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PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS

Larissa Driemeier

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CRONOGRAMA TEORIA

PMR5026 MEF LINEAR 2

AULA CONTEÚDO DATA [2ª] PROFESSOR

1Modelagem em engenharia e Mecânica dos Sólidos

Introdução ao Método dos Elementos Finitos 17/2 Rafael

2Elementos finitos 1D – estático

Ensaios experimentais e modelos de material02/3 Rafael

3 Elementos finitos 1D - dinâmico 09/3 Marcilio

4 Elementos Finitos de viga - estático 16/3 Marcilio

5 Elementos Finitos de viga - dinâmico 23/3 Marcilio

6 Elementos Finitos de viga - análise modal 30/3 Marcilio

7 Ensaio experimental: vibrações em viga 13/4 Rafael

8 Elementos finitos isoparamétricos – estático 27/4 Larissa

9 Elementos finitos isoparamétricos – Integração numérica 04/05 Larissa

10 Elementos finitos isoparamétricos – dinâmico 11/05 Larissa

11 Ensaio experimental: vibrações em placa 18/05 Rafael

27 de Abril de 2020

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SOLUÇÃO ISOPARAMÉTRICA

•O maior avanço na implementação do MEF foi o desenvolvimento de um elemento isoparamétrico com capacidades para modelar problemas com geometrias de qualquer forma e tamanho.

•A ideia principal está no mapeamento:

•O elemento da estrutura real é mapeado para um elemento imaginário em um sistema de coordenadas ideal;

• A solução para o problema de análise de tensão é fácil e conhecida para o elemento de imaginário;

• Estas soluções são mapeados de volta para o elemento da estrutura real;

• Todas as cargas e condições de contorno também são mapeadas a partir do real para o elemento imaginário nesta abordagem.

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PORTANTO...

•A formulação isoparamétrica torna possível gerar elementos que não sejam retangulares e elementos curvos. A família isoparamétrica inclui elementos planos, sólidos, placas, cascas...

•É mais eficiente para ser implementada computacionalmente.

•Há também elementos especiais para Mecânica da Fratura.

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INTERPOLAÇÃO

Há duas interpolações importantes em EF

▪Definição da locação dos pontos dentro do elemento, em termos de seus valores nodais (interpolaçãode geometria)

▪Definição do deslocamento nos pontos dentro dos elementos, em termos de seus valores nodais (interpolação de resultados)

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 5

Relação entre

deslocamentos/coordenadas em qualquer

ponto e deslocamentos/coordenadas nos

pontos nodais do elemento é obtida

diretamente através das FUNÇÕES DE

INTERPOLAÇÃO OU FUNÇÕES DE

FORMA, através da utilização de um

sistema de coordenadas natural.

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PORQUE ISOPARAMÉTRICOS?

•Não há nenhuma razão fundamental para que a interpolação seja a mesma para geometria e resultados;

•Porém, para uma classe extremamente versátil de elementos, deslocamentos e Coordenadas são interpolados com as mesmas Funções de Forma.

𝑢 𝑥 = 𝑁 𝑥 𝑑

𝑥 = 𝑁 𝑥 ෬𝑥

ISOPARAMÉTRICO = MESMOS PARÂMETROS

𝑑: deslocamentos nodais

෬𝑥: coordenadas nodaisIsoparamétrico

Subparamétrico

Superparamétrico

𝑁 = 𝑁𝑁 > 𝑁𝑁 < 𝑁

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Ponto utilizado para aproximar geometria

Ponto utilizado para aproximar deslocamento

𝑁 < 𝑁superparamétrico

𝑁 = 𝑁isoparamétrico

𝑁 > 𝑁subparamétrico

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DILEMA

•A maior razão do MEF fazer sucesso na engenharia é a possibilidade d emodelargeometrias complexas;

•Porém, elementos dão resultados mais precisosem geometrias regulares (triângulos isósceles, quadrados);

•O software sempre terá que minimizar umadistorção quando cria a malha;

