Lógicas Difusas e Sistemas Difusos

Prof. Valmir Macário

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Introdução (1/2)• O conhecimento humano é muitas vezes

incompleto, incerto ou impreciso.• A IA preocupa-se com formalismos de

representação e raciocínio que permitam o tratamento apropriado a cada tipo de problema.

• No mundo real muitas vezes é utilizado conhecimento incerto.– Incertezas estocásticas.– Incertezas léxicas.

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Introdução (2/2)• Incertezas estocásticas

– Ex.: “A probabilidade de acertar o alvo é de 0.8”• Incertezas léxicas

– Ex.: homens altos, dias quentes, moeda estável– A experiência do especialista A mostra que B está

quase para ocorrer, porém, o especialista C está convencido de que não é verdade.

• Incerteza pode ser tratada de várias formas entre elas com Lógicas Difusas (= Nebulosas, Fuzzy) e Redes Bayseanas.

• Os fundamentos da lógica difusa foram estabelecidos em 1965, por Lotfi Zadeh.

Alto é um conceito vago.

História • 1965 Seminal paper “Fuzzy Logic” por Prof. Lotfi Zadeh, • 1970 Primeira aplicação de Lógica Fuzzy em engenharia

de controle (Europa)• 1975 Introdução de Lógica Fuzzy no Japão • 1980 Verificação empírica de Lógica Fuzzy na Europa• 1985 Larga aplicação de Lógica Fuzzy no Japão • 1990 Larga aplicação de Lógica Fuzzy na Europa• 1995 Larga aplicação de Lógica Fuzzy nos Estados Unidos• 2000 Lógica Fuzzy tornou-se tecnologia padrão e é

também aplicada em análise de dados e sinais de sensores. Aplicação de Lógia Fuzzy em finanças e negócios

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Hierarquia

Sistemas Difusos (implementação)

Lógicas Difusas (formalização)

Teoria dos Conjuntos Difusos (teoria de base)

Nós veremos primeiro a teoria de base, depois a formalização e por último a implementação.

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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (1/4)

Curiosidade do Cotidiano: Diálogo entre Artur e Rodrigo para decidir

“O quão rápido é um carro rápido”

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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (2/4)

Artur: ... então podemos criar uma categoria para carros rápidos uRÁPIDO [x] = { velocidade 100 };

Rodrigo: ... e um carro a 99.5 km/h não é rápido?

Artur: ... vamos diminuir o limite para 99, combinado?

Rodrigo: ... ainda não. E 98.5?

Artur: Temos que parar em algum ponto !

Rodrigo: Porque?

Artur: ... concordar em algum ponto onde os carros não estão rápidos.

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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (3/4)

Rodrigo: É verdade. Então vamos dizer que carros abaixo de 35 km/h não são rápidos.

Artur: ... concluímos que u RÁPIDO [x] = { velocidade 35 e velocidade 100 }. Não, não podemos ter dois limites para rápido. Então u RÁPIDO [x] = { velocidade 35 }.

Rodrigo: Não! Carros a 35 km/k são lentos para serem considerados rápidos.

Artur: Sem problemas. 35 será o mínimo para ser considerado rápido - não em todos os casos, e

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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (4/4)

Artur: 100 será a velocidade que nós dois consideramos ser rápido. Qualquer valor entre eles terá o seu grau de rapidez.

• Esta variação de grau de rapidez significa que alguns carros estarão mais fortemente associados com a categoria rápido do que outros;

• Este grau pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo, não ficando restrito apenas a PERTENCER ou NÃO PERTENCER ao conjunto;

• Finalmente Artur e Rodrigo conseguiram entender o princípio da teoria dos conjuntos difusos.

Conjuntos Fuzzy (1/3)• Conjuntos com limites imprecisos

Altura(m)

1.75

1.0

Conjunto Clássico1.0

Função depertinência

Altura(m)

1.60 1.75

.5

.9

Conjunto Fuzzy

A = Conjunto de pessoas altas

.8

1.70

Conjuntos Fuzzy (2/3)• Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é

caracterizado por uma função de pertinência A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].

A:X[0,1]• Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x

pertencente a X um número real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.

• Uma sentença pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa A(X) : x [0,1], A(X) = 0

0 < A(X) < 1

A(X) = 1

Conjuntos Fuzzy (3/3)• Definição formal

– Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados:

Universo ouUniverso de discurso

Conjuntofuzzy

Função depertinência

(MF)Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado

por sua função de pertinência (MF)por sua função de pertinência (MF)

}|))(,{( XxxxA A

Como representar um conjunto Fuzzy num computador?

