Procura-se pela Função:Alguém viu?
Wanderley Moura RezendeDepartamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática – UFF
Andréa Vieira TheesEspecialização em Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio- UFF
2ª JorMat FEBF - FFP
Origem
Objetivo Permitir que os participantes reflitam sobre como está
acontecendo o ensino das funções reais na educação básica.
Projeto de Pesquisa intitulado Uma Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico de Matemática, de autoria do Profº Wanderley Rezende.
A Oficina - Introdução
“O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo.”
Caraça (1942)
O caminho natural para o estudo das funções reais seria caracterizá-las conforme a maneira que variam.Será que este caminho é seguido na educação básica?
Livro didático - Botelho (2005) e Souza Sá (2005): Predominância da representação algébrica
injetividade/sobrejetividade, crescimento/decrescimento x quanto e como cresce/decresce
zeros da função x pontos críticos da função
Gráfico - “plotado” através de uma tabela de valores “notáveis”
Correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”
Ausência de tópicos que analisem o comportamento da variabilidade e de exercícios de modelagem
1G – Dante
DEFI NI ÇÃO
FUNÇÃOLI NEAR
GRÁFI CO NOPLANO
CARTESI ANO
CRESCI MENTO EDECRESCI MENTO
POSI ÇÃO RELATI VAENTRE DUAS RETAS
I NEQUAÇÕES
ZERO DAFUNÇÃO
PROPORCI ONALI DADE
TAXA DEVARI AÇÃO
TABELA DEVALORES
EQUAÇÃO DO1° GRAU
ESTUDO DOSI NAL
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
2G - Dante
Equação do 2° grau
Imagem da Função
COORDENADAS DO Vértice
Valores Máximo e Mínimo
Inequações
Abertura da parábola
INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE
Tabela de valores
Taxa de variação
Gráfico no Plano
Cartesiano
Definição
Concavidade
EIXO DE SIMETRIA
SINAL DA FUNÇÃO
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
CÁLCULO
Qual a importância do estudo da variações de funções reais na educação básica?
Problemas em geral não trazem fórmulas em seus enunciados. As quantidades são variáveis - tempo, lucro, temperatura, peso,
população, demanda, preço, ... Não existem grandes vantagens em saber apenas que “o preço da
gasolina vai subir” ou que “as taxas de juros no varejo caíram”. O exercício da cidadania envolve também o conhecimento sobre
como e o quanto variam as grandezas presentes em problemas da nossa vida cotidiana.
Completar o ensino básico tendo ferramentas para interpretar o mundo que o cerca, numa sociedade cada vez mais complexa.
A contribuição da História da Matemática
Conceito de função // conceito de variável
O uso de símbolos na matemática: álgebra desenvolvida na Grécia por Diofanto (200/214-
284/298); álgebra hindu.
Desenvolvimento da cinemática na Idade Média pelos filósofos escolásticos
Nicolau de Oresme / Richard Suiseth (Calculator)
Representação duplamente significativa: por um lado mostra duas grandezas relacionadas entre si,
variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta variação através de um gráfico.
O conceito de função se estabelece, implicitamente, por meio da curva (uma reta) ...
A “matematização” do conceito de função
Galileu e a função quadrática
Galileo Galilei1564-1642
© Instituto e Museo di Storia della Scienza
(...) o espaço percorrido por um corpo em queda
livre é diretamente proporcional ao
quadrado do tempo levado para percorrer
este espaço.
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© 2006 Institute and Museum of the History of Sciencefonte: http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
5
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
0 1 2
1 3 2
2 5 2
3 7 2
4 9 2
5
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
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1 3 2
2 5 2
3 7 2
4 9 2
5
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
0 0 1 2
1 1 3 2
2 5 2
3 7 2
4 9 2
5
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
0 0 1 2
1 1 3 2
2 4 5 2
3 7 2
4 9 2
5
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
0 0 1 2
1 1 3 2
2 4 5 2
3 9 7 2
4 9 2
5
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
0 0 1 2
1 1 3 2
2 4 5 2
3 9 7 2
4 16 9 2
5
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
t s s s)
0 0 1 2
1 1 3 2
2 4 5 2
3 9 7 2
4 16 9 2
5 25
“Se subdividirmos o intervalo de tempo em partes iguais, a distância percorrida, em cada um destes, estará na razão 1, 3, 5, 7, ...”
Fonte: Instituto e Museu da História da Ciênciahttp://brunelleschi.imss.fi.it/museum/emulti.asp?player=wmv&codice=500045&banda=h
“(...) o espaço percorrido pelo corpo é diretamente proporcional ao quadrado do tempo usado para percorrer este espaço.”
RESOLVER AS 3 PRIMEIRAS ATIVIDADES
Contribuição das novas tecnlogias
Planilha
Geogebra
1) A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento uniforme que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia?
Tempo (horas)
0 1 2 3 4
Espaço (km)
40 70 100 130 160
Atividades
dt = 1
t S(t) ΔS Δ2S0 401 702 1003 1304 160
dt = 1
t S(t) ΔS Δ2S0 401 70 302 100 30 03 130 30 04 160 30 0
s é uma função afim do tipos(t) = at +b
Substituindo, temos:40 = s(0) = a.0 + b = b → b = 4070 = s(1) = a.1 + b → a = 70 – b = 70 – 40 = 30
Logo, s(t) = 30t + 40
Como estamos procuramos s(120), basta substituir:120 = 30.t + 40 → t = 8/3
Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia depois de 2h e 40min.
2) Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente variável ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela:
Tempo (s)
0 10 20 30 40 50
Posição (cm)
17 45 81 125 177 237
Calcular a posição do móvel nos instantes 5 s e 35 s.
dt = 10
t s(t) Δs Δ2s0 17
10 4520 8130 12540 17750 237
dt = 10
t s(t) Δs Δ2s0 17
10 45 2820 81 3630 125 4440 177 5250 237 60
dt = 10
t s(t) Δs Δ2s0 17
10 45 2820 81 36 830 125 44 840 177 52 850 237 60 8
s é uma função quadrática do tipo s(t) = at2 +bt + c
811720400
451710100
172040020.20.)20(81
171010010.10.)10(45
170.0.)0(17
2
2
2
ba
ba
bacbas
bacbas
cccbas
Substituindo, temos:
Resolvendo o sistema, temos:
5
12811720
25
1400
25
1
200
8
917200
811720400
903420200
bba
a
ba
ba
Logo, 175
12
5)(
2
ttts
Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar s(5) e s(35):
Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30 cm e no instante 35s era150 cm.
150178449175
35.12
5
35)35(
3017121175
5.12
5
5)5(
2
2
s
s
3) Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte:
º C º N
18º 0º
43º 100º
Em que temperatura a água ferve na escala N?
dt = 25
t t(c) Δt Δ2t18 043 100 100
t é uma função afim do tipot(c) = ac +b
Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir:
Substituindo, temos:
7241002510043
018
43.100
18.0
.)(
baaba
ba
ba
ba
bcact
Logo, 724)( cct
3287240072100.4)( ct
Ou seja, na escala N, a água ferve a 328º.
4) Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de seis horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados ao lado:
Quanto tempo de gravação resta na fita?
Volta (n)
Tempo (t)
100 555
200 1176
300 1863
400 2616
dn = 100
n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176300 1863400 2616
dn = 100
n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176 621300 1863 687400 2616 753
dn = 100
n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176 621300 1863 687 66400 2616 753 66
t é uma função quadrática do tipo t(n) = an2 +bn + c
186330090000
117620040000
55510010000
1863300.300.)300(
1176200.200.)200(
555100.100.)100(
2
2
2
cba
cba
cba
cbat
cbat
cbat
Substituindo, temos:
Resolvendo o sistema, temos:
65410040000
62110030000
130820080000
62110030000
18631001000055530090000
11761001000055520040000
: temos,(III) e (II) em dosubstituin ,
10010000555 ),(
186330090000
117620040000
55510010000
ba
ba
ba
ba
baba
baba
Logo
bacquetemosIde
IIIcba
IIcba
Icba
0100
522.100
10000
33.10000555
100
52299621100621100
10000
3330000.
10000
333310000
cc
bbbaa
Logo, nnnt 22,50033,0)( 2
Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho gravado, ou seja:
25,241.19135.925,106.101750.22,51750.0033,0)1750( 2 t
O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo total da fita (6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de gravação (19.241,25s):
21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s ou seja, 39min e 31s
5) Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma excursão. O preço por passageiro é de R$ 30,00 reais acrescido de uma taxa de 1 real por lugar vazio no ônibus. Determinar uma função que relacione o número de lugares vazios com a rentabilidade do dono do Ônibus.
dn = 1
n P(n) ΔP Δ2P1 772 152 753 225 73 -24 296 71 -2
P é uma função quadrática do tipo P(n) = an2 +bn + cSubstituindo, temos:
22539
15224
77
2253.3.)3(
1522.2.)2(
771.1.)1(
2
2
2
cba
cba
cba
cbaP
cbaP
cbaP
Resolvendo o sistema, temos: 0,78 ,1 cba
Logo, nnnP 78)( 2
6) (UERJ-2002) O movimento uniformemente acelerado de um objeto pode ser representado pela seguinte progressão aritmética:
7 11 15 19 23 27...
Estes números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Determine a função horária que descreve a posição deste objeto. (adaptado)
dt = 1
t S(t) ΔS Δ2S0 01 7 72 18 11 43 33 15 44 52 19 45 75 23 46 102 27 4
S é uma função quadrática do tipo S(n) = an2 +bn + cSubstituindo, temos:
3339
1824
7
333.3.)3(
182.2.)2(
71.1.)1(
2
2
2
cba
cba
cba
cbaS
cbaS
cbaS
Resolvendo o sistema, temos: 0,5 ,2 cba
Logo, tttS 52)( 2
Considerações finais Qual o motivo desta omissão?
Qual a dificuldade em se tratar, no ensino médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”?
Precisamos recuperar os “escolásticos”... Caracterizar as funções conforme “o modo” que variam.
Incentivar os alunos na busca por padrões e regularidades no estudo da variação das funções (novas tecnologias)
Utilizar processos de modelagem (modelação matemática) como instrumento didático.
Reorientar as articulações do conteúdo programático: PA / PG / Seqüências / Funções reais
Possibilitar, na atividade pedagógica, grande variedade de representações do conceito de função.
Referências BOTELHO, L.M.L. (2005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma
Proposta. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói.
BOYER, C. B. História da Matemática. (1991) 2a edição. Edgard Blücher, São Paulo, tradução de Elza Gomide de título original, Edgard Blucher, S. Paulo, 1974.
BOYER, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications Inc., New York.
CABRAL, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. USP, São Paulo.
CARAÇA, B. de J. (1989) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Livraria Sá da Costa Editora, Lisboa.
LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. & MORGADO, A.C. (2001) A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. v. 1. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro
KLINE, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, v.1. Oxford University Press, de Oxford, Inglaterra..
REZENDE, W. M. (2003a) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. USP, São Paulo.
REZENDE, W. M. (2003b) Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. UFF, Niterói.
RÜTHING, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The Mathematical Intelligencer, v. 6, (4), 72-77.
SIERPINSKA, A. (1987) Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational Studies in Mathematics, 18.
SOUZA SÁ, S. L. de (2005) Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói.