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Preparar o Exame 2013 – 2016 – Matemática A
Página 319
88.
88.1. O ângulo CDA está inscrito na circunferência, portanto 2
CDA
. Assim:
2 22
ABCD CDA
AD CDA A AD CD
Tem-se que, cos 2cos2 2 2
ADAD
e sen 2sen
2 2 2
CDCD
.
Portanto, 2cos 2sen 2 2cos sen 2sen 22 2 2 2
ABCDA AD CD
2
2sen
.
Logo, a área da região colorida da figura é dada por:
21 2sen 2senregião colorida círculo ABCDA A A A
88.2. A função g é uma função contínua em 0, pois é a diferença entre funções contínuas no seu domínio: uma é
uma função contante e a outra é o produto entre uma função constante e uma função trigonométrica. Logo A é contínua
em 3
, 0,6 4
.
Tem-se que:
▪ 1
2sen 2 16 6 2
A
. Como 3 então 1 2 e portanto 26
A
.
▪ 3 3 2
2sen 2 24 4 2
A
.
Como 2 1,2 , vem, 2 1,2 2 1,2 2 1,2
Como 3,2 , vem,
2
2 1,2 1,2 3,2 2 2 . Portanto 3
24
A
.
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Como a função g é contínua em 3
,6 4
e 3
24 6
A A
, pelo teorema de Bolzano:
]
[ ( )
Portanto, conclui-se que a equação 2A tem pelo menos uma solução em ]
[.
88.3.
▪ 2cosA
▪ 0 2cos 0 2cos 02
A k
, k
Como 0,x , tem-se 2
x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função A , em 0, vem:
Logo, o valor da área mínima da região colorida é 2 sen 22 2
A
.
88.4.
▪ Assíntotas verticais:
0 0 0
2 sen 02sen 2 0lim ( ) lim lim
0 0 0x x x
A x xh x
x x
Assim, a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de h. Como a função h é contínua em \ 0 , o seu
gráfico não tem mais assíntotas verticais.
x 0 2
g x
g x máx. mín. máx.
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▪ Assíntotas não verticais:
Quando x
2
3 3
2sen
2sen 1lim lim lim lim 2sen 0x x x x
xh x xxm x
x x x x
2 2
2sen 1lim lim lim 2sen 0x x x
xb h x mx x
x x
Logo, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de h, quando x .
89.
89.1.
▪
( )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( )
▪ O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é dado por 0 2m f .
Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é do tipo 2y x b
O ponto de coordenadas 0, 0 0,0f pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. Assim,
substituindo-o na sua equação, tem-se 0 2 0 0b b .
A equação da reta pedida é 2y x .
89.2.
2 2 ln cos 2 ln cos3 sen 3 3 sen 3 3 sen 3 3cos sen 3
f x x xe x e x e x x x
)
3 1 3 3cos sen sen cos cos sen
2 2 2 3 3 2ix x x x
Limitada
Infinitésimo
Limitada
Infinitésimo
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3
sen3 2 3
x
3
x
2 23 3
k x k
, k
2
2 2 2 23 3 3
x k x k x k x k
, k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que ,2 2
x
, obtém-se 03
x x
.
Conjunto solução: ,03
.
89.3.
▪ sen sen
2 ln cos 0 tgcos cos
x xf x x x
x x
▪ 0 tg 0 tg 0 0f x x x x k x k , k
Como ,2 2
x
, tem-se 0x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em ,2 2
x
vem:
O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em [
[, tem a concavidade voltada para cima em ]
] e
tem ponto de inflexão em
x 2
0
2
f x n.d. n.d.
f x n.d. p.i. n.d.
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89.4. Tem-se que 7
cos14
, então usando a fórmula 2
2
11 tg
cos
, vem:
2 2 2 2 2
2
1 1 196 1961 tg 1 tg tg 1 tg 1 tg 27 tg 27
7 7 77196
14
Como 1ºQ , vem tg 27 3 3 .
Assim:
2
5tg tg 3 3 35 5 3 3 3 4 33
tg53 3 1 3 31 3 3 3 1 3 31 tg tg3
f
4 3 3
sen8 2 3
90.
90.1. Sejam P e Q os pontos do lado AD tais que FP AD e EQ AD . Assim, CF EB DP e
DF AE .
Tem-se
▪ 2 2
sensen
x DFxDF
▪ 2 2 2
tg tgtgDP CF
x x CFxDP CF
Logo, como 2 2EF CF , vem:
2 2
2 2 4 42 2 2 2 2 2 2 2 4
sen tg sen tgAE DAEFD
xF C
f
F
E F
P AE EF DF AD DF CFx x x x
A
BEFC
D P
x
2
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90.2.
▪ Quando a figura que se obtém é um triângulo isósceles ( e coincidem no centro da aresta [ ]). Portanto
( ) é o perímetro de um triângulo de dimensões 2, √ e √ , logo ( ) √ .
▪
( )
(
)
(
)
.
Quando
o trapézio [ ] tende a coincidir com o quadrado [ ] cujo perímetro é 8.
