UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA - PROFMAT
RONDINELI SCHULTHAIS LEITE
O ENSINO DE PARTE DA GEOMETRIA DO ENSINO
FUNDAMENTAL: ANÁLISE DE DIFICULDADES E
SUGESTÃO DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA
VITÓRIA
2013
RONDINELI SCHULTHAIS LEITE
O ENSINO DE PARTE DA GEOMETRIA DO ENSINO
FUNDAMENTAL: ANÁLISE DE DIFICULDADES E
SUGESTÃO DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Dissertação apresentada ao programa de
pós-graduação da Universidade Federal
do Espírito Santo – Mestrado profissional
em Matemática, como requisito parcial
para a obtenção do título de Mestre.
Orientador: Prof. Dr. Moacir Rosado Filho.
VITÓRIA
2013
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)
Leite, Rondineli Schulthais, 1980- L533e O ensino de parte da geometria do ensino fundamental : análise de
dificuldades e sugestão de sequência didática / Rondineli Schulthais Leite. – 2013.
147 f. : il. Orientador: Moacir Rosado Filho. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal do
Espírito Santo, Centro de Ciências Exatas. 1. Geometria - Estudo e ensino. 2. Sequências (Matemática). 3. Ensino. 4.
Aprendizagem. 5. GeoGebra (Software). I. Rosado Filho, Moacir, 1963-. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Ciências Exatas. III. Título.
CDU: 51
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por ter me dado saúde e força na realização deste
sonho.
A minha família, pelo incentivo nos momentos de dificuldades e compreensão
nos momentos em que não lhes dei a atenção que mereciam.
Ao meu Orientador, Professor Doutor Moacir Rosado Filho, que sempre se
mostrou disposto a contribuir e a apoiar tanto nas disciplinas que ministrou quanto
na orientação deste trabalho.
Aos demais professores da UFES participantes do corpo docente do
PROFMAT: Etereldes, Fábio, Florêncio e Valmecir que compartilharam seus
variados conhecimentos nesses dois anos de trabalho conjunto.
Aos amigos de curso da UFES, que compartilharam momentos de alegrias e
dificuldades nesta árdua, mas gratificante caminhada.
Aos colegas do blog nacional, que ajudaram a elucidar muitas dúvidas nos
momentos de intensa dedicação.
Aos alunos e professores que se prontificaram a participar da pesquisa
inserida neste trabalho.
A todos que fizeram acontecer o PROFMAT, possibilitando a realização deste
sonho que parecia ser tão distante e utópico.
“Para isto existem as escolas: não para
ensinar as respostas, mas para ensinar
as perguntas. As respostas nos permitem
andar sobre terra firme. Mas somente as
perguntas nos permitem andar pelo mar
desconhecido”
Rubem Alves.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURAS
Figura 1- Registro da resposta da questão 2 do aluno I 39
Figura 2 - Registro da resposta da questão 2 do aluno II
39
Figura 3 - Registro da resposta da questão 2 do aluno III
39
Figura 4 - Registro da resposta da questão 3 do aluno III
40
Figura 5 - Registro da resposta da questão 3 do aluno IV
40
Figura 6 - Registro da resposta da questão 4 do aluno V
41
Figura 7 - Registro da resposta da questão 7 do aluno VI
43
Figura 8 - Registro da resposta da questão 10 do aluno III
45
Figura 9 - Registro da resposta da questão 13 do aluno VII
47
Figura 10 - Registro da resposta da questão 13 do aluno VIII
48
Figura 11 - Registro da resposta da questão 14 do aluno IX
49
Figura 12 - Registro do comentário do aluno X
49
Figura 13 - Registro do comentário do aluno XI
50
Figura 14 - Registro do comentário do aluno XII
50
Figura 15 - Registro do comentário do aluno XIII
50
Figura 16 - Registro do comentário do aluno XIV
50
Figura 17 - Registro do comentário do aluno XV
51
Figura 18 - Registro do comentário do aluno XVI
51
Figura 19 - Registro do comentário do aluno XVII
51
Figura 20 - Registro da resposta do professor C sobre a questão 4
65
Figura 21 - Registro da resposta do professor D sobre a questão 5
66
Figura 22 - Registro da resposta do professor E sobre a questão 5
66
Figura 23 - Registro da resposta do professor F sobre a questão 5
66
Figura 24 - Registro da resposta do professor G sobre a questão 5
66
Figura 25 - Registro da resposta do professor G sobre a questão 10
67
Figura 26 - Registro da resposta do professor F sobre a questão 10
68
Figura 27 - Registro da resposta do professor H sobre a questão 10
68
Figura 28 - Registro da resposta do professor I sobre a questão 13
69
Figura 29 - Registro da resposta do professor I sobre a questão 16
70
Figura 30 - Arquivo Teorema de Tales
86
Figura 31 - Arquivo Teorema de Tales (Congruência de segmentos)
86
Figura 32 - Arquivo Teorema de Tales, após manipulação
87
Figura 33 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales(passo 1)
90
Figura 34 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales(passo 2)
91
Figura 35 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales(passo 3)
93
Figura 36 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales(passo 4)
94
Figura 37 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales por áreas
95
Figura 38 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 1)
97
Figura 39 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 1), após manipulação
98
Figura 40 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 2)
100
Figura 41 - Arquivo Exercício 1 (Semelhança de triângulos)
103
Figura 42 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 3)
104
Figura 43 - Redução e ampliação no arquivo Semelhança de triângulos (Parte 3)
105
Figura 44 - Arquivo Exercício 2 (Semelhança de triângulos)
107
Figura 45 - Demonstrando a semelhança de triângulos (I)
108
Figura 46 - Demonstrando a semelhança de triângulos (II)
109
Figura 47 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 1)
110
Figura 48 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 1), após Manipulação
111
Figura 49 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 2)
113
Figura 50 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 3)
117
Figura 51 - Arquivo Teorema de Pitágoras
123
Figura 52 - Arquivo Teorema de Pitágoras (Quebra-cabeça)
126
Figura 53 - Deslocamento das peças no arquivo Teorema de Pitágoras (Quebra-cabeça)
127
Figura 54 - Atividade concluída do arquivo Teorema de Pitágoras (Quebra-cabeça)
127
Figura 55 - Demonstração do teorema de Pitágoras I
128
Figura 56 - Demonstração do teorema de Pitágoras II
129
Figura 57 - Demonstração do teorema de Pitágoras (caso particular)
130
Figura 58 - Atividade do arquivo Trigonometria
132
Figura 59 - Manipulação do ponto E no arquivo Trigonometria
132
Figura 60 - Manipulação do ponto C no arquivo Trigonometria
133
Figura 61 - Arquivo Exercício 1 (trigonometria)
135
Figura 62 - Manipulação do arquivo Exercício 1 (trigonometria)
137
GRÁFICOS
Gráfico 1 - Formação geométrica do professor em nível superior 53 Gráfico 2 - Formação geométrica do professor após curso superior
54
Gráfico 3 - Visão do professor sobre o conhecimento geométrico dos alunos
54
Gráfico 4 - Visão do professor sobre as dificuldades dos alunos no aprendizado da geometria
55
Gráfico 5 - A atuação do professor ao ensinar geometria 56 Gráfico 6 - Momento do ano que o professor trabalha geometria
56
Gráfico 7 - Conteúdos ministrados para a última turma de nono ano 57
Gráfico 8 - Compreensão do professor sobre as relações métricas no triângulo retângulo 63 Gráfico 9 - Compreensão do professor sobre os casos de semelhança de triângulos
64
Gráfico 10 - Compreensão do professor sobre a definição de semelhança de triângulos 65 Gráfico 11 - Conhecimento do professor quanto à demonstração das relações métricas no triângulo retângulo 67 Gráfico 12 - Conhecimento do professor quanto à demonstração do Teorema de Pitágoras 68 Gráfico 13 - Conhecimento do professor quanto à construção da tabela de ângulos notáveis 69 Gráfico 14 - Compreensão sobre a utilização de recursos diferenciados nas aulas de geometria 71 Gráfico 15 - Recursos diferenciados utilizados pelos professores nas aulas de geometria 72
QUADROS Quadro 1 - Níveis de competências geométricas de alunos de nono ano 73 Quadro 2 - Porcentagem de alunos por nível de Proficiência em Matemática dos alunos de 8ª série / 9º ano do ensino fundamental em todo Brasil. – (Prova Brasil 2011)
74 Quadro 3 - Grade curricular de um curso de Administração 77 Quadro 4 - Grade curricular de um curso de complementação pedagógica em matemática 78 Quadro 5 - Construção das proporcionalidades em triângulos retângulos
114
Quadro 6 - Construção das proporcionalidades com dados do triângulo da figura 49 114 Quadro 7 - Destaque da proporcionalidade que determina a altura h
115
Quadro 8 - Destaque da proporcionalidade que determina o cateto c
115
Quadro 9 - Destaque da proporcionalidade que determina o cateto b
115
Quadro 10 - Construção das proporcionalidades em triângulos retângulos
118
Quadro 11 - Construção das proporcionalidades com dados do triângulo da figura 50
118
Quadro 12 - Principais relações métricas no triângulo retângulo
119
Quadro 13 - Destaque da proporção que determina a relação a . h = b . c
119
Quadro 14 - Destaque da proporção que determina a relação h2 = m . n
119
Quadro 15 - Destaque da proporção que determina a relação c2 = a . m
120
Quadro 16 - Destaque da proporção que determina a relação b2 = a . n
120
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Distribuição das escolas de origem dos alunos participantes da pesquisa 35
Tabela 2 - Percepção dos alunos sobre a importância do ensino da matemática. 36 Tabela 3 - Percepção dos alunos acerca dos conteúdos geométricos estudados no nono ano do ensino fundamental 36
Tabela 4 - O reconhecimento do ângulo reto e do número π 38 Tabela 5 - A compreensão da definição de quadrado 39 Tabela 6 - A utilização prática do paralelepípedo e sua forma tridimensional 41 Tabela 7 - O cálculo da área de uma região retangular 42 Tabela 8 - A identificação de polígonos 42 Tabela 9 - Resultado sobre o cálculo com conversão de unidade de comprimento e com número de diagonais de um polígono 43 Tabela 10 - A percepção da semelhança de triângulos 44 Tabela 11 - Resultado sobre o cálculo utilizando semelhança de triângulos 45 Tabela 12 - Resultado sobre o cálculo utilizando relações métricas no triângulo retângulo 46 Tabela 13 - Resultado sobre o cálculo utilizando o Teorema de Pitágoras 47 Tabela 14 - Resultado sobre o cálculo utilizando Trigonometria 48 Tabela 15 - Conteúdos geométricos de nono ano trabalhados pelos professores 58 Tabela 16 - A condução do professor ao ensinar o Teorema de Tales 59 Tabela 17 - A condução do professor ao ensinar a semelhança de triângulos 60 Tabela 18 - A condução do professor ao ensinar as relações métricas no triângulo retângulo 61 Tabela 19 - A condução do professor ao ensinar o Teorema de Pitágoras 62 Tabela 20 - A condução do professor ao ensinar trigonometria 62 Tabela 21 - Resultado sobre questão de semelhança respondida por professores de matemática
70
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo construir um aprendizado sistemático e eficaz de parte dos mais importantes conceitos geométricos do nono ano do ensino fundamental, utilizando o software GeoGebra como instrumento inovador na construção de uma sequência didática que contribua de forma significativa na compreensão dos conteúdos geométricos. São eles: semelhança de triângulos, teorema de Tales, relações métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e trigonometria. Deseja-se que estes conteúdos sejam trabalhados de forma harmoniosa, diferentemente da prática comum que organiza estes assuntos em tópicos como se não houvesse interligação entre seus conceitos. Realizamos pesquisas investigativas com alunos e professores no intuito de observar as principais dificuldades dos estudantes no aprendizado da geometria do nono ano e de verificar possíveis equívocos realizados no processo de ensino-aprendizagem desses conceitos geométricos. Em posse dos resultados da pesquisa, iniciamos a construção da sequência didática, buscando desobstruir os principais obstáculos observados na condução desses conteúdos, favorecendo o aprendizado organizado com orientação do professor, mas construído pelo próprio aluno. Para isso, produzimos cinco atividades de aspecto exclusivamente introdutório desses assuntos, organizadas em roteiros de trabalho de tal forma a conduzir os alunos ao aprendizado gradual e consistente por meio de manipulações realizadas no software GeoGebra. A avaliação desta sugestão de sequência didática se faz importante, merecendo estudos posteriores que a verifique como instrumento metodológico eficaz na condução do ensino desses conteúdos geométricos.
Palavras-Chave: Ensino-aprendizagem. GeoGebra. Geometria. Nono ano.
Sequência didática.
ABSTRACT
This paper aims to build an effective and systematic learning of the most important geometric concepts of the ninth year of elementary school, using the software GeoGebra as an innovative tool in building a didactic sequence that contributes significantly to the understanding of the geometric content. They are: similarity of triangles, Tales theorem, metric relations in the rectangle-triangle, trigonometry and the Pythagorean theorem. It is hoped that these contents are worked harmoniously, unlike the common practice that organizes these issues on topics as if there was no connection between their concepts. We conducted an investigative research with students and teachers in order to observe the main problems students have in learning geometry in ninth grade, and check possible mistakes made in the teaching and learning process of these geometrical concepts. In possession of the search results, we started the didactic sequence construction, seeking to unclog the main obstacles observed in the leading of these contents, favoring organized learning with teacher's guidance, but constructed by the student. For this, we produced five activities in an introductory aspect, exclusively, of these issues, organized in labor routings so to lead students onto a gradual and consistent learning through manipulations performed in the software GeoGebra. The evaluation of this suggestion of didactic sequence becomes important and deserves further studies to verify how effective it is as a tool in the conducting of teaching these geometric contents. Keywords: Teaching and learning. GeoGebra. Geometry. Ninth year. Didactic sequence.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................... 15
CAPÍTULO 1 - ORIGEM E DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA ............................ 18
CAPÍTULO 2 - ASPECTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA...................... 27
2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS........................................... 28
2.2 NATUREZA DA PESQUISA INVESTIGATIVA....................................
29
2.3 ESCOLHA DO SOFTWARE GEOGEBRA..........................................
31
CAPÍTULO 3 - PESQUISA INVESTIGATIVA COM ALUNOS E PROFESSORES ................................................................................................. 33
3.1 PESQUISA I: ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO... 34
3.1.1 Aspectos gerais ............................................................................... 34
3.1.2 Visão dos alunos ............................................................................. 35
3.1.3 Questões gerais de geometria ........................................................ 38
3.1.4 Questões geométricas específicas de nono ano ............................ 44
3.1.5 Observações finais ..........................................................................
49
3.2 - PESQUISA II: PROFESSORES DE MATEMÁTICA DO NONO ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL.......................................................... 52
3.2.1 Aspectos gerais ............................................................................... 52
3.2.2 Formação e visão dos professores ................................................. 53
3.2.3 Condução dos conhecimentos geométricos do nono ano ............... 56
3.2.4 Conhecimento geométrico do professor........................................... 63
3.2.5 Opiniões e atitudes do professor de matemática sobre o trabalho em sala de aula .......................................................................... 71
3.3 ANÁLISE GERAL DAS PESQUISAS................................................... 72
CAPÍTULO 4 - PROPOSTA DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA .................................. 79
4.1 OBJETIVOS......................................................................................... 80
4.2 PÚBLICO ALVO.................................................................................. 81
4.3 PRÉ-REQUISITOS.............................................................................. 81
4.4 MATERIAIS E TECNOLOGIAS........................................................... 82
4.5 RECOMENDAÇÕES METODOLÓGICAS.......................................... 82
4.6 DIFICULDADES PREVISTAS............................................................. 83
4.7 DESCRIÇÃO GERAL DAS ATIVIDADES PROPOSTAS.................... 85
4.7.1 Atividade 1: Teorema de Tales......................................................... 85
4.7.2 Atividade 2: Semelhança de triângulos............................................ 96
4.7.3 Atividade 3: Relações métricas no triângulo retângulo .................... 109
4.7.4 Atividade 4: Teorema de Pitágoras ................................................. 123
4.7.5 Atividade 5: Trigonometria no triângulo retângulo............................ 131
4.8 POSSÍVEIS CONTINUAÇÕES E DESDOBRAMENTOS....................
138
CAPÍTULO 5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................
139
REFERÊNCIAS ...................................................................................................
144
15
INTRODUÇÃO
A insuficiência de políticas educacionais, que fortaleceriam o estudo da
matemática através de novos recursos metodológicos e que possibilitariam a
formação adequada dos professores, inibe o desenvolvimento efetivo do ensino-
aprendizagem dessa disciplina em nossas salas de aula. O professor de
matemática precisa, por sua importância como agente indispensável na evolução
tecnológica e social de um país, atuar de forma qualificada. É necessário que ele
desempenhe suas atribuições adequadamente, favorecendo a disseminação do
conhecimento matemático em toda a sociedade. Dessa forma, ele semeia melhorias
na qualidade do ensino da matemática, por meio de uma exigência constante do
aperfeiçoamento da prática educativa que, consequentemente, refletirá na melhoria
do processo ensino-aprendizagem como um todo e para todos.
A matemática ainda é vista por considerável parte dos estudantes como algo
obscuro e incompreensível. Assim, é imprescindível rompermos com essa
representatividade. Para tal, há estudos acerca das novas metodologias aplicadas
em sala, como é o caso da contextualização prática dos conteúdos, da utilização de
recursos tecnológicos e do manuseio de material concreto, buscando identificar
como esses instrumentos podem ser aplicados de forma útil no aprendizado.
Sabemos da necessidade da busca de novas metodologias e ferramentas no
auxílio da aprendizagem, tendo em vista as dificuldades encontradas pelos alunos.
Alguns materiais já são usados pelos professores, como vídeos, livros, calculadoras,
softwares, que colaboram nesse processo. Motivação é a palavra chave para a
aprendizagem, já que a matemática pode ser bem mais prazerosa com a aplicação
de atividades diferenciadas e com a utilização de recursos associados ao cotidiano.
Para os alunos com maiores dificuldades no aprendizado matemático, a inclusão de
ferramentas, como recursos computacionais e material concreto, propicia uma
situação favorável ao interesse pela matemática e, consequentemente, sua
aprendizagem.
Um dos conteúdos com maiores possibilidades de abordagem diferenciada,
devido ao seu caráter prático, já que faz parte do contexto visual do estudante, é o
geométrico, mas que contraditoriamente é explorado de forma inadequada, sendo
16
trabalhado com poucos métodos diferentes do quadro e caderno. Aqui nasce o
objeto de nosso estudo, que estará diretamente relacionado ao ensino da geometria,
mas com especial direcionamento a uma fração dos conteúdos destinados ao nono
ano que, tradicionalmente, é a série da educação fundamental em que consta a
maior parte dos principais conteúdos geométricos.
É nosso anseio visualizar de que forma ocorre o processo de ensino-
aprendizagem da geometria de nono ano, construindo uma discussão sobre as
carências de seu ensino, identificando fatores que possam influenciar a sua
abordagem restrita ou inadequada. Almejamos assim, verificar os possíveis motivos
que limitem professores de matemática a trabalharem este conteúdo com mais
naturalidade em sala, analisando as deficiências que existem na condução desses
conceitos, no intuito de identificar novas ações que contribuam para a correção de
problemas.
Após a análise da situação do ensino da geometria do nono ano, iremos
propor uma sequência didática que conduzirá a apresentação de alguns conceitos
geométricos importantes e necessários para o conhecimento de alunos finalistas do
ensino fundamental. A seguir, relataremos a construção de nosso trabalho
distribuído em quatro capítulos.
No capítulo 1, construiremos nosso aporte teórico sobre o ensino da
geometria. Abordaremos e justificaremos o nosso problema de estudo, que possui
origem por meio da observação de nossa prática educacional diária como professor
de matemática, tendo por finalidade favorecer a melhoria do processo ensino-
aprendizagem da geometria do nono ano do ensino fundamental. Com esse intuito,
faremos uma pré-análise, elaborando questionamentos a fim de propiciar a reflexão
sobre o assunto que delinearemos, com objetivo de encontrar respostas que
possibilitem redirecionarmos o ensino da geometria do nono ano, para que ocorra de
maneira gradativa e articulada, oportunizando o real aprendizado.
No capítulo 2, detalharemos a metodologia de nosso estudo, que será
conduzida inicialmente por uma pesquisa quantitativa com alunos e professores
sobre suas percepções no processo de ensino-aprendizagem da geometria em geral
e de uma parte específica do currículo geométrico destinado ao nono ano do ensino
fundamental. A pesquisa contemplará: teorema de Tales, semelhança de triângulos,
17
relações métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e trigonometria.
Paralelamente, exporemos comentários sobre entrevistas rápidas com alguns alunos
e professores participantes da investigação, com intuito de observar detalhes
específicos sobre seus conhecimentos em geometria. Em seguida, apresentaremos
os motivos que nos levaram a utilizar o GeoGebra como instrumento metodológico
capaz de contribuir com nossa proposta de trabalho, por meio de uma sequência
didática envolvendo os conteúdos observados com o uso desse software.
A elaboração, a aplicação e a análise das pesquisas com professores e
alunos serão expostas no capítulo 3. Por intermédio de um estudo com alunos
realizaremos observações sobre as condições atuais do ensino da geometria em
uma região escolar. Analisaremos como ele ocorre na prática real, verificando se os
conteúdos destinados ao fim do ensino fundamental estão realmente sendo
ministrados e, se ministrados, de que forma sua condução ocorre.
Concomitantemente ao estudo com alunos, apresentaremos os dados e a análise da
pesquisa feita com professores de matemática, na qual investigaremos a formação e
o método de condução do ensino-aprendizagem da geometria, utilizado por eles, no
nono ano do ensino fundamental.
A proposta de sequência didática construída será exposta no capítulo 4, como
sugestão de um trabalho que apresenta parte dos conteúdos geométricos de nono
ano de forma gradual e interligada, buscando favorecer um estudo dinâmico, em que
o aluno se torna agente da construção de seu próprio conhecimento, propiciando um
aprendizado sistemático que contempla os conteúdos abordados de forma interativa
através do software GeoGebra.
Depois de expostos os procedimentos utilizados em nossa pesquisa,
construiremos a conclusão de nossos estudos por intermédio da avaliação sobre a
sequência didática apresentada e dos resultados das pesquisas feitas com os
sujeitos diretos do estudo, alunos e professores.
18
CAPÍTULO 1
ORIGEM E DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA
19
Pensar no aprendizado matemático nas salas de aulas do Brasil é pensar nas
diversas limitações que professores enfrentam na tentativa em estimular alunos a
romperem dificuldades e a desenvolverem habilidades, mesmo quando o ambiente
escolar é rodeado por violência, drogas e famílias problemáticas. Para Nóvoa (1997,
p. 27):
As situações conflitantes que os professores são obrigados a enfrentar (e resolver) apresentam características únicas, exigindo, portanto características únicas: o profissional competente possui capacidades de auto-desenvolvimento reflexivo [...] A lógica da racionalidade técnica opõe-se sempre ao desenvolvimento de uma práxis reflexiva.
Dessa forma, buscar práticas alternativas para a solução dessas situações
desafiadoras amadurece, nos profissionais da educação, a necessidade do
desenvolvimento de estudos que contribuam significativamente como instrumento
eficaz no processo de ensino-aprendizagem, instigando o interesse dos alunos
através de novas formas de condução do conteúdo matemático.
