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    2.

    Autor: Milton Csar Toledo de S

    MECNICA DOS FLUIDOS

    NA

    ENGENHARIA CIVIL

    5a Edio Revista

    Belo Horizonte

    2011

  • 2

    Milton Csar Toledo de S

    MECNICA DOS FLUIDOS NA ENGENHARIA CIVIL

    TPICOS DE MECNICA DOS FLUDOS, CALOR E MASSA.

    Direitos Reservado em 2005 por Milton Csar Toledo de S. Minas Gerais, Brasil.

    Dados de Catalogao na Publicao

    Belo Horizonte, Minas Gerais.

    E-mail: [email protected]

    Brasil.

    S, Milton Csar Toledo de.

    Mecnica dos Fluidos, Calor e Massa. Milton Csar

    Toledo de S (Org.) Belo Horizonte: Produo Independente. 2010. 1. Engenharia Fenmenos de Transporte 2. Fluidos

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    SUMRIO

    APRESENTAO

    INDICE

    SMBOLOS, ABREVIATURAS E FATORES DE CONVERSO.

    CAPTULO 1

    Introduo Mecnica dos fluidos e suas principais propriedades. .......................15

    CAPTULO 2

    Esttica dos fluidos: Presso e Manometria............................................................33

    CAPTULO 3

    Dinmica dos fluidos: Equao da continuidade - vazo.........................................65

    CAPTULO 4

    Medidores de vazo.................................................................................................89

    CAPTULO 5

    Dinmica dos fluidos: Teorema de Bernoulli..........................................................103

    CAPTULO 6

    Foras Desenvolvidas por Fludos em Movimento.................................................141

    CAPTULO 7

    Anlise Dimensional e Semelhana Dinmica.......................................................179

    CAPTULO 8

    Transferncia de Calor e Massa............................................................................203

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    APRESENTAO

    Nesta edio substitumos alguns exerccios, efetuamos algumas correes

    gramaticais e fizemos algumas atualizaes no texto.

    Alteramos o texto original para que possa ser utilizado como texto de apoio didtico

    ao ensino de Mecnica dos fluidos para a Engenharia Civil, contudo poder ser

    utilizado nas demais modalidades.

    Sendo fruto da experincia do autor em sala de aula, ao longo de duas dcadas, do

    dilogo permanente com os alunos e professores.

    O seu principal objetivo gerar um texto para ser ministrado numa s disciplina,

    enfatizando a Mecnica dos Fluidos visando fornecer pr-requisitos as disciplinas de

    Hidrulica, Saneamento, Estradas, Hidrologia e os Recursos Hdricos.

    Parmetros condicionantes para aplicabilidade do texto:

    Fluxos permanente (ou estacionrio), unidimensional, irrotacional, fluido

    incompressvel, materiais isotrpicos e sujeitos temperatura menores de 100oC.

    A organizao bsica do texto apresenta-se dividida em trs partes:

    Primeira parte: aborda a mecnica dos fluidos, em especial a Hidrodinmica, a

    partir dos princpios de Fenmenos de Transporte, ou seja: o da conservao da

    massa - Equao da Continuidade e o da Conservao da Energia Equao do

    Equilbrio (e Navier-Stokes), com destaque para a equao da Vazo e o teorema

    de Bernoulli. E, o princpio da quantidade de movimento - Foras desenvolvidas

    enfocando o Empuxo em curvas e redues hidrulicas.

    Segunda parte: trata da transmisso de calor e massa sob o ponto de vista da

    Equao da continuidade para fluxo permanente.

    O texto est subdividido em captulos a fim de permitir melhor compreenso e

    assimilao do contedo. Em quase todos eles, encontram-se as seguintes sees:

    Teoria So teorias sobre o contedo dos tpicos

    Aplicaes na Engenharia sugere algumas praticas que aplicam

    imediatamente a teoria exposta.

    Problemas propostos so elaborados para atividades em grupos para

    serem resolvidos pelos estudantes. Objetivando um melhor entendimento das

    equaes matemticas e possibilitar a apropriao da teoria.

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    Bibliografia especfica algumas sugestes de leituras sobre o assunto do

    captulo.

    Este trabalho foi estruturado para adequar-se ao planejamento de uma disciplina de

    60 a 80 horas aula. O captulo 1 sobre a introduo e trata das aplicaes na

    Engenharia e os Fundamentos da Mecnica dos fluidos. Devem ser estudados na

    ordem que se apresentam. Mas, possvel reunir captulos de partes diferentes do

    livro /sob um mesmo eixo.

    Tem-se conscincia que o livro didtico instrumento bsico na mediao entre o

    professor e o aluno. Eles interagem atravs do livro. A responsabilidade grande e

    procurou-se cumprir a tarefa de dar qualidade a essa relao.

    Motivao, inovao, qualidade so alguns princpios que guiaram a elaborao

    desse texto, esperando e desejando a todos professor, alunos e profissionais da

    rea um bom trabalho.

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    Sugesto de programa para Fenmenos de Transporte

    Captulos recomendados Numero

    de aulas

    Cap. 1 Introduo. Principais propriedades fsicas dos

    fluidos 12 h/a

    Cap. 2 Esttica dos fluidos - Presso e Manometria 08 h/a

    Cap. 3 Equao da Continuidade Vazo 10 h/a

    Cap. 4 Medidores de Vazo 8 h/a

    Cap. 5 Teorema de Bernoulli 10 h/a

    Cap. 6 Foras Desenvolvidas por fluidos em

    movimento 12 h/a

    Cap. 7 Anlise dimensional e semelhana dinmica 6 h/a

    Cap. 8 Transferncia de calor e massa 14 h/a

    TOTAL DE AULAS 80 h/a

    Autor: Milton Csar Toledo de S

    BIOGRAFIA

    MILTON CSAR TOLDO DE S,Esp. Graduado em Engenharia Civil em 1979.

    Atuou em execuo de obras de saneamento e edificaes. Scio da empresa

    Bioterra Engenharia do ramo de Avaliao de imveis, projeto para outorga de uso

    de gua e projeto de drenagem pluvial. Professor de Hidrologia e Mecnica dos

    Fluidos. Ps-Graduado em Metodologia do Ensino Superior e em Engenharia dos

    Materiais.

    Diretor Administrativo do CREA-MG na Gesto 2004 e Conselheiro por diversos

    mandatos.

    Belo Horizonte, MG Brasil E-mail: [email protected]

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    INDICE

    Captulos Pgina

    Cap. 1 Introduo. Principais propriedades dos fluidos 15

    Cap. 2 Esttica dos fluidos - Presso e Manometria 33

    Cap. 3 Dinmica dos fluidos - Equao da

    Continuidade Vazo 65

    Cap. 4 Medidores de Vazo 89

    Cap. 5 Dinmica dos fluidos - Teorema de Bernoulli 103

    Cap. 6 Foras Desenvolvidas por fluidos em

    movimento 141

    Cap. 7 Anlise dimensional e semelhana dinmica 179

    Cap. 8 Transferncia de calor e massa 203

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    LISTA DE SIMBOLOS E ABREVIATURAS

    A lista abaixo apresenta os smbolos usados neste livro. No se pode evitar de usar

    algumas vezes a mesma letra representando mais de um conceito, em virtude da

    limitao do alfabeto. Cada smbolo definido quando de sua utilizao, no

    ocasionando, portanto, possveis confuses. As unidades sero fornecidas no

    sistema ingls e no sistema mtrico, uma vez que encontraremos exemplos e

    problemas propostos, ora num sistema, ora noutro, a fim de familiarizar o aluno com

    ambos. Nota Importante:

    Em muitos problemas as converses para o sistema mtrico no correspondem aos

    fatores de converso exatos. Foram usados, muitas vezes, valores arredondados ou

    seu prximo, dos valores reais, a fim de se facilitarem as explicaes e resolues.

    a acelerao m/s (ft/s), rea em m2 (ft).

    A rea em m, (ft).

    cc coeficiente de contrao.

    cv coeficiente de velocidade.

    C coeficiente (Chzy), constante de integrao.

    CD coeficiente de resistncia ao avano (de forma).

    CL coeficiente de sustentao.

    d, D dimetro em metros ou ft.

    E mdulo de elasticidade volumtrica em kg/m2 ou kg/cm2 (lb/ft ou lb/in),

    energia especfica em mkg/kg (ft lb/lb).

    f coeficiente de atrito (Darcy) para escoamento tubular.

    ft/s f t cbico por segundo

    F fora em kg (lb).

    g acelerao da gravidade: 9,81 m/s (32,2 ft/).

    Pm gales por minuto.

    h altura ou profundidade, presso ou altura de carga em metros ou ft.

    H altura total (energia) em metros ou mkg/kg (ft ou ft 1b/1b).

    HL,he perda de carga em m (ft). Algumas vezes aparecer como LH ou h/

    hp Horas Power = wQH/550 = 0,746 kw.

    M massa em kg (slugs ou lb s/ft), peso molecular,

    n coeficiente de rugosidade, expoente, coeficiente de atrito nas frmulas de

    Kutter e Manning.

  • 12

    NF nmero de Froude.

    NM nmero de Mach.

    N.W. nmero de Weber.

    p' presso em lb/in ou kg/cm

    psf. lb/ft2

    psia lb/in2, absoluta.

    psig lb/in2, manomtrica.

    q fluxo unitrio em m3/s/unidade de largura (ft/s/unidade de largura)

    Q vazo em volume em m/s (ft/s). vazo unitria em m/s (ft/s).

    r qualquer ralo em m (ft).

    R constante de gases, raio hidrulico em m (ft).

    RE nmero de Reynolds

    (mu) viscosidade absoluta em poises ou kg s/m (lb s/ft) (poises).

    (nu) viscosidade cinemtica em stokes ou m/s (ft/s) = g/p.

    (r) massa especfica em kg/m (slugs/ft ou lb. S/ft4) = W/g.

    (sigma)tenso superficial em kg,/m (lh/ft), tenso normal em kg!m (psi).

    (tau) tenso cisalhante em kg/m lbift, lb/in (psi) ou kg/cm

    LISTA DE FATORES DE CONVERSO

    1 polegada (in) = 25,4 mm. .

    1 p (ft) = 0,305 m = 12 in.

    1 polegada (in) = 16,4 X 10-6 m.

    1 p (ft) = 28,3 X 10- m = 7,48 U.S. Gallon.

    1 U.S. Gallon = 37,8 X 10-4 m = 8,338 lb de gua a 60F

    1 ft/s = 0,646 mgd = 448,8 gpm = 28,3 1/s.

    1 lb s/f t (1c) = 478,7 poises.

    1 ft/s () = 929 cm/s.

    1 hp = 550 lb ft/s = 0,746 kw.

    1 lb = 0,454 kgf

    1 lb/ft = 16 kg/m.

  • 13

    1 polegada = 6,45 X 10-4 m.

    1 ft = 9, 3 X 10- m.

    1 libra por p quadrado (lb/ft) (psf) = 4,88 kgf/m

    1 libra por polegada quadrada (lb/in2)

    1 milha = 1.604 m

    1 mph = 1,46 ft/s

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    CAPTULO I

    INTRODUO e

    PRINCIPAIS PROPRIEDADES FSICAS DOS

    FLUIDOS.

    Neste captulo so abordadas algumas definies bsicas

    da mecnica dos fluidos, objetivando uma melhor compreenso

    da teoria e sua relao com os contedos necessrios prtica da Engenharia.

    Sumrio

    Introduo.

    Multidisciplinaridade.

    Sistemas de Unidades.

    Principais propriedades dos fluidos.

    Classificao do escoamento.

    Problemas propostos.

