subespaos fundamentais Umabase para o espao coluna associadomatrizAfor-mado pelas colunas da matrizAque correspondem s colunas de Uque contmpiv, ouseja, pelascolunas damatrizAqueso LI. Uma base para o espao nulo associado matrizA forma-da resolvendo-se o sistema0 Ux = . Observeamatriz 5 3 64 2 80 1 1A ( (= ( ( .Escalonando-atemos2 1 10 8 20 0 1U ( (= ( ( .Portanto