UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Instituto de Cincia Exatas - ICEX
Departamento de Matemtica
MATERIAL CONCRETO PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA
Erika da Costa Ribeiro
Belo Horizonte
2011
1
Erika da Costa Ribeiro
MATERIAL CONCRETO PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA
Monografia de concluso de curso
apresentada Especializao
Matemtica para Professores do
Ensino Bsico, da Universidade
Federal de Minas Gerais
Orientador: Prof. Dr. Paulo
Antnio Fonseca Machado
Belo Horizonte
2011
2
Agradecimentos
Agradeo a Luz Divina por sempre iluminar meus caminhos, fazendo com que perceba as
oportunidades que a vida me oferece.
Aos meus colegas do curso de Especializao e principalmente Soraya Armond, Gleiciane
Souza, Hamilton Soares e Joo Ribas, pois, a partir de ideias discutidas durante o curso surgiu
esse trabalho.
Ao meu marido, Luis Carlos da Costa, por sempre me apoiar e incentivar nas minhas
decises.
Ao professor Paulo Antnio pelo carinho e dedicao que me recebeu como orientanda.
3
RESUMO
Nesse trabalho pretende-se discutir a importncia do uso de material concreto para o
ensino da trigonometria, no Ensino Mdio, e mostrar alguns materiais que podem ser
utilizados.
Ainda, apresentaremos atividades para serem utilizadas com o material e propostas de
oficinas. Essas atividades e oficinas tm como foco a formao e visualizao de conceitos e
relaes trigonomtricas.
Palavras-chave: trigonometria, material concreto, ciclo trigonomtrico
4
ABSTRACT
This paper was conceived to discuss the importance of dealing with concrete material
in trigonometry in high school classes.
Although the work with this kind of material has been considered important in primary
school many times it is forgotten in high school teaching.
In this project the goal is to show how to use concrete material in trigonometry classes
and give some ideas of activities and workshops to make the mathematic classes more
pleasant and meaningful to teenagers.
The main reason for this approach is the great difficulty found in teaching/learning
trigonometry using only mental relations and formulas.
5
SUMRIO
1. INTRODUO ...............................................................................................
1.1 O uso de materiais manipulativos .............................................................
2. MATERIAIS MANIPULATIVOS SUGERIDOS ..........................................
2.1 O Crculo Trigonomtrico ...................................................................
2.2 Atividades sobre funes trigonomtricas ..........................................
2.3 OFICINAS ...........................................................................................
2.3.1 OFICINA 1: Definio de radiano e relao com o grau ..............
2.3.2 OFICINA 2: Construo do Crculo Trigonomtrico ...................
3. CONSIDERAES FINAIS ..........................................................................
4. REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................
6
7
8
9
11
19
19
21
27
28
6
1. INTRODUO
Esse trabalho surgiu a partir dos questionamentos sobre o uso de material concreto
durante a disciplina Produo de Material Didtico. Durante a disciplina tivemos que
apresentar, em grupo, um material concreto. O Material apresentado pelo nosso grupo foi o
Crculo Trigonomtrico exposto nesse trabalho. Motivada pelas discusses surgidas com a
elaborao desse trabalho, com as leituras realizadas e com as trocas de experincias com os
colegas dessa disciplina elaboramos essa monografia.
Alm disso, o uso de material concreto, nas aulas de matemtica, torna-se uma
preocupao cada vez mais comum. Os professores tm buscado materiais que tornem a
aprendizagem mais prazerosa e significativa e que ajudem os alunos na manipulao mental
dos conceitos matemticos. Observamos, porm, maior preocupao dos professores do
ensino fundamental do que do ensino mdio.
Partimos da ideia de Moyer, de que materiais manipulativos devem representar
concretamente ideias matemticas abstratas. Manipular ativamente tais materiais, permite aos
alunos desenvolver um repertrio de imagens que podem ser usadas na manipulao mental
de conceitos abstratos. Essas ideias sobre manipulao vm de encontro com as propostas de
Pestalozzi (1746 - 1827) e da escola ativa. Ele acreditava que uma educao verdadeira
deveria partir da atividade dos jovens (canto, desenho, modelagem, jogos, excurses,
manipulaes de objetos).
A trigonometria, ferramenta importante nos dias de hoje, o tema do nosso material
concreto. Ele se justifica pelas inmeras dificuldades encontradas por alunos e professores em
seu processo de ensino aprendizagem. Constatamos, atravs do cotidiano de sala de aula, as
dificuldades dos alunos e muitas vezes de professores em manipular e relacionar as
informaes contidas no crculo trigonomtrico. Os alunos tm dificuldades em partir de
conceitos bsicos e de forma autnoma chegar as novas relaes e elaboraes mentais. Ao
estudar trigonometria distanciam-se dos princpios bsicos (definies e do crculo
trigonomtrico) e listam interminveis frmulas e relaes.
