Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Artigos
UM ESTUDO SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS: Resultados de
uma intervenção com alunos do 1º ano de Formação de
Docentes
Autor: Ivanilda Ferreira Bueno1
Orientadora: Profª Drª. Veridiana Rezende2
Resumo
Este artigo apresenta os resultados da implementação do projeto “Contribuição da Teoria dos Campos Conceituais para o Estudo dos Números Inteiros: Uma Intervenção com Alunos do 1º Ano de Formação de Docentes”, desenvolvido junto aos alunos do Colégio Estadual Duque de Caxias, e que faz parte dos requisitos do Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE. O projeto teve como objetivo favorecer a compreensão do conceito de números inteiros por meio de uma sequência de atividades matemáticas, considerando diferentes situações presentes no Campo Conceitual dos Números Inteiros. A escolha dessas atividades foi baseada em pressupostos de Vergnaud (2009), que considera fundamental diferentes situações para a compreensão de um conceito. Dessa forma, a problemática que se pretendeu responder foi: Será que uma sequência de atividades matemáticas, fundamentada na Teoria dos Campos Conceituais, no que diz respeito a analisar um conceito por meio de diversos outros conceitos interligados e diferentes situações relacionadas aos números inteiros, pode contribuir para a compreensão desses números pelos alunos? No decorrer desse trabalho, observou-se que os alunos reagiram de maneira positiva, mostrando que é possível melhorar a compreensão que eles têm em relação aos números inteiros e suas relações. A forma de trabalho empregada foi motivadora, permitindo ao aluno uma participação ativa, compartilhando conhecimentos prévios e modificando-os favorecendo, portanto, a aprendizagem do conceito envolvido. Desta forma, observou-se que o trabalho desenvolvido favoreceu a melhoria na compreensão dos conceitos dos números inteiros pelos alunos, amenizando de forma satisfatória os erros antes cometidos. Palavras-chave: Educação Matemática. Campo Conceitual. Números Inteiros.
1.INTRODUÇÃO
Minha trajetória profissional consiste de quase vinte anos como
professora de matemática em escolas da rede pública do Estado do Paraná,
lecionando para alunos do Ensino Fundamental, Médio e Formação de
Docentes, fez com que no decorrer desse tempo em sala de aula, por meio de
observações, e também tendo como base os relatos de pesquisas, observasse
1Professora da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná, Colégio Estadual Duque de
Caxias de Goioerê. Licenciatura em Matemática pela Faculdade de Umuarama (1992). Especialização em Ciências pela Universidade Estadual de Maringá (1998). ²Professora Doutora do Curso de Matemática da UNESPAR.
as dificuldades apresentadas pelos alunos em relação aos conhecimentos
sobre os números inteiros, conceito essencial para a compreensão de diversos
outros conceitos matemáticos estudados ao longo da escolarização. Nas
situações que envolvem operações com esses números, as dificuldades são
maiores e fazem muitos alunos sentirem insegurança em relação aos
conhecimentos matemáticos que possuem, visto que para quase todos os
conteúdos da disciplina em questão se exige um domínio dessas operações.
Segundo Glaeser, as dificuldades dos números inteiros são antigas:
[...] Um minucioso estudo de textos dos melhores autores – de Diofantes (fim do século lll d.c.) aos nossos dias – permitiu a identificação de alguns dos obstáculos que se opunham à compreensão dos números negativos. Pretendemos que, através de experiências diversas, se pesquise a possibilidade de as dificuldades vividas por Euler ou D`Alembert serem as mesmas que perturbam os jovens estudantes de hoje (1985, p.29).
Diante disso, realizei um trabalho no qual o objetivo foi analisar as
soluções envolvidas na produção de respostas durante a resolução de uma
sequência de atividades matemáticas, fundamentada em pressupostos da
Teoria dos Campos Conceituais, no que diz respeito a analisar um conceito por
meio de diversos outros conceitos interligados e diferentes situações
relacionadas aos números inteiros, a qual contribuiria para a compreensão
desses números pelos alunos do 1º ano de Formação de Docentes.
Assim, neste artigo, pretendo apresentar os avanços em relação aos
conhecimentos adquiridos pelos alunos após o desenvolvimento de uma
sequência de atividades voltadas aos números inteiros e os desafios
vivenciados por mim como professora durante a implementação pedagógica
desenvolvida em cumprimento ao calendário de atividades do PDE, turma
2013, a qual visava à validação ou reformulação de conceitos envolvidos com
os números inteiros buscando assim uma melhoria no processo de ensino
aprendizagem.
