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  • PESQUISAOPERACIONAL

    no ambientede gesto

    PESQUISAOPERACIONAL

    Iniciao

    no ambientede gesto

    Marcos Antonio BarbosaRicardo Alexandre D. Zanardini

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    A pesquisa operacional (PO) uma cincia aplicada que nos oferece instrumentos para resolver problemas reais, tomar decises baseadas em dados e correlaes quan-titativas, conceber, planejar e operar sistemas fazendo uso da tecnologia.

    Na prtica, a PO fornece s empresas, aos estudantes e aos profissionais em geral uma srie de mtodos para diminuir custos, aumentar lucros e, principalmente, encontrar a melhor soluo para uma situao que envolva clculos decisivos na vida de uma organizao.

    Ideal para quem atua nas reas de administrao de empresas e engenharia, este livro uma ferra-menta para quem deseja aprender, de maneira dinmica e direta, a ler, entender e formular problemas de forma sistemtica e racional, para, dessa forma, aplicar os conhecimentos adquiri-dos em sua prtica profissional.

    2 ed. rev., atual. e ampl.

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  • O selo dialgica da Editora InterSaberes faz referncia s publicaes que privilegiam uma linguagem na qual o autor dialoga com o leitor por meio de recursos textuais e visuais, o que torna o contedo muito mais dinmico. So livros que criam um ambiente de interao com o leitor seu universo cultural, social e de elaborao de conhecimentos , possibilitando um real processo de interlocuo para que a comunicao se efetive.

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  • Marcos Antonio Barbosa

    Ricardo Alexandre D. Zanardini

    Iniciao pesquisa operacional no ambiente de gesto

    2a edio revista, atualizada e ampliada

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  • Conselho Editorial

    Dr. Ivo Jos Both (presidente)

    Dra. Elena Godoy

    Dr. Nelson Lus Dias

    Dr. Ulf Gregor Baranow

    Editor-chefe

    Lindsay Azambuja

    Editor-assistente

    Ariadne Nunes Wenger

    Capa

    Roberto Querido

    Projeto Grfico

    Bruno Palma e Silva

    Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

    Informamos que de inteira responsabilidade dos autores a emisso de conceitos. Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prvia autorizao da Editora InterSaberes.A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei n 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Cdigo Penal.

    Barbosa, Marcos Antonio Iniciao pesquisa operacional no ambiente de gesto [livro eletrnico]/Marcos Antonio Barbosa, Ricardo Alexandre D. Zanardini. 2. ed. rev., atual. e ampl. Curitiba: InterSaberes, 2014. 2 Mb; PDF

    Bibliografia. ISBN 978-85-8212-916-6

    1. Pesquisa operacional 2. Processo decisrio Modelos matemticos 3. Programao linear 4. Tomada de deciso I. Zanardini, Ricardo Alexandre D. II. Ttulo.

    13-08422 CDD 658.403

    ndice para catlogo sistemtico:

    1. Tomada de decises: Pesquisa operacional:Administrao de empresas 658.403

    Foi feito o depsito legal.

    1 ed., 2012.2 ed. rev., atual. e ampl, 2014.

    Av. Vicente Machado, 317 14o andarCentro CEP 80420-010 Curitiba PR BrasilFone: (41) 2103-7306www.editoraintersaberes.com.breditora@editoraintersaberes.com.br

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  • 5Apresentao 6

    Como aproveitar ao mximo este livro 8

    1. Os subsdios da pesquisa operacional para o processo de tomada de decises 11

    2. A programao linear no contexto da pesquisa operacional 25

    3. O mtodo simplex e variantes 41

    4. Utilizao do WinQSB na resoluo de problemas de programao linear 65

    5. A pesquisa operacional (PO) e os problemas de otimizao em redes 75

    6. Utilizao do WinQSB na resoluo de problemas de otimizao em redes 113

    7. Introduo anlise de sensibilidade e simulao 125

    8. Matrizes 147

    Para concluir... 163

    Referncias 165

    Respostas 167

    Sobre os autores 171

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  • 6Este livro direcionado, principalmente, para os cursos de tecnologia que tenham em seu campo de abrangncia a noo e a preparao de mtodos cientficos para a anlise de situa-es complexas (inseridas no contexto empresarial) e a tomada de decises sobre elas.

    Voc ver, no transcorrer deste estudo, bem como de suas atividades profissionais, que a pes-quisa operacional (PO) cada vez mais til no mbito dos processos e dos mtodos destinados customizao e otimizao em contextos reais, como produo, armazenagem, distribuio e planejamento.

    A PO amplamente utilizada pelas diversas reas do conhecimento, como agricultura, finan-as, marketing, meio ambiente, servios pblicos e, em especial, engenharia da produo, que emprega muito esse recurso para a compreenso de caractersticas de sistemas complexos de modelos matemticos para desenvolvimento de simulaes, as quais consistem em diversos mtodos de resoluo, na busca da soluo tima.

    Neste livro, propomo-nos a, de maneira simples, iniciar voc, tecnlogo, na compreenso dos resultados mostrados pela PO por meio de mtodos especficos, para instru-lo ou subsidi-

    -lo para a tomada de decises.

    Deixamos para voc, como tarefa de pesquisa, a abordagem histrica da criao da PO, suas diversas vertentes e os cenrios de sua origem.

    No primeiro captulo, mostraremos a influncia da PO nos processos de tomada de deciso

    nas organizaes por meio do uso dos modelos matemticos, para que voc possa ter uma ideia da importncia dessa ferramenta nos mbitos estratgico, ttico e operacional. No se-gundo captulo, apresentaremos o contexto algbrico da programao linear (PL), com as ca-racterizaes de funes e de restries na busca pela otimizao de resultados, bem como examinaremos as restries de problemas de PL por meio da interpretao geomtrica com a

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  • 7respectiva demonstrao. Daremos continuidade a essa tratativa no terceiro captulo, com a exposio do mtodo simplex e dos seus rearranjos para as diversas situaes, destacando a necessidade de observar nesse processo fatores especficos de cada circunstncia e aspectos

    prprios que sejam inerentes sua aplicao.

    Na sequncia, no quarto captulo, enfocaremos a resoluo de problemas de PL por meio do software WinQSB. Finalizando, no quinto captulo, mostraremos o uso da PO na resoluo dos problemas de transportes e de redes, e a respectiva resoluo de problemas por meio do WinQSB ser abordada no sexto captulo. As concepes sobre anlise de sensibilidade e so-bre os processos de simulao sero tratados no stimo captulo. Como adendo, apresenta-remos no oitavo captulo uma abordagem sobre o conhecimento matemtico matricial (por se tratar de prerrequisito abordagem de PO). Isso ser feito a ttulo de rememorao, pois esse contedo serve de fundamentao, de base, para a resoluo algbrica de problemas de PO no contexto da modelagem matemtica.

    Esta obra, alm de conceitos essenciais, traz diversos exerccios resolvidos e para resolver. Essa foi a metodologia pela qual optamos (com exemplos e contextualizaes), com o objetivo de apresentar o passo a passo inicial da PO para voc que no da rea das cincias matemti-cas. Alm disso, com essa abordagem, a inteno facilitar a visualizao dos procedimentos operacionais e a compreenso da importncia do uso de tal ferramenta. Destacamos tratar-se aqui de uma abordagem introdutria. Voc poder, com base neste estudo, pesquisar e am-pliar o seu entendimento, principalmente com conhecimentos advindos do manuseio de pro-gramas como o Microsoft Office Excel, o Linear Interactive and Discret Optimizer (Lindo), o Language for Interactive General Optimizer (Lingo) e o Quantitative System for Business (WinQSB).

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  • 8Como aproveitar ao mximo este livro

    Logo na abertura do captulo, voc fica conhecendo os contedos que sero nele abordados. Voc tambm informado a respeito das competncias que ir desenvolver e dos conheci-mentos que ir adquirir com o estudo do captulo.

    Ao longo do livro, h uma srie de exerccios resolvidos para facilitar a compreenso dos captulos.

    34

    Captulo 2

    es de no negatividade. Elas ocorrem por que no podemos ter quantida-des negativas de produtos ou de recursos.

    Exerccio resolvidoVamos formular um exemplo de fcil percepo para a formulao do mo-delo matemtico chamado de forma-padro.

    Vamos considerar na formulao matemtica do modelo-padro uma em-presa de artefatos de madeira que fabrica:

    seis porta-trecos por hora, se fizer somente os porta-trecos;

    quatro potes de madeira para armazenar mantimentos, se fizer so- mente potes.

