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Matemática
Matemática I
Aritmética em N .......................................................3Conjunto dos Números Racionais ...........................8Conjunto dos Números Reais ................................13Unidades de Medida .............................................16Cálculo Algébrico...................................................18Matemática Comercial ..........................................23Função...................................................................32Função do 1º grau .................................................41Função do 2º grau .................................................46Função Modular.....................................................51
Matemática II
Geometria Plana
Ângulo ...................................................................56Polígonos ..............................................................61Triângulo ................................................................63Quadriláteros.........................................................67Circunferência e Círculo ........................................70Teorema de Thales ...............................................74Semelhança de Triângulos ....................................75Relações Métricas no Triângulo Retângulo ...........78Relações Métricas num Triângulo Qualquer ..........80Relações Métricas na Circunferência ....................82Área das Figuras Planas .......................................84
JOSÉ AUGUSTO DE MELO
A re
prod
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por
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arte
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pó
sito
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prev
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Anotações
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33333Matemática - M1
ARITMÉTICA EM N
1- SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Desde o momento em que o homem necessitoucontar quantos elementos uma certa coleção possuía,ele se preocupou em registrar de algum modo essacontagem.
Inicialmente usou pedras, cordas, até mesmopedaços de madeira para fazer esses registros.
Com o passar do tempo, percebeu que o uso desímbolos tornava essa tarefa mais fácil.
Foram os Hindus os criadores da representação
mais útil de todas. Usando dez símbolos, hojerepresentados por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ealgumas regras, inventaram um modo prático eeficiente de representar os números, que usamosaté hoje.
Os símbolos 0, 1, 2, ..., 9 são chamados algarismos.Chamamos de sistema de numeração a todo conjuntode símbolos e regras que nos possibilita escreverqualquer número. A quantidade de símbolos usadosno sistema determina a base do sistema.
2- SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
Como o nome diz, é o sistema de base 10. Utiliza osalgarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Baseia-se na propriedade a seguir:
“Se um algarismo está escrito à esquerda de outro,seu valor é 10 vezes mais que esse outro.”
Desse modo, no número 352, o algarismo 2 vale 2unidades, pois não está escrito à esquerda denenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3vale 300 unidades. Como o valor do algarismodepende da posição que ele ocupa no numeral,dizemos que esse é um sistema posicional.
3- SISTEMAS DE NUMERAÇÃO EM OUTRAS BASES
A base de um sistema de numeração não precisaser necessariamente 10. O fato de usarmos osistema decimal é uma “fatalidade” anatômica: temos10 dedos nas mãos. Mas nada impede de usarmosoutras bases.
Assim, por exemplo, no sistema binário, ou seja, debase 2, usaríamos apenas os algarismos 0 e 1, e apropriedade:
”Se um algarismo está escrito à esquerda de outro,
seu valor é 2 vezes mais que esse outro.”
Portanto, no sistema binário, no número (111)2, oprimeiro 1 representa 1 unidade, o segundo 1 x 2ou seja 2 unidades e o terceiro 1 representa1 x 2 x 2 = 4 unidades, representando portanto nosistema decimal o valor 7.De um modo geral, se b é a base do sistema e pqrrepresenta um número desse sistema, temos:
(pqr)b = r + q . b + p . b2
4- MUDANÇA DE BASE
4.1- Passar um número da base 10, para uma base qualquer
Regra: Para escrever um número que está no sistema decimal, num outro sistema de base b, efetuamos sucessivasdivisões do número dado e dos quocientes obtidos por b, até que se encontre um quociente menor que b.
Exemplos:
a) Escreva o número 13 na base 2.
Solução:13 2 1 6 2
0 3 21 1
Resp.: 13 = (1101)2
b) Escreva o número 75 na base 6.
Solução:
Resp.: 75 = (203)6
Observe que:
- Para formar o número, usamos os restos e o último quociente obtido.
- A leitura é feita da direita para a esquerda.
75 6 3 12 6
0 2
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44444 Matemática - M1
4.2- Passar um número do sistema de base b, para o sistema decimal
Regra: Basta decompor o número dado em seus valores relativos.
Exemplos:
a) Passe para a base 10, o número (1011)2.
Solução:
(1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0 . 22 + 1 . 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11
b) Escreva na base 10 o número (314)5.
Solução:
(314)5 = 4 + 1 . 5 + 3 . 52 = 4 + 5 + 75 = 84
5- DIVISÃO EUCLIDEANA
Sejam a e b números naturais com b ��0. Então, existe um único par de números naturais (q, r) tal que:
a) a = b . q + r
b) r < b
Representamos a divisão por:
O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q o quociente e r é o resto. Se r = 0, dizemos que a divisão éexata e teremos a = b . q. Nesse caso, diz-se também que a é múltiplo de b, ou a é divisível por b ou ainda bé divisor de a.
a br q
6- NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
Definição 1: Um número natural n é primo, se ele tiver apenas dois divisores.
Definição 2: Um número natural n é composto, se n ��0 e possuir mais de dois divisores.
Observe que de acordo com essa definição, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.
Os números primos formam a sucessão
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
que o matemático Euclides, que viveu no século III A.C., provou ter infinitos elementos.
7- TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Todo número composto é igual a um produto de números primos.
Quando escrevemos um número composto como um produto de números primos, nós dizemos que o númerodado foi decomposto em seus fatores primos ou, ainda, que o número foi fatorado.
Exemplo: Decompor em fatores primos os números 72, 540 e 1800.
Solução:
Regra: Coloque à direita do traço vertical o menor número primo que divide o número dado. Continueprocedendo do mesmo modo com os quocientes obtidos, até encontrar o quociente 1.
Veja:
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1 Logo: 72 = 23 x 32
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55555Matemática - M1
8- COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NÚMERO
Regra:
a) Decomponha o número em seus fatores primos.
b) Coloque à direita e acima do primeiro fator primo o número 1.
c) Multiplique os fatores primos obtidos por todos os números à direita e acima deles (valores repetidosnão precisam ser colocados).
Exemplo.: Ache os divisores do número 72.
Solução:
1
72 2 2
36 2 4
18 2 8
9 3 3, 6, 12, 24
3 3 9, 18, 36, 72
1
9- QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Regra:
a) Decomponha o número dado em fatores primos.
b) Acrescente uma unidade aos expoentes.
c) Multiplique as somas obtidas em b.
Exemplo.: Determine quantos divisores tem o número 60.
Solução:
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Resp.: 12 divisores.
360 = 22 . 3 . 5. Logo o nº de divisores de 60 é
n = (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 12
Quando um número termina em zeros, podemos cancelá-los e substituí-los pelo produto 2n x 5n, onde n é aquantidade de zeros cortados. Observe:
540 2 . 5
54 2
27 3
9 3 Resp.: 540 = 22 . 33 . 5
3 3
1
1800 22 . 52
18 2
9 3
3 3
1 Resp.: 1800 = 23 . 32 . 52
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66666 Matemática - M1
10- REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE
Sejam a e b dois números, decompostos em seus fatores primos. O número a será divisível por b se elecontiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais.
Exemplo.:
a) O número 23 . 32 . 7 é divisível por 3 . 7.
b) O número 34 . 52 . 7 é divisível por 32 . 52
c) O número 25 . 32 . 5 não é divisível por 23 . 35.
d) O número 32 . 5 . 73 não é divisível por 2 . 3 . 72.
11- MÁXIMO DIVISOR COMUM
Definição
Se a e b são dois números naturais, tal que um deles pelo menos é diferente de zero, chama-se maior divisorcomum de a e b, e representa-se por m.d.c. (a, b), ao maior número que divide simultaneamente a e b.
Exemplo.: Se D(n) representa o conjunto dos divisores do número n, teremos:
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Daí temos que: D(8) D(12) = {1, 2, 4}, e então m.d.c. (8, 12) = 4.
É importante observar que:
a) Se um dos números é divisível pelo outro, o menor deles será o m.d.c.
Exemplo: 36 é divisível por 12; então m.d.c. (36, 12) = 12.
b) Pode acontecer do m.d.c. (a, b) = 1. Nesse caso dizemos que a e b são primos entre si.
Exemplo: m.d.c. (4, 9) = 1, logo 4 e 9 são primos entre si.
c) Os divisores comuns a dois números são divisores do seu m.d.c.
Exemplo: O m.d.c. (54, 72) = 18. Logo os divisores comuns a 54 e 72, são os divisores de 18 ou seja, 1,2, 3, 6, 9 e 18.
12- CÁLCULO DO M.D.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Regra:
a) Fatore os números.
b) Forme o produto com os fatores comuns aos números, tomados com o menor expoente.
Exemplo: Calcule o m.d.c. (72, 90).
Solução:
Fatorando os números, teremos:
72 = 23 . 32
90 = 2 . 32 . 5
Logo: m.d.c. (72, 90) = 2 . 32 = 18
13- CÁLCULO DO M.D.C. PELO ALGORITMO DE EUCLIDES
Daremos um exemplo. Seu professor explicará como o cálculo é feito. Seja calcular m.d.c. (228, 180).
Solução:
1 3 1 3
228 180 48 36 12
48 36 12 0 Resp.: m.d.c. (228, 180) = 12
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77777Matemática - M1
14- MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Definição
Sejam a e b dois números naturais não nulos. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b e representa-se porm.m.c. (a, b), ao menor dos múltiplos, não nulos, comuns aos números a e b.
Exemplo: Se M(n) representa o conjunto dos múltiplos do número natural n, então:
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ...}
M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36,...}
Portanto m.m.c. (a, b) = 12
Observe que:
a) Se um dos números for divisível pelo outro, o maior deles será o m.m.c.
Exemplo: 18 é divisível por 6. Logo m.m.c. (18, 6) = 18
b) Se dois números são primos entre si, o m.m.c. entre eles é igual ao seu produto.
Exemplo: 4 e 9 são primos entre si; então m.m.c. (4, 9) = 36
c) m.m.c. (ap, bp) = p. m.m.c. (a, b)
d) m.d.c. (a, b) x m.m.c.(a, b) = a.b
Exemplo: m.d.c. (4, 6) = 2 e m.m.c. (4, 6) = 12
Observe que m.d.c. (4, 6) x m.m.c. (4, 6) = 4.6
e) Os múltiplos comuns a dois números a e b, são múltiplos do seu m.m.c.
Exemplo: Como vimos, m.m.c. (4, 6) = 12. Logo os múltiplos comuns a 4 e 6 são os múltiplos de 12 ou 12,24, 36, 48, ... (múltiplos positivos)
15- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Regra:
a) Fatore os números.
b) Forme o produto com os fatores comuns e não comuns aos números, tomados com o maior expoente.
Exemplo: Calcule o m.m.c. (12, 15)
Solução:
Fatorando os números, obtemos:
12 = 22. 3
15 = 3 . 5
Logo, aplicando a regra, achamos:
m.m.c. (12, 15) = 22. 3 . 5 = 60
16- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Veja o exemplo: m.m.c. (9, 12, 15).
Solução:
9, 12, 15 2
9, 6, 15 2
9, 3, 15 3
3, 1, 5 3
1, 1, 5 5
1, 1, 1 Resp.: m.m.c. (9, 12, 15) = 22 . 32. 5 = 180
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88888 Matemática - M1
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
1- O QUE É UMA FRAÇÃO?
Definição: Chama-se fração todo número representado pelo símbolo , onde a e b são números inteiros,
com b ≠ 0.
Exemplos: etc.
Geralmente, a fração representa partes de um inteiro. Na representação , o número a é chamado de
numerador da fração e b é o denominador.
O denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido, e o numerador, quantas dessas partes foramtomadas.
2- O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Seja Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} o conjunto dos números inteiros. Chama-se conjunto dos números racionais,e representa-se por Q, o conjunto definido por:
Q = Observe que N � Z � Q.
3- TIPOS DE FRAÇÃO
A) Fração própria
É aquela cujo numerador é menor que o denominador
Exemplos:
B) Fração imprópria
É aquela cujo numerador é maior que o denominador.
Exemplos:
Obs.: Se o numerador é múltiplo do denominador, dizemos que a fração é aparente. Observe que uma fraçãoaparente é, na verdade, um número inteiro.
Exemplos:
4- IGUALDADE DE FRAÇÕES
Definição: Sejam duas frações. Então:
Exemplo: pois 3 . 10 = 5 . 6
Como conseqüência dessa definição, pode-se concluir que:
Ao multiplicar ou dividir os termos de uma fração por um mesmo número (não nulo), encontra-se uma fraçãoigual à fração dada.
Com isso, pode-se simplificar uma fração, ou seja, podemos achar uma fração igual à fração dada, e cujostermos sejam primos entre si. Uma tal fração se diz na forma irredutível, e para obtê-la basta dividir os termosda fração pelo m.d.c. deles.
Exemplo:
b
a
b
a
3
4;10
2;
5
5;
7
3
*ZbeZa/b
a
4
1,
7
2,
5
3
5
10,
3
4,
2
3,
5
7
d
ce
b
a
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99999Matemática - M1
5- OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Recordaremos, sucintamente, as principais operações com frações.
A) Adição e Subtração
Caso os denominadores sejam iguais, conservamos o denominador e somamos ou subtraímos os numeradores.
Se os denominadores forem diferentes, nós reduzimos as frações ao menor denominador comum e procedemoscomo no primeiro caso.
Exemplos:
a) b)
B) Multiplicação
Na multiplicação de duas ou mais frações, o produto é encontrado multiplicando-se os numeradores e osdenominadores. Sempre que possível, devemos utilizar o cancelamento, visto que com isso os cálculos sesimplificarão.
Exemplos:
a) b)
C) Divisão
Para dividir duas frações, nós repetimos a primeira e a multiplicamos pelo inverso da segunda.
Exemplos:
a) b) c)
D) Potenciação
Se é uma fração e n é um número natural, teremos:
6- FRAÇÃO DECIMAL
Se o denominador de uma fração é uma potência de 10, ela se diz uma fração decimal. Assim, as frações
etc... são frações decimais.
Uma simples extensão do sistema de numeração decimal nos permite representar uma fração decimal numaoutra forma, que chamaremos de número decimal.
Desse modo, teremos:
De modo geral, para converter uma fração decimal em número decimal, nós:
- escrevemos o numerador da fração.
- colocamos a vírgula de modo que o número de casas decimais coincida com a quantidade de zeros dodenominador.
b
a
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1010101010 Matemática - M1
Já para passarmos um número decimal para fração decimal, nós:
- eliminamos a vírgula e escrevemos o número obtido no numerador.
- colocamos no denominador uma potência de 10, com tantos zeros quantas forem as casas decimais.
Exemplos:
7- OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
A) Adição e Subtração
Coloca-se a vírgula debaixo de vírgula e opera-se como se fossem inteiros.
Exemplos:
13,72 + 8,493 3,48 - 2,374
Solução: Solução:
13,72 3,480
+ 8,493 -2,374
22,213 1,106
B) Multiplicação
Ignoram-se as vírgulas. Ao produto damos um número de casas decimais igual à soma das casas decimaisdos fatores.
Exemplos: 2,3 x 0,04
Solução:
2,3
0,04
0,092
C) Divisão
Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e efetuamos a divisão.
Exemplo: 31,05 : 9 9,54 : 1,8
Solução: Solução:
3105 900 954 180
4050 3,45 540 5,3
4500 0
0
8- SURGEM AS DÍZIMAS PERIÓDICAS
Como vimos, toda fração decimal pode ser representada na forma decimal. Frações como e não são
decimais, porém são equivalentes a uma fração decimal. Logo, podem também ser representadas comonúmero decimal. Veja:
= 0,6 = 0,90
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1111111111Matemática - M1
Observe que obteremos a mesma representação sefizermos a divisão do numerador pelo denominador.
Assim:
30 5
0 0,6
De modo geral, se o denominador da fração,fatorado, só contiver os fatores 2 e 5, a fração seráequivalente a uma fração decimal, podendo serrepresentada como número decimal. Já uma fração
como , por exemplo, jamais será equivalente a
uma fração decimal, pois seu denominador contémoutro fator além do 2 ou 5. Logo, se quisermosrepresentar essa fração na forma decimal, teremosque admitir que essa fração representa uma divisão.Obteremos então:
50 6
20 0,8333...
20
20
2
Surgem assim as dízimas periódicas.
Resumindo:
- Toda fração decimal ou equivalente a uma fraçãodecimal é representada por um número decimalexato.
- Se uma fração não for equivalente a uma fraçãodecimal, sua representação decimal será uma dízimaperiódica.
A fração que “gerou” a dízima periódica seráchamada de fração geratriz.
Na dízima periódica, a parte que se repete échamada de período. Assim, em 0,2525... o períodoé 25. É usual representar essa dízima na forma
, onde um traço é colocado sobre o período.
Se entre o período e a vírgula não existir nenhumoutro algarismo, a dízima é simples. Caso existaentre o período e a vírgula algum outro algarismo, adízima é composta.
Exemplo:
0,1616... dízima simples
3,444... dízima simples
0,54242... dízima composta
9 - CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ
A) A Dízima Periódica é Simples
A geratriz tem como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantosforem os algarismos do período.
Exemplo:
Calcule a fração geratriz das dízimas:
a) 0,121212... b) 1,333...
Solução:
a)
b)
B) A Dízima Periódica é Composta
A geratriz terá para numerador a parte não periódica, seguida do período menos a parte não periódica, epara denominador um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguidos detantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.
Exemplo: Ache a fração geratriz das dízimas
a) 0,5333... b) 0,42666...
Solução: Solução:
a) b)
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1212121212 Matemática - M1
10 - PRINCIPAIS MÉDIAS
Chamaremos de média ao valor para o qual devem “tender” os valores de um conjunto numérico. Assim,quando dizemos que o salário médio dos empregados da indústria X é R$ 650,00, isto significa que ossalários reais giram em torno desse valor. É importante observar que a média de um conjunto numérico podesofrer uma influência muito forte de valores ou muito altos ou muito baixos. Por isso, temos vários tipos demédias. Veremos as três mais usadas.
A) Média Aritmética Simples
Definição: Sejam x1, x2, ... , xn, n números. Chama-se média aritmética simples entre eles ao número
m.a.s. =
Exemplo: Cinco pessoas, pesando 70 kg, 80 kg, 30 kg, 20 kg e 120 kg estão num elevador. Qual o pesomédio dessas pessoas?
Solução: m.a. =
Resp.: 64 kg.
B) Média Aritmética Ponderada
Suponha que você vai fazer um concurso para ingressar no Banco do Brasil, e que para isso, precise fazerprovas de Português, Conhecimentos Gerais e Técnicas Bancárias. Pode acontecer que à prova de TécnicasBancárias seja dada uma maior relevância. Isso é feito atribuindo-se “pesos” às notas obtidas em cada prova.Desse modo temos a seguinte:
Definição: Sejam x1, x2, ..., xn um conjunto de valores aos quais foram atribuídos os pesos p1, p2, ..., pnrespectivamente. Então sua média, chamada de média aritmética ponderada é:
m.a.p. =
Observe que a média aritmética simples é um caso particular da média ponderada
(p1 = p2 = ... = pn = 1).
C) Média Geométrica
Definição: Se x1, x2, ..., xn são números, sua média geométrica é:
m.g. =
Exemplo: Ache a m.g. entre 4 e 9.
Solução: m.g. =
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CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
1 - A NECESSIDADE DE NOVOS NÚMEROS
À medida que um conjunto numérico mostrava alguma deficiência, novos conjuntos numéricos iam surgindo. Aresolução de equações semelhante a x2 = 2 levou ao aparecimento dos números reais, pois pode-se provar quenão existe nenhum número racional cujo quadrado seja 2. A solução de x2 = 2, que representa-se por
ou - , não é então um número racional, ou seja, não pode ser colocada na forma a/b, com a e b inteirose b ≠ 0. Um tal número será chamado daqui para frente de número irracional. Os irracionais podem também serrepresentados na forma decimal. Nesse caso o número terá infinitas casas decimais e não apresentará parteperiódica. A união dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais, simbolizado por R.
2) VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
Seja x um número real. Chama-se valor absoluto ou módulo de x ao número representado por |x| e definido por:
Exemplos:
a) |5| = 5
b |-3| = -(3) = 3
c) |0| = 0
Se a e b são números reais, temos:
a) |-a| = |a|
b) |ab| = |a| . |b|
c) |a/b| = |a|/|b| para b ≠ 0
d) |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
3) DESIGUALDADES EM R
a) Se a > b e c > 0 então a.c > b.c
b) Se a > b e c < 0 então a.c < b.c
c) Se a > b e c ∈ R então a + c > b + c
Propriedades do anulamento
Se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0
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1414141414 Matemática - M1
4) POTENCIAÇÃO EM R
Seja a um número real não nulo e n um número natural. Então:
a0 = 1
a1 = a
Propriedades
a) d)
b) e)
c) f)
Atenção:
a) (-3)2 = (-3).(-3) = 9
-32 = -1.32 = -1.9 = 9
b)
5) RAÍZES
Definição: Seja a um número real e n um inteiro positivo. Chama-se raiz n-ésima de a, se existir, ao númeroreal b, para o qual temos bn = a.
Em símbolos
Exemplos:
a)
b)
c) não existe em
Observe que:
- Se a < 0 e n é par, não existe a raiz em .
- Se a > 0 e n é par o símbolo representará a raiz positiva e - , a raiz negativa.
Assim: = 3 e - = -3.
- Se
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As principais propriedades da radiciação são:
a) se n for par. d)
b) e)
c) f)
Observação:
É óbvio que as propriedades anteriores somente são válidas supondo a existência das raízes envolvidas.
Podemos agora definir potência de expoente racional.
Definição:
Se a > 0, m e n são inteiros com n ≠�0, temos:
Exemplos:
a)
b)
6- RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar o denominador de uma expressão é achar uma expressão igual à expressão dada, cujo denominadornão tenha radicais. Vamos nos ocupar com a racionalização de três tipos de expressões:
1º Tipo: Expressões da forma .
Para racionalizar uma expressão dessa forma,multiplicamos os termos da fração por .
Exemplo: Racionalize o denominador de .
Solução:
2º Tipo: Expressões da forma
A racionalização nesse caso é feita multiplicando-
se os termos da fração por .
Exemplo: Racionalize
Solução:
3º Tipo: Expressões da forma ou
Nesse caso, multiplicamos os termos da fraçãopelo conjugado do denominador (expressãoobtida trocando-se o sinal do 2º termo dodenominador).
Exemplo: Racionalize
Solução:
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UNIDADES DE MEDIDA
1- O QUE É MEDIR?
Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie, chamada unidade.
Desta comparação, resulta um número que é a medida da grandeza considerada nessa unidade.
Exemplo:Suponhamos que um palito de fósforo “coube” exatamente 5 vezes numa caneta. Isso significa que ocomprimento da caneta na unidade palito de fósforo é 5.
No que se segue, veremos as unidades usadas para medir as principais grandezas do nosso dia-a-dia.
2- MEDIDAS DE COMPRIMENTO
Múltiplos Unidade Sub-múltiplos Km hm dam m dm cm mm
Para passar de uma unidade para outra, usamos o quadro acima, fazendo a vírgula deslocar-se para a direitaou para a esquerda. Por exemplo: para passar de hm para dm, o quadro nos mostra que devemos deslocar avírgula 3 casas para a direita.
Para passar de cm para m, deslocamos a vírgula 2 casas para a esquerda.
Exemplos:
2,35 m = 23,5 dm 0,045 Km = 45 m
147 cm = 0,147 dam 13,4 Km = 13400 m
3- MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
Unidade: é o metro quadrado (m2)
Múltiplos Submúltiplos
quilômetro quadrado: Km2 decímetro quadrado: dm2
hectômetro quadrado: hm2 centímetro quadrado: cm2
decâmetro quadrado: dam2 milímetro quadrado: mm2
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, desloca-se a vírgula duas casas para adireita.
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, desloca-se a vírgula duas casas para aesquerda.
Exemplos:
3, 42 Km2 = 342 hm2 2,1 m2 = 21000 cm2
7810 mm2 = 78,1 cm2 5000 m2 = 0,5 hm2.
Medidas Agrárias (medidas de terras)
Nome hectare are centiare
Símbolo ha a ca
Valor 10000m2 100 m2 1 m2
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4- MEDIDAS DE VOLUME
Unidade: metro cúbico: m3.
Múltiplos Submúltiplos
quilômetro cúbico: Km3 decímetro cúbico: dm3
hectômetro cúbico: hm3 centímetro cúbico: cm3
decâmetro cúbico: dam3 milímetro cúbico: mm3
As transformações são feitas deslocando-se a vírgula de 3 em 3 casas decimais.
Exemplos:
1 dm3 = 1000 cm3 2,45 m3 = 2450 dm3
2000 m3 = 2 dam3 1470 cm3 = 1,47 dm3
Medida de Capacidade:
Unidade: é o litro: L. Temos que 1 L = 1 dm3.
Múltiplos Submúltiplos
Kilolitro (KL) decilitro (dL)
hectolitro (hL) centilitro (cL)
decalitro (daL) mililitro (mL)
Cada unidade de capacidade é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Exemplo:
1 hL = 10 daL
2 L = 2000 mL
600 mL = 0, 6 L
5- MEDIDAS DE MASSA
Unidade: é o quilograma ( Kg )
O quilograma tem como múltiplo a tonelada, que vale 1000 Kg.
Os submúltiplos do quilograma usam como base o grama (g) que equivale a um milésimo do quilograma.
1 g = 0,001 Kg ou 1 Kg = 1000 g
Os submúltiplos do Kg são:
hectograma: 1 hg = 100 g
decagrama: 1 dag = 10 g
decigrama: 1 dg = 0,1 g
centigrama: 1 cg = 0,01 g
miligrama: 1 mg = 0,001 g
Veja que as transformações entre as unidades vão se reduzir a multiplicações e divisões por potências de 10.
Observações:a) Peso bruto: representa o peso da mercadoria mais o recipiente que a contém.
Peso líquido: é o peso apenas da mercadoria.
Tara: representa o peso do recipiente.
b) Unidade de medida de massa de metais preciosos. É o quilate. Vale 2 decigramas.
1 quilate = 2 dg.
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
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CÁLCULO ALGÉBRICO
1 - EXPRESSÃO ALGÉBRICA - VALOR NUMÉRICO
Uma expressão se diz algébrica ou literal se é formada por números e letras ou somente letras.
Assim, são algébricas as expressões:
2 33
21
2
x yx
yx+
−+; ;
As letras que aparecem nas expressões chamam-se variáveis e representam, geralmente, um número real,sendo então chamadas de variável real.
Se a expressão algébrica não tem variável no denominador, ela se diz inteira. Se tiver variável no denominador,ela se diz fracionária.
O valor obtido ao substituirmos as variáveis de uma expressão algébrica por números dados e efetuarmos oscálculos indicados é chamado valor numérico da expressão.
Exemplo: Ache o valor numérico da expressão para x = -3 e y = 5.
Solução:
Substituindo x por -3 e y por 5, teremos:
V.N = ; V.N = ; V.N = ; V.N =
Chamaremos de domínio de uma expressão algébrica ao conjunto formado pelos números que podem sercolocados no lugar das variáveis da expressão.
Assim, o domínio da expressão é
pois x = -3 a expressão não representa número real.
Uma expressão algébrica racional inteira, formada por um único termo, será chamada de monômio e umaadição algébrica de monômios será chamada de polinômio.
Exemplos de monômios:
a)
b)
Obs.: Dois monômios com a mesma parte literal são ditos monômios semelhantes.
Exemplo: e são semelhantes.
Exemplos de polinômios:
a) é um polinômio de três termos, que chamaremos de trinômio (pois tem 3 termos).
b) 2a + b é um binômio (polinômio de dois termos).
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2 - PRODUTOS NOTÁVEIS
Alguns produtos aparecem com muita freqüência e são muito úteis, por isso são chamados de produtosnotáveis. Veremos os principais.
Exemplos: Efetue, pelos produtos notáveis:
a) (3x + 5)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 5 + 52 = 9x2 + 30x + 25
b) (a3 - 4)2 = (a3)2 - 2 . a3 . 4 + 42 = a6 - 8a3 + 16
c) (3x + 2)(3x - 2) = (3x)2 - 22 = 9x2 - 4
d) (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x + 5 . (-3) = x2 + 2x - 15
(2a - 2)(2a - 3) = (2a)2 + (-2 -3) . 2a + (-2) (-3) = 4a2 - 10a + 6
e) (x + 2)3 = x3 + 3x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
f) (2a - 1)3 = (2a)3 - 3 . (2a)2 . 1 + 3 . 2a . 12 - 13.
= 8a3 - 12a2 + 6a - 1
g) (3x + y + 5)2 = (3x)2 + y2 + 52 + 2 . 3x . y + 2 . 3x . 5 + 2 . y . 5
= 9x2 + y2 + 25 + 6xy + 30x + 10y
(a - 2b - 1)2 = a2 + (-2b)2 + (-1)2 + 2 . a . (-2b) + 2 . a . (-1) + 2 . (-2b) . (-1)
= a2 + 4b2 + 1 - 4ab - 2a + 4b
3 - FATORAÇÃO
Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto. Para isso é útil você se lembrar dapropriedade distributiva e dos produtos notáveis vistos anteriormente, pois vários casos de fatoração sãoconseqüência desses produtos.
A dificuldade mais comum, quando se estuda fatoração, está na identificação do caso a ser aplicado àexpressão dada. No entanto, com atenção às características de cada caso e muito treinamento, isso não seráproblema. Vamos aos casos mais comuns.
3.1 - Fator Comum
Característica: um ou mais fatores aparecem em todos os termos.
Como fatorar: coloque esses fatores comuns em evidência, usando a propriedade distributiva.
Exemplos: Fatore
a) ax + bx = x . (a + b)
b) 20x3 y - 8x2 + 12xy2 = 4x . (5x2y - 2x + 3y)
c) (x + 1) b - (x + 1) c = (x + 1) (b - c)
3.2 - Agrupamento
Característica: é usado em expressões com no mínimo 4 termos.
Como fatorar: aplique o caso anterior sucessivas vezes.
Exemplos: Fatore
a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
b) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
c) (x +y)(x - y) = x2 - y2
d) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
e) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
f) (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
g) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
h) (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3
i) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3
a) x2 + xy + 2x + 2y = (x2 + xy) + (2x + 2y)
= x . (x + y) + 2 (x + y)
= (x + y) (x + 2)
b) a2 + a - ab - b = (a2 + a) + (-ab - b)
= a(a + 1) - b(a + 1)
= (a + 1) (a - b)
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3.3 - Diferença de Quadrados
Característica: a expressão dada pode ser reduzida à forma x2 - y2.
Como fatorar: use o inverso do produto notável.
(x + y)(x - y) = x2 - y2, e então teremos:
x2 - y2 = (x + y)(x - y)
Exemplos: Fatore
a) 16 - x2 = (4 + x)(4 - x) b) (x + 1)2 - y2 = (x + 1 + y)(x + 1 - y)
4 x x + 1 y
3.4 - Trinômio Quadrado Perfeito
Característica: a expressão dada é um trinômio redutível à forma x2 ± 2xy + y2
Como fatorar: lembre-se de que x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2
Importante: para verificar se o trinômio dado é quadrado perfeito, ordene-o. Depois tire a raiz quadrada do1º e do 3º termo e multiplique esses resultados. Se o dobro desse produto coincidir com o segundo termo, otrinômio é quadrado perfeito. Caso contrário, o trinômio não pode ser fatorado usando esse caso, e sim umoutro método que aprenderemos ao estudar as equações do 2º grau.
Exemplos: Fatore
a) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
= =
2x → 2 . 2x.3y ← 3y x - 2 . x . 3 3
3.5 - Trinômio do 2º grau
Característica: usa-se quando o trinômio dado não for quadrado perfeito
Como fatorar: emprega-se a fórmula ax2 + bx + c = a(x - x’)(x - x”), onde x’ e x” são as raízes do trinômio dado.
Exemplo: Fatore: 2x2 + 5x - 3
Solução:
Cálculo das raízes
A = 25 + 24 = 49
x = ; x’ = e x” = -3
3.6 - Soma de Cubos
Característica: a expressão é redutível à forma a3 + b3.
Como fatorar: use a fórmula:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
3.7 - Diferença de Cubos
Característica: a expressão é redutível à forma a3 - b3.
Como fatorar: Use a fórmula
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Resp.: 2x2 + 5x - 3 = 2(x - )(x + 3)
= (2x - 1)(x + 3)
Exemplos: Fatore
a) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
b) 27a3 + 1 = (3a)3 + 13 = (3a + 1)(9a2 - 3a + 1)
Exemplos: Fatore
a) x3 - 1 = x3 - 13 = (x - 1)(x2 + x + 1)
b) a6 - 8 = (a2)3 - 23 = (a2 - 2)(a4 + 2a2 + 4)
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4 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Assim denominamos as frações que representam o quociente de dois polinômios, sendo o denominador umpolinômio não nulo.
No que se segue, as operações só são válidas no domínio da fração algébrica estudada.
4.1 - Simplificação de Frações Algébricas
Regra: - Fatore os termos da fração.
- Cancele os fatores comuns ao numerador e denominador.
Exemplos: Simplifique:
a)
Solução:
=
b) = E
Solução:
E = pois (y + x)(y - x) = y2 - x2
E = E = E =
4.2 - Adição e Subtração de Frações Algébricas
Regra: - Reduzimos as frações ao mesmo denominador
- Efetuamos as operações indicadas nos numeradores
- Simplificamos, se possível.
Atenção: Para reduzir as frações ao mesmo denominador, você deve fatorar esses denominadores e formar oproduto com os fatores comuns e não comuns com maior expoente.
Exemplo: Efetue
a)
Solução:
b)
Solução:
=
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4.3 - Multiplicação de Frações Algébricas
Regra: - Fatore os termos das frações envolvidas.
- Cancele os fatores comuns aos numeradores e denominadores.
- Efetue os produtos entre os numeradores e os denominadores.
Exemplos: Efetue:
a)
Solução:
P =
P =
b)
Solução:
P = pois (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 e x . 5x = 5x2
4.4 - Divisão de Frações Algébricas
Regra: Repetimos a primeira fração e a multiplicamos pelo inverso da segunda fração.
Exemplo: Efetue:
Solução:
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MATEMÁTICA COMERCIAL
1- RAZÃO
Definição
Sejam a e b números reais, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ao quociente indicado entre eles.
Notação:
Observações:
a) O fato de usarmos a mesma notação das frações para indicar a razão entre a e b, se deve ao fato deambos os conceitos, do ponto de vista operacional, terem comportamento idêntico.
b) A razão geralmente indica uma comparação. Assim, se num grupo de 10 pessoas, 7 são moças,dizemos que as moças estão presentes na razão de 7 para 10.
c) Se duas grandezas são homogêneas (de mesma espécie), razão entre elas é a razão entre os númerosque exprimem suas medidas numa mesma unidade.
Se as grandezas não forem homogêneas, a razão entre elas é simplesmente a razão entre suasmedidas, em unidades convenientes.
d) Algumas razões recebem nome especial. Por exemplo:
Porcentagem: é a razão do tipo . Também se representa pelo símbolo %.
Assim = 20%.
Escala: razão muito usada em mapas e plantas. Quando se diz que um mapa está na escala ,
isso significa que cada cm no mapa representa, no real, 1.000.000 cm ou 10 km.
• Densidade: razão entre a massa e o volume de um corpo.
• Velocidade: razão entre a distância percorrida por um corpo e o tempo gasto para isso.
e) Propriedade fundamental das razões
(para b ≠ 0 e m ≠ 0)
2- PROPORÇÃO
Definição: Chama-se proporção à igualdade entre duas razões.
Notação: (b ≠ 0, d ≠ 0)
Observe que uma proporção equivale a uma igualdade de frações, e portanto temos como consequência a
Propriedade fundamental das proporções:
(b ≠ 0, d ≠ 0)
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2424242424 Matemática - M1
As proporções obedecem, ainda, às seguintes propriedades:
I) ou
II)
III)
Obs.: essa propriedade também vale para a subtração
1) Calcule x, y e z se e x + y + z = 84
Solução:
1º modo: Usando as propriedades das proporções, temos:
Como x + y + z = 84, vem:
e daí vem x = 35, y = 21 e z = 28
2º modo: Faça . Daí vem:
x = 5K, y = 3K e z = 4K. Substituindo em x + y + z = 84
5K + 3K + 4K = 84 → 12K = 84 → K = 7. Logo
x = 5 . 7: x = 35
y = 3 . 7; y = 21
z = 4 . 7; z = 28
3 - PROPORÇÃO DIRETA E INVERSA
Definição:
Duas grandezas são diretamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segunda aumenta(ou diminui) na mesma razão.
Definição:
Duas grandezas são inversamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segundadiminui (ou aumenta) na mesma razão.
Exemplo 1: Uma equipe de futebol se hospeda num hotel cinco estrelas. Observe a tabela onde se relacionao número de dias que a equipe ficará hospedada com a despesa do time.
Nº de dias 1 2 3 4 5 6
Despesa (em dólar) 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Observe que se dobrarmos o número de dias, a despesa dobra, triplicando o número de dias a despesa triplicae assim por diante. Dizemos por isso que as grandezas em questão são diretamente proporcionais.
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Exemplo 2: Um grupo de operários é capaz de construir uma casa em um tempo dado de acordo com a tabelaa seguir:
Nº de operários 10 20 30 40
Tempo (dias) 12 6 4 3
Observe que dobrando o número de operários, o tempo cai à metade, triplicando o número de operários o tempocai à terça parte e assim por diante. Por isso dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais:
Observações:
a) No exemplo 1, a razão entre os valores correspondentes das duas grandezas é constante.
= K K = coeficiente de proporcionalidade
b) No exemplo 2, o produto dos valores correspondentes das duas grandezas é constante:
10 x 12 = 20 x 6 = 30 x 4 = 40 x 3 = K K = coeficiente de proporcionalidade.
c) De a e b conclui-se que se x e y são variáveis, ou grandezas, temos:
Se = K ou x = Ky implica x e y são diretamente proporcionais.
Se xy = K ou , x e y são inversamente proporcionais.
Assim, se , x é diretamente proporcional a y, r e s e inversamente proporcional a t.
d) Muito cuidado ao classificar duas grandezas. Não basta, por exemplo, que as duas grandezas aumentem(ou diminuam). Isso deve acontecer na mesma razão. Assim, se você gasta 2h para varrer um quartocircular de 5m de raio, não é verdade que você gastará 4h para varrer outro quarto circular de 10m deraio, pois quando se dobra o raio, a área quadruplica (pois A = �r2).
4- DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
A) Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a outros é achar partes de N, diretamenteproporcionais a esses outros números, e cuja soma seja N.
Exemplo: Seja dividir o número 220 em partes diretamente proporcionais a 5, 2 e 4.
Solução:
Sejam x, y, z as partes procuradas. Então:
e x + y + z = 220
Resolvendo, utilizando as propriedades das proporções, encontra-se:
x = 100; y = 40 e z = 80
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B) Divisão em Partes Inversamente Proporcionais
Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a outros é achar partes de N, diretamente proporcionaisaos inversos desses números e cuja soma seja N.
Exemplo: Dividir o número 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
Solução:
Sendo x, y e z as partes, teremos
e x = y + z = 45
Resolvendo pelas propriedades das proporções acha-se:
x = 20; y = 15 e z = 10
C) Divisão Proporcional Composta
Em alguns casos, pode ser necessário dividir um número em partes diretamente proporcionais a dois ou maisconjuntos de números ou, ainda, diretamente proporcional a um conjunto de números e inversamenteproporcional a um outro conjunto. Nesses casos, é só lembrar que:
- se x é inversamente proporcional a y, é diretamente proporcional a .
- se x é diretamente proporcional a y e z, x é diretamente proporcional a y . z.
Exempo 1:
Dividir o número 98 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e também diretamente proporcionais a 1 e 4.
Solução:
Sejam x e y as partes procuradas. Temos:
x é d.p. a 2 e 1 ��x é d.p. a 2 . 1 = 2
y é d.p. a 3 e 4 ��y é d.p. a 3 . 4 = 12
Logo:
e x + y = 9, que resolvido dá:
x = 14, e y = 84
Exemplo 2:
Dividir o número 410 em partes d.p. a 3, 2 e 5 e i.p. a 4, 2 e 3.
Solução:
Sejam x, y e z as partes.
x é d.p. a 3 e i.p. a 4 ��x é d.p. a
y é d.p. a 2 e i.p. a 2 ��y é d.p. a
z é d.p. a 5 e i.p. a 3 ��z é d.p. a
Portanto:
e x + y + z = 410 que resolvido dá x = 90, y = 120 e z = 200
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5- REGRA DE SOCIEDADE
Quando usamos a divisão em partes proporcionais, na divisão de lucro (ou prejuízo) de uma sociedade, dizemoster uma regra de sociedade.
Exemplo 1: Dois sócios montaram uma sorveteria. O primeiro entra com R$ 7.500,00 e o segundo comR$ 4.500,00. Ao final de um ano, a firma deu um lucro de R$ 24.000,00. Qual a parte de cada um?
Solução:
Quem aplicou um capital maior, deve receber uma parte maior do lucro. Logo trata-se de uma divisão empartes diretamente proporcionais, e então:
e x + y = 24.000
que resolvido dá: x = 15.000 e y = 9.000
Exemplo 2: Uma sociedade deu um lucro de R$ 340.000,00. O primeiro sócio entrou com R$ 25.000,00,durante 4 meses e o segundo entrou com R$ 35.000,00 durante 2 meses. Quanto deve receber cada um?
Solução:
É claro que a divisão deve ser em partes d.p ao capital aplicado e também d.p ao tempo. Logo:
e x + y = 340.000
o que dá x = 200.000 e y = 140.000
6 - REGRA DE TRÊS
Conceito: A regra de três é uma das aplicações das proporções. Ela vai nos permitir resolver problemas queenvolvem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Classifica-se em simples oucomposta.
A) Regra de Três Simples
É a regra de três que envolve apenas duas grandezas. Caso essas grandezas sejam diretamente proporcionais,a regra de três se diz simples e direta. Se as grandezas envolvidas forem inversamente proporcionais, a regrade três é simples e inversa.
A resolução de uma regra de três consiste em calcular, em uma proporção em que três termos são conhecidos,o quarto termo. Veja alguns exemplos.
Exemplo 1: Moendo 100 kg de milho, obtemos 84 kg de fubá. Quantos quilos de milho devo moer para obter21 kg de fubá?
Solução:
Inicialmente, dê “nomes” às grandezas envolvidas. Em seguida, coloque os valores dados nas respectivas colunas.Verifique então se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Se forem diretamente proporcionais,lembre-se de que a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes dasegunda. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, a razão entre os valores da primeira é igual aoinverso da razão entre os valores da segunda grandeza. Depois é só calcular o termo desconhecido.
Veja
Milho (kg) Fubá (kg)
100 84
x 21
Como as grandezas são d.p, temos:
e daí vem x = 25 kg Resp.: 25 kg
. .
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Exemplo 2:
Se 36 operários gastam 25 dias para fazer certo serviço, em quantos dias 30 operários, do mesmo gabarito,poderão fazer o mesmo serviço?
Solução:
Operários Dias
36 25
30 x
As grandezas são i.p, pois diminuindo o número de operários aumenta o número de dias para terminar a obra.Logo:
(note a inversão na 2ª razão) e daí, x = 30 dias.
B) Regra de Três Composta
Assim denominamos a regra de três que envolve mais de duas grandezas. Para resolver uma regra de trêscomposta, nós dispomos os valores dados nas respectivas colunas. Em seguida, classificamos as grandezasconhecidas em relação à grandeza que contém o valor desconhecido. Após isso, igualamos a razão entre osvalores da grandeza que contém a variável com o produto das razões das outras grandezas, lembrando quese uma grandeza for i.p, devemos inverter a ordem de seus valores. Veja exemplos:
Exemplo 1:
Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produzem 2.000 peças. Quantas máquinas serão necessáriaspara produzir 1.680 peças em 6 dias?
Solução:
Máquinas Dias Nº de peças
10 20 2.000
x 6 1.680
i.p d.p
Classificando as grandezas Dias e Nº de peças em relação à grandeza Máquina, verifica-se que a primeira éinversamente proporcional e a segunda é diretamente proporcional. Portanto:
e daí x = 28 máquinas
Observação:
Ao classificar uma grandeza, considere as demais como constantes.
Exemplo 2:
Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheirosseriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?
Solução:
horas/dia dias nº engenheiros projetos
6 10 10 5
8 15 x 8
i.p i.p d.p
Logo: e daí x = 8
Resp.: 8 engenheiros
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7- PORCENTAGEM
Uma razão especial
Como já vimos, a porcentagem é uma razão da forma , que também pode ser escrita como a%.
Assim = 20%; = 3% e assim por diante.
Como a razão exprime uma comparação, na porcentagem essa comparação é feita sempre em relação a umgrupo de 100. Desse modo, quando dizemos que o salário teve um aumento esse mês de 25%, isso significaque para cada R$ 100,00, tivemos um acréscimo de R$ 25,00.
