Números complexos: aplicação em circuitos RLC
Complex numbers: application in RLC circuits
Gilberto Martins Dagostim1 Roberto Pettres2
ResumoO presente trabalho trata de um estudo de pesquisa teórica e desenvolvimento de uma metodologia alternativa para o ensino dos Números Complexos. A metodologia proposta faz uso dos aplicativos Geogebra e Multisim e tem sua base em aplicações de circuitos compostos por resistores, capacitores e indutores (circuitos RLC), tema esse estudado na disciplina de Física no mesmo bimestre onde os Números Complexos são estudados na disciplina de Matemática do terceiro ano do ensino médio. Após o desenvolvimento da metodologia, esta foi transmitida para professores da área de Matemática do Colégio Estadual do Paraná, os quais participaram de aulas expositivas referentes ao tema em tela, cujas opiniões e contribuições possibilitaram o aperfeiçoamento do material desenvolvido. Os resultados do trabalho e considerações são apresentados ao final do trabalho.
Palavras-chave: Números Complexos. Plano complexo. Geogebra. Multisim.
AbstractThe present work deals with a study of the theoretical research and development of an alternative methodology for the teaching of Complex Numbers. The proposed methodology makes use of Geogebra and Multisim software and is based on application of circuits composed of resistors, capacitors and inductors (RLC circuits), topic studied in the Physics discipline in the same time where the Complex Numbers are studied in the Mathematics discipline of the third year of high scholl. After the development of the methodology, it was transmitted to teachers in the area of Mathematics of the Colégio Estadual do Paraná, and teachers participated in lectures on the theme on screen, whose opinions and contributions made possible the improvement of the material developed. The results of the work and considerations are presented at the end of the work.
Keywords: Complex Numbers. Complex Plan. Geogebra. Multisim.
1. Introdução
São inúmeros os trabalhos que tratam de aplicações da Matemática, seja em áreas de
economia e administração (TAN, 2014), em modelos de inteligência artificial (PETTRES, JAREK e
LACERDA, 2011), no desenvolvimento de aplicativos (LOPES, SILVA e ARAÚJO, 2004),
1 Professor Licenciado em Matemática, Bacharelado em Matemática, Especialista em Metodologia do Ensino de Matemática e Especialista em Processo Ensino-Aprendizagem, Colégio Estadual do Paraná, Núcleo Curitiba, Curitiba, Paraná, Brasil, [email protected].
2 Professor Licenciado em Matemática e Doutor em Métodos Numéricos em Engenharia, Universidade Federal do Paraná, Matinhos, Paraná, Brasil, [email protected].
processamento de sinais (TRINDADE, 2009), em simulações numéricas de termodinâmica
(PETTRES e LACERDA, 2017), entre outras aplicações. No caso de aplicações dos Números
Complexos, registram-se alguns dos principais trabalhos utilizados nesse estudo, entre eles, Neves
(2014) e Mendes (2017) em estudos envolvendo geometria analítica e plana, IGM (2009) em
aplicações de Engenharia Elétrica, Bastos (2013) em um estudo dos Números Complexos utilizando
o aplicativo Geogebra, Barros (2014) e Araújo (2006) em estudos voltados para o ensino dos
Números Complexos no ensino médio. No trabalho de Araújo (2006), são apresentados os
resultados de uma pesquisa baseada na análise de dez dos principais livros didáticos utilizados no
ensino médio na instituição onde deu-se a pesquisa. Araújo (2006) afirma que a atual apresentação
do livro se dá de forma pouco contextualizada e que menos de 8% do total de exercício dessas obras
referem-se ao estudo dos Números Complexos.
Essa é uma importante constatação e confirma, de maneira geral, que a Matemática tratada
no ensino básico, frequentemente é apresentada de forma dissociada de seu real uso e/ou aplicações,
o que implica, em muitos casos, no desinteresse por parte dos alunos ao querer explorar e entender
essa ciência.
Pela ótica do ensino, é importante ressaltar que, durante o exercício da docência, muitos
questionamentos vindos dos alunos fazem-se presentes durante as aulas expositivas, principalmente,
sobre a utilidade de determinado conteúdo matemático (ARAÚJO, 2006). Esse fato caracteriza-se
como o problema do trabalho e a alternativa a este, como a principal motivação e justificativa do
presente estudo, o qual almeja, com o desenvolvimento de uma metodologia alternativa, motivar os
alunos à aprendizagem em relação aos Números Complexos e aos professores oportunizar uma
ferramenta complementar de ensino.
