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  • UNIVERSIDADE CATLICA DE PERNAMBUCO

    CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS

    CURSO:

    ADMINISTRAO DE EMPRESAS

    PESQUISA OPERACIONAL MDULO 1

    2013.2

    Prof.: Egenilton Rodolfo de Farias

    Email: [email protected]

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 1

    UNIVERSIDADE CATLICA DE PERNAMBUCO PR-REITORIA ACADMICA

    CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS

    PLANO DE ENSINO

    Semestre

    2013.2

    CDIGO: ADM1407 DISCIPLINA: Pesquisa Operacional

    TURMA: CURSO: Administrao

    HORA/AULA 72 PROFESSOR: Egenilton Rodolfo de Farias

    EMENTA Apresentar os principais mtodos de otimizao e algoritmos de pesquisa operacional e a prtica correspondente, aplicveis s principais funes da gesto organizacional, numa perspectiva de interdisciplinaridade com as principais funes da gesto organizacional e de interao da teoria com a prtica.

    CONTEXTUALIZAO

    O curso visa integrao contnua entre a teoria e as aplicaes dos conceitos de Pesquisa Operacional fornecendo assim,

    aos alunos, o instrumental necessrio para entender e manusear os principais modelos de aplicao e/ou anlise de dados.

    OBJETIVO GERAL

    Proporcionar aos alunos uma viso prtica e objetiva da utilizao dos recursos da Pesquisa Operacional no dia a dia da

    empresa.

    OBJETIVOS ESPECFICOS

    Oferecer, atravs de bases conceituais e desenvolvimento de frmulas, as ferramentas de anlise de dados que contribuem

    para uma tomada de deciso consciente e estratgica.

    CONTEDO Definio de pesquisa operacional e construo de modelos. Programao linear: formulao e mtodo grfico; diretrizes para a formulao de modelos de programao linear; problema de maximizao e minimizao da funo objetivo; soluo grfica e problemas com duas variveis de deciso; alguns casos especiais; formulao geral do

    problema de programao linear e sua anlise e soluo via o mtodo simplex. Os problemas de transporte e

    designao e seus casos especiais. Teoria da deciso: problemas de deciso. Deciso tomada sob risco e rvores

    de deciso. Deciso tomada sob incerteza e seus critrios. Simulao: o mtodo de Monte Carlo. Casos particulares

    de simulao terica. Introduo teoria dos jogos: jogos com dois jogadores e somo zero. Estratgias puras e

    mistas. Equilbrio de Nash e exemplos aplicados s empresas. Introduo teoria das filas. A estrutura bsica de

    uma fila: a distribuio exponencial e a distribuio de Poisson. Modelo de fila com um ou mltiplos servidores.

    Modelos de deciso de fila: custo e nvel de aspirao.

    METODOLOGIA/RECURSOS DIDTICOS

    Aulas expositivas. O plano de ensino da disciplina contemplar metodologia direcionada a realizao de trabalhos prticos,

    desenvolvidos no ambiente organizacional e/ou com dados e informaes reais, visando a interao da teoria com a prtica.

    AVALIAO DA APRENDIZAGEM:

    A prtica ser obtida atravs de exerccios que, aps cada assunto ministrado, sero resolvidos detalhadamente e propostos

    outros, acompanhados das respostas de modo que o aluno efetue o treinamento fora do horrio de aula, pois para se

    dominar a Estatstica as aulas s no bastam, h que se exercitar bastante. Todos os alunos devem portar uma calculadora

    durante o curso sem a qual no ser possvel o acompanhamento na resoluo dos problemas em sala de aula. As

    avaliaes, em nmero de duas, escritas, uma em cada unidade de aprendizagem, com notas variando de zero a dez.

    BIBLIOGRAFIA BSICA ANDRADE, E. L. Introduo pesquisa operacional: mtodos e modelos para anlise de decises. 4.ed. Rio de

    Janeiro: LTC, 2009. MOREIRA, D. A. Pesquisa operacional: curso introdutrio. So Paulo: Thomson Learning, 2007. TAHA, H. A. Pesquisa operacional: uma viso geral. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

    BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR EHRLICH, P. J. Pesquisa operacional: um curso introdutrio. So Paulo: Atlas, 1991. ELLENRIEDER. A. VON. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Almeida Neves, 1971. LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decises: modelagem em Excel. Rio de Janeiro:

    Elsevier,2007. RAGSDALE, C. T. Modelagem e anlise de deciso. So Paulo: Cengage Learning, 2009. SILVA, E. M. et al. Pesquisa operacional: programao linear. So Paulo: Atlas, 1999.

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    CRITRIOS DE AVALIAO DO 1 GQ

    CRITRIO DE AVALIAO DA PROVA DO 1 GQ

    Primeiramente feita uma anlise geral da prova: O aluno tentou responder a todas as questes?

    Foi utilizado as frmulas, a HP 12C ou ambas ( opcional ao aluno o mtodo de resoluo)? A prova est

    esmerada ou o aluno fez vrias tentativas para resolver as questes? Qual a ordem escolhida pelo aluno

    para resoluo do problema, da mais difcil para a mais fcil ou o contrrio?

