Método dos elementos finitos aplicado à análise de sólidos:concepção e implementação
Rui Miguel da Costa Alves Maciel
Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Fernando Manuel Fernandes Simões
Orientador: Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandes
Vogais: Manuel da Cunha Ritto Corrêa
Maio de 2013
Agradecimentos
Ao Professor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida pela disponibilidade e apoio dado ao longo do
trabalho, sem o qual não teria sido possível realizar uma parte significativa.
Ao meu orientador, Professor Carlos Tiago Fernandes, pelo desempenho verdadeiramente exemplar e
dedicação ímpar, pela amizade e por demonstrar que excelência académica e pedagógica podem coexistir.
À minha família, por todo o apoio e força que tem dado e sem o qual nada teria sido possível ou valido
a pena.
Por último, mas sempre em primeiro lugar, à minha cara-metade, Daniela, por ter o dom de, indepen-
dente da quantidade de nuvens e neblina, mostrar que o céu está sempre azul.
iii
Resumo
Neste trabalho é apresentada uma aplicação completa de software que, a partir de uma implemen-
tação do método dos elementos finitos, permite a obtenção de soluções aproximadas do problema de
valores de fronteira da teoria de elasticidade tridimensional com utilidade prática no campo da análise de
sólidos e de estruturas.
O método dos elementos finitos, conforme abordado neste trabalho, é desenvolvido a partir da aplica-
ção do método de Bubnov-Galerkin ao problema na valores de fronteira associado à teoria de elasticidade
linear tridimensional. O conceito de elemento isoparamétrico é também apresentado, sendo usado como
base para a definição dos oito tipos de elementos finitos empregues na análise de problemas tridimensio-
nais: os elementos finitos hexaédricos Lagrangeanos de 8 e 27 nós, hexaédrico Serendipiano de 20 nós,
tetraédricos de 4 e 10 nós, e prismáticos de 6, 15 e 18 nós. É ainda discutido o problema associado à
integração da formulação fraca resultante.
O método é implementado como um programa de análise numérica, com suporte para pré- e pós-
processamento. A geração de malhas, não estando incluída no âmbito deste trabalho, foi realizada me-
diante o uso de programas desenvolvidos por terceiros. O programa é desenvolvido na linguagem de
programação C++, concebido com base no uso de padrões de desenvolvimento de software e seguindo
o paradigma de programação orientada por objectos. O interface gráfico, desenvolvido em Qt 4.7, em
conjunto com o componente de visualização, desenvolvido em OpenGL 2.1, permite atribuir materiais,
condições de fronteira, e regras de integração, bem como visualizar o campo de deslocamentos, tensões,
deformações, e direcções principais de tensores das tensões.
É também apresentado um conjunto de exemplos de aplicação do programa, usados para validar
os resultados da implementação e demonstrar propriedades intrínsecas deste método, tais como a taxa
de convergência associada a cada tipo de elemento finito, o número de operações exigido e o tempo
de processamento associado ao seu uso. São ainda realizados exemplos destinados a comparar os
resultados produzidos pelo programa com aqueles resultantes de teorias estruturais de barras e lajes.
Palavras-chave
método de Bubnov-Galerkin
método dos elementos finitos
teoria da elasticidade tridimensional
visualização
Abstract
This work presents a complete software application that, through an implementation of the finite ele-
ment method, can be used to obtain approximate solutions of the boundary value problem of the three-
dimensional theory of elasticity, with practical applications in the field of solid and structural analysis.
The finite element method, as covered in this work, is presented as the Bubnov-Galerkin method
applied to the three dimensional linear elasticity boundary value problem. The isoparametric element
concept is also presented, which is used as a basis for the definition of eight finite element types employed
in the analysis of three-dimensional problems: the Lagrangean 8 and 27-node hexahedrical elements, the
20-node Serendipian hexahedrical element, the 4 and 10-node tetrahedral element, and the 6, 15 and
18-node triangular prism elements. The integration of the weak form problem is also discussed.
The method is implemented as a numerical analysis software program, with support for pre- and
post-processing. Mesh generation, being beyond the scope of this work, was performed by third-party
programs. The software was developed in the C++ programming language, based on the use of software
design patterns and following the object-oriented programming paradigm. The graphical user interface,
developed with Qt, paired with the visualization component, developed using OpenGL 2.1, lets the user
assign material properties, boundary conditions, configure the numerical integration rules, as well as visu-
alize the displacements field, stresses, strains, and principal directions of stress tensors.
A set of examples is also presented, used to validate the implementation’s results and to demonstrate
intrinsic properties of this method, such as the convergence rates associated with each finite element type,
the number of operations required and the processing time associated with their use. Examples are also
performed to compare the results obtained from the software application with those from beam and plate
structural theories.
Keywords
Bubnov-Galerkin method
finite element method
three-dimensional elasticity theory
visualization
Índice
Agradecimentos iii
Índice i
Lista de Figuras v
Lista de Tabelas xi
Notação xiii
1 Introdução 1
1.1 Enquadramento geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 O problema de elasticidade tridimensional 5
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Domínio do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Relações de compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Relações constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 A elasticidade tridimensional como um problema de valores de fronteira . . . . . . . . . . . 8
3 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridi mensional 11
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Método dos resíduos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Método de Bubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Formulação fraca do método de Bubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Método dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Princípio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Recuperação de grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
i
ii Índice
3.8 Erro e convergência de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Elementos finitos e regras de quadratura 35
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 O conceito de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Conceito de elemento isoparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Elementos suportados pelo programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 Quadrilaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.3 Tetraédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.4 Hexaédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.5 Prismáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Erro e convergência das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Desenvolvimento de um programa de cálculo 59
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Tecnologias empregues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Funcionalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.1 Estrutura de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.2 Importação de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.3 Cálculo da matriz de rigidez global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.4 Cálculo do vector de forças nodais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.5 Elementos suportados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4.6 Integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.7 Interface gráfico de utilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.8 Representação gráfica dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.9 Álgebra matricial e resolução de sistemas de equações . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Utilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.1 Criação de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.2 Prescrição de condições de fronteira e forças volúmicas . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.3 Execução de análises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5.4 Representação dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.5 Configuração do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Exemplos de aplicação 87
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Índice iii
6.2 Patch test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Consola curta cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 Energia de deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3.3 Campo de deslocamentos e grandezas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Esfera oca sujeita a pressão interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.6 Perfil IPE biencastrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.7 Perfil LNP curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.8 Placa com orifício circular sujeita a tracção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Conclusão 123
A Funções de base 125
A.1 Triângulo de 3 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2 Triângulo de 6 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.3 Quadrilátero de 4 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.4 Quadrilátero de 8 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.5 Quadrilátero de 9 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.6 Tetraedro de 4 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.7 Tetraedro de 10 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.8 Hexaedro de 8 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.9 Hexaedro de 20 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.10 Hexaedro de 27 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.11 Prisma de 6 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.12 Prisma de 15 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.13 Prisma de 18 nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B Regras de quadratura 139
C Patch test: representação do campo de deformações de eleme ntos regulares 141
D Patch test: representação do campo de deformações de eleme ntos distorcidos 143
E Consola curta: campos de deformações e tensões 145
F Esfera oca sujeita a pressão interna: resultados 149
G Exemplo do formato MSH 151
iv Índice
H Exemplos do formato FEM.JSON 153
Bibliografia 155
Lista de Figuras
2.1 Representação abstracta do domínio do problema da elasticidade tridimensional. . . . . . . . . 6
2.2 Diagrama de Tonti para o problema de elasticidade linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Representação de um domínio genérico a) de acordo com a sua definição original e b) submetido
a uma partição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Polítopo regular de referência e sub-domínios de Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Funções de base dos elementos e a sua correspondência com as funções de base globais. . . . 24
3.4 Erro na modelação de um perfil LNP curvo causado pelo uso de uma malha grosseira de ele-
mentos lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Erro na modelação das condições de fronteira de um modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Expansão polinomial da parametrização de elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Mapeamento nas coordenadas locais de parametrizações Lagrangeanas de domínios quadrilá-
teros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Expansão polinomial da parametrização de elementos quadrilaterais. . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Mapeamento nas coordenadas locais da parametrização Serendipiana de 8 nós de um domínio
quadrilátero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Termos envolvidos na construção de uma função de base N1(ξ1,ξ2) pelo processo Serendipiano. 46
4.7 Expansão polinomial da parametrização do elemento Serendipiano quadrangular de 8 nós. . . . 47
4.8 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos tetraédricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 Representação gráfica da função de forma do elemento finito tetraédrico de 4 nós N1(ξ). . . . . 48
4.10 Representação gráfica das funções de forma do elemento finito tetraédrico de 10 nós. . . . . . . 49
4.11 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos hexaédricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.12 Representação gráfica da função de forma N7(ξ) do elemento finito hexaédrico de 8 nós. . . . . 50
4.13 Representação gráfica das funções de forma do elemento finito hexaédrico de 20 nós. . . . . . . 50
4.14 Representação gráfica das funções de forma do elemento finito hexaédrico de 27 nós. . . . . . . 51
4.15 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos prismáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.16 Representação gráfica da função de forma N3(ξ) do elemento finito prismático de 6 nós. . . . . 52
v
vi Lista de Figuras
4.17 Representação gráfica das funções de forma do elemento finito prismático de 15 nós. . . . . . . 52
4.18 Representação gráfica das funções de forma do elemento finito prismático de 18 nós. . . . . . . 53
4.19 Representação gráfica da aplicação regra de quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos. . . . . 54
5.1 Representação da associação entre as definições de elementos finitos e dos respectivos nós. . . 61
5.2 Diagrama de classe da estrutura de dados Model, com métodos e atributos omitidos. . . . . . . 62
5.3 Representação simplificada do algoritmo do método dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Diagrama de classes para as classes que definem os elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Diagrama de actividade simplificado do algoritmo de construção da matriz de rigidez. . . . . . . 65
5.6 Interface do programa, com várias janelas com representações diferentes do modelo. . . . . . . 68
5.7 Diagrama de classes da implementação das janelas MDI, omitidos os métodos e atributos. . . . 69
5.8 Diagrama de classes da implementação da representação das cenas. . . . . . . . . . . . . . . 69
5.9 Descrição do uso de um padrão de desenvolvimento Strategy na representação de um modelo. . 70
5.10 Diagrama de classes da implementação do sistema de selecção de objectos. . . . . . . . . . . 70
5.11 Diagrama de sequência do sistema de selecção de objectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.12 Representação do funcionamento do grafo de cena: a) estrutura de dados do modelo b) objectos
da cena criados a partir da estrutura de dados c) representação do modelo pelo grafo da cena a
partir dos objectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.13 Representação do funcionamento do padrão de desenvolvimento do tipo Observer. . . . . . . . 72
5.14 Representação da organização dos objectos da cena no grafo da cena em função da fronteira
que os delimita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.15 Representação da visualização dos objectos que compõem o grafo da cena em função da inter-
secção da sua fronteira com o volume de visão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.16 Representação do funcionamento do picking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.17 Diagrama de classes da implementação das rotinas de resolução de sistemas de equações
lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.18 Menu “file”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.19 Wizard de importação de malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.20 Wizard de importação de malhas: processo de importação de uma malha. . . . . . . . . . . . . 78
5.21 Resultado final da importação de uma malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.22 Menu “Edit”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.23 Caixas de diálogo de prescrição de condições de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.24 Menu “Project”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.25 Métodos de resolução de sistemas de equações disponíveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.26 Caixa de diálogo do progresso da análise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.27 Janela MDI com a representação tabelada dos resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.28 Menu “Window->New”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Lista de Figuras vii
5.29 Visualização dos resultados via gradiente de cores, eixo de simetria transversal de uma laje
quadrada sujeita ao peso próprio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.30 Visualização das direcções principais dos tensores, eixo de simetria transversal de uma laje
quadrada sujeita ao peso próprio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.31 Janela MDI com a representação tabelada da matriz de rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1 Modelo da barra traccionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: modelos compostos por elementos hexaédricos de
8 nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Distorção dos elementos finitos obtida a partir da alteração da partição do modelo da barra. . . . 90
6.4 Representação da discretização do modelo de uma consola curta, composto por 8 elementos
hexaédricos de 8 nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Partições primitivas do domínio do modelo, representadas através do Gmsh. . . . . . . . . . . . 92
6.6 Representação do refinamento-h de um modelo composto por elementos hexaédricos Lagran-
geanos lineares de 8 nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.7 Gráfico da energia de deformação em função da dimensão característica dos elementos. . . . . 93
6.8 Gráfico da convergência do erro na energia em função do refinamento-h dos modelos. . . . . . . 95
6.9 Duração média do cálculo de uma matriz de rigidez elementar por tipo de elemento. . . . . . . . 97
6.10 Gráfico da convergência do erro na energia de deformação em função da duração da análise. . . 98
6.11 Duração relativa das etapas de montagem da matriz de rigidez global e resolução do sistema de
equações para modelos compostos por elementos prismáticos lineares de 6 nós. . . . . . . . . 99
6.12 Gráfico da convergência do erro na energia em função do número de coeficientes da matriz de
rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.13 Representação de um modelo composto por 512 elementos hexaédricos Lagrangeanos lineares
de 8 nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.14 Representação do campo de deslocamentos de um modelo composto por 4096 elementos he-
xaédricos Lagrangeanos lineares de 8 nós: vista do plano x1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.15 Campo σ23 no plano x1 = 0 obtido a partir da partição do domínio em elementos hexaédricos
Lagrangeanos lineares de 8 nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.16 Comparação das tensões na fibra vertical média do plano de encastramento, calculadas através
da teoria de Euler-Bernoulli e do método dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.17 Modelo da esfera, sujeito a simplificação por simetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.18 Modelo composto por elementos tetraédricos de 10 nós gerado pelo Gmsh, exibindo uma falha
na continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.19 Gráfico do erro na energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.20 Gráfico do erro no volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.21 Representação das condições de apoio da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
viii Lista de Figuras
6.22 Comparação da implementação das condições de fronteira cinemática da simplificação por si-
metria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.23 Modelo de elementos finitos da laje com condições de fronteira representativas da simplificação
por simetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.24 Nós do plano de simetria de um modelo de 1000 elementos hexaédricos lineares de 8 nós
representados na configuração deformada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.25 Campo de tensões na fibra vertical do centro da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.26 Tensão de von Mises avaliada na fibra do canto da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.27 Campo de tensões na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelo com-
posto por elementos finitos lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.28 Campo de tensões na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelo com-
posto por elementos finitos quadráticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.29 Representação das tensões principais no plano de simetria da laje, modelo composto por ele-
mentos finitos quadráticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.30 Partição da secção de um modelo de um perfil IPE 80, representado pelo Gmsh. . . . . . . . . . 110
6.31 Representação das tensões σ33 do perfil IPE 80 na configuração deformada. . . . . . . . . . . . 111
6.32 Representação das tensões σ33 na secção x3 = 0,50l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.33 Representação das tensões σ13 no banzo superior em várias secções ao longo do eixo. . . . . . 113
6.34 Representação das tensões σ13 no banzo superior na secção x3 = 0,25l . . . . . . . . . . . . . 113
6.35 Representação das tensões de von Mises no banzo superior em várias secções ao longo do eixo.114
6.36 Perfil LNP 200 100 16 com um raio de curvatura de 1,00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.37 Partição da secção de um modelo de um perfil LNP 200 100 16, representado pelo Gmsh. . . . 115
6.38 Configuração deformada do perfil LNP 200 100 16 sujeito a uma carga pontual na extremidade
livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.39 Representação do campo da tensão de comparação de von Mises. . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.40 Representação de uma barra com orifício circular sujeita a tracção. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.41 Modelos de uma placa com um orifício circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.42 Discretização do domínio da placa com um orifício. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.43 Representação dos resultados da análise de um modelo composto por elementos finitos lineares. 119
6.44 Tensões σθθ ao longo do segmento de recta m− n: expressão analítica e resultados obtidos
pelo método dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.45 Campos de tensões σθθ obtidos a partir de modelos compostos por elementos finitos quadráticos.120
6.46 Campos de tensões σθθ obtidos a partir do modelo de uma placa com um orifício de diâmetro
igual a 10%da largura da placa, compostos por elementos finitos quadráticos. . . . . . . . . . . 121
6.47 Representação dos resultados da análise de um modelo composto por elementos finitos qua-
dráticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Lista de Figuras ix
A.1 Mapeamento do triângulo de 3 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 125
A.2 Mapeamento do triângulo de 3 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 126
A.3 Mapeamento do quadrilátero de 4 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 127
A.4 Mapeamento do quadrilátero de 8 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 128
A.5 Mapeamento do quadrilátero de 9 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 129
A.6 Mapeamento do tetraedro de 4 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . 130
A.7 Mapeamento do tetraedro de 10 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . 131
A.8 Mapeamento do hexaedro Lagrangeano de 8 nós das coordenadas locais para coordenadas
globais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.9 Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 nós das coordenadas locais para coordenadas
globais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.10 Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 nós das coordenadas locais. . . . . . . . . . . . 134
A.11 Mapeamento do prisma de 6 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . . 135
A.12 Mapeamento do prisma de 15 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 136
A.13 Mapeamento do prisma de 18 nós das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 137
C.1 Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 8 elementos hexaédricos. . . . . . . . . 141
C.2 Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 16 elementos prismáticos. . . . . . . . . 141
C.3 Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 48 elementos tetraédricos. . . . . . . . . 142
D.1 Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 8 elementos hexaédricos. . . . . . . . . 143
D.2 Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 16 elementos prismáticos. . . . . . . . . 143
D.3 Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 48 elementos tetraédricos. . . . . . . . . 144
E.1 Campo de deformações ε11 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
E.2 Campo de deformações ε22 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
E.3 Campo de deformações ε33 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.4 Campo de deformações ε12 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.5 Campo de deformações ε13 no plano YZ (lateral da consola)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.6 Campo de deformações ε23 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.7 Campo de tensões 11 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E.8 Campo de tensões 22 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E.9 Campo de tensões 33 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E.10 Campo de tensões 12 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
E.11 Campo de tensões 13 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
E.12 Campo de tensões 23 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
E.13 Campo de tensões de von Mises no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . 148
x Lista de Figuras
Lista de Tabelas
6.1 Campos de deformações obtidos em modelos distorcidos sujeitos a pressão constante. . . . . . 90
6.2 Energia de deformação em função do número de elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Número de operações necessárias para avaliar os valores funções de interpolação e suas deri-
vadas em um dado ponto do domínio elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4 Número de ciclos executados por diferentes etapas do algoritmo de construção da matriz de
rigidez elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5 Resultados da aplicação do método dos elementos finitos à análise do modelo da laje. . . . . . . 107
6.6 Comparação das tensões σ33 em pontos da secção do perfil IPE 80. . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.7 Comparação dos valores de σmaxθθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.1 Regras adoptadas para integração numérica na superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.2 Regras adoptadas para integração numérica no volume: tetraedros e hexaedros. . . . . . . . . . 139
B.3 Regras adoptadas para integração numérica no volume: prismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
F.1 Resultados dos modelos compostos por elementos hexaédricos Lagrangeanos lineares de 8 nós. 149
F.2 Resultados dos modelos compostos por elementos hexaédricos Serendipianos quadráticos de
20 nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
F.3 Resultados dos modelos compostos por elementos hexaédricos Lagrangeanos quadráticos de
27 nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
F.4 Resultados dos modelos compostos por elementos tetraédricos lineares de 4 nós. . . . . . . . . 150
F.5 Resultados dos modelos compostos por elementos tetraédricos quadráticos de 10 nós. . . . . . 150
xi
xii Lista de Tabelas
Notação
Notação indicial
ai Componente i do tensor de primeira ordem a
ai j Componente i j do tensor de segunda ordem a
ai jkl Componente i jkl do tensor de quarta ordem a
ai, j Derivada parcial da componente i do tensor a em ordem à componente
j da variável independente, ∂ai(x)∂xj
Escalares, vectores e matrizes
a Escalar
a Vector/matriz-coluna
at Vector/matriz-linha
[A] Matriz quadrada ou rectangular
[A]t Matriz transposta de [A]
Símbolos presentes no texto
Ω Domínio do problema, Ω ∈ R3
Ω Fecho do domínio Ω
int(Ω) Interior do domínio Ω
x Ponto incluído em Ω descrito em coordenadas globais
x1,x2,x3 Coordenadas do ponto x, x= (x1,x2,x3) ∈ Ω ⊂ R3
Γ Fronteira do problema
ΓN Conjunto de pontos na fronteira onde são impostas condições de
fronteira estáticas/de Neumann
xiii
xiv Notação
ΓD Conjunto de pontos na fronteira onde são impostas condições de
fronteira cinemáticas/de Dirichlet
σ(x) Tensor das tensões no ponto x, σ : Ω ∈ R3 →R
3×3
σi j Componente i j do tensor das tensões
b j Componente j da força prescrita por unidade de volume
t j Componente j da força prescrita por unidade de área
u(x) Campo de deslocamentos, solução exacta, u : Ω ∈ R3 → R
3
ui(x) Componente i do campo de deslocamentos, ui : Ω ∈ R3 → R
ui(x) Componente prescrita i do campo de deslocamentos no ponto x
ε(x) Tensor das deformações no ponto x, ε : Ω ∈ R3 →R
3×3
εi j Componente i j do tensor das deformações
D Tensor das constantes elásticas
E Módulo de Young
ν Coeficiente de Poisson
σi j Componente i j do tensor das tensões iniciais
n(x) Vector unitário normal à superfície, n : Γ →R3
n j Componente j do vector unitário normal à superfície
u(x) Função de aproximação do campo de deslocamentos, solução
aproximada, u : Ω ∈R3 →R
3
ui(x) Componente i da função de aproximação do campo de deslocamentos,
ui : Ω ∈ R3 → R
Vn Espaço de funções ao qual pertence u(x)
Ni(x) i-ésima função de base que gera o espaço Vn, Ni : Ω ∈ R3 →R
[K] Matriz de rigidez global
d Vector dos graus de liberdade do problema
dE Sub-conjunto do vector dos graus de liberdade do problema que agrupa
os graus de liberdade prescritos
dF Sub-conjunto do vector dos graus de liberdade do problema que agrupa
os graus de liberdade livres
Notação xv
f Vector das forças nodais equivalentes
fE Sub-conjunto de coeficientes do vector das forças nodais equivalentes
que incidem nos graus de liberdade prescritos
fF Sub-conjunto de coeficientes do vector das forças nodais equivalentes
que incidem nos graus de liberdade livres
[KE] Sub-matriz de [K] dos coeficientes afectados às condições de fronteira
essenciais/graus de liberdade prescritos
[KF ] Sub-matriz de [K] dos coeficientes afectados aos graus de liberdade
livres
[KEF] Sub-matriz de [K] que, multiplicada por dF, contribui para o equilíbrio
de rE e fE nos graus de liberdade prescritos
[KFE] = [KEF]T Sub-matriz de [K] que, multiplicada por dE, contribui para o equilíbrio
do vector das forças nodais equivalentes nos graus de liberdade livres
dE Vector dos graus de liberdade correspondentes às condições de
fronteira essenciais, graus de liberdade fixados a priori
dF Vector dos graus de liberdade correspondentes às incógnitas do
problema, graus de liberdade livres (free)
δτe Trabalho virtual das forças exteriores
δτi Trabalho virtual das forças interiores
[A] Matriz associada ao operador diferencial de compatibilidade
[B], [B(x)] Matriz global que resulta da aplicação de [A] sobre as funções de base
[Bi ], [Bi(x)] Sub-matriz de [B] que resulta da aplicação de [A] apenas a Ni(x)
[D] Matriz constitutiva
δik Delta de Kronecker
Ωek Sub-domínio de Ω
Ωe,localk Domínio do polítopo de referência, sub-domínio de Ω representado em
coordenadas locais
Ωek Fecho de Ωe
k
uek(x) Sub-função de aproximação do campo de deslocamentos cujo suporte é
Ωek, ue
k : Ωek ∈ R
3 →R3
xvi Notação
ueik(x) Componente i de ue
k(x), ueik : Ωe
k ∈ R3 → R
Venk Espaço de funções ao qual pertence a função ue
k(x)
Nekl(x) l -ésima função de base que gera o sub-espaço Ve
nk, Nekl : Ωe
k ∈ R3 → R
sup(Ni(ξ)) Suporte da função Ni(ξ)
ξ Ponto incluído em Ωei , descrito em coordenadas locais
ξ1,ξ2,ξ3 Coordenadas do ponto ξ, ξ = (ξ1,ξ2,ξ3) ∈ Ωe,locali
‖e‖en Erro na energia
V(ξ) Factor pontual de conversão de volumes
[Dx(ξ)] Matriz jacobiana da parametrização que mapeia as coordenadas locais
em coordenadas globais
det([A]) determinante da matriz A
x(ξ) Representação de coordenadas globais em função de coordenadas
locais, x : R3 → R3
‖ f‖∞ Norma de máximo da função f
Capítulo 1
Introdução
1.1 Enquadramento geral
Desde sempre houve a necessidade de compreender e explicar o comportamento da natureza. Como
parte desse processo têm vindo a ser dirigidos esforços para identificar os diversos sistemas que a cons-
tituem e, consequentemente, dar início a um processo iterativo de observação, formulação de hipóteses
relativas ao seu funcionamento e verificação da sua validade. Validadas as hipóteses, abrem-se assim as
portas à descoberta de leis da natureza, e a sua consequente aplicação não só na explicação do funci-
onamento dos respectivos sistemas como também para estimar o comportamento exibido em função da
variação dos factores intervenientes (Belytschko et al., 2001, pág. 1-2).
A validação e emprego dessas hipóteses parte do desenvolvimento de modelos matemáticos, mode-
los esses que constituem uma descrição simplificada mas representativa dos fenómenos analisados. Ao
descrever um sistema através da definição de um conjunto de variáveis e de equações que exprimem as
relações que se observam entre elas, torna-se possível analisar o desenvolvimento destes fenómenos em
função da variação dos parâmetros usados na caracterização do problema. Ao tratar-se de modelos cuja
validade já se encontra corroborada (e cujos limites de aplicação se encontram bem definidos), sobressai
ainda outra grande vantagem inerente a este tipo de modelos: a possibilidade de se analisar o compor-
tamento dos sistemas sob condições idealizadas, sem a influência de parâmetros externos e com total
controle sobre as variáveis que intervém no problema. Assim, é possível analisar o comportamento do
sistema de forma idealizada e possuir um elevado controlo sobre todos os parâmetros intervenientes.
Entre as várias formas de modelos matemáticos disponíveis para o estudo da natureza encontram-se
os modelos definidos a partir de equações diferenciais. Esta forma de modelar sistemas permite relacionar
os valores apresentados por um conjunto de parâmetros constituintes do modelo com a taxa de variação
que poderão apresentar. A partir destas relações, e considerando a configuração atribuída ao domínio
do problema e o conjunto de condições impostas na sua fronteira, torna-se possível chegar a resultados
plausíveis do comportamento do fenómeno a ser modelado.
Devido à complexidade que o problema acima descrito assume na generalidade dos casos, quer na
1
2 Introdução
definição do seu domínio como nas condições impostas na sua fronteira, na prática torna-se impossível
obter soluções analíticas que cumpram exactamente todas as condições impostas.
De maneira a contornar esta dificuldade, têm vindo a ser desenvolvidas várias abordagens que abdicam
da procura de expressões analíticas que representem soluções exactas em prol da obtenção de soluções
aproximadas. Entre estas abordagens encontra-se um grupo de métodos que tem em comum a definição
arbitrária de funções destinadas a aproximar a solução exacta do problema. Posteriormente o erro a elas
associado é reduzido mediante a aplicação de um critério de minimização. É nesse âmbito que surgem
métodos tais como o método das diferenças finitas, o método dos elementos fronteira e o método dos
elementos finitos.
O método dos elementos finitos foi desenvolvido a fim de obter soluções aproximadas de problemas
representados através de sistemas de equações diferenciais. Para atingir este objectivo, parte-se da defi-
nição de uma função destinada a aproximar a solução exacta do problema em todo o seu domínio. Esta
assume a forma de uma função definida por troços, e resulta da composição de um conjunto de sub-fun-
ções, cada uma com o suporte restringido a um sub-domínio do problema que lhe é exclusivo e que tem a
particularidade de a sua união definir uma função cujo suporte abrange o domínio do problema. Definida
esta função, que representa uma tentativa de aproximar a solução exacta do problema e assim é referida
por função tentativa, resta aplicar um critério minimizador que permita optimizar o seu ajustamento.
O detalhe marcante neste método, que está na origem do seu nome, é a construção da função que se
destina a aproximar a solução exacta. Esta função tentativa é formada a partir da união de um conjunto de
sub-funções, cujo suporte é limitado a uma região finita do espaço, disjunta das regiões de todos os outros
elementos e que, através de uma união, compõem o domínio do problema (Babuška e Strouboulis, 2001,
pág. 52). Esta associação entre o sub-domínio finito no espaço e a sub-função de aproximação que o tem
como suporte, que recebe o nome elemento finito, está na origem do poder de análise associado a este
método, bem como a simplicidade da sua implementação.
Assim, definido um problema (ou seja, o domínio e condições de fronteira), é possível organizar o
método dos elementos finitos nas seguintes etapas:
• partição do domínio do problema em elementos finitos;
• construção do sistema de equações do método dos elementos finitos;
• resolução do sistema de equações;
• calcular as grandezas de interesse com base na solução obtida.
Por fim, tudo isto só é possível devido aos progressos observados no domínio da computação. À ca-
pacidade inerente ao método dos elementos finitos de construir soluções tão próximas da solução exacta
quanto se deseje, em particular para os problemas mais complexos, está associado um aumento do custo
computacional exigido pelo processo de obtenção de uma solução aproximada. Assim, quer se procure
1.2. Objectivos 3
melhorar os resultados ao recorrer a discretizações mais refinadas do domínio, refinamento-h, como pela
adopção de funções tentativa com melhores características, refinamento-p, o aumento da dimensão do
sistema de equações leva a que apenas seja possível resolver este problema recorrendo a programas de
cálculo automático concebidos para o efeito e a máquinas de cálculo com um poder considerável.
1.2 Objectivos
O objectivo deste trabalho consiste no desenvolvimento de um programa que permite a análise do com-
portamento mecânico de sólidos tridimensionais. No âmbito deste trabalho limitou-se a análise a sólidos
compostos por materiais isotrópicos que exibem um comportamento geométrica e fisicamente linear. Este
comportamento é modelado recorrendo à teoria da elasticidade aplicada a sólidos tridimensional. O modelo
adoptado para este fim consiste na equação diferencial de equilíbrio, expressa em função dos deslocamen-
tos através da aplicação da lei de Hooke (Timoshenko e Goodier, 1970, pág. 233). Como este modelo é
expresso através de um sistema de equações diferenciais parciais, recorre-se ao método dos elementos
finitos para obter as correspondentes soluções aproximadas. Para tal, foram implementados oito tipos de
elementos finitos: os elementos finitos hexaédricos Lagrangeanos de 8 e 27 nós, hexaédrico Serendipiano
de 20 nós, tetraédricos de 4 e 10 nós, e prismáticos de 6, 15 e 18 nós. Obtida uma solução aproximada, os
resultados são sujeitos a um pós-processamento e apresentados ao utilizador recorrendo a um componente
de visualização desenvolvido para este efeito. Por fim, o programa é empregue na análise de um conjunto
de problemas de elasticidade linear tridimensional a fim de demonstrar a validade da implementação e
observar respostas que não são reproduzidas pelas vulgares teorias estruturais.
1.3 Estrutura do trabalho
No capítulo 2 é apresentado o problema de elasticidade tridimensional como problema de valores na
fronteira. No capítulo 3 é apresentado o método dos elementos finitos aplicado à análise de sólidos. Este
método, conforme descrito neste trabalho, é derivado da aplicação do método Bubnov-Galerkin para a ob-
tenção de soluções aproximadas de equações diferenciais mediante o ajuste à solução exacta de funções
polinomiais definidas por troços. No capítulo 4 é apresentado o conceito de elemento finito, seguido da
descrição de um conjunto de tipos de elemento finito e da problemática da sua implementação. No capí-
tulo 5 é feita uma descrição sucinta do processo de planeamento e desenvolvimento de uma aplicação de
software que implementa o método dos elementos finitos aplicado à análise estática linear de sólidos, com
suporte para visualização bem como pré e pós-processamento: o Finite Element Method Program (FEMP).
No capítulo 6 são expostos alguns exemplos de aplicação do FEMP destinados a aferir a validade da im-
plementação do método dos elementos finitos, observar algumas propriedades de convergência dos tipos
de elemento finito suportados pelo programa, e comparar os resultados obtidos com aqueles resultantes da
aplicação de um conjunto de teorias estruturais.
Capítulo 2
O problema de elasticidade tridimensional
2.1 Introdução
É possível observar que, quando um dado corpo sólido é submetido a uma dada solicitação, este passa
a apresentar uma configuração deformada. Em certas condições observa-se que o grau da deformação
varia não só com a natureza do material como também com a magnitude das acções e, após estas serem
retiradas, o corpo recupera a sua configuração original. Essa propriedade física é designada por elasti-
cidade. Com base em observações deste fenómeno desenvolveram-se modelos capazes de descrever e
prever com alguma precisão o comportamento de sólidos em resposta à aplicação de conjuntos de acções.
O estudo do problema da elasticidade parte da definição de um modelo que, respeitando o seu do-
mínio de aplicação, permite reproduzir com uma precisão aceitável o comportamento do sistema. Este
comportamento é simulado a partir da definição de relações que se dão entre parâmetros que regem o
comportamento do modelo. Assim, considerando como acções apenas as solicitações aplicadas tanto no
domínio como na fronteira do corpo, pode-se partir para a caracterização do comportamento de qualquer
material tido como elástico considerando apenas um conjunto limitado de parâmetros: as acções aplicadas
no corpo, as tensões que se formam no seu interior, os deslocamentos de pontos do corpo, as deformações,
as propriedades associadas aos materiais constituintes e a geometria do corpo em análise.
2.2 Domínio do problema
Sendo o problema abordado o da elasticidade aplicada a sólidos, o modelo assumirá a forma de um sis-
tema de equações diferenciais parciais que procuram descrever a relação que há entre as acções aplicadas
a um sólido e os deslocamentos que daí resultam, satisfazendo as condições impostas em um conjunto de
pontos pertencentes à região que é definida como seu domínio e a respectiva fronteira. Assim, a definição
do modelo parte do estabelecimento das equações que caracterizam o comportamento a partir da análise
dos parâmetros que o influenciam, bem como o seu domínio e as condições a serem verificadas na sua
fronteira.
5
6 O problema de elasticidade tridimensional
O domínio do problema em estudo, tratando-se de um problema de elasticidade tridimensional, será
definido como uma região Ω ∈R3. Um ponto genérico incluído no domínio do problema será referido por x,
tal que x= (x1,x2,x3) ∈ Ω.
A região Ω, representada genericamente na figura 2.1, é decomposta da seguinte forma:
Ω = Ω∪Γ (2.1)
sendo Ω = int(Ω), o subconjunto de Ω que reúne todos os pontos interiores, e Γ = Ω \Ω, o subconjunto
de todos os pontos da fronteira de Ω.
O conjunto Γ contém, por sua vez, dois sub-conjuntos, ΓN e ΓD, que definem os conjuntos de pontos
na fronteira onde são definidas, respectivamente, as condições de fronteira estática e cinemática. Estas
condições de fronteira são também referidas, respectivamente, por condições de Neumann e de Dirichlet.
ΓD
ΓN
Ω
x1 x2
x3
Figura 2.1: Representação abstracta do domínio do problema da elasticidade tridimensional.
2.3 Relações de equilíbrio
No que se segue, considerou-se que os sólidos em análise se encontram em equilíbrio estático na
posição indeformada. Para essa condição ser verificada é necessário que em qualquer ponto do interior
do corpo o somatório de forças volúmicas e tensões actuantes nas superfícies de um qualquer volume
infinitesimal seja nulo. Considerando a distribuição de forças e tensões actuantes no volume infinitesimal,
esse requisito é definido através da seguinte equação diferencial de equilíbrio:
σi j ,i(x)+ b j(x) = 0 ,x∈ Ω (2.2)
em que σ representa o tensor das tensões e b a força por unidade de volume aplicada no ponto x, contido
no domínio do problema.
A hipótese dos sólidos se encontrarem em equilíbrio estático também implica que o somatório dos
momentos resultantes das tensões actuantes no corpo sejam nulos em qualquer ponto do domínio do
problema, condição essa que é traduzida pela seguinte expressão:
2.4. Relações de compatibilidade 7
σi j = σ ji (2.3)
É também necessário garantir que na fronteira estática do corpo o somatório das forças distribuídas
na fronteira do corpo com as tensões também é nulo. Essa condição de fronteira traduz-se na seguinte
expressão:
t j(x) = σi j (x)ni(x) ,x∈ ΓN (2.4)
em que t representa a força por unidade de área que é prescrita em ΓN e n o vector unitário normal exterior
à superfície no ponto x.
