Nocoes (basicas) de Topologia Geral, espacos metricos,
espacos normados e espacos com produto interno
Andre Arbex Hallack
Setembro/2011
Introducao
O presente texto surgiu para dar suporte a um Seminario (de mesmo nome) oferecido pelo
Departamento de Matematica da Universidade Federal de Juiz de Fora no Verao/2000 e tendo
como principal objetivo fornecer algumas nocoes basicas (elementares) de Topologia, tanto
de espacos topologicos em geral como a topologia de espacos metricos, espacos normados e
espacos com produto interno, procurando fornecer aos participantes uma visao global de todos
esses tipos de espaco, a ser utilizada (ao menos como referencia) em estudos mais avancados
na Matematica.
Originalmente visando atender aos alunos do Bacharelado em Matematica, o Seminario
pode ser bem aproveitado tambem por outros que tinham objetivos relacionados com o acima
citado.
Os pre-requisitos basicos para seguir o texto sao nocoes de Teoria dos Conjuntos e Algebra
Linear. Embora nao sendo absolutamente necessario, tambem e bom que se tenha tido algum
contato com a topologia usual da Reta (conjuntos abertos, fechados, compactos, etc. em IR -
conteudo geralmente visto em um primeiro curso de Analise), bem como nocoes de convergencia
de sequencias e series numericas.
O primeiro capıtulo trata de nocoes de Topologia Geral. Seguem-se capıtulos sobre espacos
metricos, espacos normados e espacos com produto interno. Ao final do texto, foram acrescen-
tados (a tıtulo de informacao adicional) tres apendices, tratando da Topologia Produto (sobre
produtos cartesianos de espacos topologicos), bases em espacos vetoriais e sobre o espaco IRn.
Andre Arbex Hallack
i
Indice
Introducao i
1 Topologia Geral 1
1.1 Espacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Base para uma topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Subespacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Interior, vizinhancas, fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Espacos de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Sequencias em espacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Espacos metricos 23
2.1 Espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 A Topologia Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Sequencias em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Compacidade em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iii
2.8 Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Espacos normados 39
3.1 Espacos normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 A topologia da norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Transformacoes lineares em espacos normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Espacos com produto interno 51
4.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Norma a partir de um produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 O Teorema de Representacao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A Introducao a Topologia Produto 57
B Sobre bases em espacos vetoriais 63
C O espaco IRn 67
Referencias 75
Capıtulo 1
Topologia Geral
Nosso principal objetivo neste primeiro capıtulo e trabalhar com o conceito geral de espaco
topologico e nocoes de convergencia (de sequencias), continuidade de funcoes, conexidade e
compacidade neste contexto.
1.1 Espacos topologicos
Definicao 1.1. Uma TOPOLOGIA sobre um conjunto X e uma colecao τ de subconjuntos
de X ( τ ⊂ P(X) ) satisfazendo as seguintes propriedades:
A.1) φ e X estao em τ .
A.2) A uniao dos elementos de qualquer subcolecao de τ esta em τ .
A.3) A intersecao dos elementos de qualquer subcolecao finita de τ esta em τ .
Um conjunto X munido de uma topologia τ (fixada) e chamado ESPACO TOPOLOGICO.
Neste caso, dizemos que um subconjunto A ⊂ X e um conjunto ABERTO do espaco topologico
X se, e somente se, A ∈ τ .
Exemplos:
A) Topologia Discreta:
Seja X um conjunto qualquer. A colecao τ = P(X) de todos os subconjuntos de X e
uma topologia sobre X, conhecida como TOPOLOGIA DISCRETA.
Qualquer subconjunto de X e aberto na Topologia Discreta.
1
2 CAPITULO 1
B) Topologia Caotica:
Seja X um conjunto qualquer. A colecao τ = {φ , X} e uma topologia sobre X,
conhecida como TOPOLOGIA CAOTICA.
Os conjuntos φ e X sao os unicos abertos de X na Topologia Caotica.
C) Seja X = {a, b, c, d}
τd = P(X) e a Topologia Discreta sobre X.
τc = {φ , X} e a Topologia Caotica sobre X.
τ1 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} e uma topologia sobre X.
τ2 = {φ , {a, b} , {c, d} , X} e uma topologia sobre X.
τ3 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , X} nao e uma topologia sobre X.
τ4 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , {a, c, d} , {b, c, d} , X} e uma topologia sobre X.
D) Topologia Usual da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos numeros reais.
A colecao τ dada por: τ = {A ⊂ IR; ∀ a ∈ A, ∃ ε > 0 com (a− ε, a + ε) ⊂ A} e uma
topologia sobre IR (mostre), conhecida como a Topologia Usual da Reta.
Os abertos de IR, na Topologia Usual, sao os subconjuntos A ⊂ IR tais que: todos os
seus pontos sao centros de intervalos abertos inteiramente contidos em A.
E) Topologia Usual do Plano Complexo (ou do IR2):
Consideremos o conjunto C = {z = x + iy ; x, y ∈ IR} dos numeros complexos.
A colecao τ dada por: τ = {A ⊂ C; ∀ a ∈ A, ∃ ε > 0 com Dε(a) ⊂ A} e uma topologia
(Usual) sobre C. Dε(a) = {z ∈ C; |z − a| < ε} e o disco aberto de centro a e raio ε > 0.
Os abertos de C, na Topologia Usual, sao os subconjuntos A ⊂ C tais que: cada um
de seus pontos e centro de um disco aberto inteiramente contido em A:
Topologia Geral 3
Comparando topologias:
Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X. Se τ ⊂ τ ′ entao dizemos que a
topologia τ ′ e MAIS FORTE (ou MAIOR ou MAIS FINA) que τ , ou equivalentemente, que
a topologia τ e MAIS FRACA (ou MENOR ou MAIS GROSSA) que τ ′. (Exemplos)
Exercıcios:
1) Determine todas as topologias possıveis sobre o conjunto X = {a, b, c} .
2) Seja X um conjunto qualquer. Seja τf a colecao dos subconjuntos U ⊂ X tais que
X\U e finito ou U = φ :
τf = { U ⊂ X ; X\U e finito} ∪ {φ }
(a) Mostre que τf e uma topologia sobre o conjunto X (e chamada a Topologia do Comple-
mento Finito).
(b) O que podemos dizer de τf se X e um conjunto finito?
3) Seja X um espaco topologico. Seja A ⊂ X tal que para cada x ∈ A existe um
conjunto aberto Ux com x ∈ Ux ⊂ A. Mostre que A e aberto em X.
1.2 Base para uma topologia
Definicao 1.2. Seja X um conjunto qualquer. Uma colecao B de subconjuntos de X e uma
BASE PARA UMA TOPOLOGIA SOBRE X se, e somente se, as duas condicoes abaixo sao
satisfeitas:
1) Para cada x ∈ X, existe pelo menos um conjunto B ∈ B tal que x ∈ B.
2) Se x pertence a intersecao de dois conjuntos B1, B2 ∈ B entao existe um conjunto
B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2.
O termo BASE se justifica pois se B e base para uma topologia sobre X podemos construir
a partir de B uma topologia τB sobre X (chamada TOPOLOGIA GERADA POR B), dada
por:
τB = { U ⊂ X ; ∀ x ∈ U, ∃ B ∈ B com x ∈ B ⊂ U }
E imediato que B ⊂ τB (os conjuntos B ∈ B sao chamados ABERTOS BASICOS)
4 CAPITULO 1
Exemplos:
A) A colecao B = {I ⊂ IR ; I e intervalo aberto } e uma base para a Topologia Usual
da Reta, ou seja, e uma base para uma topologia em IR e a topologia gerada por B e a
Topologia Usual da Reta (verifique).
B) Seja X = {f : IR → IR} o conjunto de todas as funcoes de IR em IR (tambem de-
notado por IRIR). Dados um conjunto finito F = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ IR e uma colecao
de n abertos U = {U1, U2, . . . , Un} (na Topologia Usual da Reta), considere o conjunto
BF, U = { f ∈ X ; f(xi) ∈ Ui ∀ i = 1, 2, . . . , n} .
A colecao B = {BF, U ; F e U como acima (variando)} e uma base para uma topologia
sobre X (mostre).
Exercıcios:
1) Se B e uma base para uma topologia sobre X, mostre que τB definida anteriormente
e de fato uma topologia sobre X.
2) Sejam X um conjunto e B uma base para uma topologia τB sobre X. Mostre que
τB e a colecao de todas as unioes de elementos de B.
1.3 Subespacos topologicos
Definicao 1.3. Seja X um espaco topologico, munido de uma topologia τ .
Se Y e um subconjunto de X, podemos entao construir uma topologia natural sobre Y ,
a partir da topologia τ : τY = {Y ∩ A ; A ∈ τ} e uma topologia sobre Y (mostrar),
chamada TOPOLOGIA DE SUBESPACO e o espaco topologico (Y, τY ) e dito SUBESPACO
(TOPOLOGICO) do espaco topologico (X, τ).
Os abertos do subespaco Y ⊂ X consistem portanto de todas as intersecoes de Y com os
abertos de X. (Exemplos)
1.4 Conjuntos fechados
Definicao 1.4. Um subconjunto F de um espaco topologico X e dito ser FECHADO se, e
somente se, o conjunto A = X\F e aberto.
Topologia Geral 5
Teorema 1.5. Seja X um espaco topologico. Entao as seguintes condicoes sao satisfeitas:
F.1) φ e X sao fechados.
F.2) Intersecoes arbitrarias de conjuntos fechados sao conjuntos fechados.
F.3) Unioes finitas de conjuntos fechados sao conjuntos fechados.
Exercıcios:
1) Prove o Teorema 1.5 acima.
2) Mostre que se A e aberto em X (i. e, A e aberto do espaco topologico X) e F e fechado
em X entao A\F e aberto em X e F\A e fechado em X.
1.5 Interior, vizinhancas, fecho
Definicao 1.6. (Interior) Dado um subconjunto B de um espaco topologico X, definimos o
INTERIOR de B ( int B) como a uniao de todos os conjuntos abertos contidos em B.
Teorema 1.7. Seja X um espaco topologico. Sao consequencias imediatas da definicao de
interior de um conjunto (mostre):
a) int B ⊂ B ∀ B ⊂ X.
b) int B e aberto ∀ B ⊂ X.
c) B e abertoB⊂X
⇐⇒ B = int B.
d) A ⊂ B ⇒ int A ⊂ int B ∀ A, B ⊂ X.
e) int (A ∩ B) = int A ∩ int B ∀ A, B ⊂ X.
Exercıcio: Mostre que, ∀ A, B ⊂ X (espaco topologico), int (A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B.
De um exemplo em que esta inclusao nao se reduz a igualdade.
Definicao 1.8. (Vizinhanca) Seja X um espaco topologico. Um subconjunto V ⊂ X e uma
VIZINHANCA de um ponto x ∈ X se, e somente se, existe um aberto A tal que x ∈ A ⊂ V .
6 CAPITULO 1
Teorema 1.9. Seja X um espaco topologico. Sao consequencias imediatas da definicao de
vizinhanca (mostre):
a) V e vizinhanca de x ∈ X ⇔ x ∈ int V
b) A e abertoA⊂X
⇐⇒ A e vizinhanca de cada um de seus pontos.
Exercıcios:
1) Mostre que a intersecao de duas vizinhancas de um ponto e uma vizinhanca deste ponto.
2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.
Mostre que se V e uma vizinhanca de um ponto x ∈ X na topologia mais fraca τ entao
V e uma vizinhanca de X na topologia mais forte τ ′.
Mostre atraves de um exemplo que a recıproca da afirmacao acima nao e verdadeira.
Definicao 1.10. (Base de vizinhancas de um ponto)
Dado x ∈ X (espaco topologico), uma colecao Bx de vizinhancas de x e dita ser uma
BASE DE VIZINHANCAS DE x se, e somente se, para cada vizinhanca V de x e possıvel
obter uma vizinhanca B ∈ Bx tal que B ⊂ V .
Os elementos B ∈ Bx sao chamados VIZINHANCAS BASICAS DE x.
Exercıcios:
1) Seja B uma base para uma topologia τB sobre um espaco X (ver Secao 1.2). Dado
x ∈ X, mostre que a colecao Bx = {B ∈ B ; x ∈ B} e uma base de vizinhancas de x.
2) Mostre que Bx = { (x− ε, x + ε) ; ε > 0 }, intervalos abertos centrados em um ponto
x ∈ IR , formam uma base de vizinhancas de x na Topologia Usual da Reta.
3) Seja X = {f : IR → IR} . Considerando o Exemplo B da Secao 1.2, mostre que
BO = { VF, ε = {f ∈ X ; |f(x)| < ε ∀ x ∈ F } F (finito) ⊂ IR , ε > 0 } e uma base de vizi-
nhancas da funcao nula O : IR → IR na topologia considerada.
Definicao 1.11. (Fecho)
Seja X um espaco topologico. Dado um subconjunto B ⊂ X, definimos o FECHO DE B
(B ou cl XB ou cl B) como a intersecao de todos os conjuntos fechados que contem B.
Topologia Geral 7
Teorema 1.12. Seja X um espaco topologico. Sao consequencias imediatas da definicao de
fecho de um conjunto (mostre):
a) B ⊂ cl B ∀ B ⊂ X.
b) cl B e fechado ∀ B ⊂ X.
c) B e fechadoB⊂X
⇐⇒ B = cl B.
d) A ⊂ B ⇒ cl A ⊂ cl B ∀ A, B ⊂ X.
e) cl (A ∪ B) = cl A ∪ cl B ∀ A, B ⊂ X.
Teorema 1.13. Seja X um espaco topologico. Dados B ⊂ X e x ∈ X, temos:
x ∈ cl B se, e somente se, toda vizinhanca de x intersecta o conjunto B.
Prova:
Exercıcios:
1) Considere o conjunto X = {a, b, c, d, e} e a seguinte topologia sobre X:
τ = {φ , X, {a} , {a, b} , {a, c, d} , {a, b, c, d} , {a, b, e} } .
(a) Obtenha todas as vizinhancas do ponto c.
(b) Qual a “menor” base de vizinhancas do ponto a ?