90.3. Tem-se:
2
2 2 2 2 2 2 22
2
14
4 4 4cos 4cos 4 4cos 4cos4 0sen tg sen tg sen cos tg sen sen
coscos
x x xxf xx x x x x x x x x
xx
2 2 2
4cos 4 4 4cos
sen sen sen
x x
x x x
Tem-se que ,2
x a
com a , 0 cos 1 4 4cos 0 0 4 4cos 4x x x .
Logo, ,2
x a
, 2
0
4 4cos0
sen
xf x
x
e portanto, a função é estritamente crescente em [
].
À medida que aumenta o perímetro do trapézio [ ] também aumenta.
90.4. Tem-se sen 2 sen sen cos cos sen2 6 2 6 3 3 3
x xg x x x
.
Se 1
3EF então
1 52
53 3
2 2 6CF
. Assim, pelo teorema de Pitágoras, vem:
2
2 2 2 2
0
22 5 169 169 132
6 36 36 6DFDF CD CF DF DF DF
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Portanto, 2 12
sen13 13
6
CDx
DF e
5
56cos13 13
6
CFx
DF
Pelo que, 12 1 5 3 6 5 3 12 5 3
sen cos cos sen2 6 3 3 13 2 13 2 13 26 26
xg x x
.
90.5.
a) A função é ímpar, logo ( ) ( ), ]
[ { }.
Assim as coordenadas do ponto são da forma ( ( )) e as do ponto são da forma
( ( )) ( ( )). Portanto:
[ ] ( ( ) ( ( ))) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )
b) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y A x e 1 4y na janela de visualização
0, 0,162
. Obtém-se:
FC
D
x
x
C D
x
AB
y
O
h
xx
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Assim, ( ) ( ) ( ) , com .
Página 320
91.
91.1. Tem-se que 0 0 sen 0 2sen 2 0 sen 0 2sen 0 0 2 0 0 0h g a . Assim:
0 0 0 0 0
0 sen 0 2sen 2 sen 2sen 2 sen0 lim lim lim lim lim
0x x x x x
h x h g x ax x ax x axh
x x x x x
0 0
sen 2 sen2 lim lim 4 1
242 1
x x
x axa a
x xa
a
Como 0 1h , vem 0 1 4 1 3h a a .
91.2.
a) Seguindo a sugestão, seja OP a altura do triângulo AOB relativamente a base AB . Nota que, para cada
posição do ponto B, P é sempre o ponto médio do segmento de reta AB , porque AOB é um triângulo isósceles.
Assim:
sen 2sen2
OPOP e cos 2cos
2
APAP
Logo, 2 2 2cos 4cosAB AP
x
y
O a2
4
1y A x
Se 0x então 2 0x e 0ax (limites notáveis)
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Portanto, 4cos 2sen
4cos sen 2 2cos 2sen 2sen 22
OABA g
.
b) Tem-se que tg 7 tg 7 . Assim, utilizando a fórmula 2
2
11 tg
cosx
x vem:
2
2
2 2
1 1 1 8 2 2 21 7 8 cos cos
8 8 8 4cos cosx x
x x
Como 1ºQ , tem-se 2
cos4
x
Por outro lado, sen sen 2 14
tg 7 sen 7 sencos 4 42
4
Portanto, 2sen 2 2 2sen cos 4AOB
A g 14
4
2 28 2 7 7
4 4 4 2 .
91.3.
a)
▪ Perímetro possível é [ ] , onde (
) √ .
▪ Perímetro favorável é
Logo a probabilidade pedida é
√
( √ )
√
√
.
b) A área favorável é
e a área possível é ( ) (área do triângulo [ ] em função de ). Logo a
probabilidade pedida é
( ) ( ).
c)
▪ 4 4
4 2 82sen
2
f
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Quando
o triângulo é retângulo, a probabilidade do ponto estar a menos de uma unidade dos vértices ou é
igual a
.
▪
( )
( ) (
)
( )
( )
.
Quando a probabilidade do ponto estar a menos de uma unidade dos vértices ou é igual a .
d) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f e 1 0,35y na janela de visualização
0, 0,14
. Obtém-se:
Portanto, ( ) , com .
Página 321
92.
92.1. Tem-se que cos 2tg cos 2tg .
▪ 2 2 2 2 3 3
12 12 sensen 6 312 2 3
g
Utilizando a fórmula fundamental da trigonometria vem:
2
2 2 2 2 23 3 6 6 6sen cos 1 cos 1 cos 1 cos cos
3 9 9 9 3
Como ,2
, vem 6
cos3
.
y
O a4
0,35
1y f
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▪
3
sen 3tg
cos
6
3
3 3 1 1 2
6 2 26 2
Assim, 6
cos 2tg cos 2tg 23
2
2
62
3
.
92.2.
▪
2 2
0 sen 2 sen2 2cos
sen sen sen
x x xg x
x x x
▪
2
2
0,
2cos0 0 2cos 0 sen 0 cos 0
2senCondiçãoUniversal em
xg x x x x x k
x
, k
Como 0,x , tem-se 2
x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em 0, vem:
A função é decrescente em ]
], crescente em [
[ e tem mínimo absoluto em
.
92.3.
