1
Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Prof Henrique A M Faria
Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas
dados ou palavras
Prof Henrique A M Faria
Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas
dados ou palavras
As mais baacutesicas polinomiais trigonomeacutetricas
exponenciais e logariacutetmicas
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
bull Muitas leis e princiacutepios cientiacuteficos descrevem
como uma quantidade depende da outra
Prof Henrique A M Faria
ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel
x de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y entatildeo dizemos que
y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com a tabela
Prof Henrique A M Faria
Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
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Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
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Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas
dados ou palavras
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Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas
dados ou palavras
As mais baacutesicas polinomiais trigonomeacutetricas
exponenciais e logariacutetmicas
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bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
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bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
bull Muitas leis e princiacutepios cientiacuteficos descrevem
como uma quantidade depende da outra
Prof Henrique A M Faria
ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel
x de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y entatildeo dizemos que
y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo
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Fonte Howard Anton 2007
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
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Numericamente com a tabela
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Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
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Geometricamente com graacuteficos
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Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
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No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
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Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
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119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
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O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
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No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
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Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas
dados ou palavras
Prof Henrique A M Faria
Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas
dados ou palavras
As mais baacutesicas polinomiais trigonomeacutetricas
exponenciais e logariacutetmicas
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
bull Muitas leis e princiacutepios cientiacuteficos descrevem
como uma quantidade depende da outra
Prof Henrique A M Faria
ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel
x de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y entatildeo dizemos que
y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com a tabela
Prof Henrique A M Faria
Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
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Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Relaccedilatildeo entre quantidades fiacutesicas e matemaacuteticas
Podem ser descritas por graacuteficos foacutermulas
dados ou palavras
As mais baacutesicas polinomiais trigonomeacutetricas
exponenciais e logariacutetmicas
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
bull Muitas leis e princiacutepios cientiacuteficos descrevem
como uma quantidade depende da outra
Prof Henrique A M Faria
ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel
x de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y entatildeo dizemos que
y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com a tabela
Prof Henrique A M Faria
Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
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Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
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119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
bull Muitas leis e princiacutepios cientiacuteficos descrevem
como uma quantidade depende da outra
Prof Henrique A M Faria
ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel
x de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y entatildeo dizemos que
y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com a tabela
Prof Henrique A M Faria
Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
bull Uma funccedilatildeo eacute o objeto matemaacutetico utilizado
para descrever relaccedilotildees entre quantidades
variaacuteveis
bull Muitas leis e princiacutepios cientiacuteficos descrevem
como uma quantidade depende da outra
Prof Henrique A M Faria
ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel
x de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y entatildeo dizemos que
y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com a tabela
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Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
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Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
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No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
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No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
ldquo111 Se uma variaacutevel y depende de uma variaacutevel
x de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y entatildeo dizemos que
y eacute uma funccedilatildeo de xrdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com a tabela
Prof Henrique A M Faria
Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com tabelas
Geometricamente com graacuteficos
Algebricamente com foacutermulas
Verbalmente
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Numericamente com a tabela
Prof Henrique A M Faria
Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
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119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
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Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
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O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
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c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
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a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
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Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Numericamente com a tabela
Prof Henrique A M Faria
Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Algebricamente com foacutermulas
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ideia de denotar funccedilotildees por letras
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No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
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No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Geometricamente com graacuteficos
Prof Henrique A M Faria Fonte Bizzeli e Barroso 2009
Algebricamente com foacutermulas
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
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Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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No seacuteculo XVIII o matemaacutetico suiacuteccedilo Euler teve a