8- COMPARANDO NÚMEROS ATRAVÉS DA PORCENTAGEM
Suponha que o preço de uma mercadoria sofreu um acréscimo de R$ 80,00. Esse aumento é grande oupequeno? Para responder a essa pergunta, é preciso que saibamos qual o preço da mercadoria paracompará-lo com o aumento dado. Isso pode ser feito de uma maneira muito simples. Basta efetuar a divisãoentre esses números. Se, além disso, exprimirmos o resultado obtido como uma razão de conseqüente 100,obteremos a porcentagem do aumento, que indica em 100, qual foi o aumento dado. Suponhamos, porexemplo, que o preço original da mercadoria fosse R$ 200,00. Então a porcentagem do aumento seria:
Ou seja, o aumento é de 40%, significando isso que para cada 100 reais no preço, houve um aumento de 40reais.
Esse exemplo mostra que toda porcentagem pode ser colocada na forma de número decimal e vice-versa.Veja alguns exemplos:
a)
b)
c)
d)
1) Comprei um objeto por R$ 20,00 e o revendi por R$ 25,00. Qual a minha porcentagem de lucro?
Solução:
1º modo:
Observe que o meu lucro foi de 5,00. Logo:
20 100 e daí,
5 x
2º modo:
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3030303030 Matemática - M1
2) Uma mistura foi feita com 12 litros de água e 8 litros de álcool. Determine a porcentagem de álcool namistura.
Solução:
Só usaremos o 2º modo
3) A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas num concursocom 6.500 inscritos?
Solução:
Se 82% são reprovados, então 100 - 82 = 18% são aprovados.
1º modo:
6500 100 ;
x 18
2º modo:
18% = 0,18. Logo, 18% de 6500 é 0,18 . 6500 = 1170
4) Meu salário é hoje de R$ 810,00. Se eu tiver um aumento de 32%, qual será meu novo salário?
Solução:
O salário novo será 100% do salário antigo mais 32% do salário antigo, ou seja 132% do salário antigo.
Logo: (lembre-se 132% = = 1,32).
salário novo = 1,32 . 810,00 = 1,069,20
Resp.: R$ 1.069,20
5) Em um certo país, as taxas de inflação em um trimestre foram: 1º mês = 10%, 2º mês = 15% e 3º mês = 17%.Qual foi a inflação nesse país no trimestre em questão?
Solução:
Seja x o preço de uma mercadoria qualquer nesse país. Após o primeiro mês, o novo preço dessamercadoria deveria ser, caso sofresse correção automática da inflação, de 1,10 . x. Após o 2ºmês, 1,15 . (1,10 x). E após o 3º mês, 1,17 . 1,15 . (1,10 x) ou seja, 1,48 x. Logo, a inflação é de 48%no trimestre.
6) Uma certa mercadoria custa R$ 350,00. Se eu pagar essa mercadoria à vista, obtenho um desconto de12%. Por quanto ela me sairá à vista?
Solução:
Se tenho 12% de desconto, pagarei (100 - 12), 88% do preço.
Logo, o preço à vista será 0,88 . 350,00 = 308,00.
Resp.: R$ 308,00
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9- JUROS
Suponha que você empreste a alguém R$ 1000,00. Ao fazer essa transação, você combina com essa pessoa:
a) o prazo após o qual esse valor deverá ser devolvido a você.
b) um valor, que você acha justo, essa pessoa deverá pagar-lhe findo o prazo do empréstimo, como uma“remuneração” pelo seu dinheiro que ficou disponível nas mãos dessa pessoa.
Esse acréscimo ao capital emprestado é que chamamos de juro. O juro é calculado sempre após um determinadoperíodo e combinado no ato da transação. Para simplificar o cálculo, é comum expressá-lo através de umataxa, a taxa de juros. Assim, por exemplo, numa certa transação podemos combinar uma taxa de 5% ao mês.Isso significa que para cada R$ 100,00, o tomador deve pagar, após o período de um mês, R$ 5,00.
O juro é simples se tiver taxa fixa e for calculado sempre sobre a quantia inicial. Por exemplo, se vocêemprestar R$ 100,00, a 5% ao mês, receberá ao fim do 1º mês R$ 5,00 de juro. Ao fim do 2º mês, maisR$ 5,00 de juro e assim por diante.
Normalmente, o que ocorre é o juro ser acrescido ao capital, após o 2º mês a taxa de juro incide sobre essemontante e assim por diante. Nesse caso, temos o juro composto.
10- CÁLCULO DO JURO SIMPLES
7) Por quanto devo vender um objeto que compreipor R$ 4.000,00, se quero ganhar 20% sobre o preçode venda?
Solução:
Considerando que o preço de venda é 100%, éfácil ver que o preço da compra equivale entãoa 80%.
Logo:
4.000 - 80
x - 100 , o que dá x = 5000
Outro modo:
preço compra = (1 - 0,20) . preço venda.
Logo: preço venda = = 5000
8) Calcule o preço de venda de uma mercadoria quecomprei por R$ 8.000,00, tendo perdido 25% do preçode venda.
Solução:
Sendo o preço de venda 100%, o preço decompra representará nesse caso 125%.Então:
8000 125
x 100 x = 6400
Outro modo:
preço compra = (1 + 0,25) . preço venda.
Logo:
preço venda = = 6400
11- CÁLCULO DO JURO COMPOSTO
M = C . (1 + i)t
M ��montante (capital + juros)
C ��capital
i ����taxa (deve ser expressa na forma decimal)
t ����tempo
Obs.: i e t devem estar na mesma unidade
Obs.: Normalmente alguns problemas de juros compostos podem ser resolvidos usando porcentagem.
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FUNÇÃO
1 – RELAÇÃO BINÁRIA
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A x B tal que:
A x B = {(x,y) : x ∈ A e y ∈ B}
Obs.: Se A ou B for vazio, A x B = ∅
Assim, se A = {1,3,5} e B = {2,4,6} então:
A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)}
Um subconjunto qualquer de A x B é chamado de relação binária de A em B. Logo, os subconjuntos de A xB, a seguir, são relações de A em B.
R1 = {(1,2), (3,4), (5,2)}
R2 = {(3,2), (5,4)}
R3 = {(1,2), (3,4), (3,6), (5,2)}
2 – FUNÇÃO: UMA RELAÇÃO ESPECIAL
Definição
Sejam, A e B dois conjuntos. Uma relação f de A em B é função se para todo x ∈ A, existe um únicoy ∈ B, tal que (x, y) ∈ f.
De acordo com essa definição, das três relações dadas no item anterior, somente R1 é função. R2 não éfunção, pois o número 1 de A não aparece como abscissa de R2, ou seja, 1 não corresponde com nenhumelemento de B.
Já R3,não é função porque 3 aparece duas vezes como abscissa dos pares de R3, ou seja, 3 correspondemais de uma vez.
Uma relação pode também ser representada através de um diagrama. Veja os exemplos:
a) A B
1. .4
2. .5
3. .6
É função, pois todo x ∈ A tem um único y ∈ B, tal que (x, y) pertence à relação.
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b) A B
1. .4
2. .5
3. .6
Não é função, pois para 2 ∈ A, não existe y ∈ B, tal que (2, y) pertença à relação.
c) A B
1. .4
2. .5
3. .6
Não é função, pois para 2 ∈ A, existem dois valores y ∈ B, tal que (2, y) pertence à relação.
3 – NOTAÇÃO PARA AS FUNÇÕES
Dada uma função f, se (x, y) ∈ f, diremos que y é a imagem de x pela função, ou y é o valor de f em x, e
indicaremos isso por: y = f(x)
Veja um exemplo:
Seja A = {-1, 0, 1} e f uma relação de A em A dada por f = {(-1, 0), (0, -1), (1, 1)}. Então:
f (-1) = 0, lê-se f de menos um é igual a zero.
f (0) = -1
f (1) = 1
Para indicar que uma relação f de A em B é uma função, usamos a notação:
f: A → B
x → y = f (x)
Os conjuntos A e B entre os quais se define uma função podem ser de qualquer natureza. Porém, geral-mente A e B serão subconjuntos de R. Quando isso acontece, dizemos que f é uma função real de variávelreal. Para essas funções é comum dar-se apenas a fórmula que relaciona os elementos ou simplesmentecondições às quais a função obedece.
4 – FUNÇÕES DADAS POR FÓRMULAS
Exemplo 1: Seja f: R → R definida por f (x) = 2x – 1. Calcule:
a) f (3) c) f (x –1)
b) f ( ½ )
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Solução:
a) Para calcular f (3) basta substituir, na fórmula de f, a variável x pelo número 3 e efetuar as operações.
Assim: f (3) = 2 . 3 – 1 ; f (3) = 6 – 1 = 5
b) f ( ½ ) =
Obs.: Se f ( a ) = 0, dizemos que a é raiz da função
Logo, é raiz de f ( x ) = 2x – 1, pois f ( ½ ) = 0
c) f (x – 1) = 2 . (x – 1 ) – 1 ; f ( x – 1 ) = 2x – 2 – 1
f ( x – 1 ) = 2x – 3
Exemplo 2: Seja a função f definida por
Calcule f ( 0 ) – 3 f ( 2 )
Solução:
Como 0 < 1, f ( 0 ) = 2 . 0 + 1 = 1
Como 2 > 1, f ( 2 ) = 22 – 1 = 3
Logo f ( 0 ) – 3 . f( 2 ) = 1 – 3 . 3 = – 8
5 – DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Seja f uma função de A em B. Chamaremos de domínio de f ao conjunto dos x ∈ A, para os quais existey ∈ B com (x,y) ∈ f. Representaremos o Domínio de uma função f por D(f).
Por imagem da função f entendemos o conjunto dos y ∈ B para os quais existe x ∈ A, tal que (x,y) ∈ f.
Representaremos a imagem da função f por Im(f).
No caso da função ser dada por uma fórmula, o domínio de f é o conjunto dos x ∈ R para os quais f(x) é real.
Para calcular o domínio de algumas funções, é bom lembrar que:
a) Se y = , então D ≠ 0.
b) Se y = com n par, então A ≥ 0
c) Se y = com ímpar, A é real.
6 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Pela definição dada, uma função é um conjunto de pares ordenados. Como a cada para ordenado estáassociado um ponto do plano, a representação dos pares ordenados da função, no plano cartesiano, cons-titui o gráfico da função.
Se for dado o gráfico de uma relação, para verificarmos se a relação é função, usamos o “teste da vertical”.Esse teste consiste em imaginarmos retas verticais traçadas no plano do gráfico. Se pelo menos umadessas retas cortar o gráfico em mais de um ponto, ele não representa função.
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Assim, por exemplo, para os gráficos a seguir teremos:
I)
Não representa função, pois a reta tracejada, indicada na figura, corta ográfico em dois pontos, o que equivale a dizer que existe um x quecorresponde com dois y.
II)
Representa uma função, pois qualquer reta vertical inter-cepta o gráfico no máximo em um ponto.
1) Determine o domínio e a imagem da função cujo gráfico está representado a seguir:
Solução:
Cada ponto do gráfico tem uma abscissa e umaordenada. O domínio é formado pelas abscissasdos pontos do gráfico e a imagem pelas ordena-das. Basta então imaginarmos as “projeções” dográfico sobre os eixos dos x, para o domínio, edos y, para a imagem. Concluiremos que:
D = {x ∈ R : – 2 < x ≤ 3}
Im = {y ∈ R : – 4 < x ≤ 2}
2) Sejam f e g funções cujos gráficos são dados a seguir
a) para que valores de x, f(x) = g(x)?
b) para que valores de x, f(x) > g(x)?
c) para que valores de x, f(x) < g(x)?
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Solução:
a) Graficamente, f(x) = g(x) nos pontos comuns aos gráficos de f e g, ou seja, nas interseções dos gráficosde f e g. Então a resposta é, x = –1 ou x = 2.
b) f(x) > g(x) nos pontos onde o gráfico de f está acima do gráfico de g. Pelos gráficos, a resposta é:
x < –1 ou x > 2.
c) Para que f(x) < g(x), o gráfico de f deve estar abaixo do gráfico de g. Portanto, -1 < x < 2.
3) Estude o sinal da função f, cujo gráfico é dado a seguir:
Solução:
Estudar o sinal de uma função é dizer:
– para que valores de x, f(x) = 0, ou seja, quais as raízes da função.
– para que valores de x, f(x) > 0
– para que valores de x, f(x) < 0
ora, f(x) = 0 quando o gráfico de f corta o eixo x, ou seja, em x = –1, x = 0, x = 2.
Para que f(x) > 0, o gráfico de f deve estar acima do eixo dos x, e isso acontece se: –1 < x < 0 ou x > 2.
Finalmente, f(x) < 0 quando o gráfico de f está abaixo do eixo x, ou seja, para x < –1 ou 0 < x < 2.
Resumindo:
f(x) > 0 se –1 < x < 0 ou x > 2
f(x) = 0 se x = –1 ou x = 0 ou x = 2
f(x) < 0 se x < –1 ou 0 < x < 2
7- FUNÇÃO COMPOSTA
Definição: Sejam as funções f: A → B e g : B → C.
Chama–se composta de g e f a função gof : A → C
tal que (gof) (x) = g(f (x))
Exemplo: Veja o diagrama.
De acordo com ele, temos:
(gof)(1) = 9
(gof)(2) = 10
(gof)(3) = 11
Observe que para fazermos a composta entre g e f, x deve estar no domínio de f e f(x) deve estar no domíniode g. Além disso, de um modo geral, gof ≠ fog. No nosso exemplo, observe que nem existe fog, pois g(x) ∈C e C é diferente do domínio de f.
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1) Sejam as funções reais f e g definidas por f(x) = 2x – 3 e g(x) = x2 + 1. Calcule:
a) (gof)(1) c) (gof)(x)
b) f(g(2)) d) f(g(x))
Solução:
a)
b)
c) símbolo (gof)(x) = g(f(x)) e aqui se pede para substituir, na função g, o x por f(x).
Portanto:
g(f(x)) = [f(x)]2 + 1 = (2x – 3)2 + 1 = 4x2 – 12x + 10
d) f(g(x)) = 2g(x) – 3 = 2(x2 + 1) – 3 = 2x2 – 1
2) Se f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + K, ache K para que (fog)(x) = (gof)(x).
Solução:
f(g(x)) = 2g(x) – 1 = 2(3x + K) – 1 = 6x + 2K – 1
g(f(x)) = 3f(x) + K = 3(2x – 1) + K = 6x – 3 + K
Como fog = gof, teremos: 6x + 2K – 1 = 6x – 3 + K e daí, K = –2.
3) Sejam as funções f(x) = e g(x) = 2x + 3.
a) Determine o domínio de f e o de g.
b) Determine o domínio de fog e gof.
Solução:
a) D(f) = {x ∈ R: x ≠ 2}
D(g) = R
b) Domínio de fog.
Como já dissemos, o domínio de fog é formado pelos elementos do domínio de g para os quais g(x) está nodomínio de f. Logo:
x ∈ D(g) → x ∈ R
g(x) ∈ D(f) → 2x + 3 ≠ 2 ; x ≠ – ½
Então, D(fog) = {x ∈ R: x ≠ – ½ }
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Domínio de gof
x ∈ D(f) → x ≠ 2
f(x) ∈ D(g) → f(x) ∈ R
Logo D(gof) = {x ∈ R: x ≠ 2}
4) Se f(x) = 3x – 2 e f(g(x)) = x + 1, determine g(x):
Solução:
f(g(x)) = x + 1 ; 3g(x) – 2 = x + 1 ; g(x) =
Resp: g(x) =
8 – FUNÇÃO INVERSA
8.1- INTRODUÇÃO
Observe as funções, cujos diagramas estão representados a seguir.
(I) (II) (III)
Em todos eles, temos funções de A em B. Se pensarmos nas relações de B em A, ou seja, nas relaçõesinversas que eles determinam, verificamos que:
– no caso do diagrama I, a relação inversa não determina uma função, pois o elemento 5 ∈ B, tem duasimagens, 2 e 3.
– para o diagrama II, a relação inversa também não determina uma função, pois o elemento 7 ∈ B, não temimagem.
– já no caso do diagrama III, a relação inversa determina uma função, pois todo elemento de B tem umaúnica imagem em A.
Veremos, a partir de agora, as condições para uma função ser inversa.
8.2- DEFININDO TIPOS DE FUNÇÃO
Definição 1:
Uma função f é injetora se para todo x1 e x2 do seu domínio, com x1 ≠ x2, tivermos f(x1) ≠ f(x2)
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De acordo com essa definição, uma função injetora faz elementos diferentes do domínio terem imagensdiferentes.
Se a função for dada pelo seu gráfico, para ver se ela é injetora usa–se o “teste da horizontal” que consiste emtraçar retas horizontais no plano do gráfico. Se pelo menos uma reta horizontal cortar o gráfico em mais de umponto, a função não é injetora.
Definição 2:
Uma função f: A → B é sobrejetora se Im(f) = B
Definição 3:
Uma função que é simultaneamente injetora e sobrejetora se diz bijetora.
Se você estudar agora os diagramas I, II e III anteriores, verá que a condição para uma função ter inversa é queela seja uma função bijetora.
8.3- A FUNÇÃO INVERSA
Definição:
Seja f: A → B uma função bijetora. Chama–se inversa de f e representa–se por f–1 à função f–1: B → A tal que,f(x) = y ↔ f–1 (y) = x
Observações:
a) D(f) = Im(f–1) e Im(f) = D(f–1)
b) O gráfico de f–1 é simétrico ao gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes.
No caso da função ser dada por uma fórmula, considerando um domínio onde ela seja bijetora, a inversa éencontrada do seguinte modo:
1º) na fórmula y = f(x), trocamos y por x e x por y.
2º) Calculamos o y.
Exemplo: Ache a inversa de y = 2x – 3
Solução:
y = 2x – 3
x = 2y – 3 ; x + 3 = 2y ; y =
Resp: f–1(x) =
9 – PARIDADE DE UMA FUNÇÃO
Definição:
Uma função f é par se para todo x de seu domínio temos f(–x) = f(x).
Graficamente, isso significa que se a função é par seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Definição:
Uma função f é ímpar se para todo x de seu domínio temos f(–x) = –f(x).
Isso significa que o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
��
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4040404040 Matemática - M1
10 – FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
Definição:
Uma função f é crescente num intervalo I se para todo x1 e x2 de I com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2).
Definição:
Uma função I é decrescente num intervalo I, se para todo x1, x2 de I, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2).
11 – MÁXIMO E MÍNIMO
Veja o gráfico a seguir:
Fica claro que f(b) é o maior valor que a função assume e f(c) é o menor valor. Diremos que:
– b é o ponto de máximo da função e f(b) é o máximo de f.
– c é o ponto de mínimo e f(c) é o mínimo da função.
Além disso, para um pequeno intervalo contendo a, f(a) é o mínimo, e para um pequeno intervalo contendo d,f(d) é o máximo de f nesse intervalo. Nesses casos, diremos que:
– a é ponto de mínimo local, e f(a) é mínimo local.
– d é ponto de máximo local e f(d) é máximo local.
Resumindo:
Definição: Se f(x) ≤ f(x0 ) para todo x do domínio de f, dizemos que x0 é ponto de máximo e f(x0) é o máximoda função.
Definição: Se f(x) ≥ f(x0) para todo x do domínio de f, dizemos que x0 é ponto de mínimo e f(x0) é o mínimoda função.
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
1- FUNÇÃO CONSTANTE
Seja f: R → R a função definida por f(x) = C, onde C é um número real qualquer. Chamaremos a uma talfunção de função constante. Observe que para todo x ∈ R, f(x) = C. É fácil ver que o gráfico de uma funçãoconstante, f(x) = C, é uma reta horizontal passando pelo ponto (0,C).
Exemplos:
a) f(x) = 2 b) f(x) = –1
2- FUNÇÃO DO 1º GRAU
Sejam a e b números reais, com a ≠ 0. Chamamos de função do 1º grau, ou função afim, à função f: R →R, definida por f(x) = ax + b.
Ao número a denominaremos coeficiente angular e ao número b, coeficiente linear.
Exemplos:
a) f(x) = x
Nesse caso, a = 1 e b = 0. Essa função é chamada também de função identidade.
b) f(x) = 2x
Aqui, a = 2 e b = 0. Se f(x) = ax, com a ≠ 0, dizemos que f é uma função linear.
c) f(x) = –x + 3
Agora a = –1 e b = 3. É o caso geral de uma função afim.
3- GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Quando estudarmos a geometria analítica, provaremos que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta,portanto para obtê-lo podemos escolher dois valores arbitrários para x e calcular o y correspondente. De-pois é só colocá-los no plano cartesiano e uni-los por uma reta. Veja:
Esboce os gráficos:
a) y = 2x –1
x y
0 -1
1 1
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b) y = - x + 2
x y
0 2
1 1
4- O SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES
4.1- O COEFICIENTE LINEAR
Seja f(x) = ax + b. Para achar a interseção do gráfico de f com o eixo y, observe que basta calcular f(0). Comof(0) = b, então o coeficiente linear é a ordenada do ponto de interseção entre a reta e o eixo y. Veja:
4.2- O COEFICIENTE ANGULAR
Seja f(x) = ax + b, e x1 e x2 dois números, tal que x1 < x2. Temos que f(x2) = ax2 + b e f(x1) = ax1 + b.
Logo f(x2) – f(x1) = ax2 – ax1, e daí vem que:
Como x2 – x1 é positivo, temos que:
a) Se a > 0, f(x2) – f(x1) > 0 ou f(x2) > f(x1) e então a função é crescente.
b) Se a < 0, f(x2) – f(x1) < 0 ou f(x2) < f(x1) e nesse caso f é decrescente.
5- A RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Como já vimos, raiz de uma função é o valor de x para o qual f(x) = 0. No caso da função afim, para achar a raiz
é só resolver a equação ax + b = 0 e encontraremos x = –
Graficamente, x = – é a abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo x.
6- IMAGEM DA FUNÇÃO AFIM
Seja f(x) = ax + b, uma função afim, e K ∈ R. Se fizermos x = então f ( ) = a . ( ) + b, ou seja,
f ( ) = K. Logo, qualquer que seja K ∈ R, existe x tal que f(x) = K e então a imagem de f: R → R, tal que
f(x) = ax + b é R. Em outras palavras, a função afim é sobrejetora em R. Mostre você que f é injetora.
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7- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
1ª hipótese: a > 0
2ª hipótese: a < 0
Em qualquer dos casos temos:
a) à direita da raiz, a função tem o mesmo sinal de a.
b) à esquerda da raiz, a função tem o sinal contrário ao de a.
Em resumo:
sinal contrário de a mesmo sinal de a
raiz
Seja discutir o sinal das funções a seguir:
a) y = 1 – 2x
Solução:
Cálculo da raiz: 1 – 2x = 0; x =
Diagrama do sinal
+ + + - - -
Resp:
y > 0 se x < ½
y = 0 se x = ½
y < 0 se x > ½
b) y = (x + 1)(2 – x)
Solução:
Raízes: x + 1 = 0 : x = –1
2 – x = 0 : x = 2
Diagrama do sinal
-1 2
– – ++ ++ x + 1
++ ++ – – 2 - x
– – ++ – – (x + 1) (2 - x)
-1 2
Obs.: As raízes são colocadas em ordemcrescente.
