FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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Ementa
Fluidos – Definição
Tensão de cisalhamento.
Viscosidade dinâmica e cinemática.
Densidade.
Pressão Hidrostática. Teorema de Stevin.
Pressão atmosférica.
Manômetros e Bombas de vácuo.
Medidores de pressão: Manômetros diferenciais e
de Bourdon.
Princípio de Arquimedes. Empuxo.
Equação da continuidade.
Equação de Bernoulli.
Tubo de Venturi e placas de orifício.
Regimes de escoamento. Escoamento
laminar e turbulento. Número de Reynolds.
Teorema de Stokes.
Lei de Poiseulli.
Tubo de Pitot e de Prandtl.
Equação de Bernoulli na presença de
uma máquina: Bombas e Turbinas. Rendimento.
Equação de Bernoulli admitindo perda
de carga.
Fórmula fundamental para perda de
carga. Diagrama de Perdas de carga localizadas e
perda de carga total.
Diagrama de Moody-Rouse.
Bibliografia.
1. Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D.
Física. 2a. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, V. 1-2, 2000
2. Halliday, D.; Resnick, R. Fundamentos da
Física, Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos,
v.1-2, 1991.
3. Tipler, P. A. Física, 2a, Ed. Guanabara dois, V1,
1985.
4. Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos, Ed.
Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2005.
5. Notas de aula: www.claudio.sartori.nom.br.
6. Ranald V Giles; Evett J.; Liu C., Mecânica de
Fluidos e Hidráulica, 1994.
Fluido
Um fluido é uma substância que se deforma
continuamente quando submetida a uma tensão de
cisalhamento, não importando o quanto pequena
possa ser essa tensão. Tanto os gases quanto os
líquidos são classificados como fluidos.
Um fluido complexo é um fluido cujas
propriedades de transporte só podem ser
determinadas a partir do conhecimento detalhado da
sua estrutura microscópica.
Um fluido newtoniano é um fluido em
que cada componente da velocidade é
proporcional ao gradiente de velocidade na
direcção normal a essa componente. A constante
de proporcionalidade é a viscosidade absoluta
ou dinâmica .
u
y
Tensão de Cisalhamento
Uma força de cisalhamento é a
componente tangencial de uma dada força que
age sobre a superfiície e, dividida pela área da
superfície, dá origem à tensão de cisalhamento
média sobre a área quando a área tende a um
ponto.
Figura 1 – Escoamento de um fluido
viscoso. A área da placa é A e a taxa de variação
da velocidade com a distância vertical é dv
dy
Viscosidade absoluta ou dinâmica.
Definimos como viscosidade absoluta ou
dinâmica a razão entre a tensçao de
cisalhamento e a taxa de variação da
velocidade com a distância vertical medida
entre as duas placas indicadas na figura 1.
dv
dy
v
dvF A
dy
Unidade:
Poise:
1 1
2 21 1 10 1 10
g kg
cm s m s
din NPo
s cm s m
Viscosidade cinemática
Definimos como viscosidade
cinemática como sendo a razão entre a
viscosidade dinâmica e a densidade do corpo .
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Unidades: 2m
s (SI)
Stoke: 2
1 1cm
sts
Massa específica e densidade Princípio de Arquimedes –
De acordo com a lenda, isto (eureca!) foi o que
Arquimedes gritou quando ele descobriu um fato
importante sobre a força de empuxo. Tão importante
que o chama de princípio de Arquimedes (e tão
importante que, diz a lenda, Arquimedes pulou da
banheira e correu pelas ruas após a descoberta).
Observando as figuras abaixo:
Figura 2 – (a) Diferença entre as pressões
na parte superior 1 do corpo a uma profundidade h1 e
na parte inferior 2 do corpo a uma profundidade h2.
(b) As diferenças entre as pressões laterais
se cancelam.
As pressões laterais se cancelam (b) e a
diferença entre as pressões entre os pontos 1 e 2 no
copo, ficará:
2 1 0 2 0 1p p p p gh p gh
2 1p g h h
Ep g h
A
E g hA
E Vg
fE m g
Princípio de Arquimedes : Um objeto
que está parcialmente, ou completamente,
submerso em um fluido, sofrerá uma força de
empuxo igual ao peso do fluido que objeto
desloca.
FE = Wfluido = fluido . Vdeslocado . g
O valor do empuxo, que atua em um
corpo mergulhado em um líquido, é igual ao
peso do líquido deslocado pelo corpo.
A força de empuxo, FE , aplicada pelo
fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A
força deve-se à diferença de pressão exercida na
parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para
um objeto flutuante, a parte que fica acima da
superfície está sob a pressão atmosférica,
enquanto que a parte que está abaixo da
superfície está sob uma pressão maior porque
ela está em contato com uma certa
profundidade do fluido, e a pressão aumenta
com a profundidade. Para um objeto
completamente submerso, a parte de cima do
objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a
parte de baixo ainda está sob uma pressão maior
porque está mais fundo no fluido. Em ambos os
casos a diferença na pressão resulta em uma
força resultante para cima (força de empuxo)
sobre o objeto. Esta força tem que ser igual ao
peso da massa de água (fluido . Vdeslocado)
deslocada, já que se o objeto não ocupasse
aquele espaço esta seria a força aplicada ao
fluido dentro daquele volume (Vdeslocado) a fim
de que o fluido estivesse em estado de
equilíbrio.
Nas figuras abaixo indicamos como
calcular a massa real de um corpo (mr) e a
massa aparente do corpo (ma), usando uma
balança.
E
-N P
rN P m g
Quando o corpo de massa mr estiver
totalmente imerso:
r fP E T m g m g T
2 2r H O C r H O Cm g gV T T m g gV
Mas: r rC C
C C
m mV
V
. Substituindo na
equação acima teremos:
2
2
H Orr H O r r
C C
m TT m g g m m
g
Chamando a massa aparente m2=T/g, teremos:
2 2H O H O
a r r r r a
C C
m m m m m m m
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3
2
2
H O rr C H O
C
mm m
m
2
rC H O
m
m
r am m m
APLICAÇÕES: Cálculo da massa específica
do corpo C para diferentes materiais.
Tabela 1 - Densidade de algumas
substâncias:
Material Densidade
(g/cm3)
Líquidos
Água at 4 0C 1.0000
Água a 20 0C 0.998
Gasolina 0.70
Mercúrio 13.6
Leite 1.03
Material Densidade
(gm/cm3)
Sólidos
Magnésio 1.7
Alumínio 2.7
Cobre 8.3-9.0
Ouro 19.3
Ferro 7.8
Lead 11.3
Platina 21.4
Urânio 18.7
Ósmio 22.5
Gelo at 0 0C 0.92
Material Densidade
(gm/cm3)
Gases a STP
Ar 0.001293
Dióxido de Carbono .001977
Monóxido de Carbono
0.00125
Hydrogênio 0.00009
Hélio 0.000178
Nitrogênio 0.001251
Densímetro:
É um instrumento usado para medir a
densidade de um líquido segundo o princípio do
empuxo.
Quando colocado em água pura, a
gravidade específica é marcada para indicar 1.
Figura 3 - Um Densímetro. (A)
Flutuando na água êle marca 1, a densidade da
água pura. (B) O densímetro sobe mais na
solução de ácido da bateria inteiramente
carregada.
O densímetro desloca um menor
volume de líquido e flutua mais alto. À medida
que a bateria vai-se descarregando, a quantidade
de ácido no líquido vai diminuindo e, portanto,
também sua densidade.
Densímetros especiais usados para medir
densidade de álcool e de leite são chamados
alcoômetros e lactômetros.
Sendo W o peso do hidrômetro e V0 o
volume submerso abaixo da linha 1: W E
0aW V
Em um líquido desconhecido, de peso
específico x, o balanço das forças seria:
0xW V A h
Aqui, A é a seção transversal da haste.
Podemos então:
0 0a xV V A h
0
00
x
a
V
V A h
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Pressão atmosférica:
Embora o ar seja extremamente leve, não é
desprovido de peso. O peso que exerce sobre nós a
totalidade da atmosfera denomina-se pressão
atmosférica. Cada pessoa suporta em média sobre
os ombros o peso de cerca de 1 tonelada de ar, que,
porém não sente, já que o ar é um gás e a força da
pressão exerce-se em todas as direções. O peso
normal do ar ao nível do mar é de 1Kg/cm2. Porém,
a pressão atmosférica desce com a altitude. A 3000
m, é de cerca de 0,7 kg/cm2. A 8848 m, a altitude do
monte Everest, a pressão é de apenas 0,3 Kg/cm2.
O barômetro é o instrumento usado para medir a
pressão atmosférica.
Quando o ar quente se eleva cria, por baixo dele,
uma zona de baixa pressão. Baixas pressões
normalmente significam tempo ruim.
Figura 4 -
Baixas Pressões
À medida que o ar, ao subir, arrefece, o seu
vapor de água transforma-se em nuvens, que podem
produzir chuva, neve ou tempestades.
Simultaneamente, ao nível do solo, há ar que se
desloca para substituir o ar quente em elevação, o
que dá origem a ventos.
As massas de ar deslocam-se sempre de um centro
de alta pressão para um de baixa pressão, gerando o
vento. Mas neste caminho são desviadas (para a
direita no hemisfério Norte) por causa da rotação
terrestre.
Se nos pusermos de costas para o vento (no
hemisfério Norte), o centro de baixa pressão
encontra-se sempre à nossa esquerda. Esta regra foi
descoberta pelo físico Buys-Ballot, em 1800.
Figura 5 -
Altas Pressões
Quando o ar é relativamente frio, desce
lentamente e comprime o ar que está por baixo,
causando uma maior pressão. Embora esta seja
causada pelo ar frio, provoca um tempo quente e
soalheiro. Isto acontece porque o ar, ao descer,
impede a formação de nuvens, originando um
céu limpo.
Variação da pressão atmosférica com a
altitude:
A pressão atmosférica, ao ser acrescida de um
valor dz, é diminuída de:
dp gdz
Onde é a densidade do ar.
Segundo o modelo do gás ideal,
podemos considerar:
pV nRT p RT
p
RT
Na troposfera:
0( )T z T z
Onde:
= 0,0065K/m
T0 = 288 K
Assim:
0
pdp gdz
R T z
0
dp gdz
p R T z
00atm
p z
p
dp g dz
p R T z
pode ser dada por:
0
0
ln lnatm
T zp g
p R T
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5
0
0
( )
g R
atm
T zp z p
T
Na estratosfera:
Na estratosfera, entre 11 e 20 km, a
temperatura é constante e aproximadamente -56,5°C.
R = 287 J/(kgK)
Ts: Temperatura na interface troposfera-
estratosfera.
0s
p z
sp
dp gdz
p RT
( )s
s
gz z
RT
sp z p e
Resumindo, podemos escrever:
0
0
; se 10
; se 10s
s
g R
atm
gz z
RT
s
T zp z km
Tp z
p e z km
A tabela a seguir ilustra alguns valores da
pressão, densidade e temperatura do ar em algumas
altitudes.
Tabela I – Valores das grandezas físicas do
ar com a altitude z.
z(m) T(K) P(kPa) (kg/m3
)
v(m/s
)
0 288,2 101,3 1,225 340
500 284,8 95,43 1,167 338
1000 281,7 89,85 1,112 336
2000 275,2 79,48 1,007 333
4000 262,2 61,64 0,8194 325
6000 249,2 47,21 0,6602 316
8000 236,2 35,65 0,5258 308
1000
0
Ts=223,
3
26,49 0,4136 300
1200
0
216,7 19,40 0,3119 295
1400
0
216,7 14,17 0,2278 295
1600
0
216,7 10,35 0,1665 295
1800
0
216,7 7,563 0,1213 295
2000
0
216,7 5,528 0,0889 295
3000
0
226,5 1,196 0,0184 302
4000 250,4 0,287 4,00.10-
3 317
5000 270,7 0,0798 1,03.10-
330
3
6000
0
255,8 0,0225 3,06.10-
4 321
7000
0
219,7 0,0055
1
8,75.10-
5 297
8000
0
180,7 0,0010
3
2,00.10-
5 269
Figura 6 - Variação da temperatura nas
diversas camadas atmosféricas.
z(km)
Ionosfera
80
60
40 Estratosfera
20
Troposfera
-67 -56.5 15 T(ºC)
Medidores de pressão.
Manômetro de Bourdon: Consiste
num tubo de latão achatado, fechado numa
extremidade e dobrado em forma circular. A
extremidade fechada é ligada por engrenagem e
pinhão a um ponteiro que se desloca sobre uma
escala. A aberta é ligada a um aparelho cuja
pressão externa quer se medir. Quando se
exerce uma pressão no interior do tubo
achatado, ele se desenrola ligeiramente, como o
faria uma mangueira de borracha enrolada,
quando se abre a torneira d‗água. O movimento
resultante da extremidade fechada do tubo é
transmitido ao ponteiro.
Figura 7 -
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Dados Técnicos:
Series 61000 gages feature an extra
sensitive bronze diaphragm for ASME Grade A
accuracy in ranges to 100 inches w.c. The Series
62000 employs a bronze Bourdon tube for ranges to
300 psig with Grade B accuracy. Both measure
pressures of air, natural gas and other compatible
gases and liquids.
PHYSICAL DATA
Dial/Pointer: Aluminum
Housing: Steel with black baked enamel finish
Diaphragm/Bourdon Tube: Phosphor bronze
Connection: ¼" NPT(M) bottom-std. ¼" NPT(M)
back 61000U, 62000U
Operating Mechanism: Polycarbonate and brass
Accuracy: 61000, ASME Grade A - 1% middle half
of scale, 2% remainder
61015 only - 1% middle half of scale, 3% remainder
62000, ASMD Grade B - 2% middle half of scale,
3% remainder
Temperature Range: -40 to 160°F (-40 to 71°C)
Manômetros diferenciais
Um manômetro é um instrumento
utilizado para medir pressão.
Um tipo de manómetro já com séculos de existência
é o de coluna líquida. Este manómetro pode ser
simplesmente um tubo em forma de U, no qual se
coloca uma dada quantidade de líquido (não convém
estar muito cheio para não transbordar facilmente).
Neste método a pressão a medir é aplicada a uma
das aberturas do U, enquanto que uma pressão de
referência é aplicada à segunda abertura. A diferença
entre as pressões é proporcional à diferença do nível
do líquido, em que a constante de proporcionalidade
é o peso volúmico do fluído.
Os manômetros de coluna líquida podem
ser em forma de U, ou alternativamente podem ter
uma única coluna. Para se forçar o líquido a
percorrer uma maior distância utilizam-se colunas
com inclinação (uma vez que a pressão obriga a
subir, o que exige um maior deslocamento no caso
de a coluna estar inclinada), sendo necessário
conhecer o ângulo relativamente à horizontal com
precisão.
Um outro tipo de manômetro recorre à
deformação de uma membrana flexível. Estas
membranas, por terem deformação proporcional
à pressão a que estão sujeitas, são utilizadas
com vários outros métodos no sentido de
transformar a deformação numa grandeza que
possa ser processada.
Utilizam-se extensômetros (resistências
variáveis com a deformação) para possibilitar a
conversão para grandezas eléctricas. Contudo,
um dos métodos mais utilizados corresponde a
ligar electricamente a membrana de tal forma
que seja uma armadura móvel de dois
condensadores, assim a deformação a que a
membrana se sujeita gera uma variação da
capacidade, recorrendo a alguma electrónica o
consegue-se obter uma tensão eléctrica
directamente proporcional à pressão aplicada à
membrana.
Imensos outros métodos podem ser
utilizados para efectuar a medição de pressão,
tais como: LVDT, manómetros de Bourdon,
manómetro de cilindro, cristais piezoeléctricos,
etc...
Adaptado de:
"http://pt.wikipedia.org/wiki/Man%C3%B4metr
o"
Pode-se encontrar a diferença de
pressão, medindo a altura dos desníveis quando
acoplado esse manômetro a dois diferentes
pontos da tubulação.
Teoria
Utilização do manômetro pode ser
vista na experiência de Torricelli:
Figura 8 - Experimento de Torricelli.
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Veja que: pA = pB.
Equações
A pressão é dada por:
A
Fp
Nos fluidos:
ghp f
A pressão efetiva ou manométrica tem como
referência a pressão atmosférica, e pode ser:
negativa, nula ou positiva.
A pressão absoluta tem como referência o
vácuo perfeito, e pode ser: nula ou positiva.
Instrumentos de medição: manômetros,
vacuômetros , barômetros , altímetros , etc.
hgp OHHg 2
Sistemas de Unidades:
M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m2 ] onde : 1 [ N ]
= [ 1 Kg * m / s2 ]
C. G. S. : 1 [ ba ] = 1 [ din / cm2 ]
M.Kgf.S. : 1 [ Kgf / m2 ]
Outras unidades :
1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg =
1,033 Kgf / cm2 = 1 atmosfera física.
1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg =
1,0 Kgf / cm2 = 0,968 atN = 10 m.c.a.
1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa
1 ‖ = 2,54 cm 1 ‘ = 1 pé = 12 ‖ 1
jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ‘
1 jd = 91,44 cm 1 pé = 30,48 cm 1
libra = 1 lb = 0,45359 Kg
Medidores de pressão no corpo humano:
Pressão intraocular: Os fluidos do globo
ocular, os humores aquoso e vítreo que transmitem a
luz à retina (parte fotossensível do olho), estão sob
pressão e mantêm o globo numa forma e dimensão
aproximadamente fixas. As dimensões do olho são
críticas para se ter uma boa visão. Uma variação de
0,1 mm o seu diâmetro pode produzir um efeito
significativo no desempenho da visão. A pressão em
olhos normais varia de 13 a 28 mmHg, sendo a
média de 15 mmHg.
Figura 9 - O olho humano.
O humor aquoso, fluido contido na
parte frontal do olho, é essencialmente água. O
olho reduz continuamente o humor aquoso,
cerca de 5 ml por dia, e existe um sistema de
drenagem que permite a saída do excesso. No
entanto, se ocorresse um bloqueio nesse sistema
de drenagem, a pressão ocular aumentaria
comprimindo a artéria retiniana e isso poderia
restringir a circulação sangüínea na retina,
provocando a visão tunelada ou até mesmo a
cegueira. A essa situação se dá o nome de
glaucoma, e a pressão intra-ocular pode
aumentar até 70 mmHg, embora em
circunstâncias normais se eleve até 30 ou 45
mmHg.
A pressão intra-ocular era estimada pelos
médicos pressionando o olho com os dedos e
sentindo a reação produzida pelo mesmo. Hoje
em dia isso é feito pelo tonômetro, que mede
pressão ocular determinando a deflexão da
córnea sob a açâo de uma força conhecida.
Pressão sanguínea: A pressão
sanguínea é medida com o esfigmomanômetro,
que consiste de uma coluna de mercúrio com
uma das extremidades ligada a uma bolsa, que
pode ser inflada através de uma pequena bomba
de borracha, como indica a Figura 32 (A). A
bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível
aproximadamente igual ao do coração, a fim de
assegurar que as pressões medidas mais
próximas às da aorta. A pressão do ar contido na
bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue
através das artérias do braço seja bloqueado.
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A seguir, o ar é gradualmente eliminado da
bolsa ao mesmo tempo em que se usa um
estetoscópio para detectar a volta das pulsações ao
braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do
ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica,
isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante,
o sangue que está à pressão sistólica consegue fluir
pela (os sons ouvidos através do estetoscópio são
produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são
chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna
de mercúrio lida corresponde à pressão manométrica
sistólica. À medida que o ar é eliminado, a
intensidade do som ouvido através do esteie
aumenta. A pressão correspondente ao último som
audível é a pressão diastólica, isto é, a pressão
sanguínea, quando o sangue a baixa pressão
consegue fluir pela artéria não oclusa.
(A)
Figura 10 – Procedimento para medir a pressão
em um paciente usando o esfigmomanômetro (A).
Tipos de aparelhos (B) e variação da pressão ao
longo do corpo humano (C).
(B)
(C)
ALGUNS EFEITOS FISIOLÓGICOS
DA VARIAÇÃO DA PRESSÃO DE
FLUIDOS
Efeito da postura na pressão sanguínea O coração é uma "bomba" muscular
que, no homem, pode exercer uma pressão
manométrica máxima de cerca de 120 mmHg no
sangue durante a contração (sístole), e de cerca
de 80 mmHg durante a relaxação (diástole).
Devido à contração do músculo cardíaco, o
sangue sai do ventrículo esquerdo, passa pela
aorta e pelas artérias, seguindo em direção aos
capilares. Dos capilares venosos o sangue segue
para as veias e chega ao átrio direito com uma
pressão quase nula. Em média, a diferença
máxima entre as pressões arterial e venosa é da
ordem de 100 mmHg.
Como a densidade do sangue (1,04
g/cm3
) é quase igual à da água, a diferença de
pressão hidrostática entre a cabeça e os pés
numa pessoa de 1,80 m de altura é 180cm de
H20. A Figura anterior mostra as pressões
arterial e venosa médias (em cm de água), para
uma pessoa de 1,80 m de altura, em vários
níveis em relação ao coração. Uma pessoa
deitada possui pressão hidrostática praticamente
constante em todos os pontos e igual à do
coração. Se um manômetro aberto contendo
mercúrio fosse utilizado para medir as pressões
arteriais em vários pontos de um indivíduo
deitado, a altura da coluna de mercúrio seria de
aproximadamente 100 mm, ou seja, 136 cm de
H2O.
As pressões arteriais em todas as partes
do corpo de uma pessoa deitada são
aproximadamente iguais à pressão arterial do
coração. Assim, quando uma pessoa deitada se
levantar rapidamente, a queda de pressão
arterial da cabeça será de ρgh, o que implicará
uma diminuição do fluxo sanguíneo no cérebro.
Como o fluxo deve ser contínuo e como o ajuste
do fluxo pela expansão das artérias não é
instantâneo, a pessoa pode sentir-se tonta. Em
casos de variações de pressão muito rápidas, a
diminuição da circulação pode ser tal que
provoque desmaio.
Um animal que possui propriedades
fisiológicas extraordinárias é a girafa. Sua altura
varia de 4,0 m a 5,5 m. Seu coração está,
aproximadamente, eqüidistante da cabeça e das
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patas, ou seja, a uns 2 m abaixo da cabeça Isso
significa que a pressão arterial da girafa precisa ser
muito maior que a do homem, ou de outro animal
mais baixo, para que a cabeça possa ser atingida
pelo fluxo sanguíneo. J. V. Warren e sua equipe
mediram as pressões nas artérias de algumas girafas
de uma reserva. Em uma posição determinada,
quando a girafa está deitada, sua cabeça e seu
coração estão no mesmo nível, e a pressão arterial da
carótida varia entre os valores de 180 e 240 mmHg e
o ritmo cardíaco é 96/min. Quando o animal levanta
a cabeça a pressão se mantém aproximadamente
igual, mas a freqüência cardíaca diminui. Na posição
ereta e em movimento normal, aumenta a freqüência
cardíaca a cerca de 150/min, enquanto que a pressão
arterial cai para 90 a 150 mmHg. O galope eleva a
freqüência cardíaca ao valor de 170/min e produz
uma variação da pressão arterial entre 80 e 200
mmHg. A pressão sistólica ao nível do coração da
girafa varia entre 200 e 300 mmHg, enquanto que a
diastólica varia entre 100 e 170 mmHg. O valor
médio da razão pressão sistólica/pressão diastólica é
de 260/160. Esse valor, comparado com o valor
médio de uma pessoa - 120/80 classificaria a girafa
como hipertensa. Entretanto, essa hipertensão não se
deve a problemas vasculares, mas é uma condição
necessária para suprir o cérebro do animal com
sangue quando ele está ereto.
