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Problemas da Fısica-Matematica
Semana de Física – IF-UFRJ
Rio de Janeiro - 2011
Rolci Cipolatti
Instituto de Matematica - UFRJ
– p. 1/134
Física-Matemática
• O quee Fısica-Matematica?
– p. 2/134
Física-Matemática
• O quee Fısica-Matematica?• Nao sei!
– p. 2/134
Física-Matemática
• O quee Fısica-Matematica?• Nao sei!• Diria que sao duas irmas que costuman andar de
maos dadas. . .
– p. 2/134
Física-Matemática
• O quee Fısica-Matematica?• Nao sei!• Diria que sao duas irmas que costuman andar de
maos dadas. . .• E quando uma ajuda a outra, sao chamadas de
Fısica-Matematica.
– p. 2/134
Física-Matemática
• O quee Fısica-Matematica?• Nao sei!• Diria que sao duas irmas que costuman andar de
maos dadas. . .• E quando uma ajuda a outra, sao chamadas de
Fısica-Matematica.• Nasceram siamesas, mas se separaram ja ha
algum tempo. . .
– p. 2/134
Física-Matemática
• As duas tem seus problemas existenciais.
– p. 3/134
Física-Matemática
• As duas tem seus problemas existenciais.• Os da Fısica,. . . perguntem aos fısicos!
– p. 3/134
Física-Matemática
• As duas tem seus problemas existenciais.• Os da Fısica,. . . perguntem aos fısicos!• Os da irma Matematica, posso sublinhar:
• No inıcio achava que era filosofia;• Hoje acha quee ciencia, embora sua irma
conteste isso;• Na duvida, pergunta se nao seria arte, ja que
possui uma beleza intrısica. . .• que so os iniciados podem apreciar.
– p. 3/134
Física-Matemática
• Resumindo:
– p. 4/134
Física-Matemática
• Resumindo:• Eu diria que Fısica-Matematicae aquele
momento especial em que a Fısica, de maosdadas com a Matematica, preve fenomenos quemais tarde sao comprovados pela experiencia.
– p. 4/134
Física-Matemática
• Resumindo:• Eu diria que Fısica-Matematicae aquele
momento especial em que a Fısica, de maosdadas com a Matematica, preve fenomenos quemais tarde sao comprovados pela experiencia.
• Exemplos:
• As ondas eletro-magneticas;• E = mc2;• Desvio da trajetoria da luz na presenca de
campo gravitacional;• Condensados de Bose-Einstein;• Buracos negros;
– p. 4/134
Problemas da Física-Matemática
• A conjectura de Saint-Venant;
– p. 5/134
Problemas da Física-Matemática
• A conjectura de Saint-Venant;• Tomografia Computadorizada;
– p. 5/134
Problemas da Física-Matemática
• A conjectura de Saint-Venant;• Tomografia Computadorizada;• Movimentos das camadas subterranes de sal.
– p. 5/134
Parte 1
A conjectura de Saint Venant
– p. 6/134
x
y
z
(a)
x
y
z
(b)
– p. 7/134
Módulo de Rigidez à Torção
Barra cilıdrica homogenea de secao retaΩ ⊂ IR2:
MΩ = 4µ
∫∫
Ω
|∇u(x, y)|2 dxdy,
−∇2u = 1 emΩ, u = 0 em∂Ω.
µ e o modulo de cizalhamento.
Referencia:L. Landau e E. Lifchitz: Theorie del’ Elasticite; Ed. Mir, 1967.
– p. 8/134
Módulo de Rigidez à Torção
Barra cilıdrica circular homogenea de secao retaΩ ⊂ IR2:
MΩ = 4µ
∫ ∫
Ω
|∇U(x, y)|2 dxdy,
−∇2U = 1 emΩ, U = 0 em∂Ω.
µ e omesmomodulo de cizalhamento.
