PUC - CampinasCEATEC – Centro de Ciências Exatas, Ambientais e de Tecnologias

Faculdade de Engenharia Civil

TTooppogogrraaffiaia AA

- 2009 -

Topografia A i

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT. Execução de levantamento topográfico, NBR 13133, Rio de Janeiro, 1994BORGES, A.C. Exercícios de Topografia. Ed. Edgard Blucher Ltda, 1975BORGES, A.C. Topografia aplicada à engenharia civil. São Paulo, Ed. Edgard Blücher Ltda.,

1992BRANDALIZE, M. C. B. Apostilas diversas. PUC/PRESPARTEL, L. Curso de topografia. Porto Alegre, Ed. Globo, 1977GARCIA, G.J. & PIEDADE, G.C.R. Topografia aplicada às ciências agrárias. Livraria Nobel,

1989IBGE. Especificações e normas gerais para levantamentos, GPS, IBGE, DGC, 1993MCCORMAC, J. Topografia. Rio de Janeiro, LTC, 2007

Professor José Liberato Bozzabozza@puc-campinas.edu.brftp: pub/professores/ceatec/bozza/Topografia Askipe: jose.liberato.bozza

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Parte 1

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1. Conceitos fundamentais

Agrimensura: a agrimensura atua na medição, demarcação e divisão de terras, além de atuar também nas mais variadas obras de engenharia. No Brasil dividimos a Agrimensura em Topografia e Geodésia.

Diferença entre Geodésia e Topografia: a Topografia é muitas vezes confundida com a Geodésia, pois utilizam os mesmos equipamentos e praticamente os mesmos métodos para o mapeamento da superfície terrestre. Porém, enquanto a Topografia tem por finalidade mapear uma área limitada daquela superfície, a Geodésia tem por finalidade mapear grandes porções desta mesma superfície, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade. Portanto, pode-se afirmar que a Topografia, menos complexa e restrita, é apenas um capítulo da Geodésia, ciência muito mais abrangente.

1.1. TopografiaDefinição: a palavra "Topografia" deriva das palavras gregas "topos" (lugar) e

"graphen" (descrever), o que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar.

Origem: a topografia provavelmente teve início no Antigo Egito. Sabe-se que as pirâmides foram construídas com medidas exatas, dentro de proporcionalidades pré-estabelecidas. Também há evidências de levantamentos topográficos (cadastrais), às margens do Rio Nilo, onde as cheias destruíam os limites das terras e havia então a necessidade de novas demarcações para restabelecer os limites das propriedades.

Figura 1 – Levantamentos topográficos na antiguidades

Finalidade: determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da esfericidade da Terra, através de medições de ângulos, distâncias e desníveis que permita representar essa porção da superfície terrestre em uma escala adequada. Às operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a posterior representação, denomina-se de levantamento topográfico.

Compete ainda à Topografia a locação no terreno de projetos elaborados de Engenharia. Também compete os levantamentos as-built (como construído) que são feitos após o término da construção, para fornecer as posições e dimensões das características do projeto, do modo como ele foi realmente construído.

Importância: ela é a base de qualquer projeto e de qualquer obra realizada por engenheiros ou arquitetos. Por exemplo, os trabalhos de obras viárias, núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, hidrografia, usinas hidrelétricas, telecomunicações, sistemas de água e esgoto, planejamento, urbanismo, paisagismo, irrigação, drenagem, cultura, reflorestamento etc., se desenvolvem em função do terreno sobre o qual se assentam. Portanto, é fundamental o

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conhecimento pormenorizado deste terreno, tanto na etapa do projeto, quanto da sua construção ou execução; e, a Topografia, fornece os métodos e os instrumentos que permitem este conhecimento do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou serviço.

1.1.1. Dispositivos de SegurançaDurante todo e qualquer levantamento topográfico ou geodésico os cuidados com o

equipamento e com o pessoal envolvido são fundamentais para o bom andamento dos serviços.

Em alguns países, é obrigatória a utilização de certos dispositivos de segurança que permitem a visualização e o reconhecimento de equipamentos e pessoas à distância, bem como, de controle e desvio do tráfego em áreas urbanas ou em estradas. Recomendamos essa prática.

A figura a seguir ilustra alguns destes dispositivos.

Figura 2 – Dispositivos de segurança

1.2. Levantamentos TopográficosO levantamento topográfico é definido por: “Conjunto de métodos e processos que,

através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.” NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3).

O levantamento topográfico pode ser dividido em:- Levantamento topográfico PLANIMÉTRICO, compreendendo o conjunto de operações

necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno (ângulos e distâncias) que serão projetados sobre um plano horizontal de referência através de suas coordenadas X e Y (representação bidimensional)

- Levantamento topográfico ALTIMÉTRICO, compreendendo o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que, além de serem projetados sobre um plano horizontal de referência, terão sua representação em relação a um plano de referência vertical ou de nível através de suas coordenadas X, Y e Z (representação tridimensional).

É conveniente ressaltar que os levantamentos planimétricos e/ou altimétricos são definidos e executados em função das especificações dos projetos. Assim, um projeto poderá exigir somente levantamentos planimétricos, ou, somente levantamentos altimétricos, ou ainda, ambos os levantamentos. Ao conjunto de métodos abrangidos pelo estudo e aplicação dos processos de medidas (geometria aplicada – ângulos e distâncias) pela planimetria e pela altimetria dá-se o nome de TOPOMETRIA (mais conhecida como Planialtimetria).

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1.2.1. RepresentaçãoA porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é substituída por uma

representação simplificada, isto é, o terreno existente é substituído por um modelo topográfico e representado através de uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica. Isto equivale dizer que não só os limites desta superfície, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão projetadas sobre um plano horizontal.

A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta Topográfica ou Plano Topográfico. A figura a seguir representa exatamente a relação da superfície terrestre e de sua projeção sobre o papel.

Figura 3 – Superfície Topográfica - Plano Topográfico

A porção da superfície terrestre pode também ser representada pela FOTOGRAMETRIA, que tem por objetivo fotografar trechos da superfície terrestre para a elaboração de mapas topográficos/geodésicos planialtimétricos.

A classificação da aerofotogrametria se faz segundo o tipo e posição espacial da câmera e segundo a sua finalidade.

a) Fotogrametria AéreaUtiliza-se de fotografias obtidas de estações móveis no espaço (avião ou balão), com

o eixo ótico da câmera na vertical (ou quase).

Figura 4 – Fotogrametria Aérea - plano de vôo

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Figura 5 – Fotografia Aérea - recobrimento

b) Fotogrametria EspacialUtiliza-se de fotografias obtidas de estações móveis fora da atmosfera da Terra e das

medições feitas com câmeras fixas (chamadas câmeras balísticas) na superfície da Terra.

Figura 6 – Fotogrametria Espacial - cortesia Satimagens

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Bela Vista de Goiás (GO)

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Figura 7 – Fotogrametria Espacial - cortesia Intersat

c) Fotogrametria TerrestreUtiliza-se de fotografias obtidas de estações fixas sobre a superfície do terreno, com

o eixo ótico da câmera na horizontal (fotografias horizontais).

Quando a Fotogrametria (aérea, terrestre ou espacial) utiliza-se do computador para a elaboração de mapas, ou seja, todo o processo de transformação da imagem fotográfica em mapa é realizado matematicamente pelo computador, diz-se que aquela é Numérica. Atualmente, além do processo de transformação da imagem fotográfica em mapa ser realizado pelo computador, o produto que gerou o mapa, no caso a fotografia, e o próprio mapa gerado, podem estar armazenados em meio magnético na forma de imagem. Neste caso, a Fotogrametria passa a ser denominada Digital.

1.2.2. Outros conceitosFotointerpretação: é o estudo sistemático de imagens fotográficas para propósitos

de identificação de objetos e julgamento da sua significância. Sua finalidade é o levantamento de mapas temáticos.

Sensoriamento Remoto: ciência cujos aparelhos são capazes de captar e registrar características das superfícies, sub-superfícies e de corpos sobre as superfícies, abrangendo, em seu mais alto grau, instrumentos que não requerem contacto físico com estes corpos para a coleta das informações desejadas. Captam imagens através de câmeras multi-espectrais, sensores infravermelhos, scanners térmicos, radares, microondas etc.

Tanto o Sensoriamento Remoto como a Fotogrametria Métrica estão sendo largamente empregados como ferramenta no planejamento e gerenciamento de projetos que envolvem o meio ambiente e/ou recursos naturais. Ambos são utilizados como base de dados gráfica para projetos de SIG (Sistemas de Informações Geográficas) ou Geoprocessamento.

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Fazenda de gado em Campinas (SP)

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1.3. Equipamentos e Acessórios utilizados em topografia

Os principais dispositivos utilizados na medida de distâncias, também conhecidos por DIASTÍMETROS, são os seguintes:

a)Fita e Trena de Aço

Figura 8 – Trena de Aço

são feitas de uma lâmina de aço, normalmente apresentam-se enroladas em um tambor (figura acima);

desvantagens: as de fabricação mais antiga, enferrujam com facilidade e, quando esticadas com nós, se rompem facilmente. Além disso, em caso de contato com a rede elétrica, podem causar choques;

as mais modernas, no entanto, são revestidas de nylon ou epoxy e, portanto, são resistentes à umidade, à produtos químicos, à produtos oleosos e à temperaturas extremas.

b)Trena de Fibra de Vidro

Figura 9 – Trena de Fibra de Vidro

é feita de material bastante resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais); conforme figura acima, pode ser encontrada com ou sem invólucro e, este, se

presente, tem o formato de uma cruzeta; sempre apresentam distensores (manoplas) nas suas extremidades;

não se deteriora facilmente e é resistente à umidade e à produtos químicos; é bastante prática e segura.

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As medidas diretas de distância devem ser realizadas com o uso de alguns ACESSÓRIOS especiais. Os principais são:

a) Ponto Topográfico: Marco de concreto, Piquetes, Pinos e Estacas

Marco de concreto Piquete de madeira Pino de aço

Figura 10 – Ponto topográfico

Figura 11 – Piquete e Estaca

b) BalizasFigura 12 – Balizas

são pintadas em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e preto) para permitir que sejam facilmente visualizadas à distância;

devem ser mantidas na posição vertical, sobre a marcação do piquete, se necessário com auxílio de um nível de cantoneira.

c) Nível de Cantoneira

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aparelho em forma de cantoneira e dotado de bolha circular que permite à pessoa que segura a baliza posicioná-la corretamente (verticalmente) sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir.

Figura 13 – Nível de Cantoneira

Os principais aparelhos utilizados são os seguintes:

• Teodolito e/ou Nível: o teodolito é utilizado na leitura de ângulos horizontais e verticais e da régua graduada; o nível é utilizado somente para a leitura da régua.

A figura a seguir ilustra três gerações de teodolitos: o trânsito (mecânico e de leitura externa); o ótico (prismático e com leitura interna); e o eletrônico (leitura digital).

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Figura 14 – Três gerações de teodolitos

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Acessórios: entre os acessórios mais comuns de um teodolito ou nível estão: o tripé (serve para estacionar o aparelho); o fio de prumo (serve para posicionar o aparelho exatamente sobre o ponto no terreno); e a lupa (para leitura dos ângulos).

Figura 15 – Tripés de alumínio e de madeira

Temos também a Mira ou Régua Graduada que é uma régua de madeira, alumínio ou PVC, graduada em m, dm, cm e mm; utilizada na determinação de distâncias horizontais e verticais entre pontos.

A figura a seguir ilustra parte de uma régua de quatro metros de comprimento e as respectivas divisões do metro: dm, cm e mm (avaliado).

Figura 16 – Mira ou Régua graduada

Os instrumentos eletrônicos apresentam inúmeras vantagens em relação aos tradicionais, tais como: economia de tempo, facilidade de operação e, principalmente, precisão adequada aos vários tipos de trabalhos topográficos, cartográficos e geodésicos.

A medida eletrônica de distâncias baseia-se na emissão/recepção de sinais luminosos (visíveis ou não) ou de microondas que atingem um anteparo ou refletor. A distância entre o emissor/receptor e o anteparo ou refletor é calculada eletronicamente e baseia-se no comprimento de onda, na freqüência e velocidade de propagação do sinal.

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Leitura na mira = 1,285m

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Alguns dos equipamentos também medem ângulos eletronicamente. Entre os principais equipamentos utilizados na medida eletrônica de distâncias e/ou ângulos, pode-se citar:

a) Teodolito Eletrônico• é um dispositivo com ótica de alto rendimento, mecânica de precisão, facilidade de

utilização e altíssima confiabilidade;• normalmente faz parte de um sistema modular que permite adaptar outros

equipamentos de medição (p.ex. um distanciômetro) que se adequará às suas novas necessidades a um custo reduzido;

A figura a seguir ilustra um teodolito eletrônico da marca ZEISS. Percebem-se os visores LCD correspondentes ao ângulo vertical e horizontal medidos pelo aparelho.

Figura 17 – Teodolito eletrônico Zeiss

A figura a seguir ilustra um teodolito eletrônico da marca LEICA (modelo T460d) e uma trena eletrônica, também da LEICA, a ele acoplada para a medição das distâncias.

Figura 18 – Teodolito eletrônico e trena eletrônica Leica – prumo a laser

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b) Distanciômetro Eletrônico• é um equipamento exclusivo para medição de distâncias (DH, DV e DI);

• a tecnologia utilizada na medição destas distâncias é a do infravermelho;

A figura a seguir ilustra a vista posterior (teclado e visor) e anterior (emissor e receptor do infravermelho) de um distanciômetro da marca LEICA, modelo DI3000s.

Figura 19 – Distanciômetro eletrônico Leica• é normalmente utilizado acoplado a um teodolito ótico-prismático convencional ou

a um teodolito eletrônico;• o alcance deste equipamento depende da quantidade de prismas utilizados para a

reflexão do sinal, bem como, das condições atmosféricas. Em princípio, quanto maior a quantidade de prismas acoplados ao bastão, maior é o alcance do equipamento;

• o prisma é um espelho circular, de faces cúbicas, utilizado acoplado a uma haste de metal ou bastão e que tem por finalidade refletir o sinal emitido pelo aparelho precisamente na mesma direção em que foi recebido;

• o sinal refletor (bastão + prismas) deve ser posicionado sobre o ponto a medir, na posição vertical, com a ajuda de um nível de bolha circular e, em trabalhos de maior precisão, deverá ser montado sobre um tripé com prumo ótico ou a laser;

A figura a seguir ilustra um bastão, prismas e um tripé específico para bastão.

Figura 20 – Bastão, prismas e tripé

c) Estação Total• uma estação total é o conjunto definido por um teodolito eletrônico, um

distanciômetro a ele incorporado e um microprocessador que automaticamente monitora o estado de operação do instrumento;

• as medidas obtidas com o levantamento podem ser registradas em cadernetas de campo convencionais, através de coletores de dados, ou, como no caso dos

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equipamentos mais modernos, através de módulos específicos (tipo cartão PCMCIA) incorporados ao próprio aparelho;

• este tipo de equipamento é capaz de medir ângulos horizontais e verticais (teodolito) e distâncias horizontais, verticais e inclinadas (distanciômetro), além de poder processar e mostrar ao operador uma série de outras informações, tais como: condições do nivelamento do aparelho, número do ponto medido, altitude do ponto, a altura do aparelho, a altura do bastão etc.;

A figura a seguir ilustra uma estação total da TOPCON, modelo GTS-236W, com leitura de 1", alcance de 3000m com 1 prisma, duplo compensador, memória para 8000 pontos com todos atributos ou 16000 pontos de coordenadas, a prova d’água.