Uma prática conveniente é utilizar os saberes sociais dos estudantes nas
situações de aprendizado em sala de aula, aproveitando seus conhecimentos
prévios para construir novos aprendizados. Convergir conceitos teóricos com o
convívio dos estudantes talvez seja um importante caminho na busca de melhores
resultados. Quando o aluno visualiza em sua vida social o que estuda, nasce
naturalmente a curiosidade em compreender esses fatos que podem e devem ser
esclarecidos de forma contextualizada em sala de aula, relacionando-os com as
demandas existentes na sociedade atual, como cita os PCN’s (2000, p.78):
O tratamento contextualizado do conhecimento é o recurso que a escola tem para retirar o aluno da condição de espectador passivo. Se bem trabalhado permite que, ao longo da transposição didática, o conteúdo do ensino provoque aprendizagens significativas que mobilizem o aluno e estabeleçam entre ele e o objeto do conhecimento uma relação de reciprocidade. A contextualização evoca por isso áreas, âmbitos ou dimensões presentes na vida pessoal, social e cultural, e mobiliza competências cognitivas já adquiridas.
Agregado às suas funções de disseminar conhecimento, o ambiente escolar
atual deve se apresentar como uma representação do ambiente social, reduzindo a
distância entre as necessidades culturais e o aprendizado teórico dos conteúdos,
20
propiciando maior interesse do aluno por esta relação entre teoria e prática. Uma
interessante forma de condução desta relação no ensino da matemática é a
utilização dos recursos tecnológicos, que a cada dia se tornam mais acessíveis a
todas as classes sociais e que podem propiciar uma aprendizagem diferenciada.
Segundo os PCN’s (1999, p.186) é necessário:
Reconhecer o papel da Informática na organização da vida sócio-cultural e na compreensão da realidade, relacionando o manuseio do computador a casos reais, ligados ao cotidiano do estudante, seja no mundo do trabalho, no mundo da educação ou na vida privada [...], bem como reconhecer a Informática como ferramenta para novas estratégias de aprendizagem, capaz de contribuir de forma significativa para o processo de construção do conhecimento, nas diversas áreas.
Desse modo, utilizar ferramentas com recursos computacionais, que já estão
incorporados à realidade diária dos estudantes possibilita um elo diferenciado com o
aluno de hoje, que já nasce observando, praticando e aprendendo as novas
tecnologias em seu dia a dia.
[...] já que a informática encontra-se presente na nossa vida cotidiana e incluí-la como componente curricular significa preparar o estudante para o mundo tecnológico e científico, aproximando a escola do mundo real e contextualizado (BRASIL, 1999, p.186).
Estamos, assim, em um período de transição, pois os professores atuais são
frutos de uma educação escolar descontextualizada e não tecnológica, que precisam
transformar a maneira de como aprenderam matemática em uma renovada
condução do ensino-aprendizagem desta disciplina. Dessa forma, o professor
precisa renovar suas práticas, fazendo uso das tecnologias em suas aulas,
objetivando melhores resultados através de sua adaptação ao convívio social
tecnológico do aluno, que está, na maioria das vezes, mais familiarizado que o
próprio docente.
O ensino da matemática vem sendo universalizado nas últimas décadas. No
entanto, é importante lembrar que são poucos os alunos que se tornarão
graduandos em cursos de exatas ou áreas afins. Assim, é imprescindível ofertar
estes conhecimentos de forma a agregar valor à realidade do aluno, utilizando de
forma consistente as ferramentas disponíveis, como material concreto e recursos
21
informatizados, para que possamos atingir a todos, tanto aos amantes da
matemática, quanto aos que a ela têm aversão. Dessa maneira, podemos favorecer
a evolução do aprendizado matemático para todos os estudantes, mesmo de formas
distintas, respeitando assim as individualidades de cada um dos envolvidos.
No caso da geometria, em particular, esta ação pode ser concebida de forma
mais natural, já que está presente na realidade de qualquer sujeito, em qualquer
lugar do mundo, pois ela faz parte da paisagem que rodeia qualquer de nossos
alunos. Porém, de certa forma, parece não ser vista por eles, como aponta Filho
(2002, p.16):
A linguagem geométrica está de tal modo inserida no cotidiano, que a consciência desse fato não é explicitamente percebida. É dever da escola explicitar tal fato a fim de mostrar que a Geometria faz parte da vida, pois vivemos num mundo de formas e imagens.
Assim, é necessário possibilitar aos alunos enxergar de forma diferente o
ambiente geométrico em que convivem, buscando um novo olhar crítico que o
estudo da geometria oferece, criando sentido onde nada se vê. Mas, como facilitar o
aprendizado de conceitos geométricos? De quais ferramentas podemos dispor para
melhor viabilizar o ensino da geometria?
A priori, é preciso que o professor seja um elo consistente entre o
conhecimento e o aluno. Isso possibilita a existência da relação prático-teórica e
media a construção do saber através de passos didáticos coerentes que levam o
estudante a trilhar um aprendizado gradual e constante, sem interrupções bruscas
do conteúdo e entrelaçando os assuntos estudados para que o aluno possa associar
os conceitos de forma adequada, pois:
Tornar o saber matemático acumulado um saber escolar, passível de ser ensinado/aprendido, exige que esse conhecimento seja transformado, pois a obra e o pensamento do matemático teórico geralmente são difíceis de ser comunicados diretamente aos alunos. (Brasil, 1998, p.36)
Contudo, para que o professor construa essa condução de estudos de forma
satisfatória, é necessária uma boa formação profissional. Segundo Freire (1996,
p.77), “Toda prática educativa demanda a existência de sujeitos, um, que ensinando,
aprende, outro, que aprendendo ensina”. Isso significa que a educação é
22
determinada pela relação entre professor e aluno. Qualquer ruptura dessa relação,
que é mediada pelo professor, potencializa o fracasso do aprendizado. Dessa forma,
o papel do professor é estrutural, já que sua possível atuação, inadequada quanto à
condução dos conteúdos, gera desconforto e insegurança das partes envolvidas
quanto à construção do saber matemático. Atrelado a essas observações, um fator
importante na análise de nosso estudo é a percepção de que parte dos professores
de matemática pouco trabalha com a geometria em sala de aula, como observa os
PCN’ s:
No entanto, a Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Em que pese seu abandono, ela desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (Brasil, 1998, p.122, grifo nosso).
Atualmente, vários trabalhos permeiam o ensino da geometria, talvez devido
ao histórico de renegação deste ramo da matemática durante muitos anos na
educação brasileira. Este fato é ratificado por livros didáticos que destinavam os
estudos da geometria apenas ao fim das séries e pelos muitos profissionais que
insistiam em não trabalhá-la por “medo” devido à formação inadequada ou por
conveniência em repetir a mesma sequência de ensino durante anos, sem a
preocupação em renovar suas práticas, como aponta Lorenzato (1995, p.03):
Considerando que o professor que não conhece geometria também não conhece o poder, a beleza e a importância que ela possui para a formação do futuro cidadão, então, tudo indica que, para esses professores, o dilema é tentar ensinar geometria sem conhecê-la ou então não ensiná-la.
Estas percepções são confirmadas em nossas observações diárias, ao
ministrarmos esta disciplina. Vários alunos iniciam a formação de ensino médio sem
ter efetuado o cálculo de uma simples área retangular e desconhecendo as
principais figuras geométricas. Poucos afirmam ter estudado conteúdos como:
relações métricas no triângulo e na circunferência, semelhança de triângulos,
trigonometria, teorema de Tales e teorema Pitágoras. Muitos estudantes
desconhecem estes assuntos, simplesmente pelo fato de terem sido abandonados
23
por seus professores durante o ensino fundamental. Esta postura certamente é
devastadora, pois o precário estudo da geometria desestimula a percepção do
mundo geométrico social e impede o avanço de conhecimentos posteriores deste
ramo da matemática.
Aprender significa interiorizar ações e mudar comportamentos por meio de participação ativa dos educandos no processo de ensino-aprendizagem. Um estudo significativo, por exemplo, a respeito da Geometria Espacial, deve partir dos conhecimentos prévios, trazidos pelos alunos, nos anos anteriores, em disciplinas diferentes da Matemática. No entanto, nem sempre a postura pedagógica dos professores é condizente com esta exigência, especialmente porque a constatação de que os educandos têm muitas dificuldades, especialmente em relação à visualização da terceira dimensão das formas geométricas espaciais se transforma em certeza e nem sempre é trabalhada como deveria ser. (VIDALETTI, 2009, p.13, grifo nosso)
A situação relatada por Vidaletti (2009), que evidencia o estudo precário dos
conceitos geométricos, origina-se em boa parte do Movimento da Matemática
Moderna (MMM), que dificultou o desenvolvimento do estudo da geometria na
educação Brasileira, como cita Meneses (2007, p.29):
[...] Algumas reformas, principalmente a reforma advinda do Movimento da Matemática Moderna, fizeram com que este estudo fosse posto em segundo plano, gerando um grupo de professores e consequentemente de alunos que apresentam pouco conhecimento e enormes dificuldades em abordar questões que envolvam conhecimentos geométricos.
Segundo Pavanello (1993), O MMM concentrou o estudo da matemática na
teoria de conjuntos, articulando o ensino da geometria de forma simbólica, o que
dificultou a utilização de questões de ordem mais prática. Para a autora citada, o
MMM agravou um quadro que já era problemático devido às dificuldades já
existentes em trabalhar a geometria com abordagem teórica e axiomática. Segundo
Grando (2009), “[...] o MMM de certa forma priorizava a álgebra e o formalismo pela
linguagem, em detrimento das experiências, das manipulações, das investigações e
das produções em geometria“ (p.201). Para ela, o MMM foi um dos causadores do
abandono do ensino de geometria, já que a geometria “desaparecia” dando lugar à
álgebra.
24
Outro fator que influenciou na depreciação do ensino da geometria nas
últimas décadas está relacionado à promulgação da Lei 5692/71, publicada em 11
de agosto de 1971. Pavanello (1993) comenta sobre essa lei:
A liberdade que essa lei concedia às escolas quanto à decisão sobre programas das diferentes disciplinas possibilitou que muitos professores de matemática, sentindo-se inseguros para trabalhar com a geometria, deixassem de incluí-la em sua programação. Por outro lado, mesmo dentre aqueles que continuaram a ensiná-la, muitos reservaram o final do ano letivo para sua abordagem em sala de aula, talvez numa tentativa, ainda que inconsciente, de utilizar a falta de tempo como desculpa pela não realização do trabalho programado com o tópico em questão. (p.7, grifo nosso)
Este contexto estimulou os professores a abandonar o ensino da geometria,
influenciados ainda por livros didáticos que tratavam os conceitos geométricos de
forma abstrata e apenas nos capítulos finais.
Esse abandono, percebido principalmente durante os anos de 1960 a 1990, também se refletiu nos cursos de graduação de professores e nos cursos de magistério, pois esses cursos não tinham preocupação e nem um currículo voltado ao ensino de geometria, fato esse que foi responsável pela geração de inúmeros professores órfãos dessa formação e, consequentemente, sem a consciência da importância da aprendizagem desse conteúdo (MENESES, 2007, p.3).
O tratamento dado à geometria nas últimas décadas criou uma lacuna que
ainda não foi reparada. Os livros didáticos atuais mesclam o ensino da geometria do
início ao fim das séries, mas ainda existe a postura, por parte de alguns
profissionais, de sempre deixar de lado seus conteúdos. O estudo feito por Gazire
(2000) constatou que vários professores de matemática evitam o trabalho com a
geometria, admitindo que “o desconhecimento da geometria é uma das causas do
abandono dessa matéria” (p.166). A autora verificou que muitos desses profissionais
têm o hábito de adiar “o mais possível o início das aulas desse conteúdo” (p.168),
impedindo a disseminação do conhecimento geométrico nas escolas.
Nacarato (2002) destaca que: “a não compreensão, por partes dos
professores, da importância da formação de conceitos geométricos para o
desenvolvimento do pensamento matemático” (p. 85) favorece a resistência desses
profissionais em relação ao trabalho com geometria. Segundo o autor, a deficiência
25
da formação geométrica é o principal motivo para o surgimento de profissionais
despreparados quanto ao desenvolvimento adequado desse conteúdo em sala de
aula.
“A ausência da geometria na escolarização formal vem formando gerações de profissionais, principalmente professores, que desconhecem os fundamentos desse campo da matemática, pouco discutido no âmbito da prática pedagógica.” (NACARATO, 2002, p.85)
A observação de que o ensino da geometria é insuficiente na educação
básica favorece a reprodução das dificuldades. Mais recentemente, Crescenti (2005)
cita em seu estudo a formação escolar básica deficitária a qual professores foram
submetidos.
“Quanto à aprendizagem da geometria, a maioria dos professores iniciantes tinham clareza de não a terem aprendido bem [...] a precariedade do conhecimento geométrico que detinham e o pouco que aprenderam de geometria durante todo o processo de escolarização, tanto nos aspectos teóricos como metodológicos.”(Crescenti, 2005, p.218)
Dessa maneira, caso o professor não tenha conhecimento geométrico
específico na preparação para docência, será um profissional com limitações graves
relacionadas ao ensino da geometria, já que sua formação básica é geralmente
precária. Assim, é necessário que o professor de matemática tenha estudado, em
sua formação profissional, conteúdos geométricos que corrijam as deficiências
trazidas do ensino básico, para que o mesmo seja um agente de transformação da
realidade escolar, preparado para promover a mudança da condição atual do ensino
da geometria.
Analisando essas informações, percebemos que o ensino-aprendizado da
geometria precisa ser reorganizado, pois os professores atuais são em sua maioria
frutos daquela educação desprovida da percepção geométrica. Por esses motivos,
criou-se o anseio em cooperar com a correção desse problema, que há décadas
dificulta o aprendizado geométrico em salas de aula de todo o Brasil. O tema aqui
proposto surgiu a partir dessas observações, ou seja, da dificuldade que parte dos
professores tem em romper com o tradicionalismo do ensino da geometria e do
desafio que é aplicar novas técnicas didáticas para o ensino da matemática e, em
26
especial, dos conceitos geométricos. Para isto, focaremos nossos esforços no
trabalho com relevantes conteúdos geométricos do ensino fundamental, que estão
organizados na grade curricular do nono ano.
Queremos, a partir deste estudo, encontrar respostas para questionamentos
como: Por que ainda se evita trabalhar a geometria? De que forma os professores
conduzem o ensino da geometria no nono ano do ensino fundamental? Como
podemos contribuir para que o aprendizado de parte da geometria do nono ano
ocorra de forma construtiva e organizada? Estes questionamentos finalizam o
direcionamento da temática central de realização deste estudo. Assim, o nosso
trabalho estará alicerçado sobre dois pilares:
I- Investigação com alunos e professores acerca dos motivos que dificultam a
construção do conhecimento geométrico nas turmas de nono ano do ensino
fundamental.
II- Construção de uma contribuição em forma de sequência didática, com uso
do GeoGebra, que possibilite um aprendizado qualificado e organizado de
parte do conteúdo geométrico do nono ano.
Dessa forma, iremos investigar os entraves do ensino-aprendizagem de parte
dos conteúdos geométricos de nono ano, identificando suas deficiências. A partir
das informações obtidas com a investigação, desejamos utilizá-las como orientação
na elaboração de uma sequência didática que conduza os conteúdos abordados de
maneira a evitar os problemas observados. Queremos possibilitar um aprendizado
sistemático e organizado que coloque o aluno como agente de construção de seu
conhecimento, utilizando para isso o software GeoGebra, que se apresenta como
ferramenta tecnológica capaz de contribuir como instrumento metodológico na
condução deste processo.
27
CAPÍTULO 2
ASPECTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA
28
2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Buscamos, neste trabalho, encontrar um caminho para que o aprendizado de
conceitos geométricos ocorra de forma a produzir melhores resultados. Para isso,
iremos realizar uma análise sobre parte do conteúdo de geometria destinado ao fim
do ensino fundamental, limitando-nos ao estudo específico desta fração do
conteúdo. A princípio, queremos observar os problemas e as dificuldades que
ocorrem na evolução deste aprendizado, justificando a necessidade de
reconstruirmos o ensino da geometria de nono ano através de novos procedimentos
que possibilitem uma nova forma de condução destes conteúdos.
Primeiramente, desejamos Identificar os conhecimentos geométricos
apropriados por alunos iniciantes do ensino médio. Queremos observar, em um
grupo de estudantes, os conhecimentos que estes alunos possuem, comparando
com os pré-requisitos geométricos mínimos que deveriam conter para prosseguir
seus estudos ou simplesmente para utilizarem na prática real no convívio social.
Concomitantemente, iremos realizar uma investigação com um grupo de
professores. Verificaremos se esses profissionais possuem conhecimentos
específicos em geometria e analisaremos a forma de condução dos assuntos
geométricos de nono ano. Os conteúdos analisados serão: teorema de Tales,
semelhança de triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, teorema de
Pitágoras e trigonometria. Desejamos perceber se os métodos de ensino aplicado
pelos professores beneficiam um aprendizado sistemático com entrelaçamentos
entre os assuntos ou se é simplesmente organizado em tópicos com apresentação
de fórmulas a serem aplicadas em atividades diretas.
Por fim, após identificarmos os problemas na construção dos conhecimentos
desses conteúdos e apontar possíveis soluções, iremos apresentar uma contribuição
em forma de sequência didática como sugestão de trabalho. A sequência sugerida
será norteada para uma evolução contínua dos conhecimentos estudados,
agregando os conceitos geométricos de forma estruturada e dinâmica.
Procuraremos transformar o aluno em agente de investigação do conhecimento,
colocando o professor como mediador e não simplesmente como transmissor de
afirmações incontestáveis.
29
Podemos tentar abandonar o paradigma do exercício para entrar em um ambiente de aprendizagem diferente, que chamamos cenários para investigação. Eles são, por natureza, abertos. Cenários podem substituir exercícios. Os alunos podem formular questões e planejar linhas de investigação de forma diversificada. Eles podem participar do processo de investigação. Num cenário para investigação, a fala “O que acontece se...? deixa de pertencer apenas ao professor e passa a poder ser dita pelo aluno também. E outra fala do professor, “por que é dessa forma ...?”, pode desencadear a fala do aluno “ Sim, porque é dessa forma...?”(ALRO; SKOVSMOSE, 2010, p. 55)
Assim, queremos propiciar um aprendizado construído pelo próprio estudante
por meio de suas percepções, através de experimentações práticas, manipuláveis
com o auxílio do software GeoGebra, que utilizaremos como ferramenta
metodológica na produção de experimentos que agucem o aprendizado dos alunos.
2.2 NATUREZA DA PESQUISA INVESTIGATIVA
Ao passo que avançamos no desenvolvimento do nosso estudo, surgiam
questionamentos e com eles o anseio em respondê-los. Assim, buscamos fortalecer
nosso trabalho através da incorporação de questionários investigativos, no intuito de
retratar a visão do professor e do aluno em relação ao ensino da geometria ao fim
do ensino fundamental, buscando verificar os fatores que impedem sua real
efetivação.
Para isso, optamos por aderir a uma abordagem quantitativa neste presente
estudo, não desmerecendo a qualitativa, tendo em vista que nosso objetivo aqui é
analisar de forma direta o comportamento dos envolvidos no processo de
aprendizado no que se refere ao ensino da geometria. As pesquisas quantitativas
caracterizam-se pela interrogação direta ao público alvo cujo comportamento se
deseja conhecer. Através de uma bateria de questionamentos, solicitaremos
informações de um grupo de alunos e professores acerca do problema estudado
para, em seguida, obtermos conclusões. A partir daí, buscaremos identificar
respostas aos questionamentos iniciais, confrontando-os com as hipóteses de nosso
estudo.
30
A pesquisa quantitativa normalmente se mostra apropriada quando existe a possibilidade de medidas quantificáveis de variáveis e inferências a partir de amostras de uma população. Esse tipo de pesquisa usa medidas numéricas para testar constructos científicos e hipóteses, ou busca padrões numéricos relacionados a conceitos cotidianos. (Dias, 1999, p. 01)
Considerando as vantagens e as limitações na adesão a este tipo de
pesquisa, podemos dizer que ela é adequada para nossos estudos sobre opiniões e
atitudes espontâneas dos entrevistados. Entretanto, seria inapropriada para o
aprofundamento dos aspectos psicológicos e psico-sociais mais complexos.
Nesse trabalho de pesquisa quantitativa, o que fizemos foi, a partir de ideias
iniciais, elaborar questionamentos que impediriam qualquer influência de nossas
concepções sobre os resultados. Definimos, então, a necessidade de colocar como
alvo de pesquisa informações diretas dos sujeitos envolvidos: alunos e professores
em seus ambientes de relacionamento, isto é, a escola.
Em nosso processo investigatório realizamos duas pesquisas de diagnóstico
do problema. A primeira, com alunos iniciantes do ensino médio, buscou perceber
seus conhecimentos mínimos sobre a geometria de ensino fundamental e suas
percepções sobre os conhecimentos geométricos anteriormente estudados. A
segunda, aplicada a um grupo de professores de matemática, questionou a respeito
da formação acadêmica e do processo de condução, por eles realizado, dos
conhecimentos de geometria destinados ao nono ano. Utilizamos uma amostragem
de uma região escolar específica, mas que representa a realidade de inúmeras
outras escolas, devido à constatação, em nosso referencial teórico, quanto às
deficiências históricas relacionadas ao ensino-aprendizagem da geometria. Nosso
objetivo é mensurar e permitir o teste de nossas hipóteses , já que os
resultados são concretos e menos passíveis de erros de interpretação, como
ocorrem na abordagem qualitativa. “A investigação quantitativa atua em níveis de
realidade e tem como objetivo trazer à luz dados, indicadores e tendências
observáveis”. (Minayo & Sanches, 1993).
Após a análise das informações coletadas com alunos e professores,
possibilitou-se o desenvolvimento de um trabalho mais sólido e consistente com a
realidade escolar. À medida que ajustávamos as informações obtidas na coleta de
dados com os nossos objetivos de estudo, confirmávamos as dificuldades na
31
construção do saber geométrico em nossas escolas e a necessidade de se
incorporar novas ferramentas e atitudes para sanar tais deficiências.
Em posse dos resultados das pesquisas com professores e alunos,
construímos uma sequência didática abordando os conteúdos alvos de nosso estudo.
Nosso intuito é reparar os principais problemas que dificultam o aprendizado real
desses conceitos geométricos, utilizando o software GeoGebra como recurso
metodológico inovador, por meio da produção de atividades diferenciadas e
organizadas, capazes de contribuir significativamente com o ensino da geometria de
nono ano.
2.3 ESCOLHA DO SOFTWARE GEOGEBRA
A escolha do software GeoGebra como método de aprimoramento das aulas
de geometria iniciou-se a partir da disciplina Recursos Computacionais no Ensino de
Matemática, do PROFMAT, que ofertou uma série de manejos na condução do
aprendizado matemático através de ferramentas tecnológicas como calculadora e
softwares computacionais. Paques et al.(2002) cita algumas razões para a utilização
de softwares nas aulas de matemática:
– libertar o ensino e a aprendizagem da Matemática do peso das aulas exclusivamente expositivas;
– estimular diversas formas de raciocínio; – diversificar estratégias de resolução de problemas; – estimular a atividade matemática de investigação; – permitir que o aluno seja mais autônomo; – criticar os resultados que a máquina fornece e de avaliar a sua
razoabilidade; – trabalhar com dados reais. (p.4)
Ao estudarmos o software GeoGebra e sua gama de possibilidades,
despertou-nos o desejo em agregar nosso anseio em contribuir com a melhoria do
ensino da geometria a esta ferramenta computacional, que se apresentou como bom
recurso a ser explorado para construirmos de forma diferente e adequada o ensino
de alguns conceitos geométricos importantes e necessários para o aprendizado de
nossos alunos.
32
Assim, pensamos na possibilidade de utilizarmos o GeoGebra como
instrumento diferenciado capaz de estimular a aprendizagem em geometria por meio
de experimentações práticas, de forma a conceber o conhecimento através de uma
construção realizada pelo próprio estudante. Desse modo, o professor passa a ser
um elo de entrosamento entre o conhecimento e o aluno, substituindo a forma
tradicional de transmissão dos conteúdos sem a participação direta do estudante, na
qual o mesmo é um simples espectador. Conforme afirma OLIVEIRA G. P.(2007,
p.103), “a figura do aluno é outra. Surge a possibilidade de o aprendiz engajar-se no
processo como elemento ativo, crítico e autônomo. Não mais um assimilador passivo
de conteúdos”.