    Ocorre que nessa produo a empresa gasta:

    duas unidades de madeira para fabricar uma unidade de porta-trecos;

    duas unidades de madeira para fabricar uma unidade de pote de madeira.

    Sabemos que o total de disponvel de madeira seis unidades e que o lucro unitrio por porta-trecos de madeira R$ 2,80, enquanto o lucro uni-trio dos potes de R$ 5,00.

    Diante dessa situao, quanto devemos produzir de porta-trecos ou de potes de madeira de modo a maximizar o lucro por hora da empresa?

    Resoluo

    Primeiro passo Identificamos as variveis que queremos encontrar, ou seja, as variveis que nos permitiram alcanar o objetivo do problema, nomeando-as:

    1x quantidade produzida de porta-trecos;

    2x quantidade produzida de potes de madeira.

    Segundo passo Procuramos identificar a funo objetivo do problema.

    Se formos maximizar, usamos a simbologia Z(mx) ou max z. Lembrando

    que essa simbologia deve ser seguida do sinal de igual por ser uma equa-o. Assim, na montagem da funo objetivo, somamos a multiplicao das variveis identificadas pelos respectivos valores das receitas. Vejamos:

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  • 9Nesta seo, os autores respondem a dvidas frequentes relacionadas aos contedos do captulo.

    Voc dispe, ao final do captulo, de uma sntese que traz os principais conceitos nele abordados.

    24

    Captulo 1

    a teoria dos grafos, tcnica que direcionada para os fluxos mximos, o caminho mais curto, a roteirizao de caminhos para veculos, o planejamento e programao de projetos PERT e CPM;

    a simulao, que atua com modelos representativos analisando o comportamento de variveis e abrangendo situaes que favorecem lei do acaso, sendo otimizadas. Como exemplo podemos falar so-bre a simulao de Monte Carlo;

    a teoria dos jogos, a qual se baseia em estratgias para persuaso e tomada de deciso.

    Voc pode usar todas essas tcnicas para o estudo do problema e obteno de dados quantificados como subsdios para tomar decises na empresa. No entanto, em nosso estudo, iremos privilegiar a PL, a qual veremos no prximo captulo.

    SnteseO uso de ferramentas quantitativas que ofeream subsdios objetivos para a atividade de gerenciamento foi o enfoque que privilegiamos neste captulo. Nesse contexto, a PO apresenta-se como uma cincia prtica. Ela estabelece parmetros decisrios confiveis, nos quais considera fatores e cenrios dos problemas e estabelece, atravs de modelos matemticos, a possibilidade de visualizarmos as possveis solues para situaes cujas variveis, restries e funes objetivo so lidas a partir de clculos. Clculos estes modelados a partir das fases de estruturao do problema. Por isso tambm necessrio que voc tenha clareza sobre o que seja mtodo, sistema e soluo tima (conceitos que desenvolvemos neste estudo). Assim, poder aproveitar esse instrumental nos processos de tomada de deciso.

    Perguntas & respostas

    O que mtodo?

    Iremos recorrer ao Dicionrio Houaiss da lngua portuguesa (Houaiss; Villar, 2009), o qual apresenta vrias definies com diferentes abran-gncias e estabelece reas de referncia para o significado do termo.

    Encontramos, por exemplo, que mtodo procedimento, tcnica ou meio de fazer alguma coisa, especialmente de acordo com um pla-no. Na rea filosfica, quando falamos em mtodo, referimo-nos a

    um conjunto sistemtico de regras e procedimentos que, se respeita-dos em uma investigao cognitiva, conduzem-na verdade. E voc, o que entende sobre mtodo?

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  • 10

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    Os subsdios da pesquisa operacional para o processo de tom

    ada de decises

    1. Em relao s fases da pesquisa operacional, assinale (V) para verdadei-ro e (F) para falso:

    ( ) Construo e alterao do modelo.

    ( ) Estabelecimento e controle das solues.

    ( ) Clculo do modelo.

    ( ) Consulta aos operrios.

    ( ) Teste do modelo e da soluo.

    ( ) Compra de software.

    ( ) Formulao do problema.

    ( ) Implantao e acompanhamento.

    2. Em relao aos passos, para analisar um problema de PO preciso:

    I) Analisar os investimentos financeiros.

    II) Verificar as variveis de deciso.

    III) Levantar as restries e fazer a definio da funo objetivo.

    IV) Identificar os parmetros.

    Assinale a alternativa verdadeira:

    a) Apenas as afirmativas I e III esto corretas.

    b) Apenas as afirmativas I e IV esto corretas.

    c) Todas as afirmativas esto corretas.

    d) Apenas a afirmativa IV est incorreta.

    3. Assinale a alternativa correspondente aos fatores que interferem na tomada de deciso:

    a) Importncia; agentes; risco; ambiente; conflitos.

    b) Importncia; diagnstico; risco; ambiente; conflitos.

    c) Importncia; agentes; risco; legislao; conflitos.

    Com estas atividades, voc tem a possibilidade de rever os principais conceitos analisados. Ao final do livro, os autores disponibilizam as respostas s questes, a fim de que voc possa verificar como est sua aprendizagem.

    Para saber mais

    GOMIDE, F. Algoritmos numricos de busca em otimizao. Contedo para a aula de Planejamento e Anlise de Sistemas de Produo da Faculdade de Engenharia Eltrica e de Computao da Unicamp. Disponvel em: . Acesso em: 20 nov. 2009.Nesse material, voc encontra um excelente resumo sobre algoritmos de busca, aplicaes, problemas de maximizao e minimizao, bem como sobre o mtodo BIG-M.

    Voc pode consultar as obras indicadas nesta seo para aprofundar sua aprendizagem.Ne

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  • 12

    Captulo 1

    Contedos do captulo

    Contexto de aplicao da pesquisa operacional. Passos para estruturar uma pesquisa operacional. Ferramentas matemticas de modelagem de uma pesquisa operacional.

    Aps o estudo deste captulo, voc ser capaz de:

    1. reconhecer uma situao-problema;2. aplicar os passos de elaborao de uma pesquisa operacional;3. tomar decises com o uso dessa ferramenta.

    Ao nos acompanhar neste estudo, voc ir verificar que a programao linear (PL) uma

    das mais importantes tcnicas de otimizao da pesquisa operacional (PO), contexto no qual muitos problemas podem ser descritos como problemas de otimizao sujeitos a determina-das restries.

    Portanto, para que voc tenha uma melhor compreenso do ambiente de uso da PL, impor-tante que tenha claro o que a PO. Muitos autores a definem, de modo geral, como um m-todo para a tomada de decises.

    Para Loesch e Hein (2009, p. 1), a PO se classifica como uma cincia do conhecimento. Eles afirmam que ela como cincia estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas e

    aes, fazendo a previso e a comparao de valores, de eficincia e custos.

    J de acordo com a concepo de Silva et al. (2008, p. 11), a PO se constitui em um sistema: consiste na descrio de um sistema organizado com o auxlio de um modelo, e atravs da experimentao com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema.

    Preferimos dizer que a PO uma ferramenta matemtica que auxilia no processo de tomadas de deciso em situaes reais. Para isso, utilizamos modelos matemticos estruturados em fases.

    Estamos falando em modelos e mtodos. O que isso significa?

    Perguntas & respostas

    O que mtodo?

    Iremos recorrer ao Dicionrio Houaiss da lngua portuguesa (Houaiss; Villar, 2009), o qual apre-senta vrias definies com diferentes abrangncias e estabelece reas de referncia para

    o significado do termo. Encontramos, por exemplo, que mtodo procedimento, tcnica

    ou meio de fazer alguma coisa, especialmente de acordo com um plano. Na rea filosfica,

    quando falamos em mtodo, referimo-nos a um conjunto sistemtico de regras e procedi-mentos que, se respeitados em uma investigao cognitiva, conduzem-na verdade. E voc, o que entende sobre mtodo?

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    Os subsdios da pesquisa operacional para o processo de tom

    ada de decises

    Podemos dizer que a PO uma cincia aplicada. Ela nos oferece, de acordo com Lisboa (2002), instrumentos para:

    resolver problemas reais;

    tomar decises com base em dados e correlaes quantitativos;

    conceber, planejar e operar sistemas fazendo uso de tecnologia e mtodos de outras esferas do conhecimento;

    diminuir os custos e aumentar o lucro;

    encontrar a soluo tima.

    Perguntas & respostas

    O que uma soluo tima?