– p. 9/134
Conjectura de Saint-Vénant
SeΩ e Ω temareas iguais, entao:
MΩ ≥ MΩ, ∀Ω
– p. 10/134
A formulação variacional
JΩ(v) =1
2
∫∫
Ω
|∇v(x, y)|2 dxdy −
∫∫
Ω
v(x, y) dxdy
u e solucao de
−∇2u = 1 emΩ, u = 0 em∂Ω.
se, e somente se
JΩ(u) ≤ JΩ(v)
para toda funcaov(x, y) que se anula no bordo deΩ
– p. 11/134
A formulação variacional
JΩ(V ) =1
2
∫∫
Ω
|∇V (x, y)|2 dxdy−
∫∫
Ω
V (x, y) dxdy
U e solucao de
−∇2U = 1 emΩ, U = 0 em∂Ω.
se, e somente se
JΩ(U) ≤ JΩ(V )
para toda funcaoV (x, y) que se anula no bordo deΩ
– p. 12/134
Conjectura de Saint-Vénant
MΩ ≥ MΩ
4µ
∫ ∫
Ω
|∇U(x, y)|2 dxdy ≥ 4µ
∫ ∫
Ω
|∇u(x, y)|2 dxdy,
para todoΩ ⊂ IR2 que tenha a mesmaarea deΩ.
– p. 13/134
A grande sacada: Simetrização de uma função
x
y
z
µv(t) := area((x, y) ∈ Ω ; |v(x, y)| ≥ t)
– p. 14/134
A grande sacada: Simetrização de uma função
t
s
med(Ω)
max(v)t
µv(t)
s
t
max(v)
med(Ω)
v∗(s)
s
– p. 15/134
A grande sacada: Simetrização de uma função
x
y
z
y
z
x
– p. 16/134
A grande sacada: Simetrização de uma função
Para qualquerp ≥ 1:
∫∫
Ω
|v(x, y)|pdxdy =
∫∫
Ω
|v(x, y)|pdxdy,
∫∫
Ω
|∇v(x, y)|pdxdy ≤
∫∫
Ω
|∇v(x, y)|pdxdy.
⇓
JΩ(U) ≤ JΩ(u) ≤ JΩ(u)
– p. 17/134
A grande sacada: Simetrização de uma função
JΩ(U) ≤ JΩ(u)
⇓
1
2
∫∫
Ω
|∇U(x, y)|2dxdy −
∫∫
Ω
U(x, y) dxdy ≤
1
2
∫∫
Ω
|∇u(x, y)|2dxdy −
∫∫
Ω
u(x, y) dxdy ≤
– p. 18/134
A grande sacada: Simetrização de uma função
JΩ(U) ≤ JΩ(u)
⇓
−1
2
∫∫
Ω
|∇U(x, y)|2 dxdy ≤ −1
2
∫∫
Ω
|∇u(x, y)|2 dxdy.
⇓
MΩ ≥ MΩ
– p. 19/134
Iniciação à Física-Matemática
– p. 20/134
Parte 2
Tomografia Computadorizada
– p. 21/134
– p. 22/134
– p. 23/134
– p. 24/134
– p. 25/134
– p. 26/134
– p. 27/134
O quee Tomografia?
– p. 28/134
O que é a tomografia?
• Tomografia = tomos + graphein,• tomos = corte, talho; graphein = escrita, grafia
• Processo pelo qual se obtem uma representacaografica de secoes de um corpo tridimensional.
ω
Ω
– p. 29/134
O que é a tomografia?
• “Qualquer tecnica de geracao de imagens quesimule a estrutura interna de um corpo a partir dedados colhidos externamente”.
• O problema da reconstrucao do interior de umobjeto atraves de projecoes surge em variasareasdas ciencias, tais como diagnosticos medicos,pesquisa geologicas, microscopia, entre outros.
– p. 30/134
Tecnicas para Geracao de
Imagens em Medicina
– p. 31/134
Técnicas para Geração de Imagens para Medicina
• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);
• Ultra-sonografia;• Electrical Impedance Tomography – EIT;• Ressonancia Magnetica – MRI.
– p. 32/134
Técnicas para Geração de Imagens em Medicina Nuclear
• Single Photon Emission Tomography – SPECT,• Positron Emission Tomograpy – PET;
• Medicina Nuclear – Material radioativoe introduzido nopaciente e metabolizado peloorgao sob investigacao. Aradiacao gama emitidae registrada por uma camera SPECTque gira em torno do paciente. O tecnica PET funciona demodo analogo, sendo o agente metabolizado um emissor depositrons.
• Principal aplicacao: presenca e extensao de tumores.