Para tanto, a metodologia desenvolvida contou com o uso dos aplicativos Geogebra e
Multisim para o ensino dos Números Complexos de forma aplicada, nesse caso, em aplicações de
circuitos elétricos, tema estudado concomitantemente na disciplina de Física do terceiro ano do
ensino médio, inserindo-se de forma a promover a interdisciplinariedade (diálogo entre as
disciplinas), a transversalidade (o aluno organiza o conhecimento obtido sobre a realidade) e a
transdisciplinaridade (troca de conhecimentos relacionando a teoria com a prática), além de ir ao
encontro do Decreto no 6300, de 12 de dezembro de 2007, no seu artigo 1.o – Programa Nacional de
Tecnologia Educacional – Proinfo, a respeito do incentivo e promoção do uso das tecnologias na
escola.
Após desenvolvido o estudo, a metodologia foi socializada com professores de Matemática
do Colégio onde ocorreu a pesquisa. Os professores foram capacitados para o uso dos aplicativos e
fizeram importantes contribuições em relação à metodologia proposta. Os resultados desse estudo
de pesquisa e desenvolvimento, a própria metodologia e demais considerações são apresentadas ao
final do trabalho.
2. Metodologia de pesquisa
A pesquisa deste trabalho baseia-se em dois tipos: a de campo e a de ação. A primeira,
caracteriza-se pela investigação em que, além da pesquisa bibliográfica e/ou documental, realiza-se
a coleta de dados junto a pessoas, com o recurso de diferentes tipos de pesquisa (nesse caso,
pesquisa-ação) (FONSECA, 2002). Na segunda, presume uma participação planejada do
pesquisador na situação problemática a ser investigada trazendo consigo uma série de
conhecimentos que serão a essência para a execução da sua análise reflexiva sobre a realidade e os
elementos que a integram, o que implica modificações no conhecimento do próprio pesquisador
(FONSECA, 2002) que, nesse estudo, pode servir como estratégia e ferramenta de melhoria e
atualização da própria prática docente ao assumir uma postura de pesquisador(a) e não apenas de
transmissor(a) de saberes (MACEDO, 1994).
2.1 Linha de estudo
Esse estudo segue a linha teórica de Araújo (2006) e Barros (2014), no que se refere ao
desenvolvimento de técnicas alternativas para o ensino dos Números Complexos e Bastos (2013)
em relação ao uso do aplicativo Geogebra.
2.2 Local de realização do estudo e público
O estudo foi realizado no Colégio Estadual do Paraná, situado na Avenida João Gualberto,
250 - Alto da Glória, Curitiba – PR. Ao todo, 10 professores participaram da implementação e
quatro estágios foram propostos, entre eles, o 2o e 3o estágios, elaborados com o intuito de deixar as
aulas mais interessantes em relação ao tema Números Complexos. Dois aplicativos livres em
formato open-source, distribuídos pela empresa Eletronics Workbench, no caso do Multisim e o
Geogebra, criado pelo professor Dr. Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic University, fizeram
parte da metodologia desenvolvida, a qual foi aplicada em formato de intervenção pedagógica sob
prévio termo de consentimento livre e esclarecido com o Colégio, professores e alunos.
2.3 Estágios do trabalho
O desenvolvimento do estudo sobre Números Complexos na aplicação de circuitos RLC,
realizado para professores do ensino médio de terceiros anos do Colégio Estadual do Paraná, foi
implementado em quatro estágios, os dois primeiros referem-se à intervenção pedagógica, o terceiro
à aplicação da metodologia em sala de aula e o último estágio em formato de Grupo de Trabalho em
Rede3 (GTR), descritos como segue:
2.3.1 Primeiro estágio
Nesse estágio foi realizada a pesquisa por literaturas, que serviu como subsídio para o
desenvolvimento da metodologia para o ensino dos Números Complexos e do próprio projeto de
intervenção pedagógica.
Ainda nesse estágio foi realizada a apresentação da proposta do trabalho ao Conselho
Escolar onde se deu o estudo, que, após apreciação, foi aprovado sem ressalvas. A apresentação foi
realizada com o uso de slides contendo o material teórico como forma de recapitulação de conceitos
básicos do tema Números Complexos, além de uma breve explanação sobre a forma atual de
apresentação desse conteúdo em sala de aula, com base no material didático até então adotado. A
fundamentação teórica levou em consideração um dos principais desafios dos matemáticos do
Renascimento, nesse caso a resolução de equações polinomiais ( a 0 + a 1 x + ... + a n x n = 0 ), cujo
conteúdo completo é apresentado no Anexo 1.