2.4 Relações de compatibilidade
É assumido que o campo de deslocamentos obtido em resposta a uma dada solicitação, expresso aqui
através da função u(x), é contínuo em todo o domínio.
Assumindo também que as derivadas do campo de deslocamentos são muito pequenas em comparação
com a unidade, as deformações podem ser expressas em função do campo de deslocamentos através da
seguinte equação diferencial:
εi j (x) =12(ui, j(x)+u j ,i(x)) (2.5)
em que ε representa o tensor das deformações infinitesimais.
É também imposto que o campo de deslocamentos satisfaça as condições de fronteira cinemáticas do
problema. Assim, a função que representa a solução do problema terá de exibir valores prescritos à partida
em pontos específicos da fronteira. Esta condição é representada através da expressão seguinte:
ui(x) = ui(x) ,x∈ ΓD (2.6)
2.5 Relações constitutivas
Por fim resta definir a forma como as tensões e as deformações se relacionam. O modelo constitutivo
adoptado para esse efeito é a lei de Hooke, que na sua forma generalizada é representada através da
seguinte expressão:
σi j = Di jkl (εkl − εkl)+σi j (2.7)
em que D representa o tensor das constantes elásticas e ε e σ representam, respectivamente, os tensores
das tensões e das deformações iniciais. Para simplificar a exposição, deste ponto em diante assumir-se-á
que σ e ε são nulos. A substituição dessa hipótese na expressão (2.7) resulta em:
8 O problema de elasticidade tridimensional
σi j = Di jkl εkl (2.8)
Para o caso em que o material é isotrópico, a relação constitutiva passa a ser expressa em função de
duas constantes independentes, conforme é indicado no sistema de equações apresentado em (2.9):
σ11 = E(1+ν)(1−2ν) [(1−ν)ε11+νε22+νε33]
σ22 = E(1+ν)(1−2ν) [νε11+(1−ν)ε22+νε33]
σ33 = E(1+ν)(1−2ν) [νε11+νε22+(1−ν)ε33]
σ12 = E1+νε12
σ23 = E1+νε23
σ13 = E1+νε13
(2.9)
em que E é referido como o módulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.
A representação matricial do sistema de equações (2.9) é conseguida através da seguinte expressão:
σ11
σ22
σ33
σ12
σ23
σ13
=E
(1+ν)(1−2ν)
1−ν ν ν 0 0 0
ν 1−ν ν 0 0 0
ν ν 1−ν 0 0 0
0 0 0 1−2ν2 0 0
0 0 0 0 1−2ν2 0
0 0 0 0 0 1−2ν2
ε11
ε22
ε33
2ε12
2ε23
2ε13
(2.10)
2.6 A elasticidade tridimensional como um problema de valor es de fronteira
Reunida a informação necessária, torna-se possível definir o problema de valores de fronteira da elasti-
cidade tridimensional em (2.11), cujo diagrama de Tonti é apresentado na Figura 2.2.
εi j =12(ui, j +u j ,i) ,x∈ Ω
σi j ,i + b j = 0 ,x∈ Ω
σi j = Di jkl εkl ,x∈ Ω
ui = ui ,x∈ ΓD
σi j ni = t j ,x∈ ΓN
(2.11a)
(2.11b)
(2.11c)
(2.11d)
(2.11e)
em que u representa o campo de deslocamentos, bi as forças prescritas por unidade de volume e ui e ti
constituem os valores prescritos na fronteira para, respectivamente, o campo de deslocamentos e as forças
prescritas por unidade de área.
2.6. A elasticidade tridimensional como um problema de valo res de fronteira 9
Forças
bi
Equilíbrio
σi j ,i + b j = 0
Tensões
σi j
Elasticidade
σi j = Di jkl εkl
Deformações
εi j
Compatibilidade
εi j =12(ui, j +u j,i)
Deslocamentos
ui
Figura 2.2: Diagrama de Tonti para o problema de elasticidade linear.
Capítulo 3
Obtenção de soluções para problemas da
elasticidade tridimensional
3.1 Introdução
Como foi apresentado no capítulo 2, o problema da elasticidade em corpos tridimensionais pode ser
descrito sob a forma de um problema de valores de fronteira. Assim, o estudo deste problema passa pela
procura de uma função que, para o caso em análise, satisfaça o conjunto de condições imposto em (2.11).
Devido à complexidade que a configuração do domínio e as condições de fronteira poderão assumir
nos problemas da elasticidade tridimensional, na prática torna-se impossível obter, para a generalidade dos
problemas, uma expressão analítica que satisfaça o sistema de equações diferenciais parciais considerado
no seu domínio, bem como as condições de fronteira (i.e., a solução exacta), sendo apenas possível obter
tal expressão em casos excepcionalmente simples.
Uma das abordagens alternativas que permite contornar estas dificuldades foi originalmente proposta
por Courant (1943). Esta abordagem consiste em substituir o problema P em análise, que possui uma
solução S, por um problema relacionado Pn tão simples que permita que a sua solução Sn seja obtida com
relativa facilidade. Posteriormente, ao melhorar a aproximação de Pn a P pode-se esperar, assumir ou
demonstrar que a solução aproximada Sn converge para a solução desejada Sde P.
Esta abordagem, descrita de forma genérica, parte da definição de uma função destinada a aproximar
a solução exacta, ajustando-a subsequentemente em todo o domínio do problema tal que uma medida do
erro de aproximação seja tão reduzida quanto possível. Essa abordagem possui a capacidade de obter
soluções para um conjunto de problemas mais vasto em troca da aceitação de resultados aos quais está
associado uma margem de erro, erro este que é possível controlar.
Motivado por estas características, e consequentemente pelo interesse prático a elas associado, na
secção seguinte focar-se-á uma classe de métodos de obtenção de soluções aproximadas para problemas
de valores de fronteira: a classe dos métodos dos resíduos ponderados.
11
12 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
3.2 Método dos resíduos ponderados
De acordo com essa classe de métodos, considere-se a seguinte descrição de um problema de valores
de fronteira:
L [u(x)] = b(x) ,x∈ Ω
ui(x) = ui(x) ,x∈ ΓD
B[u(x)] = t(x) ,x∈ ΓN
(3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
onde u(x) representa a solução exacta do problema, ui(x) a componente i de u(x), L[.] e B[.] correspondem
a operadores diferenciais e as expressões (3.1b) e (3.1c) definem as condições de fronteira do problema.
Ao substituir nas expressões (3.1a) e (3.1c) a solução exacta do problema por uma sua aproximação que
satisfaça a priori a condição (3.1b), função que daqui em diante será referida por função de aproximação da
solução exacta ou simplesmente função de aproximação, e representada por u(x), passa a não ser possível
garantir que se cumpram as condições expressas em (3.1a) e (3.1c). Como consequência, poderá surgir
um erro associado ao uso de aproximações da solução exacta nessa expressão, erro esse designado por
erro residual ou resíduo.
Deste ponto em diante, o trabalho focar-se-á no problema de valores de fronteira da elasticidade linear
tridimensional, conforme expresso em (2.11). Assim, u(x) corresponde ao seguinte mapeamento:
u : Ω 7→R3 (3.2)
com Ω conforme definido na secção 2.2.
Quando considerados individualmente, cada componente de u(x) corresponde ao seguinte mapea-
mento.
ui : Ω 7→R (3.3)
O mapeamento de u(x), bem como as respectivas componentes, é idêntico.
A partir das condições expressas em (3.1), o resíduo deste problema é representado respectivamente
pelas expressões (3.4a) e (3.4b).
RΩi(x) = Li [u(x)]− bi(x)
RΓNi(x) = Bi [u(x)]− ti(x)
(3.4a)
(3.4b)
onde RΩi(x) e RΓNi(x) representam, respectivamente, o resíduo da condição de equilíbrio no domínio do
problema e na fronteira estática segundo o eixo coordenado i. Note-se que a definição a priori de u(x) de
maneira a garantir o cumprimento da condição (3.1b) implica que, para qualquer aproximação da solução
construída desta forma, é garantido que o resíduo da condição de compatibilidade na fronteira cinemática
seja nulo.
3.2. Método dos resíduos ponderados 13
Conforme foi referido anteriormente, o objectivo da aplicação desta classe de métodos é a obtenção
de uma função que aproxime adequadamente u(x). Na impossibilidade de achar u(x) que satisfaça as
condições expressas em (3.1a) e (3.1c), esta classe de métodos parte da escolha de uma definição mais
genérica de u(x), representada por u(x,DoF), que representa o seguinte mapeamento:
u :
Ω,DoF
7→ R3 (3.5)
onde DoF representa o conjunto de parâmetros, referidos como graus de liberdade, que define o compor-
tamento da função ao longo do seu domínio. Estes são definidos da seguinte forma:
DoF =3⋃
i=1
di1, · · · ,din ∈ Rn (3.6)
onde dik representa o grau de liberdade k que está associado à definição de ui(x).
A função u(x,DoF), quando atribuídos valores concretos ao conjunto de parâmetros DoF, corresponde
a u(x). Esta função é referida como função tentativa, e pertence a uma classe de funções cujos membros
são capazes de aproximar de forma adequada a solução exacta, tanto no domínio do problema como na sua
fronteira, mediante a manipulação dos graus de liberdade que a compõem. Subsequentemente, u(x,DoF)
é ajustada a u(x) mediante a aplicação de um critério de optimização capaz de obter os valores de DoF
que minimizem o erro da aproximação. Desta forma, a distinção entre o conceito de função de aproximação
da solução exacta e função tentativa é, respectivamente, a determinação ou não dos valores assumidos
pelos graus de liberdade da função. Considerando esta distinção, deste ponto em diante ambas as funções
serão representadas por u(x), com o estado da determinação dos valores atribuídos aos graus de liberdade
a depender do contexto.
No método dos resíduos ponderados, o critério de optimização é aplicado através da imposição do
anulamento em média do resíduo sobre o domínio do problema. De forma genérica, este procedimento
traduz-se na afectação a cada expressão de resíduo de uma função de ponderação (também referida por
função peso) e aqui representada por W(x), conforme é indicado na expressão (3.7):
∫Ω
Wi(x)RΩi(x) dΩ = 0 , i ∈ 1,2,3∫
ΓN
Wi(x)RΓNi(x) dΓN = 0 , i ∈ 1,2,3(3.7)
A partir do conjunto de produtos internos de funções definidos em (3.7) é possível ajustar os parâmetros
que definem u(x) de maneira a obter aproximações da solução exacta que cumpram de forma aproximada
as condições estipuladas pelo problema. O erro associado a u(x) variará em função de um conjunto de
factores, entre os quais se encontram o critério de optimização adoptado (ou seja, o método empregue
para definir a aproximação de u(x) a u(x)), o espaço de funções ao qual pertence u(x) e as condições de
fronteira prescritas no problema.
A classe dos métodos dos resíduos ponderados engloba um conjunto alargado de métodos, entre os
quais se destacam o método da colocação pontual, o método da colocação por subdomínio, e o método
14 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
de Galerkin, ver Zienkiewicz et al. (2005, pág. 61). No domínio do método de Galerkin destaca-se uma
variante, o método de Bubnov-Galerkin, sobre o qual o presente trabalho se focará deste ponto em diante.
3.3 Método de Bubnov-Galerkin
De acordo com o método de Bubnov-Galerkin, as componentes das funções de ponderação, Wi(x),
e das funções de aproximação, ui(x), pertencem ao mesmo espaço linear de funções, referido daqui em
diante por Vn, ver Hughes (2000, pág. 8) e Šolín (2006, pág. 46). Por sua vez, este espaço de funções é
gerado através da combinação linear de um conjunto de n funções de base, escolhidas criteriosamente, as
quais são referidas deste ponto em diante por Nk(x), k ∈ 1, . . . ,n. Assim, as funções de ponderação e
funções tentativa são definidas doravante da seguinte forma:
Wi(x) =n
∑k=1
cikNk(x)
ui(x) =n
∑k=1
dikNk(x)
(3.8)
Tendo em conta estas exigências, a substituição de (3.8) em (3.7) produz a seguinte expressão:
n
∑k=1
cik
∫Ω
Nk(x)RΩi(x)dΩ = 0
n
∑k=1
cik
∫ΓN
Nk(x)RΓN i(x)dΓN = 0
(3.9)
Considerando as propriedades fundamentais do produto interno de funções reais, a expressão (3.7)
só será satisfeita se ui(x) pertencer a Vn, e assim seja possível que ui(x) represente a solução exacta do
problema, ou se ambos os resíduos forem ortogonais a Wi(x).
Na impossibilidade de usar a primeira opção, para que o resíduo seja ortogonal para qualquer Wi(x)
então a função que o define terá de ser ortogonal a todas as funções de base que geram Vn. Desta forma,
torna-se possível expressar esta condição através do seguinte sistema de equações:
∫Ω
N1(x)RΩi(x)dx= 0
...∫Ω
Nn(x)RΩi(x)dx= 0∫
ΓN
N1(x)RΓN i(x)dx= 0
...∫ΓN
Nn(x)RΓN i(x)dx= 0
(3.10)
Como o espaço de funções Vn é gerado por um conjunto de n funções de base, o sistema de equa-
ções representado em (3.10) representa um sistema de (2×3n) equações com (3n) incógnitas, sendo as
3.4. Formulação fraca do método de Bubnov-Galerkin 15
incógnitas os escalares dik que intervém na definição de ui(x). Note-se que ui(x) resulta da combinação
linear das funções de base Nk(x) onde intervém os escalares dik, e consequentemente a imagem de ui(x)
depende exclusivamente destes escalares. Esta forma permite simplificar e sistematizar o processo de
obtenção de soluções aproximadas para problemas de valor na fronteira, bem como relaxar as exigências
impostas à selecção das funções de base que geram o espaço Vn. Uma outra propriedade deste método
é a da convergência de u(x) para u(x) depender directamente do número de funções de base que geram
o espaço Vn, e que mediante uma escolha criteriosa de funções de base é possível definir sucessões de
espaços vectoriais de funções Vn que permitem que a respectiva sucessão de funções u(x) geradas por
eles convirja para a solução exacta do problema, ver Šolín (2006, pág. 46).
O método dos resíduos ponderados pode ainda ser formulado de maneira a relaxar as exigências de
continuidade impostas ao espaço de funções Vn. É sobre esta formulação, denominada formulação fraca
do problema, que irá incidir a secção seguinte.
3.4 Formulação fraca do método de Bubnov-Galerkin
Como ponto de partida considere-se a aplicação do método de Bubnov-Galerkin ao problema de valores
de fronteira da elasticidade tridimensional, conforme apresentado em (2.11). Uma vez que é necessário
anular o resíduo produzido pela expressões de equilíbrio tanto no domínio como na fronteira estática, obtém-
-se a seguinte expressão:
∫Ω
Wi(x)(
σ ji , j(x)+ bi(x))
dΩ = 0∫
ΓN
Wi(x)(σ ji (x)n j(x)− ti(x)) dΓN = 0
(3.11a)
(3.11b)
Aplicando a fórmula de integração por partes a (3.11a), a expressão do equilíbrio no domínio passa a
assumir a seguinte forma:
∫Ω
Wi, j(x)σi j (x)dΩ =∫
Ω(Wi(x)σi j (x)), j dΩ+
∫Ω
Wi(x)bi(x)dΩ (3.12)
A principal consequência da aplicação da fórmula de integração por partes reside na redução da ordem
das derivadas de ui(x). Isto implica que o espaço Vn passa a poder ser gerado por um conjunto de funções
de base que pertençam a uma classe de diferenciabilidade inferior àquela exigida pela formulação anterior.
Outra consequência importante que é possível constatar na expressão anterior prende-se com a deriva-
ção agora imposta a Wi(x). Substituindo a expressão (2.11a) em (2.11c), verifica-se que σi j , presente no
primeiro termo, inclui derivadas de primeira ordem de ui(x). Com esta alteração é possível constatar que
ambas as funções pertencem ao mesmo espaço de funções: o sub-espaço de Vn gerado pelas derivadas
das funções de base de Vn. Esta formulação do método Bubnov-Galerkin permite a redução da ordem de
diferenciabilidade exigida às funções de base. Devido a este “enfraquecimento” das exigências de conti-
16 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
nuidade, esta formulação é referida como formulação fraca ou forma fraca do problema, ver Reddy (1993,
pág. 30) e Wunderlich e Pilkey (2003, pág. 450).
Tomando em consideração as condições de equilíbrio na fronteira definidas através da expressão (2.11e)
(ou seja, as condições de fronteira estáticas), aplica-se o teorema da divergência ao primeiro termo do se-
gundo membro da equação (3.12). Ao somar o resíduo do domínio (3.11a) com o resíduo na fronteira
(3.11b), chega-se a:
∫Ω
Wi, j(x)σi j (x)dΩ =
∫ΓN
Wi(x)ti(x)dΓN +
∫Ω
Wi(x)bi(x)dΩ (3.13)
Com esta etapa, a dimensão do problema da anulação dos resíduos na fronteira e no domínio passou
de (6n) equações para (3n), ambas com (6n) incógnitas.
Substituindo em (3.13) a definição de Wi(x) conforme indicado em (3.8) obtém-se a seguinte expressão:
∫Ω
n
∑k=1
cikNk, j (x)σi j (x)dΩ =∫
ΓN
n
∑k=1
cikNk(x)ti(x)dΓN +∫
Ω
n
∑k=1
cikNk(x)bi(x)dΩ (3.14)
Devido à forma como foram definidas as funções Wi(x) e ui(x), e tendo em conta que o espaço Vn é
gerado a partir de um conjunto de n funções de base, cada equação possui (6n) incógnitas, constituídas
pelos escalares cik e dik que compõem, respectivamente, Wi(x) e ui(x).
Apesar desta expressão apresentar uma forma consideravelmente diferente daquela encontrada em
(3.11), ela constitui ainda a aplicação do método de Bubnov-Galerkin para obtenção de soluções aproxi-
madas para o problema da elasticidade. Portanto, e conforme a secção anterior, o objectivo ainda consiste
em obter uma função ui(x) que anule o resíduo das equações de equilíbrio no domínio e na fronteira do
problema. Para tal, as expressões do resíduo terão novamente de ser ortogonais a qualquer função Wi(x),
o que é conseguido ao garantir que o resíduo é ortogonal a qualquer função de base que gera o espaço Vn.
Refactorizando a expressão (3.14) de maneira a pôr em evidência os escalares cik, é possível reorga-
nizá-la em um sistema de (3n) equações, cada uma representando a ponderação dos resíduos no domínio
e na fronteira pelo respectivo conjunto de funções de base que geram de Vn, conforme é indicado na ex-
pressão seguinte:
cik
(
−∫
ΩNk, j (x)σi j (x)dΩ+
∫ΓN
Nk(x)ti(x)dΓN +
∫Ω
Nk(x)bi(x)dΩ)
= 0 (3.15)
Novamente, como os resíduos devem ser eliminados para qualquer Wi(x), então o sistema de equações
(3.15) terá de ser válido para qualquer valor assumido pelos escalares cik. Como consequência, torna-se
possível ignorar a solução trivial cik = 0, eliminando assim a intervenção destes escalares na obtenção de
uma solução para o problema. Com este passo o número de incógnitas do problema é reduzido de (6n)
para (3n) e o problema é reduzido a um sistema de (3n) equações com (3n) incógnitas, sendo as incógnitas
do problema os escalares dik usados na definição de uk(x), conforme apresentada em (3.8).
Reorganizando as equações chega-se ao seguinte sistema de equações:
3.4. Formulação fraca do método de Bubnov-Galerkin 17
∫Ω
Nk, j(x)σi j (x)dΩ =∫
ΓN
Nk(x)ti(x)dΓN +∫
ΩNk(x)bi(x)dΩ (3.16)
Focando agora a atenção no primeiro membro de (3.16), é possível expandir os índices i e j , obtendo-
-se:
∫Ω
Nk, j (x)σ1 j(x)dΩ =
∫Ω
Nk,1(x)σ11(x)+Nk,2(x)σ12(x)+Nk,3(x)σ13(x)dΩ∫
ΩNk, j (x)σ2 j(x)dΩ =
∫Ω
Nk,1(x)σ21(x)+Nk,2(x)σ22(x)+Nk,3(x)σ23(x)dΩ∫
ΩNk, j (x)σ3 j(x)dΩ =
∫Ω
Nk,1(x)σ31(x)+Nk,2(x)σ32(x)+Nk,3(x)σ33(x)dΩ
(3.17)
Agora, substituindo a definição das relações deformações-deslocamentos apresentada em (2.5) na re-
lação constitutiva (2.9), considerando a definição de ui(x) conforme apresentada em (3.8) e omitindo os
vectores associados às deformações e tensões residuais, obtém-se a seguinte expressão para as relações
tensões-deslocamentos:
σ11 =E
(1+ν)(1−2ν)
[
(1−ν)n
∑l
Nl ,1(x)d1l +νn
∑l
Nl ,2(x)d2l +νn
∑l
Nl ,3(x)d3l
]
σ22 =E
(1+ν)(1−2ν)
[
νn
∑l
Nl ,1(x)d1l +(1−ν)n
∑l
Nl ,2(x)d2l +νn
∑l
Nl ,3(x)d3l
]
σ33 =E
(1+ν)(1−2ν)
[
νn
∑l
Nl ,1(x)d1l +νn
∑l
Nl ,2(x)d2l +(1−ν)n
∑l
Nl ,3(x)d3l
]
σ12 =E
1+ν
(
n
∑l
Nl ,2(x)d1l +n
∑l
Nl ,1(x)d2l
)
σ23 =E
1+ν
(
n
∑l
Nl ,3(x)d2l +n
∑l
Nl ,2(x)d3l
)
σ13 =E
1+ν
(
n
∑l
Nl ,3(x)d1l +n
∑l
Nl ,1(x)d3l
)
(3.18)
Substituindo as definições de (3.18) em (3.17), considerando a condição de simetria expressa em (2.3),
e reagrupando os factores associados aos parâmetros dik obtém-se a seguinte expressão:
18 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
∫Ω Nk, j σ1 j dΩ = ∑n
l=1
∫Ω
(
Nk,1E(1−ν)
(1+ν)(1−2ν)Nl ,1+Nk,2E
1+ν Nl ,2+Nk,3E
1+νNl ,3
)
dΩd1l+
+∑nl=1
∫Ω
(
Nk,1Eν
(1+ν)(1−2ν)Nl ,2+Nk,2E
1+νNl ,1
)
dΩd2l+
+∑nl=1
∫Ω
(
Nk,1Eν
(1+ν)(1−2ν)Nl ,3+Nk,3E
1+νNl ,1
)
dΩd3l∫
Ω Nk, j σ2 j dΩ = ∑nl=1
∫Ω
(
Nk,1E
1+νNl ,2+Nk,2Eν
(1+ν)(1−2ν)Nl ,1
)
dΩd1l+
+∑nl=1
∫Ω
(
Nk,1E
1+νNl ,1+Nk,2E(1−ν)
(1+ν)(2ν)Nl ,2+Nk,3E
1+ν Nl ,3
)
dΩd2l+
+∑nl=1
∫Ω
(
Nk,2Eν
(1+ν)(1−2ν)Nl ,3+Nk,3E
1+νNl ,2
)
dΩd3,l∫Ω Nk, j σ3 j dΩ = ∑n
l=1
∫Ω
(
Nk,1E
1+νNl ,3+Nk,3Eν
(1+ν)(1−2ν)Nl ,1
)
dΩd1l+
+∑nl=1
∫Ω
(
Nk,2E
1+νNl ,3+Nk,3Eν
(1+ν)(1−2ν)Nl ,2
)
dΩd2l+
+∑nl=1
∫Ω
(
Nk,1E
1+νNl ,1+Nk,2E
1+ν Nl ,2+Nk,3E(1−ν)
(1+ν)(1−2ν)Nl ,3
)
dΩd3l
(3.19)
Chegado a este ponto, agora é possível expressar a aplicação da forma fraca do problema da elastici-
dade tridimensional em notação matricial.
a(11)(11) a(11)(21) a(11)(31) · · · a(11)(1n) a(11)(2n) a(11)(3n)
a(21)(11) a(21)(21) a(21)(31) · · · a(21)(1n) a(21)(2n) a(21)(3n)
a(31)(11) a(31)(21) a(31)(31) · · · a(31)(1n) a(31)(2n) a(31)(3n)
.... . .
...
a(1n)(11) a(1n)(21) a(1n)(31) · · · a(1n)(1n) a(1n)(2n) a(1n)(3n)
a(2n)(11) a(2n)(21) a(2n)(31) · · · a(2n)(1n) a(2n)(2n) a(2n)(3n)
a(3n)(11) a(3n)(21) a(3n)(31) · · · a(3n)(1n) a(3n)(2n) a(3n)(3n)
d11
d21
d31
...
d1n
d2n
d3n
=
f11
f21
f31
...
f1n
f2n
f3n
(3.20)
em que:
a(ik)( jl ) =
∫Ω
(
Nk,iE(1−ν)
(1+ν)(1−2ν)Nl , j +
3
∑m6=i, j
Nk,mE
1+νNl ,m
)
dΩ , i = j
∫Ω
(
Nk,iEν
(1+ν)(1−2ν)Nl , j +Nk, j
E1+ν
Nl ,i
)
dΩ , i 6= j
(3.21)
e
fik =∫
ΓN
Nk(x)ti(x)dΓN +
∫Ω
Nk(x)bi(x)dΩ (3.22)
A expressão (3.22) pode ainda ser representado da seguinte forma:
fik = f ΓNik + f Ω
ik (3.23)
em que f ΓNik e f Ω
ik correspondem, respectivamente, à contribuição das cargas distribuídas na superfície e
no domínio, i.e.,
f ΓNik =
∫ΓN
Nk(x)ti(x)dΓN (3.24)
3.4. Formulação fraca do método de Bubnov-Galerkin 19
e
f Ωik =
∫Ω
Nk(x)bi(x)dΩ (3.25)
Renomeando os índices usados na expressão (3.20) de maneira a apresentarem uma numeração se-
quencial (i, j = 1...3n) é possível reescrever o resultado da aplicação do método de Bubnov-Galerkin ao
problema da elasticidade tridimensional na forma canónica da equação do método dos elementos finitos,
conforme é apresentado em (3.26):
Ki j d j = fi (3.26)
onde a matriz K é referida por matriz de rigidez global e o vector f por vector de forças nodais equivalentes.
Em notação matricial tem-se:
[K]d= f (3.27)
Separando as contribuições para o vector de forças nodais equivalentes, conforme representado em
(3.23), a expressão (3.26) assume a seguinte forma:
[K]d=
f ΓN
+ f Ω (3.28)
Por fim, é necessário referir a forma como são contabilizadas as condições de fronteira cinemáticas.
Enquanto as condições de fronteira estática são contabilizadas directamente na expressão do resíduo, e
assim são naturalmente incorporadas no problema, ainda é necessário impor as condições de fronteira
cinemática.
Atendendo à definição de ui(x) conforme é indicado em (3.8) e considerando que o conjunto de funções
de base a partir do qual ui(x) é gerada é adequado ao problema, a imposição de restrições a ui(x) é
conseguida através da atribuição prévia de valores a um conjunto de incógnitas dik de maneira a garantir
logo à partida que a função de aproximação cumpre estas condições de fronteira. Como os escalares dik
que entram na definição de ui(x) constituem as incógnitas do problema (3.26), a fixação do valor de um
conjunto de graus de liberdade dik implica a redução do número de incógnitas que é necessário determinar
através da resolução do sistema de equações, juntamente com a redução do número de equações que é
necessário empregar para que o sistema seja determinado.
Desta forma, o sistema de equações expresso em (3.26) pode ser representado de maneira a reflec-
tir a atribuição de valores a um conjunto de escalares d j (Fish e Belytschko, 2007, pág. 21), conforme
apresentado em (3.29).
KE KEF
KFE KF
dE
dF
=
fE + rE
fF
(3.29)
em que dE representa o vector das condições de fronteira essenciais, que corresponde ao conjunto de
graus de liberdade cujo valor foi previamente prescrito de modo a cumprir logo à partida as condições
cinemáticas impostas pelo problema na fronteira do seu domínio. Da mesma forma, dF representa o
conjunto de graus de liberdade livres, ou seja, o conjunto de incógnitas de d j que se pretende determinar,
20 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
com a resolução do sistema de equações. Os vectores fE e fF representam o conjunto de forças
nodais equivalentes que incidem, respectivamente, nos graus de liberdade com deslocamentos previamente
prescritos e livres. O vector rE corresponde às forças de reacção nodais equivalentes que surgem nos
graus de liberdade com deslocamentos prescritos de maneira a equilibrar a contribuição das forças nodais
equivalentes.
A atribuição de valores a um conjunto de incógnitas de d j com o intuito de garantir o cumprimento
de um conjunto de condições cinemáticas do problema é referido por prescrição de graus de liberdade,
enquanto que as restantes incógnitas são referidas por graus de liberdade livres, (Wunderlich e Pilkey, 2003,
pág. 451). Na matriz de rigidez, [KE] representa a sub-matriz de [K] onde são agrupados os coeficientes que
são afectados aos graus de liberdade prescritos, [KF ] a sub-matriz onde se agrupam os coeficientes de [K]
afectados apenas aos graus de liberdade livres. Por fim, a matriz [KEF] representa a sub-matriz composta
pelos coeficientes de [K] que, ao ser multiplicada por dF, contribui para o equilíbrio da equação nos graus
de liberdade prescritos. Da mesma forma, a matriz [KFE], quando multiplicada por dE, contribui para o
equilíbrio da expressão nos graus de liberdade livres (Fish e Belytschko, 2007, pág. 21).
Atendendo a que a obtenção de uma solução para o problema (ou seja, a definição de u(x)) passa pela
resolução do sistema de equações expresso em (3.29), e como parte dos graus de liberdade do problema
já se encontram determinados à partida, basta obter uma solução para os graus de liberdade livres para
poder definir a aproximação da solução exacta do problema. Desta forma, o sistema de equações passa a
ser expressa da seguinte maneira:
[KF ]dF= fF− [KFE]dE (3.30)
Através da resolução do sistema de equações (3.30) é possível determinar as incógnitas dF. Ao con-
jugar dE com dF torna-se possível completar a definição de u e assim obter uma solução aproximada
para o campo de deslocamentos do problema em análise e consequentemente permitir o pós-processa-
mento dos resultados.
3.5 Método dos elementos finitos
O método dos elementos finitos, conforme será aqui exposto, corresponde à aplicação da formulação
fraca do método de Bubnov-Galerkin para a obtenção de soluções aproximadas de problemas de valores
de fronteira. O pormenor que destaca esta formulação é a forma como é definida ui(x). Com este método,
ui(x) assume a forma de uma função definida por troços1, com cada troço a corresponder a uma sub-região
de Ω que serve de suporte a uma sub-função de aproximação. Cada troço da função é definido de maneira
a que o seu suporte corresponda a uma região com uma configuração geométrica simples. Estas regiões
necessitam ainda de ser disjuntas entre si e que a união de todas elas corresponda ao domínio do problema,
ver Babuška e Strouboulis (2001, pág. 52). Esta escolha criteriosa da forma como ui(x) é construída tem
1No presente texto, o termo “troço” refere-se a um sub-domínio de uma função de variável n-dimensional.
3.5. Método dos elementos finitos 21
(a) (b)
Figura 3.1: Representação de um domínio genérico a) de acordo com a sua definição original e b) submetidoa uma partição.
implicações profundas na aplicabilidade prática da formulação fraca do método de Bubnov-Galerkin, como
se verá nesta secção.
A definição de ui(x) é realizada com base na divisão de Ω nos sub-domínios que servirão de suporte
a cada troço da função. Considera-se então a divisão do domínio Ω do problema em sub-domínios Ωek tais
que (Pina, 1995, pág. 587):
Ω =⋃k
Ωek,
⋂k
Ωek = /0
Uma sub-divisão do domínio do problema que cumpra estas condições, conforme é representado na
figura 3.1, é daqui em diante referido como partição do domínio ou simplesmente partição.
De modo a definir os troços de ui(x), cada um dos sub-domínios Ωek corresponderá ao suporte de uma
função ueik(x), adoptada para aproximar a solução exacta. Cada função ue
ik(x) pertence a um espaço de
funções específico de cada sub-região Ωek, referido a partir deste ponto por Ve
nk. Como cada Ωek corresponde
a uma região com uma configuração geométrica simples, o problema da obtenção de ueik(x) é reduzido
ao problema de encontrar, para cada uma destas regiões simples, um espaço de funções que, com o
suporte restrito a essa região, permita gerar funções capazes de aproximar a solução do problema na
região considerada.
Como a partição de Ω é realizada de forma arbitrária, esta operação pode ser conduzida de maneira
a definir apenas sub-domínios Ωek que, por meio de uma transformação, corresponderão a um polítopo de
referência, referido por Ωe,localk , conforme representado na figura 3.2. A este polítopo de referência poderá
ser associado um sistema de coordenadas escolhido criteriosamente de maneira a mapear conveniente
os pontos nele contidos. Este sistema de coordenadas recebe o nome de sistema de coordenadas local,
ou simplesmente coordenadas locais, em contraste com o sistema de coordenadas usado como referência
para o domínio do problema na sua globalidade, referido por sistema de coordenadas global (Hughes,
2000, pág. 37). É também de notar que o termo coordenadas naturais é também usado como sinónimo de
coordenadas locais (Fish e Belytschko, 2007, pág. 164).
Ao representar qualquer Ωek em função de um Ωe,local
k , o problema da obtenção de qualquer ueik(x)
reduz-se à adopção de conjuntos de funções de base para Ωe,localk de maneira a gerar um sub-espaço de
22 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
Figura 3.2: Polítopo regular de referência e sub-domínios de Ω.
funções no domínio do polítopo de referência. Posteriormente, cada um destes conjuntos de funções de
base, ao ser sujeito a uma transformação apropriada, permite que se obtenha para qualquer Ωek o conjunto
de funções de base que gerará o respectivo Venk, o que torna possível obter ue
ik em qualquer troço da função.
Com isto, é importante apontar que cada polítopo de referência pode servir de base a várias formas
distintas de aproximar a solução exacta, bastando apenas que atribuam conjuntos distintos de funções de
base.
De acordo com esta abordagem, a definição de ui(x) para um domínio repartido em m sub-domínios
passa a ser expressa da seguinte forma:
ui(x) =
uei1(x) ,x∈ Ωe
1...
ueim(x) ,x∈ Ωe
m
(3.31)
A associação de cada ueik(x), incluída em cada Ve
nk, com o respectivo suporte Ωek, correspondente a um
troço de ui(x), recebeu o nome de elemento finito, (Reddy, 1993, pág. 4). É a partir deste conceito donde
deriva o nome atribuído ao método, conforme indicado em Clough (1980). No entanto, é também de referir
que este conceito já é referido pelo termo elemento em Courant (1943).
O uso do conceito de elemento finito para definir o domínio do problema e gerar aproximações da so-
lução exacta possibilita a sistematização da geração de u(x) para qualquer problema em análise. Após a
definição de um conjunto de tipos de elementos finitos, o problema da geração de u(x) reduz-se essencial-
mente a um problema da partição do domínio em sub-domínios cuja forma corresponda, por meio de uma
transformação, ao polítopo de referência de um dos elementos finitos adoptados para construir u(x). Como
se trata de um problema essencialmente geométrico, para o qual existe uma multitude de algoritmos à dis-
posição, isto implica que a sistematização da geração de u(x) depende essencialmente da implementação
de um destes algoritmos de forma a sistematizar a partição de qualquer Ω em um conjunto de elementos
finitos.
Uma propriedade das soluções produzidas pelo método dos elementos finitos é ui(x) passar a repre-
sentar uma união de um conjunto de funções, cada uma gerada de forma independente, empregues para
aproximar a solução exacta somente em cada Ωek (de Arantes e Oliveira, 1968, pág. 7). Por conseguinte, a
3.5. Método dos elementos finitos 23
definição da função empregue em cada troço é independente das funções geradas em troços adjacentes.
Isto leva a que cada elemento finito incluído em um problema possa ser analisado de forma largamente
independente de todos os outros elementos.
Considerando a definição de ui(x) apresentada em (3.8) e adoptando-a para ueik(x), como cada ue
ik(x)
tem como suporte Ωek, então estas funções podem ser expressas da seguinte forma:
ueik(x) =
n
∑l=1
deikl N
ekl(x) ,x∈ Ωe
k
0 ,x /∈ Ωek
(3.32)
Uma vez que Ω é repartido em msub-domínios, ui(x) pode ser definida através de uma combinação das
funções ueik(x) que tem como suporte cada um dos m sub-domínios Ωe
k definidos em uma partição de Ω.