Desse modo, desejamos que o aluno possa fazer parte da construção de seu
próprio conhecimento, tornando-o responsável pela condução e percepção dos
conceitos geométricos estudados, com a utilização de atividades direcionadas, em
que será guiado por etapas bem organizadas que possibilitarão o aprendizado
através da manipulação no software.
O software de geometria dinâmica propicia uma visualização diferenciada
sobre os conceitos estudados, substituindo aquelas imagens estáticas dos livros e
dos quadros por inúmeras possíveis manipulações. O caráter dinâmico desses
softwares possibilita que o aluno faça parte da evolução de seu aprendizado,
passando a interagir de forma dinâmica ao verificar propriedades por meio de suas
observações.
A interface dinâmica, a interatividade que esses programas propiciam e os recursos de manipulação e movimento das figuras geométricas que se apresentam na tela do computados contribuem no desenvolvimento de habilidades em perceber diferentes representações de uma mesma figura, levando desta maneira as descobertas das propriedades das figuras geométricas estudadas. (SILVEIRA; BISOGNIN, 2008, p.2)
Dessa maneira, o GeoGebra se apresenta como um instrumento facilitador na
aprendizagem de assuntos geométricos, possibilitando um aprendizado dinâmico,
que desperta interesse do público estudantil, já que os alunos de hoje estão imersos
no mundo tecnológico, no qual se sentem à vontade, tanto na manipulação de novos
softwares, quanto na aquisição de novas informações.
33
CAPÍTULO 3
PESQUISA INVESTIGATIVA COM ALUNOS E PROFESSORES
34
3.1 PESQUISA I: ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO
3.1.1 Aspectos gerais
A pesquisa investigativa com alunos foi realizada com 182 estudantes,
distribuídos em seis turmas de primeiro ano do ensino médio do turno matutino da
Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio “João Crisóstomo Belesa”,
pertencente à região da grande Porto de Santana, município de Cariacica, situado
na região metropolitana da Grande Vitória. Esta escola é estratégica, já que é a
principal escola de ensino médio da região, recebendo estudantes de outras seis
unidades de ensino fundamental, além de seus próprios alunos.
Dessa forma, nosso estudo se torna mais abrangente, pois reunimos em uma
mesma escola uma diversidade de alunos provindos de várias outras, onde
certamente foram expostos a métodos distintos de aprendizado dos conteúdos
geométricos. Este rico material humano a ser explorado fortalece a importância
desta pesquisa. O objetivo é investigar os conhecimentos geométricos trazidos por
estes alunos, de várias escolas distintas, nos possibilitando a percepção de como o
ensino da geometria acontece e quais frutos este estudo está gerando em relação
ao conhecimento escolar e social dos estudantes.
Quanto à formulação do questionário aos alunos, decidimos dividi-lo em duas
partes. Na primeira parte, questionamos a respeito da visualização do aluno em
relação à importância do estudo da matemática e sobre os conteúdos que
possivelmente tenha estudado no nono ano do ensino fundamental. A segunda parte
refere-se inicialmente a questões simples de conhecimento geométrico geral,
seguidas de questões específicas de parte da geometria estudada no último ano do
ensino fundamental. Esta segunda parte do questionário se fez em forma de uma
avaliação substitutiva com valor de cinco pontos, sendo acordado previamente com
a equipe pedagógica da escola e com os professores destas seis turmas de primeiro
ano.
Ao realizar esta avaliação, oferecendo pontuação aos alunos, objetivou-se
incentivá-los a mostrar seus conhecimentos e suas dificuldades. Antes da aplicação
35
do questionário e da avaliação, visitamos todas as turmas, conversando e
explicando sobre os objetivos do estudo. Recebendo resposta positiva das turmas,
dos professores e da administração escolar, aplicamos a pesquisa.
3.1.2 Visão dos alunos
A princípio, realizaremos a exposição da primeira parte do questionário
aplicado aos alunos, que oferece a observação da visão dos estudantes em relação
à matemática, apontando suas percepções quanto aos conteúdos estudados. A
primeira tabela apresenta a distribuição referente à origem dos alunos que, no
momento da pesquisa, cursavam o primeiro ano do ensino médio.
Tabela 1 – Distribuição das escolas de origem dos alunos participantes da pesquisa
Em qual escola você cursou o nono ano (oitava série)?
EMEF Padre Gabriel Roger Maire 12,6%
EMEF Stellita Ramos 11,5%
EEEF Presidente Castelo Branco 28,6%
EMEF Presidente Médice 5,3%
EMEF João Pedro da Silva 15,5%
EMEF Presidente Arthur Costa e Silva. 8,4%
EEEFM João Crisóstomo Belesa 11,0%
Outras Escolas 7,1%
Fonte: Dados da pesquisa.
Confirmamos que os alunos provêm de várias escolas distintas, possibilitando
uma observação mais ampla sobre a condução do ensino de geometria nas escolas
de ensino fundamental da região. Além das escolas mencionadas, constam nos
dados, citações de outras seis unidades escolares, sendo entre elas, uma particular
com três alunos, localizada na mesma região da escola fonte de pesquisa.
Na próxima tabela, verificaremos a percepção dos estudantes sobre a
importância do conhecimento matemático na vida das pessoas e na sociedade,
36
buscando visualizar se os mesmos identificam a matemática como conhecimento
essencial para o convívio social e profissional.
Tabela 2 - Percepção dos alunos sobre a importância do ensino da matemática
Você considera importante aprender Matemática?
Não.
Sim, mas
apenas para a
vida social.
Sim, mas apenas
para a vida
profissional.
Sim, para a vida social e
profissional.
0% 3,3% 11% 85,7%
Fonte: Dados da pesquisa.
É relevante destacar que todos os alunos consideraram importante estudar
matemática, o que remete maturidade dos estudantes sobre a necessidade do
estudo desta disciplina nas escolas. Outra observação interessante é a confirmação
de mais de 85% dos alunos acerca da importância do estudo da matemática como
preparação social e profissional. Percebemos, assim, que os estudantes visualizam
a matemática como ferramenta indispensável nas relações em sociedade e não só
como instrumento para o trabalho.
Os questionamentos da próxima tabela estão relacionados diretamente à
percepção dos alunos quanto aos conteúdos específicos de geometria que deveriam
ter estudado no nono ano do ensino fundamental. Queremos perceber se está
ocorrendo a oportunidade do aprendizado de alguns relevantes conceitos
geométricos em sala de aula.
Tabela 3 - Percepção dos alunos acerca dos conteúdos geométricos
estudados no nono ano do ensino fundamental
Você estudou os conteúdos abaixo no nono ano?
CONTEÚDO Não. Sim, mas não
compreendi.
Sim,
compreendi.
37
Teorema de
Tales 66,5% 25,8% 7,7%
Semelhança de
Triângulos 78% 14,8% 7,1%
Relações Métricas
no Triângulo
Retângulo
80,7% 14,3% 4,9%
Teorema de
Pitágoras 41,7% 32,4% 25,8%
Trigonometria 55,5% 34% 10,5%
Fonte: Dados da pesquisa.
Em posse dos dados, podemos verificar que o conteúdo teorema de Pitágoras
é o assunto geométrico mais trabalhado nas turmas de nono ano, já que quase 60%
dos alunos confirmaram seu estudo. Segundo as informações dos alunos,
trigonometria e teorema de Tales são assuntos pouco trabalhados, pois
respectivamente 55,5% e 65,5% deles afirmaram não conhecer esses conteúdos. A
percepção mais grave é constatar que cerca de 80% dos estudantes desconhecem
semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo.
Outra observação evidenciada nestes dados, além do fato de que alguns
conteúdos geométricos não estão sendo trabalhados, é que os assuntos estão
sendo apresentados de forma isolada, sem qualquer interação com as ideias
primárias, necessárias para uma real compreensão sequenciada dos estudos
realizados, como sugere os PCN’s:
[...] O significado da atividade matemática para o aluno também resulta das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos e também entre estes e as demais áreas do conhecimento e as situações do cotidiano. [...] O estabelecimento de relações é fundamental para que o aluno compreenda efetivamente os conteúdos matemáticos, pois, abordados de forma isolada, eles
38
não se tornam uma ferramenta eficaz para resolver problemas e para a aprendizagem/construção de novos conceitos. (BRASIL, 1998, p.35)
Dessa forma, como podemos estudar, por exemplo, trigonometria e relações
métricas no triângulo retângulo sem apoiarmo-nos sobre a semelhança de
triângulos? Como utilizar o teorema de Pitágoras sem esclarecer ao estudante a sua
validade? Esses questionamentos “tocam as feridas” do ensino da geometria, pois
realçam com clareza as severas deficiências do processo de condução de seus
estudos. Agregado ao já exposto, percebemos que em todos os conteúdos o
percentual de alunos que declararam não ter compreendido o assunto ministrado é
superior ao percentual de alunos que afirmaram ter compreendido. Este fato é
possivelmente uma consequência da prática baseada em fórmulas decoradas, em
detrimento da construção gradual e interligada dos assuntos estudados.
3.1.3 Questões gerais de geometria
Realizaremos agora a exposição do início da segunda parte da pesquisa.
Esta seção refere-se a oito questões de uma avaliação com quatorze questões de
geometria. As questões iniciais, de um a oito, referem-se a conceitos simples e
básicos, com o objetivo de perceber alguns conhecimentos mínimos gerais que os
alunos deveriam trazer do ensino fundamental. Serão expostos alguns registros
feitos pelos alunos, representados por numeração romana, preservando suas
identidades.
Tabela 4 - O reconhecimento do ângulo reto e do número
Questões 1 e 2. Respostas adequadas
1) Quantos graus mede um ângulo reto? 30,2%
2.a) Você conhece o número π ? 12,6%
2.b) De que forma este número é utilizado? 1,1%
Fonte: Dados da pesquisa.
π
39
Analisando os dados expostos, percebemos que a simples identificação direta
de ideias relacionadas à geometria não ocorre devidamente, pois os alunos
iniciantes do ensino médio não reconhecem essas noções primárias. É preocupante
constatar que 70% dos estudantes não identificam o ângulo reto ou que 87% deles
nunca foram apresentados ao número , como mostram os registros seguintes:
Figura 1- Registro da resposta da questão 2 do aluno I
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 2 - Registro da resposta da questão 2 do aluno II
Fonte: Dado da pesquisa.
Entre os alunos participantes, apenas 1,1% sabem que este número está
associado à área de um círculo ou ao comprimento de uma circunferência. Abaixo, o
registro mais adequado desta questão feito pelo aluno III.
Figura 3 - Registro da resposta da questão 2 do aluno III
Fonte: Dado da pesquisa.
Na próxima questão, buscamos observar a compreensão dos alunos em
relação à definição de uma figura plana. Utilizamos o quadrado para esta análise,
por ser uma figura comum ao cotidiano escolar e social dos alunos.
Tabela 5 - A compreensão da definição de quadrado
Questão 3: Se alguém te perguntasse o que é um quadrado,
o que você responderia?
π
40
Quadrilátero de lados e ângulos côngruos 1,6%
Quadrilátero de quatro lados côngruos 35,7%
Respostas totalmente inadequada 62,7%
Fonte: Dados da pesquisa.
Percebemos que o reconhecimento das características das figuras planas
está comprometido, pois somente 1,6% dos alunos identificaram um quadrado
adequadamente, sendo que quase 63% deles não interiorizaram sequer que se trata
de uma figura de lados côngruos. Abaixo, o registro mais interessante também feito
pelo aluno III.
Figura 4 - Registro da resposta da questão 3 do aluno III
Fonte: Dado da pesquisa.
Outra resposta que merece destaque é do aluno IV, que apesar de utilizar
palavras confusas, demonstrou compreensão da ideia de quadrado.
Figura 5 - Registro da resposta da questão 3 do aluno IV
Fonte: Dado da pesquisa.
Objetivamos verificar o reconhecimento de figuras tridimensionais por parte
dos alunos, utilizando a mais comum delas, o paralelepípedo. Nesta questão,
também procuramos observar se o aluno associa a figura geométrica com as formas
de seu convívio social. Expomos o resultado na tabela a seguir:
41
Tabela 6 - A utilização prática do paralelepípedo e sua forma tridimensional
Questão 4: A figura geométrica abaixo é certamente
a mais utilizada para construções e embalagens.
Respostas adequadas
Dê um exemplo onde esta figura é utilizada em seu dia a dia. 60,4%
Qual é o nome desta figura geométrica? 0,5%
Fonte: Dados da pesquisa.
Notamos que ao associarmos a geometria à realidade do aluno, obtemos
melhores resultados, pois 60% dos estudantes conseguiram relacionar o
paralelepípedo às formas de seu convívio social. No entanto, percebe-se
nitidamente que os alunos não tiveram contato com a identificação de figuras
geométricas, já que apenas 0,5% (1 aluno) soube nomear corretamente o
paralelepípedo. A maioria dos alunos possui dificuldade em distinguir figuras planas
de figuras espaciais, já que mais de 50% deles identificaram o paralelepípedo como
um retângulo. A maior parte das respostas segue o modelo do protocolo abaixo:
Figura 6 - Registro da resposta da questão 4 do aluno V
Fonte: Dados da pesquisa.
Na tabela a seguir, expomos o conhecimento dos alunos relacionado ao
conceito de área, através de um questionamento direto a cerca do cálculo de uma
área retangular.
42
Tabela 7 - O cálculo da área de uma região retangular
Questão 5 Respostas adequadas
Qual é a área de uma sala de aula em formato retangular que tem 8 m de comprimento por 6 m de largura?
25,3%
Fonte: Dado da pesquisa.
Percebemos que a noção básica do cálculo de áreas, que permeiam estudos
de quinto e sexto ano do ensino fundamental, não foi assimilada pela maioria dos
alunos iniciantes do ensino médio, dado que praticamente 75% deles não
conseguem determinar a área de uma simples região retangular.
Em nosso estudo, também desejamos observar o mero reconhecimento visual
dos alunos em relação às principais figuras geométricas planas, que já deve ser
abordado do primeiro ao quinto ano do ensino fundamental. O resultado, expomos a
seguir:
Tabela 8 - A identificação de polígonos
Questão 6 Respostas adequadas
As faces do poliedro abaixo são formadas por três figuras planas distintas e regulares. São elas: a) Triângulo, quadrado e pentágono. b) Triângulo, quadrado e hexágono. c) Quadrado, pentágono e hexágono. d) Triângulo, pentágono e hexágono. e) Quadrado, retângulo e pentágono.
50%
Fonte: Dado da pesquisa.
Solicitamos a identificação de três figuras planas regulares que compõem as
faces de um poliedro formado por: quadrados, triângulos e pentágonos, fornecendo
as opções de resposta. Nesta atividade, os alunos alcançaram apenas 50% de
acerto, mesmo sendo uma questão objetiva com assunto destinado aos primeiros
ciclos do ensino fundamental, evidenciando novamente resultado insuficiente em
uma questão de identificação direta das figuras planas mais comuns.
43
Nas questões sete e oito, propusemos aos estudantes relacionar o conceito
geométrico com cálculos básicos, sendo, portanto, questões que exigem um pouco
mais de raciocínio do aluno, mas que não se apresentam como difíceis.
Tabela 9 - Resultados sobre o cálculo com conversão de unidade de comprimento e com número de diagonais de um polígono
Questionamentos Respostas adequadas
Questão 7 : Seu Meneco vai cortar varas de ferro de 12 m em tamanhos iguais. Sabendo-se que ele precisará de 600 pedaços de 40cm, quantas varas de ferro de 12m terá que comprar?
1,1%
Questão 8 : Imagine que os vértices do octógono abaixo sejam aeroportos de cidades diferentes, ou seja, oito aeroportos. Supondo que fossem criadas linhas aéreas diretas de cada uma das cidades para qualquer outra, quantas linhas teríamos?
0%
Fonte: Dados da pesquisa.
Nestas questões, evidenciaram-se sérias dificuldades dos estudantes em
compreender e utilizar os conceitos geométricos com cálculos aritméticos,
apresentando pouco preparo na tentativa de resolução deste tipo de problema, já
que na questão sete houve apenas 1,1% de acerto, e na questão oito, nenhum dos
alunos chegou adequadamente a resposta. A seguir, uma das poucas respostas
adequadas da questão sete, entre os alunos participantes da investigação.
Figura 7 - Registro da resposta da questão 7 do aluno VI
Fonte: Dado da pesquisa.
44
Outra percepção relevante é o fato dos alunos não dominarem as relações
entre unidades de medida de comprimento. Muitos estudantes, ao tentarem resolver
o problema sete, realizaram cálculos confusos sem relacionar adequadamente a
conversão metro e centímetro, que é de extrema importância para vida social ou
profissional de qualquer cidadão.
3.1.4 Questões geométricas específicas de nono ano
As questões finais, de 9 a 14, são relacionadas diretamente aos conteúdos
geométricos pertinentes ao nono ano do ensino fundamental como: semelhança de
triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e
trigonometria. Queremos, aqui, perceber os conhecimentos geométricos mínimos
efetivamente absorvidos pelos alunos. Para isso, elaboramos questões simples que
exploram de forma direta esses assuntos.
Na questão nove, a seguir, podemos identificar a noção básica dos alunos em
relação a semelhança de triângulos, onde deveriam observar que somente os
ângulos conservam suas medidas, dados triângulos semelhantes não congruentes.
Tabela 10 - A percepção da semelhança de triângulos
Questão 9 Respostas adequadas
O triângulo A’B’C’ é uma ampliação do triângulo ABC, ou seja, são triângulos semelhantes. Os elementos que preservam as mesmas medidas são: a) Os lados b) As áreas c) Os perímetros d) Os ângulos e) Nenhum deles
34,6%
Fonte: Dado da pesquisa.
Nessa questão, apresentada com imagens e alternativas de resposta, mais de
65% dos alunos responderam de forma inadequada, o que constata a pouca
compreensão sobre o conceito primário da semelhança de triângulos.
45
Apresentaremos em seguida a tabela 15, que se refere a problemas relacionados a
triângulos semelhantes.
Tabela 11 - Resultado sobre o cálculo utilizando semelhança de triângulos
Questões Respostas adequadas
Questão 10: Para você, qual é a resposta correta para a questão abaixo. Dado o triângulo ABC e sabendo-se que CB//ED, AD=10 cm, DB=5 cm e CB=12 cm, determine x = ED. C a) 5 cm b) 6 cm
E c) 7 cm d) 8 cm e) 9 cm
x 12 cm A 10 cm D 5 cm B
0,5%
Questão 11: Para medir a largura x de um lago, foi utilizado o esquema do desenho abaixo. Nessas condições, determine x, sendo: DE=x; EC=300 m; CA=36 m e AB=60 m.
0,5%
Fonte: Dados da pesquisa.
Nas questões 10 e 11, de semelhança de triângulos, apenas um aluno
conseguiu obter sucesso. Abaixo, o registro da única resposta correta da questão
10:
Figura 8 - Registro da resposta da questão 10 do aluno III
Fonte: Dado da pesquisa.
46
Percebemos que os conhecimentos menos estudados também foram os que
menos produziram retorno, como semelhança de triângulos e relações métricas no
triangulo retângulo. Observamos que poucos estudantes apresentaram a percepção
relacionada à proporcionalidade, princípio básico destes conteúdos, evidenciando
enormes dificuldades na resolução de problemas com triângulos semelhantes.
A tabela seguinte retrata o baixo rendimento dos alunos na resolução da
questão envolvendo as relações métricas no triângulo retângulo. Este resultado não
é surpresa, já que o assunto depende do conhecimento prévio da semelhança de
triângulos.
Tabela 12 - Resultado sobre o cálculo utilizando relações métricas no triângulo retângulo
Questão 12
Respostas adequadas
Calcule no triângulo retângulo abaixo a altura h.
6cm 8cm h
________ 10 cm __________
1,6%
Fonte: Dado da pesquisa.
É importante salientar que em nenhuma das poucas respostas corretas foi
construída a proporcionalidade entre os lados dos triângulos semelhantes, ou seja,
foram utilizadas fórmulas em sua resolução. Verificamos assim, dois problemas
crônicos: um está relacionado ao precário conhecimento da grande maioria dos
alunos em relação à semelhança de figura planas e o outro referente ao aprendizado
de fórmulas em detrimento da construção da proporcionalidade inerente aos
triângulos semelhantes.
Apresentamos a seguir, o desempenho dos alunos em relação à questão
abordando o teorema de Pitágoras.
47
Tabela 13 - Resultado sobre o cálculo utilizando o Teorema de Pitágoras
Questão 13 Respostas adequadas
O portão abaixo possui 4 m de comprimento por 3 m de altura. Ele é sustentado por uma barra transversal em diagonal. Calcule
o comprimento desta barra utilizando o Teorema de Pitágoras (a2
=b2+c
2).
5,5%
Fonte: Dado da pesquisa.
Apesar do resultado insatisfatório, a questão envolvendo teorema de
Pitágoras obteve maior índice de tentativa de resolução e maior índice de acerto
com 5,5% (10 alunos), o que já era esperado, por ter sido o conteúdo geométrico
mais trabalhado em sala, segundo as afirmações dos próprios estudantes. Este
resultado comprova que existe algum retorno quando o conteúdo é ministrado,
mesmo que não seja da forma que se espera. Portanto, é extremamente necessário
que o professor oportunize este aprendizado para todos os alunos, em especial,
para aqueles que se dedicam, possibilitando que o conhecimento geométrico seja
difundido com mais eficiência. Abaixo, uma das respostas corretas desta questão.
Figura 9 - Registro da resposta da questão 13 do aluno VII
Fonte: Dado da pesquisa.
A seguir o comentário de um aluno sobre sua impossibilidade em resolver o
problema proposto:
48
Figura 10 - Registro da resposta da questão 13 do aluno VIII
Fonte: Dado da pesquisa.
Verificamos, também, o conhecimento dos alunos acerca das relações
trigonométricas, utilizando uma questão simples e fornecendo todas as informações
necessárias para a resolução do problema, como exposto na tabela abaixo:
Tabela 14 - Resultado sobre o cálculo utilizando Trigonometria
Questão 14 Respostas adequadas
A região triangular abaixo representa a área de uma reserva florestal. Determine a distância d desta reserva.
2,2%
Fonte: Dado da pesquisa.
Confirmando os dados iniciais sobre os conteúdos estudados, o rendimento
relacionado à trigonometria manteve-se abaixo do obtido no teorema de Pitágoras e
superior aos relacionados à semelhança de triângulos, ratificando a ligação direta
entre conteúdo ministrado e aprendizado. A seguir, uma das poucas resoluções
desta questão.
49
Figura 11 - Registro da resposta da questão 14 do aluno IX
Fonte: Dado da pesquisa.
Nas questões de dez a quatorze, observamos um desastroso resultado, pois
obtivemos, em todas elas, índice de mais de 94% de respostas inadequadas.
Visualizando esses dados sobre as questões relacionadas, a semelhança de
triângulo, relações métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e
trigonometria, destaca-se claramente que esses conteúdos estão possivelmente
sendo ministrados inadequadamente ou até mesmo sendo abandonados na
educação fundamental, já que até mesmo alunos com bom rendimento informaram
não conhecer considerável parte dos assuntos abordados.
3.1.5 Observações finais
Apresentaremos ao fim desta investigação com alunos, alguns registros feitos
por esses, nos quais deixamos a critério do estudante a possibilidade de realizar
qualquer comentário sobre o estudo feito, sem qualquer tipo de interferência de
nossa parte.