▪ Para 0,x tem-se, 2 1 5
4 4 sensen 2 6 6
g x x x xx
.
Logo, as coordenadas do ponto são (
) as do ponto são (
)
x 0 2
g x n.d. n.d.
g x n.d. mín. n.d.
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▪ Como vimos na alínea anterior, 2
é o único minimizante da função g. Assim, as coordenadas do ponto são (
).
Então, [ ] (
)( )
.
92.4.
▪ Assíntotas verticais
0 )0 0
2lim lim 2 lim 2 1 2
sen sen ix x x
x xg x
x x
i) Se 0
senlim 1x
x
x (limite notável), então
0
senlim 1x
x
x .
Logo, a reta de equação 0x não é assíntota vertical do gráfico de g.
2 2 2lim lim
sen sen 0x x
xg x
x
Logo, a reta de equação x não é assíntota vertical do gráfico de g.
Como a função g é contínua em 0, , o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.
▪ Como o domínio de g é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.
93.
93.1. ( )
( ) ( )
(
)
Se 0x então sen 0x (limite notável)
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93.2.
▪ sen sen sensen cos cos cos 1x x xg x e x x e x x e
▪ O declive da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2
é dado por:
sen
02cos 1 0 1 0 1 1 0 0 02 2
m g e e
.
Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2
é do tipo y b
O ponto de coordenadas sen
12, , sen , 1 , 12 2 2 2 2 2
g e e e
pertence à reta
tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2
. Logo, 1b e .
A equação da reta pedida é 1 1 0y e y e .
93.3.
sen sen sen0 cos 1 0 cos 0 1 0 cos 0 1x x xg x x e x e x e
sen 0cos 0 cos 0 sen 0xx e e x x
02
x k x k
, k
2
kx
, k
Para ,x tem-se
2 0
1 1
02 2k k
k k
x x x x
.
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em , vem
x
2
0
2
g x 0 0 0 0 n.d.
g x mín. máx. mín. máx. n.d.
A função é crescente em [
] e em [
], é decrescente em [
] e em [
[, tem mínimo relativo em
e em e tem máximo relativo em
e em
.
93.4.
a) Considerando o segmento de reta [ ] a base dos triângulos [ ] e [ ] e e as respetivas alturas, tem-
se que [ ] [ ] [ ]
( )
, sendo que é a ordenada do ponto .
Como as coordenadas do ponto são (
(
)), tem-se, (
).
Assim, (
) (
) e portanto, [ ]
( )
.
b) As abcissas dos pontos e são zeros da função , assim resolvendo graficamente a condição ( ) no
intervalo ] [ determina-se as abcissas de e (também se podia determinar os extremantes da função
pertencentes ao intervalo ] [).
sen sen sen sen 2 sencos 1 sen 1 cos cos sen sen 1 cosx x x x xg x x e x e x x e x x e x e
Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y g x na janela de visualização 0, 2,2 . Obtém-
se:
x
y
O a
g
c
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Assim, para ] [, ( ) , com e ( é a abcissa do ponto
e é a abcissa do ponto )
Logo, [ ] ( )
( ) ( )
.
94.
94.1.
▪ Assíntotas verticais:
( )
(
)
(
)
( )
( )
.
Logo a reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função . Com um raciocínio semelhante conclui-se
que a reta de equação também é assíntota vertical do gráfico da função (ou então pode-se notar que a
função é ímpar e portanto
( ) ).
Como a função é contínua em ] [ o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.
▪ Como o domínio de f é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.
94.2.
▪ Para ,x , tem-se:
2 2
2 2
2cos 1 cos 2sen sen2sen 2cos 2cos 2sen
1 cos 1 cos 1 cos
x x x xx x x xf x
x x x
2 2
2 2 2
2cos 2 sen cos 2 cos 12cos 2 1 2cos 2
1 cos 1 cos 1 cos
x x x xx x
x x x
2
1 cos x
2
1 cos x
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▪ O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2
é dado por:
2 22
2 1 01 cos
2
m f
Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2
é do tipo 2y x b .
O ponto de coordenadas
2sen2 12
, , , , 22 2 2 2 1 0 2
1 cos2
f
pertence à reta
tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2
. Logo, substituindo-o na sua equação, tem-se:
2 2 2
2b b
.
A equação da reta pedida é 2 2y x .
94.3.
▪ Para ,x , tem-se:
2 2
2sen0 1 cos 2 sen2 2sen 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos1 cos 1 cos
xx x f xx xf x
x x xx x
▪ Para ,x , tem-se, 0 0 2sen 0 sen 0f x f x x x x k , k .
Como ,x , tem-se 0x
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em , vem:
O gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo em ] ], tem a concavidade voltada para cima em
[ [ e tem ponto de inflexão em .
94.4. Fazendo
, tem-se:
( ) ( ) ( )
( )
(
)
Tem-se que (
)
(
)
, assim:
(
) (
)
(
)
(
)
√
√
√
√
√
√
√ ( √ )
√
√
94.5. Para ] [ {
}, tem-se:
( ) √ ( √ ) ( (
))
√ (
)
(
)
√
√
√ (
)
√
(
)
√
(
) √ (
) √
(
) √
,
,
Como ] [ {
}, vem
.
x 0
f x n.d. n.d.
f x n.d. p.i. n.d.
