Aula 13
Introdução ao MVF 25/08/2014
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Sumário
Introdução ao Método de Volumes Finitos
Exemplo no FLUENT - ANSYS
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Método de
Volumes Fintos
(MVF)
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Formato das Equações
As equações de conservação são equações diferenciais e podem
ser representadas por uma forma geral para a variável f
expressa por
Neste contexto, nosso principal objetivo é o desenvolvimento de
meios para a solução desta equação.
( )( )j
j j j
u St x x x
f f f
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MVF
No Método dos Volumes Finitos – MVF (Volumes de
Controle) a obtenção das equações aproximadas devem
satisfazer a conservação da variável f em níveis de
volumes elementares.
Para tal, o domínio de cálculo é sub-dividido num conjunto de
sub-regiões não-superpostas, denominadas volumes de
controle, com um ponto nodal associado a cada um.
O conjunto dos volumes de controle e dos pontos nodais é
denominados grade computacional do problema
considerado.
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O problema de difusão 1D em regime permanente é governado
por
ou,
Exemplo Ilustrativo
0d d
Sdx dx
f
0S f
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Preparação
W E P
Δx
(δx)w (δx)e
w e
x
Para obtenção da equação discretizada, a grade computacional
1D, mostrada abaixo, considerando somente pontos nodais
internos,.
Geometria da grade computacional 1D (pontos nodais internos).
(δx)e– (δx)e+
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Nossa atenção está focada no ponto P da grade computacional
que possui os pontos W e E como seus vizinhos (W denota o
lado oeste [direção negativa de x] enquanto que E denota o
lado leste [direção positiva de x].
As linhas pontilhadas ilustram as faces do volume de controle
(w e e), suas exatas localizações são irrelevantes no
momento.
Para este problema 1D, é assumido uma espessura unitária nas
direções y e z. Desta forma, o volume do volume de controle
é Δx.1.1.
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Com isso, integrando-se a equação diferencial da difusão 1D
num volume de controle, tem-se que
Utilizando o Teorema de Gauss, obtém-se que,
0VC VC
d S d f
0SC VC
dA S d f
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e, finalmente, para o volume de controle 1D que envolve o ponto
P, tem-se que
Os dois primeiros termos indicam as taxas de difusão
associadas aos gradientes da variável f nas faces e e w do
volume de controle considerado.
O terceiro termo indica a taxa de geração no interior desse
volume.
0
e
e w w
d dS dx
dx dx
f f
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Até o momento, a equação da difusão continua exata, isto é,
nenhuma simplificação foi realizada nas transformações das
equações.
Serão adotadas aproximações na forma de perfis da variável f
que gerarão expressões algébricas para os termos difusivos e
também para o termo-fonte da equação integrada.
Os dois perfis são o Perfil em Degrau e o Perfil Linear por
Partes.
Aproximação do Perfil
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f
x W P E w e
f
x W P E w e
Perfil em Degrau Perfil Linear por Partes
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A aproximação da curva real por um perfil em degraus não
permite a obtenção de derivadas (df/dx) nas interfaces do
volume de controle devidos às descontinuidades.
A aproximação linear por partes permite que as derivadas dos
termos difusivos sejam avaliadas nessas interfaces.
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Note que a variável dependente f, presente em mais de um
termo da equação diferencial, pode ser aproximada por
perfis diferentes para cada termo.
Da mesma maneira, variáveis distintas de um problema
também podem ser aproximadas por perfis diferentes.
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Se os termos difusivos forem aproximados através de um perfil
de linear por partes da variável dependente f, tem-se que
Discretização da Equação
( )
( )
E Pe
ee
d
dx x
f f f
( )
( )
P Ww
ww
dT
dx x
f f
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O termo fonte da equação, entretanto normalmente é aproximado
através de um perfil por degraus de f
sendo que, é o valor médio de S sobre o volume de controle. S
e
w
S dx S x
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Portanto, aproximando as derivadas (df/dx) através de um
perfil de linear por partes de f e o termo-fonte através de um
perfil por degraus de f, a equação resultante é
( )( )0
( ) ( )
P WE Pe w
e w
S xx x
f ff f
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Na forma algébrica, a equação de conservação discretizada é
expressa por
sendo que,
( )
eE
e
ax
( )
wW
w
ax
P P E E W Wa a a bf f f
P E Wa a a
b S x
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Problema Aplicação
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Problema da Transferência de Calor numa Aleta
Cilíndrica
Aço
Alumínio
Cobre
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Problema da Transferência de Calor numa Aleta
Cilíndrica
Solução Analítica
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ANSYS - Workbench
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Menu iniciar -> Todos os Programas -> ANSYS 13 ->
Workbench
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Clique 2 vezes no Fluid
Flow (FLUENT)
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Clique 2 vezes no Fluid
Flow (FLUENT)
Digite Fin_3_9_Coarse
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File -> Save Fin_3_9
View -> Files
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Clique 2 vezes em
Geometry na Tabela A
Ou Clique com o botão
direito em Geometry
Cique em New
Geometry
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Clique em milimeter
e em seguida no OK
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Clique no YZPlane
Clique no New
Sketch
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Clique no Sketch1
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Clique em
Sketching
Clique em Grid e
marque no Show in
2D e no Snap
Digite no Major
Grid Spacing 2 mm
Digite no Minor-
Steps per Major 1
mm
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Clique em
Sketching
Clique em Grid e
marque no Show in
2D e no Snap
Digite no Major
Grid Spacing 2 mm
Digite no Minor-
Steps per Major 1
mm
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No Sketching,
clique no Draw
Clique no Zoom e
aproxime o seu
desenho
no Draw, clique no
Circle
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Clique na Origem e
arraste o mouse até
a coordenada z = 2
Clique em Generate
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Clique em
Modeling
Clique em Sketch1
Clique em Extrude
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Digite em FD1,
Depth (>0) 300
Clique em Generate
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Clique em Zoom to
fit
Feche o
DesignModeler
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Clique em Mesh
com o botão direito
Clique em Edit
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Clique com o botão
esquerdo na parede
do cilindro
Clique novamente
na superfície do
cilindro, mas agora
com o botão direito
Clique em Create
Named Selection
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Digite no Enter a
name...
(Sup_Cilindro)
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Clique no Box
Zoom
Selecione a ponta
do cilindro (aleta)
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Clique no Select
Mode
Clique em Single
Select
Clique na ponta do
cilindro com o
botão esquerdo
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Clique novamente
na ponta do
cilindro, mas agora
com o botão direito
Clique em Create
Named Selection
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Digite no Enter a
name...
(Ponta_Cilindro)
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Clique em Zoom to
fit
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Clique no Box
Zoom
Selecione a outra
ponta do cilindro
(aleta)
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Clique com o botão
direito
Clique em View ->
Left
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Faça um Zoom na
ponta do cilindro
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Certifique-se se
você está
escolhendo a ponta
correta
Clique no Named
Selections
Clique em
Ponta_Cilindro
Se a cor da figura
permanecer a
mesma, está correto
Caso contrário,
selecione a outra
ponta
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Clique no Select
Mode
Clique em Single
Select
Clique na ponta do
cilindro com o
botão esquerdo
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Clique novamente
na ponta do
cilindro, mas agora
com o botão direito
Clique em Create
Named Selection
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Digite no Enter a
name...
(Base_Cilindro)
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Clique com o botão
direito
Clique em Restore
Default
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Clique em Mesh
No Details of
“Mesh”, clique em
Sizing
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Em Relevance
Center, selecione
Coarse
Clique em Update
Faça um Zoom na
ponta do cilindro
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Feche o Meshing
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Clique em Setup
com o botão direito
Clique em Edit
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Clique apenas em
OK
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Clique em Scale
Selcione mm em View Length Unit In -> Close
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Clique em Check
Veja se existe algum volume negativo (se existir, a sua malha está com problemas)
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Clique em Models -> Clique em Energy - off
Habilite Energy Equation em Energy -> OK
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Clique em Materials -> Clique em Solid
Clique em Create/Edit
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Selecione Solid em Material Type
Clique em FLUENT Database
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Selecione Solid em Material Type
Selecione copper(cu) em FLUENT Solid Materials -> Clique em Copy
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Selecione Solid em Materials Type
Selecione steel em FLUENT Solid Materials -> Clique em Copy -> Close
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Clique em Cell Zone Conditions -> Clique em Solid
Selecione Solid em Type
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Clique em Yes
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Selecione Steel em Material Name
Clique em OK
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Clique em Boundary Condition -> Clique em base_cilindro
Clique Edit
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Clique na aba Thermal -> Clique em Temperature
Digite 373 em Temperature -> Selecione Steel em Material Name -> OK
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Clique em Boundary Condition -> Clique em ponta_cilindro
Clique Edit
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Clique na aba Thermal -> Clique em Convection
Digite 100 em Heat Transfer Coefficient -> Digite 298 em Free Stream Temp
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Selecione Steel em Material Name -> OK
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Clique em Boundary Condition -> Clique em sup_cilindro
Clique Edit
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Clique na aba Thermal -> Clique em Convection
Digite 100 em Heat Transfer Coefficient -> Digite 298 em Free Stream Temp
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Selecione Steel em Material Name -> OK
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Clique em Monitors -> Clique em Residuals – Print, Plot
Clique Edit
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Habilite Print to Console
Habilite Plot -> OK
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Clique em Solution Initialization -> Selecione base_cilindro
Desça a barra de rolagem
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Clique em Solution Initialization -> Selecione base_cilindro
Desça a barra de rolagem -> Clique em Initialize
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Clique em Run Calculation
Digite 20 no Number of Iterations -> Calculate
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Clique em OK
Fecha o FLUENT
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Clique em Solution
com o botão direito
Clique em Edit
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Clique em Contour
Digite ContourTemp no Insert Contour -> OK
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Na aba Geometry
Selecione sup_cilindro
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Na aba Geometry
Selecione Temperature em Variable -> Apply
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Utilize a Zoom Box e
Faça um Zoom na região de maior gradiente
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Clique em Location
Selecione Line
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Digite CenterLine -> OK
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Na aba Geometry
Digite 0.3 no Point 2 -> Apply
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Clique no Zoom View Geometry
Desabilite o ContourTemp