  • 15

  • 16

    INTRODUO

    Sob o ponto de vista macroscpico, costumamos classificar a matria em slidos e

    fluidos. Fluidos, so substncias que podem escoar. Assim, o termo fluido abrange

    os lquidos e os gases. Neste texto definiremos fluido da maneira como ele

    comumente conhecido. Assim, as mesmas leis bsicas controlam os

    comportamentos esttico e dinmico tanto de lquidos como de gases, apesar das

    diferenas que, a presses ordinrias, observamos entre eles.

    Para slidos, que tem volume e forma definidos, formulamos a mecnica dos corpos

    rgidos. Como os fluidos mudam de forma facilmente e, no caso dos gases, tem seu

    volume igual ao do recipiente que os contem, devemos desenvolver tcnicas para

    resolver os problemas da mecnica dos fluidos. Desenvolveu-se uma formulao

    especial para essas leis bsicas.

    Desenvolvimento histrico da mecnica dos fludos

    O entendimento dos fenmenos da natureza que envolve os fludos de grande

    importncia ao avano tecnolgico, propiciando ao homem melhores condies de

    sobrevivncia. Algumas reas de aplicao desses conhecimentos: Medicina,

    Habitao, Mquinas, Meteorologia, Transporte, Agricultura e muitos outros setores

    onde a mecnica dos fludos importante.

    Apesar da mecnica dos fludos ter sido iniciada antes de Cristo (285 213 AC com

    Arquimedes), somente a partir do sculo XVI que acontecer o seu desenvolvimento

    devido a Hidrulica Experimental. Pouco a pouco, estudos matemticos comearam

    a confirmar algumas teorias propostas, e no final do sculo XIX, firmada como uma

    cincia.

    Muitos pesquisadores se dedicaram a esta cincia e so lembrados atravs de

    princpios, leis, coeficientes e unidades de medida.

    Na primeira metade do sculo XVII, Newton enunciou as suas famosas leis do

    movimento. Pouco depois (1755), Euler estabeleceu equaes diferenciais bsicas

    do movimento dos fludos.

    Importantes equaes bsicas sobre energia foram estabelecidas por Bernoulli.

  • 17

    Aps o conhecimento das proposies de Euler, distinguem-se dois grupos de

    estudiosos. Os tericos com suas anlises abstratas, e os prticos estabelecendo

    formulaes com base em experimentao. A falta de comunicao entre os dois

    grupos explica a lentido no desenvolvimento da mecnica dos fludos como cincia

    at fins do sculo XIX.

    Navier (1827) e Stokes (1845), em trabalhos independentes, generalizaram as

    equaes de movimento, com a incluso do conceito da viscosidade para fluidos

    newtonianos. Tais equaes so de tratamento matemtico difcil. Experincias de

    Reynolds, no fim do sculo, comearam a elucidar possibilidades de aplicao das

    equaes de Navier-Stokes, pelo estabelecimento de dois diferentes tipos de

    escoamento: laminar e turbulento.

    Foi somente no incio do sculo XX que Prandt estabeleceu conceitos da existncia

    de duas regies nos campos de escoamento. Introduziu assim a teoria da camada

    mais prxima das fronteiras slidas: a camada limite. Firmou a importncia da

    viscosidade na camada limite a possibilidade de tratar o fluido da outra regio como

    um fluido ideal.

    Hoje novas reas esto sendo investigadas, envolvendo transferncia de energia

    sob forma de calor e influncias de campos magnticos nos escoamentos.

    SUA MULTIDISCIPLINARIDADE

    Algumas aplicaes, dos contedos de Mecnica dos fluidos nas reas da

    engenharia podem ser visto na tabela 1, abaixo;

    Tabela 1 A multidisciplinaridade de Mecnica dos fluidos.

    reas profissionais Tpicos: fludos, calor e massa

    Construo Civil

    Fissuras por movimentaes higroscpicas

    Fissuras por movimentaes trmicas

    Fissuras por retrao hidrulica secagem

    rpida

    Mangueira de nvel na construo civil

  • 18

    Umidade em alvenaria por capilaridade

    Estruturas Fora do vento em edificaes

    Percolao no concreto vida til

    Geotecnia e

    Hidrologia

    Balano hdrico

    Descarga de um rio

    Evaporao gua-ar

    Percolao da gua no solo

    Umidade relativa do ar

    Hidrulica e

    Saneamento

    Bloco de Ancoragem em adutoras

    Bombas de recalque (Potncia e Perda de

    Carga)

    Determinao da vazo em condutos

    forados

    Medidores (Vertedouro, Pitot, Venturi, Canal,

    etc).

    Transporte

    Drenagem superficial: Sarjeta - Frmula de

    Manning

    Envelhecimento de pavimento asfltico.

    Fonte: Livros texto de reas profissionais.

    Ver referncias bibliogrficas.

    As suas implicaes com a prtica profissional serviro como alerta necessidade

    em avanar no estudo das teorias especficas de cada prtica.

    OS PROCESSOS DE ANLISE EM MECNICA DOS FLUDOS

    A mecnica dos fludos estuda fludos em equilbrio e fludos em movimento e

    divide-se em:

    Esttica dos Fludos e

  • 19

    Dinmica dos Fludos.

    Aspecto dinmico tem-se:

    Fludo incompressvel Hidrodinmica e

    Fludo compressvel Aerodinmica.

    Sob a hiptese do contnuo, o comportamento dos fludos analisado e estabelecido

    pelos princpios:

    Lei de Stevin Equao da fluidosttica

    Conservao da massa - Equao da Continuidade - Vazo

    Conservao da energia Equao de Bernoulli

    Quantidade de Movimento - Equao de Foras Desenvolvidas por fluidos.

    MTODOS DE ANLISE DE UM FENMENO

    Para se resolver um problema definir o sistema que est sendo analisado. Na

    Fsica clssica, bastante difundido o diagrama do corpo livre. Neste texto

    empregamos os termos superfcie de controle e volume de controle. importante

    definir o sistema de volume de controle antes de aplicar as equaes de variaes e

    as equaes bsicas.

    Sistema e Volume de Controle

    Um sistema fsico definido como uma quantidade de massa fixa e identificvel, as

    fronteiras do sistema separam-no do ambiente volta. As fronteiras do sistema

    podem ser fixas ou mveis, contudo, no h transferncia de massa atravs das

    mesmas.

    Num cilindro termodinmico, o gs no cilindro o sistema. E o cilindro e o volume

    de controle. Calor poder cruzar as fronteiras do sistema, mas a quantidade de

    matria dentro delas permanecera constante. No h transferncia de massa

    atravs das fronteiras do sistema.

  • 20

    Enfoque Diferencial e Enfoque Integral

    As leis bsicas que aplicamos ao nosso estudo dos fenmenos de transporte podem

    ser formuladas em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais ou

    finitos. Ambos os enfoques so importantes no estudo de fenmenos de transporte.

    No primeiro caso, as equaes resultantes so equaes diferenciais. A soluo das

    equaes diferenciais do movimento oferece um meio de determinar o

    comportamento de ponto a ponto do fluido.

    Freqentemente, nos problemas em estudo, a informao buscada no requer

    conhecimento detalhado do escoamento. Nestes casos, mais apropriado empregar

    a formulao integral das leis bsicas. Usam-se volumes de controle finitos, que

    geralmente de tratamento analtico mais fcil.

    UNIDADES E DIMENSES

    A dimenso de uma grandeza um conjunto de variveis bsicas que influenciam

    esta grandeza e expressam o fenmeno observado. Por exemplo:

    1,0 ft (p) = 12 in (polegada)

    Ps, polegadas, centmetros, metros so unidades, porm todas elas representam

    uma medida de comprimento - dimenso fsica. No estudo da anlise dimensional

    as dimenses bsicas so a fora F, o comprimento L, o tempo T, a temperatura t e

    a massa M.

    So trs os principais sistemas de unidade: (Monte uma tabela para as principais

    variveis em Mecflu).

    Sistema Internacional ou MKS,

    Sistema Ingls,

    Sistema Tcnico.

    PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

    Termos que definem o estado fsico do fludo:

    Para descrevermos o movimento de fluidos, sero necessrios alguns termos que

    permitam definir o seu estado fsico. Esses termos descrevem suas propriedades. E,

  • 21

    uma propriedade uma caracterstica de uma substncia que tem um valor

    constante para um dado estado; como por exemplo:

    massa especfica

    peso especfico

    viscosidade, etc.

    Massa especfica ou densidade absoluta

    Caracteriza a quantidade de matria que preenche o espao. Sendo medida pela

    massa por unidade de volume. Dada pela relao abaixo:

    = Massa / Volume

    Onde,

    Massa = kg

    Volume = m3

    = massa especifica = kg/m3 (no sistema MKS).

    Ou, tambm pela relao entre o peso especifico () e a gravidade (g), ou seja:

    = /g

    A massa especifica ou densidade absoluta uma funo escalar e contnua das

    coordenadas dos pontos do meio e, ainda, da temperatura e do tempo que no

    deixa de ser uma das definies de fludo compressvel.

    Peso especfico: = .G

    O peso especfico de uma substncia o peso da unidade de volume da substncia.

    O peso especfico da gua para oscilaes normais de temperatura (CNTP) de

    1000 kgf/m3 (sistema tcnico de unidades).

    = Peso / volume

    Onde,

    peso = Newton (N)

    volume = m3

    = peso especifico = N/m3 (no sistema MKS)

  • 22

    Equao geral dos gases

    As propriedades de um fludo fazem parte dos domnios da Termodinmica. No

    processo de converso de energia no interior do fludo ou entre o fludo e suas

    vizinhanas, o estado e o movimento do fludo so afetados. Uma equao de

    estado relaciona as propriedades em qualquer etapa em que o sistema sofre

    variaes. Felizmente, para o maior nmero das substncias de interesse da

    Engenharia, a equao de estado possui uma forma matemtica simples, por

    exemplo,

    = f1(p,T)

    p = f2(,T)

    T = f3(p,)

    Estas relaes funcionais so sempre verdadeiras para substncias puras, simples e

    compressveis, embora as equaes que descrevam estas relaes possam ser

    bastante simples, quando as presses e temperaturas no forem muito elevadas.

    Para o gs perfeito; (designar o gs com o calor especfico constante gs ideal).

    Calor especfico (= Joule/Kg.oC no sistema MKS) e uma caracterstica de cada

    substncia. E definido como sendo a razo entre a capacidade trmica e a massa da

    substncia. (capacidade trmica e a razo entre o calor absorvido ou liberado e a

    variao da temperatura = Joule / oC no MKS e cal/oC no tcnico).

    Para um gs cujas molculas colidam de modo perfeitamente elstico, a equao de

    estado :

    = p/R.T

    Onde,

    = peso especfico

    p = presso absoluta

    T = Temperatura absoluta (em K ou R)

    R = Constante Universal dos gases

    Onde R uma constante que depende somente do peso molecular do gs, T a

    temperatura absoluta e p a presso absoluta.

  • 23

    Valor de R para alguns gases:

    Ar, 53,36 ft/oR

    Amnia, 90,77 ft/oR

    Dixido de Carbono, CO2, 35,12 ft/oR

    Monxido de carbono, CO, 55,19 ft/oR

    Hlio, H, 386,33 ft/oR

    Metano, CH4, 96,04 ft/oR

    Oxignio, O2, 48,29 fr/oR

    Vapor de gua, H2O, 85,80 ft/oR

    valor de R para alguns gases

    A densidade relativa dos fluidos

    A densidade relativa de um corpo um nmero absoluto que representa a relao

    do peso de um corpo para o peso de igual volume de uma substncia tomada como

    padro. De um modo geral gua nas CNTP, ou seja,

    1000 kg/m3 (massa especfica no sistema MKS)

    10 000 N/m3 (peso especfico no sistema MKS)

    62,4 lb/ft3 (peso especfico no sistema Ingls)

    Se a densidade relativa de uma substancia lquida e igual a 0,750 isto significa que a

    sua massa especifica vale: 0,750 x 1000 kg/m3 = 750 kg/m3.