    Em seguida feito a anlise de cada questo. No mtodo tradicional, as questes so corrigidas

    de acordo com a ordem numrica, o que no permite fazer um estudo mais aprofundado do porqu o

    aluno errou. Por isso a opo da ordem de correo da que o aluno desenvolveu melhor para a que ele

    menos desenvolveu. Esse mtodo ajuda a esclarecer os seguintes aspectos: O aluno chegou resposta

    correta? O resultado final foi direto ou ele desenvolveu os dados para chegar na resposta correta? Caso

    no tenha chegado resposta correta, at que ponto ele avanou no desenvolvimento da resposta? O

    aluno identificou os dados corretamente? A frmula usada estava correta? Houve erro no clculo? (O

    aluno informado por escrito e verbalmente diversas vezes que o uso de calculadora individual, no

    podendo ser divida entre colegas durante a prova. Se o aluno esqueceu ele tem que arcar com a

    responsabilidade) O aluno errou por falta de ateno ou porque no sabia o mtodo de resoluo? O

    mesmo erro foi verificado em todas as questes? Em algum momento o aluno tentou usar meio ilcito

    para responder, olhou para a prova do colega ou estava com memria auxiliar?

    Para que o aluno possa comparar a sua prova com o de outro colega necessrio que ele analise

    as questes pela metodologia de correo supramencionada, escalonado as questes que o aluno

    melhor respondeu at a que menos respondeu. A comparao pela ordem numrica desconsidera todos

    os aspectos que foram mencionados acima.

    CRITRIO DE AVALIAO DO TRABALHO DO 1 GQ

    Em relao a avaliao do trabalho so analisados os seguintes aspectos: O aluno seguiu o roteiro

    do trabalho? Houve fraude? O aluno copiou parcialmente ou totalmente de algum site ou livro? Levando

    em considerao o tema designado, o aluno se aprofundou ou tratou o assunto superficialmente? Como

    est a organizao do trabalho?

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    BNUS ACRESCICO NOTA DO 1 GQ

    No primeiro dia de aula o aluno informado que, a critrio do professor, o aluno pode receber

    algum bnus de acordo com o grau de comprometimento com a disciplina. Nessa ocasio a turma

    informada que o valor desse bnus adicionado a soma dos pontos das questes respondidas.

    Essa bonificao apenas um incentivo participao do aluno e comportamento disciplinar

    exemplar em sala de aula.

    Ela construda ao longo do semestre e se torna crescente ao passo que o aluno observado

    respondendo as questes, tirando dvidas ao final da aula ou por email, participando ativamente da aula,

    oferecendo sugestes para o aperfeioamento contnuo da metodologia utilizada.

    Por outro lado, a bonificao se torna decrescente medida que o aluno demonstra pelas suas

    atitudes descomprometimento com a aula.

    O quantitativo de faltas no tem sido um bom indicador desse comprometimento, pois alguns

    alunos tm enfrentados problemas delicados de ordem estritamente pessoais, como parentes

    gravemente doentes, perdas de familiares, problemas no emprego, que tem geral um nmero de faltas

    prximo ao limite aceitvel de 25% da carga horria. H alunos que tem uma quantidade de faltas acima

    da mdia, digamos 12 ou mais faltas at 18 no mximo, mas que por email tem sido muito participativo,

    mostrando o quanto desenvolveu de determinados exerccios, tirando dvidas, etc, o que demonstra um

    certo grau de comprometimento com a disciplina.

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    CONCEITOS DE DECISO E O ENFOQUE GERENCIAL DA PESQUISA

    OPERACIONAL A expresso Pesquisa Operacional foi utilizada pela primeira vez durante a Segunda Guerra Mundial, quando pesquisadores buscavam mtodos para facilitar decises estratgicas de operaes militares. Uma deciso um curso de ao escolhido pela pessoa, como o meio mais efetivo sua disposio, para alcanar os objetivos pretendidos.

    Principais caractersticas do processo de deciso Processo seqencial: conseqncia de uma srie de fatores anteriores que criaram asa bases

    para se chegar a ela. Processo complexo: envolve uma inter-relao entre pessoas, responsabilidades pelo servio,

    comunicao e sistemas de informaes, cdigos de tica e moral e, s vezes, interesses e objetivos dos participantes. Alm disso, os processos podem variar dentro da empresa quanto ao(s):

    Tamanho do grupo de deciso Tipos de sistemas de informaes gerenciais Tipos de decises que devem ser tomadas Estilo de liderana dos administradores Nvel da deciso dentro da empresa

    Processo que implica em valores subjetivos: o mtodo pelo qual o valor de julgamento do gestor colocado na deciso estritamente pessoal.

    Processo em ambiente institucional: todas as empresas tm uma estrutura organizacional personalizada que influencia e muitas vezes condiciona o processo de tomada de deciso.

    Classificao das decises Nvel estratgico: quanto mais as atividades e os resultados de uma organizao forem afetados

    pela deciso, mais estratgica ela ser. Grau de estruturao: uma deciso to mais bem estruturada quanto mais estreitamente o

    processo puder ser acompanhado ou mesmo repetido, em outras ocasies e, s vezes, at mesmo em outros ambientes.

    Para problemas com alto grau de estruturao, o gerente pode contar com tcnicas de Pesquisa Operacional, tais como Programao Linear, Teoria das Filas, Teoria dos Estoques, Programao Dinmica etc.

    O enfoque gerencial da pesquisa operacional Enfoque clssico: nesse enfoque, a ateno principal estava mais voltada para a tcnica de

    soluo (rigor matemtico do algoritmo) e para a obteno de uma soluo tima. Por outro lado, essa linha tradicional frustrava os administradores pela pouca flexibilidade dos modelos que s respondiam a perguntas padronizadas.

    Enfoque atual: nessa abordagem qualitativa, o enfoque central deslocado do mtodo de soluo (geralmente um algoritmo matemtico complexo) para a formulao e para a modelagem ou seja, para o diagnstico do problema.