O material sugerido na implementação pode ser trabalhado a partir do
sétimo ano, pois, em geral, é nessa fase escolar que é introduzido esse novo
campo numérico, e que diante de tantas constatações sobre as atuais
dificuldades observadas em relação ao uso desses números pelos alunos,
temos que concordar que se faz necessário rever a forma pela qual é
introduzido e trabalhado esse conjunto numérico, assim, destaco as
sequências de atividades como exemplos de uma metodologia que proporciona
ao aluno um aprendizado contextualizado que auxilia na formulação de
conceitos que, muitas vezes, só é trabalhado de forma teórica, com
apresentação de regras prontas e sem a participação do aluno nessa
construção, deixando-os sem o entendimento dos conceitos que lhes servirão
para o desenvolvimento de outros que se relacionam ao longo de sua vida
escolar e até mesmo no seu dia a dia. As atividades sugeridas não precisam
ser trabalhadas seguindo a ordem estabelecida e nem de forma integral
conforme aparece na Unidade Didática, pois para cada encontro são atribuídos
objetivos específicos que podem ser trabalhados conforme a necessidade,
realidade de cada turma e do objetivo que se deseja alcançar. No entanto,
sugiro que seja dada atenção especial às atividades propostas no quarto,
quinto e sétimo encontros, pois são atividades voltadas para as operações com
números inteiros e, a meu ver, é onde os alunos apresentam mais dificuldades,
principalmente nas operações de adição e subtrações as quais são resolvidas
utilizando as mesmas regras da multiplicação.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Conforme as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do
Paraná – DCE (PARANÁ, 2008), o ensino da matemática para o Ensino Médio,
assim como nas demais modalidades, no caso o curso de Formação de
Docentes passou a ser visto como instrumento para compreensão, a
investigação, a inter-relação com o ambiente de maneira que esse
conhecimento possa ser um agente transformador, deixando de ser um simples
acúmulo de conhecimento técnico.
A matemática é uma ciência que está e sempre esteve presente na
vida da humanidade. Com o passar dos anos, essa ciência sofreu adaptações,
mas nunca deixou de ser um conhecimento necessário na vida das pessoas.
Apesar da necessidade de ter esses conhecimentos em seu dia-a-dia, alguns
indivíduos sentem dificuldades na apropriação de certos conceitos em relação
a muitos conteúdos inseridos na matemática básica, em especial os números
inteiros objeto desta pesquisa.
Conforme Eves e Boyer (apud SILVA, 2011, p.14) os números
negativos aparecem pela primeira vez na China antiga (250 a.C). Os chineses
estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras, vermelha para
os números positivos e preta para os números negativos. No entanto, não
aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação.
Os Matemáticos indianos descobriram por volta do século Vll d. C, os números
negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de
equações quadráticas, e a partir desse século os números negativos
começaram, mesmo sem muita convicção, a desenvolver-se pelo mundo.
Para Glaeser:
Embora desejassem evitar o emprego dos números negativos, a prática do cálculo vai forçá-los à sua introdução, como intermediários do cálculo. Durante muito tempo eles se espantaram ao perceber que cálculos efetuados com "falsos números" levavam afinal ao resultado exato (1985, p.50).
Graças ao progresso da matemática e ao uso de símbolos, hoje
podemos trabalhar com números negativos e sua representatividade,
utilizando-os nas mais diversas situações do cotidiano, o qual seria impossível
nos dias atuais ficar sem o seu uso.
Sabemos que todos os indivíduos, de modo geral, têm um
entendimento intuitivo sobre esses números e até operam com os mesmos,
pois a atual economia faz com que as pessoas usem os termos lucro, prejuízo
e saldo devedor. Mas quando o tema está relacionado à instrução formal
escolar torna-se um obstáculo na vida de muitos alunos. Assim podemos
relatar que as formas de abordagens desse tema não estão sendo satisfatórias,
devendo então ser revistas.
Borba relata:
A constatação das dificuldades observadas na história da matemática quanto à aceitação dos números negativos deve levar a escola a refletir sobre as dificuldades que os alunos podem ter na compreensão dos relativos. Além disso, se inicialmente transmite-se ao aluno a ideia de que número é algo que pode ser contado e regras que afirmam ser taxativamente proibido ou impossível subtrair um número maior de um menor, não esclarecendo que há outras classes de números que permitem essa operação, a aceitação e a compreensão dos relativos está fadada a ser problemática (2003, p.123).
Portanto a proposta de trabalho aqui analisada consistia em aplicar
uma sequência de atividades matemáticas, fundamentada em pressupostos da
Teoria dos Campos Conceituais, para alunos do 1º ano do Curso Formação de
Docentes do Colégio Estadual Duque de Caxias no município de Goioerê.
