MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

SISTEMAS LINEARES

SISTEMAS LINEARES

Equação linear

Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome

de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real

chamado termo independente

( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

3x - 2y + 4z = 7

-2x + 4z = 3t - y + 4

Sistema linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2,

r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do

sistema.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é: para o mesmo sistema acima, a matriz

completa é:

Sistemas homogêneos

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes

da equações são nulos:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema

homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução

trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-

triviais.

Exemplo:

Quanto ao número de soluções um sistema linear pode ser classificado em:

a) SPD - possível e determinado (solução única);

Exemplo:

S={(3,5)}

b) SPI - possível e indeterminado (infinitas soluções);

Exemplo:

S={(0,8); (1,7); (2,6); (3,5); (4,4); (5,3). ...}

c) SI - sistema impossível (não tem solução).

Exemplo:

S=

RESOLUÇÃO DE SISTEMA LINEARES –

MÉTODO DE CRAMER

Sistema normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de

incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é

diferente de zero.

Se m=n e det A ≠ 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta

associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na

matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos

independentes.

Exemplo

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será

chamada de A.

Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4

D = 15.

Agora, substituindo a primeira coluna da matriz incompleta pela coluna formada

pelos termos independentes, calcularemos Dx.

Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6

Dx = 15

Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8

Dz = 45

Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16

Dy = 30

Agora, substituindo a segunda coluna da matriz incompleta pela coluna formada

pelos termos independentes, calcularemos Dy.

Agora, substituindo a terceira coluna da matriz incompleta pela coluna formada

pelos termos independentes, calcularemos Dz.

151

15

xDx

D

302

15

yDy

D

453

15

zDz

D

Assim, podemos calcular a solução do sistema:

S={(1,2,3)}

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1)

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 3 1 1 3 1 1

D

1 1 1

2 1 2

1 1 3

A

(3 2 2) ( 1 2 6) 3 ( 9) 3 9 12D

12 1 1 12 1 1 12 1

12 1 2 12 1 2 12 1

16 1 3 16 1 3 16 1

xD

(36 32 12) (16 24 36) 8 ( 44) 8 44 36xD

1 12 1 1 12 1 1 12

2 12 2 2 12 2 2 12

1 16 3 1 16 3 1 16

yD

( 36 24 32) (12 32 72) 44 ( 92) 44 92 48yD

(16 12 24) ( 12 12 32) 4 ( 56) 4 56 60xD

1 1 12 1 1 12 1 1

2 1 12 2 1 12 2 1

1 1 16 1 1 16 1 1

zD

363

12

xDx

D

484

12

yDy

D

605

12

zDz

D

Assim, podemos calcular a solução do sistema:

S={(3,4,5)}

1 2 2 1 2 2 1 2

1 2 4 1 2 4 1 2

1 4 2 1 4 2 1 4

D

1 2 2

1 2 4

1 4 2

A

(4 8 8) ( 4 16 4) 20 ( 8) 20 8 12D

(20 24 72) (12 80 36) 68 ( 56) 68 56 12xD

1 5 2 1 5 2 1 5

1 9 4 2 9 4 2 9

1 3 2 1 3 2 1 3

yD

(18 12 20) (18 12 20) 50 50 0yD

(6 18 20) ( 10 36 6) 44 ( 20) 44 20 24xD

1 2 5 1 2 5 1 2

1 2 9 1 2 9 1 2

1 4 3 1 4 3 1 4

zD

5 2 2 5 2 2 5 2

9 2 4 9 2 4 9 2

3 4 2 3 4 2 3 4

xD

121

12

xDx

D

00

12

yDy

D

242

12

zDz

D

Assim, podemos calcular a solução do sistema:

S={(1,0,2)}

EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA

Um sistema de equações pode ser representado na forma de uma

matriz. Os coeficientes das incógnitas serão os elementos da matriz

que ocuparão as linhas e as colunas de acordo com o

posicionamento dos termos no sistema.

EXEMPLOS

O sistema poderá ser representado por:

2 5 11.

3 6 3

x

y

Matriz dos

coeficientes

Matriz das

variáveis Matriz dos termos

independentes

O sistema poderá ser representado por:

4 3 9 7

1 5 4 . 6

2 6 3 1

x

y

z

Matriz dos

coeficientes

Matriz das

variáveis Matriz dos termos

independentes

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou

determinado.

Utilizando a regra de Cramer, temos:

Adet

Adetx,...,

Adet

Adetx,

Adet

Adetx n

n 22

11

0Adet Sistema Possível e Determinado

Sistema Possível e

Indeterminado

0

0

21 nAdet...AdetAdet

e

Adet

0 um menos pelo

0

nAdet

e

Adet Sistema Impossível

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente

não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de

coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de

equação para equação.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o

coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes,

anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais

equações.

c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o

sistema se torne escalonado.

EXEMPLO

Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação,

de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada

por -2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com

a 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a

3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z= -6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

S = {(2,1,3)}

Agora é com vocês. Resolva escalonando os sistemas.

1)

Primeiro passo: Trocar a primeira e a terceira linhas de posição

Segundo passo: Trocar a segunda linha pela soma da segunda linha

com a primeira linha multiplicada por −1.

Terceiro passo: Trocar a terceira linha pela soma da segunda linha

com a terceira linha.

O sistema está escalonado e z = 3. Substituindo z = 3

na 2a equação:

y + 3 = 5 y = 2

Substituindo z = 3 e y = 2 na 1a equação:

x + 2 + 3 = 6 x = 1

Portanto, teremos:

S = {(1,2,3)}

2)

L2=L2+(−1).L1

L3=L3+(−2).L1

L4=L4+(−2).L1

L3=L3+(−1).L2

L4=L4+(−2).L2

O sistema está escalonado e z=1, y=3 e x=1

S={(1,3,1)}