Figura 21– Estação total Topcon GTS-236W

d) Equipamentos Motorizados, Automáticos e Robotizados• podem ser teodolitos ou estações total;• os automáticos combinam a tecnologia dos motorizados com o reconhecimento

automático do alvo (estático ou dinâmico);• os robotizados combinam a tecnologia dos automáticos com o acionamento por

controle remoto;A figura a seguir ilustra uma estação total da Trimble, robótica, com leitura de 1",

precisão angular de 5", precisão linear 3mm+3ppm, alcance de 400m sem prisma, 5500m com 1 prisma.

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Figura 22 – Estação Total Trimble 5503 S-DR

Para a obtenção das distâncias verticais ou diferenças de nível entre pontos os equipamentos utilizados são:

a) Nível ÓticoPossui um nível de bolha circular para o nivelamento da base (pode também conter um nível de bolha tubular e/ou nível de bolha bipartida).

Figura 23 – Nível ótico e régua graduada da marca BERGER

b) Nível Digital

• é um nível para medição eletrônica e registro automático de distâncias horizontais e verticais;

• o seu funcionamento está baseado no processo digital de leitura, ou seja, num sistema eletrônico de varredura e interpretação de padrões codificados;

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• para a determinação das distâncias o aparelho deve ser apontado e focalizado sobre uma régua graduada cujas divisões estão impressas em código de barras (escala binária);

• os valores medidos podem ser armazenados internamente pelo próprio equipamento ou em coletores de dados. Estes dados podem ser transmitidos para um computador através de uma interface padrão;

c) Nível a Laser

• é um nível automático cujo funcionamento está baseado na tecnologia do infravermelho;

2. Modelos Terrestres

Para o estudo da forma e dimensão da Terra, além do modelo topográfico, vamos considerar outros dois tipos de superfícies ou modelos para a sua representação. São eles:

a) Modelo GeoidalO modelo geoidal é determinado, matematicamente – conceito introduzido pelo

matemático alemão C. F. Gauss (1777 - 1855), através de medidas gravimétricas (força da gravidade) realizadas sobre a superfície terrestre. Os levantamentos gravimétricos, por sua vez, são específicos da Geodésia e, portanto, não serão abordados.

Este modelo permite que a superfície terrestre seja representada por uma superfície fictícia definida pelo prolongamento do nível médio dos mares (NMM) por sobre os continentes. Este modelo irá apresentar a superfície do terreno deformada em relação à sua forma e posição reais.

b) Modelo ElipsoidalComo o geóide é uma figura de características físicas complexas, os cartógrafos

buscaram uma figura geométrica, o elipsóide, que permite a realização de cálculos necessários à representação cartográfica de nosso planeta.

Este é o mais usual de todos os modelos que serão apresentados. Nele, a Terra é representada por uma superfície gerada a partir de um elipsóide de revolução, com deformações relativamente maiores que o modelo geoidal.

A figura a seguir ilustra os elementos do Elipsóide de Revolução.

Figura 24 – Elipsóide de Revolução

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b = raio polar

a = raio equatorial

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a: é a dimensão que representa o semi-eixo maior do elipsóide (raio equatorial).

b: é a dimensão que representa o semi-eixo menor do elipsóide (raio polar).

f: é a relação entre o semi-eixo menor e o semi-eixo maior do elipsóide, ou seja, o seu achatamento.

A figura a seguir permite reconhecer os seguintes elementos básicos do Elipsóide de Revolução.

Figura 25 – Elipsóide de RevoluçãoLinha dos Pólos ou Eixo da Terra: é a reta que une o pólo Norte ao pólo Sul e em

torno do qual a Terra gira. (Movimento de Rotação)Equador: é o círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos. Paralelos: são os círculos cujos planos são paralelos ao plano do equador. Os Paralelos

mais importantes são: Trópico de Capricórnio no hemisfério sul e Trópico de Câncer no hemisfério norte.

Meridianos: são as seções elípticas cujos planos contém a linha dos pólos e que são normais aos paralelos.

Vertical do Lugar: é a linha que passa por um ponto da superfície terrestre (em direção ao centro do planeta) e que é normal à superfície representada pelo Geóide naquele ponto. Esta linha é materializada pelo “fio de prumo” dos equipamentos de medição (teodolito, estação, nível, etc.), ou seja, é a direção na qual atua a força da gravidade.

Normal ao Elipsóide: é toda linha reta perpendicular à superfície do Elipsóide de referência. Esta linha possui um desvio em relação à vertical do lugar.

Pontos da Vertical do Lugar: o ponto (Z = ZÊNITE) se encontra no infinito superior, e o ponto (Z' = NADIR) no infinito inferior da vertical do lugar. Estes pontos são importantes

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na definição de alguns equipamentos topográficos (teodolitos) que têm a medida dos ângulos verticais com origem em Z ou em Z’.

Plano Horizontal do Observador: é o plano tangente à superfície terrestre ou topográfica num ponto qualquer desta superfície.

Coordenadas Geográficas (φ e λ): é o nome dado aos valores de Latitude e Longitude que definem a posição de um ponto na superfície terrestre.

Latitude (LAT = φ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o paralelo deste ponto e o plano do equador. Sua contagem é feita com origem no equador e varia de 0° a 90°, positivamente para o norte (N) e negativamente para o sul (S).

Longitude (LON = λ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o meridiano de origem, conhecido por Meridiano de Greenwich (na Inglaterra), e o meridiano do lugar (aquele que passa pelo ponto em questão). Sua contagem é feita de 0° a 180°, positivamente para leste (E ou L) e negativamente para oeste (W ou O).

Figur a 26a –

Latitude Figura 26b – Longitude

As cartas normalmente utilizadas por engenheiros em diversos projetos ou obras apresentam, além do sistema que expressa as coordenadas geográficas, um outro sistema de projeção conhecido por UTM – Universal Transverse Mercator. Este sistema de coordenadas será estudado em Topografia B.

DATUM: é um sistema de referência utilizado para o cômputo ou correlação dos resultados de um levantamento. Existem dois tipos de datums: o vertical e o horizontal.

O datum vertical é uma superfície de nível utilizada no referenciamento das altitudes tomadas sobre a superfície terrestre. Para origem das altitudes foram adotados Porto de Santana (AP) para o estado do Amapá e Imbituba (SC) para os demais estados do Brasil.

O datum horizontal, por sua vez, é utilizado no referenciamento das posições tomadas sobre a superfície terrestre. Este último é definido: pelas coordenadas geográficas de um ponto inicial, pela direção da linha entre este ponto inicial e um segundo ponto especificado, e pelas duas dimensões (a e b) que definem o elipsóide utilizado para representação da superfície terrestre.

Datum SAD-69 South American Datum, por exemplo, é representado pelo Vértice Chuá, situado próximo à cidade de Uberaba-MG (coordenadas: Latitude = 19°45’41,6527” S e Longitude = 48°06’04,0639” W).

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3. Grandezas Medidas num Levantamento Topográfico

As grandezas medidas em um levantamento topográfico podem ser de dois tipos: grandezas angulares e grandezas lineares.3.1. Grandezas Angulares

Figura 27 – Ângulo horizontal

3.1.1. Ângulo Horizontal (Hz): é o ângulo diedro medido entre as projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano horizontal. A figura anterior exemplifica um ângulo horizontal medido entre as arestas (1 e 2) de duas paredes de uma edificação. O ângulo horizontal é o mesmo para os três planos horizontais mostrados.

3.1.2. Ângulo Vertical (α): é medido entre um alinhamento do terreno e o plano do horizonte (são ângulos de altura). Pode ser ascendente (+) ou descendente (-), conforme se encontre acima (aclive) ou abaixo (declive) deste plano.

A figura a seguir exemplifica ângulos verticais medidos entre a aresta superior (Parede 1) e inferior (Parede 2) das paredes de uma edificação e o plano do horizonte. Os ângulos medidos não são iguais e dependem da posição (altura) do plano do horizonte em relação às arestas em questão. Varia de 0° a 90° em direção ascendente (acima do horizonte) ou de 0° a – 90° em direção descendente (abaixo do horizonte).

Figura 28 – Ângulo vertical

O ângulo vertical, nos equipamentos topográficos modernos (teodolito e estação total), pode também ser medido a partir da vertical do lugar (com origem no Zênite ou no Nadir), daí o ângulo denominar-se Ângulo Zenital (V ou Z) ou Nadiral (V’ ou Z’).

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A figura a seguir mostra a relação entre ângulos verticais e zenitais.

Figura 29 – Ângulos verticais (α) e zenitais (Z)

As relações entre o ângulo zenital e o vertical são as seguintes:

Ângulo Zenital Inclinação Sinal Direção

0° ≤ Z ≤ 90° α = 90° - Z Positivo Ascendente

90° ≤ Z ≤ 180° α = 90° - Z Negativo Descendente

3.2. Grandezas LinearesSão elas:

3.2.1. Distância Horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos, no plano horizontal. Este plano pode, conforme indicado na Figura 30, passar tanto pelo ponto A, quanto pelo ponto B em questão.

3.2.2. Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância medida entre dois pontos, num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal. Este plano vertical pode passar por qualquer um dos pontos A/A’ ou B/B’ já mencionados.

3.2.3. Distância Inclinada (DI): é a distância medida entre dois pontos, em planos que seguem a inclinação da superfície do terreno.

Figura 30 – Grandezas linearesÉ importante relembrar que as grandezas representadas pela planimetria são:

distância e ângulo horizontais (planta); enquanto as grandezas representadas pela altimetria são: distância e ângulo verticais, representados em planta através das curvas de nível ou através de um perfil – como veremos mais adiante.

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4. Unidades de Medida

Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas, as lineares e as angulares mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas, as de superfície e as de volume.

O sistema de unidades para os levantamentos topográficos utilizado no Brasil, de acordo com a ABNT na atual NBR 13.133/94, é o Métrico Decimal, porém em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua grande maioria importada, algumas unidades poderão apresentar seus valores correspondentes no sistema Americano, ou seja, em pés / polegadas. A seguir encontram-se as unidades mais comumente utilizadas para expressar cada uma das grandezas mencionadas.

4.1. Unidades de Medida Linear – sistema métrico decimalmm(E-03), cm(E-02), dm(E-01), metro, dam(E+01), hm(E+02) e km(E+03)

milímetro centímetro decímetro metro decâmetro hectômetro quilômetro

0,001 m 0,01 m 0,1 m 1 m 10 m 100 m 1.000 m

4.1.1. Unidades de Medida Linear – outras unidadespolegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m

pé = 30,48cm = 0,3048 m

jarda = 91,44cm = 0,9144 m

milha terrestre / inglesa = 1609,31 m

milha marítima = 1851,85 m4.2. Unidades de Medida Angular

Para as medidas angulares têm-se as seguintes relações:

360° (graus) = 400g (grados) = 2π (radianos)

onde π = 3,141592.

Grau (degree – DEG) = sistema sexagesimal = 1/360 da circunferência – ex: 12°16’36,37” ou 12,27676943° (decimal)

OBS: (1 grau = 60 minutos e 1 minuto = 60 segundos)

Grado (grad – GRA)= sistema decimal = 1/400 da circunferência – ex: 21,12547g

Radiano (radian – RAD)= medida de ângulo e arco – ex: 1,34 π rad = 4,209734 rad

Comparação entre as grandezas angulares.grau grado radiano

Circunferência 360° 400g 2πÂngulo reto 90° 100g π/2

Linha reta 180° 200g 1πÂngulo 30° 33,3333g π/6

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Ângulo 270° 300g 1,5πUnidades de Medida de Superfície

are = 100 m2

acre = 4.046,86 m2

hectare (ha) = 10.000 m2

ex: 1.278.493,12 m2 = 127ha 84a 93,12ca ou 127 hectares, 84 ares e 93,12 centiares

alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m2

alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = 48.400 m2

km2 = 1.000.000 m2

Unidades de Medida de Volume

m3 = 1.000 litros

dm3 = 1 litro

5. Desenho Topográfico e Escala

O desenho topográfico nada mais é do que a projeção de todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel.

Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as distâncias mantêm uma proporcionalidade entre a medida do desenho e a medida real, segundo uma razão constante. A esta razão constante denomina-se ESCALA.

A escala de uma planta ou desenho é definida pela seguinte relação:

RE d

M== 1 onde:

"R" representa qualquer comprimento linear real, medido sobre o terreno."d" representa um comprimento linear gráfico qualquer, medido sobre o papel, e que

correspondente ao comprimento medido sobre o terreno."M" é denominado Título ou Módulo da escala e representa o inverso de (d / R).A escala pode ser apresentada sob a forma de:

• fração : 1/100, 1/2.000 etc. ou proporção : 1:100, 1:2.000 etc.

Ex: 1:100.000 - Lê-se 1 para 100.000. Significa que 1cm no documento equivale a 100.000cm (mesma unidade) no terreno, ou seja, 1000m ou 1Km.

Quando se conhece a escala numérica pode-se calcular o comprimento real utilizando-se as expressões:

R = d x M M = R / d d = R / M

onde: R = comprimento real d = comprimento no documento E = Escala = 1 / M

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Um elemento de 15cm no documento cartográfico elaborado na escala 1:50.000, terá que dimensão no terreno?

E = 1/ 50.000 = 1/M d = 15cm R = d x M R = 15 x 50.000 = 750.000cm = 7,5Km

Um elemento de 11,5 Km no terreno será representado num documento cartográfico na escala de 1:50.000 com que dimensão?

R = 11,5 Km = 11.500 m = 1.150.000cm d= R / M = 1.150 000 / 50 000 = 23 cm

Qual a escala de um documento cartográfico na qual um elemento com 8,75 Km no terreno é representado por 17,5 cm?

R = 8,75 Km = 875.000cm d = 17,5 cm M= R/d = 875 000 / 17,5 = 50 000 E = 1 / M = 1 / 50 000 ou 1:50.000

5.1. Principais Escalas e suas AplicaçõesA seguir encontra-se um quadro com as principais escalas utilizadas por engenheiros

e as suas respectivas aplicações. É importante perceber que, dependendo da escala, a denominação da representação muda para planta, carta ou mapa.

Aplicação EscalaDetalhes de terrenos urbanos 1:50Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1.000Planta de propriedades rurais 1:1.000, 1:2.000 e 1:5.000Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais

1:5.000, 1:10.000 e1:25.000

Cartas de municípios 1:50.000 e 1:100.000Mapas de estados, países, continentes etc. 1:200.000 a 1:1.000.000

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Exemplos:

Planta de Cidade – 1:5.000 Carta de Região – 1:50.000

Carta de Região – 1:250.000 Mapa de Região – 1:2.500.000Figura 31 – Diferentes escalas representativas

5.2. Escala GráficaA escala gráfica é a representação gráfica de uma escala nominal ou numérica.Esta forma de representação da escala é utilizada, principalmente, para fins de

acompanhamento de ampliações ou reduções de plantas ou cartas topográficas, em processos fotográficos comuns ou xerox, cujos produtos finais não correspondem à escala nominal neles registrada. A escala gráfica é também utilizada no acompanhamento da dilatação ou retração do papel no qual o desenho da planta ou carta foi realizado. A escala gráfica fornece, rapidamente e sem cálculos, o valor real das medidas executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a redução ou ampliação sofrida por este.