1. Função de pertinência– Reflete o conhecimento que se tem em relação

a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy

– Métodos para adquirir esse conhecimento do especialista

– Ex: Perguntar ao especialista se vários elementos pertencem a um conjunto

Função de Pertinência

• Várias formas diferentes• Representadas uma função de mapeamento• Características das funções de pertinência:

• Medidas subjetivas• Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes, decrescentes ou

subdividida em parte crescente e parte decrescente.

MFs

Altura (m)

“alto” no Brasil

1.75

.5

.8

.1

“alto” nos EUA“alto” na Itália

Função de Pertinência

•Função Triangular

•Função Trapezoidal

•Função Gaussiana

•Função Sino Generalizada

trimf x a b cx ab a

c xc b( ; , , ) max min , ,

0

trapmf x a b c dx ab a

d xd c( ; , , , ) max min , , ,

1 0

gbellmf x a b cx cb

b( ; , , )

1

12

2

21

),,;(

cx

ecbaxgaussmf

Função de Pertinência

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u de

Per

tinên

cia

(a) Triangular

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u de

Per

tinên

cia

(b) Trapezoidal

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u de

Per

tinên

cia

(c) Gaussiana

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u de

Per

tinên

cia

(d) Sino Gerneralizada

Partição Fuzzy

• Partição fuzzy do universo de X representando “idade”, formada pelos conjuntos fuzzy “jovem”, “maduro” e “idoso”.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X = Idade

Gra

u de

Per

tinên

cia Jovem Maduro Idoso

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Representação dos conjuntos difusos (1/2)

• Analiticamente - universo discreto e composto por poucos elementos.– Ex.: Conjunto dos números inteiros pequenos

entre –10 e 10.

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Representação dos conjuntos difusos (2/2)

• Gráfico da função de pertinência (diagrama Hassi-Euler (H-E)) – universo contínuo ou discreto com grande quantidade de elementos.– Ex.: Conjunto dos números reais pequenos entre –10 e

10.

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Exemplos de conjuntos difusos (1/2)• Conjunto febre alta

– Definição analítica (discreta):• µµFAFA(35°C) = 0(35°C) = 0 µµFAFA(38°C) = 0.1(38°C) = 0.1 µµFAFA(41°C) = 0.9(41°C) = 0.9

• µµFAFA(36°C) = 0(36°C) = 0 µµFAFA(39°C) = 0.35(39°C) = 0.35 µµFAFA(42°C) = 1(42°C) = 1

• µµFAFA(37°C) = 0(37°C) = 0 µµFAFA(40°C) = 0.65(40°C) = 0.65 µµFAFA(43°C) = 1(43°C) = 1

– Gráfico H-E:

39°C 40°C 41°C 42°C38°C37°C36°C

1

0

µ(x)

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Exemplos de conjuntos difusos (2/2)• Conjunto projetos longos

– Definição analítica (discreta):• µµPLPL(2) = 0.2 (2) = 0.2 µ µPLPL(8) = 0.5(8) = 0.5 µ µPLPL(14) = 0.8(14) = 0.8

• µµPLPL(4) = 0.3 (4) = 0.3 µ µPLPL(10) = 0.6 (10) = 0.6 µ µPLPL(16) = 0.9 (16) = 0.9

• µµPLPL(6) = 0.4 (6) = 0.4 µ µPLPL(12) = 0.7 (12) = 0.7 µ µPLPL(18) = 1.0(18) = 1.0

– Gráfico H-E:

Variáveis Lingüísticas

• Representa um conceito ou variável de um Problema.• Um valor linguístico é um conjunto fuzzy.

• Variável linguística:• – Idade• Termos primários:• – Jovem• – Velho• Universo de discurso:• – 0 – 100 anos

Hedges (modificadores)• Termos que são usados

para modificar a forma dos conjuntos fuzzy– Muito, algo mais ou menos,

um pouco

• São universais• Compostos de nome e

fórmula• Muito:

• Extremamente

• Muito muito

• Um pouco

• Mais ou menos

• Indeed 2)()( xx AMA

3)()( xx AMA

3,1)()( xx AMA

)()( xx AMA

15,0,)(121)(

5,00,)(*2)(2

2

xx

xx

AMA

AMA

4)()( xx AMA

Conjuntos difusos: operadores (1/4)• Operações básicas sobre conjuntos fuzzy:

– União– Interseção– Complemento– Negação

• Operações semelhantes a dos conjuntos tradicionais.