Através do desempenho obtido com as resoluções, pretende-se analisar se a
sequência de atividades auxilia na compreensão dos conceitos em relação aos
números inteiros, provocando uma superação das dificuldades de
aprendizagem durante a resolução de atividades propostas. Pois segundo o
documento da Avaliação de Rendimento Escolar de matemática do Ensino
Médio (BRASIL, 2011).
A reflexão sobre as estratégias de ensino deve considerar a resolução de problemas como eixo norteador da atividade matemática. A resolução de problemas possibilita o desenvolvimento de capacidades tais como: observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes linguagens), argumentação e validação de processos, além de estimular formas de raciocínio como intuição, dedução e estimativa. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução (p.129).
Dessa forma procurou-se com as atividades estimular nos alunos a
autoconfiança na busca de caminhos diferentes para se chegar à solução das
situações envolvendo o conteúdo números inteiros, concentração e
principalmente revalidar conceitos que até então poderiam estar sendo
aplicados erroneamente por falta de compreensão de alguns conceitos
envolvidos e assim, propor uma melhoria na participação dos alunos no
processo de ensino aprendizagem, onde eles puderam participar ativamente de
todo o processo opinando e relatando o desenvolvimento das atividades
propostas. Pois para Smole e Diniz (2001, apud PARANÁ, 2008, p. 63):
Cabe ao professor assegurar um espaço de discussão para que os alunos pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia, apresentem suas hipóteses e façam o registro da solução encontrada ou de recurso que utilizaram para chegarem ao resultado. Isso favorece a formação do pensamento matemático, livre do apego às regras. O aluno pode lançar mão de recurso como da oralidade, o desenho e outros, até se sentir à vontade para utilizar sinais matemáticos.
Ainda segundo Borba (2003), uma maneira de estimular o aluno a usar
corretamente as regras na resolução das operações com números inteiros é
elaborar de forma participativa os procedimentos para isso. No entanto, esse
processo demanda tempo, pois essa construção deve estar sempre atrelada à
compreensão dos conceitos envolvidos e cabe ao professor investir esse
tempo para superar as dificuldades encontradas no aprendizado dos números
inteiros. Durante esse processo, deve-se proporcionar aos alunos diversidade
de situações das quais partem os problemas, desde que, não levem a
reproduções mecânicas, favorecendo a abstração e possibilitando a
generalização das abstrações e assim permitindo uma construção efetiva dos
conceitos.
Levando em consideração os relatos acima, foi realizada a
implementação que foi composta pelas atividades da Unidade Didática a qual
teve a participação ativa dos alunos durante a resolução das atividades
propostas e tendo, sempre que necessário a complementação do professor.
Foram realizados oito encontros de quatro horas cada, em contra turno,
trabalhando de maneira progressiva as possíveis dificuldades através de uma
sequência de atividades variadas envolvendo os números inteiros, a qual era
entregue aos alunos que através dos conhecimentos já adquiridos, a
resolveriam. Terminada essa sequência de atividades, era realizada a
exposição do caminho seguido para se atingir a resposta final, sendo que,
nesse momento, poderiam ser validados ou reformulados conceitos ali
embutidos.
Cada encontro tinha seu objetivo, conforme pode ser observado na
tabela abaixo:
Tabela 1 - Cronograma das ações prevista da implementação PDE 2013
ENCONTROS PERÍODO CARGA HORÁRIA
OBJETIVO
1 3ª semana de fevereiro
4 horas
Identificar os números negativos e positivos em situações do dia-a-dia.
2 4ª semana de fevereiro
4 horas
Localizar os números inteiros na reta numérica; Reconhecer números opostos, ordem crescente e decrescente e sucessor e antecessor no conjunto dos números inteiros.
3 1ª semana de março
4 horas
Interpretar textos com dados matemáticos envolvendo números inteiros; Definir maior e menor dentro do conjunto dos inteiros.
4 2ª semana de março
4 horas
Introduzir as operações de adição e subtração com sinais iguais e diferentes sem usar as regras conhecidas.
5 3ª semana de março
4 horas
Utilizar a reta numérica dos números inteiros na resolução de problemas; Relembrar as regras para adição e subtração desses números.
6 4ª semana de março
4 horas
Aplicar as regras da adição e subtração na resolução de situações envolvendo números inteiros; Escrever expressões matemáticas a partir de uma situação problema.
7 1ª semana de abril
4 horas
Conhecer a história da regra de sinal usada na multiplicação e divisão e operação inversa.
8 2ª semana de abril
4 horas
Conhecer um pouco da história sobre a invenção da calculadora: Conhecer as funções das teclas desse instrumento e resolver situações problemas utilizando esse recurso.
