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  • UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

    MECNICA DOS FLUIDOS

    Prof. Dr. Joo Batista Campos Silva

    Ilha Solteira, julho de 2015

    unesp

  • 2

    Contedo 1. Introduo ............................................................................................................................... 3 1.1 Noes de lgebra e clculo vetorial e tensorial................................................................... 3 1.2 Variabilidade dos vetores de base sobre superfcies curvadas .......................................... 9 1.3 Operadores GRAD, DIV e CURL em sistemas de coordenadas curvilneos .................. 13 2. Teoremas integrais ............................................................................................................. 18 2.1 Teorema da Divergncia de Gauss ou Frmula de Green - GDT ................................... 18 2.2 Teorema de Stokes........................................................................................................... 18 2.3 Equao de Continuidade ................................................................................................ 19 2.4 Teorema do Transporte de Reynolds - TTR .................................................................... 20 3. Cinemtica dos Fluidos ..................................................................................................... 25 3.1 Descrio Lagrangeana e Euleriana ................................................................................ 25 3.2 Linhas de corrente, trajetria e linhas de emisso (streamlines, pathlines e streaklines) 26 3.3 Decomposio cinemtica do movimento ....................................................................... 28 4. Equaes governantes de escoamentos de fluidos ............................................................ 32 4.1 Equao de quantidade de movimento Momentum linear ........................................... 32 4.2 Equao do momento da quantidade de movimento Momentum angular ................... 33 4.3 Equao de energia mecnica .......................................................................................... 35 4.4 Equao de energia .......................................................................................................... 35 4.5 Equaes em variveis adimensionais ............................................................................. 38 5. Solues Exatas das Equaes de Navier-Stokes .............................................................. 41 5.1 Escoamento completamente desenvolvido num tubo escoamento de Hagen-Poiseuille .................................................................................................................................................. 41 5.2 Escoamento completamente desenvolvido num canal de placas paralelas ..................... 42 Bibliografia ............................................................................................................................... 43

    Apndice A Divergente de um tensor e acelerao convectiva em coordenadas cartesianas e cilndricas ................................................................................................................................. 44 Apndice B Cinemtica do Movimento Local de Fluidos .................................................... 50 Apndice C Equaes do movimento para um volume arbitrrio com fronteira mvel ........ 52 C.1 Teorema de Leibnitz ....................................................................................................... 52 C.2 Equaes Integrais de Escoamentos ............................................................................... 53 C.2.1 Forma Integral da Equao de Continuidade ............................................................... 53 C.2.2 Forma Integral da Equao de Momentum .................................................................. 53 Apndice D Presso e Tenses Viscosas ............................................................................... 55 D.1 Relao entre presso mecnica e presso termodinmica............................................. 55 D.2 Fluido Stokesiano ........................................................................................................... 56 D.3 Fluido Newtoniano ......................................................................................................... 56 Apndice E Momentum angular simetria do tensor das tenses ........................................ 58 Apndice F Tensor taxa de deformao ................................................................................ 63 Apndice G Funo de corrente ............................................................................................ 67 Apndice H Escoamento ideal e potencial ............................................................................ 69

  • 3

    1. Introduo

    Neste item ser apresentada uma reviso matemtica que servir de base para a

    notao que ser usada na disciplina. So operaes com tensores e transformaes de

    coordenadas, teis para se escrever o equacionamento em qualquer sistema de coordenadas.

    1.1 Noes de lgebra e clculo vetorial e tensorial

    Em notao de ndices ou tensorial, vetores e tensores podem ser representados por

    seus componentes escalares. Na notao comum, um vetor A

    pode ser representado, num

    sistema de coordenadas ortogonais 321 ,, xxx , com vetores de base 321 ,, eee , na forma:

    332211 eAeAeAA

    (1.1)

    na qual 321 ,, AAA so os componentes do vetor nos eixos 321 ,, xxx respectivamente. Outra

    maneira de apresentar o vetor usar notao de ndices como a seguir:

    3,2,1, ieAA ii

    (1.2)

    A conveno que ndice repetido na mesma posio indica soma, ou seja, no caso, em

    questo,

    332211 eAeAeAeAA ii

    (1.3)

    Esta conveno evita ter de carregar a notao inconveniente,

    3

    1i

    iieAA

    e deixa a notao

    mais compacta. O operador nabla ou del em notao de ndices pode ser representado como

    3

    3

    2

    2

    1

    1x

    ex

    ex

    ex

    ej

    j

    (1.4)

  • 4

    As operaes de produtos de vetores, considerando dois vetores A

    e B

    , podem ser

    representadas como

    -produto escalar

    cosABBA

    ou jijijjii eeBAeBeABA

    (1.5)

    o produto escalar entre os vetores de base (note que o ngulo entre os vetores de base 90o)

    tem o seguinte resultado

    jise

    jiseee ijji

    ,0

    ,1

    (1.6)

    na qual ij um tensor unitrio conhecido com delta de Krnecker. Assim o produto escalar

    de dois vetores, pode finalmente ser escrito usando ndices como

    332211 BABABABABA ii

    (1.7)

    -produto vetorial

    senA B AB n ou jijijjii eeBAeBeABA

    (1.8)

    Na Eq. (1.8) o vetor n a normal ao plano que contm os vetores A e B . O produto vetorial

    entre os vetores de base tem o seguinte resultado

    kijkji eee

    (1.9)

    ijk i j ke e e (1.10)

    na qual o smbolo ijk (um tensor de terceira ordem) denominado tensor alternante ou

    smbolo de permutao e tem os seguintes valores:

  • 5

    iguaissondicesdoisquaisquersse

    acclicapermutaoijkse

    cclicapermutaoijkse

    ijk

    0

    321,132,213,1

    312,231,123,1

    O produto vetorial pode ento ser finalmente representado por

    kjiijkjijijjii eBAeeBAeBeABA

    (1.11)

    -produto didico

    jiji eeBABA

    (1.12)

    que resulta nove componentes; o produto didico constitui um tensor de segunda ordem. Os

    componentes de um tensor podem ser representados por ndices. Seja BAT

    , ento

    jiij eeTT

    (1.13)

    na qual jiij BAT .

    -propriedade de uma didica ou tensor

    1. AB U A B U que tem a direo de A

    2. U AB U A B que tem a direo de B (deste modo, AB U U AB )

    3. AB U A B U outro tensor

    4. U AB U A B

    5. :AB UV A V B U um escalar (produto interno-externo ou duplo produto escalar ou

    dupla contrao)

    6. A U V AU AV distributiva para adio

    7. U V A UA VA

    8. s t AB sAB tAB distributiva para multiplicao escalar e tambm produto escalar e

    produto vetorial

    9. sAB sA B A sB

  • 6

    Os componentes de um tensor podem ser representados por ndices. Seja BAT

    , ento

    jiij eeTT

    (1.14)

    na qual jiij BAT . Toda didica um tensor, mas nem todo tensor de segunda ordem pode

    ser composto como um produto didico. Em geral um tensor de segunda ordem tem nove

    componentes que no necessitam estarem relacionados entre si. Uma didica por sua vez

    envolve apenas 6 escalares distintos ou seja os trs componentes de cada vetor.

    Nos casos especiais em que

    A e UB

    , resultam os seguintes resultados das

    operaes vetoriais

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    x

    U

    x

    U

    x

    U

    x

    UU

    i

    i

    (1.15)

    k kj k k j k ijk i

    j j j

    U UU e U e e e e

    x x x

    (1.16)

    j

    i j

    i

    UU e e

    x

    ,

    Ti

    i j

    j

    UU e e

    x

    (1.17)

    31 21 1 2 3

    1 1 1

    31 22 1 2 3

    2 2 2

    31 23 1 2 3

    3 3 3

    +

    +

    UU UU e e e e

    x x x

    UU Ue e e e

    x x x

    UU Ue e e e

    x x x

    (1.18)

  • 7

    1 1 11 1 2 31 2 3

    2 2 22 1 2 3

    1 2 3

    3 3 33 1 2 3

    1 2 3

    +

    +

    T U U UU e e e e

    x x x

    U U Ue e e e

    x x x

    U U Ue e e e

    x x x

    (1.19)

    As operaes com tensores tambm so possveis. Seja o tensor T

    , assim, resulta, por

    exemplo, o divergente do tensor na forma

    31 32 13 23 3311 21 12 22

    1 2 3

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    ij

    j

    i

    T T T T T TT T T TT e e e e

    x x x x x x x x x x

    (1.20)

    O vetor dual de um tensor definido como o produto escalar (dupla contrao)

    i ijk jkd T (1.21)

    Como um tensor pode sempre ser escrito como a soma de um tensor simtrico e um

    antissimtrico, ento

    S AS

    i ijk jk ijk jkd T T (1.22)

    na qual os tensores simtrico e antissimtrico podem ser definidos como.

    1

    2

    S

    jk jk kjT T T e 1

    2

    AS

    jk jk kjT T T (1.23)

    ijk um vetor antissimtrico. O produto escalar de um tensor simtrico por outro

    antissimtrico nulo. Desta forma, tem-se

    AS

    i ijk jkd T (1.24)

    Pode-se tambm obter a partir de (1.19) o tensor em funo do seu vetor dual,

    multiplicando ambos os lados da equao por ilm , resultando

    ilm i ilm ijk jkd T

    Pode-se demonstrar que

    ijk ilm jl km jm kl (1.25)

    da,

    1 1 1 1 =

    2 2 2 2

    1 =2 2

    2

    ilm i jl km jm kl jk

    lm ml lm ml lm ml ml lm ml lm

    AS

    ml lm lm

    d T

    T T T T T T T T T T

    T T T

  • 8

    ou

    1

    2

    AS

    lm ilm iT d (1.26)

    Portanto um tensor pode ser escrito como

    1

    2

    S AS S

    ij ij ij ij ijk kT T T T d (1.27)

    O vetor dual de um tensor simtrico nulo.