•Importante entender como as funções de forma(interpolação) são formuladas;

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 8

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CONDIÇÕES

As funções de forma ou interpolação interpolam a variável em questão (coordenada/ deslocamento) por meio de seus valores nos pontos nodais. Portanto, uma condição imediataque as funções de interpolação devem satisfazer é,

𝑁𝑖 𝑥 = ቊ1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑖0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑗 𝑖 ≠ 𝑗

As funções de deslocamento devem garantir a existência de movimento de corpo rígido,

u ≅

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑥 𝑢𝑖 = ത𝑢

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑥 = ത𝑢 ∴

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑥 = 1

O produto da primeira derivada das funções de interpolação deve ser integrável no intervalo[𝑥𝑖, 𝑥𝑗] do elemento para garantir que as constantes 𝐾𝑖𝑗 da matriz de rigidez possam serobtidas da integração do produto das funções 𝑑𝑁𝑖/𝑑𝑥 e 𝑑𝑁𝑗/𝑑𝑥.

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( )rN −= 12

11

1 1

21 NNN =

( ) =

==2

1i

iiuNxu Nd

Para calcular u em um ponto

qualquer da barra, substitui-se a

coordenada r do ponto em N.

N: funções de interpolação ou funções de forma

x1,u1 x2,u2x L

r

r=-1

r: sistema natural de coordenadas,

independente do comprimento

físico L da barra.r=1

MAPEAMENTO ISOPARAMÉTRICO 1D

( )rN += 12

12

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ELEMENTO DE 3 NÓS (QUADRÁTICO)

( )2

11

−=

rrN

( )2

12

rrN

+= ( )2

3 1 rN −=

L

x1,u1 x2,u2x

r

r=-1 r=1

x3,u3

3)2(112

1NNN nós −=

3)2(222

1NNN nós −=

1 1 1

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Coordenadas locais(isoparamétrico)

( )

( )

2

3

2

1

1)(

2

1)(

2

1)(

rrN

rrrN

rrrN

−=

+=

−−=

Mapeamentoisoparamétrico

=

=3

1

)(i

ii xrNx

( ) ( ) ( ) 3

2

21 12

1

2

1xrx

rrx

rrx −+

++

−−=

MAPEAMENTO ISOPARAMÉTRICO 1D

1 2

r

1 1

3 1 2

x2x1 x

3

x3

Page 13: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( ) ( ) ( ) 3

2

21 12

1

2

1xrx

rrx

rrx −+

++

−−=

Dado um ponto nas coordenadas isoparamétricas, posso obter o

correspondente ponto traçado nas coordenadas globais usando a

equação isoparamétrica de mapeamento.

2

3

1

1

0

1

xxr

xxr

xxr

=→=

=→=

=→−=

Pergunta:

𝑥 em 𝑟 = 0.5? 3218

7

8

3

8

1xxxx ++−=

Page 14: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

2,4,0 321 === xxx

( ) ( ) ( ) 3

2

21 12

1

2

1xrx

rrx

rrx −+

++

−−= 22 += rx

r

r=-1 r=1

L=4

x1=0 X2=4x x3=2

EXEMPLO 01 – MAPEAMENTO

•Ache o mapeamento 𝑥(𝑟) para o elemento de 3 nós abaixo:

0

1

2

3

4

-1 -0.5 0 0.5 1

𝑟 𝑥

−1 0

−1/2 1

0 2

1/2 3

1 4

Page 15: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

3,4,0 321 === xxx

r

r=-1 r=1L=4

x1=0 X2=4x x3=3

322 ++−= rrx

( ) ( ) ( ) 3

2

21 12

1

2

1xrx

rrx

rrx −+

++

−−=

0

1

2

3

4

-1 -0.5 0 0.5 1

𝑟 𝑥

−1 0

−1/2 1,75

0 3

1/2 3,75

1 4

EXEMPLO 02 – MAPEAMENTO

Page 16: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Porém, a matriz de rigidez é calculada como:

Nós conhecemos o mapeamento… =

=3

1

)(i

ii xrNx

x

NB

d

d=Onde:

Como computar a matriz B???