Resp:
y > 0; se –1 < x < 2
y = 0; se x = –1 ou x =2
y < 0; se x < –1 ou x > 2
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8- INEQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES DO 1º GRAU
Resolva as inequações a seguir:
a) (x + 1)4 ≤ 0
Solução:
Essa inequação equivale a:
(x + 1)4 < 0, que dá S1 = ∅ou
(x + 1)4 = 0, que dá S2 = {–1}
Como S = S1 ∪ S2, temos: S = {–1}
b) (2x + 1)5 ≥ 0
Solução:
Se uma potência tem expoente ímpar, o sinal do resultado coincide com o sinal da base. Logo:
(2x + 1)5 ≥ 0 ; 2x + 1 ≥ 0 ; x ≥ – e então: S = {x ∈ R: x ≥ – }
c) 2x – 1 < –x + 1 < x + 2
Solução:
A inequação dada equivale a:
A solução S é achada fazendo–se a interseção das soluções das inequações anteriores. Logo:
2x –1 < –x + 1 → x <
–x + 1 < x + 2 → x > –
Cálculo de S
S = {x ∈ R: – < x < 32
}
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d) (2x + 1) (3 – x) > 0
Solução:
Usamos o quadro de sinais.
S = {x ∈ R: – < x < 3}
e) (x + 1)3 . (3 – x)4 ≤ 0
Solução:
Ao discutir os sinais das funções, lembre–se de que:
– Se o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, ou seja, se o expoente é ímpar, esqueça–o
– Se o expoente é par, o resultado é sempre maior ou igual a zero.
Teremos, então:
Se {x ∈ R: x ≤ – 1 ou x = 3}
f)
Solução:
S = {x ∈ R: x ≤ ou x > 2}
Atenção:
No caso das inequações quocientes, não inclua na solução os valores que anulam o denominador.
g)
Solução:
S = {x ∈ R : –1 ≤ x < 0}
-1/2 3
- - - + + + + + + 2x + 1
+ + + + + + - - - 3 - x
- - - + + + - - - P
-1/2 3
2
- - - + + + + + + 2x - 1
- - - - - - + + + x - 2
+ + + - - - + + + Q
2
-1 0
+ + - - - - - -x - 1
- - - - - + + 2x
- - + + + - - Q
-1 0
-1 3
- - - + + + + + + (x + 1)3
+ + + + + + + + + (3 - x)4
- - - + + + + + + P
-1 3
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FUNÇÃO DO 2º GRAU
1- DEFINIÇÃOChamamos de função do 2º grau ou função quadrática à função f : R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c,com a ≠ 0.
Exemplos:
a) f(x) = 3x2 – 2x + 5 ; a = 3, b = –2 ; c = 5; b) f(x) = x2 + 3 ; a = 1, b = 0 ; c = 3; c) f(x) = –x2 + 2x ; a = –1, b = 2, c = 0
2- GRÁFICONo momento, o único modo de esboçar o gráfico da função quadrática é através de uma tabela. No entanto,algumas propriedades que veremos nos permitirão esboçar tal gráfico de modo muito mais fácil. No estudoda geometria analítica, provaremos que o gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola,que pode ter as seguintes formas:
No primeiro caso, dizemos que a parábola tem a concavidade para cima. Isso acontece sempre que a > 0.
No segundo caso, dizemos que a concavidade da parábola é para baixo, e para isso a < 0.
3- INTERSEÇÃO COM OS EIXOS
3.1- INTERSEÇÃO COM O EIXO Y
Como já sabemos, para determinar o ponto de interseção entre o gráfico de y = f(x) e o eixo y, basta calcularf(0). No caso da função quadrática, f(0) = C. Logo, a interseção da parábola com o eixo y é o ponto (0, C).
3.2- INTERSEÇÃO COM O EIXO X
A interseção do gráfico de uma função y = f(x) com o eixo x é chamada de raiz da função e éencontrada resolvendo-se a equação f(x) = 0. No caso da função do 2º grau, isso se reduz a resolvera equação ax2 + bx + c = 0, que é uma equação do 2º grau, a qual estudaremos a seguir.
4- EQUAÇÃO DO 2º GRAUÉ toda equação redutível à forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Para achar suas raízes, usa-se a fórmula de Báskhara:
x = onde ∆ = b2 – 4ac é chamado de delta ou discriminante.
Observe que se:
• ∆ > 0, a equação terá 2 raízes reais distintas.
• ∆ = 0, a equação terá 2 raízes reais iguais.
• ∆ < 0, a equação não terá raízes reais.
Demonstra–se ainda que se x1 e x2 são as raízes dasequações ax2 + bx + c = 0, então
Essas relações são conhecidascomo relações de Girard para aequação do 2º grau..
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5- A IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Achar a imagem de f(x) = ax2 + bx + c é procurar para que valores de y existe x tal que ax2 + bx + c = you ax2 + bx + c – y = 0 para que essa equação tenha solução ∆ ≥ 0. Logo:
b2 – 4 . a . (c – y) ≥ 0
b2 – 4ac + 4ay ≥ 0
∆ + 4ay ≥ 0 ou 4ay ≥ – ∆
Temos então duas hipóteses:
1ª hipótese: a > 0
Nesse caso 4a > 0 e então y ≥ –
Portanto, para a > 0, os valores de y para os quais existe x tal que ax2 + bx + c = y são aqueles para os quais
y ≥ – ou seja:
a > 0, Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
2ª hipótese: a < 0
Nesse caso, 4a < 0 e então y ≤ – , logo a < 0, Im(f) = {y ∈ R: y ≤ – }
Exemplo:
Determine a imagem da função f(x) = 2x2 – 3x + 1
Solução:
∆ = 9 – 4 . 2 . 1 = 1
– = – 81
. Logo, como a > 0
Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
{
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6- VÉRTICE, MÁXIMO E MÍNIMO
Analisemos com mais detalhe a situação descrita no item anterior. Para fixar idéias, seja f(x) = ax2 + bx + c,com a > 0. Então, o gráfico de f é uma parábola, com a concavidade para cima, tal que
Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
Vemos então que a função apresentará um mínimo igual
a yv = –
Ao ponto de ordenada Yv = – chamamos de vértice. Para
achar sua abscissa, basta resolver a equação
ax2 + bx + c = – . Resolvendo–a, você achará xv = –
Resumindo, para a > 0:
. Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
. A função tem um mínimo igual a yv = –
. O ponto V (vértice) tem coordenadas iguais a ( . – )
De modo semelhante teríamos, para a < 0:
. Im(f) = {y ∈ R: y ≤ – }
. A função tem máximo igual a yv = –
. As coordenadas do vértice são (– , – )
7- O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Para esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, siga o seguinte roteiro:
a) Verifique a concavidade da parábola.
a > 0 ; concavidade para cima.
a < 0 ; concavidade para baixo.
b) Ache a interseção com o eixo y: (0, C)
c) Calcule as raízes da função.
d) Determine o vértice.
e) Esboce o gráfico.
–
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8- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Vamos deduzir as regras de discussão através do estudo gráfico. É lógico que isso não é uma demonstração,mas é um modo simples de “ver” o estudo de sinal.
1ª hipótese: ∆ > 0
Nesse caso, a função tem duas raízes reais distintas e isso significa que seu gráfico corta o eixo x em doispontos diferentes. Teremos:
a > 0 a < 0
Observe que em ambos os casos, vale a regra
onde:
• m/a significa que a função toma valores com o mesmo sinal de a.
• c/a significa que f assume valores com sinal contrário ao sinal de a.
2ª hipótese: ∆ = 0
Nesse caso, a função tem duas raízes reais e iguais. Então, seu gráfico tangencia o eixo x, e podemos teros seguintes casos:
m/a c/a m/a
x1 x2
a > 0 a < 0
Conclui-se, daí, a regra:
3ª hipótese: ∆ < 0
Agora temos uma função que não admite raízes reais. Seu gráfico então não tem nenhum ponto em comumcom o eixo x.
a > 0 a < 0
Vale a regra:
m/a
m/a m/a
x1 = x2
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9- INEQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Resolva as inequações a seguir:
a) 2x2 – 7x + 3 < 0
Solução:
raízes: e 3 (Calcule–as)
Diagrama de sinal + + - - - + +
1/2 3
Queremos que f(x) < 0. Tomamos então x no intervalo em que aparece o sinal de menos, e então:
S = {x ∈ R: < x < 3}
Observação:
As raízes não pertencem à solução, pois nos interessa x para os quais f(x) < 0. Elas só seriam incluídas nasolução se fosse pedido f(x) ≤ 0, ou seja, se aparecesse na inequação o sinal de igual.
b) –x2 + 4x – 4 < 0
Solução:
raiz: 2
Diagrama de sinal - - - - - -
S = {x ∈ R: x ≠ 2} 2
Observação:
• para –x2 + 4x – 4 ≤ 0, temos S = R
• para –x2 + 4x – 4 > 0, temos S = ∅
• para –x2 + 4x – 4 ≥ 0, temos S = {2}
c) (–x2 – 2x + 3) . (x2 – 4x + 4) ≤ 0
Solução:
. raízes de (–x2 – 2x + 3) : –3 e 1
. raízes de (x2 – 4x + 4) : 2
Diagrama de sinais (raízes em ordem crescente)
S = {x ∈ R: x ≤ –3 ou x ≥ 1}
Observação:
Para (–x2 – 2x + 2)(x2 – 4x + 4) < 0, teríamos
S = {x ∈ R: x < –3 ou x > 1 e x ≠ 2}
-3 1 2
- - + + - - - - -x2 - 2x + 3
+ + + + + + + + x2 - 4x + 4
- - + + - - - - P
-3 1 2
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FUNÇÃO MODULAR
1– DEFINIÇÃO
Chamamos de função modular à função f: R → R definida por:
f(x) =
Como já vimos, ≥ 0 para todo x real, logo Im(f) = R+.
2– GRÁFICO
De acordo com a definição de função modular,seu gráfico é formado pela parte do gráfico dareta y = x para o qual x ≥ 0 e pela parte do gráficode y = –x para o qual x < 0.
Para fazer o gráfico de funções que envolvem oconceito de módulos, nós, usando a definição,representamos a função através de várias sen-tenças. Em seguida, fazemos os gráficos dassentenças encontradas e, finalmente, tomamosa parte do gráfico que nos interessa. Veja algunsexemplos:
a) f(x) =
Solução:
Façamos o diagrama de sinal para a função y = x – 2, só que no lugar dos sinais + e – colocamos a própriafunção, quando x – 2 ≥ 0 e o simétrico dela se x – 2 < 0. Teremos:
Logo:
f(x) = =
Agora é só fazer o gráfico.
-x + 2 x - 2
2
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b) f(x) =
Solução:
Aqui podemos adotar um procedimento diferente. Faça inicialmente o gráfico de y = x2 – 2x – 3.
Depois lembre–se de que ao tomar o módulo, o que se faz é tornar positiva a parte do gráfico que era negativa.
Veja:
3– EQUAÇÕES MODULARES
Para resolver uma equação modular use as propriedades:
a) Se a > 0 , = a ↔ f(x) = a ou f(x) = –a
b) = ↔ f(x) = g(x) ou f(x) = –g(x)
c) = f(x) ↔ f(x) ≥ 0
d) = –f(x) ↔ f(x) ≤ 0
Se a equação dada não se enquadrar em nenhuma das propriedades anteriores, use a definição de módulo etransforme a equação dada em outras que lhe sejam equivalentes.
1) Resolva as equações:
a) = 1
Solução:
= 1 ↔ 5 – 3x = 1 ou 5 – 3x = –1. Logo:
5 –3x = 1 5 – 3x = –1
–3x = –4 –3x = –6
x = 34
x = 2
S = {2, }
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b) = –5
Solução:
Como ≥ 0, não existe x satisfazendo à equação acima e então
S = ∅
c)
Solução:
Teremos:
3x – 2 = 1 – x 3x –2 = – 1 + x
4x = 3 2x = 1
x = 43
x =
S = { ½, ¾ }
d) = 2x – 3
Solução:
De acordo com a propriedade C, temos:
= 2x – 3 ↔ 2x – 3 ≥ 0 ou x ≥ . Logo, S = {x ∈ R: x ≥ }
e) = x – 5
Solução:
Observe que x – 5 é simétrico de 5 – x e então = x – 5 ↔ 5 – x ≤ 0 ; x ≥ 5.
S = {x ∈ R: x ≥ 5}
f) 2
Solução:
Para resolver essa equação, faça = y. Teremos:
2y2 – 5y – 3 = 0, que resolvida dá y = 3 e y = –
Se y = 3, obteremos |x| = 3; x = ± 3
Se y = – , |x| = – não admite solução. Portanto:
S = {–3, 3}
g) |x + 1| = 3x + 2
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Solução:
Para que essa equação admita solução, devemos ter 3x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ – 2/3 ( I )
Nessas condições, |x+ 1| = 3x + 2 acarreta:
x + 1 = 3 x + 2 ou x + 1 = -3x - 2
-2x = 1 4x = -3
x = – x =
Como não satisfaz à condição ( I ), teremos: S =
h) |x + 1| - |x| = 2x + 1
Solução:
Nesse caso, devemos substituir os módulos por expressões eqüivalentes e para isso, usamos a definiçãodada e o estudo de sinal. Veja como fica o diagrama.
1ª hipótese: x ≤ –1.
A equação dada equivale a: –1 = 2x + 1 ou x = –1
Como esse número pertence à condição dada, obtemos S1 = {–1}
2ª hipótese: –1 ≤ x ≤ 0
Teremos
2x + 1 = 2x + 1, ou seja, obtemos uma identidade. Isso significa que todo x, tal que –1 ≤ x ≤ 0 é solução daequação e S2 = { x ∈ R : –1 ≤ x ≤ 0}
3ª hipótese: x ≥ 0
Obtemos:
1 = 2x + 1 ; x = 0 e então S3 = {0}
Finalmente, S = S1 ∪ S
2 ∪ S
3, logo
S = {x ∈ R : –1 ≤ x ≤ 0}
-1 0
-x - 1 x + 1 x + 1 |x + 1|
-x -x x |x|
- 1 2x + 1 1 |x + 1| - |x|
-1 0
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4- INEQUAÇÕES MODULARES
Para resolver inequações modulares, usamos as propriedades:
a) Se a > 0 , |x| > a ↔ x > a ou x < –a
b) Se a > 0 , |x| < a ↔ –a < x < a
Caso a inequação dada não se enquadre em nenhuma dessas duas, usamos a definição de módulo e trans-formamos a inequação em outras equivalentes de 1º ou 2º grau.
1) Resolva as inequações
a) |2x – 1| > 5
Solução:
|2x – 1| > 5 ↔ 2x – 1 > 5 ou 2x – 1 < –5
2x – 1 > 5 2x – 1 < –5
2x > 6 2x < –4
x > 3 x < –2
S = {x ∈ R : x < –2 ou x > 3}
b) < 5
Solução:
Como = |x – 1| , a inequação fica:
|x –1| < 5 ↔ –5 < x – 1 < 5
–5 + 1 < x < 5 + 1
–4 < x < 6
S = {x ∈ R : –4 < x < 6}
c) ||x| – 2| > 1
Solução:
||x| – 2| > 1 ↔ |x| – 2 > 1 ou |x| – 2 < –1
1ª hipótese: |x| –2 > 1 ; |x| > 3 ; x > 3 ou x < –3
2ª hipótese: |x| – 2 < –1 ; |x| < 1 ; –1 < x < 1
Logo, S = {x ∈ R : x < –3 ou –1 < x < 1 ou x > 3}
Observação:
Para os demais casos, use os mesmos artifícios e propriedades que usamos nas equações.
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GEOMETRIA PLANA
ÂNGULO1- O QUE É GEOMETRIA?
A palavra “geometria” vem do grego e significa“medida da terra”. Esse significado sugere como surgiuessa parte tão importante da Matemática. Os estudosmostram que por volta de 2000 anos a.C., os habitantesdos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates já tinhamacumulado uma série de propriedades empíricas sobreas figuras geométricas. Ao passarem esseconhecimento para os gregos, estes o formalizaram,
dando à geometria conhecida na época um caráterdedutivo. Deve-se a um grande matemático grego,chamado Euclides, a sistematização de toda a geometriaconhecida na sua época, que foi editada numa obrachamada Os Elementos, formada de 13 volumes. Ageometria que estudamos hoje não é muito diferenteda geometria de Euclides e será chamada de geometriaEuclidiana (por satisfazer o postulado de Euclides).
2- COMO ESTUDAREMOS A GEOMETRIA?
A geometria estuda as figuras geométricas, suasrelações e propriedades.
Uma figura geométrica para ficar bemcaracterizada deve ser definida. Assim, para definiruma figura (ou um conceito) usamos conceitospreviamente estabelecidos. É fácil ver que isso nos levaa considerar alguns conceitos sem definição, e essesserão chamados de conceitos primitivos.Consideraremos como primitivos (sem definição) os
conceitos de ponto, reta, plano.As propriedades de uma figura, para que se
acredite nelas, devem ser provadas, e para isso usam-se propriedades previamente estabelecidas.Novamente aqui sentimos a necessidade deconsiderarmos algumas propriedades sem prova. Aessas daremos o nome de Postulados ou Axiomas.Às propriedades que carecem de uma prova paraserem críveis, chamaremos Teorema.
3- PONTO
É o ente básico da geometria. Representa-se por uma marca feita no papel e para lhe dar nome usa-se umaletra maiúscula. O ponto não tem dimensões. Usando o conceito de ponto define-se:
- Espaço é o conjunto de todos os pontos.
- Figura geométrica é qualquer conjunto não vazio de pontos.
4- RETA
Representa-se através do desenho a seguir.
As setas são colocadas para lembrar que a reta não tem princípio nem fim.
Aceita-se como postulado que:Dois pontos distintos determinam uma reta.
Para indicar a reta podemos:
a) usar uma letra minúscula reta r
ou
b) usar dois de seus pontos
reta ou reta
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5757575757Matemática - M1
Se um conjunto de pontos pertence a uma reta, dizemos que eles são colineares.
Os principais subconjuntos da reta são:
a) Semi-reta: qualquer uma das partes em que uma reta fica dividida por um de seus pontos.
Exemplo:
:
O ponto A, determina na reta r, duas semi-retas
: semi-reta de origem A e que passa por B.
: semi-reta de origem A e que passa por C.
b) Segmento: conjunto formado por dois pontos de uma reta e por todos os pontos entre eles.
Exemplo:
: segmento de extremidades A e B.
A medida de um segmento será representada por AB.
Sobre duas retas, dizemos que elas são:
a) Concorrentes: se possuem um único ponto em comum.
b) Coincidentes: se todos os seus pontos coincidem.
c) Paralelas: se estão contidas num mesmo plano, e não têm ponto em comum.
r // s: a reta r é paralela à reta s.
r
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5858585858 Matemática - M1
5- PLANO
Figura que nos sugere o tampo de uma mesa, desde que a imaginemos estendendo-se em todas as direções.Para denotá-lo, usa-se uma letra grega minúscula.
Temos os seguintes postulados:
- Três pontos não colineares determinam um plano.
- Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, essa reta está contida no plano.
- Postulado de Euclides: Dados uma reta e um ponto fora dela, existe uma única reta paralela àreta dada e que passa pelo ponto dado.
Dizemos que uma figura é plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano.
plano ��(alfa)
6- ÂNGULO
DefiniçãoÂngulo é a união de duas semi-retas de mesma origem.
Exemplo:
As semi-retas e são os lados do ângulo. O ponto O é o vértice. Denotamos o ângulo por: , ou .
Se os lados e são semi-retas opostas, dizemos que o ângulo é raso.
é ângulo raso.
7- ÂNGULOS CONGRUENTES
A congruência entre ângulos é uma relação não definida. Intuitivamente, dizemos que dois ângulos são congruentesse ao transportar um sobre o outro eles coincidem. A relação de congruência, representada pelos símbolos ≅ou ≡, possui as seguintes propriedades:
- reflexiva: todo ângulo é congruente a ele próprio:
- simétrica: se então
- transitiva: se e então .
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8- MEDIDA DE UM ÂNGULO
Medir um ângulo é compará-lo com um outro ângulo que escolhemos como unidade. A unidade mais usada éo grau, que é o ângulo obtido ao dividir o ângulo raso em 180 ângulos congruentes entre si. Assim, ao dizer queum ângulo mede 30° (trinta graus), isso significa que o ângulo de 1° “cabe” 30 vezes no ângulo .Observe que de acordo com a definição, o ângulo raso mede 180°. Para medir ângulos menores que 1°,usamos os submúltiplos do grau: o minuto e o segundo, que se relacionam do seguinte modo:
1° = 60’
1’ = 60’’
À semi-reta de origem no vértice de um ângulo e que odivide em dois ângulos congruentes chamamos debissetriz do ângulo.
9- TIPOS DE ÂNGULOS
é bissetriz de .
Alguns ângulos recebem nome especial. Osprincipais são:
- Ângulo reto: é o ângulo cuja medida é 90º. - Se duas retas se cortam determinando quatroângulos retos, dizemos que elas sãoperpendiculares.
r e s são perpendiculares (r s)
Uma reta perpendicular a um segmento, pelo seu ponto médio, chama-se mediatriz.
r
M ponto médio de
- Ângulo agudo: é o ângulo cuja medida é menorque 90°.
- Ângulo obtuso: é o ângulo cuja medida é maiorque 90°.
A
B
CO
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6060606060 Matemática - M1
- Ângulos complementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é 90°.
- Ângulos suplementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é 180°.
- Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): são dois ângulos para os quais os lados de um são semi-retasopostas aos lados do outro.
Teorema: Dois ângulos o.p.v. são congruentes.
Demonstração:
Sejam os ângulos â e dois ângulos o.p.v.
Observe que:
Portanto:
a + c = b + c e daí vem: a = b e então .
Obs.: a está representando a medida do ângulo â.
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6161616161Matemática - M1
POLÍGONOS
1- LINHA POLIGONAL
É a reunião de segmentos consecutivos e não colineares.
Veja alguns exemplos:
A) linha poligonal aberta simples B) linha poligonal aberta entrelaçada
C) linhas poligonais fechadas simples D) linha poligonal fechada entrelaçada
2- A NOÇÃO DE POLÍGONO
Chamamos de polígono a toda linha poligonal fechada e simples.