    Podemos dizer que aquela que melhor serve aos objetivos das pessoas e das organizaes. Como exemplo, podemos citar o propsito de encontrar o lucro mximo ou o custo mnimo.

    A PO bastante empregada como ferramenta nos processos de tomada de decises no en-frentamento de problemas dos ambientes de negcios ( este o seu aspecto que destacamos neste estudo). Por sua vez, os principais instrumentos que a PO utiliza so oriundos dos co-nhecimentos matemticos, estatsticos e de informtica.

    Voc ir constatar, no transcorrer deste nosso estudo, que se trata da utilizao da modela-gem matemtica aplicada rea de realizao de negcios e rea empresarial, consideran-do-se tanto o setor privado como o setor pblico. Nesse sentido, Lachtermacher (2009, p. 2) relaciona uma srie de situaes na qual a PO pode ajudar no processo de deciso. So elas:

    problemas de otimizao de recursos;

    problemas de localizao;

    problemas de roteirizao;

    problemas de carteiras de investimentos;

    problemas de alocao de pessoas;

    problemas de previso de planejamento;

    problemas de alocao de verbas de mdia.

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    Nessa atividade1, necessrio realizarmos procedimentos no sentido de organizarmos os dados coletados em sistemas computacionais (SIG) para usurios de outras reas, portanto, no tcnicos, a fim de que sejam teis no apoio ao processo gerencial de tomada de decises.

    Perguntas & respostas

    O que significa SIG?

    No nosso caso, quando falamos em SIG, estamos nos referindo aos sistemas de infor-maes gerenciais. Essa sigla tambm um acrnimo de SIG Sistemas de Informao Geogrfica; no devemos confundir uma com a outra. Os sistemas de informaes ge-renciais interligam e consolidam informaes operacionais, bem como dados anteriores dos procedimentos similares, fornecendo, dessa forma, um suporte quantitativo e qua-litativo para as tomadas de decises. Para resumir, podemos dizer, conforme definio

    bastante objetiva encontrada no site do Cepromat (2009), que se constitui no processo de transformao de dados em informaes. E, quando esse processo est voltado para a ge-rao de informaes que so necessrias e utilizadas no processo decisrio da empresa, diz-se que esse um sistema de informaes gerenciais.

    Os procedimentos de PO em uma organizao abrangem, interligam e beneficiam todos os

    nveis, ou seja, auxiliam as decises nos mbitos estratgico, ttico e operacional. Esses trs nveis de uma organizao correspondem respectivamente, conforme Sertek, Guindani e Martins (2009), atuao daqueles que definem o rumo da empresa (diretores, assessores), s

    aes de quem atua na liderana e no comando da execuo das atividades (coordenadores, supervisores) e, por fim, atuao dos que executam propriamente as tarefas.

    1.1 Mas por que precisamos tomar decises?

    Obviamente, essa uma condio da vida humana. Constantemente somos chamados a to-madas de decises, desde a escolha do supermercado at a compra de um carro ou a cor de uma roupa, entre tantas outras.

    No entanto, nosso estudo direcionado para questes do ambiente organizacional. Esse o marco que delimita nossa abordagem. Mas, como em qualquer situao da vida, esse tema apresenta variveis, as quais caracterizam as situaes-problema.

    1 O enfoque de PO que apresentamos nesta obra est inserido na Management Sciences (MS). Conforme explica Lachtermacher (2009, p. 2), esta a rea de estudos que utiliza computadores, estatstica e matemtica para resolver problemas de negcios.

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    Os subsdios da pesquisa operacional para o processo de tom

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    Afinal, quais so os problemas? Voc ver, na continuidade, por meio dos exemplos, que os problemas so situaes que a organizao precisa resolver para dar seguimento aos seus propsitos ou para atingir seus objetivos.

    Diante desses problemas, encontramos fatores que interferem nos processos de tomada de deciso e que, quando estamos na condio de gerenciar a situao, precisam ser considera-dos. Veja no Quadro 1.1.

    Quadro 1.1 Fatores e cenrios que interferem na tomada de deciso

    Fatores Cenrios

    ImportnciaEst relacionada ao impacto que a deciso pode provocar na organizao (ganhos ou prejuzos).

    AgentesO nmero de decisores, individual ou em grupo, simplifica ou torna mais

    complexo o processo.

    Risco As certezas ou as incertezas influenciam nossas decises.

    AmbienteSo aspectos sociais e culturais que interferem no processo decisrio.

    ConflitosSurgem em funo de choques de interesses entre setores de uma organiza-o ou entre decisores.

    Fonte: Elaborado com base em Lachtermacher, 2009, p. 4.

    nesse contexto que os modelos utilizados em PO representam uma ferramenta altamente qualificvel para o nosso trabalho de gesto, em todos os mbitos gerencial, estratgico ou

    operacional , pois, alm de fornecerem subsdios para uma deciso individual, facilitam a comunicao entre os decisores, entre os vrios setores de uma organizao (quando da de-ciso em grupo) e permitem quantificar as variveis envolvidas na deciso. Portanto, tornam

    o processo de tomada de deciso objetivo2.

    1.2 Para que serve a modelagem?

    A modelagem apresenta processos que so usados em vrias situaes. Entretanto, vamos nos focar no estudo dos problemas que requerem uma soluo, uma deciso. Nessa cir-cunstncia, voc pode fazer a modelagem da situao para realizar vrias simulaes dos possveis panoramas que iro configurar-se diante de determinadas alternativas e, assim, visu-alizar as consequncias de uma tomada de deciso. Portanto, podemos dizer que a modelagem oferece diretrizes para as decises nos vrios mbitos da organizao, ou seja, a modelagem oferece informaes para chegarmos melhor deciso ou melhor soluo para o problema.

    2 O termo objetivo usado aqui no sentido que lhe d o Dicionrio Houaiss da lngua portuguesa em sua terceira notao, isto : diz-se do que est no campo da experincia sensvel independentemente do pensamento individual e perceptvel por todos os obser-vadores (Houaiss; Villar, 2009).

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    Captulo 1

    Voc deve estar se perguntando se no foi sempre assim. No, a elaborao de modelos tor-nou-se vivel a partir das inovaes tecnolgicas, ou seja, da disponibilidade de bancos de dados, microcomputadores, entre outros instrumentos atualmente disponveis. Surgiu, assim, uma nova condio para o gerenciamento de problemas ou para a gesto das organizaes. Conforme Lachtermacher (2009), deixamos de lado a intuio (instrumento anterior dos res-ponsveis pelas decises) e passamos a utilizar somente os modelos de situaes, criados a partir da seleo dos dados relevantes e da simulao das possveis solues.

    Todavia, na opinio do referido autor, com a qual concordamos, a postura de abandono da intuio no a melhor escolha. O recomendvel unir as duas fontes de informaes e uti-lizar a intuio como ferramenta auxiliar nos processos de:

    classificao da relevncia da informao, a fim de utiliz-la ou no;

    escolha dos cenrios a serem estudados;

    validao do modelo sugerido para a situao;

    anlise dos resultados dos estudos.

    possvel percebermos nessa descrio operacional (reveladora da interferncia do aspecto subjetivo) que, se, de fato, atribuirmos apenas aos dados da modelagem a responsabilidade pela deciso, estaremos negando a capacidade humana de anlise e de ponderao sobre os fatos. Veja essa dinmica de interao entre os modelos utilizados em PO e a intuio do de-cisor na Figura 1.1.

    Figura 1.1 Processo de tomada de deciso

    Mundo real

    Situaogerencial

    Mundo simblico

    Modelo Resultado Decises

    Intuio

    Fonte: Lachtermacher, 2009, p. 3.

    Voc pode acompanhar na figura, pela direo das setas, a concepo que reserva para a in-tuio a funo de selecionar aspectos do modelo que forem considerados pertinentes, bem como a de validar perspectivas de resultados. Observe que, enquanto todo o processo ocor-re no espao do chamado mundo real (inclusive o mundo simblico), a intuio situa-se fora de tal espao.

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    Os subsdios da pesquisa operacional para o processo de tom

    ada de decises

    Uso de modelos em PO

    No que se refere aos modelos, voc pode encontrar na literatura e na prtica de gesto trs ti-pos: os fsicos3, os anlogos e os matemticos ou simblicos. No entanto, neste estudo, quan-do nos referimos a modelos, estamos tratando dos modelos matemticos, que so os mais utilizados nas atividades gerenciais.