    Fases de um estudo de pesquisa operacional Definio do problema:

    Descrio exata dos objetivos do estudo; Identificao das alternativas de deciso existentes; Reconhecimento das limitaes, das restries e das exigncias do sistema.

    Construo do modelo: O modelo mais apropriado para a representao do sistema est condicionado a definio do problema. A qualidade de todo o processo seguinte conseqncia do grau de representao da realidade que o modelo venha a apresentar.

    Soluo do modelo: No caso de modelos matemticos, a soluo obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e preciso da resposta. Nesse caso, ela chamada de soluo tima.

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    Validao do modelo: Ele vlido se, quando ocorrer inexatido em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previso aceitvel do comportamento do sistema e uma resposta que possa contribuir para a qualidade da deciso a ser tomada. Um mtodo comum para se testar a validade do sistema analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema manifestou.

    Implementao da soluo: Avaliadas as vantagens e a validade da soluo obtida, esta deve ser convertida em regras operacionais. A implementao, sendo uma atividade que altera uma situao existente, uma das etapas crticas do estudo.

    Avaliao final: nessa fase, um fator que tem papel primordial a experincia do pessoal envolvido no estudo. No se deve esquecer que um modelo apenas uma representao simplificada, que no capta todas as caractersticas da realidade.

    Perguntas para reviso 1. Quais so as caractersticas de um processo de tomada de deciso que possibilitam o uso de

    tcnicas quantitativas no apoio e na preparao da deciso?

    Soluo: O processo de tomada de deciso seqencial; trata-se de um processo complexo, que implica valores subjetivos e que desenvolvido em um ambiente institucional cujas regras so mais ou menos definidas. 2. Por que as decises com alto grau de estruturao so propcias s aplicaes de Pesquisa

    Operacional?

    Soluo: As decises que tm um alto grau de estruturao so fceis de modelar, dispe de uma grande quantidade de dados histricos e contam com menor grau de incerteza. 3. Justifique os critrios da qualidade da deciso.

    Soluo: Uma deciso de boa qualidade cria o estado desejado (eficcia), otimiza a utilizao dos recursos (eficincia) e segue o processo adequado (consistncia do curso de ao). 4. Por que a escolha do problema certo a ser resolvido um dos fatores de qualidade?

    Soluo: A escolha do problema certo a ser resolvido um dos fatores de qualidade porque significa manter o foco correto e objetivar a ao para a soluo. 5. Por que o nvel de conhecimento pode ser um obstculo qualidade de uma deciso?

    Soluo: A informao de importncia crucial para a tomada de deciso. Quanto mais alto o nvel de informao necessrio para a tomada de deciso, maior o custo (tempo e dinheiro); quanto mais baixo, mais incerto o ambiente para a tomada de deciso 6. Quais as vantagens do enfoque atual da Pesquisa Operacional sobre o enfoque clssico?

    Soluo: Pelo enfoque atual, a soluo tima de um problema apenas um referencial; mais importante o processo ou seja, importa menos o rigor matemtico da soluo, e mais o esprito crtico e a sensibilidade para se identificar o problema certo a ser resolvido e distinguir quais informaes so fundamentais e quais so acessrias para a deciso. 7. Do ponto de vista da preparao da deciso, quais so as vantagens da abordagem sistmica?

    Soluo: A abordagem sistmica possibilita um aumento de conhecimento e da experincia em termos de tcnicas e mtodos para soluo de problemas; permite a antecipao dos resultados por meio de mtodos matemticos e estatsticos; e cria uma viso sistmica e intuitiva. 8. Justifique a importncia da experincia pessoal na avaliao dos resultados de um estudo de

    Pesquisa Operacional.

    Soluo: Nenhum modelo capta todas as caractersticas da realidade. A experincia do administrador sempre ter um papel relevante no processo de tomada de deciso.

    Leitura recomendada

    Andrade, Eduardo Leopoldino. Introduo pesquisa operacional. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Captulos 1.

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    MODELAGEM DE PROBLEMAS GERENCIAIS Diversas vantagens podem ser citadas quando o administrador utiliza um processo de modelagem para a tomada de deciso:

    Foram os administradores a tornarem explcitos seus objetivos.

    Permitem a identificao e o armazenamento das diferentes decises que influenciam os objetivos, bem como dos relacionamentos entre as decises.

    Buscam a identificao das variveis a serem includas e em que termos elas sero

    quantificveis.

    Tipos de Modelos O relacionamento entre as variveis em um modelo , na maioria das vezes, escrito em termos matemticos. Existem vrias formas de gerar e utilizar essas relaes, e por isso existem diversos tipos de modelos. O modelo mais apropriado para um dado problema depende de vrios fatores como:

    Natureza matemtica das relaes entre as variveis;

    Objetivos do tomador de decises;

    Extenso do controle sobre as variveis de deciso;

    Nvel de incerteza associado com o ambiente da deciso.

    Com base nestas consideraes, podemos dividir os modelos em dois grandes tipos: Modelos de simulao;

    Modelos de otimizao.

    Ser analisado mais detalhadamente o modelo de otimizao, objetivo principal da disciplina.

    CONSTRUO DOS MODELOS DE OTIMIZAO

    Definio do problema Deve ser definido o objetivo bsico do problema, ou seja, a otimizao a ser alcanada. Por exemplo, maximizao de lucros, ou de desempenhos, ou de bem-estar social; minimizao de custos, de perdas, de tempo. O administrador deve reconhecer que existe um problema que precisa da melhor soluo, pela pesquisa dos valores timos das variveis.A opo pelo modelo de otimizao, ao invs de simulao poder ser mais til quando:

    Existirem muitas variveis de deciso, tornado o modelo de simulao lento.