Mergulho subaquático O corpo humano é composto
principalmente por estruturas sólidas e líquidas, que
são quase incompressíveis. Por esse motivo,
mudanças de pressão externa têm pequeno efeito
sobre essas estruturas. No entanto, existem
cavidades contendo gás no corpo que, sob mudanças
bruscas de pressão, podem produzir fortes efeitos no
indivíduo.
O ouvido médio é uma cavidade de ar atrás
do tímpano, dentro da cabeça. Se a pressão nessa
cavidade não for igual à pressão no lado externo do
tímpano, a pessoa pode sentir mal-estar. Ela pode
evitar isso equalizando as pressões através do
bocejo, da mastigação ou da deglutição.
Quando uma pessoa mergulha na água, a
equalização das pressões nos dois lados do tímpano
pode não ocorrer, e uma diferença de pressão de 120
mmHg pode ocasionar sua ruptura.
Uma maneira de equalizar essas pressões é
aumentar a pressão da boca, mantendo boca e nariz
fechados e forçando um pouco do ar dos pulmões
para as trompas de Eustáquio.
A pressão nos pulmões a qualquer profundidade
atingida num mergulho é maior que a pressão ao
nível do mar. Isso significa que as pressões parciais
dos componentes do ar são também mais elevadas.
O aumento da pressão parcial do oxigênio faz que
maior número de moléculas desse gás seja
transferido para o sangue. Dependendo desse
acréscimo, pode ocorrer envenenamento por
oxigênio. Um possível efeito do envenenamento por
oxigênio é a oxidação de enzimas dos pulmões,
que pode provocar convulsões. Em bebês
prematuros, colocados em tendas de oxigênio
puro, há grandes riscos de se desenvolver
cegueira devida ao bloqueio do
desenvolvimento dos vasos sanguíneos dos
olhos.
Se for usado o ar nos tanques de
mergulho, a altas pressões o nitrogênio se
dissolve no sangue. Se o mergulhador voltar
rapidamente à superfície, o nitrogênio dentro do
sangue pode "ferver" formando bolhas. Isso
pode provocar lesões graves nos ossos, levando
até â necrose do tecido ósseo. A razão dessa
necrose são os infartos no tecido, causados pelo
bloqueio da circulação do sangue pelas bolhas.
Por isso, a subida de um mergulhador deve ser
feita lentamente. Caso ocorra a formação de
bolhas, um dos efeitos sobre o mergulhador é a
produção de cãibras. Nesse caso, o acidentado
deve ser recolocado num ambiente à pressão
alta e ser lentamente descompressado.
Efeitos da altitude Ao subir uma
montanha, uma pessoa pode sentir uma série de
distúrbios, que se tornam mais acentuados a
partir dos 3 000 m. Os sintomas mais comuns
são dificuldade de respirar, taquicardias com
freqüências cardíacas superiores a 100/min,
mal-estar generalizado, dores de cabeça, náusea,
vômito, insônia etc. Esses efeitos se devem
essencialmente à diminuição da pressão
atmosférica, o que é conseqüência da
diminuição da densidade do ar. Aos 5 000 m de
altitude a pressão parcial de O2 é
aproximadamente a metade da pressão parcial
ao nível do mar. Ou seja, só existe metade da
quantidade de O2 com relação ao nível do mar.
Esse efeito é chamado hipoxia, isto é, baixo
fornecimento de O2, e é também observado em
balões dirigíveis em ascensão.
Qualitativamente, podem-se resumir as
mudanças funcionais com a altitude, para um
indivíduo saudável normal e não treinado, da
seguinte maneira:
- Abaixo de 3 000 m: não existem efeitos
detectáveis no desempenho da respiração, e o
nível cardíaco, em geral, não se altera.
- Entre 3000 e 4600 m: região de "hipoxia
compensada" em que aparece um pequeno
aumento dos ritmos cardíaco e respiratório, e
uma pequena perda de eficiência na execução de
tarefas complexas.
- Entre 4 600 e 6 100 m: mudanças dramáticas
começam a ocorrer. As freqüências respiratórias
cardíaca aumentam drasticamente; pode
aparecer a perda de julgamento crítico e
controle muscular, e também entorpecimento
dos sentidos. Estados emocionais podem variar
desde a letargia até grandes excitações com
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
10
10
euforia ou mesmo com alucinações. Esse é o estado
de "hipoxia manifesta".
- Entre 6 100 e 7 600 m: essa é a região de "hipoxia
crítica". Os sintomas são perda rápida controle
neuromuscular, da consciência seguida de parada
respiratória, e finalmente morte.
Esses vários sintomas foram verificados na
ascensão do balão "Zenith", a 15 de abril de 1875 a
França, que chegou a atingir 8 600 m, causando a
morte de dois dos três membros da expedição.
Apesar de reservatórios de gás contendo 70%
de oxigênio haver sido incluído no equipamento a
hipoxia provocou a redução do juízo crítico e do
controle muscular de seus tripulantes, Permitindo o
uso do oxigênio quando isso se fez necessário.
O QUE SIGNIFICAM OS NÚMEROS DE
UMA MEDIDA DE PRESSÃO ARTERIAL?
Significam uma medida de pressão calibrada em
milímetros de mercúrio (mmHg). O primeiro
número, ou o de maior valor, é chamado de sistólico,
e corresponde à pressão da artéria no momento em
que o sangue foi bombeado pelo coração. O segundo
número, ou o de menor valor é chamado de
diastólico, e corresponde à pressão na mesma
artéria, no momento em que o coração está relaxado
após uma contração. Não existe uma combinação
precisa de medidas para se dizer qual é a pressão
normal, mas em termos gerais, diz-se que o valor de
120/80 mmHg é o valor considerado ideal.
Contudo, medidas até 140 mmHg para a pressão
sistólica, e 90 mmHg para a diastólica, podem ser
aceitas como normais. O local mais comum de
verificação da pressão arterial é no braço, usando
como ponto de ausculta a artéria braquial. O
equipamento usado é o esfigmomanômetro ou
tensiômetro, vulgarmente chamado de manguito, e
para auscultar os batimentos, usa-se o estetoscópio.
TABELA DE VALORES MÉDIOS NORMAIS
DE PRESSÃO ARTERIAL
IDADE EM ANOS PRESSÃO ARTERIAL
EM mmhg
4 85/60
6 95/62
10 100/65
12 108/67
16 118/75
Adulto 120/80
Idoso 140-160/90-100
Medidores de baixa pressão:
Bombas de Vácuo –
As bombas de vácuo são utilizadas
quando queremos exaurir o ar de um sistema a
ser exaurido.
A seguir ilustramos as denominações das
regiões de diferentes pressões e o tipo de bomba
utilizado para atingi-las.
As bombas de vácuo podem ser
classificadas como:
1. Bombas com deslocamento de gás -
retiram os gases do sistema expelindo-os para a
atmosfera
2. Bombas que trabalham a partir da
pressão atmosférica (bombas rotativas)
3. Bombas que trabalham à pressões
subatmosférica - requerem a ligação a uma
bomba de vácuo primária para remover os gases
para a atmosfera (bombas rotativas e bombas de
vapor)
4. Bombas de fixação - retêm os gases
dentro da própria bomba.
Para se atingir baixas pressões
associam-se duas ou mais bombas de vácuo,
constituindo, assim, sistemas ou grupos de
bombeamento.
Nas bombas mecânicas há passagem de
gás da entrada para a saída provocada pela
transferência de momento linear (energia) entre
um meio motor e o gás. Ex: bombas rotatórias
(vácuo primário), as "roots" e bombas
moleculares (alto vácuo).
Nas bombas de vapor o vapor de água,
mercúrio ou óleo de baixa tensão de vapor é que
arrasta as moléculas de gás da entrada para a
saída da bomba. Esses tipos de bombas
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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11
necessitam sempre de bombas de pré-vácuo
associadas, de modo que o vapor seja orientado no
sentido mais conveniente à extração dos gases.
Classificação de bombas à vapor:
a. Ejetores de vapor - 1013 a 4.10-2
mbar
b. Difusoras - < 10-3
mbar
c. "Booster"- 10-2
a 10-4
mbar
A razão de compressão de uma bomba de
vácuo é definida como o quociente entre as pressões
à saída da bomba e à entrada, prestando-se como um
parâmetro de
caracterização de bombas mecânicas e de vapor. Ao
contrário, nas bombas de fixação o gás é retirado do
volume a bombear fixando-se em paredes que tem a
propriedade de "bombear" gases, não havendo
compressão do gás e este também não é expulso à
atmosfera. As bombas de fixação atingirão uma
saturação ao final de um período de trabalho mais ou
menos longo, podendo ser regenerada.
Os processos de fixação dependem das
ligações que se estabelecem entre as moléculas da
parede e do gás a bombear, o que faz com que o
bombeamento seja seletivo.
Processos para que ocorra a fixação, podem
ser classificados em:
a. Absorção - quando as moléculas
penetram no interior da parede e ficam inclusas no
material. Ex.: zeolita, alumina, carvão ativado. Este
processo geralmente é reversível
b. Adsorção - uma camada de gás se
deposita numa superfície estabelecendo ligações
entre suas moléculas e a superfície. As ligações
podem ser químicas (forte) ou físicas
(fracas).
c. Ionização - quando ocorre a ionização
das moléculas seguida de penetração dos íons com
grande energia nos materiais da parede.
d. Condensação - ocorre a condensação
das moléculas numa superfície arrefecida.
As bombas de fixação mais utilizadas são:
bombas de absorção; bombas de adsorção; bombas
iônicas e de adsorção; bombas criogênicas.
Bombas Rotatórias com Vedação a Óleo
Bombas rotatórias são aquelas que
asseguram o vácuo primário. As bombas rotatórias
consistem de um corpo cilíndrico (estator) e o rotor
montado no centro do estator. Fundamentalmente
são compressores que extraem os gases do sistema
lançando-os na atmosfera. A vedação é feita com
óleo que também serve como lubrificante dos
componentes móveis. Os óleos usados tem tensão de
vapor bastante baixa. As bombas rotatórias dividem-
se em:
1. Bombas de pistão rotatório
2. Bombas de palhetas
2.1. duas palhetas
2.2. palheta simples
Podem ainda ser de um ou dois
estágios. É comum exprimir a velocidade de
bombeamento das bombas rotatórias em L/min,
podendo ter valores entre 10 a 90.000 L/min.
Bombas de um estágio atingem pressão limite
de 10-2 mbar e de dois estágios de 10-4
mbar.
Para melhorar o bombeamento quando
existem vapores, as bombas estão geralmente
equipadas com um balastro ("gas ballast"), ou
seja, uma pequena válvula de entrada de ar,
regulável, situada numa posição que
corresponde quase ao fim do ciclo, portanto, à
fase de compressão.
Figura 11 – Esquema de uma bomba
mecânica rotativa.
R
H A
F
G
E D
C B
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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Óleo
Características:
Pressão: 10-2
Pa
Componentes:
C: Cilindro excêntrico.
F: Mola.
H: Abertura da parte superior.
G: Válvula.
A: Tubo que liga o recipiente a ser exaurido
R à bomba de vácuo.
B: Espaço onde passa o ar.
D: Palheta deslizante.
Aplicações: Lâmpadas elétricas, tubos de
imagem de TV, tubos de osciloscópios, células
fotoelétricas, tubos de raios X, etc.
Bomba Difusora e Bombas
Moleculares:
Uma bomba difusora é constituída por um
invólucro cilíndrico dentro do qual existem uns
vaporizadores para o líquido da bomba e sobre este
uma chaminé que conduz o vapor aos vários andares
de ejetores. As moléculas do vapor do fluido ao
saírem dos ejetores arrastam as moléculas do gás
existente dentro da bomba para baixo e de encontro
às paredes da bomba. Como estas são arrefecidas,
por circulação de água ou ar, dá-se a condensação do
fluido que volta ao vaporizador. O gás arrastado é
comprimido na parte inferior de onde é retirado pela
bomba rotatória associada à bomba de difusão.
O vácuo atingido por estas bombas é
determinado pela tensão de vapor do fluido da
bomba. Os fluidos utilizados em bombas de
difusão são: mercúrio (Hg) ou óleos especiais de
muito baixa tensão de vapor. Quando se usa o
mercúrio é necessário colocar uma armadilha
criogênica ("trap") de nitrogênio líquido entre a
bomba e o volume a bombear para condensar o
vapor de Hg, visto que a tensão de vapor de
mercúrio à temperatura ambiente (20oC) é de
aproximadamente 10-3
mbar.
Na associação: bomba de pré-vácuo
(rotatória) e bomba de difusão, esta última
nunca deve ser ligada sem que se estabeleça
antes um vácuo primário de 10-1 mbar, caso
contrário, o óleo ou mercúrio oxidam-se devido
ao aquecimento na presença do ar.
As bombas moleculares baseiam-se na
transferência de energia de um rotor a grande
velocidade para as moléculas de gás situadas
entre o rotor e o estator. Às moléculas é dada
energia de modo que saiam do sistema a
evacuar. As bombas moleculares dividem-se
em: bombas de arrastamento molecular e
bombas turbomolecular.
Desenho esquemático:
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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Bombas criogênicas
O funcionamento destas bombas baseia-se
na introdução de uma superfície arrefecida a
temperatura muito baixa no volume a bombear. Os
gases existentes nesse volume são condensados até
atingirem pressões da ordem das suas tensões de
vapor à temperatura da superfície.
Utilizando nitrogênio líquido (77K) para
arrefecer a superfície, consegue-se um aumento
muito grande da velocidade de bombeamento, pois
uma parte dos gases residuais são condensáveis a
essa temperatura. Consegue-se um bombeamento
eficaz do vapor d‘água, mas a velocidade de
bombeamento é muito baixa para o oxigênio e nula
para o nitrogênio, hidrogênio e outros gases. Pode-se
ainda usar o hélio líquido (4,2K).
Medidores de vácuo
Pirani
Este tipo de medidor é formado por um
tubo metálico ou de vidro, e um filamento aquecido
instalado no centro tubo. Mede-se a variação da
resistência deste filamento que está a temperatura de
120oC. A remoção do calor do filamento faz-se por
meio dos átomos e moléculas que colidem com
o filamento. estes recebem energia térmica do
filamento e perdem-na em choques com a
parede de tubo que está a temperatura mais
baixa. A perda de calor pelo filamento é função
do número de moléculas presentes, e portanto,
da pressão.
Em geral, o filamento faz parte de uma
ponte de resistência e avariação da resistência é
medida pelo desequilíbrio da ponte.
Medidores Pirani medem pressões até
10-3
a 10-4
mbar.
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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14
Otto von Guericke (Magdeburgo, 1602 —
Hamburgo, 1686) foi um físico alemão que se
notabilizou pelo estudo do vácuo e da electrostática.
Por volta de 1650, construiu uma máquina que
provava os princípios da pneumática, realizou
experiências com a pressão pneumática e com o
vácuo. Concebeu experiências sobre a propagação
do som e a extinção das chamas no vácuo. Em 1654
realizou uma série de experimentos chamados de
experiência dos hemisférios de Magdeburg, onde
estudou os efeitos da pressão atmosférica. Otto von
Guericke projetou e construiu a primeira máquina
geradora de eletrostática, constituída essencialmente
de um globo de enxofre de onde saltavam
centelhas,que o levaram a teorizar a natureza elétrica
dos meteoros luminosos, em especial dos
relâmpagos.
Tensão Superficial
Alguns insetos podem flutuar sob o
topo da superfície da água, embora sua
densidade seja diversas vezes superior a da
água, seus pés cortam ligeiramente a superfície
da água, mas não penetram na água.
Essa situação exemplifica o fenômeno
da tensão superficial, a superfície comporta
como uma membrana submetida a uma tensão.
As moléculas de um líquido exercem força de
atração mútua; a força resultante sobre qualquer
molécula no interior do volume do líquido é
igual a zero, porém uma molécula na superfície
é puxada para dentro do volume. Portanto, o
líquido tende a minimizar a área da superfície
como no caso de uma membrana. As gotas de
chuva em queda livre são esféricas (e não em
forma de gotas de lágrima) porque a esfera é a
forma que possui a menor área superficial para
um dado volume. A figura A abaixo mostra esse
exemplo.
Figura A – Impacto produzido por uma
gota de água que cai sobre um líquido.
A figura B mostra como podemos fazer
medidas quantitativas da tensão superficial. Um
arame é encurvado em forma de U e um
segundo fio retilíneo desliza sobre os ramos do
U. Quando esse dispositivo é mergulhado em
uma solução de água e sabão e em seguida
retirado, criando uma película, a força da tensão
superficial puxa rapidamente o fio de arame no
sentido do topo do U invertido (se o peso w do
fio deslizante não for muito grande). Quando
puxamos o fio para baixo, fazendo aumentar a
área da película, as moléculas se movem no
interior do líquido (cuja espessura corresponde a
muitas camadas moleculares) para as camadas
superficiais. Estas camadas não se contraem
simplesmente como no caso de uma membrana
de borracha. Ao contrário, cria-se uma
membrana mais extensa pela aglutinação de
moléculas provenientes do interior do líquido.
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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15
Para manter o fio deslizante em equilíbrio, é
necessário uma força resultante F w T orientada de cima para baixo. No equilíbrio, a força
F também é igual à força de tensão superficial
exercida pela película sobre o fio. Seja l o
comprimento do fio deslizante. A película possui
uma face superior e uma inferior, de modo que a
força F atua sobre um comprimento total igual a 2l.
A tensão superficial da película é definida como a
razão da força da tensão superficial e o comprimento
d ao longo do qual a força atua.
2
F F
d l
Figura B – Medida da tensão superficial de
uma película de água de sabão (região sombreada).
O fio horizontal deslizante está em equilíbrio sob a
ação da força da tensão superficial 2l de baixo para
cima e da força w+T orientada para baixo.
A tensão superficial é uma força por
unidade de comprimento e sua unidade SI é o
Newton por metro.
Unidade:
SI: N/m
CGS: dina/cm
31 10din N
cm m
A tabela A mostra alguns valores de tensão
superficial.
Tabela A – Valores de tensão
superficial para algumas substâncias.
Líquido em
contato com
o ar
C(0C)
tensão superficial
dyn/cm
Benzeno 20 28,9
Tetracloreto
de carbono
20 26,8
Álcool
etílico
20 22,3
Glicerina 20 63,1
Mercúrio 20 465,0
Óleo de
oliva
20 32,0
Solução de
sabão
20 25,0
Água 0 75,6
Água 20 72,8
Água 60 66,2
Água 100 58,9
Oxigênio -193 15,7
Neônio -247 5,15
Hélio -269 0,12
A tensão superficial de um líquido
geralmente diminui com o aumento da
temperatura. Quando a temperatura aumenta, as
moléculas do líquido movem-se mais
rapidamente, a interação entre as moléculas
diminui e a tensão superficial diminui.
Para lavar melhor a roupa, deve-se ter
uma menor tensão superficial possível, para que
a água consiga entrar pelas fibras mais
facilmente. (Solução de sabão).
Capilaridade
Quando uma interface gás-líquido encontra
uma superfície sólida, como a parede de um
recipiente, a interface geralmente se encurva
para cima ou para baixo nas vizinhanças da
superfície sólida. O ângulo de contato entre a
interface e a superfície sólida é denominado de
ângulo de contato. Quando as moléculas de um
líquido são atraídas mutuamente, dizemos que o
líquido ―molha‖ ou adere à superfície do sólido.
A interface gás-líquido se encurva para cima e
é menor que 900. O líquido não molha a
superfície sólida quando a atração mútua entre
as moléculas do líquido supera a atração entre
elas e o sólido, como no caso do mercúrio com
o vidro, a interface gás-líquido se encurva para
baixo e é maior do que 900.
A tensão superficial faz um líquido descer
ou subir em um tubo capilar. Esse efeito
denomina-se capilaridade. A superfície curva
do líquido denomina-se menisco.
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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Quando:
< 900 Força de tensão superficial:
atua de baixo para cima e o líquido sobe até
atingir uma altura de equilíbrio na qual o peso da
coluna do líquido é igual à força de tensão
superficial.
> 900 Força de tensão superficial:
O menisco se encurva para baixo e a
superfície do líquido sofre uma depressão, puxada
para baixo pelas forças de tensão superficial.
A capilaridade é responsável pela absorção de
água no papel toalha, pela ascensão da parafina
fundida no pavio de uma vela e por muitos outros
efeitos observados, como quando o sangue é
bombeado pelas artérias e veias do nosso corpo, a
capilaridade é responsável pelo escoamento através
dos vasos sangüíneos muito finos que são chamados
de vasos capilares.
Figura C -
Vazão - INTRODUÇÃO:
A medição de vazão de fluidos sempre
esteve presente na era da modernidade. Não
precisamos ir muito longe. O hidrômetro de
uma residência, o marcador de uma bomba de
combustível são exemplos comuns no dia-a-dia
das pessoas. Em muitos processos industriais,
ela é uma necessidade imperiosa, sem a qual
dificilmente poderiam ser controlados ou
operados de forma segura e eficiente.
A vazão é obtida através da variação de
velocidade média em duas secções de áreas
conhecidas com aplicação do Teorema de
Bernoulli.
Existem os coeficientes adimensionais
Cq característicos para cada diafragma e cada
venturi.
TEORIA
A pressão no manômetro diferencial é
dada por:
hgp OHHg 2
212hhgp OHHg {1}
Equação da continuidade:
1 2 1 1 2 2m m V V
Para fluidos incompressíveis:
1 1 2 2v A v A {2}
Equação de Bernoulli: 2 2
1 21 1 2 2
2 2
v vp gy p gy
{3}
Substituindo {2} em {3}, a velocidade é
dada por:
2
2
2q
H O
pv c
Com:
2 4
1 1
2 2 4 4
1 2 1 2
q
A dc
A A d d
A vazão será:
1 1 2 2Q A v A v
Medidores de vazão
Na História, grandes nomes marcaram
suas contribuições. Provavelmente a primeira
foi dada por Leonardo da Vinci que, em 1502,
observou que a quantidade de água por unidade
de tempo que escoava em um rio era a mesma
em qualquer parte, independente da largura,
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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17
profundidade, inclinação e outros. Mas o
desenvolvimento de dispositivos práticos só foi
possível com o surgimento da era industrial e o
trabalho de pesquisadores como Bernoulli, Pitot e
outros.
Existe uma variedade de tipos de medidores
de vazão, simples e sofisticados, para as mais
diversas aplicações. O tipo a usar sempre irá
depender do fluido, do seu estado físico (líquido ou
gás), das características de precisão e confiabilidade
desejadas e outros fatores.