(c) Obtenha o fecho do subconjunto {b, c} ⊂ X .
(d) Obtenha o interior do subconjunto {a, b, c} ⊂ X .
(e) Se A = {a, c, e}, qual e a topologia relativa (de subespaco) de A ?
8 CAPITULO 1
2) Mostre por um contra-exemplo que podemos ter int ( cl A) 6= cl ( int A).
3) Considere B ⊂ X (espaco topologico). Mostre que X\ cl B = int (X\B) e que
X\ int B = cl (X\B).
4) Seja Y ⊂ X (espaco topologico). Mostre que { Y ∩ F ; F e fechado em X } e a
colecao dos conjuntos fechados do subespaco topologico Y ⊂ X.
5) Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espaco topologico). Mostre que cl Y B = Y ∩ cl XB.
Obs.: cl Y B e o fecho de B no espaco Y (subespaco topologico de X)
cl XB e o fecho de B no espaco X.
(Sugestao: use o exercıcio anterior)
6) Mostre que A ⊂ X (espaco topologico) e aberto se, e somente se, A ∩ cl (X\A) = φ .
7) Mostre que se A, B ⊂ X (espaco topologico), entao cl (A ∩ B) ⊂ ( cl A ∩ cl B).
De um exemplo em que esta inclusao nao se reduz a igualdade.
8) Se um aberto A contem pontos do fecho de B, entao A contem pontos de B (mostre).
9) (Pontos de acumulacao) Seja B ⊂ X (espaco topologico). Um ponto x ∈ X e
dito PONTO DE ACUMULACAO DE B se, e somente se, toda vizinhanca de x intersecta
B\ {x} . Denotamos por B′ o conjunto dos pontos de acumulacao de B.
Mostre que cl B = B ∪ B′ ∀ B ⊂ X. Podemos garantir que B′ e sempre fechado?
Caso a resposta seja SIM, prove. Se nao, apresente um contra-exemplo.
10) (Fronteira) Seja B ⊂ X (espaco topologico). Definimos a FRONTEIRA DE B
(e escrevemos fr B ou ∂B) como o conjunto:
fr B = cl B ∩ cl (X\B)
(a) Mostre que int B ∩ fr B = φ
(b) Mostre que fr B = φ ⇔ B e aberto e fechado.
(c) Mostre que A e aberto ⇔ fr A = ( cl A)\A.
(d) Mostre que se A e aberto entao sua fronteira possui interior vazio.
(e) De exemplo de um conjunto B, que nao seja vazio nem o espaco todo, cuja fronteira
seja um conjunto aberto.
(f) Mostre que se F e fechado entao sua fronteira tem interior vazio.
11) (Densidade) Um subconjunto B ⊂ X (espaco topologico) e DENSO EM X se, e
somente se, cl XB = X.
Um espaco topologico e dito SEPARAVEL se possuir um subconjunto enumeravel denso.
Topologia Geral 9
Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espaco topologico). B e denso em Y se, e somente se, B e denso no
subespaco Y (com a topologia de subespaco), isto e, se, e somente se, cl Y B = Y .
Se B ⊂ Y ⊂ X (espaco topologico), mostre que B e denso em Y se, e somente se,
Y ⊂ cl XB.
12) Mostre que se A e aberto em X (espaco topologico) e D ⊂ X e denso em X entao
A ∩ D e denso em A.
13) Um subconjunto H de um espaco topologico X e chamado “NOWHERE DENSE”
(ou “RARO”) quando int ( cl XH) = φ .
Prove: Se H e um subconjunto “nowhere dense” de X, entao X\( cl XH) e denso em X.
14) Para cada n = 0, 1, 2, 3, . . . , seja An = { n, n + 1, n + 2, . . .}. Consideremos em
X = { 0, 1, 2, 3, . . .} a topologia τ = {φ , An ; n = 0, 1, 2, 3, . . .}.(a) Determine os subconjuntos fechados de (X, τ).
(b) Determine o fecho dos conjuntos { 8, 12, 36} e { 2n ; n ∈ X}.(c) Determine quais os subconjuntos de X que sao densos em X.
1.6 Espacos de Hausdorff
Definicao 1.14. Um espaco topologico X e dito ser um ESPACO DE HAUSDORFF se, e
somente se, para cada par de pontos distintos x, y ∈ X e possıvel obter abertos disjuntos
U e V tais que x ∈ U e y ∈ V .
Um espaco de Hausdorff e tambem chamado SEPARADO, ou T2.
Teorema 1.15. Todo conjunto unitario em um espaco de Hausdorff e fechado.
Prova:
Corolario 1. Todo conjunto finito em um espaco de Hausdorff e fechado.
(Exemplos)
10 CAPITULO 1
Exercıcios:
1) (Alguns axiomas de separacao) Consideremos as classificacoes abaixo:
T0 : Um espaco topologico X e dito ser T0 (ou a topologia de X e dita T0) se, e somente se,
dados dois pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existe um aberto contendo um destes pontos e
nao contendo o outro.
T1 : Um espaco topologico X e dito ser T1 se, e somente se, dados dois pontos distintos
x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos U e V tais que x ∈ U, y ∈ V, x 6∈ V e y 6∈ U .
T2 : Um espaco topologico X e dito ser T2 (ou Hausdorff) se, e somente se, dados dois
pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos disjuntos U e V tais que x ∈ U e
y ∈ V .
Obs.: Existem outros axiomas de separacao (T3, T31/2, T4, . . .)
(a) E obvio que todo espaco T2 e T1 e todo espaco T1 e T0. Porem nem todo espaco T0 e T1
e nem todo espaco T1 e T2 (caso contrario nao faria sentido definir espacos de tipos diferentes!)
De um exemplo de um espaco que nao e T0.
De um exemplo de um espaco que e T0 mas nao e T1.
De um exemplo de um espaco que e T1 mas nao e T2 (Sugestao: mostre que qualquer
conjunto infinito com a Topologia do Complemento Finito - ver exercıcios da Secao 1.1 - e T1
mas nao e T2).
(b) Mostre que um espaco topologico e T1 se, e somente se, todo subconjunto unitario e
fechado.
2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X (τ ′ mais forte que τ).
Que tipo de resultado podemos inferir sobre essas topologias com relacao aos axiomas de
separacao T0, T1 e T2 ?
O que podemos concluir sobre as “chances” de uma topologia atender as condicoes T0, T1
ou T2, no que diz respeito a sua “forca”?
1.7 Sequencias em espacos topologicos
Definicao 1.16. Sejam X um espaco topologico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X.
Um ponto x ∈ X e LIMITE da sequencia (xn) (equivalentemente dizemos que (xn)
converge para x e escrevemos xn → x) se, e somente se, para cada vizinhanca V de x e
possıvel obter um ındice n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V .
Topologia Geral 11
Observacao: E interessante notar a importancia da topologia no conceito de convergencia
de sequencias, ou melhor, dada uma sequencia (xn) em um espaco topologico X, a con-
vergencia ou nao de (xn) para um ponto x ∈ X depende fortemente da topologia
considerada sobre X. Por este motivo, as vezes e conveniente explicitarmos qual topolo-
gia esta sendo considerada, principalmente quando o problema puder envolver mais de uma
topologia sobre um mesmo conjunto X.
Exemplo:
Exercıcio:
Sejam X um espaco topologico e (xn) uma sequencia em X.
(a) Dado x ∈ X, fixe uma base Bx de vizinhancas de x e mostre que xn → x se, e
somente se, para cada vizinhanca basica V ∈ Bx de x e possıvel obter um ındice n0 ∈ IN
tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V . (Veja: base de vizinhancas de um ponto, Secao 1.5)
Obs.: Moral da estoria: podemos verificar (e ate definir) convergencia de sequencias
utilizando vizinhancas basicas.
12 CAPITULO 1
(b) Consideremos a Topologia Usual da Reta IR. Utilizando a parte (a) anterior e o fato de
que os intervalos abertos centrados em um ponto da reta constituem uma base de vizinhancas
desse ponto, conclua que (na Topologia Usual) uma sequencia (xn) ⊂ IR converge para
um ponto x ∈ IR se, e somente se, dado ε > 0, existe um ındice n0 ∈ IN tal que
n > n0 ⇒ |xn − x| < ε.
Obs.: A caracterizacao de convergencia obtida acima em (b) (e utilizada como definicao
quando e fixada a Topologia Usual da Reta) e um caso particular da definicao 1.16!
Teorema 1.17. Se X e um espaco de Hausdorff entao toda sequencia convergente em X
converge para um unico limite.
Teorema 1.18. Sejam X um conjunto e τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre X (τ ′ mais forte do
que τ). Se (xn) ⊂ X e tal que xnτ ′→ x ∈ X entao xn
τ→ x.
Teorema 1.19. Sejam X um espaco topologico e B ⊂ X um subconjunto de X. Se existe
uma sequencia (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) que converge para um ponto x ∈ X, entao x ∈ cl B.
Observacao: A recıproca do teorema acima nao e verdadeira em geral.
E possıvel obter um espaco topologico X, um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X
tais que x ∈ cl B mas nao existe nenhuma sequencia (xn) ⊂ B convergindo para x.
O contra-exemplo a seguir ilustra essa situacao.
Contra-exemplo:
Topologia Geral 13
Apesar de existirem (e muitos) espacos onde, devido a suas topologias, a recıproca do
Teorema 1.19 e verdadeira (por exemplo: IR e C com suas Topologias Usuais), nao podemos
em geral, a luz da observacao e do contra-exemplo acima, caracterizar (nem definir portanto)
o fecho de um conjunto B como o conjunto dos limites de sequencias em B.
Por esta inadequacao das sequencias na caracterizacao do fecho surgem novos con-
ceitos, de FILTROS e NETS (generalizacao de sequencias) que ajudam a contornar o problema
acima.
Exercıcios:
1) Prove o Teorema 1.17
2) Prove o Teorema 1.18
3) Prove o Teorema 1.19
4) Seja X um espaco topologico onde nao e valida a recıproca do Teorema 1.19, isto e,
existem um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X tais que x ∈ cl B mas nao existe
nenhuma sequencia (xn) ⊂ B convergindo para x.
Para cada D ⊂ X , definimos o conjunto D = {x ∈ X ; ∃ (xn) ⊂ D com lim xn = x}(D e o conjunto dos limites de sequencias em D).
Usando o conjunto B acima, prove que o conjunto D nem sempre e fechado (seu comple-
mentar nao e aberto) e conclua (se quisermos naturalmente que os fechos sejam fechados) que
nao podemos definir o fecho de um conjunto F como F (isto e, o conjunto dos limites de suas
sequencias).
5) Um espaco topologico X satisfaz ao 1o AXIOMA DA ENUMERABILIDADE quando
cada ponto de X possui uma base de vizinhancas enumeravel.
(a) Sendo X um espaco topologico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre
que cada x ∈ X possui uma base enumeravel de vizinhancas “encaixadas”:
Bx = { V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ . . . ⊃ Vn ⊃ . . .}
(b) Se X e um espaco topologico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre
que em X vale a recıproca do Teorema 1.19, ou seja, se um ponto x pertence ao fecho cl B
de um conjunto B ⊂ X, entao existe uma sequencia (xn) em B tal que xn → x. A partir
daı, conclua que neste tipo de espaco podemos definir o fecho de um conjunto de uma nova
maneira (defina).
(c) Mostre que a reta IR e o plano complexo C (IR2) com suas Topologias Usuais sao
espacos topologicos que satisfazem ao 1o Axioma da Enumerabilidade (no estudo de Analise
na Reta e Analise no IRn, onde sao consideradas as Topologias Usuais, podemos caracterizar
e portanto definir o fecho de um conjunto atraves de sequencias).
14 CAPITULO 1
1.8 Funcoes contınuas
Definicao 1.20. Sejam X e Y espacos topologicos. Uma funcao f : X → Y e dita ser
CONTINUA se, e somente se, para cada subconjunto A aberto de Y , sua imagem inversa
f−1(A) e um aberto de X.
(Exemplos)
Teorema 1.21. Sejam X e Y espacos topologicos e f : X → Y . Entao, sao equivalentes:
(1) f e contınua.
(2) Para todo conjunto F fechado em Y , f−1(F ) e fechado em X.
(3) Para todo subconjunto B ⊂ X, tem-se f( cl B) ⊂ cl (f(B)).
(4) Para todo subconjunto D ⊂ Y , tem-se f−1( int D) ⊂ int (f−1(D)) .
Prova: Exercıcio
Observacao: E importante notar que, dados dois espacos topologicos X e Y e uma funcao
f : X → Y , a continuidade de f depende das topologias consideradas sobre X e Y .
Este fato enfatiza a natureza topologica do conceito de continuidade.
Teorema 1.22. Sejam X, Y e Z espacos topologicos. Temos:
(a) (Funcao constante) Se f : X → Y “leva” todo X em um unico ponto y0 ∈ Y entao
f e contınua.
(b) (Inclusao) Se B ⊂ X e subespaco de X, entao a funcao de inclusao j : B → X, dada
por j(x) = x ∀ x ∈ B, e contınua.
(c) (Composicao) Se f : X → Y e g : Y → Z sao contınuas entao a aplicacao composta
g ◦ f : X → Z e contınua.
(d) (Restringindo o domınio) Se f : X → Y e contınua e B ⊂ X e um subespaco de X,
entao a restricao f |B : B → Y e contınua.
(e) (Restringindo ou estendendo o contra-domınio) Seja f : X → Y contınua. Se Z ⊂ Y
e um subespaco de Y tal que f(X) ⊂ Z entao a funcao g : X → Z dada por g(x) = f(x)
para todo x ∈ X e contınua. Se Z e um espaco tal que Y ⊂ Z e subespaco de Z entao a
funcao h : X → Z dada por h(x) = f(x) para todo x ∈ X e contınua.
Prova: Exercıcio.
Topologia Geral 15
Definicao 1.23. (Continuidade em um ponto) Sejam X e Y espacos topologicos. A aplicacao
f : X → Y e dita CONTINUA NO PONTO x0 ∈ X se, e somente se, para cada vizinhanca
V de f(x0) em Y e possıvel obter uma vizinhanca U de x0 em X tal que f(U) ⊂ V .