Fonte: Autora deste trabalho
3. DESCRIÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO
Este trabalho relata a implementação de uma sequência variada de
atividades considerando diferentes situações presentes no Campo Conceitual
dos números inteiros nas quais os alunos puderam testar seus conceitos a
respeito desse conjunto numérico, buscando sua validação ou reformulação.
Dessa forma, evidenciou-se a importância de se considerar diferentes
situações relacionadas ao conceito de números inteiros para que os alunos
pudessem compreender as especificidades, as regras, as diferenças em se
operar com números inteiros e números naturais e as situações cotidianas
relacionadas a esses conceitos.
Foi adotado uma metodologia que incentivava os alunos participarem
ativamente realizando as atividades individualmente, em dupla ou em
pequenos grupos, proporcionando sempre tempo para que eles refletissem,
explorassem os caminhos possíveis e relatassem como chegaram ao
resultado. Dessa forma, os alunos se comportaram como sujeitos ativos no
processo de buscar novos conhecimentos em relação a um conteúdo, tendo
assim, oportunidade de trabalhar a matemática de modo criativo.
O caminho percorrido durante a resolução das atividades foi registrado,
procurando anotar as dúvidas, dificuldades ou mesmo as facilidades
encontradas. Ao final, havia o relato da trajetória, ocorrendo as intervenções
Fonte: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br
necessárias, feitas por mim, quando algum conceito era citado de forma
equivocada, esclarecendo possíveis dúvidas e sistematizando os conceitos,
chegando, dessa forma, à construção de novos conhecimentos.
Do total de trinta e oito atividades que compõem a Unidade Didática e
que foram desenvolvidas durante os encontros, farei a descrição daquelas que
a meu ver foram mais significativas no processo de construção ou reformulação
de conceitos envolvidos. Procurei analisar as atividades nas quais os alunos
demonstraram mais interesse e/ou dificuldades. As respostas postadas foram
obtidas através dos relatos dos alunos nos encontros durante o
desenvolvimento das atividades propostas.
Descrição das atividades e análises de respostas dos alunos
Figura 1 - dinheiro.png
1-Com quais números podemos representar dívida e com
quais podemos representar dinheiro no bolso?2
Objetivo: Relacionar os números negativos e positivos com situações
que aparecem no dia-a-dia.
Figura 2- Resposta 1
Fonte: Produção do aluno
Figura 3 – Resposta 2
Figura 1: Disponível em: <https://lh4.googleusercontent.com/WaMEtX58JlxnYBuSFLGpCPBY61z5oNn2dIEd6eHJVENV=s203-p-no>. Acesso em Set/2013.
Fonte: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br
Fonte: Produção do aluno
Ao analisar as respostas dadas as atividades desse primeiro encontro,
observei que a maioria dos alunos relacionava os números negativos somente
a situações que envolvem lucro ou prejuízo, e poucos lembraram a relação que
os números inteiros negativos exercem no registro de temperaturas abaixo de
zero, na representação de saldos bancários negativos, em relatos de altitudes
e fatos históricos exigindo assim a minha intervenção para uma ampliação
dessa relação dos números inteiros negativos com atividades do cotidiano. No
entanto, recorrer aos conhecimentos prévios é de grande importância para a
aquisição de novos conhecimentos (VERGNAUD, 1993).
Figura 4 - plano-aula.png
2-Desenhe um prédio onde dois andares são garagem e
fica na parte subterrânea, um andar térreo e cinco
andares para cima.3
Objetivos: Localizar pontos na reta numérica, definir números opostos
ou simétricos, sucessor e antecessor e ordem crescente e decrescente no
conjunto dos números inteiros.
A atividade em questão faz parte do segundo encontro e tinha como
objetivo favorecer aos alunos a compreensão da disposição dos números
inteiros na reta numérica. Os alunos puderam apresentar suas compreensões e
dúvidas em relação aos conceitos envolvidos como: os opostos ou simétricos e
ordem crescente e decrescente. Tais dúvidas foram sendo sanadas no
Figura 4: Disponível em: <https://lh3.googleusercontent.com/-PkqnKH8lzNQ/UKOUiMMvQcI/AAAAAAAAnIs/OEuKJF8Yqxg/s64-no/plano-aula-64X64.png>. Acesso em Set/2013.
decorrer do encontro por meio de explicações por parte da professora e até
mesmo pelos alunos o que enriquece o processo de construção do
conhecimento, pois para Vergnaud (1993), as explicações verbais têm grande
importância para que o aluno possa compreender tanto conceitos científicos
como cotidianos.
Percebi que o fato de iniciar a atividade com um desenho proporcionou
aos alunos motivação e segurança diante da dificuldade em posicionar os
valores negativos na reta numérica.
Figura 5 – desenho do prédio Figura 6 – desenho do prédio
Fonte: Material do aluno Fonte: Material do aluno
Figura 7 – desenho do prédio Figura 8 – desenho do prédio
Fonte: Material do aluno Fonte: Material do aluno
As respostas visualizadas nas figuras 5 e 6 indicam que os alunos
conseguiram fazer uma analogia entre o desenho e a reta numérica
encaixando os valores referentes em ordem, enquanto que as respostas das
figuras 7 e 8 não deixam explicito esse conceito. Diante das respostas fiz
intervenções em relação ao termo subterrâneo e logo me disseram “é tudo que
fica embaixo da terra”, então questionei a esses alunos: é possível escrever os
números citados na atividade anterior em uma reta numérica?
O conceito de reta numérica já era conhecido pelos alunos que haviam
usado os números no desenho, no entanto os demais tiveram que desenvolver
outras atividades nas quais se trabalhou o conceito de reta numérica, ficando
evidente que quando se trabalha uma sequência variada de atividades onde os
alunos possam apresentar resultados a partir de discussões favorece um real
domínio do conhecimento em relação ao conteúdo trabalhado.
Figura 9 – Exemplo de atividade
Fonte: Autora deste trabalho
Objetivos: Resolver as operações de adição e subtração de números
inteiros com sinais iguais e diferentes sem usar as regras.
Essa atividade faz parte do quarto encontro, optei por iniciar o trabalho
das operações de adição e subtração com números inteiros com uma atividade
na qual o aluno não iria precisar usar as regras já conhecidas. Para a utilização
do material descrito os alunos foram agrupados e então distribui em cada grupo
duas tiras de cores diferentes sendo que uma delas foi fixada na carteira e a
outra ficou solta para ser movida para a esquerda ou para a direita de acordo
com cada um dos cálculos. Após explicação no quadro de como seria a
realização da atividade, os alunos começaram a resolvê-la. Alguns grupos
precisaram de novas explicações, no entanto, as imagens abaixo mostram os
alunos realizando as atividades com as tiras de papel, processo que não
apresentou grandes dificuldades quanto ao manuseio do material, moveram as
tiras de acordo com os cálculos pedidos obtendo assim a solução correta e
3- Com as tiras abaixo, resolver as operações de adição e subtração, considerando uma das tiras como o ponto de referência que ficará fixa enquanto a outra é movida para esquerda ou direita dependendo da operação envolvida.
Instruções: Para efetuar o cálculo -4 + 1, a tira de papel verde terá que se
mover para a esquerda fazendo com que o número 1 fique embaixo do
zero da tira amarela (referência) e o resultado da operação estará
posicionado abaixo do - 4 na tira verde, conforme mostra o esquema.
sem a necessidade de lembrar-se das regras da adição e subtração de
números inteiros.
Figura 10 – Alunos manuseando as tiras de papel
Fonte: Arquivo da autora
Foram oferecidas várias atividades nas quais os alunos usaram as tiras
como recurso didático. Pois segundo Vergnaud (1993), a construção de um
conceito é um processo demorado e depende das situações que os estudantes
tiveram oportunidade de vivenciar durante o processo escolar.
Ao final, quando perguntado se já conheciam o método usado nas
resoluções das atividades e o que acharam dele, obtive respostas que
comprovam que para os alunos que dominavam o conceito da adição e
subtração de números inteiros e sabiam usar as regras, o método é
interessante, mas eles preferem usar aquilo que já dominam (resposta 1), no
entanto, para alguns que ainda não dominam esse conceito, o método é, além
de interessante, valioso para o um desempenho seguro na resolução das
atividades (resposta 2).
Figura 11 – Resposta 1 Figura 12 – Resposta 2
Fonte: Produção do aluno Fonte: Produção do aluno
Figura 13 – Imagens?
4-Observem e escrevam os resultados das operações, explicando como cada
resposta foi obtida.4
a)2 . (- 3)=
b)(- 4) . 5=
c)(- 6) . (- 5)=
Objetivos: Trabalhar situações que envolvam multiplicações e
divisões; operações inversas e elaborar regras para essas operações com
números inteiros.
Com o desenvolvimento da atividade que fez parte do sétimo encontro,
buscou-se saber se os alunos fazem relação entre as operações de
multiplicação com a adição de parcelas iguais, pois caso isso fosse
argumentado por algum aluno, eu usaria esse conhecimento para registrar a
demonstração da regra de sinal quando um dos fatores é positivo. Pois para
Borba (2003), os resultados obtidos nos diversos estudos que tratam de
números inteiros devem levar a escola a considerar vários aspectos relevantes
no ensino desse conteúdo, como os conhecimentos anteriores. Nesse caso
específico, o conhecimento anterior era a tentativa de se fazer uma
comparação entre as operações de adição e multiplicação onde se obtém a
mesma resposta nas questões a e b, sendo que o mesmo não acontece na
questão c por ter os dois fatores negativos. As respostas dos alunos não
mostram tal conceito, usaram somente as regras aprendidas anteriormente.