A figura a seguir mostra tipos de representação da escala gráfica.

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Figura 32 – Escala gráfica

6. Medida de Distâncias Horizontais

Medir um alinhamento significa comparar esse alinhamento com uma unidade padrão pré-existente, que no Brasil é o metro, e estabelecer o número de vezes (inteiro ou fracionário) que o alinhamento contém a unidade padrão.

Como já vimos a distância horizontal (DH) entre dois pontos, em Topografia, é o comprimento do segmento de reta entre estes pontos, projetado sobre um plano horizontal.

Para a obtenção desta distância existem os seguintes métodos: método direto e método indireto de medida.

Dizemos que o método é direto quando se mede a própria distância a ser determinada e indireto quando se medem outras distâncias e ângulos que permitem o cálculo da distância desejada (por trigonometria).6.1. Medida Direta de Distâncias

O processo de medida de distâncias é direto quando esta distância é determinada com o instrumento de medida aplicado diretamente sobre o alinhamento. Temos então duas situações:

a) quando a medida da distância é feita percorrendo-se o alinhamento e b) quando utilizamos um aparelho para determinação da distância. Observamos que

alguns autores classificam esse processo de medida como “indireto”.

6.1.1. Medida Direta de Distâncias Percorrendo o Alinhamento com diastímetrosObservações Importantes1. Ao ponto inicial de um alinhamento percorrido dá-se o nome de Ponto a Ré

e, ao ponto final deste mesmo alinhamento, dá-se o nome de Ponto a Vante. Balizeiro de Ré e Balizeiro de Vante são os nomes dados às pessoas que, de posse de uma baliza, ocupam, respectivamente, os pontos a ré e a vante do alinhamento em questão.

2. Para terrenos inclinados, os cuidados na medição devem ser redobrados no que se refere à horizontalidade do diastímetro.6.1.1.1. Lance Único - Pontos Visíveis

Analisando a figura a seguir, na medição da distância horizontal entre os pontos A e B, procura-se, na realidade, medir a projeção de AB no plano topográfico horizontal HH'. Isto resulta na medição de A'B', projeção de AB.

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Figura 33 – Distância Horizontal em lance único6.1.1.2. Vários Lances - Pontos Visíveis

Na figura a seguir, o balizeiro de ré (posicionado em A) orienta o balizeiro intermediário, cuja posição coincide com o final do diastímetro, para que este se mantenha no alinhamento. Depois de executado o lance, o balizeiro intermediário marca o final do diastímetro com uma baliza. O balizeiro de ré, então, ocupa a posição do balizeiro intermediário, e este, por sua vez, ocupará nova posição ao final do diastímetro. Repete-se o processo de deslocamento das balizas (ré e intermediária) e de marcação dos lances até que se chegue ao ponto B. É de máxima importância que, durante a medição, os balizeiros se mantenham sobre o alinhamento AB. A distância DH será dada pelo somatório das distâncias parciais.

Figura 34 – Distância Horizontal em vários lances

7. Precisão e Cuidados na Medida de Distâncias

Os termos precisão e exatidão são constantemente usados em topografia. Seus significados podem ser enunciados como:

Precisão – é o grau de refinamento com que uma dada quantidade é medida, sendo representada pela dispersão entre duas ou mais medidas.

Exatidão ou acurácia – refere-se à perfeição obtida nas medições, denotando quanto uma dada medida está próxima do valor verdadeiro da quantidade.

A figura a seguir ilustra esses conceitos.

Figura 35 – Boa precisão precisão ruim boa precisão acurácia ruim boa acurácia boa acurácia

A precisão com que as distâncias são obtidas depende, principalmente:

• do dispositivo de medição utilizado,• dos acessórios,• dos cuidados tomados durante a operação.

Os cuidados (indispensáveis) que se deve tomar quando da realização de medidas de distâncias com diastímetros são:

• que os operadores se mantenham no alinhamento a medir,

• que se assegurem da horizontalidade do diastímetro,

• que mantenham tensão uniforme nas extremidades,

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• que as balizas estejam na vertical.

Figura 36 – Cuidados com a baliza

7.1. Erros e fontes de erros em Topografia

A experiência mostra que toda vez que se realiza algum tipo de medida ela possui uma certa imprecisão, a qual é denominada erro de observação. Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao proceder um levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros. Esse erro pode ser constatado, por exemplo, quando se mede várias vezes o mesmo ângulo ou quando se mede os três lados de um triângulo e não se obtém o fechamento exato esperado (Σ = 180°).

Os erros pertinentes às medições topográficas podem ser classificados como:

a) Erros sistemáticos ou permanentes: são aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc. São passíveis de correção desde que sejam tomadas as devidas precauções durante a medição. A não consideração da dilatação térmica de uma trena, por exemplo, na medida de distâncias, é um erro sistemático. Também são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições, podendo ser evitados e/ou corrigidos com a aferição e calibragem constante dos aparelhos. Desvios de ajustagem mecânica do equipamento, por exemplo, é um erro sistemático (que pode ser evitado com a calibragem do aparelho). Outro exemplo é uma trena, que pode marcar 30 metros e na verdade medir 30,02 metros. Esses erros podem ser compensados.

b) Acidentais: são aqueles ocasionados por imperícia, pela falta de cuidado ou por deficiência do operador. Os mais comuns são: erro na leitura dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na contagem do número de trenadas, ponto visado errado, aparelho fora de prumo, aparelho fora de nível, etc. São classificados como erros grosseiros. Problema de acuidade visual é um erro grosseiro. Esses erros devem ser evitados.

Na topografia cada atividade exige um tipo adequado de equipamento, sendo importante saber se o erro verificado esta dentro de um limite de aceitação. É importante ressaltar que alguns

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erros se anulam durante a medição ou durante o processo de cálculo. Portanto, um levantamento que aparentemente não apresenta erros, não significa estar necessariamente correto.

7.2. Levantamento de pequenas áreas na Topografia somente com medidas linearesNa topografia, como já falamos, o objetivo é representar uma fração de uma superfície em

um plano topográfico. Para isto usamos métodos e técnicas apropriadas para cada necessidade, resultando no final destas operações uma planta topográfica.

Quando não necessitamos de muita precisão nos levantamentos topográficos, podemos usar trena e balizas para determinarmos as distâncias, os ângulos e a área de um terreno. Este tipo de levantamento e denominado de EXPEDITO.

7.2.1. Método das cordas para determinação de ângulos Lei dos Senos

SenCOHip

SenA

AarcSen

A

=

= =

= = °

= × ° = ° = °

27 15

15 000 47666

20 47666 28 467922

2 28 467922 56 935844 56 56 09

,,

, ...

( , ...) ,

, , ' "

Figura 37 – Método das Cordas

7.2.2. Cálculo de área do triângulo pela fórmula do “semiperímetro’’

Figura 38 – Cálculo da área

Area p p a p b p c

onde pa b c

= × − × − × −

=+ +

( ) ( ) ( )

:2

e “p” é o semiperímetro

Exemplo: Em um terreno irregular mediu-se com uma trena as divisas e uma diagonal, como no esquema abaixo. Pede-se a área do terreno em m2.

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c a

b

7

1

A 6

2 4 5 3

Topografia A 29

Figura 39 – Cálculo da área – exemplo

Área do triângulo 1

p = (254,57 + 499,00 + 318,44) / 2 = 536.00Area m1 536 00 00 254 57 00 499 00 00 318 44 34 846 40 2= × − × − × − =, (536, , ) (536, , ) (536, , ) . ,

Área do triângulo 2

p = (522,59 + 499,00 + 350,32) / 2 = 685,96Area m2 685 96 685 96 522 59 685 96 499 00 685 96 350 32 83858 44 2= × − × − × − =, ( , , ) ( , , ) ( , , ) . ,

Área Total = Área 1+Área 2

Área Total = 118.704,84 m2

8. Poligonais em Topografia

Topograficamente chamamos de “poligonal” a uma seqüência de retas. Naturalmente haverá um ponto – que denominamos de estação ou vértice – no início e outro no fim de cada reta. Temos, assim, estações ou vértices e lados ou linhas da poligonal.

A poligonal pode ser fechada, aberta ou amarrada.

Poligonal fechada é aquela que retorna ao ponto inicial (Pinicial ≡ Pfinal), possibilitando verificação.

Poligonal amarrada é a que parte e chega em pontos com elementos conhecidos (por ex: coordenadas retangulares X e Y, coordenadas Geográficas Latitude e Longitude etc), possibilitando também verificação, tal como a poligonal fechada.

Poligonal aberta é aquela que além de não fechar, também não parte e nem chega em pontos já conhecidos.

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4

2

1 3 5 6 (X1;Y1)

7 (X7;Y7)

4

2

1 3 5 6

7

Topografia A 30

Figura 40 – Poligonal Fechada

Figura 41 – Poligonal Amarrada

Figura 42 – Poligonal Aberta (os pontos 1 e 7 estão ligados apenas pela própria poligonal)

9. Medidas Angulares

9.1. Ângulos de OrientaçãoComo já vimos anteriormente, a linha que une o pólo Norte ao pólo Sul da Terra

(aqueles representados nos mapas) é denominada linha dos pólos ou eixo de rotação. Estes pólos são denominados geográficos ou verdadeiros e, em função disso, a linha que os une, também é tida como verdadeira.

No entanto, sabe-se que a Terra, devido ao seu movimento de rotação, gera um campo magnético fazendo com que se comporte como um grande imã. Assim, uma bússola estacionada sobre a superfície terrestre, tem sua agulha atraída pelos pólos deste imã. Neste caso, porém, os pólos que atraem a agulha da bússola são denominados magnéticos.

O grande problema da Topografia no que diz respeito aos ângulos de orientação, está justamente na não coincidência dos pólos magnéticos com os geográficos e na variação da distância que os separa com o passar tempo.

Em função destas características, é necessário que se compreenda bem que, ao se orientar um alinhamento no campo em relação à direção Norte ou Sul, deve-se saber qual dos sistemas (verdadeiro ou magnético) está sendo utilizado como referência.

Para tanto, é importante saber que:

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Meridiano Geográfico ou Verdadeiro: é a seção elíptica contida no plano definido pela linha dos pólos verdadeira e a vertical do lugar (observador).

Meridiano Magnético: é a seção elíptica contida no plano definido pela linha dos pólos magnética e a vertical do lugar (observador).

Declinação Magnética: é o ângulo formado entre o meridiano verdadeiro (norte/sul verdadeiro) e o meridiano magnético (norte/sul magnético) de um lugar. Este ângulo varia de lugar para lugar e também varia num mesmo lugar com o passar do tempo. Estas variações denominam-se seculares. Atualmente, para a determinação das variações seculares e da própria declinação magnética, utilizam-se fórmulas específicas (disponíveis em programas de computador específicos para Cartografia).

Segundo normas cartográficas, as cartas e mapas comercializados no país apresentam, em suas legendas, os valores da declinação magnética e da variação secular para o centro da região neles representada.

Os ângulos de orientação utilizados em Topografia são:Azimute Geográfico ou Verdadeiro: definido como o ângulo horizontal que a

direção de um alinhamento faz com o meridiano geográfico. Este ângulo pode ser determinado através de métodos astronômicos (observação ao sol, observação a estrelas, etc.) e, atualmente, através do uso de receptores GPS de precisão.

Azimute Magnético: definido como o ângulo horizontal que a direção de um alinhamento faz com o meridiano magnético.

Os azimutes (verdadeiros ou magnéticos) são contados a partir da direção norte (N) do meridiano, no sentido horário - azimutes à direita (mais comuns), ou no sentido anti-horário - azimutes à esquerda, variando sempre de 0° a 360°.

Rumo Verdadeiro: é obtido em função do azimute verdadeiro através de relações matemáticas simples.

Rumo Magnético: é o menor ângulo horizontal que um alinhamento forma com a direção norte/sul definida pela agulha de uma bússola (meridiano magnético).

Os rumos (verdadeiros ou magnéticos) são contados a partir da direção norte (N) ou sul (S) do meridiano, no sentido horário ou anti-horário, variando de 0° a 90° e sempre acompanhados da direção ou quadrante em que se encontram (NE, SE, SW, NW).

O azimute ou o rumo magnético são obtidos através de uma bússola.

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Figura 43 - Bússola

A figura a seguir ilustra as orientações de quatro alinhamentos definidos sobre o terreno através de Azimutes à Direita, ou seja, dos ângulos contados a partir da direção norte do meridiano no sentido horário.

Figura 44– Azimutes à Direita

A figura a seguir ilustra as orientações de quatro alinhamentos definidos sobre o terreno através de Rumos, ou seja, dos ângulos contados a partir da direção norte ou sul do meridiano (aquele que for menor), no sentido horário ou anti-horário.

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Figura 45 – RumosObservando as figuras, podem-se deduzir as relações entre Azimutes à Direita e

Rumos:Quadrante Azimute → Rumo Rumo → Azimute

1o R = Az (NE) Az = R2o R = 180° - Az (SE) Az = 180° - R3o R = Az - 180° (SW) Az = R + 180°4o R = 360° - Az (NW) Az = 360° - R

9.1.1. Aviventação de Rumos e Azimutes MagnéticosÉ o nome dado ao processo de restabelecimento dos alinhamentos e ângulos

magnéticos marcados para uma poligonal, na época (dia, mês, ano) de sua medição, para os dias atuais. Este trabalho é necessário, uma vez que a posição dos pólos norte e sul magnéticos (que servem de referência para a medição dos rumos e azimutes magnéticos) varia com o passar do tempo. Assim, para achar a posição correta de uma poligonal levantada em determinada época, é necessário que os valores resultantes deste levantamento sejam reconstituídos para a época atual. O mesmo processo é utilizado para locação, em campo, de linhas projetadas sobre plantas ou cartas (estradas, linhas de transmissão, gasodutos, oleodutos, etc.).

9.2. Ângulos Horizontais Internos e ExternosPara o levantamento da poligonal devem ser medidos os ângulos que as linhas fazem

entre si, nas estações, e os comprimentos das linhas. Para a medida de um ângulo horizontal a dois alinhamentos consecutivos de uma poligonal, o aparelho deve ser estacionado, nivelado e centrado com perfeição, sobre um dos pontos que o definem (o prolongamento do eixo principal do aparelho deve coincidir com a marcação sobre o piquete da estação).

Assim, o método de leitura do referido ângulo, utilizando um teodolito ou uma estação total, consiste em:

• Executar a pontaria (fina) sobre o ponto a ré (primeiro alinhamento);• Zerar o círculo horizontal do aparelho nesta posição (procedimento padrão → Hz = 0°00'00");• Liberar e girar o aparelho no sentido horário, que é o mais comum, ou no sentido anti-horário, executando a pontaria (fina) sobre o ponto a vante (segundo alinhamento);• Anotar ou registrar o ângulo (Hz) que corresponde ao ângulo horizontal medido.

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A figura a seguir ilustra os ângulos horizontais horários medidos em todos os vértices de uma poligonal fechada.