Teorema 1.24. Sejam X e Y espacos topologicos. A aplicacao f : X → Y e contınua se, e
somente se, f e contınua em todo ponto de X.
Prova: Exercıcio
Exercıcios:
1) Seja X = A ∪ B um espaco topologico, com A e B fechados em X.
Sejam f : A → Y e g : B → Y contınuas, de modo que f(x) = g(x) ∀ x ∈ A ∩ B.
Mostre que e possıvel combinar f e g para construir uma funcao contınua h : X → Y
pondo h(x) = f(x) se x ∈ A e h(x) = g(x) se x ∈ B.
2) Sejam X e Y espacos topologicos, Y de Hausdorff e f, g : X → Y contınuas em
a ∈ X. Mostre que se f(a) 6= g(a) entao existe uma vizinhanca V de a em X tal que
x, y ∈ V ⇒ f(x) 6= g(y).
3) Sejam X e Y espacos topologicos e f : X → Y .
(a) Dado x0 ∈ X, fixe uma base Bx0 de vizinhancas de x0 e uma base Bf(x0) de
vizinhancas de f(x0). Mostre que f e contınua em x0 se, e somente se, para cada vizinhanca
basica V ∈ Bf(x0) de f(x0) e possıvel obter uma vizinhanca basica U ∈ Bx0 de x0 tal que
f(U) ⊂ V .
Obs.: Moral da estoria: podemos verificar (e ate definir) continuidade de uma funcao
num ponto utilizando vizinhancas basicas.
(b) Sabendo que os intervalos abertos centrados em um ponto x ∈ IR constituem uma base
de vizinhancas desse ponto na Topologia Usual da Reta, mostre que uma funcao f : IR → IR
e contınua em x0 ∈ IR (considerando a Topologia Usual) se, e somente se, dado ε > 0 e
possıvel obter um δ > 0 tal que |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.
Obs.: A caracterizacao obtida acima em (b) (e utilizada como definicao quando e fixada
a Topologia Usual da Reta) e um caso particular da definicao 1.23!
4) Dados um conjunto X, um espaco topologico Y e uma funcao f : X → Y , determinar
a topologia mais fraca sobre X tal que f seja contınua.
16 CAPITULO 1
Teorema 1.25. Sejam X e Y espacos topologicos. Se a funcao f : X → Y e contınua em
x0 ∈ X entao, para toda sequencia (xn) ⊂ X tal que xn → x0 , temos que f(xn) → f(x0)
em Y .
Prova:
Observacao: A recıproca do teorema acima nao e verdadeira em geral.
Assim, da mesma forma que no caso do fecho, as sequencias mostram-se inadequadas
para a caracterizacao da continuidade, no caso geral (vale ressaltar que existem casos - por
exemplo IR e C com suas Topologias Usuais - nos quais vale a recıproca do teorema acima e
portanto tal caracterizacao e possıvel).
Exercıcio: Mostre que se X e um espaco topologico que satisfaz ao 1o Axioma da Enu-
merabilidade (ou seja, cada ponto de X possui uma base de vizinhancas enumeravel), entao
vale a recıproca do teorema acima e neste caso podemos caracterizar a continuidade atraves
de sequencias.
1.9 Homeomorfismos
Definicao 1.26. Consideremos uma bijecao f : X → Y entre dois espacos topologicos X
e Y . Dizemos que f e um HOMEOMORFISMO se, e somente se, f e sua funcao inversa
f−1 : Y → X sao contınuas. Dois espacos topologicos sao ditos HOMEOMORFOS se existir
um homeomorfismo entre ambos.
Definicao 1.27. Sejam X e Y espacos topologicos. Uma aplicacao f : X → Y e dita
ABERTA se, e somente se, para todo A ⊂ X aberto em X tem-se f(A) ⊂ Y aberto em Y .
f : X → Y e dita FECHADA se, e somente se, para todo F ⊂ X fechado em X tem-se
f(F ) ⊂ Y fechado em Y .
Topologia Geral 17
Observacao:
Se X e Y sao espacos topologicos homeomorfos, por um homeomorfismo f : X → Y , entao
e imediato que se A ⊂ X e aberto entao f(A) ⊂ Y e aberto (f e uma aplicacao aberta),
se F ⊂ X e fechado entao f(F ) ⊂ Y e fechado (f e uma aplicacao fechada). E imediato
tambem que f−1 e uma aplicacao aberta e fechada.
Assim, se dois espacos topologicos X e Y sao homeomorfos, podemos dizer que ambos sao
INDISTINGUIVEIS DO PONTO DE VISTA TOPOLOGICO.
1.10 Conexidade
Definicao 1.28. (Cisao) Uma CISAO de um espaco topologico X e uma decomposicao
X = A ∪ B onde A ∩ B = φ e os conjuntos A e B sao ambos abertos em X.
Observacao: Todo espaco topologico X admite a cisao trivial X = X ∪ φ .
Definicao 1.29. (Conexos) Um espaco topologico X e dito CONEXO se, e somente se, ele
nao admite outra cisao alem da cisao trivial.
Observacao: E imediato que um espaco topologico e conexo se, e somente se, os unicos
subconjuntos de X que sao simultaneamente abertos e fechados em X sao o conjunto vazio φ
e o proprio espaco X.
O proximo teorema e util na caracterizacao de cisao de um subespaco topologico:
Teorema 1.30. Seja Y ⊂ X (espaco topologico). Y = A ∪ B, com A ∩ B = φ , e uma
cisao do subespaco Y ⊂ X se, e somente se, cl A ∩ B = φ = A ∩ cl B, onde os fechos sao
considerados no espaco X.
Prova: Exercıcio.
Lema 1.31. Seja X = A ∪ B uma cisao do espaco topologico X. Seja Y ⊂ X. Se Y e
conexo (e nao-vazio) entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B.
Prova:
18 CAPITULO 1
Teorema 1.32. A uniao de uma colecao de conjuntos conexos com pelo menos um ponto em
comum e conexa.
Prova:
Teorema 1.33. Se A ⊂ X e conexo e A ⊂ B ⊂ cl A entao B e conexo.
Prova:
Corolario 1. Se A e conexo e B e formado a partir de A adicionando-se alguns ou todos os
pontos de seu fecho entao B e conexo.
Exercıcios:
1) Seja { An} uma sequencia de subconjuntos conexos de um espaco topologico X, tais
que An ∩ An+1 6= φ para todo n. Mostre que a uniao⋃
An e conexa.
2) Seja { Aα} uma colecao de subconjuntos conexos de um espaco topologico X. Seja
A ⊂ X conexo. Mostre que se A ∩ Aα 6= φ para todo α, entao a uniao A ∪ (⋃
An) e
conexa.
3) (Teorema da Alfandega) Seja A ⊂ X (espaco topologico). Mostre que se C ⊂ X e
conexo, C ∩ A 6= φ e C ∩ (X\A) 6= φ entao C ∩ fr A 6= φ .
Topologia Geral 19
Teorema 1.34. A imagem de um espaco conexo por uma aplicacao contınua e conexa.
Prova:
Nota: O teorema acima garante que se um espaco topologico conexo X e homeomorfo a
um espaco Y , entao Y e conexo, ou melhor, a conexidade e uma invariante topologica. Por
este motivo, diz-se tambem que a conexidade e uma PROPRIEDADE TOPOLOGICA.
Exercıcios:
1) Uma aplicacao f : X → Y e dita LOCALMENTE CONSTANTE se, e somente se,
para todo x ∈ X existe uma vizinhanca V de x onde f e constante.
Mostre que se f : X → Y e localmente constante e X e conexo entao f e constante.
2) (Teorema do Valor Intermediario):
(a) Prove que todo subconjunto conexo de IR (na Topologia Usual) e um intervalo.
(b) Sejam X conexo e f : X → IR (Topologia Usual) contınua. Mostre que f tem a
PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIARIO, isto e, se existem x1, x2 ∈ X tais que
f(x1) = a < b = f(x2) entao, dado c entre a e b (a < c < b) existe x ∈ X tal que f(x) = c.
3) Seja A ⊂ X (espaco topologico). Dado a ∈ A, definimos a COMPONENTE CONEXA
Ca DE a como a reuniao de todos os subconjuntos conexos de A que contem a.
(a) Mostre que Ca e o maior subconjunto conexo de A contendo o ponto a.
(b) Seja h : X → Y um homeomorfismo. Mostre que se Cx e a componente conexa do
ponto x em X entao Dy = h(Cx) e a componente conexa de y = h(x) em Y .
Obs.: A letra (b) anterior mostra que um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma
bijecao entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y .
20 CAPITULO 1
1.11 Compacidade
Definicao 1.35. (Cobertura) Uma colecao A de subconjuntos de um espaco topologico X e
dita uma COBERTURA de X se, e somente se, a uniao dos elementos de A e igual a X. E
chamada uma COBERTURA ABERTA se os elementos de A sao abertos em X.
Definicao 1.36. (Compactos) Um espaco topologico X e dito COMPACTO se, e somente
se, toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita, isto e, contem uma subcolecao
finita que tambem cobre X.
Teorema 1.37. Seja Y ⊂ X (espaco topologico). Y e compacto se, e somente se, toda
cobertura aberta de Y por abertos em X admite uma subcobertura finita.
Prova: Exercıcio.
Teorema 1.38. Todo subconjunto fechado de um espaco compacto e compacto.
Prova:
Teorema 1.39. Todo subconjunto compacto de um espaco de Hausdorff e fechado.
Prova:
Topologia Geral 21
Teorema 1.40. A imagem de um espaco compacto por uma aplicacao contınua e tambem um
compacto.
Prova:
Nota: O teorema acima garante que a compacidade e uma invariante topologica.
Exercıcios:
1) Mostre que todo espaco discreto (Topologia Discreta) e compacto e finito.
2) Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.
Qual a relacao entre a compacidade de X sob uma dessas topologias e a outra, se τ ⊂ τ ′ ?
Mostre que se X e compacto e Hausdorff em ambas as topologias entao τ = τ ′ ou elas
nao sao comparaveis.
3) Mostre que se f : X → Y e contınua, X e compacto e Y e Hausdorff, entao f e uma
aplicacao fechada (i. e, f leva conjuntos fechados de X em conjuntos fechados de Y ).
4) Sejam A e B subconjuntos compactos e disjuntos de um espaco de Hausdorff X.
Mostre que existem abertos disjuntos U e V contendo A e B respectivamente.
22 CAPITULO 1
Capıtulo 2
Espacos metricos
Neste segundo capıtulo introduzimos o conceito de espaco metrico e surgirao natural-
mente as topologias induzidas por metricas. Estudamos entao nocoes de convergencia (de
sequencias), continuidade (de funcoes) e compacidade em espacos metricos, alem de con-
tinuidade uniforme e metricas equivalentes.
2.1 Espacos metricos
Definicao 2.1. Uma METRICA sobre um conjunto X e uma funcao d : X ×X → IR que
associa a cada par ordenado de elementos x, y ∈ X um numero real d(x, y) chamado a
distancia de x a y, de modo que se tenha, para todos x, y, z ∈ X:
d.1) d(x, x) = 0
d.2) Se x 6= y entao d(x, y) > 0
d.3) d(x, y) = d(y, x) (Simetria)
d.4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Desigualdade Triangular)
Um conjunto X munido de uma metrica d (fixada) e chamado ESPACO METRICO.
Exemplos:
A) Metrica Discreta:
Seja X um conjunto qualquer. d : X ×X → IR dada por
{d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
e uma metrica em X, conhecida como METRICA DISCRETA.
23
24 CAPITULO 2
B) Metrica Usual da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos numeros reais.
d : IR× IR → IR dada por d(x, y) = |x− y| e uma metrica em IR.
C) Algumas metricas no Plano Complexo (ou no IR2):
Consideremos o conjunto C = { z = x + iy ; x, y ∈ IR} dos numeros complexos e defi-
namos de, ds, dm : C× C → IR pondo, para todos a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C :
de(a, b) = |a− b| = |(a1 − b1) + i(a2 − b2)| =√
(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2
ds(a, b) = |a1 − b1|+ |a2 − b2|
dm(a, b) = max {|a1 − b1| , |a2 − b2|}
Todas as tres funcoes acima sao metricas sobre C.
de e conhecida como Metrica Euclidiana.
ds e conhecida como Metrica da Soma.
dm e conhecida como Metrica do Maximo.
D) Subespaco metrico - metrica induzida:
Seja (X, d) um espaco metrico. Se Y e um subconjunto de X podemos induzir uma
metrica natural em Y , a partir da metrica d:
dY = d |Y×Y : Y × Y → IR e uma metrica em Y (induzida em Y por d)
O espaco metrico (Y, dY ) e dito SUBESPACO (METRICO) do espaco metrico (X, d).
Assim, todo subconjunto de um espaco metrico pode ser considerado, de modo natural,
como um espaco metrico.
E) Metrica do sup:
Seja X um conjunto arbitrario. Uma funcao real f : X → IR diz-se LIMITADA quando
existe uma constante k = kf > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ X.
Seja B(X; IR) o conjunto das funcoes limitadas f : X → IR.
Definimos uma metrica d em B(X; IR) pondo, para todas f, g ∈ B(X; IR):
d(f, g) = supx∈X
|f(x)− g(x)|
Exercıcio: Verifique que d acima esta bem definida e que e uma metrica em B(X; IR).
Espacos metricos 25
Exercıcios:
1) Mostre que as funcoes dadas nos exemplos sao realmente metricas.
2) Seja d : X ×X → IR uma metrica em X. Mostre que α(x, y) =√
d(x, y),
β(x, y) =d(x, y)
1 + d(x, y)e γ(x, y) = min {1, d(x, y)} tambem sao metricas em X.
2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados
Definicao 2.2. Sejam a um ponto num espaco metrico X e r > 0 um numero real. Definimos:
(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = {x ∈ X ; d(x, a) < r}
(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B [a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) ≤ r}
(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) = r}
Observacao: Seja Y ⊂ X um subespaco metrico do espaco metrico (X, d). Denotando
por BY (a; r) a bola aberta de centro a ∈ Y e raio r na metrica dY induzida em Y por d,
temos: BY (a; r) = B(a; r) ∩ Y , onde B(a; r) e a bola aberta de centro a e raio r em (X, d).