    Considere os vetores u e v e a didica formada pelo seu produto uv . Pode-se obter o

    vetor dual deste tensor como

    i ijk j kw u v (1.28)

    o que na realidade o produto vetorial entre u e v , ou seja,

    w u v (1.29)

    Considere um outro exemplo, quando um corpo rgido gira com velocidade angular

    em torno de um eixo atravs do ponto 0r . A velocidade de rotao pode ser indicada como o

    vetor paralelo ao eixo de rotao . Assim, a velocidade de qualquer ponto r pode ser

    obtida como

    0U r r (1.30)

    Em notao de ndices teremos:

    0,i ijk j k kU x x (1.31)

    O tensor dual do vetor obtido como

    1

    2jk ijk i (1.32)

    Assim, pode-se obter

    0,2i ki k kU x x (1.33)

    Identidades envolvendo o tensor alternante [A. L. Coimbra, (1978), Lies de

    Mecnica do Contnuo, Editora Edgard Blcher Ltda e Ed. da USP, 225p], podem ser

    demonstradas. A seguir so apresentadas algumas delas.

    i m i n i p im in ip

    ijk mnp i j k m n p j m j n j p jm jn jp

    k m k n k p km kn kp

    im jn kp kn jp in jm kp km jp ip jm kn km jn

    e e e e e e

    e e e e e e e e e e e e

    e e e e e e

    (1.34)

  • 9

    im inijk mnk i j m n im jn in jmjm jn

    e e e e

    (1.35)

    2im ijijk mjk i j m j imjm jj

    e e e e

    (1.36)

    2 6ii ijijk ijk i j i j iiji jj

    e e e e

    (1.37)

    1.2 Variabilidade dos vetores de base sobre superfcies curvadas

    Para anlise de qualquer problema particular de escoamento, pontos no domnio

    espacial sero localizados por algum sistema conveniente de coordenadas. A escolha de um

    sistema de coordenadas usualmente depende da configurao do contorno slido, ou das

    linhas de corrente de alguma parte conhecida do escoamento, tal como o escoamento fora da

    camada limite. Usualmente as coordenadas sero ortogonais, deste modo trs superfcies,

    sobre cada das quais uma coordenada constante, se encontram em ngulos retos em qualquer

    dado ponto. Seja as coordenadas denominadas por 1x , 2x e 3x . No ponto de interseco

    existir uma trade ortogonal de vetores de base, 1 2 3, ,e e e , com 1e apontando ao longo da

    interseco de superfcies de 2e e 3e constantes, na direo em que 1x aumenta, etc.

    Em geral, as coordenadas no sero em si distncias; a distncia local entre superfcies

    de coordenadas 1 1x x e 1 1 1x x dx dada pela frmula 1 1 1dr h dx . Isto introduz o fator de

    escala ou mtrica 1h . Um deslocamento infinitesimal ser representado como

    1 1 1 2 2 2 3 3 3dr h dx e h dx e h dx e (1.38)

    Em geral os vetores de base 1 2 3, ,e e e e os coeficientes mtricos 1 2 3, ,h h h todos

    variaro de ponto para ponto. Considere a Figura 1.1 um caminho infinitesimal da superfcie

    3x constante. Por um momento, pode-se imaginar o caminho ser plano e visto em verdadeira

    grandeza. Pode-se ver que 2e no ponto B difere de 2e no ponto A, porque ele foi rotacionado

  • 10

    atravs de um pequeno ngulo d . De fato, 2 2 2 1/e x dx d e . Observando o outro

    pequeno tringulo que envolve d , pode-se ver que 1 1 2 2 1 1/h dx d h dx x dx .

    Eliminando d entre estas duas equaes, encontra-se que 2 2 1 1 2 1/ / /e x e h h x .

    Entretanto, esta no toda a estria para o caso geral, porque ento o caminho de A para B

    pode tambm ser curvado na superfcie 1x constante, que vista no canto. Observando abaixo

    a normal quela superfcie, observa uma descrio tal como a considerada acima, e deduz-se

    que 2 2 3 3 2 3/ / /e x e h h x . No caso geral, ambas as superfcies de 1x e 3x constantes

    so curvadas e os efeitos parciais se adicionam. Deste modo,

    2 2 3 3 2 3 1 1 2 1/ / / / /e x e h h x e h h x (1.39a)

    e duas equaes correspondentes por permutao cclica de 1x , 2x e 3x . Ou seja

    3 3 1 1 3 1 2 2 3 2/ / / / /e x e h h x e h h x (1.39b)

    1 1 2 2 1 2 3 3 1 3/ / / / /e x e h h x e h h x (1.39c)

    Figura 1.1 Superfcies Curvas (fonte: Sherman, 1990)

    Pode-se ver tambm que 2e no ponto D difere de 2e no ponto A, porque ele foi

    rotacionado de um pequeno ngulo d . Uma anlise posterior do esquema leva aos resultados

    2 1 1 2 1 2/ / /e x e h h x e 1 2 2 1 2 1/ / /e x e h h x (1.39d)

  • 11

    Por enquanto, estes resultados esto completos. Vistas das outras superfcies de coordenadas

    apenas produzem as relaes semelhantes

    3 2 2 3 2 3/ / /e x e h h x e 2 3 3 2 3 2/ / /e x e h h x (1.39e)

    1 3 3 1 3 1/ / /e x e h h x e 3 1 1 3 1 3/ / /e x e h h x (1.39f)

    Reagrupando tem-se os seguintes resultados:

    1 1 2 2 1 2 3 3 1 3/ / / / /e x e h h x e h h x (1.40a)

    1 2 2 1 2 1/ / /e x e h h x (1.40b)

    1 3 3 1 3 1/ / /e x e h h x (1.40c)

    2 1 1 2 1 2/ / /e x e h h x (1.41a)

    2 2 3 3 2 3 1 1 2 1/ / / / /e x e h h x e h h x (1.41b)

    2 3 3 2 3 2/ / /e x e h h x (1.41c)

    3 1 1 3 1 3/ / /e x e h h x (1.42a)

    3 2 2 3 2 3/ / /e x e h h x (1.42b)

    3 3 1 1 3 1 2 2 3 2/ / / / /e x e h h x e h h x (1.42c)

    Estes resultados afirmam que qualquer mudana nos vetores de base que resulta de um

    deslocamento na superfcie normal quele vetor paralela ao deslocamento. Generalizando,

    pode-se mostrar que, Bird, R. B., Stewart, W. E., Lightfoot, E. N:

    3

    1

    e h ee h

    x h x h x

    (1.42d)

  • 12

    Tomando como referncia o sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) e um sistema

    de coordenadas qualquer denotado por 1 2 3( , , )x x x , pode se obter relaes do tipo:

    1 2 3( , , )x x x x x ; 1 2 3( , , )y y x x x ; 1 2 3( , , )z z x x x

    Assim, pode-se demonstrar que as mtricas podem ser calculadas como

    2 2 22

    1 1 1 1/ / /h dx dx dy dx dz dx ;

    2 2 22

    2 2 2 2/ / /h dx dx dy dx dz dx ;

    2 2 22

    3 3 3 3/ / /h dx dx dy dx dz dx ;

    Para alguns sistemas de coordenadas populares, tm-se as seguintes mtricas:

    Cartesianas retangulares: 1 2 3; ;x x x y x z

    1 1xh h ; 2 1yh h ; 3 1zh h

    Cilndricas polares, , ,r z : cos ; s ;x r y r en z z

    1 1rh h ; 2h h r ; 3 1zh h

    Esfricas polares, , ,r : s cos ; s ; cosx r en y r en sen z r

    1 1rh h ; 2h h r ; 3h h rsen

    Elpticas planas, , , z : s cos ; cosh ;x a enh y a sen z z

    1/2

    2 2

    1 coshh h a sen ; 2h h h ; 3 1zh h

    Parablicas planas, , , z : 2 2 1 ; 2 ;x a y a z z

    1/22 2

    1 2h h a ; 2h h h ; 3 1zh h

  • 13

    1.3 Operadores GRAD, DIV e CURL em sistemas de coordenadas curvilneos

    Os operadores grad, div e curl em sistemas de coordenadas curvilneos ortogonais

    devem incorporar os efeitos de curvatura e de variao dos vetores de base e mtricas.

    Matematicamente, os operadores: gradiente de um escalar , divergente de um vetor U ,

    rotacional de um vetor U e gradiente de um vetor U podem ser definidos como

    0

    1lim A

    V

    grad n dAV

    (1.43)

    0

    1lim A

    V

    div U U n UdAV

    (1.44)

    0

    1lim A

    V

    curl U U n UdAV

    (1.45)

    0

    1lim A

    V

    grad U U nUdAV

    (1.46)

    O operador diferencial nabla ou del em coordenadas curvilneas da forma

    31 2

    1 1 2 2 3 3

    ee e

    h x h x h x

    (1.47)

    Em consequncia, aps vrias manipulaes das definies acima pode-se obter frmulas para

    os operadores grad, div e curl em coordenadas curvilneas como

    31 2

    1 1 2 2 3 3

    ee e

    h x h x h x

    (1.48)

    31 2

    1 1 2 2 3 3

    1 1 1 i ij

    j j

    U U eU UU e

    h x h x h x h x

    (1.49)

    Usando as equaes (1.39) at (1.42) pode se demonstrar que

    1 j kj ij j i j k i

    h he e

    h x h h h x

    (1.50)

    Na Eq. (1.50) no h nenhuma soma nos subscritos, apenas permutao cclica. Substituindo

    (1.50) em (1.49) obtm-se

    2 3 3 1 1 23 31 2 1 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

    1 1 1 h h h h h hU UU U U UU

    h x h x h x h h h x h h h x h h h x

    Aps um rearranjo dos termos resulta

  • 14

    2 3 1 1 3 2 1 2 31 2 3 1 2 3

    1 h h U h h U h h UU

    h h h x x x

    (1.51)

    Se na Eq. (1.14) U , ento,

    2 2 3 1 3 1 2

    1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

    1 h h h h h h

    h h h x h x x h x x h x

    (1.52)

    De maneira similar pode-se obter o curl de um vetor na forma

    3 3 2 2 1 1 3 3

    1 1 2 2

    2 3 3 1

    1 2 3 2 2 1 1

    3 3

    1 2

    1

    h U h U hU h Uh e h e

    x x x xU

    h h h h U hUh e

    x x

    (1.53)

    O gradiente de um vetor uma operao de interesse em escoamentos de fluidos.