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Conjuntos difusos: operadores (2/4)• Intersecção (t-norm)

– Mínimo:

– Produto:

– Soma limitada:

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Conjuntos difusos: operadores (3/4)• União (t-conorm)

– Máximo:

– Produto ou soma probabilística:

– Soma limitada:

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Conjuntos difusos: operadores (4/4)

• Complemento

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Isomorfismo

Representação

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

A está contido em B

Gra

u de

Per

tinên

cia

B

A

(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy não “A”

00.20.40.60.8

1A B

00.20.40.60.8

1

00.20.40.60.8

1

(c) Conjunto Fuzzy "A ou B"

00.20.40.60.8

1

(d) Conjunto Fuzzy "A e B"

Regras Fuzzy• Base de Conhecimento• BC: regras de produção

– Se <antecedente> então <consequente>• Antecedente: conjunto de condições• Consequente: ações

• Os consequentes das regras disparadas são processados em conjunto para gerar uma resposta determinística para cada variável de saída do sistema.

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Regras FuzzyConsistem:

– Conjunto de condições IF(usando conectivos and, or ou not)

– Uma conclusão THEN– Uma conclusão opcional ELSE

Exemplo:

1. Se velocidade > 100 Então DPP é 30 metros

2. Se velocidade < 40 Então DPP é 10 metros

1. Se velocidade é alta Então DPP é longa

2. Se velocidade é baixa Então DPP é curta

Velocidade [0,220] Baixa, Média e alta

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Um agente inteligente com BC

entrada

saída

Sensores

efetuadores

Base de Conhecimento Raciocínio

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Um agente inteligente difuso

entrada

saída

Sensores

efetuadores

BC

Inferência

Regras Condicionais Incondicionais

Variáveis lingüísticas

DefuzzificaçãoMin-max vs. aditivas

Máximos vs. Centróide

Fuzzificação

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Módulos de um sistema difuso

• Base de conhecimento– Regras– Variáveis lingüísticas

• Processos do Raciocíno– Processo de fuzzificação– Processo de inferência– Processo de defuzzificação

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Sistema difuso – exemplo

• Determinar o tempo de irrigação de uma plantação (em minutos), de acordo com a temperatura (graus Celsius) e a umidade do ar (%).

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Variáveis Linguísticas (Fuzificação)

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Exemplo: regras

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Raciocínio: inferência (1/10)• Transformação dos conjuntos difusos de

cada variável de saída em um único.• Realiza a interpretação das regras da base

de conhecimento.• Passos:

– Ativação do antecedente,– Implicação,– Agregação.

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Raciocínio: inferência (2/10)• Ativação do antecedente:

– Utiliza os graus de pertinência das condições difusas, determinados na fuzzificação.

– Aplica os operadores difusos para obter o grau de verdade das regras.

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Raciocínio: inferência (3/10) Exemplo de ativação do antecedente

• Base de Regras:

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Raciocínio: inferência (4/10) Exemplo de ativação do antecedente

• Ativações dos antecedentes:1. 0,32. 0,63. 0,44. 0

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Raciocínio: inferência (5/10)• Implicação

– Obtenção dos valores difusos de saída de cada regra.– Obtenção de um conjunto difusos de saída para cada

regra.– Métodos mais comuns:

Onde: C1 é um conjunto difuso de saída determinado pela aplicação da implicação;

C é o conjunto difuso de saída existente no consequente da regra;

é o grau de verdade da regra.

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Raciocínio: inferência (6/10) Exemplo de implicação

• Resultados da implicação. O tempo de irrigação deve ser:

1. 0,3 pequeno2. 0,6 médio3. 0,4 médio4. 0 grande – não participará do processo de inferência.

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Raciocínio: inferência (7/10) Exemplo de implicação

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Raciocínio: inferência (8/10)• Agregação:

– Agrega os conjuntos difusos obtidos na implicação.– Obtém um único conjunto difuso, que descreve a saída

do sistema.– Pra quê?

• Porque se espera que o sistema difuso produza uma única decisão.

– Como?• Normalmente se utiliza o operador de união máximo.

• Mas também pode ser utilizado, por ex., o operador de união soma limitada.

xxx n ,...,max 1

xxx n ...,1min 1

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Raciocínio: inferência (9/10) Exemplo de agregação

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Raciocínio: inferência (10/10) Observação

• Quando se utiliza o min na etapa de implicação e o max na etapa de agregação, diz-se que foi utilizada a técnica min-max de inferência.

• Quando se utilizam os operadores de soma limitada, diz-se que foi utilizada a técnica aditiva (ou cumulativa) de inferência.

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Raciocínio: defuzzificação (1/2)• Produz um valor crisp a partir de um

conjunto difuso.• Pra quê?

– Porque apesar de um único conjunto difuso de saída (produzido na etapa anterior) possuir informação qualitativa útil, normalmente queremos uma saída crisp.