Figura 12 - Registro do comentário do aluno X
Fonte: Dado da pesquisa.
50
Figura 13 - Registro do comentário do aluno XI
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 14 - Registro do comentário do aluno XII
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 15 - Registro do comentário do aluno XIII
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 16 - Registro do comentário do aluno XIV
Fonte: Dado da pesquisa.
51
Figura 17 - Registro do comentário do aluno XV
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 18 - Registro do comentário do aluno XVI
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 19 - Registro do comentário do aluno XVII
Fonte: Dado da pesquisa.
Analisando esses registros, que soam como um pedido por mudança, feito
por alunos, principalmente aqueles mais dedicados e que só têm a educação como
oportunidade de uma vida mais digna, reforça-se a importância do estudo sugerido
neste trabalho, que foca a necessidade de reestruturarmos o estudo da geometria
no ensino fundamental. Observando os comentários dos alunos, destacamos parte
do registro do aluno XV e o registro do aluno XIII.
“[...] o professor que me deu aula nunca passou nada sobre geometria” (Aluno XV)
52
“na oitava série eu não estudei sobre isso. Só sobre delta e plano cartesiano” (Aluno
XIII)
Esses relatos refletem a permanência de um ensino inexistente ou organizado
de forma inconsistente em relação aos conteúdos geométricos, como retratamos no
registro do aluno XIII, que afirma a predileção do professor em trabalhar com
equações e funções ao invés de desenvolver a geometria do nono ano. Esses
poucos comentários representam relatos de muitos outros alunos participantes da
pesquisa, na qual pudemos constatar a fragilidade do ensino da geometria e o
desejo de parte dos alunos em conhecer esses assuntos, como consta no registro
do aluno XIV a seguir:
“muita coisa eu não sei, mas queria muito aprender. Ajuda a gente a entender isso?”
(Aluno XIV)
Buscando encontrar um caminho diferente e que traga a possibilidade de
mudança real deste grande problema no ensino da matemática, se faz necessário
repensar a formação profissional dos professores, as atitudes em sala e as
ferramentas de ensino, para que possamos propiciar o início da correção desta
frustrante situação que ainda ocorre com o ensino da geometria.
3.2 PESQUISA II: PROFESSORES DO NONO ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
3.2.1 Aspectos gerais
A pesquisa investigativa com professores foi realizada com 21 profissionais
que ministraram aulas para alguma turma de nono ano do ensino fundamental nos
últimos quatro anos. Ao analisar os resultados obtidos, citaremos algumas
características particulares pertinentes ao perfil do professor de matemática
participante da pesquisa. Constatamos que apenas 23,8% dos profissionais são
53
formados em licenciatura plena em matemática, isto é, frequentaram um curso de
matemática na universidade, sendo a maioria habilitada por licenciatura curta,
geralmente formada em algum curso da área de exatas, com complementação em
pedagogia. Entre os professores participantes, um é estudante, que mostra o quanto
esta área de ensino ainda é carente de profissionais. 57% dos entrevistados
cursaram uma complementação pedagógica para habilitar-se como professor de
matemática e 76% possuem especialização na área de educação. O tempo de
trabalho em sala dos profissionais entrevistados atingiu a média de 10,5 anos, sendo
que 81% deles possuem mais de cinco anos de experiência como professores de
matemática.
Dividimos o questionário em duas partes, sendo a primeira caracterizada pela
identificação do perfil do professor quanto a sua experiência, formação profissional e
percepção sobre o ensino da geometria em geral, enquanto a segunda parte refere-
se à análise dos procedimentos realizados pelos professores na condução dos
conteúdos geométricos do nono ano do ensino fundamental, alvo de nosso estudo.
3.2.2 Formação e visão dos professores
As informações desta seção fornecerão dados sobre a formação geométrica
dos docentes participantes da pesquisa e alguns aspectos pertinentes a visualização
do professor em relação à realidade do ensino da geometria em sala de aula. Serão
expostos alguns registros feitos por professores, representados por letras
maiúsculas do alfabeto, a fim de preservar suas identidades.
Gráfico 1 - Formação geométrica do professor em nível superior
Fonte: Dados da pesquisa.
54
Gráfico 2 - Formação geométrica do professor após curso superior
Fonte: Dados da pesquisa.
As informações dos gráficos 1 e 2 referem-se à formação geométrica dos
professores de matemática. Percebemos que a maioria dos professores não estudou
geometria em disciplinas de curso superior, pois apenas 29% deles afirmam a
existência deste estudo. Outra observação é que os professores habilitados por
complementação pedagógica não recebem formação geométrica. Notamos também
que apesar de muitos professores possuírem especializações, poucos estudaram
geometria nestes cursos. Verificamos que o conhecimento geométrico da maior
parte dos profissionais é aquele adquirido em nível fundamental e médio, quando
alunos, e através de alguns cursos rápidos de formação, que geralmente exploram
aspectos didáticos e não o conteúdo específico de geometria. Essas informações
evidenciam a formação geométrica insuficiente dos profissionais, que têm a
responsabilidade de disseminar conhecimento geométrico nas salas de aulas.
Nos gráficos expostos abaixo, indagamos ao professor sobre sua visualização
acerca do conhecimento geométrico geral dos alunos e sobre os motivos que
dificultam a aprendizagem dos estudantes.
Gráfico 3 - Visão do professor sobre o conhecimento geométrico dos alunos Fonte: Dados da pesquisa.
55
Gráfico 4 - Visão do professor sobre as dificuldades dos alunos no aprendizado da geometria
Fonte: Dados da pesquisa.
Os questionamentos dos gráficos 3 e 4, retratam a percepção dos professores
quanto ao aprendizado escolar dos alunos em relação à geometria. Dentre os
pesquisados, 81% visualizam que é insuficiente ou precário. Muitos fatores
influenciam está afirmação; contudo, os mais apontados são: a desmotivação do
aluno e as deficiências existentes no ensino da geometria nos anos anteriores.
Destaca-se aqui a necessidade da construção do conhecimento geométrico desde
as séries iniciais, em que as crianças podem se habituar a perceber as formas
geométricas desde a infância, possibilitando o desenvolvimento desta percepção,
como sugere Lorenzato (1995, p.8)
As crianças devem realizar inúmeras experiências ora com o próprio corpo, ora com objetos e ora com imagens; para favorecer o desenvolvimento do senso espacial é preciso oferecer situações onde elas visualizem, comparem e desenhem formas [...] é uma etapa que parece mero passatempo, porém é de fundamental importância.
Em nosso estudo, questionamos aos professores sobre a predileção dos
conteúdos ministrados, verificando a identificação dos profissionais com a
geometria. Também perguntamos sobre o momento do ano letivo em que o
professor trabalha os conteúdos geométricos. Os resultados estão apresentados a
seguir:
56
Gráfico 5 - A atuação do professor Gráfico 6 - Momento do ano letivo que ao ensinar geometria o professor trabalhar geometria
Fonte: Dados da pesquisa. Fonte: Dados da pesquisa.
Nos questionamentos acima, percebemos que o ensino da geometria não é
preferência entre os professores, apesar de 52% não terem preferência de trabalho,
poucos o colocam como tal, enquanto 38% sentem-se mais à vontade em trabalhar
com outros conteúdos diferentes da geometria.
Quanto à execução do trabalho com geometria, mais de 70% dos
profissionais relatam realizá-la ao fim do ano letivo. Esta postura favorece o não
cumprimento de seus conteúdos, acarretando no contínuo fracasso do aprendizado
geométrico, dado que é hábito, em boa parte das escolas, o descumprimento dos
conteúdos matemáticos destinados às séries, ocorrendo com isso à predileção de
assuntos aritméticos e algébricos em detrimento dos assuntos geométricos.
3.2.3 Condução dos conhecimentos geométricos do nono ano
Nessa seção, iremos verificar de que forma os professores desenvolvem o
ensino-aprendizagem dos seguintes conteúdos: teorema de Tales, semelhança de
triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e
trigonometria no triângulo retângulo. Observaremos a visão dos professores quanto
à necessidade de articulação destes conteúdos, de forma a favorecer um
aprendizado gradativo e consistente, além de investigar suas práticas quanto a
57
utilização de recursos diferenciados na construção do conhecimento. Por fim,
buscaremos verificar a prática docente quanto à validação de conceitos através de
algumas demonstrações geométricas adequadas à percepção dos alunos
concluintes do ensino fundamental.
No gráfico a seguir, detalhamos os conteúdos ministrados pelos professores
em relação à última turma de trabalho de cada um dos entrevistados, verificando a
frequência de abordagem desses assuntos.
Gráfico 7 - Conteúdos ministrados para a última turma de nono ano
Fonte: Dados da pesquisa.
É evidente a predileção pelos assuntos aritméticos e algébricos. Esta
percepção é afirmada ao constatarmos que o conteúdo geométrico mais trabalhado
é o teorema de Pitágoras, que foi apenas o quarto conteúdo mais citado entre os
conteúdos tradicionalmente abordados no nono ano.
Outra observação a destacar é que muitos profissionais preferem desenvolver
os estudos de funções afim e quadrática, que são assuntos também estudados no
ensino médio, ao invés de aprimorarem os conceitos geométricos, que
58
provavelmente não serão estudados novamente, dado o currículo atual dos sistemas
educacionais brasileiros. Não estamos desmerecendo o trabalho específico em
relação às funções, que é importante e que deve ser iniciado no ensino fundamental
sempre que possível. No entanto, discordamos da prática comum em renegar o
estudo adequado da geometria, utilizando o estudo das funções como pretexto para
que os conceitos geométricos continuem sendo abandonados.
A tabela a seguir refere-se à conduta dos professores frente a alguns
conteúdos geométricos que fazem parte do currículo e que deveriam ser trabalhados
no nono ano do ensino fundamental.
Tabela 15 - Conteúdos geométricos de nono ano trabalhados pelos professores
Você trabalha os conteúdos abaixo com seus alunos?
CONTEÚDO
Não, pois há
conteúdos
prioritários.
Raramente,
pois não há
tempo.
Ás vezes,
depende do
tempo.
Sempre.
Teorema de
Tales 0% 23,8% 28,6% 47,6%
Semelhança de
Triângulos 28,6% 19% 19% 33,3%
Relações Métricas
no Triângulo
Retângulo
19% 28,6% 23,8% 28,6%
Teorema de
Pitágoras 0% 4,8% 42,9% 52,4%
Trigonometria
4,8% 19% 47,6% 28,6%
Fonte: Dados da pesquisa.
Observando a tabela anterior, notamos que os conteúdos de semelhança de
triângulos e relações métricas no triângulo retângulo são os assuntos que sofrem
59
maior rejeição, já que 47,6% dos professores confirmam a prática de não trabalhá-
los ou trabalhá-los raramente. Confirmamos, também, que entre os conteúdos
observados, o teorema de Pitágoras é o assunto geométrico mais ensinado, pois
52,4% dos professores relatam sempre desenvolvê-lo em sala. Estas informações
ratificam as já coletadas na pesquisa com alunos, que mostraram maior
conhecimento em relação ao teorema de Pitágoras e menor em relação à
semelhança e relações métricas no triângulo retângulo.
Exporemos agora a forma de condução, realizada pelos professores, acerca
dos conteúdos abordados em nosso estudo. Investigaremos os procedimentos
utilizados na articulação do ensino-aprendizagem, verificando a existência de um
processo gradativo e interligado dos conteúdos trabalhados.
Teorema de Tales
Tabela 16 - A condução do professor ao ensinar o Teorema de Tales
Como você trabalha o Teorema de Tales com seus alunos?
Apresento o teorema exemplificando e sugerindo atividades. 80,9%
Cito uma situação, peço sugestões, depois apresento o teorema
para solucionar a situação inicial seguido de outros exemplos e
atividades.
14,3%
Demonstro o teorema, apresento exemplos e sugiro atividades. 0%
Outros. (Experimentação) 4,8%
Fonte: Dados da pesquisa.
Poucos professores afirmam demonstrar o teorema de Tales em sala; no
entanto, em entrevistas com os mesmos, percebemos que aqueles que citaram
demonstrar o teorema não o fazem na realidade, pois ao questionarmos sobre sua
demonstração, notamos que simplesmente apresentam o teorema e não o
demonstram. Apenas dois professores mostraram conhecer a demonstração do
60
teorema de Tales, citando as dificuldades da demonstração para alunos do ensino
fundamental, especialmente quanto às razões incomensuráveis. A maior parte dos
profissionais trabalha de forma tradicional, apresentando o teorema, exemplificando
e listando exercícios, sem qualquer metodologia construtiva do conhecimento.
Apenas um único professor citou de forma interessante seu método de condução do
aprendizado deste assunto, fazendo uso de um recurso simples, mas que oportuniza
a exploração e a construção do aprendizado pelo próprio aluno. Abaixo a citação do
professor.
“Começo pedindo aos alunos para medirem os segmentos formados por retas
paralelas cortadas por transversais, e depois calcularem as razões desses
segmentos, para perceberem a proporcionalidade.” (Prof. A).
Essa forma de apresentação do conteúdo, utilizada pelo professor A,
possibilita ao aluno a percepção do princípio básico do teorema de Tales, através da
verificação das proporcionalidades existentes, evitando que ele receba esta
informação por transmissão direta do professor, contribuindo com um aprendizado
mais consistente.
Semelhança de triângulos
Tabela 17 - A condução do professor ao ensinar a semelhança de triângulos
Como você trabalha Semelhança de triângulos com seus alunos?
Apresento os casos de semelhança,
seguido de exemplos e atividades.
28,6%
Não apresento os casos de semelhança, mas trabalho com lados
proporcionais nos triângulos através de exemplos e atividades.
9,5%
Relaciono com o Teorema de Tales, apresento os casos de
semelhança, seguido de exemplos e atividades. 33,3%
61
Outros. (Não trabalho) 28,6%
Fonte: Dados da pesquisa.
Apesar da relação estreita entre teorema de Tales e semelhança de
triângulos, mais de 65% dos professores não constroem esta importante interligação
com os alunos. É relevante destacar que 28,6% dos profissionais sequer utilizam a
semelhança em sua prática docente, favorecendo a apresentação de conteúdos
posteriores, sem qualquer associação aos seus conceitos prévios.
Relações métricas no triângulo retângulo
Tabela 18 - A condução do professor ao ensinar as relações métricas no triângulo retângulo
Como você trabalha as relações métricas no triângulo retângulo com seus alunos?
Apresento as relações, sugiro exemplos e atividades utilizando
as relações dadas. 52,4%
Demonstro as relações, depois as utilizo em exemplos e
atividades. 19%
Demonstro as relações, mas as atividades são resolvidas por
Semelhança. 9,5%
Outros. (Não trabalho) 19%
Fonte: Dados da pesquisa.
Podemos observar que 88,3% dos professores que trabalham este conteúdo
admitem utilizar fórmulas na resolução de atividades envolvendo relações métricas
no triângulo retângulo. Esta prática de simples memorização não beneficia o real
aprendizado da semelhança de triângulos, sendo na verdade um fator de
impedimento na compreensão dos conteúdos abordados, porque impossibilita a
utilização da semelhança na resolução das atividades. Outra percepção é o fato de
poucos professores validarem as próprias fórmulas que utilizam na resolução de
62
problemas, não agregando ao aprendizado do aluno noções de demonstrações
geométricas.
Teorema de Pitágoras
Tabela 19 - A condução do professor ao ensinar o Teorema de Pitágoras
Como você trabalha o Teorema de Pitágoras com seus alunos?
Apresento o teorema e sugiro exemplos e atividades
utilizando a fórmula. 66,7%
Demonstro o teorema seguido por aplicações
em exemplos e atividades. 28,6%
Outros (Experimentação) 4,8%
Fonte: Dados da pesquisa.
Visualizamos novamente a prática da apresentação de fórmulas, sem qualquer
justificativa ou interligação com os conteúdos anteriormente ministrados. Menos de
30% dos profissionais afirmam demonstrar o teorema de Pitágoras com seus alunos.
Um único professor relatou introduzir o conteúdo de forma diferenciada, utilizando
material concreto por meio do uso de cartolina, como consta em seu relato abaixo:
“Utilizo cartolina, formando áreas para que percebam que a soma das áreas
sobre os catetos é igual à que está sobre a hipotenusa.” (Prof. B)
Trigonometria
Tabela 20 - A condução do professor ao ensinar trigonometria
Como você trabalha trigonometria no triângulo retângulo com seus alunos?
Apresento as relações trigonométricas, em seguida sugiro
aplicações em exemplos e atividades. 66,7%
63
Utilizo semelhança de triângulos para apresentar as relações
trigonométricas, seguido por aplicações.
28,6%
Outros. Não trabalho. 4,8%
Fonte: Dados da pesquisa.
Constatamos mais uma vez que é habito entre a maioria dos professores a
apresentação de fórmulas sem justificativa prévia ou correlação com os conteúdos já
estudados, deixando de oportunizar aos alunos o desenvolvimento de um olhar mais
crítico sobre a construção do conhecimento geométrico. No caso do aprendizado da
trigonometria, é fundamental articular o conhecimento estudado de semelhança de
triângulos de tal forma que justifique as relações trigonométricas, possibilitando ao
aluno a construção de pontes de conexões entre os assuntos estudados, para que
possa compreender a matemática de forma interligada.
3.2.4 Conhecimento geométrico do professor
Apresentaremos a seguir informações de nossa investigação no que se refere
ao conhecimento geométrico dos professores. Realizamos alguns questionamentos
referentes a ideias fundamentais e necessárias para que o professor tenha condição
profissional mínima para conduzir de forma adequada e segura o ensino-
aprendizagem da geometria do nono ano do ensino fundamental.
Gráfico 8 - Compreensão do professor sobre as relações métricas no triângulo retângulo
Fonte: Dados da pesquisa.
64
Somente 38% dos profissionais apresentaram corretamente as relações
métricas no triângulo retângulo, enquanto quase metade dos entrevistados citou não
recordá-las. Como todos os profissionais entrevistados lecionaram para turmas de
nono ano nos últimos quatro anos, é preocupante o fato de poucos se recordarem
das relações métricas no triângulo retângulo, já que são relações simples, derivadas
das semelhanças em um triângulo retângulo qualquer. Mais preocupante ainda é
constatar que 14% dos profissionais sequer conhecem as relações métricas,
confirmando a frágil formação geométrica de parte dos professores de matemática
atuantes em nossas escolas.
No próximo gráfico, apresentaremos os dados referentes ao questionamento
feito aos professores sobre a compreensão dos casos de semelhança de triângulos.
Gráfico 9 - Compreensão do professor sobre
os casos de semelhança de triângulos
Fonte: Dados da pesquisa.
Dos professores entrevistados, 38% admitiram não conhecer os casos de
semelhança de triângulos e apenas 29% mostraram que realmente conhecem esses
casos, enquanto outros afirmaram conhecer, mas não apresentaram registros
corretos ao justificarem suas respostas.
A imagem a seguir é a resposta de um dos professores que demonstrou
contradição, visto que relacionou inconsistentemente a semelhança com a
congruência de triângulos.
65
Figura 20 - Registro da resposta do professor C sobre a questão 4
Fonte: Dado da pesquisa.
O professor C tem noção dos casos de semelhança, mas mostrou que esse
conhecimento não está totalmente desenvolvido. Ao observarmos que mais 70% dos
professores não conseguem relatar o significado dos casos de semelhança,
podemos afirmar que a formação geométrica profissional destes docentes precisa
ser discutida, para que estas deficiências não continuem impedindo a aprendizagem
dos alunos.
Questionamos, também, sobre o entendimento dos professores acerca da
definição de duas figuras planas semelhantes. As informações estão apresentadas a
seguir:
Gráfico 10 - Compreensão do professor sobre a definição de semelhança de triângulos
Fonte: Próprio autor.
Quanto à simples definição de semelhança entre duas figuras planas, apenas
33% dos professores definiram corretamente, sendo que quase 60% deles
declararam não se recordar, apesar de todos lecionarem para turmas de nono ano
nos últimos anos. Abaixo, duas respostas adequadas e outras duas inadequadas em
relação à definição de semelhança, que mostra as disparidades entre as formações
geométricas dos professores:
66
Respostas adequadas:
Figura 21 - Registro da resposta do professor D sobre a questão 5
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 22 - Registro da resposta do professor E sobre a questão 5
Fonte: Dado da pesquisa.
Respostas Inadequadas:
Figura 23 - Registro da resposta do professor F sobre a questão 5
Fonte: Dado da pesquisa.
Figura 24 - Registro da resposta do professor G sobre a questão 5
Fonte: Dado da pesquisa.
Os dois últimos registros retratam fielmente as limitações existentes na
formação geométrica de parte dos professores de matemática. Estas percepções
67
nos remetem ao fato de que muitos alunos não têm a oportunidade de estudar
adequadamente a semelhança de triângulos, já que considerável parte dos docentes
mostra conhecimento insuficiente sobre os assuntos que deveriam lecionar.
No gráfico abaixo, verificamos a compreensão do professor em relação à
demonstração das relações métricas no triângulo retângulo, observando se os
profissionais estão preparados para tal condução.
Gráfico 11 - Conhecimento do professor quanto à demonstração das relações métricas no triângulo retângulo.
Fonte: Dados da pesquisa.
O gráfico aponta que apenas 29% dos professores mostraram conhecimento
quanto à demonstração das relações métricas, enquanto outros afirmaram realizar
as demonstrações através de exemplos e substituição de valores, como nas
respostas expostas abaixo, onde evidenciamos que vários profissionais têm a noção
equivocada do que é uma demonstração.
Figura 25 - Registro da resposta do professor G sobre a questão 10
Fonte: Dado da pesquisa.
68
Figura 26 - Registro da resposta do professor F sobre a questão 10
Fonte: Dado da pesquisa.
No gráfico abaixo verificamos o conhecimento dos professores em relação à
demonstração do teorema de Pitágoras.
Gráfico 12 - Conhecimento do professor quanto à demonstração do Teorema de Pitágoras
Fonte: Dados da pesquisa.
Como ocorreu nas relações métricas no triângulo, apenas 29% dos
professores justificaram a demonstração do teorema de Pitágoras, sendo que a
conduzem por semelhança de triângulos, como exposto nos relatos abaixo:
Figura 27 - Registro da resposta do professor H sobre a questão 10
Fonte: Dado da pesquisa.
69
Figura 28 - Registro da resposta do professor I sobre a questão 13
Fonte: Dado da pesquisa.
Alguns professores afirmaram realizar a demonstração do teorema de
Pitágoras por áreas, mas constatamos que se tratava de experimentações por
comparação em relação à área quadrada sobre a hipotenusa e a soma das áreas
quadradas sobre os catetos, que indica novamente o desconhecimento sobre o
sentido de uma demonstração.
Outro fato preocupante em relação à sequência do aprendizado da geometria
de nono ano é a constatação de que poucos profissionais conhecem de que forma
poderiam justificar a tabela dos ângulos notáveis, como nos mostra o gráfico abaixo:
Gráfico 13 - Conhecimento do professor quanto à construção da tabela dos ângulos notáveis
Fonte: Próprio autor.
Apenas 29% dos professores declararam utilizar o quadrado e o triângulo
equilátero para a formação da tabela. A maior parte dos professores apresenta esta
tabela aos alunos sem a preocupação em justificar a sua utilização, impossibilitando
mais uma vez o desenvolvimento de um aprendizado crítico e efetivo. A seguir, a
exposição de parte de uma das poucas respostas adequadas feita pelo prof. I.
70
Figura 29 - Registro da resposta do professor I sobre a questão 16
Fonte: Dado da pesquisa.
Propomos aos professores a questão a seguir, que se refere à última análise
a respeito dos seus conhecimentos geométricos. Trata-se de uma questão simples
de semelhança de triângulo, que pode estar em qualquer material didático de nono
ano e que propositalmente também aplicamos na pesquisa com alunos.