    Houver restries nos recursos ou variveis que tornem complexo o processo de escolha dos valores das variveis.

    Os sistemas requerem preciso nos clculos das variveis, para respeitar restries ou

    evitar grandes variaes no resultado final.

    Identificao das variveis relevantes Por exemplo, nmero de mquinas, a rea a ser explorada, as classes de investimento disposio etc. Normalmente, assume-se que todas estas variveis possam assumir somente valores positivos. O conjunto de variveis relevantes para um modelo de otimizao inclui:

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    Variveis de deciso: So definidas pelo analista como fornecedoras das informaes que serviro de base para a tomada de deciso. Exemplo: Se o problema for aplicar dinheiro em um projeto de expanso de uma fbrica para obter o mximo retorno, uma varivel de deciso poder ser a taxa de retorno.

    Variveis controlveis ou endgenas: uma varivel gerada pelo prprio modelo durante o

    processo de soluo, sendo dependente dos dados fornecidos, das hipteses estabelecidas e da prpria estrutura do modelo.

    Variveis no-controlveis ou exgenas: So os fatores ou dados externos fornecidos ao

    modelo e que representam as hipteses levantadas ou as condies que devem ser respeitadas.

    Formulao da funo objetivo O objetivo ou problema analisado pelo modelo ser representado por uma funo objetivo, a ser maximizada ou minimizada; para que ela seja matematicamente especificada, devem ser definidas as variveis de deciso envolvidas.

    Formulao das restries As variveis normalmente esto sujeitas a uma srie de restries, normalmente representadas por inequaes. Por exemplo, quantidade de equipamento disponvel, tamanho da rea a ser explorada, capacidade de um reservatrio, exigncias nutricionais para determinada dieta etc

    Escolha do mtodo matemtico de soluo Tendo definido o problema, devemos agora escolher um mtodo matemtico apropriado para a soluo do modelo. A escolha feita tendo em vista o tipo de modelo matemtico criado e as anlises e questes para as quais o modelo deve fornecer subsdios.

    Aplicao do mtodo de soluo O mtodo de soluo simplesmente um exerccio matemtico que pode ser realizado manualmente ou por computador.

    Avaliao da soluo Nessa fase do modelo, tanto pode ser aceito como pode ser necessrio proceder as correes, para incorporar novas restries, novas variveis ou novos critrios.

    Leitura recomendada

    Andrade, Eduardo Leopoldino. Introduo pesquisa operacional. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Captulos 2.

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    MODELO EM PROGRAMAO LINEAR

    O modelo matemtico de programao linear composto de uma funo objetiva linear e de restries tcnicas representadas por um grupo de inequaes tambm lineares.

    Roteiro 1. Variveis de deciso Explicar as decises que devem ser tomadas e representar as possveis decises atravs de variveis chamadas variveis de deciso. 2. Objetivo Identificar o objetivo da tomada de deciso. Eles aparecem geralmente na forma da maximizao de lucros ou receitas, minimizao de custos, perdas etc. 3. Restries Cada restrio imposta na descrio do sistema deve ser expressa como uma relao linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variveis de deciso.

    Exemplo 01 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitrio do produto P1 de 1.000 unidades monetrias e o lucro unitrio de P2 de 1.800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produo disponvel para isso de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual o plano de produo para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programao linear para esse caso.

    Soluo: 1. Variveis de deciso O que deve ser decido o plano de produo, ou seja, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2.

    Portanto, as variveis de deciso sero 1X e 2X

    1X quantidade anual a produzir de P1

    2X quantidade anual a produzir de P2

    2. Objetivo O objetivo maximizar o lucro, que pode ser calculado:

    Lucro devido a P1: 1.000 1X (lucro por unidade de P1 quantidade produzida de P1)

    Lucro devido a P2: 1.800 2X (lucro por unidade de P2 quantidade produzida de P2)

    Lucro total: 21 X1800X1000L

    Objetivo: maximizar 21 X1800X1000L

    3. Restries As restries impostas pelos sistemas so:

    Disponibilidade de horas para produo: 1200 horas.

    Horas ocupadas com P1: 20 1X (uso por unidade quantidade produzida)

    Horas ocupadas com P1: 30 2X (uso por unidade quantidade produzida)

    Total em horas ocupadas na produo: 21 X30X20

    Restrio descritiva da situao: 21 X30X20 1200

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    Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda) Disponibilidade para P1: 40 unidades

    Quantidade a produzir de P1: 1X

    Restrio descritiva da situao: 1X 40

    Disponibilidade para P2: 30 unidades

    Quantidade a produzir de P2: 2X

    Restrio descritiva da situao: 2X 30

    Resumo do modelo:

    max 21 X1800X1000L

    Sujeito a:

    Restries tcnicas

    30X

    40X

    1200X30X20

    2

    1

    21

    Restries de no negatividade 0X

    0X

    2

    1

    Leitura recomendada

    Silva, Ermes Medeiros da. & et al. Pesquisa operacional para os cursos de: economia,

    administrao e cincias contbeis 3 ed. So Paulo: Atlas, 1998. Captulos 2, pginas 14 a 18.

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    EXERCCIOS

    Exerccio 01 Para uma boa alimentao, o corpo necessita de vitaminas e protenas. A necessidade mnima de vitaminas de 32 unidades por dia e a de protenas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponvel carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contm 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada unidade de ovo contm 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Qual a quantidade diria de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e protenas com o menor custo possvel? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetrias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetrias.