    Matematicamente, o gradiente de um vetor foi definido na Eq. (1.9)

    Aplicando o operador (1.47) em um vetor U podese mostrar que

    31 2 1 1 2 1 11 1 1 2

    1 1 2 2 3 3 1 1 2 2

    3 1 11 3

    1 1 3 3

    31 2 2 2 2 1 22 1 2 2

    2 2 1 1 2 2 3 3 1 1

    2

    1 1

    1

    1 1

    1

    UU U h h U U hU e e e e

    h x h x h x h x h x

    U U he e

    h x h x

    UU U h U h U he e e e

    h x h x h x h x h x

    U

    h

    3 2 2 2 3

    2 3 3

    3 3 3 31 23 1 3 2

    3 3 1 1 3 3 2 2

    3 3 31 23 3

    3 3 1 1 2 2

    1 1

    1

    U he e

    x h x

    U h U hU Ue e e e

    h x h x h x h x

    U h hU Ue e

    h x h x h x

    (1.54a)

    Consequentemente o transposto do tensor em (1.54a) ser:

  • 15

    31 2 1 1 1 2 21 1 2 11 1 2 2 3 3 2 2 1 1

    3 313 1

    3 3 1 1

    32 1 1 2 2 1 21 2 2 2

    1 1 2 2 2 2 3 3 1 1

    3

    1 1

    1

    1 1

    1

    T UU U h h U U hU e e e e

    h x h x h x h x h x

    U hUe e

    h x h x

    UU U h U h U he e e e

    h x h x h x h x h x

    h

    3 32 3 2

    3 2 2

    3 31 1 2 21 3 2 3

    1 1 3 3 2 2 3 3

    3 3 31 23 3

    3 3 1 1 2 2

    1 1

    1

    U hUe e

    x h x

    U UU h U he e e e

    h x h x h x h x

    U h hU Ue e

    h x h x h x

    (1.54b)

    A soma do gradiente de um vetor e seu transposto pode ser escrita na forma:

    31 2 1 1 1 11 1 2 2 3 3

    2 1 1 1 2 21 2

    1 1 2 2 2 2 1 1

    3 3 31 1 11 3

    1 1 3 3 3 3 1 1

    1

    2 2

    2

    1 1

    1 1

    1

    T UU U h hU U e e

    h x h x h x

    U U h U U he e

    h x h x h x h x

    U U hU h Ue e

    h x h x h x h x

    U U

    h x

    2 2 2 1 1

    2 1

    1 1 1 1 2 2

    32 2 1 22 2

    2 2 3 3 1 1

    3 3 32 2 22 3

    2 2 3 3 3 3 2 2

    3 31

    3 3 1 1 1

    1

    2

    1 1

    1 1

    h U U he e

    h x h x h x

    UU h U he e

    h x h x h x

    U U hU h Ue e

    h x h x h x h x

    U h UU

    h x h x h

    3 1 13 1

    1 3 3

    3 3 32 2 23 2

    3 3 2 2 2 2 3 3

    3 3 31 23 3

    3 3 1 1 2 2

    1 1

    2

    U he e

    x h x

    U h UU U he e

    h x h x h x h x

    U h hU Ue e

    h x h x h x

    (1.55)

    O divergente de um tensor pode ser obtido na forma:

  • 16

    2 3 11 3 1 21 1 2 31

    1 2 31

    1 2 3 31 2 11 12 22 2 13 33

    2 1 3 1

    3 1 22 1 2 32 2 3 12

    2 3 12

    1 2 3 322 23 33

    3 2

    h h T h hT h h T

    x x xeT

    h h h hh h hh T T h T T

    x x x x

    h hT h h T h h T

    x x xe

    h h h hhh T T

    x x

    2 13 21 11

    1 2

    1 2 33 2 3 13 3 1 23

    3 1 23

    1 2 3 3 31 23 31 11 1 32 22

    1 3 2 3

    h hh T T

    x x

    h h T h h T h hT

    x x xe

    h h h h hh hh T T h T T

    x x x x

    (1.56)

    Veja Apndice A para derivao do divergente do tensor das tenses em coordenadas

    cartesianas e cilndricas a partir da Eq. (1.56).

    A acelerao convectiva nas equaes de Navier-Stokes envolve a operao U , que

    pode ser expressa como

    31 2

    1 1 2 2 3 3

    uu uU

    h x h x h x

    Desta forma, o operador acima aplicado em U resulta

    31 1 1 2 1 1 1 11 1 1 2 2 2 3 3 3

    31 2 2 2 2 2 2 2

    1 1 1 2 2 2 3 3 3

    3 3 3 31 2

    1 1 1 2 2

    uu u e u u e u eU U

    h x x h x x h x x

    uu u e u u e u e

    h x x h x x h x x

    u e u eu u

    h x x h x x

    3 3 3

    2 3 3 3

    u u e

    h x x

    Usando as relaes das derivadas dos vetores de base resulta

  • 17

    3 3 3 31 1 2 1 1 2 1 2 2 11

    1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 3 3 1 1

    3 31 2 1 1 2 2 2 2 1 2 22

    1 1 2 2 2 2 2 3 1 1 3 3 2

    u u u hu u u h h u u u h uU U e

    h x h x h x h x h x h x h x

    u uu u u h u u u h u h ue

    h x h x h x h x h x h x h

    3

    2

    3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 23

    1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 1 2 2

    h

    x

    u u u u u h hu u h u u h ue

    h x h x h x h x h x h x h x

    (1.57)

    Veja Apndice A, para aceleraes convectivas em coordenadas cartesianas e cilndricas.

  • 18

    2. Teoremas integrais

    2.1 Teorema da Divergncia de Gauss ou Frmula de Green - GDT

    Considere o volume mostrado na Figura 2.1, englobado pela superfcie A. Pode-se

    demonstrar que para um campo vetorial continuamente diferencivel,

    V AUdV n UdA (2.1)

    Corolrios

    Para variveis escalares e tensores o Teorema de Green- Gauss fica na forma

    V AfdV nfdA (2.2)

    V AdV n dA (2.3)

    Figura 2.1 Volume de superfcie A.

    2.2 Teorema de Stokes

    Para uma superfcie aberta cujo contorno C, como ilustrado na Figura 2.2, o

    Teorema de Stokes estabelece

  • 19

    Figura 2.2 Superfcie fechada pelo contorno C.

    A C

    U ndA U tds (2.4)

    A grandeza circulao em escoamentos definida como

    CU ds (2.5)

    Ento pelo Teorema de Stokes

    A A

    U ndA ndA (2.6)

    com sendo a vorticidade no escoamento.

    2.3 Equao de Continuidade

    Para qualquer sistema, a conservao da massa significa

    Taxa total de acumulao dentro do sistema = taxa lquida de massa entrando

    Seja um elemento de massa dm = dV; desta forma a massa total ser

    Vm dm dV

    e desta forma a taxa total de acumulao ser

    V V

    dm ddV dV

    dt dt t

  • 20

    A massa lquida saindo do sistema pode ser calculada como

    taxa lquida de massa saindo n U dA

    Portanto, V

    dV n U dAt

    V V

    dV U dVt

    0V

    U dVt

    Para um elemento de volume arbitrrio

    0Ut

    ou 0

    DU

    Dt

    (2.7)

    Que denominada de equao de continuidade.

    2.4 Teorema do Transporte de Reynolds - TTR

    Seja uma funo d

    dV

    , da num volume

    sV mvel que num dado instante coincide

    com um volume fixo c

    V , como ilustrado na Figura 2.3:

    ,S

    CV

    r t dV (2.8)

    e

    0 00 0

    ,

    S S SC C C

    V V V

    D r t D D D DJdV JdV J dV

    Dt Dt Dt Dt Dt

    (2.9)

  • 21

    Figura 2.3 Volumes mvel e fixo para deduo do TTR

    Mas DJ

    J UDt

    . Ento

    0 00 0S S S

    C C CV V V

    D D DJ J U dV U JdV U dV

    Dt Dt Dt

    Assim, o Teorema do Transporte de Reynolds pode ser escrito como

    ( ) ( )V t V tD D

    dV U dVDt Dt

    (2.10)

    V V V

    DU dV U U dV U dV

    Dt t t

    ( )V t VD

    dV U dVDt t

    (2.11)

    Uma segunda expresso do TTR usando GDT da forma:

  • 22

    ( ) ( ) ( ) ( )V t V t V t A tD

    dV U dV dV n U dADt t t

    (2.12)

    Particularmente no caso em que d d

    dm dV

    ( ) ( ) ( )V t V t V tD D D D D

    dV U dV U dVDt Dt Dt Dt Dt

    Como o termo entre parnteses nulo pela equao de continuidade

    V V

    D DdV dV

    Dt Dt

    (2.13)

    Demonstrao de que

    DJ

    J UDt

    Figura 2.4 Trajetria de um volume mvel

    1 1 2 2 3 3r x e x e x e ; 1 1 2 2 3 3R e e e

  • 23

    0

    c

    c

    dVJ

    dV ou

    1 1 1

    1 2 3

    2 2 2

    1 2 3

    3 3 3

    1 2 3

    x x x

    x x xJ

    x x x

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    2 2 2 2 2 2 2 2 2

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    3 3 3 3 3 3 3 3 3

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    u u u x x x x x x

    x x x u u u x x xDJ

    Dt

    x x x x x x u u u

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 2 3

    3 3 3 3 3 3 3 3

    1 2 3 1 2 3 3 1

    u x u x u x x x x x x x

    x x x

    x x x u x u x u x x x xDJ

    Dt x x x

    x x x x x x u x

    x

    3 3 3 3

    3 2 3 3

    u x u x

    x x

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    31 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

    3 3 3 3 3 3 3 3 3

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    x x x x x x x x x

    uu x x x u x x x x x xDJ

    Dt x x x

    x x x x x x x x x

    1 1 1

    1 2 3

    31 2 2 2 2

    1 2 3 1 2 3

    3 3 3

    1 2 3

    x x x

    uu u x x xDJ

    Dt x x x

    x x x

    DJJ U

    Dt

    1 2 3

    ji kijk

    xx xJ

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    j j ji k i k i kijk ijk ijk

    x u xu x x x x uDJ

    Dt

  • 24

    1 2 3 1 2 3 1 2 3

    j j j ji i k i k k i kijk ijk ijk

    i j k

    x u x xu x x x x u x xDJ

    Dt x x x

    31 2

    1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

    j j ji k i k i kijk ijk ijk

    x x xx x x x u x xu uDJ

    Dt x x x

    31 2

    1 2 3 1 2 3

    ji kijk

    xu x xu uDJ

    Dt x x x

    DJJ U

    Dt

  • 25

    3. Cinemtica dos Fluidos

    Cinemtica o ramo da mecnica que trata de quantidades envolvendo apenas espao

    e tempo. Ela trata de deslocamentos, velocidade, acelerao, deformao e rotao de

    elementos fluidos sem se preocupar com as foras que do origem a tais movimentos.

    Cinemtica, portanto, descreve, essencialmente, a aparncia do movimento.