Figura 46 – Levantamento dos ângulos de uma poligonalA somatória dos ângulos internos e externos de um polígono fechado é uma

constante, dependendo somente do número de lados (n). A somatória dos ângulos é dada:Ângulos internos ⇒ ΣHzi = 180° (n – 2)Ângulos externos ⇒ ΣHze =180° (n + 2)

Exemplos:

nº de lados Σ dos ângulos internos Σ dos ângulos externos3 180º 900º4 360º 1.080º5 540º 1.260º

Erro angular = diferença entre a soma efetiva dos ângulos e a somatória dos ângulos de um polígono.

9.3. Ângulo Horizontal por Deflexão

A deflexão é o ângulo horizontal que o alinhamento à vante forma com o prolongamento do alinhamento à ré, para um aparelho estacionado, nivelado e centrado com perfeição, em um determinado ponto de uma poligonal. Este ângulo varia de 0° a 180°. Pode ser à direita, se o sentido de giro for horário; à esquerda, se o sentido de giro for anti-horário.

A relação entre as deflexões de uma poligonal fechada é dada por:Σ ΣD Dd e− = °360

A figura a seguir ilustra a deflexão medida em um dos pontos de uma poligonal, girando o aparelho.

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sentido do levantamento sentido do levantamento ângulo interno ângulo externo

2

35

4

1 5

42

3

1

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Figura 47 – Deflexões Girando o Aparelho

Nos levantamentos topográficos, a escolha do tipo de ângulo horizontal que será medido (interno, externo ou deflexão) depende do projeto a ser desenvolvido. Em levantamentos de terrenos – onde temos poligonais fechadas, por exemplo, é usual o ângulo interno; já em levantamentos para obras lineares - para estradas, por exemplo – onde temos poligonais “abertas”, é usual a deflexão.

Figura 48 – Poligonal de Exploração – azimutes e ângulos de deflexão

10. Métodos de Levantamentos Planimétricos

Nos itens anteriores foram descritos os métodos e equipamentos utilizados na medição de distâncias e ângulos durante os levantamentos topográficos.

Estes levantamentos, porém, devem ser empregados obedecendo a certos critérios e seguindo determinadas etapas que dependem do tamanho da área, do relevo e da precisão requerida pelo projeto que os comporta.

10.1. Levantamento por Irradiação

O Método da Irradiação também é conhecido como método da Decomposição em Triângulos ou das Coordenadas Polares.

É empregado na avaliação de pequenas superfícies relativamente planas.

Uma vez demarcado o contorno da superfície a ser levantada, o método consiste em localizar, estrategicamente, um ponto (P), dentro ou fora da superfície demarcada, e de onde possam ser avistados todos os demais pontos que a definem.

Assim, deste ponto (P) são medidas as distâncias aos pontos definidores da referida superfície, bem como, os ângulos horizontais entre os alinhamentos que possuem (P) como vértice.

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A precisão resultante do levantamento dependerá, evidentemente, do tipo de dispositivo ou equipamento utilizado.

A figura a seguir ilustra uma superfície demarcada por sete pontos com o ponto (P) estrategicamente localizado no interior da mesma. De (P) são medidos os ângulos horizontais (Hz1 a Hz7) e as distâncias horizontais (DH1 a DH7).

Figura 49 – Método da Irradiação

De cada triângulo (cujo vértice principal é P) são conhecidos dois lados e um ângulo. As demais distâncias e ângulos necessários à determinação da superfície em questão são determinados por relações trigonométricas.

Este método é muito empregado em projetos que envolvem amarração de detalhes e na densificação do apoio terrestre para trabalhos topográficos e fotogramétricos.

10.2. Levantamento por Interseção

O Método da Interseção também é conhecido como método das Coordenadas Bipolares.

É empregado na avaliação de pequenas superfícies, principalmente aquelas de relevo acidentado. Utiliza o princípio da trigonometria na obtenção de ângulos e de distâncias dos vértices do terreno, sendo considerado então um método indireto de medição de distâncias.

Uma vez demarcado o contorno da superfície a ser levantada, o método consiste em localizar, estrategicamente, dois pontos (P) e (Q), dentro ou fora da superfície demarcada, e de onde possam ser avistados todos os demais pontos que a definem.

Assim, mede-se a distância horizontal entre os pontos (P) e (Q), que constituirão uma base de referência, bem como, todos os ângulos horizontais formados entre a base e os demais pontos demarcados.

A medida da distância QP poderá ser realizada através de método direto, por caminhamento, ou com o emprego de aparelhos óticos ou eletrônico e a medida dos ângulos poderá ser realizada através do emprego de teodolitos óticos ou eletrônicos.

A precisão resultante do levantamento dependerá, evidentemente, do tipo de dispositivo ou equipamento utilizado.

A figura a seguir ilustra uma superfície demarcada por sete pontos com os pontos (P) e (Q) estrategicamente localizados no interior da mesma. De (P) e (Q) são medidos os ângulos horizontais entre a base e os pontos (1 a 7).

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Figura 50 – Método da Interseção

De cada triângulo são conhecidos dois ângulos e um lado (base definida por PQ). As demais distâncias e ângulos necessários à determinação da superfície em questão são determinados por relações trigonométricas.

10.3. Levantamento por CaminhamentoEste é o método utilizado no levantamento de superfícies relativamente grandes e / ou

de relevo acidentado. Requer uma quantidade maior de medidas que os descritos anteriormente, porém, oferece maior confiabilidade no que diz respeito aos resultados.

O método em questão inclui as seguintes etapas:

1. Reconhecimento do Terreno: durante esta fase, costuma-se fazer a implantação dos piquetes para a delimitação da superfície a ser levantada. A figura geométrica gerada a partir desta delimitação recebe como vimos o nome de POLIGONAL.

2. Levantamento da Poligonal: durante esta fase, percorre-se as estações da poligonal, uma a uma, medindo-se os ângulos e as distâncias horizontais. Estes valores, bem como o croqui de cada ponto, são anotados em cadernetas de campo apropriadas ou registrados na memória do próprio aparelho. A escolha do método para a medida dos ângulos e distâncias, assim como dos equipamentos, se dá em função da precisão requerida para o trabalho e das exigências do contratante dos serviços (cliente).

3. Levantamento dos Detalhes: nesta fase, costuma-se empregar o método da triangulação (quando o dispositivo utilizado para amarração é a trena), ou ainda, o método da irradiação (quando o dispositivo utilizado é o teodolito ou a estação total).

4. Orientação da Poligonal: é feita através da determinação do rumo ou azimute do primeiro alinhamento. Para tanto, é necessário utilizar uma bússola (rumo ou azimute magnéticos) ou partir de uma base conhecida (rumo ou azimute verdadeiros).

5. Processamento dos Dados: terminadas as operações de campo, procede-se a computação dos dados obtidos. Este é um processo que envolve o fechamento angular e linear, o transporte dos rumos ou azimutes e das coordenadas e o cálculo da área, se for o caso.

10.4. Processamento dos DadosO processamento dos dados inclui o fechamento dos ângulos horizontais (se a

poligonal for fechada ou amarrada), o transporte dos azimutes, o fechamento das distâncias horizontais, o transporte das coordenadas e o cálculo da área (se for o caso).

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10.4.1. Erro de fechamento angular)2n.(180Hzi −°=Σ

Se o somatório dos ângulos horizontais internos medidos não resultar no valor estipulado pela relação acima, haverá um erro de fechamento (e).

O erro encontrado não pode ser maior que a tolerância angular (ξ).

A tolerância angular, por sua vez, depende do aparelho utilizado.

Para uma estação total, por exemplo, com precisão de 5”, a tolerância angular é dada por:

ξ = 5" n Onde n representa o número de vértices da poligonal medida.

10.4.2. Distribuição do erro angularA correção devido ao erro de fechamento angular é feita normalmente

distribuindo-se o erro igualmente entre os vértices da poligonal. Ela pode ser feita também arbitrariamente de acordo com a prática e/ou conhecimento do operador, por exemplo, em função da maior distância, do maior ângulo etc.

Os valores de correção encontrados para cada ângulo devem ser somados ou subtraídos aos mesmos conforme o erro seja para menos ou para mais.

10.4.3. Transporte do azimuteDe posse do azimute do primeiro alinhamento da poligonal (medido ou

calculado), faz-se o transporte para os demais alinhamentos através da relação:

Se o AzRé > 180° → AzVante = AzRé - 180° + HzSe o AzRé < 180° → AzVante = AzRé + 180° + Hz

No caso de poligonais fechadas, para checar se o transporte do azimute foi processado corretamente, após a distribuição do erro angular, o azimute de chegada encontrado deve ser igual ao azimute de saída.

10.4.3.1. Exemplo (ver exercício 5)

Figura 51 – Transporte do azimute - Poligonal semi-amarrada

10.5. Projeções parciais em X e YAs projeções parciais em X e Y de cada estação da poligonal são calculadas

através das seguintes relações:)sen(. AzDHX =∆ ou )sen(. RumoDHX =∆

)cos(. AzDHY =∆ ou )cos(. RumoDHY =∆

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{ }Hz180RéAzimuteVanteAzimute +°±=

Topografia A 39

Quando utilizamos para o cálculo das projeções o Azimute do alinhamento, o sinal positivo (+) ou negativo (-) é dado pelo próprio sinal da função trigonométrica.

Quando utilizamos para o cálculo da projeção o Rumo, o sinal positivo (+) é dado pela direção Norte (N) em Y e pela direção Este (E) em X. Para as direções S e W o sinal da projeção será negativo (-).

Figura 52 – Projeções Parciais

10.6. Fechamento linearO fechamento linear de uma poligonal é feito através das seguintes relações:

0X =∆∑ e 0Y =∆∑

Caso os somatórios não sejam iguais a zero, haverá um erro de fechamento linear em X (ex) e outro em Y (ey).

O erro de fechamento linear é adotado como o fator indicador da precisão do levantamento. O erro de fechamento (e) é calculado pelo Teorema de Pitágoras, onde se obtém:

22 eyexe +=

A figura abaixo indica esse erro de fechamento.

Figura 53 – Erro linear de fechamento

10.7. Distribuição do erro linearAs correções devido ao erro de fechamento linear podem ser proporcionais às

distâncias medidas ou às projeções relativas, e são dadas pelas seguintes relações:

DH.PexCx = e DH.

PeyCy = para as distâncias medidas

x.x

exCx ∆∑

= e y.y

eyCy ∆∑

= para as projeções relativas

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A’ ex ey e A

F

G E

A’

A B C D

∆x 5-1 5 ∆y 5-1 1 ∆x 1-2 ∆y 4-5 ∆y 1-2 ∆x 4-5 4

∆x 2-3 2 ∆y 3-4 ∆y 2-3 3 ∆x 3-4

Topografia A 40

Onde P é o perímetro da poligonal e Σx e Σy a somatória das projeções relativas em X e em Y.

Os valores de correção encontrados para cada projeção em X e Y devem ser somados ou subtraídos às mesmas conforme os erros sejam para menos ou para mais.

10.8. Precisão do levantamentoA precisão do levantamento é adotada como sendo a razão entre o erro de

fechamento linear (e) e o perímetro da poligonal (P). A precisão (M) do levantamento é determinada pela relação:

PeM =

Em geral a precisão do levantamento é expressa pelo inverso de M, ou seja 1/M, na forma 1: 1/M. O valor da precisão deve ser superior a 1:1000 para que o levantamento seja considerado topográfico (quarta ordem).

Exemplo:

Sendo o erro de fechamento igual a 0,76m e o perímetro da poligonal igual a 5.214,75m, a precisão é 1:6.861,51 ou seja, uma precisão de 1 metro em 6.861,51 metros.

10.9. Transporte de coordenadasDe posse das coordenadas X e Y adotadas (topográficas locais) ou referenciadas

de um ponto da poligonal, faz-se o transporte para os demais pontos, simplesmente adicionando ou subtraindo, às coordenadas do ponto conhecido, os valores parciais das projeções em X e em Y já corrigidos, através das relações:

)()()1( PXPXPX ∆+=+ e )()()1( PYPYPY ∆+=+

Para checar se o transporte das coordenadas foi processado corretamente, em poligonais fechadas, os valores de X e Y de chegada encontrados devem ser iguais aos valores de X e Y de saída.

10.10. Cálculo do Azimute e Distância entre pontos de coordenadas conhecidasDados dois pontos conhecidos:A: (XA ; YA)B: (XB ; YB)

Figura 54 – Azimute e Distância

Podemos calcular o azimute da direção AB e a distância entre A e B no plano de projeção utilizando a seguinte formulação:

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Y

XB – XA

B YB – YA DHAB

Az

A X

Topografia A 41

AB

ABAB YY

XXAztan

−−

= então AB

ABAB YY

XXarctgAz

−−

=

2AB

2ABAB )YY()XX(DH −+−=

onde: XB – XA = ∆X e YB – YA = ∆Y

Para calcularmos o azimute da direção AB é necessário sempre tomarmos as diferenças de coordenadas B – A, considerando o sinal.

Estas fórmulas são gerais e válidas para todos os quadrantes.

Para a aplicação da fórmula de cálculo do azimute da direção AB indicada acima, calcula-se inicialmente as diferenças de coordenadas ∆X e ∆Y e determina-se um ângulo preliminar Az’AB e então se calcula o azimute da direção AB pelas regras seguintes:

∆X ∆Y Quadrante Azimute AB+ + I Az’AB

+ – II Az’AB + 180°– – III Az’AB + 180°– + IV Az’AB + 360°

Exemplos:

Figura 55 – Azimutes - exemplos

Se estivermos calculando a direção em rumo, o ângulo calculado na expressão já é o rumo procurado, sendo que o seu quadrante é definido pelo sinal das projeções ∆X e ∆Y, com a seguinte notação: ∆X positivo = E e ∆X negativo = W; analogamente ∆Y positivo = N e ∆Y negativo = S.

10.11. Amarração de DetalhesQuando executamos levantamentos topográficos utilizamos a poligonal como

amarração para o levantamento dos pontos de detalhe (feições naturais e artificiais do terreno, p.ex.: cercas de divisa, construções, matas, cursos d’água etc.).

10.11.1 Amarração de Detalhes por PerpendicularesÉ o caso da figura abaixo, onde se deve medir os alinhamentos Aa, ab, bc, cd, de, eB e,

também, os alinhamentos aa’, bb’, cc’, dd’ e ee’ para que o contorno da estrada fique determinado.

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Y

XB – XA

B YB – YA DHAB

Az

A X

1º Quadrante

Y

XB – XA

A YB – YA DHAB

B X

3º Quadrante

Topografia A 42

Figura 56 – Perpendiculares

10.11.1.1. Alinhamentos PerpendicularesÉ possível levantar uma perpendicular a um alinhamento, utilizando-se um

diastímetro, através dos seguintes métodos:

• Triângulo RetânguloEste método consiste em passar por um ponto A, de um alinhamento AB conhecido, uma

perpendicular. Utilizando-se os doze (12) primeiros metros de uma trena, dispõe-se, respectivamente, dos lados 3, 4 e 5 metros de um triângulo retângulo.

Como indicado na figura a seguir, o 0 e o 12o metro estariam coincidentes em C, situado a 3 metros do ponto A. O 7o metro (soma dos lados 3 e 4) e representado pelo ponto D, se ajusta facilmente em função dos pontos A e C já marcados.