Tambem temos que BY [a; r] = B[a; r] ∩ Y e SY [a; r] = S[a; r] ∩ Y .
(Exemplos)
Definicao 2.3. Um subconjunto B ⊂ X de um espaco metrico X e dito LIMITADO quando
existe uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c quaisquer que sejam x, y ∈ B.
Se B 6= φ e B ⊂ (X, d) e um conjunto limitado, podemos definir o DIAMETRO de B
como
diam (B) = sup { d(x, y) ; x, y ∈ B}
Observacao: Os conceitos acima definidos dependem da metrica d tomada em X.
(Exemplos)
26 CAPITULO 2
2.3 A Topologia Metrica
Seja X = (X, d) um espaco metrico. Existe uma topologia natural sobre X, constru-
ıda a partir da metrica d da seguinte forma:
τ = { A ⊂ X ; ∀ a ∈ A, ∃ ε > 0 com B(a; ε) ⊂ A}
De fato, τ e uma topologia sobre X (exercıcio), dita a TOPOLOGIA INDUZIDA PELA
METRICA d.
Assim, todo espaco metrico X = (X, d) pode ser considerado como um espaco topologico
X = (X, τ) , onde a topologia τ e a topologia induzida pela metrica d, da forma acima descrita.
Proposicao 2.4. Sejam (X, d) um espaco metrico e τ a topologia induzida pela metrica d
sobre X. Temos:
(i) Para todo a ∈ X, a colecao Ba = {B(a; ε), ε > 0, ε ∈ IR} das bolas abertas de centro
a e uma base de vizinhancas de a na topologia τ .
(ii) Para todo a ∈ X e todo r > 0, r ∈ IR, B(a; r) ∈ τ, isto e, B(a; r) e aberto.
(iii) (X, τ) e espaco de Hausdorff.
(iv) ∀ a ∈ X , Ba = { B(a; 1/n), n ∈ IN } e uma base enumeravel de vizinhancas de a.
Prova: Exercıcio.
Definicao 2.5. Seja (X, τ) um espaco topologico. A topologia τ e dita METRIZAVEL se,
e somente se, existe uma metrica d em X tal que τ e a topologia induzida pela metrica d
sobre X.
Exemplos:
A) Metrica e Topologia Discretas:
Seja X um conjunto munido da Metrica Discreta d : X ×X → IR, dada por{d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
A topologia induzida por d sobre X e exatamente a Topologia Discreta τ = P(X).
B) Metrica e Topologia Usuais da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos numeros reais, com a Metrica Usual d : IR × IR → IR
dada por d(x, y) = |x− y| , quaisquer que sejam x, y ∈ IR.
A topologia induzida por d sobre IR e exatamente a Topologia Usual da Reta.
Espacos metricos 27
C) Topologia Usual do Plano Complexo:
Consideremos o conjunto C dos numeros complexos.
A Topologia Usual do Plano Complexo e metrizavel, pois e a topologia induzida pela
Metrica Euclidiana de : C× C → IR dada por de(a, b) = |a− b| ∀ a, b ∈ C.
Nota: Veremos mais tarde que as metricas ds (da Soma) e dm (do Maximo) tambem
induzem sobre C a Topologia Usual.
D) Topologias nao-metrizaveis:
Pela Proposicao 2.4, topologias que nao sejam Hausdorff constituem exemplos de topologias
nao-metrizaveis. Assim, temos por exemplo:
(i) Se X e um conjunto com mais de um elemento e τ = {φ , X} a Topologia Caotica
sobre X, temos que τ nao e metrizavel.
(ii) Se X = {a, b, c, d} e τ = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} entao τ nao e metrizavel.
Nota: Convem observar que existem topologias (importantes) que sao Hausdorff e nao-
metrizaveis. Por exemplo, as topologias Fraca (w) e Fraca-Estrela (w∗) estudadas na Analise
Funcional sao em geral topologias Hausdorff e nao-metrizaveis.
Exercıcios:
1) Seja A um subconjunto de um espaco metrico (X, d).
Sabemos que a restricao de d a A× A e uma metrica em A (subespaco metrico de X), a
qual denotaremos por dA.
A metrica dA induz uma topologia sobre A, a qual denotaremos por τdA.
Por “outro” lado, d induz uma topologia sobre X, que chamaremos τ e A pode ser visto
como subespaco topologico de X, com uma topologia τA dada pelas intersecoes de A com os
abertos de τ .
Mostre que τdA= τA, ou seja, a topologia de A como subespaco metrico de X e a mesma
topologia de A como subespaco topologico de X:
2) Um subconjunto D ⊂ X (espaco topologico) e dito DISCRETO quando todos os seus
pontos sao isolados, isto e, nenhum ponto de D esta em D′, ou melhor ainda, para todo a ∈ D,
existe uma vizinhanca V de a tal que V ∩ D = {a}.Mostre que todo espaco metrico finito e discreto.
28 CAPITULO 2
3) Seja D um subconjunto discreto de um espaco metrico (X, d). Obtenha para cada
x ∈ D uma bola aberta Bx = B(x; rx) em X tal que x, y ∈ D, x 6= y ⇒ Bx ∩ By = φ .
4) Sejam (X, d) um espaco metrico e A ⊂ X. Mostre que se A e limitado entao seu fecho
cl A tambem e limitado.
5) De exemplo de um conjunto limitado A em um espaco metrico (X, d) tal que nao
existam x0, y0 ∈ A com d(x0, y0) = diam A.
6) Seja (X, d) um espaco metrico. Mostre que as bolas fechadas e as esferas sao conjuntos
fechados em X.
7) Seja A ⊂ X (espaco metrico). Para todo ε > 0, seja B(A; ε) =⋃a∈A
B(a; ε).
Mostre que cl A =⋂ε>0
B(A; ε).
2.4 Sequencias em espacos metricos
Definicao 2.6. Sejam (X, d) um espaco metrico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X.
Um ponto x ∈ X e LIMITE da sequencia (xn) se, e somente se, xn → x na topologia
induzida por d sobre X.
Teorema 2.7. Sejam (X, d) um espaco metrico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X.
Um ponto x ∈ X e limite de (xn) (ou seja, xn → x) se, e somente se, para cada ε > 0
dado, e possıvel obter n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ d(xn, x) < ε.
Prova:
Obs.: Note que a convergencia de uma sequencia em um espaco metrico depende da
topologia induzida pela metrica.
Espacos metricos 29
Teorema 2.8. Sejam (X, d) um espaco metrico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X. Temos:
(a) (xn) nao pode convergir para dois limites diferentes (unicidade do limite).
(b) Toda sequencia convergente e limitada (o conjunto de seus termos e limitado).
(c) Se lim xn = a entao toda subsequencia de (xn) converge para a.
Teorema 2.9. Sejam X um espaco metrico e B ⊂ X . Temos que x ∈ cl B (x ∈ X) se, e
somente se, existe uma sequencia (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) tal que xn → x.
Obs.: O Teorema 2.9 mostra que, em espacos metricos, as sequencias sao adequadas
para caracterizar o fecho de um conjunto (o que nao ocorre em espacos topologicos em geral).
Exercıcios:
1) Seja (X, d) um espaco metrico. Mostre que se existirem sequencias (xk) e (yk) em
X com lim xk = a, lim yk = b e d(yk, a) < r < d(xk, b) para todo k ∈ IN entao d(a, b) = r.
2) Seja X um espaco metrico. Se (xk) e uma sequencia em X tal que xk → b ∈ B(a; r)
(a, b ∈ X, r > 0), entao mostre que existe k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ xk ∈ B(a; r).
3) (Um espaco de funcoes)
Sejam X um conjunto qualquer e (M, dM) um espaco metrico.
Uma funcao f : X → M e dita LIMITADA quando sua imagem f(X) e um subconjunto
limitado de M .
Consideremos o conjunto B(X; M) das funcoes f : X → M limitadas.
Dadas f, g ∈ B(X; M), consideremos d(f, g) = supx∈X dM(f(x), g(x)).
Mostre que d esta bem definida e e uma metrica em B(X; M) (chamada de Metrica do
sup ou Metrica da Convergencia Uniforme).
4) (Sequencias de funcoes - Convergencias Pontual e Uniforme)
Consideremos sequencias de aplicacoes fn : X → M onde n ∈ IN, X e um conjunto qualquer
e (M, dM) e um espaco metrico. Consideremos dois tipos de convergencia:
(i) Diz-se que (fn) converge PONTUALMENTE (ou simplesmente) para uma aplicacao
f : X → M quando, para cada x ∈ X, fn(x) → f(x) em M , isto e, dados x ∈ X e ε > 0, e
possıvel obter um ındice n0 ∈ IN (dependendo de x e ε) tal que n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < ε.
(ii) Diz-se que (fn) converge UNIFORMEMENTE para uma aplicacao f : X → M
quando, dado ε > 0, e possıvel obter um ındice n0 ∈ IN (dependendo apenas de ε) tal que
n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < ε, para todo x ∈ X.
30 CAPITULO 2
(a) Mostre que a sequencia de funcoes fn : IR → IR dadas por fn(x) =x
npara todo
n ∈ IN converge pontualmente, mas nao uniformemente para a funcao constante igual a zero.
(b) Mostre que a convergencia no espaco metrico B(X; M) com a topologia induzida pela
Metrica do sup (veja no exercıcio anterior) e uma convergencia uniforme.
Definicao 2.10. Uma sequencia (xn) num espaco metrico (X, d) chama-se uma Sequencia
DE CAUCHY quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um ındice n0 ∈ IN tal que
m, n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε.
Proposicao 2.11. Em um espaco metrico, toda sequencia convergente e de Cauchy.
Prova: Exercıcio.
Definicao 2.12. Diz-se que um espaco metrico X e COMPLETO quando toda sequencia de
Cauchy em X e convergente.
Exemplos:
Exercıcios:
1) Mostre que num espaco metrico X, toda sequencia de Cauchy e limitada.
2) Mostre que uma sequencia de Cauchy que possui uma subsequencia convergente e con-
vergente (para o mesmo limite da subsequencia).
3) Mostre que um espaco metrico (X, d) e completo se, e somente se, para toda sequencia
“decrescente” F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . de subconjuntos fechados nao-vazios Fn ⊂ X com
limn→∞ diam (Fn) = 0 existe um ponto a ∈ X tal que∞⋂
n=1
Fn = { a}.
(Teorema de Baire) Mostre que se (X, d) e um espaco completo e F =∞⋃
n=1
Fn onde cada
Fn e fechado e tem interior vazio entao int F = φ .
(Corolario) Mostre que se (X, d) e um espaco completo e X =∞⋃
n=1
Fn onde cada Fn e
fechado entao existe pelo menos um Fn0 tal que int Fn0 6= φ .
Obs.: O Teorema de Baire da origem a uma serie de importantes resultados, alguns dos quais
veremos no proximo capıtulo.
Espacos metricos 31
2.5 Funcoes contınuas
Ao analisarmos a continuidade de funcoes que envolvem espacos metricos consideraremos
(como no caso das sequencias) as topologias induzidas pelas metricas dos mesmos.
Temos entao:
Proposicao 2.13. Sejam X e Y espacos metricos (com metricas dX e dY respectivamente).
A aplicacao f : X → Y e contınua no ponto x0 ∈ X se, e somente se, para cada ε > 0
dado, e possıvel obter um δ > 0 tal que dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < ε.
Proposicao 2.14. Sejam X e Y espacos metricos (com metricas dX e dY respectivamente).
A aplicacao f : W ⊂ X → Y , cujo domınio e o subespaco metrico W ⊂ X, e contınua no
ponto x0 ∈ W se, e somente se, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um δ > 0 tal que
x ∈ W, dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < ε.
Nota: Convem observar que a continuidade de funcoes que envolvem espacos metricos
depende das topologias induzidas pelas metricas.
No primeiro capıtulo vimos que, em espacos topologicos em geral, sequencias sao inade-
quadas para caracterizar a continuidade de uma funcao. O teorema a seguir nos garante a
possibilidade de tal caracterizacao (de continuidade via sequencias) se o domınio da funcao for
um espaco metrico:
Teorema 2.15. Sejam X um espaco metrico e Y um espaco topologico. Uma funcao
f : X → Y e contınua em x0 ∈ X se, e somente se, para toda sequencia (xn) ⊂ X
com xn → x0 temos que f(xn) → f(x0) em Y .
Prova:
Definicao 2.16. Sejam (X, dX) e (Y, dY ) espacos metricos e f : X → Y .
Dizemos que f e uma aplicacao LIPSCHITZIANA quando existe uma constante c > 0
(chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ) tal que dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) quaisquer
que sejam x, y ∈ X.
32 CAPITULO 2
Alguns casos particulares recebem denominacao propria:
f e uma CONTRACAO FRACA quando dY (f(x), f(y)) ≤ dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.
f e uma IMERSAO ISOMETRICA (neste caso dizemos que f preserva distancias) quando
dY (f(x), f(y)) = dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.
f e dita uma ISOMETRIA quando for uma imersao isometrica sobrejetora.
f e uma CONTRACAO quando existe uma constante c, com 0 ≤ c < 1, tal que para todos
x, y ∈ X temos dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) .
Observacao: As definicoes acima dependem das metricas consideradas.
Exercıcios:
1) Sejam X, Y espacos metricos. Mostre que se f : W ⊂ X → Y e contınua em a ∈ W
e f(a) 6∈ BY [b; r] (b ∈ Y ) entao e possıvel obter um δ > 0 tal que x ∈ W, dX(x, a) < δ ⇒f(x) 6∈ BY [b; r].
2) Sejam f, g : M → N contınuas, M, N espacos metricos.
Dado a ∈ M , suponha que toda bola de centro a contenha um ponto x tal que f(x) = g(x).
Conclua que f(a) = g(a).
Use este fato para mostrar que se f, g : M → N sao contınuas e f = g em um
subconjunto D ⊂ M , D denso em M , entao f = g em todo espaco M .