  • 24

    Exemplo

    Ex. (01) Calcular o peso especfico, o volume especfico e a massa especfica do

    metano a 27 oC e 9 kgf/cm2 absoluta. Considere R = 53 m/oK constante Universal

    para o metano. (Volume especfico = e o inverso do peso especifico, ou seja; Vs =

    1/).

    Soluo:

    Peso especfico = 34

    /66,5)27273(53

    10.0,9mkgf

    RT

    p

    Volume especfico = kgfmVs /177,066,5

    11 3

    Massa especfica = 3/81,9

    66,5mutm

    g

    ou = 5,66 kg/m3 (MKS)

    Sendo,

    utm = unidade tcnica de massa. 1.0 utm = gravidade x kg

    CLASSIFICAO DO ESCOAMENTO

    a classificao do movimento dos fluidos, de acordo com caractersticas prprias,

    possibilitando facilitar o entendimento do estudo dos Fenmenos de Transporte.

    Quanto variao no tempo:

    Escoamento permanente (ou estacionrio) e no permanente.

    Se a acelerao local, v/t = 0, diz-se que o escoamento permanente. A

    velocidade no varia com o tempo, embora ela possa variar de ponto a ponto no

    espao.

    Por outro lado, caso haja dependncia com o tempo, diz-se que o escoamento no

    permanente.

  • 25

    Esta afirmativa implica, para escoamento permanente, em que outras variveis

    tambm devero ser constantes em relao ao tempo:

    dp/dt=0; dr/dt=0; dQ/dt=0.

    Esta condio de escoamento encontrada em problemas de engenharia hidrulica,

    onde a altura de carga permanece constante.

    Quanto variao na direo

    O escoamento pode ser Uniforme e No Uniforme.

    Uniforme: Quando a velocidade no varia em direo e intensidade de ponto a

    ponto; isto , com o espao.(dv/dr=0) (r = vetor espacial.), ou acelerao convectiva

    nula.

    Esta condio implica em que outras variveis do escoamento sejam constantes em

    relao distncia, ou dr/dt = 0, etc.

    Exemplo: Escoamento sob presso no interior de tubulaes com dimetro

    constante.

    No Uniforme: Permite variao com as coordenadas espaciais. Por exemplo,

    escoamento no interior de tubulaes com dimetro variado, (pontos de mudana de

    dimetro).

    Quanto variao da direo

    O escoamento pode ser laminar ou turbulento.

    Laminar: Escoamento baixa velocidade, onde as linhas de corrente so paralelas

    entre si.

    Turbulento: Escoamento onde no ocorre paralelismo das linhas de corrente, ou

    escoamento alta velocidade. Os escoamentos, em sua maioria, so turbulentos.

    Em sua experincia, REYNOLDS descobriu que a existncia de dois tipos de

    escoamento depende da velocidade, de um comprimento caracterstico (no caso de

    tubulaes, o dimetro) e da viscosidade do fluido; ou seja, o parmetro

    adimensional REYNOLDS:

  • 26

    Escoamento uni, bi ou tridimensional

    O escoamento Unidimensional de um fluido incompressvel ocorre quando a direo

    e a intensidade da velocidade a mesma para todos os pontos.

    Entretanto, aceita-se a anlise de escoamento Unidimensional quando as

    velocidades e aceleraes normais ao escoamento so desprezveis.

    Em tais casos os valores mdios da velocidade, da presso so considerados como

    representantes do escoamento como um todo e, pequenas variaes podem ser

    desprezadas.

    Exemplo: o escoamento em tubulaes analisado pr meio de princpios de

    escoamento Unidimensional, apesar do fato de que a estrutura ser tridimensional e a

    velocidade variar atravs das sees normais ao escoamento.

    Rotacional e Irrotacional

    Para um fludo ideal, no qual no existe tenso cisalhante, e, portanto no h

    torques, o movimento de partculas fludas em torno de seus prprios centros de

    massa no pode existir.

    Tal escoamento ideal chamado de Irrotacional.

    Caso existam consideraes a respeito da velocidade angular, o escoamento dito

    ROTACIONAL.

    1.1.1 Quanto a variao da densidade com o espao

    a) Compressvel: Quando a densidade varivel,

    b) Incompressvel: Quando a densidade constante.

    1.1.2 Escoamento aberto e fechado

    a) Escoamento aberto: O fluido escoa aberto para atmosfera. Por exemplo:

    Escoamento em canais, Escoamento envolvendo um objeto, etc.

    b) Escoamento fechado: O fluido escoa confinado no interior do volume de

    controle. Por exemplo: escoamento forado no interior de tubulao da

    hidrulica.

  • 27

    PROBLEMAS PROPOSTOS

    Sistemas de Unidades

    Ex. 01) Escreva as unidades das grandezas abaixo nos seguintes sistemas de

    unidades: MKS, INGLES E TCNICO.

    a) velocidade linear

    b) comprimento

    c) temperatura

    d) acelerao

    e) massa

    f) fora

    g) massa especfica

    h) peso especfico

    i) vazo

    j) presso

    k) densidade relativa

    Ex. 02) Determine o volume mximo da gua no oceano atlntico, em km3.

    Considere a sua rea como sendo 179.000.000 km2. E, profundidade mxima de

    11.000 m.

    Ex. 03) Determine a rea do espelho dgua do lago da pampulha (BH) em m2,

    sendo a sua rea de 2,7 km2.

    Ex. 04) Se a profundidade mdia da lagoa da pampulha vale 15 m. Qual o seu

    volume mdio de gua em litros.

    Ex. 05) Para uma aeronave a 11 km de altitude a temperatura externa vale 273 ok.

    Obter em oC e em oF.

    Ex. 06) Converter 70 oF e 92 oF para oC.

  • 28

    Propriedades dos fluidos

    Ex. 07) Na densidade relativa, o lquido tomado geralmente como referncia :

    a) leo lubrificante c) o mercrio

    b) o lcool d) a gua 4C

    Ex. 08) Um recipiente em forma de paraleleppedo, com as arestas a = 80 cm, b =

    50 cm e c = 60 cm, est cheio com 216g de leo. Calcular a massa especfica (),

    peso especfico (), densidade relativa (d) e volume especfico (VS).

    Ex. 09) Calcule a densidade de uma substncia liquida para um volume de 2,0 litros

    e massa de 500 g.

    Ex. 10) Calcule o peso especifico do liquido do exerccio anterior.

    Ex. 11) E, a densidade relativa do liquido anterior.

    Ex. 12) Calcule a massa de um liquido de volume de 3 litros, para uma densidade ou

    massa especifica igual a 750 kg/m3.

    Ex. 13) Determine o peso especifico do liquido do exerccio anterior.

    Ex. 14) E, a densidade relativa do liquido anterior.

    Ex. 15) A densidade relativa de uma substncia vale 13,6. Calcule sua densidade

    absoluta ou massa especifica.

    Ex. 16) Calcule o peso especifico da substancia do exerccio anterior.

    Ex. 17) Calcule o peso especifico de um gs a 27 oC e 0,8 mPa absoluta. Considere

    a constante universal dos gases, R = 53 m/ok.

  • 29

    Ex. 18) A massa especifica do gs do exerccio anterior.

    Ex. 19) A densidade relativa do gs do exerccio anterior.

    Classificao do escoamento

    Ex. 20) Um escoamento unidimensional

    (a) um escoamento uniforme permanente

    (b) um escoamento uniforme

    (c) um escoamento com variaes desprezveis na direo transversal

    (d) obrigado a escoar segundo uma linha reta

    (e) nenhuma das respostas anterior

    Ex. 21) No escoamento turbulento

    (a) as partculas do fluido movem-se de maneira ordenada

    (b) as linhas de correntes se cruzam

    (c) As linhas de corrente so paralelas entre si

    (d) uma lmina de fluido desliza suavemente sobre outra.

    Ex. 22) Um escoamento turbulento geralmente ocorre em casos que envolvem

    (a) fluido muito viscosos

    (b) passagens muito estreitas ou tubos capilares

    (c) movimentos muito lentos

    (d) nenhuma das respostas anteriores

    Ex. 23) Um escoamento permanente ocorre quando

    a) as condies no variam com o tempo

    b) as condies so as mesmas em pontos adjacentes em qualquer instante

    c) as condies variam permanentemente com o tempo

    d) v/t constante

  • 30

    Ex. 24) Um escoamento uniforme ocorre

    a) sempre que o escoamento for permanente

    b) quando v/t nulo em qualquer ponto

    c) somente quando o vetor da velocidade permanece constante em qualquer ponto

    d) quando v/s = 0

    Ex. 25) Uma linha de corrente

    a) uma linha que liga os pontos mdios das sees transversais do escoamento

    b) definida somente para um escoamento uniforme

    c) coincide sempre com a trajetria da partcula

    d) fixa no espao, num escoamento permanente

  • 31

  • 32

    CAPTULO II

    ESTTICA DOS FLUDOS:

    PRESSO E MANOMETRIA

    Neste captulo sero abordados temas relacionados hidrosttica.

    Clculo da presso esttica, o estudo da manometria como medidores de presso e

    outros temas importantes para melhor compreenso da engenharia.

    SUMRIO

    Aspectos Tericos

    Conservao do Momentum ou Equao do Equilbrio.

    Lei de Stevin.

    Biografia dos principais pesquisadores da rea.

    Manometria.

    Experincias em Laboratrio

    Presso atmosfrica ou Barmetro de Torricelli

    Mangueira de nvel na Engenharia

    Aplicaes na Engenharia

    Capilaridade da gua: Mecnica dos Solos

    Intruso salina no litoral: Hidrologia

    Mangueira de nvel na construo civil

    Problemas propostos

    Referncia bibliogrfica

  • 33

    CONSERVAO DO MOMENTUM OU EQUAO DO EQUILBRIO

    A equao geral da Fluidosttica deduzida a partir da condio de equilbrio para o

    fluido em repouso, ou seja;

    Da Lei de Newton, tm-se;

    Dt

    DVvolmaF ..

    Fazendo,

    Vol

    Ff

    Finalmente, teremos a equao do equilbrio para uma funo composta, do tipo;

    V = f(x,y,z,t) na qual a soluo dada pela derivada substantiva utilizando a regra da

    cadeia de derivao.

    Dt

    DVf

    Equao geral de Newton

    Esttica dos fludos Primeira lei de Newton

    So para fenmenos nos quais o fluido permanece em repouso, ou seja, acelerao

    nula.

    f = 0

    LEI DE STEVIN

    So para fenmenos os quais o fluido permanece em repouso, ou seja, com

    acelerao nula. Vale afirmar que as foras externas esto em equilbrio.

    Podemos escrever que para uma massa fluida, as foras por unidade de volume

    sero: fora de presso (F = p.A)

    fora peso (P = .vol)

    Logo, podemos escrever a lei de Newton do equilbrio na forma abaixo:

  • 34

    0.

    gp

    Lembrando que necessrio conhecermos a natureza de e de g. Integrando a lei

    acima para o eixo dos y, tem-se:

    p = - .g

    dp/dy = - .gy

    dp = - .g.dy

    A lei acima ter a seguinte expresso, conhecida como Lei de Stevin para a presso

    esttica.

    dygdp ..