2.3.2 Segundo estágio
Finalizada a etapa de fundamentação teórica sobre os Números Complexos, deu-se início a
apresentação e a capacitação dos professores em relação ao uso dos aplicativos Geogebra e
Multisim no laboratório didático de Matemática/Informática. Ao todo, seis exercícios foram
resolvidos com o apoio dos aplicativos sendo os procedimentos para tal, parte integrante da
metodologia alternativa desenvolvida.
Com o uso do aplicativo Geogebra foi elaborada uma rotina computacional para
visualização dos Números Complexos em forma retangular, polar, do módulo, do argumento e do
Plano de Argand-Gauss. Para concluir esse estágio foi apresentada uma prática envolvendo um
pequeno circuito eletrônico, com o uso do aplicativo Multisim, com a finalidade de demonstrar a
relação existente entre os Números Complexos e o seu funcionamento. O objetivo desse estágio foi
de capacitar os professores envolvidos no estudo para o uso dos aplicativos. O conteúdo desse
estágio é apresentado em detalhes no Anexo 2.3 GTR – O Grupo de Trabalho em Rede constitui uma das atividades do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) e se caracteriza pela interação a distância entre o professor PDE e os demais professores da rede pública estadual de ensino.
2.3.3 Terceiro estágio
No terceiro estágio, após a capacitação dos professores, foi selecionada uma turma do
terceiro ano do ensino médio, à qual foi apresentada a metodologia desenvolvida a fim de observar
e avaliar a receptividade dos alunos perante o conteúdo de Números Complexos. Esse estágio
também teve como objetivo identificar pontos positivos e negativos que poderiam ser revistos,
adequados e/ou ajustados na própria metodologia.
2.3.4 Quarto estágio
O quarto estágio contou com a participação do primeiro autor como tutor do Grupo de
Trabalho em Rede, realizado no primeiro semestre de 2017, com professores da rede pública do
Estado do Paraná ( 1 de Cianorte, 10 de Curitiba, 1 de Foz do Iguaçú, 3 de Londrina, 1 de Maringá,
1 de Pinhais, 1 de São José, sendo que dois de Curitiba participaram da Implementação do Projeto
na Escola), cujos objetivos foram apresentar a proposta da metodologia alternativa, levantar dúvidas
e sugestões sobre o uso dos aplicativos e disseminar tal conhecimento desenvolvido.
3. A intervenção pedagógica, análise e resultados
A intervenção pedagógica iniciou-se de acordo com o item 2.3.1. Nessa etapa foi realizada
busca por literaturas (sob opções estritamente limitadas e escassas) que tratassem de aplicações dos
Números Complexos e foi construído o material de apoio contendo o passo-a-passo do uso dos
aplicativos e da própria metodologia desenvolvida. Porém, o material desenvolvido sofreu diversas
adaptações até chegar em sua forma atual contando com contribuições e sugestões dos professores
em capacitação no segundo estágio desse trabalho. O objetivo proposto para o segundo estágio foi
alcançado e a principal característica dessa etapa foi a grande participação dos professores
apontando sugestões para melhoria da proposta, assim como, questionamentos sobre o uso dos
aplicativos que fizeram com que o tutor ampliasse as discussões.
No terceiro estágio, agora em contato com os alunos, o aplicativo Geogebra foi apresentado
e foi facilmente assimilado sob grande receptividade, principalmente pela possibilidade de interação
constante no aplicativo de forma instantânea construindo e editando a rotina computacional definida
para determinada tarefa e a visualização dos resultados, além de ser uma ferramenta que os alunos
já tinham familiaridade (estudo de funções lineares e trigonometria no 1º e 2º anos do ensino
médio). Ainda nesse estágio, no início do uso do aplicativo Multisim, foram encontradas maiores
dificuldades em função dos novos termos e finalidades envolvendo os componentes eletrônicos.
Porém, por mais de uma vez explicada a funcionalidade de determinado circuito RLC fazendo um
gancho com as aulas de Física, percebeu-se o interesse e a curiosidade nos alunos, cuja prática
permitiu que estes entendessem esse tipo de aplicação dos Números Complexos. Ressalta-se, que
apesar da receptividade dos alunos, houve dificuldade na execução da metodologia em detrimento
do tempo disponível no laboratório (previsão de três aulas), em cuja adaptação sugere-se um
número maior de aulas. Apesar desse fato, os alunos demonstraram grande interesse na
continuidade do conteúdo e o objetivo proposto para esse estágio foi atingido.
