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ESTUDANDO Funções trigonométricas

Para o VestiBuLAr

Exer

cíci

o 1

As abscissas dos pontos de intersecção do gráfico da função f, domínio [1, 1 `[ com o eixo das abscissas são as raízes da equação f(x) 5 0:

Desse modo, as coordenadas dos quatro primeiros pon-tos de intersecção de f com o eixo das abscissas são

P 5 @ 4 __ 3

, 0 # , Q 5 (2,0), R 5 @ 8 __ 3

, 0 # e S 5 @ 10 ___ 3

, 0 #

sen @ 3sx ____ 2

# @ 21 1 dlllll x 2 1 # 5 0 ]

] sen @ 3sx ____ 2

# 5 0 ou 21 1 dlllll x 2 1 5 0 ]

] 3sx ____ 3

5 ks, k 9 b ou

x 5 2 ] x 5 2k ___ 3

, k > 2 9 b

Exer

cíci

o 2

A função f terá valor máximo se cos @ x 1 s __ 3

# for mínimo, ou seja, igual a 21; logo:

} x 5 2s ___ 3

cos @ x 1 s __ 3

# 5 cos (s 1 2ks) 5 21 ]

] x 1 s __ 3

5 s 1 2ks ] x 5 2s ___ 3

1 2ks, k 9 b

1 (Unesp) Considere a representação gráfica da função

definida por f(x) 5 sen 3sx ____ 2

3 @ 21 1 dlllll x 2 1 # .

Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pon-tos de intersecção do gráfico da função f com o eixo das abscissas. Determine as coordenadas dos pontos P, Q, R e S, nessa ordem.

Grá�co da função f(x), sem escala

P

1,0

Q R S

y

x

2 (UFC-CE) Determine o menor valor real positivo de x para o qual a função real de variável real definida por

f(x) 5 7 2 cos @ x 1 s __ 3

# atinge seu valor máximo.

3 (UFPE, adaptada) O PIB (Produto Interno Bruto, que re-presenta a soma das riquezas e dos serviços produzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000 1 x, é dado, em

bilhões de dólares, por P(x) 5 500 1 0,5x 1 20 cos @ π x6 # ,

onde x é um inteiro não negativo.

a) Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB do país em 2004.

b) Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta do mesmo valor, ou seja, P(x 1 12) 2 P(x) é constante. Determine esta constante (em bilhões de dólares).

4 (Unesp) No hemocentro de um certo hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este número, de ja-neiro (t 5 0) a dezembro (t 5 11), seja dado, aproxima-

damente, pela expressão S(t) 5 H 2 cos E (t 2 1) s __ 6

R , com

H uma constante positiva, S(t) em “milhares” e t em meses, 0 < t < 11. Determine:

a) a constante H, sabendo que no mês de fevereiro hou-ve 2 mil doações de sangue.

b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.

Exer

cíci

o 3

a) P(4) 5 500 1 0,5 3 4 1 20 cos @ 4s ___ 6

# ]

Portanto, em 2004 o valor do PIB era de 492 bilhões de dólares.

} P(4) 5 492

b) P(x 1 12) 2 P(x) 5

} P (x 1 12) 2 P (x) 5 6

5 500 1 0,5 (x 1 12) 1 20 cos @ s(x 1 12) ________

6 # 2

2 E 500 1 0,5x 1 20 cos @ sx ___ 6

# R 5 5 6 1 20 @ cos sx ___

6 cos 2s 2 sen xs ___

6 sen 2s 2 cos @ sx ___

6 # # 5

5 6 1 20 @ cos @ sx ___ 6

# 2 cos @ sx ___ 6

# #

Exer

cíci

o 4

a) S(1) 5 2 ] 2 5 H 2 cos T(1 2 1) s __ 6

R 5 H 2 cos 0 ]

} H 5 2 1 1 5 3

b) 3 5 3 2 cos T (t 2 1) s __ 6

R ] cos T(t 2 1) s __ 6

R 5 0 ]

} t 5 4 (maio) ou t 5 10 (novembro)

] cos E (t 2 1) s __ 6

R 5 cos @ s __ 2

1 ks # ]

] (t 2 1) s __ 6

5 s __ 2

1 ks ] t 5 4 1 6k5 (Unesp) Do solo, você observa um amigo numa roda-

-gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao

solo é dada pela expressão h(t) 5 11,5 1 10 sen E s ___ 12

(t 2 26) R ,

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• Fun

ções

trig

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étric

as

6 (Unesp) Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de ciências exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e con-cluiu que ele era periódico e podia ser aproximado pela expressão:

P(t) 5 21 ___ 2

1 2 cos @ s __ 6

t 1 5s ___ 4

# , onde t é o tempo (em ho-

ras) decorrido após o início da observação (t 5 0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no instante t.

a) Resolva a equação cos @ s __ 6

t 1 5s ___ 4

# 5 1, para t . 0.

b) Determine quantas horas após o início da observa-ção ocorreu a primeira maré alta.

Exer

cíci

o 5

a) Para t 5 0:

h(0) 5 11,5 1 10 3 sen E s ___ 12

3 (0 2 26) R 5 5 11,5 1 10 3 sen @ 22s 2 s __

6 # 5

5 11,5 1 10 3 sen @ 2 s

__ 6

# 5 11,5 1 10 3 @ 2 1 __ 2

# } h(0) 5 6,5 m

b) As alturas máxima e mínima são obtidas quando sen

E s ___ 12

3 (t 2 26) R é, respectivamente, máximo e míni-

mo, ou seja, 1 e 21. Desse modo, a altura máxima é

11,5 1 10 3 1 5 21,5 e a mínima, 11,5 1 10 3 (21) 5 1,5, ambas em metros.

O tempo gasto em uma volta completa é igual ao pe-ríodo da f unção h(t); assim, em segundos:

2s _____ e s ___

12 u

5 24

b) A primeira maré alta ocorreu no primeiro instante

positivo em que cos @ s __ 6

t 1 5s ___ 4

# 5 1. De acordo com o

item a, 4,5 horas depois do início da observação.

a) cos @ s __ 6

t 1 5s ___ 4

# 5 1

A solução geral é:

s

__ 6

t 1 5s ___ 4

5 0 1 2ks ] t __ 6

5 2 5 __ 4

1 2k

} t 5 2 15 ___ 2

1 12k, k 9 b

O primeiro instante positivo acontece para k 5 1 e

vale 9 __ 2

s.

Assim, para t . 0 pode-se escrever: t 5 9 __ 2

1 12k, k 9 v.

Exer

cíci

o 6

7 (Unifesp) Considere a função y 5 f(x) 5 1 1 sen

@ 2sx 2 s __ 2

# definida para todo x real.

a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], tais

que y 5 1.

8 (PUC-SP) A figura a seguir mostra parte de uma onda senoidal que foi isolada para uma pesquisa:

3

1

0–1

y

x13π3

10π3

7π3

4π3

π 3

Exer

cíci

o 7

a) Tem-se: 2 1 < sen @ 2sx 2 s __

2 # < 1 ] 0 < 1 1 sen @ 2sx 2 s __

2 # < 2

Como x 9 [0, 1], tem-se x 5 1 __ 4

ou x 5 3 __ 4

.

} 0 < y < 2 Logo, a função f tem imagem [0, 2] e período 2s _____

e2su 5 1.

b) y 5 1 ] 1 1 sen @ 2sx 2 s __ 2

# 5 1 ]

] sen @ 2sx 2 s __ 2

# 5 0 ] sx 2 s __ 2

5 ks

} x 5 1 __ 4

1 k __ 2

, k 9 b

9 (UFMS) Seja uma função trigonométrica definida por

F(x) 5 2 ? cos [2x 1 π4

] , onde x R (conjunto dos nú-meros reais).

Assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).

onde o tempo t é dado em segundos e a medida angu-lar em radianos.

a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t 5 0).

b) Determine as alturas mínima e máxima que seu ami-go alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).

Qual das alternativas melhor representa a equação da onda para o período apresentado?

a) y 5 1 1 2 sen @ x __ 2

2 s __ 3

# d) y 5 1 1 2 sen @ x __ 3

#

b) y 5 1 1 2 sen @ x __ 2

# e) y 5 1 1 2 sen @ x __ 6

#

c) y 5 1 1 2 sen @ x __ 2

2 s __ 6

#

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Sabe-se que a resposta é da forma y 5 a 1 b sen (mx 1 n). Observando o gráfico da função seno, verifica-se que sua imagem está no intervalo [21, 3], logo, a 5 1 e

b 5 2. O período será igual a 13s ____ 3

2 s __ 3

5 12s ____ 3

5 4s, logo:

4s 5 2s ___ m ] m 5 1 __ 2

Como a função está deslocada horizontalmente para

a direita s __ 3

radianos, em relação à função f(x) 5 sen x,

então, n 5 2 s

__ 3

.

Portanto, a equação da onda será: y 5 1 1 2 sen @ x __ 2

2 s __ 3

#

Exer

cíci

o 8

11 (UFC-CE) Considere as funções definidas f: V p V e g: V p V, respectivamente, por f(x) 5 x2 1 1 e g(x) 55 cos x 2 sen x.a) Explicite a função composta h(x) 5 f(g(x)). b) Determine o valor máximo da função composta h(x) 5 f(g(x)).

a) h(x) 5 f (g(x)) 5 (cos x 2 sen x)2 1 1 5

5 cos2 x 2 2 sen x cos x 1 sen2 x 1 1 5

} h(x) 5 2 2 sen 2x

b) h(x) será máximo se sen 2x for mínimo; logo, sen2 x 5 21, portanto, h(x) 5 2 2 (21) 5 3.

Exer

cíci

o 11

10 (PUC-Campinas-SP) O subir e descer das marés é re-gulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezás-semos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria se-melhante a este:

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma fun-ção da forma f(t) 5 a 3 sen (b 3 t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma al-tura máxima de 1,5 metros, então:

a) b 5 (5s)

____ 31

. d) a 3 b 5 0,12.

b) a 1 b 5 13,9. e) b 5 (4s)

____ 3

.

c) a 2 b 5 s ___

1,5 .

Exer

cíci

o 10

Como a imagem de f está no intervalo [21,5; 1,5] o valor de a é igual a 1,5, e como período de f é 12,4 horas, tem-se:

2s ___ b

5 12,4 ] b 5 2s ____ 12,4

5 5s ___ 31

} f (x) 5 1,5 sen @5πt31 #.

Exer

cíci

o 12

Como a imagem de f está no intervalo [22, 2] o valor de

k é igual a 2, e como o período de f é 8s ___ 3

, tem-se:

2s ___ m = 8s ___ 3

] m 5 3 __ 4

} f(x) 5 2 sen @ 3x ___ 4

#

f @ 29s ____ 3

# 5 2 sen @ 3 3 29s ____ 3

_______

4 # 5 2 sen @ 29s ____

4 #

Mas 29s ____ 4

� 5s ___ 4

; logo:

f @ 29s ____ 3

# 5 2 sen @ 5s ___ 4

# 5 2 @ 2 dll 2

____ 2

# 5 2 dll 2

t (horas)

A(m)

1,5

0

–1,5

12 (PUC-SP) Na figura a seguir tem-se o gráfico fun-ção f, de V em V, definida por f(x) 5 k 3 sen (mx), em

que k e m são reais, e cujo período é 8s ___ 3

.

2 A

B–2

y

x

Exer

cíci

o 9

(001) F(0) 5 2 ? cos [2 ? 0 1 π4

] 5 2 ? cos π4

5 2 ? √22

ÆÆ F(0) 5 √2(002) A imagem da função é o intervalo [22, 2].

(004) 2 ? cos [2x 1 π4

] 5 0

∫ 2x 1

π4

5 π2

Æ x 5 3π8

π∫

2x 1 π4

5 3π2

Æ x 5 5π8

π

Portanto, a função F tem duas raízes no intervalo fecha-do [0, π].(008) F(x) assume valores mínimos quando:

2x 1 π4

5 π 1 2kπ Æ 2x 5 3π8

1 2kπ Æ x 5 3π8

1 kπ, k Z(016) A função assume valores máximos quando:

2x 1 π4

5 0 1 2kπ Æ 2x 5 π4

1 2kπ Æ x 5 π8

1

1 kπ, k Z

(001) O ponto (0, √2 ) pertence ao gráfico da função F.

(002) A imagem da função F é o intervalo fechado [21, 1].

(004) A função F tem duas raízes no intervalo fechado [0, π].

(008) Os valores mínimos de F são assumidos em

x 5 3π8

1 kπ, com k inteiro.

(016) Os valores máximos de F são assumidos em x 5 π4

1 1 kπ, com k inteiro.

Soma: 001 1 004 1 008 5 13

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14 (Unesp) Podemos supor que um atleta, enquan-to corre, balança cada um de seus braços ritmica-mente (para a frente e para trás) segundo a equação

y 5 f(t) 5 s __ 9

sen E 8s ___ 3

@ t 2 3 __ 4

# R , onde y é o ângulo com-

preendido entre a posição do braço e o eixo vertical

@ 2 s

__ 9

< y < s __ 9

# e t é o tempo medido em segundos,

t > 0. Com base nessa equação, determine quantas os-cilações completas (para a frente e para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos.

Exer

cíci

o 14

O tempo de uma oscilação, em segundos, é o período da

função f(t), que é 2s8s3

s 5 3 __ 4

s. Assim, em seis segundos

o atleta faz com o braço 634

5 8 oscilações completas.

13 (Unifesp) Na procura de uma função y 5 f(t) para re-presentar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da

forma f(t) 5 A 1 B sen E 2 s ___ 90

(t 2 105) R com o argumento

medido em radianos.

a) Encontre os valores de A e B para que a função f satis-faça as condições dadas.

b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio.

O valor de f @ 29s ____ 3

# é:

a) 2 dll 3 . d) dll 2 . b) 2 dll 2 . e) dll 3 .c) 21.

Exer

cíci

o 13

b) Do item a:

a) Como y varia de 9,6 a 14,4:

} t 5 105 1 90n, n 9 b

OBO 5 14,4 2 9,6

_________ 2

5 2,4 e

A 1 2,4 3 (21) 5 9,6 } A 5 12

f(t) 5 12 ! 2,4 3 sen E 2 s ___

90 (t 2 105) R

A função f assume o seu valor médio quando:

sen E 2 s ___

90 (t 2 105) R 5 0 ]

Para n 5 21, temos t 5 105 1 90 3 (21) 5 15 que é o menor valor positivo para o qual t assume seu valor médio.

] 2 s ___

90 (t 2 105) 5 ns, n 9 b ]

Exer

cíci

o 15

As condições do enunciado implicam:

f(x) 5 √2 ? sen [x 2 π4

] .

a) f(0) 5 √2 ? sen [0 2 π4

] 5 2√2 ? cos [ π4

] Æ f (0) 5 21

b) f(x) 5 √22

, para 0 < x < 2π, se e somente se

sen [x 2 π4

] 5 12

, que tem soluções x 5 π4

1 π6

5 5π12

,

x 5 π4

1 5π6

5 13π12

.

c) f(x) 5 √3 , para 0 < x < 2π, se e somente se

sen [x 2 π4

] 5 √3√2

e como √3√2

1, não existe

solução.

15 (PUC-RJ) Seja f(x) 5 R sen (x 2 a).

Sabemos que f [ π4

] 5 0 e f [ π2

] 5 1.

a) Calcule f(0).b) Encontre as soluções reais de f(x) 5

√22

, 0 < x < 2π.

c) Encontre as soluções reais de f(x) 5 √3, 0 < x < 2π.

16 (Unir-RO) A coluna da esquerda apresenta denominações de funções e a da direita o esboço do gráfico de cada uma. Numere a coluna da direita de acordo com a da esquerda.

1. Função do 1º- grau 3. Função trigonométrica

2. Função do 2º- grau 4. Função exponencial

( 2 ) ( 1 )

( 4 ) ( 3 )

Exer

cíci

o 16

Na sequência de gráficos, o primeiro é uma parábola; o segundo tem o eixo x como assíntota horizontal e au-menta rapidamente conforme os valores de x aumen-tam; o terceiro é uma reta; e o quarto é uma função periódica. Essas características descrevem funções do 2º- grau, exponencial, polinomial do 1º- grau e trigono-métrica, respectivamente.

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Marqueasequênciacorreta.

a) 2, 3, 1, 4 b) 3, 2, 4, 1c) 4, 1, 3, 2d) 1, 4, 2, 3e) 2, 4, 1, 3

17 (Cefet-MG) Se a função f é descrita por f(x) 5 |sen x|, então é correto afirmar que f:

a) é uma função ímpar.b) é uma função periódica de período 2π.c) possui domínio igual a D 5 [0, 2π].d) possui imagem igual a Im f 5 [21, 1].e) possui função inversa no domínio restrito D 5 50, π

26.

18 (Cefet-MG) Suponha que o preço do quilograma de café, em reais, possa ser modelado pela expressão

p(t) 5 3 1 2 cos [2πt360

], com t [0, 360] correspon-

dendo aos dias de um ano.

Com base nessa modelagem, é incorreto afirmar que:

a) o preço alcançará o valor de 3,00 reais/kg em dois dias do ano.

b) o maior preço será alcançado no início do ano.c) o menor preço será alcançado no meio do ano.d) o preço recorde será de 5,00 reais/kg.e) o menor preço será de 1,50 real/kg.

19 (UEM-PR) O crescimento de plantas é afetado pela luz solar e, portanto, as taxas de crescimento de plantas não são constantes durante um período normal de 24 horas. Analisando dados empíricos, o crescimento de uma certa espécie de planta em ambiente controlado foi modelado por uma função h(t) 5 0,2t 1 0,03 ? sen (2πt), em que h é a altura da planta em polegadas, t é o tempo em dias medido a partir de t 5 0 (meia-noite) de uma certa data.

Em relação ao exposto, assinale o que for correto.

(01) O gráfico de h, em um sistema ortogonal de coor-denadas, é uma semirreta no primeiro quadrante partindo da origem.