Desta forma, e adoptando para qualquer ueik(x) a definição apresentada em (3.32), ui(x) é definida através
da seguinte expressão:
ui(x) =m
∑k=1
ueik(x) (3.33)
Esta composição leva a que haja graus de liberdade a serem partilhados por vários elementos. Consi-
derando a definição (3.32), esta partilha de graus de liberdade é expressa a partir de:
deimo = de
inp = dik (3.34)
em que deimo representa o grau de liberdade o do elemento m e de
inp representa o grau de liberdade p do
elemento n. Esse grau de liberdade corresponde, conforme (3.8), ao grau de liberdade dik do problema.
Substituindo (3.34) na expressão (3.33) e tendo em consideração a definição (3.32), chega-se à seguinte
expressão:
dikNk(x) = dik (Nekm(x)+Ne
kn(x)) (3.35)
Uma vez que não há um limite para o número de elementos que partilhem um determinado grau de
liberdade, a partir da expressão (3.35) chega-se ao seguinte resultado:
Nk(x) = ∑l
Nekl(x) (3.36)
A relação expressa em (3.36) indica que, através do método dos elementos finitos, cada função de
base que intervém na geração do espaço Vn é uma função de base de um elemento, caso o grau de
liberdade esteja exclusivamente associado a esse elemento, ou é uma função que resulta da soma de
um conjunto de funções de base de um conjunto de elementos associadas ao mesmo grau de liberdade.
Outra consequência da definição (3.32) reside no impacto que ela tem na definição da equação do método
dos elementos finitos, conforme apresentado em (3.26). Considerando a definição apresentada em (3.20),
constata-se que cada elemento a(ik)( jl ) que compõe a matriz de rigidez global representa um integral de uma
24 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
Ne11 Ne
12 Ne21 Ne
22
N1 = Ne11 N2 = Ne
12+Ne21 N3 = Ne
22
Figura 3.3: Funções de base dos elementos e a sua correspondência com as funções de base globais.
expressão composta por derivadas de funções de base de Vn sobre o domínio do problema. Considerando
a definição de ui(x) apresentada em (3.33) e notando que em cada elemento finito a solução exacta é
aproximada por uma sub-função de aproximação ueik(x), conforme definida em (3.32), a substituição de
(3.33) em (3.20) implica que alguns elementos a(ik)( jl ) serão nulos. Esta propriedade implica que a largura
de banda da matriz de rigidez, e consequentemente o seu grau de esparsidade, depende das funções de
base adoptadas para cada elemento.
Esta propriedade permite constatar uma característica importante relativa ao esforço computacional
exigido pela aplicação prática deste método. Para tal, considere-se um modelo abstracto cuja partição do
domínio resulta na definição de mgraus de liberdade partilhados por n elementos.
A aplicação do método dos elementos finitos para a obtenção de uma aproximação da solução exacta
do problema é dividida essencialmente em duas etapas: a obtenção da equação do método dos elementos
finitos e a resolução do respectivo sistema de equações.
Analisando o algoritmo é possível constatar que a etapa da obtenção da equação do método dos ele-
mentos finitos tende a exibir um grau de complexidade O(n). Por seu lado, o grau de complexidade asso-
ciado à etapa da resolução do sistema de equações depende do algoritmo empregue. Para sistemas de
equações representados através de matrizes densas, pode assumir valores tal como O(2n3/3) para o mé-
todo de Gauss (Pina, 1995, pág. 229) e O(n3/6) para o método de Cholesky (Pina, 1995, pág. 249). O uso
de métodos iterativos, como o método dos gradientes conjugados, requer O(n2) por iteração (Pina, 1995,
pág. 369). Caso se tratem de sistemas de equações representados através de matrizes banda, é referido
em Pina (1995, pág. 250) que o número de flops necessários para a execução da factorização é O(βiβsn),
em que βi e βs correspondem, respectivamente, à largura de banda inferior e superior e n corresponde à
ordem da matriz. Como uma matriz esparsa poderá assumir a estrutura de uma matriz de banda mediante
uma criteriosa troca de linhas e colunas então esta estimativa do grau de complexidade associado à fac-
torização de matrizes banda pode também ser tomada como uma aproximação do esforço computacional
exigido pelo método dos elementos finitos.
Desta forma é possível constatar que, com o aumento do número de graus de liberdade de um problema,
o esforço computacional exigido pelo método dos elementos finitos tende a concentrar-se na etapa de
3.5. Método dos elementos finitos 25
resolução do sistema de equações. Ou seja, com o aumento do número de graus de liberdade de um
problema, o aumento relativo do esforço computacional que é necessário para construir um sistema de
um modelo sujeito a um refinamento-p é desprezável quando comparado com o esforço computacional
necessário para a sua resolução.
Conforme referido na secção 3.1, para se obter para um dado problema P uma solução aproximada
Sn que convirja para a solução exacta S, é necessário não só substituir o problema P por um problema
relacionado Pn como também posteriormente melhorar a aproximação de Pn para P (Courant, 1943). No
contexto do método dos elementos finitos, a substituição de P por Pn corresponde ao abandono da obtenção
de uma solução exacta em favor do ajustamento de uma função ui(x), definida por troços, que é ajustada à
solução exacta mediante a aplicação da formulação fraca do método Bubnov-Galerkin. Com isto, fica ainda
por abordar a melhoria de aproximação de Pn para P necessária para que Sn convirja para S.
Tendo em conta que a aproximação de Pn a P depende exclusivamente da função ui(x) adoptada para
aproximar a solução exacta, a convergência de Sn para Sfica assim a depender exclusivamente da partição
de Ω e dos espaços de funções Venk adoptados para gerar as ue
ik(x) usadas na composição de ui(x). Sobre
a partição, a convergência para a solução exacta é assegurada através de uma sucessão de partições do
domínio em que o termo seguinte da sucessão corresponde a uma sub-divisão da partição representada
pelo termo anterior. Para os espaços de funções Venk, e assumindo que o problema inclui derivadas de
ordem p, uma condição suficiente para garantir a convergência dos resultados é a expressão analítica das
funções ueik(x) ser dada como um polinómio com um número de coeficientes igual ao número de graus de
liberdade, e que a expansão da expressão analítica de ueik(x) resulte num polinómio completo de ordem
p com todos os termos afectos a graus de liberdade deste troço de ui(x) (de Arantes e Oliveira, 1968,
pág. 16). Esta última condição é referida por condição de completude. É, no entanto, de referir que o
método dos elementos finitos não está limitado ao uso de funções de interpolação polinomiais (Reddy, 1993,
pág. 14), nem que o cumprimento da condição de completude é necessário para garantir a convergência
dos resultados. Uma forma de avaliar o comportamento de tipos de elementos finitos que não se enquadram
nestes casos consiste na realização de um conjunto de testes, conhecidos por patch test (Zienkiewicz et al.,
2005, pág. 39). Este tipo de testes consistem essencialmente na definição de uma malha composta por um
número reduzido destes elementos, a fim de avaliar a qualidade dos resultados obtidos na análise.
A obtenção de u(x) através do método dos elementos finitos tem consequências práticas de grande
importância. A adopção desta metodologia permite sistematizar a abordagem a qualquer problema, re-
sumindo a aplicação do método à definição de um conjunto de vários problemas distintos cujos domínios
correspondem a fracções do problema inicial, e que, exceptuando as condições impostas nas fronteiras
partilhadas por sub-domínios, podem ser definidos independentemente. Como consequência directa surge
a possibilidade de converter qualquer problema, independente da complexidade do domínio e condições
de fronteira, em um conjunto de vários problemas simples cuja resolução poderá ser efectuada de forma
sistemática e comparativamente mais simples. Juntamente, a discretização do domínio em elementos fini-
26 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
tos também traz benefícios tais como a capacidade de modelar problemas que exibem uma configuração
arbitrariamente complexa do domínio e das suas condições de fronteira.
3.6 Princípio dos trabalhos virtuais
Uma das particularidades da aplicação do método de Bubnov-Galerkin ao problema da elasticidade
tridimensional é a correspondência que tem com um princípio fundamental da mecânica: o princípio dos
trabalhos virtuais.
De acordo com o princípio dos trabalhos virtuais, a condição necessária e suficiente para o equilíbrio de
um corpo é que a soma dos trabalhos virtuais de todas as forças actuantes sobre o sistema seja nula para
quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com as ligações, de Arantes e Oliveira (1999, pág. 81). Se o
trabalho virtual das forças exteriores for representado por δτe e o trabalho virtual das forças interiores por
δτi , então, conforme indicado em Wunderlich e Pilkey (2003, pág. 90), o balanço de trabalhos proveniente
de uma acção pode ser representado através da seguinte igualdade:
δτe = δτi (3.37)
O trabalho virtual de um sistema de forças exteriores no campo de deslocamentos δui(x) é dado pela
seguinte expressão:
δτe =
∫Ω
bi δui(x)dΩ+
∫ΓN
ti δui(x)dΓN (3.38)
Da mesma forma, o trabalho das forças interiores é obtido através de:
δτi =
∫Ω
σi j (x)δεi j (x)dΩ (3.39)
Uma vez que em problemas da elasticidade tridimensional é possível expressar o campo de forças
interiores em função de um campo de deslocamentos, o problema pode ser definido de uma forma mais
específica: obter um campo de deslocamentos real tal que o trabalho das forças interiores iguale o das
forças exteriores para qualquer campo de deslocamentos virtual.
Desta forma, recorrendo ao conceito de operador e adoptando notação matricial, começa-se por definir
o campo de deslocamentos do problema:
u(x)=
u1(x)
u2(x)
u3(x)
(3.40)
em que, novamente, x= (x1,x2,x3) ∈ Ω ⊂ R3.
De maneira a obter uma numeração sequencial dos graus de liberdade do problema, é possível definir o
campo de deslocamentos como o produto entre a matriz das funções de base do campo de deslocamentos,
3.6. Princípio dos trabalhos virtuais 27
composto pelas funções de base de Vn, e o vector composto pelos graus de liberdade. Para tal, e mais uma
vez considerando que cada ui(x) é obtida a partir da combinação linear de n funções de base, torna-se
possível definir o campo de deslocamentos da seguinte maneira:
u(x) = [N(x)]d=
N1(x) 0 0 · · · Nn(x) 0 0
0 N1(x) 0 · · · 0 Nn(x) 0
0 0 N1(x) · · · 0 0 Nn(x)
d1
d2
d3
...
d3n−2
d3n−1
d3n
(3.41)
A partir do campo de deslocamentos, e seguindo a definição da relação de compatibilidade apresentada
em (2.5), o campo de deformações é obtido da seguinte forma:
ε(x)=
ε11(x)
ε22(x)
ε33(x)
2ε12(x)
2ε23(x)
2ε13(x)
= [A]u(x) (3.42)
sendo [A] o operador diferencial de compatibilidade, cuja definição é:
[A] =
∂∂x1
0 0
0 ∂∂x2
0
0 0 ∂∂x3
∂∂x2
∂∂x1
0
0 ∂∂x3
∂∂x2
∂∂x3
0 ∂∂x1
(3.43)
Ao aplicar o operador diferencial A à matriz das funções de base do campo de deslocamentos, conforme
definida em (3.41), é possível representar o campo de deformações através do produto entre uma matriz
global das derivadas parciais das funções de base de ui(x), referida por B, e o vector dos graus de liberdade
do campo de deslocamentos, d, conforme é indicado a seguir:
ε(x)= [B(x)]d (3.44)
onde a matriz B(x), de dimensão (6×3n), é composta por n matrizes das derivadas parciais das funções
de base:
[B(x)] = [B1(x), · · · ,Bn(x)] (3.45)
28 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
em que:
[Bi(x)] =
∂Ni (x)∂x1
0 0
0 ∂Ni (x)∂x2
0
0 0 ∂Ni (x)∂x3
∂Ni (x)∂x2
∂Ni (x)∂x1
0
0 ∂Ni (x)∂x3
∂Ni (x)∂x2
∂Ni (x)∂x3
0 ∂Ni (x)∂x1
(3.46)
Seguindo a mesma metodologia, e novamente ignorando as tensões residuais, o campo de tensões
assume a seguinte forma:
σ(x) =
σ11(x)
σ22(x)
σ33(x)
σ12(x)
σ23(x)
σ13(x)
= [D]ε(x)= [D][B(x)]d (3.47)
A matriz D representa a matriz constitutiva que, para o caso de materiais isotrópicos, assume a seguinte
forma:
[D] =E
(1+ν)(1−2ν)
1−ν ν ν 0 0 0
ν 1−ν ν 0 0 0
ν ν 1−ν 0 0 0
0 0 0 1−2ν2 0 0
0 0 0 0 1−2ν2 0
0 0 0 0 0 1−2ν2
(3.48)
sendo E o módulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.
Representando o campo de deslocamentos virtuais por δu(x) e o respectivo campo de deformações por
δε(x), o trabalho virtual das forças exteriores e interiores é dado através de:
δτe =
∫Ω
δui(x)bi(x)dΩ+
∫ΓN
δui(x)ti(x)dΓN
δτi =
∫Ω
δεi j (x)σi j (x)dΩ(3.49)
Em notação matricial, estas expressões assumem a forma:
δτe =
∫Ωδu(x)Tb(x)dΩ+
∫ΓN
δu(x)Tt(x)dΓN
δτi =
∫Ωδε(x)Tσ(x)dΩ
(3.50a)
(3.50b)
3.7. Recuperação de grandezas 29
Substituindo a definição do campo de tensões apresentada em (3.47) e a definição do campo de de-
formações apresentada em (3.44) em (3.50b) e de seguida igualando (3.50a) a (3.50b) é possível obter a
expressão (3.51).
∫ΩδdT [B(x)]T [D][B(x)]ddΩ =
∫Ωδu(x)Tb(x)dΩ+
∫ΓN
δu(x)Tt(x)dΓN (3.51)
Novamente, como a soma dos trabalhos de todas as forças actuantes no sistema terá de ser nula para
quaisquer deslocamentos virtuais então, considerando a definição adoptada para o campo de deslocamen-
tos, o trabalho das forças interiores terá de igualar o trabalho das forças exteriores para qualquer valor de
δd. Desta forma, reagrupando todos os factores de (3.51) associados a constantes di e impondo que
cada factor terá de se anular para qualquer escalar δdi , a expressão (3.51) conduz a:
∫Ω[B(x)]T [D][B(x)]dΩd=
∫Ω[N(x)]T b(x)dΩ+
∫ΓN
[N(x)]T t(x)dΓN (3.52)
O sistema de equações representado pela expressão (3.52) corresponde ao resultado obtido a partir da
aplicação do método de Bubnov-Galerkin ao problema da elasticidade linear, conforme foi apresentado em
(3.20). Considerando a forma canónica da equação do método dos elementos finitos, conforme referida em
(3.26), temos para a matriz de rigidez global:
[K] =∫
Ω[B(x)]T [D][B(x)]dΩ (3.53)
e para o vector de forças nodais equivalentes:
f =∫
Ω[N(x)]T b(x)dΩ+
∫ΓN
[N(x)]T t(x)dΓN (3.54)
A expressão (3.54), de forma semelhante ao realizado com a expressão (3.22), pode ainda ser repre-
sentada da seguinte forma:
f=
f ΓN
+
f Ω
(3.55)
em que
f ΓN
e
f Ω correspondem, respectivamente, à contribuição das cargas distribuídas na superfície
e no domínio, i.e.,
f ΓN
=
∫ΓN
[N(x)]T t(x)dΓN (3.56)
e
f Ω
=
∫Ω[N(x)]T b(x)dΩ (3.57)
3.7 Recuperação de grandezas
Com a obtenção de uma aproximação da solução do problema, que para problemas da elasticidade
linear representa o campo de deslocamentos, torna-se possível recuperar grandezas que se revelam úteis
na análise de modelos de sólidos.
30 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
Como foi assumido que as derivadas do campo de deslocamentos são muito pequenas em relação à
unidade, os campos de deformações são recuperados através da aplicação da expressão de compatibi-
lidade, referida em (2.5) e representado através de notação matricial em (3.44). Da mesma maneira, os
campos de tensões são obtidos a partir da aplicação da relação constitutiva ao campo de deformações,
conforme indicado na expressão (2.7) e representado através de notação matricial em (3.47).
Estas grandezas, como estão condicionadas à escolha do referencial global, não se revelam muito
práticas para a análise dos resultados. Como forma de contornar esta dificuldade surge a comparação dos
resultados com critérios de cedência, bem como a representação das direcções principais do estado de
tensão ou deformação em pontos no domínio.
Um dos critérios de cedência com larga aplicação é o critério de von Mises (Branco, 1998, pág. 651),
cuja tensão associada é calculada através da seguinte expressão:
σc =1√2
[
(σ11−σ22)2+(σ22−σ33)
2+(σ33−σ11)2+6(σ2
12+σ223+σ2
13)]
12 (3.58)
Este critério, como é uma função do segundo invariante da parcela deviatórica do tensor das tensões,
permite avaliar os estados de tensão no domínio de um problema independentemente da orientação do
referencial global do domínio.
Para a representação das direcções principais do estado de tensão ou deformação em pontos do do-
mínio, é necessário obter o respectivo tensor e proceder ao cálculo dos respectivos valores e vectores
próprios, ver de Arantes e Oliveira (1999, pág. 11). Como estes tensores assumem a forma de matrizes
quadradas simétrica de dimensão (3×3), é possível calcular estes valores recorrendo a um conjunto de
algoritmos especificamente desenvolvidos para este caso (Kopp, 2006).
É também possível recuperar nos graus de liberdade cujos deslocamentos foram prescritos as forças
nodais equivalentes que garantiriam o cumprimento das condições de fronteira cinemática impostas ao pro-
blema, as reacções nodais equivalentes, referidas por rE. Para tal, retoma-se o sistema de equações
(3.29) e sublinha-se a natureza das forças nodais equivalentes que são contabilizadas a nós cujo desloca-
mento é prescrito, em particular a contribuição das condições de fronteira estática, representado por fE,
e das reacções equivalentes ao deslocamento prescrito, representadas por rE, conforme apresentado
em (3.59).
KE KEF
KFE KF
dE
dF
=
fE + rE
fF
(3.59)
Desta forma, e considerando (3.59), é possível obter rE através da seguinte expressão:
rE= [KE]dE+[KEF]dF− fE
3.8. Erro e convergência de soluções 31
3.8 Erro e convergência de soluções
A aplicação prática do método dos elementos finitos para a modelação de qualquer fenómeno repre-
sentado por um sistema de equações diferenciais parciais tem de ser efectuada mantendo sempre presente
“todas as possíveis fontes de erro, como verificar estes erros e estimar a sua magnitude, e as limitações e
vantagens” dos métodos empregues (Belytschko et al., 2001, pág. 1-2).
Do ponto de vista prático e de um modo abrangente, o erro associado a uma solução é fruto da contri-
buição de um conjunto de factores, ver Reddy (1993, pág. 199), que podem ser organizados nos seguintes
grupos:
• erros da aproximação do domínio;
• erros da aproximação da solução;
• erros numéricos/computacionais.
No conjunto dos erros do modelo são incluídos os desvios da solução exacta do problema em estudo
causados por opções tomadas inadvertidamente na definição do problema e na escolha de métodos de
análise. Tratam-se de escolhas que, mesmo levando à criação de modelos matemática e fisicamente válidos
e capazes de produzir boas aproximações da solução exacta, estes são desajustados ao problema real ou
até mesmo incapazes de o modelar de maneira a que os resultados serem representativos da realidade.
Neste grupo encontram-se erros provenientes de definições desajustadas do domínio do problema (ver
figura 3.4), definição inapropriada de condições de fronteira do problema (ver figura 3.5), escolha e definição
inapropriada de relações constitutivas e aplicação de técnicas de análise fora dos seus limites de aplicação.
Figura 3.4: Erro na modelação de um perfil LNP curvo causado pelo uso de uma malha grosseira deelementos lineares.
O grupo dos erros de aproximação da solução engloba os erros provenientes da adopção de espaços
vectoriais de funções Vn e do efeito que esta escolha tem na obtenção de soluções aproximadas. Este tipo
32 Obtenção de soluções para problemas da elasticidade tridim ensional
(a) Condições de fronteira. (b) Campo de deslocamen-tos esperado.
(c) Campo de deslocamentosobtido.
Figura 3.5: Erro na modelação das condições de fronteira de um modelo.
de erros resulta da limitação da capacidade da função de aproximação de se ajustar adequadamente à solu-
ção exacta. Nos casos em que o domínio do problema é definido através de parametrizações pertencentes
a Vn então poderão também ser cometidos erros na definição do domínio. Isto implica que o domínio esti-
mado não corresponderá ao domínio original, o que levará a que as condições de fronteira sejam avaliadas
onde não foram definidas (Šolín, 2006, pág. 128).
Por fim, no grupo dos erros numéricos/computacionais agrupam-se os erros provenientes do cálculo
numérico, tais como erros de arredondamento, erros provenientes da precisão limitada das regras de qua-
dratura e ampliação/propagação de erros e erros provocados por defeitos do software.
Centre-se agora a atenção nos erros de aproximação da solução. Atendendo a que o método de Bub-
nov-Galerkin produz aproximações da solução exacta, as principais preocupações que se levantam pren-
dem-se com a obtenção de estimativas fiáveis do erro e da procura de formas de reduzi-lo.
Por definição, o erro associado a uma aproximação da solução exacta consiste na diferença que exibe
em relação à solução exacta do problema. É usual expressar esta diferença em diferentes normas. De
forma genérica, pode escrever-se:
e= ‖u(x)− u(x)‖ (3.60)
Apesar de ser útil avaliar o erro associado a aproximações da solução exacta, por vezes há mais inte-
resse prático em avaliar grandezas calculadas a partir dos seus gradientes. No domínio dos problemas da
elasticidade linear, uma forma de avaliação consiste na avaliação do erro em energia (Zienkiewicz et al.,
2005, pág. 457), definido através da seguinte expressão:
||e||en= ‖u(x)− u(x)‖en=
(
12
∫Ω(εi j (x)− εi j (x))Di jkl (εkl(x)− εkl(x)) dΩ
)12
(3.61)
sendo εi j (x) e εi j (x), respectivamente, os campos de deformações derivados de u(x) e u(x).
Uma maneira de avaliar os erros associados a uma série de soluções aproximadas consiste na avaliação
da convergência dos resultados. Mais precisamente, o erro associado a uma aproximação de uma solução
é estimado comparando a variação do erro entre aproximações pertencentes a sub-espaços Vn que são
progressivamente mais próximos de V. Como consequência, neste aspecto revela-se vantajoso garantir
3.8. Erro e convergência de soluções 33
que os resultados obtidos a partir da aplicação do método dos elementos finitos convirjam monotonicamente
para a solução exacta do problema.
Uma forma de garantir esse tipo de convergência (Šolín, 2006, pág. 46) parte de assumir que a solução
exacta do problema, u(x), pertence a um espaço de funções que é gerado por um número infinito de funções
de base, referido por V, enquanto que a aproximação à solução exacta, u(x), pertence a um espaço de
funções, referido por Vn, que é gerado a partir de um conjunto de n funções de base. Considera-se também
que Vn é definido de tal forma que permite que haja uma sequência de espaços de funções tal que o termo
seguinte da sucessão represente um sobre-conjunto estrito do termo anterior. Ou seja:
Vn ⊂Vn+1 (3.62)
Por fim, considere-se que no limite
Vn∞n=1 ⊂V (3.63)
Cumprindo estas condições, é possível demonstrar que, respeitando um conjunto de condições, a su-
cessão de funções de aproximação un(x)∞n=1, un(x) ∈ Vn converge para a solução exacta (Šolín, 2006,
pág. 46). Ou seja:
limn→∞
‖u(x)− un(x)‖ = 0
Para garantir que a convergência para a solução exacta seja monotónica, a função u(x) terá de cumprir
o seguinte conjunto de condições (necessárias):
• A função u(x) tem de exibir continuidade C0 nas fronteiras entre elementos;
• Se a forma integral do problema incluir derivadas de grau n então todas as derivadas da função
de aproximação até esse grau terão de ser capazes de apresentar valores constantes quando a
dimensão característica do elemento tende para zero.
O critério de continuidade é cumprido se as funções ue(x) que definem aproximações da solução exacta
em elementos contíguos forem funções de interpolação e interpolarem os mesmos graus de liberdade que
definem a fronteira inter-elementar. O segundo critério é cumprido se as bases de Vn constituírem expan-
sões polinomiais completas até pelo menos ao grau n (Zienkiewicz et al., 2005, pág. 75). Uma consequência
do cumprimento deste critério é a garantia dos elementos serem capazes de representar todos os desloca-
mentos de corpo rígido e de exibir estados de tensão constante, independente da dimensão característica
do elemento.
As propriedades do erro e da convergência de resultados que foram apontadas nesta secção foram de-
duzidas a partir das propriedades de espaços de funções genéricos aos quais pertencem as aproximações
da solução exacta. Na secção 4.6, ao serem considerados espaços de funções concretos, este tópico é
retomado de maneira a apontar propriedades da convergência dos resultados que são características de
espaços de funções específicos.
Capítulo 4
Elementos finitos e regras de quadratura
4.1 Introdução
Até este ponto tem sido apenas assumido que o espaço Vn teria de incluir funções que respeitem um
conjunto de critérios, entre as quais se encontram a condição do produto interno no espaço da energia ser
limitado e, para garantir a convergência dos resultados, que os espaços Venk sejam compostos por funções
polinomiais que cumpram as condições de completude e continuidade referidas no capítulo anterior. To-
davia, a aplicação prática do método de Bubnov-Galerkin obriga a que se adoptem espaços Vn concretos.
Tal implica a adopção de um conjunto de funções de base capaz de gerar um espaço a partir do qual é
possível obter u(x) cuja diferença para a solução exacta esteja limitada a uma dada tolerância. Para tal,
abandona-se a mera referência a funções de base abstractas, sobre as quais não é possível obter qual-
quer informação além das propriedades impostas pelo problema a u(x), e começa-se a lidar com famílias
específicas de funções tentativa.
Esta passagem para a aplicação do método permite que se observem características próprias das famí-
lias de elementos empregues. Desta forma, a escolha de funções ou famílias de funções que apresentam
certas características traz consigo propriedades que, convenientemente exploradas, permitem abrir as por-
tas à implementação de técnicas de obtenção de aproximações da solução, algumas das quais tem um
impacto profundo na sua aplicação prática.
Nesta secção será retomado o conceito de elemento finito, apontando-se um conjunto de características
dos elementos implementados no programa, para de seguida focar-se no conceito de elementos isopara-
métricos, expondo algumas propriedades associadas a esse tipo de elementos e que fizeram dele uma
descoberta revolucionária. De seguida serão apresentados os elementos suportados pelo programa, pas-
sando pela questão da realização dos integrais necessários para a construção da equação do método dos
elementos finitos. Por fim, será abordado o problema do erro associado a funções de aproximação, bem
como a forma como convergem para a solução exacta.
35
36 Elementos finitos e regras de quadratura
4.2 O conceito de elemento finito
Como foi referido na secção 3.5, o conceito de elemento finito consiste essencialmente na associação
de um sub-domínio de Ω, resultante de uma operação de partição e cuja configuração corresponde a um
polítopo de referência, a um espaço de funções de aproximação da solução exacta, Venk, cujo suporte é
restrito a esse sub-domínio. As funções de base que são empregues para gerar Venk podem assumir a
forma de qualquer expressão analítica (Reddy, 1993, pág. 14), desde que os integrais expressos em (3.21)
e (3.22) sejam válidos, ver página 18. Contudo, devido a razões como simplicidade de análise, a escolha
tende a incidir sobre funções polinomiais, sobretudo aquelas que cumprem a condição de completude.
É também conveniente que os elementos finitos empregues na definição dos modelos permitam garantir
a convergência monotónica dos resultados, o que implica que sejam adoptados elementos compatíveis
(Bathe, 1982, pág. 167). Como consequência, considerando todos estes critérios, revela-se conveniente
que sejam adoptados elementos finitos baseados em polinómios interpoladores. Este tipo de sub-funções
de aproximação da solução exacta são consideradas como funções padrão, e é a base da maior parte
dos programas de elementos finitos (Zienkiewicz et al., 2005, pág. 104). É também sobre este tipo de
sub-funções de aproximação que este trabalho assentará deste ponto em diante.
4.3 Conceito de elemento isoparamétrico
O processo de partição de Ω deve conduzir a um conjunto de suportes tal que seja possível construir
funções de aproximação da solução exacta do problema. Como a tarefa da partição do domínio pode
apresentar os mais variados resultados, dependendo de factores como o algoritmo empregue para definir
os sub-domínios, as condições de fronteira impostas ao problema e os tipos de elementos finitos adoptados
para o efeito, então é desejável que o processo de obtenção de sub-funções de forma seja suficientemente
robusto para permitir que se atribua a qualquer Ωek o espaço de funções Ve
nk aproximação.
Um método que permite definir espaços Venk para Ωe
k que exibam uma configuração irregular, incluindo
limites curvos, consiste em seleccionar dentro do respectivo Ωek um conjunto ordenado de pontos que, me-
diante a sua interpolação, permitem parametrizar o respectivo sub-domínio. Para tal é necessário definir
os conjuntos de funções de base que geram cada espaço de funções Venk a partir de um conjunto de fun-
ções que permite interpolar os parâmetros a que são afectados. Para estas funções de base poderem
desempenhar o papel de funções interpoladoras é necessário que exibam certas propriedades:
• sup(Ni) = Ωek , i ∈ 1, · · · ,n
• p1, · · · , pn ∈ Ωek: Nl (pm) = δlm
• ∑ni Ni(x) = 1 ,∀x∈ Ωe
k
onde sup(Ni) corresponde ao suporte da função Ni .
4.3. Conceito de elemento isoparamétrico 37
Este conjunto de propriedades, referido por partição da unidade, garante que qualquer conjunto de
funções de base que as apresentem é capaz de gerar parametrizações que constituem interpolações dos
parâmetros que as compõem, o que implica que estas parametrizações contêm os parâmetros no seu
contra-domínio.
A equação do método dos elementos finitos, conforme apresentado em (3.20), implica a obtenção de
um conjunto de funções interpoladoras e, também, a necessidade de integrá-las ao longo do domínio e,
eventualmente, da fronteira do problema. Como o método dos elementos finitos leva a que o conjunto das
funções de base que geram Vn tenham o seu domínio limitado a sub-domínios Ωek, tal possibilita que a
integração de uma grandeza em Ω seja obtida através do somatório da integração dessa mesma grandeza
em cada sub-domínio Ωek.
A necessidade de realizar integrais em um qualquer sub-domínio Ωek depende da obtenção de uma
parametrização de Ωek. Para tal basta aplicar as mesmas funções de base usadas na definição de (3.32)
mas, desta vez, para interpolar um conjunto de pontos de Ω em vez dos valores atribuídos aos graus de
liberdade do problema. Desta forma, cada Ωek passa a ser definido por uma variedade diferencial cuja
parametrização é obtida pela combinação criteriosa das funções de base de Venk, as mesmas empregues
na definição de ueik(x), com um conjunto de pontos obtidos a partir da partição de Ω. Assim, a adopção
de funções interpoladoras como funções de base dos sub-espaços Ωek para parametrizar o respectivo sub-
-domínio implica que seja possível integrar sub-domínios irregulares de forma sistemática.
Esta capacidade de usar as mesmas funções de base para descrever a aproximação da solução e
representar a geometria do elemento constitui a característica principal dos elementos isoparamétricos
(Ergatoudis et al., 1968).
A adopção de funções de interpolação implica que a representação de grandezas dependa dos valores
a serem interpolados. O domínio da parametrização é, contudo, arbitrário, havendo assim liberdade na sua
escolha, conforme seja conveniente. Esta arbitrariedade na definição dos domínios de parametrização per-
mite que se analise qualquer grandeza descrita através destas funções atribuindo-lhe uma representação
conveniente, evitando assim qualquer dificuldade proveniente da sua análise na configuração que assume
no espaço global. Neste caso, a necessidade de sistematizar o processamento dos elementos leva a que
se procure representar qualquer sub-domínio através de uma representação paramétrica de um polítopo
regular, referida como coordenadas locais ou naturais. A associação entre o polítopo regular e o respectivo
conjunto de funções de base é muitas vezes referido no presente contexto por elemento-mestre. O recurso a
técnicas de integração computacionalmente eficientes, conforme será visto na secção 4.5, também contribui
para a representação de elementos em coordenadas locais, acrescentando ainda a exigência do domínio
politópico definido através das coordenadas locais coincidir com os domínios de integração impostos por
estas técnicas.
Uma vez que qualquer sub-domínio Ωek passa a ser representado através de coordenadas locais so-
bre o domínio Ωe,localk , torna-se necessário expressar os integrais presentes em (3.20) em função destas
38 Elementos finitos e regras de quadratura
coordenadas. Representando as coordenadas globais como x ∈ Ω ⊂ R3 e as coordenadas locais como
ξ ∈ Ωe,localk ⊂ R
3, e considerando que as coordenadas dos nós que definem o elemento no referencial glo-
bal são representadas por p∈R3, a parametrização das coordenadas globais em função das coordenadas
locais é efectuada através da seguinte expressão:
x= x(ξ) =n
∑j=1
Nj(ξ)p j (4.1)
sendo que p j refere-se ao nó j que é interpolado pela parametrização.
A partir desta parametrização, o integral de uma função f (x) sobre o domínio Ωek expresso através de
coordenadas locais é obtido através da seguinte expressão:
∫Ωe
k
f (x) dΩek =
∫Ωe,local
k
f (x(ξ))V(ξ) dΩe,localk (4.2)
sendo V(ξ) o factor pontual de conversão de volumes-n, que corresponde a:
V(ξ) =√
det(
[Dx(ξ)][Dx(ξ)]t)
(4.3)
em que [Dx(ξ)] representa a matriz Jacobiana da parametrização (4.1), que mapeia as coordenadas locais
em coordenadas globais.