    Soluo: 1. Variveis de deciso Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia. As

    variveis de deciso sero 1X e 2X

    1X quantidade de carne a consumir no dia

    2X quantidade de ovos a consumir no dia

    2. Objetivo O objetivo minimizar o custo, que pode ser calculado:

    Custo devido a carne: 3 1X (custo por unidade quantidade a consumir de carne)

    Custo devido aos ovos: 2,5 2X (custo por unidade quantidade a consumir de ovos)

    Custo total: 21 X5,2X3C

    Objetivo: minimizar 21 X5,2X3C

    3. Restries As restries impostas pelos sistemas so:

    Necessidade mnima de vitamina: 32 unidades.

    Vitamina de carne: 4 1X (quantidade por unidade unidades de carne a consumir)

    Vitamina de ovos: 8 2X (quantidade por unidade unidades de ovos a consumir)

    Total de vitaminas: 21 X8X4

    Restrio descritiva da situao: 21 X8X4 32

    Necessidade mnima de protena: 36 unidades

    Protena de carne: 6 1X (quantidade por unidade unidades de carne a consumir)

    Protena de ovos: 6 2X (quantidade por unidade unidades de ovos a consumir)

    Total de Protena s: 21 X6X6

    Restrio descritiva da situao: 21 X6X6 36

    Resumo do modelo:

    min 21 X5,2X3C

    Sujeito a:

    Restries tcnicas 36X6X6

    32X8X4

    21

    21

    Restries de no negatividade 0X

    0X

    2

    1

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    Exerccio 02 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponvel de couro de 6 unidades e que o lucro unitrio por sapato de 5 unidades monetrias e o do cinto de 2 unidades monetrias, pede-se: o modelo do sistema de produo do sapateiro, se o objetivo maximizar seu lucro por hora.

    Soluo:

    1X nmero de sapatos por hora

    2X nmero de cintos por hora

    mx 21 X2X5L

    s.a.

    0X ,0X

    6X1X2

    60X12X10

    21

    21

    21

    6 sapatos/hora = 10 min por sapato; 5 cintos/hora = 12 min por cinto.

    Exerccio 03 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no mximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro mximo? Construa o modelo do problema.

    Soluo:

    1X quantidade de caixas de pssegos

    2X quantidade de caixas de tangerinas

    mx 4000X30X10L 21

    s.a.

    0X ,0X

    200X

    100X

    600XX

    21

    2

    1

    21

    Ele necessita transportar 200 caixas de laranja, portanto 200 20 = 4000

    Leitura recomendada

    Silva, Ermes Medeiros da. & et al. Pesquisa operacional para os cursos de: economia,

    administrao e cincias contbeis 3 ed. So Paulo: Atlas, 1998. Captulos 2, pginas 18 a 21.

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    APLICAES DE PROGRAMAO LINEAR: PROBLEMAS DE MISTURAS

    O problema da mistura, em geral, consiste na obteno ou fabricao de um produto, aqui chamado de mistura, combinando-se alguns materiais disponveis na natureza ou disponveis no mercado (no exemplo de rao, pode ser milho, farinha de osso etc.). Problemas de mistura surgem em vrios processos industriais, como na produo de adubos, sucos concentrados de laranja, ligas metlicas, raes para determinados animais etc. e geralmente so parte de um problema mais geral de planejamento e controle da produo. A mistura produzida a partir de ingredientes que possuem os componentes desejados no novo produto (na rao, os componentes so protenas, vitaminas etc.) e que devem satisfazer determinadas especificaes (na rao, as especificaes so resultados de pesquisa em nutrio animal). A composio de cada ingrediente conhecida, isto , as propores dos componentes de cada ingrediente so dadas, como tambm o seu custo unitrio. Deseja-se determinar as quantidades de cada ingrediente que devemos utilizar para obter uma mistura com a composio especificada e com o menor custo possvel.

    Formulao matemtica do problema da mistura n Nmero de ingredientes que podem ser utilizados na produo da mistura m Nmero de componentes relevantes para a mistura

    jX Quantidade do ingrediente j que deve ser utilizada em uma unidade de mistura, j=1,2,...,n

    ija Frao do componente i no ingrediente j, i=1,...,m e j=1,...,n

    jb Frao do componente i na mistura, i=1,...,m

    jc Custo de uma unidade do ingrediente j, j=1,...,n

    Minimizar nn2211 XCXCXCC

    s.a.

    0X,,0X ,0X

    1XXX

    bXaXaXa

    bXaXaXa

    bXaXaXa

    n21

    n21

    mnmn22m11m

    2nn2222121

    1nn1212111

    Ele necessita transportar 200 caixas de laranja, portanto 200 20 = 4000

    Exemplo 01 Uma agroindstria deve produzir um tipo de rao para determinado animal. Essa rao produzida pela mistura de farinha de trs ingredientes bsicos: osso, soja e resto de peixe. Cada um desses trs ingredientes contm diferentes quantidades de dois nutrientes necessrios a uma dieta nutricional balanceada: protena e clcio. O nutricionista especifica as necessidades mnimas desses nutrientes em 1 kg de rao. Cada ingrediente adquirido no mercado com certo custo unitrio ($/kg). Na tabela a seguir, os dados do problema so apresentados. Os ingredientes podem ser constitudos por outros elementos, mas que no so importantes para o problema em questo.