    3.1 Descrio Lagrangeana e Euleriana

    Dois mtodos de abordagem dos movimentos so geralmente usados: a descrio

    lagrangeana e a descrio euleriana. Na descrio lagrangeana uma partcula seguida ao

    longo de sua trajetria e a posio de uma partcula obtida em funo da posio inicial 0r

    quando 0t

    0 ,r r r t (3.1)

    Na descrio lagrangeana, a velocidade e acelerao da partcula so obtidas

    imediatamente como

    0r

    drU

    dt e

    0

    2

    2

    r

    d r dUa

    dt dt (3.2)

    Na descrio euleriana, uma varivel definida em funo de 1 2 3, ,r r x x x , uma

    posio fixa no espao. A variao de uma grandeza ,F F r t pode ser obtida na forma

    , ,i

    i

    F r t F r tdF dt dx

    t x

    (3.3)

    Nesta metodologia, as variaes de ix e t no so independentes, mas esto

    relacionados por i idx u dt , em que iu representa o componente de velocidade. Portanto,

    , ,i

    i

    F r t F r tdFu

    dt t x

    (3.4)

  • 26

    Em mecnica dos fluidos, para enfatizar que a derivada em relao ao tempo

    realizada quando se segue a partcula, uma notao especial para a derivada usada DF

    Dt

    , ,i

    i

    F r t F r tDFu

    Dt t x

    (3.5)

    a qual denominada de derivada material ou derivada substantiva, devido o uso de um

    conceito lagrangeano na descrio euleriana. Pode-se mostrar que

    ,F r tDFU F

    Dt t

    (3.6)

    3.2 Linhas de corrente, trajetria e linhas de emisso (streamlines, pathlines e

    streaklines)

    Linhas de corrente so linhas em qualquer posio do campo de escoamento paralelas

    ao vetor velocidade. Se um vetor diferencial kdx paralelo ao vetor velocidade ju ento o

    produto vetorial entre os dois ser nulo

    0ijk j ku dx ou 0U dr (3.7)

    O que possibilita a determinao da equao da linha de corrente ou funo de corrente. Desta

    forma

    31 2

    1 2 3

    dxdx dx

    u u u (3.8)

    Para um instante de tempo fixo, 0t t , pode-se escrever as equaes numa forma

    paramtrica

    31 2

    1 1 2 3 0 2 1 2 3 0 3 1 2 3 0, , , , , , , , ,

    dxdx dxd

    u x x x t t u x x x t t u x x x t t

  • 27

    31 21 1 2 3 0 2 1 2 3 0 3 1 2 3 0, , , ; , , , ; , , ,dxdx dx

    u x x x t t u x x x t t u x x x t td d d

    (3.9)

    1 1,0 2 2,0 3 3,00 ; 0 ; 0x x x x x x (3.10)

    Assim a soluo ser da forma

    1 0 1,0 2 0 2,0 3 0 3,0, , ; , , ; , ,x t x x t x x t x (3.11)

    nas quais o parmetro pode variar sobre qualquer intervalo que se deseja. A eliminao do

    parmetro entre as solues permite encontrar a equao da funo de corrente.

    A trajetria pode ser obtida a partir das equaes

    31 21 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3, , , ; , , , ; , , ,dxdx dx

    u x x x t u x x x t u x x x tdt dt dt

    (3.12)

    1 0 1,0 2 0 2,0 3 0 3,0; ;x t t x x t t x x t t x (3.13)

    A soluo da trajetria ser da forma

    1 1,0 2 2,0 3 3,0, ; , ; ,x t x x t x x t x (3.14)

    Uma linha de emisso o local das partculas que passaram por algum ponto particular

    no instante t t . Desta forma a linha de emisso pode ser obtida de

    31 21 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3, , , ; , , , ; , , ,dxdx dx

    u x x x t u x x x t u x x x tdt dt dt

    (3.15)

    1 1,0 2 2,0 3 3,0 ; ;x t t x x t t x x t t x (3.16)

    cuja soluo da forma

    1 1,0 2 2,0 3 3,0 , , ; , , ; , ,x t x t x t x t x t x t (3.17)

  • 28

    Para um dado tempo fixo t e posio de interesse 1,0 2,0 3,0; ;x x x , a forma paramtrica das

    linhas de emisso

    1 2 3 ; ;x t x t x t (3.18)

    3.3 Decomposio cinemtica do movimento

    Movimento de fluido = translao+rotao+deformao volumtrica+deformao por

    cisalhamento

    Movimento de translao representado pelo vetor velocidade iU . O gradiente do vetor

    velocidade pode ser representado simbolicamente como

    j

    j i

    i

    UdU dx

    x

    (3.19)

    que pode ser decomposto nas seguintes partes

    s r

    j j i j idU dU dx dU dx (3.20)

    na qual sjdU um tensor simtrico e representa deformao volumtrica e por cisalhamento e

    r

    jdU um tensor antissimtrico e representa rotao de corpo rgido de uma partcula em

    relao a outra.

    Rotao de corpo slido:

    A vorticidade definida como

    U ou j

    k kij

    i

    U

    x

    (3.21)

    com j

    i

    U

    x

    sendo os componentes do tensor gradiente de velocidade, que pode ser decomposto

    na soma de um tensor simtrico e um antissimtrico como a seguir

  • 29

    1 1

    2 2

    j j ji iij ij

    i i j i j

    U U UU UD

    x x x x x

    (3.22)

    O tensor alternante antissimtrico, portanto seu produto pela tensor taxa de deformao ijD ,

    kij ijD nulo, ento,

    k kij ij U (3.23)

    Pode-se demonstrar ainda que o vetor dual associado com a parte antissimtrica do gradiente

    de velocidade

    1 1 1

    2 2 2k k kij ij U (3.24)

    Pode-se demonstrar tambm por expanso da Eq. (3.24) que

    1

    2ij kij k kij k (3.25)

    e, portanto,

    1

    2

    2

    2

    1

    2

    rotao de corpo rgido de uma partcula em relao a outra

    r

    j i kij k

    kkij i

    kjki i

    dU dx

    dx

    dx

    dr

    dr

    (3.26)

    Deformao extensional e por cisalhamento:

    Uma deformao extensional ou de volume ilustrada na Figura 3.1 a seguir. A

    mudana de comprimento por unidade de comprimento pode ser definida como

    11

    1 11 1 1

    1 1 1

    1 1

    1 1

    D x A B AB

    x Dt dt AB

    u ux x dt x

    dt x x x

  • 30

    Generalizando a taxa de deformao linear numa dada direo u

    x

    . A taxa de

    deformao volumtrica por unidade de volume , portanto, da forma

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    31 2

    1 2 3

    1 1

    1 1 1

    i

    i

    D V D x x x

    V Dt x x x Dt

    D x D x D x

    x Dt x Dt x Dt

    u uu uU

    x x x x

    (3.27)

    Figura 3.1 Deformao linear

    O efeito de cisalhamento mostrado na deformao da Figura 3.2 a seguir. Neste caso

    a deformao representa pelos ngulos d e d . A taxa total de deformao angular

    1 22 1

    1 2 2 1

    1 2

    2 1

    1 1 1u ud dx dt x dt

    dt dt x x x x

    u u

    x x

    Uma inspeo da taxa de deformao extensional e cisalhante sugere que o tensor taxa de

    deformao da forma

    1

    2

    j iij

    i j

    u uD

    x x

    (3.28)

  • 31

    Figura 3.2 Deformao angular

  • 32

    4. Equaes governantes de escoamentos de fluidos

    4.1 Equao de quantidade de movimento Momentum linear

    A segunda lei de Newton estabelece que a fora resultante sobre um sistema igual a

    variao de quantidade de movimento do sistema. Ou seja,

    b sV V

    D DUU dV dV F F

    Dt Dt (4.1)

    na qual as foras de campo e de superfcie so definidas por

    bV

    F g dV e s A AF npdA n dA (4.2)

    Desta forma,

    V V A A

    DUdV g dV npdA n dA

    Dt

    e usando o GDT

    V V V V

    DUdV g dV pdV dV

    Dt

    DUg p

    Dt ou (4.3)

    UU U g p

    t

    (4.4)

    na qual p representa o campo de presso e o tensor das tenses viscosas atuando sobre o

    elemento de fluido. Usando o princpio de conservao da massa a equao de quantidade de

    movimento pode ser reescrita como

    0U

    U U U U g pt t

  • 33

    UU U g p

    t

    (4.5)

    No caso em que o campo de velocidade nulo tem-se a equao da esttica dos fluidos

    0hg p (4.6)

    No caso em que o fluido ideal tem-se as equaes de Euler

    UU U g p

    t

    (4.5b)

    No caso de escoamentos, a presso composta de presso esttica mais a presso dinmica,

    ou seja,

    hp p P , (4.7)

    portanto

    hp p P ; h hg p p p P P . (4.8)

    Desta forma o termo de fora de gravidade pode ser omitido na equao de quantidade de

    movimento, e neste caso sobrevive o gradiente da presso dinmica naquela equao

    UU U P

    t

    (4.9)

    4.2 Equao do momento da quantidade de movimento Momentum angular

    O momentum angular definido como V

    H r U dV . Comparando com a

    equao TTR: ( ) ( ) ( )V t V t A tD

    dV dV n U dADt t

    , observa-se que r U .

    O torque aplicado sobre o sistema igual a variao do momentum angular ou seja

    V A

    r UDHdV n U r U dA T

    Dt t

    (4.10)

    extV A

    T r g dV r n dA T (4.11)

  • 34

    Pelo uso de identidades vetoriais e do GDT e supondo que o torque externo seja n

    ext

    V A V A

    r UdV n Ur U dA r g dV r n dA T

    t

    T

    V A V A A

    r UdV n r U U dA r g dV n r dA n dA

    t

    Tr Ur U U r g r

    t

    (4.12)

    j k p j k j pk kiijk ijk ijk j k ijk

    p p k

    r U U r U rr g

    t x x x

    p k j pk j jk kiijk j k k p k pk

    p p p k

    U U r r rUr g U U U

    t x x t x x

    O termo entre colchetes a equao de quantidade de movimento e, portanto, nulo.