O material concreto, o crculo trigonomtrico, uma adaptao do material
apresentado por Marcos Sebastio Lopes em sua monografia intitulada Material Pedaggico
para o Ensino da Trigonometria no Tringulo Retngulo e no Crculo Trigonomtrico.
Partindo desse material listamos e elaboramos atividades que podem ser exploradas no ensino
da trigonometria. Procuramos atividades prximas das propostas nos livros de ensino mdio.
7
Porm, devemos estar atentos que o uso pelo uso do material certamente no levar
aprendizagem significativa. O professor deve ter objetivos claros e ser um mediador e
incentivador de discusses e aes que promovam descobertas e compreenso de conceitos a
respeito do contedo.
1.1. O USO DE MATERIAIS MANIPULATIVOS
O uso de materiais manipulativos defendido h algum tempo por pesquisadores e
tericos no campo da Educao. Vrios estudos mostram que as crianas precisam entender o
que esto aprendendo e o material manipulativo um instrumento importante para esse fim,
pois, contribui para a elaborao de conceitos matemticos abstratos que s no mundo da
imaginao uma tarefa difcil, auxiliando na maturidade mental do educando.
Nos estudos de Bruner (1960,1986) podemos verificar trs estgios de
desenvolvimento cognitivo: enactive, icnico e simblico.
No enactive ou ativo, a criana representa o mundo atravs da relao entre a experincia e a
ao, da manipulao e do tocar. No icnico a representao visual da realidade j
desenvolvida; a criana consegue representar mentalmente os objetos. No simblico, a
linguagem aparece como forma de representar e organizar a realidade. Nesse estgio a criana
consegue operar hipteses formuladas sobre a realidade. O ensino deve privilegiar esses
estgios em que o educando, ao manipular objetos, cria uma imagem mental sobre o mesmo,
conseguindo levantar hiptese e fazer dedues.
Segundo Ponte e Serrazina (2000) os conceitos e relaes matemticas abstratos
podem ser ilustrados e representados por diversos instrumentos, contribuindo na elaborao
de ideias matemticas e na construo e representao de conceitos.
Dienes1, que inspirou seus estudos nas teorias construtivistas de Piaget, tinha como
foco a construo cognitiva da criana. Ele afirma que a aquisio de noes matemticas
ocorre em etapas. Primeiro, o professor deve criar um meio artificial que promova a
aprendizagem de um conceito matemtico; segundo, introduzir jogos (com regras claras) onde
a criana se familiarize com o conceito estudado; terceiro, apresentar novos jogos,
semelhantes ao primeiro, em que se pode comear a abstrair; quarto, a criana cria
1 Estudou latim, alemo, Matemtica Pura e Aplicada (1934-1937) obteve o grau BA em 1937 com honras pela Universidade de Londres, Ph.D. formado pela Universidade de Londres, em 1939, tese sobre "Fundamentos da
Matemtica Construtivista Segundo Borel e Brouwer.
8
representaes sobre o que foi manipulado e em seguida consegue utilizar a linguagem para
descrever as hipteses e concluses sobre o conceito estudado, conseguindo a noo lgica
Matemtica. Segundo Dienes, para a criana abstrair necessrio que ela vivencie vrias
situaes concretas, s assim, ela conseguir formar conceitos, formular hipteses e verificar
sua veracidade.
Como se pode perceber, o material concreto um instrumento importante para
motivar; inovar; auxiliar na construo do conhecimento; desenvolver o pensamento
matemtico; criar, confrontar e verificar hipteses, desenvolver a criatividade, entre outras.
Manipular os materiais concretos permite aos alunos criar imagens mentais de conceitos
abstratos. Porm, ele sozinho no consegue atingir essas funes. preciso uma participao
ativa do professor, pois, materiais concretos sozinhos no garantem a compreenso de
conceitos. Ao utilizar um material necessrio que o professor o conhea bem, saiba aplic-lo
e tenha claro os seus objetivos ao utiliz-lo. Os professores devem criar uma sequncia
didtica que promova a reflexo e a construo de significados pelo aluno. A crena do
professor e dos alunos em como se aprende matemtica, tambm, vai influenciar no resultado
final. Se o professor o utiliza apenas porque est na moda ou para fazer uma aula diferente,
divertida, e no orienta as aes do aluno para criar um ambiente favorvel aprendizagem, o
material perder sua finalidade e no promover a aprendizagem.