Figura 57 – Triângulo Retângulo

Obs.: para locar as paredes de uma casa, o mestre de obras normalmente se utiliza de uma linha com nós. Esta linha representa um triângulo retângulo de lados 0,6m : 0,8m : 1,0m; equivalente ao triângulo retângulo de 3m : 4m : 5m mencionado anteriormente.

10.11.2. Amarração de Detalhes por TriangulaçãoDevendo-se medir os alinhamentos a e b, além do alinhamento principal DB,

para que o canto superior esquerdo da piscina representada a seguir fique determinado.

Para que a amarração não resulte errada, a base do triângulo amarrado deve coincidir com um dos lados do triângulo principal ou secundário, e, o vértice daquele triângulo será sempre um dos pontos definidores do detalhe levantado.

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Topografia A 43

Figura 58 – Triangulação

A referida piscina só estará completamente amarrada se os outros cantos também forem triangulados.

10.11.3. Amarração de Detalhes com AparelhosPodemos utilizar a poligonal como amarração para o levantamento dos pontos de

detalhe, sendo levantados, a partir das estações da poligonal, os ângulos horizontais e as distâncias dos pontos de detalhe.

E1, E2, E3, E4 = pontos da poligonal

1 (cêrca)

Pontos de detalhe

2 (construção)3 (construção)4 (construção)

5 (cêrca)6 (cêrca)

7 (curso d’água)8 (curso d’água)9 (curso d’água)10 (curso d’água)11 (curso d’água)

12 (cêrca)

Figura 59 – Levantamento dos Pontos de Detalhe com Aparelhos

Neste caso é importante salientarmos que o tratamento matemático a ser dado aos pontos de detalhe é o mesmo que na poligonal principal só que não há neste caso a etapa de cálculos de compensação destes pontos.

Devemos então fazer a resolução da planilha em duas etapas: na primeira calculamos a poligonal principal, e na segunda executamos os cálculos dos pontos de detalhes.

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Topografia A 44

11. Área da poligonal

A área de uma superfície plana limitada por uma poligonal fechada pode ser determinada analiticamente quando se conhecem as coordenadas ortogonais dos seus vértices.

Na figura a seguir, o método analítico consiste em, dadas as coordenadas (X, Y) de pontos de uma figura fechada qualquer, determinar a área desta figura.

Figura 60 – Pontos da Poligonal As coordenadas do ponto de partida e de chegada devem ser as mesmas ∴ X1 = Xn e

Y1 = Yn (poligonal fechada).

11.1. Método de Gauss (cálculo por determinantes)

O cálculo da área em topografia pode também ser feito através da integração do contorno da figura considerada.

Como as figuras, ou áreas, são formadas por segmentos de reta, a integração é simplificada sendo a soma das áreas de trapézios, como exemplificado na figura a seguir.

Figura 61 – Integração da poligonal

• As coordenadas do ponto de partida e de chegada devem ser as mesmas ∴ X1 = Xn e Y1 = Yn.

• Percorrendo a poligonal, multiplicam-se as abscissas (Xi) dos pontos pelas ordenadas dos pontos seguintes (Yi+1) = Σ1 = produto positivo.

• Na seqüência, multiplicam-se as ordenadas (Yi) dos pontos pelas abscissas dos pontos seguintes (Xi+1) = Σ2 = produto negativo.

• Os resultados de cada multiplicação, entre si (Xi . Yi+1) e (Yn . Xn+1), são somados, algebricamente.

• A área final é dada pela relação a seguir:

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Topografia A 45

( )∑ ∑−= 2121S sendo Σ1 = Σ (Xn . Yn+1)

Σ2 = Σ (Yn . Xn+1)Chave para o cálculo:Obs: Os pontos na planilha devem obedecer a mesma seqüência da figura, percorrendo-

a tanto no sentido horário como anti-horário, mas mantendo sua ordem.

Pto X Y Xn . Yn+1 Yn . Xn+1

A

B

C

A

Exemplo:Com as coordenadas dos pontos das divisas, calcular a área do terreno a seguir.

Figura 62 – Exemplo de cálculo da área da poligonal

Pto X Y Xn . Yn+1 Yn . Xn+17 1.024,833 2.189,295

13 958,177 2.044,386 2.095.154,2375 2.097.732,115222 1.203,889 1.981,723 1.898.841,3990 2.461.213,817245 1.431,304 2.030,026 2.443.925,9711 2.836.448,056851 1.575,072 1.993,473 2.853.265,8788 3.197.437,111955 1.669,174 2.099,217 3.306.417,9186 3.327.453,301367 1.547,625 2.268,930 3.787.238,9638 3.248.800,709674 1.264,010 2.257,180 3.493.268,1975 2.867.950,20937 1.024,833 2.189,295 2.767.290,7730 2.313.232,5509

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Topografia A 46

Σ1 = Σ (Xn . Yn+1) = 22.645.403,3393Σ2 = Σ (Yn . Xn+1) = 22.350.267,8722

Portanto, a área do terreno é = S =| Σ1 - Σ2 | / 2 = 295.135,4671 / 2 = 147.567,74 m2

11.2. Desenho da Planta e Redação do Memorial DescritivoDe posse das coordenadas (X, Y) dos pontos medidos, procede-se a confecção do

desenho da planta:

a) Desenho Topográfico: os vértices da poligonal e os pontos de referência mais importantes devem ser plotados segundo suas coordenadas retangulares (eixos X e Y), enquanto os pontos de detalhes comuns (feições), devem ser plotados com o auxílio de escalímetro, compasso e transferidor (no caso de desenhos confeccionados manualmente). A notação utilizada – a simbologia – deve constar da legenda.

Em termos de representação planimétrica podemos dizer que, de um modo geral, a representação dos elementos de interesse é feita tendo em consideração os seguintes aspectos:

Elementos de dimensões razoáveis: são representados por seu contorno;

Elementos de pequena dimensão: são representados por sinais convencionais.

O desenho pode ser:• monocromático: todo em tinta preta.• policromático:

azul → hidrografia vermelho → edificações, estradas, ruas, calçadas, caminhos ... verde → vegetação preto → legenda, malha e toponímia

No desenho devem constar, principalmente:

• as feições naturais e/ou artificiais (representados através de símbolos padronizados ou convenções) e sua respectiva toponímia

• a orientação verdadeira ou magnética• a data do levantamento• a escala• a legenda e convenções utilizadas• o título (do trabalho)• área e perímetro• os responsáveis pela execução

b) Escala: a escolha da escala da planta se dá em função do tamanho da folha de papel a ser utilizado, do afastamento dos eixos coordenados, das folgas ou margens e da precisão requerida para o trabalho.

c) Memorial Descritivo: é um documento indispensável para o registro, em cartório, da superfície levantada. Deve conter a descrição pormenorizada desta superfície no que diz respeito à sua localização, confrontantes, área, perímetro, nome do proprietário etc.

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Topografia A 47

Figura 63 – Convenções Topográficas

11.3. Avaliação de Áreas de Figuras Planas Impressas

De posse da planta, carta ou mapa, o engenheiro pode dar início aos estudos que antecedem às fases de planejamento e projeto.

A avaliação de áreas de figuras planas impressas faz parte deste estudo e tem como objetivo informar ao engenheiro quais as áreas envolvidas por um determinado projeto.

A seguir, encontram-se os principais métodos de avaliação de áreas de figuras planas.11.3.1. Método de Equivalências Gráficas

11.3.1.1. Método da DecomposiçãoEste método é utilizado na determinação da área aproximada de uma figura qualquer

de lados retilíneos, delimitada sobre o papel e em qualquer escala. O método consiste em decompor a figura original em figuras geométricas conhecidas (triângulos, retângulos, trapézios etc) e, uma vez determinada a área de todas as figuras decompostas separadamente (através de fórmulas elementares), a área da figura original será dada pelo somatório das áreas parciais.

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Topografia A 48

A figura a seguir ilustra a decomposição de uma figura irregular em quatro figuras geométricas conhecidas (três triângulos e um trapézio) cujas áreas podem ser calculadas:

Figura 64 – Decomposição da figura

2)h.AG(S 1

1 = S BF h2

22

= ( . ) S BF h3

32

= ( . ) 44 h.2

)FECD(S

+=

11.3.1.2. Método dos TrapéziosO método dos Trapézios ou de Bezout é utilizado na avaliação de áreas ditas extra-

poligonais, ou seja, aquelas que representam figuras decompostas de lados irregulares ou curvos (delimitados por uma estrada, rio, lago etc.).

Como mostra a figura a seguir, o método consiste em dividir a figura decomposta em vários trapézios de alturas (h) iguais.

Figura 65– Método dos Trapézios

Para a referida figura, a área será dada pela relação:

S b b hEI= +

2

.

onde,bE = b1 + bn (soma das bases externas: trapézios extremos) e

bI = b2 + ... + bn-1 (soma das bases internas)

Nestes casos, a precisão da área obtida é tanto maior quanto menor for o valor de (h).

11.3.1.3. Método do GabaritoPara uma avaliação rápida e eficiente de áreas de figuras quaisquer (irregulares

ou não) costumam-se utilizar gabaritos.Os gabaritos são normalmente construídos sobre superfícies plásticas

transparentes, vidro ou papel.

Para a avaliação de áreas, dois tipos de gabaritos podem ser utilizados. São eles:

11.3.1.3.1. Por Faixas

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Topografia A 49

Este é um gabarito que consiste de linhas horizontais traçadas a intervalos regulares, ou seja, espaçadas entre si de um mesmo valor gerando várias faixas consecutivas.

Assim, para a determinação da área de uma figura basta posicionar o gabarito sobre a mesma e, com o auxílio de uma mesa de luz e uma régua, medir o comprimento das linhas que interceptam os seus limites.

A área da figura é função do espaçamento entre as linhas (h) e do comprimento das mesmas ao interceptar os limites da figura (Σb).

Assim, para um número n de linhas medido:

ib.hS Σ=

para i = 1, 2, ... , n

Como para o método anterior, a precisão da área obtida é tanto maior quanto menor for o valor de (h).

11.3.1.3.2. Quadrículas Este é um gabarito que consiste de linhas horizontais e verticais traçadas

a intervalos regulares gerando um conjunto de quadrículas.

Assim como para o método anterior, a medida da área de uma figura é determinada posicionando-se o gabarito sobre a figura e, com o auxílio de uma mesa de luz, contar o número de quadrículas contidas pela mesma.

A figura a seguir ilustra o conjunto de quadrículas contidas em uma figura traçada sobre um mapa.

Figura 66 – Método das quadrículas

A área da figura é função da área da quadrícula base (sQ) e do número de quadrículas envolvidas (Qn).

nQ Q.sS =

A precisão da área obtida por este método é tanto maior quanto menor for a área da quadrícula.

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Topografia A 50

11.3.2. Método Mecânico ou EletrônicoO método é dito mecânico ou eletrônico quando, para a avaliação da área, utilizam-se

aparelhos mecânicos ou eletrônicos.

11.3.2.1. Planímetro Polar

O planímetro é um aparelho que consiste de duas hastes articuladas, um pólo, um traçador e um tambor.

•Na extremidade da primeira haste encontra-se uma ponta seca presa a um peso, denominada pólo, utilizada para a fixação da própria haste. •Na extremidade da segunda haste há uma lente cujo centro é marcado por um ponto ou cruzeta, denominada traçador.•Na articulação das duas hastes encontra-se um tambor graduado conectado a um contador de voltas. A este conjunto denomina-se integrante.

A diferença do aparelho mecânico para o eletrônico está justamente no integrante. Para o aparelho mecânico, há necessidade de ler o número de voltas que o aparelho deu ao percorrer o perímetro de uma determinada figura e, em função da escala da planta, calcular a área através de uma relação matemática.

O aparelho eletrônico (figura a seguir) permite a entrada da escala da planta (através de digitação) e a escolha da unidade a ser trabalhada. Assim, ao terminar de percorrer a figura, este exibe, automaticamente, o valor da área num visor de LCD (cristal líquido).

Figura 67 – Planímetro polar - eletrônico

A utilização do planímetro se faz:• Sempre em superfície plana.• O pólo pode ser fixado dentro ou fora da figura a medir, dependendo do seu tamanho.• As hastes devem ser dispostas de maneira a formar um ângulo aproximadamente reto entre si, assim é possível verificar se o traçador contornará a figura facilmente.

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Topografia A 51

• Escolhe-se um ponto de partida para as medições.• O aparelho pode ser zerado neste ponto.• Percorre-se o contorno da figura com o traçador, no sentido horário, voltando ao ponto de partida.• Faz-se a leitura do tambor (aparelho mecânico), ou, a leitura no visor (aparelho eletrônico).• Para a avaliação final da área, toma-se sempre a média de (no mínimo) três leituras com o planímetro.

Figura 68 – Utilização do planímetro

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Topografia A 52

Caderno de ExercíciosParte 1

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Topografia A 53

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

1) Para que cada ponto da superfície da Terra possa ser localizado foi criado um sistema de linhas imaginárias chamado de Sistema de Coordenadas Geográficas. A coordenada geográfica de um determinado ponto da superfície da Terra é obtida pela interseção de um paralelo e um meridiano. Paralelos e Meridianos são definidos por suas dimensões de latitude e longitude respectivamente.

Se você tem um Atlas procure melhor entender esse conceito apresentado.

Também, com o acesso à Internet, e os aplicativos hoje disponibilizados, procure definir alguns pontos da superfície da Terra que você gostaria de conhecer e determine as suas coordenadas geográficas. Pode ser, por exemplo, onde você mora, a chácara da família, pontos turísticos que você já visitou – ou gostaria de visitar, um acidente geográfico e o que mais você achar interessante.

Faça uma tabela com o local, a latitude, a longitude e a fonte daquelas coordenadas indicadas.

Discuta com os colegas os locais que cada um pesquisou e os valores das coordenadas obtidas.

Procure também identificar os locais indicados pelas coordenadas geográficas dadas abaixo:

Latitude Longitude Local

22º 56’ 56,66” S 43º 09’ 26,58” W

41º 54’ 07,78” N 12º 27’ 21,97” E

25º 24’ 30,5” S 54º 35’ 34,06” W

13º 09’ 55,25” S 72º 32’ 25,74” W

Discuta com os colegas os locais que cada um encontrou com as coordenadas fornecidas.

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Topografia A 54

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

2) Foi medido um terreno em um levantamento expedito, onde os ângulos foram determinados pelo método das cordas, e as distâncias e as diagonais medidas com trena. Calcular os ângulos internos e seu erro angular.

Obs. Todas as medidas estão em metros.

Ponto Ângulo Horizontal12345

Total

Erro Angular = Erro angular é a diferença entre o valor esperado para a somatória dos ângulos do

polígono e a somatória dos valores obtidos.

3) Em relação ao exercício anterior, considerando as medidas tomadas com a trena para os lados e as diagonais, pede-se calcular a área do terreno.

Área =

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Topografia A 55

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

4) Considere a seguinte Caderneta de Traçado de Alinhamento (simplificada), obtida de um levantamento topográfico realizado na Fase de Exploração do projeto de uma estrada.

Calcule as deflexões dos alinhamentos.

