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Ondas No-lineares
Roberto Andr Kraenkel
IFT-UNESPSo Paulo
Brasil
Julho de 2007 / IFT-UNESP
Aula I: O mundo das ondas a vo de pssaro
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 1 / 1
Ondas No-lineares
Roberto Andr Kraenkel
IFT-UNESPSo Paulo
Brasil
Julho de 2007 / IFT-UNESP
Aula I:
O mundo das ondas a vo de pssaro
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 1 / 1
Ondas No-lineares
Roberto Andr Kraenkel
IFT-UNESPSo Paulo
Brasil
Julho de 2007 / IFT-UNESP
Aula I: O mundo das ondas a vo de pssaro
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 1 / 1
Do que trata este curso
Ondas.O QUE ISTO? LINEARES E NO-LINEARES.O QUE AS DIFERENCIA.
Ondas de Superfcie na guaA MATEMTICA DAS ONDAS. POR QUE SO IMPORTANTES. AONDE POSSO V-LAS.
Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
Ondas luminosas.EQUAES DE MAXWELL: NO SO-LINEARES? DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 2 / 1
Do que trata este curso
Ondas.
O QUE ISTO? LINEARES E NO-LINEARES.O QUE AS DIFERENCIA.
Ondas de Superfcie na guaA MATEMTICA DAS ONDAS. POR QUE SO IMPORTANTES. AONDE POSSO V-LAS.
Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
Ondas luminosas.EQUAES DE MAXWELL: NO SO-LINEARES? DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Do que trata este curso
Ondas.O QUE ISTO?
LINEARES E NO-LINEARES.O QUE AS DIFERENCIA.
Ondas de Superfcie na guaA MATEMTICA DAS ONDAS. POR QUE SO IMPORTANTES. AONDE POSSO V-LAS.
Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
Ondas luminosas.EQUAES DE MAXWELL: NO SO-LINEARES? DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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O QUE AS DIFERENCIA.
Ondas de Superfcie na guaA MATEMTICA DAS ONDAS. POR QUE SO IMPORTANTES. AONDE POSSO V-LAS.
Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
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TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
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TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas.O QUE ISTO? LINEARES E NO-LINEARES.O QUE AS DIFERENCIA.
Ondas de Superfcie na gua
A MATEMTICA DAS ONDAS. POR QUE SO IMPORTANTES. AONDE POSSO V-LAS.
Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
Ondas luminosas.EQUAES DE MAXWELL: NO SO-LINEARES? DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas de Superfcie na guaA MATEMTICA DAS ONDAS.
POR QUE SO IMPORTANTES. AONDE POSSO V-LAS.
Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
Ondas luminosas.EQUAES DE MAXWELL: NO SO-LINEARES? DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
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TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas Solitrias.
O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
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EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
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Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?
SO S UMA CURIOSIDADE?
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TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
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Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
Ondas luminosas.EQUAES DE MAXWELL: NO SO-LINEARES? DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas luminosas.
EQUAES DE MAXWELL: NO SO-LINEARES? DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
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DE ONDE VEM A NO-LINEARIDADE NA
TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
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TICA?
PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
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TICA? PODEMOS TIRAR PROVEITO DELA?
Condensados de Bose-Einstein
O QUE ISTO? TEM ONDAS NOS
CONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO?
TEM ONDAS NOS
CONDENSADOS? QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas.O QUE ISTO? LINEARES E NO-LINEARES.O QUE AS DIFERENCIA.
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Condensados de Bose-Einstein O QUE ISTO? TEM ONDAS NOSCONDENSADOS?
QUE TIPO DE ONDA?
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Ondas.O QUE ISTO? LINEARES E NO-LINEARES.O QUE AS DIFERENCIA.
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Ondas Solitrias.O QUE ISTO? EXISTEM?SO S UMA CURIOSIDADE?
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Ondas Simples Uni-dimensionais
As ondas mais simples: lineares.
A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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Ondas Simples Uni-dimensionais
As ondas mais simples: lineares. A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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Ondas Simples Uni-dimensionais
As ondas mais simples: lineares. A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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Ondas Simples Uni-dimensionais
As ondas mais simples: lineares. A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.
I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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Ondas Simples Uni-dimensionais
As ondas mais simples: lineares. A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.
I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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As ondas mais simples: lineares. A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;
I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas defronteira.
I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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2ux2
= 0
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duas defronteira.
I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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= 0
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fronteira.