Figura 14 – Resposta 1
Fonte: Produção do aluno
Figura 13: Disponível em: <https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcS_u4gWVB9MHIMxYz0oV2o9bR7O-apbAGofz3pQF5rdDnH0Ly1r>. Acesso em Out/2013.
Fonte: www.dominiopublico.gov.br
Figura 25 – Resposta 2
Fonte: Produção do aluno
Diante das resoluções apresentadas, percebe-se que os alunos já
dominam as regras de sinais, no entanto, fiz questionamentos sobre outros
modos de se chegar as respostas dessas operações. Como não obtive
nenhuma resposta, fiz minhas colocações indicando a soma de parcelas iguais
nas alternativas a e b, como demonstração para a regra de sinal (-). (+)= -
Para apresentar a questão c onde a regra de sinal (-). (-)= +, optei por
uma sequência parecida com a tabuada ( figura 16), onde na primeira coluna
os valores decrescem e na segunda o valor é constante, como ocorre na
tabuada normal. Prosseguindo multiplicamos os valores e então analisamos os
resultados.
Figura 16 – Sequência
Fonte: Autora deste trabalho
3. (- 4) = -12
2. (- 4) = -8
1. (- 4) = -4
0. (- 4) = 0
-1. (- 4) = +4
-2. (- 4) = +8
-3. (-4) = + 12
Prossegui com um trecho da história que conta como foi criada, pela
primeira vez, a regra de sinais para as operações de multiplicação com
números inteiros, os alunos mostraram-se interessados.
Para Glaeser:
A origem da regra dos sinais é atribuída geralmente a Diofantes de Alexandria ( fim do século lll d.C.). Esse autor não faz qualquer referência aos números negativos. No entanto, no inicio do livro l da sua “Aritmética” Diofantes, aludindo sem dúvida ao desenvolvimento do produto de duas diferenças, ele escreve: “ O que está em falta multiplicado pelo que está em falta dá o que é positivo; enquanto que o que está em falta multiplicado pelo que é positivo, dá o que está em falta” (1985, p.47, grifo do autor).
Em seguida os alunos escreveram as regras para a multiplicação e
continuaram desenvolvendo atividades que envolviam essa operação e a
divisão, pois se pretendia investigar se os alunos tinham conhecimento sobre
essas operações serem conhecidas como inversas e assim terem as mesmas
regras de sinais. Diante das respostas observadas, os alunos já dominavam o
conceito de que a multiplicação e a divisão são operações inversas e que
possuem as mesmas regras de sinais.
Figura 17 – Resposta 1 Figura 18 – Resposta 2
Fonte: Produção do aluno Fonte: Produção do aluno
Objetivos: Utilizar a calculadora como instrumento para resolver
situações problema, conhecer a função das teclas da calculadora.
Considerando necessário oportunizar aos alunos um contato maior
com atividades variadas que possam favorecer o desenvolvimento de
habilidades cognitivas, visto que as mesmas são desenvolvidas lentamente,
mas isso pode se tornar mais rápido com o uso de metodologias,
desenvolvendo o raciocínio e ampliando a construção de novos conceitos.
Sabemos que o professor é componente indispensável nesse processo de
aquisição de novos conhecimentos, o aluno precisará sempre das intervenções
dele, que poderá direcionar de forma a transformar a atividade em uma
situação enriquecedora na qual o aluno venha a visualizar e aprender os
conceitos ali embutidos. Essa diversidade de situações é, segundo Vergnaud
(1994), o ponto chave para a compreensão de um conceito.
Vindo ao encontro do princípio de que se deve oferecer situações
variadas, propus no oitavo encontro atividades que envolvam o uso da
calculadora nas resoluções de situações com números inteiros. Muitos são os
pesquisadores, como Sá e Noronha (2002), Medeiros (2004), Santos, Andrade
e Gitirana (2004) que pesquisam e escrevem sobre o uso da calculadora como
recurso didático nas aulas de matemática.
Como forma de motivação, apresentei, inicialmente, um trecho sobre a
história da calculadora, muitos alunos disseram nunca ter ouvido falar sobre
como surgiu tal objeto, não sabiam que era tão antigo e que havia passado por
tantas transformações.