Placa de Orifício ou Diafragma
É um dos meios mais usados para medição
de fluxos. Dados de entidades da área de
instrumentação mostram que, nos Estados Unidos,
cerca de 50% dos medidores de vazão usados pelas
indústrias são deste tipo. Certamente as razões para
tal participação devem ser as vantagens que
apresenta: simplicidade custa relativamente baixa,
ausência de partes móveis, pouca manutenção,
aplicação para muitos tipos de fluido,
instrumentação externa, etc.
Desvantagens também existem: provoca
considerável perda de carga no fluxo, a faixa de
medição é restrita, desgaste da placa, etc.
Um arranjo comum é dado na Figura 1. A placa
(indicada em vermelho) provoca uma redução da
seção do fluxo e é montada entre dois anéis que
contêm furos para tomada de pressão em cada lado.
O conjunto é fixado entre flanges, o que torna fácil
sua instalação e manutenção.
A medição da diferença de pressão p1-p2
pode ser feita por algo simples como um manômetro
U e uma tabela ou uma fórmula pode ser usada para
calcular a vazão. Ou pode ser coisa mais sofisticada
como transdutores elétricos e o sinal processado por
circuitos analógicos ou digitais para indicação dos
valores de vazão.
Figura 1 – Placa de Orifício.
Tubo de Venturi
O chamado tubo de Venturi, em
homenagem ao seu inventor (G B Venturi,
1797).
Figura 2 – O tubo de Venturi
Figura 3 – Arranjos de alguns
medidores.
O arranjo 2 é chamado bocal. Pode ser
considerado uma placa de orifício com entrada
suavizada. Em 3 um cone é o elemento redutor
de seção. No tipo joelho (4) a diferença de
pressão se deve à diferença de velocidade entre
as veias interna e externa. Há menor perda de
carga no fluxo, mas o diferencial de pressão é
também menor.
Medidores de área variável (Rotâmetro)
Embora possa ser visto como um
medidor de pressão diferencial, o rotâmetro é
um caso à parte por sua construção especial. A
Figura 4 dá um arranjo típico.
Um tubo cônico vertical de material
transparente (vidro ou plástico) contém um
flutuador que pode se mover na vertical. Para
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
18
18
evitar inclinação, o flutuador tem um furo central
pelo qual passa uma haste fixa. A posição vertical y
do flutuador é lida numa escala graduada (na figura,
está afastada por uma questão de clareza. Em geral,
é marcada no próprio vidro).
Figura 4 – Arranjos de um medidor de
área variável.
Se não há fluxo, o flutuador está na posição
inferior 0. Na existência de fluxo, o flutuador sobe
até uma posição tal que a força para cima resultante
da pressão do fluxo se torna igual ao peso do
mesmo.
Notar que, no equilíbrio, a pressão vertical
que atua no flutuador é constante, pois o seu peso
não varia. O que muda é a área da seção do fluxo, ou
seja, quanto maior a vazão, maior a área necessária
para resultar na mesma pressão. Desde que a vazão
pode ser lida diretamente na escala, não há
necessidade de instrumentos auxiliares como os
manômetros dos tipos anteriores.
Medidores de deslocamento positivo Os medidores de deslocamento positivo
operam de forma contrária a bombas de mesmo
nome: enquanto nessas um movimento rotativo ou
oscilante produz um fluxo, neles o fluxo produz um
movimento.
A Figura 5 dá exemplo de um tipo de
lóbulos elípticos que são girados pelo fluxo. Existem
vários outros tipos aqui não desenhados: disco
oscilante, rotor com palhetas, pistão rotativo,
engrenagem, etc.
O movimento rotativo ou oscilante pode
acionar um mecanismo simples de engrenagens e
ponteiros ou dispositivos eletrônicos nos mais
sofisticados.
Em geral, não se destinam a medir a vazão
instantânea, mas sim o volume acumulado durante
um determinado período. São mais adequados para
fluidos viscosos como óleos (exemplo: na
alimentação de caldeiras para controlar o consumo
de óleo combustível).
Algumas vantagens são:
- adequados para fluidos viscosos, ao
contrário da maioria.
- baixo a médio custo de aquisição.
Algumas desvantagens:
- não apropriados para pequenas vazões.
- alta perda de carga devido à transformação
do fluxo em movimento.
- custo de manutenção relativamente alto.
- não toleram partículas em suspensão e
bolhas de gás afetam muito a precisão.
Figura 5 – Medidores de
deslocamento positivo.
Medidores do tipo turbina
O fluxo movimenta uma turbina cuja
pás são de material magnético. Um sensor capta
os pulsos, cuja freqüência é proporcional à
velocidade e, portanto, à vazão do fluido.
Os pulsos podem ser contados e totalizados por
um circuito e o resultado dado diretamente em
unidades de vazão.
Desde que não há relação quadrática
como nos de pressão diferencial, a faixa de
operação é mais ampla. A precisão é boa. Em
geral, o tipo é apropriado para líquidos de baixa
viscosidade.
Existem outras construções como, por exemplo,
os hidrômetros que as companhias de água
instalam nos seus consumidores: a turbina
aciona um mecanismo tipo relógio e ponteiros
ou dígitos indicam o valor acumulado.
Figura 6 – Medidores do tipo turbina.
Medidores Eletromagnéticos
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
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Os medidores eletromagnéticos
têm a vantagem da virtual ausência de
perda de pressão, mas só podem ser
usados com líquidos condutores de eletricidade.
O princípio se baseia na na lei de Faraday,
isto é, uma corrente elétrica é induzida num
condutor se ele se move em um campo magnético ou
vice-versa.
Na figura 7, um tubo de material não
magnético contém duas bobinas que geram um
campo magnético B no seu interior. Dois eletrodos
são colocados em lados opostos do tubo e em
direção perpendicular ao campo. O fluido faz o
papel do condutor e a tensão V gerada tem relação
com a velocidade do fluxo e, portanto, com a sua
vazão.
Figura 7 – Medidores Eletromagnéticos
Medidores de Efeito Döppler
Esses medidores estão na categoria dos
ultra-sônicos pois usam ondas nesta faixa de
freqüências.
Só devem ser usados com fluidos que
tenham partículas em suspensão.
Um elemento transmissor emite ultra-som
de freqüência conhecida. As partículas em suspensão
no fluido refletem parte das ondas emitidas. Desde
que estão em movimento, o efeito Döppler faz com
que as ondas sejam captadas pelo elemento receptor
em freqüência diferente da transmitida e a diferença
será tanto maior quanto maior a velocidade, ou seja,
há relação com a vazão do fluxo.
Figura 8 – Medidores de Efeito Döppler
Medidores de Coriolis
No arranjo da figura 9, o fluido passa
por um tubo em forma de U dotado de uma
certa flexibilidade. Um dispositivo magnético
na extremidade e não mostrado na figura faz o
tubo vibrar com pequena amplitude na sua
freqüência natural e na direção indicada.
O nome é dado devido ao efeito da
aceleração de Coriolis. Na época da elaboração
desta página, este fenômeno ainda não estava
inserido neste website e, por isso, não cabem
mais detalhes.
Mas o resultado é indicado na figura. A
aceleração de Coriolis provoca esforços em
sentidos contrários nas laterais do U, devido à
oposição dos sentidos do fluxo. E, visto de
frente, o tubo é deformado e isso pode ser
captado por sensores magnéticos.
A grande vantagem deste tipo é ser um
medidor de fluxo de massa e não de volume.
Assim, não há necessidade de
compensações para mudanças de condições de
temperatura e pressão.
Pode ser usado com uma ampla
variedade de fluidos. Desde tintas, adesivos até
líquidos criogênicos.
Figura 9 – Medidores de Coriolis
Tipo Utilização Faixa Perda de
pressão
Precisão
aprox %
Comprim
prévio diam
Sensib à
viscosid
Custo
relativo
Bocal Líquidos comuns. 4:1 Média ±1/±2 da
escala 10 a 30 Alta Médio
Coriolis Líquidos comuns, viscosos, alguma
suspensão. 10:1 Baixa
±0,4 da proporção
Não há Não há Alto
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1
2
2
Deslocamento
positivo Líquidos viscosos sem suspensões. 10:1 Alta
±0,5 da
proporção Não há Baixa Médio
Eletromagnético Líquidos condutivos com suspensões 40:1 Não há ±0,5 da
proporção 5 Não há Alto
Joelho Líquidos comuns. Alguma suspensão. 3:1 Baixa ±5/±10 da
escala 30 Baixa Baixo
Placa de orifício Líquidos comuns. Alguma suspensão. 4:1 Média ±2/±4 da
escala 10 a 30 Alta Baixo
Rotâmetro Líquidos comuns. 10:1 Média ±1/±10 da
escala Nenhum Média Baixo
Tubo de Pitot Líquidos sem impurezas. 3:1 Muito
baixa
±3/±5 da
escala 20 a 30 Baixa Baixo
Tubo de Venturi Líquidos comuns. Alguma suspensão. 4:1 Baixa ±1 da escala 5 a 20 Alta Médio
Turbina Líquidos comuns. Pouca suspensão. 20:1 Alta ±0,25 da
proporção 5 a 10 Alta Alto
Ultra-sônico
(Doppler) Líquidos viscosos com suspensões. 10:1 Não há ±5 da escala 5 a 30 Não há Alto
Mecânica dos Fluidos
1
Manômetros de coluna
Os Manômetros de coluna de líquido são
aparelhos básicos destinados a medir pressão ou vácuo
e servem também como padrões primários, isto é, são
utilizados como padrão para calibração de outros
aparelhos. De construção simples, conseqüentemente
apresentam baixo custo, além de apresentar vantagens
tais como: não requer manutenção, calibragem
especial e permite medições com grande precisão.
Atualmente tais instrumentos podem ser encontrados
em diferentes tipos de aplicação industrial que
passamos a descrever:
1 - Verificação de Vazamento: As Colunas
Manométricas servem para a verificação e controle de
vazamentos através de queda de pressão em testes de
câmaras de pressão em peças, teste de purificador de
ar etc.
2 - Determinação de Velocidade de Fluxo de
Ar: As Colunas Manométricas servem para determinar
o fluxo de ar em tubulações através da medição da
pressão diferencial em testes de aparelhos de
movimentação de ar, testes de carburadores, testes de
coletores de poeira e também servem para medir o
nível de interface de líquidos, quando estes estão
armazenados sob um outro líquido por questão de
segurança ou outras razões quaisquer.
3 - Medição de Nível de Líquidos
Armazenados: As Colunas Manométricas também
podem ser utilizadas para medir nível de líquidos
armazenados em tanques através do registro da
pressão exercida sobre uma coluna de líquido
baseando-se no princípio do balanceamento
hidrostático.
DEFINIÇÕES E PRINCÍPIOS PARA
FAZER MEDIÇÕES COM COLUNAS
MANOMÉTRICAS
No mundo contemporâneo, torna-se cada vez
mais necessária a medição e controle de determinados
parâmetros dos processos, com a finalidade de atender
aos mais variados tipos de especificações técnicas, por
este motivo a PRESSÃO pode ser considerada como
uma das mais importantes grandezas físicas que atua
nestes referidos processos. Por definição, Pressão é igual à relação entre a
Força uniformemente distribuída sobre a unidade de
área e atuando sobre ela; e um dos métodos mais
preciosos para medi-la consiste em equilibrar a coluna
de líquido, cujo peso específico é conhecido, com a
pressão aplicada. Para instrumentos com Coluna de Líquido, o princípio
da medição consiste no fato de que ao se aplicar a lei
D p= D h.. .g, a pressão "p" para ser medida
deve ser comparada com a altura "h" da coluna
de líquido.
Figura 10 – Variação da altura.
Os Instrumentos que empregam tal
princípio são denominados "Manômetros de
Coluna" e a precisão da medição, com auxílio
de tais instrumentos, pode chegar até 0,3%.
Para se fazer medições com maior precisão é
necessário que sejam considerados vários
fatores, tais como: a - Temperatura: realizar cálculos de
correção se a temperatura de medição diferir da
temperatura de referência, pois a variação de
temperatura provoca mudanças na densidade do
líquido manométrico.
b - Aceleração da gravidade deve ser
considerada no local da medição com o seu
valor de referência.
c - Impurezas contidas no líquido
manométrico também provocam mudanças na
densidade, conseqüentemente causando erros de
leitura.
d - A influência da Tensão Superficial
e sua mudança causada por efeitos externos,
assim como a compressibilidade do líquido
manométrico deve ser considerada. A tensão superficial dos líquidos é
apresentada pela forma que apresentam nas
paredes do recipiente. Em tubos de diâmetro
pequeno a forma da superfície total do líquido
será curvada, sendo que, para os líquidos que
tiverem baixa tensão superficial, a superfície
terá a forma convexa em relação ao ar. Com a finalidade de minimizar
qualquer efeito de distorção no aumento da
capilaridade em tubos de diâmetros pequenos
estes devem possuir diâmetros constantes.
Mecânica dos Fluidos
2
As unidades de pressão mais usadas na
prática são:
a - Milímetros ou polegadas de mercúrio (
mmHg ou "Hg )
b - Milímetros ou polegadas de coluna d'água
( mmH2O ou "H2O )
c - Bar ou milibar ( bar ou mbar )
d - Libra (força) por polegada quadrada (PSI
) A IOPE fornece escalas com as unidades de pressão
acima citadas e em diversos tamanhos para atender a
vários campos de leitura. Tais escalas podem ser
construídas de materiais tais como: alumínio, aço
inox, etc.., de acordo com a aplicação do instrumento.
Flanges
Figura 10 – Flanges e tubos.
Mecânica dos Fluidos
3
Viscosidade
INTRODUÇÃO:
Ao promover o movimento de uma esfera em
um fluido ideal de viscosidade em regime
estacionário, as linhas de corrente formam um
desenho perfeitamente simétrico em torno da mesma.
Haverá uma força de arrastamento viscoso.
Jean Louis Poiseuille (1799 – 1869) foi um físico
francês que realizou experimentos
relacionados à viscosidade de fluidos.
Em homenagem a seus trabalhos,
denomina-se a unidade de viscosidade
como Poise.
A Lei de George Stokes da viscosidade
estabeleceu a ciência de hidrodinâmica.
Realizou trabalho sobre esferas e várias
relações de fluxo que variam de mecânicas de onda a
resistência viscosa. Estudou o movimento de fluidos
incompressíveis, a fricção de fluidos em movimento, e
o equilíbrio e movimento de sólidos elásticos. Seus
trabalhos na transmissão de ondas acústicas por
materiais viscosos é de interesse na Física.
Investigando a teoria de onda de luz, nomeou
e explicou o fenômeno de fluorescência, e teorizou
uma explicação de linhas de Fraunhofer no espectro
solar. Ele sugeriu que estes fossem causados através
de átomos nas capas exteriores do Sol que absorve
certos comprimentos de onda. Porém quando
Kirchhoff publicou depois esta explicação aboliram-se
quaisquer descobertas anteriores.
A seguir analisaremos a força dada pela Lei
de Stokes em fluidos viscosos.
TEORIA
A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto
é, das forças de coesão entre moléculas relativamente
juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos
gases cresce com o aumento da temperatura, nos
líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da
temperatura, aumenta a energia cinética média das
moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo
que as moléculas passam umas junto das outras,
menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e
menor a viscosidade.
Para entender a natureza da viscosidade nos
líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma
sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas.
Aplicando uma força constante a uma das placas, a
experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma
velocidade constante (chamada velocidade terminal).
Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por
exemplo, a velocidade terminal também duplica. A
velocidade terminal é proporcional à força aplicada.
Pensando que o líquido entre as placas se separa em
lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de
produzir diferenças de velocidade entre lâminas
adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se
move junto com ela e a lâmina adjacente à placa
imóvel permanece também imóvel. O atrito
entre lâminas adjacentes causa dissipação de
energia mecânica e é o que causa a viscosidade
no líquido.
É um fato experimental que o módulo F da
força aplicada, necessária para manter o
movimento da placa com velocidade de módulo
v constante, é diretamente proporcional à área A
da placa e ao módulo da velocidade e
inversamente proporcional à distância L entre as
placas. Assim, podemos escrever:
v
dvF A
dL
definindo o chamado coeficiente de viscosidade
do fluido, que depende do fluido e da
temperatura. No SI, a unidade correspondente é
pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo
que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra
alguns coeficientes de viscosidade.
Coeficientes de Viscosidade
Líquidos (poise) Gases (10-4
poise)
Glicerina (20 oC)
8,3 Ar (0 oC) 1,71
Água (0 oC) 0,0179 Ar (20
oC) 1,81
Água (100 oC) 0,0028 Ar (100
oC) 2,18
Éter (20 oC) 0,0124
Água (100 oC)
1,32
Mercúrio (20 oC)
0,0154 CO2 (15 oC) 1,45
Os coeficientes de viscosidade dos óleos
lubrificantes automotivos são normalmente
expressos em SAE. Um óleo cuja viscosidade
SAE é 10 a 55 oC, por exemplo, possui
viscosidade entre 1,6 e 2,2 poise.
Ao definirmos o coeficiente de
viscosidade escolhemos o caso em que o fluido,
por efeito do movimento de uma das placas,
separava-se em camadas muito estreitas, com a
camada em contato com cada placa tendo a
velocidade desta placa e as camadas
intermediárias tendo velocidades que variam
linearmente de uma placa para a outra. Tal
escoamento é chamado laminar ou lamelar.
Mecânica dos Fluidos
4
O cociente = F/A é chamado tensão de
cisalhamento. De modo geral:
dvA
dL
mostrando a variação da velocidade das camadas de
fluido com a distância à placa parada. Esta expressão
representa a chamada lei de Newton para a
viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é
chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem
fluidos como os que são suspensões de partículas que
não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma
suspensão de partículas com formas características,
como discos, no caso das células vermelhas. As
partículas têm orientações aleatórias em pequenas
velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades
mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade
crescendo mais rapidamente do que a força.
Equação de Poiseuille
A equação que governa o movimento de um fluido
dentro de um tubo é conhecida como equação de
Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade,
embora ela realmente só é válida para escoamento
não-turbulento (escoamento laminar). O sangue
fluindo através dos canais sangüíneo não é exatamente
um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de
Poiseuille para essa situação é uma aproximação
razoável em primeira ordem, e leva a implicações
interessantes.
A equação de Pouiseuille para a taxa de escoamento
(volume por unidade de área), Q, é dada por:
4
8
R pQ
L
onde P1-P2 é a diferença de pressão entre os extremos
do tubo, L é o comprimento do tubo, r é o raio do
tubo, e h é o coeficiente de viscosidade.
Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca
de 4 x 10-3
Pa s.
A coisa mais importante a ser observada é
que a taxa de escoamento é fortemente dependente no
raio do tubo: r4. Logo, um decréscimo relativamente
pequeno no raio do tubo significa uma drástica
diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio
por um fator 2, diminui o escoamento por um fator 16!
Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os
níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução
das artérias. Uma pequena mudança no raio das
artérias pode significar um enorme esforço para o
coração conseguir bombear a mesma quantidade de
sangue pelo corpo.
Sob todas as circunstâncias em que se pode checar
experimentalmente, a velocidade de um fluido real
diminui para zero próximo da superfície de um objeto
sólido. Uma pequena camada de fluido próximo às
paredes de um tubo possui velocidade zero. A
velocidade do fluido aumenta com a distância às
paredes do tubo. Se a viscosidade de um fluido for
pequena, ou o tubo possuir um grande diâmetro,
uma grande região central irá fluir com
velocidade uniforme. Para um fluido de alta
viscosidade a transição acontece ao longo de
uma grande distância e em um tubo de pequeno
diâmetro a velocidade pode variar através do
tubo.
Cálculo da Viscosidade em uma
esfera:
A esfera caindo com velocidade
constante, termos a = 0.
A segunda Lei de Newton fica:
vF ma P E F
E
Fv
P
A força viscosa é dada por:
rvF 6
mgrvgm f 6
ee
e
e VmV
m
fff
f
f
f VmV
m
3
3
4RVe
Substituindo na equação (1) teremos:
gRrvgR ef
33
3
46
3
4
gRrvgR ef
33
3
23
3
2
092 3 rvgRef
092 3 RvgRef
v
gRfe
2
9
2
Mecânica dos Fluidos
5
R: Raio da esfera.
v: Velocidade terminal.
Sistemas de Unidades:
M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m2 ] onde : 1 [ N ]
= [ 1 Kg * m / s2 ]
C. G. S.: 1 [ ba ] = 1 [ din / cm2 ]
M.Kgf.S.: 1 [ Kgf / m2 ]
Outras unidades:
1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg =
1,033 Kgf / cm2 = 1 atmosfera física.
1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg =
1,0 Kgf / cm2 = 0,968 atN = 10 m.c.a.
1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa
1 ‖ = 2,54 cm 1 ‘ = 1 pé = 12 ‖
1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ‘
1 jd = 91,44 cm
1 pé = 30,48 cm
1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg
1 litro = 1l = 10-3
m3
C. G. S. : 1 [ poise ] = [ g / cm * s ]
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 6
6
Exemplos de Viscosidade - these may help you get a feel for the cP
Hydrogen @20°C 0.008 6 cP Benzyl ether @ 20°C 5.33 cP
Ammonia @ 20°C 0.009 82 cP Glycol @ 20°C 19.9 cP
Water vapor @100°C 0.125 5 Soya bean oil @ 20°C 69.3 cP
Air @ 18°C 0.018 2 cP Olive oil @ 20°C 84.0 cP
Argon @ 20°C 0.022 17 cP Light machine oil @ 20°C 102 cP
Air @ 229°C 0.026 38 cP Heavy machine oil @ 20°C 233 cP
Neon @ 20°C 0.031 11 cP Caster oil @ 20°C 986 cP
Liquid air @ -192.3°C 0.173 cP Glycerin @ 20°C 1,490 cP
Ether @ 20°C 0.233 cP Pancake syrup @ 20°C 2,500 cP
Water @ 99°C 0.2848 cP Honey @ 20°C 10,000 cP
Chloroform@ 20°C 0.58 cP Chocolate syrup @ 20°C 25,000 cP
Methyl alcohol@ 20°C 0.597 cP Ketchup @ 20°C 50,000 cP
Benzene @ 20°C 0.652 cP Peanut butter @ 20°C 250,000 cP
Water @ 20°C 1.002 cP Tar or pitch @ 20°C 30,000,000,0
00 cP
Ethyl alcohol @ 20°C 1.2 cP Soda Glass @ 575°C 1,000,000,00
0,000,000 cP
Mercury @ 20°C 1.554 cP
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 7
7
Perfil de velocidades
Tubo de Pitot e Medidor de Prandtl
Perfil de velocidades – Medidor de Prandtl
Introdução e Teoria:
Ludwig Prandtl (1875-1953) As contribuições de Ludwig Prandtl à
mecânica dos fluidos incluem seu desenvolvimento
da teoria para descrever o fenômeno de turbulência, e
de seus estudos experimentais e teóricos da dinâmica
de gases. Prandtl estudou mecânica e contribuiu à
mecânica de meios contínuos durante toda a maioria
de sua carreira.