I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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2ux2
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I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.
I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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Ondas Simples Uni-dimensionais
As ondas mais simples: lineares. A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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Ondas Simples Uni-dimensionais
As ondas mais simples: lineares. A equao de onda:
2ut2 c2
2ux2
= 0
I t o tempo, x o espao.I c uma constante que tem dimenses de velocidade.I A equao de segunda ordem no tempo e no espao ;I para resolv-la precisamos de duas condies iniciais e duas de
fronteira.I Trata-se de um problema a condies iniciais e de contorno.I Nota Bene: nem sempre um problema assim est bem definido.
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Equao de onda simples linear2u
t2 c2
2u
x2= 0
Vamos ganhar alguma intuio sobre esta equao:Considere a sua soluo com:
u(x .o) = f (x), localizadau/t(x ,o) = 0u(, t) = 0
Figure: utt uxx = 0, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0
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Equao de onda simples linear2u
t2 c2
2u
x2= 0
Vamos ganhar alguma intuio sobre esta equao:
Considere a sua soluo com:u(x .o) = f (x), localizadau/t(x ,o) = 0u(, t) = 0
Figure: utt uxx = 0, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0
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Equao de onda simples linear2u
t2 c2
2u
x2= 0
Vamos ganhar alguma intuio sobre esta equao:Considere a sua soluo com:
u(x .o) = f (x), localizadau/t(x ,o) = 0u(, t) = 0
Figure: utt uxx = 0, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0
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Equao de onda simples linear2u
t2 c2
2u
x2= 0
Vamos ganhar alguma intuio sobre esta equao:Considere a sua soluo com:
u(x .o) = f (x), localizada
u/t(x ,o) = 0u(, t) = 0
Figure: utt uxx = 0, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0
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Equao de onda simples linear2u
t2 c2
2u
x2= 0
Vamos ganhar alguma intuio sobre esta equao:Considere a sua soluo com:
u(x .o) = f (x), localizadau/t(x ,o) = 0
u(, t) = 0
Figure: utt uxx = 0, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0
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Equao de onda simples linear2u
t2 c2
2u
x2= 0
Vamos ganhar alguma intuio sobre esta equao:Considere a sua soluo com:
u(x .o) = f (x), localizadau/t(x ,o) = 0u(, t) = 0
Figure: utt uxx = 0, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 4 / 1
wave_equation.aviMedia File (video/avi)
O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas.
Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais
e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.
A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes.
A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.
Como podemos entender isto matematicamente?1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escrita
como: u(x , t) = (x + t) + (x t)2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo:
u(x , t) = (x + t) + (x t)2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.
3 As condies iniciais so:F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)
F u/t(x , 0) = 0de onde se segue que:
F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:
F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)
F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K4 Ou seja:
F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0
= K4 Ou seja:
F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:
F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ]
; (x) = 12 [f (x) K ] e portanto:F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ]
e portanto:F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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O que vimos no filme anteriorA forma inicial se dividu em duas. Estas duas so iguais e sepropagam em direes opostas.A amplitude inicial era o dobro das amplitudes das ondasviajantes. A forma das ondas fixa.Como podemos entender isto matematicamente?
1 A soluo de utt uxx = 0 pode ser escritacomo: u(x , t) = (x + t) + (x t)
2 Onde phi e so arbitrrias.3 As condies iniciais so:
F u(x , 0) = f (x)F u/t(x , 0) = 0
de onde se segue que:F u(x , 0) = f (x) (x) + (x) = f (x)F u/t(x , 0) = 0 (x) (x) = 0 = K
4 Ou seja:F (x) = 12 [f (x) + K ] ; (x) =
12 [f (x) K ] e portanto:
F u(x , t) = 12 [f (x + t) f (x t)]
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas
de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,
da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e
viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:
1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos naequao diferencial
2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier.
Se o substituirmos naequao diferencial
2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial
2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .
3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 6 / 1
u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .
4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesmavelocidade.
5 Por isto no se dispersam.Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.
5 Por isto no se dispersam.Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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u(x , t) =12[f (x + t) f (x t)]
Ou seja, uma condio inicial u(x , 0) = f (x) se divide em duas ondas de amplitude igual ametade da anterior,da mesma forma e viajando uma para cada lado, ambas com a mesmavelocidade.
Mas , por que ser que as onda mantm a forma?