3) (Limites)
Sejam X, Y espacos metricos, A ⊂ X, a ∈ A′ (a e ponto de acumulacao de A) e
f : A → Y .
Dizemos que b ∈ Y e o limite de f(x) quando x tende para a e escrevemos b = limx→a
f(x)
quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que x ∈ A\ { a} , dX(x, a) < δ ⇒dY (f(x), b) < ε .
(a) Mostre que se a ∈ A ∩ A′ entao f : A → Y e contınua em a se, e somente se,
f(a) = limx→a
f(x) .
(b) Mostre que b = limx→a
f(x) se, e somente se, para toda sequencia (xn) em A\ {a}com xn → a (em X) tem-se f(xn) → b (em Y ).
4) Sejam X e Y espacos metricos. Se uma sequencia de aplicacoes fn : X → Y , contınuas
no ponto a ∈ X, converge uniformemente (ver exercıcio da secao anterior) para uma aplicacao
f : X → Y , mostre que f e contınua no ponto a.
Usando a parte acima, conclua que a sequencia de funcoes fn : [0, 1] → IR dadas por
fn(x) = xn nao converge uniformemente para nenhuma f : [0, 1] → IR.
Espacos metricos 33
5) De exemplo de uma aplicacao f : X → Y entre espacos metricos tais que:
(a) f e lipschitziana mas nao e uma contracao fraca.
(b) f e contracao fraca mas nao e imersao isometrica nem contracao.
(c) f e imersao isometrica mas nao e isometria.
(d) f e isometria.
De (contra-)exemplos e mostre que as definicoes em 2.16 dependem das metricas consideradas.
2.6 Continuidade uniforme
Definicao 2.17. Sejam X e Y espacos metricos. Uma aplicacao f : X → Y e dita ser
UNIFORMEMENTE CONTINUA quando, para cada ε > 0 dado, existir δ > 0 tal que para
todos x, y ∈ X, dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(x), f(y)) < ε.
(Exemplos)
Proposicao 2.18. Sejam X e Y espacos metricos. Uma aplicacao f : X → Y e uni-
formemente contınua se, e somente se, para todo par de sequencias (xn), (yn) em X tal que
dX(xn, yn) → 0 (na Topologia Usual da Reta) tem-se que dY (f(xn), f(yn)) → 0 (tambem na
Topologia Usual da Reta).
Prova:
34 CAPITULO 2
Exemplo:
Observacao: O exemplo acima mostra que a continuidade uniforme nao e uma nocao
topologica, pois depende das metricas envolvidas, e nao apenas das topologias induzidas.
Exercıcios:
1) Mostre que toda aplicacao lipschitziana f : X → Y (X, Y espacos metricos) e uni-
formemente contınua.
2) Sejam X e Y espacos metricos e f : X → Y .
Mostre que se f e uniformemente contınua entao f transforma sequencias de Cauchy
(xn) ⊂ X em sequencias de Cauchy (f(xn)) ⊂ Y .
3) Seja f : A ⊂ X → Y (X, Y espacos metricos). Mostre que se Y e completo e f
uniformemente contınua entao, para todo a ∈ A′, existe limx→a
f(x).
4) Consideremos um espaco metrico X, munido de uma metrica d.
Dados a ∈ X e B ⊂ X, B nao-vazio, definimos a DISTANCIA DO PONTO a AO
CONJUNTO B como
d(a, B) = infx∈B
d(a, x)
Espacos metricos 35
Dados A, B ⊂ X, A e B nao-vazios, definimos a DISTANCIA ENTRE OS SUBCONJUN-
TOS A E B como
d(A, B) = inf { d(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}
(a) Mostre que d(A, B) = d( cl A, cl B).
(b) Dado T ⊂ X, T 6= φ , mostre que a funcao f : X → IR dada por f(x) = d(x, T ) e
uniformemente contınua.
(c) De exemplos de um espaco metrico (X, d) e conjuntos nao-vazios A e B em X tais
que A ∩ B = φ e d(A, B) = 0.
(d) Sejam A, B ⊂ X, A e B limitados e nao-vazios.
Mostre que
diam (A ∪ B) ≤ diam (A) + diam (B) + d(A, B)
2.7 Compacidade em espacos metricos
Teorema 2.19. Seja X um espaco metrico. Sao equivalentes:
1) X e compacto.
2) Todo subconjunto infinito de X possui um ponto de acumulacao.
3) Toda sequencia em X possui uma subsequencia convergente (para um ponto de X).
4) X e completo e totalmente limitado. (Um espaco metrico X e TOTALMENTE LIMI-
TADO quando para cada ε > 0 pode-se obter uma decomposicao X = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xn
de X como reuniao de um numero finito de subconjuntos , cada um dos quais com diametro
menor do que ε ).
Observacao: As afirmativas acima sao equivalentes em K ⊂ X subconjunto (subespaco)
de um espaco metrico X.
Teorema 2.20. Se K ⊂ X (espaco metrico) e compacto, entao K e limitado e fechado.
Prova:
36 CAPITULO 2
Observacao: A recıproca do resultado anterior nao e verdadeira em geral, conforme ilustra
o contra-exemplo abaixo:
Contra-exemplo:
Teorema 2.21. Sejam X e Y espacos metricos. Se a aplicacao f : X → Y e contınua e o
espaco X e compacto, entao f e uniformemente contınua.
Exercıcios:
1) Mostre que, dada uma sequencia “decrescente” K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Kn ⊃ . . . de
compactos nao-vazios em um espaco metrico X, sua intersecao∞⋂
n=1
Kn e compacta e nao-
vazia.
Mostre atraves de um exemplo que o resultado acima nao e valido se tomarmos conjuntos
fechados ao inves de compactos.
2) Prove o Teorema 2.21.
2.8 Metricas equivalentes
Definicao 2.22. Duas metricas d1 e d2 em um espaco X sao ditas EQUIVALENTES
quando induzem a mesma topologia sobre X.
Teorema 2.23. Duas metricas d1 e d2 em um espaco X sao equivalentes se, e somente
se, para toda bola aberta numa metrica (d1 ou d2) e possıvel obter uma bola aberta na outra
metrica, de mesmo centro e contida na primeira bola.
Prova:
Espacos metricos 37
Exemplo:
Definicao 2.24. Diremos que duas metricas d1 e d2 em X sao LIPSCHITZ-EQUIVALENTES
quando existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β · d1(x, y) ∀ x, y ∈ X
Obs.1: Se duas metricas sao lipschitz-equivalentes entao elas sao equivalentes.
Exemplo:
Obs.2: A recıproca da Obs.1 acima nao e valida:
Contra-exemplo:
Exercıcio: Sejam (M1, d1), (M2, d2), . . . , (Mn, dn) espacos metricos.
Consideremos o seu produto cartesiano
M = M1 ×M2 × . . .×Mn = {x = (x1, . . . , xn) ; xi ∈ Mi, i = 1, . . . , n} .
Sejam de, ds, dm metricas em M dadas por:
38 CAPITULO 2
de(x, y) =√
d1(x1, y1)2 + d2(x2, y2)2 + . . . + dn(xn, yn)2
ds(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) + . . . + dn(xn, yn)
dm(x, y) = max { d1(x1, y1), d2(x2, y2), . . . , dn(xn, yn)}
(a) Mostre que estas tres metricas sao lipschitz-equivalentes.
(b) Mostre que uma sequencia (xk) = (x1k, x2k, . . . , xnk) converge em M , considerando
qualquer uma das 3 metricas acima , para um ponto a = (a1, . . . , an) ∈ M se, e somente se,
xik → ai ∀ i = 1, 2, . . . , n.
(c) Para cada i = 1, . . . , n considere a aplicacao projecao πi : M → Mi dada por
πi(x) = xi. Mostre que cada projecao e contınua.
(d) Seja f : X → M (X esp. metrico). Mostre que f e contınua em a ∈ X se, e somente
se, cada uma de suas funcoes coordenadas fi = πi ◦ f : X → Mi e contınua em a.
Capıtulo 3
Espacos normados
Iniciamos este capıtulo com o conceito de Espaco Normado. Em seguida apresentamos a
metrica e a topologia naturais induzidas pela norma, bem como espacos de Banach e series.
Ao final, apresentamos um breve estudo de transformacoes lineares em espacos normados.
3.1 Espacos normados
Definicao 3.1. Seja X um espaco vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Uma NORMA
em X e uma funcao ‖ ‖ : X → IR que associa a cada vetor x ∈ X um numero real ‖x‖chamado a norma de x, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condicoes para quaisquer
x, y ∈ X, λ ∈ IK:
n.1) Se x 6= 0 entao ‖x‖ > 0
n.2) ‖λ.x‖ = |λ| . ‖x‖
n.3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Desigualdade Triangular)
Um espaco vetorial X munido de uma norma ‖ ‖ (fixada) e dito um ESPACO NORMADO.
Exemplos:
A) Norma Usual da Reta:
A funcao modulo | | : IR → IR dada por |x| =
{x se x ≥ 0
−x se x < 0e uma norma em IR.
B) Algumas normas no Plano Complexo (ou no IR2):
Consideremos o conjunto C dos numeros complexos (ou entao IR2) como um espaco
39
40 CAPITULO 3
vetorial de dimensao 2 sobre o corpo dos reais.
| | : C → IR (funcao modulo) dada por |a| =√
a21 + a2
2 para todo a = a1 + ia2 ∈ C e
uma norma em C, conhecida tambem como NORMA EUCLIDIANA.
‖ ‖s : C → IR dada por ‖a‖s = |a1| + |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C e uma norma
em C, conhecida tambem como NORMA DA SOMA.
‖ ‖m : C → IR dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1 + ia2 ∈ C e uma
norma em C, conhecida tambem como NORMA DO MAXIMO.
C) Norma do sup:
Consideremos o espaco (sobre IR) B(X; IR) das funcoes limitadas f : X → IR.
Definimos uma norma ‖ ‖∞ em B(X; IR) pondo, para toda f ∈ B(X; IR):
‖f‖∞ = supx∈X
|f(x)|
Exercıcio: Mostre que ‖ ‖∞ acima esta bem definida e que e uma norma em B(X; IR).
D) Alguns espacos de sequencias:
Seja `∞ o espaco das sequencias limitadas em um corpo IK (IR ou C), isto e:
`∞ = {(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ; (xn) limitada }
‖ ‖∞ : `∞ → IR dada por ‖(xn)‖∞ = supi∈IN
|xi| e uma norma em `∞.
Seja `1 o espaco das sequencias absolutamente somaveis em um corpo IK (IR ou C):
`1 =
{(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑i=1
|xi| < +∞
}
‖ ‖1 : `1 → IR dada por ‖(xn)‖1 =∞∑i=1
|xi| e uma norma em `1.
Seja `2 o espaco das sequencias quadrado somaveis, em um corpo IK (IR ou C):
`2 =
{(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑i=1
|xi|2 < +∞
}
‖ ‖2 : `2 → IR dada por ‖(xn)‖2 =
(∞∑i=1
|xi|2)1/2
e uma norma em `2
Espacos normados 41
3.2 A topologia da norma
Construindo metricas a partir de normas:
Seja X = (X, ‖ ‖) um espaco vetorial normado. Podemos, a partir da norma ‖ ‖,construir uma metrica d : X ×X → IR pondo, de modo natural:
d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X
d e uma metrica em X (mostre), dita a METRICA INDUZIDA PELA NORMA ‖ ‖.
Portanto, todo espaco normado X = (X, ‖ ‖) pode ser considerado naturalmente como
um espaco metrico (X, d) onde a metrica d e a metrica induzida pela norma ‖ ‖, da forma
acima descrita.
Definicao 3.2. Seja (X, d) um espaco metrico. Quando existir uma norma ‖ ‖ em X tal
que d e a metrica induzida pela norma ‖ ‖, dizemos entao que A METRICA d PROVEM DA
NORMA ‖ ‖.
Exemplos:
A) Metrica e Norma Usuais da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos numeros reais, munido da Norma Usual | | : IR → IR
dada por
|x| =
{x se x ≥ 0
−x se x < 0
A metrica induzida por | | e exatamente a Metrica Usual da Reta.
B) No Plano Complexo C (ou no IR2):
Consideremos o espaco C dos numeros complexos (ou entao IR2), que e um espaco vetorial
de dimensao 2 sobre o corpo dos reais.
A Metrica Euclidiana (de(a, b) = |a− b| ∀ a, b ∈ C) provem da Norma Euclidiana | |(funcao modulo).
A Metrica da Soma (ds(a, b) = |a1 − b1|+ |a2 − b2| ∀a, b ∈ C) provem da Norma da
Soma ‖ ‖s, dada por ‖a‖s = |a1|+ |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C .
A Metrica do Maximo (dm(a, b) = max { |a1 − b1| , |a2 − b2| } ∀a, b ∈ C) provem da
Norma do Maximo ‖ ‖m, dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1 + ia2 ∈ C .
42 CAPITULO 3
C) Metrica e Norma do sup:
Consideremos o espaco (sobre IR) B(X; IR) das funcoes limitadas f : X → IR.
A Metrica do sup ( d(f, g) = supx∈X
|f(x)− g(x)| ∀ f, g ∈ B(X; IR) ) provem da Norma
do sup ‖ ‖∞ , dada por ‖f‖∞ = supx∈X
|f(x)| para toda f ∈ B(X; IR).
D) Uma metrica que nao provem de norma alguma:
Seja X um espaco vetorial com mais de um elemento, sobre IR ou C.
A Metrica Discreta d : X ×X → IR, dada por{d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
nao e proveniente de nenhuma norma em X (Exercıcio).
Bolas, esferas e conjuntos limitados:
Seja X = (X, ‖ ‖) um espaco vetorial normado.
Dados a ∈ X e r > 0, r ∈ IR, definimos B(a; r) (bola aberta de centro a e raio r),
B[a; r] (bola fechada de centro a e raio r) e S[a; r] (esfera de centro a e raio r) atraves da
metrica d induzida pela norma ‖ ‖.
Tambem usamos a metrica d para caracterizar os conjuntos limitados em X.
Exercıcio: Mostre que um subconjunto Y ⊂ X (espaco normado) e limitado se, e somente
se, existe k > 0 tal que ‖y‖ ≤ k para todo y ∈ Y .
