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Professores:

Darlan K. E. de Carvalho (Dr.)

Paulo Roberto Maciel Lyra (PhD.)

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Estática dos Fluidos 2.6 Manometria

Manômetros são equipamentos utilizados para medir a pressão relativa (ou

manométrica) entre fluidos.

2.6.1 Manômetro de Coluna Piezométrica ou Piezômetro

Consiste num tubo vertical aberto no topo e conectado ao reservatório no

qual desejamos medir a pressão, conforme mostra a figura a seguir:

Figura 2.6. Manômetro de coluna piezométrica ou piezômetro.

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Estática dos Fluidos Para o piezômetro da figura 2.6, a equação que relaciona a coluna de líquido

com a pressão manométrica é dada por:

logo:

(equação manométrica )

Observações:

A altura h, para pressões elevadas e para líquidos de baixo peso

específico, é muito grande.

Exemplo: Água e

(de coluna de água!!!).

ABS ATMp p h

4 310 /N m 5 2 5 410 / 10 10 10ATMp p N m h m

(2.33)

(2.34)MANp h

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Estática dos Fluidos Não é possível medir a pressão de gases, pois estes escapam sem formar

uma coluna h.

Não é possível medir pressões manométricas negativas, pois, neste

caso, haveria a entrada de ar para o reservatório.

2.6.2 Manômetro com Tubo em “U”

Consiste num tubo em “U”, ligado ao reservatório no qual se deseja medir a

pressão.

Estes manômetros podem conter um fluido auxiliar (manométrico) de peso

específico, em geral, elevado (ex.: mercúrio), que permite, inclusive, a

medida da pressão de gases.

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Estática dos Fluidos

OBS: Os manômetros de tubo em “U” ligados a dois reservatórios (ao invés

de terem um dos ramos aberto) são chamados de “Manômetros

Diferenciais”, pois fornecem a diferença de pressão entre dois reservatórios.

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Estática dos Fluidos Equação Manométrica: Para a obtenção da equação manométrica

(equação que relaciona pressões e cotas) em manômetros com tubo em “U”

é interessante que sigamos as seguintes “regras práticas”:

1) Dois pontos quaisquer, na mesma cota, em um volume contínuo de fluido

estão à mesma pressão;

2) A pressão “cresce” à medida que se “desce” na coluna de fluido.

Exemplo: Determinar a diferença de pressão PA – PB entre os dois

reservatórios da figura.

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Estática dos Fluidos

Notando que , e , e utilizando o Teorema da

Stevin, podemos escrever:1 Ap p 5 Bp p

2 1 1Ap p h

4 2 2 2p p h

4 3 3Bp p h

2 3p p

(2.35)

(2.36)

(2.37)

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Estática dos Fluidos Somando (2.35) e (2.36) , temos:

Finalmente, somando (2.38) com (2.37) , chegamos a:

4 1 1 2 2Ap p h h

1 1 2 2 3 3( )B Ap p h h h

(2.38)

(2.39)

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Estática dos Fluidos OBS:

1) Para medir baixas pressões (ex. Pressão sanguínea), utiliza-se um fluido

manométrico leve como a água.

2) O fluido manométrico deve ser imiscível com o fluido que está

diretamente em contato com ele.

3) Na medida de pequenas variações de pressão pode-se usar o manômetro

com tubo inclinado.

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Estática dos Fluidos 2.6.3 Manômetro de Bourdon

Apesar dos manômetros com coluna de líquido serem muito utilizados, eles

não são adequados para a medição de pressões muito altas ou pressões que

variam muito rapidamente com o tempo.

Existem diversas alternativas aos manômetros de coluna líquida. A mais

comum é o “Manômetro de Bourdon”.

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Estática dos Fluidos Manômetro de Bourdon

O princípio de funcionamento deste manômetro envolve um tubo elástico

curvado (tubo de Bourdon) conectado a fonte de pressão. Este tubo tende a

ficar reto quando a pressão interna no tubo aumenta. Esta deformação é

então transformada em movimento num ponteiro associado a um mostrador,

conforme mostrado na figura 2.9.

Figura 2.9. Manômetro de Bourdon.

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Estática dos Fluidos Note que, no Manômetro de Bourdon, a pressão medida é a pressão relativa

entre a pressão interna do fluido no tubo e a pressão atmosférica local.

Existem outros medidores de pressão que permitem o monitoramento

contínuo da pressão (ex. num processo químico). Estes dispositivos são

denominados transdutores (sensores) de pressão.

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Estática dos Fluidos Barômetro de Torricelli: O barômetro é um

equipamento utilizado para medir a pressão

atmosférica.

Exitem basicamente dois tipos de barômetro:

1. O de Mercúrio: Consiste basicamente num tubo de vidro

cheio de mercúrio, invertido em uma cuba. A pressão

atmosférica equilibra uma coluna de 760mm de mercúrio ao

nível do mar (p=101,325 kPa)

2. O aneróide: Os sistemas aneróides usam um micrômetro

para medir a deflexão de um diafragma colocado sobre uma

cuba de vácuo parcial. Depois de aferidos com um

barômetro de mercúrio, estes são os preferidos, pois têm

grande sensibilidade e são bastante portáteis. Por este

motivo são muito usados em estações móveis e nos

altímetros de aviões.