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Página 322
95.
95.1. (
) é a área do triângulo quando
, essa área é igual a
. (
) é a área do triângulo quando
, a altura desse triângulo é dada por
√
√ . Assim a sua área é igual a
√
√ . Logo,
(
)
(
)
√
√ √ , pelo que (
) √ (
) e portanto a afirmação I é verdadeira.
A área do triângulo [ ] depende apenas da sua altura, uma vez que a medida do comprimento da base é 4.
Quando varia de
a a altura do triângulo diminui e consequentemente a área do triângulo [ ] também diminui,
ou seja, à medida que aumenta, diminui, pelo que a função é estritamente decrescente no intervalo [
[. Logo,
não é positiva em [
[e portanto a afirmação II é falsa.
95.2.
a) As coordenadas do ponto são dadas por( ), assim:
√( ) ( ) √
√ ( ) √
√ √ ( ) √ √ √
Portanto, [ ] √ ( ).
b) ( ) √ √ ⏟
(√ )
Como ] [, tem-se
.
c) A área do triângulo é máxima quando a sua altura é máxima, isto é, em
.
Assim o valor pedido é (
) √ .
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d) Tem-se, 2 2cos 2sen 4sen
8 4 2 2cos 0 4 42 2 2cos 2 2 2cos 2 2cos
x x xf x x
x x x
.
Como para ] [, então ( ) , ] [ e portanto a função é estritamente crescente em
] [.
À medida que aumenta o perímetro do triângulo [ ] também aumenta.
96.
96.1. 0 0 0 0
( ) 2 tg(2 ) 8 tg(2 ) 8lim lim lim lim
4 4 2x x x x
h x x x x x
x x x
4 x1 2 1
96.2. Como ( ) , tem-se
. Assim:
▪ (
)
√
.
Como ]
], tem-se
√
;
▪
√
√
√
e portanto
▪ ( ) ( )
( √
)
√
√
Tem-se que ]
], portanto:
√ √ √
√
( ) √
Se 0x então 2 0x (limite notável)
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96.3.
a) Tem-se,
( ) (
)
(
) (
)
Para tem-se (
) ( ) (
) . Assim a reta tangente ao gráfico de ´no ponto de
abcissa
tem declive igual a e contém o ponto de coordenadas (
) pelo que uma equação dessa reta pode
ser (
) (
)(
) ( ) (
).
b)
▪ 2 2
2 42tg 2 8 2 8 8
cos 2 cos 2f x h x x x
x x
▪ Se ,4 4
x
então 2 ,2 2
x
e portanto cos 2 0x (claro que também se tem 2cos 2 0x ).
Assim:
2 2
2 cos 2 0
4 4 2 2 20 8 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
8 4 4 2cos 2 xf x x x x x
x
2 2 2 24 4
x k x k
, 8 8
k x k x k
, k
Como ,4 4
x
, tem-se 8 8
x x
.
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em ,4 4
vem:
x 4
8
8
4
f x n.d. 0 0 n.d.
f x n.d. p.i. p.i. n.d.
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O gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo em [
], tem a concavidade voltada para cima em
]
] e em [
[ e tem ponto de inflexão em
e em
.
c) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x h x na janela de visualização
, 5,54 4
. Obtém-se:
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em ,4 4
vem
x
4
a 0 a
4
f x n.d. 0 0 0 n.d.
f x n.d. mín. máx. mín. n.d.
A função é decrescente em ]
] e em [ ], é crescente em [ ] e em [
[, tem mínimo relativo em
e em e tem máximo relativo em , com .
x
y
O a
f
a
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Página 323
97.
97.1. Tem-se que:
( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ).
O declive da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa
é dado por:
(
) (
) ( (
))
√
((
√
)
) √
(
)
√
( ) √
Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa
é do tipo √ .
O ponto de coordenadas (
(
)) (
) ( (
) ( (
)) (
) ) pertence à reta tangente ao
gráfico de no ponto de abcissa
. Assim, substituindo-o na sua equação, tem-se:
√
√
A equação da reta pedida é √ √
.
97.2.
▪ 2 20 sen 2 sen 0 sen 2 0 sen 0 2 2g x x f x x f x x k x , k
22
kx x
, k
Como ,2
x
, tem-se 22
x x x
.
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em ,2
vem:
Em [
] a função é crescente em [ ], é decrescente em [
], tem máximo relativo em
e em e
tem mínimo relativo em .
97.3. O declive da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a é dado por g a e o declive da reta tangente
ao gráfico de g no ponto de abcissa b é dado por g b . Assim:
)
2
)
2 2sen 2 sen sen 2 ´ sen sen 2 2 ´ seni ii
g a a f a b f b b f b
)
2sen 2 ´ seniii
b f b g b
Como g a g b , a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a é paralela à reta tangente ao gráfico de g
no ponto de abcissa b.
i) a b a b
ii) Tem-se que sen senb b . Logo, 22 2sen sen senb b b .
iii) A função seno tem período mínimo positivo igual a 2 . Logo, sen 2 senx k x , x e k , em particular,
sen 2 senx x
x 2
2
sen 2x 0 0
2senf x 0
f x 0 0 0
f x máx. mín. máx.