(02) A planta não ultrapassa a altura de 10 polegadas.(04) A sequência dos números h(14 1 k), obtida fazen-

do k 5 1, 2, 3, …, é uma progressão aritmética de razão 0,2.

(08) h(t 1 1) 5 h(t) 1 0,2, para todo t real não negativo. (16) Em 72 h, a planta cresce 0,6 polegada.

20 (Ufam) O encontro das águas é um fenômeno que acon-tece na confluência entre o rio Negro, de água negra, e o rio Solimões, de água barrenta. É uma das principais atraçõesturísticasdacidadedeManaus.

As águas dos dois rios correm lado a lado sem se mistu-rar por uma extensão de mais de 6 km. Esse fenômeno acontece em decorrência da diferença de temperatura e densidade dessas águas, além da diferença de velocida-de das correntezas.

•senx > 0 Æ |sen x| 5 sen xOs gráficos y 5 |sen x| e y 5 sen x coincidem.•senx 0 Æ |sen x| 5 2sen x Os gráficos y 5 |sen x| e y 5 sen x são simétricos em re-lação ao eixo x. Assim, a função f é par, pois f(x) 5 f(2x) tem período igual a π, Im f 5 [0, 1], Df 5 (2∞,1 ∞).

Restrita ao intervalo 50, π2

6, a função f é bijetora e, por-

tanto, possui inversa nesse intervalo.

Exer

cíci

o 17

Exer

cíci

o 18

O maior e o menor preço ocorrem, respectivamente,

quando cos [ 2πt360

] 5 1 e cos [ 2πt360

] 5 21. Nesses

casos, p(t) 5 5 e p(t) 5 1, respectivamente. Portanto, a

alternativa e está incorreta.

(01) A descrição remete a uma função linear, mas h(t) é uma função trigonométrica. Portanto, a afirmativa é falsa.

(02) sen 2πt 5 1 Æ t 5 2kπ2

5 kπ

0,2t 1 0,3 > 10 Æ t > 10 2 0,30,2

5 9,72

? 10 5 48,5

Portanto, para t > 48,5 existem valores de h(t) > 10.

(04) h(t) 5 0,2t 1 0,03 ? sen (2πt) ] ] h(14 1 k) 5 0,2 ? (14 1 k) 1 0,03 ? sen [2π ?? (14 1 k)] ]] h(14 1 k) 5 2,8 1 0,2k 1 0,03 ? sen [2π ? (14 1 k)]

sen (2πn) 5 0, então 2,8 1 0,2k é uma PA de razão 0,2 para k 5 1, 2, 3, ...

(08) •sen(2πt) 5 0 para t 7 N ] h(t) 5 0,2t 1 0,03 ? sen (2πt) 5 5 0,2t•h(t 1 1) 5 0,2 ? (t 1 1) 1 0,03 ? sen (2πt 1 2π) 55 0,2t 1 0,2 1 0,03 ? sen [2π(t 1 1)] 5 0,2t 1 0,2 1 0 5 5 0,2t 1 0,2 ] h(t 1 1) 5 h(t) 1 0,2

(16) t é dado em dias. Portanto, 72 h correspondem a 3 dias.Em polegadas: h(3) 5 3 ? 0,2 1 0,03 ? sen 6π 5 0,6 1 0 5 0,6.

Exer

cíci

o 19

Soma: 04 1 08 1 16 5 28

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• Fun

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trig

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étric

as

Uma equipe de pesquisadores da Ufam mediu a tempe-ratura (em °C) da água no encontro das águas durante dois dias, em intervalos de 1 hora.

A medição começou a ser feita às 2 horas do primeiro dia (t 5 0) e terminou 48 horas depois (t 5 48). Os da-

dos resultaram na função F(t) 5 24 1 8 sen [3π2

1 π

12 t],

em que t indica o tempo (em horas) e F(t) a temperatura (em °C) no instante t.

A temperatura máxima e o horário em que essa tempe-ratura ocorreu são, respectivamente:

a) 28 °C e 11h. d) 31 °C e 15h. b) 29 °C e 12h. e) 32 °C e 14h.c) 30 °C e 13h.

21 Determine o domínio e o período das seguintes funções:

a) f(x) 5 cotg [ x 2 π3

]

b) g(x) 5 sec 2x

c) h(x) 5 cossec [ x 1 π4

]

22 (UFV-MG) O domínio da função f(x) 5 cotg [2x 2 π3

] é todo número real x, exceto:

a) x 5 kπ 2π6

, k 7 b.

b) x 5π2

1 kπ, k 7 b.

c) x 5π2

1 kπ6

, k 7 b.

d) x 5π6

1 kπ, k 7 b.

e) x 5π6

1 kπ2

, k 7 b.

23 (Cefet-PR) Se f(x) 5 √3 cossec (2x) 1 cos (8x), f [π6

] é igual a:

a) 32

. d) 52

.

b) 0. e) 2. c) 1.

24 (V.Unif.-RS) A função definida por

f(x) 5 –(cos x) 3 (cotg x) é estritamente:

a) negativa em 60; 12

6.

b) negativa em [0; π].c) positiva em ]π; 2π[.

d) positiva em 6π; 3π

26.

e) positiva em todo seu domínio.

25 (V.Unif.-RS) O conjunto das abscissas dos pontos de interseção dos gráficos das funções cosseno e secante, quando traçadas em um mesmo sistema de eixos, é:

a) { 0 }. d) { 2kπ | k 7 b }.b) { π }. e) ~.c) { kπ | k 7 b }.

A temperatura é máxima quando sen [ 3π2

1 π

12 t] 5 1.

Então:

•3π2

1 π

12 t 5

π2

Æ t 5 14

•F(t) 5 24 1 8 ? 1 5 32

Exer

cíci

o 20

a)

•p 5 π

•x 2 π3 kπ ] x

π3 + kπ ]

] D 5 { x 7 V O x π3

+ kπ, k 7 b }

c)

•p 5 2π

•x + π4 kπ ] x 2

π4 + kπ ]

] D 5 { x 7 V O x 2 π4

+ kπ, k 7 b }

b)•p 5

2π2

5 π

•2x π2

1 kπ ] x π4

+ k ? π2

]

] D 5 { x 7 V O x π4

+ k ? π2

, k 7 b }Exer

cíci

o 21

Sendo k 7 b , de acordo com a condição de existên-cia da função:

2x 2 π3

kπ ] 2x π3

1 kπ ] x π6 1

kπ2Ex

ercí

cio

22Ex

ercí

cio

25

Dado que x π2

± kπ, k 7 b, então:

cos x 5 sec x ]

] cos x 5 1

cos x ] cos2 x 5 1 ] | cos x | 5 1 ] x 5 0 + kπ

Solução gráfica:

π 2–

π 2

3π 2– 3π

2– π π

– 1

1

ê função secante

ê função cosseno

y

x0

Exer

cíci

o 24

f (x) 5 s2 cos x d ? [cos xsen x] 5 2

cos2 xsen x

Para qualquer valor de x, cos2 x 0. Então o sinal de f

depende do fator 2 [1

sen x] . No intervalo I π; 3π2

T afunção é estritamente positiva, pois, nesse intervalo, sen x é negativo.

Exer

cíci

o 23

f [ π6

] 5 √3 ? cos sec [2 ? π6

] 1 cos [8 ? π6

] 5

5 √3 ? cos sec [ π3

] 1 cos [4π3

] 5 √3 ? 1

sen [ π3

] 2

2 cos [ π3

] 5 √3 ? 2

√3 2

12

5 2 2 12

5 32

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ESTUDANDO Funções trigonométricas

Para o enem

1

De acordo com um estudo, a função E(t) 1 2 sen t 1 3 indica a projeção das exportações do produto X, em mi-lhões de toneladas, em função do tempo t.

Observe o gráfico a seguir:

3

0

E(x)

t1 t2t3 t4

t

I. A partir do instante t1 as exportações de X seguirão em declínio até t4, quando retomarão o crescimento.

II. Entre o instante inicial e o instante t1 ocorrerá o valor máximo, que será de 5 milhões.

III. Entre os instantes t2 e t4 ocorrerá o valor mínimo, que será de 2 milhões.

IV. No intervalo compreendido entre os instantes t1 e t3, os valores de E(t) variam 4 unidades.

Com base nas informações acima e em seus conheci-mentos, é possível concluir que são verdadeiras as afir-mações:

a) I e II. b) I e III. c) II e IV.d) I, III e IV.e) II, III e IV.

(...) O estudo de tendências do agronegócio conside-ra aspectos globais como o crescimento da economia mundial, o envelhecimento populacional e a mudança nos hábitos alimentares, bem como o desenvolvimen-to tecnológico e a evolução da consciência ambiental. A avaliação desses aspectos ligados às características do setor no Brasil permite a elaboração de projeções de produção, consumo e comércio exterior. Os índi-ces atuais apontam para um mercado internacional de consumo em expansão, mas cada vez mais exigente no quesito de qualidade dos produtos agrícolas.

Disponível em: <www.agricultura.gov.br>. Acesso em: 15 ago. 2011.

De acordo com o enunciado, a projeção das exportações é dada pela função E(t) 5 2 sen t 1 3, com t no intervalo [0, t4].I. Falsa. O declínio ocorre entre os instantes de t1 e t3 e retoma o crescimento em t3.II. Verdadeira.III. Falsa.–1 sen t 1 ] 22 1 3 2 sen t 1 3 2 1 3 ] ] 1 2 sen t 1 3 5Ocorrerá um valor mínimo entre os instantes t2 e t3, mas o valor correto é de 1 milhão.IV. Verdadeira. Entre os instantes t1 e t3 E(X) atinge os valores máximo e mínimo: 5 2 1 5 4.

Exer

cíci

o 1

H15H22H26

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2 Uma roda-gigante comandada por um sistema compu-tadorizado está programada para, após desligada, parar apenas quando a cadeira de número 1 estiver no ponto mais baixo (considerado “altura zero”). O programador que desenvolveu o software que controla esse brinque-do precisava de uma função relacionando a altura da cadeira 1 e o tempo passado após o desligamento, usan-do como parâmetros o raio (10 m) e a velocidade angu-lar (10°/s) da roda. A função utilizada calculava a altura da cadeira a cada segundo desde o momento em que o brinquedo fosse ligado (“altura zero”), só permitindo o seu desligamento nos momentos em que o resultado da função fosse zero novamente.

A tabela abaixo mostra alguns dos resultados calculados por essa função durante o funcionamento do brinquedo desde o seu ligamento.

Tempo Ângulopercorrido

Ânguloem relação

ao horizonte

Altura da cadeira

t = 0 s 0° 270° h = 0 m

t = 6 s 60° 330° h = 5 m

t = 9 s 90° 0° h = 10 m

t = 12 s 120° 30° h = 15 m

t = 27 s 270° 180° h = 5 m

Com base na tabela e sabendo que a roda gira no senti-do anti-horário, assinale a alternativa que indica a fun-ção utilizada pelo programador.

a) f(t) 5 10 sen (270º + 10ºt)b) f(t) 5 10 1 10 sen (270º + 10ºt)c) f(t) 5 10 cos (270º + 10ºt)d) f(t) 5 10 1 10 cos (270º + 10ºt)e) f(t) 5 10 1 10 tg (270º + 10ºt)

H3

Exer

cíci

o 2

Exer

cíci

o 3

A função expressa no enunciado tem, no denominador, uma componente trigonométrica cosseno que varia de −1 a 1. Portanto, a soma dos valores de r no apogeu e no perigeu vale:

S 55.865

120,15 1

5.865110,15

5 12.000

H18H19H24

A figura abaixo mostra a roda-gigante em funcionamento.

Na figura, é possível observar que a altura da cadeira é dada por um valor h 5 x 1 10.O valor de x é dado por:

sen α 5 x10

] x 5 10 ? sen α

Resta encontrar o valor do ângulo α de acordo com o tempo que a roda fica ligada. A “altura zero” corresponde ao ângulo de medida 270° e a cadeira anda mais 10°/s, então: α = 270° + 10°t.Reunindo todas as informações:h 5 10 + x 5 10 + 10 sen α 5 10 + 10 sen (270°+ 10°t) ] ] f(t) = 10 + 10 sen (270° + 10°t) Observe que os dados da tabela poderiam ser testados e a alternativa correta, encontrada por tentativa e erro.

altura h = x � 10 m

altura 0

10 m

10 m

x

3 (Enem) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máxi-mo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satéli-te, o valor de r em função de t seja dado por:

r (t) 5 5.865

110,15 ? cos (0,06t)

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.

O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atin-ge o valor de:

a) 12.765 km.b) 12.000 km.c) 11.730 km.d) 10.965 km.e) 5.865 km.

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384

ESTUDANDO Geometria espacial: prismas e pirâmides

para o VestiBUlar

a 3 a 3 a __ 3

2 2 3 2 3 a __ 3

5 a2 ] a 5 4 ou a 5 21 (não convém)

Exer

cíci

o 3

2 (UEL-PR) Observe a figura.

Sobre o armazenamento de mel em colmeias, tem--se que o volume V de cada alvéolo, considerado como prisma regular hexagonal reto de altura h e arestas da base iguais a c, é dado por:

a) V 5 @ 2 1 dll 3 # hc2 ___

2 . d) V 5 3 dll 3 c2 h.

b) V 5 @ 1 1 dll 3 # hc2 ___

2 . e) V 5 3 dll 3 ____

2 c2 h.

c) V 5 @ 2 1 2 dll 3 # hc2 ___

2 .

A base do prisma é um hexágono constituído por 6 triângulos equiláteros de lado c.

Logo, V 5 6 3 c2 dll 3 3 h __________ 4

5 3 dll 3 3 c2 h _________ 2

u.v. Exer

cíci

o 2

Exer

cíci

o 1

3 (Mackenzie-SP)

A peça da figura, de vo-lume a2, é o resultado de um corte feito em um paralelepípedo reto--retângulo, retirando-se outro paralelepípedo reto-retângulo. O valor de a é:

a 2

2

a

a

a3

Cada um dos quadrados tem área igual a 16 cm2: x2 5 16 ] x 5 4 cmLargura: 25 2 2 ? 4 5 17Profundidade: 20 2 2 ? 4 5 12V 5 4 ? 12 ? 17 5 816

1 (Ufla-MG) Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, utilizando uma cartolina de dimensões 20 por 25 cen-tímetros. Para isso, serão cortados quatro quadrados, cada um deles com área igual a 16 centímetros quadra-dos, nos cantos da cartolina. A caixa é obtida dobrando--se as abas resultantes.

✄✄

✄

✄

✄

✄

✄

✄

dobra

20 cm

25 cm

dobradobra

dobra

Qualéovolumedacaixa?

a) 888 cm3 c) 816 cm3

b) 970 cm3 d) 1.010 cm3

a) 2 __ 3

. b) 5. c) 6. d) 4. e) 4 __ 5

.

Dança das abelhas

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• Geo

met

ria es

pacia

l: pr

ismas

e pi

râm

ides

Vsólido 5 Vcubo 2 4 3 Vpirâmide 5 63 2 4 3 3

2 __

2 3 3

_____ 3

]

] Vsólido 5 216 2 4 3 27 ___ 6

5 198 u.v.Exer

cíci

o 4

5 (PUC-Minas) Uma piscina tem 25 m de largura, 50 m de comprimento, 1,5 m de profundidade na parte mais rasa e 2,5 m na outra extremidade. Seu fundo é um plano inclinado. A partir desses dados, é correto afirmar que o volume dessa piscina, em metros cúbicos, é igual a:

a) 2.000. c) 2.500.b) 2.300. d) 2.800.

AS 5 L2 dll 3 _____ 4

1 3 3 L 3 H ] AS 5 82 dll 3 _____ 4

1 3 3 8 3 6 dll 3 ]

] AS 5 16 dll 3 1 144 dll 3 ] AS 5 272 cm2

Portanto, o custo total é de R$ 13,60 (272 3 0,05).Exer

cíci

o 6

4 (UFRGS-RS) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triângulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1.

O sólido obtido após a retirada das pirâmides está re-presentado na figura 2, a seguir.

O volume do sólido obtido é:

a) 198. d) 212.b) 204. e) 216.c) 208.

6 (UFPB) Foram feitas embala-gens de presente em forma de prisma regular de altura H 5 6 dll 3 cm e base triangu-lar de lado L 5 8 cm, confor-me ilustra a figura ao lado.

Sabendo -se que as em-balagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o custo total de fa-bricação de cada unidade é: (Dado: considere dll 3 5 1,7.)

a) R$ 12,30. d) R$ 15,20.b) R$ 13,60. e) R$ 17,30.c) R$ 8,16.

a) Tem-se AC 5 AB 5 dllllll 52 1 42 5 dlll 41 cm e

BC 5 dllllll 52 1 52 5 5 dll 2 cm. Como o △ABC é isósceles de base BC, cujo ponto médio é M, tem-se

Exer

cíci

o 7

AM 5 dlllllllll AB2 2 BM2 5 dlll 57 ___

2 cm.

Logo, a área do △ABC é 5 dll 2 3 dlll

57 ___ 2

____

2 5 5 dlll 57 _____

2 cm2.

b) O volume da pirâmide ABCD é 1 __ 3

3 ABCD 3 AD 5 50 ___ 3

cm3.

Seja d a distância entre o vértice D e o plano que con-tém o △ABC:

1 __ 3

3 AABC 3 d 5 50 ___ 3

] 5 dlll 57 _____ 2

3 d 5 50 ] d 5 20 dlll 57 ______ 57

cm

3

3

3

Figura 2

3 3

3

33 33

3

3

Figura 1

L

H

Observe a figura:

O volume da piscina é igual ao volume de um prisma de base trapezoidal. Logo:

V 5 (1,5 1 2,5) 3 50

_____________ 2

3 25 ] V 5 2.500 m3Ex

ercí

cio

5

25 m

1,5 m

50 m

2,5 m

7 (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepí-pedo reto-retângulo de dimensões 5 # 5 # 4, em centímetros, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.

a) Calcule a área do △ABC.b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que

contém o △ABC.

A

4

5

5

DB

C

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8 (UFU-MG) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a 5 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem.

Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H.

FM

L

GH

N

AK

B

CJ

D

I

E

9 (UFMG) Nesta figura, es-tão representados o cubo A B C D E F G H e o p r i s m a ACRPQO:

Sabe-se que:

•P, Q e R são, respectiva-mente, os pontos médios das arestas tAEu, tCGu e tCDu;

• opontoO é o centro da face CDHG; e• ovolumedoprismaACRPQO é 24 cm3.

Então, é correto afirmar que o comprimento de cada aresta desse cubo é:

a) 4 3 dll 2 cm. b) 2 3 dll 3 cm. c) 4 3 dll 3 cm. d) 2 3 dll 2 cm.

EP

D

A B

C

Q

G

R

OH

F

10 (UEG-GO) Uma indústria deseja fabricar um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 centímetros e a outra meça 30 centímetros. Para que a capacidade desse ga-lão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir no mínimo:

a) 11 cm. b) 10,4 cm. c) 10 cm. d) 9,6 cm.

11 (UFPE) Uma fábrica de embalagens confecciona cai-xas na forma de paralelepípedos reto-retângulos com base quadrada. Pretende-se confeccionar caixas com volume 19% menor que o das anteriores, mantendo-se a mesma altura da embalagem e diminuindo-se o lado da base quadrada. De qual percentual se deve reduzir oladodabase?

12 (UFPR) Sejam AB u, BC u e AC u diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme a figura a seguir.

a) Calcule a área do △ABC.

b) Calcule a área total da pirâmide ABCD.

c) Calcule o volume da pirâmide ABCD.

C

DA

B

Sejam L a medida da aresta do cubo e ARC a base do prisma ACRPQO:

Vprisma 5 AB 3 h 5 RC 3 AD _______ 2

3 AP 5 L __ 2

3 L ____

2 3 L __

2 5 24 ]

] L2 __

4 3 L __

2 5 24 ] L

3 __

8 5 24 ] L 5 4 3 dll 3 cm

Exer

cíci

o 9

No △EHM: (MH)2 5 (EM)2 + (EH)2 ] MH 5 3 dll 5 cm.O segmento tOM u e os lados da base da pirâmide pos-suem medida igual a 3 dll 2 cm. No △MHO, tem-se: @ 3 dll 5 # 2 5 @ 3 dll 2 # 2 (OH)2 ] OH 5 3 dll 3 cm

Portanto, V 5 1 __ 3

3 6 3 @ 3 dll 2 # 2 dll 3

____________ 4

3 3 dll 3 ] V 5 81 cm3.

Exer

cíci

o 8

Sejam x, (x 1 2) e 30 as medidas das arestas do paralelepípedo e 3,6 litros 5 3.600 cm3, tem-se:

V 5 x 3 (x 1 2) 3 30 5 30x2 1 60x e V > 3.600 cm3

30x2 1 60x > 3.600 ] x < 212 ou x > 10

Por não assumir medidas negativas, a menor aresta do paralelepípedo deve medir, no mínimo, 10 cm.

Exer

cíci

o 10

Caixa inicial (aresta a e altura h): Vinicial 5 a2 3 h.Nova caixa (aresta x e altura h): Vfinal 5 x2 3 h.Volume da nova caixa (volume inicial reduzido de 19%):

a2 3 h 2 0,19 3 a2 3 h 5 0,81 3 a2 3 hAssim, x2 3 h 5 0,81 3 a2 3 h ] x 5 0,9a.A aresta da base da nova caixa deve ser igual a 90% da aresta da caixa inicial, ou seja, o lado da base da caixa inicial deve ser reduzido em 10%.

Exer

cíci

o 11

a) O △ABC é equilátero de lados 10 dll 2 . Sua área será

@ 10 dll 2 # 2 dll 3

__________ 4

5 50 dll 3 cm2.

b) AT 5 AABC 1 3 3 AADB 5 50 dll 3 1 3 3 102 ___

2 5 50 @ 3 1 dll 3 # cm2

c) V 5 AADB 3 DC

________ 3

5 50 3 10 ______ 3

5 500 ____ 3

cm2

Exer

cíci

o 12

■ FG 5 DF 3 sen 45w 5 dll 2 3 dll 2 ___ 2

5 1 m

■ DG 5 FG 5 1 m e DH 5 AH 5 6 m■ Trapézio ABCD: AB 5 10 m, CD 5 22 m e AH 5 6 m■ AJ 5 FJ 5 5 m■ Trapézio ABEF: AB 5 10 m, EF 5 20 m e AJ 5 5 m

■ Logo, a razão pedida é 5 3 (10 1 20)

___________ 2

___________

6 3 (10 1 22)

___________ 2

5 25 ___

32 .

Exer

cíci

o 13

6 m

10 mA B

E

C

45°

IHGD

KJF

45°

2 m

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• Geo

met

ria es

pacia

l: pr

ismas

e pi

râm

ides

Os lados do quadrilátero ABCD medem 10 4 2 5 5.

PC 5 10 dll 3 _____ 2

5 5 dll 3 . Logo, no △PAC:

@ 10 dll 3 _____ 2

# 2 5 52 1 (AC)2 ] AC 5 5 dll 2

A diagonal AC u do quadrilátero ABCD é igual à diagonal de um quadrado de lado 5. Logo, AABCD 5 52 5 25 u.a.

Exer

cíci

o 16

D

C

B

A

P

15 (Unicamp-SP) Suponha que um livro de 20 cm de lar-gura esteja aberto conforme a figura a seguir, sendo DAC 5 120w e DBC 5 60w.

a) Calcule a altura tABu do livro.b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.

13 (Mackenzie-SP)

A figura acima representa uma caçamba com água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares e as laterais paralelas têm o formato de trapézios isósceles. Se d 5 dll 2 , a razão entre o volume de água e o volume total da caçamba é:

a) 17 ___ 25

. c) 25 ___ 28

. e) 25 ___ 32

.

b) 21 ___ 32

. d) 17 ___ 28

.

14 (FGV-SP) Considere uma pirâmide regular de altura 3 dll 6 ____ 2

cuja base é um quadrado de lado 3. Calcule:

a) o volume da pirâmide;b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide.

6 m

10 m

45°

hd

D

B

60°

20 cm

120°

A

C

16 (UFRGS-RS) Na figura abaixo, os vértices do quadriláte-ro ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular.

Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é:

a) 25. c) 75. e) 100.b) 25 dll 3 . d) 50 dll 3 .

AD

B C

a) O △DBC é equilátero. Seja BD 5 BC 5 DC 5 l, tem-se: DC2 5 AD2 1 AC2 2 2 3 AD 3 AC 3 cos 120w ]

] l2 5 202 1 202 2 2 3 20 3 20 3 @ 2 1 __ 2

# ] l 5 20 dll 3 cm

Pelo Teorema de Pitágoras no △BAD, tem-se: AB 2 1 20 2 5 l 2 ] AB 2 5 3 3 (202) 2 20 2 ] AB 5 20 dll 2 cm.

b) Seja DAC a base e ABu sua altura. Assim, seu volume é dado

por 1 __ 3

3 1 __ 2

3 20 3 20 3 sen 120w 3 20 dll 2 5 2.000 dll 6 ________ 3

cm3.

Exer

cíci

o 15

a) A área da base da pirâmide é 32 5 9. Portanto, seu volume V é:

V 5 1 __ 3

3 32 3 3 dll 6 ____ 2

5 9 dll 6 ____ 2

u.v.

b)

Da figura, OV 5 OA 5 OB 5 OC 5 OD 5 R, em que R é o raio da esfera.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no OEC:

R2 5 @ 3 dll 6 ____ 2

2 R # 2 1 @ 3 dll 2 ____ 2

# 2 ]

] R2 5 27 ___ 2

2 3R dll 6 1 R2 1 9 __ 2

] R 5 dll 6 u.c.Ex

ercí

cio

14

3 62

– R

R R

V

RC

D

B

3

3

O

E

A

3 62

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17 (Fuvest-SP) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD.

Sabe-se que:

•AB 5 CD 5 dll 3 ___ 2

;

•AD 5 BC 5 AE 5 BE 5 CE 5 DE 5 1;

•AP 5 DQ 5 1 __ 2

.

Determine:

a) a medida de BPu;b) a área do trapézio BCQP;c) o volume da pirâmide BPQCE.

E

C

B

A

PD

Q

Considerando a figura:

■ M e N: pontos médios de tADu e tBCu, respectivamente.

■ tEMu e tENu medem dll 3 ___ 2

.

■ tEMu // tABu e tMNu // tCDu. Portanto, MN 5 dll 3 ___ 2

.

■ P e Q: pontos médios de AE u e tDE u, respectivamente.

Então PQ 5 1 __ 2

.

■ Como as faces ABE e DCE são congruentes, o trapézio BCQP é isósceles.

a) (BP)2 5 @ 1 __ 4

# 2 1 @ 3 __ 4

# 2 ] BP 5 dlll 10 ____

4 u.c.

b) ABCQP 5 @ 1 1 1 __ 2

______

2 # 3 3 __

4 5 9 ___

16 u.a.

c) Como ER u t tPQ u e ER u t tRN u, ER u é altura da pirâmi-de BPQCE relativa à base BCQP. O volume dessa

pirâmide é dado por 1 __ 3

3 9 ___ 16

3 dll 3 ___ 4

5 3 dll 3 ____ 64

u.v.

Exer

cíci

o 17

E

P

A

B

N

C

Q

RD

M

18 (PUC-Campinas-SP) Em Marte existem algumas pai-sagens familiares aos humanos: vales, ravinas, dunas, montanhas. Uma das imagens mais famosas é a monta-nha conhecida como Pirâmide D&M, cuja vista superior é mostrada na figura abaixo. Seu nome é uma homena-gem aos cientistas Vincent di Pietro e Greg Molenaar.

Ela aparenta ser uma pirâmide de 5 faces e estima-se que tenha 800 m de altura e volume em torno de 700 vezes o volume da Grande Pirâmide do Egito, que é de aproximadamente 2.600.000 m3. Supondo que a base da Pirâmide D&M seja um pentágono regular cujo lado mede P metros e utilizando os dados da tabela abaixo, o número P é igual a:

Medidado

ânguloSeno Cosseno Tangente

36º 0,6 0,8 0,75

54º 0,8 0,6 1,4

72º 0,9 0,3 3

a) 10 dll 390. d) 100 dll 390.b) 20 dll 445. e) 100 dll 445.c) 50 dll 390.

Exer

cíci

o 18

Seja AT a área de cada triângulo que compõe o pentágo-no regular que forma a base da pirâmide D&M. Assim:

Vpirâmide D&M 5 (5 ? AT) ? 8003 5 700 ? 2.600.000 ]

] AT 5 1.365.000Os ângulos da base desses triângulos têm medida igual a 54°. Seja H a altura desses triângulos.

tg 54° 5 HP2

] 1,4 5 2HP

] H 5 0,7 P

AT 5 P ? H2 5

P ? (0,7 P)2 5 1.365.000 ] P 2 5 2.730.000

0,7 ]

] P 5 √3.900.000 5 100√390

NA

SA

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19 (IFSP) A base de uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um círculo que é a base de um cilindro reto de altura 6√3 cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então a medida, em centímetros, da altura da pirâmide é:

a) 9π. c) 15π. e) 24π.b) 12π. d) 18π.

20 (IFSP) Um tanque na forma de um paralelepípedo reto--retângulo tem 6 m de comprimento, 5 m de largu-ra, 4 m de altura e está vazio. Em determinado instante, uma torneira é aberta e vai enchendo o tanque de água a uma taxa de 4 m3 por hora até completar a capacidade do tanque. A função h(t) da altura da água, em metros, t horas após a abertura da torneira, é:

a) h(t) 5 4 1 4t, t � [0, 30].b) h(t) 5 4 2 4t, t � [0, 120].c) h(t) 5 t, t � [0, 30].d) h(t) 5 t, t � [0, 120].e) h(t) 5 4t, t � [0, 60].

21 (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vérti-ces os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:

a) 59

. c) 13

. e) 19

.

b) 49

. d) 29

.

22 (Cefet-MG) Uma jardineira para janela, feita de chapas de metal, foi construída soldando-se dois trapézios isós-celes a retângulos, com o formato mostrado na figura.

30 cm

1 m

20 cm

40 cm

A quantidade de material necessária para se fazer essa jardineira é, em cm2, igual a:

a) 2.800. d) 200 (19 1 10√10 ).b) 4.800. e) 400 (7 1 5√10 ).c) 2.800 √10 .

23 (UFRN) Como parte da decoração de sua sala de traba-lho, José colocou sobre uma mesa um aquário de acríli-co em forma de paralelepípedo retângulo, com dimen-sões medindo 20 cm × 30 cm × 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 40 cm × 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura.

Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm × 30 cm, a altura da água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente:

a) 16 cm. c) 33 cm.b) 17 cm. d) 35 cm.

Sejam H a altura da pirâmide, , o lado da base e VP e VC os volumes da pirâmide hexagonal e do cilindro reto, respectivamente. Então, VP 5 VC.

VP 5 Ab 3 H3

5 @ 6 3 ℓ2a34

#3 H 3 1

3 ] VP 5 ℓ2Ha3

2

VC 5 Ab 3 h 5 πℓ2 3 6 a3

VP 5 VC ] ℓ2Ha32

5 6 a3 3 πℓ2 ] H 5 12π

Exer

cíci

o 19

Exer

cíci

o 20

Vtanque 5 4 m 3 6 m 3 5 m 5 120 m3

Se a cada hora a torneira enche 4 m3, então 120 m3 são enchidos em 30 horas.Como a torneira enche o tanque a uma taxa constante de 4 m3 por hora, a função h(t) da altura da água éh(t) 5 t com t � [0, 30].

Exer

cíci

o 21

tPQu é a diagonal do quadrado PQRS, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais. O triângulo AEB é uma das faces laterais da pirâmide.

EEEE

PP QQQQ

MMMMMMMMAAAA BBBB

EE

P’P’P’P’ E’E’E’E’ Q’Q’Q’Q’ NNNN

EB2 5 EM2 1 MB2 ] EM2 5 EB2 – MB2 5 12 – @ 12 #25

5@ 34 # ] EM 5 a32

PM 5 13

3 EM 5 13

3 a32

] PM 5 a36

EMME'

5 PMMP'

]

a3212

5

a36

MP' ] MP' 5

16

P’E’ 5 ME’ – MP’ 5 12

– 16

5 13

] P’E’ 5 13

P’Q’ 5 PQ 5 1 – P’E’ 5 23

PQ 5 L a2 5 23

] L 5 a23

] APQRS 5 L2 5 @ a23

#2 5 2

9

Exer

cíci

o 23

Volume de água no interior do aquário: 40 cm 3 20 cm 3 25 cm 5 20.000 cm3

O volume de água não se altera ao mudar a face de apoio, então se aplica a mesma fórmula para obtenção da altura:20 3 30 3 H 5 20.000 ] H 5

20.000600

≃ 33 cm

Exer

cíci

o 22

Alateral jard. 5 2 3 Aret. lateral 1 2 3 Atrap. 1 Aret. base

AD corresponde à altura do retângulo lateral: AD2 5 AP 2 1 PD2 ] AD2 5 102 1 302 5 1.000 ] ] AD 5 10 a10 cm

Aret. lateral 5 10 a10 cm 3 100 cm 5 1.000 cm2

Atrap. 5 (40 cm 1 20 cm) 3 30 cm2

5 900 cm2

Aret. base 5 20 cm 3 100 cm 5 2.000 cm2

2 3 1.000 a10 cm2 1 2.000 cm2 1 2 3 900 cm2 5 5 200 (19 110 a10 ) cm2

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390

ESTUDANDO Geometria espacial: prismas e pirâmides

para o eNem

1 (Enem) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de com-primento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:

a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm.d) 24 cm.e) 25 cm.

2 Um líquido está armazenado em um recipiente, preen-chendo totalmente seu volume interno. Esse recipiente tem o volume interno em formato de um prisma de al-tura 5 m e cuja base corresponde a um triângulo isósce-les cujos lados medem 5 m, 5 m e 8 m.

Deve-se realizar a transferência do líquido de modo que seja armazenado em tanques cúbicos de medida lateral igual a 2 m ou tanques cilíndricos de 1 m de altura e raio da base medindo 2 m. Cada tanque cúbico custa R$ 300,00 e cada tanque cilíndrico, R$ 500,00.

Utilize π 5 3 e selecione a alternativa que apresenta o tipo de tanque e sua quantidade mínima para que seja possível realizar a tarefa de maneira mais econômica.

a) 5 tanques cúbicosb) 6 tanques cilíndricosc) 7 tanques cilíndricosd) 8 tanques cúbicose) 9 tanques cúbicos

3 (Enem) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o forma-to de um prisma reto com base triangular, cujas dimen-sões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

10 cm

8 cm6 cm

Os volumes das barras em forma de paralelepípedo (Vp) e de cubo (Vc) são iguais.Sabendo que Vp é dado pelo produto de suas dimensões e Vc pelo cubo de suas arestas (a), tem-se:Vp 5 Vc ] 3 ? 18 ? 4 5 a3 ] 316 5 a3 ] a 5 6 cm

Volume do prisma:

Ab 5 8 ? 32

5 12 m2 ] V 5 Ab ? h 5 12 ? 5 ] V 5 60 m3

Volume de um tanque cúbico:V 5 23 ] V 5 8 m3

60 : 8 5 7,5Volume de um tanque cilíndrico:V 5 (πr 2) ? h 5 π ((2)2) ? 1 5 3 ? (4) ] V 5 12 m3

60 : 12 5 5A fim de obter um volume igual a 60 m3, são necessá-rios 8 tanques cúbicos (isso resulta em um gasto de R$ 2.400,00 ou no mínimo 5 tanques cilíndricos (isso re-sulta em um total de R$ 2.500,00).Portanto, a alternativa mais econômica é usar 8 tanques cúbicos por R$ 2.400,00.