Assim, as linhas poligonais do exemplo C do item anterior são polígonos. O primeiro exemplo é um polígonoconvexo e o segundo é um polígono não convexo. Observe que no primeiro caso o segmento que une doispontos quaisquer no interior do polígono está contido no interior desse polígono. Já no segundo caso, existepelo menos um segmento unindo dois pontos no interior do polígono, que não está integralmente contido nointerior do polígono.
convexo não convexo
Daqui para frente, ao falarmos em polígono, entenda-se que falamos de polígono convexo.
Dado um polígono, temos:
vértices: são os pontos A, B, C, ...
lados: são os segmentos , , ...
ângulos internos: Â, , ...
ângulos externos: são ângulos formados pelo prolongamento de um lado com o lado adjacente, como �por exemplo.
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perímetro: é a soma dos lados do polígono. Representa-se por 2p.
diagonal: segmento que une dois vértices não consecutivos. Exemplos: , , etc.
Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados que possuem. Assim:
3 lados - triângulo 9 lados - eneágono
4 lados - quadrilátero 10 lados - decágono
5 lados - pentágono 11 lados - undecágono
6 lados - hexágono 12 lados - dodecágono
7 lados - heptágono 15 lados - pentadecágono
8 lados - octógono 20 lados - icoságono
Os que não aparecem listados acima são denotados também pelo número de lados que possuem, por exemplo:polígono de treze lados, polígono de trinta lados, etc. Se um polígono tem todos os lados congruentes e todosos ângulos congruentes, dizemos que ele é regular.
3- NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO
Teorema: Seja P um polígono com n lados. Então, o número (d) de diagonais desse polígono é:
Demonstração:
Observe que de cada vértice partem n - 3 diagonais.Assim de A, por exemplo, não são diagonais ,
e . Como são n vértices, teremos n . (n - 3)diagonais. No entanto, cada uma dessas diagonais écontada duas vezes (por exemplo e ). Logo:
4- ÂNGULOS DE UM POLÍGONO
No capítulo seguinte, provaremos que:
Teorema: A soma dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados é: Si = (n - 2) . 180°
Teorema: A soma dos ângulos externos (Se) de um polígono é: Se = 360°
Caso o polígono seja regular, todos os seus ângulos internos são congruentes, assim como seus ângulosexternos. Então:
, i = medida de cada ângulo interno
, e = medida de cada ângulo externo
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TRIÂNGULO
1- O QUE É UM TRIÂNGULO?
Chamamos de triângulo a todo polígono de 3 lados.
Dado um triângulo, temos:
vértices: são os pontos A, B e C.
lados: são os segmentos .
Um triângulo pode ser classificado de dois modos:
Em relação aos ângulos.
• Equilátero: os três lados são congruentes. • Isósceles: dois lados são congruentes.
No triângulo isósceles, temos que o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado de ângulo do vértice;o lado oposto ao ângulo do vértice chama-se base e os outros dois ângulos do triângulo são os ângulos dabase. Assim:
Â: ângulo do vértice
: ângulos da base
: base
•Escaleno: não existem lados congruentes.
Em relação aos lados, o triângulo pode ser:
• Retângulo: um ângulo é reto.
No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois são chamados decatetos.
• Acutângulo: todos os ângulos são agudos. • Obtusângulo: um ângulo é obtuso.
A
B C
A
B C
A
B
C
A
B C
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2- AS CEVIANAS DE UM TRIÂNGULO
Chamamos de ceviana a qualquer segmento que tem uma extremidade em um dos vértices e a outra em umponto do lado oposto a esse vértice. As principais cevianas de um triângulo são:
• Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.
AH é altura.
Obs.: em todo triângulo existem três alturas que se cortam num ponto chamado ortocentro.
• Bissetriz interna: é o segmento da bissetriz deum ângulo interno limitado pelo vértice e pelainterseção da bissetriz com o lado oposto.
AD é bissetriz do ângulo Â.
Obs.: as bissetrizes internas de um triângulo se cortam num ponto chamado incentro. Esse ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
• Bissetriz Externa: é o segmento da bissetriz de um ânguloexterno limitado pelo vértice e pela interseção da bissetriz como prolongamento do lado oposto.
AD é bissetriz externa.
• Mediana: segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Se M é ponto médio de BC, AM é mediana.
Obs.: As três medianas de um triângulo se cortamnum ponto chamado baricentro.
3- PROPRIEDADES DAS CEVIANAS
1ª) A bissetriz traçada do ângulo do vértice de um triângulo isósceles também é altura e mediana.
2ª) Num triângulo eqüilátero, o ortocentro, o baricentro e o incentro, coincidem.
3ª) A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é metade dessa hipotenusa.
4ª) Se G é baricentro, temos:
Essas propriedades serão provadas mais à frente.
A
B C
G
M
A
B CM
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4- TRIÂNGULOS CONGRUENTES
Intuitivamente, dizemos que dois triângulos são congruentes se eles podem coincidir por superposição. Paraque isso aconteça, é necessário que os lados do primeiro triângulo sejam congruentes aos lados do segundotriângulo e que os ângulos do primeiro triângulo sejam congruentes aos ângulos do segundo triângulo. Assim,se os triângulos ABC e DEF são congruentes, temos:
Notação:
Se quisermos, porém, provar que dois triângulos são congruentes, não precisaremos mostrar todas as seiscongruências dadas anteriormente. Existem critérios que garantem a congruência de dois triângulos utilizandoapenas três congruências das seis que foram dadas. Esses critérios são chamados de casos de congruência.
• Caso L.A.L.Se AB = DE, AC = DF e , então
• Caso A.L.A.Se , BC = EF e , então
• Caso L.L.L.Se AB = DE, AC = DF e BC = EF, então
• Caso L.A.A.Se AB = DE, e , então
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• Caso do Triângulo Retângulo
Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, eles são congruentes.
Atenção: Não existem os casos de congruência AAA e LLA.
5- DESIGUALDADES NO TRIÂNGULO
Seja ABC um triângulo
P.1) Ao maior lado opõe-se maior ângulo.
P.2) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
P.3) Cada lado do triângulo é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença deles.
6- PARALELAS E TRANSVERSAIS
Sejam r e s duas retas, concorrentes ou paralelas. Uma reta t, que intercepta r e s é chamada de transversal.
A B
C
D
F
E
A
B C
Em qualquer situação, ficam determinados oitoângulos denominados:
alternos internos: (c, e) e (d, f)
alternos externos: (a, g) e (b, h)
colaterais internos: (c, f) e (d, e)
colaterais externos: (a, h) e (b, g)
correspondentes: (a, e), (d, h), (b, f) e (c, g)
Se r e s são paralelas, teremos:
• dois ângulos alternos internos são congruentes.
• dois ângulos alternos externos são congruentes.
• dois ângulos colaterais internos são suplementares.
• dois ângulos colaterais externos são suplementares.
• dois ângulos correspondentes são congruentes.
7- LEI ANGULAR DE THALES
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Demonstração:Seja o triângulo ABC e tracemos por A uma reta r paralela a BC. Então: x =
e y = (alternos internos). Além disso, Â + x + y = 180°, pois formam umângulo raso. Logo, substituindo x e y, temos: .
t
8- TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
Demonstração:
Observe que:
e
Logo: e e daí e =
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QUADRILÁTEROS
1- DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO
Como já foi visto, chamamos de quadrilátero a todo polígono de quatro lados.
Podemos classificar os quadriláteros basicamente em três classes:
• Paralelogramos: são os quadriláteros cujos lados opostos são paralelos.
• Trapézios: são quadriláteros que têm dois lados paralelos.
• Trapezóides: são quadriláteros que não têm lados paralelos.
Paralelogramo Trapézio Trapezóide
É fácil perceber que um quadrilátero, qualquer que seja ele, tem duas diagonais e a soma de seus ângulosinternos é 360º.
2- ESTUDANDO OS PARALELOGRAMOS
Os paralelogramos são quadriláteros com uma série de importantes propriedades, que veremos a seguir:
P.1) Em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
Demonstração:
Seja o paralelogramo ABCD, e tracemos a diagonalAC. Temos que os triângulos ABC e ADC sãocongruentes (A.L.A.), pois:
(alternos internos)
AC = AC (comum) (alternos internos)
Portanto, .
De modo semelhante (trace ) prova-se que .
P.2) Em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Demonstração:
Da congruência dos triângulos (fig. anterior), deduz-se que AD = BC e AB = CD.
P.3) As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
Demonstração:
Observe que os triângulos AMB e CMD sãocongruentes (A.L.A.), pois:
(alternos internos)
AB = CD (lados opostos de um paralelogramo) (alternos internos)
Logo:
AM = MC
BM = MD
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Como treinamento, sugerimos que você prove os teoremas recíprocos de P.1, P.2 e P.3.
R.1) Todo quadrilátero (convexo) que tem ângulos congruentes é um paralelogramo.
R.2) Se um quadrilátero tem lados opostos congruentes, ele é um paralelogramo.
R.3) Se as diagonais de um quadrilátero cortam-se ao meio, ele é um paralelogramo.
No conjunto dos paralelogramos, podemos destacar:
• Retângulo: paralelogramo cujos ângulos são congruentes.
• Losango: paralelogramo cujos lados são congruentes.
• Quadrado: paralelogramo que tem os ângulos congruentes e os lados congruentes.
Como o retângulo, o losango e o quadrado são paralelogramos. Eles possuem todas as propriedades anteriores.Além disso, temos:
• Retângulo: as diagonais de um retângulo são congruentes.
Demonstração:
Não é difícil você concluir que cada ângulointerno de um retângulo mede 90º. Alémdisso, os triângulos ABC e ABD sãocongruentes (L.A.L.) pois:
AB = AB (comum) (ambos são retos)
BC = AD (lados opostos de um paralelogramo)
Como conseqüência, AC = BD.
Obs.: Como M é ponto médio das diagonais (P3), e no caso do retângulo essas diagonais são iguais, temos:AM = BM = MD ou seja (considere o triângulo ABD): a mediana relativa à hipotenusa é metade dessa hipotenusa.
• Losango: as diagonais de um losango são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos.
• Quadrado: as diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos.
Tente, você, provar estas duas últimas propriedades. Finalmente, é bom lembrar que vale também o recíprocode todas essas propriedades.
3- FALANDO DOS TRAPÉZIOS
Como já dissemos, trapézio é o quadrilátero que temdois lados paralelos. Esses lados são chamados debases do trapézio. O segmento da perpendicular traçadade um vértice à base chama-se altura.
Um trapézio se diz isósceles, se os lados não paralelos forem congruentes. Se um trapézio é isósceles, temoso seguinte:
Teorema: os ângulos da base de um trapézioisósceles são congruentes.
Demonstração:
Seja o trapézio isósceles (AD = BC) ABCD.
Se um trapézio tiver dois ângulos retos, dizemos queele é um trapézio retângulo.
Tracemos . Desse modo, temos que o quadri-látero BCDE é um paralelogramo pois seus lados opos-tos são paralelos. Como conseqüência BC = DE = ADe então o triângulo ADE é isósceles e  = Ê. Como
(correspondentes) temos que . Além disso:
Logo: e como , vem: .
colaterais internos
: bases
h: altura
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4- BASE MÉDIA
4.1- Triângulo
Chamamos de base média de um triângulo ao segmento que une os pontos médios de dois lados quaisquer dotriângulo.
Teorema: Se MN é base média do triângulo ABC, então: MN é paralelo a BC e .
Demonstração:
Tracemos CD // AB e seja D a interseção de CDcom MN. Os triângulos AMN e CDN sãocongruentes (A.L.A.) pois:
(alternos internos)
CN = AN (N é ponto médio)
(o.p.v.)
Logo: CD = AM e como AM = MB (M é ponto médio)
BCDM
é um paralelogramo e, portanto, MN // BC. Além disso, da congruência dos triângulos AMN e CDN, temosMN = ND e como já vimos que BCDN é paralelogramo:
MD = BC ou 2MN = BC e daí, .
4.2- Trapézio
Base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos.
Teorema: A base média de um trapézio é paralela às bases, e igual à semi-soma das bases.
ou seja; MN // AB e MN // CD.
Seja MN a base média de um trapézio, e tracemos suas diagonais.
Elas cortam a base média nos pontos E e F. Ao segmento EF chamamos de mediana de Euler.
Teorema: Se EF é a mediana de Euler, então
M N
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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
1- DEFININDO CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
Definição 1:
Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que equidistam de um ponto O, chamado centro, dessemesmo plano.
Definição 2:
Círculo é o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto O, desse mesmo plano, é igual ou menorque o número r > 0, dado.
Veja que o círculo é na verdade a própria circunferência com os seus pontos interiores.
Circunferência Círculo
Em ambos os casos, o ponto O chama-se centro. A medida do segmento cujos extremos são o centro e umponto sobre a circunferência é o raio. Às vezes, o próprio segmento será chamado de raio.
2- PRINCIPAIS ELEMENTOS
CORDA: segmento que une dois pontos da circunferência.
Exemplo: AB
DIÂMETRO: toda corda que passa pelo centro, como porexemplo CD. Um diâmetro divide a circunferência (ou círculo)em duas partes congruentes, chamadas de semi-circunferência (ou semi-círculo).
FLECHA: segmento cujos extremos são os pontos médiosde uma corda e do arco subentendido.
Exemplo: EF.
ARCO: é qualquer uma das partes em que uma circunferênciafica dividida por dois de seus pontos.
Notação: AB: arco menor AB
AMB: arco maior AB
ÂNGULO CENTRAL: é o ângulo cujo vértice é o centro dacircunferência. Todo ângulo central determina na circunferênciaum arco (AB). Isso nos permite medir um arco usandounidades angulares. Basta, para isso, definirmos a medidado arco como sendo igual à medida do ângulo centralsubentendido por ele. Podemos dizer que essa é a medida“angular” do arco. Lembre-se de que um arco também podeser medido em unidades “lineares” ou métricas. Nesse caso,o que se mede é o comprimento do arco retificado.
Obs.: Uma semi-circunferência subentende um ângulo raso, logo sua medida é 180º.
A B
C D
E
F
A
B
M
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SETOR CIRCULAR: região do círculo compreendidaentre um arco e dois raios que passam pelosextremos desse arco.
SEGMENTO CIRCULAR: região determinada nocírculo por qualquer uma de suas cordas.
Usando congruência de triângulos, podemos provar as seguintes propriedades:
P.1) A reta determinada pelo centro de uma circunferência e pelo ponto médio de uma corda é perpendicularà corda.
P.2) Uma reta perpendicular a uma corda que passa pelo centro da circunferência divide essa corda ao meio.
P.3) A mediatriz da corda passa pelo centro da circunferência.
3- RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS
Seja r uma reta e C uma circunferência no mesmo plano de r.
dois pontos em comum,secantes.
um único ponto em comum,tangentes.
não têm ponto em comum,exteriores.
C
r
Q
P
C
r
P
C
r
4- PROPRIEDADES DA RETA TANGENTE
T.1) A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
T.2) A perpendicular ao raio, na sua extremidade, é tangente à circunferência.
T.3) Teorema das tangentes
Se de um ponto exterior P a uma circunferência traçarmos PA e PB tangentes a ela, então PA = PB e OP ébissetriz de .
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T.4) Teorema de Pitot
Em todo quadrilátero circunscrito a umacircunferência, as somas dos lados opostos sãoiguais.
Demonstração:
Pelo teorema anterior, temos:
AP = AS
BP = BQ
CR = CQ
DR = DS
Somando membro a membro, obtemos:
5- ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Vimos que o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chama-se ângulo central e sua medida coin-cide, por definição, com a medida do arco que ele subtende. A partir de agora, definiremos alguns ângulosdeterminados na circunferência e aprenderemos qual a relação entre suas medidas e a medida do arco queeles subtendem.
Ângulo Inscrito: é o ângulo cujo vértice é um ponto dacircunferência, e cujos lados são cordas.
Teorema: A medida de um ângulo inscrito é igual à metadeda medida do arco que ele subtende.
Conseqüências desse teorema
1ª) Ângulos inscritos num mesmo arco são congruentes.
2ª) Um ângulo inscrito na semi-circunferência é reto.
x
ou AB + CD = AD + BC
•
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ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO: seu vértice é umponto interior à circunferência, porém diferente docentro.
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO: o vértice é um ponto exterior à circunferência e os lados são secantes outangentes a essa circunferência.
Obs.: Se os dois lados forem tangentes, dizemos que o ângulo é circunscrito.
Teorema: A medida de um ângulo excêntrico externo é igual à semi-diferença dos arcos determinados nacircunferência.
M
ÂNGULO DE SEGMENTO: ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados têm como suporteuma tangente e uma secante.
Teorema: A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco que ele determina.
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TEOREMA DE THALES1 - INTRODUÇÃO
Até o momento, temos estudado as figurasgeométricas sob um ponto de vista, digamos,qualitativo, preocupando-nos mais com as formasdas figuras do que com suas dimensões. Essageometria que vimos até agora é chamada geometrianão métrica. A partir desse ponto, vamos nospreocupar também em achar as dimensões de umafigura. Chamaremos a essa geometria cujo estudoiniciaremos agora de geometria métrica ou
Arquimediana. Um dos primeiros resultados queteremos nessa geometria é atribuído a Thales deMileto, mercador grego que viveu de 624 a.C. a548 a.C. Thales foi considerado “o primeiro dossete sábios”. Embora não se possa afirmar comcerteza que ele demonstrou o teorema que possuiseu nome, essa seria, no mínimo, uma justahomenagem a um dos maiores gênios dahumanidade.
2 - O TEOREMA DE THALES
Chamaremos de feixe de paralelas a um conjunto detrês ou mais retas paralelas. A reta que interceptatodas as retas do feixe é chamada de transversal.
Teorema de Thales: Um feixe de paralelas determina,sobre duas transversais, segmentos proporcionais.
Assim, se a, b, c são paralelas e s e t são transversais, temos:
Importante observar que, usando as propriedades das proporções, conclui-se que a proporção acima pode serescrita de vários modos. Assim, teremos:
3 - CONSEQUÊNCIAS DO TEOREMA DE THALES
3.1 - Teorema: Uma paralela a um dos lados de um triângulo determina, sobre osoutros dois, segmentos proporcionas
Demonstração:
ou e assim por diante.
Seja DE // BC. Por A, trace r paralela a DE. Forma-
se um feixe de paralelas e AB e AC passam a ser
transversais desse feixe. Logo, pelo teorema de
Thales, temos:
3.2 - Teorema da Bissetriz Interna
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulodetermina no lado oposto segmentos proporcionaisaos lados adjacentes.
Ou seja, se AD é bissetriz,
3.3 - Teorema da Bissetriz Externa
Se AD é bissetriz externa, então
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1- A NOÇÃO DE SEMELHANÇA
Ao afirmar que dois triângulos são semelhantes, estamos dizendo que eles têm a mesma “forma” sem ternecessariamente o mesmo tamanho.
Assim, ao fazermos a ampliação ou redução de um triângulo, obtemos triângulos semelhantes ao triângulooriginal.
Observe que, ao tomar dois triângulos congruentes, teremos:
a) a cada ângulo do primeiro triângulo corresponde um ângulo congruente no segundo triângulo.
b) os lados correspondentes dos dois triângulos são proporcionais.
Obs.: Chamaremos de lados correspondentes aos lados opostos a ângulos congruentes.
Desse modo, se os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, teremos:
e
Observações:
• O número K é chamado razão de semelhança.
• Indicaremos que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes colocando: ABC ~ A’B’C’.
2- TEOREMA FUNDAMENTAL DE SEMELHANÇA
A paralela a um dos lados de um triângulo determina um triângulo semelhante ao primeiro.
Em símbolos:
Se DE // BC então os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
Demonstração:
Observe inicialmente que:
 =  (ângulo comum) ( ângulos correspondentes) (ângulos correspondentes)
Além disso, como DE // BC, pelo Teorema de Thales vem:
(I)
Trace agora . Novamente, por Thales, teremos:
Mas DE = BF (lados opostos de um paralelogramo)
C
D E
F
A
B
A
A
A’
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Logo: (II)
De I e II, conclui-se:
Como provamos que os pares de ângulos são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais,temos que os triângulos são semelhantes.
Como consequência desse teorema, deduzimos que para dois triângulos serem semelhantes não énecessário que provemos a igualdade dos ângulos e a proporcionalidade dos lados correspondentes, pois umadessas condições implica a outra. Mostrando uma dessas condições (igualdade dos ângulos ou proporcionalidadedos lados), a semelhança dos triângulos estará garantida. Além disso, como veremos a seguir, existem condiçõesmínimas que garantem a semelhança.
3 - Critérios de Semelhança
Assim denominamos três teoremas que dão condições mínimas para dois triângulos serem semelhantes.
C.S.1) Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, eles sãosemelhantes (A:A)
C.S.2) Se dois triângulos possuem dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ânguloscompreendidos congruentes, eles são semelhantes (L.A.L)
C.S.3) Se os lados de um triângulo são proporcionais aos lados do outro, os triângulos são semelhantes(L.L.L)
Veja as ilustrações:
Se e  = Â, ABC ~ A’B’C’
Se = , então ABC ~ A’B’C’
Dos critérios anteriores, o que será mais usado é o primeiro. De acordo com tal critério, ao mostrar que doisângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de um outro triângulo, teremos garantido a semelhançados dois triângulos. Isso acarreta, então, de acordo com a definição de semelhança de triângulos, a igualdadeentre os terceiros ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes.
A. A
L. A. L.
L. L. L.
~
~
~
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Ao armar a proporção entre os lados de dois triângulos, tome o cuidado de fazer corresponder lados opostos aângulos iguais. Veja:
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pois:
(ângulos retos)
(ângulo comum)
Concluimos então que os lados correspondentes são proporcionais. Porém os lados correspondentes são:
BC corresponde com CE ( são opostos aos ângulos )
AB corresponde com DE (são opostos aos ângulos )
AC corresponde com CD (são opostos aos ângulos )
Portanto:
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RELAÇÕES MÉTRICASNO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1- ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Seja o triângulo retângulo ABC, reto em A.
a
• hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto (BC = a)
• catetos: são os outros dois lados do triângulo (b e c)
• altura relativa à hipotenusa: altura traçada do vértice do ângulo reto (h)
• projeções: são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (m e n)
No que se segue, procuraremos relações entre as medidas desses segmentos. Para isso, usaremos asemelhança de triângulos.
2- TRÊS TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Teorema: Se AD = h é altura, então os triângulos ABC, ABD e ACD são semelhantes.
Solução:
Os triângulos ABC e ABD são semelhantes, pois:
BÂC = A B (retos)
= (comum)
Também são semelhantes os triângulos ABC e ACD, pois BÂC = A C (retos)
= (comum)
Finalmente, os triângulos ABD e ACD são semelhantes, pois ambos são semelhantes ao triângulo ABC.
3- RELAÇÕES MÉTRICAS BÁSICAS
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4- APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
4.1– DIAGONAL DE UM QUADRADO
Seja ABCD um quadrado de lado x, e diagonal d.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABD, obtemos:
d2 = x2 + x2 ; d2 = 2x2 e então d = x .