= V

T dVDBBK

ACHO QUE TEMOS UM PROBLEMA....

Page 17: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

17

xr −−= 41

( )

( ) ( )

( )xxxN

xx

rrrN

−−−=

−−+−−=

+=

4362

1)(

411412

12

1)(

2

2

( )xxxN −−−= 4362

1)(2

11 3 r

( )2

1)(2

rrrN

+=

Invertendo...

𝑁2(𝑥) é uma função complicada de 𝑥!

L=4

x1=0 X2=4x x3=3

( ) 322 ++−= rrrx

1 23 x

x = 0 x = 3 x = 4

Page 18: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

FUNÇÃO DE FORMA MAPEADA X GLOBAL

18-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4

N2

x

( )

( )34

4362

1

,2

,2

−=

−−−=

xx

N

xxN

g

m

Page 19: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

dx

dr

dr

rdN

dx

rdN ii )()(=

Usando regra da cadeia

Conheço ?)(

dr

rdNi

Conheço ?dx

dr

RESOLVENDO O PROBLEMA!

Page 20: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Eu conheço: =

=3

1

)(i

ii xrNx

Portanto: ?

)(

dr

rdN i?

dx

dr

( )2

11

−=

rrN

( )2

12

rrN

+=

( )23 1 rN −=

Fácil…

===

3

1

)(

ii

i xdr

rdN

dr

dx

Jacobiano do mapeamento

J

dx

dr

dr

rdN

dx

rdN ii )()(=

Page 21: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

dr

rdN

Jdx

rdN ii )(1)(=

O que faz o Jacobiano?

Jdrdx =

Mapeia um elemento diferencial das coordenadasisoparamétricas para coordenadas globais

dx

dr

dr

rdN

dx

rdN ii )()(=

dx

dr

J

Page 22: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

=

=

dr

dN

dr

dN

dr

dN

J

dx

dN

dx

dN

dx

dN

321

321

1

B

321

3

1

22

12

2

12)(rxx

rx

rx

dr

rdNJ

i

ii −

++

−==

=

( ) ( )

−+−= rrr

J212

2

112

2

11 B

Exercício: ache a matriz B para o elemento de 3 nós:

EXEMPLO: JACOBIANO

( )

( )

2

3

2

1

1)(

2

1)(

2

1)(

rrN

rrrN

rrrN

−=

+=

−−=

Page 23: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

1. A integral de QUALQUER elemento nas coordenadas globais é agora uma integral de -1

to 1 nas coordenadas locais;

2. O jacobiano 𝐽 entra na integral da matriz de rigidez e, geralmente, é uma função de r. A

forma específica de 𝐽 é determinada pelos valores das coordenadas 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 dos nós.

𝑑𝑥 = 𝐽𝑑𝑟

𝐾 = න𝑥1

𝑥2

𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵 𝑑𝑥

𝐾 = න−1

1

𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵𝐽 𝑑𝑟

MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO

Page 24: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Exercício: Ache a matriz de rigidez do elementounidimensional de 2 nós:

( )rN −= 12

11 ( )rN += 1

2

12

𝐾 = න−1

1

𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵𝐽 𝑑𝑟

EXEMPLO: MATRIZ DE RIGIDEZ

Page 25: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

L

uu

u

u

LBd 12

2

111

1 −=

−==

111−=

LB

−=

11

11

L

EAK

J: Jacobiano relacionando o comprimento do elemento no sistema de

coordenadas global com o comprimento do elemento no sistema de coordenadas

natural:

2d

d L

r

xJ ==

( )rN −= 12

11

( )rN += 12

12

Veja que:

𝐾 = න−1

1

𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵𝐽 𝑑𝑟

Page 26: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

ELEMENTO ISOPARAMÉTRICO 2DELEMENTO RETANGULAR PLANO

3

1

2

4

(𝑥1, 𝑦1)

(𝑥2, 𝑦2)

(𝑥3, 𝑦3)

(𝑥4, 𝑦4)(−1, 1)

r

s

(1, −1)(−1, −1)

(1, 1)3

1 2

4

𝑥, 𝑢

𝑦, 𝑣

Page 27: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE FORMA

•As funções de forma 𝑁1, 𝑁2 , 𝑁3 𝑒 𝑁4 são bilineares em 𝑟 e 𝑠.

