Óptica 02/2007
Óptica Geométrica:Óptica Geométrica:Óptica de raios com matrizesÓptica de raios com matrizes
UFRJ - IF
Aula 14
Adriano Henrique de Oliveira Aragão
Prof. Paulo H. S. RibeiroProf. Paulo H. S. Ribeiro
Sumário
• Ótica Geométrica: postulados
• A equação do raio• Princípio de Fermat
• Equações de Hamilton
Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos
• Matrizes de raios
Óptica Quântica: explica a maioriados fenômenos ópticos
Óptica Eletromagnética:tratamento clássico mais completo sobre a luz
Óptica Ondulatória:aproximação escalar para a Óptica Eletromagnética
Óptica de Raios: Quando as ondas de luz passam porobjetos de dimensões muito maiores que o seu comprimento de onda.
O Comportamento da luz pode ser descrito por raios obedecendo certas leis geométricas
Postulados da Óptica de Raios (segundo Saleh & Teich)
1. Luz viaja na forma de raios. Os raios são emitidos por uma fonte de luz e podem ser observados quando alcançam um detector óptico.
2. Um meio óptico é caracterizado pelo seu índice de refração n=c/v, onde v (c) é a velocidade da luz no meio (vácuo). O tempo que a luz leva para percorrer uma distância d é t=d/v=nd/c. A distância nd é conhecida como caminho óptico.
3. Em um meio não homogêneo, n(r) é função da posição r=(x,y,z). O comprimento do caminho óptico ao longo de um dado traçado entre dois pontos A e B é:
,)(∫B
Adsrn
+ Princípio de Fermat
onde ds é o elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho.
Princípio de Fermat
Raios ópticos viajando entre dois pontos A e B seguem um caminho tal que o tempo do trajeto entre eles é um extremo relativo aos caminhos vizinhos. Matematicamente,
∫ =B
Adsrn ,0)(δ
Usualmente, o caminho óptico é um mínimo, caso no qual,
“De todos os caminhos possíveis para ir de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no tempo mínimo”.
Meio homogêneo (n=cte): caminho ótico mínimo corresponde à distância mínima -> Propagação retilínea da luz entre 2 pontos.
P.F. leva a lei da reflexão e da refração
0)( 21 =+
dxPBnAPnd
⇒2211 sinsin
Onde está o ponto P que minimiza o caminho ótico [AP]+[PB]?
θθ nn =
Ainda o Princípio de Fermat:
∫∫ == dssrncv
dsT )]([1
)()()( srsrsr δ+→
∫ += dsnndsc
T δδδ 1Considere uma variação no caminho:
Calcule
usando rnn δδ ⋅∇=
dsrd
dsrddsrdrdrdds δδδ ⋅≈−+= 22 )()(
,
e integrando por partes, obtém-se 0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∇
dsrdn
dsdn
A equação do raio
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∇
dsrdn
dsdn
Solução dessa equação + condições de contorno = trajetórias representando um grupo (feixe) de raios.
ds é um comprimento diferencial ao longo da trajetória do raio
Trajetória descrita por x(s), y(s) e z(s), sendo que r(s) é o vetor formado com essas componentes.
( ) ( ) ( )222 dzdydxds ++=
Equação paraxial do raio: ds ≈ dzxn
dzdxn
dzd
∂∂
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Formulações equivalentes:
Equação Eikonal: O eikonal S(r) é uma função da posição tal que
• suas superfícies equiníveis são ortogonais em todo lugar aos raios óticos,• os comprimentos do caminho ótico ao longo de todos os raios de uma superfície equinível para outra são iguais.• os raios estão ao longo do gradiente de S(r).
)()( 22 rnrS =∇
)()()()( ASBSdsrSdsrnB
A
B
A−=∇= ∫∫
Equação eikonal é equivalente ao princípio de Fermat!