2. MATERIAIS MANIPULATIVOS SUGERIDOS
Apresentaremos, nesse trabalho, alguns materiais utilizados para o ensino da
trigonometria e algumas aplicaes historicamente construdas.
O objetivo, ao utilizar as ferramentas apresentadas, desenvolver as seguintes
habilidades matemticas:
Associar nmeros reais a pontos da circunferncia trigonomtrica.
Familiarizar com a circunferncia trigonomtrica.
Conceituar arco trigonomtrico.
Conceituar e identificar nmeros congruentes na circunferncia trigonomtrica.
Obter determinaes de um arco trigonomtrico, principalmente a determinao
principal.
9
Identificar e determinar seno e cosseno de arcos na circunferncia trigonomtrica.
Calcular senos e cossenos de arcos por meio de reduo ao primeiro quadrante.
Relacionar seno e cossenos dos arcos x, -x, +x e 2 -x.
Conceituar e construir o grfico da funo seno.
2.1. O Crculo Trigonomtrico2.
Esse material foi elaborado baseando-se no proposto por Marcos Sebastio Lopes3 .
Materiais necessrios
Chapa de acrlico transparente circular (Raio 10,5 cm).
Chapa de acrlico na cor branco quadrada (32 cm de lado).
Rebite
Impresso figura crculo trigonomtrico.
Parafuso, sem a cabea.
Furadeira.
Construo:
1.) Imprimir o crculo trigonomtrico em material PVC branco. Foi feito em uma
grfica.
2.) Cortar o acrlico transparente nas formas circulares e em cruz (figura 2). Foi
feito numa empresa especializada em acrlico.
3) Com uma furadeira fure a borda do crculo transparente e a cruz (figura 2).
4) Encaixe o parafuso sem cabea no furo do crculo.
5) Ribite o crculo transparente na placa de PVC com o crculo trigonomtrico
desenhado.
6) Trace o raio do crculo que passa pelo ponto onde encaixaremos a cruz (figura
2).
2 No Material adotamos o ttulo Circunferncia Trigonomtrica para ficar de acordo com o
proposto por Marcos Sebastio Lopes. 3 Foi apresentado em sua Monografia: Material pedaggico para o ensino de trigonometria no
tringulo retngulo e no crculo trigonomtrico. Trabalho apresentado como requisito parcial
para concluso do Curso de Licenciatura Plena em Matemtica pela Faculdade de Par de
Minas em 2008.
10
Figura 1:
Figura 2:
Figura 3
11
De posse do material, criamos atividades, para orientar o trabalho do professor. As
atividades esto bem prximas das sugeridas por livros didticos, pois, o material ser um
auxiliar nas aulas do professor.
As atividades foram elaboradas para serem realizadas em grupo sob orientao do
professor. Elas devem ser realizadas gradativamente, medida que os alunos forem
avanando na aprendizagem.
O professor deve mediar ao do aluno, resgatando e elaborando conceitos
matemticos para uma posterior compreenso e sistematizao. O aluno deve ser sujeito ativo
no desenvolvimento do contedo proposto.
2.2. Atividades sobre funes trigonomtricas
Neste trabalho focamos o estudo do seno e do cosseno, mas atividades semelhantes
podem ser propostas para a tangente.
Para realizar essa atividade o professor j deve ter explicado:
ngulos e arcos na circunferncia. Medidas de arcos e ngulos. Transformao de graus em radiano e vice-versa. O ciclo trigonomtrico.
ANALISANDO O CRCULO TRIGONOMTRICO, VAMOS RESOLVER, EM GRUPO, AS SEGUINTES
ATIVIDADES:
1- Complete a tabela com as medidas dos arcos: (Considere o raio da circunferncia igual a 1
unidade)
em grau em radiano Aproximao do
comprimento
de uma volta
de meia volta
de 4
1da volta
de 4
3da volta
COMENTRIOS:
Os alunos apresentam dificuldades em associar grau e radiano. Quando a medida est em
radiano no sabem se o valor do 360 ou aproximadamente 3,14. Muitas vezes no
conseguem perceber que so formas diferentes para medir o mesmo arco. Ao calcular o
12
comprimento dos arcos esperamos que utilizem 3,14 como uma aproximao decimal do
valor de .
Esta uma tima atividade para associar nmeros reais a pontos do crculo trigonomtrico e
falar sobre imagem de um nmero. Estamos adotando imagem de um nmero como a
localizao da extremidade de um arco.