4.2- ALTURA DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Como o triângulo ABC é equilátero, AD além de altura é mediana. Logo, CD = , onde x é a medida do lado
do triângulo.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ACD, teremos:
e então:
h =
Usando as semelhanças provadas no item anterior, obtém-se:
1) b2 = an
2) c2 = am
3) h2 = m.n
4) b . c = a . h
5) a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)
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RELAÇÕES MÉTRICASNUM TRIÂNGULO QUALQUER
1- RELAÇÃO DO LADO OPOSTO A UM ÂNGULO AGUDO
Seja ABC um triângulo, e a um lado oposto a um ângulo agudo. Então, o quadrado de a é igual à soma dosquadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobreele.
Em símbolos:
a2 = b2 + c2 – 2cm
Demonstração:
No triângulo BCD, temos: a2 = h2 + (c – m)2 ( I )
No triângulo ACD, temos: b2 = h2 + m2 ; h2 = b2 – m2 ( II )
Substituindo ( II ) em ( I ) vem: a2 = b2 – m2 + c2 – 2cm + m2 ou
a2 = b2 + c2 – 2cm
Observe que essa relação só pode ser usada para lado oposto a um ângulo agudo. Além disso, na partefinal dela, pode–se tomar qualquer um dos outros dois lados. Lembre–se, porém, de que a projeção queaparece é a projeção do lado que não está nessa parte da fórmula, sobre o lado que aparece nessa parte dafórmula. Assim, em a2 = b2 + c2 – 2bn, n é a projeção de c sobre b.
2- RELAÇÃO DO LADO OPOSTO A UM ÂNGULO OBTUSO
Se a é um lado oposto a um ângulo obtuso de um triângulo, então, o quadrado de a é igual à soma dosquadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outrosobre ele.
Em símbolos:
a2 = b2 + c2 + 2cm
Demonstração:
No triângulo BCD, temos: a2 = h2 + (c + m)2 ( I )
No triângulo ACD, temos: b2 = h2 + m2 ou h2 = b2 – m2 ( II )
Substituindo ( II ) em ( I ) vem: a2 = b2 – m2 + c2 + 2cm + m2 ou
a2 = b2 + c2 + 2cm
3- IDENTIFICANDO UM TRIÂNGULO
Sejam a, b, c as medidas dos lados de um triângulo. Se a é o maior lado, teremos:
• Se a2 = b2 + c2, o triângulo é retângulo.
• Se a2 > b2 + c2, o triângulo é obtusângulo.
• Se a2 < b2 + c2, o triângulo é acutângulo.
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8181818181Matemática - M1
4- LEI DOS SENOS
Num triângulo ABC, temos:
Onde R é o raio da circunferência
circunscrita ao triângulo.
5- LEI DOS COSSENOS
Em um triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duasvezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Demonstração:
Seja a um lado oposto a um ângulo agudo. Então:
a2 = b2 + c2 – 2cm ( I )
No triângulo ACD, temos:
e então:
m = b cos A . Logo, substituindo em I vem:
a2 = b2 + c2 – 2cbcos A
Prove, você, que se a é oposto a um ângulo obtuso, a relação acima também é válida.
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8282828282 Matemática - M1
RELAÇÕES MÉTRICASNA CIRCUNFERÊNCIA
1- RELAÇÃO CORDA–CORDA
Se AB e CD são cordas, então:
PA . PB = PC . PD
Demonstração:
Os triângulos ADP e BCP são semelhantes, pois:
APD = BPC ( o.p.v.)
D = B (inscritos no mesmo arco)
Logo, os lados correspondentes são proporcionais.
ou PA . PB = PC . PD
2- RELAÇÃO SECANTE–SECANTE
Se PB e PD são segmentos de secantes, então:
PA . PB = PC . PD
Demonstração:
Trace AD e BC. Os triângulos PAD e PBC são semelhantes, pois:
B = D (inscritos no mesmo arco)
P = P (comum)
Então:
ou PA . PB = PC . PD
3- RELAÇÃO SECANTE–TANGENTE
Se PB é um segmento de secante e PT um segmento de secante, temos:
PT2 = PA x PB
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8383838383Matemática - M1
Demonstração:
Trace TA e TB. Os triângulos PAT e PBT são semelhantes, pois:
PTA = PBT (ambos medem )
P = P (comum)
Então:
= ou PT2 = PA . PB
4- RELAÇÃO CORDA–DIÂMETRO
Se AB é uma corda e AC é diâmetro, então:
AB2 = AC . m, onde m é a projeção de AB sobre AC.
Demonstração:
Trace BC. A propriedade dada é então uma conseqüência direta das relações métricas nos triângulos retân-gulos, pois o triângulo ABC é retângulo por estar inscrito num semi–círculo.
5- POTÊNCIA DE UM PONTO
5.1- POTÊNCIA DE UM PONTO EXTERIOR
Se P é um ponto exterior a uma circunferência, então potência de P, que representamos por pot (P) é:pot(P) = PA . PB = PC . PD = … = PT2
Observação: As relações vistas anteriormente nos per-mitem usar qualquer parte da definição, pois esses va-lores são iguais.
5.2- POTÊNCIA DE UM PONTO INTERIOR
Se P é um ponto no interior da circunferência, então:
pot(P) = PA . PB = PC . PD = …
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8484848484 Matemática - M1
ÁREA DAS FIGURAS PLANAS
1- NOÇÃO INFORMAL DE ÁREA
Informalmente dizemos que área de um polígono é um número real positivo que diz quantas unidades de áreaestão contidas no polígono (ou melhor, na sua superfície). A unidade de área é um quadrado cujo lado tempara medida a unidade de comprimento. Admitindo que a área de um retângulo é igual ao produto da base pelaaltura, deduz-se a área de uma série de outras figuras.
2- ÁREA DO RETÂNGULO
Como vimos no item anterior, admitiremos que: A = b . h
3- ÁREA DO QUADRADO
O quadrado é um retângulo onde b = h = a. Logo A = a2 .
4- ÁREA DO PARALELOGRAMO
É fácil ver que os triângulos ADE e BCF são congruentes. Logo, o paralelogramo ABCD tem a mesma áreado retângulo DEFC, cuja base é também b e altura h. Então:
A = b . h
5- ÁREA DO LOSANGO
Seja o losango ABCD de diagonal maior D e diagonal menord. Observe que a área do losango é metade da área do retân-gulo de base d e altura D.
Logo:
A =
h
ba
a
aa
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6 - ÁREA DO TRIÂNGULO
Observe que a área do triângulo de base b e altura h é metadeda área do paralelogramo de mesma base e mesma altura.Então:
A =
7- ÁREA DO TRAPÉZIO
A área do trapézio é igual à soma das áreas dos triângulos ABD e BCD.
Logo:
A =
8 - ÁREA DO POLÍGONO REGULAR
Seja um polígono regular de n lados. Então podemos decompô–lo em triângulos congruentes cuja base é x,lado do polígono, e cuja altura é a, o apótema do polígono. Então:
A =
Mas n . x é o perímetro (2p) do polígono. Logo:
A = onde p é o semi–perímetro
9- ÁREA DO CÍRCULO
Considerando que o círculo é um polígono regular com um número infinitamente grande de lados, teremos que
sua área é A = p . a. Mas nesse caso, p é o comprimento da semi–circunferência e vale ou π . r e o
apótema é o raio. Logo A = πr . r ou A = πr2 .
10- ÁREA DA COROA CIRCULAR
É imediato que a área da coroa circular é:
A = πR2 – πr2 ou A = π (R2 – r2)
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8686868686 Matemática - M1
11- ÁREA DO SETOR CIRCULAR
A) O ÂNGULO CENTRAL É DADO EM RADIANOS
Façamos uma regra de três. Se o ângulo central fosse de 2πrad, a área seria πr2 (círculo completo).
Se o ângulo for α rad, a área é A.
2π rad – πr2
α rad – A
B) O ÂNGULO É DADO EM GRAUS
360º – πr2
α – A
C) SÃO DADOS r e lllll
A um arco de comprimento 2πr corresponde uma figura(todo o círculo) de área πr2. Ao arco de comprimento l,o setor de área A
2 πr – πr2
l – A
12- FÓRMULAS PARA A ÁREA DE UM TRIÂNGULO
A) FÓRMULA GERAL
A =
B) TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Se o triângulo ABC é equilátero, b = AC = a e h = . Logo: A =
C) FÓRMULA DE HIERÃO
Como vimos, h =
Logo: A = ou
A =
l
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D) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO COMPREENDIDO
A = . No triângulo ACD, sen C = e daí,
h = b sen C
Logo, A = senC
De modo idêntico, prova–se que:
A = sen B ou A = sen Â
E) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA
Observe que a área procurada é igual à soma das áreas dos triângulos AOC, AOB e BOC.
A = ABOC + AAOC + AAOB
ou A = p . r
F) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DO RAIO DACIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA
Prova–se que nesse caso:
A =
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ARITMÉTICA EM N
1) (UFMG) Considerem-se todas as divisões em que seus termos são inteiros positivos, o divisor é 325 e oquociente é igual ao resto. O número de tais divisões é :
a) 124 b) 180 c) 200 d) 320 e) 324
2) (PUC-MG) A base do sistema de numeração em que o número 211 é igual a 79 na base decimal é:
a) divisor de 10 b) múltiplo de 3 c) múltiplo de 4 d) menor que 5 e) um número primo
3) (UFES) Quantos fatores primos distintos tem o número ?199819971999N 22 −−=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4) (UFMG) Sabe-se que o número 213 - 1 é primo. Seja n= 217- 16.
No conjunto dos números naturais, o número de divisores de n é:
a) 5 b) 8 c) 6 d) 10
5) (UFLA-MG) Sejam os números m = 25.33.62 , n = 2.3.42.52
Assinale a alternativa INCORRETA:
a) Se um número inteiro divide 96 então divide m e n. d) m é maior que n.
b) O máximo divisor comum entre m e n é 96. e) O resto da divisão de m por n é zero.
c) O mínimo múltiplo comum entre m e n é 27.35.52.
6) (N. Paiva-MG) O quadro a seguir representa o M.D.C entre os números A e B, pelo método das divisõessucessivas.
As somas A + B e C + D valem respectivamente:
a) 1.680 e 245 c) 1.400 e 525
b) 1.435 e 490 d) 1.200 e 725
7) (PUC-MG) Em uma árvore de Natal, as lâmpadas amarelas piscam a cada 15 segundos, as vermelhas, acada 12 segundos e as verdes, a cada 10 segundos. Supondo-se que às 23h 47min todas as lâmpadaspiscaram ao mesmo tempo, pode-se estimar que às 24h 00min estarão piscando simultaneamente:
a) as lâmpadas amarelas, as vermelhas e as verdes c) apenas as lâmpadas amarelas e as verdes
b) apenas as lâmpadas amarelas e as vermelhas d) apenas as lâmpadas vermelhas e as verdes
MATEMÁTICA I
3 2 1 3
A B 140 105 35
C D 35 0
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8) (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundosfechados e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem afechar juntos outra vez é de :
a) 150 b) 160 c) 190 d) 200
9) (UNI-BH) Sabe-se que a e b são números naturais não nulos, m.d.c (a, b) = 2 e , concluímos
que o valor de b é:
a) 6 b) 4 c) 3 d) 2
(PUC-MG) As questões 10 e 11 devem ser respondidas de acordo com a situação descrita a seguir.
Um carrinho que se move à velocidade constante de 10 m/s, parte do ponto A no instante t = 0 e percorreo caminho poligonal ABCD.
• No ponto B, há uma cancela que, a partir de t = 0, fica alternadamente aberta durante 20 segundos efechada durante 60 segundos.
• No ponto C, há outra cancela que, a partir de t = 0, fica alternadamente aberta durante 60 segundos efechada durante 20 segundos.
• As distâncias estão indicadas na figura, e o carrinho só pode prosseguir em frente quando encontra acancela aberta. Caso a cancela esteja fechada, permanece parado até que ela abra.
10) O tempo gasto pelo carrinho para ir de A até D, em segundos, é:
a) 485 b) 490 c) 500 d) 510 e) 515
11) A velocidade média do carrinho, em m/s, é:
a) 7,5 b) 8,6 c) 9,0 d) 9,7 e) 10,0
12) (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contempladoe todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número deborrachas, sem haver sobra de qualquer material.
Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9
13) (CEFET-MG) Se, numa divisão, o quociente é 13, o resto é 5 e a soma do dividendo com o divisor é 215,então o divisor é um número:
a) fracionário b) múltiplo de 11 c) par d) múltiplo de 3 e) divisível por 13
14) (UNA-MG) Uma área retangular de 11.340 m de comprimento por 4.680 m de largura deve ser dividida emlotes quadrados de maior área possível. A quantidade de lotes que obteremos é:
a) 1638 b) 1639 c) 1640 d) 1641
15) (PUC-MG) Três peças de tecido que medem 30 m, 36 m e 42 m, respectivamente, devem ser divididas empedaços, todos de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que haja sobras em cada umadelas. O comprimento de cada pedaço, em metros, é:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
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9090909090 Matemática - M1
NÚMEROS RACIONAIS
1) (Fund. João Pinheiro-MG) Marcos gasta metade de seu salário com aluguel e alimentação, com instrução
e vestuário e do restante com condução. Sabe-se que seu gasto com condução é de R$ 50,00. Nesse
caso, o salário de Marcos é de:
a) R$ 2.400,00 b) R$ 2.800,00 c) R$ 3.200,00 d) R$ 3.600,00 e) R$ 4.000,00
2) (PUC-MG) A soma 1,333... + 2,3222... é igual à fração:
3) (UNI-BH) Sendo , pode-se dizer que y vale:
4) (FAFEOD-MG) Considere as dízimas periódicas a = 0,333... e s = 0,444... . A soma 27a + 512s é igual a:
a) 15 b) 16 c) 19 d) 17
5) (UNIMONTES-MG) Em uma turma do concurso vestibular havia 20 rapazes e 30 moças. A nota média, naprova de matemática, dos rapazes foi 7 e a das moças foi 8. A nota média da turma, nessa prova, foi:
a) 7,5 b) 7,6 c) 7 d) 7,75
6) (Fund. João Pinheiro-MG) As médias aritmética e geométrica de dois números positivos são, respectivamente,39 e 36.
Então, a diferença entre o maior e o menor desses números, nesta ordem, é:
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
7) (UFMG) A média das notas na prova de Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 pontos. Nenhumdos alunos obteve nota inferior a 60 pontos.
O número máximo de alunos que podem ter obtido nota igual a 90 pontos é
a) 10 b) 23 c) 13 d) 16
8) (PUC-MG) Algumas universidades já estão usando a nota do ENEM ( Exame Nacional do Ensino Médio ),para compor a nota final do vestibulando, aplicando a seguinte fórmula: “A nota final do vestibulando seráigual à nota da prova do vestibular, vezes 4, mais a nota do ENEM, vezes 1, sendo o resultado dividido por5. Mas, se o resultado dessa média for inferior ao da prova do vestibular, fica valendo a nota da prova dovestibular.”
Observe atentamente o quadro a seguir:
Nota do Nota do NotaCandidato vestibular ENEM Final do
em % em % Vestibular
A 60 70 ?
B 60 50 ?
As notas finais do vestibular dos candidatos A e B são, respectivamente:
a) 65 e 55 b) 62 e 60 c) 62 e 58 d) 70 e 58 e) 65 e 60
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9191919191Matemática - M1
(PUC-MG) Os dados do texto a seguir devem ser utilizados para responder às questões 9 e 10.
A pavimentação de uma estrada será executada por duas empreiteiras, cada uma delas trabalhando a partir deuma das extremidades da rodovia. Uma das empreiteiras deverá pavimentar 3/10 da estrada e a outra, os 91quilômetros restantes. O leito da estrada deverá ter 10 m de largura e ser coberto por uma camada de asfaltode 6 cm de espessura.
9) A extensão da estrada, em quilômetros, é:
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140
10) O volume de asfalto necessário para cobrir o leito da rodovia, em milhares de metros cúbicos, é:
a) 72 b) 78 c) 81 d) 93 e) 112
11) (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores era 1,72 m. Ainda no primeirotempo, um desses jogadores, com 1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro quemedia 1,68 m de altura.
No segundo tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, foi expulso.
Ao terminar a partida, a altura média dos 10 jogadores desse time era:
a) 1,69 m b) 1,70 m c) 1,71 m d) 1,72 m
PROVA NOTA PESO
Português 65 3
Matemática 62 3
Química x 2
Física 78 2a) 72 b) 74 c) 76 d) 78 e) 80
13) (Fund. João Pinheiro-MG) Durante três meses consecutivos, o consumo médio de água na residência deLídia foi de 27 m3. Sabe-se que o consumo médio de água dos dois últimos meses desse trimestre, namesma residência, foi de 23,5 m3.
Assim sendo, na residência de Lídia, o consumo de água do primeiro mês foi de
a) 28 m3 b) 30 m3 c) 32 m3 d) 34 m3 e) 36 m3
14) (UERJ) Analise o gráfico e a tabela:
De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, por km, dos carros a álcool e a gasolinaé igual a:
a) 4/7 b) 5/7 c) 7/8 d) 7/10
15) (Fund. João Pinheiro - MG) Em uma experiência sobre balística, dispara-se um projétil para dentro de umlago. Esse projétil penetra na água com uma velocidade de 14 km/s, mas perde 1/4 dessa velocidadedurante o primeiro minuto e 1/3 da velocidade restante durante o segundo minuto.
Assim sendo, ao fim desses dois minutos, a velocidade do projétil deve ser de:
a) 7,0 km/s b) 7,2 km/s c) 7,6 km/s d) 8,0 km/s e) 8,2 km/s
12) (Fund. João Pinheiro-MG) As notas e os respectivos pesosdas provas a que se submeteu um candidato a um determinadocargo, num concurso, estão apresentados neste quadro:Sabe-se que a média ponderada obtida por esse candidato foi68,5. Assim sendo, a nota que ele obteve na prova de Químicafoi:
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9292929292 Matemática - M1
NÚMEROS REAIS
1) (PUC-MG) Considere os números: e
.
O valor de a2 + b é:
a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9
2) (UNI-BH) Das proposições abaixo, a verdadeira é:
a)
b)
c) 0,1010010001... ∈ Qd) 517 Q
3) (UNA-MG) O valor de é:
4) (UFJF-MG) Marque a alternativa INCORRETA:
a) se x e y são números racionais, então x + y éum número racional.
b) se x e y são números irracionais, então x + yé um número irracional.
c) se x e y são números racionais, então x.y éum número racional.
d) se x é um número racional e y é um númeroirracional, então x + y é um número irracional.
5) (FAFEOD-MG) Se o número real b é tal que
, então é CORRETO afirmar
que b2 é igual a:
6) (CEFET-MG) O valor da expressão é:
a) –32/135 b) –2/15 c) 2/135
d) 32/153 e) 2/15
7) (PUC-MG) Na reta real representada a seguir, osnúmeros reais a e b foram marcados por meiode dois arcos de círculo com centro em O, umdeles com raio AO e outro com raio OB. Sabe-se que AM = BN = OM = 1 cm, que ON = cme que AM e BN são perpendiculares à reta real.O valor de a2 + b2 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
8) (CEFET-MG) Ao simplificarmos a expressão
, obtemos:
9) (PUC-MG) Se x é um número positivo, então
é igual a:
10) (FUMEC-MG)
é apenas um modo espalhafatoso de escrever onúmero:
a) 4 b) 3 c) 6 d) 5
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9393939393Matemática - M1
UNIDADES DE MEDIDAS
1) (UFLA-MG) Para fazer o assoalho de uma sala são necessárias 63 tábuas de 2,8 m de comprimento por0,25m de largura. No caso de usar tacos de 21cm de comprimento por 7cm de largura, o número de tacosa ser utilizado será de:
a) 840 b) 225 c) 4410 d) 3000 e) 92612) (UNA-MG) Nos Estados Unidos utiliza-se o sistema inglês de medidas. Nele, uma unidade de medida de
distância é a milha (equivalente a 1,6 km) e uma medida de volume é o galão (equivalente a 4,5 litros). Umcarro de fórmula Indy é capaz de andar 2 milhas com um galão de combustível. A distância que essecarro percorre com um litro de combustível é:
a) menor que 500 m. c) maior que 1 km e menor que 2 km.b) maior que 500 m e menor que 1 km. d) maior que 2 km.
3) (PUC-MG) Uma torneira mal fechada goteja 2.450 vezes em uma hora. Admitindo que cada gota tenhavolume de 0,0003l pode-se afirmar que o volume de água que vaza dessa torneira por hora, em litros, é:
a) menor que meio litro. d) maior que um litro e meio e menor que dois litros.b) maior que meio litro e menor que um litro. e) maior que dois litros.c) maior que um litro e menor que um litro e meio.
4) (UFMG) Uma fazenda tem área de 0,4 km2. Suponha que essa fazenda seja um quadrado cujo lado mede xmetros.