Pensemos em termos de modos de Fourier:1 Seja u(x , t) = ei(kxt) um modo de Fourier. Se o substituirmos na
equao diferencial2ut2 c2
2ux2
= 0
2 obteremos que = ck .3 E portanto a velocidade desta onda ser c .4 Todas as ondas que se movem numa dada direo tm a mesma
velocidade.5 Por isto no se dispersam.
Ondas para as quais a velocidade de fase, /k , depende de k so chamadas dedispersivas. As acima so no-dispersivas.
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Primeiro exerccio complementar
Considere a equao:
2ut2 c2
2ux2
= 0
Tome as seguintes condies iniciais:I u(x ,0) = 0I u/t(x ,0) = g(x)
Tome u(, t) = 0Discuta a soluo deste caso, e compare com o caso anterior.
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Primeiro exerccio complementar
Considere a equao:
2ut2 c2
2ux2
= 0
Tome as seguintes condies iniciais:I u(x ,0) = 0
I u/t(x ,0) = g(x)
Tome u(, t) = 0Discuta a soluo deste caso, e compare com o caso anterior.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 7 / 1
Primeiro exerccio complementar
Considere a equao:
2ut2 c2
2ux2
= 0
Tome as seguintes condies iniciais:I u(x ,0) = 0I u/t(x ,0) = g(x)
Tome u(, t) = 0Discuta a soluo deste caso, e compare com o caso anterior.
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Primeiro exerccio complementar
Considere a equao:
2ut2 c2
2ux2
= 0
Tome as seguintes condies iniciais:I u(x ,0) = 0I u/t(x ,0) = g(x)
Tome u(, t) = 0
Discuta a soluo deste caso, e compare com o caso anterior.
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Primeiro exerccio complementar
Considere a equao:
2ut2 c2
2ux2
= 0
Tome as seguintes condies iniciais:I u(x ,0) = 0I u/t(x ,0) = g(x)
Tome u(, t) = 0Discuta a soluo deste caso, e compare com o caso anterior.
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Primeiro exerccio complementar
Considere a equao:
2ut2 c2
2ux2
= 0
Tome as seguintes condies iniciais:I u(x ,0) = 0I u/t(x ,0) = g(x)
Tome u(, t) = 0Discuta a soluo deste caso, e compare com o caso anterior.
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Ondas Dispersivas
Vejamos agora o que acontece com ondas que obedecemequaes para as quais a velocidade de fase depende de k .
Seja, por exemploutt c2uxx = Ku
Onde K uma constante. Se suposermos uma soluou(x , t) = ei(kxt), obteremos
/k = c
1 + K/k2
que obviamente depende de k se K 6= 0.Vejamos a soluo, para condies iniciais localizadas eu/t(x ,0) = 0
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Ondas Dispersivas
Vejamos agora o que acontece com ondas que obedecemequaes para as quais a velocidade de fase depende de k .Seja, por exemplo
utt c2uxx = Ku
Onde K uma constante. Se suposermos uma soluou(x , t) = ei(kxt), obteremos
/k = c
1 + K/k2
que obviamente depende de k se K 6= 0.Vejamos a soluo, para condies iniciais localizadas eu/t(x ,0) = 0
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 8 / 1
Ondas Dispersivas
Vejamos agora o que acontece com ondas que obedecemequaes para as quais a velocidade de fase depende de k .Seja, por exemplo
utt c2uxx = Ku
Onde K uma constante. Se suposermos uma soluou(x , t) = ei(kxt),
obteremos
/k = c
1 + K/k2
que obviamente depende de k se K 6= 0.Vejamos a soluo, para condies iniciais localizadas eu/t(x ,0) = 0
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 8 / 1
Ondas Dispersivas
Vejamos agora o que acontece com ondas que obedecemequaes para as quais a velocidade de fase depende de k .Seja, por exemplo
utt c2uxx = Ku
Onde K uma constante. Se suposermos uma soluou(x , t) = ei(kxt), obteremos
/k = c
1 + K/k2
que obviamente depende de k se K 6= 0.Vejamos a soluo, para condies iniciais localizadas eu/t(x ,0) = 0
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 8 / 1
Ondas Dispersivas
Vejamos agora o que acontece com ondas que obedecemequaes para as quais a velocidade de fase depende de k .Seja, por exemplo
utt c2uxx = Ku
Onde K uma constante. Se suposermos uma soluou(x , t) = ei(kxt), obteremos
/k = c
1 + K/k2
que obviamente depende de k se K 6= 0.