2- Divida o ciclo trigonomtrico em trs partes iguais. Identifique os nmeros da primeira
volta positiva e da primeira volta negativa que tem como imagem os pontos onde a
circunferncia foi dividida.
Marque os pontos na circunferncia, a partir do ponto A, e chame-os de M e N.
Agora complete:
Uma volta completa no ciclo mede _____________________. (em grau, em radiano e em comprimento (aproximado))
O menor arco AM, MN, NA medem _________________________. (em grau, em radiano e em comprimento (aproximado))
O menor arco AM mede ____________________.(em grau, em radiano e em comprimento (aproximado))
O menor arco AN mede _____________________.(em grau, em radiano e em comprimento (aproximado))
O maior arco AM mede ________________________(em grau, em radiano e em comprimento (aproximado))
O maior arco AN mede _________________________ (em grau, em radiano e em comprimento (aproximado))
M imagem de ___________________
N imagem de ___________________
COMENTRIOS: Com o material, o aluno facilmente localiza os pontos, suas medidas e percebe suas
diferenas. Facilita a visualizao dos sentidos de giro e como isso influencia na medida de
um arco.
A
B
A
B
0
13
3- Encontre o quadrante do ciclo em que se encontram as imagens dos nmeros:
a) 6
5
b) 4
3.
c) 3
d) 4,5
COMENTRIOS: O objetivo dessa atividade a fixao dos quadrantes. O aluno visualiza onde comea e onde
termina cada um deles.
4- Faa um crculo trigonomtrico como o da atividade 2. Agora divida-o em oitos arcos
congruentes, a partir do ponto A. Utilizando o crculo trigonomtrico que seu grupo recebeu,
responda:
a) Quanto mede, em graus e radianos, cada um desses oito arcos congruentes? b) Indique os nmeros da primeira volta positiva (e os valores correspondentes em graus)
que tm, como imagens, cada um desses pontos.
c) Faa o mesmo para a volta negativa.
COMENTRIOS: Com o material o aluno facilmente faz o que est sendo pedido, e o mais importante: forma
imagens mentais que servir quando ele no tiver o material em mos. O objetivo continua
sendo a familiaridade com o crculo trigonomtrico e seus elementos.
5 Todos os nmeros reais a seguir so da primeira volta positiva ou da primeira volta negativa. Identifique o quadrante da imagem de cada um deles.
a) 2,5 d) 10
9 g)
18
11
b) 5,3 e) 12
13 h) 227
c) -5
13 f) 36 i)
20
37
6 Determinao principal.
I- Vamos estudar a determinao principal de um arco. Para isso, leia atentamente toda a
questo e preencha o quadro abaixo:
Na circunferncia trigonomtrica, onde fica a imagem de um arco de:
a) 360? b) 390? c) 600? d) 720? e) 1000? f) 1720?
14
Considerando a primeira volta positiva, a que arco eles correspondem? E se considerarmos a
primeira volta negativa?
Agora preencha o quadro:
Arco 1. volta positiva Quadrante 1.volta negativa Quadrante
360
390
600
720
960
1720
Podemos dizer que a medida 310 congruente a 1750 e est na primeira volta positiva.
E sua extremidade do 4 quadrante.
Esses valores que encontramos para a primeira volta positiva so chamados de
determinao principal de um arco.
III- Determine a extremidade do arco correspondente a -300. Agora, se voc girar no sentido
positivo, qual a medida do arco que tem como extremo esse mesmo ponto?
O que acabamos de fazer foi encontrar a determinao principal arco -300.
Explique como podemos proceder para encontrar a determinao principal de um arco no
sentido positivo e no sentido negativo.
Explique o que a determinao principal de um arco.
COMENTRIOS: Mais uma vez o visual e a manipulao ajudaro o aluno a perceber que basta saber quanto
sobra quando terminam as voltas completas, ou seja, o resto da diviso por 360.
7- A seguir, so dados quatro arcos trigonomtricos, a partir de uma de suas determinaes
(em graus ou radianos). Em cada caso, achar a determinao principal e identificar o
quadrante da extremidade do arco.
a) 800 b) 964
c) 6
43
d) 5
21
8- Nmeros congruentes:
Determine os nmeros correspondentes ao nmero 6
no crculo trigonomtrico na 2. volta
positiva, 3. volta positiva, 1. volta negativa e 2. volta negativa.
15
Esses nmeros que voc encontrou so chamados de nmeros congruentes.
9 Calcule os nmeros congruentes a 3
a) na 1 volta positiva; b) na 2 volta positiva; c) na 1 volta negativa; d) na 2 volta negativa.