•Propriedade do delta de Kronecker

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 = ቊ1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑖0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑗 𝑖 ≠ 𝑗

•Completude

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 = 1

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑥𝑖 = 𝑥

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑦𝑖 = 𝑦

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑢𝑖 = 𝑢

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑣𝑖 = 𝑣

Page 28: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

4→(-1, 1)

1→(-1,-1)

3→(1,1)

2→(1,-1)

1 )4(

0 )3(

0 )2(

0 )1(

4

=−+−

=+++

=−−+

=+−−

+++=

dcba

dcba

dcba

dcba

drscsbraN

=

−−

−−

−−

1

0

0

0

1111

1111

1111

1111

d

c

b

a

−=

1

1

1

1

4

1

d

c

b

a

( ) ( )( )srrssrN +−=−+−= 114

11

4

14

( ) ( )( )iii ssrrsrN ++= 114

1,

Expressão geral:

Page 29: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 29

Page 30: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 30

Valores nodais de deslocamento:

𝑢1 = 2𝑢2 = 3𝑢3 = 4𝑢4 = 5

3

4

1

2

𝑢𝑐 = 21

41 − 0 1 − 0 + 3

1

41 + 0 1 − 0 + 4

1

41 + 0 1 + 0 + 5

1

41 − 0 1 + 0 = 3.5

𝑢𝑐

Page 31: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

CONTINUIDADE 𝐶𝑜

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 31

Coordenadas nodais element 01:

𝑁ó1 = 3,2𝑁ó2 = 11,3𝑁ó3 = 10,10𝑁ó4 = 4,9

3

4

1

2

6

5

𝑢1 = 2𝑢2 = 3𝑢3 = 4𝑢4 = 5𝑢5 = 1𝑢6 = 2.5

Coordenadas nodais element 02:

𝑁ó5 = 0,−5𝑁ó6 = 9,−3𝑁ó2 = 11,3𝑁ó1 = 3,2

Page 32: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

=

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321

0000

0000

v

u

v

u

v

u

v

u

NNNN

NNNN

v

u

COORDENADAS E DESLOCAMENTOS

=

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321

0000

0000

y

x

y

x

y

x

y

x

NNNN

NNNN

y

x

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )4

11

4

11

4

11

4

11

4

3

2

1

srN

srN

srN

srN

+−=

++=

−+=

−−=

Page 33: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

ELEMENTOS RETANGULAR DE MAIS ALTA ORDEM

• Mais nós

• Ainda 2 graus de liberdade por nó

• Mais alta ordem quer dizer mais alto grau de polinômio completo para aproximação dos deslocamentos.

• Duas famílias: Lagrangiana e Serendipity

Page 34: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

1. Família

Lagrangiana

de Elementos

2. Elementos

Serendipity

ELEMENTOS QUADRILÁTEROS QUADRÁTICOS

Em geral, apenas nós de contorno – evita-se

nós internos.Não é tão preciso quanto os elementos lagrangeanos, porém

evita certos tipos de instabilidade.

Elemento de ordem n tem (n+1)2 nós arranjados

simétricamente – requer nós internos para no.

de nós >4.

Page 35: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

FUNÇÕES DE FORMA LAGRANGIANAS

• Usa-se um procedimento que automaticamente satisfaz a propriedade Delta de Kronecker para funções de forma.

• Considere o exemplo de 6 pontos, undimensional: a função vale 1 em 𝑟3 e vale 0 emqualquer outro ponto.