Vejamos a soluo, para condies iniciais localizadas eu/t(x ,0) = 0
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Ondas Dispersivas
Vejamos agora o que acontece com ondas que obedecemequaes para as quais a velocidade de fase depende de k .Seja, por exemplo
utt c2uxx = Ku
Onde K uma constante. Se suposermos uma soluou(x , t) = ei(kxt), obteremos
/k = c
1 + K/k2
que obviamente depende de k se K 6= 0.Vejamos a soluo, para condies iniciais localizadas eu/t(x ,0) = 0
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utt c2uxx = Ku
Figure: utt uxx = ku, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 9 / 1
simple_dispersion_linear.aviMedia File (video/avi)
utt c2uxx = Ku
Figure: utt uxx = ku, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 9 / 1
simple_dispersion_linear.aviMedia File (video/avi)
Repetindo: utt c2uxx = Ku
Figure: utt uxx = ku, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0, K pequeno
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 10 / 1
simple_dispersion_linear_very_small_disp.aviMedia File (video/avi)
Repetindo: utt c2uxx = Ku
Figure: utt uxx = ku, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0, K pequeno
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 10 / 1
simple_dispersion_linear_very_small_disp.aviMedia File (video/avi)
Repetindo: utt c2uxx = Ku
Figure: utt uxx = ku, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0, K grande
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 11 / 1
simple_dispersion_linear_very_large.aviMedia File (video/avi)
Repetindo: utt c2uxx = Ku
Figure: utt uxx = ku, com u(x , 0) localizada, ut (x , 0) = 0, K grande
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 11 / 1
simple_dispersion_linear_very_large.aviMedia File (video/avi)
E ento?
A disperso faz exatamente o que o seu nome enseja:
dispersaas ondas. Elas no tm mais uma forma fixa.Em termos de modos de Fourier, cada modo viaja com a suaprpria velocidade.Tudo isso linear.H muitas equaes de onda que tem disperso. Veremosalgumas adiante.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 12 / 1
E ento?
A disperso faz exatamente o que o seu nome enseja: dispersaas ondas. Elas no tm mais uma forma fixa.
Em termos de modos de Fourier, cada modo viaja com a suaprpria velocidade.Tudo isso linear.H muitas equaes de onda que tem disperso. Veremosalgumas adiante.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 12 / 1
E ento?
A disperso faz exatamente o que o seu nome enseja: dispersaas ondas. Elas no tm mais uma forma fixa.Em termos de modos de Fourier, cada modo viaja com a suaprpria velocidade.
Tudo isso linear.H muitas equaes de onda que tem disperso. Veremosalgumas adiante.
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E ento?
A disperso faz exatamente o que o seu nome enseja: dispersaas ondas. Elas no tm mais uma forma fixa.Em termos de modos de Fourier, cada modo viaja com a suaprpria velocidade.Tudo isso linear.
H muitas equaes de onda que tem disperso. Veremosalgumas adiante.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 12 / 1
E ento?
A disperso faz exatamente o que o seu nome enseja: dispersaas ondas. Elas no tm mais uma forma fixa.Em termos de modos de Fourier, cada modo viaja com a suaprpria velocidade.Tudo isso linear.H muitas equaes de onda que tem disperso.
Veremosalgumas adiante.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 12 / 1
E ento?
A disperso faz exatamente o que o seu nome enseja: dispersaas ondas. Elas no tm mais uma forma fixa.Em termos de modos de Fourier, cada modo viaja com a suaprpria velocidade.Tudo isso linear.H muitas equaes de onda que tem disperso. Veremosalgumas adiante.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 12 / 1
E ento?
A disperso faz exatamente o que o seu nome enseja: dispersaas ondas. Elas no tm mais uma forma fixa.Em termos de modos de Fourier, cada modo viaja com a suaprpria velocidade.Tudo isso linear.H muitas equaes de onda que tem disperso. Veremosalgumas adiante.
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Ondas Uni-direcionaisAt aqui vimos equaes que admitem a propagao de ondasem duas direes.
Ser mais simples considerarmos equaes que admitem ondasem apenas uma direo.Por exemplo:
ut c u
x= 0
Figure: ut ux = 0, com u(x , 0) localizada.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 13 / 1
Ondas Uni-direcionaisAt aqui vimos equaes que admitem a propagao de ondasem duas direes.Ser mais simples considerarmos equaes que admitem ondasem apenas uma direo.