    Considerando que o vetor posio no depende do tempo e que j

    jp

    p

    r

    x

    ; resulta

    kiijk p k pk jpk

    U Ux

    kiijk j k jkk

    U Ux

    kiijk j k jkk

    U Ux

    ijk j kU U nulo pelo fato de j kU U ser um tensor simtrico. Assim pode-se reescrever

    1 1

    2 2

    kiijk jk kj jk kj

    kx

    Tambm 1

    2ijk jk kj nulo por ser o produto entre um tensor antissimtrico e outro

    simtrico. Resulta, ento,

    1

    2

    kiijk jk kj

    kx

    No caso em que o fluxo lquido de momento angular seja nulo

    kj jk

  • 35

    4.3 Equao de energia mecnica

    Multiplicando escalarmente a equao de momentum por U e usando a conservao

    da massa obtm a equao de energia mecnica

    UU U U g p

    t

    Chega-se a

    / 2/ 2

    U UU U U g U U p U

    t

    (4.13)

    / 2D U Ug U U p U

    Dt (4.14)

    cDe g U U p UDt

    (4.15)

    4.4 Equao de energia

    Pelo princpio de conservao de energia

    V V

    D Dee dV dV Q W

    Dt Dt (4.16)

    na qual a taxa de calor composta pela gerao volumtrica mais a troca na superfcie

    V sV A

    Q q dV n q dA (4.17)

    E a taxa de trabalho infinitesimal

    W F U gdV U n UdA

    E a taxa total de trabalho ser

    V AW gdV U n UdA (4.18)

    Considerando que a energia total seja a soma das energias interna e cintica, resulta

    i cV s

    V V A V A

    De DedV q dV n q dA g U dV n UdA

    Dt Dt

    (4.19)

    ou aps o uso do GDT

  • 36

    i c V sDe De

    q q g U UDt Dt

    (4.20)

    e aps subtrair a Eq. (4.15) da Eq. (4.20) obtm-se a equao de energia trmica

    i cV sDe De

    q q g U pU UDt Dt

    i V sDe

    q q g U pU U g U U p UDt

    i V sDe

    q q p U U UDt

    :Ti V sDe

    q q p U UDt

    (4.21)

    A equao de energia tambm pode ser escrita na varivel entalpia. Sabe-se que

    /ie h p , portanto,

    2

    1iDe Dh Dp p D

    Dt Dt Dt Dt

    ou i

    De Dh Dp p D

    Dt Dt Dt Dt

    Mas pela equao de continuidade 1 D

    UDt

    . Assim

    iDe Dh Dp p UDt Dt Dt

    que substitudo em (4.21) resulta

    :TV sDh Dp

    q q UDt Dt

    (4.22)

    Em mais uma alternativa, a equao de energia pode ser reescrita como

    :Ti V sDe

    p U q q UDt

    :Ti V sDe p D

    q q UDt Dt

    :Ti V sDe Dv

    p q q UDt Dt

    (4.23)

    Das equaes de estado

    iTds de pdv ou iDeDs DvT p

    Dt Dt Dt

  • 37

    assim,

    :TV sDs

    T q q UDt

    (4.24)

    e verificando que

    2

    q q q T

    T T T

    ou q q T

    q TT T

    chega-se na importante equao que mostra que a variao de entropia devido a troca de

    calor e efeitos de dissipao viscosa

    :TV

    irreversivelreversivel

    Ds q q TT T q U

    Dt T T

    (4.25)

    em que o termo rotulado como irreversvel pode ser verificado ser sempre positivo.

    Tomando ,h h T p e diferenciando obtm-se p T

    h hdh dT dp

    T p

    . Mas

    p

    p

    hc

    T

    e 1

    pT T

    h s vT v T v Tv v T v

    p p T

    . Portanto,

    1pdh c dT T vdp . Consequentemente, pode-se escrever que

    1

    1pDh DT Dp

    c TDt Dt Dt

    ou 1pDh DT Dp

    c TDt Dt Dt

    ; que substitudo em (4.22)

    resulta

    :Tp V sDT Dp

    c q q T UDt Dt

    (4.26)

    Em resumo tem-se o seguinte conjunto de equaes:

    Continuidade: / 0t U ou / 0D Dt U (4.27)

    Momentum: /U t U U g p ou /DU Dt g p (4.28)

    Energia Interna: / :Ti V sDe Dt q q p U U (4.29)

    Entalpia: / :TV sDp

    Dh Dt q q UDt

    (4.30)

    Temperatura, opo 1: / / :Tp V sc DT Dt q q TDp Dt U (4.31)

    Temperatura, opo 2: / / :Tv V s vc DT Dt q q T p T U U (4.32)

    Equao de estado: 1/ / / /D Dt Dp Dt DT Dt (4.33)

  • 38

    1/ / ; 1/ /T p

    p T

    Em notao tensorial tem-se

    Continuidade:

    / 0i

    i

    Ut

    x

    ou / 0i

    i

    UD Dt

    x

    (4.34)

    Momentum: / / / /i j i j i i ji jU t U U x g p x x ou

    / / /i i i ji jDU Dt g p x x (4.35)

    Energia Interna: ,/ / / /i V s j j j j ij i jDe Dt q q x p U x U x (4.36)

    Entalpia: ,/ / /V s j j ij i jDp

    Dh Dt q q x U xDt

    (4.37)

    Temperatura, opo 1: ,/ / / /p V s j j ij i jc DT Dt q q x TDp Dt U x (4.38)

    Temperatura, opo 2: ,s j j i

    v V ij

    j j jv

    q U UDT pc q T

    Dt x T x x

    (4.39)

    Equao de estado: 1/ / / /D Dt Dp Dt DT Dt (4.40)

    Nas equaes acima, a derivada material definida como

    j

    j

    DU

    Dt t x

    (4.41)

    2 1

    3 2

    j j ji i k i iij ij

    j j i k j i j i

    U U UU U U U U

    x x x x x x x x

    (4.42)

    2

    22

    3

    iij ij

    i

    UD D

    x

    (4.43)

    4.5 Equaes em variveis adimensionais

    Em solues numricas pode ser vantajoso trabalhar com equaes em variveis

    adimensionais, principalmente, devido dificuldade de se obter propriedades para muitos

    fluidos. Portanto se define as seguintes variveis adimensionais

  • 39

    * * * *

    0 0 0

    * * * *

    0 0 0 0

    * *

    0

    * 2 * ** 2

    0 0 0 0 0 0

    *

    ** ** *

    3 3 *

    0 0

    / , / , / , /

    / , / , / , /

    / , /

    / , / , /

    ,

    i i i i

    p p p

    i i

    r i i

    jVV ji

    o i

    x x L t tu L U U u

    c c c

    k k k g g g

    p p p u T T T T e e u

    Uq L Lq

    u u x

    *2* * *

    2 *

    0 0 0

    ,jV

    V ji

    p r o i

    Uq L Lq

    c T u u x

    * * *,** * * *0 0

    , 3 3 * 2 * *00 0 0 0

    0

    1 1

    Re Pr

    po rs i rs i

    oo o i po i c i

    c Tq k kT T T Tq k k k

    u Lu u L x c u x E x

    * * *,* * * *0 0

    , * * *00 0 0 0 0

    0

    1 1

    Re Pr

    s i rs i

    oo p r o p r i po i i

    q k kT T T Tq k k k

    u Lc T u c T u L x c x x

    Substituindo as variveis adimensionais nas equaes (4.34) a (4.40) resulta

    Continuidade: * *

    * *

    */ 0

    i

    i

    Ut

    x

    ou

    ** * *

    */ 0i

    i

    UD Dt

    x

    (4.34)

    Momentum: * * * * * * * * * 2 * * * */ / / /i j i j i i ji jU t U U x g Fr p x x ou

    * * * * * 2 * * * */ / /i i i ji jDU Dt g Fr p x x (4.35)

    * * ***

    2 * * *

    0 0

    2

    Re 3

    ji j i kji ij

    i j k

    U U U

    u x x x

    Energia Interna: * ** * * ** ** * * * * **0, 20 0

    / / /i V s j j j jp

    De Dt q q x p U xu

    (4.36)

    Entalpia: ,/ / /V s j j ij i jDp

    Dh Dt q q x U xDt

    (4.37)

    Temperatura, opo 1:

    * 2 2* *,* * * * * *0 0

    0 0* * *

    0 0 0 0 0 0

    s j

    p V

    j p r p p r

    q u uDT Dp Lc q T T

    Dt x c T c T Dt c T u

    (4.38)

    2 22 0 0 0 0

    2

    0 0

    a

    u uM

    a

    ;

    2 2

    0 0

    0 0

    a

    p

    u M

    c T A

    ;

    0 0 0 0pA c T ; 0 0B T ; 2

    0

    0p r

    uEc

    c T

    * 2* *,* * * * * * *0

    * * * Re

    s j ap V

    j

    q MDT Dp Ecc q B Ec T

    Dt x A Dt

    (4.38)

  • 40

    Temperatura, opo 2: ,s j j i

    v V ij

    j j jv

    q U UDT pc q T

    Dt x T x x

    (4.39)

    Equao de estado: 1/ / / /D Dt Dp Dt DT Dt (4.40)

  • 41

    5. Solues Exatas das Equaes de Navier-Stokes

    Neste item so apresentados alguns problemas clssicos de escoamentos em que

    devido as simplificaes, as equaes de Navier-Stokes tm solues analticas.

    5.1 Escoamento completamente desenvolvido num tubo escoamento de Hagen-

    Poiseuille

    Escoamento viscoso num duto circular talvez seja o mais clebre, primeiramente

    estudado por Hagen (1839) e Poiseuille (1840). Por escoamento completamente desenvolvido

    hidrodinamicamente, quer se dizer que a velocidade axial no tubo funo apenas da

    coordenada radial e com simetria axial, 0ru u ; / 0zu z e p p z . Com estas

    hipteses a equao de quantidade de movimento na direo z (coordenada axial) fica

    simplificada na forma:

    ( )1 1 ( )0z

    du rd dp zr

    r dr dr dz

    (5.1)

    com as seguintes condies de contorno:

    ( )0; 0z

    du rr

    dr (5.2a)

    ( ) 0;z wu r r r (5.2b)

    A soluo da Eq. (5.1) com as condies de contorno (5.2a, b) da forma:

    2 2/

    ( )4

    z w

    dp dzu r r r

    (5.3)

    A velocidade mdia do escoamento pode ser definida como

    0

    1( )2

    wr

    z

    c

    U u r rdrA

    Resolvendo a integral se obtm

  • 42

    2 /

    8

    wr dp dzU

    (5.4)

    Dividindo (5.3) por (5.4) resulta

    2

    ( )2 1z

    w

    u r r

    U r

    (5.5)

    A vazo atravs do tubo

    4 /

    8

    wc

    r dp dzQ UA

    (5.6)

    A tenso de cisalhamento na parede pode calculada como

    /( ) 4

    2w

    wzw

    wr r

    r dp dzdu r U

    dr r

    (5.7)

    Costuma-se definir um fator de atrito para estimar a perda de presso atravs do tubo.

