Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Artigos
A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS PARA O ENSINO DE
TRIGONOMETRIA
Autor: Joaquim José Cardoso ¹
Orientador: João Roberto Gerônimo ²
RESUMO: O trabalho desenvolvido a partir de materiais manipuláveis tem por objetivo tornar o
conteúdo mais compreensivo do ponto de vista do aluno. Acredita-se que quando o aluno participa na construção dos materiais, a fixação das propriedades matemáticas envolvidas nessas construções torna-se mais sólida e objetiva. A construção do material bem como a resolução das atividades escolares por meio destes, faz com que a rotina das aulas seja quebrada, tornando-as mais atraentes e interessantes para alunos e professores. O trabalho mostra que a ocorrência de uma maior interação entre todos os envolvidos é inegável. A escolha do tema Trigonometria no Triângulo Retângulo foi feita com o objetivo de mostrar aos alunos algumas resoluções envolvendo trigonometria de maneira mais visível e descontraída. A implementação deste trabalho foi realizada em uma turma do Ensino Médio do CEEBJA Prof. Manoel Rodrigues da Silva. Com esse trabalho foi possível observar que alguns alunos têm facilidade nas construções com régua e compasso, outros nas resoluções das atividades e isso motiva a interação entre eles fazendo com que haja uma colaboração mútua que traz como conseqüência a socialização do conhecimento. O presente artigo trás uma introdução da trigonometria por meio da construção de materiais manipuláveis e o uso destes para resolução de algumas questões nas atividades escolares.
Palavras-chave:
Metodologias. Laboratório de Matemática. Materiais Manipuláveis. Trigonometria.
¹ Professor PDE da SEED-PR. E-mail: [email protected]
² Professor Doutor da UEM. E-mail: [email protected]
INTRODUÇÃO:
A decisão de desenvolver um trabalho tomando como base a Trigonometria no
Triângulo Retângulo foi tomada pensando em mostrar aos alunos que este conteúdo
está mais próximo da sua realidade do que ele imagina e a opção de usar materiais
manipuláveis tem por objetivo aproximar o aluno do conteúdo de uma forma menos
agressiva, onde ele começa a utilizar fórmulas e propriedades matemáticas sem o
rigor e a formalidade das definições e dos teoremas, algo que vai acontecer ao longo
do processo de aprendizagem na apresentação do conteúdo aos alunos e no
desenvolvimento das atividades. Realizar trabalhos tomando como base a
trigonometria é algo muito importante, pois estamos entrando em um antigo campo
de estudo que a muito tempo encanta a humanidade. A história mostra que a
trigonometria teve sua origem a muitos séculos a.C. Não se sabe ao certo esta data,
porém, há registros relacionados a ela no Papiro de Rhind que data de cerca de
1650 a.C. O seu estudo inicial provavelmente esteja ligado à Astronomia, mas foi na
primeira metade do século VI a.C. que viveu o grego Tales de Mileto, considerado o
pai da Geometria Demonstrativa, que contribuiu com seus estudos em diversas
áreas do conhecimento, tais como Matemática, Filosofia e Astronomia. O conhecido
Teorema de Tales é ensinado a partir do ensino fundamental e muito usado pelos
alunos durante sua vida escolar. O trabalho realizado com triângulos sempre
encantou os matemáticos, como é o caso do grego Pitágoras que nasceu por volta
de 580 a.C. na ilha de Samos no mar Egeu. Ele demonstrou uma das mais
conhecidas relações existentes entre as medidas dos lados de um triângulo
retângulo, conhecida como Teorema de Pitágoras, algo fascinante para a época e
até hoje é admirado e demonstrado. Como disse Caraça: “Que lei matemática tão
simples a regular a estrutura duma figura geométrica! Por isso, este teorema foi
sempre considerado como a mais brilhante aquisição da escola pitagórica” (Caraça
p.71).
Matemáticos como Tales de Mileto e Pitágoras nos mostram através da história, que
os triângulos a muito tempo estão presentes em questões matemáticas, por isso,
usar materiais manipuláveis que façam parte de um Laboratório de Ensino de
Matemática (LEM) ou que sejam construídos pelos alunos, vai somar
qualitativamente para uma aprendizagem significativa, como afirma Lorenzato
(2012):
(...) para aqueles que possuem uma visão atualizada de educação matemática, o laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológica porque mais do que nunca, o ensino da matemática se apresenta com necessidades especiais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades.(LORENZATO, 2012, p.6).
A construção dos materiais manipuláveis geralmente desenvolve no aluno
curiosidades e também afinidades com o saber científico que envolve a atividade
trabalhada, é neste momento que o professor poderá aprofundar esse saber dando
ao aluno os subsídios necessários para tal conhecimento, fazendo uso dos teoremas
e das propriedades matemáticas envolvidas.