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )5343231303

54210)5(3

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrL

−−−−−

−−−−−=

1

r0 r1 r2 r3 r4 r5

Page 36: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

FUNÇÕES DE FORMA LAGRANGIANAS

Pode-se resolver para qualquer número de pontos nodais em qualquerposição.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

=+−

+−

−=

−−−−−

−−−−−=

kii ik

i

mkkkkkkk

mkkmk

rr

rr

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrL

01110

1110)(

Não entram

termos r-rk!Polinômio de

Lagrange de

ordem m

no nó k

Page 37: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

CLARO QUE TAMBÉM FUNCIONA....

Ache a função de forma do nó 4:

4

1

3

2

1

43

( )( )( )( )

( )( )

( )rr

rr

rrrH −=

−−

−=

−= 1

2

1

11

1

34

314

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )srsrN

sVrHsrN

+−=

=

114

1,

,

4

14

144

14

1

( )( )( )( )

( )( )

( )12

1

11

1

14

114 +=

+

+=

−= s

s

ss

ssrV

r3=1r4=-1

s1=-1s4=1

Page 38: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

EXEMPLO: FUNÇÃO DE FORMA LAGRANGEANA

Ache a função de forma do nó 16:

5

4

6

1

10

3

9

2

16

12

13

7

15

11

14

8

1

1

5 1016 15

16

12

13

7

( )( )( )( )

( )( )( )10161516516

10155)3(16

rrrrrr

rrrrrrrH

−−−

−−−=

( )( )( )( )

( )( )( )12161316716

12137)3(16

ssssss

sssssssV

−−−

−−−=

( ) ( )( ) ( )( )sVrHsrN 316

31616 , =

Page 39: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

TRANSIÇÃO DO LINEAR PARA QUADRÁTICO

1 2

34

r

s

5

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )srN

srN

srN

NsrN

NsrN

−−=

+−=

++=

−−+=

−−−=

112

1

114

1

114

1

2

111

4

1

2

111

4

1

25

4

3

52

51

1

( )( )srNc −−= 114

151

2

1NNN c −=

Se lembrarmos:

Page 40: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )28

84

3

2

81

112

1

2

111

4

1

114

1

114

1

2

111

4

1

srN

NsrN

srN

srN

NsrN

−−=

−+−=

++=

−+=

−−−=

1 2

34

r

s

8

Page 41: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 41

Page 42: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 42

Page 43: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Definição do dicionário americano Oxford para Serendipity:

The making of pleasant discoveries by accident.

Horace Walpole ( 1717-1797) inventou a palavra 'serendipity‘ depois de ler o conto "Three Princes of Serendip". Uma história persa antiga sobre 3 príncipes iranianos que, em viagem, faziam sempre grandes descobertas, por acidente e sagacidade, sobre assuntos que não conheciam.

SERENDIPITY

Page 44: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

FUNÇÕES DE FORMA SERENDIPITYFunções de forma para nós internos dos lados são o produto de um polinômio de n-ésima ordem nadireção paralela ao lado por uma função linear nadireção perpendicular ao lado.

1

1 2

34

5

6

7

8

( ) ( )( )srsrN −−= 112

1, 2

5

( ) ( )( )srsrN +−= 112

1, 2

7

Analogamente:

Resolva: como seriam as funções de forma N6

e N8???

Funções de forma para nós de canto são modificações das

funções do elemento quadrangular bilinear. ▪ 1: comece com a função de forma bilinear apropriada

▪ 2: subtraia a função de forma do nó interno, com peso apropriado

▪ 3: repita o passo 2 usando a função de forma e apropriado peso

do nó interno do outro lado

1

1 25

8

( ) ( )( )srsrN −−= 114

1,1

( ) ( )( ) 512

111

4

1, NsrsrN −−−=

1

1 2

8

5

1

1 2

8

5

( ) ( )( ) 8512

1

2

111

4

1, NNsrsrN −−−−=

Resolva: como seriam as funções de forma

N6 e N5???