  • 35

    BIOGRAFIA:

    Simon Stevin

    (1548 - 1620)

    Matemtico, mecnico e engenheiro militar, flamengo nascido em Bruges, a quem

    se deve a popularizao do uso do sistema decimal de fraes, o que viabilizou o

    uso divisionrio das moedas, pesos e medidas em geral. . Filho ilegtimo de ricos

    cidados, pouco se sabe do incio de sua vida. Sabe-se que depois dos vinte anos

    de idade viajou pela Noruega, Polnia e Prssia e, na volta, estabeleceu-se na atual

    Holanda. Passou a estudar em Leiden (1581) e dois anos depois entrou para a

    universidade local na qual, aps formar-se, passou a ensinar matemtica. Publicou

    De thiende (1585), de grande influncia na engenharia, na prtica comercial e na

    notao matemtica e de grande popularidade na poca. Foi nomeado para um

    poderoso posto no exrcito holands (1593), por ordem do prncipe De Nassau, o

    que contribuiu para se tornar um grande engenheiro militar e assumir outros postos

    importantes no governo at sua morte, em Haia. Sua matemtica foi sem dvida

    valiosa para o desenvolvimento do algebrismo. Sua contribuio cientfica ao

    desenvolvimento da mecnica tambm foi notvel. Na sua obra destacam-se trs

    importantes publicaes, todas editadas em Leiden e em holands (1586): Princpios

    de esttica, uma espcie de continuao dos trabalhos de Arquimedes (teoria da

    alavanca, centro de gravidade dos corpos, etc., e o teorema dos planos inclinados),

    Aplicaes de esttica e Princpios de hidrosttica, uma notvel contribuio ao

    estudo da hidrosttica, entre outros assuntos, tratando sobre o deslocamento de

    corpos mergulhados em gua e a explicao do paradoxo da hidrosttica - presso

    independente da forma do recipiente. Influenciado pelas teorias de Da Vinte,

    pesquisou o comportamento hidrosttico das presses, divulgando o princpio do

    paralelogramo das foras. Enunciou o princpio dos trabalhos virtuais (1608). Sua

    genialidade abrangia os mais variados campos do conhecimento, pois tambm

    escreveu pequenos tratados estabelecendo aplicaes prticas de alguns princpios

    mecnicos, sobre acampamentos e fortificaes militares, eclusas e barragens, a

    fora dos ventos e moinhos de vento, astronomia copernicana, direitos civis e

    escalas musicais.

    Quadro 10 Biografia Simon Stevin

    Fonte www.sobiografia.hpg.com.br

  • 36

    Exemplo

    Exerccio: Determinar o gradiente de presso em relao ao eixo vertical y, para

    uma altura de 10 m; considerar o fluido compressvel para uma densidade variando

    de acordo com a funo: (y)=3y2 +4y [kg/m3].

    Supor gy= 9,81 m/s2. Resp.:1,1772.104 N/m2

    Soluo:

    Aplicando a equao: dp = - gdy

    dyydp y

    10

    0

    2

    4381,9

    Resposta

    p = 1,1772 N/m2

    Condio de fludo incompreensvel

    Incompressvel o fludo cuja densidade permanece constante, aplicando esta

    condio na equao anterior, teremos a equao para fludo incompressvel; ou

    seja,

    dygdp ..

    Onde,

    = constante em relao a y

    g = constante (acelerao da gravidade)

    Integrando de y1 a y2 (diferenca de alturas), tem-se;

    y

    y

    dyg

    p

    p

    dp2

    1

    2

    1

    ..

    p = g.y

    p2 - p1 = g(y2 - y1)

  • 37

    Quando,

    p1 = 0

    p2 = p

    y2 - y1 = h

    teremos,

    p = .g.h

    ou, equao para a presso efetiva (manomtrica, medida, gage)

    ygp ..

    Onde,

    p = presso

    = massa especfica do lquido

    g = gravidade

    Presso absoluta:

    a soma da presso efetiva com a presso atmosfrica local.

    Equao para a presso absoluta: pabs. = pef. + patm.

    Considerando fludo compressvel

    Compressvel o fludo cuja densidade pode variar com temperatura e/ou presso.

    Hiptese A: condio isotrmica -Temperatura constante

    A presso ser calculada pela seguinte expresso:

    p = po . e(- h / RT)

    Onde,

    R = constante Universal dos gases

    T = Temperatura absoluta

    p = presso final

  • 38

    po= presso inicial

    h = altura entre os pontos de presso final e presso inicial.

    Hiptese B: condio adiabtica - Temperatura varivel

    A presso ser calculada pela seguinte expresso:

    p[( 1-k) / k] = po [( 1 - k ) / k ] - [( 1 - k) / k ] [(o. h) / po

    1 / k]

    Onde,

    k = coeficiente adiabtico, relacionado ao calor especfico. (Tabelado)

    = peso especfico dos gases.

    Exemplo 02

    Traar o diagrama de presso devido gua (h=2,0 m) e a lama (h=0,5 m) no fundo

    e nas laterais, de acordo com a figura abaixo.

    Figura problema resolvido sobre Lei de Stevin perfil transversal de um rio

    Soluo:

    p1 = 0

    p2 = H20 . h

    = 1 000 . 2

    = 2 000 Kgf/m2

  • 39

    p3 = p1 + p2 + L . hL

    = 0 + 2 000kgf/m2

    + (1,5 . 1 000kgf/m3). 0,5 m

    p3= 2 750 Kgf/m2 presso no fundo, efetiva.

    Figura - diagrama de presso Lei de Stevin

    MANOMETRIA

    Um dos mtodos convenientes para medir presso consiste em determinar o

    deslocamento produzido pelo fluido no interior de uma coluna de um tubo

    transparente em forma de U - manmetro.

    Para medir presses elevadas, normalmente, usa-se Mercrio como fludo

    manomtrico.

    A mangueira de Nvel de Pedreiro um Manmetro diferencial contendo gua.

    Veremos no final deste captulo.

    A figura abaixo mostra um esquema de um medidor manmetro.

    So dois tipos de manmetros:

    Manmetro Analgico ou Metlico

  • 40

    Manmetros diferenciais ou de Mercrio

    Figura- Manometria - manmetro diferencial

    Roteiro de clculo da presso em manmetros diferenciais:

    No ponto A no interior da tubulao.

    Aplicando a equao (anterior) do Fludo Incompressvel, teremos:

    No nvel BC as presses so iguais,

    pB - pC = ( yB - yC) yB = yC

    Logo,

    pB = pC No mesmo Nvel.

    pB = pA + e . h1 e pC = patm. + m.h2

    Igualando as equaes,

    pA + e . h1 = patm. + m . h2

    Logo,

    pA = patm. + m . h2 - e . h1

    Equao da presso absoluta

    ou,

    pA = m .h2 - e . h1

    Equao da presso efetiva.

  • 41

    Onde

    m = peso especfico do fludo manomtrico

    e = peso especfico do fludo em escoamento

  • 42

    Exemplo 03

    Calcule a presso em A, no interior da tubulao, se a presso em B vale 2,0 psi.

    Considere os dados da figura abaixo. (densidade relativa = 1,2)

    Figura 12 - Manometria -Tubulao com manmetro diferencial instalado

    Aplicando a equao para fludo Incompressvel:

    pC = pD

    pC = pA + o . (10/12)

    pD=pB + Hg .(10/12)

    Igualando as equaes; teremos,

    pA + o(10/12) = pB + Hg(10/12)

    pA = pB + (Hg - o) . 10/12

    pA = pB + (dRHg - dRo) . 10/12 . gua

    pA = 2,0 . 144 + (13,6 - 1,2) . 10/12 . 62,4

    = 932,77 lb./ft2(ou psf)

    pA = 932,77 : 144 = 6,477 lb./in2

    (ou psi);

    pA = 6,477 . 0,07 Kgf/cm2

    = 0,4534 kgf/cm2

  • 43

    EXPERIENCIAS EM LABORATRIO

    1. Presso atmosfrica pelo Barmetro de Torricelli

    2. Nivelamento na construo civil pela mangueira de nvel

    1 Experincia:

    Presso Atmosfrica Atravs do Barmetro de Torricelli

    Princpio

    A clssica experincia de Torricelli reproduzida. A presso atmosfrica expressa

    em altura (h= 760 mm a nvel do mar) de coluna de mercrio (13600 kg.m-3) em

    equilbrio em uma cuba e um tubo transparente.

    Quando este experimento realizado em Belo Horizonte, a altura da coluna de

    mercrio ser menor. A determinao desta altura o objeto deste experimento.

    Aparato experimental:

    Cuba de vidro;

    Tubo cilndrico de vidro transparente de 1,0 metros de comprimento fechado em

    uma das extremidades;

    Mercrio;

    Escala graduada em milmetros e mesa de apoio para o experimento.

    Procedimento experimental

    1. Preencher completamente com mercrio o tubo de vidro.

    2. Colocar mercrio na cuba at uma altura para que seja possvel mergulhar a

    ponta do tubo de vidro junto com um dedo.

    3. Com um dado fechando completamente a extremidade aberta do tubo de vidro,

    emborc-lo na cuba.

    4. Uma vez mergulhado e completamente na vertical, liberar a extremidade imersa

    no mercrio.

  • 44

    5. Utilizando a escala graduada em milmetro e com o tubo de vidro encostado em

    seu apoio, medir a distncia entre a superfcie livre do mercrio na cuba e a parte

    superior do menisco de mercrio no tubo de vidro.

    Experimentao

    Ler a altura do mercrio no barmetro.

    Figura - Imagem do experimento do Barmetro de Torricelli

    Fonte: secundria

  • 45

    2 EXPERINCIA:

    Mangueira de Nvel na Engenharia

    Princpio

    O principio fsico empregado o da Lei de Stevinl.

    Aparato experimental

    Mangueira de nvel, transparente.

    gua pura.

    Trena.

    Giz.

    Procedimento experimental

    1. Encher completamente a mangueira com gua.

    2. Antes de us-la manter as extremidades tapadas.

    3. Dois alunos um em cada extremidade, sendo que um marcar um ponto fixo e

    outro receber este ponto atravs do nvel da gua na mangueira, o qual ser

    marcado com giz.

    4. Elaborar um croqui com medidas de comprimentos e alturas.

    5. Demonstrar pela Lei de Stevin o princpio fsico utilizado no nivelamento

    topogrfico.

  • 46

    APLICAES NA ENGENHARIA

    Capilaridade da gua: Mecnica dos Solos

    Intruso salina no litoral: Hidrologia

    Mangueira de nvel na construo civil

  • 47

  • 48

    O FENMENO DA CAPILARIDADE

    Fonte: BAUER (1985) Materiais de Construo

    A importncia dos Fenmenos Capilares;

    Estradas: Na construo de pavimentos rodovirios. Assim, por exemplo, se o

    terreno de fundao de um pavimento constitudo por um solo siltoso e o nvel

    fretico est pouco profundo, a fim de evitar que a gua capilar venha a

    prejudicar a estabilidade do pavimento a ser construdo, tornam-se necessrias

    certas precaues, quer substituindo o material siltoso por outro de menor grau

    de capilaridade, quer construindo sub-bases adequadas.

    A Contrao: dos solos tambm explicada pelos fenmenos capilares.

    medida que a gua vai sendo evaporada, iro surgindo foras capilares, que

    aproximam as partculas. Essa presso capilar, que cresce medida que se

    evapora a gua, explica desse modo, a contrao dos solos durante o seu

    processo de perda de umidade.

    O efeito CAPILAR produz movimento da gua em solos estreitamente compactados.

    uma conseqncia da tenso superficial. Mergulhando tubos de pequenos

    dimetros em um lquido com contato com o ar, a superfcie do lquido junto

    parede deixa de ser plana, para torna-se cncava e elevada se o lquido molha as

    paredes (gua e vidro), e convexa e deprimida se o lquido no os molha (mercrio e

    vidro).

    Ascenso ou depresso num tubo capilar dada por:

    A fora de tenso superficial na vertical deve suportar o peso da coluna de fludo.

    Aplica-se a condio de equilbrio Newtoneano. F = 0

    Tenso superficial (ascendente) peso do volume (descendente) + fora devida

    presso (ascendente) fora devida presso (descendente) = 0

    dh

    .

    sen.4

    Onde,

  • 49

    = tenso superficial da gua, por unidade de linha de contato entre a gua e

    o tubo.