    O fator de atrito de Fanning definido como

    2 / 2

    wfU

    (5.8)

    A partir das Eqs. (5.7) e (5.8) pode-se obter

    2 22

    0

    1 1 1( ) 4

    2 2D

    w

    U Up p z f z U f z f z

    r D D

    (5.9)

    em 4Df f conhecido como fator de atrito de Darcy. Tambm a partir da segunda Eq.

    (5.7) e Eq. (5.8) pode-se demonstrar que para escoamentos laminares que

    16

    ReDf ; (5.10)

    em que ReDUD

    o nmero de Reynolds do escoamento.

    5.2 Escoamento completamente desenvolvido num canal de placas paralelas

  • 43

    Bibliografia

    Aris, R. (1962). Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Prentice-Hall

    international series in the physical and chemical engineering sciences. Englewood Cliffs,

    N.J. Prentice-Hall, 286 p.

    Bird, R. B., Stewart, W. E., Lightfoot, E. N. (1960). Transport Phenomena, John Wiley &

    Sons, New York, 780 p.

    Brodkey, R. S. (1967). The Phenomena of Fluid Motions. Dover Publications , Inc, New

    York, 737 p.

    Sherman, F. S. (1990). Viscous Flow, McGraw-Hill Publisihng Company, New York, 746 p.

    White, F. M. (2005). Viscous Fluid Flow, Third Edition, Mc Graw-Hill Inc., New York.

  • 44

    Apndice A Divergente de um tensor e acelerao convectiva em coordenadas cartesianas e cilndricas

    Neste Apndice se demonstra a partir da Eq. (156) a forma do divergente do tensor das

    tenses em coordenadas cartesianas e cilndricas. No caso do tensor das tenses em

    escoamentos de fluidos, tem-se:

    Coordenadas cartesianas

    2

    2

    yx x xzxx xy xz

    y yzyy yz

    z

    UU U UU; ;

    x x y x z

    U UU ;

    y y z

    2 zzU

    z

    (A.1)

    xy yxyyyz zyxx xz zx zzi j kxyzxyzxyz

    (A.2)

    2

    2

    yx x xz

    y y yx z

    UU U UUi

    x x y x y z x z

    U U UU Uj

    x x y y y z y z

    Uk

    x

    2yxz z z

    UU U U

    x z y y z z z

    (A.3)

  • 45

    x x x

    yx z

    y y y

    x

    U U U

    x x y y z zi

    UU U

    x x y x z x

    U U U

    x x y y z zj

    U

    x y y

    y z

    z z z

    yx z

    U U

    y z y

    U U U

    x x y y z zk

    UU U

    x z y z z z

    (A.4)

    Para viscosidade constante e com a equao de continuidade resulta:

    2 2 2

    x y zi U j U k U (A.5)

    com 2 2 2 2 2 2 2/ / /x y z .

    Coordenadas cilndricas

    2

    2

    r r z rrr r rz

    r zz

    UU U U U; r ;

    r r r r r z

    U UU U ;

    r r r z

    2 zzzU

    z

    (A.6)

    2

    2

    1 1

    1

    rrr r zrzr

    zr z zzz

    rre er r r z r r r r z

    rer r r z

    (A.7)

  • 46

    2

    2

    12

    12

    12

    r r

    r

    z r r

    r

    UU Ur r

    r r r r r r re

    UU U U

    z r z r r r

    U UUr r

    r r r r r r re

    12

    r

    z

    z r z zz

    U

    r

    UU

    z r z

    UU U U Ue r

    r r r z r r z z z

    (A.8)

    2 2

    1

    1

    2 2

    1

    r r r

    r zr

    r

    U U Ur

    r r r r r z z

    UU Ue r r

    r r r r r r z r

    U U

    r r

    U Ur

    r r r r re

    2

    2

    1 12

    1

    1

    r z

    z z z

    z

    r

    U

    z z

    U U UU Ur

    r r r r r r r r z r

    U U Ur

    r r r r r z ze

    Ur

    r r z r

    zU U

    z z z

    (A.9)

    Para viscosidade constante e com a equao de continuidade em coordenadas

    cilndricas tem-se

    2 2

    2 2 2 2 2

    2 2

    2 2 2 2 2

    2 2

    2 2 2

    12

    12

    1

    r r r rr

    r

    z z zz

    UU U U Ue r

    rr r r z r r

    U U U UUe r

    rr r r z r r

    U U Ue r

    rr r r z

    (A.10)

  • 47

    ou englobando os termos 2

    rU

    r e

    2

    U

    r

    nas derivadas, pode-se reescrever

    2 2

    2 2 2 2

    2 2

    2 2 2 2

    2 2

    2 2 2

    12

    12

    1

    r r rr

    r

    z z zz

    rU UU Ue

    r r r r z r

    rU U U Ue

    r r r r z r

    U U Ue r

    r r r r z

    (A.11)

    A acelerao convectiva em coordenadas curvilneas ortogonais pode ser calculada

    pela Eq. (1.57), a qual resulta:

    em coordenadas cartesianas:

    u u u v v v w w wU U i u v w j u v w k u v w

    x y z x y z x y z

    (A.12)

    em coordenadas cilndricas:

    r r rr r z r r z

    z z zz r z

    u u u u uu u uU U e u u u e u u u

    r r z r r z

    uu u ue u u

    r r z

    (A.13)

    A partir da Eq. (1.52b) pode-se obter, por exemplo, em coordenadas cilndricas

    2 22

    2 2 2

    1 1r

    r r r r z

    (A.14)

    Aplicado num vetor r r z zu u e u e u e

    22

    2 2

    2

    2

    1 1r r z z r r z z

    r r z z

    u r u e u e u e u e u e u er r r r

    u e u e u ez

    +

    (A.15)

  • 48

    2

    2

    1

    1

    r r z zr r z z

    r r z zr r z z

    r rr r

    u eu e u eu r e u e u e u

    r r r r r r r r

    u eu e u ee u e u e u

    r

    u eu ee u e u

    z z z z z

    + z zz zu e

    e uz z

    (A.16)

    2

    2

    1

    1

    r zr z

    r zr r r z

    r zr z

    uu uu r e e e

    r r r r r

    uu ue u e e u e e

    r

    uu ue e e

    z z z z

    +

    (A.17)

    2

    22

    2 2 2 2 2 2 2

    2

    2 2 2 2 2

    1 1 1

    1 1 1 1

    1 1 1

    r zr z

    r r r r rr

    r zr

    uu uu r e r e r e

    r r r r r r r r r

    e uu u e u ue e e

    r r r r r

    u e u u e ue e

    r r r r

    +

    22 2

    2 2 2

    z

    r zr z

    uu ue e e

    z z z

    +

    (A.18)

    2

    22

    2 2 2 2 2 2 2

    2

    2 2 2 2 2

    2

    1 1 1

    1 1 1 1

    1 1 1

    r zr z

    r r r rr r

    zr r z

    uu uu r e r e r e

    r r r r r r r r r

    uu u u ue e e e e

    r r r r r

    u u u ue e e e

    r r r r

    -

    +2 2

    2 2 2

    r zr z

    uu ue e e

    z z z

    (A.19)

    2 22

    2 2 2 2 2

    2 2

    2 2 2 2 2

    2 2

    2 2 2

    1 1 2

    1 1 2

    1 1

    r r r rr r r r r

    r

    z z zz z z

    uu u u uu r e e e e e

    r r r r r r z

    u u u uur e e e e e

    r r r r r r z

    u u ur e e e

    r r r r z

    - +

    (A.20)

  • 49

    2 22

    2 2 2 2

    2 2

    2 2 2 2

    2 2

    2 2 2

    1 1 2

    1 1 2

    1 1

    r r rr

    r

    z z zz

    ru uu uu e

    r r r r r z

    ru u uue

    r r r r r z

    u u ur e

    r r r r z

    - +

    (A.21)

    Para obter as equaes em coordenadas esfricas, veja alguma das referncias.

  • 50

    Apndice B Cinemtica do Movimento Local de Fluidos

    Ponto de Vista Lagrangeano

    Na abordagem de movimento lagrangeana, est implcito seguir a partcula em sua

    trajetria quando ela move atravs do escoamento. Cada partcula material identificada por

    sua posio inicial 0

    ix . As variveis independentes, no caso desta abordagem, so a posio

    inicial e o tempo, de modo que a trajetria da partcula pode ser expressa como

    0 ,i i ir r x t (B.1) A velocidade e acelerao da partcula so definidas por

    i

    i

    ru

    t

    e 2

    2i

    i

    ra

    t

    (B.2)

    Ponto de Vista Euleriano

    Na abordagem euleriana se fixa um ponto ix no espao enquanto o tempo passa.

    Todas propriedades do escoamento como ir , iu so funes de ix e tempo t. O vetor posio

    de uma partcula em variveis eulerianas simplesmente

    i ir x (B.3)

    Para se relacionar as variveis usando as duas abordagens deve-se considerar

    partculas que no mesmo instante de tempo estejam na mesma posio, ou seja

    0 ,

    i i ix r x t

    t t

    (B.4)

    Derivada Substancial

    Seja F uma propriedade do escoamento em considerao. F pode ser expressa em

    variveis lagrangeanas pela funo 0 ,L iF x t , ou em variveis eulerianas pela funo

    ,E iF x t , isto ,

    0 ,L iF F x t (B.5a)

    ,E iF F x t (B.5b)

    A igualdade destas funes faz sentido apenas se for substituda na transformao

    (B.4):

    0 0 , , ,L i E i i iF F x t F x r x t t t (B.6) Agora, a taxa de mudana de F quando seguimos a partcula encontrada da regra da

    cadeia

    iL E E

    i

    xF F F t

    t x t t t

    (B.7)

    Mas como i

    i

    xu

    t

    , tem-se

  • 51

    L E E

    i

    i

    F F Fu

    t t x

    (B.8)

    A derivada do lado esquerdo da Eq. (B.8), devido ao fato de estar implcito ter que

    seguir a partcula expressa como

    D

    t Dt

    . Assim, pode-se escrever

    i

    i

    Du

    Dt t x

    (B.9a)

    Ou em notao simblica

    DU

    Dt t

    (B.9b)

    O primeiro termo do lado direito da equao (B.9) chamado taxa de mudana local

    porque ele se anula a menos que F esteja variando com o tempo em dado ponto local fixo. O

    segundo termo chamado mudana convectiva em F. Ele se anula a menos que existam

    gradientes espaciais em F, isto , F tenha valores diferentes na vizinhana. Este valor

    diferente convectado (ou advectado) para dentro do ponto pela velocidade do escoamento

    iu .