10 - Calcule os nmeros congruentes a 150
a) na 1 volta positiva;
b) na 2 volta positiva; c) na 1 volta negativa; d) na 2 volta negativa.
COMENTRIOS: O material concreto deve ser usado sempre durante as aulas para que o aluno visualize e crie
imagens mentais sobre o ciclo trigonomtrico. Muitas vezes, achamos que com uma nica
experimentao o material conseguir fazer o seu papel. Porm ele se torna mais eficaz
quando manipulado vrias vezes at que o aluno consiga realmente apreender as
informaes nele contidas. Com o tempo ele deixar de ser necessrio, pois o aluno
conseguir criar imagens mentais para serem utilizadas quando precisar.
SENO E COSSENO NO CRCULO TRIGONOMTRICO.
Neste momento o professor define o seno e o cosseno no ciclo trigonomtrico.
11 - Explique as definies de seno e cosseno no ciclo trigonomtrico. Depois, responda s
perguntas.
a) Qual(is) o seno e o cosseno de 30? b) Qual(is) o seno e o cosseno de 225? c) Qual(is) o seno e o cosseno de 0o? d) Qual(is) o seno e o cosseno de 90? e) Qual(is) o seno e o cosseno de 180? f) Qual(is) o seno e o cosseno de 270? g) Qual(is) o seno e o cosseno de 360? h) Quais(is) o(s) arco(s) cujo seno igual a 0? i) Qual(is) o(s) arco(s) cujo seno igual a 1? j) Qual(is) o(s) arco(s) cujo seno igual a -1? k) Quais(is) os arcos cujo cosseno igual a 0? l) Qual(is) o(s) arco(s) cujo cosseno igual a 1? m) Qual(is) o(s) arco(s) cujo cosseno igual a -1?
16
12 Os nmeros que aparecem a seguir esto associados a pontos notveis no ciclo trigonomtrico. Calcule o seno ou o cosseno de cada um, conforme o caso.
a) sen 3
b) sen 2
11
c) sen 2
3
d) cos 10
e) cos (-7 )
f) cos 2
5
13 Todos os arcos a seguir tm extremidades no 1 quadrante. Determine:
a) sen 750 b) cos (-300)
c) sen 3
5
d) cos 3
35
e) sen 4
25
14 Analise se cada nmero abaixo positivo ou negativo:
a) sen 50 b) sen 126 c) sen 320
d) sen 4
5 e) sen
3
5 f) sen
4
9
g) cos 50 h) cos 126 i) cos 320
j) cos 4
5 k) cos
3
5 l) cos
4
9
15 Complete as linhas pontilhadas com o sinal < ou >.
a) sen 50..........sen 12 g) sen 60.cos (-300)
b) sen 80..........sen 110 h) sen 6
7.cos
4
3
c) sen 6
..........sen 3
5 i) cos
3..........sen
10
21
d) cos 70..........cos 410 j) sen 7 ..........cos 3
8
17
e) cos 3
..........cos 3
4
f) cos 2
3..........cos
4
3
O seno e o cosseno de arcos do 2., 3. e 4. quadrantes podem ser obtidos a partir do
seno e do cosseno de arcos do 1. Quadrante.
Vamos analisar os arcos de 30, 150, 210 e 330.
Determine os seus senos e cossenos. Que relao podemos perceber entre esses valores?
Compare os senos e cossenos de 150, 210 e 330 com o seno e o cosseno de 30.
Podemos observar que ao unir os extremos dos arcos de 30, 150, 210 e 330 obtemos um
retngulo.
Na circunferncia trigonomtrica voc pode observar mais dois retngulos. Observe se o
mesmo acontece com os senos e cossenos dos arcos correspondentes aos seus vrtices.
Neste momento o professor aproveita para demonstrar, visualmente, as relaes:
xxsenxxsen
xxsenxxsen
xxsenxxsen
cos)2(cos )2(
cos)(cos )(
cos)(cos )(
Pea ao aluno que gire um arco qualquer, sem se preocupar com seu valor.
Vamos visualizar que senxxsen )( .
Visualmente imagine uma paralela ao eixo horizontal passando pelo extremo desse arco.
Marquemos no crculo os pontos de encontro com a paralela (x e x). Com isso fcil verificar que o seno dos arcos ox e ox so iguais.
Analogamente visualizamos as demais relaes.
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COMENTRIOS: Com o auxlio do material essas relaes passam a ser facilmente entendidas pelos alunos. Na
minha prtica, percebo que a preocupao maior dos alunos em decor-las ao invs de
compreend-las. Com a manipulao do material, a compreenso acontece de forma natural, e
mesmo que, futuramente, eles optem por decor-las, eles entendero a partir da visualizao
o porqu de serem verdadeiras.