No quarto estágio ocorreu a tutoria do Grupo de Trabalho em Rede abordando o tema
Números Complexos e a experiência adquirida no contato com os professores e alunos já citada nos
estágios 1, 2 e 3 do presente trabalho. Nesse GTR foram disponibilizadas 20 vagas, das quais 18
foram preenchidas. No grupo de estudo, os professores participantes puderam opinar e comentar
sobre o tema e sobre a proposta metodológica. Apenas para registro, inúmeros professores
elogiaram a iniciativa e teceram comentários incentivadores, pois demonstraram interesse pela
metodologia de ensino.
Dos professores que participaram do GTR de Números Complexos, 12 concluíram as
atividades e relataram que no futuro pretendem utilizar a metodologia proposta em seus planos de
aula. Entre os concluintes, apenas dois sinalizaram dificuldades de replicar a metodologia em outras
escolas devido à falta de material e/ou condições insuficientes nos laboratórios de
Matemática/Informática.
4 Considerações Finais
A proposta desse estudo foi o desenvolvimento de uma metodologia alternativa que
contribuísse para a melhoria no aprendizado dos alunos do terceiro ano do ensino médio em relação
aos Números Complexos e que também pudesse ser utilizada como ferramenta didática para
auxiliar nas aulas de Matemática.
Apesar de existirem determinadas aplicações com os Números Complexos, optou-se pela
área elétrica, pois esta pode ser utilizada tanto na Matemática como na Física contribuindo no
aprimoramento desse assunto, além de promover a interdisciplinaridade entre as duas disciplinas.
Em relação aos estágios, estes podem ser alterados dependendo da disponibilidade da turma
e do professor (a), bem como particularidades que possam estar presentes em futuras aplicações
dessa metodologia.
Nessa proposta foram utilizados recursos computacionais, os quais foram bem aceitos pelos
professores e alunos participantes do estudo, apresentando-se como uma forma visual atrativa que
pode ser explorada em sala de aula aliando teoria à prática a partir de aplicações dos Números
Complexos.
Ainda, de maneira relevante nesse trabalho, destaca-se o importante espaço de
compartilhamento de informações com outros professores da rede estadual através do GTR, cujo
propósito é de melhorar a qualidade de ensino na rede pública proporcionando aos professores a
oportunidade de aprimorar o conhecimento e efetuar troca de informações entre seus pares.
Por fim, os resultados desse estudo reforçam a necessidade de se adotar metodologias
diversificadas em sala de aula a partir de ferramentas didática complementares como a aqui
proposta, que nesse trabalho, mostrou-se promissora e que pode ser explorada pelo professor (a), a
fim de despertar no aluno o interesse na Matemática e o desejo de querer explorá-la e compreendê-
la.
Agradecimentos
Os autores agradecem a Secretaria do Estado de Educação do Paraná pelo incentivo à
capacitação através do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), à Direção do Colégio
Estadual do Paraná e os professores participantes do estudo, pelo apoio, incentivo e colaboração na
aplicação do Projeto e a Universidade Federal do Paraná pela infraestrutura e apoio no
desenvolvimento desse trabalho de pesquisa.
Apenas como registro, o primeiro autor agradece de forma especial as orientações dadas
pelo Professor Doutor Roberto Pettres nessa versão do PDE (2016–2017) e pela importante
contribuição na realização desse trabalho.
Referências
ARAÚJO, N. B. F. Números complexos: uma proposta de mudança metodológica para uma aprendizagem significativa no ensino médio. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Rio Grande do Norte, 2006.
BARROS, A. L. C. Números Complexos no Ensino Médio. Dissertação de Mestrado – Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica, Rio de Janeiro, 2014.
BARROSO, J. M. Conexões com a Matemática. Editora Moderna:São Paulo, 2010.
BASTOS, L. M. Números complexos e Geogebra. Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual Paulista, São Paulo, 2013.
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. Editora Moderna: São Paulo, 2003.
BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. SP: Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.
BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.Parâmetros Curriculares Nacionais Mais Ensino Médio : Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN+. Brasília: MEC, 2002.
BRASIL. Constituição da República Federativa do Brasil: promulgada em 5 de outubro de 1988 - Decreto nº 6.300, de 12 de dezembro de 2007. Disponível em: <http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2007-2010/2007/Decreto/D6300.htm>. Acesso em: 13 mai. 2016.