    Considerando a necessidade de quantificar informaes, Lachtermacher (2009) descreve as

    caractersticas fundamentais dos modelos matemticos:

    as grandezas so representadas por variveis de deciso;

    as relaes entre as variveis so apresentadas por expresses matemticas.

    O que ocorre o seguinte: no processo de enunciao do problema e resoluo para encon-trar a soluo tima, aplicamos a modelagem, ou seja, procuramos definir os aspectos que

    nos permitem delinear (no caso de programao linear, inteira, mista ou no linear) as se-guintes condies:

    Variveis do problema So os fatores que voc quer controlar e aqueles que voc de-seja saber quanto valem. So esses os elementos que iro representar as variveis de deciso (incgnitas encontradas na soluo do modelo).

    Parmetros do problema Correspondem aos valores fixos do problema. Normalmente, so valores financeiros dos dados ou das variveis que se apresentam no problema, co-mo o custo fixo para a produo de um determinado produto.

    Restries Voc as encontra em razo das prprias variveis do problema. So aque-les aspectos que limitam as combinaes e consequentemente as variveis de solues possveis.

    Funo4 objetivo uma funo matemtica que voc usa para maximizar ou mini-mizar, dependendo do seu objetivo em relao ao problema focado. Ela define a qua-lidade da soluo, sempre em razo das incgnitas encontradas.

    Vamos observar esse processo em um exemplo prtico. Considere o exerccio resolvido a seguir.

    Exerccio resolvidoDigamos que uma empresa vamos cham-la de Aves & Flora produza rao para aves. Ela fabrica dois tipos: a rao Super (para a fase inicial) e a rao Extra (para a fase de cres-cimento). Em ambas, mistura 10% de ncleo de frango de corte, conforme recomendaes

    3 Modelos fsicos so, como exemplifica Lachtermacher (2009, p. 5), os de aeronaves e casas utilizados por engenheiros, enquanto os anlogos so aqueles que representam as relaes utilizando diferentes meios. No caso deste, podemos citar como exemplo os mapas rodovirios, que representam as rodovias de uma regio por meio de traos sobre um papel.4 Funo uma relao entre dois conjuntos na qual existe uma ligao unvoca entre os elementos. No ensino de matemtica, define-se funo como relao entre dois conjuntos que abrange todos os elementos do primeiro e associa a cada elemento deste primeiro conjunto somente um elemento do segundo (Houaiss; Villar, 2009).

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    Captulo 1

    dos setores especializados. A diferena de custos est nos 90% de matria-prima restante pa-ra completar as embalagens de 10 kg. Isso significa que:

    na Super so utilizados 60% de milho modo (6 kg) e 30% (3 kg) de farelo de soja;

    na Extra so utilizados 70% (7 kg) de milho modo e 20% (2 kg) de farelo de soja;

    a embalagem de 10 kg da rao Super custa R$ 12,00 e a da rao Extra custa R$ 18,00;

    o farelo de soja custa R$ 3,00 por quilograma, enquanto o milho modo custa R$ 2,00;

    a empresa conta com um suprimento mensal (estoque) de 100.000 kg de milho modo e 20.000 kg de farelo de soja.

    A rea administrativa dessa empresa quer saber qual a quantidade de rao que a empresa deve produzir para maximizar o lucro. O que voc faria?

    Voc pode aplicar aqui os passos que vimos anteriormente, ou seja, analisar esse problema nos seguintes aspectos:

    Verificar as variveis de deciso No caso, trata-se das quantidades de rao de cada tipo (Super e Extra) a serem fabricadas.

    Identificar os parmetros Nesse problema, so os preos de compra da matria-pri-ma e de venda das raes (produto final), bem como as quantidades especficas que

    so utilizadas dessas matrias-primas (milho modo e farelo de soja) em cada um dos tipos de rao.

    Levantar as restries So representadas nessa situao pelas quantidades de esto-que, ou seja, h um limite para a produo estabelecido pelo volume de milho modo e de farelo de soja disponveis.

    Definir a funo objetivo Corresponde a uma funo matemtica que determina qual volume das raes Super e Extra a empresa deve produzir para maximizar o lucro.

    Esses so aspectos de estudo para uma tomada de deciso que podemos aplicar em diferen-tes contextos operacionais ou sistemas, o que corresponde a uma diversidade muito grande de prticas, que incluem atividades econmicas, sociais e ambientais. Nessas circunstncias, podemos trabalhar realidades em que ocorrem:

    funo objetivo e variveis de restries lineares e no lineares;

    variveis de deciso contnuas ou discretas;

    parmetros que representam uma determinao ou uma probabilidade.

    Mas, ao falarmos em modelos e modelagem, devemos destacar que as funes linear, mista e no linear, entre outras, so tcnicas matemticas de uso na PO. Nesse contexto, a estrutu-rao do modelo tem relao direta com o sistema representado, que real.

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    Perguntas & respostas

    O que um sistema?

    Consideramos que as definies que melhor se adquam ao contexto matemtico da PO,

    entre as encontradas atualmente, relacionadas com diversas reas, sejam estas duas: 1. con-junto de elementos, concretos ou abstratos, intelectualmente organizados [...] 1.3 distribui-o e classificao de um conjunto de elementos segundo uma ordem estabelecida Exs.: s. taxonmico, s. decimal (Houaiss; Villar, 2009, grifo do original).

    Prevalece no estudo de PO, como voc ir perceber, ao analisar os exemplos, a ideia de uma estrutura em que observado um conjunto de elementos que se interligam, estabelecendo uma situao especfica, um contexto, ou seja, a realidade concreta de fatos e fatores. Nesse

    sentido, a modelagem um processo que utiliza ferramentas matemticas para organizar os dados de uma circunstncia de tal forma que sejam criados modelos facilitadores para uma tomada de deciso.

    Figura 1.2 Exemplo de modelos em PO

    Cadeia, projeto e rede de valor Comparativo entre os modelos

    CADEIA DE VALOR

    REDE DE VALOR

    PROCESSOS DE SUPORTE

    PROCESSOS DE NEGCIO

    Infraestrutura

    Gesto dos recursos humanos

    Desenvolvimento da tecnologia

    Compras

    Logstica de entrada

    Logstica de sada

    Marketing e vendas

    Servios ps-vendaOperao

    PROCESSOS DE NEGCIO

    PROCESSOS DE SUPORTE

    PROJETO DE VALOR

    Escolha da soluo do problema

    Gesto do contrato e da rede

    Provisionamento do servio

    Operao da infraestrutura

    Infraestrutura Infraestrutura da empresa

    Gesto dos recursos humanos Gesto dos recursos humanos

    Desenvolvimento da tecnologia Desenvolvimento da tecnologia

    Compras Compras

    Levantamento e anlise do problema

    Solues para o

    problema

    ImplantaoControle e avaliao

    Fonte: Adaptado de Santos, 2006.

    Na Figura 1.2, podemos ver, por meio de um diagrama, os processos de uma situa-o real, evidenciada como um modelo, na qual voc pode observar que, dentro da

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    Captulo 1

    cadeia de valor, instala-se o projeto de valor, possibilitando a organizao da rede de va-lor. Interligando as trs etapas do modelo, os processos de suporte se mantm inaltera-dos; no entanto, os processos de negcio apresentam possibilidades diferenciadas para a busca da soluo.

    1.3 Fases da pesquisa operacional

    Para facilitar os procedimentos, ou seja, a aplicao dessa ferramenta, costumamos dizer que a PO dividida em seis fases, na seguinte ordem:

    1. formulao do problema;

    2. construo ou alterao do modelo;

    3. clculo do modelo;

    4. teste do modelo e da soluo;

    5. estabelecimento e controle das solues;

    6. implantao e acompanhamento.

    Se voc observar cada uma dessas fases, vai perceber que elas, de fato, so as etapas a serem transpostas, enfrentadas e executadas na soluo do problema apresentado para encontrar a soluo tima. Vamos, portanto, fazer um resumo descritivo dos seis passos listados. Voc ir perceber que o quinto e o sexto passo apresentam alguns aspectos interdependentes.

    1. Formulao do problema Nessa fase, determinamos o que pretendemos fazer. o momento de definies, no qual devemos desenvolver o problema cuidadosamente,

    com clareza e coerncia, delimitando os objetivos a alcanar e identificando as limi-taes ou restries do produto em estudo, inclusive esboando e acolhendo crticas aos possveis caminhos que desejamos alcanar. o perodo adequado para fazermos as proposies possveis, verificando os registros e coletando novas informaes, com

    mxima preciso e veracidade das informaes.