FUNO SENO E COSSENO.
Neste momento o professor define a funo seno.
A cada nmero real x do ciclo trigonomtrico est associado um nico nmero real sen
x, ordenada do ponto P, associado ao nmero x no ciclo.
Seu grfico cartesiano constitudo de todos os pares ordenados (x,Y) = (x, senx).
Vamos analisar a variao de sen x, medida que x cresce no intervalo [0,2 ].
No 1. quadrante: O que acontece com senx quanto x varia de 0 a /2? No 2. quadrante: O que acontece com senx quando x varia de /2 a ? No 3. quadrante: O que acontece com senx quando x varia de a 3 /2? No 4. quadrante: O que acontece com senx quando x varia de 3 /2 a 2 ?
Agora preencha o quadro abaixo para a 1. volta positiva:
X 0 /2 3 /2 2
Y=sen x
Agora vamos construir o grfico da funo seno.
Responda:
a) O que aconteceria com a curva aps x=2 ? b) O que aconteceria com a curva antes de x=0? c) Qual a imagem dessa funo? d) Qual o domnio dessa funo?
/2 3 /2 2
19
COMENTRIOS: O professor pode fazer o mesmo para as funes cosseno e tangente. Percebo que os alunos
tm muita dificuldade em compreender as ideias contidas na funo, e por isso, optam por
decor-las. Ao construir o grfico, com a ajuda do material, o aluno facilmente visualizar
essas ideias, o seu perodo, sua imagem e seu domnio. E a partir desse grfico, ele poder
construir outros mais elaborados.
2.3. OFICINAS PARA CONSTRUO DO CRCULO TRIGONOMTRICO PELOS ALUNOS.
Ensinar no transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a
sua prpria produo ou construo. (FREIRE, 1996).
Nestas oficinas os alunos iro construir o ciclo trigonomtrico, que no material
anterior eles j recebiam pronto. Com isso tero a oportunidade de verificar com mais clareza
as relaes entre ngulos, radianos e valores de seno, cosseno e tangente.
O objetivo dessas oficinas criar condies para que o aprendizado acontea atravs
da participao ativa dos alunos na construo de ideias. Os alunos tero a oportunidade de
levantar hipteses, verificar sua veracidade, tirar concluses, elaborar conceitos e,
principalmente, criar modelos mentais, a partir da visualizao, de conceitos trigonomtricos.
2.3.1. OFICINA 1: DEFINIO DE RADIANO E RELAO COM O GRAU.
1- Com um compasso e uma rgua construa quatro circunferncias com os seguintes raios: 1cm, 3cm, 5cm e 8cm.
2- Com a ajuda de um barbante marque nas circunferncias arcos consecutivos do tamanho do seu raio.
Os arcos que voc mediu so denominados radiano.
Radiano o arco cujo comprimento igual ao comprimento do raio da circunferncia
que o contm.
A medida do arco AB igual a 1 radiano, ou seja, 1 rad.
Uma volta completa corresponde a um arco de comprimento 2 rad.
20
3- Um arco pode ser medido em grau. Desenhe uma circunferncia de raio 10 cm e a divida de 10 em 10, com a ajuda de um transferidor.
Uma volta completa tem 360.
Marque na circunferncia arcos com 30, 60, 120, 210 e 330.
4- Com isso um arco pode ser medido em grau e em radiano. Podemos estabelecer a correspondncia entre graus e radianos. Veja:
2 rad 360
rad 180
2rad 90 e assim em diante.
5- Pegue a sua circunferncia de raio 1cm e calcule: (deixe a resposta em funo de ) a) o seu comprimento.
b) o comprimento de um arco cuja medida corresponde a 6
1do comprimento total da
circunferncia.
c) O comprimento de um arco cuja medida corresponde metade do comprimento total da circunferncia.
6- Faa o mesmo para a circunferncia de raio 3cm e 5cm.
7- Baseando-se nos clculos anteriores, qual a vantagem de se utilizar o raio de 1cm?
Neste momento, o professor mostra ao aluno a importncia de adotarmos o raio igual a 1
unidade para o crculo trigonomtrico.
COMENTRIOS:
Como j foi dito anteriormente, os alunos no tm dificuldade em compreender a
definio de radiano, porm, quando relacionamos com a medida em grau, eles comeam a
se preocupar com os clculos (regra de trs) e se prendem a eles, esquecendo o seu
significado. Comeam a surgir as seguintes dvidas: qual o valor de ? Aproximadamente
3,14 ou 180?