FONSECA, J. J. S. Metodologia da pesquisa científica. Apostila, UEC, Fortaleza, 2002.
IGM. (2009). Aplicações de Números Complexos na Engenharia Elétrica. Disponível em:<http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=130%3Aaplicacoesee&catid=38%AConteudosfvc&Itemid=11> Acesso em: 05 nov. 2016.
LOPES, M.V.O.; SILVA, V.M.; ARAÙJO, T. L. Desenvolvimento lógico-matemático do aplicativo “ND”. Revista Latino-americana de Enfermagem, V. 12, N.1, pp 92-100, 2004.
MACEDO, L. Ensaios construtivistas. Pearson, São Paulo, 1994.
MENDES, R. S. Teoria dos números complexos com aplicações nos campos das geometrias plana e analítica. Dissertação e Mestrado Profissional em Rede Nacional do Departamento de Matemática, Universidade Federal do Maranhão, São Luis, 2017.
MUSSOI, Fernando Luiz Rosa. Sinais Senoidais: Tensão e correntes alternadas. Professor do Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina. Março de 2006.
NEVES, R. C. Aplicações de Números Complexos em Geometria. Dissertação Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Instituto Nacional de Matemática Pura, Rio de Janeiro, 2014.
PETTRES, R.; JAREK, A.; LACERDA, L. A. Aplicativo para o diagnóstico subsuperficial de estruturas baseado em imagens térmicas e redes neurais artificiais. Learning and Nonlinear Models (L&NLM) – Journal of the Brazilian Neural Network Society, V. 9, pp. 185-201, 2011.
PETTRES, R.; LACERDA, L. A. Numerical analysis of an advective diffusion domain coupled with a diffusive heat source. Engineering Analysis with Boundary Elements, V. 84, pp 129-140, 2017.
ROQUE, Tatiana. História da Matemática – Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. RJ: Editora Zahar Ltda., 2012.
SOUZA, J. R. Novo Olhar Matemática. Editora FTD: São Paulo, 2010.
TAN, S. T. Matemática aplicada a administração e economia – Trad. 9ª ed., Cengage Learning, São Paulo, 2014.
TRINDADE, R. M. P. Uma fundamentação matemática para processamento digital de sinais intervalares. Tese de doutorado em Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2009.
Anexo 1
A1.1 Números Complexos: Teoria e Histórico
Dentre os principais estudiosos de equações polinômiais estão Niccolló Fontana Tartaglia
(Bréscia-Itália, 1500-1557), Girolamo Cardano (Pavia-Itália,1501-1576) e Rafael Bombelli
(Bolonha-Itália, 1526-1576).
Niccolló Tartaglia e Girolamo Cardano têm seus nomes ligados à resolução das equações
cúbicas e quárticas (polinômios genéricos de 3.o e 4.o graus). A partir dessa resolução, os Números
Complexos surgiram na Matemática.
Para a época, os matemáticos ainda contornavam os problemas relacionados com raízes
quadradas negativas, afirmando que a equação (1),
x2 + 4=0 (1)
não possuía solução, logo, as equações do segundo grau, cuja raiz fosse negativa, eram ditas como
sem solução.
No livro intitulado História da Matemática – uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas,
está presente a passagem:… as raízes negativas e imaginárias de equações eram consideradas quantidades irreais. ...
Todos os nomes utilizados para designar esses números exprimem a dificuldade de admitir
sua existência ou, melhor dizendo, ... quantidades “falsas”, “fictícias”, “impossíveis” ou
“imaginárias”, para os números negativos e complexos. Isso mostra que eles, além de não
possuírem uma cidadania, não eram, em última instância, sequer admitidos como números
(ROQUE, 2012, p 256).
Contudo, esse fato mudou com o desenvolvimento de uma fórmula para a resolução de
equações cúbicas do tipo x 3 + ax + b = 0 , publicada na obra Ars Magna de Cardano.
Ainda no livro História da Matemática – uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas,
apresenta uma passagem, referindo-se à equação de Cardano:A publicação da fórmula que permite determinar o conjunto-solução de equações cúbicas ocorreu em 1545, na obra Ars Magna, do matemático Girolamo Cardano, na qual o autor faz referência a um novo tipo de número, que denominou “quantidade fictícia”. Tais quantidades eram na realidade raízes quadradas de números negativos, hoje tratados como números imaginários (SOUZA, 2010, p 228).