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 13

    Dados para o problema da rao Ingredientes

    Nutrientes Osso Soja Peixe Rao Protena 0,2 0,5 0,4 03 Clcio 0,6 0,4 0,4 05 Custos ($/kg) 0,56 0,81 0,46 Determinar em que quantidades os ingredientes devem ser misturados de modo a produzir uma rao que satisfaa s restries nutricionais com o mnimo custo.

    Soluo:

    1X Quantidade (em kg) de osso que deve ser utilizada em um unidade (1kg) da rao.

    2X Quantidade (em kg) de soja que deve ser utilizada em um unidade (1kg) da rao.

    3X Quantidade (em kg) de peixe que deve ser utilizada em um unidade (1kg) da rao.

    mn 321 X46,0X81,0X56,0C

    s.a.

    0X,0X,0X

    1XXX

    5,0X4,0X4,0X6,0

    3,0X4,0X5,0X2,0

    321

    321

    321

    321

    Leitura recomendada

    Arenales, MARCOS. & et al. PESQUISA OPERACIONAL. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. Captulo 2, pginas 15 a 20.

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 14

    APLICAES DE PROGRAMAO LINEAR: PROBLEMAS DE TRANSPORTE Esses problemas referem-se ao transporte ou distribuio de produtos dos centros de produo aos mercados consumidores. Os produtos podem ser os mais variados possveis: petrleo, equipamentos, mquinas, produo agrcola etc. O problema consiste em transportar o produto dos centros de produo aos mercados consumidores de modo que o custo total de transporte seja o menor possvel. O transporte deve ser efetuado respeitando-se as limitaes de oferta e atendendo demanda.

    Formulao matemtica do problema de transporte n Nmero de destinos para um produto m Nmero de origens para um produto

    ijX Quantidade, no negativa, transportada do produto i para o destino j, i = 1, ..., m e j=1,2,...,n

    ia Oferta do produto na origem i

    jb demanda do produto no destino j

    ijc Custo de transportar uma unidade do produto da origem i para o destino j

    Minimizar

    m

    1i

    n

    1j

    ijijXCC

    s.a.

    n ..., 1, j e m ..., 1, i 0X

    n..., 1, j bX

    m ..., 1, i aX

    1

    i

    m

    1i

    ij

    i

    n

    1j

    ij

    Exemplo 01 Considere uma companhia distribuidora de bebidas que tem 2 centros de produo (m = 2) Recife e Natal e 3 mercados consumidores principais (n = 3) Pernambuco, Paraba e Rio Grande do Norte. O custo unitrio de se transportar uma unidade do produto de cada centro de produo a cada mercado consumidor dado na tabela a seguir. Nessa tabela tambm so apresentadas as demandas de cada mercado e a quantidade mxima disponvel do produto em cada centro de produo no prximo perodo.

    Dados para o problema de transporte da companhia de bebidas Mercado

    Centro de suprimento Pernambuco Paraba Rio G. Norte Suprimento disponvel Recife 4 2 5 800 Natal 11 7 4 1000 Demanda dos mercados 500 400 900

    Determinar as quantidades a ser transportadas de cada centro de produo para os mercados com o mnimo custo.

    Soluo:

    ijX Quantidade do produto a ser enviada do centro de produo i, i = 1 (Recife), 2 (Natal), ao mercado j, j =

    1 (Pernambuco), 2 (Paraba), 3 (Rio G. Norte).

    mn 232221131211 X4X7X11X5X2X4C

    s.a.

    0X,0X,0X,0X,0X,0X

    900XX

    400XX

    500XX

    1000XXX

    800XXX

    232221131211

    2313

    2212

    2111

    232221

    131211

    Leitura recomendada

    Arenales, MARCOS. & et al. PESQUISA OPERACIONAL. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. Cap. 2, pg. 21 a 26.

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 15

    APLICAES DE PROGRAMAO LINEAR: PLANEJAMENTO DA PRODUO Problemas de mix de produo, isto , fabricao de diversos produtos, aparecem em vrias situaes reais e envolvem decidir quais produtos e quanto fabricar de cada produto em um perodo. Tendo em vista a capacidade limitada da produo (mquinas, recursos humanos, capital, armazenagem etc.) e os diversos produtos que a empresa pode fabricar e vender; deseja-se determinar quais fabricar de cada produto, de modo a maximizar a margem de contribuio ao lucro da empresa.

    Formulao matemtica do problema de transporte n Nmero de produtos diferentes fabricados m Nmero de recursos utilizados na fabricao do produto

    jX Quantidade, no negativa, do produto j, j=1,2,...,n, a ser produzida em um perodo do

    planejamento (por exemplo, um ms)

    iC Capacidade do recurso i, i = 1, 2, ..., m, disponvel no perodo

    ija Unidades do recurso i consumidas para a produo de uma unidade do recurso j

    jd Produo mnima do produto j, que precisa ser realizada no perodo, devido aos pedidos em

    carteira e a uma poltica de estoque mnimo para preservao do produto no mercado.

    jv Produo mxima do produto j, que precisa ser realizada no perodo, para atender a

    demanda estimada pelo departamento de vendas.

    jl Lucro contribudo de cada unidade do produto j para a empresa.