Essa mais uma atividade onde esperamos que os alunos criem uma imagem mental
para definio de radiano e a sua relao com a medida do arco em grau. Esperamos,
ainda, que os alunos compreendam o porqu de adotarmos o raio igual a 1 unidade para a
circunferncia trigonomtrica.
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2.3.2. OFICINA 2: CONSTRUO DO CRCULO TRIGONOMTRICO.
Nessa oficina iremos construir o crculo trigonomtrico. Com isso, aprenderemos a
encontrar os valores de seno, cosseno e tangente e a de relacion-los.
Material necessrio:
1 Folha de cartolina ou papel carto.
1 rgua
1 transferidor
1 tesoura
Lpis, caneta e borracha
Roteiro:
1- Desenhe uma circunferncia de 10cm de raio. Iremos convencionar que a medida do raio de 1 unidade. (10cm = 1 unidade)
2- Agora, tendo o centro da circunferncia como ponto em comum, desenhe duas retas perpendiculares.
Observe que a circunferncia ficou dividida em 4 partes iguais. Cada parte recebe o
nome de quadrante.
Essas retas so chamadas de eixo horizontal e eixo vertical.
3- Com o auxilio de uma rgua divida os eixos da seguinte forma: A partir do centro em 10 partes iguais at a circunferncia, ou seja, cada eixo ficar
dividido em 20 partes iguais.
Como convencionamos que o raio mede 1 unidade, a partir do centro numere essas
partes com numa reta numrica onde o zero o ponto de encontro dos eixos.
Ou seja: 1cm na rgua corresponde 0,1 unidade do raio.
22
4- Com o auxilio de um transferidor divida a circunferncia de 10 em 10. Marque esses pontos e anote a medida dos ngulos no sentido anti-horrio.
A sua figura est assim.
5- Agora, corte duas tiras de papel de 11cm de comprimento por 0,5cm de largura. Prenda-as com um percevejo. Pegue uma extremidade e prenda no centro da
circunferncia.
Explorando o material construdo.
Vamos explorar o seno e o cosseno de um ngulo.
1- Prenda o percevejo que une os dois palitos na circunferncia onde indica o ngulo de 30.
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Podemos observar um tringulo retngulo cujos lados so: eixo horizontal e as duas
tiras de papel presas com percevejo.
Pela definio de seno no tringulo retngulo, temos:
hipotenusa
opostocatetodeseno
30 a 30 , como a hipotenusa igual a 1 unidade, temos:
1
30 30
aopostocatetodeseno , ou seja,
. 30 30 verticaleixonodengulodoprojeodeseno
O mesmo podemos fazer para o cosseno.
hipotenusa
aadjacentecatetodeseno
30 30 cos =
1
30 30 cos
aadjacentecatetodeseno =
. 30 30 cos horizontaleixonodengulodoprojeodeseno
2- Vamos visualizar os valores para o seno e cosseno de 40, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360.
3- Agora, vamos analisar a tangente. Para isso construa, com papel carto, uma tira de 50 cm de comprimento e 3 cm de
largura.
Nela voc ir marcar a sua metade, onde ser o zero. Agora ir marcar os valores de
zero a 1 para a direita e de zero a -1 para a esquerda, como nos eixos horizontal e
vertical.
Essa tira ser afixada perpendicularmente ao eixo horizontal. O zero da tira ir
coincidir com o 1 do eixo.
Ficar assim:
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4- Voltemos ao nosso tringulo retngulo do item 1. Construa-o novamente. Com o auxilio de uma reta prolongue a hipotenusa at tocar a tira que voc construiu.
Voc ter a seguinte figura:
Os tringulos OAB e OCD so semelhantes (caso A.A.). Logo,
30 30
30
CD
30
1
30 TANGENTECD
COSSENO
SENOCD
SENOCOSSENO
CD
AB
OC
OA
Com isso podemos perceber que a tira que voc construiu corresponde a tangente.
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5- Agora vamos visualizar os valores para a tangente dos ngulos: 40, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360.
Reflexes:
1- Quais os possveis valores para o seno e o cosseno de um ngulo? 2- Para quais ngulos o seno positivo? E negativo? 3- Para quais ngulos o seno positivo? E negativo? 4- Quais os possveis valores para a tangente de um ngulo? 5- Para quais ngulos a tangente positiva? E negativa? 6- O que acontece com a tangente dos ngulos de 90 e 270?
Com essas perguntas, e a partir da visualizao, queremos que os alunos reflitam e tirem
concluses sobre o comportamento do seno, cosseno e tangente de um ngulo. O professor
dever aproveitar a atividade para concluir com o aluno:
Intervalo real para os valores do seno, cosseno e da tangente.