Exer

cíci

o 1

Exer

cíci

o 2

De acordo com o enunciado, o perímetro da base é dado por: 6 1 8 1 10 5 24Utilizando as fórmulas de área do triângulo:

A 5 b ? h2

e A 5 P2 ? R :

6 ? 82 5 24

2 ? R ] R 5 2 Exer

cíci

o 3

H8

H7H8

H8

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• Geo

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l: pr

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e pi

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ides

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ismas

e pi

râm

ides

mat

emát

ica

• Geo

met

ria es

pacia

l: pr

ismas

e pi

râm

ides

O raio da perfuração da peça é igual a:

a) 1 cm. d) 4 cm.b) 2 cm. e) 5 cm.c) 3 cm.

4 Um artesão cobra R$15,00 por metro cúbico de vidro empregado em cada obra. Um cliente encomenda uma pirâmide maciça de base quadrada com volume total de 72 m3, mas, em seguida, solicita ao artesão que altere o modelo do objeto. Então o artesão realizou a alteração seguindo as instruções do cliente.

Caso o cliente tenha pedido a retirada da parte superior do objeto inicial, uma pirâmide cuja altura corresponde a um terço da altura da pirâmide original:

I. a diminuição do volume do objeto será de 9 m3.

II. o sólido resultante será uma pirâmide cujo volume equivale a dois terços do sólido inicial.

III. o sólido resultante será um tronco de pirâmide de bases paralelas, e a diminuição no faturamento do artesão será de R$ 135,00.

É (são) verdadeira(s) a(s) afirmativa(s):

a) I.b) I e II.c) II e III.d) I e III.e) I, II e III.

5 (Enem) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm, e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse ob-jeto foi de:

a) 12 cm3.b) 64 cm3.c) 96 cm3.d) 1.216 cm3.e) 1.729 cm3.

Sejam V e v os volumes da pirâmide original e da parte removida, respectivamente. A razão entre os volumes das pirâmides é igual à razão entre suas alturas elevada ao cubo:

vV

5 [ hH ]

3 ] v

V 5 [

H3H

] 3

5 [ 12 ]

3 5 1

8 ] V 5 8v

Sabendo que a pirâmide original continha um volume total igual a 72 m3, a diminuição do volume do objeto foi de 9 m3. Portanto, sendo R$ 15,00 o custo por metro cúbico de vidro, o artesão deixou de faturar R$ 135,00.

Portanto, seus volumes valem:Vgrande 5 123 5 1.728Vpequeno 5 83 5 512

O volume resultante é:Vgrande − Vpequeno 5 1.728 − 512 5 1.216

Exer

cíci

o 4

Exer

cíci

o 5

H7H8

H8

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ESTUDANDO Geometria espacial: corpos redondos

Para o VESTIBULAR

1 (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volumeda substância presente a cada 100 mL. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas?Ex

ercí

cio

1100 mL 5 100 cm3

V 5 sr 2h ] 100 5 s 3 52 3 h ] h 5 4 __ s cm.

Portanto, a distância entre duas marcas é 4 __ s cm.

2 (UEG-GO) Dentro de uma lata de óleo, no formato de um cilindro circular reto, com capacidade de 900 mL e altura de 20 cm, coloca-se um paralelepípedo reto, de base quadrada, de forma que esta base esteja totalmen-te apoiada no fundo da lata e que seus vértices toquem as laterais da lata. Determine a altura desse paralelepí-pedo, sabendo que seu volume é de 10% do volume total da lata.

Exer

cíci

o 2

Seja r o raio da base e h a altura do cilindro; d a diagonal e c o lado do quadrado da base do paralelepípedo, bem como x sua altura:

900 mL 5 900 cm3 ] Vparalelepípedo 5 900 3 0,10 5 90 cm3

Vcilindro 5 s 3 r 2 3 h ] 900 5 s 3 r 2 3 20 ] r 5 dlll 45 ____ s cm

d 5 2r 5 2 dlll 45 ____ s cm ] 2

dlll 45 ____ s 5 c dll 2 ] c 5 2 dlll 45 ____ s cm

Vparal. 5 c2h ] 90 5 @ 2 dlll 45 ___

2s # 2 3 h ] h 5 s cm

3 (UFC-CE) Em um contêiner de 10 m de comprimento, 8 m de largura e 6 m de altura, podemos facilmente empilhar 12 cilindros de 1 m de raio e 10 m de altura cada, bastando dispô-los horizontalmente, em três ca-madas de quatro cilindros cada. Porém, ao fazê-lo, um certo volume do contêiner sobrará como espaço vazio. Adotando 3,14 como aproximação para p, é correto afir-mar que a capacidade volumétrica desse espaço vazio é:

a) inferior à capacidade de um cilindro.b) maior que a capacidade de um cilindro, mas menor

que a capacidade de dois cilindros.c) maior que a capacidade de dois cilindros, mas menor

que a capacidade de três cilindros.d) maior que a capacidade de três cilindros, mas menor

que a capacidade de quatro cilindros.e) maior que a capacidade de quatro cilindros.

4 (Cesgranrio-RJ)

4 m

2 m

3 m

Um sólido totalmente maciço é composto da união de dois cilindros circulares retos de mesmo diâmetro. As densidades do cilindro menor e do cilindro maior valem, respectivamente, 8.900 kg/m3 e 2.700 kg/m3. Considerando-se p = 3, a massa desse sólido, em tone-ladas, vale:

a) 97,2. d) 310,8.b) 114,5. e) 320,4.c) 213,6.

5 (UFRJ) Considere a superfície cilíndrica S obtida a partir da superposição dos segmentos tABu e tDCu do retângulo ABCD indicado a seguir.

O volume do contêiner é igual a 480 m3; o volume de um cilindro é igual a p m 3 12 m 3 10 m 5 31,4 m3, de ma-neira que o volume dos 12 cilindros juntos é igual a 12 33 31,4 m3 5 376,8 m3. Portanto, o volume do espaço va-zio é igual a 480 m3 376,8 m3 5 103,2 m3, o que cor-responde ao volume de mais de três e menos de quatro cilindros.

Exer

cíci

o 3

Vcil. menor 5 p 3 22 3 2 5 3 3 8 ] V 5 24 m3

d 5 mV

] 8.900 5 m24

] m 5 213.600 kg

Vcil. maior 5 p 3 22 3 3 5 3 3 12 ] V 5 36 m3

d 5 mV

] 2.700 5 m36

] m 5 97.200 kg

97.200 kg 1 213.600 kg 5 310.800 kg 5 310,8 t

Exer

cíci

o 4

Ao considerar a linha L sobre S obtida pela superposi-ção dos lados tABu e tDCu do retângulo, a formiga tem duas opções para chegar ao ponto Q, partindo do ponto P e caminhando sobre S:I. Uma trajetória que não cruza a linha L; II. Uma trajetória que cruza a linha L. Em cada uma das opções, o caminho mais curto é aquele que corresponde a linhas retas sobre o retângulo (veja as figuras 1 e 2).

33

4

4Figura 1

P

Q

3

QQ

3Figura 2

Na opção I, a distância percorrida é: d1 5 √16 1 9 5 5.

Na opção II, a distância percorrida é: d2 5 √9 1 9 5 3√2.d2 d1

Portanto, a menor distância percorrida é de 3√2.

Exer

cíci

o 5

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5

7

A D

Q

1

2

1

1

CB

P

Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a su-perfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q.

Determine o comprimento desse caminho.

6 (UFU-MG) Ao assistir a uma reportagem na TV sobre o impacto do crescimento demográfico nos recursos hí-dricos, o Sr. José decidiu adotar medidas que auxiliam na preservação de recursos naturais. Ele construiu um reservatório para captação de água da chuva e também instalou um aque-cedor solar em sua residência. O siste-ma de aquecimento solar é composto de coletores solares (placas) e um reser-vatório térmico cha-mado boiler, o qual tem o formato de um cilindro circular reto, como mostra a figura ao lado.

Por sua vez, foi escolhido e construído um reservatório para a captação de água da chuva na forma de um pris-ma reto cuja base é um quadrado.

Sabe-se que:

1. o lado da base do prisma (que corresponde ao reser-vatório) mede 2 metros e o raio da base do cilindro

(que corresponde ao boiler) mede 12

metro.

2. a área lateral do prisma (reservatório) é igual ao do-bro da área lateral do cilindro (boiler).

A partir das considerações acima, redija um texto que relacione o volume do reservatório e o volume do boiler. Utilizando-o, estabeleça o valor da razão (volume do reservatório) / (volume do boiler).

Os volumes do reservatório (R) e do boiler (B) são, res-pectivamente:• VR 5 L2

R 3 hR 5 22 3 hR 5 4hR

• VB 5 p 3 r 2B 3 hB 5 p 3 [ 12

]2

3 hB 5 p4

hB

Logo, VR

VB 5 4hR

p4 hB

5 16p

3 hR

hB.

As respectivas áreas laterais são:• AR 5 4 3 LR 3 hR 5 4 3 2 3 hR 5 8hR

• AB 5 2p 3 rB 3 hB 5 2p 3 12

3 hB 5 phB

De acordo com o enunciado:• AR 5 2AB ] 8hR 5 2 3 (p 3 hB) ] hR

hB 5

p4

.

• VR

VB 5 16

p 3 hR

hB 5 16

p 3 p

4 ] VR

VB 5 4

Exer

cíci

o 6

Exer

cíci

o 7

Vinicial 5 p 3 R 2 3 H 5 p 3 [ 2√p

]2

3 H ] Vinicial 5 4H cm3

Vfinal 5 p 3 R 2 3 (H 1 3) 5 p 3 [ 2√p

]2

3 (H 1 3) 5 4 3 (H 1 3) ]

] Vfinal 5 (4H 1 12) cm3

Portanto, o volume do objeto é igual a 12 cm3.

Exer

cíci

o 8

Sejam V, R e H o volume, o raio da base e a altura, res-pectivamente, tem-se:

V 5 p 3 R 2H 5 p 3 [ 2√p

]2

3 6 5 p 3 4p

3 6 ] V 5 24 m3

1 m3

24 m3 5 1.000 Lx

] x 5 24.000 L

Exer

cíci

o 9

Sejam V, R e H o volume, o raio da base e a altura, res-pectivamente, tem-se:Vlata 5 p 3 R 2 3 H

Vcopo 5 p 3 [ 2R5

]2

3 H4

5 p 3 4R 2

25 3 H

4 5 p 3 R 2 3 H

25Como o volume da lata é 25 vezes maior que o de cada copo, pode-se afirmar que o valor de x é 25.7 (Ufam) Uma consequência do famoso Princípio de

Arquimedes é que, quando mergulhamos um corpo em um líquido, o corpo desloca uma quantidade de lí-quido igual a seu volume. Se um determinado objeto é submerso em um recipiente com água em forma de

um cilindro circular reto de raio da base igual a 2

√p cm

e desloca o nível da água em 3 cm, então podemos con-cluir que o volume de tal objeto é igual a:

a) 3 cm3. c) 12 cm3. e) 36 cm3.b) 6 cm3. d) 18 cm3.

Boiler(reservatório térmico)

Coletoressolares

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398

Exer

cíci

o 14

No SVHA a medida do ângulo VÂH é 40w. Logo:

tg 40w 5 VH ___ AH

] 0,84 5 3,36

____ AH

] AH 5 4

No SHAB, tem-se r 2 5 AH 2 1 AB2 ] r 2 5 42 1 32 ] r 5 5

V 5 sr 2 3 VH _______

3 5

3,14 3 52 3 3,36 ____________

3 7 87,92

Logo, o inteiro mais próximo do volume do cone é 88.

V

A

B

33

H

r

11 (UFABC-SP) As figuras mostram um cone circular reto de raio da base r e a planificação da sua área lateral.

Relembrando que o volume de um cone é igual a 1 __ 3

do

produto entre a área da base e a altura do cone, calcule o raio da base e o volume desse cone.

Exer

cíci

o 11

2 3 s 3 3 360w x 270w

2sr 5 9s ___ 2

] r 5 9 __ 4

cm

O raio do setor circular da planificação da superfície late-ral é igual a sua geratriz, ou seja, g 5 3 cm.Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, geratriz e raio da base, tem-se:

h2 1 @ 9 __ 4

# 2 5 32 ] h 5 3 dll 7 ____

4 cm

Volume do cone: 1 __ 3

s 3 @ 9 __ 4

# 2 3 3 dll 7 ____

4 5 81 dll 7 s

______ 64

.

] x 5 9s ___ 2

cm

10 (ITA-SP) As medidas, em metros, do raio da base, da al-tura e da geratriz de um cone circular reto formam, nes-ta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2.

Exer

cíci

o 10

Sejam r, h e g as medidas do raio da base, da altura e da geratriz do cone respectivamente. Tem-se: h 5 r 1 2 e g 5 r 1 4, logo:

g2 5 h2 1 r 2 ] (r 1 4)2 5 (r 1 2)2 1 r 2 ]

] r 2 2 4r 2 12 5 0 ] r 5 6 ou r 5 22 (não convém)

Portanto, h 5 8 e g 5 10.

AT 5 AB 1 AL ] AT 5 sr 2 1 srg ] AT 5 96s m2

12 (UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede 2 dll 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, e

multiplique o resultado por dll 3 .

Por ser um cone equilátero, a seção será um triângulo equilátero de lados cuja medida é a da geratriz, portanto:

A 5 1 __ 2

3 2 3 2 dll 3 3 sen 60w 5 2 3 3 3 dll 3 ___ 2

5 3 dll 3 cm2

Como solicitado: 3 dll 3 3 dll 3 5 9.

Exer

cíci

o 12

(fora de escala)Planificação da área

lateral do cone

r

270°

3 cm 3 cm

O ângulo formado pela geratriz e o raio do cone maior é

igual a 45w, pois tg 45w5 10 ___ 10

5 1.

Para que o volume do tronco de cone seja igual à metade do volume do cone maior, o volume do cone menor deve possuir volume igual à metade do volume do cone maior.

Vcone maior 5 s 3 102 3 10 __________ 3

5 1.000s ______ 3

] Vcone menor 5 500s _____ 3

500s _____ 3

5 s 3 x 2 3 x _______ 3

] x3 5 500 ] x 5 5 3 dll 4 cm

Portanto, h 5 10 2 x ] h 5 (10 2 5 3 dll 4 ) cm.

Exer

cíci

o 13

13 (UFU-MG) O cone maior da figura a seguir tem raio da base e altura iguais a 10 cm.

h

9 (Uesb-BA, adaptada) Uma lata cilíndrica está completa-mente cheia de determinado suco. Esse líquido deve ser to-talmente distribuído em x copos cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da lata e o raio, dois quintos do raio da lata.

Considerando-se que os copos ficaram totalmente cheios, pode-se afirmar que o valor de x é:

a) 9. c) 18. e) 30.b) 16. d) 25.

8 (UFPI) A capacidade em litros de um tanque de com-bustível que possui forma cilíndrica, com diâmetro in-

terno 4

√p m e comprimento 6 m, é:

6 m

4π m√

a) 10.000. c) 20.000. e) 30.000.b) 16.000. d) 24.000.

dll 3

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15 (Uerj) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colinea-res, conforme representado na ilustração a seguir.

A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0, 12[ de modo que ele permaneça inscrito nesse cone.

Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima.

14 (UFPE) Um plano que passa pelo vértice de um cone reto intercepta o círculo da base deste em uma corda de comprimento 6. Este plano forma com o plano da base do cone um ângulo de 40w e a altura do cone é 3,36.

Indique o inteiro mais próximo do volume do cone. (Dado: use as aproximações tg 40w 7 0,84 e s 7 3,14.)

b) O volume do sólido obtido pela rotação é o de um cone de raio e altura iguais a 1, acrescido do volume de um cilindro de raio 1 e altura 3, retirando o volume de uma semiesfera de raio 1. Logo:

V 5 s 3 12 3 1 ________

3 1 s 3 12 3 3 2 1 __

2 3 4 3 s 3 13

________ 3

]

] V 5 s __ 3

1 3s 2 2s ___ 3

] V 5 8s ___ 3

u.v.

a)

Exer

cíci

o 17

y

x

x = 15

43

R

1

–1 1

y = x

Determine a altura h de forma que o volume do tronco de cone de altura h seja igual à metade do volume do cone maior.

16 (UFRJ) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x . y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir.

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da re-gião sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. Justifique.

x

y

Exer

cíci

o 16

O volume do sólido será igual ao volume do cilindro de

raio y

__ 2

e altura x, retirando-se o volume de duas semies-

feras de raio y

__ 2

. Logo, o volume desejado é:

V 5 s @ y __ 2

# 2 x 2 4 __ 3

s @ y __ 2

# 3 5 3sy2x

_____ 12

2 2sy3

____ 12

5 y2s(3x 2 2y)

___________ 12

Exer

cíci

o 15

Tem-se a seguinte proporção:

12 2 h ______ 2r

5 12 ___ 12

] r 5 12 2 h ______ 2

cm

AL 5 2srh ] AL 5 2s @ 12 2 h ______ 2

# h ] AL 5 2sh2 1 12sh

Assim, hv 5 2b ___ 2a

5 212s ______

2(2s) ] hv 5 6 cm

Portanto, a área lateral do cilindro será máxima para h 5 6 cm.

12

12 – h

h2r

17 (UFPR) Um sólido de revo-lução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figu-ra plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exem-plo, rotacionando-se um re-tângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura ao lado.

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19 (Unesp) Uma quitanda ven-de fatias de melancia emba-ladas em plástico transpa-rente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como repre-sentado na figura.

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4sR 2 cm2, determine, em função de s e de R:

a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);b) quantos cm2 de plástico foram necessários para em-

balar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da super-fície total de cada fatia.

Exer

cíci

o 19

a) Como a melancia, de forma esférica, foi cortada em 12 fatias iguais, a área da casca de cada fatia, em cm2, é:

4sR 2 _____ 12

5 sR 2 ___ 3

b) A superfície total tem área sR 2 ___ 3

1 2 3 sR 2 ___ 2

5 4sR 2 _____ 3

.