    = ngulo de contato. Considera-se 90o para um tubo limpo.

    d = dimetro,

    = peso especfico do lquido

    Ou, para fins prticos:

    = 0,0764 g/cm

    = 0o

    Da, a expresso para o clculo da altura capilar mxima.

    Lei de Jurin:

    dh

    306,0max

    Com d em cm.

    A elevao (h) inversamente proporcional ao dimetro do capilar. Assim, nos solos

    finos (siltosos e argilosos), os quais tm vazios de dimetro reduzido, a altura capilar

    ser maior do que nos solos grossos (pedregulhos e arenosos); para os primeiros, h

    pode atingir valores da ordem de 30 m ou mais. Para estudos mais completo, o

    estudante dever pesquisar em livros especializados sobre Mecnica dos solos.

  • 50

    INTRUSO SALINA NO LITORAL

    Fonte: CROSTA, lvaro P. (2000) Recursos Hdricos,

    No litoral, a gua subterrnea e descarregada no mar sob condies normais, uma

    vez que o lenol fretico mergulha em direo ao nvel do mar (figura abaixo). As

    rochas submersas no mar geralmente possuem em seu interior gua subterrnea

    salgada, derivada da gua do mar. O limite entre a gua subterrnea doce e gua

    subterrnea salgada geralmente mergulha em direo ao continente a partir da

    costa, existindo uma cunha de gua subterrnea salgada, de maior densidade,

    situada debaixo da gua subterrnea doce, menos densa, situada debaixo do

    continente. Este fenmeno chamado de intruso salina. A profundidade abaixo do

    nvel do mar dessa interface entre a gua subterrnea doce e salgada em qualquer

    local, h2, na figura, depende da altura do lenol fretico acima do nvel do mar, h1.

    Ao longo dessa interface, as presses devidas carga da gua do mar mais densa

    e a gua doce menos densa esto em equilbrio. Em qualquer ponto da interface ou

    lente (por exemplo, no ponto de h2, na figura) a presso devida a gua salgada

    devera ser igual presso devida a gua doce (Lei de Stevin).

    Figura 2 - perfil de uma intruso salina ao longo do litoral. A escala vertical

    encontra-se exagerada. Fonte: Desenho Prof. Milton.

    h2 = 40h1

    Presso da gua doce = presso da gua salgada

    d.g.(h1+h2) = s.g.h2

    Onde,

    d = densidade da gua doce

  • 51

    s = densidade da gua salgada

    g = acelerao da gravidade

    h1 = profundidade do lenol fretico ao nvel do mar

    h2 = profundidade da lente

    rearranjando a equao, para h2,

    h2 = [d/(s - d)].h1

    Como d = 1000 kg/m3 e s e tipicamente igual a 1025 kg/m

    3,

    h2 = 40h1

    Isso significa que se o lenol fretico prximo ao litoral e , digamos, de 5 metros

    acima do nvel do mar (h1 = 5 metros),

    ento

    h1 + h2 = 5 + (40x5) = 205 metros

    e, portanto, a gua subterrnea salgada deve ser encontrada a uma profundidade de

    205 metros abaixo do lenol fretico.

    Se as densidades da gua doce e salgada variar, da mesma forma ir variar a razo

    de 40 para 1 de h2 para h1. Isso pode ocorrer nos locais onde a gua salobra forma

    a interface com a gua doce. A interface entre gua subterrnea doce e salgada no

    e, geralmente uma zona, com pelo menos alguns metros de espessura, em que as

    guas doce e salgada se misturam. A gua nessa zona menos salgada do que na

    gua do mar, isto e, trata-se de uma gua salobra. O nvel do mar sobe e desce com

    as mars, e ocorre uma variao na taxa de descarga da gua subterrnea doce no

    mar. Esses fatores acarretam mudanas na posio dessa interface e podem causar

    a mistura de gua doce e salgada.

    Intruses salinas podem se tornar um problema nos locais em que grandes

    quantidades de gua doce so extradas dos terrenos prximos ao litoral. Sob

    condies normais, a gua subterrnea doce e descarregada no mar, mas se a gua

    subterrnea for abstrada em excesso em regies prximas a costa, a gua

    subterrnea doce e impedida de descarregar no mar e gua subterrnea salgada

    penetra por baixo do continente. Se o nvel do lenol fretico for rebaixado devido as

    altas taxas de abstrao (se h1 for reduzido), de modo que os poos podem

    eventualmente vir a ser preenchidos por gua salgada, tornando-se imprestveis

  • 52

    para o abastecimento de gua doce. Esse tipo de problema pode se tornar grave em

    ilhas de pequenas dimenses, conde existem normalmente corpos de gua

    subterrnea, formato de lentes, devido s intruses salinas ao redor da ilha (ver

    figura a seguir).

    Figura 3 - Intruses salinas ao redor do litoral de uma ilha, produzindo um

    corpo de gua doce em formato de lente embaixo da ilha.

    Fonte: Desenho Prof. Milton

  • 53

    MANGUEIRA DE NVEL NA ENGENHARIA

    Fonte: secundaria

    Se voc quiser saber se o piso da sua cozinha est em nvel, faa o seguinte:

    arranje uma mangueira de plstico transparente e encha-a de gua. Coloque as

    suas extremidades em dois cantos da cozinha e marque, com um lpis, o nvel da

    gua. Mea, com um metro ou uma fita mtrica, a altura de cada nvel da gua. Se

    as duas alturas forem iguais, porque o piso est no nvel certo.

    Figura - Uso da mangueira de nvel na construo civil - Fonte: secundaria

    Princpio fsico utilizado na mangueira de nvel;

    Pode-se classificar o fludo quanto a sua variao de densidade em compressvel: o

    fludo que pode variar sua densidade com a temperatura e/ou presso exemplo, os

    gases. E, incompressvel os fludos lquidos, como por exemplo, a gua.

    Como sabemos na mangueira de nvel usa-se gua no seu interior, para esse fim.

    Quando as duas pessoas esto segurando em cada extremidade, importante

    mant-las abertas ao ar atmosfrico; pois, com isso, est assegurado que a presso

    numa extremidade igual na outra. Logo, a gua das extremidades est nivelada;

    pois, num mesmo nvel as presses so iguais, de acordo com a Lei de Stevin.

    ygp ..

    Lei de Stevin,

    Onde,

    p = variao de presso

  • 54

    = massa especfica do lquido

    g = gravidade

    y = altura da coluna do lquido

    O fenmeno da mangueira de nvel e explicado pelo equilbrio de presses num

    determinado ponto, ou seja, a presso em (A) ser igual a presso em (B)

    pA = pB

    (a mangueira devera estar aberta ao ar atmosfrico)

    Aplicando na Lei de Stevin

    yg ..0

    y0

    Logo yA = yB

    Concluso

    Os pontos A e B esto no mesmo nvel.

  • 55

    PROBLEMAS PROPOSTOS

    Presso baromtrica

    Ex. 01) Calcule a presso baromtrica em psi a uma altitude de 4 000 ft se a

    presso ao nvel do mar de 14,7 psi. Considere isotrmica a 70 oF. Resp.: 12,7 psi.

    Ex.02) Um barmetro acusa 30 in de Hg.

    a) Qual a presso atmosfrica?

    b) Qual a presso efetiva no fundo de uma piscina de 10 ft de profundidade?

    c) Qual a presso absoluta neste local?

    d) Traar o diagrama de presso efetiva no fundo e nas laterais.

    Gradiente de presso

    Ex. 03) Calcular o Gradiente de presso em relao ao eixo vertical y, para uma

    altura de 10 m; considerar o fluido compressvel para uma densidade variando de

    acordo com a funo: (y)=3y2 + 2y + 8 [kg/m3].

    Supor gy=10 m/s2.Resp: 1,18.104 N/m2

    Ex. 04) Determine a presso absoluta a uma profundidade de 6,0 m abaixo da

    superfcie livre de um volume de gua. Se um barmetro indica 760 mm de Hg.

    Resp.: 1,6 . 104 kgf/m2.

    Manometria

    Ex. 05) Determine a presso manomtrica em A devida deflexo do mercrio, no

    manmetro U mostrado na figura abaixo. Resp: 25 200 N/m2.

  • 56

    Figura Manometria problema proposto, manmetro diferencial em U.

    Ex. 06) Um leo de densidade 0,750 escoa atravs de um bocal indicado na fig.

    abaixo e causa a deflexo do mercrio no manmetro U. Determine o valor de h se

    a presso em A de 1,5 kgf/cm2. Resp.: 1,21m

    Figura Manometria problema proposto, manmetro diferencial em U, instalado.

    Fonte: secundaria

    Ex. 07) Um manmetro diferencial colocado entre as sees A e B em um tubo

    horizontal, no qual escoa gua. A deflexo do mercrio no manmetro 576 mm, o

    nvel mais prximo de A sendo o mais baixo deles. Calcular a diferena de presso

    entre as sees A e B em kgf/m2.

    Resp.: 7250 kgf/m2.

  • 57

    Lei de Stevin (presso esttica)

    Ex. 08) Um reservatrio est cheio de gua, cujo nvel encontra-se na Elevao 750

    m. Em seu fundo h uma vlvula para seu esvaziamento, cujo eixo encontra-se na

    Elevao 745 m. Nestas condies, e sabendo-se que o datum o nvel do mar

    (Elevao 0,00m), pode-se afirmar que a carga de presso efetiva (piezomtrica) de

    um ponto localizado na superfcie lquida do reservatrio igual a:

    a) 0,00 m c) 745 m

    b) 5,00m d) 750m

    Ex. 09) Determinar o esforo resultante que atua sobre uma vlvula borboleta de

    dimetro igual a 800 mm, situada na cota 360,00m em relao profundidade, num

    reservatrio de gua cuja superfcie livre est na cota de Elevao 400,00m. Resp.:

    197 141,8 N

    Ex. 10) (Determine a presso em uma profundidade de a) 6,0 m de gua; b) h = 1,0

    m; c)h = 1,0 m de leo de d = 0,8.

    Ex. 11) Que profundidade de leo, densidade 0,750, produzir uma presso de 28

    N/cm2. Resp. 38,06 m. b) Qual a profundidade em gua? Resp.: 28,5 m.

    Ex. 12) Determinar a presso atmosfrica a nvel do mar onde hHg = 760 mm. Resp.:

    101321,604 N/m2.

    Outros:

    Ex. 13) Considerando o tanque da Figura com leo (d=0,8) e gua. Determine as

    presses efetiva e absoluta nos pontos 1, 2 e 3. Considere a presso atmosfrica

    1,0kgf/cm2.

  • 58

    Ex. 14) Se um manmetro de uma caldeira indica 4,12atm e se a presso

    atmosfrica local dada por um barmetro que marca 700 mm de mercrio, calcular

    (em atm) a presso absoluta na referida caldeira.

    Ex. 15) Realizando-se a experincia de Torricelli em Belo Horizonte, obteve-se a

    medida de 690 mm para coluna de mercrio. Calcular a presso atmosfrica local

    em kgf/cm2.

    Ex. 16) No alto de um prdio h um reservatrio que fornece gua a diversas peas,

    inclusive a uma torneira. Esta se encontra a 18m abaixo da superfcie livre do

    reservatrio. Calcular a presso da gua ao nvel da torneira (suposta fechada). Dar

    a soluo em atm, em kgf/m2 e em kgf/cm2.

    Ex. 17) No esquema da Figura ao lado, determinar: (a) a carga total efetiva do

    sistema, quando o nvel do mar tomado como datum (plano de referncia); (b) a

    carga total absoluta do sistema, admitindo que a presso atmosfrica absoluta seja

    igual a 1 kg/cm2 em relao ao mesmo datum; (c) as cargas de posio e

    piezomtricas dos pontos A e B; (d) as leituras, kgf/cm2, que seriam fornecidas por

    manmetros que fossem instalados em A e B.