Page 45: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

1 2

34

5

6

7

8 9

TABELA DE FUNÇÕES DE FORMA Nós 1,2,3,4 Nó 5 Nó 6 Nó 7 Nó 8 Nó 9

N1 (1− 𝑟)(1− 𝑠) 4 −𝑁5 2 0 0 −𝑁8 2 −𝑁9 4

N2 (1 + 𝑟)(1− 𝑠) 4 −𝑁5 2 −𝑁6 2 0 0 −𝑁9 4

N3 (1 + 𝑟)(1 + 𝑠) 4 0 −𝑁6 2 −𝑁7 2 0 −𝑁9 4

N4 (1− 𝑟)(1 + 𝑠) 4 0 0 −𝑁7 2 −𝑁8 2 −𝑁9 4

N5 (1− 𝑟2)(1− 𝑠) 2 0 0 0 −𝑁9 2

N6 (1 + 𝑟)(1− 𝑠2) 2 0 0 −𝑁9 2

N7 (1− 𝑟2)(1 + 𝑠) 2 0 −𝑁9 2

N8 (1− 𝑟)(1− 𝑠2) 2 −𝑁9 2

N9 (1− 𝑟2)(1− 𝑠2)

Page 46: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

4 NÓS

1

3

2

4

( ) ( )( )srsrN −−= 114

1,1

Page 47: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

8 NÓS

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )221 11

4

111

4

111

4

1, srsrsrsrN −−−−−−−−=

( ) ( )( )srsrN −−= 112

1, 2

5

1

4

2

1

4

28

5

85

Page 48: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

1

4

285

9

9 NÓS( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2222

1 114

111

4

111

4

111

4

1, srsrsrsrsrN −−−−−−−−−−−=

( ) ( )( ) 11, 229 srsrN −−=

2

1

4

1

4

2

8

5

5

8

9

( ) ( )( ) ( )( )222 112

111

2

1,8 srsrsrN −−−−−=

9

Page 49: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Arestas parabólicas No espaço r,s,t

Funções de forma, nó a nó, dadas por:

i) nós de canto (i ≤ 8)Estendido aos nós vizinhos de meio de aresta

ii) nós de meio de aresta (i > 8)

( ) ( ) −=j

jii gtsrgtsrN2

1,,,,

Estendido aos nós

vizinhos de meio de aresta

( ) ( )tsrgtsrN ii ,,,, =

onde,

com

( )( ) ( ) ( )

= contrário caso ,it,.Gis,.Gir,G

9)(i incluído é não nó o se ,0,,

itsrg i

( )( )( )

=−

=+=

0 ara ,1

1 ara ,12/1i,G

2i

ii

p

p

ELEMENTO TRIDIMENSIONAL DE 8 A 20 NÓS

Page 50: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

DERIVADAS

•As deformações do elemento são obtidas a partir das derivadas dos deslocamentos com relação às coordenadas locais.

•Para obter a matriz de rigidez de um elemento precisamos da matriz 𝑩de transformação 𝒖 − 𝜺.

•Uma vez que os deslocamentos do elemento são definidos nas coordenadas naturais, precisamos relacionar as derivadas de 𝑥, 𝑦, 𝑧com as derivadas de 𝑟, 𝑠, 𝑡.

Page 51: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

MAPEAMENTO ISOPARAMÉTRICO

1. O mapeamento isoparamétrico fornece a relação (𝑟, 𝑠) com (𝑥, 𝑦), i.e., se um ponto (𝑟, 𝑠)é dado em coordenadas isoparamétricas, pode-se computá-lo em coordenadas globais(𝑥, 𝑦) usando as equações:

𝑥 =

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑥𝑖

𝑦 =

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑦𝑖

• 2. O mapeamento inverso JAMAIS será explicitamente computado…

Page 52: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )( )

( )( )yxss

yxrr

sryy

srxx

,

,

,

,

=

=

=

=

Transformação de coordenadas é

única e inversível.

Page 53: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

s

y

y

f

s

x

x

f

s

f

r

y

y

f

r

x

x

f

r

f

+

=

+

=

REGRA DA CADEIA

Page 54: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

REGRA DA CADEIA...