18 (UFC-CE) Temos, em um mesmo plano, uma reta r e um triângulo ABC, de lados AB 5 3 cm, AC 5 4 cm e BC 5 5 cm, situado de tal forma que o lado tACu é parale-lo à reta r, distando 3 cm dela. Calcule, em cm3, os pos-síveis valores para o volume V do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo ABC em torno da reta r.

Exer

cíci

o 18

Exer

cíci

o 20

Inicialmente, como 32 1 42 5 52, a recíproca do Teorema de Pitágoras garante que o triângulo ABC seja retângulo em A. Portanto, o ponto D, de intersecção da reta r com a reta suporte do lado tABu, coincide com o pé da perpen-dicular baixada de B (ou de A) a r. Sendo E o pé da per-pendicular baixada de C a r, há dois casos a considerar:1. B e D coincidem: nesse caso, V 5 V1 V2, em que V1

é o volume do cilindro circular reto de geratriz ACu e raio da base CEu, e V2, o volume do cone circular reto de altura DEu e raio da base CEu. Em cm3, V1 5 p 3 32 3 4 5

5 36p e V2 = 13

3 p 3 32 3 4 5 12p; logo, V 5 36p – 12p 5 24p.

2. A é o ponto médio do segmento tBDu: sendo F a inter-secção de r com a reta suporte do lado tBC u, V 5 V3 (V1 1 V4), em que V3 é o volume do cone circular reto de altura tDFu e raio da base tBDu e V4 é o volume do cone circular reto de altura EFu e raio da base CEu. Agora, a semelhança dos triângulos CEF e BDF garante que

EF 5 4 cm, daí DF 5 8 cm. Portanto, em cm3, V3 5 13

3

3 p 3 62 3 8 5 96p e V4 5 V2 5 12p, de maneira queV 5 3 96p (36p 1 12p) 5 48p.

20 (Cefet-MG) Há seis esferas de três tamanhos diferentes, sendo as duas maiores com centro no ponto P e as qua-tro menores iguais. Os centros das esferas menores estão sobre o segmento tABu, que mede 40 cm e passa por P. A figura abaixo representa um corte nessas esferas por um plano contendo tABu.

A BP

O volume do sólido correspondente à parte sombreada nesse corte, em cm3, é:

a) 32 3 53 p. d) 53p33 .

b) 23 3 53 p. e) 53p2 3 32 .

c) 53p32 .

Volume da esfera média (Vm):

V 5 43

p 3 103 5 4.000p

3Volume da esfera pequena (Vp):

V 5 43

p 3 53 5 500p

3Volume da região sombreada (Vs):

Vs 5 Vm 2 3 Vp 5 4.000p3

2 3 500p

3 5 3.000p

3 5

5 1.000p

] Vs 5 23 3 53p

Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r: y 5 x, r2: x 5 0, r3: x 5 1 pela circunferência D: x 2 1 (y 2 4)2 5 1.

a) Faça um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y.

b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item anterior.

R

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21 (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como indica-do na figura, feita fora de escala.

Sabe-se que o preço de 1 cm3 de parafina transparen-te é o dobro do preço de 1 cm3 de parafina vermelha.Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto afirmar que:

a) T __ V

5 5 __ 6

. c) T __ V

5 9 __ 2

. e) T __ V

5 10 ___ 3

.

b) T __ V

5 5 __ 2

. d) T __ V

5 8 __ 3

.

Por semelhança: 10 _____ 8 2 R

5 6 __ R

] R 5 3 cm

Vesfera 5 4 3 s 3 33 ________

3 5 36s cm3 ] Vpar. verm. 5 36s cm3

Vcone 5 s 3 62 3 8 ________ 3

5 96s cm3 ] Vpar. transp. 5 60s cm3

T __ V

5 60s 3 2x _______ 36s 3 x

5 120 ____ 36

5 10 ___ 3

Exer

cíci

o 21

8 – R

6

10

R

Rd

d

a

22 (Unesp) Para calcular o volume de uma tora, na forma de um tronco de cone circular reto de altura h, uma fór-mula utilizada pelo Ibama é:

VI 5 (AB 1 Ab) 3 h

___________ 2

onde AB é a área da base maior e Ab é a área da base menor.

Por outro lado, uma fórmula utilizada por algumas ma-deireiras é:

VM 5 Ab 3 h

Nessas condições, considere uma tora de 4 metros de comprimento, raio da base menor 40 cm e raio da base maior 50 cm. Determine quanto, em porcentagem, o vo-lume calculado pela madeireira é menor que o volume calculado pelo Ibama para essa tora.

Raio da base menor da tora: 40 cm 5 0,4 m.Raio da base maior da tora: 50 cm 5 0,5 m.

VI 5 @ s(0,5)2 1 s(0,4)2

______________ 2

# 3 4 5 41s ____ 50

m3 e

VM 5 s 3 (0,4)2 3 4 5 16s ____ 25

m3

VM ___ VI

5 32 ___ 41

7 78%. Assim, o volume calculado pela madei-

reira é aproximadamente 22% inferior ao volume calcu-lado pelo Ibama.

Exer

cíci

o 22

Exer

cíci

o 23

SOAD 8 SBAC ] h 1 6 _____ h

5 4 __ 2

] h 5 6

Seja V o volume pedido:

V 5 1 __ 3

3 3 3 42 3 (6 1 6) 2 1 __ 3

3 3 3 22 3 6 ] V 5 168 cm3

O D

B

A

C

h

h – altura do cone de raio da base 2 cm

4

2

6

23 (Mackenzie-SP) Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura.

Suponha s 5 3, o volume máximo de líquido que ela pode conter é:a) 168 cm3. d) 176 cm3.b) 172 cm3. e) 164 cm3.c) 166 cm3.

8 cm

4 cm

6 cm

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402

ESTUDANDO Geometria espacial: corpos redondos

Para o ENEM

V(5) 5 10p 3 5² 5 250pV(15) = 10p 3 15² 5 2.250p2.250p : 250p 5 9Logo, o volume de um cilindro de 15 cm de raio da base equivale ao volume de nove cilindros com raio da base de 5 cm. No entanto, é necessário analisar a possibilida-de física de realizar o encaixe desses cilindros.As medidas dos diâmetros das bases dos cilindros ga-rantem a possibilidade de encaixar três cilindros de raio 5 cm dentro do cilindro de raio 15 cm, desde que os centros dos círculos estejam alinhados, como na figura acima. Aplicando rotações de 60º no diâmetro da base do cilindro grande formado pelos três diâmetros das ba-ses dos cilindros pequenos, por simetria, pode-se dizer que cabem no máximo mais quatro cilindros com raio da base 5 cm dentro do maior.

Exer

cíci

o 3

Exer

cíci

o 1

A manilha é um tubo circular de espessura 0,20 m e seu volume será medido pela fórmula V = (Cmaior − Cmenor)h, sendo C a área do círculo, h a altura, R 5 1,2 e r 5 1.Logo: V 5 (pR2 pr 2)h 5 [p12 p(1 0,2)2] ? 4 55 (p p0,82) ? 4 5 144p Como cada m3 custa R$ 10:

1 m3 R$ 10,00 ]5,456 m3 x ] x 5 R$ 54,56

Volume das toras:• V1 5 32 ? 12 ? 0,06 5 6,48• V2 5 42 ? 10 ? 0,06 5 9,6

volume 5 massa

densidade

• 6,48 5 massa1

0,77 ] massa1 ≃ 4,990

• 9,6 5 massa2

0,78 ] massa2 5 7,488

3 ? massa1 1 2 ? massa2 ≃ 3 ? 4,990 1 2 ? 7,488 5 29,946

Exer

cíci

o 2

1 (Enem) Para construir uma manilha de esgoto, um cilin-dro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de s, então o preço dessa manilha é igual a:

a) R$ 230,40. d) R$ 54,56.b) R$ 124,00. e) R$ 49,60.c) R$ 104,16.

2 (Enem) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obti-da a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indi-cado na figura. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medi-da do rodo e da altura da árvore.

O volume da tora, em m3, é dado por: V 5 rodo2 3 altura 3 0,06

O rodo e a altura da árvore devem sermedidos em metros. O coeficiente 0,06

foi obtido experimentalmente.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo:

• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de com-primento e densidade 0,77 toneladas/m3;

• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de com-primento e densidade 0,78 toneladas/m3.

Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que en-viassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente:

a) 29,9 toneladas. d) 35,3 toneladas.b) 31,1 toneladas. e) 41,8 toneladas. c) 32,4 toneladas.

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3 Pode-se calcular o volume V de um cilindro de altura h constante em função do raio r da base, pela fórmula V(r) 5 5 h ? p ? r ². Quantos cilindros, com raio de 5 cm, cabem dentro de um outro cilindro, com 15 cm de raio?a) 3 c) 7 e) 10b) 5 d) 15

4 (Enem) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir às vinte pessoas que se encontram em uma reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e de copi-nhos plásticos, também cilíndricos.

8 cm

20 cm

4 cm

4 cm

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista dese-ja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:

a) encher a leiteira até a metade, pois a leiteira tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

b) encher a leiteira toda de água, pois a leiteira tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

c) encher a leiteira toda de água, pois a leiteira tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

d) encher duas leiteiras de água, pois a leiteira tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

e) encher cinco leiteiras de água, pois a leiteira tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

5 (Enem) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferen-tes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três re-cipientes estão ilustrados na figura ao lado.

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tam-pa, qual das figuras a seguir representa uma planifica-ção para o bebedouro 3?

BebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedouro o o o o o 1111

BebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedouro 3

60 cm60 cm

100 cm00 cm 30 cm30 cm

120 cm20 cm

60 cm60 cm

60 cm60 cm

80 cm80 cm

BebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedourBebedouro o o o o o 222

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H9

H6

Exer

cíci

o 5

A planificação é feita da seguinte forma:

Fonte: A escolha do bebedouro. Em: Biotemas. v. 22, n. 4, 2009. (Adaptado.)

e) 60 cm

60 cm

60 cm

100 cm

60 cm

100 cm

100 cm

100 cm

60 cm

60 cm

100 cm

60 cm

b)

c)

d)a)

mat

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• Geo

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ria es

pacia

l: co

rpos

redo

ndos

Exer

cíci

o 4

Cálculo dos volumes da leiteira e de meio copo:

Vleiteira 5 p 3 42 3 20 5 320p e

V 12 copo 5 p 3 22 3 2 5 8p

Para 20 pessoas, a quantidade de água será de V 5 20 33 8p 5 160p, o equivalente à metade da leiteira.

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ESTUDANDO Análise combinatória

Para o VestibUlAr

1 (ITA-SP)Dentre4moçase5rapazesdeve-seformarumacomissãode5pessoascom,pelomenos,1moçae1ra-paz.Dequantasformasdistintastalcomissãopoderáserformada?

Ototaldecomissõescompelomenos1rapaze1moçaseráigualaototaldecomissõesformadopelas9pes-soas,menosototaldecomissõesformadoporapenasrapazes.

C9, 5 2 C5, 5 5 9! ____ 5!4!

2 1 5 9 3 8 3 7 3 6 _________ 4333 2 31

2 1 5

5 9 3 8 3 7 3 6 _________ 4333 2 3 1

2 1 5 126 2 1 5 125

Portanto, a comissão pode ser formada de 125 maneiras diferentes.

Exer

cício1

2 (Unesp)Dispomosde4coresdistintase temosquecolorir omapamostrado na figura com os paísesP, Q, R e S,demodoquepaísescujafronteiraéumalinhanão podem ser coloridos com a mesma cor.

Responda, justificando sua resposta, de quantas manei-rasépossívelcoloriromapa,se:

a) ospaísesP e Sforemcoloridoscomcoresdistintas?b)ospaísesP e Sforemcoloridoscomamesmacor?

3 (Unifesp) Colocam-se ncubinhosdearestasunitáriasjuntos, formando um cubo de aresta n, onde n .2.Essecubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separando-seoscubinhos.

a)Obtenhaosvaloresden para os quais o número de cubinhossemnenhumafacepintadaéigualaonú-merodecubinhoscomexatamenteumafacepintada.

b)Obtenhaosvaloresden para os quais o número de cubinhoscompelomenosumafacepintadaéiguala 56.

P Q

R S

4 (Uerj)Considereasituaçãoaseguir:

Emumsalãoháapenas6mulherese6homensquesa-bemdançar.Calculeonúmerototaldeparesdepessoasdesexosopostosquepodemserformadosparadançar.

Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo:

Aprimeirapessoadocasalpodeserescolhidade12modos,poiselapodeserhomemoumulher.Escolhidaaprimeira,asegundapessoasópoderáserescolhidade 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. Há,portanto,123 6 5 72 modos de formar um casal. Essasoluçãoestáerrada.Apresenteasoluçãocorreta.

5 (UFBA)Numadisputaentretrêstimes,estabeleceu-seque:

• cadatimejogariaduasvezescontracadaumdosou-trosdois,sendoumapartidanoseupróprioestádioeoutranoestádiodoadversário;

• cadatimeganhariadoispontosporvitóriaeumpontoporempate,nãomarcandopontoemcasodederrota;

OspaísesQ e RfazemfronteirassomentecomospaísesP e S.Portanto,bastaqueascoresdospaísesQ e R sejam diferentesdecadaumadascoresdospaísesP e S.a) Pode-seescolheracordopaísPde4maneiras,acor

dopaísS,de3maneirase,comoQ e R podem ter a mesmacor,sãoduaspossibilidadesparacada.Agora:4333 2 3 2 548

Portanto,existem48possibilidadesparacoloriromapa,demodoqueospaísesP e S sejam coloridos com cores diferentes.

b) Nessacondição,existem4possibilidadesparacoloriro par P e S;analogamente,são3possibilidadesparaQ e R.Agora:43333536

Portanto,são36maneirasdecoloriromapademodoqueospaísesP e S sejam coloridos com a mesma cor.

Exer

cício2

Oscubinhosunitáriossemnenhumafacepintadafor-mam um cubo de aresta n 22.Emcadafacedocubodearesta nhá23 (n 22)cubinhosunitárioscomexatamen-te uma face pintada.

Exer

cício3

Logo, dentre os n3cubinhosunitários,n .2,há(n 2 2)3

cubinhossemnenhumafacepintadae63 (n 2 2)2 cubi-nhoscomexatamenteumafacepintada.a) (n 2 2)3 5 6 3(n 2 2)2 ] n 2 2 5 6 ] n 5 8b) n3 2 (n 2 2)3 5 56 ] ] [n 2 (n 2 2)] 3 [n2 1 n(n 2 2) 1 (n 2 2)2] 5 5 56 ] 3n2 2 6n 145 28 ] 3n2 2 6n 2245 0 ] ] n 54en 5 22 (não convém)

n – 2

n

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6 (UFG-GO) Os computadores digitais codificam earmazenam seusprogramasna formabinária.Nocódigobinário,queéumsistemadenumeraçãopo-sicional, as quantidades são representadas somente comdoisalgarismos:zeroeum.Porexemplo,ocódigo101011001,nosistemabinário,representaonúmero345dosistemadenumeraçãodecimal.Assimsendo,calculequantoscódigosbináriospodemserescritoscom exatamente nove algarismos, considerando que o primeiroalgarismodocódigobinárioé1.

• aofinaldasseispartidas,emqueestaráemdisputaum total de 12 pontos, o campeão seria o time que acumulasse o maior número de pontos.

Umdostimessomoutrêspontosnaspartidasrealizadasnopróprioestádio,eoutroempatoutodasaspartidasque disputou.

Sabendo que, ao final de todas as partidas, os times fi-caramcompontuaçõesdistintasequeapontuaçãodocampeão foi um número par, determine o produto das pontuaçõesfinaisdostrêstimes.

Aprimeirapessoadocasalpodeserescolhidade12modos(homemoumulher)easegundade6,ouseja,123 6 5 72. Esseresultadodeveráserdivididopor2!,poisqueremosfazercombinaçõesdepessoas,istoé,aordem(homememulheroumulherehomem)nãoimporta.Portanto,36pares.

Exer

cício4

Sejam A, B e C os times em questão. Assim, o time A somou3pontosem2partidasrealizadasnopróprioestádio;logo,ganhouumaeempatououtra.OtimeC empatou todas as partidas que disputou (2 com A e 2 com B);logo,somou4pontos.OtimeB perdeu para A apartidaquedisputounoestádiodeste.Nãoganhounemempatouaoutra,poisnessescasoshaveriaempatesdepontuação;logo,perdeuesomouapenas2pontosnosempates com C.Portanto, 6 343 2 548.

Exer

cício5

Exer

cício7

Exer

cício8

Exer

cício9

1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 28 5256códigosbinários

Exer

c.6

7 (Fuvest-SP)Mariadevecriarumasenhade4dígitosparasuacontabancária.Nessasenha,somenteosal-garismos1,2,3,4,5podemserusadoseummesmoalgarismopodeaparecermaisdeumavez.Contudo,supersticiosa,Marianãoquerquesuasenhacontenhaonúmero13,istoé,oalgarismo1seguidoimediatamentepeloalgarismo3.DequantasmaneirasdistintasMariapodeescolhersuasenha?

a) 551 d)554b) 552 e) 555c) 553

Comohá5escolhaspossíveisparacadaumdos4dígitosdasenha,ototaldesenhasdistintas(incluindoasqueaparecemonúmero13)é54 5 625.Onúmero13,noentanto,podeaparecerde3formasdistintas:13XX X13X XX13,demodoque,emcadaumadelas,sobram5escolhasparacadaposiçãovazia.Dessaforma,onúmerodesenhasquecontémonúmero13édadopor:25 1 25 1 25 5 75Nota-seque,entreessas75,asenha1313foicontadaduasvezes.Então,descontandoessarepetição,restam74senhasdistintasquenãoservemparaMaria.625–745 551Então,elapodeescolhersuasenhade551maneirasdistintas.

8 (Mackenzie-SP)Cadaumdoscírculosdafiguradeveráserpintadocomumacor,escolhidadentretrêsdisponíveis.

Sabendoquedoiscírculosconsecutivosnuncaserãopintados com a mesma cor, o número de formas de se pintaroscírculosé:

a) 72. d)54.b) 68. e) 48.c) 60.