  • 59

    Ex. 18) A gua que abastece uma indstria inicialmente encaminhada at um

    reservatrio principal cujo nvel mximo encontra-se na elevao 450m. Da ela

    encaminhada at um reservatrio intermedirio, cujo nvel dgua encontra-se 5,00m

    abaixo do nvel mximo do primeiro. Esse ltimo reservatrio abastece um hidrante,

    instalado na elevao 430,0m. Qual presso dgua nesse hidrante?

    Ex. 19) Para se conhecer a altitude do ponto mais baixo de uma adutora que

    abastece, por gravidade, uma cidade, fechou-se o registro existente em sua

    extremidade de jusante e instalou-se em manmetro naquele local. O manmetro

    indicou a presso de 5,0 Kgf/cm2. Sabendo-se que o nvel dgua na extremidade de

    montante da adutora encontrava-se, naquele momento, na altitude 385m. Calcule a

    altitude do ponto mais baixo da adutora.

    Ex. 20) Um tubulo a ar comprimido est sendo escavado no interior do leito de um

    rio. Sabendo-se que o fundo do tubulo encontra-se a 20 metros de profundidade e

    que, desse total, os 5 ltimos metros so constitudo de uma camada de lodo, cuja

    densidade relativa igual a 1,3. Qual presso que deve ser introduzida no interior do

    tubulo para mant-lo seco?

    Ex. 21) No esquema da Figura ao lado, o peso do mbolo (A) 3000kgf e o do

    mbolo (B) 200kgf. O Lquido contido entre os mbolos leo de peso especfico

    850 kgf/m3. Pergunta-se: H equilbrio nesta instalao? Se no houver, em que

    mbolo deve ser aplicado uma fora vertical para baixo de modo a restabelecer o

    equilbrio e qual deve ser o valor desta fora?

  • 60

    Ex. 22) Em certo instante, o manmetro metlico, instalado na entrada de uma

    bomba, registra o vcuo (ou suco) de 262 mm de mercrio. Obter:

    I) a presso efetiva (em mca e em kgf/cm2);

    II) a presso absoluta (em kgf/cm2). Considerar a presso atmosfrica 1,0kgf/cm2.

    Ex. 23) Um manmetro de mercrio instalado na entrada de uma bomba, figura ao

    lado. Mede-se a deflexo do mercrio, encontrando-se (hm=0,4m). Determinar as

    presses efetiva e absoluta no eixo da tubulao de suco sendo (Hg=13600

    kgf/m3) e o lquido succionado a gua (gua=1000kgf/m3). Considere (Patm

    abs=1,0

    kgf/cm2).

  • 61

    Ex. 24) Um manmetro de tubo em U est conectado, atravs de orifcios, placa

    indicada na figura abaixo. Considerar o peso especfico do ar desprezvel.

    a) Para p1 = 45 psi e p2 = 32psi, determine densidade relativa do fluido do

    manmetro.

    b) Se o fluido do manmetro for o mercrio e se p1 = 60 psi. Determine a presso

    manomtrica p2.

    Ex. 25) Um encanamento de eixo horizontal contm gua sob presso e est ligado

    a um tubo em U, cujo lquido manomtrico o mercrio da Figura, ficando sua

    superfcie livre em nvel com eixo do encanamento. Sendo h = 74 mm a deflexo do

    Hg, calcular a presso efetiva em B (em kgf/m2, kgf/cm2 e mca)

    Ex. 26) Em um tubo vertical h leo (d = 0,92) em situao esttica, isto , sem

    escoar, Figura abaixo. Determinar a presso (em Kgf/cm2) que se l no manmetro

    metlico instalado em C.

  • 62

  • 63

    REFERNCIA BIBLIOGRFICA

    BARBOSA, J.NOVAIS. Mecnica dos Fluidos e Hidrulica Geral Vol. I e II. 1985.

    Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal.

    BRUNETTI, FRANCO. Curso Mecnica dos Fluidos. 2a ed. 1985. Apostila. So

    Paulo. SP.

    FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introduo a Mecnica dos Fluidos

    Purdue University 1 998, 4a edio revista , LTC Rio de Janeiro Brasil.

    GILES, R.V. Problemas de Mecnica dos Fluidos - S.P. Schaum Editora Santurio

    SCHIOZER, DAYR. Mecnica dos Fluidos. 2a ed.1996. Editora LTC Livros

    Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ.

    SMITH, J. WARD. Internal Fluid Flow. 1980.

    IANA, MARCOS ROCHA. Mecnica dos Fluidos para Engenheiros. 3a ed. 1998

    UFMG

  • 64

    CAPTULO III

    EQUAO DA CONTINUIDADE VAZO

    PRINCPIO DA CONSERVAO DA MASSA

    Equao da Continuidade na sua forma diferencial e integral.

  • 65

  • 66

    INTRODUO

    Na anlise e nos projetos de bombas, turbinas e muitos outros dispositivos

    hidrulicos, o conhecimento das foras exercidas, bem como os princpios da

    conservao da fsica so de grande importncia no estudo do movimento dos

    fluidos.

    So eles:

    Principio da Conservao da Massa: Equao da Continuidade gerando a

    Equao da Vazo.

    Principio da Conservao da Energia: Equao de Euler gerando o Teorema

    de Bernoulli.

    Principio da Conservao da Quantidade de Movimento: 2a Lei de Newton:

    Na aerodinmica: Fora de Arrasto, Fora de Sustentao.

    Na hidrodinmica: Fora do Jato, Empuxo em curva e redues.

    DESCRIO DE UM CAMPO DE ESCOAMENTO

    No estudo de fluxos seja ele de calor, eltrico ou de massa comum idealizar um

    volume de controle do espao, objetivando determinar quantidades que

    atravessaram o mesmo.

    Em transferncia de calor 1,0 m2 de alvenaria com espessura x pode ser um

    volume de controle, para aplicar a Lei de Fourier.

    Na fsica moderna uma superfcie fechada (Gaussiana) utilizada para calcular o

    fluxo eltrico pela Lei de Gauss.

    Na descrio de um campo de escoamento so utilizadas linhas imaginrias - Linhas

    de corrente - no estudo dos Fenmenos de Transporte. Um feixe de linhas

    caracteriza o tubo de corrente que define o volume de controle.

    Aplicando-se o princpio da conservao da densidade J de fluxo de temperatura,

    concentrao mssica, velocidade, para uma simulao matemtica, tem-se a

    equao diferencial, que governa o fenmeno da Transferncia de Calor, Massa e

    da Quantidade de Movimento.

    Equao geral da continuidade, apresentada nos captulos anteriores;

  • 67

    0'

    t

    PEJ q

    A Variao da densidade J de um fluxo atravs do volume de controle + Grandeza

    q representando um ganho ou uma perda, no interior do volume de controle +

    Variao da Energia no tempo = ter que ser igual a zero.

    SIMPLIFICAO DA EQUAO DA CONTINUIDADE;

    Considerando fluxo permanente.

    Ou seja, para uma condio permanente e conservativa (sem variao de energia)

    do sistema tm-se:

    000 J

    A equao geral, na sua forma reduzida (ou simplificada), ficar; .

    J = 0

    Aplicando a equao da continuidade para um campo de velocidade, tem-se;

    A Lei geral da conservao do campo de velocidade ficar;

    (.V) = 0

    Ou,

    (.V)A = 0

    E, fazendo,

    = operador matemtico

    J = q/A (fluxo por unidade de rea)

    q = .V (campo de velocidade)

    = densidade absoluta

    V = velocidade de escoamento

  • 68

    Equao da Continuidade na forma diferencial para fluido incompressvel ( =

    constante);

    Da equao anterior e considerando a densidade absoluta como uma constante,

    tem-se;

    0

    k

    z

    wj

    y

    vi

    x

    u

    Ou, em funo da rea transversal, tem-se;

    0...

    Ak

    z

    wAj

    y

    vAi

    x

    u

    5.3.2 Equao da Continuidade na forma integral;

    Aplicando a mesma equao anterior em apresentao na forma integral, tem-se;

    CS

    dAnV 0...

    Onde,

    = densidade absoluta ou massa especfica

    V = velocidade

    n = vetor normal ou versor

    A = rea A da superfcie de controle

    CS = Superfcie de controle.

    V

    Figura de uma SC

  • 69

    Exemplo

    Ex. (1). Calcular o fluxo hidrulico no interior de uma tubulao, se a V= 16 r2 [i],

    [m/s]. O raio do tubo vale 20 cm.

    Soluo esperada:

    Equao da continuidade,

    CS

    dAnV 0...

    Sendo,

    dA = r.dr.ds em coordenadas cilndricas

    rea (A) v = 16r

    r r

    eixo X

    Figura 15 Seo longitudinal de uma tubulao - variao da velocidade

    Resolvendo a equao da continuidade, tem-se;

    dQ = |V|.|1|.cos 0.dA

    Q = 16r2|i.|1|i.1.r.dr.ds

    Q = 16r2.r.dr.ds = 16r3.dr.ds

    Q = C.ds

    Onde, C = 16r3.dr

    C = 16[r4/4]0,2

    C = 4[0,2]4 = 0,0064

  • 70

    Integrando ds, tem-se;

    Q = 0,0064ds,

    ds variando de 0 a 2 rad

    Resposta:

    Q = 0,04 m3/s

    RESOLVENDO PELA HP-48

    Fazendo, dA = rdr.ds

    dQ = 16r3.dr.ds Nos intervalos: 0 s 6,28 e 0 r 0,2

    [Roxa] [ENTER]

    [] [Q]

    [Roxa] [0] (sinal de =)

    [Verde] [cos]

    [0] [] [6,28] []

    [Verde] [cos]

    [0] [] [0,2] []

    [16] [x] (vezes) [] [Roxa] [r]

    [yx] [3] [] []

    [] [Roxa] [R]

    [] []

    [] [s] []

    Para obter a resposta:

    [EVAL] [EVAL] [EVAL]

    Q = 0,04 m3/s

  • 71

    Exemplo

    Ex. (2). Resolver o exerccio anterior, considerando a V= 4r [i][m/s] - Resp.: Q = 0,05

    m3/s

    Espao para a soluo:

  • 72

    VAZO EM CONDUTOS FORADOS

    Fazendo a equao igual vazo mssica, tem-se;

    .V.n.dA = M (= vazo mssica)

    E, sua apresentao na forma integral, ser;

    CS

    M 0

    Aplicando-a desde A at B, no interior da tubulao, onde o fluido escoa, tem-se;

    M2 - M1 = 0

    Ou,

    M1 = M2 = Constante

    Concluso.: Para um sistema conservativo, a vazo no varia; contudo, a velocidade

    poder variar, em funo da rea da seo transversal do tubo.

    Figura 16 Seo longitudinal de um tubo - equao da vazo

  • 73

    RESUMO DAS FRMULAS PARA DETERMINAO DA VAZO;

    Equao da Vazo Mssica em Kg/s

    M = 1.A1.v1 =2. A2.v2

    Equao da Vazo em Volume em m3/s

    Q = A1.V1 = A2.V2

    Equao da Vazo em Peso em N/s

    G= .Q

    Onde,

    G =vazo em peso, em Kgf/s ou N/s

    = peso especfico do fluido, em kgf/m3 ou N/m3

    Q = vazo em volume, em m3/s

    A = rea transversal do tubo

    = densidade absoluta ou massa especfica

  • 74

    Exemplo

    Ex. (03) Determinar a vazo em volume, quando a gua escoa no interior de um

    tubo de dimetro igual 100 mm com uma velocidade de 10 m/s.

    Soluo;

    Q = A.v

    Q = [3,14.(0,1)2 /4].10 = 0,0785 m3/s = 78,5 litros/s

    Ex. (04) Qual a vazo em peso do ar, quando ele escoa no interior de um tubo de

    dimetro igual a 100 mm, com uma velocidade de 10 m/s. Considere o peso

    especfico do ar igual 1,2 kgf/m3.