Para domínios tridimensionais, como é o caso dos integrais dos termos da matriz de rigidez, expressos
em (3.21), e dos integrais das cargas distribuídas no domínio, expressos em (3.25), a expressão [Dx(ξ)]
assume a seguinte forma:
[Dx(ξ)] =
∂x1(ξ)∂ξ1
∂x2(ξ)∂ξ1
∂x3(ξ)∂ξ1
∂x1(ξ)∂ξ2
∂x2(ξ)∂ξ2
∂x3(ξ)∂ξ2
∂x1(ξ)∂ξ3
∂x2(ξ)∂ξ3
∂x3(ξ)∂ξ3
(4.4)
Substituindo (4.4) em (4.3), conclui-se que para o caso particular de integrais em domínios tridimensio-
nais tem-se:
V (ξ) = det(
[Dx(ξ)])
. (4.5)
Ao expandir e recombinar os termos dessa expressão obtém-se:
V(ξ) =∂x1
∂ξ1
(
∂x2
∂ξ2
∂x3
∂ξ3− ∂x2
∂ξ3
∂x3
∂ξ2
)
− ∂x2
∂ξ1
(
∂x1
∂ξ2
∂x3
∂ξ3− ∂x1
∂ξ3
∂x3
∂ξ2
)
+∂x3
∂ξ1
(
∂x1
∂ξ2
∂x2
∂ξ3− ∂x1
∂ξ3
∂x2
∂ξ2
)
(4.6)
Para domínios bidimensionais, como é o caso dos integrais das cargas na fronteira estática, expressos
em (3.25), a expressão [Dx] assume a seguinte forma:
[Dx(ξ)] =
∂x1(ξ)∂ξ1
∂x2(ξ)∂ξ1
∂x3(ξ)∂ξ1
∂x1(ξ)∂ξ2
∂x2(ξ)∂ξ2
∂x3(ξ)∂ξ2
(4.7)
4.3. Conceito de elemento isoparamétrico 39
Substituindo (4.7) em (4.3), obtém-se, para o caso particular de integrais de superfície embebidas em
domínios tridimensionais, uma expressão equivalente a:
V(ξ) = ‖D1x(ξ)×D2x(ξ)‖ (4.8)
Expandindo e recombinando os termos desta expressão, é possível obter o seguinte resultado para o
factor pontual de conversão de áreas:
V(ξ) =
√
√
√
√
(
∂x3
∂ξ1
2
+∂x2
∂ξ1
2
+∂x1
∂ξ1
2)(
∂x3
∂ξ2
2
+∂x2
∂ξ2
2
+∂x1
∂ξ2
2)
−(
∂x3
∂ξ1
∂x3
∂ξ2+
∂x2
∂ξ1
∂x2
∂ξ2+
∂x1
∂ξ1
∂x1
∂ξ2
)2
(4.9)
Por fim, os integrais que entram na definição dos elementos da matriz de rigidez global, conforme
foi indicado em (3.20), incluem expressões compostas por derivadas parciais das funções de base que
geram os espaços Venk em ordem às coordenadas globais. Como as funções de base são definidas em
termos de coordenadas locais, torna-se necessário expressar as derivadas dessas funções em termos de
coordenadas globais. Aplicada a regra de derivação da função composta a cada função de base, obtém-se:
∂Nk(ξ)∂ξi
=∂Nk(ξ)∂x j(ξ)
∂x j(ξ)∂ξi
=∂Nk(ξ)∂x1(ξ)
∂x1(ξ)∂ξi
+∂Nk(ξ)∂x2(ξ)
∂x2(ξ)∂ξi
+∂Nk(ξ)∂x3(ξ)
∂x3(ξ)∂ξi
(4.10)
Representando estas derivadas em notação matricial, e omitindo as referências aos parâmetros das
funções, obtém-se a seguinte expressão:
∂Nj∂ξ1∂Nj∂ξ2∂Nj∂ξ3
=
∂x1∂ξ1
∂x2∂ξ1
∂x3∂ξ1
∂x1∂ξ2
∂x2∂ξ2
∂x3∂ξ2
∂x1∂ξ3
∂x2∂ξ3
∂x3∂ξ3
∂Nj∂x1∂Nj∂x2∂Nj∂x3
(4.11)
A expressão (4.11) representa a mudança de base das derivadas de Nj das coordenadas globais para
as coordenadas locais, sendo que para este caso a matriz de transformação é [Dx]. Desta forma, é possível
obter as derivadas da função de base Nj em termos das coordenadas globais através da transformação
inversa. Ou seja:
∂Nj∂x1∂Nj∂x2∂Nj∂x3
= [Dx]−1
∂Nj∂ξ1∂Nj∂ξ2∂Nj∂ξ3
(4.12)
Esta expressão, após a expansão e recombinação dos termos que a compõem, assume a seguinte
forma:
40 Elementos finitos e regras de quadratura
∂Nj
∂x1=
1V(ξ)
[(
∂x2
∂ξ2
∂x3
∂ξ3− ∂x2
∂ξ3
∂x3
∂ξ2
)
∂Nj
∂ξ1+
(
∂x2
∂ξ3
∂x3
∂ξ1− ∂x2
∂ξ1
∂x3
∂ξ3
)
∂Nj
∂ξ2+
(
∂x2
∂ξ1
∂x3
∂ξ2− ∂x2
∂ξ2
∂x3
∂ξ1
)
∂Nj
∂ξ3
]
∂Nj
∂x2=
1V(ξ)
[(
∂x1
∂ξ3
∂x3
∂ξ2− ∂x1
∂ξ2
∂x3
∂ξ3
)
∂Nj
∂ξ1+
(
∂x1
∂ξ1
∂x3
∂ξ3− ∂x1
∂ξ3
∂x3
∂ξ1
)
∂Nj
∂ξ2+
(
∂x1
∂ξ2
∂x3
∂ξ1− ∂x1
∂ξ1
∂x3
∂ξ2
)
∂Nj
∂ξ3
]
∂Nj
∂x3=
1V(ξ)
[(
∂x1
∂ξ2
∂x2
∂ξ3− ∂x1
∂ξ3
∂x2
∂ξ2
)
∂Nj
∂ξ1+
(
∂x1
∂ξ3
∂x2
∂ξ1− ∂x1
∂ξ1
∂x2
∂ξ3
)
∂Nj
∂ξ2+
(
∂x1
∂ξ1
∂x2
∂ξ2− ∂x1
∂ξ2
∂x2
∂ξ1
)
∂Nj
∂ξ3
]
(4.13)
sendo V(ξ) dado pela expressão (4.6).
Com a obtenção das derivadas das funções de base de Venk em termos das coordenadas globais, torna-
-se agora possível realizar os integrais presentes em (3.20) para elementos isoparamétricos. Os termos da
matriz de rigidez são obtidos através da seguinte expressão:
a(ik)( jl )=
∫Ωe,local
k
E1+ν
(
Nk,i (ξ)1−ν1−2ν
Nl , j (ξ)+3
∑m6=i, j
Nk,m(ξ)Nl ,m(ξ)
)
det(
[Dx(ξ)])
dΩe,localk , i = j
∫Ωe,local
k
E1+ν
(
Nk,i (ξ)ν
1−2νNl , j (ξ)+Nk, j (ξ)Nl ,i (ξ)
)
det(
[Dx(ξ)])
dΩe,localk , i 6= j
(4.14)
As contribuições das pressões para os termos do vector de forças nodais equivalentes são obtidas a
partir da expressão seguinte:
f ΓNik =
∫Γe,local
N,k
Nk(ξ)ti(ξ)‖D1x(ξ)×D2x(ξ)‖ dΓe,localNk (4.15)
sendo Γe,localNk dado pela congénere local da expressão (2.1).
As contribuições das forças volúmicas para os termos do vector de forças nodais equivalentes são
obtidas a partir da expressão seguinte:
f Ωik =
∫Ωe,local
k
Nk(ξ)bi(ξ)det(
[Dx(ξ)])
dΩe,locakk (4.16)
Com estes resultados, é possível inferir um conjunto de propriedades associadas às funções integrandas
que são obtidas para elementos isoparamétricos. Ao substituir nas expressões (4.14) o factor de conversão
pontual de volumes na forma apresentada em (4.6) e as derivadas parciais de Nk(ξ) conforme expressas
em (4.13), constata-se que as funções integrandas dos termos da matriz de rigidez são, na sua forma mais
geral, polinómios racionais. De forma análoga, ao substituir na expressão (4.15) o factor de conversão pon-
tual de áreas conforme apresentado em (4.9), e assumindo que ti(ξ) é uma função polinomial, verifica-se
que esta função integranda é, de forma geral, uma função que resulta da multiplicação de um polinómio
pela raiz quadrada de uma função polinomial. Por fim, a expressão (4.16) indica, assumindo também que
bi(ξ) é uma função polinomial, que a contribuição das forças volúmicas para o vector de forças nodais equi-
valentes resulta da integração de um polinómio. Na secção 4.5 serão analisadas as implicações associadas
à integração de funções polinomiais e não-polinomiais.
Na secção seguinte serão referidos alguns tipos de elementos que é possível representar através desta
técnica.
4.4. Elementos suportados pelo programa 41
4.4 Elementos suportados pelo programa
Como foi indicado na secção 4.2, um elemento finito representa um sub-domínio Ωek incluído no domínio
Ω do problema ao qual está associado uma sub-função de aproximação ueik(x). Este pertence a um espaço
vectorial de funções Venk que é gerado por n funções de base, que se destina a aproximar a solução exacta
exclusivamente no sub-domínio onde está definida. Na secção 4.3, foi abordada uma técnica que consiste
na definição das sub-funções de aproximação ueik(x) com base em funções de interpolação e que permite
usar as mesmas bases para obter parametrizações que definem os respectivos sub-domínios Ωek como
variedades diferenciais.
No seguimento das secções anteriores, procede-se agora à apresentação de algumas famílias de ele-
mentos isoparamétricos. Para tal será introduzido, para cada família, o conjunto de funções de base que
gera o espaço de funções Venk, bem como algumas propriedades exibidas pelas sub-funções de aproxima-
ção. Também serão apresentadas as parametrizações dos sub-domínios Ωek e a configuração dos nós que
permitem definir o elemento-mestre. A lista completa das funções de base, bem como as suas derivadas, é
incluída em anexo.
No domínio da aplicação do método dos elementos finitos a problemas da elasticidade tridimensional,
os elementos finitos representam volumes em R3. Contudo, a necessidade de contabilizar as condições
de fronteira estática, definidas através de tracções aplicadas em ΓN conforme definidas em (2.11e) e cuja
expressão para elementos isoparamétricos é apresentada em (4.15), leva a que seja necessário calcular
integrais para as quais é necessário a definição paramétrica das regiões onde essas condições de fronteira
se encontram definidas. Devido a essa necessidade, também serão apresentadas nesta secção a definição
de domínios bidimensionais, correspondentes às superfícies onde foram prescritas as forças por unidade
de área, obtida a partir da interpolação de um conjunto de pontos contidos em Ω. Como estas funções de
interpolação não serão directamente usadas na definição de uma função de aproximação da solução exacta
então, neste contexto e de acordo com a definição adoptada, não representam exactamente elementos fi-
nitos. Ainda assim, como a base da sua definição é a mesma do que a usada na definição dos elementos
tridimensionais e como os conjuntos de funções de base são aplicáveis a problemas da elasticidade bi-
dimensional, então optou-se por incluir igualmente as definições de famílias de elementos bidimensionais
nesta secção.
4.4.1 Triangulares
O elemento triangular é um elemento do tipo simplex (Belytschko et al., 2001, pág. 8) devido à corres-
pondência entre o seu polítopo de referência e a forma simplicial 2-simplex. Este é o tipo de sub-domínio
bidimensional mais simples e versátil no campo do presente método. A facilidade com que é possível
descrever superfícies a partir de sub-domínios deste tipo, juntamente com a simplicidade e robustez dos
algoritmos de partição de domínios arbitrários em um conjunto de sub-domínios triangulares (Zienkiewicz
et al., 2005, pág. 265), tornam este tipo de configuração bastante atractiva.
42 Elementos finitos e regras de quadratura
ξ1
ξ2
1
1
2
3
1
(a) Elemento triangular de 3 nós.
ξ1
ξ2
1
1
2
3
1 4
6
5
(b) Elemento triangular de 6 nós.
Figura 4.1: Mapeamento nas coordenadas locais de elementos triangulares.
A parametrização adoptada neste trabalho corresponde àquela usada na definição de elementos finitos
isoparamétricos triangulares, conforme Zienkiewicz et al. (2005, pág. 127). No contexto da aplicação do
método dos elementos finitos a problemas da elasticidade tridimensional, a parametrização de superfícies
triangulares está associada à prescrição de condições de fronteira estática em elementos com superfícies
exteriores triangulares, como é o caso das famílias de elementos tetraédricos e prismáticos triangulares.
Neste trabalho, para a família de elementos triangulares isoparamétricos serão apresentados dois tipos
de parametrização: o sub-domínio triangular linear de 3 nós e o sub-domínio triangular quadrático de 6 nós.
As funções de interpolação adoptadas para este tipo de sub-domínios são usualmente expressas através
de coordenadas de área, conforme apresentadas em Zienkiewicz et al. (2005, pág. 117). A numeração dos
nós adoptada neste trabalho é representada na figura 4.1.
A parametrização linear que define um sub-domínio triangular é obtido a partir da interpolação de 3
pontos no espaço, referidos por nós. Recorrendo ao conceito de coordenadas de área, a parametrização
deste tipo de superfície é obtida a partir do sistema de equações (4.17).
x1 = L1p11+L2p21+L3p31
x2 = L1p12+L2p22+L3p32
1 = L1+L2+L3
(4.17)
sendo Li as coordenadas desta parametrização e pi os nós que, associados à função de interpolação,
permitem definir a superfície triangular em coordenadas globais. A expressão pi j representa a coordenada
do nó pi segundo o eixo x j .
Pondo o parâmetro L1 em evidência na terceira equação do sistema (4.17) e identificando L2 e L3 com
ξ1 e ξ2, respectivamente, obtém-se uma expressão que, substituída nas restantes duas equações, permite
obter as funções de base apresentadas no sistema de equações (4.18):
4.4. Elementos suportados pelo programa 43
n= 0: 1
n= 1: ξ1 ξ2
(a) Elemento triangular de 3 nós.
n= 0: 1
n= 1: ξ1 ξ2
n= 2: ξ21 ξ1ξ2 ξ2
2
(b) Elemento triangular de 6 nós.
Figura 4.2: Expansão polinomial da parametrização de elementos triangulares.
N1(ξ) = 1− ξ1− ξ2
N2(ξ) = ξ1
N3(ξ) = ξ2
(4.18)
No que diz respeito ao conjunto de funções de base usadas para parametrizar sub-domínios triangu-
lares, estas representam expansões polinomiais que são completas até ao maior grau de qualquer termo
que o compõe. No caso do sub-domínio triangular linear então, expandindo parametrização composta pelas
funções de base apresentadas no sistema de equações (4.18), obtém-se um polinómio completo até ao 1o
grau, conforme é representado na figura 4.2a. O conjunto de funções de base usadas na parametrização
do triângulo de 3 nós encontram-se no anexo A.1.
O sub-domínio triangular quadrático é obtido a partir da interpolação de 6 nós, compostos pelos três nós
de extremidade, equivalentes aos usados para definir o triângulo de 3 nós, e três nós localizados a meio
das arestas do triângulo. Novamente recorrendo a coordenadas de área, a parametrização deste tipo de
superfície é obtida a partir do conjunto de equações apresentado em (4.19).
Ni(ξ) = (2Li −1)Li , i = 1,2,3
N4(ξ) = 4L1L2
N5(ξ) = 4L2L3
N6(ξ) = 4L1L3
(4.19)
Tal como foi feito no caso do elemento triangular de 3 nós, substituindo L1 por (1−ξ1−ξ2) nas equações
do sistema (4.17), assim como L2 e L3 por ξ1 e ξ2, respectivamente, é possível obter as funções de base
definidas em termos do par ordenado (ξ1,ξ2) ∈R2. No caso do elemento triangular quadrático, a expansão
polinomial de uma parametrização composta pelas funções de base apresentadas no sistema de equações
(4.19) produz um polinómio completo de 2o grau, conforme é representado na figura 4.2b. O conjunto de
funções de base usadas na parametrização do triângulo de 6 nós encontram-se no anexo A.2.
4.4.2 Quadrilaterais
As parametrizações de superfícies quadrilaterais aqui abordadas agrupam-se em dois tipos: Lagrange-
anas e Serendipianas.
44 Elementos finitos e regras de quadratura
11
1
1
2
34
1
ξ1
ξ2
(a) Parametrização Lagrangeana de 4nós.
11
1
1
5 2
6
374
89
1
ξ1
ξ2
(b) Parametrização Lagrangeana de 9nós.
Figura 4.3: Mapeamento nas coordenadas locais de parametrizações Lagrangeanas de domínios quadrilá-teros.
A família Lagrangeana de parametrizações de superfícies quadrilaterais é caracterizada pelo recurso a
polinómios de Lagrange. Esta classe de polinómios é obtida através da combinação linear de um conjunto
de funções de base chamadas de polinómios base de Lagrange, definidas através da expressão (4.20), ver
Zienkiewicz et al. (2005, pág. 122).
lnk(ξ) =n
∏i=1,i 6=k
ξ− ξi
ξk− ξi(4.20)
sendo ξ,ξi ,ξk ∈ R.
A expressão (4.20) permite definir directamente a k-ésima base pertencente ao conjunto de n funções
que geram o respectivo espaço de polinómios de Lagrange. Note-se que as bases de Lagrange que geram
espaços de funções n-dimensionais constituem polinómios de grau (n−1).
É também importante referir que os polinómios de Lagrange exibem a propriedade da partição da uni-
dade referida anteriormente, e é possível constatar na expressão (4.20) que lni (ξk) = δik. Tal implica que
este tipo de parametrizações é obtido a partir da interpolação de pontos no espaço mediante a sua combi-
nação linear com as funções de base de Lagrange.
Considera-se a parametrização g : R 7→R3:
g(t) =n
∑i=1
pi lni (t) (4.21)
em que pi ∈ R3, i ∈ 1· · ·n são os pontos interpolados. A parametrização de superfícies é conseguida
através da definição de uma base para a interpolação obtida através do produto tensorial de dois conjuntos
de funções de base de Lagrange. Mais precisamente, a partir da definição (4.20), as funções de base para
esta família de elemento são definidas através da seguinte expressão:
Ni(ξ) = Nkl(ξ) = lmk (ξ1) lnl (ξ2) (4.22)
4.4. Elementos suportados pelo programa 45
n= 0: 1
n= 1: ξ1 ξ2
n= 2: ξ1ξ2
(a) Quadrilátero linear de 4 nós.
n= 0: 1
n= 1: ξ1 ξ2
n= 2: ξ21 ξ1ξ2 ξ2
2
n= 3: ξ21ξ2 ξ1ξ2
2
n= 4: ξ21ξ2
2
(b) Quadrilátero quadrático de 9 nós.
Figura 4.4: Expansão polinomial da parametrização de elementos quadrilaterais.
onde (m− 1) e (n− 1) representam os graus dos polinómios interpoladores usados para parametrizar a
superfície ao longo do respectivo eixo coordenado.
Ao contrário daquilo que se verifica com as parametrizações da família de elementos triangulares, as
parametrizações de elementos quadrilaterais não constituem polinómios completos. A expansão polino-
mial de parametrizações de elementos Lagrangeanos é completa apenas até ao menor grau dos polinó-
mios Lagrangeanos que compõem a função de aproximação (que na expressão (4.22) corresponderia a
min(m−1),(n−1)), restando um conjunto de termos de grau superior cuja expansão não é completa.
Apesar desta classe de elementos possibilitar a definição sistemática de funções de interpolação que
possuem um grau arbitrário, neste trabalho optou-se por definir apenas dois tipos de superfícies Lagrange-
anas: o quadrilátero linear de 4 nós e o quadrilátero quadrático de 9 nós.
Conforme referido, as funções de base que permitem definir a parametrização linear de uma superfície
quadrilateral resultam do produto dois polinómios de Lagrange de 1o grau. Assim, considerando a definição
apresentada na expressão (4.20), as funções de base deste tipo de parametrização assumem a seguinte
forma:
l21(ξ) = ξ−ξ2ξ1−ξ2
l22(ξ) = ξ−ξ1ξ2−ξ1
(4.23)
Mediante o produto tensorial das funções de base, é possível obter uma expressão para as funções
de base da parametrização Lagrangeana linear. Considerando para a função de base Ni j (ξ) a seguinte
definição:
Ni j : (ξ1,ξ2) 7→(
ξ1− p12
p11− p12
)(
ξ2− p21
p22− p21
)
,(ξ1,ξ2) ∈ [−1;1]× [−1;1] (4.24)
sendo pi j o escalar interpolado j segundo o eixo coordenado i. As definições das funções de base das
parametrizações Lagrangeanas lineares e quadráticas conforme adoptadas neste trabalho são expressas,
respectivamente, nos anexos A.3 e A.5.
A família Serendipiana de parametrizações de superfícies quadrilaterais é caracterizada pela construção
das funções de base a partir de inspecção. Este processo de definição de funções de base por inspecção e
46 Elementos finitos e regras de quadratura
11
1
1
5 2
6
374
8
1
ξ1
ξ2
Figura 4.5: Mapeamento nas coordenadas locais da parametrização Serendipiana de 8 nós de um domínioquadrilátero.
11
1
1
5 2
6
374
8
1
ξ1
ξ2
ξ1+ξ2+1= 0
ξ1−1= 0
ξ2−1= 0
Figura 4.6: Termos envolvidos na construção de uma função de base N1(ξ1,ξ2) pelo processo Serendipi-ano.
afectação ad hoc de termos rendeu a esta família de funções o nome de Serendipianas, por alusão ao conto
dos “três príncipes de Serendip”, ver Zienkiewicz et al. (2005, pág. 112). No entanto, é de notar que existem
formas sistemáticas de gerar bases de funções Serendipianas, ver Zienkiewicz et al. (2005, pág. 114).
De forma geral, cada conjunto de funções de base é obtido através do produto de termos adicionais
escolhidos criteriosamente de maneira a conferir-lhe as propriedades da partição da unidade. Como exem-
plo, é representada na figura 4.5 o domínio da parametrização Serendipiana do quadrilátero de 8 nós, e na
figura 4.6 são representados os termos adoptados para a definição da seguinte função de base:
N1(ξ1,ξ2) = (ξ1−1)(ξ2−1)(ξ1+ ξ2+1) ,(ξ1,ξ2) ∈ [−1;1]× [−1;1] (4.25)
É de notar que este processo permite aumentar o grau de algumas parametrizações Lagrangeanas
através de uma escolha criteriosa de termos adicionais a afectar às suas funções de base.
4.4. Elementos suportados pelo programa 47
n= 0: 1
n= 1: ξ1 ξ2
n= 2: ξ21 ξ1ξ2 ξ2
2
n= 3: ξ21ξ2 ξ1ξ2
2
Figura 4.7: Expansão polinomial da parametrização do elemento Serendipiano quadrangular de 8 nós.
1
3
4
2
ξ1 ξ2
ξ3
(a) Elemento tetraédrico linear de 4 nós.
1
6
3
10
4
8
2
5 7
9
ξ1 ξ2
ξ3
(b) Elemento tetraédrico quadrático de 10 nós.
Figura 4.8: Mapeamento nas coordenadas locais de elementos tetraédricos.
Tal como se verifica com os elementos Lagrangeanos, a expansão polinomial da parametrização de
elementos Serendipianos também é incompleta no termo de maior grau. No entanto, uma escolha cuidada
do conjunto de novos termos e novas funções de base permite aumentar o grau da expansão polinomial
completa da parametrização Lagrangeana que lhe serve de base, sem incorrer no mesmo custo computa-
cional associado a termos excedentes de ordem superior. No caso da parametrização Lagrangeana linear
de superfícies quadrilaterais, a adição de 4 novas funções de base e a afectação das funções de base ori-
ginais por um termo adicional permite que se obtenha uma parametrização de um elemento quadrangular
de 8 nós cuja expansão polinomial, conforme apresentada na figura 4.7, eleva do 1o para o 2o o grau da
parametrização Lagrangeana que lhe serviu de base.
As funções de forma do elemento Serendipiano de 8 nós são apresentadas no anexo A.4.
4.4.3 Tetraédricos
O elemento tetraédrico, de forma idêntica ao elemento triangular, é um elemento do tipo simplex (Belyts-
chko et al., 2001, pág. 8) cujo polítopo de referência corresponde a uma forma simplicial 3-simplex. A defini-
ção das funções de base que são usadas para definir a parametrização de tetraedros segue a metodologia
empregue na definição de parametrizações de superfícies triangulares, desta vez adaptada a domínios
tridimensionais embebidos em R3.
A parametrização linear de uma região tetraédrica é obtida através do sistema de equações (4.26). O
polítopo de referência, bem como a numeração adoptada para os nós que o compõem, são representados
na figura 4.8a.
48 Elementos finitos e regras de quadratura
Figura 4.9: Representação gráfica da função de forma do elemento finito tetraédrico de 4 nós N1(ξ).
x1 = L1p11+L2p21+L3p31+L4p41
x2 = L1p12+L2p22+L3p32+L4p42
x3 = L1p13+L2p23+L3p33+L4p43
1 = L1+L2+L3+L4
(4.26)
sendo Li as coordenadas de volume e pi as coordenadas dos nós segundo o sistema de coordenadas
globais que servem de base à definição do volume tetraédrico.
Analogamente ao que se verifica no caso triangular, é possível descrever a parametrização em coor-
denadas de volume através de 3 parâmetros ao substituir em (4.26) L1 por (1− L2 − L3 − L4). A lista
completa das funções de base dos elemento tetraédrico linear e quadrático, representados na figura 4.8,
encontram-se, respectivamente, no anexo A.6 e A.7.
Todas as funções de forma do elemento tetraédrico de 4 nós, a menos de uma transformação de coor-
denadas, exibem uma distribuição idêntica. Consequentemente, a representação da função de base N1(ξ)
incluída na figura 4.9 ilustra a forma assumida por estas funções ao longo do domínio elementar. Com o
elemento tetraédrico de 10 nós, por outro lado, é possível agrupar as funções de base em dois tipos: inter-
poladoras de valores nos vértices e no centro das arestas. A forma que estas funções assumem é exibida,
respectivamente, na representação de N2(ξ) na figura 4.10a e de N6(ξ) na figura 4.10b.
4.4.4 Hexaédricos
Tal como no caso das parametrizações de superfícies quadrilaterais, as parametrizações de volumes
hexaédricos aqui abordadas agrupam-se em dois tipos: Lagrangeanas e Serendipianas. De igual modo,
a definição do conjunto de funções de base a partir do qual é definida a parametrização dos elementos
hexaédricos segue a metodologia usada para definir parametrizações de quadriláteros, com a diferença de
que para os elementos hexaédricos Lagrangeanos a parametrização é definida através do produto tensorial
de três polinómios base de Lagrange. A representação dos polítopos de referência, bem como a numeração
adoptada para os nós interpolados, é representada na figura 4.11.
4.4. Elementos suportados pelo programa 49
(a) N2(ξ). (b) N6(ξ).
Figura 4.10: Representação gráfica das funções de forma do elemento finito tetraédrico de 10 nós.
ξ1
ξ2
ξ3 2
34
1
5 6
78
(a) Lagrangeano de 8 nós.
ξ1
ξ2
ξ3 2
34
1
5 6
78
11
12
13
14
1516
17
18
(b) Serendipiano de 20 nós.
ξ1
ξ2
ξ3 2
34
1
5 6
78
11
12
13
14
1516
17
18
21
22
2324
25
26
27
(c) Lagrangeano de 27 nós.
Figura 4.11: Mapeamento nas coordenadas locais de elementos hexaédricos.
Considerando a definição genérica dos polinómios de Lagrange apresentada na expressão (4.20), e
considerando que as funções de base que são usadas para definir uma parametrização de um domínio
hexaédrico correspondem a um mapeamento do tipo Ni : [−1,1]× [−1,1]× [−1,1] 7→R, estas são obtidas
da seguinte forma (Zienkiewicz et al., 2005, pág. 131):
Ni(ξ) = Nklm(ξ) = lnk(ξ1)lol (ξ2)l
pm(ξ3)
As funções de base para o elemento hexaédrico Lagrangeano linear e quadrático estão disponíveis,
respectivamente, no anexo A.8 e A.10.
Tal como no caso dos elementos quadrangulares Lagrangeanos, é também possível aumentar o grau
da aproximação do elemento hexaédrico Lagrangeano linear através da multiplicação de termos adicionais
às funções de base originais e a adição de funções de base escolhidas criteriosamente. Um exemplo é o
elemento hexaédrico Serendipiano de 20 nós, cujas funções de base são disponibilizadas no anexo A.9.
As funções de base do elemento hexaédrico Lagrangeano linear exibem uma distribuição idêntica de
valores. Assim, a representação da função de base N4(ξ) realizada na figura 4.12 é representativa de todas
as funções que compõem este tipo de elemento finito. Com o elemento Serendipiano de 20 nós, as suas
funções de base dividem-se em dois grupos: interpoladoras nos vértices e no ponto médio das arestas.
Estes grupos de funções são representadas através da representação das funções de base N4(ξ) e N16(ξ)
exibidas, respectivamente, nas figuras 4.13a e 4.13b.
50 Elementos finitos e regras de quadratura
Figura 4.12: Representação gráfica da função de forma N7(ξ) do elemento finito hexaédrico de 8 nós.
(a) N4(ξ). (b) N16(ξ).
Figura 4.13: Representação gráfica das funções de forma do elemento finito hexaédrico de 20 nós.
No caso do elemento hexaédrico Lagrangeano quadrático, as suas funções de base são organizadas
em quatro grupos: interpoladoras nos vértices, ponto médio das arestas, centróide das faces e centróide
do volume. Cada um destes tipos de funções de base é representada, respectivamente, pelas funções de
base representadas nas figuras 4.14a, 4.14b, 4.14c e 4.14d.
4.4.5 Prismáticos
Neste trabalho, foram implementadas duas famílias de elementos prismáticos triangulares: uma cuja
parametrização é baseada no produto tensorial entre as funções de base dos elementos triangulares e de
polinómios de Lagrange, e uma parametrização de natureza Serendipiana.
Da primeira família foram implementados dois tipos de elemento, o prismático triangular linear de 6
nós e o quadrático de 18 nós, enquanto que da segunda família foi implementado um tipo de elemento,
o prismático triangular quadrático de 15 nós. Para o elemento prismático de 6 nós, a parametrização é
obtida através do produto tensorial entre os conjuntos das funções de base do elemento triangular de 3
nós e do polinómio Lagrangeano l2k(ξ3), referidos respectivamente em 4.4.1 e 4.4.2. O elemento prismático
triangular quadrático, de 18 nós, é obtido de forma idêntica, através do produto tensorial entre o conjunto
das funções de base do elemento triangular quadrático, de 6 nós, e do polinómio Lagrangeano l3k(ξ3). A
numeração dos nós deste tipo de elementos é representada nas figuras 4.15a a 4.15c, e o conjunto das
funções de base adoptado neste trabalho encontram-se, respectivamente, no anexo A.11 e A.13.
4.4. Elementos suportados pelo programa 51
(a) N6(ξ). (b) N17(ξ).
(c) N21ξ). (d) N27(ξ)i.
Figura 4.14: Representação gráfica das funções de forma do elemento finito hexaédrico de 27 nós.
ξ1 ξ2
ξ3
1
6
3
4
2
5
(a) Linear de 6 nós.
ξ1 ξ2
ξ3
1
6
310
4
8
2
5
7
9
11 12
13 14
15
(b) Serendipiano de 15 nós.
ξ1 ξ2
ξ3
1
6
310
4
8
2
5
7
9
11 12
13 14
15
16 17
18
(c) Quadrático de 18 nós.
Figura 4.15: Mapeamento nas coordenadas locais de elementos prismáticos.
52 Elementos finitos e regras de quadratura
Figura 4.16: Representação gráfica da função de forma N3(ξ) do elemento finito prismático de 6 nós.
(a) N1(ξ). (b) N15(ξ). (c) N9(ξ).
Figura 4.17: Representação gráfica das funções de forma do elemento finito prismático de 15 nós.
As funções de base do elemento prismático linear de 6 nós são todas idênticas a menos de uma trans-
formação de coordenadas. Consequentemente, as funções de base deste tipo de elemento finito podem
ser representadas de forma idêntica à função de forma N3(ξ), exibida na figura 4.16.
A parametrização do elemento finito prismático triangular de 15 nós é obtida admitindo como ponto de
partida o produto tensorial entre os conjuntos das bases do elemento triangular quadrático e o polinómio
Lagrangeano l2k(ξ). A este elemento adicionam-se três funções de base que definem três novos nós de
interpolação no fuste do prisma e multiplica-se as restantes funções de base por termos que se anulem nos
três novos nós de interpolação. A configuração deste tipo de elemento é apresentada na figura 4.15b, e o
conjunto das funções de base adoptado neste trabalho estão incluídas no anexo A.12.
As funções de base do elemento finito prismático triangular de 15 nós organizam-se em três tipos:
funções interpoladoras nos vértices, no centro das arestas da superfície triangular e no centro das arestas
do fuste. Estes grupos de funções são representados através das funções de base N1(ξ), N15(ξ) e N9(ξ),
cuja representação gráfica é exibida, respectivamente, nas figuras 4.17a, 4.17b e 4.17c.
Saliente-se que existem técnicas de obtenção de elementos finitos desta família que se baseiam na
degeneração de elementos hexaédricos, conforme descrito em Hughes (2000, pág. 125).
4.5. Integração 53
(a) N2(ξ). (b) N8(ξ).
(c) N16(ξ). (d) N17(ξ).
Figura 4.18: Representação gráfica das funções de forma do elemento finito prismático de 18 nós.
4.5 Integração
O método dos elementos finitos exige a integração de um número elevado de funções. Como a aplica-
ção prática deste método no domínio da análise de estruturas leva frequentemente à análise de modelos
complexos, compostos por um número elevado de elementos, sobressai a necessidade de empregar técni-
cas eficientes na realização destes integrais.
Uma das formas mais eficientes de proceder ao cálculo de alguns destes integrais é a aplicação de
regras de quadratura. Esta técnica consiste essencialmente em expressar o integral de uma função em um
domínio de integração através da soma ponderada de valores da função integranda avaliada em pontos
específicos, conforme expresso em (4.27).
∫A
f (x)dx=n
∑i=1
f (xi)wi (4.27)
em que A representa o domínio de integração, xi a coordenada do i-ésimo ponto de integração da regra de
quadratura e wi o respectivo peso do ponto de integração.
Neste trabalho foram consideradas apenas regras de quadratura desenvolvidas para integrar de forma
exacta funções polinomiais até um certo grau. Cada regra de quadratura é definida para um domínio de
integração específico, referido por sistema de coordenadas natural. Tal implica a necessidade de submeter
a função integranda a uma transformação entre o sistema de coordenadas que define o seu domínio de
integração e o sistema de coordenadas natural, de maneira a estender a aplicação de regras de quadratura
54 Elementos finitos e regras de quadratura
(a) Regra de quadratura para integraçãode funções 1D.
(b) Combinação de regras de quadratura paraintegração de funções 2D.
Figura 4.19: Representação gráfica da aplicação regra de quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos.
a diferentes domínios de integração (Dunavant, 1985).
O termo quadratura é usado como referência à integração numérica de funções de variável escalar. A
extensão destas regras a integrais de funções de variável vectorial é conseguida através da definição de
regras de integração compostas que resultam da aplicação sucessiva de regras de quadratura (Dunavant,
1986), conforme representado na figura 4.19. De acordo com esta técnica, a definição de uma regra de
quadratura para integrais no volume resulta de:
∫Ωe,local
F(β1,β2,β3)dΩe,local =l
∑i
m
∑j
n
∑k
f (β1i ,β2 j ,β3k)wiwjwk
Com a transformação da composição de somatórios em um único somatório, a regra de quadratura
pode ser expressa da seguinte forma:
∫Ωe,local
F(β)dΩe,local =l
∑i
f (βi)Wi
em que βi é a coordenada do ponto de integração, desta vez um ponto em Ωe,local ∈ R3, e Wi = ∏l
i wi .
Esta técnica de construção de regras de integração permite obter regras específicas a cada aplicação,
tendo em consideração critérios como o grau de continuidade exibido pela função integranda numa dada
dimensão e tolerâncias de erros numéricos.
A implementação do método dos elementos finitos aplicado a problemas da elasticidade tridimensional
depende da capacidade de realizar um conjunto de integrais em superfícies e em volumes. Para realizar
estes integrais adoptou-se essencialmente dois tipos de regras de quadratura: regras de quadratura de
Gauss-Legendre e um conjunto de regras de cubatura específicas da integração de triângulos e tetraedros.
As regras adoptadas para este trabalho foram retiradas de Felippa (2004). Juntamente, foram avaliadas as
regras de integração simétricas em domínios triangulares do tipo de Gauss expressas em Cowper (1973).
As regras de quadratura de Gauss permitem integrar exactamente polinómios de grau (2n− 1) ou
inferior com n conjuntos de pares ordenados compostos pelo ponto de integração e o respectivo peso.
Como foi referido anteriormente, estas regras de quadratura foram concebidas para a integração de
funções polinomiais. Contudo, a transformação de coordenadas exigida pela implementação de elementos
isoparamétricos implica que a função integranda seja um polinómio apenas em casos particulares. Na
4.6. Erro e convergência das soluções 55
generalidade dos casos, em que o elemento se apresenta distorcido, a função integranda no domínio é
racional e na fronteira estática é o produto de uma função polinomial pela raiz quadrada de uma outra
função polinomial, conforme indicado, respectivamente, nas expressões (4.14) e (4.15). Tal implica que
nesses casos o integral realizado através de regras de quadratura não corresponderá a um integral da
função integranda. Ele representará o integral de uma aproximação da função integranda através de um
polinómio de grau igual ao grau máximo que a regra de quadratura é capaz de integrar de forma exacta.
Nos casos em que a função integranda constituir um polinómio de grau superior àquele que a regra de
quadratura integra de forma exacta, o resultado obtido não representa o integral da função integranda. O
resultado obtido, sendo n o grau dos polinómios integrados de forma exacta, representa o integral de uma
função polinomial de grau n que interpola os pontos onde a função integranda é avaliada.
Pelo teorema de Weierstrass, constata-se que, num intervalo finito Ω, para qualquer função contínua
existe um polinómio capaz de representá-la (Pina, 1995, pág. 37). Como consequência, constata-se que,
mediante o recurso a uma regra de quadratura obtida para integrar de forma exacta polinómios de um grau
suficientemente elevado, é possível obter valores de integrais de qualquer função integranda contínua no
domínio de integração com um erro reduzido. O erro cometido por uma interpolação pode ser estimado
através da expressão (Pina, 1995, pág. 55):
‖en‖∞ ≤ 14(n+1)
‖ f (n+1)‖∞hn+1 (4.28)
sendo h o espaçamento máximo entre nós consecutivos.
A partir destas duas classes de regras de quadratura desenvolveu-se um conjunto de regras destinadas
a cumprir as exigências de cálculo que se prendem com o tipo de elemento e os integrais que intervém na
construção da matriz de rigidez e o vector de forças nodais equivalentes. Através de uma análise à equação
do método dos elementos finitos, particularmente as expressões (3.21) e (3.22), e ao conjunto de funções
de base que foram definidas para cada elemento, foi possível determinar uma regra de quadratura para
cada elemento e para cada aplicação que permitisse obter, para um elemento não-distorcido, o valor exacto
do integral. Estas regras são disponibilizadas no anexo B.