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98.
98.1.
▪ O triângulo [ ] é equilátero, logo a amplitude do ângulo é
e consequentemente a amplitude do ângulo
é
. Portanto a amplitude do ângulo é
.
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo [ ], tem-se:
√ √
Logo, (
)
(
)
√ √ (
)
Portanto √ (
)
Assim:
[ ]
( √ (
) ) √
( √ (
) ) √
(
) √
(
)
(
)
√ √
√
√
√
√
√ √
√ √
√ √
√
√ ( )
98.2.
▪
24tg 0 24 0 00 0
33 3 tg 0 3 3 0g
.
Quando o triângulo [ ] reduz-se a um segmento de reta cuja área é igual a 0.
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▪
( )
√
√
Quando
a distância entre os pontos e tende para , como a altura do triângulo [ ] é sempre igual a
√ , a sua área também vai tender para .
98.3. Para 0,3
, tem-se:
24tg4 3 4 3 24tg 4 3 3 3 tg 24tg 12 3 12tg
3 3 tgg
12 3 3
36tg 12 3 tg tg36 3 6
k
, k
Como 0,3
, tem-se 6
.
Assim, Para
tem-se, √ (
) √
√ √
Logo, para
, e portanto o triângulo é isósceles.
98.4. Seja ( ) √ (
) . A função é contínua em [
[ , logo também é
contínua em [
[ [
[.
Tem-se que:
▪ (
)
( , pelo que )
▪
( )
( √ (
) ) √ (
)
.
Como f é contínua em [
[ e (
)
( ), então pelo teorema de Bolzano (por uma propriedade que
decorre do teorema de Bolzano):
]
[ ( )
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ou seja, existe pelo menos um ]
[ tal que o comprimento do segmento de reta [ ] é dez vezes a amplitude,
em radianos, do ângulo .
98.5.
▪ Tem-se que 2 3 2 3
cos cos6 6
cos6
OCCP
CP CP
.
▪ O comprimento do arco é igual a
.
Assim, pretende-se determinar de modo que:
4 2 3 2 3 33 4 cos cos
3 4 6 6 2cos
6
CP
Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1 cos6
y
e 2
3
2y
na janela de visualização
0, 0,13
. Obtém-se:
Logo, 4
33
CP a
, com 0,8a .
y
O a
1 cos6
y
3
2
3
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99.
99.1. A reta de equação 2y x a é assíntota do gráfico de f , quando x , se:
lim 2 0x
f x x a
Tem-se:
lim 2 lim 2x x
f x x a x
a 2 3 2xx e x a 2
2 3
) 3lim limy
yy yi
yy e
e
)
2
3lim 0
yyii
y
e
Logo, a reta de equação 2y x a é assíntota do gráfico de f , quando x .
Outra resolução:
2 32 2lim lim lim
x
x x x
f x x a x e xm
x x
x
2
lim limx x
a x
x
3xe
x
)
32 lim y
yi
aye
3
3 )2 0 lim 2 lim 2 0 2
y iy yy i
y y
e e
lim lim 2x x
b f x mx x
2 3 2xa x e x 22 3 3
)lim limx y
x yia x e a y e
2 2
3)3lim lim 0
y yy yii
y ya a a a
e e
Logo, a reta de equação 2y x a é assíntota do gráfico de f , quando x .
i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .
ii) Se limx
px
a
x (limite notável), então lim 0
p
xx
x
a , com 1a e p . 3 1e .
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99.2. A função f é continua em 0x se 0 0
lim lim 0x x
f x f x f
. Assim:
▪ 2 3 0
0 0lim lim 2 2 0 0x
x xf x x a x e a e a
▪
0
0
0 0 0
1 cos sen 2 1 coslim lim limx x x
x x x x x
x x
x
0
sen 2im 2l
2x
x
x
0
1 cos1 cosl
1 cosim 1 1 2
x
xx
x x
2 2
0 0 0 0
1 cos sen sen senlim 1 1 lim 1 lim lim
1 cos 1 cos 1 cosx x x x
x x x x
x x x x x x
sen 0 01 1 1 1 1 1 0 1
1 cos 0 1 1
▪ 00 2 0 0f a e a
Portanto, f é continua em 0x se 1a .
99.3.
a)
▪ 1 cos 2 1 2sen 2g x x x x
▪ 1 2sen 2 4cos 2g x x x
▪ 0 4cos 2 0 cos 2 0 22 4 2
kg x x x x k x
, k
Como 0,x , tem-se
0 1
3
4 4k k
x x
.
Se 0x então 2 0x (limite notável)
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em 0, vem:
x 0 4
3
4
g x n.d. 0 0
g x n.d. p.i. p.i.
O gráfico da função g tem a concavidade voltada para cima em 0,4
e em 3
,4
, tem a concavidade voltada
para baixo em 3
,4 4
e tem um ponto de inflexão em 4
x
e em 3
4x
.
b) Para 0,x , tem-se:
cos 1 cos sen 2 1 cos 2 cosg x x x x x x x x
f xx x x
01
x cos x x sen 2 1x x cos 2 cosx x
sen 2 cos 2 24
x x x k
, k
8 2
kx
, k
Como 0,x , tem-se
0 1
5
8 8k k
x x
.