O número x satisfaz a condição:a) 180 < x < 210 b) 210 < x < 250 c) 400 < x < 500 d) 600 < x < 700
5) (FUMEC-MG) Um reservatório com uma capacidade máxima igual a 2.400 litros, continha, apenas, 80% desua capacidade máxima. Abriu-se então uma torneira que o esvaziou em 2 horas. Qual é, em litros porminuto, a velocidade com que o reservatório esvaziou-se?
a) 20 b) 16 c) 18 d) 246) (FUMEC-MG) Um campo de futebol society – um retângulo de 60 metros por 40 metros – vai ser coberto
com uma grama sintética e cercado por uma tela. Como o preço do metro quadrado da grama assentadaé R$ 8,00 e o do metro linear da tela instalada, R$ 10,00, gastar-se-ão, na execução daqueles serviços:
a) R$ 21.200,00 b) R$ 43.200,00 c) R$ 20.200,00 d) R$ 30.600,007) (M. Campos-MG) A maquete de uma piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo e foi construída
numa escala de 1/40. Se as dimensões internas da maquete são 30 cm, 20 cm e 5 cm, então a capacidadeem litros da piscina é de:
a) 1.920 b) 19.200 c) 192.000 d) 1.920.000
8) (FAFEOD-MG) Na contracapa de um caderno, encontramos as seguintes informações:Folhas Internas: papel apergaminhado de 56 g/m2
Formato: 200 x 300 mm - Número de Folhas: 96
Sabe-se que, para a produção de, aproximadamente, 60 kg desse papel apergaminhado, é necessárioderrubar uma árvore adulta. Considerando-se que cerca de 60.000 dessas folhas de caderno sãodesperdiçadas, por mal uso, em alguns meses de aula em uma escola, é CORRETO afirmar, então, que onúmero aproximado de árvores adultas que precisariam ser derrubadas por causa desse desperdício, éigual a :
a) 5 b) 3 c) 2 d) 6
9) (FCMMG) Em 1957, a lagoa da Pampulha tinha 18.000.000 m3 de água e atualmente tem 11.000.000 m3.Considerando um caminhão-pipa de 7.000 litros de capacidade, o número de vezes que se deveria encheresse caminhão para transportar a quantidade de água necessária para que a lagoa voltasse a ter o mesmovolume do ano de 1957 é:
a) 10.000 b) 100.000 c) 1.000.000 d) 10.000.00010) (PUC-MG) Uma caixa d’água de 1.000 litros tem um furo no fundo por onde escoa água a uma vazão
constante. Às doze horas de certo dia, a caixa está cheia e, às dezoito horas da tarde desse mesmo dia,só tinha 850 litros. A caixa ficará pela metade, no dia seguinte pela manhã, às:
a) 5 h b) 6 h c) 7 h d) 8 h e) 9 h
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9494949494 Matemática - M1
CÁLCULO ALGÉBRICO
1) (UNA-MG) Simplificando a expressão
obtemos:
a) 0 b) 2a
2) (UFLA-MG) Para x ≠ 1 e x ≠ -2 a expressão
é equivalente
a:
3) (PUC-MG) A expressão x2y2 - x2z2 - 4y2 + 4z2
fatorada apresenta 4 fatores lineares, com oscoeficientes de x e y iguais a 1. A soma dessesfatores lineares é:
a) 2 (x + y) b) 2 (x + z) c) 2 (y + z)
d) 2 (x - y) e) 2 (x - z)
4) (UFLA-MG ) Das identidades abaixo, a únicaFALSA é:
a) (x + y)2 - (x - y)2 = 4xy
b) (a - b) . (a + b) . (a2 + b2) = a4 - b4
c) (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b)
d) (x - 1) . (x2 + x + 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = -2
e) (x + a) . (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
5) (PUC-MG) Sabendo-se que , então
é igual a:
a) 3/2 b) 5/2 c) 3 d) 7/2 e) 9/2
6) (PUC-MG) Após simplificar a expressão
com x ≠ 1, obtém-se:
7) (IH-MG) O valor de é:
a) 56 b) 128 c) 256 d)
8) (PUC-MG) A expressão x2 - 2ax + a2 - b2 é oproduto de dois fatores. A soma desses fatores éigual a:
a) 2x - 2a b) 2x - 2b c) x - a
d) x - b e) x + a
9) (PUC-MG) Se a ≠ b, a expressão
, simplificada, é igual a:
a) ab b) a c) b d) a – b e) a + b
10) (PUC-MG) Se x2 + y2 e xy = 16, o valor de(x + y)2 é:
a) 32 b) 41 c) 49 d) 53 e) 54
MATEMÁTICA COMERCIAL
1) (UFMG) Uma firma é constituída por dois sócios, A e B, cujos capitais investidos são 200 mil e 350 milreais, respectivamente. Todo lucro ou prejuízo da firma é dividido, entre os dois, proporcionalmente aocapital investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais. As parcelas do prejuízo, em mil reais,correspondentes a cada sócio são, respectivamente:
a) 20 e 101 b) 40 e 70 c) 44 e 77 d) 79 e 72 e) 100 e 21
2) (FAFI-BH) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2.000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6.000 peças em 15 dias,trabalhando 4 horas por dia, é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 16
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9595959595Matemática - M1
3) (UNA-MG) O cronograma de uma obra prevê sua conclusão em um ano se nela trabalharem 15 operários.Passados 8 meses, apenas a terça parte da obra estava concluída. Para terminar a obra no prazo previstodevemos:
a) duplicar o número de operários que estão trabalhando.
b) triplicar o número de operários que estão trabalhando.
c) quadruplicar o número de operários que estão trabalhando.
d) reduzir pela metade o número de operários que estão trabalhando.
4) (PUC-MG) Na reforma da Previdência, estuda-se a implantação da chamada “fórmula 95”. Por essa fórmula,o trabalhador terá direito à aposentadoria quando a soma de sua idade com o tempo de serviço atingir 95anos. Uma pessoa que começasse a trabalhar com 25 anos, se aposentaria, de acordo com a “fórmula 95”,com a idade de :
a) 50 anos b) 55 anos c) 60 anos d) 65 anos e) 70 anos
5) (Fund. João Pinheiro-MG) Na sua impressão original, um livro contém 210 páginas de 35 linhas cada uma,com 60 tipos por linha. Ao ser reimpresso, em formato menor, o mesmo livro passou a ter 300 páginas de 30linhas cada.
Nesse caso, o número de tipos por linha passou a ser:
a) 49 b) 50 c) 51 d) 52 e) 54
6) (FUMEC-MG) Um pai dividiu entre seus três filhos –Ildeu(12 anos), Roberto(15 anos) e Ricardo(18 anos) –a importância de R$ 900,00, em partes diretamente proporcionais às idades. Quanto coube a Roberto? :
a) R$ 240,00 b) R$ 300,00 c) R$ 360,00 d) R$ 420,00
7) (UFMG) Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o salário dos restantes, fazendoque o valor de sua folha de pagamentos diminuísse 10%. O salário médio da empresa- valor da folha depagamentos dividido pelo número de empregados - teve um aumento percentual de
a) 12,5% b) 10% c) 17,5% d) 15%
8) (UNI-BH) A figura mostra um tanque que contém 700 litros de águae 200 litros de óleo. Como a água é mais densa que o óleo, elafica no fundo, de modo que, abrindo-se a torneira, sairá somenteágua. Sabendo-se que 1 litro = 1 dm3 , a quantidade , em metroscúbicos, de água que deverá sair para que o óleo corresponda a25% do total de líquido no recipiente é
a) 0,1 b) 0,2 c) 1 d) 2
9) (PUC-MG) A Organização Mundial de Saúde considera pobres todos aqueles que recebem menos de US$70mensais. Por esse critério, 54% dos brasileiros são pobres, 85 milhões de pessoas.
Com base nessas informações, a população do Brasil é de, aproximadamente, em milhões de habitantes:
a) 148 b) 157 c) 162 d) 165 e) 178
10) (UEMG) Uma pessoa compra um carro no valor de 1.000 dólares e combina pagá-lo em uma única prestaçãoa ser quitada 3 meses após a compra, com juros simples de 8% ao mês. Sabendo-se que a cotação dodólar, na data da compra, foi de 1 dólar = R$1,78 e que a cotação, na data do pagamento foi de 1 dólar =R$1,83, pode-se concluir que o valor do pagamento, em reais, foi de:
a) 2.269,20 b) 2.260,20 c) 2.200,00 d) 2.106,80
11) (UNA-MG) UM produto custa R$ 210,00 para pagamento à vista ou é vendido em dois pagamentos iguaissendo uma entrada no ato da compra e o segundo pagamento em 30 dias . Se no financiamento é cobradojuros de 10% a.m. , o valor da prestação , em reais , é de :
a) 105,00 b) 110,00 c) 115,50 d) 120,50
óleo
água
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12) (Fund. João Pinheiro-MG) Adelmo possui R$ R$ 3.720,60 e precisa saldar uma dívida de R$ 4.783,64. Paratanto, deve recorrer a um empréstimo que sofre um desconto antecipado de 12%. Assim sendo, o menorvalor do empréstimo que possibilitará a Adelmo saldar sua dívida é:
a) R$ 1.002,00 d) R$ 1.204,00
b) R$ 1.024,00 e) R$ 1.208,00
c) R$ 1.028,00
13) (UFU-MG) Uma loja de artigos para presentes sempre colocou seus produtos à venda aplicando 50% maissobre o preço de custo. No entanto, devido à recessão, ela anunciou uma liquidação com 20% de descontosobre todos os produtos para pagamentos à vista. Nesse caso, o lucro da loja na venda à vista de cadaproduto será de
a) 10% b) 30% c) 20% d) 40%
14) (UFLA-MG) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 20% de desconto sobre opreço de tabela ou pelo cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que àvista custa R$ 6.000,00, pelo cartão custará:
a) R$ 10.100,00 c) R$ 7.700,00 e) R$ 6.600,00
b) R$ 4.800,00 d) R$ 8.250,00
15) (PUC-MG) Um açougue vende alcatra a R$ 5,00 o quilo e dá um desconto de 10 % no preço da quantidadede alcatra que ultrapassa 3 quilos. Nessas condições, o preço a pagar por 10 quilos de alcatra é:
a) R$ 35,00 b) R$ 42,00 c) R$ 45,00 d) R$ 46,50 e) R$ 48,00
16) (UFMG) Em um grupo de pessoas, 32% têm idade entre 30 e 40 anos; 48% estão entre 41 e 50 anos;e os demais 20%, entre 51 e 60 anos. Dos que têm entre 30 e 40 anos, 30% praticam exercíciosregularmente. Esse número sobe para 40% na faixa dos que estão entre 41 e 50 anos, mas só 22%daqueles que têm entre 51 e 60 anos praticam exercícios regularmente. Considere, agora, apenas aspessoas desse grupo que têm entre 30 e 50 anos. Nesta faixa etária, as pessoas que fazem exercíciosregularmente correspondem a
a) 27,2% b) 33,2% c) 34% d) 36%
17) (Itaúna-MG) A composição química da crosta terrestre é mostrada num gráfico de setores circulares, cujosângulos centrais medem: 180° (oxigênio), 90° (silício), 27° (alumínio) e 63° (outros elementos).
O percentual de alumínio nessa composição é:
a) 2,5% b) 7,5% c) 5,0% d) 0,75%
18) (FMTM-MG) O ICMS é um imposto chamado “imposto por dentro”, pois seu valor está embutido no valor damercadoria sobre a qual ele está incidindo. Por exemplo, imagine que se pague por um produto o valor deR$ 100,00. Se a alíquota de imposto para esta mercadoria é de 10%, pode-se entender que o fabricanteficará com R$ 90,00, enquanto que os R$ 10,00 restantes serão repassados para os cofres públicos. Sendoassim, para que se aplique um ICMS de 12%, o valor a ser pago pelo consumidor por um bem de custo iguala R$ 264,00 é
a) R$ 31,68 b) R$ 278,00 c) R$ 290,40 d) R$ 295,68 e) R$ 300,00
19) (FCMMG) Um liquidificador foi comprado segundo o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$20,60 e mais uma parcela de R$ 20,60 em 30 dias.
Se o consumidor pagou efetivamente uma taxa de 3% ao mês, o valor à vista desse liquidificador era de:
a) R$ 40,58 b) R$ 40,60 c) R$ 41,20 d) R$ 41,81
20) (PUC-MG) O custo de um imóvel é composto de 40% para a mão de obra, 30% para o terreno, 25% para omaterial e 5% para a administração. Se houver um aumento de 15% no preço da mão de obra e de 10% nopreço do material, o custo do imóvel sofrerá um reajuste de:
a) 8,5% b) 10,0% c) 12,5% d) 15,0% e) 25,0%
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FUNÇÃO
a) b)
1) (PUC-MG) Na função .O valor de a é:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8
2) (UFMG) Observe esta figura:
5) (PUC-MG) Os valores de x para os quais
é um número real, são tais
que:
a) x > -2 d) –2 < x < -1
b) x < 1 e) –2 < x ≤ 1
c) –2 ≤ x < 0
6) (UERJ) Observe o demonstrativo do consumo deenergia elétrica:
Nessa figura, estão representados o ponto A, cujaabscissa é 1, e o ponto B, cuja ordenada é 5.Esses dois pontos pertencem ao gráfico dafunção f(x) = (x + 1)(x3 + ax + b), em que a e bsão números reais. Assim sendo, o valor de f(4) é
a) 65 b) 115 c) 170 d) 225
3) (UNA-MG) Observe a figura.
Seja . Então o valor de P é
a) 3a b) 1/2 c) 4 d)
4) (MACK-SP) Na figura, temos os esboços dosgráficos das funções f(x) = x2 – a e g(x) = .Então g(4) . f(3) vale:
a) 12 b) 16 c) 24 d) 28 e) 36
ago98 set98 out98 nov98 dez98 jan99 fev99 mar99
Considere que o consumo médio, de agosto/98a dezembro/98, foi igual ao que ocorreu de janeiro/99 a abril/99. O consumo no mês de abril de 99,em kwh, foi igual a
a) 141 b) 151 c) 161 d) 171
7) (PUC-MG) Um avião decola do aeroporto TancredoNeves, em Confins, e voa até o aeroporto JFK, emNova York, tendo que circular diversas vezes oaeroporto JFK, antes de obter permissão parapousar. O gráfico que melhor representa a distânciado avião até Confins, em função do tempo, desdeo momento da decolagem até o pouso, é:
c) d)
e)
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8) (PUC-MG) Considere f (x) = x - 3 e f [g(x)] = 3x + 4. O valor de g (3) é:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 13 e) 16
9) (IH-MG) Na figura abaixo estão esboçados os gráficos das funções f(x) e g(x), definidas no intervalo [-4,5]. Oconjunto {x ∈ R / f(x) - g(x) ≤ 0} é:
a)
10) (UFOP-MG) Se , então f(x) – g(x) é:
a) 2x3 - 2x b) 2x c) -2 d) 0 e) 1
11) (FUVEST) A figura ao lado representa o gráfico
de uma função da forma para
-1 ≤ x ≤ 3.
Pode-se concluir que o valor de b é
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
12) (FCMMG) Sejam
Então, f(g(x)) e g(f(x)) são, respectivamente, iguais a:
a) 0 e 0 b) 0 e 1 c) 1 e 0 d) 1 e 1
13) (M. Campos-MG) Sendo f -1(x) a função inversa de é igual a:
a) -1 b) 1 c) 2 d)
14) (UFOP-MG) Se f(x) = 1 - 3x e g(x) = k – x, então a solução da equação (fog) (2) = -12 é:
a) -17 b) -7 c) 11/3 d) 22/5 e) 19/3
15) (CEFET-MG) Se f (0) = 2 e f (n + 1) = [f (n)] 2 + 2, então f (2) é igual a:
a) 22 b) 26 c) 36 d) 38 e) 44
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
1) (FCMMG) Suponha que a temperatura T do ar exalado através das narinas varie com a temperatura ambienteA, obedecendo à seguinte lei T = b + m.A. Se T = 13 quando A = 5 e T = 17 quando A = 10, então o valorde A para que T = 20,2 é:
a) 11 b) 12 c) 14 d) 15
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5) (Ibmec-MG) Na figura, estão representadas asfunções, de R em R, definidas por:
f(x) = -4x + n e g(x) = ax + b.
2) FCMMG) Dentro de um tanque tampado, existem 300 litros de água. Para enchê-lo completamente, abre-seuma torneira; dela jorram 30 litros de água por hora para dentro do tanque. Depois de um certo tempo, otanque fica completamente cheio e começa, a partir daí, a transbordar.Dos gráficos a seguir, o que melhor representa o volume de água no tanque, em função do tempo, é
3) (UNA-MG) Dois ciclistas saem de um mesmo lugar, na mesma direção, com um intervalo de 1 hora. Oprimeiro partiu às 10 h, a uma velocidade de 20 km/h; o segundo partiu às 11 h, a 25 km/h. Pode-se dizerque se encontravam a uma distância de 5 km um do outro, às
a) 13:00 horas b) 13:50 horas c) 14:00 horas d) 14:30 horas
4) (UEMG) O comportamento da temperatura de um forno de uma padaria varia linearmente com o tempo,conforme o gráfico:
Após a análise do gráfico, pode-se constatar que todas as informações estão corretas, EXCETO:
a) b) c) d)
a) A cada minuto, a temperatura do forno aumentaem 2,5°C.
b) O tempo necessário, para que a temperatura doforno chegue a 40°C, é de 8 min.
c) A temperatura inicial do forno era de 20°C.
d) Depois de 5 minutos ligado, a temperatura doforno é de 30°C.
Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a5/2 e que f(1/2) = 0, então, o valor de x para quef(g(x)) = 0 é igual a
a) –3/2
b) 2/3
c) –5/2
d) 2
e) –2/5
6) (UFOP-MG) O conjunto solução da inequação
seguinte é:
7) (PUC-MG) No domínio da função
há p números inteiros.O valor de p é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere P(x) = x ( x– 6 ) ( x – 18 ), sendo x uma variável real. Nessascondições, P(x) < 0 se, e somente se:
a) x < 0 ou 6 < x < 18 d) 0 < x < 18
b) x < 0 ou x > 18 e) x < 6
c) 0 < x < 6 ou x > 18
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9) (PUC-MG) A medida da área sombreada na figuraé igual a:
a) 3/4
b) 7/4
c) 15/8
d) 11/4
e) 21/8
10) (UFOP-MG) Considere a inequação .
O conjunto solução da inequação dada é:
1) (Univ. Itaúna-MG) Seja a função f: R → R, definidapor y = 2x 2 + bx + c. Sabe-se que x’+ x” = 3 ex’. x”= -4. Então, o valor de f (b - c) é:
a) -10 b) -8 c) -12 d) -6
2) (PUC-MG) a e b são raízes da equação
. É CORRETO afirmar:
a) ab > 0 b) a + b > 0 c) a2b > 0
d) ab < 0 e) ab = 0
3) (PUC-MG) A seguir, está uma lista de cinco funçõesreais de variável real:
Assinale o número de funções dessa lista cujográfico cartesiano é uma parábola:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4) (PUC-MG) O gráfico da função y = x2 + bx + b +3 tangencia o eixo das abscissas. A soma dospossíveis valores de b é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5) (PUC-MG) Na figura, está o gráfico da função f(x)= 4 - x2. A medida da área do retângulo hachuradoé, em unidades de área:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 9
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU
6) (UFMG) A soma de todas as raízes de
7) (IH-MG) O valor de m para que a equaçãox2 + (15 - m)x + 25 = 0 tenha raízes reais iguaispositivas, é:
a) 5 b) 18 c) 20 d) 25 e) 30
8) (FCMMG) Às 10 horas, a temperatura de umindivíduo era de 40° C. Neste momento, ele tomouum antitérmico e sua temperatura em °C, a partirdaí, passou a ser dada por T (t) = 40 – 2,5 t 2
onde t é a medida do tempo em horas.
O horário em que sua temperatura baixou para37,5°C foi:
a) 11 horas
b) 12 horas
c) 13 horas
d) 14 horas
9) (UFMG) Considere a equação (x2 - 14x + 38)2 =112. O número de raízes reais distintas dessaequação é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
10) (PUC-MG) A raiz da equação pertence ao intervalo:
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11) (Univ. Itaúna-MG) O conjunto solução da
desigualdade é:
a) [ -2, 2 ] c) ]-∞, -2[
b) ] -2, 2 [ d) ]2,+∞ [
12) (PUC-MG) A soma dos números inteiros que não
pertencem ao domínio de é:
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
13) (PUC-MG) Se x2 ≥ 9 então:
14) (UFMG) Seja M o conjunto dos números naturaistais que 2n2 - 75n + 700 ≤ 0.
Assim sendo, é CORRETO afirmar que:
a) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4.
b) apenas dois dos elementos de M são primos.
c) a soma de todos os elementos de M é igual a 79.
d) M contém exatamente seis elementos.
15) (UEMG) O maior subconjunto de R para o qual
está definida a função está
representado em:
16) (Fund. João Pinheiro-MG) Certa noite, observou-se que a temperatura em Diamantina, dada emgraus centígrados, obedeceu à lei T(h) = h2 - 7h+ 18, em que h é medido em horas e T(h) é atemperatura correspondente. Durante um deter-minado intervalo de tempo, essa temperaturamanteve-se abaixo de 8°C. Assim sendo, aduração desse intervalo de tempo foi de:
a) 2 horas
b) 3 horas
c) 4 horas
d) 5 horas
e) 6 horas
17) (PUC-MG) Duas funções, f e g, são dadas porseus gráficos abaixo.
A solução da inequação é:
18) (N.Paiva-MG) Um carrinho de montanha russadesliza numa trajetória cuja equação éy = x2 - 5x - 6. Suponha que o carrinho parte doponto A de coordenadas (7,8) e desce até o pontoB de ordenada -6. A maior distância hori-zontalpercorrida pelo carrinho em metros é:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 7
19) (PUC-MG) Um terreno tem a forma de umtriângulo retângulo com lados medindo,respectivamente, 60 m, 80 m e 100 m. A medidada área do maior barracão retangular que se podeconstruir nesse terreno, na posição indicada nafigura, em m2, é:
a) 850
b) 900
c) 950
d) 1.100
e) 1.200
20) (PUC-MG) O gráfico representa as funçõesy = ax2 + bx + c e y = mx + n.
Se A (-2,4) e B (1,1) são seus pontos de interseção,o valor da expressão 4a – 2b + c + m + n é:
a) 5
b) 7
c) 8
d) 10
e) 13
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FUNÇÃO MODULAR
1) (PUC-MG) Todas as afirmativas abaixo sobre números reais são corretas, EXCETO:
2) (UFJF-MG) O número de soluções negativas da equação | 5 x 6 | = x2 é:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3) (PUC-MG) O gráfico que melhor representa a função | x + 1 | - 2 | = 2 é:
a) b) c) d) e)
4) (UFJF-MG) O número de soluções da equação (x - 2)2 + |2 - x| = 2 no conjunto dos números reais é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5) (CEFET-MG) O número de raízes reais e distintas da equação | x + 1 | - 2 | = 2 é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6) (PUC-MG) Se f(x) = | x | + 1 então f(x - 1) é igual a:
7) (PUC-MG) O conjunto solução da desigualdade 2 < | x - 4 | < 5 é igual a:
8) (UFJF-MG) Na figura, temos os esboços dos gráficos de f (x) = x2 - 4x e g(x) = - |x + a| + b.
Então g (5) vale:
a) –3 b) –4 c) –2 d) –1 e) –5
9) (CEFET-MG) O conjunto solução da inequação é:
10) (PUC-MG) O conjunto solução da desigualdade
O valor de b - a é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
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MATEMÁTICA II
ÂNGULOS, POLÍGONOS E TRIÂNGULOS
1) (PUC-MG) Na figura, AB = AC, BD é bissetriz doângulo B e a medida do ângulo DBC é 33°30’. Amedida do ângulo A, em graus, é:
a) 46
b) 50
c) 56
d) 62
e) 67
2) (Univ. Itaúna-MG) Observe a figura.
No triângulo eqüilátero da figura, DE // AB e AE ébissetriz de A . Então o valor de �, em radianos,é:
a) π / 3b) π / 4c) π / 6d) π / 2
3) (FAFEOD-MG) Na figura abaixo, os segmentosde reta AB, AC e CD são congruentes, � é umângulo externo, e � um ângulo interno do triânguloABD.