Os homens sempre buscaram maneiras de realizar seus cálculos com
mais facilidade, um exemplo disso foi a invenção do ábaco, considerado a
forma mais elementar da calculadora. O ábaco foi criado pelos chineses no
século VI a.C., era formado de fios paralelos e arruelas deslizantes as quais
eram usadas para realizar operações de adição e subtração. Mesmo com suas
limitações, foi usado durante muitos séculos como principal instrumento na
realização de cálculos. Em 1642, o ábaco passou por uma grande evolução
quando Pascal idealizou uma máquina automática de cálculos, a qual realizava
de forma mais rápida os cálculos, diferente do que ocorria na utilização do
ábaco. No entanto, essa criação também deixava a desejar, pois só realizava
as operações de adição e subtração. Mas, em 1671, o filósofo e matemático
alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz desenvolveu a chamada”roda graduada“
,mecanismo capaz de realizar as outras operações, no entanto esse
instrumento ficou sendo de uso restrito até o final do século XX, e a partir daí
houve a criação de máquinas cada vez menores e mais baratas facilitando o
acesso e a transformando em um instrumento popular.
Para o desenvolvimento das atividades proposta nesse oitavo
encontro, sugeriu-se que as calculadoras fossem todas iguais, de modelo
simples, sem muitas funções e que os alunos fossem agrupados, pois haveria
momentos de discussões e debates.
Figura 19 – Exemplo de atividade
1- Usando a calculadora, resolva as seguintes operações:
a) - 3 – 5= c) -1 – 9 = e) -5 -17=
b)- 8 – 6= d) – 4 – 7= f) -11 – 5=
Fonte: Autora deste trabalho
Assim que a atividade da figura 19 foi entregue todos os alunos
começaram a resolvê-la de forma direta. Isso era o esperado, pois haviam
trabalhado as regras das operações com inteiros. No entanto, eles foram
desafiados a descobrir como realizar os cálculos nas calculadoras que lhes
foram apresentadas. Logo apresentaram as respostas dizendo “é só digitar os
sinais dos números e aí o resultado aparece no visor”. Nessa primeira atividade
na qual os dois valores eram negativos, os alunos não apresentaram
dificuldades em resolver as questões usando a calculadora. Então foi entregue
outra lista com operações onde o primeiro valor era negativo e estava sendo
adicionados a outro valor positivo, os alunos efetuaram os cálculos usando a
calculadora e assim como na primeira atividade não apresentaram dificuldades.
Como forma de investigar até onde os alunos dominavam o uso da calculadora
em cálculos com números inteiros, entreguei-lhes uma terceira atividade
composta por operações de multiplicações e divisões, como mostra o modelo
(figura 20).
Figura 20: Exemplo de atividade
3-Agora resolva as operações abaixo usando a calculadora:
a)( + 2) x ( - 3) = d) ( - 12) ÷ ( + 4)=
b) ( - 5) x ( - 6) = e) ( + 20) ÷ ( - 5)=
c) ( - 7) x ( + 4) = f) ( - 27) ÷ ( - 9)=
Fonte: Autora deste trabalho
Durante a resolução apareceram dúvidas como:
“Nas questões c e d, a resposta dá certo, no entanto nas questões a,
b, c, e e f, as respostas não batem.” Então surgiu o questionamento o que
fazer para podermos resolver esses cálculos usando a calculadora?
Nesse momento houve a minha intervenção proporcionando a
aquisição de um conceito não dominado até o momento em relação a uso da
calculadora simples em cálculos de multiplicação e divisão de inteiros. A
explicação dada foi a seguinte: sempre que for efetuar cálculos com valores
negativos, é necessário que a calculadora tenha a tecla +/-, pois ela será
digitada após o valor numérico negativo, assim para a letra b digitaremos as
seguintes teclas:
5 +/- x 6 +/- = 30
Em seguida os alunos resolveram as demais questões obtendo assim o
resultado correto.
Figura 21 – Alunos manuseando calculadoras
Fonte: Arquivo da autora
No decorrer do desenvolvimento das atividades, percebi a motivação
dos alunos em conseguir resolver as questões de forma correta usando a
calculadora. As descobertas quanto ao uso da calculadora nas operações com
números inteiros foram evidenciadas nos relatos dos alunos, quando
questionados sobre o que eles haviam aprendido no decorrer do
desenvolvimento da sequência de atividades propostas nesse oitavo encontro.