CADERNETA DE ALINHAMENTO - FASE DE EXPLORAÇÃO

DE PARA DISTÂNCIA(m) AZIMUTES DEFLEXÕES

ESQUERDA DIREITAA B 2143,50 43°18’20’’

B C 762,85 100°50’40”

C D 689,51 120°02’20”

D E 1786,34 87°39’10”

E F 800,40 352°16’00”

Em projetos de estradas, ou qualquer outra obra linear, os pontos de mudança de direção tem sua posição indicada por “estacas”, que correspondem a uma unidade de medida (em geral igual a 20 metros).

Quando os pontos de mudança de direção não são coincidentes com estacas inteiras (o que geralmente acontece) são indicados pela estaca inteira imediatamente anterior mais a distância do ponto a essa estaca em metros.

Assim, a estaca fracionária resulta quando a extensão do alinhamento não é divisível por 20. Por exemplo, se o alinhamento tem uma extensão de 125,00 m e tem início na Estaca Zero, a sua outra extremidade fica caracterizada pela Estaca 6 + 5,00 m. Também pode existir estaca fracionária, entre duas estacas inteiras, quando houver um acidente topográfico, travessia de curso d’água ou outro acidente digno de nota.

Cálculo do EstaqueamentoVértices ou

Estacas Distância(m) Estaca Parcial Estaca Acumulada

De ParaA B 2143,50

B C 762,85

C D 689,51

D E 1786,34

E F 800,40

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Topografia A 56

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

5) Para as poligonais abaixo, calcule os azimutes e os rumos dos alinhamentos.

EST PV ÂNG. HOR. AZIMUTE RUMO QA BB CC DD EE F

EST PV ÂNG. HOR. AZIMUTE RUMO QA BB CC DD EE F

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Topografia A 57

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

6) Calcule os azimutes e os rumos do levantamento topográfico abaixo.

EST PV ÂNGULO HORIZONTAL

COR-REÇÃO

ÂNGULO HOR.COR. AZIMUTE RUMO Q

A B 117°22’19”B C 87°31’31”C D 128°27’15”D E 226°23’09”E F 63°26’56”F G 116°05’49”G A 160°41’10”

Azimute de G para A = 263°12’19”

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Topografia A 58

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____7) No exercício anterior já foram calculados os azimutes e os rumos dos alinhamentos.Determinar as projeções parciais em X e em Y de cada estação da poligonal.

)(. AzsenDHX =∆ ou )sen(. RumoDHX =∆ e )cos(. AzDHY =∆ ou )cos(. RumoDHY =∆

Dadas XE = 1.000,000m e YE = 1.000,000m calcular as demais coordenadas totais.

Y

1.00

0,00

0

X

1.00

0,00

0

∆Y c

omp

∆X c

omp

Com

p∆Y

Com

p∆X

DIS

TA

ZIM

UT

EPV B C D E F G A

EST A B C D E F G

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Topografia A 59

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

8) Calcule a área da poligonal do exercício anterior.

Pto X Y Xn . Yn+1 Yn . Xn+1ABCDEFGA

Σ1 = Σ (Xn . Yn+1) = Σ2 = Σ (Yn . Xn+1) =

A área do terreno é =

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Proprietário: João da Paz

9) Sendo dadas as coordenadas retangulares já calculadas dos pontos de divisa (A, B, C e D) da propriedade às margens da Estrada Municipal Caminho da Fortuna, pede-se calcular os elementos de divisa (Distância, Rumo e Azimute). Indicar no círculo a direção do NM. Calcular também a área da propriedade.

Ponto de Divisa

PLANILHA PARA CÁLCULO DOS ELEMENTOS DE DIVISAX Y ∆X ∆Y DH RUMO Q AZIMUTE

A 142,600 111,850

B 78,150 210,520

C 47,650 208,320

D 102,100 85,100

A 142,600 111,850

Topografia A58

Nom

e: ____ __________ _________ __________ _________ ____ RA

: _________ _____

NM B A

Sede Barracão

LAGO C Bosque

D

Centro

Prop

rietá

rio: P

edro

Bac

ana

Proprietária: Maria MaravilhaBairro

Topografia A 59

Parte 2

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Topografia A 60

12. Levantamentos Altimétricos

Ou, simplesmente, nivelamento, é a operação que determina as diferenças de nível ou distâncias verticais entre pontos do terreno.

O nivelamento destes pontos pode inclui também o transporte da cota ou altitude de um ponto conhecido (RN – Referência de Nível) para os pontos nivelados.

A altitude (H) de um ponto da superfície terrestre pode ser definida como a distância vertical deste ponto à superfície média dos mares (nível médio das águas do mar - no Geóide).

A cota (C) de um ponto da superfície terrestre, por sua vez, pode ser definida como a distância vertical deste ponto à uma superfície qualquer de referência (que é fictícia e que, portanto, não é o Geóide). Esta superfície de referência pode estar situada abaixo ou acima da superfície determinada pelo nível médio dos mares.

À altitude corresponde um nível verdadeiro, que é a superfície de referência para a obtenção da DV ou DN e que coincide com a superfície média dos mares, ou seja, o Geóide.

Altitude → Nível Verdadeiro

À cota corresponde um nível aparente (arbitrário), que é a superfície de referência para a obtenção da DV ou DN e que é paralela ao nível verdadeiro.

Cota → Nível Aparente

A figura a seguir ilustra a cota (C) e a altitude (H) tomados para um mesmo ponto da superfície terrestre (A). Torna-se evidente que os valores de C e H não são iguais pois os níveis de referência são distintos.

Figura 69 – Cota e Altitude

O desnível entre os extremos de um segmento – DNAB – é dado pela diferença entre a altitude (ou cota) do ponto final (B) do segmento e a altitude (ou cota) do ponto inicial (A). Portanto DNAB = –DNBA.

Os métodos de nivelamento utilizados na determinação dos desníveis entre pontos e o posterior transporte da cota ou altitude são:

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B’

α’

Topografia A 61

12.1. Nivelamento TrigonométricoBaseia-se na medida de distâncias horizontais e ângulos de inclinação para a

determinação da cota ou altitude de um ponto através de relações trigonométricas. Os métodos que se utilizam de equipamentos que medem ângulos verticais para a determinação da altura de objetos ou da altitude de pontos são denominados Nivelamentos Trigonométricos, pois empregam a trigonometria para a solução dos problemas.

Portanto, obtém valores que podem estar relacionados ao nível verdadeiro ou ao nível aparente, dependendo do levantamento.

Determinando-se a leitura de um ângulo vertical (α) tomado de um ponto (onde está localizado o aparelho - A) até outro ponto qualquer - B, e, uma vez conhecida a distância horizontal entre estes dois pontos, é possível determinar a diferença de nível ou distância vertical entre eles através da seguinte relação:

)(tg.DHDVDN α==

Figura 70 – Determinação da diferença de nível

Observar que foi utilizada a mesma altura (h) do aparelho e da leitura no ponto visado, o que faz DN = DV.

Exemplo: A altura da árvore BB’ pode ser determinada por:

Figura 71– Exemplo de utilização de nivelamento trigonométrico

onde:

])'(tg)(tg.[DH'DVDV'BB α+α=α+α=

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b) Com aparelhos (Teodolito ou Estação Total)

Figura 72 – Exemplo de utilização de aparelhos

Como exemplo a Figura , a cota ou altitude do ponto C pode ser determinada a partir do nivelamento trigonométrico onde são conhecidos a Base AB (DHAB), os ângulos horizontais β1 e β2 e o(s) ângulo(s) de inclinação α entre o ponto A ou B e o ponto C.

As distâncias DHAC e DHBC podem ser calculadas:

1

BC

2

AC

21

AB

senDH

senDH

)180sen(DH

β=

β=

β−β−°

As distâncias verticais DVAC e DVBC podem ser calculadas:

)(tg.DHDV α=

As distâncias inclinadas DIAC e DIBC podem ser calculadas:

α=

cosDHDI

A cota ou altitude de C será então calculada por:

CC ou HC = CA + IA + DVAC e CC ou HC= CB + IB + DVBC

onde CC = cota de C, HC = altitude de C e I = altura do aparelho (ou do “instrumento”)

12.2. Nivelamento Geométrico

Este método diferencia-se dos demais, pois está baseado somente na leitura de réguas ou miras graduadas, não envolvendo ângulos.

O aparelho utilizado deve estar estacionado preferencialmente a meia distância entre os pontos (ré e vante), dentro ou fora do alinhamento a medir. Os comprimentos das visadas de ré e de vante devem ser aproximadamente iguais e, sendo o ideal, o comprimento máximo de 60m. Para evitar os efeitos do fenômeno de reverberação, as visadas devem situar-se acima de 50cm do solo.

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C

A Base [DH] B

β1 β2

DH AC DH BC

C

A ou B DHα

DVDI

Topografia A 63

Assim como para o método anterior, as medidas de DN ou DV podem estar relacionadas ao nível verdadeiro ou ao nível aparente, dependendo do levantamento.

12.2.1. Nivelamento Geométrico SimplesNeste método, indicado pela figura a seguir, instala-se o nível uma única vez,

em ponto estratégico, situado ou não sobre a linha a nivelar e eqüidistante aos pontos de nivelamento.

Deve-se tomar o cuidado para que o desnível entre os pontos não exceda o comprimento da régua graduada.

Figura 73 – Nivelamento Geométrico Simples

Após proceder a leitura dos fios médios estadimétricos (FM) nos pontos de ré e vante, o desnível pode ser determinado pela relação:

vantere FMFMDN −=

Se DN + então o terreno está em aclive (de ré para vante).Se DN – então o terreno está em declive (de ré para a vante).

Este tipo de nivelamento pode ser longitudinal, transversal ou radiante e é aplicado a terrenos relativamente planos.

12.2.2. Nivelamento Geométrico CompostoEste método, ilustrado pela figura a seguir, exige que se instale o nível mais de uma

vez, por ser, o desnível do terreno entre os pontos a nivelar, superior ao comprimento da régua.

Figura 74 – Nivelamento Geométrico Composto

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Instala-se o nível eqüidistante aos pontos de ré e intermediário (primeiro de uma série de pontos necessários ao levantamento dos extremos). Procede-se a leitura dos fios médios estadimétricos (FM) nos pontos em questão e o desnível entre os dois primeiros pontos será dado pela relação:

.ermintreP FMFMDN −=

Assim, o desnível total entre os pontos extremos será dado pelo somatório dos desníveis parciais.

PDNDN Σ= ou .ermintre FMFMDN ∑−∑=

Se DN+ então o terreno está em aclive.Se DN- então o terreno está em declive.

12.3. Precisão do NivelamentoA precisão, tolerância ou erro médio de um nivelamento é função do perímetro

percorrido com o nível (em km) e, segundo GARCIA e PIEDADE, classifica-se em:

alta ordem: o erro médio admitido é de ±1,5mm/km percorrido.

primeira ordem: o erro médio admitido é de ±2,5mm/km percorrido.

segunda ordem: o erro médio admitido é de 1,0cm/km percorrido.

terceira ordem: o erro médio admitido é de 3,0cm/km percorrido.

quarta ordem: o erro médio admitido é de 10,0cm/km percorrido.

Onde o erro médio é avaliado da seguinte forma:

• para poligonais fechadas: é a soma algébrica das diferenças de nível parciais (entre todos os pontos).

• para poligonais abertas: é a soma algébrica das diferenças de nível parciais (entre todos os pontos) no nivelamento (ida) e no contra-nivelamento (volta).

Este erro, ao ser processado, poderá resultar em valores diferentes de zero, para mais ou para menos, e deverá ser distribuído proporcionalmente entre as estações da poligonal, caso esteja abaixo do erro médio total tolerável.

Segundo ESPARTEL, o erro médio total tolerável em um nivelamento para um perímetro P percorrido em quilômetros, deverá ser:

Pmm5m ±=ε

E o erro máximo admissível, segundo o mesmo autor, deverá ser:

m.5,2 ε=ε

13. Utilização de um Levantamento Altimétrico

13.1. Construção de Perfis

O perfil é a representação gráfica do nivelamento e a sua determinação tem por finalidade:

• o estudo do relevo ou do seu modelado, através das curvas de nível;

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• a locação de rampas de determinada declividade para projetos de engenharia e arquitetura: edificações, escadas, linhas de eletrificação rural, canais e encanamentos, estradas etc.;

• o estudo dos serviços de terraplenagem (volumes de corte e aterro).

O perfil de uma linha do terreno pode ser de dois tipos:

• Longitudinal: determinado ao longo do perímetro de uma poligonal (aberta ou fechada), ou, ao longo do seu maior afastamento (somente poligonal fechada).

• Transversal: determinado ao longo de uma faixa do terreno e perpendicularmente ao longitudinal. São conhecidos como seção transversal.

O levantamento de um perfil é feito da seguinte forma:

• Toma-se o maior afastamento (fechada) ou o perímetro (aberta) de uma poligonal e determina-se a linha principal a ser levantada para o levantamento do perfil longitudinal.

• Faz-se o estaqueamento desta linha em intervalos de 5m, 10m ou 20m.• Faz-se o levantamento altimétrico desta linha e determinam-se todos os seus

desníveis.• Determinam-se também as linhas transversais às estacas da linha principal para o

levantamento do perfil transversal. Se a linha longitudinal for o perímetro da poligonal aberta, deve-se traçar, em cada estaca, a linha transversal segundo a bissetriz do ângulo horizontal naquele ponto.

• Faz-se o estaqueamento das linhas transversais com a mesma precisão da linha principal, ou seja, em intervalos de 5m, 10m ou 20m.

• Faz-se o levantamento destas linhas transversais e determinam-se todos os seus desníveis.

• Representam-se os valores dos desníveis obtidos e das distâncias horizontais entre as estacas em um sistema de eixos ortogonais da seguinte forma:

a) No eixo x são lançadas todas as distâncias horizontais entre as estacas em escala apropriada. Ex.: 1:1.000.

b) No eixo y são lançados todos os valores de cota/altitude das estacas levantadas também em escala apropriada. Ex.: 1:100 (escala em y 10 vezes maior que a escala em x) → perfil elevado.

1:1.000 (escala em y igual à escala em x) → perfil natural.1:2.000 (escala em y 2 vezes menor que a escala em x) → perfil rebaixado.

• O desenho final do perfil deverá compor uma linha que une todos os seus pontos definidores.

13.2. Determinação da Declividade entre Pontos do TerrenoA declividade ou gradiente entre pontos do terreno é a relação entre a distância

vertical e a distância horizontal entre eles.

Em porcentagem, a declividade é dada por:

100.DHDN(%)d =

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Em valores angulares, a declividade é dada por:

=°

DHDNtg.arcd

Define-se linha de maior declive do terreno num ponto como sendo a linha que, apoiada no terreno e passando pelo ponto, apresenta em todos os seus pontos declive máximo.

Segundo GARCIA e PIEDADE, as declividades de terreno classificam-se em:

Classe Declividade (%) Declividade (°) Interpretação

A < 3 < 1,7 FracaB 3 a 6 1,7 a 3,4 ModeradaC 6 a 12 3,4 a 6,8 Moderada a ForteD 12 a 20 6,8 a 11,3 ForteE 20 a 40 11,3 a 21,8 Muito ForteF > 40 > 21,8 Extremamente Forte

13.3. Determinação da linha de greide ou linha de projetoA linha de greide (ou de projeto) é o que se pretende construir, e geralmente

acompanha o perfil, dotada de uma certa declividade, chamada porcentagem de rampa (i%) e que vai indicar quanto de solo deve ser cortado ou aterrado (em projetos de estradas, por exemplo).