É no entanto de referir que as regras obtidas através da composição sucessiva de regras de quadratura
acabam por ser compostas por um número excessivo de pontos de integração. Em alternativa, existem
regras de cubatura desenvolvidas especificamente para integrais de funções de variável vectorial em de-
terminados domínios de integração que permitem realizar o mesmo integral usando um número menor de
pontos de integração, com algumas regras a usar menos de metade dos pontos de integração que formam
as regras compostas de quadratura indicadas acima, ver Dunavant (1986).
4.6 Erro e convergência das soluções
Na secção 3.8 foram abordadas as questões da estimativa do erro e da convergência das soluções
aproximadas obtidas a partir do método Bubnov-Galerkin. Esta análise focou-se em um conjunto de pro-
56 Elementos finitos e regras de quadratura
priedades independentes das funções de aproximação adoptadas para o efeito e permitiu chegar uma
propriedade importante na análise dos resultados: a convergência monotónica das soluções aproximadas
para a solução exacta. Subsequentemente apontou-se o conjunto de propriedades a exibir pelas funções
de aproximação que garantem este tipo de comportamento.
Nesta secção, no seguimento da especificação dos espaços de funções a partir dos quais são obtidas
as soluções aproximadas, torna-se possível analisar mais detalhadamente a convergência do erro.
Conforme foi visto na secção 3.8, o erro associado a uma aproximação u(x) pode ser reduzido com
o aumento criterioso do número de bases que geram Vn. Em seguida, na secção 4.2, foi indicada uma
abordagem sistemática de aumento das bases que geram Vn recorrendo à partição do domínio do problema
e ao conceito de elemento finito. Nesta secção analiza-se a implicação que este método de criação de
funções tentativa tem na análise e estimativa do erro cometido com este tipo de aproximação.
Uma característica importante que está associada ao método dos elementos finitos prende-se com a re-
lação directamente proporcional que existe entre o número de funções de base escolhidas criteriosamente
para gerar Vn e o número de sub-domínios em que o domínio do problema é decomposto. Como con-
sequência torna-se possível obter aproximações da solução exacta cujo erro é tanto mais pequeno quanto
maior for o número de sub-divisões do domínio do problema. Para tal não é necessário entrar em detalhes
quanto às características das funções de aproximação ueik(x) empregues em cada sub-domínio Ωe
k, o que
inclui a definição das funções de base que geram Venk.
Esta técnica de redução do erro recorrendo a uma partição mais refinada, e consequente definição
de um maior número de elementos com uma menor dimensão característica, é chamada de refinamento-h,
sendo o h uma referência a uma medida característica de cada elemento (Zienkiewicz et al., 2005, pág. 501).
Em contrapartida, a redução do erro associado a uma aproximação resultante do aumento do número das
bases de Venk é chamado de refinamento-p, sendo o p uma referência ao grau dos polinómios que definem
a função de aproximação, (Zienkiewicz et al., 2005, pág. 501).
As técnicas do refinamento-h e refinamento-p implicam um aumento do número de funções de base
que gera o espaço Vn. Em termos práticos isto traduz-se no aumento do número de graus de liberdade do
problema, e assim a dimensão do sistema de equações algébricas a resolver.
Apesar do aumento do número de funções de base levar à redução dos erros associados às aproxima-
ções da solução, a relação entre a variação do erro e a variação do número de elementos que compõem um
modelo não é independente do tipo de elemento empregue. De acordo com Hughes (2000, pág. 190), uma
estimativa genérica do erro associado a aproximações de solução empregues no método dos elementos
finitos, referida como estimativa de erro padrão, assume, na ausência de singularidades, a seguinte forma:
‖e‖m ≤Chk+1−m‖u‖k+1 (4.29)
em que ‖e‖m representa uma medida de erro, C uma constante independente do grau de refinamento do
modelo, k o grau da expansão polinomial completa de maior grau da função de aproximação da solução e m
4.6. Erro e convergência das soluções 57
a ordem mais elevada da derivada que compõe a expressão da energia de deformação. Como na medida
de erro na energia apresentada na expressão (3.61) a ordem mais elevada das derivadas é (m= 1) então
um majorante para as estimativas de erro padrão é expresso através da seguinte expressão:
‖e‖en≤Chk (4.30)
Caso a convergência dos resultados seja afectada pela presença de singularidades, esta estimativa de
erro deixa de ser válida. Para estes casos, foi desenvolvida a seguinte estimativa de erro, (Fish e Belytschko,
2007, pág. 117):
‖e‖en≤Chβ (4.31)
com
β = min
k,λ− 12
,λ > 1/2,k≥ 1. (4.32)
sendo λ o parâmetro de suavidade da singularidade, ver Gui e Babuška (1986).
Capítulo 5
Desenvolvimento de um programa de cálculo
5.1 Introdução
Nesta secção é apresentada uma descrição sucinta de alguns aspectos ligados ao desenvolvimento
de um programa de cálculo onde foi implementado o método dos elementos finitos aplicado a problemas
da elasticidade tridimensional. A descrição deste programa, deste ponto em diante referido por FEMP,
do acrónimo "Finite Element Method Program", focar-se-á apenas nas tecnologias empregues no seu de-
senvolvimento e em algumas funcionalidades que foram implementadas, terminando com uma descrição
sucinta dos aspectos mais importantes do desenho do software, bem como as exigências e os casos de
uso que o influenciaram.
5.2 Requisitos
O principal requisito a ser satisfeito consistiu na implementação do método dos elementos finitos apli-
cado a problemas da elasticidade tridimensional. Para satisfazer esta exigência foi necessário implementar
um conjunto de funcionalidades acessórias, tais como a visualização de modelos e a sua importação. De
maneira a atribuir alguma utilidade prática ao FEMP, foi também considerado necessário implementar a visu-
alização dos resultados das análises, tanto do campo de deslocamentos como de um conjunto de esquemas
de pós-processamento de grandezas recuperadas a partir do campo de deslocamentos, como sejam defor-
mações, tensões e erros associados às equações de equilíbrio em Ω e ΓN. Juntamente, foi considerado
vantajoso conceder ao utilizador a capacidade de aceder directamente a um conjunto de dados obtidos nas
etapas da construção da equação do método dos elementos finitos, resolução do sistema de equações e
pós-processamento. É também de notar que foi considerado importante complementar estas funcionalida-
des com a capacidade de configurar um conjunto de parâmetros intervenientes no processo, tais como as
regras de quadratura empregues na construção do problema e as estratégias de pós-processamento dos
resultados.
A definição de domínios do problema e subsequente partição do domínio, apesar de serem funciona-
59
60 Desenvolvimento de um programa de cálculo
lidades indissociáveis deste tipo de análise, não foram abordadas neste trabalho. Como consequência,
foi necessário depender de programas desenvolvidos por terceiros para realizar estas tarefas, estando os
requisitos do FEMP limitados à capacidade de importação dos dados gerados por estes.
5.3 Tecnologias empregues
O FEMP foi desenvolvido em C++, conforme definido na sua norma internacional mais recente (ISO
14882:2011). Além das bibliotecas definidas na norma da linguagem de programação, foram também usa-
dos os seguintes componentes:
• Qt v4.7, para interface gráfico de utilizador (Qt 4.7)
• OpenGL v2.1, representação gráfica do modelo em 3D (OpenGL 2.1)
• Eigen v2.0.15, álgebra linear (Guennebaud et al., 2010)
• UMFPACK v5.4.0, resolução de sistemas de equações com matriz esparsa (Davis, 2004)
• Boost v1.4.2, colecção de bibliotecas utilitárias desenvolvidas para a linguagem de programação C++
A par dos componentes integrados no programa, recorreu-se também às seguintes ferramentas para
gerar automaticamente algumas rotinas.
• Flex v2.5.35, gerador de analisadores léxicos
• GNU Bison v2.4.1, gerador de analisadores sintácticos
• re2c v0.13.5, gerador de analisadores léxicos (Bumbulis e Cowan, 1994)
O FEMP foi desenvolvido sem qualquer suporte quer para a definição de domínios tridimensionais, bem
como para a sua subsequente partição. Para tal foi necessário recorrer a programas desenvolvidos por
terceiros para desempenhar essa função, como o Gmsh, um gerador de malhas tridimensionais distribuído
sob uma licença de software livre (Geuzaine e Remacle, 2009).
Foi também criado um formato de documento baseado na linguagem JSON, conforme definida em
Crockford (2006), destinada a descrever os modelos usados na análise através do método dos elementos
finitos.
5.4 Funcionalidades
Nesta secção serão descritas algumas funcionalidades que foram implementadas no FEMP, bem como
as opções técnicas adoptadas no desenho de um conjunto de componentes e questões relacionadas com
a sua implementação.
5.4. Funcionalidades 61
1 2
3 4
5 6
Nodes
1
2
3
4
5
6
(0,0)
(1,0)
(0,1)
(1,1)
(0,2)
(1,2)
Node 1
Node 2
Node 3
Node 4
Quad4
1
2
3
4
Node 1
Node 2
Node 3
Node 4
Quad4
3
4
5
6
Figura 5.1: Representação da associação entre as definições de elementos finitos e dos respectivos nós.
5.4.1 Estrutura de dados
Para poder realizar análises, é necessário em primeiro lugar criar uma estrutura de dados capaz de des-
crever os problemas. De acordo com as necessidades do método dos elementos finitos, esta estrutura de
dados deveria conter informação sobre o conjunto de elementos que compõem cada modelo e as condições
de fronteira que lhe são impostas.
Sobre o conjunto de elementos finitos, a estrutura de dados deveria registar o seu tipo, juntamente com
as propriedades físicas do material que o compõe e a sua configuração geométrica. Como estava previsto
que geralmente seriam analisados modelos homogéneos, o que implicava que todos os elementos parti-
lhariam a definição das propriedades materiais, concluiu-se que seria vantajoso que a associação entre os
tipo de dados usados dos elementos finitos e das propriedades materiais fosse implementada como sendo
do tipo agregação. Tal implicou que as definições das propriedades materiais fossem registadas numa lista,
cujas entradas seriam referenciadas pela definição de cada elemento finito. Sobre a configuração geomé-
trica dos elementos, como a configuração geométrica de cada um é definida em função do conjunto de nós
que lhe estão associados, alguns dos quais comuns a outros elementos, optou-se também por representar
esta associação como sendo do tipo agregação. De igual modo, tal implicou que as definições dos nós
fossem registadas numa lista, cujas entradas seriam referenciadas pela definição de cada elemento finito.
Esta opção é representada graficamente na figura 5.1.
Em relação às condições de fronteira, estas foram divididas em dois grupos: condições de fronteira
cinemáticas e estáticas. Para as condições de fronteira cinemáticas, optou-se por suportar apenas a impo-
sição de deslocamentos nulos de acordo com o referencial global do problema (ou seja, fixação de graus de
liberdade), o que permite impor condições de encastramento total ou parcial/deslizante. As condições de
fronteira estática foram organizadas em dois tipos: forças nodais, e forças distribuídas na superfície. Optou-
-se também por incluir neste grupo as definições das forças distribuídas no volume. Conforme foi efectuado
para a geometria dos elementos finitos, optou-se também por agrupar as condições de fronteira estática
em padrões de carregamento, de maneira a evitar a necessidade de criar várias versões do mesmo modelo
62 Desenvolvimento de um programa de cálculo
Model
NodeElement
NodeRestrictions
LoadPattern
NodalLoadSurfaceLoadDomainLoad
n*
1
*
1 *
1
*
1
*
1
*
1
*
1
1
1
1
1
1
*
1
Material11..*
1
*
Figura 5.2: Diagrama de classe da estrutura de dados Model, com métodos e atributos omitidos.
para poder analisar o resultado da aplicação de um conjunto condições distintas impostas no domínio e na
fronteira estática.
De acordo com este conjunto de requisitos, chegou-se à organização da estrutura de dados descrita
através do diagrama de classes representado na figura 5.2.
5.4.2 Importação de modelos
Como foi estabelecido na etapa do levantamento dos requisitos, optou-se por definir os domínios, bem
como a sua partição, em programas desenvolvidos por terceiros. Desta forma, foi apenas necessário imple-
mentar um componente dedicado à importação da informação gerada por esses programas.
Um dos principais programas empregues para este efeito foi o Gmsh, ver Geuzaine e Remacle (2009).
Devido à capacidade que este programa tem de exportar definições da partição de domínios em um for-
mato próprio, optou-se por desenvolver um analisador sintáctico para importar informação descrita através
da linguagem que define este formato. Contudo, a inexistência de uma definição formal desta linguagem
obrigou a criar uma definição ad hoc de uma produção de uma linguagem compatível com os documentos
gerados pelo programa, daqui em diante referida como formato MSH. Esta produção foi definida a partir da
informação disponibilizada na documentação do programa, bem como da análise dos documentos produzi-
dos por este. A partir da definição ad hoc do formato MSH foi possível desenvolver as especificações para
um analisador léxico e sintáctico capaz de reconhecer, respectivamente, o conjunto de símbolos terminais
que servem de base à linguagem e a estrutura gramatical que a define. Obtidas estas descrições, empre-
gou-se inicialmente, respectivamente, o Flex e o GNU Bison para gerar automaticamente o código-fonte
da implementação do analisador sintáctico do formato MSH. Contudo, o uso destas ferramentas revelou-se
contraproducente, tendo sido constatado que, pelo menos para este projecto, o recurso a analisadores sin-
tácticos desenvolvidos manualmente oferecia largas vantagens. É incluído no anexo G um exemplo de um
5.4. Funcionalidades 63
modelo descrito através do formato MSH.
A par da importação da definição do domínio do problema, foi ainda necessário implementar a sal-
vaguarda de toda a informação necessária para definir modelos de elasticidade tridimensional, que inclui
definição das constantes elásticas que definem o material e das condições de fronteira estáticas e cinemá-
ticas do problema. Para satisfazer esta exigência optou-se por definir um novo formato de ficheiro dedicado
para o efeito. Devido à exigência de se editar facilmente as definições dos vários modelos através de um
qualquer editor de texto, optou-se por definir o novo formato como sendo um sub-conjunto da linguagem
JSON. Para importar dados descritos a partir desta linguagem, de forma semelhante ao que se verificou
com o formato MSH, optou-se por desenvolver manualmente um analisador sintáctico para esta linguagem.
Esta tarefa consistiu na definição de uma produção para esta linguagem, sucedida do desenvolvimento de
um analisador léxico e, com base neste, um analisador sintáctico implementado através de um autómato de
pilha (Crespo, 2001, pág. 121). É de referir que o desenvolvimento do analisador léxico foi feito com recurso
à ferramenta re2c (Bumbulis e Cowan, 1994). É incluído no anexo H um exemplo de um modelo descrito
através do formato FEM.JSON.
Por fim, é necessário referir a forma adoptada para implementar estes componentes. De maneira a
respeitar o princípio de separação de responsabilidades, e também ao constatar-se que haveria uma pos-
sibilidade de ser necessário suportar a importação de modelos descritos em outros formatos, estes foram
implementados sob a forma de uma função objecto, que são usados como operador sobre a estrutura de
dados usada para definir o modelo.
5.4.3 Cálculo da matriz de rigidez global
Uma das vantagens inerentes ao método dos elementos finitos reside na simplicidade com que a sua
aplicação pode ser sistematizada, em particular o processo de obtenção de uma solução de elementos
finitos para uma dada partição do domínio. Esta propriedade assenta sobretudo na capacidade de formular
o problema como um conjunto de componentes elementares genéricos processados independentemente
cuja contribuição é posteriormente contabilizada. Desta forma, o algoritmo pode ser expresso em função
das propriedades genéricas dos componentes elementares, remetendo os pormenores da contribuição de
cada componente para a sua implementação.
Em traços gerais, o algoritmo do método dos elementos finitos aplicado a problemas da elasticidade
tridimensional, conforme foi implementado neste programa, é representado na figura 5.3.
A etapa do algoritmo dedicada à construção da matriz de rigidez destina-se a proceder ao cálculo
de (3.53) para o problema em análise. Como foi referido anteriormente, a expressão do algoritmo em
função das propriedades genéricas dos componentes elementares simplifica o seu desenvolvimento. Nesta
etapa, como os componentes elementares em causa são as definições dos elementos, estas propriedades
genéricas correspondem às funções de base do elemento, o conjunto de derivadas parciais das funções
de base e a regra de quadratura. Desta forma, a sua implementação foi efectuada através da definição de
64 Desenvolvimento de um programa de cálculo
Build global stiffness matrix
build domain loads contribution
Solve system of linear equations
build surface loads contribution
build nodal loads contribution
Figura 5.3: Representação simplificada do algoritmo do método dos elementos finitos.
uma classe-base abstracta destinada a representar elementos, onde é definido o interface comum a todas
as classes deste tipo, seguido de um conjunto de classes derivadas que implementam este interface para
tipos específicos de elementos. O diagrama da classe é representado na figura 5.4.
Tetrahedron4 Prism6
Hexahedron27
Tetrahedron10
Prism18
Prism15
Hexahedron8
Hexahedron20
Element
+ setN(p : fem::point)+ setdNdcsi(p : fem::point)+ setdNdeta(p : fem::point)+ setdNdzeta(p : fem::point)+ stiffnessQuadrature()+ domainQuadrature()
Figura 5.4: Diagrama de classes para as classes que definem os elementos.
Definido o interface para as classes que implementam os elementos suportados, torna-se possível de-
finir o algoritmo da construção da matriz de rigidez global. O diagrama de actividade deste algoritmo,
conforme implementado no programa, é apresentado na figura 5.5.
5.4.4 Cálculo do vector de forças nodais equivalentes
A definição do vector de forças nodais equivalentes, que correspondem às condições de fronteira es-
tática e às cargas distribuídas no volume, é subdividida em três etapas, correspondentes à imputação das
cargas distribuídas no volume, distribuídas na superfície e cargas pontuais. O seu cálculo é efectuado atra-
vés da aplicação da expressão (3.54). Contudo, é conveniente complementar a contabilização de forças
nodais equivalentes com o suporte de forças nodais, correspondente à prescrição directa de forças em um
5.4. Funcionalidades 65
Initialize quadrature rule
set V matrix
set dNdcsi, dNdeta, dNdzeta for integration point
K += k_elem
Initialize variables
k_elem += Bt*D*B*det(V)*Weight
move to next quadrature point
move to next element
calculate V
set B matrix
Are there elements left?
Are there quadrature points left?
YesNo
YesNo
Figura 5.5: Diagrama de actividade simplificado do algoritmo de construção da matriz de rigidez.
conjunto seleccionado de graus de liberdade. Ao considerar este tipo de acções, a expressão (3.54) pode
ser ser expressa da seguinte forma:
f =
f N+
f ΓN
+
f Ω
(5.1)
sendo f N o vector com a contribuição do conjunto de forças nodais atribuídas no problema.
As forças nodais são o tipo de condição de fronteira estática com a implementação mais simples e
directa, consistindo apenas na imputação directa de forças aos graus de liberdade respectivos.
As cargas distribuídas por volume são atribuídas individualmente a cada elemento, sendo calculadas
através do integral da função de densidade de carga no domínio de cada elemento isoparamétrico, conforme
a expressão (4.16). Como só se previram aplicações práticas para cargas distribuídas no volume cuja
66 Desenvolvimento de um programa de cálculo
densidade de carga no domínio elementar fosse constante então no FEMP só se implementou suporte
para o caso da função de densidade de carga bi(x) ser constante em cada elemento. Consequentemente,
tem-se:
f Ωik = bi
∫Ωe,local
Nk(ξ)det(
[Dx(ξ)])
dΩe,local (5.2)
As cargas distribuídas por superfície são definidas independente dos elementos. Como alternativa, as
superfícies de atribuição de cargas são definidas através de uma variedade diferencial em R3 de dimensão
igual a dois, cuja parametrização é uma função interpoladora de um conjunto de pontos no espaço. Desta
forma, a contribuição das cargas na superfície para o vector das forças nodais equivalentes é calculado
através da expressão (4.15).
De acordo com esta expressão, a contabilização de uma carga constante na superfície é dada por:
f ΓNik = ti
∫Γe,local
N
Nk(ξ)‖D1x(ξ)×D2x(ξ)‖ dΓe,localN (5.3)
Ao contrário do que se verificou com as cargas distribuídas no volume, com as cargas distribuídas
na superfície optou-se por implementar o suporte de densidades de carga variáveis, obtido através da
interpolação de um conjunto de valores de densidade prescritos nos nós da superfície. Com esta opção, a
função densidade de carga na superfície assume a seguinte forma:
ti(x) = ∑j
Nj(x)ti j (5.4)
em que ti j representa a densidade de pressão segundo a direcção do grau de liberdade i avaliada no nó de
interpolação j . Substituindo a expressão (5.4) na expressão (4.15), obtém-se:
f ΓNik =
∫Γe,local
N
Nk(ξ)
(
∑j
Nj(ξ)ti j
)
‖D1x(ξ)×D2x(ξ)‖ dΓe,localN (5.5)
É ainda de referir que os algoritmos adoptados para implementar o cálculo do vector de forças nodais
equivalentes são semelhantes ao algoritmo representado na figura 5.5, com as alterações necessárias para
imputar as contribuições para o vector de forças nodais equivalentes, bem como reflectir os diferentes limites
de integração, parametrizações e funções integrandas.
5.4.5 Elementos suportados
Esta implementação do método dos elementos finitos recebeu o suporte de oito elementos, agrupados
em três famílias: elementos tetraédricos (de 4 e 10 nós), hexaédricos (de 8, 20 e 27 nós) e prismáticos
(de 6, 15 e 18 nós). As funções de forma destes elementos, bem como as suas derivadas parciais, são
descritas nos anexos A.6 a A.13.
Apesar de representarem elementos distintos, o recurso a técnicas básicas de programação orientada
por objectos, nomeadamente herança e polimorfismo, permitiu desenvolver o algoritmo de construção das
5.4. Funcionalidades 67
matrizes de rigidez elementares e matriz de rigidez global através de um padrão de desenvolvimento do tipo
template method, ver Gamma et al. (1995). Desta forma, como os detalhes da implementação são deixados
para classes especializadas, o suporte de qualquer tipo de elemento passa a depender da criação de uma
nova classe derivada da classe base dos elementos e acrescentar o suporte nas rotinas de importação de
informação, integração numérica e visualização.
É ainda de referir que as cargas distribuídas em superfícies, conforme é descrito na secção 5.4.4, são
implementadas através de um esquema semelhante àquele adoptado para os elementos, com a diferença
destes pseudo-elementos serem empregues apenas para interpolar distribuições variáveis de cargas em
superfícies.
5.4.6 Integração numérica
As rotina da regra de quadratura foram desenvolvidas de maneira a realizar os diversos integrais com
um grau de exactidão aceitável. Para isto, foi necessário implementar a aplicação selectiva de regras de
quadratura apropriadas a cada integral, que tivesse em consideração não só o tipo de integral a ser realizado
como também o tipo de elemento a integrar.
A implementação de uma rotina com esta versatilidade foi mais uma vez realizada recorrendo a técnicas
básicas da programação orientada por objectos. Tal como efectuado com a rotina de geração de matrizes de
rigidez elementar e global, recorreu-se a um padrão de desenvolvimento template method (Gamma et al.,
1995). Assim, foi definida uma classe base para os elementos a serem integrados, que inclui não só os
elementos 3D como também os diversos tipos de superfícies suportadas pelo FEMP, onde se define um
interface com os métodos necessários para proceder ao cálculo em um dado ponto da função de forma,
das derivadas parciais da função de forma e das respectivas regras de integração. Subsequentemente, as
rotinas que incluem a integração destes elementos foram desenvolvidas recorrendo apenas aos interfaces
definidos pela classe base, deixando para as classes derivadas os pormenores da implementação. Para
tal, cada classe dedicada a um tipo específico de elemento produz as respectivas regras de quadratura
indicadas no anexo B.
É de notar também que este desenho do FEMP não é necessariamente o mais indicado para esta
função. Como resulta na combinação de métodos destinados à escolha de regras de quadratura com
classes destinadas a descrever elementos, esta opção constitui uma violação do princípio da separação
de preocupações. Como agravante, esta opção força a atribuição a todas as classes dos elementos de
métodos e atributos que se destinam a desempenhar a mesma função, o que implica a existência de código
e alocação de memória redundantes.
Uma abordagem alternativa, que seria mais ajustada a este problema, seria o recurso ao padrão de
desenvolvimento flyweight, ver Gamma et al. (1995). Com esta abordagem não só seria possível remover
das classes dos elementos quaisquer responsabilidades para com a atribuição de regras de integração
como também reduziria a redundância tanto de código como de memória alocada para esta tarefa. Juntando
68 Desenvolvimento de um programa de cálculo
Figura 5.6: Interface do programa, com várias janelas com representações diferentes do modelo.
a isto, como a responsabilidade de atribuição das regras de quadratura seria deixada para os objectos
criados a partir da classe que desempenha o papel de flyweight factory (Gamma et al., 1995), isto abre as
portas a uma maior liberdade na definição e uso de regras de quadratura, incluindo a criação dinâmica de
regras a partir de opções definidas pelo utilizador.
5.4.7 Interface gráfico de utilizador
Conforme foi indicado anteriormente, para o desenvolvimento deste programa adoptou-se a biblioteca
Qt para desenvolver o interface gráfico do utilizador. Isto implica que o desenvolvimento de qualquer com-
ponente do interface gráfico segue o mecanismo de signals and slots. Este mecanismo consiste no fundo
na implementação do padrão de desenvolvimento do tipo observer (Gamma et al., 1995) em todos os
componentes da biblioteca, de maneira a disponibilizar uma forma cómoda de ter componentes a emitir e
responder a eventos sem que para isso seja necessário introduzir dependências entre eles.
O interface de utilizador do programa assume a forma de interface de documentos múltiplos (MDI),
representado na figura 5.6. Contudo, neste caso, em vez das janelas serem usadas para apresentar vários
documentos, elas são usadas para disponibilizar ao utilizador várias representações do mesmo modelo.
Cada classe que implementa o interface gráfico de cada janela tem por base o objecto QWidget, con-
forme o diagrama de classes representado na figura 5.7. Ao herdar esta classe, torna-se possível criar
objectos do tipo QMdiSubWindow que incorporem essas classes como central widget.
O programa suporta dois tipos de janelas MDI: uma dedicada à edição do modelo e outra dedicada à
representação de resultados. Ambos os tipos de janela são implementados a partir de objectos de classes
distintas que herdam a mesma classe base, denominada de MdiWindow, conforme é representado na figura
5.7. Esta opção foi tomada para permitir que cada sub-janela tenha elementos do interface de utilizador
como botões em barras de ferramentas, e abre a possibilidade de introduzir menus dedicados.
Para a representação dos modelos recorreu-se a um padrão de desenvolvimento do tipo Strategy
(Gamma et al., 1995) implementado para a representação da cena. O diagrama de classes que descreve a
5.4. Funcionalidades 69
PostProcessingWindow
MdiWindow
QMainWindow
ModelWindow
Figura 5.7: Diagrama de classes da implementação das janelas MDI, omitidos os métodos e atributos.
modelação deste componente é representado na figura 5.8.
A implementação do padrão de desenvolvimento do tipo Strategy no nível da representação da cena
possibilita que um dado modelo seja representado em função de uma estratégia adoptada para o efeito.
Ou seja, em vez de ser necessário criar uma classe de janela para cada forma de representação do mo-
delo, cada uma é implementada através da definição de algoritmos específicos que definem a respectiva
estratégia de representação. Com isto, a mudança da forma de representação de um modelo é conseguida
com a mudança da estratégia de representação. Como as diferentes estratégias de representação são de-
finidas com base em um interface genérico, na prática esta mudança é conseguida através da atribuição a
um apontador de memória da referência ao objecto que define essa estratégia, conforme representado na
figura 5.9.
Entre as estratégias suportadas encontram-se as estratégia de edição do modelo, de representação
do modelo na configuração deformada e de representação do modelo considerando o pós-processamento
dos resultados de uma análise. Apesar da aparente complexidade, esta abordagem permite simplificar a
criação de novas estratégia de representação de modelos, bem como a manutenção do código dos estados
já suportados.
ModelWindow
ModelViewport ViewportState
VPStateModel
(a) Janela de representação do mo-delo.
PostProcessingWindow
PostProcessingViewport ViewportState
VPStateDisplacements VPStateGradient
(b) Janela de representação de resultados de pós-pro-cessamento.
Figura 5.8: Diagrama de classes da implementação da representação das cenas.
Foi ainda previsto o uso de um padrão do tipo State para gerir a interacção com o utilizador. Esta
abordagem permitiria executar acções dependendo do estado corrente do programa (i.e., se um click com
o botão direito do rato representa uma tentativa de selecção de um elemento de cena ou um pedido para
exibir um menu de contexto) e a representação gráfica de elementos transitórios da cena, como é o caso de
áreas ou volumes de selecção de elementos, exibição de menus de contexto e actuação sobre a câmara.
É ainda de referir que foi implementado um sistema de selecção de objectos que compõem o modelo.
70 Desenvolvimento de um programa de cálculo
ModelViewport PostProcessingViewport
ModelViewport
(a) Estado de representação de um modelo na con-figuração indeformada.
ModelViewport PostProcessingViewport
ModelViewport
(b) Estado de representação do modelo na configu-ração deformada.
Figura 5.9: Descrição do uso de um padrão de desenvolvimento Strategy na representação de um modelo.
«datatype»fem::element_ref_t
0..*
0..*1
«datatype»fem::node_element_t
Selection
+ clear()+ selectElement(eref : fem::element_ref_t)+ deselectElement(eref : fem::element_ref_t)+ selectNode(nref : fem::node_element_t)+ deselectNode(nref : fem::node_element_t)
1
SelectionManager+ selection_changed : s igc::s ignal<void, Selection const &>+ selection_cleared : s igc::<void>+ clearSelection()+ setSelection(selection : Selection)+ selectElement(eref : fem::element_ref_t)+ deselectElement(eref : fem::element_ref_t)+ selectNode(nref : fem::node_element_t)+ deselectNode(nref : fem::node_element_t)+ getSelection() : Selection
Figura 5.10: Diagrama de classes da implementação do sistema de selecção de objectos.
: SelectionManager : ModelWindow
: setSelection(selection Selection)
: selectElement(eref : fem::element_ref_t)
: ModelWindow
: setSelection(selection: Selection)
Figura 5.11: Diagrama de sequência do sistema de selecção de objectos.
Este sistema foi desenvolvido para permitir que o utilizador possa alterar a selecção e executar quaisquer
operações sobre ela, de forma independente do interface de utilizador que possa vir a utilizar.
O sistema de selecção é formado por duas classes: SelectionManager e Selection. O diagrama de
classes deste componente é apresentado na figura 5.10.
A classe SelectionManager contém listas de objectos seleccionados, disponibilizada a qualquer compo-
nente. Esta também implementa um conjunto de padrões de desenvolvimento do tipo Observer destinados
a notificar outros componentes de alterações ao conjunto de objectos seleccionados. O seu funcionamento
é representado no diagrama de sequência representado na figura 5.11.
5.4. Funcionalidades 71
Prism 18
Tetra 10
Hexa 27
Hexa 27
A B C
Figura 5.12: Representação do funcionamento do grafo de cena: a) estrutura de dados do modelo b)objectos da cena criados a partir da estrutura de dados c) representação do modelo pelo grafo da cena apartir dos objectos.
5.4.8 Representação gráfica dos modelos
A componente de representação gráfica dos modelos exigiu alguns cuidados devido ao peso computa-
cional associado à visualização de modelos refinados. Desde o início que este componente deu origem a
algumas preocupações no que respeita à eficiência da sua execução. Outra preocupação tida desde o início
prende-se com a complexidade que este tipo de código tende a assumir, em particular ao longo do processo
de desenvolvimento do software e quando confrontado com exigências para as quais não se planeou.
Como forma de ultrapassar este problema optou-se por implementar a visualização dos modelos através
de um grafo de cena. O grafo de cena desenvolvido para este programa consistiu no desenvolvimento de
um componente que conjuga um padrão de desenvolvimento façade com um padrão de desenvolvimento
composite, ver Gamma et al. (1995). Este desenho permite, com o padrão façade, reduzir a complexidade
associada a este tipo de componente através do isolamento dos detalhes relativos à representação gráfica
do restante programa, bem como minimização da comunicação e dependência entre outros sub-sistemas
do programa (Gamma et al., 1995), enquanto que com o padrão de desenvolvimento composite permite
organizar os diversos componentes em uma estrutura de dados do tipo árvore e, a partir desta estrutura,
lidar uniformemente tanto grupos de objectos como objectos individuais.
Sobre o padrão façade, conforme foi dito, este foi empregue para poder abstrair a representação e ma-
nipulação do modelo da estrutura de dados que o define, limitando a interacção de componentes externos
com a cena aos interfaces disponibilizados para o efeito. Para tal, a visualização de um qualquer modelo
tem como ponto de partida a criação pelo grafo de cena de um conjunto de objectos destinados a repre-
sentar elementos da cena que se pretende visualizar. Ao pretender representar-se o modelo, esta etapa
incluirá a iteração pelas estruturas de dados que definem o modelo de elementos finitos e os respectivos
resultados, cujo processo é representado na figura 5.12.
Criados os objectos, o grafo de cena passa a geri-los internamente e a representar a cena com base
72 Desenvolvimento de um programa de cálculo
Figura 5.13: Representação do funcionamento do padrão de desenvolvimento do tipo Observer.
neles, não necessitando mais da consulta das estruturas de dados.
Apesar do grafo de cena não depender do acesso directo à informação armazenada sobre o modelo, e
assim a representação do modelo estar desligada da própria definição do modelo, é possível preservar a
coerência entre essa informação e a representação gráfica. Para tal recorre-se à aplicação de um padrão
model-view-controller (Gamma et al., 1995), com a estrutura de dados do modelo a desempenhar o papel de
model e o grafo da cena a desempenhar o papel de view. Tal é conseguido através da aplicação criteriosa
do padrão de desenvolvimento observer quer no grafo de cena como na estrutura de dados que define o
modelo, de maneira a preservar a consistência entre a representação da informação e a própria informação.
Assim, qualquer alteração relevante realizada quer no componente Model como no View levará o respectivo
objecto do observer a emitir um sinal a notificar todos os componentes da alteração. Em resposta, os
componentes afectados pela alteração submeter-se-ão a ela e, de seguida, emitirão um sinal para actualizar
o estado do objecto, conforme representado na figura 5.13. Desta forma, o modelo e representação do
modelo preservam a sua coerência não só aquando da realização de acções provenientes da interacção
do utilizador com a representação da informação, bem como quando há alterações a serem realizadas ao
modelo por outro sub-sistema.
Em relação ao padrão de desenvolvimento composite, a sua aplicação foi motivada principalmente por
questões de eficiência, sobretudo a procura de evitar gastar processamento com a representação de sec-
ções ocultas do modelo. O padrão de desenvolvimento composite implementado neste grafo de cena con-
siste em uma estrutura de dados do tipo grafo direccional sem ciclos (ou seja, uma árvore) em que todos
os vértices são definidos por classes que herdam de uma classe base comum: a classe do componente de
grafo de cena.
Cada objecto que define um vértice no grafo da cena possui uma definição de uma região no espaço.
Esta região representa uma fronteira que contém todas as regiões definidas pelos seus vértices-filho, con-
forme representado na figura 5.14.
5.4. Funcionalidades 73
Figura 5.14: Representação da organização dos objectos da cena no grafo da cena em função da fronteiraque os delimita.
Figura 5.15: Representação da visualização dos objectos que compõem o grafo da cena em função daintersecção da sua fronteira com o volume de visão.
Como todo o vértice do grafo da cena contém a região definida pelos vértices-filho, torna-se possível
avaliar se todo um conjunto de objectos da cena são ou não são representados mediante uma única avali-
ação da intersecção de regiões no espaço. Com isto, comparando as fronteiras definidas por cada vértice
da árvore com o volume de visão, que é representado por um cubóide, é possível evitar representar os
elementos da cena que não são visíveis, conforme representado na 5.15.
A par dessa motivação, também traz vantagens em domínios como a adição de interacção com os
objectos da cena e o desenvolvimento e introdução de novos tipos de objectos de cena.
No que diz respeito ao desenvolvimento de novos tipos de objectos de cena, o seu desenvolvimento
limita-se à criação de uma nova classe que herda a classe base dos componentes do grafo de cena e
a reescrita do método responsável pela representação do objecto da cena através de um conjunto de
instruções de OpenGL. Feito isto, resta incluir um objecto dessa nova classe na lista de objectos da cena,
juntamente com qualquer ligação relevante a um interface de um componente Model e/ou Controller de um
74 Desenvolvimento de um programa de cálculo
Figura 5.16: Representação do funcionamento do picking.
padrão Model-View-Controller, e a sua posterior representação e gestão é desempenhada automaticamente
pelo grafo da cena.
