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PIRÂMIDES
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DEFINIÇÃO Consideremos uma região poligonal convexa A1A2...An contida num plano e um ponto V fora desse plano. Chamamos de PIRÂMIDE a reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da região poligonal.
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ELEMENTOS
.V
base
vértice
A B
D C
ARESTAS DA BASE
AB, BC, CD, ...
ARESTAS LATERAIS
AV, BV, CV, ...
face lateral
h
A ALTURA(h) da pirâmide é a distância do vértice ao plano da base.
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NOMENCLATURA A nomenclatura das pirâmides é dada em função do polígono situado na base.
pirâmide quadrangular
pirâmide hexagonal
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CLASSIFICAÇÃO Uma pirâmide pode ser reta ou oblíqua, a depender da posição da projeção ortogonal do seu vértice sobre o plano da base.
V’
VV
V’=O
pirâmide reta projeção do vértice coincide
com o centro da base
pirâmide oblíqua projeção do vértice não coincide
com o centro da base
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*PROPRIEDADE.: As pirâmides retas possuem todas as arestas laterais congruentes.
*OBS.: As pirâmides retas cujas bases são polígonos regulares são chamadas de pirâmides REGULARES.
pirâmide hexagonal
regular
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APÓTEMA DE UMA PIRÂMIDE REGULAR
É a distância do vértice da pirâmide às arestas da base.
A
.
Apótema da pirâmide
*OBS.: O apótema da pirâmide intercepta o ponto médio da aresta da base.
l/2
l/2
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l/2
h
a
AL
R
L
ah A
A
l/2
L
R
h L
222 ahA
222
2
l
AL
222 RhL
RELAÇÕES IMPORTANTES
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FORMULÁRIO1. ÁREA DA BASE (Sb)
É a área do polígono que está na base.
2. ÁREA LATERAL (SL)
É a soma das áreas dos triângulos das faces laterais.
SL = p . A
3. ÁREA TOTAL (St)É a soma da área da base com a área lateral.
St = Sb + SL
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4. VOLUME (V)
É um terço do produto da área da base pela altura.
Sb . hV =3
Exemplo1: Uma pirâmide triangular regular tem apótema com medida 5 cm e aresta da base cm. Calcule a área lateral e o volume dessa pirâmide.
32
Exemplo2: Uma pirâmide quadrangular regular tem aresta da base 8 cm e as faces laterais formam 60° com a base. Calcular a área lateral dessa pirâmide.
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SÓLIDOS ESPECIAISI. TETRAEDRO REGULAR
Poliedro formado por 4 faces constituídas por triângulos equiláteros. Como consequência, todas as suas arestas são congruentes.
a a
aaa
a
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II. OCTAEDRO REGULAR Poliedro formado por 8 faces constituídas por triângulos equiláteros. Como consequência, todas as suas arestas são congruentes.
a
a
a
a
a
a a
a*OBS.: O octaedro regular é a “união” de duas pirâmides quadrangulares regulares congruentes.
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A área total de um octaedro regular é cm. Seu volume é:
36
n.r.a. e)
cm 6 d)
cm 32 c)
cm 6 b)
cm 23 a)
3
3
3
3
2
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Um cubo tem área total de 150 m . O volume da pirâmide quadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse cubo e como base a face oposta a esse vértice é:
2
3
3
3
3
3
m 225 e)
m 150 d)
m 125 c)
m6
125b)
m3
125 a)
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Uma pirâmide e um prisma, ambos de bases quadradas, têm o mesmo volume. Sabendo-se que o lado do quadrado da base da pirâmide tem medida 2m e que o lado do quadrado da base do prisma tem medida m, a razão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nesta ordem, é igual a:
4
1e)
2
3d)
4
3c)
3
mb)
3m a)
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Sugestão de exercícios:
LIVRO 3 - CAPÍTULO 4
Questões: 121, 127, 132, 141, 148 e 158.