Há3possibilidadesparaoprimeirocírculo.Paraosoutros,aúnicarestriçãoéquenãosejampintadoscoma mesma cor do anterior, restando 2 possibilidades.

3? 2 ? 2 ? 2 ? 2 548

Pode-se,então,pintaroscírculosde48formasdiferentes.

9 (Cefet-MG)Numdadosistemadeidentificação,oacessoéfeitoviasenhascompostaspor6dígitos.Paraseaferirasegurançadessesistema,desenvolveu-seumdisposi-tivoquecriaetesta10códigosdeacessodiferentesporsegundo.Dessemodo,otempomáximoqueoaparelholevaparaquebrarumasenhadealgarismostodosdistin-tosé:

a) 4horase12minutos.b)4horase20minutos.c) 7horas.d)42horas.e) 42horase20minutos.

Onúmerodesenhasde6dígitosquepodemsercriadascomos10algarismosexistentesé:10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 5 151.200151.200:105 15.120Comooprogramatesta10códigosporsegundo,eleleva15.120sparatestartodososcódigos.Emhoras:15.120s5 252 min 54he12min

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12 (Fuvest-SP) Um lotação possui três bancos para passa-geiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lo-tação é igual a:

a) 928. c) 1.828. e) 3.456.b) 1.152. d) 2.412.

14 (CP2-RJ) Fernando tem na sua cômoda 17 meias pre-tas, 11 meias marrons e 9 meias azuis. As meias estão todas misturadas. Fernando retira algumas da cômoda, no escuro, sem ver as cores. Quantas meias devem ser retiradas da cômoda para que Fernando tenha a certeza de conseguir, pelo menos, duas da mesma cor?

13 (Unesp) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

a) Determine quantos números é possível formar (no to-tal) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.

b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512.346 e que número ocupa a 242a posição.

15 (Ufes) Um avião possui 120 poltronas de passageiros dis-tribuídas em 20 filas. Cada fila tem 3 poltronas do lado esquerdo (denotadas por A, B, C ) e 3 do lado direito (de-notadas por D, E, F ), separadas pelo corredor do avião.

A B C D E F1ª

2ª

3ª

20ª fila

Para acomodar a família Sousa há 3 � 3! possibilidades. Nos dois bancos restantes há 2 � 2 � 2! modos de colocar Lúcia e Mauro. Pode-se dispor as 4 pessoas restantes de 4! maneiras. Assim, pelo princípio fundamental da con-tagem:3 � 3! � 2 � 2 � 2! � 4! � 3.456 maneiras distintas.

Exer

cíci

o 12

a) A quantidade total de números é o total de permuta-ções dos 6 algarismos, ou seja, 6! � 720. Iniciando-se com o algarismo 1, há 5! � 120 números.

b) 512 .346 é o menor número in ic iado por 5 . Há 4 � 120 � 480 números iniciados por 1, 2, 3 e 4. Portanto, 512.346 é o número de posição 481.

Os primeiros 120 números são iniciados por 1; os 120 números seguintes começam por 2. O núme-ro da posição 241 é o menor iniciado por 3, ou seja, 312.456, e, portanto, o número que ocupa a posição 242 é: 312.465.

Exer

cíci

o 13

Se Fernando retirar as três primeiras meias, uma de cada cor, necessariamente, a quarta meia deve repetir uma das três cores; portanto, Fernando deve retirar pelo me-nos quatro meias para ter certeza de que haverá duas da mesma cor. Ex

ercí

cio

14

a) 20 3 (6 3 5) 5 600b) Cada fileira possui 8 maneiras de um casal sentar-se

em poltronas vizinhas (4 do lado esquerdo e 4 do lado direito); portanto, são 20 3 8 5 160 maneiras distintas.

c) De acordo com o item b, cada fileira possibilita 8 ma-neiras diferentes para um casal sentar-se em poltro-nas vizinhas. Escolhida uma delas, o outro casal fica com 4 possibilidades a menos (à esquerda ou à direi-ta). Se para o primeiro casal são 160 possibilidades, para o segundo restam 156. Logo, são 160 · 156 5 5 25.280 possibilidades distintas para os dois casais sentarem-se nas condições do enunciado.

Exer

cíci

o 15

Exer

cíci

o 10

Os tipos de combinações que ele pode fazer são:• escolher um sabor e repeti-lo quatro vezes: 3 opções; • escolher dois sabores (morango e uva, morango e chocolate ou uva e chocolate) e combiná-los (3 bolas do primeiro e 1 do segundo, 2 bolas de cada ou 1 do primeiro e 3 do segundo) 3 � 3 � 9 opções;• colocar uma bola de cada sabor e, então, escolher um deles para repetir: 3 opções. Total de opções: 3 � 9 � 3 � 15.

10 (Unesp) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: cho-colate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?

a) 4 c) 9 e) 15b) 6 d) 12

Exer

c. 1

1Com 3 meias pode-se ter uma de cada cor, mas com 4 haverá obrigatoriamente uma das 3 cores para a qualter-se-á pegado pelo menos duas meias da mesma cor.

11 (PUC-RJ) Em uma caixa, há 3 meias azuis, 5 meias pretas e 7 meias brancas. Qual o número mínimo de meias que devemos retirar para garantir que tenhamos retirado pelo menos um par de meias da mesma cor?

a) 2 c) 6 e) 13b) 4 d) 8

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Considerequeduaspoltronassãovizinhasquan-doelasestãonumamesmafilaenãohápoltronasentre elas, exceto as de letras C e D, que não são con-sideradasvizinhas.

a) De quantas maneiras distintas dois passageiros po-demsentar-senesseavião,numamesmafila?

b) De quantas maneiras distintas um casal pode sentar--seempoltronasvizinhas?

c) De quantas maneiras distintas dois casais podem sentar-se nesse avião, de modo que cada casal fique empoltronasvizinhas?

Observação:Ainversãodeposiçãodeumcasalempoltronasvizinhascaracterizamaneirasdistintas.

17 (UFRJ) Seja P o conjunto de todos os pontos (x, y, z) 9 V3 tais que x 9 {0, 1, 2}, y 9 {0, 1, 2} e z 9 {0, 1, 2}.

a) Quantos pontos possui o conjunto P?b) Considere os subconjuntos de P formados por exa-

tamentetrêspontoscolineares.Determine,entrees-ses subconjuntos, quantos são formados apenas por pontos em que z 51.Justifiquesuaresposta(façaumdesenho,sepreferir).

a) OconjuntoPpossui333335 27 pontos.b) Fixando-se z 51,tem-se33359pontos.Essespon-

tos estão contidos em um quadrado de lado 2 parale-lo ao plano xOy, de acordo com a figura 1. Na figura 2 tem-seasoitoretasquepassamexatamenteportrêsdesses pontos.

Exer

cício17

Figura 2

Figura 1

z

yO

x

16 (Cesupa)QuantosanagramasdapalavraCESUPAcome-çamporconsoanteeterminamporvogal?

a) 720 b) 216c) 144d) 72

Exer

cício16

ComoCESUPAtem6letrasdistintas,sendo3vogaise3consoantes,tem-se3escolhasparaaprimeiraposição,3escolhasparaaúltimaposiçãoe,escolhidasasextremidades,bastapermutarasoutras4letras.Então,onúmerodeanagramasprocuradoé3?3?4!5 9 ?245 216.

18 (UFPB)AprefeituradecertomunicípiosolicitouaoGovernoFederalumaverbaparaaexecuçãodasseguin-tesobras:

• saneamentobásico;

• calçamentoderuas;

• construçãodeumaescola;

• construçãodeumacreche;

• construçãodecasaspopulares.

OGovernoFederalaprovouaconcessãodaverbasolici-tada,nacondiçãodequefosseestabelecidaumaordemnaexecuçãodasobras,demodoque,tendosidolibera-da a verba para a primeira obra, a verba para a segunda sóserialiberadaapósaconclusãodaprimeira,eassimsucessivamenteatéaexecuçãodaúltimaobra.Nessecontexto,considereoplanejamentofeitopelaprefeitura:

• aprimeiraobraescolhidafoiaconstruçãodascasaspopulares;

• ocalçamentodasruassópoderáserexecutadocomosaneamentobásicoconcluído.

AtendendoàscondiçõesestabelecidaspeloGovernoFederal e ao planejamento da prefeitura, é correto afir-marqueonúmerodemaneiraspossíveisedistintasparaarealizaçãodessas5obrasé:

a) 8. b) 10. c) 12.d)14.e) 16.

Exer

cício18

Deacordocomasregrasestabelecidas,apósconcluirosaneamentobásico,qualqueroutraobrapodeserrealizada.Antesderealizarosaneamento,noentanto,pode-seapenasconstruircasasoucreches.Dessaforma,asseguintesescolhaspodemserfeitas:I.Casaspopulares,saneamento,3opções,2opções,1opção:

3? 2 ? 1 5 6 II.Casaspopulares,2opções,saneamento,2opções,

1opção:2 ? 2 ? 1 54

III.Casaspopulares,2opções,1opção,saneamento,calçamentodasruas:

2 ? 1 5 2

Totaldepossibilidades:6141 2 5 12.

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19 (UFC-CE)Umacomissãode5membrosseráformadaescolhendo-separlamentaresdeumconjuntocom5senadorese3deputados.Determineonúmerodecomissõesdistintasquepodemser formadasobe-decendoàregra:apresidênciadacomissãodeveserocupadaporumsenador,eavice-presidência,porumdeputado(duascomissõescomasmesmaspessoas,masqueapresidênciaouavice-presidênciasejamocu-padas por pessoas diferentes, são consideradas distintas).

Portanto,acomissãopodeserformadade300maneirasdiferentes.

C5, 1 3 C3,1 3 C6,3 5 5! ____ 1!4!

3 3! ____ 1!2!

3 6! ____ 3!3!

5 5 333 20 5300

Exer

cício19

20 (UFJF-MG) Um jornalista foi designado para cobrir uma reuniãodeministrosdeEstado.Aochegaraolocaldareunião,descobriuquehaviaterminado.Aoperguntaraoporteiroonúmerodeministrospresentes,eledisse:“Aosaírem,todososministrossecumprimentarammu-tuamente, num total de 15 apertos de mão”.

Combasenessainformação,qualfoionúmerodemi-nistrospresentesaoencontro?Portanto,haviaseisministrospresentesaoencontro.

Considere cada aperto de mão como sendo uma combi-naçãodedoisministros,logo:

Cn, 2 5 15 ]

] n! _________ 2! (n 2 2)!

5 n(n 2 1)(n 2 2)!

______________ 2(n 2 2)!

5 n(n 2 1)

________ 2

5 15 ]

] n2 2 n 2305 0 ] n 5 1 ! 11 ______ 2

]

] n 5 6 ou n 5 25 (não convém)

Exer

cício20

21 (UFRRJ)Deseja-seformarcomissõesde5pessoasdeumgrupode5homense6mulheres.Quantascomis-sõespoderãoserformadasseemcadaumahaverá,nomáximo,umamulher?

Ascomissõesdeverãoserformadaspor5homensoupor4homense1mulher,assim:

C5, 5 1 C5,4 3 C6, 1 5 1 1 5 3 6 531Portanto,poderãoserformadas31comissões. Ex

ercício21

22 (Ufla-MG)Umproblemaclássicoemcombinatóriaécal-cular o número de maneiras de se colocar bolas iguais em caixas diferentes. Calcule o número de maneiras de secolocar7bolasiguaisem3caixasdiferentes,semquenenhumacaixafiquevazia.

Sugestão:

Cada possibilidade das duas barras na figura determi-naumadistribuiçãodasbolasnascaixas.Nodesenho,caixa1comduasbolas,caixa2comtrêsbolasecaixa3com duas bolas.

Oresultadopedidoéigualaonúmerodesoluçõesintei-rasepositivasdaequaçãox 1 y 1 z 5 7, em que x, y e z representam o número de bolas em cada caixa.Como x > 1, y > 1, z >1,façamosx 5 a 1 1, y 5 b 1 1 e z 5 c 1 1. Desse modo, a 1 b 1 c 54.OnúmerodesoluçõesdessaequaçãoédadoporC6,4 5 15.

Exer

cício22

23 (Uerj)Paramontarumsanduíche,osclientesdeumalanchonetepodemescolher:

• umdentreostiposdepão:calabresa,oréganoequeijo;• umdentreostamanhos:pequenoegrande;• deumatécincodentreostiposderecheio:sardinha,

atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetiçãoderecheionummesmosanduíche.

Calcule:

a) quantossanduíchesdistintospodemsermontados;b)onúmerodesanduíchesdistintosqueumclientepode

montar,seelenãogostadeorégano,sócomesanduíchespequenosedesejadoisrecheiosemcadasanduíche.

a) 33 2 3 (C5, 1 1 C5, 2 1 C5,3 1 C5,4 1 C5, 5) 5 5 6 3 (5 1 10 1 10 1 5 1 1) 5 6 3315 186 Podemsermontados186sanduíchesdistintos.b) 2 3 1 3 C5, 2 5 2 3 10 5 20 Podemsermontados20sanduíchesdistintosnas

condiçõesdoenunciado.

Exer

cício23

24 (UFC-CE)ConsidereoconjuntodedígitosC 5{1,2,3,4,5,6}.

a) Dentretodososnúmerosnaturaiscomquatrodígi-tosquesepodeformarutilizandosomenteelemen-tos de C,calculequantossãomúltiplosde4.

Exer

cício24

De acordo com as regras de divisibilidade, um número édivisívelpor4seosdoisúltimosalgarismosconfigu-raremumnúmerodivisívelpor4;édivisívelpor3seasoma dos valores absolutos de seus algarismos resultar emumnúmerodivisívelpor3.a) Com os algarismos de C formam-se 9 pares, que são

divisíveispor4:12,16,24,32,36,44,52,56,64.Osnúmeros procurados são da forma abcd, em que os algarismos a e b são elementos de C, e cd é um dos noveparesacima.Agora:669324.

Portanto,nascondiçõesimpostas,existem324natu-raismúltiplosde4.

Caixa 1 Caixa 2 Caixa3

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72

1 73

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1 95

5 83

1 84

1 95

5

5 94

1 95

5 105

5 10

5! ? 5! 5 252Ex

ercício27

mat

emát

ica

• Aná

lise c

ombi

nató

ria

1232 soma 5 6 2362 soma 5 11

1352 soma 5 9 3462 soma 513

2342 soma 5 9 126 2 soma 5 9

256 2 soma 513 1462 soma 5 11

1242 soma 5 7 2452 soma 5 11

1362 soma 5 10 3562 soma 514

2352 soma 5 10 1342 soma 5 8

3452 soma 5 12 156 2 soma 5 12

125 2 soma 5 8 2462 soma 5 12

1452 soma 5 10 4562 soma 5 15

cont

.Exe

rcício24

Portanto,8combinaçõessomamnúmerosmúltiplosde3,logo,833!5 8 3 6 548númerosmúltiplosde3.

b) Primeiroencaram-secomocombinações(nãoimportaaordem);issoporqueémaisfácilencontrarascom-binaçõesdoqueosarranjos,poisestescontamcomuma quantidade consideravelmente maior. No final, multiplica-seonúmerodecombinaçõespor3!queéonúmerodepermutaçõespossíveiscom3elementos.

Formandocombinaçõesde3dígitosdoconjuntoC, háC6,3 520combinações.Sãoelas:

25 (PUC-SP)Nasaladereuniõesdecertaempresaháumamesa retangular com 10 poltronas dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo.

Certo dia, sete pessoas foram convocadas para partici-pardeumareuniãoaserrealizadanessasala:opresi-dente,ovice-presidente,umsecretárioequatromem-brosdadiretoria.Sabe-seque:

• opresidenteeovice-presidentedeverãoocuparex-clusivamenteaspoltronasdascabeceirasdamesa;

• osecretáriodeveráocuparumapoltronaaoladodopresidente.

Considerando que tais poltronas são fixas no piso da sala, de quantos modos as sete pessoas podem nelas se acomodarparaparticipardetalreunião?

a) 3.360 c) 1.680 e) 840b)2.480 d)1.240 Opresidenteeovicepodemsesentardeduas

maneirasdiferentes(jáquesãoduascabeceiras).Osecretáriopodesesentaràesquerdaouàdireitadopresidente.Restaescolher4das7cadeirasparaosoutros participantes, que poderão permutar entre as escolhidas.Então,onúmerodemaneirasemqueelespodemsesentaré:2 ? 2 ? C7,4 ? P4 5 2 ? 2 ?

7!4!?3!

? 4!54? 7 ? 6 ? 53? 2 ? 1 ?245

5 96 ?3553.360

Exer

cício25

b)Dentretodososnúmerosnaturaiscomtrêsdígitosdistintosquesepodeformarutilizandosomenteelementos de C,calculequantossãomúltiplosde3.

Exer

cício28

Osnúmerosfatoriaisqueresultamem1são1!ou0!.Primeirocaso:

x 2 12x2 13

5 1 ] x 2 1 5 2x2 13] 2x2 2 x 145 0

Essaquadráticanãotemraízes.Segundocaso:

x 2 12x2 13

5 0 ] x 2 1 5 0 ] x 5 1

26 (Unesp) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade.UmapessoaquercaminhardopontoA ao pon-to B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela cami-nharásemprenossentidos“debaixoparacima”ou“daesquerda para a direita”.

B

A

Onúmerodepercursosdiferentesqueessapessoapo-deráfazerdeA até Bé:

a) 95.040. d) 792.b)40.635. e) 35.c) 924.

27 (Ufal)Determineovalordasomaaseguir:

72 1

73 1

84 1

95

Exer

cício26

A pessoa tem de andar 7 quadras para a direita e5quadrasparacima,emqualquerordem.Onúmerode percursos diferentes pode ser calculado como umapermutaçãoentreessas12quadrascom7e5repetições:

P127, 5 5

12!7! ? 5!

5 12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8

5 ?4?3? 2 ? 1 5

95.040120

5 792

28 (UEPB)Aequação[x 2 1

2x2 13] ! 51temcomosoluçãoreal:

a) x 5 1. d) x 5 5.b) x 5 2. e) x 5 –1.c) x 5 0.