A topologia da norma:
Todo espaco vetorial normado X = (X, ‖ ‖) pode ser munido naturalmente da metrica
d induzida pela norma ‖ ‖ e consequentemente da topologia induzida por esta metrica d.
Dizemos, de um modo mais breve, que essa topologia e induzida pela norma ‖ ‖, ou que e a
TOPOLOGIA DA NORMA ‖ ‖.
A partir daı todos os conceitos topologicos estudados em espacos topologicos e metricos
sao verificados nos espacos normados, considerando-se a topologia e a metrica induzidas pela
norma.
Tambem as nocoes de continuidade uniforme, aplicacao lipschitziana, contracao, etc. sao
verificadas considerando-se a metrica induzida pela norma.
Espacos normados 43
Definicao 3.3. Seja X um espaco vetorial. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em X sao ditas
EQUIVALENTES se, e somente se, elas induzem a mesma topologia sobre X.
Proposicao 3.4. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em um espaco vetorial X sao equivalentes se,
e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α. ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ β. ‖x‖1 ∀ x ∈ X
Prova: Exercıcio (Sugestao: faca uso do Teorema 3.9, o qual veremos mais a frente)
Exercıcios:
1) Seja X um espaco normado. Mostre que se E ⊂ X e um subespaco vetorial de X e
E 6= X entao int E = φ .
2) Seja X = (X, ‖ ‖) um espaco normado.
(i) Mostre que ‖x− y‖ ≥ | ‖x‖ − ‖y‖ | para todos x, y ∈ X.
(ii) Usando o item anterior, mostre que se (xn) e uma sequencia em X tal que lim xn = a ∈ X
entao lim ‖xn‖ = ‖a‖.
3) Seja X um espaco vetorial normado sobre um corpo IK (IR ou C).
(i) Mostre que as translacoes Ta : X → X, dadas por Ta(x) = x + a (onde a ∈ X) sao
homeomorfismos.
(ii) Mostre que as homotetias Hλ : X → X, dadas por Hλ(x) = λ.x (com 0 6= λ ∈ IK) sao
homeomorfismos.
(iii) Mostre que duas bolas abertas quaisquer em X sao homeomorfas.
4) Seja X um espaco vetorial normado. Um subconjunto C ⊂ X e dito CONVEXO se,
e somente se, para todo par x, y ∈ C tem-se t.x + (1 − t).y ∈ C ∀ t ∈ [0, 1], ou seja, o
segmento [x, y] = { t.x + (1− t).y ; t ∈ [0, 1] } esta contido em C.
(i) Mostre que toda bola em X e convexa.
(ii) Mostre que a intersecao arbitraria de conjuntos convexos e convexa.
(iii) Mostre que o fecho de um conjunto convexo e convexo.
5) Seja B ⊂ X (espaco normado). A ENVOLTORIA CONVEXA de B e a intersecao
co (B) de todos os subconjuntos convexos de X que contem B.
Prove que co (B) e o conjunto de todas as combinacoes lineares α1.x1 + . . .+αn.xn tais que
x1, . . . , xn ∈ B, α1 ≥ 0, . . . , αn ≥ 0 (α1, . . . , αn ∈ IR) e α1 + . . . + αn = 1.
6) Seja B ⊂ X (espaco normado). A ENVOLTORIA CONVEXA FECHADA de B e a
intersecao co (B) de todos os subconjuntos convexos fechados de X que contem B.
Mostre que co (B) = cl ( co (B)).
44 CAPITULO 3
3.3 Espacos de Banach
Definicao 3.5. Um ESPACO DE BANACH e um espaco vetorial normado completo (toda
sequencia de Cauchy e convergente) quando tomamos a metrica induzida pela norma.
Exemplos:
A) O espaco (IR, | |) e um espaco de Banach.
B) O espaco dos numeros complexos C, munido de qualquer uma das normas | | (Eucli-
diana), ‖ ‖s (da Soma) ou ‖ ‖m (do Maximo) e um espaco de Banach.
C) O espaco B(X; IR) das funcoes limitadas f : X → IR, munido da norma do sup, e um
espaco de Banach.
D) Os espacos (`∞, ‖ ‖∞), (`1, ‖ ‖1) e (`2, ‖ ‖2) sao todos espacos de Banach.
E) Um espaco vetorial normado que nao e Banach:
Exercıcio: Mostre que os espacos dos exemplos de A) a D) sao espacos de Banach.
3.4 Series
Definicao 3.6. Uma serie∞∑i=1
xi em um espaco normado X = (X, ‖ ‖) e dita CON-
VERGENTE para um ponto x ∈ X se, e somente se, a sequencia de suas reduzidas
(sn) =
(n∑
i=1
xi
)convergir para x.
Definicao 3.7. Uma serie∞∑i=1
xi em um espaco normado X = (X, ‖ ‖) e dita NOR-
MALMENTE CONVERGENTE se, e somente se, a serie de numeros reais∞∑i=1
‖xi‖ for
convergente, isto e,∞∑i=1
‖xi‖ < +∞ .
Espacos normados 45
Exercıcios:
1) Mostre que um espaco normado X e um espaco de Banach se, e somente se, toda serie
normalmente convergente for convergente.
2) (Teste M de Weierstrass) Seja∑
fn uma serie de funcoes no espaco B(X; IR) das
funcoes limitadas f : X → IR. Mostre que se existir uma serie convergente∑
cn de numeros
reais cn ≥ 0 e uma constante M tal que |fn(x)| ≤ M.cn para todos n ∈ IN e x ∈ X
entao a serie∑
fn e uniformemente convergente.
(Sugestao: use o exercıcio anterior e a norma do sup em B(X; IR))
3.5 Transformacoes lineares em espacos normados
Alguns exemplos interessantes:
A) Um operador linear que e injetivo mas nao e sobrejetivo:
B) Um operador linear que e sobrejetivo mas nao e injetivo:
C) Um funcional linear descontınuo:
46 CAPITULO 3
Definicao 3.8. (Transformacoes lineares “limitadas”) Sejam X e Y espacos normados. Uma
transformacao linear T : X → Y e dita LIMITADA se, e somente se, existir uma constante
c > 0 tal que ‖T (x)‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X.
Equivalentemente T : X → Y e limitada se, e somente se, existir uma constante c > 0
tal que ‖T (x)‖Y ≤ c para todo x ∈ X com ‖x‖X ≤ 1 (isto e, para todo x ∈ B[0; 1] - bola
fechada unitaria de X), ou seja, T e limitada na bola unitaria fechada - de centro 0 - de X
(Exercıcio).
Denotaremos por L(X; Y ) o conjunto de todas as transformacoes lineares limitadas de X
em Y e sempre consideraremos X 6= {0} . E imediato que L(X; Y ) e um subespaco vetorial
do espaco vetorial de todas as transformacoes lineares de X em Y , com as operacoes usuais de
adicao e multiplicacao escalar (mostre).
Teorema 3.9. Sejam X e Y espacos vetoriais normados e T : X → Y uma transformacao
linear de X em Y . Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:
1) T e contınua.
2) T e contınua em um ponto x0 ∈ X.
3) T e contınua no ponto 0 (vetor nulo).
4) Existe c > 0 tal que ‖Tx‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X (T e limitada).
Prova:
Espacos normados 47
A norma de uma transformacao linear:
Ja temos que L(X; Y ) e um espaco vetorial (subespaco do espaco de todas as trans-
formacoes lineares de X em Y ).
Agora, dada T ∈ L(X; Y ) (T e limitada, ou seja, T e contınua), defina
‖T‖ = sup { ‖Tx‖Y ; ‖x‖X ≤ 1}
A funcao ‖ ‖ : L(X; Y ) → IR acima definida e uma norma em L(X; Y ) (Exercıcio).
Observe que esta norma em L(X; Y ) depende das normas tomadas em X e Y .
Proposicao 3.10. Sejam X e Y espacos normados e T ∈ L(X; Y ) . Entao:
‖T‖ = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ ≤ 1} = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ = 1} =
= sup
{‖Tx‖‖x‖
; x 6= 0
}= inf { c > 0 ; ‖Tx‖ ≤ c. ‖x‖ ∀x ∈ X }
Prova: Exercıcio
Proposicao 3.11. (Propriedades Imediatas)
(i) ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ . ‖x‖ ∀ x ∈ X ( T ∈ L(X; Y ) , com X e Y normados)
(ii) ‖TU‖ ≤ ‖T‖ . ‖U‖ ( T ∈ L(X; Y ), U ∈ L(W ; X), com W , X e Y normados)
Prova: Exercıcio
48 CAPITULO 3
Teorema 3.12. Sejam X e Y espacos normados. Entao L(X; Y ) e espaco de Banach se (e
somente se) Y e um espaco de Banach.
Prova: Exercıcio
Exercıcio: Mostre que se X e um espaco de Banach e A ∈ L(X) (isto e, A : X → X e
linear e contınua) entao a serie
eA =∞∑
n=0
An
n!= I + A +
A2
2!+
A3
3!+ . . .
converge para um operador linear contınuo eA : X → X (Sugestao: Mostre que a serie acima
e normalmente convergente).
Observacao: No caso particular X = IRn, este exercıcio diz que podemos definir (e bem)
a exponencial de uma n × n matriz real atraves da serie acima (e o resultado e ainda uma
n× n matriz real) !!!
Alguns resultados importantes (a tıtulo de informacao):
Teorema 3.13. (Princıpio da Limitacao Uniforme) Sejam X um espaco de Banach e Y um
espaco normado. Seja A uma famılia de transformacoes lineares contınuas de X em Y , ou
seja, A ⊂ L(X; Y ) .
Se A e pontualmente limitada (para cada x ∈ X temos sup { ‖Tx‖ ; T ∈ A} < +∞)
entao A e uniformemente limitada (existe M > 0 tal que ‖T‖ ≤ M para toda T ∈ A).
Podemos demonstrar o Princıpio da Limitacao Uniforme “olhando” para os conjuntos
Bn = { x ∈ X ; ‖Tx‖ ≤ n ∀ T ∈ A } e utilizando o Corolario do Teorema de Baire (veja nos
exercıcios do capıtulo sobre espacos metricos) - Tente!
Teorema 3.14. (Teorema da Aplicacao Aberta) Sejam X e Y espacos de Banach. Se
T ∈ L(X; Y ) e sobrejetiva, entao T e aberta, ou seja, T (A) e aberto em Y para todo A
aberto em X.
Podemos demonstrar o Teorema da Aplicacao Aberta utilizando o Teorema de Baire (veja
nos exercıcios do capıtulo sobre espacos metricos).
Corolario 1. Se X e Y sao espacos de Banach e T ∈ L(X; Y ) e bijetiva, entao T−1 e
contınua, isto e, T−1 ∈ L(Y ; X).
Prova: Exercıcio
Espacos normados 49
Exemplo (um pouco sobre funcionais lineares):
50 CAPITULO 3
Capıtulo 4
Espacos com produto interno
Neste capıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno, alguns exemplos e topicos
basicos relacionados, como a norma proveniente de um produto interno e ortogonalidade.
Apresentamos os espacos de Hilbert e finalizamos citando o Teorema de Representacao de
Riesz.
4.1 Produto interno
Definicao 4.1. Seja X um espaco vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Um PRODUTO
INTERNO sobre X e uma funcao < , >: X ×X → IK que associa a cada par ordenado de
vetores x, y ∈ X um escalar < x, y > chamado o produto interno de x por y, de modo
que sejam satisfeitas as seguintes condicoes para quaisquer x, y, z ∈ X, λ ∈ IK:
p.i.1) < λ · x + y, z > = λ · < x, z > + < y, z >
p.i.2) < x, x > ≥ 0
p.i.3) < x, x > = 0 ⇒ x = 0
p.i.4) < x, y > = < y, x >
Obs.: < x, λy + z > = λ · < x, y > + < x, z >
51
52 CAPITULO 4
Exemplos:
A) Consideremos o conjunto C dos numeros complexos (ou entao IR2) como um espaco
vetorial de dimensao 2 sobre o corpo dos reais.
< , >: C× C → IR dada por
< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C
e um produto interno em C (equivale ao Produto Escalar no IR2).
B) Seja V o espaco das funcoes contınuas definidas no intervalo [0, 1] e tomando valores
complexos:
V = { f : [0, 1] → C ; f e contınua}
< , >: V × V → C dada por
< f, g > =
∫ 1
0
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V
e um produto interno em V .
C) Seja `2 o espaco das sequencias quadrado somaveis, em um corpo IK (IR ou C):
`2 =
{(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑i=1
|xi|2 < +∞
}
< , >: `2 × `2 → IK dada por
< (xn), (yn) > =∞∑i=1
xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ `2
e um produto interno em `2
D) Seja Cper [−π, π] o espaco vetorial das funcoes de IR em IR, contınuas e periodicas de
perıodo 2π.
< , >: Cper [−π, π]× Cper [−π, π] → IR dada por
< f, g > =
∫ π
−π
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ Cper [−π, π]
e um produto interno em Cper [−π, π].
Espacos com produto interno 53
4.2 Norma a partir de um produto interno
Construcao:
Seja X um espaco vetorial munido de um produto interno < , >. A partir de < , >
construiremos uma funcao ‖ ‖ : X → IR, pondo
‖x‖ = (< x, x >)1/2 ∀ x ∈ X
A seguir, um importante resultado referente a funcao construıda acima:
Teorema 4.2. Desigualdade de Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz (CBS)
|< x, y >| ≤ ‖x‖ . ‖y‖ ∀ x, y ∈ X
Prova: Exercıcio
A funcao ‖ ‖ : X → IR acima construıda a partir do produto interno < , > e uma norma
em X (mostre). Neste caso, dizemos que a A NORMA ‖ ‖ PROVEM DO PRODUTO
INTERNO < , >.