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Estática dos Fluidos

2.7 Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas

Para determinarmos completamente a resultante das forças que atuam sobre

uma superfície submersa, devemos especificar:

1. A intensidade da força;

2. O sentido da força;

3. A linha de ação da força;

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Estática dos Fluidos 2.7.1 Força Hidrostática sobre Superfícies Planas Submersas

Considerando a superfície plana submersa da figura a seguir:

Figura 2.10. Superfície submersa plana.

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Estática dos Fluidos A força de pressão atuando sobre um elemento da face superior é dada

por:

onde, é o vetor área normal a superfície e com sentido contrário ao de

Integrando a equação (2.40), obtemos a força resultante, como:

dA

dF pdA

RA

F pdA

.dF

dA

(2.40)

(2.41)

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Estática dos Fluidos Pela figura (2.10), temos que e, usando o Teorema de Stevin,

isto é, , temos:

Figura 2.10. Superfície submersa plana.

h ysen

0p p h

0( )RA

F p ysen dA (2.42)

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Estática dos Fluidos Assumimos que “p0=patm” , p0 atua em ambos os lados da superfície, não

contribuindo para a força líquida sobre a superfície, sendo, portanto,

cancelada. Neste caso, temos:

Lembrando que . A intensidade de é dada por:

RA

F sen ydA

| |R R

A

F F sen ydA

cte RF

(2.43)

(2.44)

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Estática dos Fluidos Mas é igual ao momento estático da superfície com

respeito ao eixo x. yc é a coordenada y do centróide da superfície, e “A” é o

valor algébrico de sua área. Desta forma, temos:

ou ainda, com :

A equação anterior permite calcular diretamente (sem integração!) a

intensidade da força resultante sobre uma superfície plana submersa.

R CF y sen A

X C

A

I ydA y A

R C C cF h A p A p pressão no centróide

C Ch y sen

(2.45)

(2.46)

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Estática dos Fluidos A linha de ação de pode ser determinada, lembrando-se que “o momento

da força resultante com respeito a qualquer eixo é igual ao momento da

força distribuída com relação ao mesmo eixo”. Neste caso, temos:

Onde (vetor posição do ponto de aplicação de

(vetor posição de um ponto qualquer na superfície plana) e

R Rr F r dF r pdA

,RFr x i y j r xi yj

.dA dAK

RF

(2.47)

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Estática dos Fluidos Avaliando a equação vetorial acima, temos:

Igualando as componentes, temos:

( ) ( )

( ) ( )

R

A

R R

A

x i y j F K xi yj pdAK

x F j y F i xpdA j ypdA i

R

A

R

A

x F xpdA

y F ypdA

(2.48)

(2.49)

Rodrigo
Line
Rodrigo
Line
Rodrigo
Line
Rodrigo
Line
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Estática dos Fluidos Substituindo , chegamos a:

Lembrando que, é o momento de inércia, e é

o produto de inércia da superfície, e, ainda que, , (Eq. 2.45)

temos:

2

'

'

R

A

R

A

x F sen xydA

y F sen y dA

x sen Cy A sen XYI

y sen Cy A sen XXI

XY

C

Ix

y A XX

C

Iy

y A

2

XX

A

y dA I XY

A

xydA I

R CF sen y A

(2.50)

(2.51)

p h ysen

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Estática dos Fluidos Do Teorema dos Eixos Paralelos (TEP), temos que

e , onde e são o momento e o produto de inércia

com respeito aos eixos centroidais, e, xc e yc são as coordenadas do

centróide.

Portanto, as coordenadas do ponto de aplicação a força são dadas por:

XY

C

C

Ix x

y A '

XX

C

C

Iy y

y A

2XXXX CI I Ay

XYXY C CI I Ax y

XXI XYI

(2.52)

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Estática dos Fluidos 2.7.2 Força Hidrostática sobre Superfície Curva Submersa

Sempre é possível obter a força hidrostática resultante em qualquer

superfície submersa por integração, porém, o procedimento é trabalhoso e

não é possível obter equações simples e gerais.

Para efeito de simplificação, consideraremos o equilíbrio de um volume de

fluido delimitado pela superfície curva de interesse (barragem, tubulação,

tanque, etc) e pelas suas projeções horizontal e vertical.

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Estática dos Fluidos Considerando a seção curva BC do tanque aberto mostrado na figura 2.11.

Nesta figura, também mostramos um diagrama de corpo livre de uma

porção de fluido limitado pelas faces AB, BC e AC.

As forças , que resultam da ação do restante do fluido sobre o volume

considerado, a força peso “W”, aplicada no centro de gravidade do volume

de fluido, e as forças e que representam as componentes horizontal e

vertical da força do tanque sobre o fluido.HF VF

2F1F

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Estática dos Fluidos Do equilíbrio de forças na horizontal e na vertical, temos:

A força resultante é dada por:

2HF F

1VF F W

2 2| |R R H VF F F F

(2.54)

(2.55)

(2.53)

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Estática dos Fluidos O sistema formado pelas forças , e formam

um sistema de três forças não paralelas.

Estas forças precisam ser coplanares e colineares para que se tenha o

equilíbrio;

O ponto “O” pode ser determinado a partir do equilíbrio de momentos com

respeito a um eixo apropriado.

R H VF F i F j 2F

1VF F W