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Sistemas de Equações Lineares e Operações Elementares
Sistemas de equações LinearesUm sistema de equações lineares ou
simplesmente sistema linear é um conjunto de equações da forma
em que e são constantes reais, para e .
ija kb, 1, ,i k m 1, ,j n
Na forma Matricial
Solução do sistema Uma solução de um sistema linear é uma matriz
tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos
O conjunto de todas as soluções do Sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema.
A é chamada matriz do sistema linear.
Exemplo 1O sistema linear de duas equações e duas
incógnitas
pode ser escrito como
A solução (geral) do sistema acima é 1/3
2 /3X
Resolução de um sistemaUma forma de resolver um sistema linear é
substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver, através de operações elementares:
• Trocar a posição de duas equações do sistema;• Multiplicar uma equação por um escalar
diferente de zero;• Somar a uma equação outra equação
multiplicada por um escalar.
Matriz aumentada
DefiniçãoUma operação elementar sobre as linhas de
uma matriz é uma das seguintes operações:
• Trocar a posição de duas linhas da matriz;
• Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
• Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha.
Teorema 1Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D,
são tais que a matriz aumentada[C ∣ D] é obtida de [A ∣ B] aplicando-se uma
operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.
ObservaçãoDois sistemas que possuem o mesmo
conjunto soluao são chamados sistemas equivalentes.
Portanto, segue-se do Teorema 1 que aplicando-se operações elementares às equações de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes.
Método de Gauss-JordanConsiste na aplicação de operações
elementares às linhas da matriz aumentada do sistema, até que obtenhamos uma matriz em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo (chamado pivô) o número 1 .
Além disso, se uma coluna contém um pivô,então todos os seus outros elementos terão
que ser iguais a zero.
ExemploUma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando
dois tipos de insumo, A e B.Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1
grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; Para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de
insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$2,00, R$3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2.500,00.
Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
Solução
Solução
2 1 22L L L
3 1 32L L L
1 1 1 10002 1 42 3 5
20002500
1 1 1 10000 1 20 3 5
0500
2 2L L
1 1 1 10000 1 20 3 5
0500
1 2 1L L L
3 2 3L L L
1 0 3 10000 1 20 0 5
0500
1 0 3 10000 1 20 0 1
0100
3 315
L L
1 0 0 7000 1 00 0 1
200100
1 3 13L L L
2 3 22L L L
Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.
Solução
1 0 0 7000 1 00 0 1
200100
Matriz escalonada reduzida
DefiniçãoUma matriz está na forma escalonada reduzida
quando satisfaz as seguintes condições:(a) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas;(b) O pivô de cada linha não nula é igual a 1;(c) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da
linha anterior.(d) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus
outros elementos são iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d), dizemos que ela está na forma escalonada.
( )ij m nA a
Exemplos
Escalonada reduzida Escalonada reduzida
Escalonada Escalonada
ExemploConsidere o sistema
Sua matiz aumentada é
Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema
que não possui solução.
Exemplo
1 3 13 90 1 50 2 10
28
1 2 13L L L
3 2 32L L L
1 0 2 30 1 50 0 0
24
ExemploConsidere o sistema
a sua matriz aumentada é
0 0 3 65 15 101 3 1
457
9405
Exemplo
0 0 3 65 15 101 3 1
457
9405
0 0 3 65 15 101 3 1
457
9405
1 3L L
0 0 3 60 0 51 3 1
107
9155
2 1 25L L L 2 2
15
L L 0 0 3 60 0 11 3 1
27
935
1 1 2L L L 0 0 0 00 0 11 3 0
25
032
3 2 33L L L Matriz escalonada reduzida.
Exemplo
0 0 0 00 0 11 3 0
25
032
w y 5 2 3x 2 3z
Assim, a solução geral do sistema é
, R
Obrigado!