O modelo matemático idealizado e publicado por Cardano (1545) é dada pela equação (2):
(2)
Mesmo que o resultado das raízes de uma equação do terceiro grau sejam números reais
diferentes de zero, a fórmula idealizada por Niccolló Tartaglia e Girolamo Cardano acaba
envolvendo raízes quadradas de números negativos.
Por exemplo, a equação (3) possui uma única raiz positiva x = 4.
x 3 - 15x – 4 = 0 (3)
Entretanto, a resolução de Cardano para essa equação leva à expressão
, o que passou a preocupar os algebristas de como
relacionar a raiz cúbica, através da fórmula de Tartaglia e Cardano, com a raiz obtida por outros
métodos.
Por um tempo, as raízes de números negativos deixaram de chamar atenção e permaneceram
esquecidas até o fim do século XVII, quando o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz
(Leipzig-Alemanha,1646-1716) acabou fatorando a expressão representada pela equação (4) em:
x4 + a4 (4)
cuja resolução é , isto é, o produto de
quatro números complexos.
Já em 1777, Leonhard Euler (Basileia–Suíça, 1707-1783) introduziu a notação i para
representar − 1, a partir daí, os Números Complexos passaram a serem escritos na notação que é
utilizada hoje, a + bi.
Com o surgimento da álgebra abstrata (século XIX), o matemático William Rown Hamilton
(Dublin-Irlanda, 1805-1865) fez com que o conjunto dos Números Complexos ganhassem uma
estruturação algébrica formal, considerando um Número Complexo z = a + bi como um par
ordenado de números reais. Coube ainda a Hamilton a definição das operações de adição e
multiplicação, obedecendo aos princípios:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) e (5) (a,b) . (c,d) = (a c - b d , a d + b c)
Ainda com a colaboração de Hamilton, os complexos passaram a serem definidos como
vetores do plano.
3 32 121 2 121x = + − + − −
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x a x a x a x a+ − − − + − − − − −
A1.2 Conjunto dos Números Complexos
O conjunto dos Números Complexos contém o conjunto dos Números Reais e Irracionais,ou
seja, { ( N Z Q ) ( I ) } = R R C, que também pode ser representado pelo diagrama⊂ ⊂ ∪ ⇒ ⊂
apresentado pela Figura 01, como segue:
Figura 01 - Conjunto dos Números Complexos.
A forma algébrica dos Números Complexos é dada por z = a + bi, onde a e b são números
reais e i representa a unidade imaginária, sendo a parte real Re(z) = a e a parte imaginária Im(z) = b
satisfazendo a condição i 2 = -1 (BIANCHINI, 2003).
Esse par ordenado pode ser representado no plano cartesiano, cuja representação
corresponde a um único ponto denominado de afixo e o Número Complexo z = a + bi é associado a
um único vetor, com extremidades na origem e na intersecção do par ordenado. O ponto formado
pela intersecção é denominado de imagem de z (BARROSO, 2010).
Assim, para sua representação gráfica, tem-se que, no eixo das abscissas a representação da
parte real, no eixo das ordenadas, a parte imaginária, como ilustrado na Figura 02.
Figura 02 – Representação de Número Complexo – Plano de Argand-Gauss
Na Figura 02, Ox é a representação do eixo Real, Oy é a representação do eixo Imaginário, P
é o afixo ou imagem geométrica de z e θ é o argumento.
A1.3 Conjugado de um Números Complexos
O conjugado de um Número Complexo z = a + bi será indicado por z, e será representado
por z = a – bi; observa-se que para obter z trocou-se o sinal da parte imaginária.
A1.4 Operações com Números Complexos
Os cálculos envolvendo Números Complexos apresentam as seguintes características:
a) “Na adição de dois Números Complexos, adicionamos separadamente as partes reais e as partes
imaginárias” (SOUZA, 2010, p 233).
Sejam os valores z 1 = a + bi e z 2 = c + di, tem-se:
z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i
b) Para subtração adota-se o mesmo procedimento, separando as partes reais e as partes imaginárias,
subtraindo-as.