    Um exemplo de aplicao da derivada substancial em dado a seguir. Em variveis

    eulerianas j jr x , da

    = 0+

    j j j

    i

    i

    i ij

    j

    j

    Dr r ru

    Dt t x

    u

    Dru

    Dt

    (B.10)

    que consistente com a definio de velocidade.

    Um segundo exemplo a acelerao de uma partcula fluida. Ela dada por

    j j j

    i

    i

    Du u uu

    Dt t x

    (B.11)

  • 52

    Apndice C Equaes do movimento para um volume arbitrrio com fronteira mvel

    C.1 Teorema de Leibnitz

    Integrais que envolvem um parmetro frequentemente ocorrem em mecnica dos

    fluidos. Em muitos casos o tempo desempenha o papel de um parmetro e as integrais so da

    forma

    ...

    ,ij iR t

    I t T x t dV (C.1)

    Na Eq. (C.1), ...ijT representa qualquer grandeza escalar, vetorial ou tensorial de

    interesse. O tempo no muda apenas o integrando, mas tambm a regio de integrao R(t)

    pode estar movendo-se. Seja w a velocidade da superfcie de R(t). Alm de transladar, a

    superfcie pode expandir ou contrair. A velocidade wi qualquer funo prescrita da posio

    na superfcie. O teorema de Leibnitz nos permite encontrar /dI t dt numa maneira

    conveniente. O teorema

    ...

    ... ...

    ,, ,

    ij i

    ij i k k ij iR t R t S t

    T x tdI t dT x t dV dV n w T x t dS

    dt dt t

    (C.2)

    A Equao (C.2) estabelece que se pode mover a derivada em relao ao tempo para dentro da

    integral se for adicionada a integral de superfcie para compensar o efeito de movimento do

    contorno. A integral de superfcie representa o quo rpido a grandeza est entrando na regio

    R(t) devido a velocidade wi da superfcie. Se o contorno no se move, ento wi=0 e o teorema

    meramente diz que permissvel trocar a ordem de diferenciao e integrao.

    Como um exemplo especfico considere ...ijT como uma funo escalar constante igual

    a um 1ijT . A integral do lado esquerdo de (C.2) o volume da regio. A derivada em

    relao ao tempo na integral do lado direito ser nula, ento resultar

    Rk k

    R t S t

    dV ddV n w dS

    dt dt (C.3)

    A taxa de mudana do volume de uma regio a integral da componente de

    velocidade normal da superfcie sobre a regio.

    A verso unidimensional do teorema de Leibnitiz tambm muito til:

    ,, , ,

    x b t x b t

    x a t x a t

    f x td db daf x t dx dx f x b t f x a t

    dt t dt dt

    (C.4)

  • 53

    C.2 Equaes Integrais de Escoamentos

    Frequentemente estamos interessados em aplicar as leis bsicas para uma regio finita.

    Tais equaes so denominadas equaes globais, equaes gerais, ou simplesmente forma

    integral das equaes. Aqui as equaes sero estendidas para uma regio com movimento

    arbitrrio. O movimento da regio especificado por wi, escolhida arbitrariamente como a

    velocidade da superfcie.

    O ponto de partida da derivao a regra de Leibnitz para diferenciar uma integral que

    tem limites que dependem do tempo (Eq. C.2):

    i iAR AR AR

    d ffdV dV n w fdS

    dt t

    (C.5)

    C.2.1 Forma Integral da Equao de Continuidade

    Seja f ; resulta por substituio em (C.5)

    i iAR AR AR

    ddV dV n w dS

    dt t

    A equao de continuidade diferencial foi obtida como

    ii

    u

    t x

    ii i

    AR AR ARi

    uddV dV n w dS

    dt x

    (C.6)

    Pelo teorema de Gauss i

    i iAR AR

    i

    udV u n dS

    x

    i i iAR AR

    ddV u w n dS

    dt (C.7)

    A taxa de mudana de massa dentro da regio igual integral do escoamento de massa

    relativo ao contorno mvel. Os casos especiais de um sistema (regio material) ou de uma

    regio fixa so obtidos por escolher i iw u ou 0iw respectivamente.

    C.2.2 Forma Integral da Equao de Momentum

    Fazendo if u na Eq. (C.5) se obtm

  • 54

    ii j j i

    AR AR AR

    udu dV dV n w u dS

    dt t

    A partir da equao diferencial de momentum

    j i jiii

    j i j

    u uu pF

    t x x x

    j i jii i j j i

    AR AR ARj i j

    u ud pu dV F dV n w u dS

    dt x x x

    i j j i i j ji i j j iAR AR AR AR

    du dV n u u n p n dS FdV n w u dS

    dt

    i j j j i i j ji iAR AR AR

    du dV n u w u n p n dS F dV

    dt (C.8)

    A taxa de mudana de momentum dentro da regio igual a taxa em que momentum

    convectado para dentro da regio pelo escoamento relativo de massa mais a soma das foras

    de campo.

    De maneira similar pode-se obter a equao integral da energia total:

    2 21 1

    2 2i i i

    AR AR

    i i i i i ij j i iAR AR AR

    de u dV n u w e u dS

    dt

    n q dS n u p n u dS u FdV

    (C.9)

  • 55

    Apndice D Presso e Tenses Viscosas

    D.1 Relao entre presso mecnica e presso termodinmica

    A presso termodinmica pode ser obtida por uma equao de estado na forma:

    ,tp f e (D.1)

    Quando um fluido est esttico, se espera que a tenso normal seja a presso. Ser isto

    ainda verdadeiro quando o fluido move? Se isto no for verdadeiro, como a presso e tenso

    se diferem? Para responder est questo vamos considerar o tensor das tenses como a soma

    ij t ijp ij (D.2)

    Desta forma,

    11 11

    22 22

    33 33

    t

    t

    t

    p

    p

    p

    (D.3)

    Se define presso mecnica (a presso atuante num escoamento incompressvel) como

    11 22 331 1

    3 3m iip (D.4)

    Para um escoamento compressvel qual a diferena entre presso mecnica e a

    presso termodinmica? Numa primeira aproximao tem-se proposto que esta diferena

    uma funo linear da taxa de expanso. Quando a taxa de expanso nula, o fluido est tendo

    um comportamento como se ele fosse incompressvel. Neste sentido, a hiptese consistente.

    Matematicamente esta hiptese

    /m t i ik D

    p p k u xDt

    (D.5)

    O coeficiente k chamado viscosidade global (bulk viscosity). Para fluidos comuns k

    assumido quase sempre como aproximadamente nulo, e deste modo, m tp p e no h

    necessidade de se distinguir entre presso mecnica e termodinmica. Isto chamado de

    hiptese de Stokes.

    Pelas equaes (D.3) se tem

    11 22 33 11 22 331 1

    3 3tp

    ou

  • 56

    1

    3m t iip p

    Pela hiptese de Stokes

    1

    3t m iip p (D.6)

    D.2 Fluido Stokesiano

    Um fluido stokesiano representa uma larga classe de fluidos. Este fluido satisfaz as

    seguintes hipteses:

    I. O tensor das tenses ij uma funo contnua do tensor deformao

    1

    2

    j iij

    i j

    u ue

    x x

    e do estado termodinmico local, mas independente de

    outras quantidades cinemticas.

    II. O fluido homogneo, isto , ij no depende explicitamente de r .

    III. O fluido isotrpico, isto , no existe nenhuma direo preferencial.

    IV. Quando no existe nenhuma deformao ( 0ije ) a tenso hidrosttica,

    ij ijp .

    Para um fluido satisfazendo as hipteses I-IV, pode-se postular que

    ij ij ij ik kje e e (D.7)

    e, portanto

    ij ij ij ik kjp e e e (D.8)

    Se o fluido compressvel, a presso uma quantidade bem definia e dever ser

    tomada como p igual a esta presso. Ento, pela quarta hiptese, 0 quando 0ije . Se o

    fluido for incompressvel, a presso termodinmica no definida e presso tem ser tomada

    como uma das variveis dinmicas fundamentais. De qualquer modo, poderia se absorver

    na presso e escrever

    ij ij ij ik kjp e e e (D.9)

    D.3 Fluido Newtoniano

    Para um fluido newtoniano, pode-se demonstrar que

  • 57

    2kij ij ijk

    up e

    x

    (D.10)

    Para um fluido incompressvel pode-demonstrar que

    1 2

    3 3ii p (D.11)

    22 33 23 32 33 11 31 13 11 22 12 21e e e e e e e e e e e e

    Pode-se demonstrar para um fluido compressvel que

    1 2

    3 3

    kii

    k

    up

    x

    (D.12)

    Assim, pode-se chegar na seguinte relao

    2 2 1

    3 3

    dp p u

    dt

    (D.13)

    Pela hiptese de Stokes, p p . Resulta, ento

    20

    3 (D.14)

    ou

    2

    3 (D.15)

  • 58

    Apndice E Momentum angular simetria do tensor das tenses

    A equao de momentum angular foi apresentada no captulo 4, na forma:

    Tr Ur U U r g r

    t

    (4.12)

    As operaes vetoriais do lado esquerdo da equao so:

    ijk j k ir U r u e

    ijk j k ir U U U r u e

    ijk j k i ijk i j kr U U U r u e e Ur u

    l j k

    ijk i

    l

    u r ur U U e

    x

    Do lado direito da equao tem-se as operaes vetoriais:

    ijk j k ir g r g e

    j j kl k l ijk j kl i lr r e e e r e e

    T j lk

    ijk j lk l i ijk i

    l

    rr r e e e

    x

    kii

    k

    ex

    Desta forma a equao (4.12) pode ser reescrita como

    j k l j k j lk kiijk i ijk i ijk j k i ijk i i

    l l k

    r u u r u re e r g e e e

    t x x x

    (E.1)

    e aplicando o operador diferencial no segundo membro do lado esquerdo

  • 59

    j k j kl

    ijk ijk j k ljk i

    l l

    j lk kiijk j k ijk

    l k

    r u r uur u u

    t x x

    rr g

    x x

    (E.2)

    Derivando os demais termos resulta

    j jk l kijk j k ijk j l k

    l l

    jlk kiijk j k ijk j lk

    l l k

    r ru u ur u r u u

    t t x x

    rr g r

    x x x

    (E.3)

    Para uma dada posio fixada

    0jr

    t

    k l k lkijk j k ijk l k jl

    l l

    kiijk lk jl

    k

    u u ur g u u

    t x x

    x

    (E.4)

    O termo entre colchetes a equao de momentum, portanto,

    0

    k l k lkk

    l l

    u u ug

    t x x

    Resulta, ento,

    kiijk l k lk jlk

    u ux

    (E.5)

    ou

    kiijk j k jkk

    u ux

    (E.6)

    j ku u um tensor simtrico, logo seu produto pelo tensor antissimtrico ijk ser nulo

    0ijk j ku u (E.7)

    Reescrevendo o tensor jk como a soma de tensor simtrico mais outro antissimtrico tem-se

    1 1

    2 2jk jk kj jk kj (E.8)

    tambm

  • 60

    1

    02

    ijk jk kj (E.9)

    Substituindo (E.7), (E.8) e (E.9) em (E.6) resulta

    1

    2

    kiijk jk kj

    kx

    (E.10)

    No caso em que 0ki

    kx

    , o que ocorre em fluidos no polares, resulta a partir de (E.10) que

    jk kj (E.11)

    O que mostra que o tensor das tenses simtrico.

