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Page 1: Noções de Geometria Descritiva

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS

DESENHO TÉCNICO / ICA 221

1. GEOMETRIA DESCRITIVA - DEFINIÇÃO

Utiliza de projeções ortogonais para representar objetos tridimensionais por meio de

desenhos bidimensionais. A visão para adotar o método construtivo na geometria descritiva precisa ser espacial. A Geometria Descritiva e importante na formação de profissionais que trabalham com espaço e forma.

Gaspar Monge (1746 a 1818), figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço.

A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas em que são consideradas até 3 dimensões, por meio de traçados, que permitem a real utilização nas artes e nas indústrias dos princípios geométricos, como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado.

2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO

Esses traçados obtêm-se projetando sobre um plano dado, os diversos pontos de uma

figura ou pelo menos, os necessários à sua determinação no espaço. A projeção de um ponto sobre um plano é a interseção com esse plano de uma reta que

passa pelo ponto. Essa reta é a projetante do ponto no plano e pode ser traçada paralelamente a uma direção determinada ou sujeita a passar por um ponto fixo.

Essas duas condições dividem as projeções em 2 grandes sistemas:

a. Projeções cilíndricas b. Projeções cônicas

a. Projeções cilíndricas ou paralelas

Obtém-se a projeção cilíndrica ou paralela, quando o observador se encontra no infinito. Assim os raios visuais que passam do observador aos pontos de uma figura, se tornam paralelas tendo como projeção o mesmo tamanho da figura.

Poderá a projeção cilíndrica ser ortogonal ou oblíqua conforme a posição do observador quanto à perpendicularidade.

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3. 4.

1. 2.

b. Projeções cônicas ou perspectivas Quando o centro de projeção encontra-se próximo ao plano de projeção. O ponto de

concorrência ou centro de projeção (O), pode estar situado em 4 posições diferentes. 1. Na zona oposta à da figura. Caso em que a projeção é reduzida

2. Situado entre a figura e o plano . Caso em que a projeção pode ser reduzida ou ampliada, dependendo da distância do ponto O ao plano;

3. Situado na mesma zona da figura e mais distante do plano do que a figura. Caso em que a projeção é ampliada.

4. Situado no plano . Caso em que a projeção da figura fica reduzida a um ponto.

3.ESTUDO DO PONTO Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares um

horizontal e um vertical (H / V). Considere os dois planos, limitados, perpendiculares entre si, cuja intersecção forma um eixo chamado LINHA DE TERRA (LT) conforme Figura 1. Os dois planos, formam quatro semi-planos, formando quatro regiões denominadas Diedros, numerados em sentido anti-horário.

FIGURA 1. Planos Horizontal e Vertical, cuja intersecção forma eixo chamado LINHA DE TERRA (LT), e assim quatro semi-planos denominados DIEDROS.

Os planos, horizontal e vertical são

divididos em semi-planos:

PHA: Semi-plano horizontal anterior

PHP: Semi-plano horizontal posterior

PVS: Semi-plano vertical superior

PVI: Semi-plano vertical inferior

LT

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A representação bidimensional do objeto é obtida pela Épura. Para que se possam

representar no plano as figuras do espaço, faz-se o rebatimento (Figura 2) do plano vertical sobre o plano horizontal (no sentido anti-horário) que consiste em fazê-lo girar em torno da Linha de Terra, de modo que PVS venha ficar em coincidência com PHP e PVI com o PHA. Assim após o rebatimento, obtemos a representação da épura (Figura 3).

FIGURA 2. Rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal

FIGURA 3. ÉPURA. A linha que liga a até a’ é a linha de chamada. Por convenção esta linha deve ser pontilhada.

Um objeto pode estar localizado em qualquer um dos quatro diedros, assim sendo terá

suas projeções horizontais e verticais, nos respectivos planos, horizontal e vertical. Conforme Figura 4, observe o posicionamento de um objeto em diferentes diedros.

FIGURA 4. Posicionamento de um objeto qualquer no 1 , 2 , 3 e 4 DIEDRO.

3.2 CONCEITOS PRINCIPAIS – método projetivo:

Diante de uma noção espacial, contamos com um sistema de coordenadas (X, Y, Z) onde,

X (abcissa) diz respeito à distância ao longo da Linha de Terra, Y (afastamento) é o afastamento a partir do Plano Vertical e, Z (cota) é a altura em relação ao Plano Horizontal.

Cota de um ponto é a distância desse ponto ao plano horizontal de projeção (eixo y) Afastamento é a distância do ponto ao plano vertical de projeção (eixo x) Linha de projeção (ou de chamada) é toda linha perpendicular à Linha de Terra, que une

as projeções de um mesmo ponto. (Conforme Figura 5)

FIGURA 5. Representação de um ponto no espaço por meio das coordenadas abcissas, afastamento e cota.

Sendo:

A – o ponto do espaço a’ – projeção vertical a – projeção horizontal

Na prática então:

Aa é cota Aa’ é o afastamento

Um ponto é representado em um diedro a partir das suas coordenadas (X, Y, Z). A partir dos pontos são definidas as retas, a partir das retas os planos e por fim os elementos sólidos. A

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visualização correta das projeções no diedro é de grande importância. Imagine que cada diedro seja um apartamento, portanto só quem está em seu devido apartamento consegue ver a projeção do objeto na “parede” e no “chão”, ou no “teto”, se o observador estiver nos apartamentos do andar de baixo.

Projeções a e a’ do ponto A no 1º Diedro.

Projeções a e a’ do ponto A no 3º Diedro.

Os Diedros podem ser representados ora individualmente, como ilustrado ao lado, ora conjugados, simulando a idéia “quatro apartamentos” dispostos em “dois andares”, um andar inferior e outro superior.

3.3 POSIÇÕES DO PONTO NO ESPAÇO

Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes:

1ª POSIÇÃO – NO 1º DIEDRO

ÉPURA

2ª POSIÇÃO – NO 2º DIEDRO

ÉPURA

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3ª POSIÇÃO – NO 3º DIEDRO

ÉPURA

4ª POSIÇÃO – NO 4º DIEDRO

ÉPURA

5ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA VS

ÉPURA

6ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA VI

ÉPURA

7ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA HA

ÉPURA

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8ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA HP

ÉPURA

9ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA LINHA DE TERRA

ÉPURA

COORDENADAS POSITIVAS E NEGATIVAS

a) Cota positiva (+) – acima do plano

horizontal de projeção (1º e 2º diedros)

b) Afastamento positivo (+) – à direita do

plano vertical de projeção (1º e 4º diedros)

c) Cota negativa (-) – abaixo do plano

horizontal de projeção (3º e 4º diedros)

d) Afastamento negativo (-) – à esquerda do

plano vertical de projeção (3º E 2º diedros)

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Na prática, o ponto é dado por suas coordenadas (ABCISSA, AFASTAMENTO E COTA) nessa ordem (X, Y, Z), por exemplo (Figura 6), Ponto A (2; 3; 1):

ÉPURA

FIGURA 6. Posicionamento de um ponto por meio da coordenadas (Abcissa; Afastamento ; Cota).

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4.ESTUDO DA RETA

4.1. INTRODUÇÃO

A projeção de uma reta sobre o plano, é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano (Figura 7.).

FIGURA 7. Projeção de uma reta sobre o plano.

4.2 CASOS PARTICULARES

I. A projeção de uma reta sobre um plano, só

deixa de ser uma reta, quando lhe for perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto.

II. Quando uma reta for paralela a um plano, a sua projeção sobre esse plano é igual e paralela à própria reta.

III. Comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano. Quando a reta é perpendicular, temos 1 ponto, e quando é paralela temos o limite máximo, igual ao comprimento da reta.

4.3 DETERMINAÇÃO DE UMA RETA

De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada, quando são conhecidas as

projeções dessa reta sobre 2 planos ortogonais. Ao ser feito o rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal, temos a representação da Épura, ou seja, a representação bidimensional da reta AB

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(tridimensional) através das suas projeções nos planos vertical e horizontal. Abaixo, os pontos A e B definem a reta AB localizada no 1º Diedro. Assim:

A tem suas projeções a e a’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical. B tem suas projeções b e b’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical.