Sejam os valores z 1 = a + bi e z 2 = c + di, tem-se:
z 1 - z 2 = (a - c) + (b – d)i
c) Na multiplicação de Números Complexos é aplicada a propriedade distributiva e agrupam-se os
termos das partes reais e os das partes imaginárias e, considerando-se i 2 = -1, tem-se:
z 1 . z 2 = (a + bi) . (c + di)
z 1 . z 2 = ac + adi + bic + bdi 2
z 1 . z 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
d) Na operação de divisão, o quociente entre dois Números Complexos z 1 e z 2 , com o valor de z2 ǂ
0, pode ser determinado multiplicando-se o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor; logo:
Se: z 1 = a + bi e z 2 = c + di
z 1 = z 1 . z 2 = (a + bi) (c – di) = ( ac – adi + bic – bdi 2 ) = (ac + bd) + (bc–ad)i
z 2 z 2 . z 2 (c + di) (c – di) (c 2 – cdi + cdi – d 2 i 2 ) ( c 2 + d 2 ) e) A potenciação de um Número Complexo z com expoentes inteiros é definida de modo
semelhante aos das potências de base real, sabendo-se de que i2 = -1, pode-se calcular os valores de
in, com n ε N. Observa-se que existem apenas quatro valores para todas as potências de i com
expoentes inteiros.
i 0 = 1 i 4 = 1 i 8 = 1
i 1 = i i 5 = i i 9 = i
i 2 = -1 i 6 = -1 i 10 = -1
i 3 = - i i 7 = - i i 11 = - i
É possível verificar que os valores de i n repetem-se de 4 em 4 termos, assim, para
determinar outros valores de i n deve-se dividi-los por quatro para a sua determinação, como segue:
Exemplo:
i107 = i3 = - i107 4- 08 26 27 - 24 3
resto
A1.5 Módulo de um Número Complexo
O módulo ou comprimento de um Número Complexo P = (a,b) é o Número Real, obtido
pela equação (6) ,
(6)
cuja representação geométrica corresponde ao valor da distância da origem ao ponto P (a,b),
representado na Figura 03.
Figura 03 – Representação geométrica do Módulo de z.
Exemplo: Calcular o módulo do número z = 3 + 4i
cuja representação geométrica será:
2 2| |z a bρ = = +
| | 5z =| | 25z =| | 9 16z = +2 2| | 3 4z = +2 2| |z a bρ = = +
Figura 04 – Representação geométrica do Módulo de z.
A1.6 Argumento de um Número Complexo
Argumento θ de um Número Complexo z não nulo representa a medida do ângulo formado
entre o eixo das abscissas e a reta formada entre a origem e a intersecção de um par ordenado P(a,b)
no sentido anti-horário, conforme representação na Figura 02.
Esse argumento pertencente ao intervalo [0, 2 π ] e é definido por:
Os valores de ρ e de θ são as coordenadas polares do ponto P(a,b) que determinam a
posição do ponto no plano.
Exemplo: Determinar o argumento do complexo z = 2 +2 √3i
logo:
.. be senθρ
=
4 (4.3)ρ = +
cos aθρ
=
: cos aonde θρ
=
2cos4
θ = 1cos2
θ =
arg( )zθ =
bsenθρ
=
2 22 (2 3)ρ = +
2 34
senθ = 32
senθ =3
radπθ = .. 60ou θ = °
4ρ =16ρ =
A1.7 Forma trigonométrica
Considerando-se um número complexo não nulo, representado por z = a + bi, e sendo os
valores de a e b reais, cujo módulo é representado por ρ e o argumento θ , pode-se obter a forma
trigonométrica ou polar conforme desenvolvimento a seguir:
Substituindo os valores de a e b na expressão z = a + bi, obtém-se:
Exemplo: Determinar o módulo, o argumento, a representação trigonométrica e a representação no
plano de Argand-Gauss para o complexo z = 2 + 2i .
Na Figura 05 observa-se a representação do complexo z = 2 + 2i no plano de Argand-Gauss,
inserido em um ciclo trigonométrico, através do qual pode ser visualizada a defasagem da sua onda.
Figura 05 – Representação geométrica da solução.
cos aθρ
=
(cos s )z i enρ θ θ⇒ = +
2 2a bρ = +
cos sz i enρ θ ρ θ= +
bsenθρ
= sb enρ θ⇒ =cosa ρ θ⇒ =
2 22 2ρ = +
45θ = °
4 4ρ = +
2 2(cos 45 45 )z isen= ° + °
8ρ =
2 2 cos 45 2 2 s 45z i en= ° + °
2 2ρ =
cos sz i enρ θ ρ θ= +
2,83ρ ;
22
senθ =
cos aθρ
=
12
senθ =
2cos2 2
θ =
22 2
senθ =
1cos2
θ =
bsenθρ
=
2cos2
θ =
Anexo 2
Geogebra e Multisim: prática com os Números Complexos:
No segundo e terceiro estágios foram apresentados os aplicativos Geogebra e Multisim, cuja
finalidade era de utilizá-los como forma de demonstrar aplicações dos Números Complexos na área
de elétrica.