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414

ESTUDANDO Análise combinatória

Para o enem

1 OprimeirotelefonetrazidoparaoBrasilfoiencomen-dadoem1879porD.PedroIIparaopaláciorealnoRiodeJaneiro.Em1883aempresatelefônicacariocatinha5.000assinantes.Após60anos,desdeavindadopri-meirotelefone,essenúmerojáhaviaatingidoafaixade200.000.Issomostraoavançoexponencialdatecnolo-giadacomunicaçãonosúltimosdoisséculos.

Cadaassinantetemumnúmeropróprioe,porisso,detempos em tempos as empresas de telefonia precisam aumentar a quantidade de algarismos em cada número afimdesatisfazerademanda.

Sabendo que os números de telefone não podem come-çarcomoalgarismo0,em1883osnúmerosdetelefonedeveriamsercompostospor,nomínimo:

a) 5algarismose,em1939,por6algarismos.b)4algarismose,em1943,por6algarismos.c) 4algarismose,em1939,por6algarismos.d)5algarismose,em1943,por6algarismos.e) 4algarismose,em1939,por5algarismos.

2 Onúmerodediagonaisdeumpolígonopodeseren-contrado, por exemplo, calculando-se quantos segmen-tosderetapodemsertraçadosentreosvérticesdessepolígono,descontando-seaquelesqueconfiguramasprópriasarestasdafigura.Atabelaabaixomostraal-gunsexemplosdessecálculo:

Figura VérticesSegmentos

entre osvértices

Lados Diagonais

Triângulo 33? 2

2 5 3 3 3235 0

Quadrilátero 44?3

2 5 6 4 6 245 2

Pentágono 55 ?4

2 5 10 5 10 2 5 5 5

Asfraçõespresentesnaterceiracolunadatabelaforamcalculadascombaseem:

a) umapermutaçãodosvértices.b)umarranjoentreosvérticesescolhidostrêsatrês.c) umarranjoentreosvérticesescolhidosdoisadois.d)umacombinaçãoentreosvérticesescolhidostrêsatrês.e) umacombinaçãoentreosvérticesescolhidosdoisadois.

3 Umalunodeparoucomaseguintequestãomatemática:

Preenchaaslacunasdaexpressãoabaixocomossímbolos1 e :

6__3__5__2523

Se os números de telefone tivessem 2 algarismos, poderiamcomeçar com1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou9 eterminar com qualquer um desses números mais o 0. Peloprincípiofundamentaldecontagem,onúmerodepossibilidadesédadopor:9? 10 5 90.Poranalogia,existem900númerosde3algarismos;9.000de4algarismos;90.000de5algarismos;e900.000,de 6 algarismos.Assim,em1883osnúmerosdeveriamserformadospor4algarismose,em1939(18791 60), por 6.

Exer

cício1

Exer

cício2

Ossegmentosderetaquepodemsertraçadosdeumconjunto de pontos não colineares são sempre deter-minadospordoisdessespontos,queirãocaracterizaros extremos do segmento. Como não importa a ordem emqueessesdoispontosserãoescolhidos(AB coincide com BA,porexemplo),pode-sedizerqueonúmerodesegmentoséumacombinaçãodospontos,escolhidosdois a dois.

H1

H8

H4

H2

H17

H21

H30

H24

H23

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Assinaleaalternativaquemelhorapresentaumpossívelraciocíniodessealuno:

a) “Comoonúmerodecombinaçõesentreessessímbo-losépequeno,escolhendoumasequênciaaoacasotenho50%dechancedeacertar.”

b) “Comoonúmerodecombinaçõesentreessessímbo-losémaisde30,nãoépossívelacertaraoacaso.”

c) “Comohámaisdeumarespostacorreta,possoescre-verváriascombinaçõesatéencontrarumarespostacorreta.”

d) “Comoháapenasumarespostacorreta,possoacer-taraoacaso,mesmohavendoinfinitascombinaçõesentreessessímbolos.”

e) “Comoháapenasumarespostacorreta,possochutaratéacertar,principalmenteporhavermenosde10combinaçõespossíveis.”

4 Asinstruçõesexemplificadasabaixoensinamumcódigode criptografia (para escrever mensagens cifradas) que utilizaanagramas.

I. Numeram-se as letras de cada palavra. Para letras iguais na mesma palavra, usam-se números iguais.

Exemplo:OOVODOPATO51 121 12 1234 II.Escolhe-seumnúmeroconveniente(maiorque1)

queseráa“chave”docódigo.

Exemplo:nessecaso,pode-seescolher2,3ou4.Escolhe-seo3.

III. Permutam-se os números referentes a cada palavra, colocando-osemordemcrescente,quantasvezesforachaveescolhida.

Exemplo:comoachaveescolhidafoi“3”,serãone-cessárias3permutações:

1 121 12 1234–fraseoriginal

1 112 12 1234–1ª-permutação(chave1)

121 21 1243–2ª-permutação(chave2)

211 1324–3ª-permutação(chave3)

(Note que, de cima para baixo, os números estão em ordem crescente.)

IV.Reescreve-seafrase,utilizandooterceiroanagramadecadapalavra(jáqueachaveé3).Nocasodenãoexistirtalanagrama,utiliza-seoúltimodacoluna.

Exemplo:1211 21 13245OOOVODPTAO Combasenessasregras,épossívelafirmarqueapalavra

ROMA:

a) éumanagramadeRAMO,cifradocomachave5.b)éumanagramadeAMOR,cifradocomachave4.c) setransformaemAMOR,usandoachave4.d) setransformaemROAM,usandoachave3.e) setransformaemRAMO,usandoachave5.

AplicandoacriptografianapalavraROMA:R 5 1O5 2M 53A 54Construindooscincoprimeirosanagramas:12345ROMA–chave112435ROAM–chave213245RMOA–chave313425RMAO–chave414235RAMO–chave5Osnúmerosestãoemordemcrescente.Percebe-seque,utilizandoachave5,apalavraROMAsetransformaemRAMO(oquetornaaalternativae verdadeira).Analisando as outras alternativas, percebe-se que c e d são falsas.Alémdisso,criptografandoRAMO,encontra-se:12345RAMO–chave112435RAOM–chave213245RMAO–chave313425RMOA–chave414235ROAM–chave5(nãosetransformaemROMA,portanto, a alternativa a é falsa.)E,criptografandoAMOR,encontra-se:12345AMOR–chave112435AMRO–chave213245AOMR–chave313425AORM–chave4(nãosetransformaemROMA,portanto a alternativa b é falsa.)

Exer

cício4

Exer

cício3

Sabe-sequealteraraordemdossímbolosalteraráo resultado da expressão, de modo que a única resposta correta seria 6 13? 5 1 2 523.Sabe-setambémque,paracadaumdosespaços,existemduaspossibilidadesdepreenchimento:1 ou . Dessaforma,onúmerodecombinaçõesentreelesédado por 2 ? 2 ? 2 5 8, resultando em menos de 10respostaspossíveis.

H3

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1998

.

420

ESTUDANDO Probabilidade

Para o VeSTibUlar

1 (UFPE) Em uma pesquisa de opinião sobre o consumo dos produtos A, B e C constatou-se que: 30% dos entre-vistados consomem A, 43% consomem B, 46% conso-mem C, 12% consomem A e B, 11% consomem A e C, 13% consomem B e C , 5% consomem A, B e C. Se es-colhermos ao acaso um dentre os entrevistados, qual a probabilidade percentual de ele não consumir nenhum dos três produtos?

4 (PUC-RS) Considere todas as permutações de cinco le-tras da sigla PUCRS. Uma dessas permutações foi esco-lhida ao acaso. A probabilidade de a escolhida terminar com a letra C e começar com a letra P é:

a) 1 __ 5

. b) 2 __ 5

. c) 1 ___ 12

. d) 1 ___ 20

. e) 6.

Exer

cíci

o 4

Exer

cíci

o 3

Total de anagramas da sigla PUCRS é 5! 5 120.Fixando as letras P e C das 5 letras da sigla e permutando as outras 3 letras, tem-se 3! 5 6.Portanto, a probabilidade procurada será igual a

6 ____ 120

5 1 ___ 20

.

Exer

cíci

o 1

Exer

cíci

o 2

Portanto, a probabilidade de um entrevistado não con-sumir nenhum dos três produtos é 12%.

12%

12%

Não consome nenhum dos três produtos.

27%

C

A

B

23%

6% 7%

8%

5%

3 (Ufam) Um estudante escreveu todos os anagramas da sigla Ufam, cada um em um pedacinho de papel, do mesmo tamanho, e colocou-os em uma caixa vazia. Retirando-se um desses papéis da caixa, ao acaso, a probabilidade de que o anagrama nele escrito tenha as duas vogais juntas é:

a) 25%. d) 50%.b) 30%. e) 60%.c) 40%.

2 (UFPB) Uma escola de línguas estrangeiras sorteou uma bolsa de estudos entre 20 alunos de escola pública que demonstraram ter algum conhecimento de, pelo me-nos, um dos idiomas: inglês, espanhol e francês. Sobre os alunos sorteados, sabe-se que:

• 9 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol;• 8 demonstraram ter algum conhecimento de francês;• 14 demonstraram ter algum conhecimento de inglês;• 4 demonstraram ter algum conhecimento de

espanhol e de francês;• 5 demonstraram ter algum conhecimento de

espanhol e de inglês;• 3 demonstraram ter algum conhecimento de francês

e de inglês;• 1 demonstrou ter algum conhecimento dos três

idiomas citados. Com base nas informações apresentadas, identifique as

afirmativas corretas.

I. A probabilidade de o aluno sorteado ter conheci-mento apenas de espanhol é de 5%.

II. A probabilidade de o aluno sorteado ter apenas co-nhecimento de francês e de inglês é de 10%.

III. A probabilidade de o aluno sorteado não ter conhe-cimento de inglês é de 30%.

IV. A probabilidade de o aluno sorteado ter conheci-mento apenas de inglês é de 35%.

V. A probabilidade de o aluno com conhecimento apenas de espanhol ter sido sorteado é maior que a probabili-dade do aluno com conhecimento apenas de francês.

Analisando os dados:• 1 aluno conhece as três línguas;• 2 alunos conhecem francês e inglês, mas não espa-

nhol (3 1 52);• 4 alunos conhecem espanhol e inglês, mas não francês

(5 1 5 4);• 3 alunos conhecem espanhol e francês, mas não inglês

(4 1 53);• 7 alunos conhecem apenas inglês (14 4 2 1 5 7);• 2 alunos conhecem apenas francês (8 3 2 1 5 2);• 1 aluno conhece apenas espanhol (9 3 4 1 5 1).Total: 1 1 2 1 7 1 3 1 4 1 2 1 1 5 20.Analisando as afirmações: I. Verdadeira. 1 em 20 5 0,05 5 5%. II. Verdadeira. 2 em 20 5 0,1 5 10%.III. Verdadeira. 3 1 2 1 1 5 6 em 20 5 0,3 5 30%.IV. Verdadeira. 7 em 20 5 0,35 5 35%. V. Falsa. 1 aluno tem conhecimento apenas de espanhol e 2 apenas de francês.

O número de anagramas de Ufam é 4! 5 24. Se as duas vogais forem consideradas um único bloco, o número de anagramas com essa condição será 3! 5 6. Como as vogais U e A podem permutar entre si, tem-se o dobro de anagramas desse tipo, ou seja, 12. Assim, a probabili-dade procurada é 12 em 24, ou seja, 50%.

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• Pro

babi

lidad

e

Exer

cíci

o 9 Como os eventos “ser aprovado na primeira etapa (A)” e

“ser aprovado na segunda etapa (B)” são independentes, tem-se:

p(A ) B) 5 p(A) 3 p(B) ] p(A ) B) 5 56

3 35

5 12

5 50%

9 (UFPE) A probabilidade de um estudante de cer-to colégio ser aprovado na primeira etapa do vestibular é

de 56

. Tendo sido aprovado na primeira etapa, a proba-

bilidade de ele ser aprovado na segunda etapa é de 35

.

Escolhendo aleatoriamente um estudante desse colégio, qual a probabilidade percentual de ele ser aprovado nas duas etapas do vestibular? (Suponha que os eventos “ser aprovado na primeira etapa” e “ser aprovado na se-gunda etapa” são independentes.)

5 (Ufla-MG) A urna 1 contém 2 bolas pretas e 1 bola bran-ca, e a urna 2 contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. Uma bola é retirada ao acaso da urna 1 e colocada na urna 2. A seguir é retirada uma bola da urna 2. A proba-bilidade de que essa bola seja branca é de:

a) 29

. c) 13

.

b) 712

. d) 23

.

6 (Uesb-BA) Retirando-se, ao acaso, uma bola de uma

urna, a probabilidade de essa bola ser azul é igual a 23

.

Considerando-se que essa urna contém n bolas azuis, três pretas e cinco vermelhas, pode-se afirmar que o va-lor de n é:

a) 18. d) 10. b) 16. e) 8.c) 12.

7 (PUC-RJ) Jogamos três dados comuns simultaneamente. Qual a probabilidade de que os três números sorteados sejam distintos?

a) 12

d) 1736

b) 136

e) 5

17

c) 59

8 (Fuvest-SP) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lan-çamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a pro-babilidade de que b seja sucessor de a ou de que c seja sucessor de b?

a) 4

27 d) 10

27

b) 1154

e) 2354

c) 727

Se a bola branca for retirada da urna 1 (com 1 chance em 3) e colocada na urna 2, esta ficará com 3 bolas brancas e 1 preta. A probabilidade de retirar uma bola branca da

urna 2, nesse caso, será de: 13 ?

34 5

312

.

Se uma bola preta for retirada da urna 1 (com 2 chan-ces em 3) e colocada na urna 2, esta ficará com 2 bolas brancas e 2 pretas. A probabilidade de retirar uma bola

branca da urna 2, nesse caso, será de: 23 ?

24 5

412

.

A probabilidade de ocorrer o evento procurado, então, é

de:

13 ?

34 5

312

.

Exer

cíci

o 5

Exer

cíci

o 6 O total de bolas nessa urna é: n 1 3 1 5. A probabilidade

de retirar uma bola azul será dada por nn 1 8

. Então:

nn 18 5

23 ] 3n 5 2n 1 16 Æ n 5 16.

Exer

cíci

o 8

Sejam:• A o evento “b é sucessor de a”.• B o evento “c é sucessor de b”.Calculam-se as seguintes probabilidades:• p(A) 5 probabilidade de que, retirando um valorqualquer para a, o valor de b seja a 1 1 (o valor máximode a é 5, e não importa o valor de c). • p(B) 5 probabilidade de que, retirando um valorqualquer para b, o valor de c seja b 1 1 (o valor máximode b é 5, e não importa o valor de a). • p(A e B) 5 probabilidade de a, b e c serem consecutivos; espaço amostral: (1, 2, 3); (2, 3, 4); (3, 4, 5); (4, 5, 6). p(A ou B) 5 p(A) 1 p(B) p(A e B) 5

5 56 ?

16 ?

66 1

66 ?

56 ?

16

4 63 5

30 130 4 216 5

56216 5

727

.

Exer

c. 7 6

6 ? 56 ?

46 5

2036 5

59

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422

12 (UFPR) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e à pressão arterial, conforme mostrado no quadro a seguir.

PressãoPeso

Excesso Normal Deficiente Total

Alta 0,10 0,08 0,02 0,20

Normal 0,15 0,45 0,20 0,80

Total 0,25 0,53 0,22 1,00

Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:

1. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é de 0,20.

Exer

cíci

o 12

Seja V a sentença verdadeira e F a falsa:

1. V p p (pressão alta) 5 0,20

____ 1,00

5 0,20

4. V p p (pressão normal ) peso deficiente) 5 0,20

____ 1,00

5 0,20

2. V p p (pressão altaocom excesso de peso) 5 0,10

____ 0,25

5 0,40

3. F p p (peso normalocom pressão alta) 5 0,08

____ 0,20

5 0,40

2. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40.

3. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08.

4. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 0,20.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

10 (Uerj) Um pesquisador possui em seu laboratório um recipiente contendo 100 exemplares de Aedes aegypti, cada um deles contaminado com apenas um dos tipos de vírus, de acordo com a seguinte tabela:

Tipo Quantidade de mosquitos

DEN 1 30

DEN 2 60

DEN 3 10

Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, a probabilidade de que pelo menos um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a:

a) 8 ___ 81

. b) 10 ___ 99

. c) 11 ____ 100

. d) 21 ____ 110

.

Exer

cíci

o 10

p(1 mosquito estar contaminado com DEN 3 e outro não) 5

5 10 ____

100 3

90 ___ 99

3 2 5 20 ______ . 10 3 1

20 ______ 10 3 11

1 1 ______ 10 3 11

5 21 ____ 110

.

p(2 mosquitos estarem contaminados com DEN 3) 5

5 10100

. 9 ___ 99

5 1 ______ 10 3 11

.

Portanto, a probabilidade procurada é igual a

11 (UFRN) Em um congresso sobre Matemática participa-ram 120 congressistas. Desses, 100 eram licenciados e 60 eram bacharéis em Matemática. Responda, justificando:

a) Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista, ele ser licenciado em Matemática?

b) Quantos congressistas possuíam as duas formações?c) Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um

congressista, ele possuir as duas formações acadêmicas?

Exer

cíci

o 11

a) Seja L o número de licenciados em Matemática e B o número de bacharéis em Matemática.

b) (L 0 B) 5 L 1 B 2 (L ) B) ] 120 5 100 1 60 2 (L ) B) ] ] L ) B 5 40c) p(Lic. e bach. em Mat.) 5 L ) B _____

L 0 B 5 40 ____

120 5 1

3

p(Licenciado em Matemática) 5 L _____ L0 B

5 100 ____ 120

5 56

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423

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13 (PUC-RJ) Em uma amostra de vinte peças, existem exa-tamente 4 defeituosas.

a) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, uma peça perfeita e uma defeituosa.

b) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, duas peças perfeitas.

c) Retirando-se, ao acaso, sem reposição, três peças, calcule a probabilidade de exatamente duas serem perfeitas. Escreva a resposta em forma de fração.