    Perguntas & respostas

    E se a formulao for feita de modo equivocado?

    Voc deve lembrar que, se a formulao for feita de modo equivocado, fugindo do objeto de estudo, todas as outras fases ficaro comprometidas e podero levar a erro.

    2. Construo ou alterao do modelo Partimos para o enfrentamento dessa fase com a concepo de que o modelo uma representao da realidade estudada; portanto, ele depende do estudo do problema j levantado na fase inicial. importante lembrar que os elementos constitutivos do modelo so oriundos de dados da empresa ou do

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    mercado, ou ainda, do cenrio que est sendo analisado. Aqui prevalece a modelagem matemtica, definida por equaes e inequaes matemticas, seja na funo objetivo,

    seja em suas restries, como veremos mais adiante. Cabe lembrar que nessa fase preciso separar as variveis decisivas, tambm chamadas de variveis controlveis, das variveis no controlveis. Para exemplificar, podemos dizer que uma varivel contro-lvel aquela que, em uma situao de produo, representa a quantidade produzida. J a varivel no controlvel poderia ser a demanda dessa quantidade ou o preo de mercado praticado por certo produto.

    3. Clculo do modelo Tambm podemos chamar essa etapa de resoluo do modelo. a fase na qual encontramos a soluo ou as solues do modelo por meio de diver-sas tcnicas de resoluo, desde as mais simples, nas quais os problemas tambm so simples, at as tcnicas de programao linear mais sofisticadas. O mtodo simplex

    uma das tcnicas que podemos utilizar quando se trata de problemas com mais de duas variveis controladas. Existem tambm muitos recursos computacionais que permitem fazer o clculo com extremo rigor, confiabilidade e rapidez. Podemos des-tacar alguns, como Solver (Microsoft Office Excel), Lindo, Lingo, OMP, Maple, PLM e WinQSB.

    4. Teste do modelo e da soluo Nessa fase, verificamos se os resultados obtidos pelas solues encontradas do modelo matemtico servem para o modelo real do problema, aps sua implantao, ou ainda, se ele permite verificar se sero necessrias novas so-lues para melhorar ainda mais.

    5. Estabelecimento e controle das solues Por que controle? Na construo do mode-lo, bem como na sua execuo, devemos identificar alguns parmetros ou valores fixos

    para a soluo do problema. Esses parmetros devem ser controlados, para que, caso sofram desvios durante o processo, o modelo possa ser corrigido.

    6. Implantao e acompanhamento a fase em que verificamos com preciso o que con-seguimos, ou seja, o que encontramos nas fases anteriores, desde que tenhamos feito todo o acompanhamento do processo. Podemos tambm, nessa etapa, fazer correes ou ajustes no modelo, caso sejam necessrios.

    interessante que voc saiba que a pesquisa operacional atua em vrios nveis do conheci-mento, que podem ser formulados matematicamente, adotando-se uma tcnica especfica

    para cada situao, como nos seguintes casos:

    em setores cujo objetivo otimizar a quantidade produzida para alcanar o menor cus-to ou a maior receita (aumentar ou diminuir), entre os quais podemos citar a agricul-tura, a indstria qumica ou a produo industrial;

    nas indstrias moveleira e metalrgica, que procuram minimizar o desperdcio com problemas de cortes de chapas ou madeiras, tendo, assim, um melhor aproveitamento;

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    Captulo 1

    em carteiras de investimentos que possam trazer uma opo melhor para um determi-nado investimento, em funo de se obter uma melhor rentabilidade;

    em situaes de transporte para otimizar o tempo e o custo no que se refere tanto a flu-xo de transporte como a fluxo para obteno do caminho mnimo.

    Para cada situao, como j dissemos, utilizamos uma ferramenta (procedimento) ou tcnica, conforme as particularidades identificadas. Entre elas, podemos destacar as tcnicas descri-tas a seguir.

    Programao linear (PL) Para Passos (2008), consiste na programao matemtica que procura otimizar situaes-problema sujeitas a certas restries maximizando ou mi-nimizando. Cabe ressaltar que existem outros tipos de PL, com caractersticas bem defi-nidas, como as que se classificam como inteiras, mistas ou dinmicas.

    Teoria das filas Tem como finalidade trabalhar com situaes de congestionamento de sistemas, tempo de espera em filas, entre outras.

    Teoria dos grafos direcionada para os fluxos mximos, o caminho mais curto, a ro-teirizao de caminhos para veculos, o planejamento e a programao de projetos Pert e CPM.

    Simulao Atua com modelos representativos, analisando o comportamento de vari-veis e abrangendo situaes que favorecem a lei do acaso. Como exemplo, podemos citar a simulao de Monte Carlo.

    Teoria dos jogos Baseia-se em estratgias para persuaso e tomada de deciso.

    Voc pode usar todas essas tcnicas para o estudo do problema e a quantificao de dados

    como subsdios para tomar decises na empresa. No entanto, em nosso estudo, iremos privi-legiar a PL, a qual veremos no prximo captulo.

    SnteseO uso de ferramentas quantitativas que ofeream subsdios objetivos para a atividade de gerenciamento foi o enfoque que destacamos neste captulo. Nesse contexto, a PO apresen-ta-se como uma cincia prtica. Ela estabelece parmetros decisrios confiveis, nos quais

    considera fatores e cenrios dos problemas e propicia, por meio de modelos matemticos, a possibilidade de visualizarmos as possveis solues para situaes cujas variveis, restri-es e funes objetivo so lidas a partir de clculos, os quais so modelados a partir das fases de estruturao do problema. Por isso, tambm necessrio que voc tenha clareza quanto aos conceitos de mtodo, sistema e soluo tima, examinados neste estudo, de forma a po-der aproveitar esse instrumental nos processos de tomada de deciso.

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    1. Em relao s fases da PO, assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso:

    ( ) Construo e alterao do modelo.

    ( ) Estabelecimento e controle das solues.

    ( ) Clculo do modelo.

    ( ) Consulta aos operrios.

    ( ) Teste do modelo e da soluo.

    ( ) Compra de software.

    ( ) Formulao do problema.

    ( ) Implantao e acompanhamento.

    2. Em relao aos passos para se analisar um problema de PO, preciso:

    I) analisar os investimentos financeiros.

    II) verificar as variveis de deciso.

    III) levantar as restries e fazer a definio da funo objetivo.

    IV) identificar os parmetros.

    Assinale a alternativa verdadeira:

    a) Apenas as afirmativas I e III esto corretas.

    b) Apenas as afirmativas I e IV esto corretas.

    c) Todas as afirmativas esto corretas.

    d) Apenas a afirmativa IV est incorreta.

    3. Assinale a alternativa correspondente aos fatores que interferem na tomada de deciso:

    a) Importncia; agentes; risco; ambiente; conflitos.

    b) Importncia; diagnstico; risco; ambiente; conflitos.

    c) Importncia; agentes; risco; legislao; conflitos.

    d) Importncia; agentes; fator humano; ambiente; conflitos.

    4. Como j comentamos, na opinio de Lachtermacher (2009), a postura de abandono da in-tuio no processo de tomada de deciso no a melhor escolha; o recomendvel fazer a unio das duas fontes de informaes. Qual a sua opinio sobre isso?

    5. O que so os problemas enfrentados pelas organizaes?

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  • A programao linear no contexto da pesquisa operacional

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    Captulo 2

    Contedos do captulo

    Como utilizar a programao linear na resoluo de problemas de pesquisa operacional. Formulao de um problema matemtico padro em progamao linear com objetivos e

    restries.

    Aps o estudo deste captulo, voc ser capaz de:

    1. fazer a modelagem matemtica de um problema na busca pela soluo tima;2. aplicar a programao linear como ferramenta de modelagem matemtica na pesquisa

    operacional.

    A programao linear (PL), segundo Passos (2008), uma tcnica de otimizao aplicada em sistemas de equaes e inequaes lineares representativos de modelos previamente elaborados.

    Podemos dizer, ento, que uma aplicao matemtica utilizada por profissionais para o

    melhor aproveitamento possvel da produo, de modo a evitar desperdcios de produtos, matrias-primas ou mo de obra, consistindo na modelagem e soluo de problemas de oti-mizao de uma funo linear, diante de restries tambm lineares.