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Clique em Chart
Digite Tempvsx no Insert Chart
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Clique na aba General
Digite Temp vs Axis x no Title
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Clique na aba Data Series
Clique em Location -> Selecione CenterLine no Location Selector -> OK
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Clique na aba X Axis
Selecione X em Variable
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Clique na aba Y Axis
Selecione Temperature em Variable ->
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Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 106/151
Clique 2 vezes em CenterLine
Modifica para 0.07 no Point 2 na aba Geometry -> Apply
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Feche o CFD-Post
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Clique em Fluid Flow (FLUENT) com o botão direito
Clique em Duplicate
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Digite Fin_3_9_Fine
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Clique em Mesh com o botão direito
Clique em Edit
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Clique em Sizing -> Selecione Fine em Relevance Center
Clique em Update -> Feche o Meshing
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Clique em Setup com o botão direito
Clique em Edit
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 113/151
Clique em OK
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 114/151
Clique em Solution Initialization
Clique em Initialize
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 115/151
Clique em Run Calculation
Clique em Calculate
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 116/151
Clique em OK
Feche FLUENT
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 117/151
Clique em Results com o botão direito
Clique em Edit
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 118/151
Clique 2 vezes em Tempvsx
Clique em Chart Viewer -> Feche o CFD-Post
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Em Component Systems
Clique em Results e arraste-o para o Project Schematich
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Clique em Solution na Tabela A -> Arraste-o para o Results da Tabela C
Fazer o mesmo para o Solution da Tabela B
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 121/151
Clique em Results da Tabela C com o botão direito
Clique em Edit
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 122/151
Clique em Location
Selecione Line
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 123/151
Digite CenterLine -> OK
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 124/151
Na aba Geometry
Digite 0.07 no Point 2 -> Apply
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 125/151
Clique em Chart
Digite Tempvsx no Insert Chart -> OK
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 126/151
Clique na aba General
Digite Temp vs Axis x no Title
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 127/151
Clique na aba Data Series
Clique em Location -> Selecione CenterLine no Location Selector -> OK
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 128/151
Clique na aba X Axis
Selecione X em Variable
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 129/151
Clique na aba Y Axis
Selecione Temperature em Variable -> Apply
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 130/151
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 131/151
Clique em Fluid Flow (FLUENT) da Tabela B com o botão direito
Clique em Duplicate
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Digite Fin_3_9_Fine_Aluminio
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 133/151
Clique em Setup da Tabela D com o botão direito
Clique em Edit
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 134/151
Clique em OK
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 135/151
Clique em Cell Zone Conditions -> Clique em Solid
Selecione Solid em Type
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 136/151
Clique em Yes
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 137/151
Selecione aluminum em Material Name
Clique em OK
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 138/151
Clique em Boundary Condition -> Clique em base_cilindro
Clique Edit
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 139/151
Clique na aba Thermal -> Clique em Temperature
Digite 373 em Temperature -> Selecione aluminum em Material Name -> OK
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 140/151
Clique em Boundary Condition -> Clique em ponta_cilindro
Clique Edit
Aula 13 – Introdução ao MVF e Aplicação (FLUENT - ANSYS) Métodos Numéricos 141/151
Clique na aba Thermal -> Clique em Convection
Digite 100 em Heat Transfer Coefficient -> Digite 298 em Free Stream Temp
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Selecione aluminum em Material Name -> OK
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Clique em Boundary Condition -> Clique em sup_cilindro
Clique Edit
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Clique na aba Thermal -> Clique em Convection
Digite 100 em Heat Transfer Coefficient -> Digite 298 em Free Stream Temp
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Selecione aluminum em Material Name -> OK
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Clique em Solution Initialization
Clique em Initialize
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Clique em Run Calculation
Clique em Calculate
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Clique em OK
Feche FLUENT
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Clique em Solution na Tabela C -> Arraste-o para o Results da Tabela D
Fazer o mesmo para o Cobre!
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Fonte Bibliográfica
PATANKAR, S.V., 1980. Numerical Heat Transfer and
Fluid Flow. New York, NY, USA: Hemisphere Publishing
Co., 197p.
MALISKA, C.R., 2004. Transferência de Calor e
Mecânica dos Fluidos Computacional. Rio de Janeiro, RJ:
LTC, 453p.
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