Transcript
Page 1: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

PLASTICIDADE BIDIMENSIONALLarissa Driemeier

Marcilio Alves

Rafael T. Moura

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 1

Page 2: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

O QUE É PLASTICIDADE E ENCRUAMENTO?

•Plasticidade e encruamento são fenômenos associados tipicamente à resposta de materiais metálicos, identificados nos gráficos da relação tensão-deformação obtidos em ensaios experimentais de tração ou compressão uniaxial. Ambos os fenômenos se manifestam para além do regime elástico. A plasticidade se caracteriza pelo aparecimento de deformações irrecuperáveis, ou permanentes, enquanto que o encruamento fica evidenciado pelo ganho de resistência com o crescimento da deformação.

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 2

Page 3: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELASTOPLÁSTICAUNIDIMENSIONAL

A versão unidimensional do modelo matemático que descreve a relação constitutiva de um meio elastoplástico é de formulação mais simples e permite evidenciar aspectos conceituais importantes para a compreensão da modelagem bi e/ou tridimensional.

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 3

Nos modelos elastoplásticos é necessário

conhecer a ‘história prévia’ da deformação

plástica para se determinar a intensidade de

tensão correspondente a certa intensidade de

deformação

𝜎𝑦

𝜎

𝜎1

𝜎2

𝜀 𝜀𝜀𝑝

Page 4: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

RELAÇÃO CONSTITUTIVA PARA ELASTOPLASTICIDADE PERFEITA

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 4

No regime elastoplástico: a deformação total é sempre composta de

uma parcela elástica e outra plástica.

𝜎𝑦

𝜎

𝜎1

𝜀𝜀𝑝 𝜀𝑒

𝐸

carregamento plástico

descarregamento elástico

Page 5: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

MODELO NÃO LINEAR

Carregamento plástico

•Corresponde a acréscimos imediatos, de deformação plástica,

•O material continuará em processo de escoamento, com aumento da deformação plástica.

Descarregamento elástico

•Corresponde a níveis de deformação plástica constante.

•O descarregamento virá acompanhado de recuperação elástica.

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 5

É importante que o modelo matemático inclua essas possibilidades de modo a registrar corretamente a história de deformação plástica. Nesse sentido, é necessário exprimir a relação constitutiva em termos de variações (infinitesimais) de tensão e deformação:

𝑑𝜎 = 𝐸 𝑑𝜀𝑒 = 𝐸 𝑑𝜀 − 𝑑𝜀𝑝

Page 6: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

PROBLEMA 3D

0 0f 0f

A decomposição aditiva do tensor de deformações totais em uma parcela elástica e em outra plástica

Lei constitutiva

O critério de plastificação

A lei de evolução das deformações plásticas, ou lei de plastificação,

O encruamento fica descrito pela lei de evolução adotada para ҧ𝜀𝑝

ሶ𝜆 é um escalar que fica determinado a partir das condições gerais de complementaridade e de consistência,

𝜎 = 𝐶 𝜀 − 𝜀𝑝

𝑓 𝑞, 𝜎𝑦 = 𝑞 − 𝜎𝑦 ҧ𝜀𝑝

ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑟 𝜎, 𝑝 𝑟 um tensor que estabelece a “direção” do fluxo plástico

ሶ ҧ𝜀𝑝 = ሶ𝜆ℎ 𝜎, ҧ𝜀𝑝 h é um vetor que determina uma “direção” para o vetor de encruamento

𝑞: tensão equivalente

Page 7: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

Para pequenas deformações, o tensor de deformações

pode ser decomposto de forma aditiva como,

O tensor de tensões é dado por,

𝜎 = 𝐷 𝜀 − 𝜀𝑝 = 2𝐺𝜀𝑑𝑒 + 𝐾𝜀𝑉

𝑒𝐼

𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑝𝑝 =

𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎333

= 𝐾𝜀𝑉

𝜀𝑉 = 𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33

𝐾 =𝐸

3 1 − 2𝜈𝐺 =

𝐸

2 1 + 𝜈

LEI CONSTITUTIVA

Page 8: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

Vimos que o escoamento em uma barra ocorre quando a tensão causada pela carga real atinge o limite de

tensão do material. A correlação da tensão real com a tensão de escoamento é direta neste caso,

porque ambas são uniaxiais. Mas como podemos correlacionar o estado de tensão triaxial em um

componente - cuja resistência do material é medida em testes uniaxiais - para avaliar a tendência de

escoamento?

Postulamos algum atributo do estado de tensões para definir esse estado como um todo – um atributo como a

tensão máxima ou a energia específica - e, em seguida, comparamos os valores desse atributo para o estado

triaxial fornecido com o teste uniaxial. Este postulado é o critério de escoamento baseado no atributo

específico selecionado; só é uma teoria útil se suas previsões forem confirmadas por experimento.