Como todos os objectos que compõem a cena estão contidos em uma região no espaço e como estão
organizados hierarquicamente de acordo com uma dada ordem, então a interacção entre o utilizador e esse
conjunto de objectos pode ser realizada através da avaliação da intersecção das fronteiras dos objectos da
cena com outras regiões representativas da interacção do utilizador. Um exemplo consiste na definição de
qualquer acção resultante do uso do rato, como a passagem do cursor do rato sobre um objecto da cena
ou até um qualquer click do rato. Esta técnica, vulgarmente denominada de picking, implica que como a
posição do rato sobre uma janela que implementa uma representação tridimensional de uma cena pode ser
interpretada como uma semirrecta no espaço, a posição do cursor do rato relativamente aos objectos da
cena pode ser avaliada através da intersecção desta semi-recta com a fronteira dos objectos da cena.
Outra possibilidade consiste em interpretar duas posições do rato como duas semi-rectas que descre-
vem um rectângulo no plano 2D da janela e consequentemente um volume no espaço da cena. Subse-
quentemente, este volume no espaço da cena pode ser usado para determinar que objectos da cena estão
incluídos nele, e assim permitir que o utilizador actue sobre simultaneamente em um conjunto de objectos.
Por fim, é importante referir a necessidade de reorganizar a estrutura hierárquica dos objectos da cena
consoante sejam feitas mudanças à representação do modelo, tal como uma mudança da posição da ponto
de observação da cena. Para tal, este grafo de cena foi desenvolvido de maneira a armazenar todos os
objectos da cena em uma lista, a partir da qual é gerada o grafo com os objectos da cena juntamente com
as fronteiras que os contém.
5.4.9 Álgebra matricial e resolução de sistemas de equações
A realização de operações algébricas entre matrizes e resolução de sistemas de equações lineares são
tarefas essenciais para qualquer aplicação do método dos elementos finitos. Devido à dimensão que os
sistemas de equações produzidos por este método tendem a assumir, torna-se imprescindível recorrer a
rotinas eficientes para realizar estas operações. A par da eficiência, a quantidade de recursos do sistema
exigidos pelos métodos de resolução é também um factor decisivo nesta escolha.
5.4. Funcionalidades 75
Analisando os sistemas de equações produzidos por esta aplicação do método dos elementos finitos,
sobressai o facto da matriz de rigidez global ser simétrica e positiva-definida após a imposição das con-
dições de fronteira cinemáticas. O suporte limitado das funções de aproximação elementares, juntamente
com o número elevado de graus de liberdade que os problemas tendem a apresentar, implica que estas ma-
trizes possuem um número elevado de coeficientes nulos. Por conseguinte, é vantajoso adoptar métodos de
resolução de sistemas de equações desenvolvidos expressamente para tirar proveito destas características.
Devido à especialização destes métodos, a adopção de rotinas força também o uso de estruturas de dados
que lhe servem de base, onde se incluem as estruturas de dados usadas para representar matrizes.
Apesar dos ganhos de eficiência que estão associados à adopção de rotinas especializadas, é também
de notar que as diferentes operações matriciais que compõem o algoritmo do método dos elementos finitos
apresentam características distintas. Como a eficiência destas rotinas é influenciada pelas estruturas de
dados que lhes servem de base, em certos casos revela-se vantajoso adoptar diferentes tipos de estru-
turas de dados em etapas distintas do algoritmo, mesmo que para tal seja necessário incorrer no custo
computacional de converter a mesma informação em formatos diferentes.
Nesta aplicação, notou-se que a etapa de construção da matriz de rigidez global é dominada por dois
tipos de necessidades: a realização de um conjunto de operações algébricas envolvendo matrizes de ri-
gidez elementares e a contabilização da matriz elementar na matriz de rigidez global. O primeiro tipo de
operações, por ser dominado por operações algébricas em matrizes densas com uma dimensão relativa-
mente pequena, é adequadamente desempenhado através da aplicação de rotinas a estruturas de dados
desenvolvidas para matrizes densas com dimensão estática. Por outro lado, nesta etapa a única operação
que é realizada sobre a matriz de rigidez global é a contabilização das contribuições das matrizes de rigidez
dos elementos. Ou seja, esta operação traduz-se na soma de um conjunto de escalares a determinados
coeficientes da matriz. Considerando isto, e notando que as matrizes de rigidez produzidas por este método
são esparsas e de grandes dimensões, nota-se que é vantajoso empregar nesta etapa uma estrutura de
dados para a matriz que seja desenvolvida especificamente para reservar memória para coeficientes da
matriz usados e somar escalares a esses coeficientes.
Na etapa da resolução do sistema de equações lineares, as exigências impostas à estrutura de dados
que define a matriz de rigidez passam a depender da rotina adoptada para este efeito. Contudo, apesar
deste dado ser mantido uma incógnita, assume-se como garantido que a estrutura de dados adoptada na
etapa de construção da matriz de rigidez global não será apta para esta tarefa. Por este motivo, considera-
-se como seguro que, por motivos de eficiência, a resolução do sistema de equações seja precedida de
uma conversão entre o tipo de matriz empregue na etapa da construção de matriz de rigidez e o tipo exigido
pela rotina de resolução do sistema de equações.
Considerando estas exigências, considerou-se necessário implementar três tipos distintos de matrizes:
• matriz densa com dimensão reduzida e definida estaticamente, usadas em operações algébricas
• matriz esparsa de grandes dimensões, usada exclusivamente para aceder e operar sobre coeficientes
76 Desenvolvimento de um programa de cálculo
individuais
• matriz esparsa de grandes dimensões, usada pela rotina de resolução de sistemas de equações
Após uma procura de bibliotecas de álgebra de matrizes e rotinas de resolução de sistemas de equa-
ções que se encontravam disponíveis e cuja licença de utilização permitia o livre acesso e distribuição,
notou-se que não foi possível encontrar uma oferta que integrasse todas as funcionalidades necessárias.
Como consequência, optou-se por adoptar bibliotecas distintas para resolver sistemas de equações e re-
alizar operações algébricas entre matrizes densas. Para a resolução de sistemas de equações lineares
adoptou-se a UMFPACK (Davis, 2004), uma biblioteca desenvolvida em ISO C que implementa um algo-
ritmo de factorização LU do tipo multi-frontal desenvolvido para matrizes esparsas não-simétricas. Para a
realização de operações algébricas entre matrizes, adoptou-se a Eigen v2.0.17 (Guennebaud et al., 2010),
uma biblioteca eficiente e versátil de álgebra de matrizes, escritas em C++ 98.
A integração das bibliotecas foi conseguida através de uma biblioteca desenvolvida especificamente
para o efeito. Esta biblioteca destinou-se a definir um conjunto de tipos de matrizes e a disponibilizar rotinas
que permitem converter os dados entre elas. Devido às exigências de eficiência, optou-se por implementar
os tipos de matrizes através de um padrão do tipo Strategy, mas implementado em programação genérica.
Este padrão baseia-se na definição de uma classe anfitriã (Alexandrescu, 2001, pág. 7), um molde de classe
destinado a definir o interface dos tipos de matrizes. Posteriormente, as funcionalidades específicas a cada
tipo de classe são implementadas através de classes que implementam a estratégia, que são passadas
como parâmetro do molde da classe. Com esta técnica é evitado o uso de métodos virtuais em troca da
definição das classes na etapa de compilação.
UMFPACKSolver
Analysis
+ run()
ConjugateGradientSolver
Solver
+ initialize()+ solve()+ cleanup()
CholeskySolver
+solver
Figura 5.17: Diagrama de classes da implementação das rotinas de resolução de sistemas de equaçõeslineares.
A principal aplicação deste componente assume a forma da classe empregue para representar a matriz
de rigidez global na etapa de construção da equação do método dos elementos finitos. Como nenhuma das
bibliotecas adoptadas disponibilizava uma classe para matrizes esparsas adequada às exigências desta
etapa, tornou-se necessário suprimir essa necessidade através do desenvolvimento de uma classe para
desempenhar essa função. Considerando as exigências anteriormente indicadas, optou-se por definir uma
politica de estrutura de dados de matrizes do tipo dicionário de chave (Dictionary of Keys, referido daqui
5.5. Utilização 77
em diante por DoK). Esta abordagem consiste em definir uma matriz como sendo um conjunto de pares
chave-valor, com o valor a corresponder a um coeficiente da matriz e a chave a corresponder aos índices
do coeficiente. O conjunto de pares chave-valor foi implementado através do contentor associativo std::map,
definido na norma de C++, o que garante uma correspondência única entre uma chave e um coeficiente,
um armazenamento ordenado dos pares chave-valor e o acesso rápido a valores a partir da sua chave.
Para a etapa da resolução do sistema de equações, apesar de se ter adoptado o UMFPACK, consi-
derou-se vantajoso deixar aberta a possibilidade de recorrer a outras rotinas para resolver sistemas de
equações. Este requisito levou a implementação desta funcionalidade novamente através de um padrão de
desenvolvimento do tipo Strategy, cujo diagrama de classes é descrito na figura 5.17.
A adopção do padrão de desenvolvimento do tipo Strategy permitiu definir o interface das rotinas ne-
cessárias para a resolução do sistema de equações e remeter para cada implementação a definição desta
rotina. O interface define três métodos, destinados respectivamente a inicializar a rotina, a resolver o sis-
tema de equações e a realizar qualquer limpeza após terminada a resolução. Na implementação da rotina
UMFPACK, a rotina de inicialização é usada para converter a matrix de rigidez global do formato DoK para
o formato de armazenamento comprimido em coluna (compressed column storage, também referido pela
sigla CCS), para o qual a biblioteca foi desenvolvida.
É ainda de referir que foram implementados mais duas rotinas de resolução de sistemas de equações,
resultantes da implementação do método de Cholesky e do método dos gradientes conjugados. Contudo, a
eficiência destas rotinas é consideravelmente inferior àquela exibida pela rotina de resolução do UMFPACK,
o que levou a serem relegadas a um exemplo de demonstração.
5.5 Utilização
Nesta secção será descrita de forma breve a utilização do FEMP na criação de modelos, obtenção de
soluções de elementos finitos e a sua subsequente análise.
5.5.1 Criação de modelos
Como foi referido na secção 5.4.2, o FEMP foi desenvolvido para criar modelos a partir da importação
de definições de malhas geradas por programas desenvolvidos por terceiros. Assim, para criar um modelo,
invoca-se o wizard de importação de definições de malhas. Para tal, executa-se a acção incluída no menu
File->New, apresentado na figura 5.18.
O wizard apresenta as opções adoptadas para a importação de uma malha em uma sequência de
caixas de diálogo, conforme apresentado nas figuras 5.19.
Como, de forma geral, as definições de malhas incluem apenas informação relativa à sua geometria,
o FEMP permite que seja escolhida uma definição de propriedades materiais a ser adoptada por todos os
elementos finitos que compõem o modelo. A caixa de diálogo usada para esse efeito é apresentada na
figura 5.20a.
78 Desenvolvimento de um programa de cálculo
Figura 5.18: Menu “file”.
(a) Escolha do tipo de modelo. (b) Escolha da malha a ser importada.
Figura 5.19: Wizard de importação de malhas.
(a) Caixa de diálogo da edição de materiais. (b) Wizard de importação de malhas: importação bem sucedida.
Figura 5.20: Wizard de importação de malhas: processo de importação de uma malha.
5.5. Utilização 79
Figura 5.21: Resultado final da importação de uma malha.
A importação de uma malha é conseguida através da indicação do documento onde esta é descrita de
acordo com um formato suportado pelo FEMP. Ao apontar o documento, este é analisado pelo componente
descrito na secção 5.4.2. Caso não sejam encontrados erros na análise do documento, é indicado na janela
do Wizard o número de nós e de elementos que compõem a malha, conforme é exibido na figura 5.20b.
Ao finalizar a importação da malha, este é exibido ao utilizador. Para tal, é criada uma janela MDI de
visualização de modelos, conforme é apresentado na figura 5.21.
Neste ponto, o modelo não inclui qualquer condição imposta na fronteira cinemática. A definição de
condições de fronteira é abordada na secção 5.5.2.
É ainda de referir que, a fim de simplificar a definição de condições de fronteira estática do tipo pressões
aplicadas na fronteira, o analisador do formato MSH, referido na secção 5.4.2, foi desenvolvido de maneira a
interpretar definições de elementos bidimensionais como definições de tracções de valor unitário, aplicadas
perpendicularmente à superfície.
5.5.2 Prescrição de condições de fronteira e forças volúmic as
O FEMP suporta a definição de três tipos de condições de fronteira: prescrição de deslocamentos nulos
de graus de liberdade em relação aos eixos das coordenadas globais, e prescrição de forças nodais e
pressões aplicadas em superfícies. Juntamente, o FEMP também oferece suporte para a prescrição de
forças volúmicas em elementos. A prescrição de qualquer tipo de condições de fronteira é realizado pelo
mesmo processo: selecção dos objectos a aplicar as condições de fronteira e execução da acção que define
estas condições. Estas acções são executadas mediante a invocação da caixa de diálogo apropriada.
Para fixar graus de liberdade, selecciona-se o conjunto de nós e executa-se a acção incluída no menu
Edit->Node Restraints, apresentado na figura 5.22. Essencialmente, esta acção prescreve os desloca-
mentos de todos os nós incluídos na lista de selecção do componente SelectionManager, descrito na sec-
ção 5.4.7, no momento em que esta é executada.
80 Desenvolvimento de um programa de cálculo
Figura 5.22: Menu “Edit”.
(a) Fixação de nós. (b) Prescrição de forças aplicadas em nós. (c) Prescrição de forças volúmicas.
Figura 5.23: Caixas de diálogo de prescrição de condições de fronteira.
A prescrição de forças aplicadas em nós é feita mediante a selecção de um conjunto de nós, seguida
da execução da acção incluída no menu Edit->Node Actions, apresentado na figura 5.22. Como neste
programa as condições impostas na fronteira estática são agrupadas em padrões de carregamento, a pres-
crição deste tipo de condições é acompanhada da selecção do padrão de carregamento onde incluí-la.
Por fim, a prescrição de forças volúmicas em elementos é feita de forma semelhante à usada para definir
forças aplicadas em nós, com a excepção que esta operação incide nos elementos seleccionados. Assim,
as forças volúmicas são definidas mediante a selecção de um conjunto de elementos, seguida da execução
da acção incluída no menu Edit->Domain loads, apresentado na figura 5.22.
5.5.3 Execução de análises
A análise é realizada mediante a invocação da caixa de diálogo de execução de análises, através da
execução da acção incluída no menu Project->Run, apresentado na figura 5.24.
Nesta caixa de diálogo é possível seleccionar o padrão de carregamento a analisar, bem como o método
de resolução de sistemas de equações lineares, conforme exibido na figura 5.25. No entanto, o uso de
5.5. Utilização 81
Figura 5.24: Menu “Project”.
outros métodos além daqueles disponibilizados pela biblioteca UMFPACK é desaconselhado devido à sua
ineficiência dos restantes métodos implementados.
Ao iniciar a análise, é exibida uma caixa de diálogo, representada na figura 5.26, onde é indicada
informação sobre o seu progresso. Finalizada a análise, após o fecho desta caixa de diálogo o programa
abre uma nova janela MDI onde é possível visualizar os resultados obtidos.
5.5.4 Representação dos resultados
Após a realização de uma análise, o programa disponibiliza três formas de representação dos resul-
tados: representação dos resultados numa tabela, e representação gráfica dos modelos via campo de
gradiente e campo de tensões principais.
A representação dos resultados numa tabela é obtido mediante a criação de uma janela MDI espe-
cializada para esse efeito, apresentada na figura 5.27. Para tal, executa-se a acção incluída no menu
Window->New->Analysis results, apresentado na figura 5.28.
Este tipo de janela permite ao utilizador filtrar as colunas a exibir, bem como ordenar os dados da tabela
em função dos valores exibidos em cada coluna.
A representação gráfica dos resultados via campo de gradientes obtém-se através da execução da
acção incluída no menu Window->New->Gradient, apresentado na figura 5.28. Isto leva à criação de uma
janela MDI desenvolvida especificamente para este tipo de visualização, permitindo a representação de
qualquer componente do tensor das tensões e deformações, bem como a tensão de von Mises, através de
um gradiente de cores conforme é exibido na figura 5.29.
A visualização dos resultados via representação das tensões principais obtém-se através da execução
da acção incluída no menu Window->New->Tensor field, apresentado na figura 5.28. Esta política de visua-
lização representa cada tensor através de um conjunto de três linhas a representar as direcções principais
das tensões, e com cada linha a representar a magnitude da tensão principal mediante a mesma escala de
82 Desenvolvimento de um programa de cálculo
(a) UMFPACK. (b) Método de Cholesky para matrizes es-parsas.
(c) Método do gradiente conjugado. (d) Método de Cholesky para matrizesdensas.
Figura 5.25: Métodos de resolução de sistemas de equações disponíveis.
Figura 5.26: Caixa de diálogo do progresso da análise.
5.5. Utilização 83
Figura 5.27: Janela MDI com a representação tabelada dos resultados.
Figura 5.28: Menu “Window->New”.
Figura 5.29: Visualização dos resultados via gradiente de cores, eixo de simetria transversal de uma lajequadrada sujeita ao peso próprio.
84 Desenvolvimento de um programa de cálculo
(a) Tensor completo
(b) Direcções principais negativas
Figura 5.30: Visualização das direcções principais dos tensores, eixo de simetria transversal de uma lajequadrada sujeita ao peso próprio.
cores usada na visualização via gradientes de cores, conforme indicado em 5.30. São representados os
tensores calculados nos pontos de integração da matriz de rigidez de cada elemento.
O programa também permite representar apenas as componentes positivas ou negativas dos tensores,
demonstrado na figura 5.30b.
Foi também implementado o suporte para a consulta da matriz de rigidez de um modelo, conforme
apresentado na figura 5.31. Esta janela é criada através da execução da acção incluída no menu Window-
>New->FEM equation, apresentado na figura 5.28.
5.5.5 Configuração do programa
O programa permite ao utilizador que defina um conjunto de opções mediante a edição de um fi-
cheiro de texto. Esta funcionalidade constitui uma forma cómoda e simples de definição de um con-
5.5. Utilização 85
Figura 5.31: Janela MDI com a representação tabelada da matriz de rigidez.
junto de opções, e permite que estas sejam preservada entre execuções do programa. Este ficheiro,
que segue um formato legível por humanos idêntico ao INI, em sitemas do tipo unix-like encontra-se em
$HOME/.femp/.options.opt.
Algumas das opções suportadas pelo programa são indicadas a seguir:
project.open.defaultdirectory
linha de texto, directoria que serve de ponto de partida de qualquer caixa de diálogo de selecção de
ficheiros.
viewport.background.color
vector de três escalares, usada para definir a cor de fundo no formato R, G, B, com cada cor a
ser representada por valores no intervalo [0,1].
viewport.nodes.radius
escalar, define o raio da representação gráfica dos nós dos elementos.
viewport.nodes.color
vector de três escalares, usada para definir a cor dos nós não-seleccionados.
viewport.fields.color.maximum_positive
vector de três escalares, usado para definir a cor que representa o maior valor positivo num gradiente.
viewport.fields.color.maximum_negative
vector de três escalares, usado para definir a cor que representa o maior valor negativo num gradiente.
viewport.fields.color.neutral
vector de três escalares, usado para definir a cor que representa o valor neutro/zero num gradiente.
Capítulo 6
Exemplos de aplicação
6.1 Introdução
Neste capítulo são apresentados alguns exemplos de aplicação do programa desenvolvido destinados
a demonstrar as propriedades principais do método dos elementos finitos aplicado a problemas da elastici-
dade linear tridimensional. Os testes efectuados são:
Patch-test A realização de um conjunto de testes à capacidade de convergência e robustez dos tipos de
elementos finitos suportados pelo programa, mediante a realização de um patch-test.
Consola cúbica Uma análise de um modelo de uma consola cúbica, mostrando a convergência da solução
do MEF para a solução exacta na presença de singularidades.
Esfera oca sujeita a pressão interna Trata-se de um exemplo para o qual se conhece a expressão ana-
lítica da solução exacta, o que permite uma análise mais rigorosa dos resultados produzidos pela
implementação do método dos elementos finitos. Este exemplo permite obter a taxa de convergência
dos elementos utilizados, pois a solução analítica é regular. Neste caso, esta não é afectada pela
presença de campos singulares de tensões.
Análise de uma laje simplesmente apoiada É efectuada a análise de um modelo de uma laje, e posterior
comparação dos resultados com aqueles obtidos a partir da aplicação da teoria de lajes finas e
moderadamente espessas.
Análise de um perfil IPE biencastrado É analisado um modelo de um perfil IPE biencastrado e sujeito a
uma carga distribuída no domínio, cujos resultados são comparados com aqueles obtidos a partir da
teoria de peças lineares de Euler-Bernoulli.
Análise de um perfil LNP curvo É analisado um modelo de uma peça linear com perfil curvo.
87
88 Exemplos de aplicação
Placa com orifício circular sujeita a tracção Permite observar a concentração de tensões provocada pela
abertura de um orifício circular em uma placa, e sua comparação com os resultados obtidos através
da solução analítica para um domínio infinito.
No presente trabalho, assume-se que em todos os exemplos é utilizado um sistema coerente de unida-
des.
6.2 Patch test
Todos os tipos de elementos finitos suportados por este programa geram espaços de soluções compa-
tíveis e cumprem a condição de completude referida na secção 3.5. Isto implica que os resultados obtidos
a partir de modelos compostos por estes tipos de elementos finitos convergem monotonicamente para a
solução exacta.
Apesar desta garantia, é conveniente que se conduzam testes que permitam avaliar a validade dos re-
sultados, não só para corroborar as propriedades que se atribuem aos tipos de elementos finitos suportados
como também para assegurar que o programa foi implementado correctamente.
Um tipo de testes usado para este fim é o patch test (Zienkiewicz et al., 2005, pág. 329). O termo patch
test abrange um conjunto de testes desenvolvidos expressamente para avaliar pormenores específicos de
elementos finitos, bem como a sua implementação. Essencialmente, este tipo de teste consiste na análise
de modelos compostos por um número reduzido de elementos finitos submetidos a acções que provocam
estados de deformação previamente conhecidos. Efectuada a análise, o resultado produzido por esta é
comparado com o resultado esperado a fim de serem tiradas conclusões (Irons e Loikkanen, 1983).
A realização deste tipo de testes permite avaliar se a implementação não só é capaz de reproduzir
resultados correctos como também é suficientemente robusta para obtê-los consistentemente. É ainda de
referir que a condução destes testes é particularmente importante nos casos em que se pretende usar
software desenvolvido por terceiros, sobretudo quando funcionam como uma caixa-negra e se desconhece
quaisquer detalhes relativos à sua implementação (Fish e Belytschko, 2007, pág. 202). Os cuidados tidos
na definição dos problemas a analisar incluem a criação de malhas que submetam os elementos finitos a
distorções significativas e a reprodução de campos não-uniformes de tensões.
Para testar a presente implementação, foi utilizado o patch test baseado no teste C referido em Zienki-
ewicz et al. (2005, pág. 334). Este teste consiste na prescrição de um conjunto de tracções na superfície
do modelo de modo a que o resultado corresponda à solução exacta. Posteriormente, a solução obtida a
partir do modelo é comparada com a solução exacta. Este teste permite, além de validar a implementa-
ção do programa, avaliar a consistência dos resultados que poderão ser obtidos a partir de partições do
domínio progressivamente mais refinadas, que — no limite — deverão corresponder à solução exacta do
problema expresso em (3.1), referido na página 12. Como o campo de deformações de um sub-domínio
de reduzida dimensão converge para uma distribuição tendencialmente constante, a capacidade de obter
6.2. Patch test 89
(a) Modelo original.
(b) Modelo sujeito a simplificação por simetria.
Figura 6.1: Modelo da barra traccionada.
resultados para esta equação diferencial depende da capacidade do elemento finito reproduzir um campo
de deformação constante.
Para avaliar o comportamento dos elementos suportados pelo programa, bem como validar a implemen-
tação do método dos elementos finitos, realizou-se um conjunto de modelos baseados no patch test do tipo
C. O problema adoptado para o efeito consiste numa representação de uma barra prismática com l = 4,0
de comprimento, alinhada com o eixo x3 do referencial global, e uma secção quadrada com aresta b= 1,0,
sujeita a uma compressão axial por duas pressões aplicadas nas extremidades com uma densidade de
carga de t = 1,0, causando um campo de deformações constante no sentido do eixo. Para estes exem-
plos foram adoptadas as constantes materiais E = 10 e ν = 0,3. Devido à simetria exibida pelo modelo,
foi possível simplificá-lo mediante a aplicação de um conjunto de condições de fronteira cinemáticas no
plano de simetria, conforme esquematizado na figura 6.1. Note-se porém que seria ainda possível efectuar
simplificações de simetria em relação a dois planos paralelos ao eixo x3.
A partir deste problema, foram criados modelos compostos exclusivamente por cada tipo de elemento
finito suportado pelo programa, de maneira a testar o seu comportamento. Sendo um problema de Neu-
mann, foi necessário introduzir três restrições cinemáticas adicionais de modo a restringir os deslocamentos
de corpo rígido.
Como este tipo de teste é realizado com vista a representar o comportamento de elementos finitos
incluídos em malhas com um elevado grau de refinamento, optou-se por criar modelos compostos por
elementos não-distorcidos. Realizado o teste, todos os modelos produziram como resultado um campo de
deformações uniforme em que ε33 = −0,1, ε11 = ε22 = 0,03 e εi j ≈ 0, i 6= j . Os resultados são exibidos
no anexo C, sendo representado na figura 6.2a o resultado obtido para o campo ε33 a partir do modelo
composto por elementos finitos hexaédricos de 8 nós.
Este teste foi realizado com base em um conjunto de modelos compostos por elementos finitos não-
-distorcidos. Este cenário é favorável, pois a transformação aplicada ao sub-domínio de referência dos
elementos, ver expressão (4.2), resulta em um factor pontual de conversão de volumes-n que assume a
forma de uma constante. Assim, optou-se por repetir os testes em modelos compostos por elementos
90 Exemplos de aplicação
(a) Configuração original. (b) Configuração distorcida.
Figura 6.2: Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: modelos compostos por elementos hexaédricos de8 nós.
(a) não-distorcido (b) distorcido
Figura 6.3: Distorção dos elementos finitos obtida a partir da alteração da partição do modelo da barra.
Tabela 6.1: Campos de deformações obtidos em modelos distorcidos sujeitos a pressão constante.
Elemento Número de nós ε11 ε22 ε33 ε12 ε13 ε23
Tetraédrico4 0,03 0,03 -0,1 -2,77556e-17 1,02731e-16 1,73472e-1610 0,03 0,03 -0,1 2,77556e-17 -2,08167e-17 -1,04083e-17
Hexaédrico8 0,03 0,03 -0,1 1,73472e-17 8,1532e-17 1,9082e-1620 0,03 0,03 -0,1 1,38778e-17 4,85723e-17 -2,70617e-1627 0,03 0,03 -0,1 1,38778e-16 -9,02056e-17 -1,59595e-16
Prismático6 0,03 0,03 -0,1 1,73472e-17 -3,46945e-18 -5,20417e-1715 0,03 0,03 -0,1 -2,77556e-16 1,249e-16 -2,63678e-1618 0,03 0,03 -0,1 -1,94289e-16 -3,26128e-16 -7,63278e-17
distorcidos. A distorção dos elementos finitos foi obtida através da rotação de 45 do plano médio da barra,
inicialmente perpendicular ao seu eixo, conforme representado na figura 6.3.
Realizado o teste, mais uma vez todos os modelos voltaram a reproduzir um campo de deformações
uniforme em que ε33=−0,1, ε11= ε22= 0,03e εi j ≈ 0, i 6= j . Os resultados são exibidos na tabela 6.1, e a
representação gráfica de todos os modelos encontra-se no anexo D. Na figura 6.2b é exibida a deformação
ε33 representada através de um gradiente de cores, obtida a partir do modelo composto por elementos
finitos hexaédricos de 8 nós.
Os testes realizados até este ponto permitiram constatar que os elementos suportados pelo programa
possuem a capacidade de representar campos constantes de deformações.
6.3. Consola curta cúbica 91
(a) Representação da malha através do Gmsh. (b) Representação do modelo através do pro-grama de cálculo.
Figura 6.4: Representação da discretização do modelo de uma consola curta, composto por 8 elementoshexaédricos de 8 nós.
6.3 Consola curta cúbica
6.3.1 Introdução
O modelo da consola curta cúbica consiste num domínio hexaédrico com dimensões 1,00×1,00×1,00,
posicionado no espaço de maneira a que a origem do referencial coincida com o seu centróide e cada face
seja perpendicular a um dos eixos coordenados. Na figura 6.4a é representada a malha gerada pelo Gmsh,
bem como um referencial cujos eixos são paralelos aos eixos adoptados para referencial global. Este tipo
de representação de eixos será adoptado em todos os exemplos subsequentes. As malhas obtidas a partir
da partição deste domínio são usadas para definir modelos de um sólido homogéneo de material isotrópico
linear, cujo comportamento é representado através das constantes elásticas E = 1000e ν = 0,25.
Como condições de fronteira, os nós pertencentes ao plano x3 = −0,5 foram fixados, e foi aplicada
uma carga distribuída no domínio com uma densidade de força no volume de valor unitário. O modelo é
representado na figura 6.4b.
Como foi referido anteriormente, o programa de cálculo suporta três tipos de elementos: tetraédricos
(linear de 4 nós e quadrático de 10 nós), hexaédricos (linear Lagrangeano de 8 nós, quadrático Serendipiano
de 20 nós e quadrático Lagrangeano de 27 nós) e prismáticos (linear de 6 nós, quadrático Serendipiano de
15 nós e quadrático de 18 nós). Para testar a convergência destes elementos, para cada tipo de elemento
foi definido um conjunto de 5 modelos resultantes de um processo de refinamento-h progressivo aplicado a
um domínio definido como primitivo, conforme indicado na figura 6.5.
Cada domínio primitivo foi definido a partir de uma discretização do domínio do problema exclusivamente
em elementos do tipo pretendido. O posterior refinamento-h consistiu na subdivisão dos elementos que
compõem o domínio em um conjunto de elementos do mesmo tipo, conforme é descrito na figura 6.6.
É de referir que não foi possível completar a análise de alguns modelos devido a limitações dos recursos
92 Exemplos de aplicação
(a) Elementos tetraédricos. (b) Elementos hexaédricos. (c) Elementos prismáticos.
Figura 6.5: Partições primitivas do domínio do modelo, representadas através do Gmsh.
(a) 1 elemento. (b) 8 elementos. (c) 64 elementos. (d) 512 elementos.
Figura 6.6: Representação do refinamento-h de um modelo composto por elementos hexaédricos Lagran-geanos lineares de 8 nós.
disponíveis no sistema onde foi realizada a análise.
Obtidos os conjuntos de modelos para cada tipo de elemento, procedeu-se à obtenção de soluções e
posterior análise dos resultados. Esta análise centra-se em dois aspectos: (i) a análise da convergência do
erro na energia de deformação e (ii) a avaliação do campo de deslocamentos e grandezas derivadas.
6.3.2 Energia de deformação
Após terem sido obtidas aproximações da solução exacta para cada modelo procedeu-se ao cálculo da
energia de deformação, obtida a partir da seguinte expressão (Wunderlich e Pilkey, 2003, pág. 80):
U =12
∫Ω
σi j εi j dΩ (6.1)
Os resultados são apresentados na tabela 6.2.
Os resultados da energia de deformação foram expressos em função da dimensão característica dos
elementos, conforme é apresentado na figura 6.7. Para tal, a dimensão característica foi estimada a partir
da partição primitiva do domínio. Subsequentemente, foi determinada em cada etapa de subdivisão um
novo valor para a dimensão característica dos elementos de acordo com a seguinte expressão:
hn =h0
2n
6.3. Consola curta cúbica 93
Tabela 6.2: Energia de deformação em função do número de elementos.
Número de elementos 22 192 1536 12288 98304tetra 4 0,000528107 0,000627920 0,000690610 0,000727565 0,000746146
tetra 10 0,000712537 0,000738311 0,000752358 0,000757350 ?
Número de elementos 1 8 64 512 4096hexa 8 0,000557692 0,000640642 0,000710421 0,000742183 0,000755404
hexa 20 0,000666020 0,000721035 0,000748370 0,000756243 0,000758785hexa 27 0,000675092 0,000737821 0,000753670 0,000758032 ?
Número de elementos 4 32 256 2048 16384prism 6 0,000556784 0,000655781 0,000719177 0,000745732 0,000755222
prism 15 0,000677799 0,000729681 0,000750543 0,000756940 ?prism 18 0,000698862 0,000743095 0,000754952 0,000758398 ?
?: resultados por calcular devido a limitações do sistema
Figura 6.7: Gráfico da energia de deformação em função da dimensão característica dos elementos.
sendo h0 e e hn, respectivamente, a dimensão característica dos elementos na partição primitiva e após a
realização da n-ésima subdivisão dos elementos.
Conforme se pode notar na figura 6.5, não é possível assumir que uma primeira estimativa de h0 tenha
uma correspondência exacta entre os vários tipos de elementos. Desta forma, sublinha-se o carácter indi-
cativo da informação representada através do gráfico apresentado na figura 6.7. Este pormenor, juntamente
com outros factores, leva a que este tipo de análise seja apenas qualitativa.
Ao observar o gráfico exibido na figura 6.7 constata-se a existência de dois grupos de tipos de elementos
caracterizados em função do erro associado a uma aproximação inicial e a convergência para a solução
exacta. O grupo dos elementos cuja partição primitiva exibe um erro mais elevado é formado pelos modelos
compostos por elementos tetraédricos lineares de 4 nós, elementos hexaédricos lineares Lagrangeanos de
8 nós e elementos prismáticos lineares de 6 nós. Em contrapartida, o grupo de elementos que exibe uma
94 Exemplos de aplicação
melhor aproximação inicial e uma convergência para a solução exacta mais rápida é formado pelos modelos
compostos por elementos tetraédricos quadráticos de 10 nós, elementos hexaédricos quadráticos de 20 e
27 nós e elementos prismáticos quadráticos de 15 e 18 nós. Ou seja, os elementos cujas funções de base
exibem uma expansão polinomial completa até ao 2o grau possuem uma maior capacidade de aproximar a
solução exacta do que aqueles cujas funções de base exibem uma expansão polinomial completa apenas
até ao 1o grau.
Esta conclusão é coerente com as estimativas de erro associadas a funções de aproximação da solução
exacta, conforme a expressão (4.31). De acordo com essa expressão, o majorante do erro em energia para
modelos compostos exclusivamente por elementos lineares e quadráticos, desprezando a influência das
singularidades, é, respectivamente:
‖e‖en =Ch1 ,elementos lineares
‖e‖en =Ch2 ,elementos quadráticos(6.2)
A partir destas definições de majorantes dos erros, e arbitrando valores para C e h0, representa-se
na figura 6.8 dois gráficos das estimativas de convergência do erro em energia em comparação com uma
função que descreve, para o tipo de elementos em consideração, o andamento do majorante do erro em
função da dimensão característica dos elementos.
Como se pode constatar, a convergência do erro em energia exibida pelos elementos avaliados é pró-
xima da respectiva estimativa de majoração do erro para modelos livres da influência de singularidades.
Este problema apresenta uma singularidade nas tensões ao longo das quatro arestas da face encas-
trada. Os resultados mostram que esta singularidade não afecta a convergência dos elementos lineares,
mas diminui significativamente a respectiva taxa dos elementos quadráticos.
A aplicação prática do método dos elementos finitos obriga a que a análise da convergência do erro seja
realizada tendo em consideração o esforço computacional necessário para analisar um modelo. Este parâ-
metro é influenciado principalmente por dois factores: o tipo de elementos em que o domínio do problema
é repartido e o grau do refinamento dessa partição.
A influência do tipo de elementos empregue assenta principalmente no número de operações que com-
põe o cálculo da matriz de rigidez elementar. O número de operações é determinado pela escolha da
função de aproximação da solução exacta, especificamente o grau da função e o número de funções de
base que a definem, e pelas regras de quadratura empregues para realizar os integrais representados na
expressão (3.52), presente na página 29.
Sobre a função de aproximação, na implementação do algoritmo da construção da matriz de rigidez glo-
bal, cujo diagrama de actividade é representado na figura 5.5, a contabilização das funções de aproximação
e suas derivadas parciais é feita através do acesso a vectores que armazenam os valores calculados para
cada função de base para um dado ponto de integração. Estes vectores são iniciados mediante a invocação
dos métodos declarados pelo interface da classe Element, em particular setN(), setdNdcsi(), setdNdeta() e
setdNdzeta(), indicados no diagrama de classes representado na figura 5.4, em função do ponto onde é
6.3. Consola curta cúbica 95
10−4
10−3
10−2
10−1
100
0.01 0.1 1
Est
imat
iva
de e
rro
na e
nerg
ia
Dimensão característica
tetra 4prism 6hexa 8
linear
(a) Elementos lineares.