    Momentum angular ou momento de momentum outra forma de demonstrao

    O momentum angular definido como

    V

    H r UdV (E.12)

    A variao do momentum angular com o tempo igual ao momento resultante aplicado no

    sistema

    dHM

    dt (E.13)

    O momento ou torque tambm pode ser calculado como

    extV A

    M r fdV r tdA M (E.14)

    na qual o torque externo ser considerado na forma

    extA

    M n dA (E.15)

    Combinado as equaes (E.13), (E.14) e (E.15) resulta

    V V A A

    Dr UdV r fdV r tdA n dA

    Dt (E.16)

    ou,

    V V A A

    Dr UdV r fdV r n dA n dA

    Dt (E.17)

  • 61

    Efetuando as operaes vetoriais na equao (E.17) e usando a notao de ndices, se tem

    ijk j kr U r u

    ijk j kr f r f

    ijk jk

    r n r n

    k l lm m k l lkk

    n n e n e e n

    ijk j l lkr n r n

    ijk j k ijk j k ijk j l lk j jiV V A A

    Dr u dV r f dV r n dA n dA

    Dt (E.18)

    Pelo TTR, o membro esquerdo da equao (E.18) pode-se trocar a ordem da derivao e da

    integrao resultando

    ijk j k ijk j k l lV A

    ijk j k ijk j l lk j jiV A

    r u dV r u n u dAt

    r f dV r n n dA

    (E.19)

    Pela aplicao do teorema da divergncia ou GDT, resulta

    ijk j k ijk j k lV V

    l

    ji

    ijk j k ijk j lkV V V

    l j

    r u dV r u u dVt x

    r f dV r dV dVx x

    ijk j k ijk j k lV V

    l

    ji

    ijk j k ijk j lkV V V

    l j

    r u dV r u u dVt x

    r f dV r dV dVx x

    jiijk j k ijk j k l ijk j k ijk j lkl l j

    r u r u u r f rt x x x

    jiijk j k j k l j k j lkl l j

    r u r u u r f rt x x x

    (E.20)

  • 62

    Aplicando os operadores diferenciais aos produtos do lado esquerdo

    lkj k l k k

    jil l

    ijk

    jj j

    k k l lk

    l

    r u u u ft x x

    xr ru u u

    t x

    0

    0

    lkj k l k k

    l l ji

    ijk

    jj j

    k k l lk jl

    l

    r u u u ft x x

    xr ru u u

    t x

    Ento, resultar

    kiijk j k jkk

    u ux

    (E.21)

    1 1

    2 2

    kiijk j k ijk jk kj ijk jk kj

    k

    u ux

    (E.22)

    1

    0 02

    kiijk jk kj

    kx

    (E.23)

    Se 0ki

    1

    02

    ijk jk kj jk kj simetria na ausncia de torques esternos resultantes

    de foras magnticas ou de campo.

  • 63

    Apndice F Tensor taxa de deformao

    O tensor taxa de deformao (Apndice 2 Jean Taine & Jean-Pierre Petit Heat

    Transfer)

    Considere um ponto A de referncia (vetor posio xi) e um ponto mvel G (vetor

    posio xi+dxi).

    No instante t+dt, o ponto A, que tem uma velocidade vi no instante t, est na posio

    dada por:

    i i ix x v dt (F.1)

    enquanto o ponto G estar na posio dada pelo vetor:

    ii i i i i j

    j

    vx dx x dx v dt dx dt

    x

    (F.2)

    Na equao (F.2), i

    j

    v

    x

    um tensor de segunda ordem. A equao (F.2) pode ser

    transformada para:

    1 1

    2 2

    j ji ii i i i i j

    j i j i

    v vv vx dx x dx v dt dx dt

    x x x x

    (F.3)

    Neste resultado:

    idx representa o vetor posio inicial de G relativa A

    iv dt representa o vetor translao de A

    1

    2

    jij

    j i

    vvdx

    x x

    representa o vetor resultante do produto escalar da parte

    antissimtrica do tensor de segunda ordem ijr (definido a seguir, cujos elementos da diagonal

    so zeros) com o vetor posio inicial jdx . O tensor ijr dado por

    1

    2

    jiij

    j i

    vvr

    x x

    (F.4)

    chamado tensor taxa de rotao do sistema material. Podemos reconhecer os componentes

    de v em seus componentes, ele define rotao dada por um elemento material jdx do

    sistema na unidade de tempo

  • 64

    1

    2

    jij

    j i

    vvdx

    x x

    representa o vetor resultante do produto escalar da parte simtrica

    do tensor de segunda ordem ijd (definido a seguir) com o vetor posio inicial jdx . O tensor

    ijd dado por

    1

    2

    jiij

    j i

    vvd

    x x

    (F.5)

    chamado tensor taxa de deformao do sistema material. Esta parte da transformao, em

    contraste com aquelas precedentes (translao e rotao), no preserva ngulos nem

    distncias: ela uma deformao.

    Figura F.1 Deformao normal

    Figura F.2 - Deformao angular (cisalhamento puro sem rotao

  • 65

    A deformao pode provocar dilatao ou contrao do volume sem alteraes

    angulares, como mostrado na Figura F.1. Esta deformao representada por v que igual

    ao trao do tensor taxa de deformao kkv d . A deformao que provoca alterao

    angular como mostrado na Figura F.2 denominada deformao cisalhante.

    Para um fluido Newtoniano, onde se considera que o tensor das tenses viscosas

    proporcional ao tensor taxa de deformao, pode-se escrever

    22

    3ij ij kk ijd d

    (F.6)

    na qual o segundo coeficiente de viscosidade a viscosidade bulk.

  • 66

  • 67

    Apndice G Funo de corrente

    Funo de corrente (FLUID MECHANICS, FIFTH EDITION, PIJUSH K. KUNDU, IRA

    M. COHEN, DAVID R. DOWLING)

    A equao de conservao da massa para regime permanente se resume a

    0U (G.1)

    O divergente do rotacional de qualquer vetor nulo, assim define-se

    U (G.2)

    e como funo de dois escalares na forma . Portanto,

    U (G.3)

    O ltimo termo na equao (G.3) nulo. Agora, considerando o caso de um escoamento

    bidimensional ,U u v e definindo z , obtm-se a partir de (G.3)

    z z x yU z e e e ex y

    (G.4)

    Figura G.1 funes de corrente no espao

    Aps efetuar os produtos escalares em (G.4) tem-se

    x yU e ey x

    (G.5)

  • 68

    Em forma de componentes resultar:

    uy

    vx

    (G.6)

    2

    2 22

    2 22

    2

    u

    u vy y

    x y y xv

    x x

    (G.7)

    Para um escoamento tridimensional axissimtrico em coordenadas cilndricas polares,

    todas as linhas de corrente esto em planos de .const que contm o eixo z, assim,

    uma das funes de corrente. Isto produz 1

    er

    e 1

    ,r zU u u er

    , ou

    1

    1

    r

    z

    ur z

    ur r

    (G.8)

  • 69

    Apndice H Escoamento ideal e potencial

    As equaes do movimento forma apresentadas no captulo 4

    Continuidade: / 0t U ou / 0D Dt U (4.27)

    Momentum: /U t U U g p ou /DU Dt g p (4.28)

    Usando a identidade

    A B A B B A A B B A ,

    para A B

    2 2A A A A A A

    A A A A

    2 2A A A A A A

    212

    A A A A A

    2A A A A A

    2 A A A

    Reescrevendo a equao de momentum na forma no conservativa, tem-se

    2

    3

    TU U U g p U U UIt

    Para cte

    22

    3

    UU U g p U U U

    t

  • 70

    21

    3

    UU U g p U U

    t

    (H.1)

    Expressando g g z e usando as identidades vetoriais

    1

    2

    1

    3

    UU U U U

    t

    g z p U U U

    (H.2)

    Usando definio

    U (H.3)

    1 4

    2 3

    UU U U g z p U

    t

    Rearranjando os termos

    21 4

    2 3

    U pU U gz U

    t

    (H.4)

    Para escoamento ideal, 0

    21

    2

    U pU U gz

    t

    (H.5)

    Para escoamento irrotacional 0U

    21 4

    2 3

    U pU gz U

    t

    (H.6)

    Para escoamento irrotacional e incompressvel

    21

    2

    U pU gz

    t

    (H.7)

  • 71

    Velocidade potencial

    Define-se a velocidade potencial como

    U (H.8)

    e, portanto,

    2 0U (H.9)

    Substituindo (H.8) em (H.7) se tem

    21

    2

    pU gz

    t

    (H.10)

    ou

    21 02

    pU gz

    t

    (H.11)

    Se o gradiente de uma funo nulo, ento, esta funo uma constante, assim, a partir de

    (H.11) se conclui que

    21

    2

    pU gz C t

    t

    (H.12)

    conhecida como Eq. de Bernoulli transiente. Para escoamento em regime permanente, a

    equao de Bernoulli fica na forma

    21

    2

    pU gz C

    (H.13)