FUNÇÃO DE ESCOAMENTO

𝑓 𝑞, 𝜎𝑦 = 𝑞 − 𝜎𝑦 ҧ𝜀𝑝

Page 9: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

Uma superfície de escoamento é a fronteira entre o regime elástico e o plástico.

s=0 sElástico Plástico

Caso unidimensional

s= sy

No caso unidimensional, a tensão equivalente é 𝜎 . A região

elástica é uma linha e a superfície de escoamento é um ponto.

Page 10: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

Para 3D, a tensão equivalente é uma combinação dos principais

valores de tensão. A região elástica agora é definida por uma

superfície.

Page 11: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

POR EXEMPLO, VON MISES!

PMR5248 MEF NÃO LINEAR 11

𝑢 =1

2𝜎1𝜀1 + 𝜎2𝜀2 + 𝜎3𝜀3Energia de deformação,

por unidade de volume

Relação tensão-deformação(Lei de Hooke)

11 de Setembro de 2019

Page 12: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

11 de Setembro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 12

Energia desviadora,

Energia volumétrica (obtida substituindo 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 por𝜎𝑚),

𝑚

Page 13: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

PMR5248 MEF NÃO LINEAR 13

Energia de deformação desviadora em ensaio de tração uniaxial:

𝜎1 = 𝑆𝑦 e 𝜎2 = 𝜎3 = 0 → 𝜎𝑚 =𝜎1

3

Tensão equivalente de von Mises.

11 de Setembro de 2019

Page 14: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

11 de Setembro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 14

Page 15: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

Um material isotrópico tem a superfície de escoamento entre Tresca e von Mises.

RESPOSTA EXPERIMENTAL X MODELO

Page 16: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

LEI DE ESCOAMENTO PLÁSTICO

Para que a lei ሶ𝜎 = 𝐶 ሶ𝜀 − ሶ𝜀𝑝 = 𝐶𝑒𝑝 ሶ𝜀 resulte em um tensor 𝐶𝑒𝑝 simétrico, 𝑟 não pode ser

arbitrário. A simetria é obtida quando r =𝑓𝑇 e a adoção desta hipótese denomina-se

associatividade. A associatividade também implica na chamada regra da normalidade, pois o

tensor taxa de deformação plástica passa a ter a direção da normal à superfície de

plastificação

r =𝑓𝑇 → ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑓𝑇

Relaciona os incrementos de deformação plástica com os incrementos de tensão, depois do

início da plasticidade.

ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑟 𝜎, 𝑝

Page 17: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

LEI DE ENCRUAMENTO

ሶ ҧ𝜀𝑝 = ሶ𝜆ℎ 𝜎, ҧ𝜀𝑝 =2

3ሶ𝜀𝑝

Lei de encruamento associativa, por deformação plásica acumulada:

Page 18: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

Aluminium tubes impacted against a rigid wall

E=2,2kJ, (b) V0=5m/s … (e) V0=100m/s

Isotropic hardening

Kinematic hardening

INFLUÊNCIA DO ENCRUAMENTO NA FLAMBAGEM

Page 19: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

VON MISES COM ENCRUAMENTO ISÓTROPO

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 19

𝑓 𝜎, ҧ𝜀𝑝 = 3𝐽2 − 𝜎𝑦 ҧ𝜀𝑝

ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆𝑁 = ሶ𝜆3

2

𝑠

𝑠ሶ ҧ𝜀𝑝 =

2

3ሶ𝜀𝑝 = ሶ𝜆

tensão equivalente de von Mises: 𝑞 = 3𝐽2

ሶ𝜎 = 𝐶 ሶ𝜀 − ሶ𝜀𝑝 = 𝐶𝑒𝑝 ሶ𝜀

Lei linear elástica,

Função de escoamento,

Lei de evolução plástica associativa, Lei de encruamento associativa,

Page 20: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 20

𝑓

Sim Não

Page 21: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

VON MISES – FASE DE CORREÇÃO

Tensões desviadoras e de

tentativa são colineares!

Page 22: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 22

𝑞𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 3𝐽2 𝑠𝑛+1

𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙

Page 23: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 23

𝑓

Page 24: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

𝐹

1

𝑥

𝑦 1

Considere:

Deformação plana

= 0,3 e 𝑡 = 1

𝐸 = 100

𝐸𝐾/(𝐸 + 𝐾)

𝐾 = 1

3

Plasticidade de von Mises com encruamento linear:

03 02 p

y KJf s

Lei constitutiva

EXEMPLO

Page 25: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

xy

y

x

xy

y

xE

s

s

2

2100

01

01

211

yxz

Ess

s

Dεσ

Deformação plana,

Page 26: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

321321 vvvuuuT u

111110

110000

000011

B

Buε

x

v

y

u

y

vx

u

ε

321

321

1,

1,

sxrxxsrsrx

suruusrsru

ssrh

rsrh

srsrh

,

,

1,

3

2

1

Funções de interpolação:

r

s

u1 u2

u3

v1v2

v3

Page 27: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

1100429,0429,0

1286,1286,0286,0714,0429,0

0286,0286,0286,0286,00

0286,0286,0286,0286,00

429,0714,0286,0286,0286,11

429,0429,00011

100673,0

det

1

0

1

0

x

tdsJdr

r

TDBBK

Page 28: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 28

F=1

0520uu 21 ,Deslocamentos não nulos:

,

0520

0

0

εDeformação:

0520

0

0triale

1

,

Estado de tentativa: o passo é elástico

0trialp1 ,ε

2

0

0,

11

trialetrialDεσ

Tensão de tentativa:

Page 29: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

trial1

trial1 sσ

642

3

2

33 2 trial

ij

trial

ij

trial ssJ

05505,00136 xf

2

0

0

0520

0

0

1e1

,

εε

0

0

0p1ε,

Para nosso exemploem particular:

Page 30: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

1

1

1

1

1

0

srr1

0

1

0

T dd intσBp

0

0

0

0

1

0

extp

0ppr extint

Reações

Page 31: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

F=21040uu 21 ,

,

1040

0

0

,

0520

0

0

1040

0

0

0520

0

0

0520

0

0

2e1

triale2

,,,

,εεε 0,

2 trialpε

4

0

0triale

2trial2

,Cεσ 2416

2

3ss trialij

trialij

2

3

Deslocamentos não nulos:

Deformação:

Estado de tentativa: o passo é elástico

Tensão de tentativa:

Page 32: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

08989,101324 xf trial

Fase de correção:

0163,014615,383

8989.1

3

xKG

f trial

4615381302

100

12

EG ,

,

0163,02 p

4

0

0

24

4615,3830163,01

3

31 2

2

2

xx

J

G trial

trialss

22

4629,2

0

0

σs

Page 33: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

0320

0

0

46292

0

0

461538x2

1

G2

1e

2

,,,

0720

0

0

0320

0

0

1040

0

0e

22

p

2

,,,

εεε

231451

231451

231451

231451

231451

0

srr1

0

1

0

T

,

,

,

,

,

dd intσBp

0

0

0

0

2

0

extp

Reações

Page 34: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

0

0

0

0

768550

0

ext

,

intppr

Page 35: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

F

1

2

0,052

0,104

=-0,104

-u

s

s=-2,4629

pint=1,23145

1,23145

Próximo passo...

Lei constitutiva

Page 36: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

0

0

0

0

768550

0

,

p 039960uu 21 ,

Deformação:

,

039960

0

0

22ε

,

143960

0

0

22ε

Deslocamentos não nulos:

Page 37: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

071960

0

0

0720

0

0

143960

0

0p2

e2

triale2 12

,,,

,εεε

7679,2

0

0,

22

trialetrialDεσ

49211661372

3ss trialij

trialij ,,

2

3

037369,00163,013492,11 xf trial

Estado de tentativa: o passo é elástico

Tensão de tentativa:

Page 38: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

003211,014615,383

37369.0

3

xKG

f trial

01951080003211803001630p

2 ,,,

76792

0

0

49211

461538x3x00321101

J3

G31 trial

2trial2

2

,,

,,ss

22

465382

0

0

σs

,

Fase de correção:

Page 39: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

232691

232691

232691

232691

232691

0

sr

r1

0

1

0

T

,

,

,

,

,

dd intσBp

0

0

0

0

2

0

extp

Muito lentamente a resposta vai tendendo ao equilíbrio!!!!

Reações de

apoio

Page 40: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

MATRIZ TANGENTE

11 de Outubro de 2019 PMR5248 MEF NÃO LINEAR 40

Page 41: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

EXERCÍCIOS

•Deduza a matriz tangente para o modelo linear de plasticidade de von Mises

•Faça um programa que resolva uma viga elastoplástica, por von Mises, utilizando a matriz tangente consistente com método de Newton Raphson. Utilize elemento à tensão plana com condições de contorno e carregamento nodais definidas pelo usuário. Você pode, se facilitar, definir constante o número de elementos na horizontal e vertical, para discretização. Seu programa deve apresentar os deslocamentos nodais e, para cada elemento, gerar tensões, deformações, deformação plástica equivalente. Para validar seu programa, compare sua resposta com a de um software comercial.

Page 42: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

Von Mises

ANALÍTICO ALGORÍTMICO e

D s : triale

n

p

nn

,,ˆ

11 ss

0 0

ND s :

s

N

triale

n

D,

ˆ

1

s

IINNIII

K

KG3

G6

3

1G2D

2

4cont

triale

n

triale

n

trial

n

trial

n

n

s

sN

,

,

1

1

1

1

1

IINNIII

K

K3G

1G6

3

1Δγ3G1G2D 1n1ntrial

24triala

lg

e4 G

3

2KG2 εIIIσ

jkiljlikijkl

klijijkl

2

14I

II

Page 43: PMR5248 Elementos Finitos Não Linear

FIM DAS AULAS DE PLASTICIDADEEntregas pelo Moodle dos

exercícios de plasticidade 1D e

2D até dia 21/11.

PMR5248 MEF NÃO LINEAR 4311 de Outubro de 2019


Recommended