– p. 33/134
Tomografia por Transmissao
– p. 34/134
CT: Tomografia por Transmissão
Gerador de Raios-X
Receptores
– p. 35/134
– p. 36/134
– p. 37/134
– p. 38/134
Um “ε” de historia
– p. 39/134
Um “ε” de história
Nada disso existiria se. . .
• Ondas eletromagneticas nao tivessem sidoprevistas por James Clark Maxwell em 1862 eobservadas experimentalmente por HeinrichHertz em 1887;
• Os Raios-X nao tivessem sido descobertosacidentalmente por W. K. Roentgen, em 1895.Por esta descoberta, ele ganhou o Premio Nobelem 1901;
– p. 40/134
Um “ε” de história
Nada disso existiria se. . .
• As primeiras tecnicas de reconstrucao naotivessem sido desenvolvidas por Bracewell(1956), em radio-astronomia;
• Essas tecnicas nao tivessem sido aplicadas namicroscopia eletronica, para a reconstrucao daestrutura de moleculas.
– p. 41/134
Um “ε” de história
Uma etapa fundamental para o desenvolvimento dosprocessos de reconstrucao de imagens foi atingida em1963, a partir do trabalho de Allan Cormack, daUniversidade de Tufts, quando desenvolveuMODELOS MATEMATICOS que permitiram obterimagens muito mais precisas.
– p. 42/134
Um “ε” de história
Esses modelos foram utilizados no primeiroequipamento de tomografia por Raios-X, construıdoem 1972, por Hounsfield, nos laboratorios EMI,Inglaterra.
Por esses desenvolvimentos, Cormack e Hounsfieldreceberam o Premio Nobel de medicina em 1979.
– p. 43/134
Interacao dos Raios-X com Materia
– p. 44/134
Tipos de interação de Raios-X com a matéria
• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);
• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia – CT);• Espalhamento de Compton (raios-X de alta
energia – CT);• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –
ECT);• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia
– ECT).
– p. 45/134
Espalhamento Coerente
foton incidente
foton espalhado
– p. 46/134
Efeito fotoelétrico
foton incidente
eletrofoton
radiacao caracterıstica
– p. 47/134
Espalhamento de Compton
foton incidente
foton espalhado
eletron
– p. 48/134
– p. 49/134
Modelo Matematico para CT
– p. 50/134
O Modelo Matemático para CT
O foton, considerado como partıcula, pode sercaracterizado por:
• sua localizacaox = (x1, x2, x3);• sua direcao de deslocamentoω = (ω1, ω2, ω3);• a energia de seu movimento.
– p. 51/134
O Modelo Matemático para CT
A funcaoϕ(t, ω, x) denota a densidade de radiacaoemx, na direcaoω e no instantet. A quantidade defotons que se deslocam na direcaoω e que no instantet se encontram em uma regiaoV ⊂ IR3 e dada por
∫
V
φ(t, ω, x) dV.
– p. 52/134
O Modelo Matemático para CT
Para estabelecer a equacao que descreve a dinamicada radiacao, precisamos introduzir o conceito deDensidade de Fluxo de Radiacao:
J(t, ω, x) = v0ϕ(t, ω, x)ω.
~n
~ω
v0
– p. 53/134
O Modelo Matemático para CT
• Os fotons que NAO estao interagindo com ocorpo satisfazem a equacao do transporte:
∂ϕ
∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) = 0
• cuja solucao explıcita e:
ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω).
– p. 54/134
Onda Livre
– p. 55/134
Onda Livre
– p. 56/134
Onda Livre
– p. 57/134
Onda Livre
– p. 58/134
Onda Livre
– p. 59/134
Onda Livre
– p. 60/134
Onda Livre
– p. 61/134
Onda Livre
– p. 62/134
O Modelo Matemático para CT
• No caso da interacao com o corpo, masdesconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao do transporte com termo de absorcao:
∂ϕ
∂t(t, ω, x)+ω·∇xϕ(t, ω, x)+q(x)ϕ(t, ω, x) = 0,
• cuja solucao explıcita e:
ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω)e−∫
t
0q(x−sω)ds
• q(x) e o “coeficiente total de extincao”.