Entretanto, sua descoberta da camada do
limite é considerada como uma das descobertas mais
importantes da mecânica dos fluidos e atribuiu a
Prandtl o título do pai da mecânica dos fluidos
moderna.
O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para
medir a velocidade do fluido em um escoamento. Em
particular, pode ser utilizado para medir a velocidade
de um avião em relação ao ar.
Outro fenômeno interessante é a
condensação causada pela singularidade de Prandtl-
Glauert que pode ser vista no vôo nivelado constante
geralmente em baixas alturas, estando o ar em
condições de umidade. Quando um avião se submete
a certo tipo de manobra, pode causar pressões muito
baixas na superfície superior das asas. As
temperaturas correspondentes serão baixas, de forma
que o vapor de água se condensa no lado superior da
asa. Uma característica da condensação é que haverá
muito mais condensação no lado superior da asa do
que no lado mais baixo, e que está associado
geralmente com voltas de elevadas acelerações g.
Pode-se escrever, na transformação
adiabática:
PV k PV nRT
nRT nRTV P k
P P
1
T cP
Para o ar, = 1.4, assim: 10,28
.
Assim, a temperatura do ar aumentará e diminuirá
conforme a pressão aumenta e diminui. As regiões da
alta pressão corresponderão necessariamente às
regiões da alta temperatura e as regiões da pressão
baixa corresponderão às regiões da temperatura
baixa.
O fenômeno causa uma aparência
como vista na figura 1:
Figura 1 - Foto de uma nuvem da condensação de Prandtl-Glauert em um avião com velocidade próxima à do som no ar.
A equação de Bernoulli:
2
2
221
21
2
121
1 gyvpgyvp
Chamando de 2
212
1vppp
f
f
phgv
22
A figura mostra a seção reta de um
duto cilindro, com a posição dos pontos nos
quais se deve medir a velocidade, conforme a
norma americana PIC 11-1946.
Figura 2 – Seção reta do duto do
laboratório conforme a norma americana PIC
11-1946.
37.5 mm
32.6 mm
27.6 mm
21.4 mm
12.3 mm
0
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 8
8
Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot
instalado no laboratório:
Gaveta de
Amianto
Metal: Latão
Pitot: Inox
Gaveta de Amianto: Alumínio
C oring: 1/8
Parafusos: Ø 3/8
Porca: 2,5"
A pressão na abertura 1 é estática, p, e em 2
é:
2
2
1vp
A altura manométrica h3 é proporcional à
diferença entre elas, ou seja: à pressão dinâmica
2
2
1v . Assim:
Lei de Poiseuille
Natureza da distribuição de tensão de cisalhamento
(pg. 150 livro R. V. Guiles).
p1A p2A
v
ro r
vc
r0 r dr
L
Uma vez que o fluxo é constante, a
soma das forças sobre o corpo livre é zero:
L
rpprLrprp
202 212
2
2
1
L
rpp
dr
dv
2
21
1 2
2c
v R
v r
p p rdvdv dr
dr L
1 2 2 2
4c
p pv v R r
L
2221
4rR
L
ppvv c
Ou
f
f
phgv
22
Taxa: Seja o volume de fluido dV que
atravessa seus extremos no tempo dt dado por:
rdrdtrRL
ppdV
2
4
2221
dArvQdArvdt
dV )()(
4
8
pRQ
L
Perfil de velocidades
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 9
9
Vazão em Vertedores
Introdução
A forma básica mais comum de medida de
descarga em um canal aberto é a utilização de um
vertedor. Basicamente, um vertedor é um
dispositivo colocado num canal que força o
escoamento através de uma abertura projetada para
medir a descarga. É uma obstrução em um canal
aberto sobre o qual escoa um líquido. A descarga
sobre o vertedor é função da geometria e da carga
sobre o vertedor.
Vertedores especializados têm sido
projetados para fins específicos; dois tipos são
considerados fundamentais: o de crista larga e o de
crista delgada.
Um vertedor projetado de forma apropriada
exibirá um escoamento subcrítico na corrente a
montante da estrutura e o escamento convergirá e
acelerará até uma condição crítica próxima ao topo
ou à crista do vertedor. Como resultado, poderá ser
feita uma correlação entre a descarga e uma corrente
de profundidade a montante do vertedor. O
transbordo da corrente a jusante é denominado
lâmina, a qual normalmente é descarregada
livremente na atmosfera.
Há uma série de fatores que afetam o
desempenho de um vertedor; os mais significativos
entre eles são os padrões do escoamento
tridimensional, os efeitos da turbulência a resistência
do atrito, a tensão superficial e a quantidade de
ventilação abaixo da lâmina. As derivações
simplificadas apresentadas nesse relatório se
baseiam na equação de Bernoulli; outros
efeitos podem ser levados em conta por meio
da modificação da descarga ideal com um
coeficiente de descarga Cq; a descarga real é a
descarga ideal multiplicada pelo coeficiente de
descarga.
Teoria:
Vertedor de crista larga
Um vertedor de crista larga é
mostrado na figura 1.
Figura 1 - Vertedor com crista larga.
2
2cv
g
LE
Y ye
h
(1) (2)
Ele tem elevação suficiente acima do
fundo para bloquear o escoamento e é
suficientemente longo para que as linhas de
corrente no transbordo se tornem paralelas,
resultando em uma distribuição hidrostática de
pressões. Pode-se aplicar a equação de
Bernoulli: 2 2
1 21 1 2 2
2 2
v vp gh p gh
Ou 2 2
1 1 2 21 2
2 2
p v p vh h
g g
Com = g para os pontos (1) e (2)
da figura.
Assim:
2
22
cc c c
vh Y h y v g Y y
g
Para um vertedor cuja largura normal
ao escoamento é b, a descarga ideal é:
2c c c cQ by v by g Y y
Vertedor de crista delgada
Um vertedor de crista delgada é uma
placa vertical colocada na direção normal ao
escoamento contendo uma crista de borda
delgada, de forma que a lâmina vertente se
comporte como um jato livre.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 10
10
A figura 2 mostra um vertedor retangular com
uma crista horizontal que se estende por toda a
largura do canal.
Figura 2 - Vertedor de crista delgada.
Y= H Lâmina
crista
v2 (2)
v1 h
(1) (1) (2)
(a) Escoamento ideal (b) Escoamento real
As contrações laterais não estão presentes
por causa da existência de paredes laterais.
Pode-se definir uma situação idealizada
(Figura 2 – (a)), na qual o escoamento no plano
vertical não se contrai a medida que passa sobre a
crista, de forma que as linhas de corrente sejam
paralelas e a pressão atmosférica esteja presente na
linha vertente e exista um escoamento uniforme no
ponto (1), com energia cinética desprezível (v10). A
equação de Bernoulli é aplicada ao longo de uma
linha de corrente representativa e resolvida para a
velocidade v2, a velocidade local na lâmina vertente
será:
2 2v g
Se b é a largura da crista normal ao
escoamento a descarga ideal é dada por:
2
0 0
2
Y Y
Q b v d b g d
3 222
3
bQ gY
Os experimentos têm mostrado que a
magnitude do expoente é aproximadamente correta;
porém deve ser aplicado um coeficiente de descarga
Cq para que seja previsto com acurácia para o
escoamento real, mostrado na figura 2 (b):
3 222
3qQ C gbY
A carga H=Y sobre o vertedor é definida
como a distância vertical entre a crista do vertedor e a
superfície do líquido a sua montante de tal forma que
se evite a curvatura da superfície livre do líquido.
A equação básica para a descarga do
vertedor é definida como a integração de:
VldhVdA
Aqui V é a velocidade a uma altura h
(vertical) da superfície livre e L=b é a largura
do vertedor.
Vertedor Retangular:
23
2 LHgCQ r
L
Vertedor Triangular
25
22
15
8HtggCQ t
Vertedor de Parede
espessa
323
2gHLCQ e
Sistema de
Unidades:
M.Kg.S. = [ Pa ] = [ 1 N * m - 2
] Q
= [ L * s - 1
] = [ dm 3
* s - 1
]
Viscosidade: [kg][m]-1[s]
-1 (MKS)
[poise] (CGS)
Equações de Navier Stokes
As equações de Navier Stokes são
equações diferenciais que descrevem o
escoamento de fluidos. São equações a
derivadas parciais que permitem determinar os
campos de velocidade e de pressão.
A equação é uma equação diferencial parcial
não-linear da segunda ordem,como segue:
2
tv v v p v g
Onde:
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 11
11
v
: é um vetor que representa a velocidade
de um elemento infinitesimal da massa em um ponto
no espaço 3-D;
p é a pressão escalar no mesmo ponto;
: é a densidade maciça no ponto e é
constante suposta durante todo o meio;
µ: é a viscosidade do meio;
g
: é a aceleração da gravidade
A equação de N-S refere-se ao movimento
de uma única partícula minúscula do campo fluido,
não o movimento total do líquido.
Entretanto, pode ser usada para calcular o
fluxo de gases e de líquidos incompressíveis de
objetos da forma arbitrária.
É usada na dinâmica dos fluidos e na
engenharia como um modelo padrão para o estudo da
turbulência, o comportamento da camada do limite, a
formação de ondas de choque, e o transporte maciço.
Entre outras coisas, é usado para calcular o teste
padrão do fluxo de ar nas asas de um avião. Foi
estudada e aplicada por muitas décadas.
.
Um problema sobre as equações de Navier-Stokes,
que nunca foi solucionado desde 1900, faz parte da
lista dos Prêmios Clay e a sua resolução vale
US$1000000.
Hidráulica Aplicada à tubulações
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido
Entende-se por conduto forçado àquele no qual o
fluido escoa à plena seção e sob pressão. Muitas
vezes os condutos de seção circular são chamados de
tubos ou tubulações. Um conduto é dito uniforme
quando a sua seção transversal não varia com o seu
comprimento. Se a velocidade do fluido em qualquer
seção do conduto não variar com o tempo, o regime
de escoamento é dito permanente.
A densidade dos líquidos, ao contrário do que se
passa com os gases, varia muito pouco quando se
varia a sua pressão ou temperatura. A título de
exemplo, considerando que a água tem
compressibilidade igual a 5.10-5
cm2 / Kgf, isto
significa que em condições normais seria
necessário um incremento de pressão de 20
Kgf /cm2 para que um litro de água se reduza
de 1 cm3, ou seja, para que sua densidade
aumente um milésimo. Por isto, do ponto de
vista prático, a densidade da água e de
qualquer líquido é independente da
temperatura e da pressão.
Diante dessa reduzidíssima variação da
densidade, nos escoamentos de líquidos em
regime permanente considera-se que os
mesmos se comportam como incompressíveis.
Neste contexto se incluem querosene,
gasolina, álcool, óleo diesel, água, vinho,
vinhoto, leite, e muitos outros, aos quais se
aplicam os conceitos aqui comentados.
É conveniente ressaltar que um
escoamento se classifica também como
turbulento ou laminar. No escoamento laminar
há um caminhamento disciplinado das
partículas fluidas, seguindo trajetórias
regulares, sendo que as trajetórias de duas
partículas vizinhas não se cruzam. Já no
escoamento turbulento a velocidade num dado
ponto varia constantemente em grandeza e
direção, com trajetórias irregulares, e podendo
uma mesma partícula ora localizar-se próxima
do eixo do tubo, ora próxima da parede do
tubo.
O critério para determinar se o
escoamento é turbulento ou laminar, é a
utilização do número de Reynolds:
4e
QR
D
onde:
Re = Número de Reynolds (admensional)
Q = vazão (m3 / s)
π = 3,1416...
D = diâmetro (m)
ν = viscosidade cinemática do líquido
(m2 / s)
Nas condições normais de escoamento o
número de Reynolds é interpretado conforme
segue:
Re > 4000, então o escoamento é turbulento.
Re < 2000, então o escoamento é laminar.
Entre estes dois valores há a zona de transição,
onde não se pode determinar com precisão os
elementos do dimensionamento.
Em geral, o regime de escoamento na
condução de líquidos no interior de tubulações
é turbulento, exceto em situações especiais,
tais como escoamento a baixíssimas vazões,
como ocorre em gotejadores de irrigação, onde
o escoamento é laminar.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 12
12
Sempre que um líquido escoa no interior de
um tubo de um ponto para outro, haverá uma certa
perda de energia, denominada perda de pressão ou
perda de carga. Esta perda de energia é devido ao
atrito com as paredes do tubo e devido à viscosidade
do líquido em escoamento. Quanto maior for a
rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das
asperezas, maior será a turbulência do escoamento e,
logo, maior será a perda de carga.
Já há cerca de dois séculos estudos e
pesquisas vem sendo realizados, procurando
estabelecer leis que possam reger as perdas de carga
em condutos. Várias fórmulas empíricas foram
estabelecidas no passado e algumas empregadas até
com alguma confiança em diversas aplicações de
engenharia, como as fórmulas de Hazen-Williams, de
Manning e de Flamant. Mas, trabalhos de diversos
investigadores tem mostrado que, em sua totalidade,
são mais ou menos incorretas. A incorreção dessas
fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o
domínio de aplicação pretendido por seus autores.
Atualmente a expressão mais precisa e usada
universalmente para análise de escoamento em tubos,
que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de
Darcy-Weisbach: 2
2 5
8f
fLQh
gD
onde:
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo
(mca)
f = fator de atrito (adimensional)
L = comprimento do tubo (m)
Q = vazão (m3 / s)
D = diâmetro interno do tubo (m)
g = aceleração da gravidade local (m / s2)
π = 3,1416...
Mas somente em 1939, quase 100 anos
depois, é que se estabeleceu definitivamente o fator
de atrito f, através da equação de Colebrook-White:
10
1 2,512 0,27log
e
k
Df R f
onde:
f = fator de atrito (adimensional)
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)
D = diâmetro interno do tubo (m)
Re = número de Reynolds (adimensional)
Obviamente, trata-se de uma equação implícita, isto
é, a variável f aparece nos dois membros da equação,
de forma não ser possível explicitá-la. Mas isto não
sugere que seja impossível resolver equações
implícitas. Os métodos numéricos, embora
aproximativos, são capazes de resolver equações
implícitas com a precisão que se desejar. São
métodos basicamente computacionais pois incorrem
em operações matemáticas repetidas. Encontram,
contudo, muita utilidade em hidráulica.
É o caso dos métodos iterativos, nos quais
ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um
valor inicial qualquer para a variável procurada que
está no seu segundo membro. Com o valor
inicial já arbitrado, calcula-se um novo valor
para esta mesma variável procurada, mas para
a que está no primeiro membro. Se a diferença
entre o valor inicial e o novo valor calculado
estiver fora da precisão desejada, repete-se
esta operação, porém colocando como valor
inicial o novo valor calculado. Se a diferença
aumentar diz-se que os valores estão
divergindo, e se diminuir diz-se que os valores
estão convergindo para a solução. O número
de repetições, isto é, o número de iterações
poderá ser pequeno ou não, dependendo do
método a ser utilizado, e se sucederá até que a
diferença seja suficientemente pequena ou
compatível com a precisão desejada.
Um esquema básico de cálculo,
passo-a-passo, seria algo do tipo:
1- Arbitra-se um valor inicial
qualquer para a variável do segundo membro.
2- Calcula-se novo valor para a
mesma variável que está no primeiro membro.
3- Compara-se a diferença entre o
valor calculado e o valor inicial com a
tolerância estabelecida.
4- Se maior, o novo valor passa a ser
o valor inicial, e volta-se para o passso (2). Se
menor passa-se para o passo (5).
5- O corrente valor da variável é o
valor procurado.
Métodos iterativos como o de Newton
são muito potentes e convergem muito
rapidamente, podendo alcançar resultados
altamente precisos com três ou quatro
iterações.
Na prática, em termos específicos, a
análise do escoamento em tubos basicamente
envolve três gradezas a se calcular:
o diâmetro
a vazão (ou velocidade)
a perda de carga
Estas são em síntese, as três variáveis
principais envolvidas no cálculo hidráulico,
pois as demais (material do tubo, tipo de
líquido, temperatura, etc), são básicas. Por
qualquer método que viermos a empregar, para
se determinar qualquer uma dessas três
variáveis, as duas demais deverão ser
conhecidas.
Em que pese a técnica iterativa
associada à precisão das equações dar um
pouco de velocidade ao cálculo, contudo
permanece o mesmo sendo realizado
manualmente, o que não deixa de ser
cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o
uso de programas para computadores digitais,
tal como o HidroTec Calculador, a resolução
torna-se simples, fácil, automática, rápida e
sem erros.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 13
13
Equações explícitas para o fator de atrito
de Darcy-Weisbach
Quando um líquido escoa de um ponto para
outro no interior de um tubo, gerará sempre uma
perda de energia, denominada perda de pressão ou
perda de carga. Esta perda de energia é devido ao
atrito com as paredes do tubo e devida à viscosidade
do líquido em escoamento. Portanto quanto maior for
a rugosidade da parede da tubulação e mais viscoso
for o líquido, maior será a perda de carga.
Com o intuito de estabelecer leis que possam
reger as perdas de carga em condutos, já há cerca de
dois séculos estudos e pesquisas vem sendo
realizados. Atualmente a expressão mais precisa e
utilizada universalmente para análise de escoamento
em tubos, e que foi proposta em 1845, é a conhecida
equação de Darcy-Weisbach: 2
2f
L Vh f
D g
onde:
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo
(mca)
f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional)
L = comprimento do tubo (m)
V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s)
D = diâmetro interno do tubo (m)
g = aceleração da gravidade local (m / s2)
Mas não se encontrou logo uma maneira
segura para determinação do fator de atrito. Somente
em 1939, quase 100 anos depois, é que se estabeleceu
definitivamente uma lei para fator de atrito f, através
da equação de Colebrook-White:
10
1 2,512
3,7log
e
k
Df R f
em que:
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)
Re = número de Reynolds (adimensional)
A equação de Colebrook-White tem sido
considerada como a mais precisa lei de resistência ao
escoamento e vem sendo utilizada como padrão
referencial. Mas, apesar disto, e de todo o
fundamentalismo e embasamento teórico agregado à
mesma, tem uma particularidade a alguns pouco
conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito,
ou seja, a grandeza f está presente nos dois membros
da equação, sem possibilidade de ser explicitada em
relação às demais grandezas. Sua resolução requer
um processo iterativo.
Isto resultou em motivos para que muitos
pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se
empenhassem em encontrar equações
explícitas, que pudessem ser utilizadas como
alternativas à equação de Colebrook-White.
Algumas mais compactas e simples, mais
fáceis de serem memorizadas, contudo com
grandes desvios; outras, menos compactas e
complexas, mais difíceis de serem
memorizadas, porém com desvios menores;
outras tantas combinando simplicidade e
precisão, com erros até bem reduzidos, em
relação ao fator de atrito calculado com a
equação de Colebrook-White.
No presente trabalho seleciona e
apresenta a seguir um pequeno conjunto destas
equações explícitas, considerando apenas
aquelas que pesquisadores, conforme
bibliografia consultada, avaliaram e
concluíram terem os menores erros em relação
à equação de Colebrook-White:
1- Sousa-Cunha-Marques, 1999 (erro =
0,123%):
0,8710 10
1 5,16 5,092
3,7 3,7log log
e e
k k
D R D Rf
2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%): 1,11
10
1 6,91,8
3,7log
e
k
D Rf
3- Barr, 1972 (erro = 0,375%):
0,89210
1 5,152
3,7log
e
k
D Rf
4- Swamee-Jain, 1976 (erro = 0,386%):
0,910
1 5,742
3,7log
e
k
D Rf
5- Churchill, 1973 (erro = 0,393%): 0,9
10
1 72
3,7log
e
k
D Rf
Um exame superficial mostra que, por
mais simples ou compactas que possam ser
estas equações explícitas, as mesmas requerem
também algum esforço computacional com
operações matemáticas de potenciação,
radiciação, logaritmicas, etc. Contudo, tendo
em vista as elevadas velocidades dos
processadores dos computadores atuais,
praticamente será imperceptível a diferença no
esforço computacional do cálculo feito com
uma equação implícita e com uma equação
explícita. Então, se o esforço é o mesmo, a
conclusão óbvia é que parece ser mais
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 14
14
razoável e lógico usar-se logo a equação de
Colebrook-White, dado à sua precisão.
Hipertensão Arterial
A HAS (Hipertensão Arterial Sistêmica) é
uma das doenças com maior prevalência no mundo
moderno e é caracterizada pelo aumento da pressão
arterial, medida com esfigmomanômetro ("aparelho
de pressão"), tendo como causas a hereditariedade, a
obesidade, o sedentarismo, o etilismo, o stress e
outras (veja causas de Hipertensão, mais abaixo).
: A pressão sanguínea é medida com o
esfigmomanômetro, que consiste de uma coluna de
mercúrio com uma das extremidades ligada a uma
bolsa, que pode ser inflada através de uma pequena
bomba de borracha, como indica a Figura 32 (A). A
bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível
aproximadamente igual ao do coração, a fim de
assegurar que as pressões medidas mais próximas às
da aorta. A pressão do ar contido na bolsa é
aumentada até que o fluxo de sangue através das
artérias do braço seja bloqueado.
A seguir, o ar é gradualmente eliminado da
bolsa ao mesmo tempo em que se usa um
estetoscópio para detectar a volta das pulsações ao
braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do ar
contido na bolsa se igualar à pressão sistólica, isto é,
a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o
sangue que está à pressão sistólica consegue fluir
pela (os sons ouvidos através do estetoscópio são
produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são
chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna
de mercúrio lida corresponde à pressão manométrica
sistólica. À medida que o ar é eliminado, a
intensidade do som ouvido através do esteie aumenta.
A pressão correspondente ao último som audível é a
pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea,
quando o sangue a baixa pressão consegue fluir pela
artéria não oclusa.
Hipertensão Arterial é uma situação na
qual a pressão arterial está elevada.
A pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue
contra a superfície interna das artérias. A força
original vem do batimento cardíaco. A pressão
arterial varia a cada instante, seguindo um
comportamento cíclico. São vários os ciclos
que se superpõe, mas o mais evidente é o
determinado pelos batimentos cardíacos.
Chama-se ciclo cardíaco o conjunto de
acontecimentos desde uma batimento cardíaco
até o próximo batimento.
No momento em que o coração ejeta
seu conteúdo na Aorta a energia é a máxima,
gerando força máxima e consequentemente
pressão máxima. Esta fase no ciclo cardíaco
chama-se Sístole, sendo que a pressão neste
instante é chamada de Pressão Arterial
Sistólica.
Imediatamente antes do próximo batimento
cardíaco a energia é mínima, com a menor
força exercida sobre as artérias em todo o
ciclo, gerando portanto a menor pressão
arterial do ciclo cardíaco. Esta fase é chamada
de Diástole, sendo que a pressão neste instante
é chamada de Pressão Arterial Diastólica.
Quando se fala em dois valores de
pressão arterial (140 por 90, por exemplo),
estamos dizendo que neste momento os ciclos
cardíacos estão gerando uma pressão arterial
que oscila entre 140 e 90 unidades de medida,
140 no pico da Sístole e 90 no final da
Diástole.
Esta situação aumenta o risco de
problemas cardiovasculares futuros, como
Infarto agudo do miocárdio e Derrame
Cerebral, por exemplo.