A2.1 O aplicativo Geogebra pode ser obtido a partir do endereço eletrônico
https://www.geogebra.org/?lang=pt_BR. Esse aplicativo foi criado pelo professor Dr. Markus
Hohenwarter da Flórida Atlantic University e possui recursos de Geometria, Álgebra e Cálculo.
Para a capacitação realizada, sugeriu-se uma apostila disponível no endereço eletrônico
http://www.bento.ifrs.edu.br/site/midias/arquivos/20121030155956743apostila_minicurso_geoegra.pdf,
fornecida pelo Instituto Federal do Rio Grande do Sul.
No Geogebra foram construídas rotinas para representação geométrica e algébrica dos
Números Complexos, exemplificada no Figura 06, utilizando-se o Geogebra para o número
complexo z1 = 2 + 2i.
Figura 06 – Representação do Número Complexo – Plano de Argand-Gauss – Geogebra.
Para apresentar os Números Complexos aos professores, montou-se uma rotina no
Geogebra, na qual os alunos poderiam colocar a forma retangular de um Número Complexo e o
aplicativo calcularia o módulo, o argumento e a sua representação no Plano de Argand-Gauss, o que
serviria como reforço ao conteúdo dado em sala de aula (Figura 07).
Figura 07 – Representação do Número Complexo (Retangular / Polar) – Plano de Argand-Gauss – utilizando recursos do Geogebra.
Na última etapa desse estágio foram desenvolvidas atividades com o aplicativo Multisim,
com apoio de uma apostila confeccionada pela Universidade Federal de Uberlândia, disponível no
link http://www.alan.eng.br/arquivos/multisim_analogica.pdf, bem como com o uso do tutorial que
explica como realizar a montagem e simulação de um circuito eletrônico no link
http://pld.lesc.ufc.br/laboratorio/fileserver/Pratica_05_-_Simulacao_ Usando_Multisim.pdf .
Nesta etapa, também através de slides, foram apresentados alguns exercícios envolvendo
circuitos compostos por resistores, indutores e capacitores, denominados de Circuitos RLC
explicando a relação que existe entre essas associações e os Números Complexos, bem como o
cálculo da associação entre resistores, capacitores e indutores, no qual identificou-se a parte real e a
parte imaginária positiva e negativa dos circuitos, ilustradas na Figuras 08 e 09.
Figura 08 – Circuitos RLC (Associação Paralela / Associação Série).
Janela de Visualização
Figura 09 – Representação de uma onda com Resistência – Indutor e Capacitor.
Após explicações básicas envolvendo os tipos de associações e as representações de
defasagem entre os componentes, passou-se a utilizar o Multisim para efetuar as associações
verificando as tensões e formas de onda ocasionadas pela defasagem, como observa-se na Figura
10.
A corrente numa resistência está em fase em relação à tensão aos seus terminais.
A corrente no indutor está em atraso 90o em relação à tensão aos seus terminais.
A corrente no capacitor está avançada 90o em relação à tensão aos seus terminais.
Figura 10 - Circuito RL (Série Resistor – Indutor).
Figura 10 – Sinais obtidos no circuito RL (Resistor – Indutor), a esquerda medições registradas nos multímetros, acima forma de ondas obtidas no osciloscópio relativas aos componentes (R-L).
Como a disciplina de Física trabalha com a associação de resistores, indutores e capacitores
no terceiro ano, pode ser feita uma parceria com os professores, aprofundando mais o assunto,
inclusive facilitar-se-á a demonstração da defasagem que os componentes ocasionam no circuito.
Supondo que o complexo z = 2 + 2i pudesse ser representado diretamente em uma
associação (circuito) conforme Figura 11, onde a parte real é o resistor: 2 Ω e a imaginária o
indutor: 2H, pode ser vista a defasagem entre os dois sem a necessidade da aquisição de
equipamentos caros como um osciloscópio (Figura 12).
Figura 11 - Circuito RL (Série Resistor – Indutor).
Figura 12 – Sinais obtidos no circuito RL (Resistor – Indutor ) - defasagem entre componentes.
Na Figura 11 é apresentado um circuito RL onde está sendo medida a forma de onda de cada
componente (resistivo e indutivo), já na Figura 12 pose observar a forma de onda defasada por cada
componente, sendo que a onda de maior amplitude (indutor) está defasada de 90o em relação a onda
de menor amplitude (resistor).
Recommended