– p. 63/134
Onda Dissipada
– p. 64/134
Onda Dissipada
– p. 65/134
Onda Dissipada
– p. 66/134
Onda Dissipada
– p. 67/134
Onda Dissipada
– p. 68/134
Onda Dissipada
– p. 69/134
Onda Dissipada
– p. 70/134
Onda Dissipada
– p. 71/134
O Modelo Matemático para CT
• No caso da interacao com o corpoconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao linear de Boltzmann:
∂ϕ
∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) + q(x)ϕ(t, ω, x)
=
∫
§
f(x, ω, ω′)ϕ(t, ω′, x) dω′
• ondef(x, ω′, ω) e o “nucleo de colisao”.
– p. 72/134
O Modelo Matemático para CT
• No caso da interacao com o corpoconsiderando-se o espalhamento, a solucao tem aforma:
ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x− tω)e−∫
t
0q(x−sω)ds + R(t, ω, x)
• Na pratica, considera-seR(t, ω, x) comoruıdo.
– p. 73/134
O Modelo Matemático para CT
• Densidade de radiacao emitida dex na direcaoω:
Ie(x) = ϕ0(x)
• Densidade de radiacao detectada:
Id(x) = ϕ0(x)e−∫∞
−∞q(x−sω)ds
• Valor calculado:
lnIe(x)
Id(x)=
∫ ∞
−∞
q(x − sω)ds
– p. 74/134
O Modelo Matemático para CT
O problema se reduza questao de determinarq(x) apartir do conhecimento de suas integrais de linha quepassam pela regiaoΩ
y
IRN
v
ω
x
J1
J2
ω⊥
– p. 75/134
A Transformada Raios-X
– p. 76/134
A Transformada Raio-X
• Problema:E possıvel determinar uma funcaoq(x) com domınio emΩ a partir de suas integraisde linha?
Pω[q](x) =
∫ ∞
−∞
q(x − sω) ds
• A solucao deste problema foi obtida em 1917pelo matematico austrıaco J. Radon, nos seusestudos de reconstrucao de imagens para asequacoes do campo gravitacional.
– p. 77/134
Parte 3
Halocinese – movimento das camadas de sal
(Projeto IM-UFRJ – CENPES)
– p. 78/134
O modelo “Sedimento-Sal”
– p. 79/134
O modelo “Sedimento-Sal”
• B = Be ∪ Bv = SEDIMENTOS ∪ SAL
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
Ω
– p. 80/134
O modelo “Sedimento-Sal”
• B = Be ∪ Bv = SEDIMENTOS ∪ SAL• Be — modelo de Mooney-Rivlin (não linear) :
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
Ω
– p. 80/134
O modelo “Sedimento-Sal”
• B = Be ∪ Bv = SEDIMENTOS ∪ SAL• Be — modelo de Mooney-Rivlin (não linear) :• Bv — modelo de Stokes (linear):
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
Ω
– p. 80/134
O modelo “Sedimento-Sal”
ρx − Div Tκ = ρκg emΩ × IR
Tκnκ = p emΓ2,
u · nκ = 0 emΓ1,
Tκnκ × nκ = 0 emΓ1,
+ condições iniciais
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
Ω
– p. 81/134
Notação
• κ : B → IR3 configuração de referência:
κ : B → Bκ ⊂ IR3 bijetora.
– p. 82/134
Notação
• κ : B → IR3 configuração de referência:
κ : B → Bκ ⊂ IR3 bijetora.• O movimento deB pode ser descrito por uma
família de aplicações a um parâmetro
χ : Bκ × IR → IR3.
X
Bκ
χ(·, t)−→
x
Bt
– p. 82/134
Notação
X
Bκ
χ(·, t)−→
x
Bt
• χ(·, t) descreve a deformação do corpo noinstantet em relação à configuração dereferência;
– p. 83/134
Notação
X
Bκ
χ(·, t)−→
x
Bt
• χ(·, t) descreve a deformação do corpo noinstantet em relação à configuração dereferência;
• x = χ(X, t) descreve a posição do ponto materialX no instantet.
– p. 83/134
Notação
X
Bκ
χ(·, t)−→
x
Bt
• χ(·, t) descreve a deformação do corpo noinstantet em relação à configuração dereferência;
• x = χ(X, t) descreve a posição do ponto materialX no instantet.
• F = Gradχ denotas o gradiente de deformação
– p. 83/134
Notação
X
Bκ
χ(·, t)−→
x
Bt
• χ(·, t) descreve a deformação do corpo noinstantet em relação à configuração dereferência;
• x = χ(X, t) descreve a posição do ponto materialX no instantet.