A pressão normal seria aquela onde o
risco destes problemas seria o mínimo.
Na verdade não existe um nível
"seguro". A possibilidade de problemas é log-
linear, ou seja cresce de maneira contínua em
uma escala logarítmica.
O valor normal é um tanto arbitrário,
definido pelos especialistas no assunto, para
fins práticos e operacionais. É semelhante a
definição de maioridade, onde para fins
práticos se considera 18 anos de idade e não
18 anos e um mês ou 17 anos e 11 meses, por
exemplo, embora o amadurecimento seja
possivelmente o mesmo.
Para a maior parte das pessoas o valor de
140/90 mmHg é relacionado a baixo risco de
problemas futuros, sendo considerado o
"normal".
Como é verificada a Pressão
Arterial
Para verificar a pressão arterial, o profissional
envolve um dos braços do paciente com o
esfigmomanômetro, que nada mais é do que
uma cinta larga com um pneumático interno
acoplado a uma bomba de insuflação manual e
um medidor desta pressão. Ao insuflar a
bomba, o pneumático se enche de ar e causa
uma pressão no braço do paciente, pressão esta
monitorada no medidor. Um estetoscópio é
colocado sobre a artéria braquial (que passa na
face interna medial do cotovelo). Estando o
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 15
15
manguito bem insuflado, a artéria estará colabada
pela pressão exercida e não passará sangue na artéria
braquial. Não haverá ruído algum ao estetoscópio.
Libera-se, então, a saida do ar pela bomba, bem
devagar e observando-se a queda da pressão no
medidor. Quando a artéria deixa de estar totalmente
colabada um pequeno fluxo de sangue inicia sua
passagem pela artéria provocando em ruído de
esguicho (fluxo turbilionar). Neste momento anota-se
a pressão máxima (sistólica). O ruído persistirá até
que o sangue passe livremente pela artéria, sem
nenhum tipo de garroteamento (fluxo laminar).
Verifica-se no medidor este momento e teremos a
pressão mínima (pressão diastólica). Em geral,
medimos a pressão em milímetros de mercúrio
(mmHg), sendo normal uma pressão diastólica
(mínima) entre 60 e 80 mmHg (6 a 8 cmHg) e
pressão sistólica entre 110 e 140 mmHg (11 a 14
cmHg) (cmHg = centímetros de mercúrio).
Sintomatologia
A "pressão alta" é considerada uma doença
silenciosa, pois pode não produzir nenhum sintoma
no paciente. Alguns podem queixar-se de dor ou
pressão na nuca e cefaléia, mas não é necessário
nenhum sintoma. Esta falta de sintomas pode fazer
com que o paciente esqueça de tomar seu remédio ou
até mesmo questione sua necessidade. Isto faz com
que as complicações ocorram em grande número.
Complicações da HAS
O aumento contínuo da pressão arterial faz com que
ocorram danos as artérias de diversas partes do
organismo vivo. A Hipertensão Arterial é um fator de
risco para Aterosclerose. Como conseqüência desta,
podem acontecer tanto o Acidente Vascular Cerebral
- AVC, como o Infarto agudo do miocárdio - IAM).
Como qualquer artéria do corpo pode ser obstruída
pela aterosclerose, virtualmente todos os orgão
podem sofrer alterações decorrentes da hipertensão.
Causas de Hipertensão Arterial
Na grande maioria dos casos a Hipertensão
Arterial é considerada essencial, isto é, ela é uma
doença por si mesma. No entanto, devem ser
descartadas outras doenças que causam a hipertensão
arterial apenas como um sinal, pois pode então ser
tratada a causa básica melhorando naturalmente a
hipertensão. Dentre estas causas existe a hipertensão
nefrogênica, onde um rim com algum problema em
sua irrigação sanguínea produz substâncias visando
aumentar a pressão e receber mais sangue. Nestes
casos tratando este rim a pressão normaliza. Outro
caso é o do feocromocitoma, um tumor que produz
substâncias vasoconstrictoras que aumentam a
pressão arterial, produzem taquicardia, cefaléia e
sudorese. A retirada deste tumor melhora a pressão..
Tratamento
Casos iniciais e leves respondem bem à dieta
pobre em sal de cozinha (NaCl) emagrecimento e
prática de esportes. Outros casos necessitarão de
medicamentos. São várias as classes de
medicamentos possíveis de ser usadas,
isoladas ou associadas. Entre outras temos os
diuréticos, os bloqueadores adrenérgicos, os
bloqueadores de canais de cálcio, os inibidores
de enzima conversora de angiotensina II e os
bloqueadore do receptor da angiotensina II.
Diuréticos são medicamentos que
estimulam a produção de urina como as
tiazidas. Casos mais graves necessitam de
medicamentos inibidores da ECA (IECA)),
como o captopril e enalapril. É interessante
notar que o captopril é uma substância que foi
isolada primariamente do veneno da cobra
jararaca
Bibliografia:
(Mecânica dos Fluidos, Potter M. C.,
Wiggert D. C., Cap. 2, pp. 36-37, Editora
Thomson).
Equação da energia para fluido real
Nesse item será retirada a hipótese de
fluido ideal; logo, serão considerados os atritos
internos no escoamento do fluido. São
mantidas as hipóteses de regime permanente,
fluido incompressível, propriedades uniformes
na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta
última significa que não existe uma troca de
calor provocada propositalmente; no entanto,
ao se considerar os atritos no escoamento do
fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda
de calor do fluido para o ambiente causada
pêlos próprios atritos. Como será visto a
seguir, a construção da equação da energia
pode ser realizada sem se falar, explicitamente,
dessa perda de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se
o fluido fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8).
Se, no entanto, houver atritos no
transporte do fluido, entre as seções (l) e (2)
haverá uma dissipação da energia, de forma
que H1 > H2.
Querendo restabelecer a igualdade, será
necessário somar no segundo membro a
energia dissipada no transporte.
121 2 pH H H
12pH : energia perdida entre (l) e (2) por
unidade de peso do fluido.
Como 12 1 2pH H H e como H1 E H2
são chamados cargas totais, 12pH é denominado
'perda de carga'. Se for considerada também a presença de
uma máquina entre (l) e (2), a equação da energia
ficará:
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 16
16
121 2M pH H H H
12
2 2
1 1 2 21 2
2 2M p
v p v pz H z H
g g
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um fluido
real entre duas seções onde não existe máquina, a energia é sempre
decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga total a montante
é sempre maior que a de jusante, desde que não haja máquina entre as
duas. A potência dissipada pêlos atritos é facilmente calculável
raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência do
fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser calculada
por:
12diss pN QH
Exemplos:
l) Na instalação da figura, verificar se a máquina é
uma bomba ou uma turbina e determinar a sua potência,
sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão
indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16
MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos tubos é l0 cm2 e
a perda de carga entre as seções (l) e (4) é 2 m.
Não é dado o sentido do escoamento,
2
4 310H O N m ; g = 10 m/s2.
Solução
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o
nível do reservatório inferior sem incluir a parte interna do
tubo,
já que nesta não se conhece a pressão.
Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido
das cargas decrescentes, num trecho onde não existe
máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as
cargas nas seções (l) e (2).
2
1 11 1 0 0 24 24
2
v pH z m
g
2
2 22 2
2
v pH z
g
3
2 4
10 1010
10 10
Qv m s
A
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 17
17
2
2 22 2
2
v pH z
g
2 6
2 4
10 0,16 104 25
2 10 10H m
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma,
sendo a máquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equação da energia entre as
seções (4) e (1), que compreendem a bomba.
Lembrar que a equação deve ser escrita
no sentido do escoamento.
144 1B pH H H H
2
4 44 4
2
v pH z
g
1 24H m
4 0H 14
2pH
141 4 24 0 2 26B pH H H H 4 310 10 10 26
3470 3,470,75B
Bot
B
QHP W kW
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 18
18
Exercícios -
Franco Brunetti – Capítulo I
1. A viscosidade cinemática de um óleo é de 0.028
m2/s e o seu peso específico relativo é de 0.85. Encontrar a
viscosidade dinâmica em unidades do sistemas MKS, CGS e
SI (g=10 m/s2).
2. A viscosidade dinâmica de um óleo é de 5 . 10-4
kgf.s/m2 e seu peso específico relativo é 0.82. Encontre a
viscosidade cinemática nos sistemas MKS, SI e CGS
(g=10m/s2 e a = 1000kgf/m
3.
3. O peso de 3 dm3 de certa substância é 23.5 N. A
viscosidade cinemática é 10-5
m2/s. Se g = 10 m/s
2, qual será a
viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MKS e SI?
4. São dadas duas placas planas paralelas à distância
de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s,
enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for
preenchido com óleo ( = 0.1 St; = 830 kg/m3), qual será a
tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
v = 4m/s
2 mm
Resposta: = 16,6 N/m2.
5. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e 20 N de
peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre uma
película de óleo. A velocidade da placa é de 2m/s constante.
Qual a velocidade dinâmica do óleo se a espessura da película
é de 2mm?
2 mm
2m/s 20 N
30°
Resposta: = 10-2
N.s/m2.
6. O pistão da figura tem uma massa de 0.5 kg. O
cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima com
velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10 cm e do
pistão é 9 cm e entre os dois existe óleo com = 10-4
m2/s e
= 8000 N/m3. Com que velocidade deve subir o cilindro para
qie o pistão permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e
g = 10 m/s2).
L = 5 cm fluido
D1
D2
Resposta: v = 22,1 m/s
7. Num tear, o fio é esticado passando por uma
fieira e é enrolado num tambor com velocidade constante.
Na fieira, o fio é lubrificado e tingido por uma substância.
A máxima força que pode ser aplicada no fio é 1N, pois,
ultrapassando-a, ela se rompe. Sendo o diâmetro do fio
0,5mm e o diâmetro da fieira 0,6mm, e sendo a rotação do
tambor 30 rpm, qual é a máxima viscosidade do
lubrificante e qual é o momento necessário no eixo do
tambor? R.: M = 0,1N.m2; = 0,1 N.s/m
2
Resposta: M=0,1 N.m; = 0,1 N.s/m2.
8. Ao girar, o eixo provoca a rotação do tambor.
Este enrola a corda, que levanta um peso de 10N com uma
velocidade constante de 0,5 m/s. O fluido existente entre o
eixo e o tambor tem = 0,1 N.s/m2 e apresenta um
diagrama linear de velocidades. Pede-se:
(a) a rotação do eixo;
(b) o momento provocado pelo fluido contra a
rotação do eixo. Dados: R1 = 10 cm; R2 = 10,1 cm; R3 = 20 cm.
lubrificante 0,6mm 0,5mm fieira fio
n = cte
L = 10cm Tambor D=0.2m
Peso
Resposta: (a) n=125 rpm; (b) Meixo=2,47 N.m.
9. O turbocompressor de um motor de combustão
interna tem uma rotação de 120000rpm. Os mancais do
eixo são flutuantes e giram com uma certa rotação. São
dados:
= 8.10-3
N.s/m2; D1=12mm, D2=12.05mm; L=20mm.
Nas condições de equilíbrio dinâmico da rotação
dada, pede-se:
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 19
19
(a) a rotação do mancal flutuante.
(b) o momento resistente à rotação que age no eixo do
turbocompressor relativo aos mancais.
Mancais flutuantes A
CP TB
A L
CP: Compressor
TB: Turbina
óleo
mancal flutuante
eixo
D1
D2
D3
D4
Corte A-A sem escala
Resposta: (a) 40,533 rpm; (b) 0,14 N.m
10. Dois discos são dispostos coaxialmente face a
face, separados por um filme de óleo lubrificante de espessura
pequena. Aplicando um momento no disco (1), ele inicia um
movimento em torno de seu eixo, através de um fluido viscoso,
estabelece-se o regime, de tal forma que as velocidades
angulares 1 e 2 ficam constantes. Admitindo o regime
estabelecido, determinar em função a 1 e 2.
D 2
1
Resposta: 1 2 4
32 tM
D
11. A placa da figura tem 4 m2 de área e espessura
desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa,
formando um diagrama de velocidades dado por:
max20 1 5v yv y
A viscosidade dinâmica do fluido é 10-2
N.s/m2 e
a velocidade máxima do escoamento é 4m/s. Pede-se:
(a) o gradiente de velocidades junto ao solo.
(b) a força necessária para manter a placa em
equilíbrio.
Resposta: (a) -80 m/s; (b) 3,2 N
Placa F
vmax
20 cm
Solo
Sears –Zemansky – Young – VII
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 20
20
SEÇÃO 14.2 DENSIDADE
14.1 Fazendo um biscate, você foi solicitado a
transportar uma barra de ferro de 85.8 cm de comprimento e
2,85 cm de diâmetro de um depósito até um mecânico. Você
precisará usar um carrinho de mão? (Para responder, calcule o
peso da barra.)
14.2 A Lua possui massa de 7,35 . 1022
kg e raio igual
a 1740 km. Qual é sua densidade média?
14.3 Você compra uma peça retangular de metal com
massa de 0,0158 kg e com dimensões 5,0 x 15,0 x 30.0 mm. O
vendedor diz que o metal é ouro. Para verificar se é verdade
você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor
obtido? Você foi enganado?
14.4 Um seqüestrador exige como resgate um cubo de
platina com 40.0 kg. Qual é o comprimento da aresta?
SEÇÁO 14.3 PRESSÃD EM UM FLUIDO
14.5 Um barril contém uma camada de óleo de 0.120
m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0,250
m. A densidade do óleo é igual a 600 kg/m' a) Qual é a pressão
manométrica na interface entre o óleo e a água? b) Qual é a
pressão manométrica no fundo do barril?
14.6 Um veículo esportivo vazio pesa 16.5 kN. Cada
pneu possui uma pressão manométrica igual a 205 kPa.
(a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus
com o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus sejam
flexíveis de modo que a pressão exercida pelo pneu sobre o
pavimento seja igual à pressão do existente no interior do
pneu.)
(b) Qual é a área total, considerando a mesma pressão
manométrica do pneu, quando o peso total dos passageiros e da
carga for igual a 9,1 kN?
14.7 Você está projetando um sino de mergulho para
agüentar a pressão da água do mar até uma profundidade de
250 m.
(a) Qual é a pressão manométrica nesta profundidade?
(Despreze as variações de densidade da água com a
profundidade.)
(b) Sabendo que, para esta profundidade, a pressão
dentro do sino é igual à pressão fora do sino, qual é a força
resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro do
sino sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de 30,0
cm? (Despreze a pequena variação de pressão sobre a
superfície da janela.)
14.8 Qual deve ser a pressão manométrica
desenvolvida por uma bomba para bombear água do fundo do
Grand Canyon (a uma altura de 730 m) até o Indian Gardens (a
1370 m)? Expresse a resposta em pascais e em atmosferas.
14.9 O líquido no manômetro de tubo aberto indicado
na Figura é o mercúrio, y1 = 3,00 cm e y2 = 7,00 cm. A pressão
atmosférica é igual a 980 milibares.
(a) Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo
em forma de U?
(b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a
uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfície livre?
(c) Qual é a pressão absoluta do gás no tanque?
(d) Qual é a pressão manométrica do gás em
pascais?
14.10 Existe uma profundidade máxima na qual
uma mergulhadora (Figura 14.33) pode respirar através de
um tubo snorkel (respirador), porque à medida que a
profundidade aumenta, a diferença de pressão também
aumenta, tendendo n produzir um colapso dos pulmões da
mergulhadora.
Como o snorkel liga o ar dos pulmões com a
atmosfera sobre a superfície livre, a pressão no interior
dos pulmões é igual a uma atm. Qual é a diferença de
pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da
mergulhadora a uma profundidade igual a 6.1 m?
Suponha que a mergulhadora esteja mergulhada em água
doce. (Um mergulhador usando uma snorkel (tanque com
ar comprimido) respirando o ar comprimido deste
dispositivo pode atingir profundidades muito maiores do
que um mergulhador usando o snorkel. uma vez que a
pressão do ar comprimido no interior da snorkel
compensa o aumento da pressão da água no exterior dos
pulmões.)
14.11 Um curto-circuito elétrico impede o
fornecimento da potência necessária para um submarino
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 21
21
que está a uma profundidade de 30 m abaixo da superfície do
oceano. A tripulação deve empurrar uma escotilha com área
de 0.75 m2 e peso igual a 300 N para poder escapar do fundo
do submarino. Se a pressão interna for igual a l,0 atm, qual é a
força para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha?
14.12 Você foi convidado a projetar um tanque de
água cilíndrico pressurizado para uma futura colônia em
Marte, onde a aceleração da gravidade é igual a 3,71 m/s. A
pressão na superfície da água deve ser igual a 130 kPa e a
profundidade deve ser igual a 14,2 m. A pressão do ar no
edifício fora do tanque deve ser igual a 93 kPa. Calcule a força
resultante para baixo sobre a base do tanque de área igual a
2,00 m2 exercida pelo ar e pela água no interior do tanque e
pelo ar no exterior do tanque.
14.13 Em um foguete um tanque com tampa
pressurizada contém 0,250 m3 de querosene de massa igual a
205 kg. A pressão na superfície superior do querosene é igual a
2,01.105 Pa. O querosene exerce uma força igual a 16,4 kN
sobre o fundo do tanque, cuja área é igual a 0,0700 m . Calcule
a profundidade do querosene.
14.14 O pistão de um elevador hidráulico de carros
possui diâmetro igual a 0,30 m. Qual é a pressão
manométrica em pascais, necessária para elevar um carro
com massa igual a 1200 kg? Expresse esta pressão também
em atmosferas.
SEÇÃO 14.4 EMPUXO
14.15 Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água
doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma
mulher de 45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem que ela
molhe seus pés?
14.16 Uma amostra de minério pesa 17,50 N no ar.
Quando a amostra é suspensa por uma corda leve e totalmente
imersa na água, a tensão na corda é igual a 11,20 N. Calcule o
volume total e a densidade da amostra.
14.17 Um objeto com densidade média flutua na
superfície livre de um fluido com densidade fluido.
(a) Qual é a relação entre estas duas densidades?
(b) Levando em conta a resposta do item (a), como
um navio de aço flutua na água?
(c) Em termos de e de fluido qual é a fração do
objeto que fica submersa e qual é a fração do objeto que
fica acima da superfície do fluido? Verifique se suas
respostas fornecem os limites correios quando fluido e
0.
(d) Quando você está a bordo do seu iate, seu
primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular
(dimensões de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a joga no mar. A peça
possui massa igual a 42 g. Quando ela flutua no oceano,
que fração fica acima da superfície?
14.18 Uma esfera de plástico oca é mantida
submersa em um lago de água doce amarrada em uma
corda presa no fundo do lago. O volume da esfera é igual
a 0,650 m e a tensão na corda é igual a 900 N.
(a) Calcule a força de empuxo exercida pela água
sobre a esfera,
(b) Qual é a massa da esfera?
(c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume
da esfera que fica submersa?
14.19 Um bloco de madeira cúbico com aresta de
10,0 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de
água e uma camada de óleo, com sua base situada a l,50
cm abaixo da superfície livre do óleo (Figura 14.34). A
densidade do óleo é igual a 790 kg/m3.
(a) Qual é a pressão manométrica na face
superior do bloco?
(b) Qual é a,pressão manométrica na face inferior
do bloco?
(c) Qual é a massa e a densidade do bloco?
14.20 Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N
no ar.
(a) Qual é g o seu volume?
(b) O lingote é suspenso por uma corda leve e
totalmente imersa na água. Qual é a tensão na corda (o
peso aparente do lingote na água)?
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 22
22
SEÇÃO 14.5 TENSÃO SUPERFICIAL
14.21 Ache a pressão manométrica em pascais em
uma bolha de s sabão com diâmetro igual a 3,00 cm. A tensão
superficial é igual a 25,0.10-3
N/m.
14.22 Calcule o excesso de pressão a 20°C
(a) no interior de uma gota de chuva grande com raio
igual a l ,00 mm;
(b) no interior de uma gota de água com raio igual a
0,0100 mm (típica de uma gotícula no nevoeiro).
14.23 Como ficar em pé sobre a água. Estime a
força da tensão superficial para cima que deveria ser exercida
sobre seus pés para que você pudesse ficar em pé sobre a água.
(Você precisa j medir a área dos seus pés.) Qual deveria ser o
peso máximo de um corpo que poderia ser sustentado pela
água desta maneira?
14.24 Por que as árvores não fazem sucção do ar?
Verificou-se que as pressões negativas que ocorrem nos tubos
que transportam a seiva de uma árvore alta podem atingir cerca
de - 20 atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo em
contato com o ar e a água pode evaporar das folhas. Porém se
as pressões são negativas, por que o ar não é sugado para as
folhas? Para responder a esta pergunta estime a diferença de
pressão necessária para forçar o ar através dos interstícios das
paredes das células no interior das folhas (diâmetros da ordem
de 10~8 m) e explique por que o ar exterior não pode penetrar
nas folhas. (Considere a tensão J superficial da seiva igual à da
água a 20°C. Esta situação é diferente daquela indicada na
Figura 14.15: neste caso é o arque desloca a seiva nos
interstícios.)
14.25 Uma película de água de sabão possui 22cm de
largura e está a 200C. O fio que desliza possui massa igual a
0,700g. Qual é o módulo necessário T da força que puxa para
baixo para manter o fio em equilíbrio?
SEÇÃO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO
14.26 A água escoa em um tubo cuja seção reta possui
área variável e em todos os pontos a água enche
completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta possui área
igual a 0,07m2 e o módulo da velocidade do fluido é igual
a3,50 m/s.
(a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos para os
quais a seção reta possui área igual a
(i) 0,105m2?
(ii) 0,047m2?
(b) Calcule o volume de água descarregada pela
extremidade aberta do tubo em 1 hora.
14.27 A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção
reta possui área variável e em todos os pontos a água enche
completamente o tubo.
(a) Em um ponto onde o raio do tubo é igual a
0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão
volumétrica no tubo é igual a 1,20 m3/s?
(b) Em um segundo ponto a velocidade da água é
igual a 3,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse ponto?
14.28 Deduza a equação da continuidade.
Quando a densidade cresce 1.50% de um ponto 1
até um ponto 2, o que ocorre com a vazão volumétrica?
SEÇÃO 14.7 EQUAÇÃO E BERNOULLI
14.29 Um tanque selado que contém água do mar
até uma altura igual a 11,0m também contém ar acima da
água a uma pressão manométrica igual a 3,00 atm. A água
flui para fora através de um pequeno orifício na base do
tanque. Calcule a velocidade de efluxo da água.
14.30 Um pequeno orifício circular com diâmetro
igual a 6,00 mm é cortado na superfície lateral de um
grande tanque de água, a profundidade
de 14m abaixo da superfície livre da água. O topo do
tanque está aberto para a atmosfera. Ache:
(a) a velocidade de efluxo;
(b) o volume de água descarregada por unidade
de tempo.
14.31 Qual é a pressão manométrica necessária
no tubo principal da rua para que uma mangueira de
apagar incêndio ligada a ele seja capaz de lançar água até
uma altura de 15m? (Suponha que o diâmetro do tubo
principal seja muito maior do que o diâmetro da
mangueira de apagar incêndio.