Por exemplo:ut c u
x= 0
Figure: ut ux = 0, com u(x , 0) localizada.
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Ondas Uni-direcionaisAt aqui vimos equaes que admitem a propagao de ondasem duas direes.Ser mais simples considerarmos equaes que admitem ondasem apenas uma direo.Por exemplo:
ut c u
x= 0
Figure: ut ux = 0, com u(x , 0) localizada.
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Ondas Uni-direcionaisAt aqui vimos equaes que admitem a propagao de ondasem duas direes.Ser mais simples considerarmos equaes que admitem ondasem apenas uma direo.Por exemplo:
ut c u
x= 0
Figure: ut ux = 0, com u(x , 0) localizada.(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 13 / 1
linear.aviMedia File (video/avi)
Ondas uni-direcionais com dispersoEsta uma onda simples.
Simples demais para ser interessante.Adicionemos disperso.Por exemplo:
ut c u
x=3ux3
SEGUNDO EXERCCIO: CALCULE A RELAO DE DISPERSO E A VELOCIDADE
DE FASE
Figure: ut ux = uxxx , com u(x , 0) localizada, vista de um referencial com velociade 1.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 14 / 1
Ondas uni-direcionais com dispersoEsta uma onda simples. Simples demais para ser interessante.
Adicionemos disperso.Por exemplo:
ut c u
x=3ux3
SEGUNDO EXERCCIO: CALCULE A RELAO DE DISPERSO E A VELOCIDADE
DE FASE
Figure: ut ux = uxxx , com u(x , 0) localizada, vista de um referencial com velociade 1.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 14 / 1
Ondas uni-direcionais com dispersoEsta uma onda simples. Simples demais para ser interessante.Adicionemos disperso.
Por exemplo:ut c u
x=3ux3
SEGUNDO EXERCCIO: CALCULE A RELAO DE DISPERSO E A VELOCIDADE
DE FASE
Figure: ut ux = uxxx , com u(x , 0) localizada, vista de um referencial com velociade 1.
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Ondas uni-direcionais com dispersoEsta uma onda simples. Simples demais para ser interessante.Adicionemos disperso.Por exemplo:
ut c u
x=3ux3
SEGUNDO EXERCCIO: CALCULE A RELAO DE DISPERSO E A VELOCIDADE
DE FASE
Figure: ut ux = uxxx , com u(x , 0) localizada, vista de um referencial com velociade 1.
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Ondas uni-direcionais com dispersoEsta uma onda simples. Simples demais para ser interessante.Adicionemos disperso.Por exemplo:
ut c u
x=3ux3
SEGUNDO EXERCCIO: CALCULE A RELAO DE DISPERSO E A VELOCIDADE
DE FASE
Figure: ut ux = uxxx , com u(x , 0) localizada, vista de um referencial com velociade 1.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 14 / 1
Ondas uni-direcionais com dispersoEsta uma onda simples. Simples demais para ser interessante.Adicionemos disperso.Por exemplo:
ut c u
x=3ux3
SEGUNDO EXERCCIO: CALCULE A RELAO DE DISPERSO E A VELOCIDADE
DE FASE
Figure: ut ux = uxxx , com u(x , 0) localizada, vista de um referencial com velociade 1.
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kdv_linear_haute_disp_temps_court.aviMedia File (video/avi)
ut ux = uxxx
Tudo como esperado.
Propagao unidirecional.Disperso.Note: tudo aqui linear.Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.( o que isto?)As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 15 / 1
ut ux = uxxx
Tudo como esperado.Propagao unidirecional.
Disperso.Note: tudo aqui linear.Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.( o que isto?)As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 15 / 1
ut ux = uxxx
Tudo como esperado.Propagao unidirecional.Disperso.
Note: tudo aqui linear.Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.( o que isto?)As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 15 / 1
ut ux = uxxx
Tudo como esperado.Propagao unidirecional.Disperso.Note: tudo aqui linear.
Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.( o que isto?)As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 15 / 1
ut ux = uxxx
Tudo como esperado.Propagao unidirecional.Disperso.Note: tudo aqui linear.Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.
( o que isto?)As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 15 / 1
ut ux = uxxx
Tudo como esperado.Propagao unidirecional.Disperso.Note: tudo aqui linear.Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.( o que isto?)