Página 324
100.
100.1. A função T é contínua em 0,11 pois é a soma de funções contínua no seu domínio. Logo T é contínua em
6,8 0,11 .
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Tem-se:
▪ 6 6 3 3 2
6 4sen 2cos 21 4sen 2cos 21 4 2 0 21 2 2 21 23,88 4 4 2 2
T
▪ 8 8
8 4sen 2cos 21 4sen 2cos 2 21 4 0 2 1 21 198 4
T
Como T é contínua em 6,8 e 8 20 6T T , pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um 6,8c tal que
20T c , ou seja, no contexto do problema, existiu pelo menos um instante entre as 16 horas e as 18 horas em que
a temperatura na biblioteca foi de 20º Celcius.
100.2.
▪ 4 2
cos sen 0 cos sen8 8 4 4 2 8 2 4
t t t tT t
▪ 0 cos sen 02 8 2 4 2
t tT t
cos
8 2
t
sen cos sen
4 8 4
t t t
) )
cos sen cos cos8 4 8 2 4i ii
t t t t
2 28 2 4 8 2 4
t t t tk k
, k
2 28 4 2 8 4 2
t t t tk k
, k
3
2 28 2 8 2
t tk k
, k
4 16 3 4 16t k t k , k
4
4 16 163
t k t k , k
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Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,11t , obtém-se28
43
t t .
Fazendo um quadro de variação do sinal da função T , em 0,11 vem:
t 0 4 28
3 11
T t 0 0
T t mín. máx. mín. máx.
Tem-se:
▪ 4 4
4 4sen 2cos 21 4sen 2cos 21 4 1 2 1 21 4 2 21 278 4 2
T
▪ 11 11
11 4sen 2cos 21 18,78 4
T
A temperatura na biblioteca atingiu o máximo absoluto no instante (às 14h) e foi de 27ºC.
▪ 0 4sen 0 2cos 0 21 4 0 2 1 21 19T
▪ 28 28 28 7 7 1 1
4sen 2cos 21 4sen 2cos 21 4 2 21 183 24 12 6 3 2 2
T
A temperatura na biblioteca atingiu o mínimo absoluto no instante
(às 19h20min) e foi de 18ºC.
Nota: 28
9, 33 e 0, 3 60 20 .
100.3.
▪ 4sen 2cos 21 4sen 2cos 2 218 4 8 8
t t t tT t
2 24sen 2 cos sen 218 8 8
t t t
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2 24sen 2 1 sen sen 218 8 8
t t t
24sen 2 1 2sen 218 8
t t
2 24sen 2 4sen 21 4sen 4sen 198 8 8 8
t t t t
▪ 2 222 4sen 4sen 19 22 4sen 4sen 3 08 8 8 8
t t t tT t
Fazendo sen8
ty
, vem
2
24 4 4 4 3 1 3
4 4 3 02 4 2 2
y y y y y
8.
sen
1 3 1sen sen sen
8 2 8 2 8 2Eq Impossíve
ty
l
t t t
2 28 6 8 6
t tk k
, k
5
2 28 6 8 6
t tk k
, k
8 40
16 166 6
t k t k
, k
4 20
16 163 3
t k t k , k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,11t , obtém-se4 20
3 3t t .
A temperatura foi de 22ºC às 11h20min e às 16h40min.
Nota: 4
1, 33 e 0, 3 60 20 ;
206, 6
3 e 0, 6 60 40 .
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101.
101.1. 0 150 4 3 0 40cos 0,2 0 150 0 40 1 110v .
No instante em que a máquina é ligada a velocidade é de 110 dezenas de rotações por minuto, ou seja, 1100 r.p.m.
101.2.
0,40
150 4 3 40 40cos 0,2 40 150 4 0 0 cos 0,2 040 0. . .
40 0 40
v vt v m
150 160 3 40cos 8 150 cos 0 160 3 40cos8 0
4 3 cos8 8,140 40
A taxa de variação média entre o instante em que a máquina é ligada e o instante em que atinge a velocidade máxima é
de, aproximadamente, 81 r.p.m., ou seja, no contexto do problema, significa que a velocidade da máquina aumenta, em
média, aproximadamente 81 r.p.m por segundo entre os 0 e os 40 segundos.
101.3
▪ 4 3 40 0,2sen 0,2 4 3 8sen 0,2v t t t
▪ 3
0 4 3 8sen 0,2 0 8sen 0,2 4 3 sen 0,22
v t t t t
0,2 2 0,2 23 3
t k t k
, k
4
0,2 2 0,2 23 3
t k t k
, k
2 4 2
0,6 0,2 0,6 0,2
k kt t
, k
5 20
10 103 3
t k t k
, k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,40t , obtém-se20 25
3 3t t
.
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função T , em 0,40 vem:
t 0 20
3
25
3
40
v t 0 0
v t mín. máx. mín. máx.