14.32 Em um ponto de um encanamento a
velocidade da água é 3,00 /s e a pressão manométrica é
igual a 5,00.104Pa. Calcule a pressão manométrica em um
segundo ponto do encanamento, 11,0m abaixo do
primeiro, sabendo o diâmetro do cano no segundo ponto é
igual ao dobro do diâmetro do primeiro.
14.33 Sustentação sobre um avião. As linhas de
corrente horizontais em torno das pequenas asas de um
avião são tais que a velocidade sobre a superfície superior
é igual a 70,0 m/s e sobre a superfície inferior é igual a
60,0 m/s. Se o avião possui massa igual a 1340 kg e a área
da asa é igual a 162 m2, qual é a força resultante vertical
(incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A
densidade do até 1.20 kg/m3.
14.34 Uma bebida leve (essencialmente água) flui
em um tubo de uma fábrica de cerveja com uma vazão
volumétrica tal que deva encher 220 latas de 0.355L por
minuto. Em um ponto 2 do tubo, situado a 1.35m acima do
ponto 2, a área da seção reta é igual a 2.00 cm2. Obtenha:
(a) a vazão mássica;
(b) a vazão volumétrica;
(c) as velocidades do escoamento nos pontos 1 e
2;
(d) a pressão manométrica no ponto 1.
14.35 A água é descarregada de um tubo
cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm3/s. Em um
ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a pressão absoluta é
igual a 51.60 10 Pa . Qual é o raio do tubo em uma
constrição onde a pressão se reduz para 51.20 10 Pa ?
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 23
23
14.36 Em dado ponto de um escoamento cilíndrico
horizontal a velocidade da água é igual a 2.50 m/s e a pressão
manométrica é igual a 41.80 10 Pa . Calcule a pressão
manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo
que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do
diâmetro do primeiro.
SEÇÃO 14.9 VISCOSIDADE
*14.37 Água a 20°C se escoa em tubo de raio igual a
10,0 cm. A viscosidade da água a 20°C é igual a l ,005
centipoise. (Se a velocidade da água no centro do tubo é igual
a 2,50 m/s, qual é a velocidade da água
(a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (na metade do
caminho entre o centro e a parede)?
(b) sobre as paredes do tubo?
* 14.38 Água a 20°C se escoa em tubo de raio igual a
8.50 mm. A viscosidade da água a 20°C é igual a l,005
centipoise. Se a velocidade da água no centro do tubo é igual a
0,200 m/s e o escoamento é laminar, calcule a queda de
pressão devida à viscosidade ao longo de 3,00 m de
comprimento do tubo.
* 14.39 Água a 20°C se escoa em tubo horizontal com
15,0 m de comprimento; o escoamento é laminar e a água
enche completamente o tubo. Uma bomba mantém uma
pressão manométrica igual a 1200 Pa em um tanque grande
conectado a uma extremidade do tubo. A outra extremidade do
tubo está aberta para o ar. A viscosidade da água a 200C é
igual a l,005 centipoise.
(a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00 cm, qual é a
vazão volumétrica?
(b) Que pressão manométrica deve a bomba fornecer
para produzir a mesma vazão volumétrica de um tubo com
diâmetro igual a 3,00 cm?
(c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se a mesma
pressão manométrica da bomba, qual é a nova vazão
volumétrica quando a água está a uma temperatura de 600C?
(A viscosidade da água a 600C é igual a 0,469 centipoise.)
* 14.40 O inseto Rhodinus pmlixus da América do Sul suga o
sangue de mamíferos. Seu ferrão é semelhante a uma agulha
hipodérmica muito fina (que permite sugar o sangue de sua
vítima sem causar dor, portanto, sem que seja notado). A parte
mais estreita da "agulha" possui diâmetro igual a 10 /um e
comprimento igual a 0,20 mm. a) Qual deve ser a pressão
manométrica na cavidade da boca do inseto se ele sugar 0,25
cm de sangue em 15 minutos? Expresse sua resposta em Pa e
em atm. (A viscosidade do sangue em tal tubo fino é igual a l,0
centipoise. Para obter uma resposta aproximada aplique a
equação de Poiseuille ao sangue, embora ele seja um fluido
não-newtoniano.) b) Por que não é uma boa aproximação
desprezar as dimensões das outras partes do ferrão do inseto?
* 14.41 Qual deve ser a velocidade de uma esfera de
alumínio com raio igual a 2,00 mm se deslocando em óleo de
rícino a 20°C para que a força de arraste devido à viscosidade
seja igual a um quarto do peso da esfera? (A viscosidade
do óleo de rícino para esta temperatura é igual a 9,86
poise.)
* 14.42 Medida da viscosidade. Uma esfera de
latão com massa igual a 0,35 g cai com velocidade
terminal igual a 5,0 cm/s em um líquido desconhecido.
Sabendo que a densidade do líquido é igual a 2900 kg/m\
qual é a sua viscosidade?
*14.43 Mantendo todas as demais grandezas
constantes, o que ocorre com a vazão volumétrica de um
escoamento laminar quando dobramos:
(a) o diâmetro do tubo?
(b) a viscosidade?
(c) a diferença de pressão?
(d) o gradiente de pressão?
(e) o comprimento do tubo?
14.44 Para os arremessos normais de uma bola de
basquete (exceto para os arremessos desesperados) a força
de resistência do ar é desprezível. Para demonstrar isso,
considere a razão da força da Lei de Stokes e o peso de
uma bola de basquete de 0,6000 kg. A bola de basquete
possui um raio igual a 0,124m e se move com velocidade
de 5m/s no ar com densidade igual a 1,2 kg/m3.
14.45 Um feixe de laser muito estreito com
elevada intensidade perfura um orifício cilíndrico no casco
de uma espaçonave de ficção científica; o orifício possui
comprimento de 0.180m e um raio de apenas 50.0 m. O
interior da espaçonave possui pressão de 1 atm e ar a 200C
com viscosidade igual a 181 Po começa a escapar com
escoamento laminar para o vácuo no exterior da
espaçonave.
(a) Qual é a velocidade do ar ao longo do eixo do
cilindro na extremidade externa e na metade da distância
entre este ponto e o ponto externo?
(b) Quantos dias serão necessários para que
ocorra uma perda de 1m3 de ar através desse orifício?
(Suponha que a pressão interna permaneça igual a 1 atm.
(c) Qual seria o fator de multiplicação das
respostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifício dobrasse
de valor e o escoamento permanecesse laminar?
Problemas
14.46 Em uma aula experimental, uma professora
separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (diâmetro
D) usando as duas mãos. A seguir ela os encaixa
novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir a
pressão absoluta p e coloca as faces opostas do hemisfério
em um bodybuilder (um aparelho de ginástica usado para
fazer exercícios de tração) para tentar separá-los.
(a) Designando por p0 a pressão atmosférica, qual
é a força que o bodybuilder deve exercer sobre cada
hemisfério?
(b) Avalie a resposta para o caso p = 0.025atm e
D = 10.0cm.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 24
24
14.47 O ponto com maior profundidade de todos os
oceanos na Terra é a fossa das Marianas com uma
profundidade de 10.92 km.
(a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a
pressão para essa profundidade?
(b) A pressão real nesse ponto é igual a 81.160 10 Pa ; o valor que você calculou deve ser menor que
este porque na realidade a densidade da água aumenta com a
profundidade.
Usando o valor da compressibilidade da água e o
valor real da pressão, ache a densidade no fundo da fossa
Marianas. Qual é a variação percentual da densidade da água?
14.48 Uma piscina mede 5.0 m de comprimento, 4.0
m de largura e possui 3.0 m de profundidade. Determine a
força exercida pela água sobre:
(a) o fundo da piscina;
(b) sobre cada parte lateral da piscina (Sugestão:
Calcule a força infinitesimal que atua sobre uma faixa
horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a
parede lateral.) Despreze a força produzida pela pressão do ar.
14.49 A aresta superior de uma comporta de uma
represa está em contato com a superfície da água. A comporta
possui altura de 2.00 m, largura de 4.00 m e possui uma
articulação passando pelo seu centro. Calcule o torque
produzido pela força da água em relação ao eixo da
articulação. (Sugestão: Use o procedimento análogo ao
adotado no problema 19.48; calcule o torque infinitesimal
produzido por uma faixa horizontal situada a uma
profundidade h e integre sobre a comporta).
14.50 Força e Torque sobre uma represa. Uma
represa possui a forma de um sólido retangular. A face de
frente para o lago possui área A e altura H. A superfície de
água doce do lago atrás da represa está no mesmo nível do
topo da represa.
(a) Mostre que a força resultante horizontal exercida
pela água sobre a represa é dada por 12
gHA , ou seja, o
produto da pressão manométrica através da face da represa
pela área da represa.
(b) Mostre que o torque produzido pela força da água
em relação ao eixo passando no fundo da represa é dado por 21
6gH A .
(c) Como a força e o torque dependem do tamanho da
represa?
14.51 Um astronauta está em pé no pólo norte de um
novo planeta descoberto com simetria esférica de raio R. Ele
sustenta em suas mãos um recipiente que contém um
líquido de massa m volume V. Na superfície do líquido a
pressão é p0; a uma profundidade d abaixo da superfície, a
pressão possui um valor maior que p. A partir dessas
informações, determine a massa do planeta.
14.52 Para calcular a densidade em um dado
ponto no interior de um material, considere um pequeno
volume dV em torno desseponto. Se a massa no interior do
volume for igual a dm, a densidade no referido ponto será
dada por dm
dV . Considere uma barra cilíndrica com
massa M, raio R e comprimento L, cuja densidade varia
com o quadrado da distância a uma de suas extremidades, 2C x .
(a) Mostre que 2 3
3MC
R L .
(b) Mostre que a densidade média, dada pela
Equação m
V é igual a um terço da densidade na
extremidade x = L.
14.53 A Terra não possui uma densidade
constante; ela é mais densa em seu centro e menos densa
na sua superfície. Uma expressão aproximada para sua
densidade é dada por r A Br , onde A =12.700
kg/m3 e B = 1,50. 10
3 kg/m
4. Considere a Terra como uma
esfera com raio R = 6,37. 106 m.
(a) Evidências geológicas indicam que as
densidades são de 13.100 kg/m3 no centro e de 2400 kg/m
3
na superfície. Quais os valores previstos pela aproximação
linear da densidade para estes pontos?
(b) Imagine a Terra dividida em camadas
esféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r,
espessura dr, volume 24dV r dr e massa
dm r dr . Integrando desde r = 0 até r = R,
mostre que a massa da Terra com este modelo é dada por:
34 3
3 4M R A BR
(c) Mostre que os valores dados de A e B
fornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%.
(d) Vimos na que uma camada esférica não
fornece nenhuma contribuição de g no interior da camada.
Mostre que esse modelo fornece:
4 3
3 4g r Gr A Br
(e) Mostre que a expressão obtida no item (d)
fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s2 na
superfície da Terra,
(f) Mostre que com este modelo g não diminui
uniformemente com a profundidade e, ao contrário,
atinge um valor máximo igual a
24
9
GA
B
= 10,01 m/s no
ponto
r = 2A/3 B = 5640 km.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 25
25
14.54 No Exemplo 12.9 (Seção 12.7) vimos que no
interior de um planeta com densidade constante (uma hipótese
irreal para a Terra) a aceleração da gravidade cresce
uniformemente com a distância ao centro do planeta. Ou seja,
r̂
g r gR
, onde g é a aceleração da gravidade na
superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é o raio do
planeta. O interior do planeta pode ser considerado
aproximadamente como um fluido incompressível com
densidade .
(a) Substitua a altura h na Equação (14.4) pela
coordenada radial r e integre para achar a pressão no interior
de um planeta com densidade constante em função de r.
Considere a pressão na superfície igual a zero- (Isso significa
desprezar a pressão da atmosfera do planeta.)
(b) Usando este modelo, calcule a pressão no centro
do Terra. (Use o valor da densidade média da Terra,
calculando-a mediante os valores da massa e do raio indicados
no Apêndice F.)
(c) Os geólogos estimam um valor aproximadamente
igual a 4.1011
Pa para a pressão no centro da Terra- Este valor
concorda com o que você calculou para r = 0? O que poderia
contribuir para uma eventual diferença?
14.55 Um tubo em forma de ü está aberto em ambas
as extremidades e contém uma porção de mercúrio. Uma
quantidade de água é cuidadosamente derramada na
extremidade esquerda do tubo em forma de U até que a altura
da coluna de água seja igual a 15.0 cm (Figura 14.36).
(a) Qual é a pressão manométrica na interface água-
mercürio?
(b) Calcule a distância vertical h entre o topo da
superfície do mercúrio do lado direito e o topo da superfície da
água do lado esquerdo.
14.56 A Grande inundação de melaço. Na tarde do
dia 15 de janeiro de 1919, em um dia não usualmente quente
em Boston, correu a ruptura de um tanque cilíndrico metálico
com diâmetro de 27,4 m e altura de 27,4 m que continha
melaço. O melaço inundou uma rua formando uma corrente
com profundidade igual 9 m, matando pedestres e cavalos e
destruindo edifícios. A densidade do melaço era igual a 1600
kg/m3. Supondo que o tanque estava completamente cheio
antes do acidente, qual era a força total exercida para fora pelo
melaço sobre a superfície lateral do tanque?
(Sugestão: Considere a força para fora exercida
sobre um anel circular da parede do tanque com largura dy
situado a uma profundidade y abaixo da superfície
superior. Integre para achar a força total para fora.
Suponha que antes do tanque se romper, a pressão sobre a
superfície do melaço era igual à pressão atmosférica fora
do tanque.)
14.57 Uma barca aberta possui as dimensões
indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se que todas as partes
da barca são feitas com placas de aço de espessura igual a
4,0 cm, qual é a massa de carvão que a barca pode
suportar em água doce sem afundar? Existe espaço
suficiente na parte interna da barca para manter esta
quantidade de carvão? (A densidade do carvão é
aproximadamente iguala 1500 kg/m3.)
14.58 Um balão com ar quente possui volume
igual a 2200 m3. O tecido (envoltório) do balão pesa 900
N. A cesta com os equipamentos e o tanque cheio de
propano pesa 1700 N. Se o balão pode suportar no limite
um peso máximo igual a 3200 N, incluindo passageiros,
alimentos e bebidas, sabendo-se que a densidade do ar
externo é de l ,23 kg/m', qual é a densidade média dos
gases quentes no interior do balão?
14.59 A propaganda de um certo carro afirma que
ele flutua na água.
(a) Sabendo-se que a massa do carro é igual 900
kg e seu volume interno é de 3,0 m', qual é a fração do
carro que fica submersa quando ele flutua? Despreze o
volume do aço e de outros materiais,
(b) Através de uma passagem, a água penetra
gradualmente deslocando o ar do interior do carro. Qual
será a fração do carro que fica cheia quando ele afunda?
14.60 Um cubo de gelo de massa igual a 9,70 g
flutua em um copo de 420 cm completamente cheio de
água. A tensão superficial da água e a variação da
densidade com a temperatura são desprezíveis (quando ela
permanece líquida),
(a) Qual é o volume de água deslocado pelo cubo
de gelo?
(b) Depois que o gelo se fundiu complelamente, a
água transborda? Em caso afirmativo, calcule o volume da
água que transbordou. Em caso negativo, explique por que
isto ocorre,
(c) Suponha que a água do copo seja água salgada
com densidade igual a 1050 kg/m3, qual seria o volume da
água salgada deslocado pelo cubo de gelo de 9,70 g?
(d) Refaça o item (b) para o caso de um cubo de
gelo de água doce flutuando em água salgada.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 26
26
14.61 Um bloco de madeira possui comprimento de
0,600 m, largura de 0,250 m, espessura de 0,080 m e
densidade de 600 kg/m3. Qual deve ser o volume de chumbo
que pode ser amarrado embaixo do bloco de madeira para que
ele possa flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja
alinhado com a superfície da água? Qual é a massa deste
volume de chumbo?
14.62 Um densímetro é constituído por um bulbo
esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta possuí área igual
a 0,400 cm
(Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste é igual a
13,2 cm'. Quando imerso em água, o densímetro flutua
mantendo a haste a uma altura de 8,00 cm acima da
superfície da água. Quando imerso em um fluido orgânico, a
haste fica a uma altura de 3,20 cm acima da superfície. Ache a
densidade do fluido orgânico. (Observação: Este problema
ilustra a precisão deste tipo de densímetro. Uma diferença de
densidade relativamente pequena produz uma diferença
grande na leitura da escala do densímetro).
CAPITULO 14 - MECÂNICA DOS FLUIDOS
14.63 As densidades do ar, do hélio e do hidrogênio
(para p = l,0atm e T= 293 K) são 1,20 kg/m3,0,166 kg/m
3 e
0,0899 kg/m , respectivamente,
(a) Qual é o volume em metros cúbicos deslocado por
um aeróstato cheio de hidrogênio sobre o qual atua uma força
de "sustentação" total igual a 120 kN? (A "sustentação" é a
diferença entre a força de empuxo e o peso do gás que enche o
aeróstato.)
(b) Qual seria a "sustentação" se o hélio fosse usado
no lugar do hidrogênio? Tendo em vista sua resposta, explique
por que o hélio é usado nos modernos dirigíveis usados em
propagandas.
14.64 MHS de um objeto flutuando. Um objeto com
altura h, massa M e área da seção reta A flutua verticalmente
em um líquido com densidade.
(a) Calcule a distância vertical entre a superfície do
líquido e a parte inferior do objeto na posição de equilíbrio,
(b) Uma força de módulo F é aplicada de cima para
baixo sobre o topo do objeto. Em sua posição de equilíbrio,
qual é a diferença entre a nova distância vertical entre a
superfície do líquido e a parte inferior do objeto e a distância
calculada no item (a)? (Suponha que uma pequena parte do
objeto permaneça sobre a superfície do líquido.)
(c) Sua resposta da parte (b) mostra que se a força for
repentinamente removida- o objeto deverá oscilar para cima e
para baixo executando um MHS. Obtenha o período deste
movimento em função da densidade p do líquido, da massa M
e da área da seção reta A do objeto. Despreze o amortecimento
provocado pelo atrito do líquido (Seção 13.8).
14.65 Uma baliza cilíndrica de 950 kg flutua
verticalmente na água do mar. O diâmetro da baliza é igual a
0,900 m.
(a) Calcule a distância vertical adicional que a baliza
deverá afundar quando um homem de 70,0 kg ficar em pé
sobre ela. (Use a expressão deduzida na parte (b) do Problema
14.64.)
(b) Calcule o período do MHS resultante quando
o homem pular para fora da baliza.(Use a expressão
deduzida na parTe (c) do Problema 14.64 e, como nesse
problema, despreze o amortecimento provocado pelo atrito
do líquido.)
14.66 Na água do mar um salva-vidas com
volume igual a 0,0400 m3 pode suportar o peso de uma
pessoa com massa igual a 75,0 kg (com densidade média
igual a 980 kg/m3) mantendo 20% do volume da pessoa
acima da água quando o salva-vidas está completamente
submerso. Qual é a densidade média do material que
compõe o salva-vidas?
14.67 Um bloco de madeira leve está sobre um
dos pratos de uma balança de braços iguais sendo
exatamente equilibrado pela massa de 0,0950 kg de um
bloco de latão no outro prato da balança. Calcule a massa
do bloco de madeira leve se a sua densidade for igual a
150 kg/m3. Explique por que podemos desprezar o
empuxo sobre o bloco de latão, mas não o empuxo do ar
sobre o bloco de madeira leve.
14.68 O bloco A da Figura 14.38 está suspenso
por uma corda a uma balança de mola D e está submerso
em um líquido C contido em um recipiente cilíndrico B. A
massa do recipiente é igual a l ,00 kg; a massa do líquido é
l ,80 kg. A leitura da balança D indica 3,50 kg e a balança
E indica 7,50 kg. O volume do bloco A é igual a 3,80.10-3
m3.
(a) Qual é a densidade do líquido?
(b) Qual será a leitura de cada balança quando o
bloco A for retirado do líquido?
14.69 Uma barra de alumínio é completamente
recoberta por uma camada de ouro formando um lingote
com peso igual a 45,0 N. Quando você suspende o lingote
em uma balança de mola e a seguir o mergulha na água, a
leitura da balança indica 39,0 N. Qual é o peso do ouro na
camada?
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 27
27
14.70 Uma bola solta cheia de hélio flutuando no
interior de um carro com janelas e ventoinhas fechadas se
move no sentido da aceleração do carro, porem uma bola
frouxa com pouco ar em seu interior se move em sentido
contrário ao da aceleração do carro.
Para explicar a razão deste efeito, considere somente
as forças horizontais que atuam sobre a bola. Seja a o módulo
da aceleração do carro. Considere um tubo de ar horizontal
cuja seção reta possui área A com origem no pára-brisa, onde x
= 0 e p = p0 e se orienta para trás. Agora considere um
elemento de volume de espessura dx ao longo deste tubo. A
pressão em sua parte frontal é p e a pressão em sua parte
traseira é p + dp. Suponha que o ar possua uma densidade
constante p.
(a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de
volume e mostre que dp = pa dx.
(b) Integre o resultado da parte (a) para achar a
pressão na superfície frontal em termos de a e de x.
(c) Para mostrar que considerar p constante é
razoável, calcule a diferença de pressão em atm para uma
grande distância de 2,5 m e para uma elevada aceleração de 5,0
m/s2,
(d) Mostre que a força horizontal resultante sobre um
balão de volume Vê igual Va.
(e) Para forças de atrito desprezíveis, mostre que a
aceleração da bola (densidade média 𝜌 ) é dada por (𝜌
𝜌𝑏𝑜𝑙)a, de
modo que a aceleração relativa é dada por:
𝑎𝑟𝑒𝑙 = 𝜌 𝜌𝑏𝑜𝑙 − 1 𝑎
(f) Use a expressão da a obtida na parte (e) para
explicar o sentido do movimento das bolas.
14.71 O peso da coroa de um rei é w. Quando
suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a
tensão na corda (o peso aparente da coroa) é igual fw.
(a) Mostre que a densidade relativa da coroa é dada
por 1 1 − 𝑓 . Discuta o significado dos limites quando f =
0 e f = l.
(b) Se a coroa for um sólido de ouro e pesar 12,9 N no
ar, qual será o seu peso aparente quando estiver totalmente
imersa na água?
(c) Repita a parte (b) se a coroa for um sólido de
chumbo com uma camada muito fina de ouro, porém com peso
ainda igual a 12,9 N no ar.
14.72 Uma peça de aço possui peso w, um peso
aparente (ver o Problema 14.71) w quando está totalmente
imersa na água e um peso aparente wfluido quando está
totalmente imersa em um fluido desconhecido,
(a) Mostre que a densidade relativa do fluido é dada
por
𝑤 − 𝑤𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑤 − 𝑤á𝑔𝑢𝑎
(b) Este resultado é razoável para os três casos wfluido
maior, menor ou igual a wágua?