Exemplos:
A) A Norma Euclidiana | | : C → IR (funcao modulo) dada por
|a| =√
a21 + a2
2 ∀ a = a1 + ia2 ∈ C
provem do produto interno < , > dado por
< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C
B) A norma ‖ ‖2 : `2 → IR dada por
‖(xn)‖2 =
(∞∑i=1
|xi|2)1/2
∀ (xn) ∈ `2
provem do produto interno < , > dado por
< (xn), (yn) > =∞∑i=1
xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ `2
54 CAPITULO 4
C) Uma condicao necessaria (e suficiente):
Proposicao 4.3. Seja X um espaco vetorial. Se uma norma ‖ ‖ : X → IR provem
de um produto interno < , > em X, entao vale a IDENTIDADE DO PARALELO-
GRAMO:
‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2.(‖x‖2 + ‖y‖2) ∀ x, y ∈ X
Prova: Exercıcio
As normas do Maximo ‖ ‖m : C → IR e da Soma ‖ ‖s : C → IR nao provem de produto
interno algum em C.
A norma ‖ ‖∞ : `∞ → IR nao provem de produto interno algum em `∞.
A norma ‖ ‖1 : `1 → IR nao provem de produto interno algum em `1.
Exercıcio: Prove as afirmacoes acima, mostrando que nenhuma dessas normas satisfaz
a Identidade do Paralelogramo.
4.3 Espacos de Hilbert
Definicao 4.4. Um ESPACO DE HILBERT X e um espaco vetorial com um produto interno
< , > tal que X e completo quando munido com a metrica d(x, y) = ‖x− y‖ , onde ‖ ‖ e a
norma que provem do produto interno < , >.
Exemplos:
A) O espaco C, munido do produto interno < a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 , e um
espaco de Hilbert.
B) O espaco `2 , munido do produto interno < (xn), (yn) > =∞∑i=1
xi.yi , e um espaco de
Hilbert.
Espacos com produto interno 55
4.4 Ortogonalidade
Definicao 4.5. Seja X um espaco com produto interno < , >. Dois vetores x, y ∈ X sao
ditos ORTOGONAIS quando < x, y > = 0 e escrevemos x ⊥ y.
Dizemos que um subconjunto S ⊂ X e um CONJUNTO ORTOGONAL quando os vetores
de S sao dois a dois ortogonais.
Teorema 4.6. (“Teorema de Pitagoras”) Sejam X um espaco com produto interno < , > e
seja ‖ ‖ a norma proveniente do produto interno < , >.
Se S ⊂ X e um conjunto ortogonal entao, dados x1, . . . , xn dois a dois distintos em S,
temos:
‖x1 + x2 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2‖2 + . . . + ‖xn‖2
Prova: Exercıcio
Proposicao 4.7. Se X e um espaco vetorial com produto interno, entao todo conjunto orto-
gonal de vetores nao nulos em X e linearmente independente (LI)
Prova: Exercıcio
4.5 O Teorema de Representacao de Riesz
Teorema 4.8. (Teorema de Representacao de Riesz) Seja X um espaco de Hilbert sobre um
corpo IK (IR ou C). Se L : X → IK e um funcional linear contınuo (limitado) entao existe
um unico vetor x0 ∈ X tal que L(x) = < x, x0 > para todo x ∈ X. Mais ainda, temos
‖L‖ = ‖x0‖.
Prova: Exercıcio
56 CAPITULO
Apendice A
Introducao a Topologia Produto
Este apendice tem por objetivo introduzir, de modo natural, uma topologia sobre o produto
cartesiano de espacos topologicos, conhecida como a Topologia Produto.
Consideracoes iniciais:
Sejam X um conjunto, Y um espaco topologico e f : X → Y uma funcao de X em Y .
Se considerarmos uma topologia sobre X, e claro que quanto maior (ou mais forte) for esta
topologia, “maiores serao as chances” da funcao f ser contınua. Equivalentemente, quanto
menor (ou mais fraca) for uma topologia sobre X, menores serao as chances da funcao f ser
contınua. Surge entao uma interessante questao:
Qual a menor topologia sobre X para a qual a funcao f e contınua ?
Tentando responder a questao acima, chegamos naturalmente a colecao
τ ={
f−1(A) ; A aberto em Y}
Exercıcio: Mostre que a colecao τ acima e uma topologia sobre X tal que a funcao f e
contınua e τ e menor (mais fraca) que qualquer topologia para a qual f seja contınua
(τ e portanto a topologia procurada na questao acima).
Consideremos agora uma famılia {τλ}λ∈L de topologias sobre um conjunto X. Uma
questao interessante associada a esta situacao e a seguinte:
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X que contem cada uma
das topologias τλ , λ ∈ L ?
57
58 APENDICE A
Uma analise mais detalhada da situacao nos indica que a colecao
B = { A = Aλ1 ∩ Aλ2 ∩ . . . ∩ Aλn ; Aλi∈ τλi
; λi ∈ L }
das intersecoes finitas de abertos das topologias dadas e base para a topologia procurada na
questao acima!
Exercıcio: Mostre que a colecao B dada acima e base para uma topologia (τB) sobre X
e que a topologia τB , gerada por B , e a menor (mais fraca) topologia sobre X que contem
cada uma das topologias τλ , λ ∈ L, ou seja, τλ ⊂ τB ∀λ ∈ L e se τ e uma topologia sobre
X com τλ ⊂ τ ∀λ ∈ L entao τB ⊂ τ .
Encerrando esta etapa de consideracoes iniciais, consideremos um conjunto X e uma famılia
de funcoes fλ : X → Yλ de X em espacos topologicos Yλ , λ ∈ L. Chegamos entao a
generalizacao da primeira questao:
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X para a qual todas as
funcoes fλ , λ ∈ L, sao contınuas ?
Utilizando as consideracoes anteriores, podemos concluir (mostre) que a colecao
B ={
A = f−1λ1
(Aλ1) ∩ f−1λ2
(Aλ2) ∩ . . . ∩ f−1λn
(Aλn) ; Aλiaberto em Yλi
; λi ∈ L}
das intersecoes finitas das imagens inversas pelas fλ de abertos dos espacos correspondentes
Yλ e base para a topologia procurada na questao acima.
Produtos cartesianos em geral:
Seja {Xλ}λ∈L uma famılia qualquer de conjuntos. O Produto Cartesiano (o qual definire-
mos mais tarde) desta famılia de conjuntos sera denotado por∏λ∈L
Xλ e identificado (infor-
malmente, a princıpio) com o conjunto de todas as L-uplas (xλ)λ∈L de elementos da uniao⋃λ∈L
Xλ tais que xλ ∈ Xλ para cada λ ∈ L.
Quando o conjunto L de ındices for claro (pelo contexto), denotaremos o produto simples-
mente por∏
Xλ e seu elemento geral por (xλ).
Se, em particular, tivermos um conjunto finito de ındices L = {1, 2, . . . , n} entao es-
creveremos X1 ×X2 × . . .×Xn para denotar o produto cartesiano e um elemento arbitrario
do produto sera dado por (x1, x2, . . . , xn) onde cada xi ∈ Xi.
Introducao a Topologia Produto 59
Exemplo: Dados dois conjuntos X e Y , seu produto cartesiano X × Y (neste caso
L = {1, 2} , X1 = X , X2 = Y ) e o conjunto dos pares (x, y) tais que x ∈ X e y ∈ Y .
Exemplo: Se L = {1, 2, . . . , n} e ainda X1 = X2 = . . . = Xn = IR entao o produto
cartesiano e o conjunto IRn = IR×IR×. . .×IR (n vezes) de todas as n-uplas (x1, x2, . . . , xn)
de numeros reais.
Definicao A.1. (Produto Cartesiano) Seja {Xλ}λ∈L uma famılia qualquer de conjuntos. O
PRODUTO CARTESIANO desta famılia de conjuntos, denotado por∏λ∈L
Xλ , e o conjunto
de todas as funcoes x : L →⋃λ∈L
Xλ tais que x(λ) = xλ ∈ Xλ para cada λ ∈ L.
Se, em particular, Xλ = X para cada λ ∈ L entao o produto cartesiano∏
Xλ e
simplesmente o conjunto XL de todas as L-uplas de elementos de X ou, equivalentemente,
e o conjunto de todas as funcoes f : L → X , uma vez que⋃λ∈L
Xλ = X.
Exemplo: Considerando L = IN e Xn = IR para cada n ∈ IN temos que o produto
cartesiano IRIN corresponde ao conjunto de todas as funcoes f : IN → IR , ou seja, todas as
sequencias (x1, x2, . . . , xn, . . .) de numeros reais.
Exemplo: Considerando L = IR e Xλ = IR para cada λ ∈ IR temos que o produto
cartesiano IRIR corresponde ao conjunto de todas as funcoes f : IR → IR.
Definicao A.2. (Projecoes) Consideremos uma famılia {Xλ}λ∈L de conjuntos e seu produto
cartesiano∏λ∈L
Xλ . Para cada λ0 ∈ L existe uma funcao
πλ0 :∏λ∈L
Xλ → Xλ0
que associa a cada (xλ)λ∈L do produto a sua λ0-esima coordenada xλ0. Esta funcao e
chamada a APLICACAO PROJECAO do produto cartesiano∏λ∈L
Xλ sobre Xλ0 ou simples-
mente λ0-esima projecao.
Exemplo: Considerando L = {1, 2, . . . , n} , X1 = X2 = . . . = Xn = IR e o produto
cartesiano IRn = IR×IR×. . .×IR (n vezes), temos entao n projecoes π1, π2, . . . , πn : IRn → IR
com πi(x1, x2, . . . , xn) = xi para cada i = 1, 2, . . . , n.
60 APENDICE A
A Topologia Produto:
Dados uma famılia de conjuntos {Xλ}λ∈L e o seu produto cartesiano∏λ∈L
Xλ , existira
alguma topologia que seja natural sobre o produto cartesiano ?
Vimos que surgem naturalmente as chamadas projecoes: πλ :∏λ∈L
Xλ → Xλ e tambem
e natural pedirmos que, se cada Xλ for um espaco topologico, cada projecao πλ seja
contınua!
Definicao A.3. Consideremos uma famılia {Xλ}λ∈L de espacos topologicos e seu produto
cartesiano∏λ∈L
Xλ .
A TOPOLOGIA PRODUTO e a menor (mais fraca) topologia sobre∏λ∈L
Xλ tal que cada
uma das projecoes πλ :∏λ∈L
Xλ → Xλ e contınua.
Ora, ja temos (nas consideracoes iniciais deste apendice) pronto um estudo mostrando que
a colecao
B ={
A = π−1λ1
(Aλ1) ∩ π−1λ2
(Aλ2) ∩ . . . ∩ π−1λn
(Aλn) ; Aλiaberto em Xλi
; λi ∈ L}
das intersecoes finitas das imagens inversas pelas projecoes de abertos dos espacos Xλ , e
base para a topologia produto.
O que faremos agora e simplesmente tentar enxergar melhor o “jeitao” destes abertos
basicos da topologia produto:
E facil ver que, dado um conjunto C ∈ Xλ0 , temos
π−1λ0
(C) =∏λ∈L
Dλ , com Dλ = Xλ ∀λ 6= λ0 e Dλ0 = C
Com o resultado acima, podemos finalmente concluir (mostre) que os abertos basicos da
topologia produto sobre∏λ∈L
Xλ sao da forma
A =∏λ∈L
Aλ
com Aλ aberto em Xλ e Aλ = Xλ para cada λ fora de um conjunto finito de
ındices.
Introducao a Topologia Produto 61
Exemplo: Sejam L = IN e Xn = IR (com a Topologia Usual) para cada n ∈ IN .
Ja sabemos que o produto cartesiano∏n∈IN
Xn = IRIN corresponde ao conjunto de todas as
funcoes f : IN → IR , ou seja, todas as sequencias (x1, x2, . . . , xn, . . .) (infinitas) de numeros
reais.
Se tomarmos, por exemplo, os conjuntos abertos A2 = (−3, 1) e A3 = (0, 5) , temos que
A = IR × (−3, 1) × (0, 5) × IR × IR × IR × . . . e um aberto basico da topologia produto em
IRIN , pois A =∏n∈IN
An com An aberto em IR e An = IR para cada n ∈ IN fora do
conjunto finito de ındices {2, 3} .
E imediato que o aberto basico A exibido acima e o conjunto de todas as sequencias
(x1, x2, . . . , xn, . . .) de numeros reais, tais que x2 ∈ (−3, 1) e x3 ∈ (0, 5).
Exemplo: Sejam L = IR e Xλ = IR (com a Topologia Usual) para cada λ ∈ IR . Ja
sabemos que o produto cartesiano∏λ∈IR
Xλ = IRIR corresponde ao conjunto de todas as funcoes
f : IR → IR.
Se tomarmos um ε > 0 , temos que, por exemplo, A =∏λ∈IR
Aλ com Aλ = IR para
todo λ 6=√
7 e A√7 = (−ε, ε) e um aberto basico da topologia produto em IRIR , pois
A =∏λ∈IR
Aλ com Aλ aberto em IR e Aλ = IR para cada λ ∈ IR fora do conjunto finito de
ındices{√
7}
.
Observemos que o aberto basico A exibido acima e o conjunto de todas as funcoes
f : IR → IR tais que f(√
7) ∈ (−ε, ε).
Exercıcios:
1) (Topologia Produto X Topologia de Caixa) Consideremos uma famılia {Xλ}λ∈L de
espacos topologicos e seu produto cartesiano∏λ∈L
Xλ . Mostre que os conjuntos dados por
A =∏λ∈L
Aλ , com Aλ aberto em Xλ
formam uma base para uma topologia sobre o produto cartesiano acima. Esta topologia e
chamada TOPOLOGIA DE CAIXA.
Compare a Topologia de Caixa com a Topologia Produto.
Sob quais condicoes podemos dizer que essas duas topologias coincidem ?
62 APENDICE A
2) (Topologia Produto e Tychonoff) Mostre que se o espaco∏λ∈L
Xλ e compacto (con-
siderando a Topologia Produto) entao cada Xλ e um espaco compacto.
A recıproca deste resultado e o importante Teorema de Tychonoff (ver [3], cap. 5):
“Se cada Xλ e um espaco topologico compacto, entao o produto cartesiano∏λ∈L
Xλ
(considerando a Topologia Produto) e compacto”.