Tabela 21 - Resultado sobre questão de semelhança respondida por professores de matemática
Dado o triângulo ABC abaixo e sabendo-se que CB//ED, AD=10 cm, DB=5 cm,
CB=12 cm e x = ED, determine x.
C E a) 5 cm b) 6 cm
c) 7 cm d) 8 cm 12 cm e) 9 cm x A 10 cm D 5 cm B
Respostas adequadas 76,2%
Respostas inadequadas 19%
Não responderam 4,8%
Fonte: Dados da pesquisa.
A maioria dos docentes respondeu adequadamente a questão proposta.
Todos os professores que responderam inadequadamente marcaram a opção b (6
cm), confirmando que parte dos profissionais não possui conhecimento mínimo para
trabalhar com semelhança de triângulos, realçando a necessidade de readequarmos
71
a preparação destes professores para que realizem com melhor desempenho suas
atribuições em sala de aula.
3.2.5 Opiniões e atitudes do professor de matemática sobre o trabalho em sala de
aula
Desejamos agora perceber como pensa o professor a respeito de sua
abordagem na condução dos assuntos geométricos. Realizamos, para isto,
questionamentos sobre a prática da utilização de recursos diferenciados que
facilitem o aprendizado dos conceitos da geometria.
Gráfico 14 - Compreensão sobre a utilização de recursos diferenciados nas aulas de geometria
Fonte: Dados da pesquisa.
A maioria dos profissionais considerou importante a utilização de recursos
diferenciados na condução dos conteúdos. No entanto, o desconhecimento da
aplicação desses novos métodos e o pouco tempo de planejamento fornecido são
fatores que impedem o uso dessas ferramentas.
No gráfico seguinte, buscamos identificar os recursos diferenciados que os
professores utilizam em suas aulas.
72
Gráfico 15 - Recursos diferenciados utilizados pelos professores nas aulas de geometria
Fonte: Dados da pesquisa.
Apesar do exaustivo discurso acerca da necessidade da incorporação de
recursos diferenciados nas aulas de matemática, notamos que a metodologia
tradicional de apresentação ainda é rotina generalizada nas aulas, mesmo em
assuntos de fácil associação com a realidade cotidiana, como é o caso da
geometria.
Os dados indicam que cerca de 60% dos professores não utilizam qualquer
recurso para dinamizar as aulas de geometria, e que pouquíssimos fazem uso dos
recursos computacionais como instrumentos facilitadores no processo de ensino-
aprendizagem. De encontro ao nosso estudo, que pretende propor uma abordagem
diferente quanto à apresentação de alguns conteúdos geométricos utilizando o
GeoGebra, podemos perceber que este software é pouco utilizado e até mesmo
pouco conhecido pelos professores participantes da investigação. Deste modo, é
necessário disseminar o conhecimento deste importante recurso entre os
professores de matemática, por meio de cursos de formação e da inclusão destes
métodos na formação básica dos futuros professores.
3.3 ANÁLISE GERAL DAS PESQUISAS
A pesquisa investigativa deste estudo verificou problemas que podem ser
generalizados para muitas outras escolas ou regiões escolares do país, como
73
mostra o resultado da última Prova Brasil, aplicada em 2011, na qual podemos
comprovar que os principais conteúdos geométricos do nono ano são pouco
assimilados pela população estudantil em geral, conforme os dados dos quadros
seguintes apresentadas pelo SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica).
Quadro 1 - Níveis de competências geométricas de alunos de nono ano
Níveis de Desempenho dos alunos
em Matemática.
O que os alunos conseguem fazer nesse nível e exemplos de competências relacionadas aos conteúdos geométricos.
Nível 9
Resolve problemas utilizando as relações métricas do triângulo retângulo; Reconhecem que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram. Reconhecem a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas.
Nível 10
Estimam a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencional ou não; Identificam as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (perímetro, lados e área) em transformações (ampliações ou reduções) de figuras poligonais usando malhas quadriculadas; Resolve problemas com: O cálculo de área e perímetro de figuras planas; ângulos, inclusive utilizando a Lei Angular de Tales e utilizando o Teorema de Pitágoras.
Nível 11
Resolve problemas utilizando relações métricas do triângulo retângulo; Reconhecem figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade; Reconhecem propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos e figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.
Fonte: Editada pelo autor com dados do INEP(Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas educacionais).
O quadro acima informa os conhecimentos geométricos que alunos de nono
ano possuem conforme o nível de competência, enquanto o quadro seguinte
apresenta a distribuição percentual dos alunos por competência em nível nacional.
74
Quadro 2 - Porcentagem de alunos por nível de Proficiência em Matemática dos alunos de 8ªsérie / 9º ano do ensino fundamental em todo Brasil – (Prova Brasil 2011)
Fonte: INEP
A escala de proficiência utilizada pelo SAEB varia de nível 0 a nível 12,
progredindo conforme o nível de conhecimento avaliado. No quadro 2, o nível 12 de
proficiência não foi contemplado pelo SAEB, pois os registros de alunos com
proficiência neste nível foram desprezíveis. Estão destacados no quadro 1 os níveis
de proficiência 9, 10 e 11, por apresentarem as competências relacionadas aos
conteúdos geométricos de nono ano que este estudo aborda, sendo que cada nível
contempla as competências dos níveis anteriores. Percebemos que apenas 7,85%
dos alunos de nono ano apresentaram proficiência em relação aos conceitos
geométricos apresentados a partir do nível 9, onde estão contemplados assuntos
alvos deste trabalho, como: teorema de Pitágoras, relações métricas no triângulo
retângulo, conceitos de semelhança e proporcionalidade. Verifica-se, portanto, que
as deficiências apresentadas em nossa pesquisa investigativa representam de forma
apropriada as dificuldades encontradas por alunos de todo o país, já que os
resultados nacionais observados demonstram que os estudantes apresentam
índices gerais insatisfatórios.
A investigação foi realizada por meio de pesquisas com alunos e professores
sobre a condução dos assuntos geométricos em turmas de nono ano do ensino
fundamental. Ela tornou evidente que o conhecimento precário ou o
desconhecimento de parte significativa dos conteúdos geométricos analisados,
mesmo por alunos de bom rendimento, são frutos de um ensino que renega a
prática do aprendizado geométrico. Apresentaremos a seguir alguns problemas
identificados em nosso estudo que dificultam o aprendizado da geometria nas salas
de aula:
1- Prática tradicional de apresentação dos conteúdos geométricos através de
exposições e exemplificações, seguidos de exercícios similares. Isto evidencia a
pouca utilização de recursos diferenciados como material concreto e instrumentos
75
tecnológicos na construção dos conhecimentos geométricos, favorecendo a
desmotivação do aluno quanto ao aprendizado da matemática.
2- Conhecimento insuficiente da maioria dos alunos em relação aos conteúdos
mínimos de geometria das séries anteriores, devido à prática comum entre os
professores em privilegiar os assuntos aritméticos e algébricos.
3- Capitulação dos conteúdos. Condução inapropriada ao ensinar os assuntos
geométricos, sendo trabalhados na maioria das vezes em tópicos sem interligação
entre os conceitos, impossibilitando que o aluno faça conexões entre os assuntos
estudados.
4- Memorização de fórmulas e procedimentos. Considerável parte dos professores
de matemática afirmou apresentar fórmulas sem qualquer justificativa ou sem a
realização de atividades que cooperem na percepção do aluno quanto ao
conhecimento que está começando a adquirir, dificultando a observação da essência
do conteúdo estudado.
5- Postura discriminatória em relação às demonstrações geométrica em geral. Boa
parte dos profissionais admite considerar os alunos imaturos para as
demonstrações, subestimando-os mesmo naquelas provas mais simples,
dificultando, assim, a familiarização com a generalização de ideias e com o rigor
matemático.
6- Fuga dos assuntos geométricos. Vários profissionais restringem o trabalho com os
conteúdos geométricos, colocando-os ao fim do ano letivo, quando geralmente o
tempo é mais restrito, favorecendo o abandono destes conceitos. Além disso,
observamos que é prática, entre os profissionais, antecipar conhecimentos do
ensino médio em substituição da execução do trabalho com os conhecimentos
geométricos específicos de nono ano.
Todos estes problemas expostos na aprendizagem da geometria do nono ano
ficam mais evidentes devido ao que percebemos como principal fator que
desencadeia as maiores deficiências deste processo de aprendizagem, que é a
formação geométrica insuficiente do professor, como apontado em nosso referencial
teórico.
76
Verificamos em nossa pesquisa que a maioria dos profissionais é formada em
cursos afins da área de exatas, nos quais não são contempladas disciplinas
específicas de geometria. Sua formação geométrica foi adquirida exclusivamente
quando alunos de ensino fundamental e médio, reproduzindo como professores as
mesmas deficiências a que foram expostos durante a sua formação básica. Outro
fato observado na pesquisa com docentes é que, apesar de vários profissionais
possuírem formação superior com especializações e com complementações
pedagógicas em matemática, a maioria esmagadora afirma não ter estudado
conceitos geométricos específicos em qualquer destes cursos.
Essa análise é assustadora, pois os problemas com o ensino da geometria já
não são novidade, já que ocorrem há décadas e estão se reproduzindo a cada
geração, visto que não há uma ruptura que modifique este “ciclo vicioso”, no qual
alunos com formação geométrica insuficiente tornam-se professores com formação
geométrica inadequada. A reprodução deste processo tortuoso foi fomentada pela
própria atuação governamental que, devido à deficiência de profissionais da
educação, possibilitou a formação de licenciados em cursos rápidos através da
resolução nº 2, de 26 de junho de 1997 do Conselho Nacional de Educação, que
dispõe sobre os programas especiais de formação pedagógica de docentes para as
disciplinas do currículo do ensino fundamental, do ensino médio e da educação
profissional em nível médio, como exposto abaixo:
Art. 1º A formação de docentes no nível superior para as disciplinas que integram as quatro séries finais do ensino fundamental, o ensino médio e a educação profissional em nível médio, será feita em cursos regulares de licenciatura, em cursos regulares para portadores de diplomas de educação superior e, bem assim, em programas especiais de formação pedagógica estabelecidos por esta Resolução. Parágrafo único: Estes programas destinam-se a suprir a falta nas escolas de professores habilitados, em determinadas disciplinas e localidades, em caráter especial. (CNE- resolução nº2, 1997, p.1)
Assim, o poder público “cria” mais professores de matemática para atender à
demanda existente, bastando para isso que o candidato a professor tenha curso
superior na área de exatas ou em áreas afins e faça uma complementação de
estudos de cunho pedagógico. Dessa forma, inúmeros administradores, contadores,
economistas e outros passaram a professores de matemática, mesmo tendo em seu
77
currículo de curso superior, poucas horas efetivas de conteúdo matemático e,
principalmente, nenhum conteúdo de geometria euclidiana que fundamentasse o
trabalho com geometria plana e espacial em sala de aula de ensino fundamental e
médio. Podemos constatar este fato ao visualizar o quadro a seguir, referente à
grade curricular do curso de Administração de uma conceituada instituição capixaba.
O currículo deste curso possui cinco disciplinas que exploram assuntos matemáticos
de forma mais específica. Contudo, é uma formação insuficiente para o trabalho
docente em sala de aula, já que o professor de matemática deve possuir
conhecimento específico dos conteúdos que irá trabalhar, como é o caso dos
assuntos geométricos.
Quadro 3 - Grade curricular de um curso de Administração
1º Período
Filosofia
Introdução à Administração
Língua Portuguesa
Matemática I
Organização do Trabalho Intelectual
2º Período
Estatística I
Matemática II
Psicologia
Sociologia
Teorias da Administração I
3º Período
Comportamento Organizacional
Direito Empresarial
Estatística II
Matemática Financeira
Teorias da Administração II
4º Período
Administração de Recursos Humanos I
Contabilidade
Economia
Organização, Sistemas e Métodos
Pesquisa Operacional
5º Período
Administração da Produção I
Administração de Recursos Humanos II
Administração de Sistemas de Informação
Administração e Análise de Custos
Análise de Demonstrativos Financeiros
Conjuntura Econômica
6º Período
Administração Da Produção II
Administração de Marketing I
Administração de Recursos Patrimoniais e
Materiais
Administração Financeira e Orçamentária I
Estratégia de Gestão
7º Período
Administração de Marketing II
Administração Financeira e Orçamentária II
Empreendedorismo
Logística
Pesquisa Aplicada
8º Período
Comércio Exterior
Jogos De Empresa
Tópicos Especiais I
Tópicos Especiais II
Fonte: Faesa
Podemos observar que na grade curricular apresentada não há nenhuma
disciplina de cunho geométrico. Desse modo, verificamos que parte dos professores
advindos de cursos afins da área de exatas não possuem formação adequada em
78
relação à geometria. A complementação pedagógica também se mostra insuficiente
para tornar um profissional de área afim em um professor de matemática, já que
desenvolve assuntos exclusivamente pedagógicos e não matemáticos, como
exposto na grade curricular abaixo:
Quadro 4 - Grade curricular de um curso de complementação pedagógica em matemática
Fonte: IASES - Instituto de Educação do Espírito Santo.
Dessa maneira, o professor de matemática formado em áreas afins da área
de exatas não estuda geometria em seu curso superior e nem no curso de
habilitação pedagógica em matemática, gerando profissionais inacabados quanto ao
conhecimento geométrico. A necessidade desesperada de docentes na área de
educação, especialmente em matemática, cooperou com o surgimento de
profissionais que ocupassem muitos dos cargos docentes disponíveis nas escolas
de todo o país; entretanto, também favoreceu a renegação da geometria devido à
formação geométrica deficiente de muitos desses novos professores.
DISCIPLINAS CH
Interfaces do Relacionamento Humano – O papel da comunicação dentro da escola. 60
Metodologia do Relatório de Estágio 40
Avaliação no Processo Ensino-Aprendizagem 60
Didática e Técnicas de Ensino 60
Panorama Histórico, Filosófico e Sociológico da Educação 40
Políticas da Educação Nacional para Ensino Fundamental e Médio 120
Estágio e Orientação
330
79
CAPÍTULO 4
PROPOSTA DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA
80
4.1 OBJETIVOS
Verificamos, através de nossa pesquisa com alunos e professores, que o
ensino-aprendizagem da geometria ainda é deficiente em parte de nossas escolas,
principalmente aquele destinado ao nono ano do ensino fundamental. A partir desta
constatação, propomos uma sequência didática que contribua com a melhoria desse
panorama, por meio da utilização do GeoGebra como ferramenta metodológica na
exploração de importantes conceitos geométricos pertencentes ao currículo dessa
série.
Percebemos, em nossa investigação, que é prática de muitos docentes
conduzirem os conteúdos relacionados à geometria do nono ano de forma
capitulada e não interligada a conceitos previamente estudados. A mera exposição
dos assuntos, seguida por exemplos e exercícios, impossibilitando a construção
mais ampla do aprendizado pelo aluno, inspirou-nos a construir de forma articulada
a evolução de parte desses conceitos. Os conteúdos abordados em nossa
sequência serão: teorema de Tales, semelhança de triângulos, relações métricas no
triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e trigonometria. Ainda que sejam assuntos
inter-relacionados, na prática de sala de aula são apresentados inúmeras vezes de
forma isolada, sem qualquer conexão entre seus conceitos.
Nossa proposta será conduzida por cinco atividades seriadas, relacionadas à
introdução dos cinco assuntos que desejamos trabalhar. Desejamos que as
atividades sejam iniciadas através de procedimentos básicos e de simples
observação das características do objeto de estudo, sendo seguidas por ideias que
possibilitem ao aluno formular concepções, validar resultados e institucionalizar o
conhecimento por meio de demonstrações e aplicações. Nesse contexto, as
afinidades diferenciadas de cada aluno devem ser respeitadas e o professor deverá
posicionar-se como mediador, intervindo na construção do aluno apenas quando
necessário.
É importante destacar que as atividades propostas por este estudo estão
relacionadas exclusivamente à introdução dos conteúdos que, em nossa análise,
apresentou-se deficitária quanto à forma de condução existente em boa parte das
aulas relacionadas a estes conceitos. Lembramos que após esta abordagem
introdutória é necessário que os assuntos sejam desenvolvidos adequadamente,
81
pois os recursos diferenciados como o que estamos propondo não surtirão efeito se
trabalhados isoladamente, já que são importantes para que o aluno perceba a
essência do conhecimento que esta prestes a adquirir. Dessa forma, o raciocínio
deve ser estimulado continuamente após as atividades iniciais, possibilitando a real
construção do saber através de passos significativos e coerentes, do início ao fim do
conteúdo estudado, para em seguida reiniciarmos o processo com o próximo
assunto a ser discutido.
4.2 PÚBLICO ALVO
O público alvo, que norteará nosso trabalho, é composto principalmente por
alunos do último ano do ensino fundamental, mas também pode ser direcionado
como revisão para alunos do ensino médio.
4.3 PRÉ-REQUISITO
Antes de iniciar qualquer trabalho relacionado à sugestão da sequência que
apresentaremos, é necessário verificar o conhecimento prévio dos alunos
relacionado aos segmentos proporcionais, já que os assuntos de trabalho
necessitam da noção adequada de proporcionalidade. Caso os alunos tenham
conhecimento limitado em relação a este assunto, é importante realizar um trabalho
preliminar, visto que a inexistência deste poderá inutilizar ou dificultar todo o esforço
realizado na condução da sequência.
Quanto aos elementos geométricos, é necessário que o aluno esteja ciente do
significado de ponto, reta, retas paralelas e transversais e noção de ângulos em
geral. Os alunos utilizarão a calculadora para agilizar os experimentos; portanto, é
necessário alertá-los sobre sua utilização em relação às aproximações e à
interpretação do ponto como vírgula. Por fim, é importante que os estudantes
tenham em mente as ideias relacionadas ao conhecimento de números reais, áreas
82
retangulares e equações. Todos esses conteúdos estarão expostos individualmente
em cada atividade da proposta.
4.4 MATERIAIS E TECNOLOGIAS
Para construirmos nossa proposta de sequência didática dos conteúdos
citados, acionaremos a utilização de instrumentos tecnológicos por meio do software
GeoGebra, aproveitando o interesse e a interação que os alunos atuais possuem em
relação às tecnologias. Como já exposto, a escolha do GeoGebra como instrumento
de aprendizado resulta de seu caráter dinâmico em relação a recursos geométricos,
facilitando a manipulação de experimentos que possam favorecer a percepção do
aluno na construção do conhecimento.
Proporemos atividades no GeoGebra, através de roteiros por nós elaborados,
direcionando-as por meio de procedimentos que os alunos deverão realizar ao
manipular o software. Ao manusear, clicando e arrastando, o aluno poderá observar
propriedades com o seu próprio controle, para que, em seguida, possa concluir
ideias através de suas percepções. Lauro (2007) afirma que um software de
geometria dinâmica:
[...] permite construir e explorar objetos interativamente e, uma vez construídos, as figuras podem ser movimentadas conservando as propriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a diferentes casos, constituindo-se numa ferramenta muito rica para a validação experimental de fatos geométricos (LAURO, 2007, p.18) .
4.5 RECOMENDAÇÕES METODOLÓGICAS
Em nossa proposta, o professor terá um papel importante, mas secundário no
que se trata do momento de realização da atividade. Aqui, o conteúdo não será
transmitido como em uma aula tradicional, na qual os alunos olham para o professor
e para o quadro tentando compreender aquela informação que, muitas vezes, é
apresentada como uma verdade sem qualquer justificativa. Em contraposição a essa
83
metodologia tradicional, o trabalho com o GeoGebra favorece a construção do
conhecimento pelo próprio aluno, que passará a ser um agente de condução do
aprendizado, dividindo esta responsabilidade, que antes era exclusiva do professor.
Dessa forma, o aluno poderá aprender interagindo com o programa, utilizando suas
próprias percepções e criando uma possibilidade maior de aprendizado.
Para que a sequência produza seus objetivos é necessário que o estudante
manipule o software, verifique propriedades e registre em roteiro suas observações.
Assim, poderá, ao fim de cada atividade experimental, perceber os fenômenos
matemáticos e estabelecer conclusões próprias. Essas conclusões podem ser
adequadas ou inadequadas e deverão ser mediadas pelo professor, possibilitando
que o estudante caminhe sozinho aprendendo com suas próprias observações.
Desse modo, acreditando que os estudantes estarão mais envolvidos com o novo
conceito de estudo, o avanço do conteúdo poderá ser desenvolvido com alunos mais
instigados em relação ao aprendizado do novo assunto.
A proposta apresentada refere-se à introdução de alguns conteúdos
geométricos, não tendo por finalidade sequenciar de início a fim um único conteúdo,
pois consideramos que o trabalho bem estruturado na apresentação introdutória dos
conceitos é de fundamental importância para que o assunto possa ser desenvolvido
com melhores resultados. Outra observação está relacionada à importância da
utilização de algumas demonstrações geométricas durante ou após a introdução de
alguns conteúdos, acostumando o aluno com o rigor matemático. Contudo, as
demonstrações devem ser utilizadas com bom senso, já que seu uso indiscriminado,
sem a preparação de uma base adequada, poderá desestimular ao invés de motivar
o aprendizado.
4.6 DIFICULDADES PREVISTAS
Inicialmente, alertamos sobre o primeiro impacto da primeira atividade no
GeoGebra. Apesar dos alunos de hoje estarem habituados com os recursos
tecnológicos, possivelmente muitos não conheçam o programa; portanto, devemos
ter calma, pois o aluno será apresentado a uma metodologia diferente com um
84
diferente software. Para que a atividade não se perca, é preciso preparar os alunos
previamente, levando-os ao laboratório antes do início efetivo da primeira situação
didática, apresentando-os ao GeoGebra, para que tenham um primeiro contato
suave com o novo instrumento de aprendizado.
Devido à prática tradicional que criou a acomodação dos alunos em receber
informações diretas, ou seja, “sem pensar”, apenas reproduzindo as afirmações dos
professores, provavelmente vários deles afirmarão que não sabem realizar a
atividade proposta, pois nunca estudaram aquilo anteriormente. Logo, é importante
sensibilizar os estudantes antes do início da atividade, esclarecendo que a mesma é
um método diferente do que estão acostumados, uma vez que se trata de uma
experiência utilizando recursos tecnológicos e que introduzirá um novo conteúdo.
Sendo assim, aconselhamos o professor a incentivar a independência do aluno na
realização da atividade, evitando informá-los acerca de possíveis resultados,
possibilitando que as dificuldades iniciais sejam um aprendizado para que as
atividades posteriores ocorram de forma mais desenvolta.
Outra observação a ser feita é a prática muito usual entre os alunos em
reproduzir respostas idênticas. Nela, os estudantes simplesmente copiam a resposta
do colega sem qualquer reflexão. Para coibir este comportamento, podemos utilizar
a atividade como avaliativa, na qual se analisa a tentativa de compreensão e não a
resposta final, mesmo porque poucas respostas serão idênticas, visto que cada
aluno manipulará de forma diferente o seu software, obtendo assim resultados
distintos.
Algumas escolas não possuem laboratórios de informática adequados para
individualizar a atividade, fazendo com que a mesma seja trabalhada em dupla ou
mais alunos. Nestas situações, podemos distribuir os estudantes com afinidade
matemática, formando pares com outros que apresentam limitações, lembrando que
todos devem manipular a atividade individualmente, mas podem colaborar entre si.
85
4.7 DESCRIÇÃO GERAL DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
4.7.1 Atividade 1: Teorema de Tales
Conceitos Prévios necessários
Noções de ponto, reta, segmento, retas paralelas, retas transversais, segmentos
proporcionais e ângulos. É importante trabalhar essas ideias antes da atividade,
especialmente sobre as proporcionalidades. Na atividade de demonstração do
teorema de Tales também é necessário que o aluno tenha bom conhecimento do
conjunto dos números reais.