DESENVOLVIMENTO: Como professor da rede estadual de ensino do Paraná, tive
a oportunidade de participar do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE),
junto com os professores da turma 2013, ano em que ficamos afastados da sala de
aula com tempo integral dedicado aos estudos e a pesquisa. O cronograma do PDE
oferece vários cursos e palestras que são ministrados por professores, educadores
e estudiosos na área de Educação com a finalidade de tornar o ensino mais
atualizado em relação às mudanças que ocorrem constantemente. Para desenvolver
o projeto escolheu-se um tema, no caso, “Trigonometria no Triângulo Retângulo”,
onde estudando alguns materiais e especificamente o livro: “O Laboratório de Ensino
de Matemática na Formação de Professores”, do educador e escritor Sérgio
Lorenzato e com a orientação do prof. Dr. João Roberto Gerônimo optou-se por
desenvolver materiais manipuláveis que mostram algumas resoluções de atividades
envolvendo Trigonometria no Triângulo Retângulo. Após o estudo de alguns
materiais foi elaborado um caderno pedagógico com atividades para desenvolver na
sala de aula, realizando a construção dos materiais e fazendo a aplicação na
resolução das atividades propostas. Este material foi apresentado aos professores
da rede estadual através da plataforma moodle por meio do curso à distância,
conhecido como GTR (Grupo de Trabalho em Rede), onde os professores puderam
conhecer o trabalho e participar com sugestões e colaborações, relatando
experiências vivenciadas por eles em suas escolas.
A Implementação do projeto na escola ocorreu no primeiro semestre de 2014,
paralelamente ao grupo de estudos GTR. Foi na implementação que pudemos
observar na prática a importância de se trabalhar com esses materiais, tanto na
resolução das atividades, como no esclarecimento de dúvidas a respeito de fórmulas
e propriedades matemáticas envolvidas.
DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DO CADERNO PEDAGÓGICO:
No dia 4 de fevereiro de 2014, a direção da escola reservou um tempo para que os
professores PDE apresentassem o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola
aos demais Professores e Equipe pedagógica, o que ocorreu no período da tarde.
Foi o momento em que os professores da escola tiveram o primeiro contato com o
trabalho desenvolvido durante o ano de 2013 pelos professores PDE.
Em fevereiro também foi feito a aquisição dos materiais pedagógicos para o
desenvolvimento do projeto com os alunos na sala de aula.
O projeto foi apresentado aos alunos no início das aulas da turma do coletivo 6424,
que começou em 10/02/2014. Após a apresentação, iniciou-se a Implementação
com a realização da primeira atividade a ser feita pelos alunos. A atividade
“Calculando a Altura da Pirâmide pelo Método de Tales”. Esta atividade foi
apresentada aos alunos com as construções feitas no quadro pelo professor sendo
acompanhadas passo a passo pelos alunos. No final, utilizou-se uma pirâmide para
a sala toda, de modo que todos puderam fazer a comparação entre as alturas e
estabelecer as proporções para realizar os cálculos necessários.
Nesta atividade observou-se que a parte que se refere aos cálculos usando as
proporções, todos desenvolveram com sucesso, porém no trabalho com régua e
compasso alguns alunos apresentaram dificuldades no manuseio desses materiais,
necessitando de uma orientação mais significativa por parte do professor, porém
esse tipo de dificuldade já era previsto, não ocasionando prejuízo à aprendizagem.
Para desenvolver a atividade sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo
qualquer na Geometria Euclidiana, foi feito individualmente a construção dos
triângulos a serem usados, em seguida construiu-se o ângulo raso que foi usado na
verificação da igualdade, trabalho realizado pelos alunos que recortaram os ângulos
na representação do triângulo e colocaram estes sobre o ângulo raso construído.
Como mostra as Figuras: (Figura1, Figura 2; Figura 3).
Figura1. Representação do triângulo construído na cartolina, destacando os ângulos.
Figura 2. União dos três ângulos do triângulo sobrepondo um ângulo raso.
Figura 3. Comprovação da igualdade: “A soma das medidas dos três ângulos internos de
um triângulo resulta em 180º ”.
Já a atividade que mostra que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são
complementares usou-se a dobradura no triângulo retângulo representado em
cartolina. Depois de construído o triângulo retângulo, destacou-se os ângulos com
cartolina de outra cor e por meio de dobraduras mostrou-se a igualdade. Como
podemos ver a seguir. (Figura 4, Figura 5; Figura 6).
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Figura 4. Triângulo retângulo construído em cartolina destacando o ângulo reto.
Figura 5. Realização de dobraduras com os dois ângulos agudos sobrepondo o ângulo
reto.
Figura 6. Comprovação da igualdade: “A soma das medidas dos dois ângulos agudos do
triângulo retângulo resulta em 90º “.