    Maximizar n

    1j

    jjXlL

    s.a.

    n..., 1, j vXd

    m ..., 1, i CXa

    jjj

    i

    n

    1j

    jij

    Exemplo Um fabricante de geladeiras precisa decidir quais modelos deve produzir em uma nova fbrica recentemente instalada. O departamento de marketing e vendas realizou uma pesquisa de mercado que indicou que, no mximo, 1.500 unidades do modelo de luxo e 6.000 unidades do modelo bsico podem ser vendidas no prximo ms. A empresa j contratou um certo nmero de empregados e, com isso, dispe de uma fora de trabalho de 25.000 homens-hora por ms. Cada modelo de luxo requer dez homens-hora e cada modelo bsico requer oito homens-hora para ser montado. Alm disso, uma mesma linha de montagem compartilhada pelos dois modelos e considere que a capacidade de produo desta linha seja de 4.500 geladeiras por ms. O lucro unitrio do modelo de luxo de $100,00, e do modelo bsico de $50,00. Deseja-se determinar quanto produzir de cada modelo de modo a maximizar o lucro da empresa.

    Soluo:

    jX Quantidade de geladeiras do tipo j produzida durante o ms, j = 1 (luxo) e 2 (bsico).

    mx 21 X50X100L

    s.a.

    000.6X0 e 500.1X0

    500.4XX

    000.25X8X10

    21

    21

    21

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 16

    TCNICA DE SOLUO PARA MODELOS DE PROGRAMAO LINEAR COM

    DUAS VARIVEIS DE DECISO MTODO GRFICO Exemplo 1 Resolver o problema de programao linear:

    Minimizar 21 X3X2C

    s.a.

    0X e 0X

    8X

    10XX5

    5XX

    21

    1

    21

    21

    Soluo: a) Construir a regio de solues das restries:

    5XX 21 Se 1X = 0, ento 0 + 2X = 5

    Se 2X = 0, ento 0 + 1X = 5

    10XX5 21 Se 1X = 0, ento 5 0 + 2X = 10 ou 2X = 10

    Se 2X = 0, ento 5 1X +0 = 10 ou 1X = 2

    8X1 A representao grfica uma reta paralela ao eixo 2X pelo ponto 1X = 8

    Grfico:

    Tomando-se o ponto (5,5) para o teste da regio de soluo de cada uma das inequaes

    temos, substituindo os valores 1X = 5 e 2X =5:

    5XX 21 , ento 5 + 5 5 ou 10 5, a desigualdade verdadeira

    10XX5 21 , ento 5 5 + 5 10 ou 30 10, a desigualdade verdadeira.

    8X1 , substituindo 1X = 8, teremos 5 8, a desigualdade verdadeira.

    b) Avaliar o desempenho da funo objetivo. Arbitraremos dois valores para C, por exemplo: C = 12 e C = 18. Para C = 12, teremos:

    12X3X2 21 Se 1X = 0, ento 2 0 + 3 2X = 12 ou 2X = 4

    Se 2X = 0, ento 2 1X + 3 0 = 12 ou 1X = 6

    Para C = 18, teremos:

    18X3X2 21 Se 1X = 0, ento 2 0 + 3 2X = 18 ou 2X = 6

    Se 2X = 0, ento 2 1X + 3 0 = 18 ou 1X = 9

    c) Concluso. medida que diminumos o valor de C, obtemos retas paralelas mais prximas da origem. Portanto, o ponto da regio de solues com o menor valor de C o ponto (5,0). Ponto de mnimo:

    1X = 5, 2X = 0. Valor de mnimo = 2 5 + 3 0 = 10

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 17

    Exemplo 2 Resolver o problema de programao linear:

    Maximizar 21 X3X2L

    s.a.

    0X e 0X

    12XX

    60X6X4

    21

    21

    21

    Soluo: a) Construir a regio de solues das restries:

    60X6X4 21 Se 1X = 0, ento 6 2X = 60 ou 2X = 10

    Se 2X = 0, ento 4 1X = 60 ou 1X = 15

    12XX 21 Se 1X = 0, ento 2X = 12

    Se 2X = 0, ento 1X = 12

    Grfico:

    Tomando-se o ponto (15,12) para o teste da regio de soluo de cada uma das inequaes

    temos, substituindo os valores 1X = 15 e 2X =12:

    60X6X4 21 , ento 4 15 + 6 12 60 ou 132 60, o que falso.

    12XX 21 , ento 15 + 12 12 ou 27 12, a desigualdade verdadeira.

    b) Avaliar o desempenho da funo objetivo. Arbitraremos dois valores para L, por exemplo: L = 24 e L = 45. Para L = 24, teremos:

    24X3X2 21 Se 1X = 0, ento 2 0 + 3 2X = 24 ou 2X = 8

    Se 2X = 0, ento 2 1X + 3 0 = 24 ou 1X = 12

    45X3X2 21 Se 1X = 0, ento 2 0 + 3 2X = 45 ou 2X = 15

    Se 2X = 0, ento 2 1X + 3 0 = 45 ou 1X = 22,5

    c) Concluso.

    Conclumos que L atinge o maior valor na regio de solues sobre a reta 60X6X4 21 .

    Portanto, todos os pontos do segmento a partir do ponto de equilbrio so solues timas do

    modelo. Ponto de mximo: 1X = 15, 2X = 0. Valor de mximo = 2 15 + 3 0 = 30

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 18

    TCNICA DE SOLUO PARA MODELOS DE PROGRAMAO LINEAR COM

    DUAS VARIVEIS DE DECISO MTODO SIMPLEX Exemplo 1 Resolver o problema de programao linear:

    Maximizar 21 X5X3L

    s.a.

    0X e 0X

    18X2X3

    6X

    4X

    21

    21

    2

    1

    Soluo: 1 Iterao Passo 1: Introduo da varivel de folga

    Maximizar 54321 X0X0X0X5X3L

    s.a.