O Teorema de Tychonoff e um dos motivos pelos quais a Topologia Produto e a mais natural
a ser definida sobre o produto cartesiano (repare que ela e definida como a menor topologia
tal que todas as projecoes sao contınuas e isso “aumenta as chances” do produto ser compacto).
3) (Topologia Produto e convergencia pontual) Consideremos L = IR e Xλ = IR (com
a Topologia Usual) para cada λ ∈ IR . Ja vimos que o produto cartesiano∏λ∈IR
Xλ = IRIR
corresponde ao conjunto de todas as funcoes f : IR → IR.
Mostre que a convergencia neste espaco IRIR das funcoes f : IR → IR , quando conside-
ramos a Topologia Produto, e a convergencia pontual (ver Capıtulo 2 - Espacos Metricos),
ou seja, uma sequencia de funcoes fn : IR → IR converge (na Topologia Produto) para uma
funcao f : IR → IR se, e somente se, para cada x ∈ IR fixado, tem-se fn(x) → f(x)
(convergencia pontual).
4) (Espacos Vetoriais Topologicos) Um ESPACO VETORIAL TOPOLOGICO (EVT) e
um espaco vetorial X (sobre um corpo IK) munido de uma topologia tal que as operacoes
de adicao de vetores: X × X → X e multiplicacao escalar: IK × X → X sao contınuas
(considerando a Topologia Usual em IK e as Topologias Produto em X ×X e IK×X ).
Mostre que todo espaco normado e um EVT.
Apendice B
Sobre bases em espacos vetoriais
Seja X um espaco vetorial sobre um corpo IK (IR ou C):
Definicao B.1. (Independencia linear) Um subconjunto E ⊂ X (E finito ou infinito)
e LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI) se, e somente se, para todo subconjunto finito
{e1, e2, . . . , en} ⊂ E temos
c1e1 + c2e2 + . . . + cnen = 0
ci ∈ IK
}⇒ c1 = c2 = . . . = cn = 0
Definicao B.2. (Base de Hamel ou algebrica) Uma BASE (DE HAMEL) em um espaco
vetorial X e um subconjunto LINEARMENTE INDEPENDENTE MAXIMAL de X.
Para esclarecer, B e base (de Hamel) de um espaco X quando B e o “maior” conjunto
LI que contem B. Isto ocorre se, e somente se, B e LI e, para cada x ∈ X\B, o conjunto
B ∪ {x} nao e LI.
Exemplo: O conjunto B = {1, x, x2, x3, . . .} e uma base (de Hamel) do espaco
X = {a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx
n ; ai ∈ IR } , dos polinomios com coeficientes reais, pois
B e linearmente independente e B ∪ {p} nao e LI, qualquer que seja p ∈ X\B.
Teorema B.3. Todo espaco vetorial possui base (de Hamel).
Obs.: A demonstracao faz uso do Lema de Zorn.
63
64 APENDICE B
Teorema B.4. Seja B um subconjunto LI de um espaco vetorial X 6= { 0} .
B e uma base (de Hamel) de X se, e somente se, todo vetor x ∈ X pode ser escrito como
x =n∑
i=1
αiei = α1e1 + α2e2 + . . . + αnen , onde α1, . . . , αn ∈ IK e {e1, . . . , en} ⊂ B (ou
seja, todo vetor de X pode ser escrito como combinacao linear de elementos de um subconjunto
FINITO de B).
Prova: (⇒) Sejam B base (de Hamel) de X e x ∈ X.
Podemos supor que x 6∈ B (se x ∈ B ja teremos x = 1.x ).
Entao B ∪ {x} nao e LI (pois B e LI maximal) e portanto existem um subconjunto
finito {x, e1, e2, . . . , ek} ⊂ B ∪ {x} e escalares α0, α1, . . . , αk ∈ IK tais que:
α0x + α1e1 + . . . + αkek = 0 e α0 6= 0 (pois B e LI e B ∪ {x} nao e LI)
Logo:
x =
(−α1
α0
)e1 +
(−α2
α0
)e2 + . . . +
(−αk
α0
)ek
Portanto todo x ∈ X pode ser escrito como combinacao linear FINITA de elementos de B.
(⇐) B e LI. Para todo x ∈ X\B temos:
x = α1e1 + α2e2 + . . . + αkek
α1, . . . , αk ∈ IK
{e1, e2, . . . , ek} ⊂ B
⇒ B ∪ {x} nao e LI.
Logo podemos concluir que B e LI maximal, ou seja, B e uma base (de Hamel) de X .
Obs.: E atraves deste teorema que normalmente definimos base de um espaco vetorial em
nossos cursos de Agebra Linear.
Exemplo: Seja X = `∞ = { (xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IR ; (xn) e limitada } o espaco
das sequencias limitadas de numeros reais com as operacoes usuais de soma de vetores e
multiplicacao escalar.
O subconjunto E = { (1, 0, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 0, . . .), . . .} ⊂ `∞ e evidente-
mente LI, mas nao e base (de Hamel) de `∞ pois, por exemplo, x = (1, 1, 1, . . .) ∈ `∞ mas
x nao pode ser escrito como combinacao linear FINITA de elementos de E.
Sobre bases em espacos vetoriais 65
O teorema a seguir e uma bela aplicacao do Teorema de Baire (exercıcio do capıtulo 2 -
Espacos Metricos):
Teorema B.5. Seja X um espaco de Banach (espaco vetorial normado e completo - toda
sequencia de Cauchy e convergente - em relacao a metrica induzida pela norma).
Se X tem dimensao infinita entao toda base (de Hamel) de X e nao-enumeravel.
Prova: Suponhamos, por absurdo, que X tenha uma base (de Hamel) enumeravel
B = {e1, e2, e3, . . .} (obs.: B e um conjunto infinito pois X tem dimensao infinita).
Para todo n ∈ IN, seja Fn = [e1, e2, . . . , en] o subespaco de X gerado por {e1, e2, . . . , en} .
Temos
X =∞⋃
n=1
Fn
Para todo n ∈ IN, temos:
Fn tem dimensao finita ⇒ Fn e subconjunto fechado de X (ver Lima [2], p. 239).
Como Fn tem dimensao finita e X tem dimensao infinita, e imediato que Fn e subespaco
proprio do espaco normado X, de onde podemos concluir que int Fn = φ (exercıcio de
espacos normados).
Temos entao que X =∞⋃
n=1
Fn com Fn fechado e int Fn = φ para todo n ∈ IN.
Como X e Banach (completo), segue do Teorema de Baire que int X = φ (contradicao).
Entao, obrigatoriamente, toda base (de Hamel) de X e nao-enumeravel.
Observacao: Sempre usamos o termo base de Hamel (ou algebrica) para evitar confusao
com o conceito de BASE DE HILBERT (ou geometrica), que e referente aos conjuntos ORTO-
NORMAIS MAXIMAIS em espacos com produto interno.
66 APENDICE B
Apendice C
O espaco IRn
O espaco vetorial IRn:
Consideremos o conjunto IRn = { x = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR ; i = 1, 2, . . . , n } das n-
uplas de numeros reais.
Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)
Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos
numeros reais.
Produto interno no espaco IRn:
Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , >: IRn × IRn → IR pondo:
< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn
Normas:
A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA EUCLI-
DIANA ‖ ‖ : IRn → IR pondo:
‖x‖ =√
< x, x > ∀ x ∈ IRn
67
68 APENDICE C
Obs.: Outras duas normas se destacam no IRn:
A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por
‖x‖m = max { |x1| , |x2| , . . . , |xn| } ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
E facil mostrar que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.
Para todo x ∈ IRn temos:
‖x‖m ≤ ‖x‖ ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m
Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES.
Logo, as nocoes topologicas (convergencia de sequencias, limites, continuidade, etc.) inde-
pendem de qual destas tres normas e considerada!
Conjuntos limitados:
E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto
X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a
norma ‖ ‖2.
Teorema C.1. Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equivalente
a Norma do Maximo) se, e somente se, suas projecoes X1 = π1(X), . . . , Xn = πn(X) sao
conjuntos limitados em IR.
Sequencias no espaco IRn:
Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo
k ∈ IN , xk =(x
(k)1 , x
(k)2 , . . . , x
(k)n
), onde x
(k)i = πi(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n
sequencias sao ditas as sequenciaS DAS COORDENADAS de (xk).
Teorema C.2. Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma equiv-
alente a Norma do Maximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para cada
i = 1, 2, . . . , n tem-se lim x(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a
coordenada correspondente de a.
Prova: Exercıcio (use a Norma do Maximo)
O espaco IRn 69
Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam
lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. Entao:
(i) lim(xk + yk) = a + b
(ii) lim αk.xk = α.a
(iii) lim < xk, yk > = < a, b >
A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:
Teorema C.3. (Bolzano-Weierstrass) Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer norma
equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.
Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coorde-
nadas, juntamente com o teorema anterior)
Teorema C.4. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.
Demonstracao:
Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn
e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.
Temos:
(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema
estara demonstrado.
(ii) Para a Norma da Soma valem os tres teoremas anteriores, pois ela e equivalente a
Norma do Maximo.
Consideremos a Base Canonica β = {e1, e2, . . . , en} do IRn.
Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:
‖x‖ = ‖x1e1 + . . . + xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . . + |xn|) = b. ‖x‖s
onde b = max { ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ } (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o
maximo em um conjunto finito de numeros reais).
Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)
70 APENDICE C
Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.
De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn
tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).
Tomemos, para cada k ∈ IN, uk =xk
‖xk‖s
(note que a sequencia (uk) esta bem definida,
pois ‖xk‖s > 0 ∀k )
Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma
da Soma.
Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj) convergente (na
Norma da soma) para um ponto u ∈ IRn.
Temos entao que∥∥ukj
∥∥s→ ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.
Agora, dado ε > 0, e possıvel obter kj0 tal que∥∥ukj0
− u∥∥
s<
ε
2be
1
kj0
<ε
2
Logo
‖u‖ ≤∥∥ukj0
− u∥∥+
∥∥ukj0
∥∥ ≤ b.∥∥ukj0
− u∥∥
s+
1
kj0
.∥∥ukj0
∥∥s< b.
ε
2b+
ε
2= ε
Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradicao!).
Entao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)
Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.
Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.
Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os teoremas anteriores sao
validos para qualquer norma considerada no IRn. Tambem temos que IRn e Banach
em relacao a qualquer norma considerada, ou seja, toda sequencia de Cauchy e convergente.
Continuidade:
A seguir, alguns resultados uteis:
A) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente
contınua e portanto contınua.
O espaco IRn 71
B) Se ϕ : IRm × IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ
e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.
Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.
Exemplos: multiplicacao de numeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canonico
( < x, y > = x1y1 + . . . + xnyn ); multiplicacao de matrizes ( ϕ(A, B) = A.B )
C) As projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm
( i = 1, 2, . . . ,m ), sao lineares, logo lipschitzianas e portanto contınuas.
A cada aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funcoes f1, f2, . . . , fn : X → IR
dadas por fi = πi◦f ( i = 1, . . . , n ), chamadas as FUNCOES COORDENADAS da aplicacao
f .
Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .
Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).
Teorema C.5. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua no ponto a ∈ X se, e so-
mente se, cada uma das suas funcoes coordenadas fi = πi◦f : X → IR e contınua no ponto a.
Corolario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn
dada por h(x) = (f(x), g(x)) . Entao h e contınua se, e somente se, f e g sao ambas contınuas.
Uma consequencia deste corolario: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sao contınuas
entao sao tambem contınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,
(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por
< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.
Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),
para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto
x = (x1, . . . , xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.
Exemplos: f(x, y) = (( sen x).y, x2y3, ex cos y) define uma funcao contınua f : IR2 → IR3.
A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.
72 APENDICE C
Compacidade:
Nosso principal objetivo agora sera mostrar que um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se,
e somente se, K e limitado e fechado. Os resultados a seguir ficam indicados como exercıcios
e irao “preparar o terreno” para cumprirmos o objetivo acima.
Teorema C.6. Um subconjunto K ⊂ IRn e limitado e fechado se, e somente se, toda
sequencia (xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.
Teorema C.7. (Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos
limitados, fechados e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersecao K =∞⋂i=1
Ki
(limitada e fechada) nao e vazia.
Lema C.8. Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel
E = {x1, x2, . . . , xl, . . .} ⊂ X, E denso em X.
Lema C.9. (Lindelof) Seja X ⊂ IRn um conjunto arbitrario. Toda cobertura aberta
X ⊂⋃
Aλ admite uma subcobertura enumeravel.
Chegamos entao ao resultado que nos interessa:
Teorema C.10. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, K e limitado e fechado.
Demonstracao:
(⇒) Ja feita no capıtulo sobre espacos metricos.
(⇐) Borel-Lebesgue:
Suponhamos que K seja limitado e fechado.
Seja K ⊂⋃
Aλ uma cobertura aberta de K.
Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel
K ⊂∞⋃i=1
Aλi= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .
Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha
Ki = K⋂
(X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))
O espaco IRn 73
Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado.
Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλie aberto ⇒ X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi
) e fechado. Como K e fechado, temos
entao que Ki e fechado.
Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.
Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .
Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′(pois K ⊂
∞⋃i=1
Aλi) ⇒ x 6∈ Ki′
Logo∞⋂i=1
Ki = φ .
Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ
Assim
φ = Ki0 = K⋂ (
X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0))⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0
)
Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita, ou melhor, K e
compacto.
Conexidade por caminhos:
Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida
num intervalo I ⊂ IR.
Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X
quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)
Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um
caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a, b] = { t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] }.
Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho
ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.
Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos
a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.
Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.
74 APENDICE C
Teorema C.11. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo.
Prova: Exercıcio.
Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:
Exemplo: X = {(x, sen 1/x) ; x ∈ (0, +∞)} ∪ {(0, 0)} ⊂ IR2 e conexo mas nao e conexo
por caminhos.
Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:
Teorema C.12. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.
Prova: Exercıcio.
Referencias
[1] Honig, Chaim S., Aplicacoes da Topologia a Analise, Projeto Euclides, IMPA, Rio de
Janeiro, 1976
[2] Lima, Elon Lages, Espacos Metricos, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983
[3] Munkres, James R., Topology - A First Course, Prentice-Hall Inc. , New Jersey, 1975
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