Na amostra existem 4 peças defeituosas e 16 peças per-feitas; logo,a) C4,1 3 C16,1 5 4 3 16 5 64 maneirasb) C16,2 5 120 maneiras

c) C16,2 3 C4,1

________ C20,3

5 120 3 4 ______ 1.140

5 480 _____ 1.140

5 8 ___ 19

Exer

cíci

o 13

14 (UFMG) Vinte alunos de uma escola, entre os quais Gabriel, Mateus e Roger, formam uma fila aleatoriamente.

a) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que Gabriel, Mateus e Roger apareçam juntos, em qualquer ordem.

b) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que, entre Gabriel e Mateus, haja, exata-mente, cinco outros alunos.

15 (Unicamp-SP) Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e três homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo.

a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas?

b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados?

c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio?

16 (PUC-Minas) A representação de ginastas de certo país compõe-se de 6 homens e 4 mulheres. Com esses 10 atletas, formam-se equipes de 6 ginastas, de modo que em nenhuma delas haja mais homens do que mu-lheres. A probabilidade de uma equipe, escolhida alea-toriamente dentre essas equipes, ter igual número de homens e de mulheres é:

a) 13 ___ 19

. b) 14 ___ 19

. c) 15 ___ 19

. d) 16 ___ 19

.

17 (Unifesp) Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da figura I, totalmente preenchidas com os algarismos 1, 2, 3 e 4, de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos.

1

Figura I Figura II

3

2

1

1

Exer

cíci

o 14

O número de maneiras diferentes de formar uma fila com vinte alunos é 20!.a) O trio Gabriel, Mateus e Roger pode ficar em 18 posi-

ções diferentes. Já o número de filas diferentes com o trio junto é 18! 3 3!. Portanto, a probabilidade procu-rada é igual a:

18! 3 3! ______ 20!

5 18! 3 6 __________ 20 3 19 3 18!

5 6 ______ 20 3 19

5 3 ____ 190

b) Gabriel e Mateus podem ficar em 1o e 7o, em 2o e 8o, ...,em 14o e 20o; logo, em 14 posições diferentes. Con-tando que Gabriel e Mateus podem trocar de lugar, tem-se 14 3 18! 3 2! filas diferentes; portanto, a proba-bilidade procurada é igual a:

14 3 18! 3 2! __________ 20!

5 28 3 18! __________ 20 3 19 3 18!

5 7 _____ 5 3 19

5 7 ___ 95

Ex

ercí

cio

15

a) Do enunciado, tem-se: C10,2 5 10! _____ 2! 3 8!

5 45 maneiras.

b) Os dois homens podem ser escolhidos de C3,2 maneiras.

c) A probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio é igual a 1 menos a probabilidade de que

Assim, a probabilidade pedida é p 5 C3,2

____ C10,2

5 3 ___ 45

5 1 ___ 15

.

dois homens sejam premiados. Assim: p 5 1 2 1 ___ 15

5 14 ___ 15

.

Exer

cíci

o 16 Equipes com 3 homens e 3 mulheres: C6,3 3 C4,3 5 20 3 4 5 80.

Equipes com 2 homens e 4 mulheres: C6,2 3 C4,4 5 15 3 1 5 15.

p(evento) 5 80 _______ 80 1 15

5 80 ___ 95

5 16 ___ 19

A probabilidade de se retirar dessa urna, aleatoriamente, uma cartela contemplando a configuração da figura II, com a exigência adicional de que cada coluna (vertical)

Há 4! modos de dispor esses algarismos na primeira li-nha, 4! na segunda, 4! na terceira e 4! na quarta.Assim, o número de casos possíveis é 4! 3 4! 3 4! 3 4!.Tem-se exatamente duas maneiras de atender à exigên-cia adicional:

Logo, a probabilidade é p 5 2 ___________ 4! 3 4! 3 4! 3 4!

5 1 ___________ 12 3 4! 3 4! 3 4!

.

Exer

cíci

o 17

ou

1 4

3

4

2 4 3

3 2

1 4

Figura I Figura II

23

2

1

1

1 4

3

2

4 2 3

3 4

1 4

23

2

1

1

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424

18 (UFRJ) João criou uma senha de 4 algarismos para o se-gredo de seu cofre. Mais tarde, quando foi abrir o cofre, João percebeu que não lembrava mais qual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1, 3, 8 e 9. Ele, então, resolveu escrever todos os números possíveis formados pelos 4 algarismos e, em seguida, tentar abrir o cofre sorteando ao acaso, um a um, os números de sua lista, sem repetir números já testados.

a) Determine quantos números João escreveu.b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na

12a tentativa.

19 (Ufla-MG) Em um programa de auditório, utiliza-se uma roleta, como na figura.

a) A roleta é girada três vezes. Calcule a probabilidade de os números obtidos no primeiro giro, no segundo giro e no terceiro giro serem, respectivamente, 1, 2 e 3.

b) A roleta é girada duas vezes. Calcule a probabilidade de a soma do número obtido no primeiro giro mais o número obtido no segundo giro ser menor que 13.

Exer

cíci

o 18

a) 4! 5 24b) João terá de errar nas 11 primeiras tentativas e acertar

na 12a. Logo:

23 ___ 24

3 22 ___ 23

3 21 ___ 22

3 20 ___ 21

3 19 ___ 20

3 18 ___ 19

3 17 ___ 18

3 16 ___ 17

3 15 ___ 16

3 14 ___ 15

3 13 ___ 14

3 1 ___ 13

5 1 ___ 24

Errar Acertar

Exer

cíci

o 19

Os números de 1 a 6, compreendidos sob um ângulo de 45w,

possuem a mesma probabilidade @ 1 __ 8

# , e o número 7,

compreendido sob um ângulo de 90º, possui o dobro da

probabilidade @ 2 __ 8

# de cada um dos números de 1 a 6.

Logo:

a) 1 __ 8

3 1 __ 8

3 1 __ 8

5 1 __ 83

5 1 ____ 512

b) Os casos em que a soma de dois resultados é maior ou igual a 13 são (6 1 7), (7 1 6) ou (7 1 7). Logo, a probabilidade procurada será igual a:

5 1 2 E @ 1 __ 8

3 2 __ 8

# 1 @ 2 __ 8

3 1 __ 8

# 1 @ 2 __ 8

3 2 __ 8

# R 5 7 __ 8

1 2 [ p(6 e 7) 1 p(7 e 6) 1 p(7 e 7)] 5

Marcador1

2

3

45

6

7

20 (UFPI) Foram escolhidos aleatoriamente dois elementos distintos do conjunto formado pelos números naturais de três algarismos. A probabilidade de que a diferença entre os dois números escolhidos seja um múltiplo de 3 é igual a:

a) 299899

. d) 13

.

b) 299900

. e) 23

.

c) 300899

.

Exer

cíci

o 20

Todos os números múltiplos de 3 podem ser escritos como 3n. Os outros números inteiros podem ser escritos como 3n 1 1, ou 3n 1 2. Então sempre há exatamente dois inteiros entre dois múltiplos de 3 consecutivos.Seja A o conjunto de números formados por 3 algarismos:

A 5 {100, 101, 102, ... , 997, 998, 999}Ele é composto de pequenas sequências de 3 termos na forma (3n 1 1, 3n 1 2, 3n).A começar por: 100 5 3 ? 33 1 1; 101 5 3 ? 33 1 2 e102 53 ? 34.Esse conjunto tem 900 elementos, sendo 300 múlti-plos de 3 (o primeiro deles é o 102 e o último é o 999 5 5 3 ? 333), 300 da forma 3n 1 1 e 300 da forma 3n 1 2. Como a diferença entre dois números do mesmo tipo é sem-pre um múltiplo de 3, o evento desejado é que, após esco-lher um número qualquer, o próximo seja do mesmo tipo

que o primeiro. A probabilidade desse evento é: 1 ? 299899

.

e cada um dos subquadrados destacados contenham todos os algarismos (1, 2, 3 e 4) é:

a) 1 ____________ 12 3 4! 3 4! 3 4!

. d) 1 ____________ 20 3 4! 3 4! 3 4!

.

b) 1 ____________ 16 3 4! 3 4! 3 4!

. e) 1 _________ 4! 3 4! 3 4!

.

c) 1 ____________ 18 3 4! 3 4! 3 4!

.

21 (UFPR) Na central de atendimento ao cliente de uma companhia telefônica, 60% dos funcionários são do sexo feminino. Analisando os relatórios de desempenho de to-dos os funcionários que trabalham nessa central (homens e mulheres), chegou-se às seguintes conclusões:

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Exer

cíci

o 22 As pessoas que têm câncer de pulmão são 110. Entre

elas, 50 são mulheres. Portanto, a probabilidade de uma

pessoa com câncer de pulmão ser mulher é: 50110

5 511

.

I. 55% dos problemas relatados pelos clientes são re-solvidos na primeira ligação, quando o cliente é aten-dido por uma funcionária (mulher).

II. 60% dos problemas relatados pelos clientes são re-solvidos na primeira ligação, quando o cliente é aten-dido por um funcionário (homem).Quando se faz uma ligação para essa central de aten-dimento, o sistema designa, ao acaso, um atendente que tentará resolver o problema apresentado pelo cliente.

a) Qual é a probabilidade de esse atendente resolver o problema do cliente na primeira ligação?

b) Qual é a probabilidade de o atendente ter sido um homem, sabendo que o problema foi resolvido na primeira ligação?

22 (UFRN) Em determinado hospital, no segundo semestre de 2007, foram registrados 170 casos de câncer, distri-buídos de acordo com a tabela a seguir:

Câncerdepulmão

Fumante Não fumante

Outros tipos

decâncerTotal

Homem 54 6 40 100

Mulher 45 5 20 70

A probabilidade de uma dessas pessoas, escolhida ao acaso, ser mulher, sabendo-se que tem câncer de pul-mão, é:

a) 511

. c) 617

.

b) 717

. d) 311

.

23 (ITA-SP) Uma urna de sorteio contém 90 bolas numera-das de 1 a 90, e a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais.

a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas dessa urna. Calcule a probabilidade de o número dessa bola ser um múltiplo de 5 ou de 6.

b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas dessa urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6.

24 (Unesp) Duas máquinas A e B produzem juntas 5.000 peças em um dia. A máquina A produz 2.000 peças, das quais 2% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 3.000 peças, das quais 3% são defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, ao ser examinada, constatou-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A?

Exer

cíci

o 21

a) Denotando por:• p(R) a probabilidade de resolver o problema na primeira ligação;• p(M) a probabilidade de ser atendido por uma mulher;• p(H) a probabilidade de ser atendido por um homem;• p(R | M) a probabilidade de resolver o problema na

primeira ligação quando a atendente é uma mulher;• p(R | H) a probabilidade de resolver o problema na

primeira ligação quando o atendente é um homem.Tem-se:

b) p(H | R) 5 p(H)R)p(R)

5 24

10057

100

5 2457

≃ 42%

p(R) 5p(R)M) 1 p(R)M) 5 p(R) ? p(M) 1 p(R) ? p(H) 5

5 60

100 ? 55

100 1 40

100 ? 60

100 5 57

100 5 57%

Exer

cíci

o 23

a) Total de múltiplos de 5 na urna: 905

5 18.

Total de múltiplos de 6 na urna: 906

5 15.

Total de múltiplos de 5 e 6 na urna: 905̇6

5 3.

Probabilidade de retirar um múltiplo de 5 ou 6:

18 1 15 390

5 3090

5 13

.

b) Os múltiplos de 6 na urna são 15, e os não múltiplos de 6 são 75. Logo:

Probabilidade de retirar um número não múltiplo

de 6, sendo que a primeira bola era 1590

? 7589

5

5 25

178 um múltiplo de 6.

Probabilidade de retirar um número não múltiplo

de 6, sendo que a primeira bola não era um

múltiplo de 6: 7590

? 7489

5 185267

.

Assim, a probabilidade de a segunda bola não ser

múltiplo de 6 é: 25

178 1

185267

5 56

.

Exer

cíci

o 24

A máquina A produz 2.000 ? 2

100 5 40 peças defeituosas.

A máquina B produz 3.000 ? 3

100 5 90 peças defeituosas.

Assim, as duas juntas produzem 40 1 90 5 130 peças defeituosas.Logo, a probabilidade de uma peça defeituosa ter sido

produzida pela máquina A é 40

100 5

413

.

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426

ESTUDANDO Probabilidade

Para o eNeM

1 A divisão rítmica de uma partitura musical está intrinse-camente ligada à matemática. A duração das notas, bem como a do silêncio (pausa) entre elas, é representada por figuras musicais. Alguns desses símbolos estão dis-criminados abaixo, com nomes e valores relativos.

Sem

ibre

ve

1

Mín

ima

Sem

ínim

a

Col

chei

a

Sem

icol

chei

a

Fusa

Sem

ifusa

Notas musicais

Pausas

Valor relativo

12

14

18

116

132

164

Outro dado importante na rítmica musical é a fórmula de compasso, que é uma fração indicada no início de cada partitura. Os compassos são delimitados na par-titura por linhas verticais, e todos têm a mesma dura-ção. No exemplo abaixo, a fração referente à fórmula de

compasso é 24

.

14

18

24

18

24

Fórmulade compasso

Compasso 1 Compasso 2 Compasso 3

+ + = 14

14

24

+ = 12

24

=

Note que a soma dos valores de cada figura de um mes-mo compasso é sempre igual à fração dada na fórmula de compasso.

Admita que um compositor escreva uma partitura em

compasso 34

para canto em uma única voz, contendo

notas cujas figuras sejam exclusivamente semínimas e colcheias, sem pausas, e calcule a probabilidade de que um compasso aleatoriamente escolhido dessa compo-sição tenha exatamente quatro colcheias e uma semíni-ma em qualquer ordem.

a) 34

d) 23

b) 5

13 e)

512

c)6

13

Para o caso descrito, há quatro possibilidades de formação para um compasso:

1a) utilizar 3 semínimas: 3 ? 14

= 34

. C3

3=1

2a) utilizar 2 semínimas e 2 colcheias: 2 ? 14

1 2 ? 18

= 34

.

C2, 24 =

4!2! ? 2!

= 6 3a) utilizar 1 semínima e 4 colcheias: 1 ?

14

1 4 ? 18

= 34

.

C45=

5!4!

= 5

4a) utilizar 6 colcheias: 6 ? 18

= 34

.

C66 = 1

A probabilidade é, portanto, dada por:

p = 5

1 1 6 1 5 1 1 =

513

.

Exer

cíci

o 1

H2H3H25H28

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2 Fabrício mora na região Sul do Brasil e quer ligar para um amigo que conheceu em um site de relacionamen-tos. Sabendo que o amigo mora em algum estado da região Norte, decidiu fazer uma ligação escolhendo alea-toriamente um dos possíveis DDDs dessa região.

Fabrício pesquisou na internet e descobriu que: I. nessa região, os números de telefone móvel têm oito

dígitos; o primeiro pode ser igual a 8 ou 9 e o segun-do, somente igual a 0, 1 ou 8.

II. os códigos DDD utilizados na região Norte são: 63, 68, 69, 91, 92, 93, 94, 95, 96 e 97.

Observe a tabela a seguir.

Pessoas de 10 anos ou mais de idade que tinham telefonemóvelcelularparausopessoal2005/2008

(× 1.000 pessoas)

Grupos de idade(anos)

BrasilGrandes regiões

N NE SE S CO

10 a 14 4.986 296 1.012 2.225 965 488

15 a 17 5.078 353 1.125 2.226 938 437

18 ou 19 4.138 270 943 1.889 696 340

20 a 24 11.099 799 2.607 4.997 1.776 921

25 a 29 11.372 808 2.553 5.288 1.768 956

30 a 39 18.718 1.340 4.106 8.629 2.965 1.676

40 a 49 15.306 918 3.060 7.251 2.745 1.332

50 a 59 9.595 488 1.726 4.763 1.833 785

60 anos ou mais 6.141 279 1.066 3.096 1.193 507

Total 86.432 5.551 18.198 40.363 14.878 7.442

Fonte: IBGE. Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios 2005/2008.

(Adaptado.)

Admitindo uma equipartição das linhas de telefone móvel por DDD, a probabilidade de um número discado ao acaso, pertencente a esse conjunto universo, ser um número de uma linha telefônica móvel de fato existente está:

a) abaixo de 10%. d) entre 20 e 25%. b) entre 10 e 15%. e) acima de 25%. c) entre 15 e 20%.

3 (Enem) A figura I ao lado mostra um esquema das princi-pais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via in-dicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorren-do um trajeto com a menor probabilidade de engarra-famento possível.

O melhor trajeto para Paula é:

a) E1E3. c) E2E4. e) E2E6.b) E1E4. d) E2E5.

O espaço amostral para os números de telefone dessa região é de: 2 ?3 ? 10 ? 10 ?10 ? 10 ? 10 ? 10 = 6 ? 106.De acordo com a tabela, há 5.551 ∙ 103 números de te-lefones na região Norte. Considerando a equipartição sugerida na questão e que os possíveis DDDs para toda a região são em número de 10, resulta em 5.551 ? 102 linhas por DDD. Finalmente, a probabilidade é dada por:

p = 5.551 ? 102

6 ? 106 ∑ 0,092.

Exer

cíci

o 2

Exer

cíci

o 3

A probabilidade de fazer o trajeto sem engarrafamento em cada caminho é: • E1E3 = 0,8 · 0,5 = 0,40 = 40%.• E1E4 = 0,8 · 0,3 = 0,24 = 24%.• E2E5 = 0,7 · 0,4 = 0,28 = 28%.• E2E6 = 0,7 · 0,6 = 0,42 = 42%.

E3

E5

E4

E6

E1

E2

Figura I Figura II

B

C

D

A

0,5

0,4

0,3

0,6

0,8

0,7

B

C

D

A

H2H3H25H28

H8

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