O intervalo de tempo em que a velocidade da máquina diminui é [
]. A velocidade mínima que a máquina atinge
até esta começar de novo a aumentar é dada por:
(
) √
(
)
√
, isto é, 3114 r.p.m.
102.
102.1. Tem-se:
8 8g t 0,08 24 sen 8
3
t te
0,08 0,08
.
2 24 sen 0 4 0 sen 0
3 3
t t
Eq impossível
t te e
2
03
tk
,
3
2
kk t
,
3
2
kk t , k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,5t , obtém-se:
0 1,5 3 4,5t t t t
A bola preta está a 8 cm do solo nos instantes 0t , 1,5t , 3t e 4,5t .
102.2. Tem-se:
8f t g t 0,08 54 cos 8
6
t te
0,08 0,08 0,082 5 24 sen 4 cos 4 sen 0
3 6 3
t t tt t te e e
0,08 0,08
.
5 2 5 24 cos sen 4 0 cos sen 0
6 3 6 3
t t
Eq impossível
t t t te e
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5 2 5 2
cos sen cos cos6 3 6 2 3
t t t t
5 2 5 2
2 26 2 3 6 2 3
t t t tk k
, k
5 4 3 12 5 4 3 12t t k t t k , k
3 12 9 3 12t k t k , k
1 4
3 123 3
kt k t , k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,7t , obtém-se:
7 11 191 3 5
3 3 3t t t t t t
Nos primeiros sete segundos as duas bolas estão a igual distância do solo nos instantes 1t , 7
3t , 3t ,
11
3t ,
5t e 19
3t .
102.3. A função f é contínua em 0, , uma vez que resulta da soma, produto e composição entre funções
constantes, exponenciais, afins e trigonométricas, todas contínuas no seu domínio. Logo, f também é contínua em
5,6 0, .
Tem-se:
▪ 0,08 5 5 55 8 4 cos 10,32
6f e
▪ 0,08 6 5 66 8 4 cos 5,52
6f e
Como f é contínua em 5,6 e 6 10 5f f , pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um 5,6c tal que
10f c , ou seja, existe um instante entre o 5.º e o 6.º segundo em que a bola amarela se encontra a 10 cm do
solo.
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102.4.
▪ 0,08 0,0
)
85 5lim lim 8 4 cos 8 lim 4 cos 8 0 8
6 6
t t
t t t i
t tf t e e
i) Tem-se que 0,08lim 4 4 4 0 0t
te e
(infinitésimo) e que a função
5cos
6
ty
é limitada, pois
51 cos 1
6
t
, t .
O limite do produto de um infinitésimo por uma função limitada é zero.
▪ 0,08 0,0
)
82 2lim lim 8 4 sen 8 lim 4 sen 8 0 8
3 3
t t
t t t ii
t tg t e e
ii) Tem-se que 0,08lim 4 4 4 0 0t
te e
(infinitésimo) e que a função
2sen
3
ty
é limitada, pois
21 sen 1
3
t
, t .
O limite do produto de um infinitésimo por uma função limitada é zero.
Assim, lim lim 8t t
f t g t
. À medida que o tempo passa a distância das duas bolas ao solo tende para 8 cm.
102.5. Tem-se que:
0,08 3 0,08 0,240,08 0,24 0,08 0,24
0,08 0,08
3 40,787
4
t tt t
t t
h t e ee e
h t e e
Portanto, entre cada dois instantes consecutivos em que a bola preta atinge a distância máxima ao solo, essa distância
diminui, aproximadamente, 21,3% (100 78,7 21,3 ).
Página 325
103.
103.1. Tem-se:
0 9f t f 2sen 940
t
sen 0
40 40
t tk
, 40k t k , k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,140t , obtém-se:
0 40 80 120t t t t
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▪ Quando 0t o ponto P coincide com o ponto A;
▪ Quando 40t o ponto P coincide com o ponto C;
▪ Quando 80t o ponto P coincide novamente com o ponto A.
Assim, o ponto P demora 80 segundos a dar uma volta completa à circunferência.
103.2.
a)
▪ 2
9 2sen cos cos40 40 40 20 40
t t tf t
▪ 0 cos 0 cos 020 40 40 40 2
t t tf t k
, 20 40k t k , k
20 40t k , k
Como 0,140t , tem-se 20 60 100t t t .
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,140 vem:
t 0 20 60 100 140
f t 0 0 0 0
f t mín. máx. mín. máx. mín.
A função é crescente em [ ] e em [ ], é decrescente em [ ] e em [ ], tem mínimo relativo
em que é ( ) , tem mínimo absoluto em e em que é ( ) ( ) e tem
máximo absoluto em e em que é ( ) ( ) .
b) O movimento é realizado no sentido positivo pois a distância do ponto à reta r aumenta logo que o movimento se
inicia.
Como a distância máxima do ponto à reta r é 11 cm e a distância mínima é 7 cm, então o raio da circunferência é de
11 72
2
cm.
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c) O movimento termina ao fim de 140 segundos e o valor de 140f é igual a 7 cm, que corresponde ao ponto em
que a distância de P à reta r é mínima. Logo, o movimento termina no ponto D.