Tempo de aula
Uma aula é suficiente para desenvolver a primeira parte da atividade no
laboratório. O fechamento da atividade poderá ocorrer ao fim da mesma ou na aula
seguinte em sala comum. Na segunda parte desta atividade trabalharemos a
demonstração do teorema de Tales. Caso o professor deseje utilizá-la, necessitará
de outra aula.
Descrição da Atividade:
Parte 1
Almejamos que o aluno seja capaz de compreender o significado geométrico
do teorema de Tales, verificando através de experimentos, a proporcionalidade entre
segmentos. O estudante será conduzido a determinar razões entre segmentos
proporcionais formados a partir de duas transversais que intersectam um feixe de
retas paralelas, como na figura seguinte:
86
Figura 30 - Arquivo Teorema de Tales
Fonte: Próprio autor.
Inicialmente, queremos que o aluno perceba que a congruência entre
segmentos de uma transversal implica na congruência dos segmentos de outra
transversal qualquer, quando determinados por retas paralelas, como nas imagens
abaixo:
Figura 31 - Arquivo Teorema de Tales (Congruência de segmentos)
Fonte: Próprio autor.
Seguindo algumas orientações, o aluno manipulará o GeoGebra por meio de
movimentos dos pontos de interseções sobre as transversais e sobre as paralelas,
determinando novos segmentos e obtendo novos registros, que conduzirão o
estudante a perceber que a proporcionalidade entre os segmentos ocorrem
87
independentemente da posição dos pontos de interseções das transversais com as
paralelas, como exposto na imagem a seguir:
Figura 32 - Arquivo Teorema de Tales, após manipulação
Fonte: Próprio autor.
O último item da atividade refere-se ao primeiro exercício em que o aluno
poderá utilizar os conceitos estudados, sendo importante uma boa condução por
parte do professor ao realizar inferências que cooperem no esclarecimento de
eventuais dúvidas. Expomos abaixo o roteiro de trabalho desta primeira atividade.
ATIVIDADE 1 – TEOREMA DE TALES
Parte 1
1) Abra a calculadora e o arquivo Teorema de Tales. Você visualizará três retas paralelas e duas retas transversais. Observe que os pontos: A, B, C, D, E e F são
interseções entre as retas e que EFeDEBCAB ,,, são segmentos.
a) Clique e arraste o ponto C, de tal forma a determinar que o segmento BC seja
congruente (mesma medida) ao segmento AB . O que ocorreu com os segmentos
EFeDE ? - Clique no ponto D e arraste várias vezes. O que ocorreu com os segmentos
EFeDE ?
88
- O que você percebeu que ocorre com os segmentos de uma transversal quando os segmentos de outra são congruentes? b) Clique no ponto C e arraste sobre a transversal. Observe as medidas dos segmentos, anote-as abaixo e determine as razões encontradas.
BC
AB e
EF
DE
- O que você percebeu que ocorreu com as duas razões? c) Clique no ícone e pause em seguida. Observe as medidas, anote-as abaixo e determine as razões encontradas.
BC
AB e EF
DE
- O que você percebeu que ocorreu com as duas razões? d) Clique nos pontos de interseção modificando sua figura como desejar. Em seguida, observe as medidas, anote-as abaixo e determine as razões encontradas.
AC
AB e DF
DE
- O que você percebeu que ocorreu com as duas razões? e) Clique no ícone e pause em seguida. Observe as medidas, anote-as abaixo e determine as razões encontradas.
AC
BC e DF
EF
- O que você percebeu que ocorreu com as duas razões? f) Modifique a imagem como desejar. Observe as medidas, anote-as e determine as razões encontradas.
89
BC
AB e EF
DE
AC
AB e DF
DE
AC
BC e DF
EF
- Os pares de razões encontradas são iguais? g) O que você pode concluir observando todas as suas respostas nos itens anteriores? h) Utilizando o que você aprendeu, qual seria a medida do segmento x=AB abaixo? Justifique sua resposta. A D
x 2 m B E 6 m 3 m C F
Roteiro de trabalho - Teorema de Tales(Parte 1).
Após o fim da atividade, é relevante discutir com os alunos alguns aspectos
pertinentes aos registros que observaram, deixando que os mesmos exponham suas
ideias e suas conclusões, sendo o professor um mediador neste importante
momento, conduzindo e construindo com os alunos as principais características e
propriedades pertinentes ao teorema de Tales.
Dependendo do público de trabalho, é interessante que o professor faça uma
análise sobre a possível formalização do teorema, pelo menos em relação às razões
comensuráveis, já que as demonstrações com segmentos incomensuráveis são de
difícil compreensão por parte dos alunos. No entanto, entendemos que o maior
90
objetivo a ser alcançado está na compreensão dos alunos em relação à essência da
ideia do teorema de Tales, que pode se tornar mais evidente com a utilização da
parte 1 desta atividade. Na parte 2, propomos uma forma de trabalhar a
demonstração do teorema de Tales com os alunos em relação aos segmentos
comensuráveis, deixando a critério do professor a sua utilização.
Parte 2
A demonstração do teorema de Tales necessita do conhecimento de
congruência de triângulos e de ângulos formados por interseções entre transversais
e paralelas. Através da experimentação na parte 1 da atividade, o aluno tem a
oportunidade de perceber que segmentos congruentes em uma transversal
determinam segmentos congruentes em outra transversal qualquer, quando
determinados por retas paralelas. Podemos demonstrar esta observação por meio
da congruência de triângulos, como exposto abaixo:
Demonstração
Dados os segmentos AB =a, BC =a, DE =b e EF sobre transversais e
determinados por retas paralelas, queremos mostrar que EF = b. Tracemos à reta
AC , paralelas pelos pontos D e E, determinando as interseções M e N sobre BE e
CF , respectivamente, como ilustramos a seguir:
Figura 33 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales (passo 1)
Fonte: Próprio autor.
91
Como os quadriláteros ABMD e BCNE são paralelogramos, temos que
DM = AB = a e EN = BC = a. Pela correspondência angular entre retas paralelas,
temos que FNEEMD ˆˆ e NFEMED ˆˆ . Logo FENEDM ˆˆ . Pelo caso ALA de
congruência de triângulos, temos que DME e ENF são triângulos congruentes. Logo
EF = DE = b.
Agora, podemos demonstrar o teorema de Tales em relação aos segmentos
comensuráveis. Apresentaremos, aos alunos, retas transversais, cortadas por
paralelas, determinando segmentos côngruos como na imagem abaixo:
Figura 34 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales (passo 2)
Fonte: Próprio autor.
Existe uma unidade de medida x que divide os segmentos AB e BC em
partes iguais. Da atividade anterior o aluno provavelmente percebeu que quando as
retas paralelas formam segmentos congruentes em uma transversal, determinam
segmentos congruentes em outra transversal qualquer. Assim, encontraremos nos
segmentos DE e EF o mesmo número de partes iguais com uma unidade de
medida y, como exposto a seguir:
EF
DE
BC
AB
y
y
EF
DEe
x
x
BC
AB
7
5
7
5
7
5
7
5 e
92
DF
DE
AC
AB
y
y
DF
DEe
x
x
AC
AB
12
5
12
5
12
5
12
5
O roteiro dessa atividade segui abaixo:
Parte 2 1) Nesta atividade, você irá demonstrar o teorema de Tales para segmentos com medidas racionais. a) Abra o arquivo Demonstração do Teorema de Tales (passo 2). Você visualizará duas transversais cortadas por um feixe de retas paralelas formando segmentos congruentes de medida x com a primeira transversal. - Se um dos segmentos formados pelas interseções das paralelas com a outra transversal tem medida y, quais serão as medidas dos outros segmentos? Justifique. b) Determine as medidas dos segmentos:
AB =______; BC =______; DE =______; EF =______; AC =______ e DF =______ c) Determine as razões abaixo:
DF
DE
AC
AB
EF
DE
BC
AB;;;
d) O que você pode concluir a respeito das razões encontradas? São iguais?
Roteiro de trabalho - Teorema de Tales (Parte 2).
Da mesma forma, podemos dividir os segmentos AB em n partes
congruentes e BC em m partes congruentes, todos com medida x, obtendo n partes
congruentes em DE e m partes congruentes em EF , todos com medida y. O aluno
será instruído a generalizar através da seguinte ilustração:
93
Figura 35 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales (passo 3)
Fonte: Próprio autor.
Assim, o professor poderá auxiliar o aluno a concluir o teorema de Tales no
caso de segmentos comensuráveis, obtendo as razões abaixo:
EF
DE
BC
AB
m
n
my
ny
EF
DEe
m
n
mx
nx
BC
AB e
DF
DE
AC
AB
mn
n
ymn
ny
DF
DEe
mn
n
xmn
nx
AC
AB
)()(
Considerável parte dos alunos certamente apresentará dificuldade na
compreensão da demonstração, cabendo ao professor visualizar o nível de
aprendizado de seus alunos, adaptando a atividade conforme as necessidades do
público envolvido. Segue abaixo o roteiro complementar desta atividade.
2) Abra o arquivo Demonstração do Teorema de Tales (passo 3). Você visualizará a mesma situação do item anterior, generalizando a quantidade de segmentos de medidas x sobre uma das transversais, determinados pelas paralelas. a) Determine as medidas dos segmentos:
AB =______; BC =______; DE =______; EF =______; AC =______ e DF =______ - Determine as razões abaixo:
94
DF
DE
AC
AB
EF
DE
BC
AB;;;
b) O que você pode concluir a respeito das razões encontradas? São iguais?
Complemento do roteiro de trabalho - Teorema de Tales (Parte 2).
Ao fim da demonstração o professor pode ainda estender para os casos dos
segmentos incomensuráveis, citando aos alunos a possibilidade das medidas dos
segmentos serem números irracionais, informando que a demonstração desse caso
foge aos objetivos de estudo no nível fundamental. A ilustração seguinte pode
facilitar a visualização do aluno na compreensão de que um segmento BC de
medida irracional não pode ser decomposto em um número inteiro de partes com
medidas racionais.
Figura 36 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales (passo 4)
Fonte: Próprio autor.
Caso tenhamos alunos curiosos sobre a demonstração do teorema,
sugerimos a demonstração por áreas. Essa demonstração é bem mais simples, pois
evita a incomensurabilidade de uma forma direta, bastando que o aluno tenha uma
95
boa noção sobre áreas de triângulos. Contudo, é importante destacar que a
demonstração da fórmula da área do triângulo como metade do produto da medida
da base pela medida da altura, no caso em que a base ou a altura é incomensurável
com o segmento unitário, normalmente não é apresentada aos alunos.
Demonstração:
Dados o triângulo ABC e o segmento DE , paralelo a BC , onde D e E são pontos
dos segmentos AB e AC , respectivamente, como ilustramos na figura a seguir:
Figura 37 - Arquivo Demonstração do teorema de Tales por áreas
Fonte: Próprio autor.
Os triângulos BDE e CED têm a mesma área, já que possuem a mesma base
DE e mesma altura, pois DE // BC .
Tracemos a altura h1 em relação à base AE do triângulo ADE e a altura h2 em
relação à base AD do mesmo triângulo ADE. Obtemos que:
2
.)( 2hAD
ADEA e 2
.)( 1hAE
ADEA
Observemos que h1 também é altura do triângulo CED e que h2 também é
altura do triângulo BDE. Assim, podemos determinar razões entre áreas como:
96
2
2
.
.
)(
)(
hDB
hAD
BDEA
ADEA
e
1
1
.
.
)(
)(
hEC
hAE
CEDA
ADEA
Como os triângulos BDE e CED têm mesma área, temos que:
.EC
AE
DB
AD
Da mesma forma:
2
2
.
.
)(
)(
hDB
hAB
BDEA
ABEA
e
EC
AC
BD
AB
hEC
hAC
CEDA
ACDA
1
1
.
.
)(
)(.
4.7.2 Atividade 2: Semelhança de triângulos
Conceitos Prévios necessários
Identificação de ângulos e noções proporcionalidade. Caso os alunos tenham
realizado a atividade 1, do teorema de Tales, já estarão com boa noção em relação
aos segmentos proporcionais.
Tempo de aula
São necessárias três aulas para o desenvolvimento da atividade no
laboratório. Dividimos esta atividade em três partes e sugerimos que em cada aula
seja desenvolvida uma delas, flexibilizando conforme o rendimento da turma.
Descrição da Atividade
Esta atividade tem por objetivo introduzir o conceito de semelhança de triângulos,
utilizando segmentos proporcionais aproveitando as ideias trabalhadas no teorema
de Tales. Devido às observações realizadas no desenvolvimento deste estudo,
constatamos que a semelhança de triângulos sofre grande rejeição, o que é
97
consequência das dificuldades encontradas por professores na condução deste
conceito e dos alunos em compreendê-lo. Por esse motivo, é necessário que a
introdução deste conteúdo seja ministrada de forma gradativa e organizada, para
possibilitar uma melhor compreensão do aluno. Assim, dividimos esta atividade em
três partes, que podem ser organizadas em duas, três ou quatro aulas, conforme a
evolução particular de cada turma. Desejamos que o aluno perceba passo a passo a
construção do conceito de semelhança por meio de suas próprias manipulações e
observações, direcionados pelos roteiros que apresentaremos a seguir.
Descreveremos agora o desenvolvimento da proposta para cada aula.
Parte 1
Nosso objetivo inicial é utilizar o conhecimento estudado no teorema de Tales
e relacioná-lo à semelhança de triângulos. Para isso, trabalharemos a princípio com
o teorema de Tales, através de transversais que formam triângulos semelhantes. Ao
abrir o arquivo indicado no GeoGebra, o aluno visualizará a imagem a seguir:
Figura 38 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 1)
Fonte: Próprio autor.
Por intermédio do roteiro, queremos que o estudante observe as
proporcionalidades entre os lados dos triângulos a partir das proporções estudadas
no teorema de Tales. Incluímos no roteiro o estudo segmentos não proporcionais
98
que geram muitos erros na resolução de problemas de semelhança de triângulos,
visto que é muito comum os alunos utilizarem as razões abaixo como iguais:
Desejamos que o aluno perceba a falsa proporção entre os segmentos que
determinam a razão BCDE / e reflita sobre os motivos que justifiquem essa
observação. Convidaremos o aluno a manipular os triângulos, conduzindo-o a
verificar razões iguais, introduzindo a ideia de semelhança de triângulos, como
mostra a imagem abaixo, após uma possível manipulação.
Figura 39 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 1), após manipulação
Fonte: Próprio autor.
Após o término da primeira parte da atividade é muito importante que o
professor realize uma discussão, incentivando os alunos a comentarem suas
respostas, de forma a esclarecer eventuais dúvidas e ratificando a proporcionalidade
observada na semelhança de triângulos. Segue o roteiro da parte 1 dessa atividade.
ATIVIDADE 2 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Parte 1 1) Abra a calculadora e o arquivo Semelhança de Triângulos (Parte 1). Você visualizará duas retas paralelas cortadas por transversais, formando dois triângulos.
BC
DE
EC
AEe
BC
DE
DB
AD
99
a) Clique no ponto A e modifique os triângulos como desejar. Observe as medidas dos segmentos abaixo indicados. Anote-as e determine as razões encontradas. ; e - Quais das razões que você encontrou são iguais? - Todos os segmentos utilizados são lados de triângulos? Justifique. b) Clique no ponto B e modifique os triângulos como desejar. Observe as medidas dos segmentos abaixo indicados. Anote-as e determine as razões encontradas.
AB
DB ;
AC
EC e
- Quais das razões que você encontrou são iguais? - Todos os segmentos utilizados são lados de triângulos? Justifique. c) Observando suas respostas anteriores, certamente houve razão distintas das demais. Qual foi a razão? Pense e tente justificar por que apenas essa razão não manteve a igualdade. d) Clique no ponto E e modifique os triângulos como desejar. Observe as medidas dos segmentos abaixo indicados. Anote-as e determine as razões encontradas. ; e - Quais das razões que você encontrou são iguais? - Todos os segmentos utilizados são lados de triângulos? Justifique.
EC
AE
BC
DE
BC
DE
AC
AE
DB
AD
AB
AD
BC
DE
100
e) Quando os três pares de lados de dois triângulos são proporcionais, dizemos que estes triângulos são semelhantes. Observe novamente o item d. Os três pares de lados dos triângulos ABC e ADE são proporcionais? - Os triângulos ABC e ADE são semelhantes? Justifique. Roteiro de trabalho - Semelhança de triângulos (Parte 1).
Parte 2
Nesta aula, desejamos que o aluno compreenda a congruência dos ângulos
correspondentes em triângulos semelhantes, conduzindo-o a observar, através de
experimentação, que as razões iguais entre lados de um triângulo estão diretamente
associadas à correspondência entre seus ângulos. Para isso, utilizaremos três
triângulos, sendo dois deles semelhantes, que deverão ser identificados pelos
próprios alunos, conforme a imagem a seguir:
Figura 40 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 2)
Fonte: Próprio autor.
Trata-se de uma atividade com mais visualização e menos manipulação.
Utilizaremos triângulos semelhantes obtendo razões iguais e razões distintas entre
seus lados com o propósito de motivar o aluno a concluir que dois triângulos
101
semelhantes possuem lados homólogos proporcionais e ângulos correspondentes
congruentes. Utilizando o roteiro abaixo, é nosso intuito levar o aluno a perceber que
as razões iguais são obtidas de lados opostos a ângulos congruentes, o que
fundamentará a resolução de qualquer problema de semelhança de triângulos.
Parte 2 2) Abra o arquivo Semelhança de Triângulos(Parte 2). Você visualizará três triângulos (ABC, A’B’C’ e A”B”C”) com ângulos e lados dados. a) Observe os triângulos e Informe o ângulo oposto de cada segmento dado.
Segmento
AB BC AC ''BA ''CB ''CA '''' BA '''' CB '''' CA
Ângulo
b) Observe as medidas dos lados dos triângulos 1 e 2. Anote-as abaixo e determine as razões encontradas. ; e - O que você percebeu que ocorreu com as três razões? Todas são iguais? justifique. c) Observando ainda os mesmos lados dos triângulos 1 e 2, anote-os abaixo e determine as razões encontradas.
'' BA
AC ;
''CB
AB e
''CA
BC
- O que você percebeu que ocorreu com as três razões? São iguais? Justifique. d) Observando suas respostas anteriores, justifique com suas palavras por que nos mesmos triângulos encontramos razões iguais e razões distintas. (Dica: observe os ângulos)
''CA
AC
''CB
BC
'' BA
AB
102
e) Aprendemos, na parte 1 da atividade, que duas figuras são semelhantes quando seus três pares de lados são proporcionais. Os triângulos 1 e 2 são semelhantes? Justifique. f) O que você pode afirmar sobre a semelhança e os ângulos dos triângulos 1 e 2? g) Observe as medidas dos lados dos triângulos 1 e 3. Anote-as abaixo e determine as razões encontradas. ; e - Os triângulos 1 e 3 são semelhantes? Justifique. - O que você pode afirmar sobre os ângulos dos triângulos 1 e 3? h) O que você percebeu que ocorre com os ângulos, quando os triângulos são semelhantes? i) Observe os ângulos dos triângulos 2 e 3. Esses triângulos são semelhantes? Justifique. Roteiro de trabalho - Semelhança de triângulos (Parte 2).
Ao fim da parte dois, sugerimos um exercício simples de visualização no
próprio GeoGebra, como exposto na imagem a seguir, com o objetivo de finalizar a
aula com a verificação da compreensão da semelhança a partir da observação dos
ângulos nos triângulos.
'''' BA
AB
'''' CB
BC
'''' CA
AC
103
Figura 41 - Arquivo Exercício 1 (Semelhança de triângulos)
Fonte: Próprio autor.
Neste exercício possibilitamos também uma revisão sobre o estudo de
ângulos em triângulos e uma primeira percepção sobre o caso AA de semelhança.
Em seguida, expomos o roteiro de trabalho deste exercício.
j) Abra o arquivo Exercício 1 – Semelhança de triângulos. Observe os ângulos dos triângulos. - Determine as medidas dos ângulos desconhecidos: â, ê e ô. - Quais triângulos são semelhantes? Justifique. k) Podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes, caso identifiquemos uma de duas condições, sendo uma em relação aos lados e outra em relação aos ângulos. Quais são essas condições?
104
L) Quando não são informados os lados dos triângulos, quantos ângulos devem ser dados para você verificar a semelhança entre eles? Justifique. Complemento do roteiro de trabalho - Semelhança de triângulos (Parte 2).
Parte 3
Após definirmos a semelhança de triângulos nas aulas 1 e 2, iremos trabalhar
com razões de semelhança relacionando-as a reduções e ampliações,
encaminhando a percepção sobre a constante de proporcionalidade, relacionando o
valor da constante com uma redução ou uma ampliação. Nesta atividade, o aluno
visualizará triângulos semelhantes formados por mesmas semirretas a partir de um
único ponto, como exposto na figura a seguir:
Figura 42 - Arquivo Semelhança de triângulos (Parte 3)
Fonte: Próprio autor.
A atividade é iniciada com o reforço da compreensão de segmentos
proporcionais da semelhança de triângulos, sendo articulada a partir daí a razão de
semelhança (constante de proporcionalidade) para a construção de reduções e
ampliações, conforme as imagens a seguir:
105
Figura 43 - Redução e ampliação no arquivo Semelhança de triângulos(Parte 3)
Fonte: Próprio autor.
As instruções de condução desta parte da atividade estão detalhadas
conforme o roteiro exposto abaixo:
Parte 3 3) Abra o arquivo Semelhança de Triângulos(Parte 3). Você visualizará dois triângulos (ABC e A’B’C’) com lados dados. a) Observe as medidas dos lados dos dois triângulos. Anote-as abaixo e determine as razões encontradas.
AB
BA '' ;
BC
CB '' e
AC
CA ''
- Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes? Justifique. - Caso os triângulos sejam semelhantes, todas as razões entre os lados correspondentes são iguais, gerando o que chamamos de razão de semelhança ou constante de proporcionalidade. Se os triângulos são semelhantes, informe qual é a razão de semelhança encontrada. - O triângulo A’B’C’ é uma redução ou uma ampliação do triângulo ABC? Justifique.
106
b) Clique no ponto B’ do triângulo A’B’C’ e arraste, de forma a realizar uma redução em relação ao triângulo ABC. Observe as medidas dos lados dos dois triângulos. Anote-as abaixo e determine as razões encontradas.
AB
BA '' ; BC
CB '' e AC
CA ''
- Os triângulos ABC e A’B’C’ são Semelhantes? Caso afirmativo, determine a razão de semelhança. - A razão de semelhança é maior ou menor que 1? c) Clique no ponto B’ do triângulo A’B’C’ e arraste, de forma a realizar uma ampliação em relação ao triângulo ABC. Observe as medidas dos lados dos dois triângulos. Anote-as abaixo e determine as razões encontradas.
; e - Os triângulos ABC e A’B’C’ são Semelhantes? Caso afirmativo, determine a razão de semelhança. - A razão de semelhança é maior ou menor que 1? d) De acordo com suas respostas, qual a relação existente entre redução, ampliação e as razões de semelhança (constante de proporcionalidade)? - Caso você queira obter uma figura qualquer reduzida e semelhante a uma figura original, você deverá multiplicar por uma constante positiva menor ou maior que 1? - E se você desejar ampliar a figura original. Como deverá proceder? Roteiro de trabalho - Semelhança de triângulos (Parte 3).
AB
BA ''
BC
CB '' AC
CA ''
107
Finalizando nossa atividade, apresentamos ao fim da parte 3, um exercício
comum de semelhança de triângulos, para que o aluno comece a utilizar os
conceitos aprendidos na resolução de problemas desse conteúdo. Abaixo, a imagem
do exercício proposto:
Figura 44 - Arquivo Exercício 2 (Semelhança de triângulos)
Fonte: Próprio autor.