    Soluo;

    G = .Q

    G = 1,2 . 0,07 = 0,09 kgf/m3

  • 75

    APLICACOES NA ENGENHARIA

    1. Coeficiente de permeabilidade do solo: Hidrologia, Mecnica dos Solos e Estradas

    2. Taxa de infiltrao no solo: Hidrologia e Mecnica dos Solos

    3. Vazo do rio: Hidrologia

    4. Vazo em condutos forados: Hidrulica

    COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE (k) DO SOLO LEI DE DARCY - ENSAIO

    DE LABORATRIO

    Fonte: Garcez e Acosta (1988) - Hidrologia

    Permeabilidade a propriedade dos solos que indica a maior ou menor facilidade

    que os mesmos oferecem passagem da gua atravs de seus vazios. E,

    numericamente expressa pelo coeficiente de permeabilidade, k cujo conhecimento

    importante para o movimento da gua no solo.

    Solo impermevel quando k 10-8 cm/s Argila

    Concreto de alto resistncia ou mrmore, k 10-12 cm/s

    A determinao experimental do coeficiente de permeabilidade, k foi obtida em

    1856pelo Eng. Francs Henry Darcy, por meio da seguinte experincia:

    Ele observou que numa determinada amostra de solo submetida a um fluxo laminar

    a vazo (Q) era proporcional ao produto da rea A da seo da amostra, medida

    perpendicularmente ao fluxo, pela relao H/L, denominada gradiente hidrulico (i).

    Ou seja;

    Q A.(H/L)

    Chamando,

    = coeficiente de proporcionalidade

    E, fazendo

    = k = coeficiente de permeabilidade do solo

    Tem-se;

  • 76

    Q = k. A.(H/L) Lei de Darcy para percolao laminar

    Ou,

    Q = k.A.i

    E,

    V = k.i

    Figura - Imagem do permemetro de coluna varivel - Fonte: secundria

  • 77

    Exemplo:

    Numa sondagem de solo a percusso concomitantemente foi efetuada um ensaio de

    percolao para determinar o coeficiente de percolao, k do solo (utilizado tanto em

    Hidrologia quanto em Mecnica dos Solos). Deve-se manter o furo do solo

    permanente cheio com gua durante um intervalo de tempo. Pois, a vazo que entra

    (gua adicionada pelo laboratorista) dever ser igual vazo que ir percolar no

    solo. Foi iniciado aps a saturao do solo. Considere o dimetro do furo no solo

    igual 6,35 cm.

    De acordo com o quadro abaixo, pede-se para determinar o coeficiente de

    permeabilidade k do solo.

    No de

    Ord. Hora Tempo (min)

    Volume

    (litro)

    1 11h05min 0 -

    2 11h06min 1 0,370

    3 11h07min 1 0,370

    4 11h08min 1 O,320

    5 11h09min 1 0,320

    6 11h10min 1 0,280

    7 11h11min 1 0,290

    8 11h12min 1 0,280

    9 11h13min 1 0,260

    10 11h14min 1 0,250

    11 11h15min 1 0,290

    - 10 3,030

    Quadro Ensaio a percusso para percolao da gua no solo

    Fonte: secundaria

    Nota: Considere: y1 = 50 cm; y2 = 2,0 m e L = 3,0 m.

  • 78

    Figura da Sondagem percusso;

    Y1

    Tubo

    Y2

    h

    Solo

    L

    Figura sondagem para percolao da gua

    Fonte: secundaria

    Soluo; Da Lei de Darcy

    Q = k. A.(H/L) = (3,03.10-3 m3/10.60 seg) = k. [3,14 (6,35.10-2)2 / 4].2,5/3,0

    Resposta;

    k = 1,91.10-3 m/s = 1,91.10-5 cm/s

    Q (vazo adicionada)

    Q (vazo que sai por percolao)

  • 79

    TAXA DE INFILTRAO DO SOLO INFILTRMETRO, ENSAIO DE CAMPO.

    Fonte: Garcez e Acosta (1988) - Hidrologia

    O infiltrmetro consiste basicamente de dois cilindros concntricos e um dispositivo

    de medir volumes da gua aduzida ao cilindro interno. Tubos curtos de 200 mm a

    1,0 metros de dimetro cravados verticalmente no solo, de modo que fique uma

    pequena parte livre (altura).

    A gua infiltrada no solo dever ser reabastecida pelo laboratorista; ou seja, a

    VAZO que sai dever ser igual VAZO que entra.

    O estudo da infiltrao do solo de grande utilidade em Hidrologia, Mecnica dos

    Solos e Meio Ambiente.

    Solo

    D

    Figura - infiltrmetro no solo

    Fonte: secundaria

    Determinao da taxa de infiltrao (f);

    Da equao da vazo, tem-se;

    Q = A.V V = Q/A

    Fazendo

    V = f (taxa de infiltrao, em m/s), tem-se, portanto, a equao da taxa:

    f = Q/A

    Exemplo;

    Q(entra)

    Q(sai por infiltrao)

  • 80

    Quadro do volume de gua consumida

    Hora Tempo (min) Volume (litros)

    10h00min 0 -

    10h01min 1 0.22

    10h02min 1 0.22

    10h03min 1 0,19

    10h04min 1 0,19

    10h05min 1 0,18

    TOTAL 5 1,00

    Quadro volume de gua consumida no solo infiltrmetro

    Fonte: secundaria

    Pede-se: Calcular a taxa de infiltrao (f) do solo em cm/s;

    Soluo:

    De,

    Q = Volume/Tempo

    Tem-se;

    Q = 1,0 litro / 5 min = 0,200 litros/seg. = 0,2.10-3 m3/s

    A = 3,14(0,2)2 / 4 = 0,0314 m2

    f = Q/A = 0,2.10-3 / 0,0314 m2 = 6,36.10-3 m/s = 6,36.10-5 cm/s

  • 81

    VAZO DO RIO HIDROLOGIA

    Fonte: Garcez e Acosta (1988) Hidrologia

    L1 L2 L3 L4 L5

    V20% Sendo:

    Pa Pp L= largura

    V80% P= profundidade

    Figura Seo transversal do rio descarga.

    Frmula da descarga (vazo)

    iiVAQ

    Teoria bsica para descarga em rio;

    Frmula da descarga (vazo)

    iiVAQ

    2

    0080

    0020 VV

    V

    2

    ppp

    pa

    m

    LpA imi i.

    Seo Trans-

    versal do Rio

  • 82

    PROBLEMAS PROPOSTOS

    EQUAO DA CONTINUIDADE SIMPLIFICADA - VAZO

    Ex. (01) Quando 30 litros/seg. escoam atravs de um tubo de 200 mm de dimetro,

    que depois reduzido para 100 mm, quais sero as velocidades em cada tubo?

    Resp.: 0,955 m/s e 3,82 m/s respectivamente.

    Ex. (02) Em um tubo de 0,150 m escoa ar sob uma presso manomtrica de 0,2

    MPa e uma temperatura de 27 oC. Se a presso baromtrica for de 0,1 MPa e a

    velocidade for de 3,0 m/s, quantos quilos de ar pr segundo estaro escoando?

    Resp.: 0,181 kg/s.

    Ex. (03) Qual o menor dimetro de um tubo necessrio para transportar 0,101 kg/s

    de ar com uma velocidade mxima de 6,0 m/s? O ar est a 27 oC e sob uma presso

    de 0,2 MPa absoluta.

    Resp.: 0,153 m ou 153 mm.

    Ex. (04) Qual a vazo em litros/s, quando um tubo enche de gua um tanque cbico

    de 1,5 m de altura, em 10 minutos?

    Ex. (05) Verificar se a equao da continuidade para fluido incompressvel em

    escoamento permanente satisfeita quando as componentes da velocidade so

    expressas pr:

    u = 2x2 - xy + z2

    v = x2 - 4xy + y2

    w = -2xy - yz + y2

    Resp.: Satisfaz.

    Ex. (06) Para encher uma garrafa plstica de um litro com a gua de um bebedouro,

    consumiram-se 20 segundos. Calcular a vazo desse aparelho em L/s, m3/s e ft3/s.

  • 83

    Resp.: 0,05L/s; 5 . 10-5 m3/s; 1,76 . 10-3 ft3/s

    Ex. (07) Debaixo de um chuveiro coloca-se um balde com 6 litros de capacidade.

    Aberto o registro do chuveiro, na posio normal para um banho, mede-se o tempo

    de 30 segundos para se encher o balde. Obter a vazo desse chuveiro em L/s, m3/s

    e ft3/s

    Resp.: 0,2 L/s; 2 . 10-4m-3/s; 7,06 . 10-3ft3/s

    Ex. (08) Uma tubulao conduz 2400 litros de gua por segundo. Determinar seu

    dimetro para que a velocidade do lquido no ultrapasse 2m/s.

    Resp.: D >= 1,236m

    Ex. (09) Em um determinado projeto industrial estabelece-se que U deve ser maior

    ou igual (>=) a 1,2 m/s, a fim de evitar a deposio de algumas partculas slidas em

    suspenso (o que ocorreria sob velocidade muita baixas). Fixada a vazo em 0,06

    m3/s, calcular o dimetro mximo da tubulao.

    Resp.: D

  • 84

    Ex. (13) Com o raio do tubo e vazo em volume do problema anterior e com =

    1000 kg/m3, e g = 9,81m/s2 calcular:

    a) a vazo em peso

    Resp.:QP = 2491,74 N/s

    b) a vazo em massa

    Resp.: QM = 254Kg/s

    c) velocidade mdia do escoamento.

    Resp.: V = 0,9m/s

    Ex. (14) gua que escoa atravs da bifurcao mostrada na figura ao lado. Qual a

    velocidade na seo 3 para escoamento unidimensional (isto , escoamento onde as

    propriedades do fludo podem ser espessas em termos de uma coordenada de

    espao e tempo).

    Resp.: V3 = 0,93 m/s

    Figura do problema

    Figura do problema 12

  • 85

    Ex. (15) Em um edifcio de 12 pavimentos, a vazo mxima provvel devida ao uso

    de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuio de 60 mm de dimetro, de

    7,5L/s. Determinar a velocidade de escoamento.

    Resp.: V = 2,65m/s

    Ex. (16) Um tubo de 6" transporta 2,87 ft3/s de gua. O tubo ramifica-se em 2 tubos,

    um de 2" de dimetro e o outro de 4" de dimetro. Se a velocidade no tubo d 2"

    40 ft/s, qual a velocidade no tubo de 4"?

    Resp.: 22,9ft/s

    Ex. (17) Quando 1800 l/min escoam atravs de um tubo de 200 mm de dimetro,

    que mais tarde reduzido para 100 mm, quais sero as velocidades mdias nos

    dois tubos?

    Resp.: 12,5m/s

  • 86

    REFERNCIA BIBLIOGRFICA

    BARBOSA, J.NOVAIS. Mecnica dos Fluidos e Hidrulica Geral. Vol. I e II. 1985.

    Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal.

    FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introduo a Mecnica dos Fluidos

    Purdue University 1 998, 4a edio revista, LTC Rio de Janeiro Brasil.

    GILES, R.V. Problemas de Mecnica dos Fluidos S.P. Schaum Editora Santurio.

    SCHIOZER, DAYR. Mecnica dos Fluidos. 2a d.1996. Editora LTC Livros

    Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ.

    SHAMES, IRVING HERMAN, Mecnica dos Fluidos. Editora Edgard Blucher, 1973.

    So Paulo. Ed. Universidade de So Paulo.