    2.1 Aplicao da funo objetivo e das restries em PL

    Como vimos no captulo anterior, quando falamos em problemas de otimizao, referimo--nos queles em que queremos maximizar (aumentar) ou minimizar (diminuir) uma funo (podendo ser uma funo de receita, custo, demanda, produo, entre outras). Nessas situa-es, precisamos levantar a funo objetivo e tambm as restries que o sistema analisado nos apresenta.

    A funo objetivo em PL

    Voc pode elaborar a definio da funo objetivo, por exemplo, no sentido de maximizar

    o lucro ou minimizar o custo.

    importante ressaltar que, nos problemas de PL, a funo objetivo e as restries so sempre equaes ou inequaes lineares. Nesse contexto matemtico, os problemas ficam com sua

    linguagem modificada, ou seja, passam para a linguagem matemtica.

    Desse modo, a funo objetivo pode ser escrita nas duas formas que apresentamos a seguir:

    1. Se o problema for maximizar z:

    max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

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    A program

    ao linear no contexto da pesquisa operacional

    2. Se o problema for minimizar z:

    min z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

    Observao: Esse um aspecto matemtico utilizado em PL que pode causar estranheza aos no matemticos, pois a minimizao de uma funo z equivalente maximizao dessa funo em sua verso negativa z. Como vimos nos itens 1 e 2, ambas so somatrias.

    Em ambos os casos, c1, c2, ..., cn so nmeros reais, e x1, x2, ..., xn so as variveis do problema.

    Nos problemas de PL, alm da funo objetivo, que consiste em uma expresso matemtica que representa a meta a ser alcanada, temos tambm as restries.

    As restries em PL

    Para voc entender melhor esse conceito, imagine uma indstria de laticnios que deseja oti-mizar a sua produo, maximizando o lucro. Nesse caso, as limitaes de ordem prtica en-contradas para fazer a otimizao da produo (funo objetivo) constituem as restries do problema em PL, que so:

    quantidade disponvel de matria-prima;

    capacidade do setor produtivo;

    mo de obra;

    limitaes no preo.

    Em outros problemas de PL podem existir diferentes limitaes, tais como limitaes de lo-calidade ou de espao fsico e distncia entre localizaes. Nesse contexto, podemos encon-trar, por exemplo:

    um agricultor que deseja plantar diversas culturas, mas que tem um limite de espao a ser cultivado, ou seja, uma restrio espacial;

    um investidor que deseja diversificar suas aplicaes, mas que possui apenas certa quantia a ser aplicada, isto , tem uma restrio de capital;

    uma transportadora que tem como objetivo otimizar as entregas, mas que pode contar apenas com determinado nmero de veculos, o que significa uma restrio de quan-tidade disponvel (de veculos).

    No cenrio das restries, encontramos as restries de igualdade ou as de desigualdade. Veja como so representadas nas equaes e inequaes a seguir.

    1. Restrio de igualdade (equao):

    a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

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    Captulo 2

    2. Restries de desigualdade (inequaes):

    a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

    ou

    a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

    Forma geral ou padro

    A forma geral de um problema de PL caracterizada pela padronizao com o objetivo de facilitar o entendimento. Veja como se estrutura a forma geral ou padro:

    max z = c1x1 +c2x2 + ... + cnxn

    s.a. a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2 . . . am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm

    x1 0, x2 0, ..., xn 0

    Em que:

    os termos aij, bi, cj so os coeficientes das equaes e inequaes que descrevem no proble-ma os nmeros de quantidade, valor e custos (considere i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n). Voc se lembra das operaes com matrizes em que esses termos indicam a posio dos elementos de uma matriz? Se a resposta for no, veja o Captulo 8, no qual rememo-ramos alguns aspectos bsicos das operaes matriciais;

    as variveis x1, x2, ..., xn so escolhidas de forma que as restries sejam satisfeitas e a funo objetivo otimizada;

    o termo s.a. significa sujeito a;

    j os termos b1, b2, ..., bm so chamados parmetros da funo, nos quais se representam as limitaes das restries;

    as restries x1, 0, x2 0, ..., xn 0 so chamadas de restries de no negatividade. Elas ocorrem porque no podemos ter quantidades negativas de produtos ou de recursos.

    Com o intuito de ilustrar melhor as ideias apresentadas, vamos detalhar um exemplo de pro-blema de PL.

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    A program

    ao linear no contexto da pesquisa operacional

    2.2 Problema de PL

    Com a utilizao da tcnica de PL, aplicaremos os contedos de PO em uma indstria (ima-ginria) de brinquedos.

    Vamos supor que essa indstria fabrica dois modelos de veculos em miniatura: caminhone-tes e esportivos. Para a fabricao dos brinquedos, as principais matrias-primas empregadas so o plstico e o alumnio. Nesse processo de fabricao ocorre o seguinte:

    O modelo esportivo consome 400 g de plstico e 300 g de alumnio.

    A caminhonete requer 700 g de plstico e 150 g de alumnio.

    A disponibilidade mensal de plstico de 1 t e a disponibilidade mensal de alumnio de 600 kg.

    O lucro unitrio referente caminhonete de R$ 12,00 e o lucro unitrio referente ao modelo esportivo de R$ 15,00.

    Suponha que toda a produo de miniaturas esportivas seja vendida e que a empresa consiga vender, por ms, no mximo 700 caminhonetes. Diante dessa situao, determine a quantida-de de cada modelo que deve ser produzida de maneira que o lucro seja mximo.

    Lembre-se de que, para formular o problema, preciso identificar quais so as variveis, a

    funo objetivo e as restries.

    Formulando a funo objetivo

    Nesse problema, as variveis so as quantidades de cada modelo a serem produzidas. Dizemos, ento, que:

    x1 a quantidade de caminhonetes;

    x2 a quantidade de modelos esportivos.

    Com as informaes transpostas para a linguagem matemtica, podemos facilmente obter a funo objetivo. Vejamos: como o lucro unitrio referente caminhonete de R$ 12,00 e o lucro unitrio referente ao modelo esportivo de R$ 15,00, para obtermos o lucro total, de-notado por z, basta multiplicarmos os lucros unitrios pelas respectivas quantidades que se-ro produzidas, ou seja:

    z = 12x1 + 15x2

    Como o objetivo obter o lucro mximo, a funo objetivo dada por:

    max z = 12x1 + 15x2

    importante ressaltar que o lucro unitrio a diferena entre o preo de venda praticado pe-la empresa e o custo de produo de cada item.

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    Captulo 2

    Formulando as restries

    Para determinar quais so as restries do problema, primeiro voc precisa verificar quais so

    os fatores que limitam a produo. No caso dessa fbrica de brinquedos, as restries se re-ferem s quantidades disponveis de plstico e de alumnio. H tambm uma restrio em relao quantidade mxima de caminhonetes que poder ser comercializada. O nmero de restries para esse problema , portanto, igual a trs.

    Na formulao matemtica, podemos escrever a primeira restrio, a referente quantidade de plstico que ser consumida, como:

    0,7x1 + 0,4x2 1.000

    Nesse cmputo, temos a quantidade consumida de plstico na fabricao de caminhonetes, pois sabemos que a produo de uma caminhonete de brinquedo requer 700 g de plstico (0,7 kg), enquanto cada modelo esportivo requer 400 g de plstico (0,4 kg). Para sabermos o total de plstico que ser utilizado na produo, basta multiplicar 0,7 por x1 e 0,4 por x2 e, em seguida, somar essas quantias, obtendo a expresso:

    0,7x1 + 0,4x2

    Como a quantidade mxima de plstico que a indstria tem disponvel 1 tonelada (1.000 kg), a soma 0,7x1 + 0,4x2 no pode ultrapassar essa quantidade. Por esse motivo, escrevemos que 0,7x1 + 0,4x2 tem de ser menor ou igual a 1.000, ou seja:

    0,7x1 + 0,4x2 1.000

    Da mesma maneira, podemos obter a segunda restrio, a referente ao consumo de alum-nio. Como a caminhonete requer 150 g de alumnio (0,15 kg) e o modelo esportivo requer 300 g (0,3 kg) de alumnio, temos que o total de alumnio que ser consumido na produo dos modelos :

    0,15x1 + 0,3x2

    Sabendo que a disponibilidade mensal de alumnio 600 kg, a segunda restrio fica assim:

    0,15x1 + 0,2x2 600

    Finalmente, a terceira restrio, relacionada produo mxima de caminhonetes, dada por:

    x2 700

    Portanto, a formulao do problema de PL proposto a que chegamos dada como:

    max z = 12x1 + 15x2

    s.a. 0,7x1 + 0,4x2 1.000 0,15x1 + 0,3x2 600 x1 700 x1 0, x2 0

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  • 31

    A program

    ao linear no contexto da pesquisa operacional

    Observao: Para resolvermos um problema de PL, caso existam, as restries devem ser trocadas por . Para isso, basta multiplicarmos cada restrio de por (1) e, em seguida, in-vertermos a desigualdade por . Por exemplo:

    A restrio:

    a11x1 + a12x2 + ... a1nxn b1

    equivalente restrio:

    a11x1 a12x2 ... a1nxn b1

    Como j vimos, as restries x1 0, x2 0, ..., xn 0 so chamadas de restries de no negativida-de. Elas ocorrem porque no podemos ter quantidades negativas de produtos ou de recursos.