• Como?– Existem diversos métodos.

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Raciocínio: defuzzificação (2/2) Métodos de defuzzificação

• Seja o conjunto difuso de saída definido no universo de discurso V da variável v.

• O valor defuzzificado é:• Centróide para universo de discurso contínuo

• Centróide para universo de discurso discretoMais robustos

Exemplo1: Apoio à Decisão• Projeto e funcionamento de um sistema para

determinação do consumo de combustível de um automóvel.– Passo (1): Variáveis de entrada = velocidade (Vel),

pneu (Pneu) Variável de saída = consumo (Con)– Passo (2): Vel = [Baixa, Média, Alta]; Pneu =

[Velho, Novo] Con = [Baixo, Médio, Alto]

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Exemplo1: Apoio à Decisão• Passo (3):

– Regra 1: Se Vel = B e Pneu = V, então Con = A.– Regra 2: Se Vel = B e Pneu = N, então Con = M.– Regra 3: Se Vel = M e Pneu = V, então Con = M.– Regra 4: Se Vel = M e Pneu = N, então Con = B.– Regra 5: Se Vel = A e Pneu = V, então Con = A.– Regra 6: Se Vel = A e Pneu = N, então Con = M.

• Passo (4):– Adotar centro de área.

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Exemplo1: Apoio à Decisão• Para Velocidade = 35 km/h e Pneu = 1mm,

qual o Consumo?• Fuzzificação:

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Exemplo1: Apoio à Decisão• Inferência:

• Defuzzificação:– Usando centro de área:

• Con 11,5 km/l≅ 53/77

Exemplo2: Controle de Processo• Sistema de controle do nível de água em um

tanque através de uma válvula de escape.– Se “nível de água estiver alto” então “abrir a válvula”.– Se “nível de água estiver baixo” então “fechar a válvula”.

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Exemplo2: Controle de Processo• Qual a abertura desejada da válvula se o nível está a

1,7m?– Fuzzyficar entrada: descobrir o valor da função de

pertinência para a entrada 1,7m.• Caso a entrada já seja “fuzzy”, este passo é desnecessário.

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• Inferência fuzzy: Transferir o valor encontrado para a saída.

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Aplicações• No caso das máquinas de lavar roupas, por

exemplo, a partir da quantidade de roupas colocadas na máquina e o nível de sujeira, a máquina automaticamente regula a quantidade de água necessária para a lavagem, o tempo de lavagem, a quantidade necessária de sabão em pó, amaciante. O resultado disso é o melhor aproveitamento de recursos, economia de energia, maior vida útil do equipamento.

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Aplicações …

• Controle– Controle de Aeronave (Rockwell Corp.)– Operação do Metrô de Sendai (Hitachi)– Transmissão Automática (Nissan, Subaru)– Space Shuttle Docking (NASA)

• Otimização e Planejamento– Elevadores (Hitachi, Fujitech, Mitsubishi)– Análise do Mercado de Ações (Yamaichi)

• Análise de Sinais– Ajuste da Imagem de TV (Sony)– Autofocus para Câmera de Video (Canon)– Estabilizador de Imagens de Video (Panasonic)

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Aplicações

• Outros projetos japoneses:– Reconhecimento de caracteres– Sistemas fuzzy óticos– Robôs– Helicópteros comandados por voz

• NASA – controle fuzzy para ancorar suas naves automaticamente no espaço

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Conclusão

• Lógica difusa é uma importante ferramenta para auxiliar a concepção de sistemas complexos, de difícil modelagem

• Pode ser utilizada em conjunto com outras tecnologias de ponta:– Algoritmos Genéticos;

– Clustering;

– Redes neurais artificiais.

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Referências bibliográficasREYES, C. A. P., Lecture Notes in Computer Science 3204 -

Coevolutionary Fuzzy Modeling, Springer, Germany, 2004.SANTOS, G. J. C., Tese de Mestrado, Universidade Federal de Santa

Cruz, Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas, Ilhéus, Bahia, 2003.

ALMEIDA, P. E. M., EVSUKOFF, A. G., Sistemas Inteligentes: Fundamentos e Aplicações, cap. Sistemas Fuzzy, Manole, Barueru, São Paulo, 2005.

COX, E., The FuzzySystems Handbook.

KARTALOPOULOS, S. V., Understanding Neural Networks and Fuzzy Logic, IEEE PRESS, 1996.

KOSKO, B., Fuzzy Engineering, Prentice-Hall, 1997.

Kosko, B., Neural Networks and Fuzzy Systems, Prentice-Hall, 1992.