    VIANA, MARCOS ROCHA. Mecnica dos Fluidos para Engenheiros. 3a d. 1998

    UFMG

  • 87

  • 88

    CAPITULO IV

    Medidores de Velocidade e Vazo

    Sumrio

    Vazo atravs dos seguintes medidores:

    Orifcio

    Tubo de Pitot

    Vertedouro

    Canal

    Tubo de Venturi

    Medio a Vau.

  • 89

  • 90

    ORIFCIOS

    Medidor de velocidade atravs de furo na lateral de um tanque aplica-se o teorema

    de Bernoulli.

    Figura Tanque com orifcio lateral

    Clculo da descarga (Q) ou Vazo pelo orifcio;

    Vazo terica

    Q = A2.V2

    Vazo real

    Q = c(A2.V2)

    Onde,

    c = coeficiente de descarga

    c = perda devido passagem pelo orifcio

    Clculo da velocidade na sada do orifcio (vena contrctil)

    Teorema de Torricelli:

    ghV 22

  • 91

    Ex. 1) Um orifcio padro de 4 de dimetro descarrega gua sob uma altura de

    carga de 6,0 m. Qual o fluxo em m3/s?

    Soluo:

    Aplicando a equao para o clculo da velocidade na sada do orifcio;

    ghV 22

    Teremos para a velocidade;

    6.8,9.2V =

    E, para a descarga;

    Q = c.(A2.V2)

    Onde,

    0,594 para um dimetro de 4 e h = 6 m (20 ft), retirados em tabelas.

    smQ /;10.05,56.81,9.2)1,0(4

    1594,0 322

    TUBO DE PITOT

    O tubo de PITOT indica a velocidade em um ponto, em virtude do fato de que ele

    mede a presso de estagnao. Em um Canal Aberto uma vez que a presso

    manomtrica nula, a altura a que o lquido sobe no tubo mede a taquicarga (v2/2g)

    ou presso cintica.

    Figura - Tubo de Pitot

  • 92

    Frmula para clculo da velocidade de escoamento;

    A frmula da Henri Pitot (Parisiense);

    ghV 2

    Onde,

    h = altura na qual a gua subir atravs do tubo de PITOT ou diferena nas

    alturas de presso

    g = acelerao da gravidade

    V = velocidade de escoamento do fludo.

    Ex. 2) Um tubo de Pitot tendo um coeficiente de 0,98 usado para medir a

    velocidade da gua no centro de um tubo. A presso de estagnao (na entrada do

    Pitot) de 18,6 ft e a altura de carga esttica no tubo de 15,5 ft. Qual a

    velocidade?

    Soluo

    Aplicando a frmula para o clculo da velocidade de escoamento pelo tubo de Pitot;

    )5,156,18(81,9.298,02 ghCV

    Resposta

    V = 13,8 ft/s

  • 93

    VERTEDOURO

    Os vertedouros medem o fluxo de lquidos em canais abertos, usualmente gua.

    Tipos conhecidos de vertedouros:

    Triangular issceles (90o) (Thomson)

    Retangular: Livre e Contrado (Francis)

    Trapezoidal (Cipolleti)

    Triangular issceles

    A descarga (Q) dada pela frmula de Thomson, desenvolvida pelo Teorema de

    Bernoulli, em escala mtrica, ser;

    HCQ2/5

    ..5,2

    com c variando de:

    C = 0,6 para H 30 cm e C = 0,65 para H 30 cm

    E,

    Fazendo, 0,56 x 2,5 = 1,4

    equao da vazo;

    HQ2/5

    4,1

    Figura Vertedouro triangular

  • 94

    Retangular Livre

    Clculo da descarga (Q) pela Frmula de Francis em escala mtrica.

    Q = m.b.H3/2

    Onde,

    m= 2/3.c.(2g)

    Q = 1,92.b.H3/2 para c = 0,65

    Figura Vertedouro retangular livre

  • 95

    CANAL

    Introduo

    Canal aberto um conduto no qual o lquido escoa com uma superfcie livre sujeita

    presso atmosfrica. O escoamento causado pela inclinao do canal e da

    superfcie livre do lquido.

    O escoamento Permanente e Uniforme refere-se condio na qual a profundidade,

    declividade, velocidade e seo transversal permanecem constantes para um dado

    comprimento de canal (Escoamento normal).

    Figura - canal retangular

    Equao para o nmero de Reynolds

    O nmero de Reynolds (

    VLRE ) recebe pequenas modificaes,

    RVRE

    4

    Onde:

    R= Raio Hidrulico,

    V= Velocidade,

    = viscosidade cinemtica.

    Frmula de Chzy para velocidade considerando o escoamento permanente e

    uniforme;

    RSCV

  • 96

    Onde,

    V = velocidade

    R = raio hidrulico

    S = declividade do canal

    C = coeficiente do canal

    f = coeficiente de atrito

    f

    gC

    8

    Para escoamento laminar,

    REf

    64

    Frmula de Manning para descarga

    Frmula de Manning nas unidades mtricas, para clculo da Descarga (Q) ,

    SRAn

    Q2/13/21

    em unidades mtricas

    ou, para a velocidade mdia; Q/A =

    Vm = (1/n). R2/3.S1/2

    E, a descarga em unidades inglesas;

    SRn

    AQ2/13/2486,1

    Onde,

    n = fator de rugosidade

    S = inclinao

    R =A/P = raio hidrulico

    P = Permetro molhado

    A = rea da Seo transversal

  • 97

    q = vazo unitria

    b = largura do canal

    Valores (n) da frmula de Manning

    No Natureza das paredes n

    1 Vidro liso 0,010

    1 Reboco de cimento liso e guas no

    completamente limpas. 0,013

    2 De terra sem vegetao. 0,016

    3 Cimento rugoso, musgo nas paredes e traado

    tortuoso. 0,018

    4 De terra, com vegetao rasteira no fundo e nos

    taludes. 0,025

    5 Rios naturais, cobertos de cascalhos e vegetao. 0,035

    Tabela Valores de (n) na formula de Manning

    Fonte: Manual de Hidrulica - Azevedo Neto Vol. II. 6a ed.

    Exemplo

    Ex. 04) Em um laboratrio hidrulico, um fluxo de 0,41 m3/s foi verificado em um

    canal retangular de 1,2 m de largura com 0,6 m de profundidade de escoamento. Se

    o declive do canal era de 0,000 4 m/m, qual o fator de rugosidade para o

    revestimento do canal ?

    Dados do problema:

    Q = 0,41 m3/s (descarga ou vazo)

    L = 1,20 m (Largura do canal)

    H = 0,60 m (profundidade)

    S = 0,000 4 (declividade do canal)

  • 98

    Pede-se:

    n = rugosidade da parede interna do canal devida ao seu material de

    acabamento

    Soluo:

    Aplicando a frmula de Manning para o clculo da descarga (Q), teremos;

    em unidades mtricas:

    21

    32

    2/13/20004,0

    60,0.220,1

    60,0.20,160,0.20,1

    141,0

    1

    n

    An

    Q SR

    Resposta; n = 0,0157

  • 99

    TUBO DE VENTURI

    Aparelho medidor de velocidade de escoamentos de fluidos, utilizando um tubo

    manomtrico em forma de U.

    Figura Tubo de Venturi.

    Clculo da descarga (Q) Vazo no estrangulamento;

    Vazo terica

    Q = A2.V2

    Vazo real

    Q = c.(A2.V2)

    c = coeficiente c do venturi

    0,96 c 0,98

    Clculo da descarga (Q) Vazo no estrangulamento;

    4

    1

    2

    2

    1

    21

    DD

    dRV

    ghHg

  • 100

    Ex. 05) Quando o fluxo de gua atravs de um medidor Venturi horizontal de 12x 6

    (c =0,95) de 3,93 ft3/s, qual ser a deflexo do mercrio no manmetro diferencial

    fixado ao medidor?

    Dados do problema:

    Dimetros: 12 e 6

    c = 0,95 , Q = 3,93 ft3/s

    Pede-se:

    hm = altura manomtrica

    Soluo;

    Clculo da velocidade de escoamento pela equao da vazo ou equao da

    continuidade:

    Q = c.A.V = 0,95.[(1/4).3,14(6/12)2.VB

    VB = 21,08 ft/s

    Substituindo a velocidade na frmula do Venturi,

    44

    1

    2

    2

    1212

    126

    1

    81,9.2.16,1308,21

    1

    21 hgh

    DD

    dRV

    Hg = 0,513 ft

    Da,

    Resposta; h = 0,513 ft ou 6,16 in

  • 101

    IMAGENS DE ALGUNS MEDIDORES

    Figura Imagem do Tubo de Venturi e do manmetro diferencial de mercrio

    Fonte: secundaria

    Figura - Imagem do crrego do Sarandi em frente toca da raposa B. H. / MG

    Fonte: secundaria

  • 102

    CAPTULO V

    TEOREMA DE BERNOULLI E SUAS APLICAES

    PARTE I

    Teorema de Bernoulli

    Potncia de Bomba de Recalque

    PARTE II

    Perda de Carga e Nmero de Reynolds

  • 103

  • 104

    PARTE I

    Teorema de Bernoulli

    Potncia de Bomba de Recalque

  • 105

  • 106

    INTRODUO

    Para um estudo completo do escoamento dos fluidos, muitas vezes necessrio

    recorrer condio de equilbrio ou segunda Lei de Newton, que origina o Princpio

    da Energia e o Princpio da Quantidade de movimento linear.

    Principio do Equilbrio, originando:

    O da Conservao da Energia Originando a Equao de Euler e o

    Teorema de Bernoulli, que sero estudados neste captulo.

    O da Conservao da Quantidade de Movimento Linear, que ser assunto do

    prximo captulo, em Aerodinmica e Hidrodinmica.

    PRINCPIO DO EQUILBRIO

    Para a Equao de Euler e o Teorema de Bernoulli

    Equao do equilbrio ou segunda lei de Newton.

    F = m.a

    fazendo,

    f = F /vol. = fora por unidade de volume, tem-se;

    f.vol = m.a

    Lembrando que,

    = m/vol

    f.vol = (.vol).a

    A equao ficar,

    f = .a

    Substituindo a acelerao a pela acelerao substantiva ou total. Funo

    composta, pois; v = f(x,y,z,t).

    a = Dv/Dt

    Tem-se a Lei de Newton;

    Dt

    Dvf

  • 107

    Na qual, o termo f correspondem aos esforos externos devido presso,

    gravidade e atrito viscoso atuantes no volume de controle, no caso, um cubo

    elementar e inserido na equao anterior, esta se apresentar na forma da equao

    do item seguinte.

    EQUAO DE NAVIER-STOKES

    Dt

    DVVgp

    2.

    EQUAO DE EULER PARA FLUDO IDEAL OU SEM ATRITO VISCOSO

    Onde,

    02

    V

    A equao ficar;

    Dt

    DVgp .

    EQUAO DE EULER PARA FLUDO IDEAL E PERMANENTE

    UNIDIMENSIONAL EM Z

    Onde,

    V/t = 0 permanente; V/y = 0 e V/x = 0 No espao unidimensional

    A equao ficar;

    0 dzg

    VdV

    g

    dp

  • 108

    EQUAO DE EULER PARA GASES

    Para Fludo Compressvel e Isotrmico

    Para atender alguns Fenmenos nos quais o Fludo varia sua densidade

    Isotermicamente, a Equao de Euler dever ser particularizada, ou seja,

    T = Temperatura constante

    = (1/p1). p Equao Geral dos Gases p/condio Isotrmica.

    Chamando,

    1/p1 = C (constante)

    Substituindo na Equao de Euler,

    teremos:

    (dp/p).(1/C) + (vdv)/g + dz = 0

    Resolvendo a equao acima desde uma seo 1 at uma seo transversal tpica

    2, de um volume de controle;

    Teremos:

    zVp

    pz

    Vpp

    gg 2

    2

    2

    21

    1

    1

    2

    1

    11

    1

    2ln