Segue o roteiro desse último exercício:
e) Abra o arquivo Exercício 2 – Semelhança de triângulos. Os triângulos apresentados são duas peças de madeira. Esses triângulos são semelhantes? Justifique. - Caso sejam semelhantes, qual é a constante de proporcionalidade? - Utilizando o que você aprendeu, tente descobrir a medida do lado x.
Complemento do roteiro de trabalho - Semelhança de triângulos (Parte 3).
108
Acreditamos que, a partir dessa atividade introdutória, o desenrolar do conteúdo
possa ser construído de forma satisfatória. Depois de realizado o trabalho aqui
sugerido, é interessante que a definição da semelhança de triângulos seja
generalizada para as demais figuras geométricas planas. Outra observação
pertinente é que não tratamos dos casos específicos de semelhança de triângulo,
pois nossa abordagem refere-se à compreensão da essência do significado deste
conceito como fundamentação necessária para que, em seguida, o professor possa
apresentar os casos de semelhança.
Para familiarizar o aluno com o rigor matemático, sugerimos a seguinte
demonstração: Provar que os triângulos ABC e ADE (formados por paralelas e
transversais conforme figura 38, pág. 97) são dois triângulos com ângulos
congruentes e lados proporcionais. Assim, pela definição de semelhança obtida na
experimentação, os triângulos são semelhantes.
Figura 45 - Demonstrando a semelhança de triângulos (I).
Fonte: Próprio autor.
Demonstração
Do paralelismo entre BC e DE , temos que:
CADCABeDEABCAEDACBA ˆˆˆˆ;ˆˆ . Logo ABC e ADE são triângulos
semelhantes, já que temos ângulos congruentes.
Por Tales, também podemos demonstrar a semelhança entre os dois
triângulos. temos que: AC
AE
AB
AD (I)
109
Tracemos uma paralela a AB , passando pelo ponto E e interceptando BC em
F, como ilustra a imagem seguinte:
Figura 46 - Demonstrando a semelhança de triângulos (II).
Fonte: Próprio autor.
Novamente por Tales, obtemos: BC
BF
AC
AE (II). Como BDEF é um
paralelogramo, DE = BF .
Desta forma, podemos concluir por (I) e (II) que: BC
DE
AC
AE
AB
AD
Provamos assim, que os triângulos possuem ângulos homólogos congruentes
e lados correspondentes proporcionais. Logo são semelhantes.
4.7.3 Atividade 3: Relações métricas no triângulo retângulo
Conceitos Prévios necessários
Identificação de ângulos, noções de proporcionalidade e equações.
Tempo De aula
São necessárias três aulas de atividade no laboratório, variando conforme o ritmo
da turma. Dividimos esta atividade em três partes, sendo que a parte 3 pode ser
trabalhada em sala comum, caso não seja possível finalizá-la no laboratório.
110
Descrição da Atividade
Inicialmente não utilizaremos as relações métricas diretamente, pois não
queremos que o aluno memorize fórmulas sem compreender que resultam da
semelhança de triângulos, sendo até mesmo desnecessárias. Subdividimos essa
atividade em três partes, com o objetivo de incrementar o conhecimento em cada
uma delas, através de um início de observação levando o aluno à demonstração das
principais relações métricas no triângulo retângulo.
Parte 1
Na primeira parte da atividade o aluno visualizará um triângulo retângulo com
ângulos e lados dados, incluindo as projeções dos catetos e a altura em relação à
hipotenusa, como exposto a seguir:
Figura 47 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 1).
Fonte: Próprio autor.
A manipulação consta de uma experimentação, na qual o aluno será
convidado a observar a existência de três triângulos retângulos e a modificar a figura
dada, verificando que em um triângulo retângulo a semelhança se mantém
111
independentemente da manipulação feita, como indica a figura abaixo, que
representa uma imagem depois de suposta manipulação:
Figura 48 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 1), após manipulação.
Fonte: Próprio autor.
Ao fim da primeira parte, apresentamos aos alunos os elementos do triângulo
retângulo: catetos, hipotenusa, altura e projeções, realizando uma simples atividade
de reconhecimento desses elementos e instigando-os a perceber a relação entre
projeções e hipotenusa. O roteiro desta atividade segue abaixo:
ATIVIDADE 3 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Parte 1 1) Abra a calculadora e o arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 1). Temos três triângulos retângulos na figura: ∆ABC, ∆HBA e ∆HAC. a) Você consegue enxergá-los? Faça um desenho de cada um deles separadamente. Triângulo 1 Triângulo 2 Triângulo 3
112
b) Informe os ângulos dos triângulos: ∆ABC:____ ;____ e ____ ∆HBA:____ ; ____ e ____ ∆HAC: ____ ; ____ e ___ - Esses triângulos são semelhantes? Por quê? c) Clique no ponto B e modifique o triângulo. Informe os novos ângulos encontrados. ∆ABC:____ ;____ e ____ ∆HBA:____ ; ____ e ____ ∆HAC: ____ ; ____ e ___ - Esses triângulos são semelhantes? Por quê? d) Clique no ponto A e modifique o triângulo. Informe os novos ângulos encontrados. ∆ABC:_____;_____e____ ∆HBA:____;_____e____ ∆HAC:____; _____e____ - Esses triângulos são semelhantes? Por quê? e) Observe os resultados anteriores. O que você percebeu que ocorre com os ângulos quando você modifica o triângulo? Os triângulos sempre serão semelhantes? f) Observe a figura abaixo. Trata-se de um triângulo retângulo e seus principais elementos. a - Hipotenusa b - Cateto
c - Cateto
h - Altura m - Projeção do cateto c n - Projeção do cateto b
113
g) Modifique como quiser o seu triângulo no GeoGebra e informe os valores de cada elemento: a=_______ ; b=_______; c=_______; h=_______; m=________; n=_______ - Existe uma relação entre os segmentos a, m e n. Que relação é esta? Roteiro de trabalho - Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 1).
Parte 2
Após o aluno perceber a semelhança existente nos três triângulos retângulos,
desejamos que ele construa razões determinadas por lados proporcionais. Para
isso, apresentamos outro triângulo, sendo informadas apenas as medidas das
projeções, como na imagem abaixo.
Figura 49 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 2)
Fonte: Próprio autor.
Convidaremos o aluno a determinar, por meio de semelhança de triângulos,
as medidas desconhecidas. Para que organize melhor as suas possíveis razões nos
três triângulos, iremos propor a utilização de um quadro com o objetivo de facilitar a
percepção das possíveis proporcionalidades existentes.
114
Cada aluno será induzido a modificar o triângulo inicial para que não fique
preso a resultados de colegas. Por intermédio do roteiro de trabalho solicitaremos
que o aluno faça um esboço de cada um dos triângulos separadamente para melhor
visualização dos dados específicos de cada um deles. Em seguida, proporemos que
preencham o quadro abaixo, observando os ângulos correspondentes e as medidas
dos lados opostos a cada ângulo:
Quadro 5 - Construção das proporcionalidades em triângulos retângulos.
Ângulo reto (90º) Ângulo 1 (_____) Ângulo 2 (______)
Lados do triângulo 1
Lados do triângulo 2
Lados do triângulo 3
Fonte: Próprio autor.
Utilizando os dados do triângulo da figura 49 e completando o quadro
proposto, teremos o seguinte quadro de lados proporcionais.
Quadro 6 - Construção das proporcionalidades
com dados do triângulo da figura 49.
Ângulo reto (90º) Ângulo 1 (32º) Ângulo 2 (58º)
Lados do triângulo 1
19,9 c b
Lados do triângulo 2
c 5,6 h
Lados do triângulo 3
b h 14,3
Fonte: Próprio autor.
Montado o quadro, o aluno poderá visualizar, de forma bem organizada, as
várias proporcionalidades existentes entre os lados dos triângulos, podendo, a partir
dele, escolher a proporção que deverá utilizar para encontrar as medidas
desconhecidas. Nesse momento o professor poderá intervir, motivando o aluno a
determinar as razões e o orientando no cálculo da primeira medida. Destacamos nos
quadros seguintes as possíveis proporções utilizadas pelos alunos.
115
Quadro 7 - Destaque da proporcionalidade que determina a altura h.
Ângulo reto (90º) Ângulo 1 (32º) Ângulo 2 (58º)
Lados do triângulo 1
19,9 c b
Lados do triângulo 2
c 5,6 h
Lados do triângulo 3
b h 14,3
Fonte: Próprio autor.
Quadro 8 - Destaque da proporcionalidade que determina o cateto c.
Ângulo reto (90º) Ângulo 1 (32º) Ângulo 2 (58º)
Lados do triângulo 1
19,9 c b
Lados do triângulo 2
c 5,6 h
Lados do triângulo 3
b h 14,3
Fonte: Próprio autor.
Quadro 9 - Destaque da proporcionalidade que determina o cateto b.
Ângulo reto (90º) Ângulo 1 (32º) Ângulo 2 (58º)
Lados do triângulo 1
19,9 c b
Lados do triângulo 2
c 4,12 h
Lados do triângulo 3
b h 14,3
Fonte: Próprio autor.
A seguir, expomos o roteiro de trabalho da segunda parte da atividade, que
acabamos de relatar acima.
Parte 2 2) Abra o arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 2). Você visualizará um triângulo retângulo com valores de dois elementos dados. Iremos descobrir os valores dos outros elementos. a) Modifique a figura como desejar e faça um desenho com todas as medidas de lados e ângulos de cada um dos três triângulos separadamente.
116
Triângulo 1 Triângulo 2 Triângulo 3 - Os três triângulos são semelhantes? Por quê? - Qual é a medida da hipotenusa do seu maior triângulo? b) Caso os três triângulos sejam semelhantes, podemos obter várias proporcionalidades entre seus lados. Vamos selecionar as medidas dos lados dos triângulos de acordo com os ângulos opostos, observando os três triângulos que você desenhou na letra a. Iremos chamar os dois ângulos desconhecidos de ângulo 1 e ângulo 2. -Observe seu triângulo e informe as medidas dos ângulos 1 e 2 entre parênteses no quadro abaixo.
Ângulo reto (90º) Ângulo 1 (_______) Ângulo 2 (______)
Lados do Triângulo 1
Lados do Triângulo 2
Lados do Triângulo 3
- Observe e coloque no quadro as medidas dos lados do triângulo 1. Lembre-se que os lados informados devem estar opostos aos ângulos dados. - Faça o mesmo para os triângulos 2 e 3. c) Após construído o quadro, podemos obter várias proporcionalidades. Monte uma proporção adequada para determinar a medida do cateto b.
117
d) Utilizando o quadro acima, monte uma proporção adequada para determinar a medida do cateto c. e) Utilizando o quadro acima, monte uma proporção adequada para determinar a medida da altura h. Roteiro de trabalho - Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 2).
Parte 3
Nesta seção iremos conduzir os alunos a construírem razões para demonstrar
as principais relações métricas no triângulo retângulo, utilizando os mesmos
procedimentos da parte 2, mas com medidas exclusivamente algébricas, como na
figura a seguir:
Figura 50 - Arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 3)
Fonte: Próprio autor.
Trabalharemos com valores algébricos, oportunizando ao aluno a construção
do conhecimento geométrico utilizando também o rigor da demonstração
matemática. Desejamos que o estudante perceba que as fórmulas das relações
118
métricas, que muitas vezes são apresentadas e utilizadas sem justificativas, não
passam de resultados específicos da semelhança de triângulos e que sua
memorização é desnecessária.
Através do roteiro de trabalho, o aluno será conduzido a construir os três
triângulos retângulos separadamente, assim como fez na parte 2 da atividade.
Utilizando o quadro a seguir, iremos solicitar que ele o preencha, observando a
correspondência entre ângulos e lados.
Quadro 10 - Construção das proporcionalidades em triângulos retângulos
Fonte: Próprio autor.
Coletando os dados do triângulo da figura 50, teremos o seguinte quadro construído:
Quadro 11 - Construção das proporcionalidades com dados do triângulo da figura 50.
Fonte: Próprio autor.
Utilizando o quadro de razões montado, iremos propor aos alunos que
busquem construir proporções que determinem as principais relações métricas a
seguir:
Ângulo reto (90º) Ângulo ( ) Ângulo ( )
Lados do triângulo 1
Lados do
triângulo 1
Lados do triângulo 2
Lados do triângulo 3
Ângulo reto (90º) Ângulo ( ) Ângulo ( )
Lados do triângulo 1
a c b
Lados do triângulo 2
c m h
Lados do triângulo 3
b h n
119
Quadro 12 - Principais relações métricas no triângulo retângulo
a . h = b . c h2
= m . n c2
= a . m b2
= a . n
Fonte: Próprio autor.
Como a maioria dos alunos não tem prática com a demonstração matemática,
é importante que o professor os oriente, principalmente na primeira prova, com a
menor interferência possível. Detalharemos nos quadros a seguir as possíveis
proporções utilizadas pelos alunos:
Quadro 13 – Destaque da proporção que determina a relação a . h = b . c
Fonte: Próprio autor.
cbhah
c
b
a..
Quadro 14 – Destaque da proporção que determina a relação h2 = m . n
Fonte: Próprio autor.
nmhn
h
h
m.2
Ângulo reto (90º) Ângulo ( ) Ângulo ( )
Lados do triângulo 1
a c b
Lados do triângulo 2
c m h
Lados do triângulo 3
b h n
Ângulo reto (90º) Ângulo ( ) Ângulo ( )
Lados do triângulo 1
a c b
Lados do triângulo 2
c m h
Lados do triângulo 3
b h n
120
Quadro 15 - Destaque da proporção que determina a relação c2 = a . m
Fonte: Próprio autor.
macm
c
c
a.2
Quadro 16 - Destaque da proporção que determina a relação b2 = a . n
Fonte: Próprio autor.
nabn
b
b
a.2
É muito importante que o professor realize, ao fim de cada parte da atividade,
uma discussão com os alunos a respeito dos conhecimentos adquiridos, verificando
se todos estão atentos aos conceitos estudados, para que a atividade possa
prosseguir com compreensão mais homogênea possível. Relatamos abaixo o roteiro
de trabalho da parte 3:
Parte 3 3) Abra o arquivo Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 3). Você visualizará um triângulo retângulo com valores algébricos. Iremos demonstrar algumas relações métricas no triângulo retângulo através do que você estudou até agora.
Ângulo reto (90º) Ângulo ( ) Ângulo ( )
Lados do triângulo 1
a c b
Lados do triângulo 2
c m h
Lados do triângulo 3
b h n
Ângulo reto (90º) Ângulo ( ) Ângulo ( )
Lados do triângulo 1
a c b
Lados do triângulo 2
c m h
Lados do triângulo 3
b h n
121
a) Modifique a figura como desejar e faça um desenho de cada um dos três triângulos, separadamente. Triângulo 1 Triângulo 2 Triângulo 3 - Os três triângulos são semelhantes? Por quê? b) Caso os três triângulos sejam semelhantes, podemos obter várias proporcionalidades entre seus segmentos. Vamos selecionar as medidas dos lados dos triângulos de acordo com os ângulos opostos, observando os três triângulos que você desenhou na letra a. - Observe e coloque no quadro as medidas dos lados do triângulo 1. Lembre-se que os lados informados devem estar opostos aos ângulos dados.
Ângulo reto(90º) Ângulo ( ) Ângulo ( )
Lados do triângulo 1
Lados do triângulo 2
Lados do triângulo 3
- Faça o mesmo para os triângulos 2 e 3. c) Após construído o quadro, podemos obter várias razões. Monte uma proporção adequada para provar a relação a.h=b.c . d) Utilizando o quadro, monte uma proporção adequada para provar a relação c
2 = a.m .
122
e) Utilizando o quadro, monte uma proporção adequada para provar a relação b
2 = a.n .
f) Utilizando o quadro, monte uma proporção adequada para provar a relação h
2 = m.n.
Roteiro de trabalho - Relações métricas no triângulo retângulo (Parte 3).
Acreditamos que esse roteiro de trabalho levará o aluno a compreender a
demonstração das relações métricas no triângulo retângulo, agregando valor ao
aprendizado. Algumas demonstrações podem e devem ser trabalhadas em sala
familiarizando o aluno com o rigor matemático. Entretanto, é preciso termos bom
senso, já que são alunos com pouca experiência, sendo alguns extremamente
limitados, para que a demonstração seja uma oportunidade de se enxergar mais
além e não um “monstro” desencorajador do estudo. Assim, o professor credita o
seu trabalho ao instigar a curiosidade de alguns e até mesmo a induzir a semente do
interesse pelas demonstrações a outros com talentos escondidos e que estão à
espera de uma simples oportunidade para mostrar o potencial encubado.
4.7.4 Atividade 4: Teorema de Pitágoras.
Conceitos Prévios necessários
É importante trabalhar a noção básica de área retangular antes do início da
atividade. Também é necessário que o aluno tenha estudado equações de segundo
grau. Para motivar os alunos, é interessante comentar sobre a história do
matemático Pitágoras.
123
Tempo de aula
São necessárias duas aulas de atividades no laboratório. Incluímos nesta aula
um quebra-cabeça que confirma o teorema de Pitágoras, no intuito de motivar, os
alunos, ainda mais no estudo do novo conteúdo. A utilização da atividade lúdica, tão
rara nas aulas de matemática, favorece a curiosidade pelo aprendizado.
Descrição da Atividade
Inicialmente, o aluno visualizará no GeoGebra um triângulo retângulo com
quadrados formados sobre seus lados, para que possa realizar experimentos,
através das áreas dos quadrados, verificando a validade do teorema, conforme
ilustra a imagem abaixo:
Figura 51 - Arquivo Teorema de Pitágoras
Fonte: Próprio autor.
Após a verificação do teorema, sugerimos aos alunos um problema simples
de determinação da hipotenusa através dos catetos dados. Neste momento é
importante o direcionamento do professor, para que a atividade prossiga
adequadamente, já que provavelmente haverá dúvidas, pois o aluno precisará usar
as percepções estudadas com cálculos na resolução de problemas. A seguir, consta
em detalhes o roteiro de trabalho desta atividade:
124
ATIVIDADE 4 – TEOREMA DE PITÁGORAS.
1) Abra a calculadora e o arquivo Teorema de Pitágoras. Você visualizará um triângulo retângulo com quadrados formados a partir de seus lados. a) Calcule as áreas dos quadrados, utilizando os lados do triângulo. Considere:
a= AC ; b= AB e c= BC . a
2=_________=________ ; b
2 =_________=_________ ; c
2=________= ______
- Some o resultado de b2 com o de c2. - Compare o resultado do item anterior com o valor de a2. O que aconteceu? b) Clique nos pontos B e C movendo a figura como desejar. Você formará um novo triângulo com novas medidas. - Calcule as áreas dos quadrados, utilizando os lados do triângulo. Considere:
a= AC ; b= AB e c= BC
a2
=_________ = ________ ; b2=________=________ ; c
2=_________= _______
- Some o resultado de b2 com o de c2. - Compare o resultado do item anterior com o valor de a2. O que aconteceu? c) Observe os resultados obtidos nos itens anteriores. - Pelos testes realizados, a relação a
2=b
2+c
2 (Teorema de Pitágoras) verificou-se verdadeira?Justifique. - Caso altere as medidas novamente, você acredita que a igualdade a
2=b
2+c
2 continuará válida? Justifique. d) Sem utilizar o GeoGebra, tente descobrir a medida do lado x da figura abaixo, que representa uma rampa de 3 m de altura e 4 m de base. Utilize o teorema de Pitágoras.
125
X 3 m 4 m
Roteiro de trabalho - Teorema de Pitágoras (Parte 1).
No exercício 2 desta atividade, propomos que os alunos tentem demonstrar o
teorema de Pitágoras a partir das relações métricas estudadas.
Demonstração
22222 .).(.. aaanmacbmacenab
O papel de orientação do professor se faz novamente necessário, julgando de
que forma deverá intervir para cada turma, evitando fornecer resultados aos alunos,
mas orientando a demonstração. O desenrolar da atividade está explicitada abaixo:
2) É possível demonstrar o teorema de Pitágoras a partir de duas relações métricas no triângulo retângulo: b
2 = a.n e c
2 = a.m. A partir dessas relações dadas, tente
chegar ao Teorema de Pitágoras (a2=b
2+c
2). 3) Para comprovar o teorema de Pitágoras de uma forma diferente, iremos te desafiar a montar um quebra–cabeça com partes dos dois quadrados sobre os catetos que devem se ajustar no quadrado sobre a hipotenusa. Abra o arquivo Teorema de Pitágoras (quebra-cabeça) e divirta-se. a) Quando conseguir montar, faça um desenho de seu esquema.
126
b) Que conclusão você chega em relação às áreas dos quadrados após montar o quebra-cabeça? Complemento do roteiro de trabalho - Teorema de Pitágoras(Parte 1).
O fim da atividade consta de um quebra-cabeça lúdico, através da
decomposição das áreas dos quadrados sobre os catetos, que devem se ajustar
sobre o quadrado sobre a hipotenusa. Essa decomposição na qual nos deteremos a
seguir é sugerida no livro de Madsen (1993, p.10), proposta pelo francês Jacques
Ozanan (1640-1717), sendo conhecida como “Tangram Pitagórico” ou “quebra-
cabeça Pitagórico”. O exercício tem duas finalidades: a primeira está relacionada ao
seu caráter lúdico, que possibilita um aprender descontraído, enquanto a segunda
está relacionada a mais uma forma de verificação do teorema de Pitágoras.
Essa atividade é pouco utilizada como recurso em sala de aula. O que
fizemos foi adaptá-la ao GeoGebra, onde o aluno poderá movê-lo, através de
rotações e translações feitas com as cinco peças formadas a partir da decomposição
dos quadrados sobre os catetos, como expomos na imagem a seguir:
Figura 52 - Arquivo Teorema de Pitágoras (Quebra-cabeça)
Fonte: Próprio autor.
127
A partir da decomposição, o aluno poderá testar o teorema de Pitágoras por
meio da movimentação das cinco peças obtidas.
Figura 53 - Deslocamento das peças no arquivo Teorema de Pitágoras (Quebra-cabeça)
Fonte: Próprio autor.
Para realização desta atividade, reproduzimos no GeoGebra a área do
quadrado sobre a hipotenusa e todas as cinco áreas decompostas dos quadrados
sobre os catetos. Feito isso, o aluno poderá manipular as peças na tentativa de
ajustá-las à área do quadrado sobre a hipotenusa, comprovando o teorema de
Pitágoras de uma forma divertida. Apresentamos na figura abaixo a atividade já
concluída.
Figura 54 - Atividade concluída do arquivo Teorema de Pitágoras (Quebra-cabeça)
Fonte: Próprio autor.
128
Para conhecimento do professor, apresentaremos a seguir a demonstração
do teorema de Pitágoras através da decomposição realizada nesta atividade.
Demonstração
Dados os quadrados ABDE, ACFG e BCHI construídos sobre os lados do
triângulo retângulo ABC abaixo.
Figura 55 - Demonstração do teorema de Pitágoras I
Fonte: Próprio autor.
Consideremos .;; ABcACbBCa e º45ˆ CBA .
Prolongando os segmentos HCeIB perpendiculares a BC , obtemos os
pontos J e K, sobre os lados FGeAE respectivamente.
Traçando a paralela a BC passando por K, obtemos os pontos L e M. Assim
obtemos o retângulo BCKM.
Consideremos agora wKLeyGLxFK , .
Obtemos que: ., waLMeybALxbGK
129
Observa-se que os triângulos ABC, FKC, GLK e MLB são semelhantes. Dos
três primeiros triângulos, obtemos as razões: .x
b
y
xb
c
b
Assim, temos: ).().(
Ib
ccbyecx
Figura 56 - Demonstração do Teorema de Pitágoras II
Fonte: Próprio autor.