    0X e 0X

    18XX2X3

    6XX

    4XX

    21

    521

    42

    31

    Passo 2: Montagem da matriz de clculos

    BASE 1X 2X 3X 4X 5X b

    3X 1 0 1 0 0 4

    4X 0 1 0 1 0 6

    5X 3 2 0 0 1 18

    L -3 -5 0 0 0 0

    Soluo: 018060400503L Passo 3: Transformao da matriz (varivel que deve entrar e a que deve sair da base):

    Entrar: 2X , por ter o maior valor negativo na linha (L)

    Sair: 4X , Por ter o menor quociente na diviso b/ 2X

    Nova matriz: Zerar os valores da coluna 2X , com exceo da linha pivor (segunda)

    BASE 1X 2X 3X 4X 5X b

    3X 1 0 1 0 0 4

    2X 0 1 0 1 0 6

    5X 3 0 0 -2 1 6

    L -3 0 0 5 0 30

    Soluo: 306000406503L 2 Iterao Passo 3: Transformao da matriz (varivel que deve entrar e a que deve sair da base):

    Entrar: 1X , por ter o maior valor negativo na linha (L)

    Sair: 5X , Por ter o menor quociente na diviso b/ 1X

    Nova matriz: Zerar os valores da coluna 1X , com exceo da linha pivor (terceira)

    BASE 1X 2X 3X 4X 5X b

    3X 0 0 1 32 31 2

    2X 0 1 0 1 0 6

    1X 1 0 0 32 31 2

    L 0 0 0 3 1 36

    Soluo: 360000206523L

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 19

    MTODO SIMPLEX: EXERCCIOS Exerccio 1 Resolver o problema de programao linear:

    Maximizar 21 X3X9L

    s.a.

    0X e 0X

    24X3X2

    14X1X2

    21

    21

    21

    Soluo: 1 Iterao Passo 1: Introduo da varivel de folga

    Maximizar 4321 X0X0X3X9L

    s.a.

    0X e 0X

    24XX3X2

    14XX1X2

    21

    421

    321

    Passo 2: Montagem da matriz de clculos

    BASE 1X 2X 3X 4X b

    3X 2 1 1 0 14

    4X 2 3 0 1 24

    L -9 -3 0 0 0

    Soluo: 02401400309L Passo 3: Transformao da matriz (varivel que deve entrar e a que deve sair da base):

    Entrar: 1X , por ter o maior valor negativo na linha (L)

    Sair: 3X , Por ter o menor quociente na diviso b/ 2X

    Nova matriz: Zerar os valores da coluna 1X , com exceo da linha pivor (segunda)

    BASE 1X 2X 3X 4X b

    1X 1 21 21 0 7

    4X 0 2 -1 1 10

    L 0 23 29 0 63

    Soluo: 63100000379L Exemplo 2 Resolver o problema de programao linear, pelo mtodo simplex:

    Maximizar 321 X1X5X3L

    s.a.

    0X e 0X ,0X

    6X2

    24X2X6

    16X1X4X2

    321

    2

    21

    321

    Soluo: 1 Iterao Passo 1: Introduo da varivel de folga

    Maximizar 654321 X0X0X0X1X5X3L

    s.a.

    0X e 0X ,0X

    6XX2

    24XX2X6

    16XX1X4X2

    321

    62

    521

    4321

  • Pesquisa Operacional em Administrao Mdulo 1 Pgina 20

    Passo 2: Montagem da matriz de clculos

    BASE 1X 2X 3X 4X 5X 6X B

    4X 2 4 1 1 0 0 16

    5X 6 2 0 0 1 0 24

    6X 0 2 0 0 0 1 6

    L -3 -5 -1 0 0 0 0

    Soluo: 060240160010503L Passo 3: Transformao da matriz (varivel que deve entrar e a que deve sair da base):

    Entrar: 2X , por ter o maior valor negativo na linha (L)

    Sair: 6X , Por ter o menor quociente na diviso b/ 2X

    Nova matriz: Zerar os valores da coluna 2X , com exceo da linha pivor (segunda)

    BASE 1X 2X 3X 4X 5X 6X B

    4X 2 0 1 1 0 -2 4

    5X 6 0 0 0 1 -1 18

    2X 0 1 0 0 0 21 3

    L -3 0 -1 0 0 25 15

    Soluo: 150018040013503L 2 Iterao Passo 3: Transformao da matriz (varivel que deve entrar e a que deve sair da base):

    Entrar: 1X , por ter o maior valor negativo na linha (L)

    Sair: 4X , Por ter o menor quociente na diviso b/ 1X

    Nova matriz: Zerar os valores da coluna 1X , com exceo da linha pivor (terceira)

    BASE 1X 2X 3X 4X 5X 6X B

    1X 1 0 21 21 0 -1 2

    5X 0 0 -3 -3 1 5 6

    2X 0 1 0 0 0 21 3

    L 0 0 21 23 0 - 21 21

    Soluo: 21006000013523L 3 Iterao Passo 3: Transformao da matriz (varivel que deve entrar e a que deve sair da base):

    Entrar: 6X , por ter o maior valor negativo na linha (L)

    Sair: 5X , Por ter o menor quociente na diviso b/ 1X

    Nova matriz: Zerar os valores da coluna 1X , com exceo da linha pivor (terceira)

    BASE 1X 2X 3X 4X 5X 6X B

    1X 1 0 -1/10 -1/10 1/5 0 16/5=3,2

    6X 0 0 -3/5 -3/5 1/5 1 6/5=1,2

    2X 0 1 3/10 3/10 -1/10 0 12/5=2,4

    L 0 0 1/5 6/5 1/10 0 108/5=21,

    6

    Soluo: 6,212,100000014,252,33L