103.3. Tem-se:
1
10 9 2sen 10 sen 2 240 40 2 40 6 40 6
t t t tf t k k
, k
40 200
80 806 6
t k t k
, 20 100
80 803 3
k t k t k , k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,140t , obtém-se:
20 100 260 340
3 3 3 3t t t t
O ponto P encontra-se à distância de 10 cm da reta r em quatro instantes distintos: 20
3,
100
3,
260
3 e
340
3
segundos.
104.
104.1. Para [ ], tem-se:
( ) ( ) ( )
Para vem, ( )
Para vem, √( )
Para qualquer outro valor inteiro a equação é impossível em [ ]. Os instantes e correspondem,
respetivamente, à abertura e ao encerramento da loja para almoço. Portanto não estavam pessoas na loja às 11h
( ).
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104.2. Tem-se:
2 2 2 222sen 0,25 22 2 sen0,25 sen 0,25N t t t t t t t
2 2 244sen 0,25 0,25 cos 0,25t t t t t t
2 244sen 0,25 0,5 cos 0,25t t t t t
2 222 0,5 2sen 0,25 cos 0,25t t t t t
2 211 22 sen 2 0,25 11 22 sen 0,5 2t t t t t t
104.3. Para [ ], tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
Para vem, ( )
Para vem, √ √ .
Para qualquer outro valor inteiro a equação é impossível em [ ].
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,4 vem:
t 0 2 2 2 2 2 4
f t 0 0 0 0
f t mín. máx. mín. máx. mín.
Os instantes , e correspondem, aos instantes em que o número de pessoas na loja era 0. (9h, 11h
e 13h). Os instantes √ (9h35min), e √ (12h25min) correspondem aos instantes em que o
número de pessoas na loja foi máximo, sendo que esse número é dado por ( √ ) ( √ ) .
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105.
105.1. A função é contínua em , assim:
▪ ( )
▪
( )
( ( )
)
( )
( )
▪
( )
( ( )
)
( )
)
(
)
( ( ))
( )
( )
( )
Logo
i) Mudança de variável: Se então . Seja , .
105.2. Após os primeiros dez meses de comercialização, isto é, para 10t , tem-se:
▪
2
22
2
2
0,020,02ln 0,01ln 0,01 0,01
30 0
ttt tt t
P tt t
20,01t
22
2 2
ln 0,012 ln 0,01
tt
t t
▪
2
2 2 2
2
2 ln 0,010 0 2 ln 0,01 0 0 ln 0,01 2 0
tP t t t t t
t
2
2 2 2 2 20,01 0 0 100 00,01
et e t t t t e t
2100 0 10 10 0t e t t e t e t
Como 10t , tem-se 10t e .
Se 0y então 0y (limite notável)
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função P , em 10, vem:
t 10 10e
22 ln 0,01t 0
2t
P t 0
P t mín. máx.
Após os primeiros dez meses de comercialização o preço do CD atinge o valor máximo em , isto é,
aproximadamente dois anos e três meses após o seu lançamento.
Nota: 10 27e meses, que corresponde a aproximadamente dois anos e três meses.
105.3
( )
( ( )
)
(( ) )
( )
( )
Com o passar do tempo o preço do CD tende para os 30 euros.
105.4.
a) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se
1
5sen 5sen
35 3510 10
t ty t t
t t
e 2 30y
na janela de visualização 0,10 0,40 . Obtém-se:
Assim, o preço do CD foi superior a 30 euros durante os primeiros cinco meses de comercialização.
t
y
O 5
30
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b) Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y P t e 2 30y na janela de visualização
0,20 0,40 . Obtém-se:
Assim, preço mínimo do CD foi de aproximadamente 25,30 euros.
Página 326
106.
106.1. Tem-se:
2 2
cos cos 2 cosf x a b c x d a b cx d a b cx dc c
Logo, 2
c
é um período da função f.
Assim, 2
5 1 2 42
c cc
.
106.2. Ambas as funções têm o mesmo contradomínio:
▪ 1 sen 1 4 4sen 4 2 4 2 4sen 2 4 2 ( ) 63 3 3
x x xg x
Logo, 2,6gD
▪ 1 cos 1 cos cos ( )cx d b b cx d b a b a b cx d b a a b f x b a
Logo, ,fD a b a b
t
y
O 8,66
25,3
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Assim como g fD D , vem 2 2
6 2 6
a b a b
a b b b
2 4 2
2 8 4 4
a a
b b b
▪ Como 0 0f g , tem-se 2 4cos 0 2d 4sen 0 cos 02
d d k
, k .
Como 2 5d , 3
2d
.
Assim, 2a , 4b e 3
2d
.
106.3. 2 é o mínimo absoluto da função g. Assim:
2 2 4sen 2 4sen 4 sen 1 23 3 3 3 2
x x x xg x k
, k
3
62
x k
, 3
62
k x k , k
106.4. Tem-se:
( ) ( ) (
) (
) (
) (
)
Se então
e se então
. Portanto a abcissa do ponto só pode ser
e a do ponto só pode ser
. Assim, a condição que define a região sombreada pode ser:
( ) ( )