Dos triângulos ABC, GLK e MLB, obtemos a proporção:
Daí, encontramos que:
Por (I) e (III), encontramos:
Logo:
De (II) temos: . Donde tiramos que: .22 awacybcc
.)().(
.b
cba
b
ccb
c
a
c
ayw
).(IIwa
ybc
y
w
c
a
)(IIIc
ayw
)()(
)()(
Ib
cbcyeIV
b
cbaw
wa
ybc
c
a
130
Utilizando (IV): , obtemos: ..)(
.2
22
b
ca
b
cbaaacycbc
Dividindo a equação anterior por c, temos: .2
b
aybc
Logo, .22 abybcb Como, )().(
Ib
ccby
, temos:
b
ccbbcbba
).(.22
.222 cbccbba
Logo, concluímos que: .222 cba
Demonstramos o teorema de Pitágoras através da decomposição de áreas
proposta na atividade do quebra-cabeça, mostrando que as áreas das cinco peças
equivalem à área do quadrado sobre a hipotenusa. Lembramos que, caso
º45ˆ CBA , ao prolongarmos os segmentos HCeIB , as interseções ocorrerão nos
lados DEeAG . Neste caso, a demonstração é análoga. No caso em que
º45ˆ CBA , temos dois quadrados idênticos sobre os catetos, também de
demonstração análoga, formando quatro triângulos retângulos congruentes, como
na figura seguinte:
Figura 57 - Demonstração do Teorema de Pitágoras (caso particular)
Fonte: Próprio autor.
b
cbaw
)(
131
Após esta introdução do conteúdo, na qual colocamos o aluno como o
principal construtor do conhecimento, acreditamos que os estudantes estarão mais
interessados em resolver problemas e atividades propostas de aprofundamento
desse novo assunto.
4.7.5 Atividade 5: Trigonometria no triângulo retângulo
Conceitos Prévios necessários
Após todo o caminho trilhado até o momento, já não precisamos de conceitos
prévios, caso os alunos tenham feito as atividades anteriores. Para dinamizar esta
atividade é interessante explicar-lhes as noções sobre as principais medidas
necessárias em um triângulo retângulo para o trabalho com trigonometria,
especificando a diferenciação entre cateto oposto e cateto adjacente, conforme
posição em relação ao “ângulo de trabalho”.
Tempo de aula
São necessárias duas aulas de atividades no laboratório, variando conforme o
ritmo da turma.
Descrição da Atividade
Nosso objetivo é conduzir a introdução do conteúdo de trigonometria de tal
forma que o aluno perceba sua íntima conexão com a semelhança de triângulos,
para que o estudante visualize a trigonometria como fruto da semelhança, evitando a
ideia generalizada que coloca esses assuntos como desassociados. Inicialmente, o
aluno observará no GeoGebra dois triângulos retângulos semelhantes e com
vértices sobre mesmas semirretas, como ilustrado na figura seguinte:
132
Figura 58 - Arquivo Trigonometria no triângulo
Fonte: Próprio autor.
Por intermédio da questão 1 do roteiro de trabalho, iremos solicitar que os
alunos verifiquem a semelhança de triângulos, observando as proporcionalidades
existentes entre os lados correspondentes. Acreditamos que os estudantes não
terão dificuldades, já que realizaram o mesmo procedimento quando estudaram
semelhança de triângulos. Após a verificação inicial, apresentaremos aos alunos as
relações trigonométricas que derivam das razões encontradas, com especial
atenção aos catetos e ao “ângulo de trabalho”.
Em seguida, guiaremos os estudantes a construir novas proporcionalidades,
através da manipulação no GeoGebra, como na figura a seguir, instruídos agora a
relacioná-las às relações trigonométricas. Na imagem, indicamos uma suposta
manipulação do ponto E, feita por alunos.
Figura 59: Manipulação do ponto E no arquivo Trigonometria
Fonte: Próprio autor.
133
Desejamos que o aluno seja capaz de perceber a manutenção da
proporcionalidade quando não mudamos o ângulo, independentemente das medidas
dos lados, isto é, que verifique a semelhança. Logo depois, solicitamos que ele
modifique o “ângulo de trabalho” percebendo a mudança das proporcionalidades em
relação às atividades anteriores e a manutenção da proporção entre os lados dos
dois novos triângulos, como exposto a seguir:
Figura 60 - Manipulação do ponto C no arquivo trigonometria
Fonte: Próprio autor.
O detalhamento da parte inicial do roteiro está exposto a seguir:
ATIVIDADE 5 – TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULO RETÂNGULO
1) Abra a calculadora e o arquivo Trigonometria no triângulo. Você visualizará dois triângulos com ângulos e lados dados. a) Os triângulos são semelhantes? Justifique. b) Observe os lados dos triângulos ABC e ADE. Anote-os abaixo, determine as razões encontradas e informe se as razões são iguais.
AC
BC ;
AE
DE R:
AC
AB ;
AE
AD R:
134
AB
BC ;
AD
DE R:
OBS.: Essas razões entre os lados dos triângulos são chamadas de relações trigonométricas e são nomeadas de seno, cosseno e tangente. Os catetos são diferenciados conforme sua posição em relação ao ângulo de trabalho, sendo chamados de cateto oposto e cateto adjacente. (Intervenção do professor com maiores detalhes). c) Clique no ponto E e arraste-o, obtendo novas medidas e mantendo o ângulo. Qual é o ângulo de trabalho?_________. - Observe os lados do novo triângulo ADE. Anote-os abaixo, determine as razões encontradas e informe se elas são iguais às do item b: Seno: Cateto oposto /Hipotenusa
AE
DE ; R:
Cosseno: Cateto adjacente /Hipotenusa
AE
AD ; R:
Tangente: Cateto oposto /cateto adjacente
AD
DE ; R:
d) Se você clicar novamente no ponto E e arrastar, o que imagina que ocorrerá? As razões continuaram iguais? Por quê? - Se você clicar novamente no ponto E e arrastar até obter medidas gigantescas e mantendo o mesmo ângulo, o que imagina que ocorrerá? As razões para os triângulos ABC e ADE continuarão iguais? Justifique. e) Vamos alterar o ângulo de trabalho agora. Clique no ponto C e arraste formando outro ângulo entre 0º a 90º. Observe os lados dos triângulos ABC e ADE. Anote-os, determine as razões encontradas e informe se são iguais.
135
Seno: Cateto oposto /Hipotenusa. ; R: Cosseno: Cateto adjacente /Hipotenusa.
; R: Tangente: Cateto oposto /cateto adjacente ; R: - As razões que você obteve agora são as mesmas que obteve no item c? Por quê? - Podemos afirmar que as relações trigonométricas (Seno, Cosseno e tangente) provêm de semelhança de triângulos? Justifique. Roteiro de trabalho – Trigonometria (Questão 1)
Após relacionarmos a semelhança de triângulos à trigonometria e
construirmos as razões trigonométricas, utilizaremos a questão 2, no intuito de
moldar melhor o que aprenderam até o momento. O aluno abrirá o arquivo no
GeoGebra Exercício 1 – Trigonometria e visualizará um triângulo retângulo com
ângulo de trabalho e lados dados, como na figura seguinte:
Figura 61 - Arquivo Exercício 1 (Trigonometria)
Fonte: Próprio autor.
AC
BC AE
DE
AC
AB AE
AD
AD
DEAB
BC
136
Através do roteiro abaixo proporemos ao aluno, utilizando manipulação no
GeoGebra, determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos dados.
2) Para criar uma tabela trigonométrica você precisa construir triângulos retângulos com ângulos que desejar. Abra o Arquivo Exercício 1 (Trigonometria). a) Clique no ponto C até obter o ângulo pedido e utilize as medidas para determinar seno, cosseno e tangente dos ângulos dados.
ÂNGULO
15º
30º
45º
70º
SENO
_________ =
_________ =
_________ =
_________ =
COSSENO
_________ =
_________ =
_________ =
_________ =
TANGENTE
_________ =
_________ =
_________ =
_________ =
b) Com a utilização da trigonometria é possível determinar medidas inacessíveis, bastando termos um ângulo e uma medida em um triângulo retângulo. Na figura abaixo, desejamos calcular a altura de um poste, sob um ângulo de 70º do solo e distante 5 m de seu pé. h 70º 5 m - Qual é a relação trigonométrica apropriada para a situação?
137
c) Utilizando os valores da atividade anterior, tente calcular a altura desse poste.
Roteiro de trabalho – Exercício 1 (Trigonometria).
Dessa forma, o estudante poderá determinar as razões trigonométricas no
GeoGebra, manipulando ângulos e lados, construindo o aprendizado da
trigonometria de forma mais concreta. A figura seguinte mostra uma possível
manipulação feita por alunos no exercício citado.
Figura 62 - Manipulação do arquivo Exercício 1 (Trigonometria)
Fonte: Próprio autor.
Ao fim da atividade, propomos um exercício no qual o aluno é instigado a
determinar a altura de um poste, utilizando as informações encontradas. Esse
exercício é importante por seu caráter prático e que entrelaça o conhecimento
estudado com a resolução de problemas. Portanto, o professor deve intervir de
forma sutil, orientando, mas jamais realizando a atividade pelo aluno. Após esta
atividade de introdução da trigonometria, podemos aprofundar o conhecimento,
através de resolução de problemas, já que o aluno possui agora a ideia consistente
do que é e de que forma foi construída a trigonometria no triângulo retângulo.
138
4.8 POSSÍVEIS CONTINUAÇÕES E DESDOBRAMENTOS
Como relatado anteriormente, este trabalho tem por finalidade propiciar uma
introdução consistente e adequada de parte dos principais conteúdos geométricos
do nono ano do ensino fundamental, ou seja, está relacionado exclusivamente ao
início dos conteúdos abordados. Então, podemos sugerir como estudo em futuros
trabalhos, a construção de sequências didáticas com atividades no GeoGebra que
possibilitem o desenvolvimento e o aprofundamento de cada um desses assuntos:
teorema de Tales, semelhança de triângulos, relações métricas no triângulo
retângulo, teorema de Pitágoras e trigonometria. Sugerimos também a construção
de uma proposta diferenciada, com utilização do GeoGebra em relação aos casos
de congruência de triângulos, aos casos de semelhança de triângulos e acerca das
relações métricas na circunferência, que são conteúdos pouco explorados no nono
ano. Por fim, e de forma mais enfática, propomos a utilização e a avaliação deste
trabalho em sala de aula, aplicando-o organizadamente durante um ano letivo como
recurso introdutório dos conteúdos aqui trabalhados. É importante verificar sua
validade, renegando-o ou confirmando-o como recurso metodológico e também
observar as possíveis vantagens e desvantagens de sua utilização, apontando
melhorias ou mudanças necessárias para que esta proposta possa ser confirmada
como método eficaz na condução desses relevantes conteúdos do nono ano do
ensino fundamental.
139
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A realização deste estudo originou-se da observação das inúmeras
deficiências existentes na condução e na construção do conhecimento geométrico
em sala de aula, com especial atenção ao último ano do ensino fundamental, em
que se concentram importantes assuntos relacionados à geometria. A percepção
desse fato, agregada ao conhecimento sobre as possíveis manipulações
geométricas no ambiente de geometria dinâmica, através do software GeoGebra,
fomentou a possibilidade em organizar de forma diferenciada a condução do ensino-
aprendizagem de alguns dos conteúdos geométricos de nono ano do ensino
fundamental. Assim, este trabalho teve por objetivo realizar investigações com
alunos e professores acerca dos maiores problemas que impossibilitam o
aprendizado consistente de parte destes importantes conteúdos geométricos para, a
partir das dificuldades encontradas, propor uma sequência didática inovadora que
contribua para a condução de um aprendizado organizado e construtivo com auxílio
do GeoGebra.
A investigação com professores de matemática possibilitou-nos perceber que
muitos profissionais não têm formação geométrica apropriada que fundamente o
trabalho em sala de aula, já que possuem em sua maioria, conhecimento geométrico
formado quando alunos do ensino básico. A constatação de que muitos professores
não estudaram disciplinas específicas de geometria euclidiana em seus cursos de
nível superior, de especialização e de habilitação pedagógica em matemática,
evidenciou os motivos que favorecem o abandono do estudo da geometria nas
escolas. Verificamos que os cursos que habilitam profissionais de áreas afins a
tornarem-se professores de matemática não oferecem disciplinas específicas de
conteúdo geométrico em seus currículos, contribuindo com o surgimento de
docentes despreparados em relação à geometria.
A investigação feita com professores e alunos na construção deste trabalho
requer que alguma providência seja tomada, para que nosso país não continue
renegando o conhecimento geométrico aos seus jovens. A sugestão para que esse
panorama seja mudado é repensar a formação geométrica dos novos candidatos a
professores para que as carências trazidas, do ensino básico, por esses futuros
docentes sejam, no mínimo, reduzidas, favorecendo a reestruturação do
140
aprendizado geométrico nas salas de aula, o que permitiria melhor desempenho de
nossos alunos em relação ao aprendizado da geometria.
Verificamos também que os resultados dos alunos na pesquisa realizada
neste trabalho são similares aos resultados da última Prova Brasil (2011), validando
nosso estudo quanto às observações feitas na investigação. Em nosso estudo,
constatamos que alunos recém-formados no ensino fundamental apresentam
severas dificuldades relacionadas a conceitos básicos da geometria como:
reconhecimento insatisfatório de ângulos e figuras geométricas planas, assim como
suas propriedades; desconhecimento da distinção entre figuras planas e espaciais;
pouca compreensão do conceito de área; conversão inadequada entre unidades de
medidas; associações raras entre ideias geométricas e aritméticas; entre outras.
Essas dificuldades geométricas básicas apresentadas tornaram-se ainda mais
evidentes ao analisarmos os resultados relacionados aos conteúdos específicos de
nono ano. Os alunos apresentaram extremas dificuldades em resolver problemas
simples, com mais de 94% de respostas inadequadas em todas as questões
vinculadas aos assuntos que demandavam a utilização de segmentos proporcionais
da semelhança de triângulos ou conteúdos derivados. Percebemos que o pouco
conhecimento apresentado pelos alunos está associado ao treinamento exaustivo na
utilização de fórmulas decoradas, como é feito com o teorema de Pitágoras, com as
relações métricas no triângulo retângulo e com a trigonometria. Tal forma de
condução do aprendizado, sem a devida apresentação dos conteúdos por meio de
justificativas lógicas, impede que o aluno construa a essência do significado do
conhecimento que está aprendendo, como relata Oliveira F. K. (2010, p.63):
Além disso, a própria maneira de trabalhar o assunto sem apresentar aos alunos o porquê do acontecimento dos fatos também distancia um pouco da realidade da geometria. A partir do instante em que o conteúdo é trabalhado apenas com a aplicação de fórmulas, deixa-se de entender a sequência lógica, que poderia facilitar bastante o entendimento do conteúdo sem necessidade de decorar várias fórmulas.
A realização da investigação sobre os problemas do aprendizado geométrico
de parte do conteúdo do nono ano possibilitou a observação sobre as principais
limitações dos alunos na compreensão desses conceitos e as maiores dificuldades
dos professores na sua condução. Buscamos visualizar este processo de forma
141
geral para construir uma proposta de sequência didática que direcionasse
adequadamente o ensino-aprendizagem, em substituição da prática meramente
expositiva de transmissão de conceitos matemáticos, como colocam os Parâmetros
Curriculares Nacionais:
Tradicionalmente, a prática mais freqüente no ensino de Matemática tem sido aquela em que o professor apresenta o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidos de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, e pressupõe que o aluno aprenda pela reprodução. Assim, considera-se que uma reprodução correta é evidência de que ocorreu a aprendizagem. (BRASIL, 1998, p.37)
O estudo proposto procurou abandonar esse formato tradicional, no qual o
professor fala e o aluno escuta e reproduz, em que o aprendizado é simplesmente
transmitido por afirmações repassadas sem qualquer diálogo de construção conjunta
do conhecimento.
As atividades aqui expostas buscam estabelecer uma nova forma de
aprendizado de alguns importantes conteúdos geométricos do nono ano, por
intermédio de sequências de estudo organizadas em roteiros de trabalho bem
planejados. Elas foram elaboradas de forma a direcionar o estudante a refletir, a
compreender e a formular conclusões, através de observações em experiências
manipulativas no ambiente dinâmico do software GeoGebra. Ao realizar
experimentações investigativas, o aluno passa a estabelecer relações através de
suas próprias percepções, promovendo o real aprendizado, que pouco ocorre
quando as informações são apenas transmitidas, como em uma aula expositiva
tradicional.
Por meio das análises feitas em nossa pesquisa, buscamos construir
atividades que eliminassem os principais problemas da condução dos
conhecimentos geométricos abordados. Os benefícios da proposta de sequência
didática sugerida estão relacionados a alguns aspectos concernentes a uma boa
prática de condução do ensino-aprendizagem da matemática. Desta maneira,
buscamos produzir atividades que possuam as características abaixo:
1- Estimular o aluno a aprender utilizando experimentações práticas através de
recursos diferenciados como os tecnológicos, que hoje fazem parte do mundo social
142
da grande maioria dos estudantes, vinculando conhecimento teórico da escola ao
conhecimento de mundo trazido pelo aluno.
2- Organizar a atividade por meio de roteiros de trabalho previamente
planejados, em que o aluno é direcionado a estabelecer relações através de passos
coerentes e articulados.
3- Conduzir o aluno a perceber os fenômenos matemáticos através de suas
observações práticas com o uso de experimentações manipulativas realizadas pelo
próprio estudante, propondo atividades que favoreçam o raciocínio investigativo, a
percepção das novas propriedades e a compreensão do conhecimento estudado.
4- Nortear o estudante a formular conclusões por meio de observações feitas,
possibilitando o desenvolvimento do raciocínio indutivo com generalizações a partir
de estudos específicos.
5- Utilizar, sempre que possível, a demonstração, para que o aluno se habitue ao
rigor matemático, através de passos gradativos, conduzindo-os da observação inicial
até a demonstração formal.
6- Promover discussões após cada etapa de construção do conhecimento,
favorecendo as trocas de ideias, evidenciando propriedades importantes e corrigindo
de forma apropriada os possíveis desvios de percepção.
No desenvolvimento da proposta de sequência didática com a utilização do
software GeoGebra, buscou-se respeitar essas relevantes características,
possibilitando a construção de uma condução satisfatória e diferenciada dos
conteúdos geométricos contemplados por este trabalho.
Considerando que os objetivos foram alcançados, tanto na investigação sobre
os problemas do ensino-aprendizagem da geometria, quanto na elaboração da
proposta de sequência didática dos conteúdos geométricos de nono ano, pode-se
concluir, a partir das muitas observações e cuidados metodológicos na elaboração
das atividades, que a sequência didática proposta é capaz de contribuir de forma
143
significativa para a melhoria do aprendizado geométrico em turmas do nono ano do
ensino fundamental.
Destaca-se, por fim, que a utilização desta proposta de sequência didática,
como recurso de ensino, merece ser aplicada e avaliada por novos estudos.
Também é de extrema importância a verificação no que se refere a sua relevância
como instrumento eficaz no processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos de
nono ano aqui abordados.
144
REFERÊNCIAS
ALRO, H.; SKOVSMOSE, O. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática. Coleção Tendências em Educação Matemática. Tradução de Orlando Fonseca. 2º Ed. Belo Horizonte. Autêntica, 2010.
BRASIL, Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP). Prova Brasil/Saeb - Resultado 2011, Disponível em http://download.inep.gov.br/ educacao_basica/prova_brasil_saeb/resultados/2012/Saeb_2011_primeiros_resultados_site_Inep.pdf. Acesso em 08 de janeiro de 2013. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998. BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. v.1: Bases legais. Brasília: MEC, 2000. CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO/CP. Resolução nº 2, de 26 de junho de 1997. Disponível em http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view= article&id=13212%3Aresolucao-cp-1997&catid=323%3Aorgaos-vinculados&Itemid=8 66. Acesso em 27 de Dezembro de 2012. DIAS, Cláudia Augusto. Grupo focal: técnica de coleta de dados em pesquisas qualitativas. Nov. 1999. 16p.
CRESCENTI, Eliane Portalone. Os professores de matemática e a geometria: Opiniões sobre a área e seu ensino. Dissertação de mestrado. UFSC. São Carlos, 2005. FAESA, Curso de Administração. Grade curricular. Disponível em http://site.faesa.br/curso-administracao.aspx. Acesso em 12 de janeiro de 2013. FILHO, Durval Martins Teixeira. O aprendizado da geometria no ensino médio – origens de dificuldades e propostas alternativas: [s.n], 2002. FREIRE, Paulo. A educação na cidade. São Paulo: Cortez, 1991. GAZIRE. Eliane S. O não resgate das geometrias. Tese de doutorado em educação - UNICAMP. Campinas, SP, 2000. GRANDO, Regina Célia. Investigações Geométricas na Formação de Professores que ensinam Matemática. In: Educação Matemática, leitura e escrita: armadilhas, utopias e realidades. Celi Espasandin Lopes, Adair Mendes Nacarato(org.). Campinas: Mercado de Letras, 2009.
145
IASES. Complementação pedagógica. Grade curricular. Disponível em: http://ieses.com/complement.html. Acesso em 12 de janeiro de 2013. LAURO, M. M. Percepção – construção – Representação – concepção: Os quatro processos do ensino da geometria: uma proposta de articulação. Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo. Faculdade de educação. SP, 2007. LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar Geometria? A Educação Matemática em Revista. Blumenau: SBEM, Ano III, n. 4, 1995. MENESES, Ricardo Soares. Uma História da Geometria Escolar no Brasil: de disciplina a conteúdo. 2007. 172 f. (Mestrado acadêmico em Educação Matemática) – Pontifícia universidade católica, São Paulo: [s.n], 2007. MADSEN, Rui. Descobrindo padrões pitagóricos: geométricos e numéricos. São Paulo: Atual.1993. MINAYO, M. C. de; SANCHES, O. Quantitativo-qualitativo: Oposição ou complementaridade? Cad. Saúde Pública, Rio de Janeiro, v.9, n.3, p.239-262, 1993. NACARATO, Adair Mendes. A Geometria no Ensino Fundamental. In: SISTO, Fermino Fernandes, DOBRANSZKY, Enid Abreu, MONTEIRO, Alexandrina (Orgs.). Matemática e Aprendizagem. Petrópolis: Vozes, 2002. NÓVOA, Antonio. (coord). Os professores e sua formação. Lisboa-Portugal: Dom Quixote, 1997.
OLIVEIRA, Francisco Kelsen. O vídeo pela internet como ferramenta educacional no ensino de Geometria. Dissertação de Mestrado profissional em Computação Aplicada. Fortaleza. UFCE, 2010. Disponível em: www.uece.br/mpcomp/index.php/ arquivos/doc.../ 220-dissertacao-58. Acesso 22 de outubro de 2012. OLIVEIRA, G. P. Avaliação em cursos on-line colaborativos: uma abordagem multidimensional. Tese de doutorado em Educação. USP. São Paulo, 2007. PAQUES, O. T. W., SOARES, M. Z. M. C., MACHADO, R. M., QUEIROZ, M. L. B. Exploração e análise de softwares educacionais de domínio público no ensino de matemática. In: Bienal da SBM. 2002. Belo Horizonte. Disponível em: http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/softwares_publicos.pdf. Acesso em 18/12/ 2013. PAVANELLO, Regina M. O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké, Ano 1, número 1, CEMPEM/F.E. UNICAMP, SP. 1993. SILVEIRA, Angélica Menegassi da; BISOGNIN, E. O uso de programas computacionais como recurso auxiliar para o ensino de geometria espacial. IN:
146
IV COLÓQUIO DE HISTÓRIA E TECNOLOGIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA, 2008, Rio de janeiro: [s.n]. VIDALETTI, Vangiza Bartoleti Berbigier. O ensino e aprendizagem da geometria espacial a partir da manipulação de sólidos. Lajeado: UNIVATES, 2009.