Assinale a opção que contém a expressão corretade b em termos de a:
a) β = 3α.
b) β = 2α.
c) β = α/2.
d) β = 2α/3.
e) β = 3α/2.
4) (N.Paiva-MG) A diferença entre o número dediagonais de dois polígonos é 8. Se os doispolígonos tiverem o número de lados expressopor dois números inteiros consecutivos, a somado número de lados dos dois polígonos é:
a) 9 b) 17 c) 19 d) 21
5) (UFMG) Observe a figura.
6) (FAFEOD-MG) Na figura a seguir, o triângulo ABC
é isósceles, com AB = AC, e nele está inscrito otriângulo eqüilátero DEF:
Nessa figura, AD = BD,ACB = 60° e DAC é odobro de ABD.
A razão é igual a:
Se as medidas, em graus, dos ângulos BDF eDEA são, respectivamente, 50 e 80, então éCORRETO afirmar que a medida, em graus, doângulo CFE é igual a:
a) 45 b) 55 c) 65 d) 75
7) (PUC-MG) Dois lados de um triângulo medem,respectivamente, 4 m e 10 m. Os possíveis valoresda medida do terceiro lado, em metros, oscilamno intervalo:
a) ] 6,10 [
b) ] 4,10 [
c) ] 6,14 [
d) ] 10,14 [
e) ] 4,14 [
8) (UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes,Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestaslaterais, usará sempre canudos com 8 cm, 10cm e 12 cm de comprimento. A base de cadapirâmide será formada por 3 canudos que têm amesma medida, expressa por um número inteiro,diferente das anteriores. Veja o modelo:
A quantidade de pirâmides de bases diferentesque Tiago poderá construir é:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
9) (UFPE) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizesdos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se oângulo ACB mede 21°30’, qual a medida em grausdo ângulo ADB?
a) 43 d) 44
b) 41 e) 42
c) 40
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104104104104104 Matemática - M1
10) (PUC-MG) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígonoregular de 20 lados, em graus, é:
a) 80 b) 72 c) 20 d) 36 e) 18
11) (UFMG) Observe a figura.
Nela, a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. O valor de x, em graus,é:
a) 100
b) 10
c) 115
d) 120
12) (UFMG) Em relação à figura abaixo, podemos afirmar que o ângulo x mede:
13) (PUC-MG) Observando a figura, é correto dizer que x vale:
a) a - 2b + c
b) a + b - 2c
c) 2a - b - c
d) c + a - b
e) c - a - b
14) (PUC-MG) O ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular mede36°. O número de diagonais desse polígono é:
a) 35 b) 9 c) 70 d) 45 e) 6
15) (UFMG) Observe a figura.
O maior dos segmentos representados é:
a) AC
b) AB
c) BC
d) CE
QUADRILÁTEROS
1) (N. Paiva-MG) Considere o quadrilátero a seguir.
Indique a alternativa CORRETA:
a) se b = c então a = d/2
b) b + c = d – a
c) a + b + c = 180°
d) a + b + c + d = 360°
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2) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais,então todos os seus ângulos internos são iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:
a) losango c) retângulo
b) trapézio d) quadrado
3) (UFOP) No losango a seguir, de lado x = 1 cm, asoma das diagonais mede, em cm:
4) (FUMEC-MG) O perímetro de um retângulo é84 cm. A medida do lado menor está para a dolado maior assim como 2 está para 5. A medidado lado menor é, em centímetros:
a) 16 b) 8 c) 12 d) 24
5) (FUMEC-MG) No trapézio, x é, em graus, amedida do ângulo A. A medida do ângulo C é:
a) 110°
b) 120°
c) 130°30’
d) 115°
6) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, X é umponto da circunferência de centro O e diâmetroAB, e M e N são pontos médios dos segmentosAC e AX, respectivamente.
8) (UFMG) O trapézio ABCD é isósceles, comAB // CD, AD = BC. A diagonal AC é perpendicularao lado BC. Os ângulos agudos do trapézio sãoa metade dos ângulos obtusos. A base menormede 2 cm. A medida de AD, em cm, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9) (UFJF-MG) Na figura, ABCD é um quadrado e CEDé um triângulo eqüilátero. Então o ângulo x, vale:
a) 105°
b) 110°
c) 115°
d) 120°
e) 125°
10) (UFMG) Sobre figuras planas é CORRETO afirmar-se que:
a) um quadrilátero convexo é um retângulo se oslados opostos têm comprimentos iguais,
b) um quadrilátero que tem sua diagonaisperpendiculares é um quadrado.
c) um trapézio que tem dois ângulosconsecutivos congruentes é isósceles.
d) um triângulo eqüilátero é também isósceles.
e) um triângulo retângulo é aquele cujos ângulossão retos.
A medida MN em função do diâmetro AB é:
7) (UFMG) Na figura, ABCD é um paralelogramo e Mé o ponto médio de DC. Se AM = cm, a medidade AO, em cm, é:
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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
1) (Fac. Milton Campos-MG) Observe a figura.
Nessa figura, o menor arco AB é o dobro do menorarco DE e o ângulo ACB mede 30°. A medida deAÔB é:
a) 20°
b) 45°
c) 15°
d) 30°
2) (UNA-MG) Seja r uma reta tangente em A àcircunferência de centro O. Se B é outro pontoda circunferência tal que AÔB = 64°, então omenor ângulo formado pelas retas r e AB mede:
a) 32° b) 64° c) 96° d) 128°
3) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferên-cia circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulosABD e AED medem, respectivamente, 20° e 85°.
Assim sendo, o ângulo CBD mede:
a) 30°
b) 40°
c) 25°
d) 35°
4) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, DB e DC são tangentes àcircunferência circunscrita ao triângulo ABC, eos ângulos BDC e BCA medem 140° e 40°,respectivamente.
Se m e n são, respectivamente, as medidas emgraus, do maior e do menor ângulo do triânguloABC, o valor de m - n é:
a) 20°
b) 40°
c) 60°
d) 80°
e) 100°
5) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, B e D são pontos da circunferênciade centro O e diâmetro AC, M é ponto médio dacorda AB e o ângulo ADM mede 35°.
A medida x do ângulo BAC, em graus, é:
a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 37,5
6) (PUC-MG) Os pontos A, B e C pertencem aosemicírculo de centro O e raio r = 3 cm, conforme afigura abaixo. O ângulo BÂC mede 30°. Com basenessas informações, analise as afirmativas:I. O triângulo de vértices A, B e C é retângulo.
II. O triângulo de vértices A, O e B é isósceles.
III. O perímetro do triângulo de vértices B, C e O mede 9cm.
IV. A corda AB mede 3 cm.
O número de afirmativas VERDADEIRAS é:a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2
7) (MACK-SP) Na figura, O é o centro da circunferênciae � mede 15°. A medida de � é:
a) 95° d) 115°b) 105° e) 120°c) 110°
8) (UFLA-MG) Um automóvel percorreu uma distânciade 125,6 km. Sabendo-se que os pneus têm 0,5 mde diâmetro, o número de voltas dadas por um pneufoi aproximadamente:
a) 251.200 d) 40.000b) 125.600 e) 12.560c) 80.000
9) (FUMEC-MG) Na figura, AB e BC são, nessa ordem,os lados de um quadrado e de um pentágono regularinscritos. Em vista disso, o ângulo ADC mede:
a) 80°
b) 70°
c) 81°
d) 75°
10) (UFJF-MG) Dados dois pontos distintos, A e B, deuma circunferência C e uma reta r que passa poresses pontos, é INCORRETO afirmar que:
a) para que uma reta tangente à circunferência Cem um dos pontos A ou B seja perpendicular àreta r, é necessário e suficiente que r passe pelocentro de C.
b) qualquer reta, exceto a reta r, que passe pelocentro da circunferência C corta o segmento ABao meio.
c) o ponto de tangência de uma reta tangente àcircunferência C, que é paralela à reta r, divide oarco AB ao meio.
d) se a reta r passa pelo centro da circunferência C,então qualquer triângulo inscrito no círculodelimitado por C, que tem como um de seus ladoso segmento AB, é um triângulo retângulo.
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1) (PUC-MG) Um homem de 1,70 m de altura estáde pé, em uma calçada plana, a 2 m de distânciade um poste vertical de 3 m de altura com umaluz no topo. O comprimento da sombra do homem,projetada na calçada, é aproximadamente:
a) 2,51 m
b) 2,52 m
c) 2,55 m
d) 2,61 m
e) 2,65 m
2) (UNA-MG) Considere o triângulo isósceles ABConde AB = 12cm e BC = 5 cm . Tomamos umponto M no lado AC tal que AM = 3 cm e, por M,traçamos uma paralela ao lado BC, determinandoo ponto N em AB . A medida, em cm, dosegmento MN é:
a) 1,25 b) 7,2 c) 12 d) 20
3) (N.Paiva-MG) A medida do segmento que abissetriz externa do vértice C determina sobre oprolongamento do maior lado de um triângulo,sabendo-se que os lados são, respectivamente,proporcionais aos números 2, 6 e 10, sendo operímetro de 72 metros, é:
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
4) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, os segmentos AD e BC sãoparalelos, AD = 8, AB = 3 e BC = 7.Sendo P o ponto de interseção das retas AB eDC, a medida do segmento BP é:
a) 21
b) 24
c) 22
d) 23
5) (PUC-MG) A figura abaixo mostra uma peça planaABC onde BA = 4 m é tangente ao arco decircunferência CA em A, e o raio da circunferênciamede 3 m. A distância, em metros, de C ao ladoAB é igual a:
a) 0,5
b) 0,8
c) 0,9
d) 1,0
e) 1,2
TEOREMA DE THALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
6) (Fund. João Pinheiro-MG) Dois segmentos AB e CDcortam-se em um ponto M. Os triângulos AMD eBMC são tais que AM = 16, CM = 36, DM = 9 e osângulos DAM e CBM têm medidas iguais.
Nessas condições, BM é igual a:
a) 48 b) 52 c) 56 d) 60 e) 64
7) (UFMG) Os triângulos ABE e ACD são retângulos emB e C, respectivamente. Sabendo-se queAB = 3 cm, BC = 2 cm e AE = 4 cm, a medida deAD é, em cm:
a) 7
b) 15/4
c) 20/3
d) 12/5
e) 9
8) (UFMG) No triângulo ABC da figura, retângulo em Ainscreve-se uma semi-circunferência cujo diâmetrose encontra sobre a hipotenusa BC. Se AB = 3 cm,BC = 5 cm, então o raio da semi-circunferência mede,em cm:
9) (UFMG) No paralelogramo ABCD da figura, AD = 3m e BM = 2m. O segmento CN mede:
10) (UFMG) No trapézio ABCD, MN é paralelo a AB. SeAB = 36 cm, DC = 12 cm e as alturas dos trapéziosABCD e MNCD são, respectivamente, 15 cm e 10cm, pode-se afirmar que a medida de MN, em cm,é:
a) 16
b) 24
c) 28
d) 36
e) 48
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RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS
1) (PUC-MG) No triângulo retângulo da figura, M é oponto médio do cateto AB, AC = 4 cm e
A medida de CM, em centímetros é:
2) (FCMMG) Observe a figura:
6) (Fund. João Pinheiro-MG) Observe esta figura.
Com os dados registrados na figura, obtém-separa BC o valor:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
7) (PUC-MG) A interseção de duas retas perpen-diculares, r e s, é um ponto A. Um ponto B, de r,está a 3 m de A e um ponto C, de s, está a 4 mde A. A distância de A à reta BC, em m, é:
a) 2,5 b) 2,4 c) 2,3 d) 2,0 e) 1,5
8) (UFOP-MG) A diagonal de um retângulo mede10 cm. A diferença entre a base e a altura é iguala 2 cm. O perímetro do retângulo mede:
a) 50 cm b) 44 cm c) 28 cm
d) 14 cm e) 10 cm
9) (UFMG) Observe a figura.
Nela AB = BC, AC = 10, AE = 16 e ABC = 120°.A soma do perímetro da semicircunferência CDEcom os lados AB e BC é igual a:
3) (UFJF-MG) Se um triângulo de lados iguais a 6cm, 8 cm e 10 cm está inscrito em umacircunferência, então o centro da circunferência:
a) é extremidade de uma das alturas do triângulo.b) é exterior ao triângulo.c) está sobre o lado de medida 6 cm.d) está sobre o lado de medida 8 cm.e) está sobre o lado de medida 10 cm.
4) (UFJF-MG) Dobrando-se sucessivamente umpapel em forma de triângulo retângulo isósceles,onde cada cateto mede 256 cm, unindo-sesempre os vértices relativos à hipotenusa,obteremos novos triângulos retângulos cada vezmenores. Se dobrarmos 8 vezes consecutivascomo descrito acima, e desprezando-se aespessura do papel, cada um dos catetos dotriângulo retângulo assim formado medirá:
a) 1 cm b) 2 cm c) 8 cmd) 16 cm e) 32 cm
5) (UNA-MG) Para subir um muro de 12 m de altura,colocou-se uma escada de 20 m de comprimentode um lado e, do outro lado do muro, colocou-seuma outra escada de modo que elas ficaramperpendiculares no alto do muro. A distância, emm, do pé da segunda escada até o muro é:
a) 9 b) 15 c) 16 d) 25
Nessa figura, o trapézio ABCD tem altura ebases AB = 4 e DC = 1.
A medida do lado BC é:
10) (Fund. João Pinheiro-MG) A distância entre cadaum de dois pontos, A e B, e um terceiro ponto,C, medem, respectivamente, 7 m e 8 m. O ânguloACB mede 120°.
Assim sendo, a distância entre os pontos A e Bmede:
a) 10 m b) 11 m c) 12 m
d) 13 m e) 14 m
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11) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, AB é um diâmetro do círculo decentro O e raio 2 e o ângulo PAB mede 15°. Nessecaso, a distância do ponto P à reta AB é de:
12) (PUC-MG) O ponto A de uma circunferência estáa 8 m de um dos extremos de um de seusdiâmetros e a 6 m da outra extremidade dessemesmo diâmetro. A medida do raio dacircunferência, em metros, é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10
13) (PUC-MG) No retângulo ACDE da figura,AB = 6cm e BC = 8cm. Nessas condições, amedida do segmento BE, em centímetros, é:
a) 2 b) 11/4 c) 18/5 d) 19/5 e) 4
14) (CEFET-MG) Três círculos de mesmo raio r,devem ser inscritos em um circulo maior de raioR, tocando-se entre si, tangencialmente, comona figura abaixo. O valor de r deve ser:
15) (UFLA-MG) Os lados de um triângulo medem1 m, 2 m e 3 m. A medida em metros, queadicionada aos três lados, transforma o triânguloem um triângulo retângulo é:
a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
1) (Univ. Itaúna-MG) Observe a figura.
Nela, AC = 12 cm; A, E e F são pontos detangência.
O perímetro do triângulo BCD, em metros, é:
a) 0,24
b) 2,4
c) 1,2
d) 0,012
2) (FUVEST-SP) O perímetro de um setor circular deraio R e ângulo central medindo � radianos é igualao perímetro de um quadrado de lado R. Então �é igual a:
3) (PUC-MG) O enfeite representado na figura éfabricado com um único arame dobradosucessivamente em semicírculos, de modo quecada uma das extremidades do arame coincidacom uma das extremidades do diâmetro AB quemede 6 cm. O comprimento do fio de arame, emcm, é de aproximadamente:
a) 5πb) 6πc) 7πd) 8πe) 9π
4) (UFOP-MG) De um ponto P exterior a umacircunferência traçam-se uma secante PB de 32cm que passa pelo seu centro e uma tangentePT cujo comprimento é 24 cm.O comprimentodessa circunferência é:
a) 7π cm
b) 8π cm
c) 10π cm
d) 12π cm
e) 14π cm
5) (PUC-MG) Na circunferência da figura, de centroO e raio igual a 9 m, sabe-se que a tangentePB = 2PA. A distância do ponto P à circunferênciaé:
a) 12 m
b) 24 m
c) 6 m
d) 3 m
e) 5 m
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ÁREA DAS FIGURAS PLANAS
1) (FUMEC-MG) Na figura, a área do triângulosombreado é:
a)
b)
c)
d)
2) (UFOP-MG) Uma circunferência se encontrainscrita em um trapézio isósceles de bases10 cm e 6 cm, conforme a figura abaixo.
As áreas da circunferência e do trapézio medem,em cm2, respectivamente:
3) (PUC-MG) Um cão de guarda está preso àextremidade de uma corrente de 2,5 m decomprimento. A outra extremidade desliza aolongo de uma barra de 7 m, afixada em um muro.A medida da área protegida pelo animal, emmetros quadrados, é mais próxima de:
5) (PUC-MG) Na figura, o raio da circunferência meder. A função f que expressa a medida da área dotriângulo de vértices A, B e C em função de r é:
6) (UEMG) Considere um quadrado ABCD de lado10 cm e os pontos E e F sobre os lados AB eAD, respectivamente, sendo que AE e AF têm amesma medida.
O valor da medida AE, para que a área hachu-rada represente 3/4 da área do quadrado, é:
7) (Fac. Mlton Campos-MG) Considere a figura:
Se AM = MP = PQ = QBe a área do triângulo ABCé 48 cm2, então a área dotriângulo CPQ é de:
a) 20 cm2
b) 12 cm2
c) 16 cm2
d) 18 cm2
8) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere um triânguloABC inscrito em um semicírculo de diâmetro ABtal que a medida do ângulo CAB seja de 30°.Sabe-se que o raio do semicírculo mede 4 cm.
Então, a diferença entre as áreas do semicírculoe do triângulo, nessa ordem, é de:
a) 21 b) 27 c) 32 d) 37 e) 43
4) (PUC-MG) Na figura, o triângulo de vértices A,B eC é eqüilátero, e sua área mede . Osegmento MD é perpendicular ao lado AC e oponto M divide o lado BC em duas partes iguais.Nessas condições, a medida do segmento MD,em metros, é igual a:
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Os quadrados AFGC, CHIB e BDEA foramconstruídos sobre os lados do triângulo retânguloABC.
Se a área do quadrado AFGC é 36 e sen θ = 0,6,a área do retângulo BIJL é:
a) 32 b) 48 c) 64 d) 82
10) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma praça tem a formade um triângulo isósceles. Nesse triângulo, operímetro mede 48 m e a medida da basecorresponde a 6/5 da medida dos ladoscongruentes.
A área dessa praça mede, portanto:
a) 104 m2 b) 108 m2 c) 112 m2
d) 114 m2 e) 120 m2
11) (PUC-MG) Um dos canteiros de uma praça tema forma de um setor circular com 4 m de raio eângulo central de 1,6 radianos. Para cobrir essecanteiro, foram compradas a placas de gramaesmeralda; tais placas são quadradas, têm 1 mde lado e são facilmente cortadas, para, com ospedaços, cobrir pequenas áreas. Com basenessas informações, pode-se estimar que o valorde a é mais próximo de:
a) 4
b) 6
c) 9
d) 13
e) 15
(PUC-MG) Utilize as informações do texto a seguirpara responder às questões 12 e 13.
Um pelotão, com 72 soldados do Corpo de Bombeiros,dispostos em 6 colunas e 12 linhas, está perfilado para asaudação matinal à bandeira e para a ordem do dia. Cadaum dos soldados ocupa a área de um quadrado delado a metros e a distância entre dois dessesquadrados consecutivos é b metros, tanto na direçãoda coluna quanto na direção da linha a que pertencem.
12) O comprimento do pelotão, em m, é:
a) 12 (a + b) b) 11a + 12b c) 12a + 11b
d) 5a + 6b e) 6a + 6b
13) A medida da área ocupada pelo pelotão, emmetros quadrados, é:
a) 72 (a2 + 2ab + b2)
b) 72a2 + 126ab + 55b2
c) 60 (a2 + 2ab + b2)
d) 66a2 + 127ab + 60b2
e) 55a2 + 126ab + 72b2
14) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, ABCD é um quadrado de lado 1,EF = FC = FB e DE = 1/2.
A área do triângulo BCF é:
15) (UFMG) Observe a figura.
9) (FCMMG) Observe a figura.
Nessa figura, está representado um canteiroretangular de 6 m de largura por 10 m decomprimento, cercado por um passeio de larguraconstante.
Se a área do passeio é de 36 m2, a medida desua largura, em metros, é:
a) 0,5
b) 2
c) 1
d) 1,5
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MATEMÁTICA IAritmética em N
1) e 2) b 3) c 4) d 5) e 6) a 7) a 8) d 9) a 10) c11) d 12) b 13) d 14) a 15) a
Números Racionais1) c 2) d 3) b 4) c 5) b 6) a 7) a 8) b 9) d 10) b11) c 12) b 13) d 14) d 15) a
Números Reais1) e 2) b 3) a 4) b 5) a 6) a 7) d 8)b 9) e 10) d
Unidades de Medidas1) d 2) b 3) b 4) d 5) b 6) a 7) c 8) b 9) c 10) d
Cálculo Algébrico1) d 2) e 3) a 4) c 5) b 6) b 7) a 8) a 9) a 10) c
Matemática Comercial1) c 2) e 3) c 4) c 5) a 6) b 7) a 8) a 9) b 10) a11) b 12) e 13) c 14) d 15) d 16) d 17) b 18) e 19) b 20) a
Função1) e 2) d 3) b 4) c 5) b 6) a 7) c 8) e 9) b 10) b11) e 12) c 13) a 14) e 15) d
Função do Primeiro Grau1) c 2) a 3) c 4) d 5) a 6) b 7) e 8) a 9) e 10) e
Função do Segundo Grau1) c 2) a 3) b 4) d 5) d 6) d 7) d 8) a 9) c 10) e11) b 12) c 13) d 14) a 15) c 16) b 17) a 18) d 19) e 20) a
Função Modular1) e 2) b 3) a 4) b 5) d 6) c 7) e 8) d 9) a 10) e
MATEMÁTICA II
Ângulos, Polígonos e Triângulos1) a 2) d 3) a 4) c 5) b 6) c 7) c 8) a 9) a 10) e11) d 12) d 13) e 14) a 15) b
Quadriláteros1) d 2) a 3) d 4) c 5) b 6) c 7) c 8) b 9) d 10) d
Circunferência e Círculo1) c 2) a 3) c 4) e 5) a 6) d 7) b 8) c 9) c 10) b
Teorema de Tales e Semelhança1) d 2) a 3) b 4) a 5) e 6) e 7) c 8) c 9) c 10) c
Relações Métricas nos Triângulos1) e 2) c 3) e 4) d 5) a 6) e 7) b 8) c 9) a 10) d11) b 12) c 13) c 14) c 15) b
Relações Métricas na Circunferência1) a 2) b 3) e 4) e 5) c
Área das Figuras Planas1) b 2) c 3) b 4) e 5) c 6) a 7) b 8) a 9) c 10) b11) d 12) c 13) b 14) d 15) c
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