10−4
10−3
10−2
10−1
100
0.01 0.1 1
Est
imat
iva
de e
rro
na e
nerg
ia
Dimensão característica
tetra 10hexa 20hexa 27prism 15prism 18
quadrático
(b) Elementos quadráticos.
Figura 6.8: Gráfico da convergência do erro na energia em função do refinamento-h dos modelos.
pretendida a sua avaliação. Com esta iniciação, cada vector é redimensionado para ser composto por um
número de elementos igual ao número de funções de base do elemento, e cada elemento é usado para
armazenar o valor que cada função de base exibe quando avaliada em um determinado ponto.
Para estimar o peso computacional imposto pelas funções de aproximação de cada tipo de elemento,
procedeu-se à análise das instruções geradas pelo compilador para os métodos que as implementam. O
número de instruções gerado para cada método de cada classe é indicado na tabela 6.3 e representa,
para este conjunto algoritmo/plataforma/critério de optimização/tipo de escalar, o número de operações que
é necessário executar para calcular as funções de base da função de aproximação, bem como as suas
derivadas parciais. Estes conjuntos de instruções foram geradas para uma plataforma AMD64, seguindo
critérios de optimização para redução do número de instruções, e onde os escalares são representados
através de variáveis do tipo double.
O número de funções de base também se reflecte no número de nós usados para definir cada tipo de
96 Exemplos de aplicação
Tabela 6.3: Número de operações necessárias para avaliar os valores funções de interpolação e suasderivadas em um dado ponto do domínio elementar.
Tipo de elemento N(ξ) ∂N(ξ)∂ξ1
∂N(ξ)∂ξ2
∂N(ξ)∂ξ3
tetra 4 13 9 9 9tetra 10 73 49 49 48hexa 8 83 64 64 64
hexa 20 291 250 233 246hexa 27 460 613 606 573prism 6 42 25 25 31
prism 15 164 122 122 145prism 18 219 197 197 232
Tabela 6.4: Número de ciclos executados por diferentes etapas do algoritmo de construção da matriz derigidez elementar.
Tipo de elemento iniciar matriz V iniciar matriz B calcular matriz Kelemtetra 4 4 12 156
tetra 10 10 30 930hexa 8 8 24 600
hexa 20 20 60 3660hexa 27 27 81 6642prism 6 6 18 342
prism 15 15 45 2070prism 18 18 54 2970
elemento e, consequentemente, o número de graus de liberdade que o compõe. Estes parâmetros, por sua
vez, intervém no número de ciclos necessários para realizar tarefas como a definição da matriz de factor
pontual de conversão de volumes e superfícies, descritas respectivamente pelas expressões (4.4) e (4.7),
bem como na dimensão da matriz das derivadas parciais [B], representada na expressão (3.45). Esta última
tarefa tem um impacto considerável no esforço de computação que é necessário despender, visto que a ma-
triz de rigidez elementar resulta da pré e pós-multiplicação da matriz constitutiva por, respectivamente, [B]T
e [B], conforme indicado na expressão (3.53). O número de ciclos executados por cada tipo de elemento na
realização de cada tarefa apontada é indicado na tabela 6.4.
Em relação à integração numérica, a adopção de uma regra de quadratura implica a definição do número
de ciclos que é necessário realizar para integrar uma dada função. No conjunto de regras de quadratura
adoptadas, aquelas que são capazes de integrar exactamente funções polinomiais de maior grau são com-
postas por um maior número de pares pontos de integração/pesos. Tal implica que o recurso a elementos
cuja função de aproximação é de grau superior, que levam à definição de funções integrandas com um grau
mais elevado, impõe a aplicação de regras de quadratura compostas por um maior número de pares ponto
de integração/peso. Este acréscimo de pares ponto de integração/peso traduz-se no aumento do esforço
computacional exigido, visto que o número de instruções apontado na tabela 6.3 e o número de ciclos apon-
tado na tabela 6.4 são executados para cada ponto de integração de uma dada regra de quadratura. Assim,
o custo computacional associado a cada tipo de elemento é directamente proporcional ao número de pares
6.3. Consola curta cúbica 97
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Tetra 4
Tetra 10
Hexa 8
Hexa 20
Hexa 27
Prism 6
Prism 15
Prism 18
Dur
ação
(s)
Figura 6.9: Duração média do cálculo de uma matriz de rigidez elementar por tipo de elemento.
ponto de integração/peso da regra aplicada.
A contabilização de todos esses factores leva a que se verifiquem diferenças consideráveis no custo
de processamento necessário para calcular a matriz de rigidez elementar de cada tipo de elemento. Na
figura 6.9 é exibido um gráfico onde são representados valores médios obtidos para o processamento de
um elemento de cada tipo.
O grau de refinamento da partição influencia directamente o esforço computacional necessário para
obter uma aproximação da solução. Esta influência reflecte-se no aumento do número de elementos que
compõem o domínio e, consequentemente, no aumento do número dos graus de liberdade que definem o
problema. Este aumento implica também o aumento do esforço computacional exigido pelo algoritmo do
método dos elementos finitos, conforme referido na secção 4.2.
Tendo considerado o impacto que cada etapa do algoritmo do método dos elementos finitos tem na
definição da exigência computacional associada à realização de uma análise, passa-se à avaliação dos
resultados obtidos. Para tal, é indicado na figura 6.10 um gráfico que representa uma estimativa da conver-
gência do erro em energia em função da duração da execução da análise.
A primeira conclusão que se tira a partir de uma consulta do gráfico exibido na figura 6.10 é a forma
como os resultados produzidos por todos os elementos convergem monotonicamente para a solução exacta
e exibem relações idênticas da convergência para a solução exacta e o tempo despendido na análise.
Nota-se também que o elemento tetraédrico linear de 4 nós destaca-se pelos maus resultados em
termos de erro associado à solução e taxa de convergência em função da duração da análise. Em contra-
partida, nota-se que, no ponto de vista prático, o recurso a qualquer outro tipo de elemento leva à obtenção
de resultados praticamente equivalentes. É no entanto de destacar o elemento hexaédrico Lagrangeano
quadrático de 27 nós como o tipo de elemento responsável pelos melhores resultados, estando associado
aos resultados com menores erros associados e às melhores taxas de convergência em relação à duração
da análise.
98 Exemplos de aplicação
Figura 6.10: Gráfico da convergência do erro na energia de deformação em função da duração da análise.
Atendendo a que já foi estimada a convergência dos resultados em função da dimensão característica
dos elementos e, para o problema em análise, também em função do esforço computacional, procede-se à
avaliação da convergência do erro de problemas de dimensão arbitrariamente grande em função do esforço
computacional.
Como foi referido na secção 3.5, o grau de complexidade da etapa de montagem da matriz de rigidez
global é O(n) enquanto que o grau de complexidade de algoritmos de resolução de sistemas de equações
rondará O(n3) em métodos directos, e O(n2) por iteração do método dos gradientes conjugados. Estes
dados indicam que, para problemas com uma dimensão arbitrariamente grande, o esforço computacional
necessário para obter uma aproximação da solução tenderá a concentrar-se na resolução do sistema de
equações. Essa conclusão é apoiada pelos resultados das análises efectuadas ao modelo da consola curta,
cujos valores obtidos a partir de modelos compostos por elementos prismáticos triangulares lineares são
representados na figura 6.11.
Visto que, conforme indicado na secção 3.5, o esforço computacional tende para ser concentrado na
etapa de resolução do sistema de equações, procede-se à análise dos resultados em função da dimen-
são do sistema de equações a ser resolvido. Com esta hipótese em consideração foi traçado o gráfico
apresentado na figura 6.12.
A partir do gráfico representado na figura 6.12 é possível constatar que a partição de domínios em
elementos lineares produz aproximações da solução exacta com um erro relativo na energia superior ao
erro associado ao uso de elementos quadráticos. Neste domínio destaca-se novamente o erro na energia
relativo associado ao uso de elementos tetraédricos lineares. Constatou-se que os modelos compostos
por este tipo de elemento exibem um erro relativo consideravelmente elevado, que, para problemas com
um peso computacional semelhante, é superior em uma ordem de grandeza ao erro associado ao uso de
6.3. Consola curta cúbica 99
!
Figura 6.11: Duração relativa das etapas de montagem da matriz de rigidez global e resolução do sistemade equações para modelos compostos por elementos prismáticos lineares de 6 nós.
10−3
10−2
10−1
100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
Est
imat
iva
de e
rro
na e
nerg
ia
Número de coeficientes da matriz de rigidez
tetra 4tetra 10hexa 8
hexa 20hexa 27prism 6
prism 15prism 18
Figura 6.12: Gráfico da convergência do erro na energia em função do número de coeficientes da matriz derigidez.
elementos hexaédricos quadráticos de 27 nós.
6.3.3 Campo de deslocamentos e grandezas derivadas
Na figura 6.13 é exibida uma representação gráfica do modelo de consola curta. Como a aproximação
do campo de deslocamentos converge mais rapidamente para a solução exacta do que a energia de defor-
mação, as diferenças entre os campos de deslocamentos obtidos para cada caso são tão reduzidas que,
mesmo ampliados, não são facilmente perceptíveis.
A análise do campo de deslocamentos também permite constatar que as secções transversais da con-
sola não permanecem planas, conforme é admitido na teoria de vigas de Euler-Bernoulli e de Timoshenko,
nem perpendiculares ao eixo da peça, conforme admitido na teoria de vigas de Euler-Bernoulli. Este resul-
tado é esperado, por a consola curta aqui analisada não poder ser considerada uma peça linear. Na figura
100 Exemplos de aplicação
(a) Configuração indeformada. (b) Campo de deslocamentos ampli-ado 100×.
Figura 6.13: Representação de um modelo composto por 512 elementos hexaédricos Lagrangeanos linea-res de 8 nós.
(a) Configuração indefor-mada.
(b) Campo de deslocamentosampliado 200×.
(c) Secção no plano x3 = 0ampliado 300×.
Figura 6.14: Representação do campo de deslocamentos de um modelo composto por 4096 elementoshexaédricos Lagrangeanos lineares de 8 nós: vista do plano x1 = 0.
(a) 8 elementos. (b) 64 elementos. (c) 512 elementos. (d) 4096 elementos.
Figura 6.15: Campo σ23 no plano x1 = 0 obtido a partir da partição do domínio em elementos hexaédricosLagrangeanos lineares de 8 nós.
6.14 é perceptível a distorção das secções da consola ao longo do seu eixo.
Os campos de tensões e deformações também convergem conforme o esperado. Na figura 6.15 é
representado o campo de tensões σ23 através de um gradiente de cores ao longo da secção da consola.
No anexo E são incluídas representações dos campos de deformações e tensões obtidos a partir da análise
de um conjunto de modelos da consola curta em vários estados de refinamento.
Nas figuras 6.16 estão representadas as tensões σ23 e σ33 obtidas a partir da análise do modelo de
4096 elementos hexaédricos Lagrangeanos lineares, retirados da fibra vertical situada a meio da consola
6.4. Esfera oca sujeita a pressão interna 101
(a) Tensões σ23.
(b) Tensões σ33.
Figura 6.16: Comparação das tensões na fibra vertical média do plano de encastramento, calculadas atravésda teoria de Euler-Bernoulli e do método dos elementos finitos.
(x1 = x3 = 0). Como é possível constatar, e apesar das descontinuidades, o campo das tensões σ23
apresenta uma distribuição idêntica à de um polinómio de 2o grau, semelhante aos resultados obtidos a
partir da teoria de vigas de Euler-Bernoulli. Como a fibra onde foram determinados os valores se situa a
x3 = 0,5 e como o modelo está sujeito a uma carga distribuída no volume de valor unitário, o valor máximo
de tensão é obtido a partir da seguinte expressão:
σ23 =32
VA=
32−0,51,0
=−0,75 (6.3)
Em comparação, o valor da tensão avaliado através do método dos elementos finitos para o mesmo
ponto da fibra considerada é σ23 =−0,741961.
Por sua vez, o campo das tensões σ33 não exibe a distribuição linear que é característica da teoria de
vigas de Euler-Bernoulli. Considerando que, para z= 0,5, o momento é M = pl2/2= 0,125, a maior tensão
calculada para essa fibra será σ33 = ±0,75 para y= ±0,5. Em comparação, através desta aplicação do
método dos elementos finitos a maior tensão foi σ33 = 0,739348para y= 0,4375.
6.4 Esfera oca sujeita a pressão interna
O problema de uma esfera oca sujeita a pressão interna é um dos raros problemas da mecânica de
sólidos cuja solução analítica é conhecida. Esta solução, por corresponder a um campo de tensões livre de
singularidades, permite antever que a taxa de convergência observada em modelos compostos exclusiva-
mente por elementos finitos do mesmo tipo será próxima da taxa teórica para o grau de aproximação do tipo
de elementos empregue, conforme expresso na secção 4.6. Juntamente, como não é possível representar
exactamente o seu domínio, a análise deste tipo de problema também permite observar a capacidade de
cada tipo de elementos finitos de aproximar volumes definidos por superfícies curvas.
O modelo adoptado para este exemplo consiste num domínio esférico oco com raio externo e interno
iguais a, respectivamente, b= 1,00 e a= 0,50. As constantes materiais foram arbitradas como E = 10 e
ν = 0,3. A fim de reduzir os graus de liberdade do problema, recorreu-se a três simplificações de simetria
102 Exemplos de aplicação
Figura 6.17: Modelo da esfera, sujeito a simplificação por simetria.
segundo os planos perpendiculares a x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0, conforme representado na figura 6.17.
Como condições de fronteira estática, a pressão interna foi modelada através de forças distribuídas
na superfície interna da esfera, aplicadas perpendicularmente a esta, com uma magnitude p = 1,00. As
condições de fronteira cinemáticas prescritas resumem-se à fixação, nos planos de simetria, dos graus de
liberdade perpendiculares a estes.
A partição do domínio esférico necessária para realizar os testes de convergência foi condicionada pela
capacidade do Gmsh de gerar malhas compostas exclusivamente por um tipo de elemento finito, escolhido
arbitrariamente, e com um grau de refinamento estipulado pelo utilizador. Por este motivo, a capacidade de
geração de malhas foi limitada. Apesar da partição em sub-domínios hexaédricos mediante um processo
de subdivisão ser bem sucedida, não foi possível gerar malhas compostas exclusivamente por elementos
prismáticos, o que impossibilitou avaliar o comportamento estes elementos finitos suportados pelo FEMP.
A partição em sub-domínios tetraédricos também se revelou problemática, sobretudo no que concerne
ao processo de subdivisão. Entre os problemas encontrados incluem-se a geração de elementos excessiva-
mente distorcidos e cujos determinantes da matriz jacobiana eram negativos em certos pontos, elementos
laminares, e falhas na continuidade, conforme exibido na figura 6.18. Face a estas dificuldades, não foi
possível analisar malhas resultantes de processos de sub-divisão, conforme é pressuposto na obtenção
de expressões para estimar taxas de convergência. Como alternativa, foi gerado um conjunto de malhas
refinadas progressivamente em função da dimensão máxima de cada elemento finito.
Definidos os modelos, procedeu-se à sua análise. A partir dos resultados, foi obtido para cada modelo a
respectiva energia de deformação. Estes resultados foram posteriormente comparados com o valor exacto
da energia de deformação (Vicente da Silva, 2002, pág. 74), calculado a partir da expressão:
U = πp2a3 (b3+2a3)+ν(b3−4a3)
E(b3−a3)(6.4)
6.4. Esfera oca sujeita a pressão interna 103
Figura 6.18: Modelo composto por elementos tetraédricos de 10 nós gerado pelo Gmsh, exibindo uma falhana continuidade.
Também se procedeu ao cálculo do volume de Ω de cada modelo, realizado a partir do somatório do
volume do conjunto de elementos que os compõem. Estes resultados foram posteriormente comparados
com o seu valor exacto, expresso por:
V =π8
43(b3−a3) (6.5)
Os resultados obtidos a partir desta série de análises estão disponíveis no anexo F. Os valores são
representados nos gráficos representados nas figuras 6.19 e 6.20.
Como é possível constatar no gráfico da figura 6.19, enquanto os modelos compostos por elementos
hexaédricos exibem uma taxa de convergência regular em função do número de graus de liberdade, o
mesmo não se verifica com os modelos compostos por elementos tetraédricos. Estes resultados reflectem
o processo de criação dos modelos, por não terem sido definidos através de um esquema de subdivisões
de uma malha primitiva. Por conseguinte, cada partição de Ω não constitui um sub-espaço das partições
mais refinadas.
Uma outra contribuição para o desvio dos resultados foi o grau de distorção exibido pelos elementos.
Com este exemplo foi também possível constatar que a aproximação do domínio por elementos finitos,
conforme representado no gráfico na figura 6.20, também converge para a configuração geométrica exacta
do modelo, exibindo uma taxa de convergência semelhante àquela obtida para a energia de deformação.
Como os erros de definição do domínio do problema influenciam a aproximação à solução exacta, este
tipo de erros também exercem uma influência significativa a qualidade da solução. Assim, estes resultados
permitem constatar a vantagem inerente ao uso de elementos isoparamétricos de maior grau para melhor
aproximar domínios não-planos.
104 Exemplos de aplicação
Figura 6.19: Gráfico do erro na energia.
Figura 6.20: Gráfico do erro no volume.
6.5 Laje
Neste exemplo é analisado através do método dos elementos finitos aplicado à análise estática linear de
sólidos um conjunto de modelos de uma laje quadrada, cujos resultados são posteriormente comparados
com aqueles obtidos a partir da solução analítica da teoria de lajes finas e moderadamente espessas.
A laje em estudo possui uma dimensão 2,00× 2,00× 0,20, com a sua face normal ao eixo x3 do
referencial global. Como condições de fronteira cinemática, arbitrou-se que esta se encontra simplesmente
apoiada em todas as extremidades. Para as constantes materiais adoptaram-se os valores E = 30×106 e
ν = 0,20.
Para reduzir a dimensão dos problemas a serem resolvidos procedeu-se à análise de um modelo da laje
resultante de uma dupla simplificação de simetria. Desta forma o modelo empregue na análise apresenta
uma dimensão 1,00×1,00×0,20e encontra-se simplesmente apoiado nos bordos externos/reais e com
6.5. Laje 105
A
A
x1
x2
(a) Sem simplificação de simetria.
B
B
x1
x2
(b) Com simplificação de simetria.
Figura 6.21: Representação das condições de apoio da laje.
(a) Simplificação de simetria de um modelo de laje. (b) Simplificação de simetria de um modelo de elementos fini-tos tridimensionais.
Figura 6.22: Comparação da implementação das condições de fronteira cinemática da simplificação porsimetria.
um encastramento deslizante no sentido vertical nos bordos internos/fictícios, conforme esquematizado
na figura 6.21. É de salientar que seria possível efectuar uma terceira simplificação de simetria, mas tal
inviabilizaria a utilização de elementos hexaédricos não-distorcidos.
Como os graus de liberdade que intervém na formulação de elementos finitos tridimensionais são trans-
lações de pontos pertencentes ao modelo, tornou-se necessário representar as condições de fronteira das
lajes em função destas translações. Consequentemente, a condição de fronteira de apoio simples é repro-
duzida através da fixação de qualquer translação dos nós pertencentes à fibra média do plano de suporte
da laje.
Para as condições de fronteira representativas dos planos de simetria, os nós pertencentes a esses
planos tem os seus deslocamentos impedidos na direcção perpendicular à face a que pertencem, conforme
representado na figura 6.22. Os nós pertencentes à linha resultante da intersecção dos planos de simetria
da laje tem os seus deslocamentos fixados na direcção perpendicular a ambos os planos. Tal implica que os
nós incluídos na aresta comum a ambos os planos de simetria tenham os seus deslocamentos impedidos
em duas direcções. A fixação dos graus de liberdade nos planos de simetria é representada na figura 6.23.
A acção que foi imposta ao modelo consistiu numa carga distribuída no volume com uma densidade
5,00 aplicada segundo a direcção perpendicular ao plano da laje. Considerando que a laje exibe uma
106 Exemplos de aplicação
Figura 6.23: Modelo de elementos finitos da laje com condições de fronteira representativas da simplificaçãopor simetria.
Figura 6.24: Nós do plano de simetria de um modelo de 1000 elementos hexaédricos lineares de 8 nósrepresentados na configuração deformada.
espessura de 0,20, essa acção pode ser representada por uma carga estaticamente equivalente distribuída
na área da laje com uma intensidade de 1,00. O campo de deslocamentos obtido a partir da análise é
representado na figura 6.24.
Como outro termo de comparação, recorreu-se à solução construída através de uma série de funções
conforme sugerida por M. Lévy (Timoshenko e Woinowsky-Krieger, 1959, pág. 113). Considerou-se nova-
mente uma laje rectangular de dimensões (a×b), rigidez de flexão constante, D f =E h3
12(1−ν2), coeficiente de
Poisson, ν, simplesmente apoiada em todo o seu contorno e sujeita a uma carga uniforme efectiva expressa
através de:
pe f = p+mα,α (6.6)
onde p representa a carga distribuída e mα,α o momento aplicado por unidade de área.
6.5. Laje 107
Tabela 6.5: Resultados da aplicação do método dos elementos finitos à análise do modelo da laje.
Deslocamento máximo Energia de deformação mmax11 e mmax
22Laje fina 3,119887e-06 6,5376404e-07 0,1768112478
Laje moderadamente espessa 3,261336e-06 6,8750252e-07 0,1768112478MEF 1000 elementos 3,372550e-06 7,132560e-07 0,184152
A solução para este problema pode escrever-se na forma:
w(x1,x2) =4pe f a4
π5D f
∞
∑m=1,3,5,...
1m5
(
1− αm tanhαm+22 coshαm
cosh2αmx2
b
+αm
2 coshαm
2x2
bsinh
2αmx2
b
)
senmπx1
a, (6.7)
onde
αm =mπb2a
. (6.8)
A energia de deformação foi obtida explicitamente através de
U =a5bp2
e f
π6D f
∞
∑m=1,3,5,...
1m6 αm
(−1+ cos(mπ))(
3 tanh(αm)+(
−3+ tanh2(αm))
αm)
. (6.9)
De modo inteiramente análogo, também é possível representar a solução exacta em série simples para
uma laje rectangular simplesmente apoiada moderadamente espessa (hipóteses de Reissner-Mindlin) su-
jeita a uma carga uniformemente distribuída, ver Marguerre e Woernle (1969, capítulo 16, página 184). No
presente caso recorreu-se à condição de fronteira do tipo hard (Häggblad e Bathe, 1990) para os bordos
simplesmente apoiados.
Finalmente, procedeu-se à análise do modelo da laje pelo método dos elementos finitos. O modelo da
laje submetido a análise foi definido a partir de uma malha estruturada de elementos hexaédricos de 8 nós
composta por 1000 elementos, conduzindo à definição de um problema com 3690 graus de liberdade. Após
a análise, procedeu-se à comparação dos resultados com aqueles obtidos a partir das soluções por série
de funções. Os valores obtidos a partir da análise por método dos elementos finitos correspondem à fibra
vertical situada no centro da laje. O valor do momento máximo foi calculado através da integração numérica
das tensões retiradas ao longo de fibras verticais, enquanto que o deslocamento máximo corresponde ao
nó desta fibra localizado no plano médio da laje. Os resultados obtidos são apresentados na tabela 6.5.
Ao comparar os resultados constata-se que os deslocamento obtidos através do método dos elementos
finitos são superiores aos obtidos pela série de funções, uma diferença que será ampliada com o refina-
mento da partição do domínio do problema. Pressupõe-se que esta diferença dos resultados fica a dever-
-se às hipóteses simplificativas adoptadas na definição do modelo de laje. Como esta implementação do
método dos elementos finitos não impõe às aproximações da solução as restrições aos deslocamentos re-
sultantes das hipóteses simplificativas de Kirchhoff e Reissner-Mindlin, então a rigidez da laje será inferior.
Consequentemente, os deslocamentos são superiores àqueles obtidos a partir da teoria de lajes.
108 Exemplos de aplicação
(a) Tensão σ11.
(b) Tensão σ22.
Figura 6.25: Campo de tensões na fibra vertical do centro da laje.
Figura 6.26: Tensão de von Mises avaliada na fibra do canto da laje.
0
5
10
15
20
25
30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
tens
ão
x2
(a) Tensão σ11.
0
5
10
15
20
25
30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
tens
ão
x2
(b) Tensão σ22.
Figura 6.27: Campo de tensões na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelocomposto por elementos finitos lineares.
Os campos de tensões e tensão de von Mises são representados nas figuras 6.25 e 6.26. Também foi
possível recuperar o campo de tensões ao longo da fibra horizontal inferior contida no plano de encastra-
mento deslizante perpendicular a x1, cujos resultados são representados na figura 6.27.
Devido à descontinuidade notável que se observa entre os valores das tensões entre os elementos,
procedeu-se à análise do mesmo modelo de laje, desta vez composto por elementos hexaédricos quadráti-
cos de 27 nós. Os campos de tensões σ11 e σ22 obtido a partir da análise deste modelo é representado na
figura 6.28. As tensões principais calculadas no plano de simetria da laje são representadas na figura 6.29.
6.5. Laje 109
0
5
10
15
20
25
30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
tens
ão
x2
(a) Tensão σ11.
0
5
10
15
20
25
30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
tens
ão
x2
(b) Tensão σ22.
Figura 6.28: Campo de tensões na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelocomposto por elementos finitos quadráticos.
(a) Representação das tensões principais positivas.
(b) Representação das tensões principais negativas.
Figura 6.29: Representação das tensões principais no plano de simetria da laje, modelo composto porelementos finitos quadráticos.
110 Exemplos de aplicação
6.6 Perfil IPE biencastrado
Como demonstração do potencial do método dos elementos finitos aplicado a problemas da elasticidade
tridimensional, procede-se à análise do campo de tensões em um perfil laminado. Para tal foi definido um
modelo de um perfil IPE 80 com um comprimento l = 1,00, com 1 mma corresponder neste exemplo a
10−3 unidades de comprimento.
Como constantes elásticas foram adoptados os valores E = 210×106 e ν = 0,3. O modelo do perfil
foi biencastrado e sujeito a uma força distribuída por unidade de volume de valor b = 1000. O eixo do
perfil coincide com o eixo x3 do referencial global, e os eixos menor e maior de inércia correspondem,
respectivamente, ao eixo x1 e x2. Desde ponto em diante, as secções transversais do perfil resultantes da
intersecção do modelo com um plano perpendicular ao eixo x3 serão referidas em função ao comprimento
da barra, expresso simbolicamente por l . Assim, a secção de encastramento do perfil será referida por
x3 = 0,00l , e a secção a meio-vão por x3 = 0,50l .
O domínio foi repartido em uma malha estruturada composta por 10752 elementos hexaédricos Lagran-
geanos de 8 nós. A partição da secção é representado na figura 6.30.
Figura 6.30: Partição da secção de um modelo de um perfil IPE 80, representado pelo Gmsh.
Obtida a aproximação da solução exacta do problema, procedeu-se à análise dos campos de tensões.
O campo de tensões σ33 é representado na figura 6.31 através de um gradiente de cores. Na figura 6.32
são exibidos gráficos do diagrama das tensões retirados da fibra média dos banzos e da alma na secção
x3 = 0,50l .
Como se pode constatar a partir dos gráfico exibidos na imagem 6.32, os banzos apresentam uma
distribuição da tensão σ33 próxima da constante enquanto que a alma exibe uma distribuição praticamente
linear.
Para comparar os resultados, procedeu-se ao cálculo das tensões no perfil através da aplicação da
teoria de peças lineares. A estimativa da tensão σ33 é obtida a partir da seguinte expressão:
6.6. Perfil IPE biencastrado 111
Figura 6.31: Representação das tensões σ33 do perfil IPE 80 na configuração deformada.
Tabela 6.6: Comparação das tensões σ33 em pontos da secção do perfil IPE 80.
Descrição y Linear MEF (média)Limite superior da secção 40,0 1,5897 1,5647
Plano médio do banzo 37,4 1,4864 1,4845Fim da espessura constante da alma 29,8 1,1843 1,1881
σ33 =M11yI11
(6.10)
sendo M11 o momento flector em torno do eixo x1, y a distância paralela ao eixo x2 entre a linha neutra do
perfil e um ponto na sua secção, e I11 o momento de inércia. Para um perfil IPE 80, I11= 0,801×106 mm2
e ymax= 40mm. Como acções, optou-se por simular a carga distribuída por unidade de volume usada no
modelo de elementos finitos através da aplicação de uma carga uniforme distribuída equivalente. Como
a área da secção de um perfil IPE 80 corresponde a A = 764 mm2, a acção a aplicar assume o valor
equivalente de p= 764 N/m. Tendo em conta as condições de fronteira cinemática que foram impostas, o
momento flector a meio-vão corresponde a:
M11 =pl2
24=
764×12
24= 31,833 Nm (6.11)
Substituindo (6.11) na expressão (6.11) e expressando o valor de σ33 em função da distância à linha
neutra, obtém-se:
σ33(y) =M11yI11
=31,833×103× y
0,801×106 = 39,742y Pa/mm (6.12)
Na tabela 6.6 é apresentada uma comparação entre os valores das tensões σ33 obtidos na secção a
meio-vão.
A distribuição de tensões σ13 nos banzos, conforme se pode notar nos gráficos da figura 6.33, apresenta
nas secções x3 = 0,25l e 0,50l resultados que são coerentes com a teoria de peças lineares. Na secção
112 Exemplos de aplicação
(a) Banzo inferior
(b) Banzo superior
(c) Alma
Figura 6.32: Representação das tensões σ33 na secção x3 = 0,50l .
x3 = 0,50l , como o esforço transverso é nulo, naturalmente o campo de tensões σ13 é nulo. Na secção
x3 = 0,25l , o campo de tensões σ13 exibe uma distribuição idêntica àquela obtida para a expressão do fluxo
de corte no banzo. Como na zona de ligação entre banzos e a alma é observado um aumento da espessura
das placas, é espectável que o fluxo de tensão exiba uma redução.
De acordo com a teoria de peças lineares, a distribuição de tensões de corte no banzo é estimada a
partir da seguinte expressão:
σ13(s) =V(z)S(s)
I11t(6.13)
onde V(z) representa o esforço transverso na secção z da barra, S(s) representa o momento estático na
secção s, I11 o momento de inércia da secção e t a espessura do banzo.
Para vigas biencastradas, o esforço transverso na secção z da barra é obtido a partir da seguinte ex-
pressão:
V(z) = pl/2− pz (6.14)
sendo p a força distribuída por unidade de comprimento da barra. Para este exemplo, como se trata de
um perfil IPE 80 sujeito a uma força distribuída por unidade de volume de valor unitário, a força distribuída
equivale a p = 764× 10−6. Os restantes valores são: V(0,25l) = 191× 10−6, I = 0,801× 10−6, t =
0,0052. Os resultados obtidos a partir do método dos elementos finitos e teoria de peças lineares são
exibidos no gráfico da figura 6.34.
Note-se que as tensões obtidas a partir do método dos elementos finitos só divergem da distribuição
linear nas fibras localizadas a distâncias inferiores a 0,008 do eixo de simetria da secção. Tal deve-se à
geometria dos perfis do tipo IPE 80, caracterizada por uma espessura da alma tw = 3,80 mme um raio da
ligação banzo-alma r = 5,00 mm. Como a espessura do banzo aumenta a distâncias inferiores a 0,0069do
eixo de simetria, é de esperar que se observe uma redução do fluxo de corte. É também de esperar que as
6.6. Perfil IPE biencastrado 113
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4
x / c
ota
do b
anzo
tensão
(a) x3 = 0,00l .
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4x
/ cot
a do
ban
zo
Tensão
(b) x3 = 0,25l .
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4
x / c
ota
do b
anzo
Tensão
(c) x3 = 0,50l .
Figura 6.33: Representação das tensões σ13 no banzo superior em várias secções ao longo do eixo.
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0 0.005 0.01 0.015 0.02
Ten
são
Cota da secção
FEMBernoulli
Figura 6.34: Representação das tensões σ13 no banzo superior na secção x3 = 0,25l .
direcções principais dos tensores das tensões não continuem alinhadas com o eixo x1. Como consequência,
conforme se observa na figura 6.34, na fibra x = 0, localizada no eixo de simetria da secção, os valores
obtidos através do método dos elementos finitos para o campo de tensões σ13 são, em média, nulos.
Na secção x3 = 0,00l , os pressupostos da teoria de peças lineares em relação ao empenamento livre
já não são satisfeitos. Como a secção é impedida de se deformar no seu plano, é formado transversalmente
ao eixo da barra o campo de tensões correspondente aos deslocamentos prescritos. Neste caso, a tracção
que se observa no banzo superior provoca uma contracção da placa segundo o eixo x1, reflexo do efeito
do coeficiente de Poisson, que varia linearmente desde o eixo de simetria da secção. Para esta secção ser
impedida de empenar, a deformação provocada pelo campo de tensões σ33 é contrariada pela contribuição
do campo de tensões σ31. Como consequência da simetria do tensor das tensões, surge também um
campo de tensões σ13, representada através do gráfico na figura 6.33.
Por fim, é representado nos gráficos da figura 6.35 a distribuição das tensões de von Mises ao longo da
fibra média do banzo superior. É na secção x3 = 0,00l , na zona de junção entre o banzo e a alma, onde o
modelo se encontra mais próximo da cedência.
114 Exemplos de aplicação
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x / c
ota
do b
anzo
tensão
(a) x3 = 0,00l .
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x / c
ota
do b
anzo
Tensão
(b) x3 = 0,25l .
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x / c
ota
do b
anzo
Tensão
(c) x3 = 0,50l .
Figura 6.35: Representação das tensões de von Mises no banzo superior em várias secções ao longo doeixo.
6.7 Perfil LNP curvo
Uma das grandes vantagens inerentes à aplicação do método dos elementos finitos ao problema da
elasticidade tridimensional reside na sua capacidade de modelar o comportamento de sólidos, independente
da geometria que poderão assumir. Isso faz com que este método possa ser usado para modelar qualquer
elemento estrutural, havendo apenas como constrangimento ao seu uso a capacidade computacional a que
se tem acesso e o pós-processamento dos resultados que é possível realizar. Tal implica que este método
permite analisar modelos de elementos estruturais mesmo quando o comportamento a ser modelado se
afasta de hipóteses simplificativas adoptadas no desenvolvimento de outras teorias, saindo assim do seu
domínio de aplicação. Um desses casos consiste na análise de uma barra pouco esbelta com um eixo
curvo cuja secção não apresenta qualquer eixo de simetria paralelo ou perpendicular ao raio de curvatura.
Como exemplo, considere-se um perfil LNP 200 100 16 (com 1 mm a corresponder a 10−3 unidades de
comprimento no presente exemplo) com um eixo curvo, com um raio de curvatura correspondente a 1,00
definido a partir da extrusão da secção ao longo de um ângulo de π/2 rad, conforme é apresentado na
figura 6.36.
Como condições de fronteira cinemática, foi imposto o encastramento de uma secção. Foi também
atribuído ao modelo as constantes elásticas E = 210×106 e ν = 0,3.
Como primeiro caso de análise foi aplicada uma carga pontual na extremidade livre no nó situado no
vértice da face exterior das lâminas que compõem o perfil, com sentido vertical e com magnitude de 10,00.
A partição do domínio foi realizada de maneira a gerar apenas elementos lineares. Tendo como ponto
de partida uma malha bidimensional da secção do perfil metálico, conforme apresentado na figura 6.37, o
modelo tridimensional foi gerada a partir da extrusão da malha bidimensional ao longo da curva de extrusão.
A partir desta operação a partição do domínio levou à definição de um modelo composto por conjunto de
elementos hexaédricos de 8 nós e elementos prismáticos de 6 nós, somando ao todo 832 elementos finitos
e 4518 graus de liberdade.
6.7. Perfil LNP curvo 115
Figura 6.36: Perfil LNP 200 100 16 com um raio de curvatura de 1,00.
Figura 6.37: Partição da secção de um modelo de um perfil LNP 200 100 16, representado pelo Gmsh.
Procedida a análise do modelo foi obtida um campo de deslocamentos conforme apresentado em 6.38.
A partir deste resultado constata-se que, além da curvatura de flexão, o perfil exibe também uma ligeira
deformação por torção. Este resultado vem ao encontro das expectativas visto que a força não está aplicada
no centro de corte do perfil e a curvatura da barra implica que a aplicação desta força provocaria um efeito
de torção.
Como o elemento estrutural em estudo é curvo, a observação isolada de componentes do tensor das
tensões e das deformações não permite avaliar adequadamente o estado em que o elemento estrutural
foi submetido. De forma a evitar esse problema procedeu-se à representação do campo de tensões sob a
forma das tensões de comparação de von Mises, conforme é representado na figura 6.39.