As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
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ut ux = uxxx
Tudo como esperado.Propagao unidirecional.Disperso.Note: tudo aqui linear.Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.( o que isto?)As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 15 / 1
ut ux = uxxx
Tudo como esperado.Propagao unidirecional.Disperso.Note: tudo aqui linear.Podemos resolver o problema de Cauchy esta equao.( o que isto?)As solues sero dadas em termos de integrais de Fourier.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 15 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 16 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?
Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 16 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 16 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 16 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 16 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u).
Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 16 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = u
Assim teremos:ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 16 / 1
Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
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Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
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Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
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Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear.
( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
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Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)
I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear nocontexto presente.
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Ondas no-lineares
Se e colocarmos um pouco de no-linearidade na nossa vida?Por exemplo, tomemos uma onda simples:
ut c u
x= 0
Digamos que c = c(u). Que tal c = uAssim teremos:
ut uu
x= 0
Esta uma equao no-linear. ( o que isto?)I Terceiro exerccio: Procure definir linear e no-linear no
contexto presente.
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Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
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Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 17 / 1
Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 17 / 1
Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.
As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 17 / 1
Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.
A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 17 / 1
Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.
Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
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Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...
Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
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Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.
( o que isto?)
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Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
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Alguma intuio...
O que esperar deut uu
x= 0
A equao acima dize que a velocidade da onda maior quantomaior for a sua amplitude.As partes altas devem ser mais rpidas que as baixas.A onda deve se deformar.Em algum momento as partes altas devem ultrapassar as partesbaixas...Algum tipo de no-univocidade deve ser esperada.( o que isto?)
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ut u
ux = 0
Figure: ut uux = 0 , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes, escalas de tempodiferentes.
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ut u
ux = 0
Figure: ut uux = 0 , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes, escalas de tempodiferentes.
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quebrabis.aviMedia File (video/avi)
ut u
ux = 0
Figure: ut uux = 0 , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes, escalas de tempodiferentes.
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quebrabis.aviMedia File (video/avi)
quebra.aviMedia File (video/avi)
Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.
Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.Fenmenos no-lineares dependem da amplitudeT depende daamplitude.Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.E se misturarmos disperso e no-linearidade?
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Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.
Fenmenos no-lineares dependem da amplitudeT depende daamplitude.Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.E se misturarmos disperso e no-linearidade?
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 19 / 1
Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.Fenmenos no-lineares dependem da amplitude
T depende daamplitude.Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.E se misturarmos disperso e no-linearidade?
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 19 / 1
Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.Fenmenos no-lineares dependem da amplitudeT depende daamplitude.
Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.E se misturarmos disperso e no-linearidade?
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 19 / 1
Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.Fenmenos no-lineares dependem da amplitudeT depende daamplitude.Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.
O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.E se misturarmos disperso e no-linearidade?
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 19 / 1
Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.Fenmenos no-lineares dependem da amplitudeT depende daamplitude.Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.
E se misturarmos disperso e no-linearidade?
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Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.Fenmenos no-lineares dependem da amplitudeT depende daamplitude.Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.E se misturarmos disperso e no-linearidade?
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 19 / 1
Trivial variado da no-linearidade de ondas
A onda do exemplo anterior quebrou.Portanto, aps um certo tempo T , a soluo no existe.Fenmenos no-lineares dependem da amplitudeT depende daamplitude.Numa escala de tempo muito curta em relao a T , ano-linearidade pouco se manifesta.O exemplo acima tratou de uma equao n-linear semdisperso.E se misturarmos disperso e no-linearidade?
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Disperso e No-linearidade
Considereut 6u
ux
=3ux3
Figure: ut 6uux = uxxx , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 20 / 1
Disperso e No-linearidadeConsidere
ut 6u
ux
=3ux3
Figure: ut 6uux = uxxx , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 20 / 1
Disperso e No-linearidadeConsidere
ut 6u
ux
=3ux3
Figure: ut 6uux = uxxx , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes.
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kdv_amp1.aviMedia File (video/avi)
Disperso e No-linearidadeConsidere
ut 6u
ux
=3ux3
Figure: ut 6uux = uxxx , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes.
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kdv_amp1.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp2.aviMedia File (video/avi)
Disperso e No-linearidadeConsidere
ut 6u
ux
=3ux3
Figure: ut 6uux = uxxx , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 20 / 1
kdv_amp1.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp2.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp6.aviMedia File (video/avi)
Disperso e No-linearidadeConsidere
ut 6u
ux
=3ux3
Figure: ut 6uux = uxxx , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes.