    Exerccio resolvidoVamos formular um exemplo de fcil percepo para a formulao do modelo matemtico chamado de forma-geral ou forma-padro.

    Vamos considerar na formulao matemtica do modelo-padro uma empresa de artefatos de madeira que fabrica porta-trecos e potes de madeira.

    Ocorre que nessa produo a empresa gasta:

    duas unidades de madeira para fabricar uma unidade de porta-trecos;

    duas unidades de madeira para fabricar uma unidade de pote de madeira.

    Sabemos que o total disponvel de madeira de seis unidades e que o lucro unitrio por por-ta-trecos de madeira de R$ 2,80, enquanto o lucro unitrio por pote de R$ 5,00.

    Diante dessa situao, quanto devemos produzir de porta-trecos ou de potes de madeira

    de modo a maximizar o lucro por hora da empresa?

    Resoluo

    Primeiro passo Identificamos as variveis que queremos encontrar, ou seja, as variveis que nos permitem alcanar o objetivo do problema, nomeando-as:

    x1 quantidade produzida de porta-trecos;

    x2 quantidade produzida de potes de madeira.

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  • 32

    Captulo 2

    Segundo passo Procuramos identificar a funo objetivo do problema.

    Se formos maximizar, usamos a simbologia z(mx) ou max z, lembrando que essa simbologia deve ser seguida do sinal de igual por ser uma equao. Assim, na montagem da funo objeti-vo, somamos a multiplicao das variveis identificadas pelos respectivos valores das receitas.

    Temos a seguinte informao no problema: O lucro unitrio por porta-trecos de madeira de R$ 2,80 e o lucro por pote de R$ 5,00. Logo, podemos escrever:

    max z = 2,80x1 + 5x2

    Terceiro passo Formulamos agora as restries do problema, identificando-as como as limi-taes desse problema. Podemos observar que temos a restrio de matria-prima, pois a in-formao a de que a empresa gasta duas unidades de madeira para fabricar uma unidade de porta-trecos e duas unidades de madeira para fabricar uma unidade de pote de madeira, sen-do que o total disponvel de madeira de seis unidades. Logo, nossa restrio se resume em:

    2x1 + 2x2 6

    Portanto, a formulao do problema de PL proposto a seguinte:

    max z = 2,80x1 + 5x2

    s.a 2x1 + 2x2 6

    x1, x2 0

    Chegamos, assim, ao formato que chamamos de forma-padro de um problema na PL.

    Um dos mtodos mais famosos utilizados para se obter a soluo de um problema de PL o mtodo simplex, o qual veremos no prximo captulo. Inicialmente, podemos empregar o mtodo grfico para resolver problemas mais simples de PL (com duas variveis e algu-mas restries).

    Agora vamos praticar um pouco, colocando os problemas propostos na sequncia no formato-padro.

    Exerccio resolvidoUma empresa, depois de uma estruturao no processo de produo, ficou com disponibili-dade de recursos. Aps uma apurao, constatamos que tinha disponveis trs tipos de recur-sos, que chamaremos de R1, R2 e R3, e que eles possibilitariam a fabricao de dois produtos,

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  • 33

    A program

    ao linear no contexto da pesquisa operacional

    que chamaremos de P1 e P2. Sabemos que o lucro obtido com o produto P1 seria de 150 u.m.1 e que P2 daria 174 u.m de lucro.

    A tabela a seguir representa o uso dos recursos utilizados pelo setor de produo.

    Produto R1 por unidade R2 por unidade R3 por unidade

    P1 2 4 6

    P2 6 2 4

    Disponibilidade de recursos

    100 80 150

    Nessa situao, a questo que enfrentamos saber que quantidade de produtos P1 e P2 deve ser fabricada para que a empresa tenha maior lucro.

    Resoluo

    max z = 150 P1 + 174 P2

    s.a. 2P1 + 6P2 100

    4P1 + 2P2 80

    6P1 + 4P2 150

    P1 0, P2 0

    2.3 Interpretao geomtrica e soluo grfica

    Como todo problema de PL apresenta restries lineares, podemos representar as restries de um problema de duas variveis em um sistema de eixos coordenados denominado pla-no cartesiano.

    Vamos relembrar: um par ordenado (x, y) representa um ponto no plano, como voc j apren-deu em geometria analtica.

    1 u.m. unidade monetria.

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  • 34

    Captulo 2

    Figura 2.1 Pontos coordenados no plano cartesiano

    1

    1-1-2

    abscissa

    abscissa

    ordenada

    ordenada ordenada

    -3-4 2 3 40-1

    -2

    -3

    -4

    2

    3A

    B

    x

    y4

    Assim, utilizando seus conhecimentos matemticos, voc pode dispor os dados em um gr-fico para construir um modelo.

    Para representarmos nesse sistema de eixos coordenados cada restrio de desigualdade, es-crevemos uma equao associada a cada uma delas, contendo os mesmos coeficientes e o mes-mo termo independente. No caso do exemplo anterior, aquele da indstria de brinquedos que fabrica dois modelos de veculos em miniatura (caminhonetes e esportivos), a restrio 0,7x1 + 0,4x2 1.000 est associada equao 0,7x1 + 0,4x2 = 1.000. Da mesma forma, a restri-o 0,15x1 + 0,3x2 600 est associada equao 0,15x1 + 0,3x2 = 600, e a restrio x1 700 est associada equao x1 = 700.

    Mas como obter a representao da primeira restrio?

    Para obter a representao da primeira restrio, basta voc construir uma pequena tabela atribuindo dois valores quaisquer para a varivel x1. Em seguida, voc deve calcular os res-pectivos valores da varivel x2.

    E de que maneira fazemos esse clculo dos valores das variveis?

    Esses pontos da forma (x1 e x2) so chamados de pares ordenados. Uma maneira simplificada de obtermos os pares ordenados atribuirmos o valor zero varivel x1 para, dessa maneira, encontrarmos o respectivo valor de x2. Em seguida, atribumos varivel x2 o valor zero pa-ra encontrarmos o valor de x1.

    A vantagem de utilizarmos esse artifcio que os pontos obtidos estaro sobre os eixos coor-denados, facilitando o processo de representao grfica de cada uma das restries. Como

    as restries so de desigualdade, importante ainda considerar em qual semiplano a regio factvel estar. Um mtodo bastante prtico considerar a origem do plano cartesiano, o par ordenado (0, 0). Se, ao substituirmos os valores de x1 e x2 por zero, a desigualdade for ver-dadeira, a regio factvel estar no semiplano que contm a origem. Caso contrrio, a regio

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  • 35

    A program

    ao linear no contexto da pesquisa operacional

    factvel estar no semiplano oposto, ou seja, o que no contm a origem. Esse processo usa-do tambm para as demais restries.

    Como desenvolver o clculo desse processo?

    Fazendo:

    x1 = 0, temos que x2 = 2.500;

    x2 = 0, temos que x1 = 1.428,57.

    Assim, temos a tabela com os valores de x1 e x2 e os respectivos pares ordenados:

    x1 x2 (x1; x2)

    0 2.500 (0; 2.500)

    1.428,57 0 (1.428,57; 0)

    Logo:

    o ponto (0; 2.500) est localizado no eixo da varivel x2, pois x1 igual a zero;

    o ponto (1.428,57; 0) fica sobre o eixo x1, pois x2 igual a zero.

    Assim, como o ponto (0, 0), origem do sistema, satisfaz a inequao 0,7x1 + 0,4x2 1.000, te-mos que a regio factvel est no semiplano que contm a origem.

    Figura 2.2 Desenho da primeira restrio

    x2

    x1

    0,7x1 + 0,4x2 < 1.0002.500

    1.428,57

    No mesmo plano cartesiano em que representamos a primeira restrio, representaremos tambm a segunda e a terceira restrio. Para representarmos a segunda restrio, faremos x1 = 0. Nesse caso, x2 = 2.000.