O critério de cedência de von Mises define o limite elástico de um material, e permite inferir se um sólido
se encontra em cedência através da comparação de estados de tensão observados no seu interior com
valores obtidos em ensaios uniaxiais, ver Chen e Han (2007, pág. 78). Por este motivo, este critério de
cedência tem sido empregue como a base de procedimentos de verificação de segurança em relação ao
116 Exemplos de aplicação
Figura 6.38: Configuração deformada do perfil LNP 200 100 16 sujeito a uma carga pontual na extremidadelivre.
Figura 6.39: Representação do campo da tensão de comparação de von Mises.
limite elástico, incluídos em um conjunto de regulamentos de estruturas de aço e de alumínio, (Kissell e
Ferry, 2002, pág. 215).
Outra vantagem associada a este método prende-se com a forma assumida pela sua expressão. Como a
expressão do critério de cedência de von Mises representa um mapeamento entre o invariante de um tensor
e um escalar, esta revela-se particularmente apropriada para representar os resultados de análises de forma
inteligível, com a vantagem de ser de implementação simples, conforme se pode notar na figura 6.39.
Como seria de esperar, a aplicação de uma carga vertical na extremidade da barra leva a que se
verifique um aumento gradual das tensões na direcção do encastramento e haja uma concentração de
tensões no topo da lâmina vertical da secção na secção encastrada.
6.8 Placa com orifício circular sujeita a tracção
A necessidade de analisar placas com orifícios circulares surge frequentemente no domínio da verifica-
ção e dimensionamento de estruturas e peças metálicas. Tal deve-se ao facto da existência de um orifício
6.8. Placa com orifício circular sujeita a tracção 117
a
b m
n
SS
r
θ
l
Figura 6.40: Representação de uma barra com orifício circular sujeita a tracção.
circular em uma placa submetida à tracção implicar que a distribuição de tensões seja significativamente
alterada na sua vizinhança.
As tensões causadas pela presença de um orifício circular numa barra traccionada com dimensões b e
l infinitas são obtidas a partir das seguintes expressões (Branco, 1998, pág. 611):
σrr =S2
(
1− a2
r2
)
+S2
(
1+3a4
r4 − 4a2
r2
)
cos(2θ)
σθθ =S2
(
1+a2
r2
)
− S2
(
1+3a4
r4
)
cos(2θ)
τrθ =−S2
(
1− 3a4
r4 +2a2
r2
)
sen(2θ)
(6.15a)
(6.15b)
(6.15c)
sendo Sa tensão de tracção uniforme aplicada na placa, a o raio do orifício, b a menor distância do centro
do orifício até à fronteira lateral da placa, e r a distância entre o centro do orifício e um ponto na placa,
conforme representado na figura 6.40.
Como comparação, procedeu-se à criação de um modelo que representasse este tipo de placa. Tal
modelo, representado através de um sistema coerente de unidades, tem como dimensões b = 2a, e l =
2× (3a), com um orifício com raio a= 1,00e espessura transversal t = 1,00.
De maneira a reduzir o custo computacional associado à análise deste modelo, optou-se por efectuar
três simplificações de simetria, conforme foi representada na figura 6.41. Esta redução resultou na criação
de um modelo com metade do comprimento e espessura (b= 2, t = 0,5 e l = 3a), e sujeito às condições
de fronteira cinemáticas apropriadas.
Para exercer um maior controle sobre a sua partição, o domínio do problema foi dividido em duas
regiões: a região do orifício e o fuste da placa.
Para a região do orifício, como era previsto o surgimento de um campo singular de tensões na sua su-
perfície, a partição do domínio foi realizada segundo um esquema de refinamento-h não-uniforme baseado
no erro do campo de tensões. Como resultado, aplicou-se um refinamento progressivo no plano de simetria
118 Exemplos de aplicação
(a) Completo. (b) Simplificação de simetria.
Figura 6.41: Modelos de uma placa com um orifício circular.
Figura 6.42: Discretização do domínio da placa com um orifício.
transversal, no sentido do exterior da placa para centro do orifício, com os nós a serem posicionados se-
gundo uma progressão geométrica de razão r = 1,25. Para a região do fuste da placa, a consideração do
princípio de Saint-Venant sugeriu o recurso a uma partição estruturada que fosse adequadamente refinada
ao longo do eixo da placa. Como não se previa uma variação acentuada das tensões ao longo da espes-
sura, optou-se também por definir uma partição estruturada do domínio nessa direcção. Tomando essas
indicações em consideração, foi obtida a discretização do domínio apresentada na figura 6.42, composta
por 9540 elementos lineares, hexaédricos e tetraédricos, com cerca de 9 mil graus de liberdade.
Para as condições de fronteira cinemática, os nós contidos nos planos de simetria tiveram os seus
6.8. Placa com orifício circular sujeita a tracção 119
(a) σ11. (b) σ22. (c) σ12. (d) σcomp.
Figura 6.43: Representação dos resultados da análise de um modelo composto por elementos finitos linea-res.
0
1
2
3
4
5
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Ten
são
x
analíticaMEF 2b
Figura 6.44: Tensões σθθ ao longo do segmento de recta m−n: expressão analítica e resultados obtidospelo método dos elementos finitos.
deslocamentos impedidos na direcção perpendicular aos mesmos. As condições de fronteira estáticas
consistiram na aplicação de uma tracção distribuída pela superfície da extremidade da barra segundo o seu
eixo, com uma densidade de t = 1. Por último, para o modelo constitutivo considerou-se E = 10e ν = 0,2.
Concluída a definição do modelo, procedeu-se ao cálculo da solução. Os valores obtidos para para
a tensão σθθ, que ao longo do segmento de recta m− n correspondente ao campo de tensão σ22, são
representados na figura 6.44.
Como se pode constatar, os resultados obtidos para σθθ a partir da análise pelo método dos elementos
finitos divergem daqueles obtidos a partir da expressão (6.15). Tal diferença deve-se ao facto desta expres-
são, segundo Timoshenko e Goodier (1970, pág. 81), ter sido derivada a partir da análise de placas de
largura infinita e espessura finita, tendo sido adiantado que a sua aplicação à análise de placas com b> 4a
produz estimativas do campo de tensões cujo erro não excede 6%.
Para o caso em que b= 2a é ainda indicado em Timoshenko e Goodier (1970, pág. 83) que σθθ varia
entre 4,3Sna vizinhança do ponto m e 0,75S junto ao ponto n. Através do método dos elementos finitos,
na vizinhança do ponto m foi obtida uma tensão média de µ(σ22) = 4,60138com um desvio-padrão de
120 Exemplos de aplicação
Tabela 6.7: Comparação dos valores de σmaxθθ .
2a 3a 4a 5a 8a 10a Analítica (b= ∞)σmax
θθ 4,4134 4,4217 3,2987 3,2013 3,1065 3,085 3,0
0
1
2
3
4
5
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Ten
são
x
analíticaMEF 2aMEF 3aMEF 4aMEF 5aMEF 8a
MEF 10a
Figura 6.45: Campos de tensões σθθ obtidos a partir de modelos compostos por elementos finitos quadrá-ticos.
σ(σ22) = 0,22748. Na vizinhança do ponto n obteve-se uma tensão média de µ(σ22) = 1,09265com um
desvio padrão σ(σ22) = 0,23465.
De maneira a reduzir o erro associado aos resultados obtidos, procedeu-se à repetição da análise,
desta vez recorrendo a modelos compostos por elementos quadráticos. Juntamente, de maneira a observar
a variação do campo de tensões em função da relação entre o raio do orifício e a largura da placa. Para
tal, foi criado um conjunto de 6 modelos, compostos praticamente pelo mesmo número de elementos que
compõem o modelo analisado anteriormente, cuja distância do centro do orifício ao ponto n assume os
seguintes valores: 2a, 3a, 4a, 5a, 8a, e 10a. Os campos de tensões σθθ resultantes da análise dos modelos
obtidos até a uma distância 2a do centro do orifício são apresentados no gráfico da figura 6.45. No quadro
6.7 são exibidos os valores das tensões obtidas a partir das expressões exibidas em (6.15) e da aplicação
do método dos elementos finitos.
Como é possível constatar a partir do gráfico 6.45, à medida que a largura da placa aumenta em relação
ao raio do orifício, o campo de tensões aproxima-se aos valores obtidos a partir da expressão (6.15b). Estes
valores são praticamente coincidentes para placas com orifícios com um diâmetro igual a 10%da largura
da placa, conforme se observa no gráfico presente na figura 6.46.
Os resultados obtidos a partir da análise do modelo de largura b= 2a composto por elementos finitos
quadráticos são representados na figura 6.47. Como é possível constatar, mediante comparação com os
resultados obtidos a partir de modelos compostos por elementos lineares representados na figura 6.43,
o refinamento-p representado pela criação deste novo modelo permite obter uma redução assinalável do
erro associado à aproximação da solução exacta, com os campos derivados a exibir já uma continuidade
6.8. Placa com orifício circular sujeita a tracção 121
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ten
são
x
analíticaMEF 10a
Figura 6.46: Campos de tensões σθθ obtidos a partir do modelo de uma placa com um orifício de diâmetroigual a 10%da largura da placa, compostos por elementos finitos quadráticos.
(a) σ11. (b) σ22. (c) σ12. (d) σcomp.
Figura 6.47: Representação dos resultados da análise de um modelo composto por elementos finitos qua-dráticos.
notável, sobretudo nas regiões do domínio onde incidiu o refinamento adaptativo.
Capítulo 7
Conclusão
Ao longo deste trabalho foi possível chegar a um conjunto de conclusões sobre o método dos elementos
finitos em relação a domínios tais como a sua concepção, implementação e aplicação prática.
No que toca à sua implementação, a realização deste trabalho permitiu constatar que a aplicação do
método dos elementos finitos a problemas da elasticidade linear, apesar de assentar em fundamentos
teóricos não-triviais quer no campo da matemática como da física, é simples e sistemática. Contudo, esta
simplicidade deve-se sobretudo a não ter sido implementado qualquer suporte de modelação de domínios e
a sua posterior partição, funcionalidades que são imprescindíveis no desenvolvimento de ferramentas com
utilidade prática.
A respeito do desenvolvimento de programas de cálculo automático que implementem o método dos
elementos finitos, este trabalho serviu para constatar que a implementação deste tipo de programas, apesar
de exigente, é uma tarefa relativamente simples. A aplicação de técnicas básicas de programação orientada
por objectos, bem como o recurso a bibliotecas e ferramentas desenvolvidas com a facilidade de uso em
mente, permitem que se desenvolvam programas práticos sem exigir muito trabalho.
Também foi possível constatar a importância que os formatos abertos têm no acesso e partilha de in-
formação, bem como a adopção e uso de formatos de documentos descritos em formatos ditos legíveis
por pessoas, que implica representarem linguagens que são sub-conjuntos de formatos como o ASCII e
Unicode. Por fim, sublinha-se a importância que a etapa de planeamento do desenvolvimento de software
tem na simplicidade da sua execução, bem como o recurso a padrões de desenvolvimento. Apesar da apa-
rente complexidade que trazem a um projecto, a sua adopção simplifica o desenvolvimento e manutenção
do código a médio e também curto prazo e reduz o trabalho necessário para implementar funcionalidades
imprevistas.
É ainda de referir que o interesse prático de uma implementação do método dos elementos finitos,
sobretudo quando aplicada a domínios que levam à criação de problemas com um número elevado de graus
de liberdade como é o caso da elasticidade tridimensional, depende da capacidade de resolver rapidamente
sistemas de equações de grandes dimensões.
123
124 Conclusão
No domínio da aplicação prática, o método dos elementos finitos aplicado a problemas da elasticidade
tridimensional revela-se uma ferramenta extremamente poderosa. A capacidade de representar qualquer
geometria com uma margem de erro prescrita associada à aptidão de aproximar a solução exacta com um
erro arbitrariamente reduzido, implica que este método permite estudar meticulosamente qualquer problema
de mecânica dos sólidos que se enquadre nos limites de aplicação da teoria da elasticidade linear. A
este poder de análise junta-se também o facto de não serem impostas hipóteses simplificativas adicionais,
conforme é no caso dos modelos especificamente desenvolvidos para elementos estruturais correntes tais
como peças lineares e peças laminares, garantindo assim também a generalidade da sua aplicação.
Para desenvolvimentos futuros, estes dividem-se em dois domínios: o da mecânica computacional e o
da computação gráfica.
No domínio da mecânica computacional, a atenção foca-se em três vertentes: completar a implementa-
ção do método dos elementos finitos aplicado à teoria da elasticidade tridimensional, e exploração de outros
tipos de análise.
Para completar a implementação do método é necessário abordar um conjunto de tópicos que, apesar
de relativamente triviais, não foram abordados neste trabalho nem implementados no FEMP. Entre estes
tópicos encontram-se o suporte para condições de fronteira mistas/de Robin, prescrição de condições de
fronteira cinemáticas segundo eixos arbitrários, e a prescrição de deslocamentos relativos entre graus de li-
berdade. Entre estes tópicos encontra-se a implementação de outros tipos de elementos, como o piramidal,
a implementação de regras de cubatura mais eficientes obtidas expressamente para elementos tridimensi-
onais, e o uso de regras de cubatura desenvolvidas para a integração de funções polinomiais racionais.
A necessidade de explorar outros tipos de análises deve-se às limitações associadas ao problema da
análise estática linear, e a concomitante impossibilidade de obter soluções adequadas em um conjunto
significativo e cada vez mais importante de aplicações práticas no âmbito da engenharia civil. A fim de
ultrapassar estas limitações, é necessário recorrer a tipos de análise que eliminam ou mitigam o efeito
destas limitações, onde se destaca a a análise física e geometricamente não-linear, análise dinâmica, e
análise de problemas termomecânicos. Outro aspecto a desenvolver seria a implementação de elementos
mistos nas variáveis deslocamento e pressão, que permitissem analisar meios incompressíveis (ou quase
incompressíveis).
No domínio da implementação, é obrigatório que os desenvolvimentos futuros incidam sobretudo do
domínio da computação gráfica. A definição dos problemas (i.e., domínios, sub-regiões de aplicação de
propriedades do modelo e condições de fronteira, partição do domínio, etc...) e a análise dos resultados,
onde se inclui a sua visualização, são tarefas indissociáveis da aplicação prática de implementações do
método dos elementos finitos. São também tarefas que desempenham um papel crítico na economia de
tempo e recursos despendidos no processo de análise. Como consequência, o desenvolvimento de uma
aplicação deste tipo que se destine a ter utilidade prática exige que seja feito um investimento significativo
em várias vertentes da computação gráfica.
Apêndice A
Funções de base
A.1 Triângulo de 3 nós
ξ1
ξ2
Coordenadas
locais
Coordenadas
globais
x2x1
x3
1 2
3
P1
P2
P3
Figura A.1: Mapeamento do triângulo de 3 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N1(ξ) = 1−ξ1−ξ2
N2(ξ) = ξ1
N3(ξ) = ξ2
125
126 Funções de base
A.2 Triângulo de 6 nós
ξ1
ξ2
Coordenadas
locais
Coordenadas
globais
x2x1
x3
1 2
3
4
56 P1
P2
P3
Figura A.2: Mapeamento do triângulo de 3 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N1(ξ) = (2(1−ξ2−ξ1)−1)(1−ξ2−ξ1)
N2(ξ) = ξ1(2ξ1−1)
N3(ξ) = ξ2(2ξ2−1)
N4(ξ) = 4ξ1(1−ξ2−ξ1)
N5(ξ) = 4ξ1ξ2
N6(ξ) = 4(1−ξ2−ξ1)ξ2
A.3. Quadrilátero de 4 nós 127
A.3 Quadrilátero de 4 nós
ξ1
ξ2
Coordenadas
locais
Coordenadas
globais
x2x1
x3
1 2
34
2
3
4
1
Figura A.3: Mapeamento do quadrilátero de 4 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N1(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2)/4
N2(ξ) = (1+ξ1)(1−ξ2)/4
N3(ξ) = (1+ξ1)(1+ξ2)/4
N4(ξ) = (1−ξ1)(1+ξ2)/4
128 Funções de base
A.4 Quadrilátero de 8 nós
ξ1
ξ2
Coordenadas
locais
Coordenadas
globais
x2x1
x3
1 2
34
5
7
68
P2
P3
P4P
P1
Figura A.4: Mapeamento do quadrilátero de 8 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N1(ξ) = (ξ1−1)(1−ξ2)(ξ2+ξ1+1)/4
N2(ξ) = (ξ1+1)(ξ2−1)(ξ2−ξ1+1)/4
N3(ξ) = (ξ1+1)(ξ2+1)(ξ2+ξ1−1)/4
N4(ξ) = (1−ξ1)(ξ2+1)(ξ2−ξ1−1)/4
N5(ξ) = (1−ξ1ξ1)(1−ξ2)/2
N6(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2ξ2)/2
N7(ξ) = (1−ξ1ξ1)(ξ2+1)/2
N8(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2ξ2)/2
A.5. Quadrilátero de 9 nós 129
A.5 Quadrilátero de 9 nós
ξ1
ξ2
Coordenadas
locais
Coordenadas
globais
x2x1
x3
P2
P3
P4P
1 2
34
5
7
9
68
P1
Figura A.5: Mapeamento do quadrilátero de 9 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N1(ξ) = (ξ1−1)ξ1(ξ2−1)ξ2/4
N2(ξ) = ξ1(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2/4
N3(ξ) = ξ1(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)/4
N4(ξ) = (ξ1−1)ξ1ξ2(ξ2+1)/4
N5(ξ) = (1−ξ1)(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2/2
N6(ξ) = ξ1(ξ1+1)(1−ξ2)(ξ2+1)/2
N7(ξ) = (1−ξ1)(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)/2
N8(ξ) = (ξ1−1)ξ1(1−ξ2)(ξ2+1)/2
N9(ξ) = (1−ξ1)(ξ1+1)(1−ξ2)(ξ2+1)
130 Funções de base
A.6 Tetraedro de 4 nós
1
3
4
2
ξ1ξ2
ξ3
Figura A.6: Mapeamento do tetraedro de 4 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N1(ξ) = 1−ξ1−ξ2−ξ3
N2(ξ) = ξ1
N3(ξ) = ξ2
N4(ξ) = ξ3
A.7. Tetraedro de 10 nós 131
A.7 Tetraedro de 10 nós
1
6
3
10
4
8
2
5 7
9
ξ1ξ2
ξ3
Figura A.7: Mapeamento do tetraedro de 10 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N0(ξ) = (1−2ξ3−2ξ2−2ξ1)(1−ξ3−ξ2−ξ1)
N1(ξ) = 2(ξ1−0,5)ξ1
N2(ξ) = 2(ξ2−0,5)ξ2
N3(ξ) = 2(ξ3−0,5)ξ3
N4(ξ) = 4ξ1(−ξ3−ξ2−ξ1+1)
N5(ξ) = 4ξ1ξ2
N6(ξ) = 4ξ2(−ξ3−ξ2−ξ1+1)
N7(ξ) = 4(1−ξ3−ξ2−ξ1)ξ3
N8(ξ) = 4ξ2ξ3
N9(ξ) = 4ξ1ξ3
132 Funções de base
A.8 Hexaedro de 8 nós
ξ1
ξ2
ξ3 2
34
1
5 6
78
Figura A.8: Mapeamento do hexaedro Lagrangeano de 8 nós das coordenadas locais para coordenadasglobais.
N0(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2)(1−ξ3)/8
N1(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2)(1−ξ3)/8
N2(ξ) = (ξ1+1)(ξ2+1)(1−ξ3)/8
N3(ξ) = (1−ξ1)(ξ2+1)(1−ξ3)/8
N4(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2)(ξ3+1)/8
N5(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2)(ξ3+1)/8
N6(ξ) = (ξ1+1)(ξ2+1)(ξ3+1)/8
N7(ξ) = (1−ξ1)(ξ2+1)(ξ3+1)/8
A.9. Hexaedro de 20 nós 133
A.9 Hexaedro de 20 nós
ξ1
ξ2
ξ3 2
34
1
5 6
78
11
12
13
14
1516
17
18
Figura A.9: Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 nós das coordenadas locais para coordenadasglobais.
N0(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2)(1−ξ3)(−ξ3−ξ2−ξ1−2)/8
N1(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2)(1−ξ3)(−ξ3−ξ2+ξ1−2)/8
N2(ξ) = (ξ1+1)(ξ2+1)(1−ξ3)(−ξ3+ξ2+ξ1−2)/8
N3(ξ) = (1−ξ1)(ξ2+1)(1−ξ3)(−ξ3+ξ2−ξ1−2)/8
N4(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2)(ξ3+1)(ξ3−ξ2−ξ1−2)/8
N5(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2)(ξ3+1)(ξ3−ξ2+ξ1−2)/8
N6(ξ) = (ξ1+1)(ξ2+1)(ξ3+1)(ξ3+ξ2+ξ1−2)/8
N7(ξ) = (1−ξ1)(ξ2+1)(ξ3+1)(ξ3+ξ2−ξ1−2)/8
N8(ξ) = (1−ξ1ξ1)(1−ξ2)(1−ξ3)/4
N9(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2ξ2)(1−ξ3)/4
N10(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2)(1−ξ3ξ3)/4
N11(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2ξ2)(1−ξ3)/4
N12(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2)(1−ξ3ξ3)/4
N13(ξ) = (1−ξ1ξ1)(ξ2+1)(1−ξ3)/4
N14(ξ) = (ξ1+1)(ξ2+1)(1−ξ3ξ3)/4
N15(ξ) = (1−ξ1)(ξ2+1)(1−ξ3ξ3)/4
N16(ξ) = (1−ξ1ξ1)(1−ξ2)(ξ3+1)/4
N17(ξ) = (1−ξ1)(1−ξ2ξ2)(ξ3+1)/4
N18(ξ) = (ξ1+1)(1−ξ2ξ2)(ξ3+1)/4
N19(ξ) = (1−ξ1ξ1)(ξ2+1)(ξ3+1)/4
134 Funções de base
A.10 Hexaedro de 27 nós
ξ1
ξ2
ξ3 2
34
1
5 6
78
11
12
13
14
1516
17
18
21
22
2324
25
26
27
Figura A.10: Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 nós das coordenadas locais.
N0(ξ) = (ξ1−1)ξ1(ξ2−1)ξ2(ξ3−1)ξ3/8
N1(ξ) = ξ1(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2(ξ3−1)ξ3/8
N2(ξ) = ξ1(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)(ξ3−1)ξ3/8
N3(ξ) = (ξ1−1)ξ1ξ2(ξ2+1)(ξ3−1)ξ3/8
N4(ξ) = (ξ1−1)ξ1(ξ2−1)ξ2ξ3(ξ3+1)/8
N5(ξ) = ξ1(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2ξ3(ξ3+1)/8
N6(ξ) = ξ1(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)ξ3(ξ3+1)/8
N7(ξ) = (ξ1−1)ξ1ξ2(ξ2+1)ξ3(ξ3+1)/8
N8(ξ) = −(ξ1−1)(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2(ξ3−1)ξ3/4
N9(ξ) = −(ξ1−1)ξ1(ξ2−1)(ξ2+1)(ξ3−1)ξ3/4
N10(ξ) = −(ξ1−1)ξ1(ξ2−1)ξ2(ξ3−1)(ξ3+1)/4
N11(ξ) = −ξ1(ξ1+1)(ξ2−1)(ξ2+1)(ξ3−1)ξ3/4
N12(ξ) = −ξ1(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2(ξ3−1)(ξ3+1)/4
N13(ξ) = −(ξ1−1)(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)(ξ3−1)ξ3/4
N14(ξ) = −ξ1(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)(ξ3−1)(ξ3+1)/4
N15(ξ) = −(ξ1−1)ξ1ξ2(ξ2+1)(ξ3−1)(ξ3+1)/4
N16(ξ) = −(ξ1−1)(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2ξ3(ξ3+1)/4
N17(ξ) = −(ξ1−1)ξ1(ξ2−1)(ξ2+1)ξ3(ξ3+1)/4
N18(ξ) = −ξ1(ξ1+1)(ξ2−1)(ξ2+1)ξ3(ξ3+1)/4
N19(ξ) = −(ξ1−1)(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)ξ3(ξ3+1)/4
N20(ξ) = (ξ1−1)(ξ1+1)(ξ2−1)(ξ2+1)(ξ3−1)ξ3/2
N21(ξ) = (ξ1−1)(ξ1+1)(ξ2−1)ξ2(ξ3−1)(ξ3+1)/2
N22(ξ) = (ξ1−1)ξ1(ξ2−1)(ξ2+1)(ξ3−1)(ξ3+1)/2
N23(ξ) = ξ1(ξ1+1)(ξ2−1)(ξ2+1)(ξ3−1)(ξ3+1)/2
N24(ξ) = (ξ1−1)(ξ1+1)ξ2(ξ2+1)(ξ3−1)(ξ3+1)/2
N25(ξ) = (ξ1−1)(ξ1+1)(ξ2−1)(ξ2+1)ξ3(ξ3+1)/2
N26(ξ) = −(ξ1−1)(ξ1+1)(ξ2−1)(ξ2+1)(ξ3−1)(ξ3+1)
A.11. Prisma de 6 nós 135
A.11 Prisma de 6 nós
ξ1 ξ2
ξ3
1
6
3
4
2
5
9
11 12
Figura A.11: Mapeamento do prisma de 6 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N0(ξ) = (−ξ2−ξ1+1)(1−ξ3)/2
N1(ξ) = ξ1(1−ξ3)/2
N2(ξ) = ξ2(1−ξ3)/2
N3(ξ) = (−ξ2−ξ1+1)(ξ3+1)/2
N4(ξ) = ξ1(ξ3+1)/2
N5(ξ) = ξ2(ξ3+1)/2
136 Funções de base
A.12 Prisma de 15 nós
ξ1 ξ2
ξ3
1
6
310
4
8
2
5
7
9
11 12
13 14
15
Figura A.12: Mapeamento do prisma de 15 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N0(ξ) = −((−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3)(2(ξ1+ξ2)+ξ3))/2
N1(ξ) = (ξ1(−1+ξ3)(2−2ξ1+ξ3))/2
N2(ξ) = (ξ2(−1+ξ3)(2−2ξ2+ξ3))/2
N3(ξ) = −((−1+ξ1+ξ2)(1+ξ3)(−2(ξ1+ξ2)+ξ3))/2
N4(ξ) = (ξ1(1+ξ3)(−2+2ξ1+ξ3))/2
N5(ξ) = (ξ2(1+ξ3)(−2+2ξ2+ξ3))/2
N6(ξ) = 2ξ1(−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3)
N7(ξ) = 2ξ2(−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3)
N8(ξ) = (−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3ξ3)
N9(ξ) = −2ξ1ξ2(−1+ξ3)
N10(ξ) = ξ1−ξ1ξ3ξ3
N11(ξ) = ξ2−ξ2ξ3ξ3
N12(ξ) = −2ξ1(−1+ξ1+ξ2)(1+ξ3)
N13(ξ) = −2ξ2(−1+ξ1+ξ2)(1+ξ3)
N14(ξ) = 2ξ1ξ2(1+ξ3)
A.13. Prisma de 18 nós 137
A.13 Prisma de 18 nós
ξ1 ξ2
ξ3
1
6
310
4
8
2
5
7
9
11 12
13 14
15
16 17
18
Figura A.13: Mapeamento do prisma de 18 nós das coordenadas locais para coordenadas globais.
N0(ξ) = ((−1+ξ1+ξ2)(−1+2ξ1+2ξ2)(−1+ξ3)ξ3)/2
N1(ξ) = (ξ1(−1+2ξ1)(−1+ξ3)ξ3)/2
N2(ξ) = (ξ2(−1+2ξ2)(−1+ξ3)ξ3)/2
N3(ξ) = ((−1+ξ1+ξ2)(−1+2ξ1+2ξ2)ξ3(1+ξ3))/2
N4(ξ) = (ξ1(−1+2ξ1)ξ3(1+ξ3))/2
N5(ξ) = (ξ2(−1+2ξ2)ξ3(1+ξ3))/2
N6(ξ) = −2ξ1(−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3)ξ3
N7(ξ) = −2ξ2(−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3)ξ3
N8(ξ) = −((−1+ξ1+ξ2)(−1+2ξ1+2ξ2)(−1+ξ3ξ3))
N9(ξ) = 2ξ1ξ2(−1+ξ3)ξ3
N10(ξ) = −(ξ1(−1+2ξ1)(−1+ξ3ξ3))
N11(ξ) = −(ξ2(−1+2ξ2)(−1+ξ3ξ3))
N12(ξ) = −2ξ1(−1+ξ1+ξ2)ξ3(1+ξ3)
N13(ξ) = −2ξ2(−1+ξ1+ξ2)ξ3(1+ξ3)
N14(ξ) = 2ξ1ξ2ξ3(1+ξ3)
N15(ξ) = 4ξ1(−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3ξ3)
N16(ξ) = 4ξ2(−1+ξ1+ξ2)(−1+ξ3ξ3)
N17(ξ) = −4ξ1ξ2(−1+ξ3ξ3)
Apêndice B
Regras de quadratura
Tabela B.1: Regras adoptadas para integração numérica na superfície.
Tipo de elemento Número de nósfΓD
ti = const ti = ∑Nj b ji
Triângulo3
1 3linear quadrático
63 6
quadrático quártico
Quadrilátero
41×1= 1 2×2= 8
linear quadrático
8 e 92×2= 4 3×3= 9quadrático quártico
Tabela B.2: Regras adoptadas para integração numérica no volume: tetraedros e hexaedros.
Tipo de elemento Número de nós KfΩ
bi = const bi = ∑Nj b ji
Tetraedro4
1 1 4const linear quadrático
104 4 14
quadrático quadrático quártico
Hexaedro8
2×2×2= 8 1×1×1= 1 2×2×2= 8quadrático linear quadrático
20 e 273×3×3= 27 2×2×2= 8 3×3×3= 27
quártico quadrático quártico
139
140 Regras de quadratura
Tabela B.3: Regras adoptadas para integração numérica no volume: prismas.
Elemento Número de nósK
fΩbi = const bi = ∑Nj b ji
Plano Recta Plano Recta Plano Recta
Prisma6
3 2 1 1 3 2Quadrático Quadrático Linear Linear Quártico Quadrático
15 e 186 3 3 2 6 3
Quártico Quártico Quadrático Quadrático Quártico Quártico
Apêndice C
Patch test: representação do campo de
deformações de elementos regulares
(a) hexaedro 8 (b) hexaedro 20 (c) hexaedro 27
Figura C.1: Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 8 elementos hexaédricos.
(a) prisma 6 (b) prisma 15 (c) prisma 18
Figura C.2: Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 16 elementos prismáticos.
141
142 Patch test: representação do campo de deformações de ele mentos regulares
(a) tetraedro 4 (b) tetraedro 10
Figura C.3: Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 48 elementos tetraédricos.
Apêndice D
Patch test: representação do campo de
deformações de elementos distorcidos
(a) hexaedro 8 (b) hexaedro 20 (c) hexaedro 27
Figura D.1: Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 8 elementos hexaédricos.
(a) prisma 6 (b) prisma 15 (c) prisma 18
Figura D.2: Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 16 elementos prismáticos.
143
144 Patch test: representação do campo de deformações de ele mentos distorcidos
(a) tetraedro 4 (b) tetraedro 10
Figura D.3: Campo ε33 da barra sujeita a pressão axial: malhas de 48 elementos tetraédricos.
Apêndice E
Consola curta: campos de deformações e
tensões
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.1: Campo de deformações ε11 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.2: Campo de deformações ε22 no plano YZ (lateral da consola).
145
146 Consola curta: campos de deformações e tensões
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.3: Campo de deformações ε33 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos
Figura E.4: Campo de deformações ε12 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.5: Campo de deformações ε13 no plano YZ (lateral da consola)n
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.6: Campo de deformações ε23 no plano YZ (lateral da consola).
Consola curta: campos de deformações e tensões 147
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.7: Campo de tensões 11 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.8: Campo de tensões 22 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos
Figura E.9: Campo de tensões 33 no plano YZ (lateral da consola).
148 Consola curta: campos de deformações e tensões
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos
Figura E.10: Campo de tensões 12 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos
Figura E.11: Campo de tensões 13 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.12: Campo de tensões 23 no plano YZ (lateral da consola).
(a) 8 elementos (b) 64 elementos (c) 512 elementos (d) 4096 elementos
Figura E.13: Campo de tensões de von Mises no plano YZ (lateral da consola).
Apêndice F
Esfera oca sujeita a pressão interna: resultados
Tabela F.1: Resultados dos modelos compostos por elementos hexaédricos Lagrangeanos lineares de 8nós.
Grau de refinamento Energia de deformação Graus de liberdade Número de nós Volume1 0,00650396 126 57 0,4281722 0,00747958 780 305 0,4504523 0,00775769 5400 1953 0,4562124 0,00782971 39984 13889 0,457664
Tabela F.2: Resultados dos modelos compostos por elementos hexaédricos Serendipianos quadráticos de20 nós.
Grau de refinamento Energia de deformação Graus de liberdade Número de nós Volume1 0,00724161 78 39 0,451192 0,00777219 444 185 0,4576973 0,00784016 2904 1089 0,458124 0,00785103 20784 7361 0,458147
Tabela F.3: Resultados dos modelos compostos por elementos hexaédricos Lagrangeanos quadráticos de27 nós.
Grau de refinamento Energia de deformação Graus de liberdade Número de nós Volume1 0,00742578 126 57 0,4572942 0,00778941 780 305 0,4580933 0,00784117 5400 1953 0,4581454 0,00785108 39984 13889 0,458149
149
150 Esfera oca sujeita a pressão interna: resultados
Tabela F.4: Resultados dos modelos compostos por elementos tetraédricos lineares de 4 nós.
Grau de refinamento Energia de deformação Graus de liberdade Número de nós Volume1 0,00350247 21 15 0,3218702 0,00273486 75 37 0,4534713 0,00547033 186 83 0,4467394 0,00671075 675 281 0,456382
4,5 0,00722511 1734 674 0,4572505 0,00753815 4394 1671 0,4578086 0,00777849 27626 9990 0,458037
Tabela F.5: Resultados dos modelos compostos por elementos tetraédricos quadráticos de 10 nós.
Grau de refinamento Energia de deformação Graus de liberdade Número de nós Volume1 0,00747164 108 57 0,4484902 0,00744257 438 181 0,4592853 0,00765501 1176 459 0,4580854 0,00782714 4341 1642 0,458153
4,5 0,00784638 12027 4355 0,4581515 0,00785123 31438 11253 0,458149
Apêndice G
Exemplo do formato MSH
Exemplo de um modelo composto por um único hexaedro de 8 nós
$MeshFormat2.2 0 8$EndMeshFormat$Nodes81 −1 −1 −12 1 −1 −13 1 1 −14 −1 1 −15 −1 −1 16 1 −1 17 1 1 18 −1 1 1$EndNodes$Elements11 5 2 29 1 1 2 3 4 5 6 7 8$EndElements
151
Apêndice H
Exemplos do formato FEM.JSON
Exemplo de um modelo composto por um único hexaedro de 8 nós
" fem " : " vers ion " : " 1.0 " , " type " : " 3D s o l i d " ," ma t e r ia l s " : [
" type " : " l i n e a r e l a s t i c " , " l a b e l " : "S235" , "E" :200e+09 , " nu " : 0 . 3 , " f y " : 235e+06 ] ," nodes " : [
[1 ,[−1 ,−1 ,−1]] ,[2 , [1 ,−1 ,−1] ] ,[ 3 , [ 1 , 1 , −1 ] ] ,[4 , [−1 ,1 ,−1] ] ,[5 , [−1 ,−1 ,1] ] ,[ 6 , [ 1 , −1 , 1 ] ] ,[ 7 , [ 1 , 1 , 1 ] ] ,[ 8 , [ −1 , 1 , 1 ] ]
] ," elements " : [
" type " : " hexahedron8 " , " nodes " : [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ] , " ma t e r ia l " : 0] ," node r e s t r i c t i o n s " : [
" node " : 1 , " dx " : t rue , " dy " : t rue , " dz " : t r ue , " node " : 4 , " dx " : t rue , " dy " : t rue , " dz " : t r ue , " node " : 5 , " dx " : t rue , " dy " : t rue , " dz " : t r ue , " node " : 8 , " dx " : t rue , " dy " : t rue , " dz " : t r ue
] ," load pa t t e rns " : [
" l a b e l " : " F i r s t t e s t pa t t e rn " ," nodal loads " : [
" node " : 2 , " f o r ce " : [ 1 0 , 0 , 0 ] , " node " : 3 , " f o r ce " : [ 1 0 , 0 , 0 ] , " node " : 6 , " f o r ce " : [ 1 0 , 0 , 0 ] , " node " : 7 , " f o r ce " : [ 1 0 , 0 , 0 ]
] ," sur face loads " : [
" type " : " quadrangle4 " , " nodes " : [ 2 , 3 , 7 , 6 ] ," forces " : [ [ 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 ] ]
]
]
153
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