Formulação Hamiltoniana: Defina uma hamiltoniana
( ) 2222 /),,();,,,( yxyx cfzyxnzyxH σσσσ −−−=
Onde: Usualmente representamos a distribuição de luz sobre um plano z=cte especificando o ponto (x,y) e os ângulos (θx,θy) nos quais os raios interceptam o plano.
(θx,θy) é o ângulo que o raio faz com o plano (y,x)-z.
λσ
σ yxyx
,,
sin≡ e λ é o comprimento de onda da luz no meio.
e usex
Hdzdx
σ∂∂
=xH
dzd x
∂∂
−=σ
Componentes Ópticos:
Espelho Plano: Reflete raios originados de um ponto tal que os raios refletidos parecem se originar de um outro ponto atrás do espelho, chamado imagem.
Espelho Parabolóide: Foca todos raios incidentes paralelos ao seu eixo em um mesmo ponto, o chamado foco.
Espelho Esférico:
s= distância do objetos’= distância da imagemr= raio de curvatura
( )( )rs
sr−−
='
sinsin
2
1
θθ
Aberração esférica! Diferentes raios não vão para o mesmo foco
Aproximação paraxial:frss12
'11
==+
Interface dielétrica curvada:
s= distância do objetos’= distância da imagemr= raio de curvatura
( )( ) 1
2
2
1 'sinsin
nn
rsrs
+−
=θθ
Aberração esférica também!
Aproximação paraxial:r
nnsn
sn 1221
'−
=+
Lentes delgadas: Para uma lente com índice n e raios de curvaturas r1 e r2, as distâncias das imagens e do objeto estão relacionadas por
( )frr
nss
1111'
11
21
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=+
Combinação de lentes delgadas: a distância focal f de qualquer número de lentes delgadas (todas em contato mútuo) é
…+++=321
1111ffff
Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos
1) Secções do espaço livre (raios paraxiais!!)
xn
dzdxn
dzd
∂∂
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
yn
dzdyn
dzd
∂∂
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Para n constante, 0),(2
2
=dz
yxd-> raios são linhas retas
Se um raio intercepta o plano z=z1 em (x1,y1) fazendo ângulos (θx1,θy1) com os planos y-z e x-z, então o raio irá interceptar o plano z=z2=z1+d em (x2,y2) fazendo ângulos (θx2,θy2), onde
dxx x112 θ+= dyy y112 θ+=
12 xx θθ = 12 yy θθ =
2) Lentes delgadas: Para uma lente delgada de foco em f,
fx
xx1
12 −= θθ12 xx =
Matriz de transferência de raios
Na aproximação paraxial, a relação entre o ponto de entrada e o de saída de um sistema ótico é linear, sendo que de forma geral,podemos escrever
112 θBAyy += 112 θθ DCy +=
O que nos permite escrever
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
1
1
2
2
θθy
DCBAy
Essa matriz caracteriza a transformação que o sistema ótico faz nos raios incidentes
Exemplos:
1) Reflexão em um espelho plano:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
M
2) Propagação no espaço livre:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
101 d
M
3) Reflexão em um espelho esférico:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= 12
01
rM
4) Refração em uma superfície esférica
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
−=2
1
2
12
01
nn
rnnnM
5) Refração em uma superfície plana:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
2
1001
nnM
6) Transmissão através de uma lente delgada
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−= 11
01
fM
Uma das vantagens dessa técnica é que podemos decompor um sistema ótico complicado em uma multiplicação de matrizes mais simples:
= M
...M1 M2 Mn
onde
12MMMM N=
Matrizes de raios para feixes Gaussianos
O formalismo de matrizes também é útil para descrever feixes Gaussianos. Se nós temos um feixe Gaussiano de comprimento de onda λ, raio de curvatura R e cintura do feixe w, é possível definir um parâmetro complexo para o feixe q através de:
2
11wi
Rq πλ
−=
Esse feixe pode ser propagado através de um sistema ótico com uma matriz dada usando a equação
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡11
12 qDCBA
kq