=

y

x

s

y

s

xr

y

r

x

s

r xJ

r

=

ou

Operador Jacobiano

s

y

ys

x

xs

r

y

yr

x

xr

+

=

+

=

ou

Page 55: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Pode ser

calculado,

pois N é

função das

coordenadas

naturais!

Precisamos desta

parcela para

computar a matriz BEsta é conhecida como

matriz Jacobiana (J)

para o mapeamento

(r,s) → (x,y)

=

y

Nx

N

s

y

s

xr

y

r

x

s

Nr

N

i

i

i

i

Pelas equações abaixo percebemos

a necessidade de encontrar 𝑱−𝟏...

Page 56: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

EXEMPLO: CÁLCULO DE JACOBIANO

6

1

y

x

4

2 1

360o

6

4

y

x

4

2 1

32

1

4

2

1

3

1

1

y

x 3/4

Bathe, pág. 350

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )4

11

4

11

4

11

4

11

4

3

2

1

srN

srN

srN

srN

+−=

++=

−+=

−−=

Page 57: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Determinar a função linear que satisfaça:

( ) ( ) 3211, suruusrsru ++−−=

Solução:

( )

=0

1, jji srN

se i=j

se ij

( ) ( ) ( ) 321 1,0 0,1 0,0 uuuuuu ===

𝑟

𝑠

2

3

1

1

1

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS TRIANGULARES

Page 58: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Funções de forma

srN

sN

rN

−−=

=

=

13

2

1

332211

332211

),(),(),(

),(),(),(

ysrNysrNysrNy

xsrNxsrNxsrNx

++=

++=

1 (x1,y1)

r

s2 (x2,y2)

3 (x3,y3)

r

s

2

3

1

1

1

Page 59: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

s = 0

4

3

6

1

5

2

s = 1/2

s = 1

r = 0r =

1/2

r = 1

s

r

Page 60: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

r

s

t

6

4

8

2

9

3

7

10

1

5

Page 61: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

SUA LIÇÃO DE CASA Acompanhe passo a passo as

definições

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR61

Page 62: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )

( )

( ) ( )

=

=v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

DEFORMAÇÕES EM TERMOS DE UMAMATRIZ OPERADOR

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

=

=

rs

x

sr

x

y

sr

y

rs

y

x

J

J

det

1

det

1Onde:

Page 63: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

v

u

sr

y

rs

y

rs

x

sr

xrs

x

sr

xsr

y

rs

y

xy

y

x

0

0

det

1

J

( )

( )

( ) ( )

=

=v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

=

=

rs

x

sr

x

Jy

sr

y

rs

y

Jx

det

1

det

1

Page 64: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

=

sr

y

rs

y

rs

x

sr

xrs

x

sr

xsr

y

rs

y

J0

0

det

1

Ndε

( ) ( ) ( )822383

= NB

Page 65: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )

− −

=

=

1

1

1

1

dsdr et

dydx

JDBBk

DBBk

T

T

dt

tA

MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4321

4321

111111114

1

111111114

1

ysrysrysrysry

xsrxsrxsrxsrx

+−++++−++−−=

+−++++−++−−=

Page 66: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4321

4321

4321

11114

1

11114

1

111111114

1

yryryryras

y

ysysysysbr

y

ysrysrysrysry

−++++−−−==

+−++−+−−==

+−++++−++−−=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )4321

4321

4321

11114

1

11114

1

111111114

1

xrxrxrxrds

x

xsxsxsxscr

x

xsrxsrxssxsrx

−++++−−−==

+−++−+−−==

+−++++−++−−=

Page 67: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )

=

=

−−+−

+−−−

−−+−

−−−

=

4

3

2

1

4

3

2

1

011

101

101

110

8

1det

y

y

y

y

x

x

x

x

ssrr

srsr

srrs

rrss

T

YX

YXJ

Page 68: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−−

=

=

siririsi

risi

siri

i

NbNaNdNc

NdNc

NbNa

sr

,,,,

,,

,,

4321

0

0

det

1),(

B

BBBBJ

B

( ) ( ) ( )822383

= NB

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

sr

y

rs

y

rs

x

sr

xrs

x

sr

xsr

y

rs

y

0

0

det

1

J

Page 69: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )4

11

4

11

4

11

4

11

4

3

2

1

srN

srN

srN

srN

+−=

++=

−+=

−−=

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )4

1

4

11

4

1

4

114

1

4

11

4

1

4

114

1

4

11

4

1

4

114

1

4

11

4

1

4

11

4,4

4,4

3,3

3,3

2,2

2,2

1,1

1,1

rr

s

NN

ss

r

NN

rr

s

NN

ss

r

NN

rr

s

NN

ss

r

NN

rr

s

NN

ss

r

NN

sr

sr

sr

sr

−=

−=

=

+−=

+−=

=

+=

+=

=

+=

+=

=

+−=

−+=

=

−=

−=

=

−=

−−=

=

−=

−−=

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) rxrxrxrxd

sxsxsxsxc

sysysysyb

ryryryrya

−+++−−+−=

−−+++−+−=

−−+++−+−=

−+++−−+−=

111141

111141

111141

111141

4321

4321

4321

4321

Page 70: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

=

200

020J

Estado plano de tensão:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )srN

srN

srN

srN

−+=

−−=

+−=

++=

114

1

114

1

114

1

114

1

4

3

2

1

= 0,3𝐸 constante

40

40

4

21

3

y

x

F=1

( )

−−=

xy

y

x

xy

y

xE

2

100

01

01

1 2

( )( )

=

yxv

yxu

xy

y

x

xy

y

x

,

,0

0

EXEMPLO

Page 71: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

=

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4321

4321

v

v

v

v

u

u

u

u

NNNN

NNNN

xy

y

x

v

u

xy

y

x

xy

y

x

B

=

10

01

20

11J

400det =J

=

s

r

y

x

10

01

20

1

Page 72: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

B

srdddet1

1

1

1

JDBBK T

− −

=

( )

−−=

2

100

01

01

1 2

ED

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−−+−++−−−−+

+−−−−+

−−−+−+

=

ssssrrrr

rrrr

ssss

11111111

11110000

00001111

80

1

400det =J

Page 73: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

K/E=

Page 74: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

−0.72860.8892−1.5812−2.1165

𝒖 = 1000/𝐸

=

1

0

0

0

F

=

9/728011/14560-1/22401/29120-

11/14560-9/72801/291201/2240-

1/22401/291209/72801/7280

1/29120-1/2240-1/72809/7280

EK

Page 75: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

Calcular:

•Deslocamentos

•Reações de apoio

•Deformações

•Tensões

EXERCÍCIO

( )( )( )

( )

( )

( )

−+

−=

12

2100

011

01

1

211

1ED

( ) ( )( )( ) ssrN

rsrN

srsrN

=

=

−−=

,

,

1,

3

2

1

para =0,3 e t=1,0.

Estado plano de deformações:

F

1

x

y 1

1

12

3

Page 76: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

−−

−−

−−−

−−

−−−

−−

= −

1100429,0429,0

1286,1286,0286,0714,0429,0

0286,0286,0286,0286,00

0286,0286,0286,0286,00

429,0714,0286,0286,0286,11

429,0429,00011

673,0

det1

0

1

0

E

tdsdrr

JDBBT

Page 77: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

−−

−−

−−−

−−

−−−

−−

=

1100429,0429,0

1286,1286,0286,0714,0429,0

0286,0286,0286,0286,00

0286,0286,0286,0286,00

429,0714,0286,0286,0286,11

429,0429,00011

673,0 EK

Page 78: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

FLUXOGRAMA

•Agora escreva um fluxograma de como você implementaria o problema para elementos de 4 nós, implemente (pode ser em MatLab, Octave, Python, C....), e resolva:

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 78

3/4

2

1

4

2

1

3

1

1

y

x

F=1

Page 79: PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar

FIM Próxima aula faremos um

exercício

27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR79


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