    Observe que, se fizermos x2 = 0, teremos x1 = 4.000, o que resultar em um ponto muito dis-tante da regio factvel. Nesse caso, apenas para fins de representao geomtrica, faremos

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  • 36

    Captulo 2

    x1 = 1.000. Substituindo esse valor na equao 0,15x1 + 0,3x2 = 600, temos que x2 = 1.500, resul-tando no par ordenado (1.000; 1.500).

    Portanto, a tabela contendo os valores de x1 e x2 e os respectivos pares ordenados fica assim:

    x1 x2 (x1; x2)

    0 2.000 (0; 2.000)

    1.000 1.500 (1.000; 1.500)

    Considerando esses valores, voc pode observar que a regio factvel est localizada abaixo

    da segunda restrio, pois a origem (0, 0) satisfaz a restrio 0,15x1 + 0,3x2 = 600.

    Figura 2.3 Desenho da primeira e da segunda restrio

    .

    x2

    x1

    0,7x1 + 0,4x2 < 1.000

    0,15x1 + 0,3x2 < 600(1.000; 1.500)

    1.500

    1.000

    2.000

    2.500

    1.428,57

    E, finalmente, a terceira restrio uma reta vertical paralela ao eixo x2 que passa pelo ponto x1 = 700. fcil perceber que isso ocorre, pois, considerando-se a equao x1 = 700, para qual-quer valor de x2, x1 sempre igual a 700.

    Nesse clculo, como a origem (0, 0) satisfaz a desigualdade x1 700, temos que a regio fac-tvel est localizada esquerda da terceira restrio.

    Figura 2.4 Desenho com todas as restries (total de trs)

    x2

    x1

    0,7x1 + 0,4x2 < 1.000

    0,15x1 + 0,3x2 < 600

    (1.000; 1.500)1.500

    1.000

    2.000

    2.500

    1.428,57

    x1 < 700

    Observe que em cada figura com suas respectivas restries h uma seta indicando em que

    sentido a desigualdade satisfeita. Considerando as limitaes impostas pelas restries do

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    A program

    ao linear no contexto da pesquisa operacional

    problema, obtemos uma regio denominada regio factvel (ou regio vivel). Qualquer ponto dessa regio satisfaz as restries e pode ser uma soluo do problema.

    Figura 2.5 Regio factvel

    E qual a soluo tima?

    Nesses clculos, para encontrar a soluo tima, voc precisa considerar tambm a funo objetivo.

    Nesse estgio do processo, importante lembrar que a funo objetivo do exemplo dada por z = 12x1 + 15x2, bem como o fato de que possvel representar graficamente a funo ob-jetivo atribuindo-se valores aleatrios para z.

    Considerando essas condies, escolhemos, ento, ao acaso, alguns valores para z:

    z = 0

    z = 15.000

    z = 30.000

    Dessa maneira, possvel obtermos, respectivamente, as seguintes equaes:

    12x1 + 15x2 = 0

    12x1 + 15x2 = 15.000

    12x1 + 15x2 = 30.000

    Graficamente representamos essas equaes por retas pontilhadas.

    O processo para representar graficamente as equaes segue o mesmo princpio utilizado na

    representao das restries. Vamos retratar a equao 12x1 + 15x2 = 0 construindo uma tabe-la com dois valores atribudos aleatoriamente para x1 e calcular x2:

    Regio factvel

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  • 38

    Captulo 2

    x1 x2 (x1; x2)

    0 0 (0; 0)

    500 400 (500; 400)

    A equao 12x1 + 15x2 = 15.000 resulta na seguinte tabela:

    x1 x2 (x1; x2)

    0 1.000 (0; 1.000)

    1.250 0 (1.250; 0)

    E a tabela construda a partir da equao 12x1 + 15x2 = 30.000 :

    x1 x2 (x1; x2)

    0 2.000 (0; 2.000)

    2.500 0 (2.500; 0)

    Representando graficamente as trs equaes, temos a figura a seguir.

    Figura 2.6 Representao grfica de um problema de PL

    x1

    x2

    2.500

    2.000

    1.250

    1.000 RegioFactvel

    z = 0

    z =15.000

    z =30.000

    -400

    500

    V

    Dessa forma, voc pode perceber que, medida que o valor de z aumenta, as retas que repre-sentam a funo objetivo ficam cada vez mais prximas do vrtice V. Vale a pena lembrar que

    toda figura em um plano cartesiano sempre apresentar vrtices que indicam seus cantos. Em

    PO, o vrtice que aumenta o valor da funo objetivo chamado de gradiente.

    Assim, podemos concluir que a soluo do problema pode ser obtida fazendo-se a interseo das retas que se interceptam nesse vrtice. So elas:

    0,7x1 + 0,4x2 = 1.000 e 0,15x1 + 0,3x2 = 600

    Resolvendo o sistema 0 7 0 4 1 0000 15 0 3 600

    1 2

    1 2

    , , ., ,x xx x+ =+ =

    Regio factvel

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  • 39

    A program

    ao linear no contexto da pesquisa operacional

    Obtemos a soluo x1 = 400 e x2 = 1.800, a qual tambm pode ser encontrada por meio de m-todos algbricos de sistemas de equaes.

    Substituindo esses valores na funo objetivo, temos que o lucro mximo z = 31.800.

    Talvez voc esteja pensando: o que fao com tanta informao? Por isso vamos retomar essa situao (processo) mais detalhadamente com a resoluo de um novo exemplo.

    Nesse contexto, vamos partir do pressuposto de que voc conseguiu deixar seu problema na forma-padro, como temos a seguir, a qual se refere maximizao do lucro de certo produ-to, obedecendo a certas restries:

    max z = 2x1 + 5x2s.a x1 6

    x2 5

    x1 + 2x2 14

    x1, x2 0

    Para voc resolver graficamente essa situao, o primeiro passo igualar as restries, trans-formando-as em equaes. Para isso, basta substituir o valor das desigualdades (, ) por uma igualdade, ou seja:

    x1 = 6

    x2 = 5

    x1 + 2x2 = 14

    Devemos agora traar as retas das referidas equaes no plano cartesiano. Para isso, basta igualar uma varivel de cada restrio a zero, achando, assim, os pontos coordenados.

    SnteseA abordagem que fizemos da PL no contexto da PO teve como intento levantar as fases de ela-borao de uma PO, isto , as etapas correspondentes definio do problema e construo,

    reconstruo, soluo e validao do modelo. Nesse contexto, apresentamos e trabalhamos com a PL por ser uma ferramenta, uma tcnica de planejamento que possibilita, por meio da linguagem matemtica (equaes, inequaes, interpretao geomtrica e soluo grfica),

    encontrar o modelo para a situao real, considerando-se o lucro mximo ou o custo mnimo. Ne

    nhum

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    digo

    Pen

    al.

  • 40

    Captulo 2 1. Resolva graficamente o seguinte problema de PL:

    max z = 3x1 + 2x2

    s.a. x1 + 2x2 4 3x1 + x2 6 x1 + x2 10

    x1 , x2 0

    2. Resolva graficamente o problema de PL a seguir:

    max z = 4x1 + 3x2

    s.a. 2x1 9 x2 7 x1 + x2 8

    x1 , x2 0

    3. Suponha que uma fbrica de implementos agrcolas produza os modelos A e B, os quais proporcionam lucros unitrios da ordem de R$ 16,00 e R$ 30,00, respectivamente. A exign-cia de produo mnima mensal de 20 unidades para o modelo A e de 120 para o modelo B. Cada tipo de implemento requer certa quantidade de tempo para a fabricao das partes que os compem, para a montagem e para os testes de qualidade. Especificamente, uma dzia de

    unidades do modelo A requer 3 horas para fabricar, 4 horas para montar e 1 hora para testar. Voc ainda constata que uma dzia de unidades do modelo B requer 3,5 horas para fabricar, 5 horas para montar e 1,5 hora para testar. Agora, considere que, durante o prximo ms, a fbrica tem disponveis 120 horas de tempo de fabricao, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. Formule o problema de programao de produo como um modelo de PL (forma-padro) e resolva-o graficamente.

    4. Com base no que foi apresentado, voc poderia formular uma finalidade para a funo ob-jetivo no processo de PO? Ainda em relao funo objetivo, voc concorda que, ao atribuir-mos valores aleatrios para z, seja possvel represent-la graficamente?

    5. Para q