(c) O peso aparente da peça de aço em água com
densidade 1000 kg/m3 é 87,2% do seu peso. Qual é a
porcentagem do seu peso para o peso aparente do corpo
mergulhado em ácido fórmico (densidade 1220 kg/m3)?
14.73 Você funde e molda uma certa quantidade de
metal com densidade 𝜌𝑚 em uma forma, porém deve tomar
cuidado para que não se formem cavidades no interior do
material fundido. Você mede um peso w para o material
fundido e uma força de empuxo igual a B.
(a) Mostre que
𝑉0 =𝐵
𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑔−
𝑤
𝜌𝑚𝑔
é o volume total das eventuais cavidades
formadas no interior do material fundido.
(b) Se o metal for o cobre, o peso w do material
fundido for igual a 156 N e a força de empuxo for igual a
20 N, qual é o volume total das cavidades formadas no
interior do material fundido? A que fração do volume do
material este volume corresponde?
14.74 Um bloco cúbico de madeira com aresta de
0,100 m de densidade igual a 550 kg/m3 flutua em um
recipiente com água. Óleo com densidade igual a 750
kg/m3 é derramado sobre água até que a camada de óleo
fique 0,035 m abaixo do topo do bloco.
(a) Qual é a profundidade da camada de óleo?
(b) Qual é a pressão manométrica na face inferior
do bloco?
14.75 Lançando uma âncora. Uma âncora de
ferro com massa igual a 35,0 kg e densidade igual a 7860
kg/m3 está sobre o convés de uma barca pequena que
possui lados verticais e está flutuando sobre um rio de
água doce. A área da parte inferior da barca é igual a 8,00
m3. A âncora é lançada pela parte lateral da barca e afunda
sem tocar o fundo do rio sendo sustentada por uma corda
de massa desprezível. Quando a âncora fica suspensa
lateralmente e depois de a barca parar de oscilar, a barca
afundou ou subiu na água? Qual o valor da distância
vertical que ela afundou ou subiu?
14.76 Suponha que o petróleo de um
superpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m3. O
navio fica encalhado em um banco de areia. Para fazer o
navio flutuar novamente sua carga é bombeada para fora e
armazenada em barris, cada um deles com massa igual a
15,0 kg quando vazio e com capacidade para armazenar
0,120 m de petróleo. Despreze o volume ocupado pelo aço
do barril,
(a) Se um trabalhador que está transportando os
barris acidentalmente deixa um barril cheio e selado cair
pelo lado do navio, o barril flutuará ou afundará na água
do mar?
(b) Se o barril flutua, qual é a fração de seu
volume que fica acima da superfície da água? Se ele
afunda, qual deveria ser a tensão mínima na corda
necessária para rebocar o barril para cima a partir do
fundo do mar?
(c) Repita as partes (a) e (b) supondo que o
petróleo possua densidade igual a 910 kg/m3 e que a
massa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg.
14.77 Um bloco cúbico com densidade 𝜌𝐵 e uma
aresta com comprimento L flutua sobre um líquido de
densidade maior 𝜌𝐿.
(a) Que fração do volume do bloco fica acima da
superfície do líquido?
(b) O líquido é mais denso do que a água
(densidade igual a 𝜌𝐴) e não se mistura com ela.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 28
28
Derramando-se água sobre a superfície do líquido, qual deve
ser a camada da água para que a superfície livre da água
coincida com a superfície superior do bloco? Expresse a
resposta em termos de L, 𝜌𝐵 , 𝜌𝐴 e 𝜌𝐿.
(c) Calcule a profundidade da camada de água da
parte (b) se o liquido for mercúrio e o bloco for de aço com
aresta de 10,0 cm.
14-78 Uma barca está em uma eclusa retangular de
um rio de água doce. A eclusa possui comprimento igual a
60,0 m e largura igual a 20,0 m e as comportas de aço das duas
extremidades estão fechadas. Quando a barca está flutuando na
eclusa, uma carga de 2.5.106 N de sucata de metal é colocada
na barca. O metal possui densidade igual a 9000 kg/m3,
(a) Depois que a carga de sucata de metal, que estava
inicialmente nas margens da eclusa, é colocada na barca, de
quanto se eleva verticalmente o nível da água da eclusa?
(b) A sucata de metal é agora despejada na água da
eclusa pela parte lateral da barca. O nível da água da eclusa
sobe, desce ou permanece inalterado? Caso ele suba ou desça,
de quanto varia verticalmente o nível da água da eclusa?
14.79 Um tubo em forma de U que contém um
líquido possui uma seção horizontal de comprimento igual a
l (Figura 14.39). Calcule a diferença de altura entre as duas
colunas de líquido nos ramos verticais quando
(a) o tubo se desloca com uma aceleração a para a
direita:
(b) o tubo gira em torno de um dos ramos verticais
com uma velocidade angular 𝜔.
(c) Explique por que a diferença de altura não
depende da densidade do líquido nem da área da seção reta do
tubo. A resposta seria a mesma se os tubos verticais tivessem
áreas das seções retas diferentes? A resposta seria a mesma se
a parte horizontal do tubo fosse afunilada diminuindo sua
seção reta de uma extremidade até a outra? Explique.
14.80 Um recipiente cilíndrico que contém um liquido
incompressível gira com velocidade angular 𝜔 constante em
tomo de seu eixo de simetria, o qual vamos considerar como o
eixo Ou (Figura 14.40).
(a) Mostre que a pressão a uma dada altura no interior
do líquido cresce com a distância radial r (para fora do eixo de
rotação) de acordo com 𝜕𝜌
𝜕𝑟= 𝜌𝜔2𝑟
(b) Integre esta equação diferencial parcial para achar
a pressão em função da distância ao eixo de rotação ao longo
de uma linha horizontal para y = 0.
(c) Combine a resposta da parte (b) com a Equação
(14.5) para mostrar que a superfície do líquido que gira possui
uma forma parabólica, ou seja, a altura do liquido é dada por
𝑟 =𝜔2𝑟2
2𝑔
(Esta técnica é usada para fabricar espelhos
parabólicos para telescópios; o vidro líquido gira e depois
é solidificado enquanto está girando.)
14.81 Um fluido incompressível com densidade p
está em um tubo de teste horizontal com área da seção reta
interna A. O tubo de teste gira com velocidade angular 𝜔
em uma ultracentrífugadora. As forças gravÍtacionais são
desprezíveis. Considere um elemento de volume do fluido
de área A e espessura dr' situado a uma distância r' do
eixo de rotação. A pressão na superfície interna é p e a
pressão na superfície externa é p + dp.
(a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento
de volume para mostrar que
𝑑𝑝 = 𝜌𝜔2𝑟´𝑑𝑟´ (b) Se a superfície do fluido está em um raio r0
onde a pressão é p0, mostre que a pressão p a uma
distância 𝑟 ≥ 𝑟0 é dada por:
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝜔2 𝑟2 − 𝑟0
2
2
(c) Um objeto de volume V e densidade 𝜌𝑜𝑏
possui o centro de massa a uma distância 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 do eixo.
Mostre que a força resultante horizontal sobre o objeto é
dada por
𝜌𝑉𝜔2𝑅𝑐𝑚 , onde Rcm é a distância entre o eixo e o centro de
massa do fluido deslocado,
(d) Explique por que o objeto se move para o
centro quando 𝜌𝑅𝑐𝑚 > 𝜌𝑜𝑏 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏
para fora do centro quando 𝜌𝑅𝑐𝑚 < 𝜌𝑜𝑏 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 .
(e) Para pequenos objetos com densidade
uniforme, 𝑅𝑐𝑚 = 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 . O que ocorre para uma mistura
de pequenos objetos deste tipo com densidades diferentes
em uma ultracentrifugadora?
14.82 Qual é o raio de uma gota d'água para que a
diferença entre a pressão interna e a pressão externa da
gota seja igual a 0.0250 atm? Considere T= 293 K,
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 29
29
14.83 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0.30
m é fabricado de modo que seu centro de gravidade fique na
posição indicada na Figura 14.41a. flutuando na água com a
metade de seu volume submerso. Se o bloco for "tombado" de
um ângulo de 450 como indicado na Figura 14.41. Calcule o
torque resultante em torno de um eixo horizontal perpendicular
ao bloco e passando pelo centro geométrico do bloco.
14.84 A água de um grande tanque aberto com
paredes verticais possui uma profundidade H (Figura 14.42).
Um orifício é feito na parede vertical a uma profundidade h
abaixo da superfície da água.
(a) Qual é a distância R entre a base do tanque e o
ponto onde a corrente atinge o solo?
(b) A que distância acima da base do tanque devemos
fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele
tenha um alcance igual ao do primeiro furo?
14.85 Um balde cilíndrico, aberto na parte superior,
possui diâmetro de 10.0 cm e altura igual a 25.0 cm. Um
orifício circular com área da seção reta igual a l.50 cm2 é
feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a
parte superior, a água flui para dentro do balde com uma taxa
igual a 2.40.10-4
m3/s. Até que altura a água subirá no tubo?
14.86 A água flui continuamente de um tanque
aberto, como indicado na Figura 14.43. A altura do ponto l é
igual a 10.0 m e os pontos 2 e 3 estão a uma altura igual a 2.00
m. A área da seção reta no ponto 2 é igual a 0.0480 m2 ; no
ponto 3 ela é igual a 0.0160 m2 . A área do tanque é muito
maior do que a área da seção reta do tubo. Supondo que a
equação de Bemoulii seja válida, calcule:
(a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por
segundo:
(b) a pressão manométrica no ponto 2.
14.87 O projeto de um avião moderno exige uma
sustentação oriunda do ar que se move sobre as asas
aproximadamente igual a 200N por metro quadrado.
14.88 O furacão Emily ocorrido em 1993 possuía
um raio aproximadamente igual a 350 km. A velocidade
do vento nas vizinhanças do centro (o "olho") do furacão,
com raio de 30 km atingiu 200 km/h. À medida que o ar
forma redemoinhos em direção ao olho. o momento
angular permanece praticamente constante,
(a) Estime a velocidade do vento na periferia do
furacão.
(b) Estime a diferença de pressão na superfície
terrestre entre o olho e a periferia do furacão. (Sugestão:
Ver a Tabela 14.1). Onde a pressão é maior?
(c) Se a energia cinética do ar que forma
redemoinhos no olho pudesse ser convertida
completamente em energia potencial gravitacional, até que
altura o ar se elevaria?
(d) Na realidade o ar se eleva até altitudes de
diversos quilômetros. Como você concilia este fato com
sua resposta do item (c)? 14.89 Dois tanques abertos muito grandes A e F
(Figura 14.44) contêm o mesmo líquido. Um tubo
horizontal BCD, possuindo uma constrição C e aberto ao
ar no ponto D leva o líquido para fora na base do tanque
A, e um tubo vertical E se liga com a constrição C e goteja
o líquido para o tanque F. Suponha um escoamento com
linhas de corrente e despreze a viscosidade. Sabendo que a
área da seção reta da constrição C é a metade da área em
D e que D está a uma distância h1 abaixo do nível do
líquido no tanque A. até que altura h2 o líquido subirá no
tubo E?
Expresse sua resposta em termos de h1.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 30
30
14.90 O tubo horizontal indicado na Figura 14.45
possui seção reta com área igual a 40,0 cm2 em sua parte mais
larga e 10.0 cm2 em sua constrição. A água flui no tubo e a
vazão volumétrica é igual a 6.00.10-3
m3/s (6.00 L/s). Calcule
(a) a velocidade do escoamento na parte mais larga e
na constrição;
(b) a diferença de pressão entre estas duas partes:
(c) a diferença de altura entre os dois níveis do
mercúrio existente no tubo em U.
14.91 A Figura 14.27a mostra um líquido se escoando
de um tubo vertical. Note que a corrente de líquido vertical
possui uma forma definida depois que ela sai do tubo. Para
obter a equação para esta forma, suponha que o líquido esteja
em queda livre quando ele sai do tubo. No exato momento em
que ele sai do tubo, o líquido possui velocidade v0 e o raio da
corrente é r0.
(a) Obtenha uma expressão para a velocidade do
líquido em função da distância y que ele caiu. Combinando
esta relação com a equação da continuidade, ache uma
expressão para o raio da corrente em função de y.
(b) Se a água escoa de um tubo vertical com
velocidade de l.20 m/s, a que distância da saída do tubo o raio
será igual à metade do seu valor na corrente original?
14.92 (a) Com que velocidade uma esfera de
latão com raio de 2.50 mm cai em um tanque de glicerina
no instante em que sua aceleração é a metade da
aceleração de um corpo em queda livre? A viscosidade da
glicerina é igual a 8.30 poises,
(b) Qual é a velocidade terminal da esfera?
14.93 Velocidade de uma bolha em um líquido,
(a) Com que velocidade terminal uma bolha de
ar com diâmetro de 2.00 mm sobe em um líquido cuja
viscosidade é igual a l.50 poise e densidade igual a 900
kg/m3? (Suponha que a densidade do ar seja igual a l.20
kg/m3 e que o diâmetro da bolha permanece constante.)
(b) Qual é a velocidade terminal da mesma bolha,
na água a 200C que possui uma viscosidade igual a l.005
centipoise?
14.94 Um óleo com viscosidade igual a 3,00
poises e densidade igual a 860 kg/m3 deve ser bombeado
de um grande tanque aberto para outro através de um tubo
liso de aço horizontal de comprimento igual a l,50 km e
diâmetro de 0.110 m. A descarga do fubo ocorre no ar. a)
Qual é a pressão manométrica exercida pela bomba, em
pascais e atmosferas, para manter uma vazão volumétrica
igual a 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo de
potência da bomba é igual ao produto da vazão
volumétrica pela pressão manométrica exercida pela
bomba. Qual é o valor numérico da potência?
14.95 O tanque do lado esquerdo da Figura
14.46a está aberto para a atmosfera e a seção reta possui
área muito elevada. A profundidade é y = 0.600 m. As
áreas das seções retas dos tubos horizontais que saem do
tanque são l.00 cm2, 0.40 cm
2 e 0.20 cm
2,
respectivamente. O líquido é ideal, logo sua viscosidade é
igual a zero.
(a) Qual é a vazão volumétrica para fora do
tanque?
(b) Qual é a velocidade em cada seção do tubo
horizontal?
(c) Qual é a altura atingida pelo líquido em cada
um dos cinco tubos verticais do lado direito?
(d) Suponha que o líquido da Figura 14.46b
possua viscosidade igual a 0.0600 poise, densidade igual a
800 kg/m3 e que a profundidade do líquido no tanque
grande seja tal que a vazão volumétrica do escoamento
seja a mesma que a obtida na parte (a). A distância entre
os tubos laterais entre c e d e a distância entre e e f são
iguais a 0.200 m. As áreas das respectivas seções retas dos
dois diagramas são iguais. Qual é a diferença de altura
entre os níveis dos topos das colunas de líquido nos tubos
verticais em c e d?
(e) E para os tubos em e e f?
(f) Qual é a velocidade do escoamento ao longo
das diversas partes do tubo horizontal?
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 1
1
PROBLEMAS DESAFIADORES
14.96 Uma pedra com massa m = 3,00 kg é
suspensa do teto de um elevador por meio de uma
corda leve. A pedra está totalmente imersa na água
de um balde apoiado no piso do elevador, porém a
pedra não toca nem o fundo nem as paredes do
balde,
(a) Quando o elevador está em repouso, a
tensão na corda é igual a 21,0 N. Calcule o volume
da pedra,
(b) Deduza uma expressão para a tensão na
corda quando o elevador está subindo com uma
aceleração constante a. Calcule a tensão na corda
quando a = 2.50 m/s2 de baixo para cima.
(c) Deduza uma expressão para a tensão na
corda quando o elevador está descendo com uma
aceleração constante a. Calcule a tensão na corda
quando a = 2,50 m/s2 de cima para baixo,
(d) Qual é a tensão na corda quando o
elevador está em queda livre com uma aceleração de
cima para baixo igual a g?
14.97 Suponha que um bloco de isopor,
com = 180 kg/m3, seja mantido totalmente imerso
na água (Figura 14.47).
(a) Qual é a tensão na corda? Faça o
cálculo usando o princípio de Arquimedes.
(b) Use a fórmula p = p0 + gh para
calcular diretamente a força exercida pela água
sobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguir
mostre que a soma vetorial destas forças é a força de
empuxo.
14.98 Um tanque grande de diâmetro D está
aberto para a atmosfera e contém água até uma altura
H. Um pequeno orifício com diâmetro d (d << D) é
praticado na base do tanque.
Desprezando qualquer efeito de viscosidade,
encontre o tempo necessário para drenar
completamente o tanque.
14.99 Um sifão, indicado na figura, é um
dispositivo conveniente para remover o líquido de um
recipiente. Para realizar o escoamento, devemos
encher completamente o tubo com o líquido. Suponha
que o líquido possua densidade e que a pressão
atmosférica seja pa. Suponha que a seção reta do tubo
seja a mesma em todas as suas partes.
(a) Se a extremidade inferior do sifão está a
uma distância h abaixo da superfície do líquido no
recipiente, qual é a velocidade do líquido quando ele
flui para fora da extremidade do sifão? (Suponha que
o recipiente possua um diâmetro muito grande e
despreze qualquer efeito da viscosidade.
(b) Uma característica curiosa de um sifão é
o que o liquido inicialmente flui para cima. Qual é a
altura máxima H que pode ser atingida pelo líquido
no ponto mais elevado do tubo para que o escoamento
ainda ocorra?
14.100 – O trecho a seguir foi citado em uma
carta: É uma prática dos carpinteiros da região, para
nivelar as fundações de edifícios relativamente
longos, usar uma mangueira de jardim cheia de água
tendo em suas extremidades dois tubos de vidro com
comprimentos da ordem de 25 a 30 cm. A teoria é que
a água, procurando manter o mesmo nível, atinge a
mesma altura nos dois tubos servindo de referência
para o nivelamento. Agora surge a dúvida para o que
ocorre quando existe uma bolha no interior da
mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam que
o ar não afeta a leitura da altura de uma extremidade
para outra. Outros alegam que a bolha pode causar
importantes imprecisões. Você é capaz de dar uma
resposta relativamente simples para esta pergunta,
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 2
2
juntamente com uma explicação?
A figura 14.49 mostra um esquema para
ilustrar a situação que causou a controvérsia.
Solução:
* 14.38 - No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e
explicitando p1 – p2 = p, obtemos
max
2
4 Lvp
R
3 2
2 2
4(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / )
(0.85 10 )
x N s m m m sp
x m
33.4 .p Pa
14-40: a) Explicitando na Eq. (14-26) a
pressão manométrica p = p1 - p2,
4
8 ( / )L dV dtp
R
3 2 3 6 3
6 4
8(1.0 10 / )(0.20 10 )(0.25 10 ) /(15 60 )
(5 10 )
x N s m x m x m x sp
x m
52.3 10 2.2 .p x Pa atm
b) Esta é a diferença de pressão abaixo
da atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a
pressão manométrica é negativa. A diferença de
pressão é proporcional ao inverso da quarta potência
do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta
diferença de pressão é devida à menor seção reta da
boca do inseto.
14-42: Da equação da velocidade
terminal, Eq. (14-27), obtemos
,162
1
mgBmgrvt
onde 1é a densidade do líquido e 2é a densidade do
latão. Explicitando a viscosidade obtemos
rv
mg
6
.12
1
O raio é obtido de
V = ,3
4 3rm
c
donde obtemos r = 2.134 x 10-3
m. Substituindo os
valores numéricos na relação precedente = 1.13
Ns/m2, aproximadamente igual a 11 com dois
algarismos significativos.
14.44 Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos
6(181 x 10-7
Ns/m2)(0.124 m/s) =
= 2.12 x 10-4
N
logo o peso é igual a 5.88 N;
a razão é igual a 3.60 x 10-5
.
Gabarito
14-1: 41,8N, não.
14-2:
./1033.3
)1074.1(3
4
)1035.7(
3
433
36
22
3
mkgx
mx
kgx
r
m
V
m
14-3:7,03.103 kg/m
3; sim.
14-4: O comprimento L de uma aresta do
cubo é
.3.12/104.21
40 3
1
33
3
1
3
1
cmmkgx
kgmVL
14-5: (a) 706 Pa (b) 3160 Pa.
14-6: (a) Peso em cada pneu:
16.5
4porpneuP kN
Pressão absoluta em cada pneu:
205 101,3 306,3abs m atmp p p kPa
Área em cada pneu:
porpneu
porpneu
Pp
A
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 3
3
216.5 40,01348
306,3
porpneu
abs
PA m
p
Área total: 2 2 24 4 0,01348 0,05386 538,6tA A m m cm
(b) Com o peso extra, a repetição do
cálculo anterior fornece 836 cm2.
14-7: (a) 2,52.106Pa (b) 1,78.10
5Pa
14-8: = gh =
(1.00 x 103 kg/m
3)(9.80 m/s
2)(640 m) =
6.27 x 106 Pa = 61.9 atm.
14-9:
(a) 1,07.105Pa (b) 1,03.10
5Pa
(c) 1,03.105Pa (d) 5,33.10
3Pa
14-10:
gh = (1.00 x 103 kg/m
3)(9.80 m/s
2)(6.1 m)
=
= 6.0 x 104 Pa.
14-11: 2,3.105Pa
14-12: 130 x 103 Pa + (1.00 x 10
3
kg/m3)(3.71 m/s
2)(14.2 m) – 93 x 10
3 Pa
(2.00 m2) = 1.79 x 10
5 N.
14-13: 4,14m
14-14:
2
2 2
(1200 )(9.80 / )
( / 2) (0.15 )
F mg kg m s
A d m
51.66 10 1.64 .x Pa atm
14-15: 0,562m2
14-16: A força de empuxo é:
B = 17.50 N - 11.20 N = 6.30 N, logo
.1043.6)/80.9)(/1000.1(
)30.6( 34
233mx
smmkgx
N
g
BV
água
A densidade é dada por /
/água
água
m g
V B g B
3 3 3 317.50
(1.00 10 / ) 2.78 10 / .6.30
x kg m x kg m
14-17:
(a) < fluido
(c) submerso / fluido:acima
(fluido- )/fluido
(d) 32%
14-18:
(a) B = águagV = (1.00 x 103
kg/m3)(9.80 m/s
2)(0.650 m
3) = 6370 N.
(b)
.558/80.9
90063702
kgsm
NN
g
TB
gm
(c) (Ver o Exercício 14-17.)
Se o volume submerso é V,
𝑉 ´ =𝜔
𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑔⟹
𝑉´
𝑉=
𝜔
𝜌𝑔𝑉
𝑉´
𝑉=
𝜔
𝜌𝑔𝑉=5470
6370= 0.859 = 85.9%
14-19: (a) 116 Pa (b) 921 Pa
(c) 0,822 kg , 822 kg/m3
14-20: (a) Desprezando a densidade do ar,
/m gV
g
3 3
2 3 3
(89 )3.3610
(9.80 / )(2.7 10 / )
NV m
m s x kg m
ou seja 3.4.10
-3 m
3 com dois algarismos
significativos.
(b) T = - B = - gáguaV =
.0.567.2
00.11)89(1 NN
alumínio
água
14-21: 6,67Pa
14-22: Usando a Eq. (14-13),
obtemosmNxeR
g /108.72 ,2 3
(a) 146 Pa,
(b) 1.46 x 104 Pa (note que este resultado é
100 vezes maior do que a resposta do item (a)).