Essa porcentagem de rampa pode ser positiva no sentido do estaqueamento (indicando ACLIVE) ou negativa no sentido do estaqueamento (indicando DECLIVE).

Assim como a declividade, a porcentagem de rampa é calculada pela relação entre a diferença de nível entre as estacas e a distâncias entre elas.

.100DHDN(%)i =

ACLIVE DECLIVE

Figura 75 – Declividades do projeto

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i = + 10% i = − 10%10m 10m

100m 100m

Topografia A 67

Figura 76 – Exemplo Perfil Longitudinal - terreno natural e projeto

13.4. Exemplos1. Determine a porcentagem de rampa entre dois pontos sabendo-se que a cota do

primeiro ponto A é 471,37m e a cota do segundo ponto B é 476,77m. A distância horizontal entre eles é de 207,70m.

2,60% ou 2,5999% 100 . 70,207

40,5 .100207,70

471,37 - 476,77(%)i === (positivo de A para B).

2. Qual deve ser a diferença de nível de um ponto B, distante 250,00m de um ponto A, sabendo-se que o gradiente entre eles é de –3,5%.

DN = DH . i%/100 portanto DN = 250,00 x (– 0,035) = – 8,75m (declive de A para B)

14. Geração de Curvas de Nível

Como ilustrado na figura a seguir, as curvas de nível ou isolinhas são linhas curvas fechadas formadas a partir da interseção de vários planos horizontais com a superfície do terreno.

Cada uma destas linhas, pertencendo a um mesmo plano horizontal tem, evidentemente, todos os seus pontos situados na mesma cota altimétrica, ou seja, todos os pontos estão no mesmo nível.

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Topografia A 68

Figura 77 – Curvas de nível

Os planos horizontais de interseção são sempre paralelos e eqüidistantes e a distância entre um plano e outro denomina-se Eqüidistância Vertical.

A eqüidistância vertical das curvas de nível depende fundamentalmente de três fatores: o acidentado do terreno, a futura utilização da planta e a escala da planta. Recomendam-se os valores de escalas da tabela a seguir.

Escala Eqüidistância Escala Eqüidistância Escala Eqüidistância1:500 0,5m 1:25.000 10,0m 1:250.000 100,0m

1:1.000 1,0m 1:50.000 20,0m 1:500.000 200,0m1:2.000 2,0m 1:100.000 50,0m 1:1.000.000 200,0m1:10.000 10,0m 1:200.000 100,0m 1:10.000.000 500,0m

14.1. Características das Curvas de Nível

• As curvas de nível, segundo o seu traçado, são classificadas em:

mestras: todas as curvas múltiplas de 5 ou 10 metros. intermediárias: todas as curvas múltiplas da eqüidistância vertical, excluindo-se as

mestras. meia-eqüidistância: utilizadas na densificação de terrenos muito planos.

A figura a seguir ilustra parte de uma planta altimétrica com curvas de nível.

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Topografia A 69

Figura 78 – Representação de uma planta altimétrica

• As curvas mestras são representadas por traços mais espessos e são todas cotadas.

• Como mostra a figura a seguir, curvas muito afastadas representam terrenos planos e curvas muito próximas representam terrenos acidentados.

Figura 79 – Representação do relevo de um terreno

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* 102,50

* 98,30

Topografia A 70

Figura 80 – Curvas de nível – terreno plano e terreno acidentado

• A maior declividade (d%) do terreno ocorre no local onde as curvas de nível são mais próximas e vice-versa.

• Para o traçado das curvas de nível os pontos notáveis do terreno (aqueles que melhor caracterizam o relevo) devem ser levantados altimetricamente. É a partir destes pontos que se interpolam, gráfica ou numericamente, os pontos definidores das curvas.

OBS: Nos cumes e nas depressões o relevo é representado por pontos cotados (ver Figura e Figura ).

• Em terrenos naturais (não modificados pelo homem) as curvas tendem a um paralelismo e são isentas de ângulos vivos e quebras.

14.2. Normas para o Desenho das Curvas de Nível

• Duas curvas de nível jamais devem se cruzar.

Figura 81 – Curvas de nível - ERRADO

• Duas ou mais curvas de nível jamais poderão convergir para formar uma curva única, com exceção das paredes verticais de rocha.

Figura 82 – Curvas de nível - ERRADO

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Topografia A 71

• Uma curva de nível inicia e termina no mesmo ponto, portanto, ela não pode surgir do nada e desaparecer repentinamente.

Figura 83 – Curvas de nível - ERRADO

14.3. Obtenção das Curvas de NívelApós o levantamento planimétrico do terreno pode-se empregar um dos três métodos

abaixo para a obtenção das curvas de nível:

a) Quadriculação

• Consiste em quadricular o terreno (com piquetes) e nivelá-lo.• O valor do lado do quadrilátero é escolhido em função: da sinuosidade da

superfície; das dimensões do terreno; da precisão requerida; e do comprimento da trena.• No escritório, as quadrículas são lançadas em escala apropriada, os pontos de cota

inteira são interpolados e as curvas de nível são traçadas.

b) Irradiação Taqueométrica

• Consiste em levantar poligonais maiores (principais) e menores (secundárias) interligadas.

• Todas as poligonais devem ser niveladas.• Das poligonais (principal e secundárias) irradiam-se os pontos notáveis do

terreno, nivelando-os e determinando a sua posição através de ângulos e de distâncias horizontais.

• No escritório, as poligonais são calculadas e desenhadas, os pontos irradiados são locados e interpolados e as curvas de nível são traçadas.

c) Seções Transversais

• Método utilizado na obtenção de curvas de nível em faixas, ou seja, em terrenos estreitos e longos.

• Consiste em implantar e levantar planialtimetricamente os pontos definidores das linhas transversais à linha longitudinal definida por uma poligonal aberta.

• No escritório, a poligonal aberta e as linhas transversais são determinadas e desenhadas, os pontos de cada seção são interpolados e as curvas de nível são traçadas.

14.4. InterpolaçãoA interpolação para obtenção das curvas de nível pode ser gráfica ou numérica.

a) Interpolação Gráfica

• Consiste em determinar, entre dois pontos de cotas fracionárias, o ponto de cota cheia ou inteira e múltiplo da eqüidistância vertical.

• Sejam, portanto, dois pontos A e B de cotas conhecidas e cuja distância horizontal também se conhece.

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Topografia A 72

• O método consiste em traçar perpendiculares ao alinhamento AB, pelo ponto A e pelo ponto B respectivamente.

• Sobre estas perpendiculares lançam-se: o valor que excede a cota inteira (sentido positivo do eixo, pelo ponto A ou B, aquele de maior cota); e o valor que falta para completar a cota inteira (sentido negativo do eixo, pelo ponto A ou B, aquele de menor cota). Este lançamento pode ser feito em qualquer escala.

• Os valores lançados sobre as perpendiculares por A e B resultam nos pontos C e D, que determinam uma linha.

• A interseção desta linha (CD) com o alinhamento (AB) é o ponto de cota inteira procurado.

• Ex.: seja c(A) = 12,6m, c(B) = 13,7m e DHAB = 20,0m. Determine o ponto de cota inteira entre A e B e sua localização.

b) Interpolação Numérica

• O método consiste em determinar os pontos de cota inteira e múltiplos da eqüidistância vertical por semelhança de triângulos:

• Pela figura abaixo pode-se deduzir que:

AE→AB assim como AC→(AC + BD) portanto AE AC ABAC BD

=+.

( )

• Para o exemplo do método anterior, AE calculado pela relação acima corresponde a 7,27m. Isto equivale ao resultado obtido graficamente.

14.5. O Modelado TerrestreO modelado terrestre (superfície do terreno), tal qual se apresenta atualmente, teve

origem nos contínuos deslocamentos da crosta terrestre (devidos à ação de causas internas) e na influência dos diversos fenômenos externos (tais como chuvas, vento, calor solar, frio intenso) que com a sua ação mecânica e química, alteraram a superfície estrutural original transformando-a em uma superfície escultural.

Para compreender melhor as feições (acidentes geográficos) que o terreno apresenta e, como as curvas de nível se comportam em relação às mesmas, algumas definições geográficas do terreno são necessárias.

14.6. As Curvas de Nível e os Principais Acidentes Geográficos NaturaisCume: cimo ou crista, é a ponto mais elevado de uma montanha.

Serra: cadeia de montanhas de forma muito alongada donde partem os contrafortes.

Vertente: flanco, encosta ou escarpa, é a superfície inclinada que vem do cimo até a base das montanhas. Pode ser à esquerda ou à direita de um vale, ou seja, a que fica à mão esquerda e direita respectivamente do observador colocado de frente para a foz do

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curso d’água. As vertentes, por sua vez, não são superfícies planas, mas sulcadas de depressões que formam os vales secundários.

Elevação e Depressão: são superfícies nas quais as curvas de nível de menor valor envolvem as de maior no caso das elevações e vice-versa para as depressões.

Figura 84 – Elevação e Depressão

Espigão: constitui-se numa elevação alongada que tem sua origem em um contraforte.

Figura 85 – Espigão

Talvegue: linha de encontro de duas vertentes opostas (pela base) e segundo a qual as águas tendem a se acumular formando os rios ou cursos d’água.

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Topografia A 74

Figura 86 – TalvegueVale: superfície côncava formada pela reunião de duas vertentes opostas (pela base), e conforme figura, podem ser de fundo côncavo, de fundo de ravina ou de fundo chato.

Figura 87 – Vale

Divisor de águas: é a linha formada pelo encontro de duas vertentes opostas (pelos cumes) e segundo a qual as águas se dividem para uma e outra destas vertentes.

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Figura 88 – Divisor de águas

Dorso: superfície convexa formada pela reunião de duas vertentes opostas (pelos cumes), e conforme figura abaixo, podem ser alongados, planos ou arredondados. Neste, as curvas de nível de menor valor envolvem as de maior.

Figura 89 – DorsoO talvegue está associado ao vale enquanto o divisor de águas está associado ao dorso.Colo: ou garganta, é o ponto onde as linhas de talvegue (normalmente duas) e de divisores de águas (normalmente dois) se curvam fortemente, mudando de sentido.

Figura 90 – Colo ou Garganta

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Topografia A 76

15. Automatização de trabalhos topográficos

Um Modelo Numérico de Terreno (MNT) é uma representação matemática computacional da distribuição de um fenômeno espacial que ocorre dentro de uma região da superfície terrestre. Dados de relevo, informações geológicas, levantamentos de profundidades do mar ou de um rio, informação meteorológicas e dados geofísicos e geoquímicos são exemplos típicos de fenômenos representados por um MNT.

Dentre alguns usos do MNT pode-se citar:

Armazenamento de dados de altimetria para mapas topográficos;

Análises de corte-aterro para projeto de estradas e barragens;

Elaboração de mapas de declividade e exposição para apoio a análise de geomorfologia e erodibilidade;

Análise de variáveis geofísicas e geoquímicas;

Apresentação tridimensional (em combinação com outras variáveis).

Para a representação de uma superfície real no computador é indispensável a elaboração e criação de um modelo digital, que pode estar representado por equações analíticas ou uma rede (grade) de pontos regulares ou irregulares, de modo a transmitir ao usuário as características espaciais do terreno. A criação de um modelo numérico de terreno corresponde a uma nova maneira de enfocar o problema da elaboração e implantação de projetos. A partir dos modelos (grades) pode-se calcular diretamente volumes, áreas, desenhar perfis e seções transversais, gerar imagens sombreadas ou em níveis de cinza, gerar mapas de declividade e aspecto, gerar fatiamentos nos intervalos desejados e perspectivas tridimensionais.

No processo de modelagem numérica de terreno podemos distinguir três fases: aquisição dos dados, geração de grades e elaboração de produtos representando as informações obtidas que são as suas aplicações.

A aquisição dos dados ou amostragem compreende a aquisição de um conjunto de amostras representativas do fenômeno de interesse. Geralmente essas amostras estão representadas por curvas de isovalores e pontos tridimensionais. A geração de grades ou interpolação envolve a criação de estruturas de dados e a definição de superfícies de ajuste com o objetivo de se obter uma representação contínua do fenômeno a partir das amostras. Essas estruturas são definidas de forma a possibilitar uma manipulação conveniente e eficiente dos modelos pelos algoritmos de análise.

Um mapa 3D será assim, uma representação tridimensional de um mapa 2D sobre um modelo sólido de terreno, seguindo um processo que se pretende ilustrar.

Figura 91 – Ilustração esquemática da seqüência de imagens

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As estruturas de dados mais utilizadas são a grade regular e a malha triangular.

Figura 92 – Exemplo de grade regular.

A modelagem digital do terreno permite que os pontos levantados de um terreno possam definir um modelo tridimensional e, a partir dele, gerar seções transversais e perfis longitudinais, além de calcular volumes entre terrenos e planos ou terrenos e medições.

Figura 93 – Modelo tridimensional de terreno

As aplicações são procedimentos de análise executados sobre os modelos digitais. As aplicações podem ser qualitativas, tais como a visualização do modelo usando-se projeções geométricas ou quantitativas tais como cálculos de volumes e geração de mapas de declividades.

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Topografia A 78

Figura 94 – Imagem temática gerada a partir do fatiamento de um modelo digital de terreno.

Figura 95 – Imagem obtida do aplicativo Google Earth

Observe a imagem acima e identifique o modelado do terreno. É possível delimitarmos as bacias de drenagem existentes.

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Topografia A 79

16. Critério para delimitação dos limites da bacia hidrográfica:

1) Inicia-se pela foz do curso d’água (rio, riacho, córrego etc.) ou por um ponto que se deseja determinar a bacia de acumulação até aquele ponto (rodovia, ferrovia etc.).

2) Critério da convexidade – o limite da bacia segue pela convexidade das curvas de nível (dorso).

3) Critério dos pontos altos – o limite da bacia passa pelos pontos altos mais próximos no terreno (divisor de águas).

4) Critério do centro da curva de nível fechada – o limite da bacia passa pelo centro da curva de nível fechada.

5) Observar que o sentido de escoamento das águas numa vertente é perpendicular às curvas de nível, que é a máxima declividade.

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Topografia A 80

Caderno de ExercíciosParte 2

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Topografia A 81

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

10) Determine o desnível entre dois pontos a partir de um nivelamento trigonométrico onde foram obtidos os seguintes dados:

I = 1,43mDH = 47,30m

α = 8° 30’FM = 1,43m

11) Determine a altura aproximada de um poste sabendo-se que os ângulos de visada do topo do poste é de 15°40’ e do pé do poste é –2°10’, em relação ao horizonte, e a distância do observador ao poste é de 40,00m.

12) Calcular a cota de um reservatório [R] por triangulação sendo dados que a base AB medida tem 455,20m; os ângulos horizontais são A = 71°00’48’’ e B = 85°34’09’’; o ângulo vertical em A para o Reservatório é 8°42’00’’; a altura do instrumento em A = 1,59m e a cota em A é 297,793m.