• F = Gradχ denotas o gradiente de deformação
• Em coordenadasxi = χi(Xα, t) eFiα = ∂χi
∂Xα
.
– p. 83/134
Notação
• t 7→ χ(X, t) descreve a trajetória do pontomaterialX.
– p. 84/134
Notação
• t 7→ χ(X, t) descreve a trajetória do pontomaterialX.
• Velocidade e Aceleração:
v(X, t) =∂
∂tχ(X, t) = χ(X, t)
a(X, t) =∂2
∂t2χ(X, t) = χ(X, t).
– p. 84/134
Notação
• t 7→ χ(X, t) descreve a trajetória do pontomaterialX.
• Velocidade e Aceleração:
v(X, t) =∂
∂tχ(X, t) = χ(X, t)
a(X, t) =∂2
∂t2χ(X, t) = χ(X, t).
• F = Gradχ = Gradv, ou em coordenadas,
Fiα =∂vi
∂Xα
=∂vi
∂xj
∂xj
∂Xα
=∂vi
∂xj
Fjα.
– p. 84/134
As equações de movimento — descrição Euleriana
As equações do movimento são dadas por
ρx − div T = ρb,
ou, em coordenadas,
ρxi −∂
∂xj
Tij = ρbi, i = 1, 2, 3,
ondeT (x, t) é o Tensor de Tensões (Tensor deCauchy).
– p. 85/134
As equações de movimento — descrição Lagrangeana
Na configuração de referência, as equações domovimento se escrevem
ρ0x − Div Tκ = ρ0b,
onde• ρ0 = (det F )ρ
• Tκ = (det F )TF−T é o Tensor dePiola-Kirchhoff.
– p. 86/134
Equações Constitutivas
• Para materiais viscoelásticos, supõe-se queT (econseqüentementeTκ) é função deF e F , isto é,
T = F(F, F ) ⇐⇒ Tκ = Fκ(F, F ).
– p. 87/134
Equações Constitutivas
• Para materiais viscoelásticos, supõe-se queT (econseqüentementeTκ) é função deF e F , isto é,
T = F(F, F ) ⇐⇒ Tκ = Fκ(F, F ).
• Nas teorias constitutivas, duas condições sãoessenciais para se estabelecer restrições (físicas)nesta dependência com relação aF e F , a saber:• a objetividade euclidiana(EO);• o princıpio da indiferenca do material ao
referencial(MFI).
– p. 87/134
Deformações Quase-estáticas
Para processos muito lentos, (regimesquase-estaticos), x = 0:
−Div Tκ = ρ0b.
• Tκ não linear emF e F
– p. 88/134
Deformações Quase-estáticas
Para processos muito lentos, (regimesquase-estaticos), x = 0:
−Div Tκ = ρ0b.
• Tκ não linear emF e F
• Aproximações lineares podem ser consideradasno caso de pequena deformações.
– p. 88/134
O modelo “Sedimento-Sal”
ρx − Div Tκ = ρκg emΩ × IR
Tκnκ = p emΓ2,
u · nκ = 0 emΓ1,
Tκnκ × nκ = 0 emΓ1,
+ condições iniciais
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
Ω
– p. 89/134
O modelo “Sedimento-Sal” quase estático
−Div Tκ = ρκg emΩ × IR
Tκnκ = p emΓ2,
u · nκ = 0 emΓ1,
Tκnκ × nκ = 0 emΓ1,
u(X, t0) = u0(X) emΩ,
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
Ω
– p. 90/134
Aproximação Linear Incremental: o método ALI
Br
F0
−→Bκt0
I+H
−→Bκt
– p. 91/134
Formulação variacional do modelo “Sedimento-Sal”
• O espaço funcional
V = u ∈ (H1(Ω))3 ; u · nκ = 0 emΓ1
– p. 92/134
Formulação variacional do modelo “Sedimento-Sal”
• O espaço funcional
V = u ∈ (H1(Ω))3 ; u · nκ = 0 emΓ1
• A forma linear
N (w) =
∫
Ω
ρκwigidV −
∫
Ω
∂wi
∂xj
T 0ijdV +
∫
Γ2
wipidΓ
– p. 92/134
Formulação variacional do modelo “Sedimento-Sal”
As formas bilineares
K(w, u) =
∫
Ω
∂wi
∂xj
(T 0ij+βδij)
∂uk
∂xk
dV −
∫
Ω
∂wi
∂xj
T 0ik
∂uj
∂xk
dV
L(w, u) =
∫
Ω
∂wi
∂xj
Lijkl
∂uk
∂xl
dV,
M(w, u) =
∫
Ω
∂wi
∂xj
Mijkl
∂uk
∂xl
dV
– p. 93/134
Formulação variacional do modelo “Sedimento-Sal”
• O problema variacional
– p. 94/134
Formulação variacional do modelo “Sedimento-Sal”
• O problema variacional• Dadou0 ∈ V, determinaru(X, t) satisfazendo
u(·, t0) = u0, u(·, t) ∈ V, ∀t ≥ t0
K(w, u)+L(w, u)+M(w, u) = N (w), ∀w ∈ V
– p. 94/134
Experimentos Numéricos
– p. 95/134
Exemplo 1 – Viabilidade do Método ALI
Modelo de Mooley-Rivlin para ocizalhamento puro emIR2
– p. 96/134
Exemplo 1 – Viabilidade do Método ALI
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
N = 0
– p. 97/134
Exemplo 1 – Viabilidade do Método ALI
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
N = 40
– p. 98/134
Exemplo 1 – Viabilidade do Método ALI
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
N = 80
– p. 99/134
Exemplo 1 – Viabilidade do Método ALI
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
N = 120
– p. 100/134
Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade doMétodo ALI
Modelo de Hencky (que generaliza a Lei deHooke)
T = T (B) = λ(tr e)I + 2µe
e =1
2(I − B−1) =
1
2(h + hT − hT h)
h = ∇xu
– p. 101/134
Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade do Método ALI
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
L
– p. 102/134
Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade do Método ALI
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10
’w0’
– p. 103/134
Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade do Método ALI
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10
’w50’
– p. 104/134
Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade do Método ALI
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10
’w100’
– p. 105/134
Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade do Método ALI
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10
’w200’
– p. 106/134
Exemplo 3 – O Efeito do EmpuxoNa presença de empuxo – densidades
diferentes
– p. 107/134
Exemplo 3 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’n=0’
– p. 108/134
Exemplo 3 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’n=100’
– p. 109/134
Exemplo 3 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’n=1000’
– p. 110/134
Exemplo 3 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’n=10000’
– p. 111/134
Exemplo 4 – O Efeito do EmpuxoNa ausência de empuxo – densidades iguas
– p. 112/134
Exemplo 4 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’x0’
– p. 113/134
Exemplo 4 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’x100’
– p. 114/134
Exemplo 4 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’x1000’
– p. 115/134
Exemplo 4 – O Efeito do Empuxo
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
’x10000’
– p. 116/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
Dinâmica deflagrada pela presença de umaperturbação na interface
Γ1 Γ1
Γ2
Γ1
– p. 117/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 0
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 10
– p. 118/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 20
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 30
– p. 119/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 40
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 60
– p. 120/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 80
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 100
– p. 121/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 120
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 140
– p. 122/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 150
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 200
– p. 123/134
Exemplo 5 – O Efeito do Empuxo
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 250
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 1000
– p. 124/134
Exemplo 5 – Deformação da malha a 30 Ma
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 0
0
50
100
150
200
250
300
350
0 200 400 600 800 1000 1200
n = 300
– p. 125/134
Exemplo 6 – Grandes Extensões
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 0
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 100
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 250
– p. 126/134
Exemplo 6 – Grandes Extensões
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 500
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 750
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 1000
– p. 127/134
Exemplo 6 – Grandes Extensões
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 1250
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 1500
– p. 128/134
Exemplo 6 – Deformação da malha a 150 Ma
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 1500
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
n = 1500
– p. 129/134
Exemplo 7 – Grandes Extensões
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 0
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 10
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 250
– p. 130/134
Exemplo 7 – Grandes Extensões
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 500
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 750
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 1000
– p. 131/134
Exemplo 7 – Grandes Extensões
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 1250
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 1500
– p. 132/134
Exemplo 7 – Deformação da malha a 150 Ma
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 1500
0
100
200
300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
n = 1500
– p. 133/134
Obrigado
– p. 134/134