Para mostrar a resolução do Teorema de Pitágoras por meio da igualdade das áreas
construídas em dois quadrados de lados b+c, com o primeiro quadrado dividido em
quatro triângulos retângulos de lados: a, b; c e um quadrado de lado a, e o segundo
quadrado dividido em quatro triângulos de lados: a, b; c e dois quadrados sedo um
de lado b e outro de lado c, como mostra a Figura 7, usou-se cartolina branca e lápis
de cor para pintar os triângulos com cores diferentes em cada quadrado depois fazer
a sobreposição dos triângulos de lados a, b; c que foram recortados do 1º quadrado
e colados no 2º quadrado, veja a Figura 8, depois os quais foram recortados,
verificado que restou no quadrado 1 a região de área igual a a² e no quadrado 2 as
regiões de áreas b² e c², como mostra a Figura 9. Como as áreas retiradas dos dois
quadrados foram áreas equivalentes, os alunos concluíram que a região restante
no quadrado 1 tinha a mesma área que as regiões restantes no quadrado 2, ou seja
a²=b²+c².
Figura 7. Representação de dois quadrados de lados b+c. No primeiro quadrado estão
representados quatro triângulos de lados a, b; c e um quadrado de lado a. No segundo
quadrado, quatro triângulos de lados a, b; c, e dois quadrados, um de lado b e outro de lado
c.
Figura 8. Recorte dos triângulos no quadrado 1 e sobrepondo os triângulos no quadrado 2.
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7
Figura 9. Retirada das áreas equivalentes, restando no quadrado 1 a região a2 e no
quadrado 2 as regiões b² + c².
Na construção do quebra-cabeça em EVA, observou-se que a construção seria mais
difícil quando executada diretamente na folha de EVA, optou-se então, pela
construção em cartolina e depois passou-se para a folha de EVA, uma contribuição
dos alunos que facilitou muito o trabalho, principalmente na obtenção de desenhos
mais precisos para serem recortados. A construção foi desenvolvida passo a passo
no quadro e os alunos acompanharam construindo na cartolina, em seguida
colocaram a cartolina sobre a folha de EVA e com a ponta seca do compasso fez-se
a marcação perfurando nos vértices e depois construindo o quebra-cabeça. (Figura
10, Figura 11; Figura 12).
Figura 10. Representação do triângulo retângulo e as áreas referentes às medidas dos
lados, construídos em EVA.
Figura 11. Colocação das peças de EVA, destacando as áreas dos catetos.
Figura 12. Retirada das peças de EVA das áreas dos catetos e sobrepondo a área da
hipotenusa.
Para mostrar a igualdade das áreas entre a área do quadrado de lado igual à
medida da hipotenusa e as áreas dos quadrados construídos com os lados iguais as
medidas dos catetos, os alunos não demoram muito tempo, algo que pode se
atribuir ao fato de o material ter sido construído por eles.
A atividade realizada no geoplano para construir triângulos retângulos congruentes
com a finalidade de estabelecer as razões trigonométricas, seno, cosseno e
tangente, foi feita de forma coletiva utilizando apenas um geoplano para a turma
toda. Realizou-se a construção das figuras utilizando as borrachinhas, fez-se as
medidas dos segmentos e montou-se as razões para mostrar a igualdade numérica
existente quando todas as medidas são conhecidas. Em seguida os alunos
atribuíram letras para representar as medidas, estabeleceram as razões entre as
medidas dos lados, algo que os levou às fórmulas já conhecidas como: seno,
cosseno e tangente de um ângulo agudo no triângulo retângulo, fórmulas que são
10
10
0
11 12
conhecidas e usadas para o cálculo de distâncias quando se conhece a medida de
um ângulo agudo do triângulo retângulo e a medida de um de seus lados. (Figura 13
e Figura 14).
Figura 13. Construção de triângulos retângulos congruentes com a utilização de
borrachinhas, no geoplano.
Figura 14. Medição dos lados dos triângulos.
Nas atividades que envolvem a utilização das fórmulas para calcular distâncias,
observou-se que a maioria dos alunos teve facilidade no momento de escolher a
fórmula correta, verificando quando a medida a ser calculada era referente à
hipotenusa, o cateto adjacente ou o cateto oposto do triângulo, algo que os levou à
utilização correta da fórmula para calcular a medida que estava sendo pedida na
questão.
A atividade mostrando a construção de um aparelho (Figura 15) para medir ângulos
foi realizada por apenas duas equipes, depois o aparelho foi usado pelas demais
equipes para efetuar as medidas dos ângulos previamente determinados com
vértices em três pontos que ao uni-los formaria um triângulo retângulo (Figura 16)
sendo que uma das distâncias estava estabelecida e o aluno então efetuava a
medida de um dos ângulos agudo (Figura 17) e calculava as outras medidas por
meio das razões trigonométricas, tarefa que foi desenvolvida com muito sucesso.
Figura 15. Construção do aparelho para medir ângulos com a utilização de linha e
transferidor.
Figura 16. Desenho dos vértices A, B e C do triângulo retângulo na cartolina.
Figura 17. Realização da medida do ângulo agudo B no triângulo ABC.
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13 14
As atividades finais do caderno pedagógico envolvendo construções com régua e
compasso e cálculos matemáticos, utilizando as razões trigonométricas já
desenvolvidas nas atividades anteriores, foram realizadas com sucesso, os alunos
interpretaram os problemas, fizeram as construções dos desenhos e a partir deles
discutiram quais procedimentos tomariam para resolvê-los. O que podemos observar
é que no final, todos utilizaram corretamente as fórmulas para determinar as
medidas que estavam sendo solicitadas. Outras atividades envolvendo resolução de
problemas por meio das razões trigonométricas foram colocadas para que eles
resolvessem individualmente e verificou-se que todos os participantes obtiveram
sucesso.
No desenvolvimento das atividades de Implementação do Projeto observou-se que a
dificuldade de manusear os materiais de desenho bem como a construção de retas
paralelas e perpendiculares usando régua e compasso, é uma realidade existente
em nossas salas de aula, porém é preciso oferecer oportunidades para que essa
dificuldade seja superada, e assim os alunos poderão executar as tarefas com
vontade de aprender, visto que durante a implementação, a participação deles foi
total, mesmo errando todos acompanharam e construíram seus materiais e até
quando o resultado não foi perfeito a aprendizagem foi notável e a satisfação do
aluno também. Isso mostra que devemos sempre que possível, disponibilizar um
tempo das nossas aulas para mostrar e trabalhar com materiais manipuláveis, onde
os resultados possam ser vistos de maneira mais concreta pelo educando, pois
manipulando e construindo os materiais esse aluno passa a fazer parte diretamente
da construção do conhecimento. Essas são razões claras e evidentes que mostram
que o uso de materiais manipuláveis é fundamental para a aprendizagem e quando
esses materiais são construídos por eles o envolvimento, a interação entre eles e a
aprendizagem torna-se mais evidente para professor, aluno e todos aqueles que
estão diretamente ligados à escola.
RESULTADOS E CONCLUSÃO:
A proposta apresentada neste trabalho foi construir materiais manipuláveis e usá-los
na resolução de problemas relacionados à Trigonometria no Triângulo Retângulo e
observar se esses materiais trariam benefícios à aprendizagem facilitando a
compreensão de alguns conceitos matemáticos, propriedades e teoremas
relacionados à trigonometria. A aplicação em sala de aula nos faz perceber que,
quando trabalhamos com materiais manipuláveis a aula torna-se mais dinâmica, a
interação entre os alunos acontece naturalmente, as perguntas surgem com maior
freqüência, algo que nos leva a crer que a compreensão do conteúdo ocorre de
forma mais efetiva e natural. Esses pontos positivos podem ser considerados
porquanto quando observamos os resultados nas avaliações aplicadas, vimos que
os alunos conseguiram resolver as questões propostas com aproveitamento
satisfatório, sem a ocorrência de alguns erros comuns nesse conteúdo,
principalmente na interpretação, algo que ocorre quando o aluno não identifica se a
questão envolve cálculo por meio do seno, cosseno ou tangente do ângulo
envolvido.
Acredita-se que ao construir materiais manipuláveis e fazer uso dos mesmos na
realização de atividades propostas em sala de aula, o desenvolvimento e a
percepção do aluno por meio da manipulação desses materiais fica evidente, visto
que ele consegue realizar as atividades propostas entendendo melhor os conceitos
envolvidos e isso torna a aprendizagem mais concreta, dando ao aluno mais
segurança na resolução dos problemas.
Percebe-se também que ao apresentar uma metodologia diferente, os alunos
ficaram mais motivados, realizando as atividades propostas com vontade de
aprender, algo que é notável pelas perguntas que são feitas e que leva o aluno a
descobrir seus próprios erros. As construções com régua e compasso, envolvidas
nas atividades faz o aluno relembrar conceitos e melhorar a compreensão,
aproximando as fórmulas e teoremas das situações relacionadas à sua realidade. Ao
construir materiais na sala de aula, o professor também poderá explorar outros
conhecimentos, tais como, ângulos, retas paralelas e perpendiculares, áreas,
distâncias, medidas, etc. Portanto, a construção e o uso de materiais manipuláveis
na sala de aula, propiciam ao aluno o desenvolvimento cognitivo, melhorando a
compreensão e a capacidade de fazer uso de maneira correta dos materiais como
régua e compasso além de mostrar o conteúdo de uma forma que ele possa
estabelecer relação com a realidade.
*Figuras: J. J. Cardoso – Arquivo pessoal (próprio autor).
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