A reta AB tem suas projeções ab e a’ b’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical.

ÉPURA

4.3.1 POSIÇÕES DA RETA

Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, as quais recebem nomes

particulares:

a) RETA QUALQUER De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada, quando são conhecidas as

projeções dessa reta sobre 2 planos ortogonais.

Épura

b) RETA HORIZONTAL

Reta paralela ao PH e oblíqua ao PV. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à LT e a horizontal oblíqua à essa mesma linha.

Épura

c) RETA FRONTAL OU DE FRENTE Reta paralela ao PV e oblíqua ao PH. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal

paralela à LT e a vertical, oblíqua à LT.

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Épura

d) RETA FRONTO HORIZONTAL Reta paralela aos 2 planos de projeção. Essa reta é também paralela à LT e sua épura é caracterizada

por possuir ambas as projeções paralelas a LT.

Épura

e) RETA VERTICAL Reta perpendicular ao PH. Neste caso, ela será obrigatoriamente, paralela ao plano vertical. Sua

épura é caracterizada por ter a projeção horizontal reduzida a 1 ponto e a vertical perpendicular a LT.

Épura

f) RETA DE TOPO Reta perpendicular ao PV. Sua épura é caracterizada por ter a projeção vertical reduzida a um ponto e

a horizontal, perpendicular a LT.

Épura

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g) RETA DE PERFIL

1. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: VERTICAL SUPERIOR...

Épura

2. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: VERTICAL INFERIOR... Épura: será invisível para o observador, colocado no primeiro diedro

Épura

3. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: HORIZONTAL POSTERIOR... Épura: será invisível para o observador, colocado no primeiro diedro.

Épura

4. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: HORIZONTAL ANTERIOR...

Épura

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ESTUDO DO PLANO

Chama-se traço de um plano, a intersecção desse plano com o plano de projeção. Um plano é

geralmente designado por seus traços que são representados por letras maiúsculas do alfabeto e na linha de

terra uma grega ou . Assim por exemplo o plano P P’, entende-se que:

P – traço horizontal

P’ – traço vertical E por convenção o traço horizontal é pronunciado em 1: lugar.

1.1 POSIÇÕES DO PLANO

a) PLANO QUALQUER O plano é oblíquo em relação aos 2 planos de projeção. OBS: o que caracteriza o plano qualquer é

que seus traços sejam oblíquos a XY. O ângulo pode chegar ao máximo a 89: (não pode chegar a 90:), e no mínimo a 1: (não pode chegar a 0:).

ÉPURA

b) PLANO HORIZONTAL

O plano é paralelo ao plano horizontal de projeção. Sua épura é caracterizada por só possuir um traço, que é horizontal e paralelo a LT.

ÉPURA

c) PLANO FRONTAL

O plano é paralelo ao plano vertical de projeção. Sua épura é caracterizada por só possuir um traço, que é horizontal e paralelo a LT.

ÉPURA

d) PLANO VERTICAL

O plano é perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao vertical. Sua épura é caracterizada por possuir o traço vertical perpendicular à linha de terra e o horizontal, oblíquo à mesma linha.

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ÉPURA

e) PLANO DE TOPO O plano é perpendicular ao plano vertical e oblíquo ao horizontal. Sua épura é caracterizada por

possuir o traço horizontal perpendicular à linha de terra e o vertical, oblíquo à essa mesma linha.

ÉPURA

f) PLANO DE PERFIL

O plano é perpendicular aos 2 planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir os 2 traços numa mesma perpendicular à linha de terra.

ÉPURA

g) PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA

Esse plano também é oblíquo aos 2 planos de projeção, porém paralelo a LT. Sua épura é caracterizada por possuir os 2 traços, paralelos a LT.

ÉPURA

h) PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA Neste caso, os seus traços confundem com a LT. Sua épura é caracterizada por coincidir com a LT.

ÉPURA