14-23: 0.1 N; 0.01 kg
14-24: A análise que conduziu à
Eq. (14-13) é válida para os poros;
.109.242 7 PaxDR
14-25: 4.4 ∙ 10−3N
14-26:
12 1
2
Av v
A
2 3
2
2 2
(3.50 / )(0.0700 ) 0.245 /m s m m sv
A A
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 4
4
(a)
(i) A2 = 0.1050 m2, v2 = 2.33 m/s.
(ii) A2 = 0.047 m2, v2 = 5.21 m/s.
(b)
v1A1t = v2A2t = (0.245 m3/s)(3600 s)
= 882.
14-27: (a) 17.0 m/s (b) 0.317m.
14-28: (a) Pela equação que precede a Eq.
(14-14), dividido pelo intervalo de tempo dt
obtemos a Eq. (14-16).
(b) A vazão volumétrica diminui de
1.50%.
14-29: 28.4 m/s
14-30: (a) Pela Eq. (14-22),
./6.16)0.14(2 smmghv
(b) vA = (16.57 m/s)((0.30 x 10-2
m)2) =
4.69 x 10-4
m3/s. Note que mais um algarismo
significativo foi mantido nos cálculos
intermediários.
14-31: 𝟏.𝟒𝟕 × 𝟏𝟎𝟓𝑷𝒂
14-32:
Usando v2 = 14
1v na Eq. (14-21),
2 2
2 1 1 2 1 2
1( )
2p p v v g y y
2
2 1 1 1 2
15( )
32p p v g y y
4 3 2155.00 10 (1.00 10 ) (3.00) (9.80)(11.0)
32p x Pa x
1.62p Pa
14-33: 500 N de cima para baixo
14-34:
(a) ./30.10.60
)355.0)(220(skg
s
kg
(b)A densidade do líquido é
3
3 3
0.3551000 /
0.355 10
kgkg m
x m
e portanto a vazão volumétrica é
./30.1/1030.1/1000
/30.1 33
3sLsmx
mkg
skg
Este resultado também pode ser obtido do
seguinte modo
./30.10.60
)355.0)(220(sL
s
L
(b) 3 3
1 4 2
1.30 10 /
2.00 10
x m sv
x m
1 2 16.50 / , / 4 1.63 / .v m s v v m s
(d)
2 2
1 2 2 1 2 1
1( )
2p p v v g y y
152 (1/ 2)(1000)(9.80)( 1.35)
119 .
kPa
kPa
14-35: 0.41cm
14-36:
Pela Eq. (14-21), para y1 = y2,
2 2
2 1 1 2
1
2p p v v
2
2 212 1 1 1 1
1 3
2 4 8
vp p v p v
= 1.80 x 104 Pa +
8
3(1.00 x 10
3 kg/m
3)(2.50 m/s)
2 =
= 2.03 x 104 Pa,
onde usamos a equação da continuidade 2
12
vv .
14-37: (a) 1.88 m/s (b) 0
14-38:
No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e
explicitando p1 – p2 = p, obtemos
p = max
2
4 Lv
R
3 2
2 2
4(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / )
(0.85 10 )
x N s m m m s
x m
33.4p Pa
14-39: (a) 0.128 m3/s (b) 9.72.10
4 Pa
(c) 0.275 m3/s
14-40: (a) Explicitando na Eq. (14-26) a
pressão manométrica p = p1 - p2,
4
8 ( / )L dV dtp
R
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 5
5
3 3 6
6 4
8(1.0 10 )(0.20 10 )(0.25 10 ) / (15 60)
(5 10 )
x x x x
x
52.3 10 2.2 .p x Pa atm
Esta é a diferença de pressão abaixo da
atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a
pressão manométrica é negativa. A diferença de
pressão é proporcional ao inverso da quarta potência
do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta
diferença de pressão é devida à menor seção reta da
boca do inseto.
14-41: 5.96 mm/s
14-42: Da equação da velocidade
terminal, Eq. (14-27), obtemos
1
2
6 1trv mg B mg
onde 1é a densidade do líquido e 2é a densidade
do latão. Explicitando a viscosidade obtemos
rv
mg
6
.12
1
O raio é obtido de
V = ,3
4 3rm
c
donde obtemos r = 2.134 x 10-3
m. Substituindo os
valores numéricos na relação precedente = 1.13
Ns/m2, aproximadamente igual a 11 com dois
algarismos significativos.
14-43:
(a) 16x maior
(b) ½ do valor inicial.
(c) dobra seu valor.
(d) dobra seu valor.
(e) se reduz a ½ de seu valor inicial.
14-44: Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes,
obtemos: 6(181 x 10-7
Ns/m2)(0.124 m/s)
= 2.12.10-4
N
logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a:
3.60.10-5
.
14-45: (a) 19.4 m/s, 0, 14.6 m/s.
(b)152d
(c) in (a), 4; in (b), 1/16.
14-46: (a)
A área da seção reta da esfera é ,4
2D
portanto .4
)(2
0
DppF
(b) A força em cada hemisfério produzida
pela pressão da atmosfera é
(5.00 x 10-2
m)2 (1.013) x 10
5
Pa)(0.975) = 776 N.
14-47: (a) 1.1.108Pa (b) 1080 kg/m
3, 5%.
14-48: (a) O peso da água é
gV = (1.00 x 103 kg/m
3)(9.80 m/s
2)((5.00
m)(4.0 m)(3.0 m))=5.88x105 N,
ou seja, 5.9 x 105 N com dois algarismos
significativos.
(b) A integração fornece o resultado
esperado: se a pressão fosse uniforme, a força seria
igual ao produto da pressão no ponto médio pela área,
ou seja,
2
dF gA
3(1.00 10 )(9.80)((4.0)(3.0))(1.50)F x51.76 10F N
ou 1.8 x 105 N com dois algarismos
significativos.
14-49: 2.61.104 N.m
14-50:
(a) Ver o Problema 14-49; a força total é
dada pela integral ∫dF desde h = 0 até h = H, obtemos
F = g H2/2 = gAH/2, onde A = H.
(b) O torque sobre um faixa vertical de
largura dh em relação à base é
dr = dF(H – h) = gh(H – h)dh,
e integrando desde h = 0 até h = H, obtemos
= gAH2/6.
(c) A força depende da largura e do
quadrado da profundidade e o torque em relação à
base depende da largura e do cubo da profundidade; a
área da superfície do lago não influi em nenhum dos
dois resultados (considerando a mesma largura).
14-51: 𝒑−𝒑𝟎 𝑽𝑹𝟐
𝑮𝒎𝒅
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 6
6
14-52: A barra cilíndrica possui massa
M, raio R, e comprimento L com uma densidade
proporcional à distância até uma das extremidades,
ou seja, = Cx2.
(a) M = dV = Cx2dV.
O elemento de volume é dado por dV = R2dx.
Logo a integral é dada por
M = L
0Cx
2 R2dx.
A Integração fornece
M = C R2
L
0x
2dx = CR
2 .3
3L
Explicitando C, obtemos C = 3M/ R2L
3.
(b) A densidade para a extremidade x = L
é dada por:
= Cx2 = .
3)(
32
2
32
LR
ML
LR
M
O denominador é precisamente igual ao
volume total V, logo = 3M/V, ou três vezes a
densidade média, M/V. Logo a densidade média é
igual a um terço da densidade na extremidade x= L.
14-53: (a) 12.7 kg/m3 (b) 3140 kg/m
3
14-54: (a) A Equação (14-4), com o raio r em vez
da altura y, pode ser escrita na forma
dp = -g dr = -gs(r/R) dr.
Esta forma mostra que a pressão diminui
com o aumento do raio. Integrando, com:
p = 0 em r = R, obtemos
).(2
224
rRR
gdrr
R
gp s
R
s
(b) Usando a relação anterior com r = 0 e
3
3
4
M M
V R
Obtemos: 24 2
6 2
3(5.97 10 )(9.80 / )(0)
8 (6.38 10 )
x kg m sP
x m
11(0) 1.71 10 .P Pa
(c) Embora a ordem de grandeza seja a
mesma, o resultado não concorda bem com o valor
estimado. Em modelos com densidades mais
realistas (ver o Problema 14-53 ou o Problema 9-
85), a concentração da massa para raios menores
conduz a uma pressão mais elevada.
14-55: (a) 1470 kg/m3 (b) 13.9 cm
14-56: Seguindo a sugestão:
,)2)(( 2
0RhgdyRgyF
h
onde R é o raio e h é a altura do tanque (o fato que 2R
= h é mais ou menos acidental).Substituindo os
valores numéricos obtemos
F = 5.07 x 108 N.
14-57: 9.8.106 kg, sim.
14-58: A diferença entre as
densidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (ver
o Problema 14-63). A densidade média dos gases no
balão é dada por
(5800)1.23
(9.80)(2200)ave
30.96 /ave kg m
14-59: (a) 30% (b) 70%
14-60:
(a) O volume deslocado deve ser aquele
que possui o mesmo peso e massa do
gelo, 3
370.9
/00.1
70.9cm
cmg
g .
(b) Não; quando fundido, a água resultante
terá o mesmo volume que o volume deslocado por
9.70 g do gelo fundido, e o nível da água permanecerá
o mesmo.
(c)
3
3
9.709.24
1.05 /
gmcm
gm cm
(d) A água resultante do cubo de gelo
derretido ocupará um volume maior do que o da água
salgada deslocada e portanto um volume de 0.46 cm3
deve transbordar.
14-61: 4.66.10-4
m3, 5.27 kg.
14-62: A fração f do volume que flutua
acima do líquido é dada por
f = 1 - ,fluid
onde é a densidade média do densímetro (ver o
Problema 14-17 ou o Problema 14-59), que pode ser
escrita na forma .1
1
ffluid
Logo, para dois fluidos que possuem frações de
flutuação f1 e f2, temos
.1
1
2
112
f
f
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 7
7
Nesta forma é claro que um valor de f2 maior
corresponde a uma densidade maior; uma parte
maior do flutuador fica acima do fluido. Usando
f1 =
./839)839.0(
097.0)2.13(
)400.0)(20.3(,242.0
)2.13(
)400.0)(00.8(
3
3
2
23
2
mkgobtemos
cm
cmcmf
cm
cmcm
águaalcool
14-64: a) O princípio de Arquimedes afirma
que gLA = Mg, logo .A
ML
b) A força de empuxo é dada por
gA(L + x) = Mg + F; usando o
resultado da parte (a) e
explicitando x obtemos .gA
Fx
c) A ―constante da mola,‖ ou seja, a
proporcionalidade entre o
deslocamento x e a força aplicada
F, é k = gA, e o período da of
oscilação é
.22gA
M
k
MT
14-66: Para economizar cálculos intermediários,
considere a densidade, a massa e o volume do salva-
vidas como 0, m e v, e as mesmas grandezas
referentes à pessoa como 1, M e V. A seguir,
igualando a força de empuxo com o peso, e
cancelando o fator comum g, obtemos
água ((0.80)V +
v) = 0v + 1V,
Eliminando V e m, achamos,
.)80.0(1
0
v
MMv água
Explicitando 0, obtemos
./732
/980
/1003.1)80.8(1
0400.0
0.75/1003.1
)80.0(1
)80.0(11
3
3
33
3
33
1
água
água
1
água0
mkg
mkg
mkgx
m
kgmkgx
v
M
MvM
v
14-68: A força de empuxo sobre a massa A,
dividida por g, deve ser igual a
7.50 kg – 1.00 kg – 1.80 kg = 4.70 kg
(ver o Exemplo 14-6), logo a massa do bloco é
4.70 kg + 3.50 kg = 8.20
kg.
a) A massa do líquido deslocado pelo
bloco é 4.70 kg, logo a densidade
do líquido é
./1024.11080.3
70.4 33
33mkgx
mx
kg
b) A balança D fará a leitura da massa
do bloco, 8.20 kg, como calculamos
acima. A balança E fará a leitura da
massa do recipiente mais a massa
do líquido, 2.80 kg.
14-70: (Note que aumentar x corresponde a um
deslocamento para a traseira do carro.)
a) A massa de um elemento de volume
é dV = A dx, e a força resultante
sobre este elemento é dirigida para
a frente e seu módulo é dado por
(p + dp)A – pA = A dp.
Pela segunda lei de Newton,
A dp = ( A dx)a, ou seja, dp = a dx.
b) Como é constante, e para p = p0
em x = 0, obtemos
p = p0 + ax.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 8
8
c) Usando = 1.2 kg/m3 no
resultado da parte (b) obtemos
(1.2 kg/m3)(5.0 m/s
2)(2.5 m) =
15.0 Pa ~ 15 x 10-5
patm,
portanto a variação percentual da pressão
é desprezível
.
d) Seguindo o método da Seção 14-4,
a força sobre a bola deve ser igual
à mesma força exercida sobre o
mesmo volume de ar; esta força é
igual ao produto da massa V
multiplicada pela aceleração, ou
Va.
e) A aceleração da bola é a força
encontrada na parte (d) dividida
pela massa bolaV, ou ( / bola )a.
A aceleração em relação ao carro é
dada pela diferença entre esta
aceleração e a aceleração do carro,
logo
arel = [( / bola)
– a]a.
f) Para uma bola cheia de ar, ( /
bola) < 1 (uma bola cheia de ar
tende a afundar no ar calmo), e
portanto a grandeza entre
colchetes na resposta do item (e) é
negativa; a bola se desloca para a
traseira do carro. No caso de uma
bola cheia de hélio, a grandeza
entre colchetes é positiva e a bola
se desloca para a frente do carro.
14-72: a) Ver o Problema 14-71.
Substituindo f por, respectivamente, wágua/w e
wfluid/w, obtemos
aço
fluid
fluid
,aço
água
água
,
e dividindo a segunda equação
pela primeira, obtemos
fluid
água fluid
água
.
b) Quando fluid é maior do que água,
o termo do lado direito da
expressão anterior é menor do que
um, indicando que o fluido é menos
denso do que a água. Quando a
densidade do fluido é igual à
densidade da água, obtemos fluid =
água, como era esperado.
Analogamente, quando fluid é
menor do que água, o termo do lado
direito da expressão anterior é
maior do que um, indicando que o
fluido é mais denso do que a água.
c) Escrevendo o resultado do item (a)
na forma
fluid
água
1 f fluid
1 fágua
E explicitando ffluid, obtemos
f fluid 1 fluid
água
(1 fágua) 1 (1.220)(0.128) 0.844 84.4%.
14-74: a) Seja d a profundidade da camada de
óleo, h a profundidade na qual o cubo está submerso
na água e L a aresta do cubo. Então, igualando a
força de empuxo com o peso, cancelando os fatores
comuns g e a área da seção reta e omitindo as
unidades, obtemos
(1000)h + (750)d = (550)L,
onde d, h e L são relacionados por d + h + (0.35)L =
L, logo
h = (0.65)L – d.
Substituindo a relação anterior na primeira
equação, obtemos
.040.000.5
2
)750()1000(
)550()1000)(65.0(m
LLd
b) A pressão manométrica na face
inferior deve ser suficiente para
suportar o bloco, logo
p = madeiragL = (550 kg/m3)(9.80
m/s2)(0.100 m) = 539 Pa.
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 9
9
Para conferir, a pressão manométrica,
calculada pela densidade e profundidade
dos fluidos é
((0.040 m)(750 kg/m3) + (0.025 m)(1000
kg/m3))(9.80 m/s
2) = 39 Pa.
14-76: a) A densidade média de um barril
cheio é
óleo m
v 750kg/m
315.0kg
0.120m3 875kg/m
3,
que é menor do que a densidade da água do mar.
b) A fração que flutua (ver o
Problema 14-17) é
1méd
água
1875kg/m3
1030kg/m3 0.150 15.0%.
c) A densidade média é igual a 910
3331172
120.0
32
m
kg
m
kg
m
kg
donde se conclui que o barril
afunda. A fim de elevá-lo é
necessário uma tensão
T =
Ns
mm
m
kg
s
mm
m
kg173)80.9)(120.0)(1030()80.9)(120.0)(1177(
2
3
32
3
3
14-78: a) A variação da altura y é
relacionada com o volume deslocado V por y =
,A
V onde A é a área da superfície da água na
eclusa, V é o volume da água que possui o mesmo
peso do metal, portanto
y V
A /águag
A
águagA
(2.50 x10
6N)
(1.00 x103kg/ m3 )(9.80m / s2 )((60.0m)(20.0m)) 0.213m.
b) Neste caso, V é o volume do
metal; na relação anterior, água
deve ser substituído por metal =
9.00água, que fornece
y =
y
9, e y y
8
9y 0.189m;
este resultado indica quanto abaixa o nível da água na
eclusa.
14-80: a) A variação da pressão em relação à
distância vertical fornece a força necessária para
manter um elemento de fluido flutuando em
equilíbrio na vertical (que se opõe ao peso). Para um
fluido girando, a variação da pressão em relação ao
raio fornece a força necessária para manter um
elemento de fluido se acelerando radialmente.
Especificamente, obtemos
,padrdrr
pdp
e usando a relação
a 2r obtemos
p
r
2r.
b) Chame a pressão em y = 0, r = 0 de
pa (pressão atmosférica); integrando
a expressão para r
p
indicada na
parte (a) obtemos
.)0,( 2
2
2
rpyrp a
c) Na Eq. (14-5), p2 = pa,, p1 = p(r, y
= 0) como achamos na parte (b), y1
= 0 e y2 = h(r), a altura do líquido
acima do plano y = 0. Usando o
resultado da parte (b) obtemos
h(r) =
2r
2/2g.
14-82: Explicitando R na Eq. (14-13) obtemos
.1075.5)10013.1)(250.0(
)/108.72(22 5
5
23
mxPaxatm
msNx
pR
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 10
10
14-84: a) Como no Exemplo 14-9, a
velocidade de saída da água é igual a .2gh
Depois de sair do tanque a água está em queda livre
e o tempo que qualquer porção da água leva para
atingir o solo é dado por
,)(2
g
hHt
e neste intervalo de tempo a água se deslocou uma
distância horizontal dada por
.)(2 hHhvtR
b) Note que se
h = H – h, h(H – h) = (H – h)h,
e portanto h = H – h fornece o mesmo alcance.
14-86: a)
./200.0)0160.0()00.8)(/80.9)2)(2 322
33133 smmmsmAyygAv
b) Como p3 é a pressão atmosférica,
a pressão manométrica no ponto 2
é
),(9
81
2
1
2
131
2
2
32
3
2
2
2
32 yygA
Avvvp
Usando a relação anterior
encontrada para v3 e substituindo os valores
numéricos obtemos
p2 = 6.97 x 104
Pa.
14-88: a) Usando a constância do momento
angular, notamos que o produto do radio vezes a
velocidade é constante, logo a velocidade é
aproximadamente igual a
(200 km/h) ./17350
30hkm
b) A pressão é menor no "olho", de
um valor dado por
.108.1/6.3
/1)/17()/200()/2.1(
2
1 3
2
223 Paxhkm
smhkmhkmmkgp
c) g
v
2
2
= 160 m com dois algarismos
significativos.
d) A pressão em altitudes mais
elevadas é menor ainda.
14-90: a) ,/
A
dtdVv logo as velocidades
são
./50.1100.40
/1000.6/00.6
100.10
/1000.624
33
24
33
smmx
smxesm
mx
smx
b)
,10688.1)(2
1 42
2
2
1 Paxvvp ou 1.69 x
104 Pa com três algarismos significativos.
c)
.7.12)/80.9)(/106.13(
)10688.1(233
4
cmsmmkgx
Pax
gH
ph
g
14-92: a) A força resultante sobre a esfera é a
soma vetorial da força gravitacional, da força de
empuxo e da força viscosa, logo da relação F = ma,
obtemos
mg – B – Fd =
.2
logo,2
Bmg
Fmg
d
Substituindo Fd da Eq. (14-27) e
explicitando vt em termos das densidades obtemos a
expressão para vt conforme visto no Exemplo 14-13,
porém com no lugar de ;2
especificamente,
obtemos
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 11
11
./1099.4
)/1026.1/103.4()/830.0(
)/80.9()1050.2(
9
2
29
2
2
3333
2
223
2
smx
mkgxmkgxmsN
smmx
grvt
b) Repetindo o cálculo sem o fator 2
1 e
multiplicando por obtemos
vt = 0.120 m/s.
14-94: a) Explicitando p1 – p2 = p na Eq.
(14-29) e fazendo a variação da altura igual a 0,
obtemos
.2.741051.7
)055.0(
)1050.1(/300.0(8)/0600.0(
8
6
4
323
4
atmPax
m
mxmsNsm
R
L
dt
dVghp
b) dt
dVpP (7.51 x 10
6
Pa)(0.0600 m3/s) = 4.51 x 10
5 W. O trabalho
realizado é pdV.
14-96: a) O volume V da pedra é
.1057.8)/80.9(/1000.1(
)0.21)/80.9)(00.3(( 34
233
2
mxsmmkgx
Nsmkg
g
T
g
BV
águaágua
Nos referenciais acelerados, todas
as grandezas que dependem de g (pesos, forças de
empuxo, pressões manométricas e tensões) podem
ser substituídas pelo valor eficaz g = g + a, com
sentido positivo orientado de baixo para cima. Logo,
a tensão é
T = mg - B = (m - V)g = T0
,g
g onde T0 = 21.0 N.
b) g = g + a; para a = 2.50 m/s2, T =
(21.0 N) .4.2680.9
50.280.9N
c) Para a = -2.50 m/s2, T = (21.0 N)
.6.1580.9
50.280.9N
d) Quando a = -g, g = 0 e obtemos T
= 0.
14-98: Quando o nível da água é a altura y da
abertura, a velocidade de saída da água é dada por
,2gy e
.2)2/( 2 gyddt
dV
À medida que o tanque é drenado, a altura diminui,
logo
.2)2/(
2)2/(2
2
2
gyD
d
D
gydz
dt
dy
Esta equação diferencial permite a
separação das variáveis e o tempo T necessário para
drenar o tanque é obtido pela integração da relação
,2
2
dtgD
d
y
dy
cuja integração conduz ao resultado
,2]2[
2
0 TgD
dy H
Donde se conclui que
.2
2
222
g
H
d
D
g
H
d
DT
14-100: O surgimento de qualquer bolha pode trazer
imprecisões nas medidas. Ao longo da bolha, a
pressão nas superfícies da água podem ser iguais
porém, como o ar pode ser comprimido dentro da
bolha, os dois níveis da água indicados na Figura
14.49 não são necessariamente iguais (geralmente são
diferentes quando existem bolhas na mangueira). O
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 12
12
mesmo fenômeno ocorre no freio hidráulico.
Quando você pisa no freio, a pressão só é
transmitida integralmente quando não existem
bolhas nos tubos; quando existem bolhas, o freio não
funciona. O uso de uma mangueira para nivelar uma
superfície horizontal pode funcionar perfeitamente
bem, desde que não hajam bolhas ao longo da
mangueira. No caso específico do Problema 14-100
como existe uma bolha, os níveis não são iguais
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 13
13
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