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kdv_amp1.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp2.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp6.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp20.aviMedia File (video/avi)
Disperso e No-linearidadeConsidere
ut 6u
ux
=3ux3
Figure: ut 6uux = uxxx , com u(x , 0) localizada. Amplitudes iniciais diferentes.
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 20 / 1
kdv_amp1.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp2.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp6.aviMedia File (video/avi)
kdv_amp20.aviMedia File (video/avi)
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.
No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NOQuarto exerccio: que tal achar uma soluo particular no
trivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDE
E, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NOQuarto exerccio: que tal achar uma soluo particular no
trivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.
Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NOQuarto exerccio: que tal achar uma soluo particular no
trivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma.
Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NOQuarto exerccio: que tal achar uma soluo particular no
trivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.
Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?NO
Quarto exerccio: que tal achar uma soluo particular notrivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NOQuarto exerccio: que tal achar uma soluo particular no
trivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NO
Quarto exerccio: que tal achar uma soluo particular notrivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NOQuarto exerccio: que tal achar uma soluo particular no
trivial de
ut 6uu
x=3ux3
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 21 / 1
E ento?
Lembremos: a equao no-linear e dispersiva.No-linear efeitos de AMPLITUDEE, de fato, vimos que diferentes amplitudes geram dinmicasdiferentes.Mas tambm observamos que h situaes em que a disperso ea no-linearidade se anulam e do origem ondas que mantm aforma. Chamamo-las de ondas solitrias.Isto acontece com todas as equaes no-lineares e dispersivas?
NOQuarto exerccio: que tal achar uma soluo particular no
trivial de
ut 6uu
x=3ux3
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Resumo da aula e algumas razes para assistir a prxima
Equaes de onda lineares e no-dispersivas geram pulsos que mantm a forma.I Vimos que h equaes que admitem ondas em duas direes;I e outras que descrevem a propagao uni-direcional.
A disperso vem do fato da velocidade de cada modo de Fourier de uma onda poder sepropagar com uma velocidade diferente.
Disperso tende a espalhar a onda. Disperso um fenmeno linear: independe daamplitude da onda.
Equaes de onda no-lineares tendem a deformar os pulsos.Tudo depende da amplitude.
No-linearidade + disperso podem gerar diversas solues interessantes de uma mesmaequao.
Na aula seguinte veremos mais fatos sobre equaes com disperso e no-linearidade.
Mas,...Aonde est a fsica?Veremos tambm como estas equaes todas podem aparecer na fsica.
E, numa fsica que todos podemos ver: hidrodinmica e tica .
NO PERCAM
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 22 / 1
Resumo da aula e algumas razes para assistir a prxima
Equaes de onda lineares e no-dispersivas geram pulsos que mantm a forma.
I Vimos que h equaes que admitem ondas em duas direes;I e outras que descrevem a propagao uni-direcional.
A disperso vem do fato da velocidade de cada modo de Fourier de uma onda poder sepropagar com uma velocidade diferente.
Disperso tende a espalhar a onda. Disperso um fenmeno linear: independe daamplitude da onda.
Equaes de onda no-lineares tendem a deformar os pulsos.Tudo depende da amplitude.
No-linearidade + disperso podem gerar diversas solues interessantes de uma mesmaequao.
Na aula seguinte veremos mais fatos sobre equaes com disperso e no-linearidade.
Mas,...Aonde est a fsica?Veremos tambm como estas equaes todas podem aparecer na fsica.
E, numa fsica que todos podemos ver: hidrodinmica e tica .
NO PERCAM
(ondasnaolineares.blogspot.com) Ondas no-lineares R.A. Kraenkel 22 / 1
Resumo da aula e algumas razes para assistir a prxima
Equaes de onda lineares e no-dispersivas geram pulsos que mantm a forma.I Vimos que h equaes que admitem ondas em duas direes;
I e outras que descrevem a propagao uni-direcional.
A disperso vem do fato da velocidade de cada modo de Fourier de uma onda poder sepropagar com uma velocidade diferente.
Disperso tende a espalhar a onda. Disperso um fenmeno linear: independe daamplitude da onda.
Equaes de onda no-lineares tendem a deformar os pulsos.Tudo depende da amplitude.
No-linearidade + disperso podem gerar diversas solues interessantes de uma mesmaequao.
Na aula seguinte veremos m
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