Modelagem e EstimativaModelagem e EstimativaUm exemplo de krigagem ordináriaUm exemplo de krigagem ordinária
Geoes t at ís t ica
Eng. de Minas João Felipe C.L. CostaEng. de Minas João Felipe C.L. CostaProf. Dr. do DEMIN/PPGEM, UFRGS
Eng. de Minas Luis Eduardo de SouzaEng. de Minas Luis Eduardo de SouzaDoutorando do PPGEM, UFRGS
G
A partir de sete amostras retiradas do conjunto de dados que compõe o Walker Lake dataset, estimar o valor da variável V na localização 0 via krigagem ordinária.
G
AMOSTRA X Y V DISTÂNCIA
1 225 61 139 477 4.52 437 63 140 696 3.63 367 64 129 227 8.14 52 68 128 646 9.55 259 71 140 606 6.76 436 73 141 791 8.97 366 75 128 783 13.5
Distâncias de cada amostra em relação ao ponto 0.
G
Para calcular os pesos de krigagem, precisamos decidir que padrão de continuidade espacial queremos que nosso modelo de função randômica tenha.
Para manter o exemplo relativamente simples, todas as covariâncias serão calculadas da seguinte função:
0|h| se a
|h|3expC0|h| se CC
)h(C~1
10
G
Sabendo-se, no entanto, que:
ij2
2ji
2
ji2
ji2j
2i
2jiij
C~~
m~}]V.V{E[}V{E
}V.V{E}V{E
}V.V{E}V{E21}V{E
21
}]VV{[E21
G
Assim, a função covariância apresentada corresponde à seguinte função variograma:
0|h| se ) a
|h|3exp1(CC0|h| se 0
)h(~10
G
Usando a função de covariância e assumindo um modelo isotrópico, a covariância entre os dados para qualquer localização dependerá apenas da distância entre eles e não das direções.
Para demonstrar como a krigagem ordinária funciona, usaremos os seguintes parâmetros para a função:
C0 = 0, a = 10, C1 = 10
Assim,
|h|3.0e10)h(C~
G
1C~C~C~C~C~C~C~
D
70
60
50
40
30
20
10
Tendo escolhido uma função de covariância a partir da qual calcularemos todas as covariâncias necessárias para nosso modelo de função randômica, nós podemos construir as matrizes C e D.
011111111C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~
C
77767574737271
67666564636261
57565554535251
47464544434241
37363534333231
27262524232221
17161514131211
G
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0.00 4.47 3.61 8.06 9.49 6.71 8.94 13.451 4.47 0.00 2.24 10.44 13.04 10.05 12.17 17.802 3.61 2.24 0.00 11.05 13.00 8.00 10.05 16.973 8.06 10.04 11.05 0.00 4.12 13.04 15.00 11.054 9.49 13.04 13.00 4.12 0.00 12.37 13.93 7.005 6.71 10.05 8.00 13.04 12.37 0.00 2.24 12.656 8.94 12.17 10.05 15.00 13.93 2.24 0.00 13.157 13.45 17.80 16.97 11.05 7.00 12.65 13.15 0.00
Localiz.
Distância
Para isso precisamos de uma tabela das distâncias entre todos os possíveis pares das sete localizações de dados.
G
00.000.100.100.100.100.100.100.100.100.1019.022.022.136.006.005.000.119.000.1011.515.011.049.026.000.122.011.500.1024.020.091.049.000.122.115.024.000.1090.220.020.000.136.011.020.090.200.1036.044.000.106.049.091.020.036.000.1011.500.105.026.049.020.044.011.500.10
C
00.118.068.034.158.089.039.361.2
D
G
180.2188.0141.0118.0139.0156.0121.0136.0188.0085.0013.0012.0024.0014.0011.0012.0141.0013.0126.0077.0009.0010.0008.0009.0118.0012.0077.0130.0009.0010.0015.0008.0139.0024.0009.0009.0102.0042.0008.0009.0156.0014.0010.0010.0042.0098.0010.0013.0121.0011.0008.0015.0008.0010.0129.0077.0136.0012.0009.0008.0009.0013.0077.0127.0
C 1
907.0086.0057.0151.0086.0129.0318.0173.0
D . C w 1
7
6
5
4
3
2
1
G
Pesos de krigagem ordinária para as sete amostras usando um modelo de covariância isotrópico exponencial. O valor da amostra é dado imediatamente à direita, enquanto os pesos são apresentados entre parênteses.
Assim, o valor estimado é obtido por:
ppm 592.7
)783)(086.0()791)(057.0()606)(151.0( )646)(086.0()227)(129.0()696)(318.0()477)(173.0(
vv̂n
1iii0
G
E a variância de estimativa é obtida por:
2
n
1i0ii
22OK
ppm 8.96
907.0)18.0)(086.0()68.0)(057.0()34.1)(151.0( )58.0)(086.0()89.0)(129.0()39.3)(318.0()61.2)(173.0(-10
C~~