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Topografia A 82

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

13) Nivelamento geométrico simplesDados:

EST Visada de Ré (mm) HI Visada de

Vante (mm) Cotas (m)

1 2855 100,000

2 2035

3 0986

4 0677

5 0246

6 1109

7 0995

Calcular a planilha e desenhar a configuração do terreno levantado (perfil do levantamento).

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Topografia A 83

14) Nivelamento geométrico composto

Dados:

EST Visada de Ré (mm) HI Visada de

Vante (mm) Cotas (m)

1 1845 100,000

2 0856 2335

3 1788 1986

4 2234 1677

5 1278 0846

6 2872 0545

7 1109

Calcular a planilha e desenhar a configuração do terreno levantado (perfil do levantamento).

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Topografia A 84

15) Nivelamento geométrico composto com contra-nivelamento

Dados do nivelamento:

EST Visada de Ré (mm) HI

Visada de Vante Intermediária

(mm)

Visada de Vante de Mudança

(mm)Cotas (m)

1 3127 100,000

2 2606

3 2989 2164

4 1886

5 1332

ΣΣVisada Ré – ΣVisada Vante Mudança = Diferença de Nível no nivelamentoDados do contra-nivelamento:

EST Visada de Ré (mm) HI

Visada de Vante Intermediária

(mm)

Visada de Vante de Mudança (mm)

5 1249

4

3 2081 2904

2

1 3042

ΣΣVisada Ré – ΣVisada Vante Mudança = Diferença de Nível no contra-nivelamentoErro = Compensação (nas visadas de ré):

Calculo das cotas dos pontos nivelados após a compensação.

ESTVisada de Ré Compensada

(mm)HI

Visada de Vante Intermediária

(mm)

Visada de Vante de Mudança

(mm)Cotas (m)

1 100,000

2

3

4

5

Σ

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COTAS

Estaqueamento

Cota do Terreno

Cota do Projeto

Altura de Corte

Altura de Aterro

ESCALAS: H = V = Nome: ______________________________________ RA: _____________ PER: ______

Topografia A85

Topografia A 86

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

16) Exercício Rede de esgoto – Estaqueamento de 20m em 20m.

Cotas do Terreno nas estacas:ESTACA 0 1 2 3 4 5 6 7COTA (m) 108,50 106,60 105,30 104,20 105,20 106,80 108,30 108,90

Cotas do Projeto da Rede de Esgoto (PI = Poço de Inspeção) nas estacas: EST. 0 = 107,00m EST. 3 = 102,80m EST. 7 = 107,60mDesenhar na folha – padrão o perfil longitudinal do terreno da rede de esgoto, com escala H = 1:1.000 e V = 1:100.Lançar as cotas de projeto (PIs) dadas.Calcular as porcentagens de rampa entre as estacas 0/3 e 7/3.Calcular as cotas do projeto nas estacas intermediárias.Admitindo-se que a largura da vala será 1,0 metro, calcular o volume a ser escavado nesse projeto.

17) Exercício Trecho de Rua – Estaqueamento de 20m em 20m.

CROQUI DO TRECHO (sem escala)

Cotas do Terreno nas estacas:ESTACA 0 1 2 3 4 5 6 7 8COTA (m) 100,00 102,60 104,50 105,20 104,40 103,00 101,20 100,20 99,70ESTACA 8+15m 9 9+5m 10 11 12 13 14 15COTA (m) 99,60 97,90 99,70 99,80 101,00 102,30 103,90 105,20 106,00

Nível d’água na estaca 9 (ribeirão) = 99,40mCotas do Projeto da Rua (concordâncias) nas estacas: EST. 0 = 100,00m EST. 5 = 103,00m EST. 15 = 106,00mDesenhar na folha – padrão o perfil longitudinal do terreno da rua, com escala H = 1:2.000 e V = 1:100.Lançar as cotas de projeto (concordâncias) dadas.Calcular as porcentagens de rampa entre as estacas 0/5 e 5/15.Calcular as cotas do projeto nas estacas intermediárias.Calcular as alturas de corte ou aterro nas estacas.

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0 5 9 15

ribeirão

Topografia A 87

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

18) Exercício alturas do terreno

Com os dados obtidos de um levantamento altimétrico em uma propriedade, e pela figura abaixo, determine a diferença de nível entre os pontos ‘1’ a ‘12’ do terreno. Indique de onde devemos tirar e onde devemos colocar terra. A altura do ponto A deve ser tomada como referência para o cálculo dos desníveis, bem como, para a planificação do relevo.

Onde:

Ponto FM Ponto FM1 2,60m 7 2,10m2 2,30m 8 2,40m3 0,90m 9 2,10m4 0,80m 10 1,60m5 0,90m 11 1,20m6 1,10m 12 1,10m

A altura do instrumento no ponto A = 1,60 metros.

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Topografia A 88

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

19) Determine as curvas de nível para o terreno da figura abaixo, a partir das cotas levantadas através do método da quadriculação (valores indicados em metros). Interpole e desenhe as curvas de nível com eqüidistância vertical de 1 metro. Os pontos estão posicionados em intervalos regulares de 20 m.

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1 2 3 4 5

2

3

4

5

1 17,9 16,3 15,7 14,5 12,3

19,1 17,4 18,5 15,5 12,6

20,2 18,5 21,4 16,7 13,8

21,3 19,5 21,2 17,5 15,2

22,2 21,3 20,5 18,8 16,5

623,1 22,7 21,6 20,2 17,8

Topografia A 89

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

20) Na figura a seguir, obtida de um levantamento planialtimétrico, pede-se interpolar os pontos de cota inteira e múltiplos da eqüidistância vertical de 1 metro.

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72 76

7478

77 80

84 76

81 78 82

84

86

Topografia A 90

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

21) Seja uma porção de terreno correspondente a uma vertente isolada de um vale da qual foram determinadas, por nivelamento as cotas dos pontos A (42,0m), B (28,5m), C (26,6m), D (6,0m) e E (17,5m). As distâncias entre os pontos são dadas abaixo. Interpolar os pontos de cota inteira com eqüidistância vertical de 5 metros e traçar as curvas de nível correspondentes.

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B

C

D

Alinhamentos Distância (m)AB, AC 100,00BD, CD 50,00BE, CE 61,96AE 50,00DE 36,60

AE

Topografia A 91

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

22) A figura a seguir representa uma área a ser inundada após a construção da barragem ‘ABCD’, cuja cota máxima é 738 m. Pede-se identificar a área que será inundada, supondo que a cota de inundação é 737 m. Pede-se também calcular essa área inundada.

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ESCALA: 1:500

740

740

740

735

745

A

BD

C

735

Curso d’águaCurso d’água

Curso d’água

Topografia A 92

Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____

23) Determinar a cota dos pontos A, 1, 2, 3, 4, 5 e B indicados na figura com o [*].Desenhar o perfil do alinhamento AB.

*A *1

*2

*3

*4

*5 *B

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Topografia A 93

Anexos

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Topografia A 94

TOPOGRAFIA A - MODELO DE MEMORIAL DESCRITIVO DE ÁREAAutorizada a divulgação pelo autor

MEMORIAL DESCRITIVO DE ÁREA

1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

Refere-se o presente memorial ao perímetro do imóvel rural denominado Sítio Santa Rita de Cássia, localizado na Estrada Velha Salto/Indaiatuba (SP-73) no Bairro do Olaria, Comarca e Município de Salto – SP, de propriedade de João de Conti e S.M. Luzia Martins de Conti.

Os vértices do perímetro supra especificado que estão georreferenciados ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), DATUM – SAD 69, MC 45° W, tendo sua origem nos marcos geodésicos do km 44+700m de coordenadas geográficas, latitude (ϕ) = - 23°09’49.374” S e longitude (λ) = - 47°15’55.162” W, sistema UTM de coordenadas E=268.084,334m, N=7.436.543,936m e Z= 608,506m e km 43+800m de coordenadas geográficas, latitude (ϕ) = - 23°10’15.649”S e longitude (λ) = - 47°16’05.885”W, sistema UTM de coordenadas E= 267.791,890m, N= 7.435.730,769m e Z= 584,549m, localizados na faixa de domínio da Rodovia administrada pela Concessionária Rodovias das Colinas (Sucessora de DERSA - Desenvolvimento Rodoviário S/A), sendo que todos os dados inseridos no mapa ora apresentado, atendem integralmente à Lei nº 10.267 de 28 de Agosto de 2.001 e posteriores portarias inerentes ao caso.

2. DESCRIÇÃO PERIMÉTRICA

2.1 - DA LINHA DE AMARRAÇÃO

“Inicia no marco geodésico do Km 44+700 de coordenadas E= 268.084,334, N= 7.436.543,936, Z= 608,506; daí segue até o marco geodésico do Km 43+800 de coordenadas E=267.791,890, N=7.435.730,769 e Z=584,549, na extensão de 864,16m e azimute de 199°46’49”; daí segue até o ponto convencionado de 1 de coordenadas E= 267.344,957 e N= 7.434.162,569, na extensão de 1630,64m e azimute de 195°54’27”.

2.2 - DO PERÍMETRO DA PROPRIEDADE

“Inicia no ponto convencionado de 1 de coordenadas E= 267.344,957 e N= 7.434.162,569 e cravado na interseção da propriedade de Prefeitura Municipal de Salto com a de Mario Guilherme Roberto Donalísio e S.M. Maria Olimpia de Toledo Camargo Donalísio, Therezinha Magdalena Donalísio, Vicente Donalísio Neto e S.M. Maria Cecília De Almeida Donalísio; daí segue por cerca e confrontando com estes últimos, até o ponto 2 de coordenadas E= 267.052,725 e N=7.434.238,266, pelas distâncias e azimutes seguintes:

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Topografia A 95

101,10 m___317°52’51”

105,02 m___313°39’28”

49,21 m___312°02’49”

92,07 m___304°49’10”

29,95 m___192°58’46”

27,43 m___191°52’34”

104,09m___193°18’01”; daí segue por cerca e confrontando com propriedade de Adilson Aparecido Pechio e S.M. Helcia Martins Painelli Pechio até o ponto 3 de coordenadas E= 267.010,096 e N= 7.434.057,937, na extensão de 185,30 m e azimute de 193°18’01”; deflete à esquerda e por cerca, a divisa segue confrontando com a propriedade de Concrebase – Indústria e Comércio de Materiais para Construção Ltda até o ponto 4 de coordenadas E= 267.004,398 e N= 7.433.978,808, pelas distâncias e azimutes seguintes:

44,00 m___193°02’04”

36,51 m___173°21’06”; deflete à esquerda e por cerca, a divisa segue confrontando com o Jardim Itaguaçú Industrial, até o ponto 5 de coordenadas E=267.008,592 e N=7.433.942,951, na extensão de 36,10 m e azimute de 173°19’46”; deflete à esquerda e por cerca, a divisa segue confrontando com a Estrada Velha SP-73 sentindo Salto/Indaiatuba até o ponto 6 de coordenadas E=267.305,347 e N= 7.434.062,022, pelas distâncias e azimutes seguintes:

24,09 m ___ 72º01’54”

82,83 m ___ 76º48’45”

93,73 m ___76º16’35”

18,74 m ___ 71º33’51”

10,77 m ___ 66º59’51”

42,15 m ___63º42’06”

20,71 m ___ 53º01’49”

35,49 m ___34º31’06”; deflete à esquerda e por cerca, a divisa segue confrontando com a propriedade da Prefeitura Municipal de Salto até o ponto 1 (início desta descrição), na extensão de 108,07 m e azimute de 21°30’07”; encerrando desta forma, a área de 92.636,12 m2, ou 3,827939 alq. paulistas ou ainda 9,263612 ha”.

Salto, 23 de junho de 2.003.

José Miguel Camargo Chumacero

(AGRIMENSOR)

CREA 064040928-8

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PLANTA TOPOGRÁFICA Topografia A96

Topografia A 97

Trabalhos de Campo

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Topografia A 98

Aula prática 1

Medida direta de alinhamento; método das cordas; cálculo de área pelo semiperímetro.

Equipe:

Nome RA Assinatura1234567

Executar um levantamento expedito determinando as distâncias e as diagonais com trena, a área pelo semi-perímetro, os ângulos pelo método das cordas, o erro angular de um polígono de 4 lados.

Croqui

Vértice Ângulo Horizontal

A

B

C

D

Total Erro angular =

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A D

B C

Topografia A 99

Aula prática 2

Cálculo de Rumos e Azimutes

Azimute = 32043’26”

Azimute = 132043’26”

Azimute = 232043’26”

Azimute = 332043’26”

Rumo = 32043’26”NE

Rumo = 32043’26”SE

Rumo = 32043’26”SW

Rumo = 32043’26”NW

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Topografia A 100

Aula prática 3

A

NM dAAzA

BAzB dB

AzC O

AzD dD dC

D

C

Note que nesta figura o ponto-base do levantamento está representado fora da área a levantar.

EST PV Azimute Dist. Hor. X YO AO BO CO D

X = Dist. x sen AzY = Dist. x cos Az

Linha Δx Δy Rumo Azimute DistânciaA BB CC DD A

Δx = X(n+1) - XnΔy = Y(n+1) - Yn

Rumo = arc tg [Δx/Δy]Distância = √[(Δx)² + (Δy)²]

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Topografia A 101

Aula prática 4

Levantamento planimétrico – Poligonal e pontos de detalhe

Equipe:Nome RA Assinatura

1234567

A planilha para anotações pode ter a seguinte configuração (exemplo):

EST PV Ang. Hor. (Hz) Distância OBSA E 0°00’00” -A B 40°35’00” 47,56

1 78°12’20” 12,45 poste2 106°05’30” 4,87 caixa

B A 0°00’00” -B C 86°32’10” 87,34

3 150°50’08” 14,45 árvoreC B

D:::

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C

3 Hz

B3 Dist

B

A

Aula prática – Levantamento planimétrico – Planilha

EST PV Ang. Hor. (Hz) Distância OBS CroquiA D 0°00’00”

A B

B A 0°00’00”

B C

C B 0°00’00”

C D

D C 0°00’00”

D A

Σ =

Topografia A102

Topografia A 103

Aula prática 5Determinação de área de figura plana impressa

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Topografia A 104

Aula prática 6

Levantamento Planialtimétrico – Procedimento básico da aula de campo

Equipe:Nome RA Assinatura

1234567

Tomando como referência a figura abaixo, determine as cotas e as diferenças de nível dos pontos (1 a n). De onde devemos tirar e onde devemos colocar terra? O ponto A deve ser tomado como referência para o cálculo das cotas (100,000m), bem como, para a planificação do relevo.

Ponto Ângulo Horizontal

Distância(m)

Leitura na Mira FM (mm)

Cotas(m)

A -- I = 100,0001 0°00’00’’

2

3

:

:

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Topografia A 105

Aula prática 7

Nivelamento geométrico composto

Equipe:Nome RA Assinatura

1234567

Dados do Nivelamento:

EST Visada de Ré HI Visada de Vante de Mudança Cotas

Calcular as cotas dos pontos nivelados.

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Topografia A 106

Aula prática 8

Delimitação de bacias e cálculo da área

De posse de uma cópia colorida em tamanho A4 de parte de uma carta do IBGE na escala 1:50.000 (exemplo abaixo), delimitar três bacias de drenagem.

Calcular também as áreas dessas bacias delimitadas.

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