Figura 22 – Resposta 1 Figura 23 – Resposta 2
Fonte: Produção do aluno
Fonte: Produção do aluno
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao término desse estudo, posso dizer que quando se trabalha de forma
integrada com os alunos, ouvindo suas ideias em relação ao caminho
percorrido durante a resolução de uma atividade, os conceitos ali envolvidos
ficam mais claros e dessa forma podem se transformar em uma aprendizagem
de maior eficácia se comparado com outros métodos nos quais os conceitos
são apresentados pelo professor sem uma discussão ou análise dos
conhecimentos que os alunos já detêm. Essa metodologia proporciona um
envolvimento maior dos alunos, pois eles não têm respostas prontas, eles
sempre terão que analisar e pensar nos conceitos que já possuem para assim
chegar a uma conclusão, transformando o conhecimento social em um
conhecimento científico.
Tendo como material de análise as respostas registradas pelos alunos
relacionadas a uma sequência variada de atividades envolvendo os números
inteiros, apresentada e trabalhada durante os encontros, pude perceber que
isso proporcionou aos alunos do 1º ano do Curso de Formação de Docentes
uma visão bem contextualizada desses números, através das discussões,
resoluções e materiais usados constataram que muitos dos erros cometidos
estavam ligados à troca de conceitos aplicados, principalmente em relação à
adição e a subtração dos números inteiros que no caso de alguns alunos
aplicavam as regras de sinais da multiplicação. Com tais observações, foram
reformulados esses conceitos e a meu ver, irão auxiliar os alunos em futuras
aplicabilidades.
O conteúdo da sequência de atividades foi avançando, tendo como
referencial aquilo que o aluno já dominava, pois de forma gradativa, as
atividades foram repassadas, e assim era observado onde havia necessidade
de uma retomada ou um trabalho mais específico com dedicação de um tempo
maior. Diante disso, é sabido que por si só a sequência variada de atividades
com números inteiros, oferecida aos alunos do 1º ano do Curso de Formação
de Docentes não foi a responsável pela reformulação ou revalidação dos
conceitos, isso exigiu uma mobilização tanto por parte da professora como dos
alunos. Também percebi que o uso de materiais manipuláveis foi muito
interessante e importante para estudo e reformulação dos conceitos, pois
motiva os alunos e desenvolve neles segurança nas resoluções. Através
desses materiais, muitas vezes são observadas regras e conceitos presentes
nos conteúdos matemáticos que quando trabalhados de forma teórica não são
vistas, assim as aulas ficam mais dinâmicas e atrativas, unindo teoria e prática.
Isso é importante, pois os alunos que frequentaram os encontros da
implementação serão futuros professores e espero que, de certa forma, eles
tenham entendido a importância de se trabalhar metodologias diferenciadas
que levem em consideração os conhecimentos prévios dos alunos e usar
sempre que possível materiais manipuláveis.
É importante citar que no decorrer do desenvolvimento dessa
implementação, enfrentei algumas dificuldades, pois foi adotado uma
metodologia na qual incentivava os alunos participarem ativamente, realizando
as atividades individualmente, em dupla ou em pequenos grupos,
proporcionando sempre tempo para que refletissem, explorassem os caminhos
possíveis, usando sempre os conceitos que já possuíam e relatassem como
chegavam ao resultado. Assim, estariam sendo sujeitos ativos no processo de
buscar novos conhecimentos em relação ao conteúdo “Números Inteiros”,
tendo assim, oportunidade de trabalhar a matemática de modo criativo. No
entanto, como muitos alunos não estão acostumados com tal metodologia e
que o trabalho em grupo às vezes gera indisciplina, principalmente com turmas
numerosas, como essa na qual realizei a implementação, num total de trinta e
seis alunos. Mas mesmo assim considero que o trabalho desenvolvido atingiu
seu objetivo, os resultados poderão ser observados durante as aulas e assim
serão concretizados no decorrer da vida escolar de cada um. Dessa forma,
com o desenvolvimento desse trabalho, percebi que muitas vezes, por pressa
em vencer conteúdos previstos, não consideramos os conhecimentos dos
alunos e não buscamos analisar a forma pela qual eles chegam às respostas
das atividades, considerando-as erradas sem, no entanto, questioná-los,
causando prejuízos na aprendizagem deles. Diante disso, acredito que esse
trabalho ajudou-me a ter uma visão mais ampla sobre o que está por trás dos
erros que os alunos comentem numa questão matemática e que caminho
tomar para ajudá-los a evitar.
REFERÊNCIAS
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números relativos. In: SCHLIEMANN, Analúcia. A compreensão de conceitos
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descritores. Brasília: MEC/Inep,2011.
GLEASER, G. Epistemologia dos Números Relativos. Boletim do GEPEM, Rio de Janeiro, n 17, 1985. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do
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SÁ, Pedro Franco de; SILVA, Rosangela Cruz da; NETO, Antônio José de
Barros; ALVES, Fábio da Costa. Ensino de números relativos por meio de
atividades com calculadoras e jogos de regras. BOLETIM GEPEM, Nº 54,
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