Quadrantes que os valores do seno, do cosseno e da tangente so positivos negativos e nulos.
Perodo.
Mostrar as seguintes relaes:
xxsenxxsen
xxsenxxsen
xxsenxxsen
cos)2(cos )2(
cos)(cos )(
cos)(cos )(
Essas relaes j foram visualizadas anteriormente, com o primeiro material sugerido.
Nesse material podemos visualizar da mesma maneira com a possibilidade de no nos
prendermos aos valores que foram escritos anteriormente.
Trace, no verso do crculo trigonomtrico, os eixos vertical e horizontal. Prenda as
tiras com os percevejos e gire um ngulo x.
Anteriormente visualizamos )( xsenxsen , agora iremos demonstrar
xx cos)2(cos .
Com um lpis trace uma paralela ao eixo vertical, e os raios OX e OX. Com isso formamos o tringulo issceles XOX (ox congruente com ox, pois so raios das
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circunferncia). Como o segmento OM perpendicular ao segmento XX, temos dois tringulos retngulos congruentes, o XOM e o XOM: Caso cateto hipotenusa.
OX congruente com OX (hipotenusa) OM lado em comum.
Analogamente demonstramos as demais relaes.
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3. CONSIDERAES FINAIS:
Acreditamos que o uso do material concreto proporciona aulas mais dinmicas,
significativas e prazerosas para alunos e professores, favorecendo a discusso, a troca de
ideias, o questionamento, o levantamento de hipteses e a formulao de conceitos por parte
dos alunos. O aluno participa ativamente do seu processo de construo do conhecimento. A
riqueza visual e manipulativa destes materiais ajuda os alunos a relacionarem as vrias
informaes tratadas na trigonometria. Eles auxiliam, tambm, na generalizao de relaes a
partir de situaes particulares.
O professor a pea fundamental para o sucesso desta proposta. Pois, como j
dissemos anteriormente, o material por si s no promove a aprendizagem. As intervenes,
estmulos e questionamentos feitos pelo professor motivaro as descobertas dos alunos.
Algumas atividades exploraram apenas o seno e o cosseno, mas facilmente, o
professor consegue adaptar atividades para trabalhar a tangente. O material um instrumento
para auxiliar o professor em suas aulas e nas atividades propostas pelos prprios livros
didticos.
Ao trabalhar com a trigonometria no ensino mdio, percebi, claramente, a dificuldade
em visualizar figuras que os alunos tinham. S as ilustraes que fazia no quadro no eram
suficientes, para muitos, criarem imagens mentais. Acreditamos que a partir da manipulao
pelos alunos dos materiais, isso se tornar mais fcil. E principalmente essa manipulao
dever ser por vrias aulas e em vrias atividades, at que o aluno no precise mais dele, pois
conseguir criar em sua mente imagens que os ajude nos exerccios (ou fazer pequenos
esboos no crculo).
Ao produzir esse material refletimos sobre nossas inquietaes em relao a nossa
prtica no ensino da trigonometria e procuramos instrumentos que contribuam para a melhoria
de nossas aulas.
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4. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
FIORENTINI, Dario; Maria ngela Miorim. Uma reflexo sobre o uso de materiais
concretos e jogos no ensino da Matemtica. Boletim da SBEM-SP, n.7, de julho-agosto de
1990.
NACARATO, Adair Mendes. Eu trabalho primeiro no concreto. Revista de Educao
Matemtica Ano9. Nos. 9-10, 2004-2005.
LOPES, Marcos Sebastio. Material pedaggico para o ensino de trigonometria no tringulo
retngulo e no crculo trigonomtrico. Monografia (Licenciatura em Matemtica). Par de
Minas, MG: Faculdade de Par de Minas, 2008.
RUBI, Angel Panads. Matemtica: 1. srie Ensino Mdio. Belo Horizonte: Editora Educacional, 2008.
MOYER, Patrcia S. (Adaptao) Ainda estamos nos divertindo? Como os professores usam
materiais manipulativos para ensinar matemtica.
RPM Revista do Professor de Matemtica
BONAF, Marytta. Zoltan Dienes e o Movimento da Matemtica Moderna no Ensino
Primrio.
BOTAS, Dilaila Olivia dos Santos. A utilizao dos materiais didcticos nas aulas de Matemtica Um estudo no 1 ciclo. 2008. 182f. Dissertao (Mestrado em Ensino das
Cincias) Universidade Aberta. 2008.
BESSA, Valria da Hora. Teoria da aprendizagem. Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2006