ideia de denotar funccedilotildees por letras
Um programa de computador por exemplo toma
uma entrada x
opera sobre ela e
produz exatamente
a saiacuteda y
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
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Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
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119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
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O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
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No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
ldquo112 Uma funccedilatildeo 119943 eacute uma regra que associa uma
uacutenica saiacuteda a cada entrada Se a entrada for
denotada por x entatildeo a saiacuteda eacute denotada por 119943(x)rdquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
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Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
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Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Denotando a saiacuteda de uma funccedilatildeo por uma letra
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 eacute denominada variaacutevel
independente enquanto 119962 eacute denominada
variaacutevel dependente
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
119910 = 119891(119909)
A variaacutevel 119961 estaacute livre para variar
Uma vez dado um valor especiacutefico para 119961 o
valor correspondente de 119962 estaacute determinado
Prof Henrique A M Faria
O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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O peso de um corpo dependendo apenas de
seu volume
A pressatildeo da aacutegua dependendo apenas da
profundidade
A pressatildeo de um gaacutes que se expande
isotermicamente dependente apenas de seu
volume
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No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
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Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
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Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
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Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
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Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
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Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
No Caacutelculo I estudam-se funccedilotildees em que as
variaacuteveis satildeo nuacutemeros reais
Nesse caso 119943 eacute uma funccedilatildeo real de uma
variaacutevel real
Prof Henrique A M Faria
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
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Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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O volume (119933) de um gaacutes agrave pressatildeo constante
(119927) varia com a temperatura pela relaccedilatildeo
V(T) =V (1+ αT)
1198810 eacute o volume do gaacutes em 0 e 120572 constante
Se a pressatildeo natildeo for constante temos a lei dos
gases ideais
V (TP) = nRT
119927
119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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119891 0 = 3 119891 associa 119910 = 3 119886 119909 = 0
119891 1 = 4 119891 associa 119910 = 4 119886 119909 = 1
21 Fonte Howard Anton 2007
A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
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Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
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Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
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Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
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Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
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O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
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Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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A equaccedilatildeo
y = 31199092 minus 4119909 + 2
Estaacute na forma y = 119891(x) dada pela foacutermula
119891 119909 = 31199092 minus 4119909 + 2
Para cada entrada 119909 a saiacuteda correspondente y
eacute obtida substituindo 119909 nessa foacutermula
119891 1 = 3(1)2minus4 1 + 2 = 1
22 Fonte Howard Anton 2007
Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
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Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
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A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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Se 119891 for uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real
Entatildeo o graacutefico de 119891 no plano 119909119910 eacute definido
como sendo o graacutefico da equaccedilatildeo 119910 = 119891 119909
Graacuteficos fornecem informaccedilatildeo visual de 119891
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Os pontos do graacutefico satildeo da forma (119909 119891 119909 )
Os valores de 119909 para os quais 119943 119961 = 120782 satildeo
pontos nos quais o graacutefico de 119943 intersecta
o eixo 119961
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo chamados de
zeros de 119943 raiacutezes de 119943 119961 = 120782 ou pontos de
corte de y = 119891 119909 com o eixo 119909
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees inversas
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Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Nem toda curva no plano 119909y eacute uma funccedilatildeo
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Nessa curva 119943 119938 = 119939 e 119943 119938 = 119940
A funccedilatildeo 119943 natildeo
pode atribuir dois
valores diferentes
para 119938
113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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113 Uma curva no plano 119909y eacute o graacutefico de
uma funccedilatildeo 119891 se e somente se nenhuma reta
vertical paralela ao eixo y intersecta a curva
mais de uma vez
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
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Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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A foacutermula de 119891 muda com o valor de 119909 Exemplo
119891 x =
0 119909 le minus1
1 minus 1199092 minus1 lt 119909 lt 1119909 119909 ge 1
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
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O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
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Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
A funccedilatildeo valor absoluto eacute um caso particular de funccedilatildeo definida por partes
Definiccedilatildeo de valor absoluto se 119886 isin ℝ
119909 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
O graacutefico da funccedilatildeo 119891 x = 119909 pode ser obtido separando as duas partes da equaccedilatildeo
119910 = 119909 119904119890 119909 ge 0 minus119909 119904119890 119909 lt 0
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
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Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed p 5 Howard Anton 8 ed p6
Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
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Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
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Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
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Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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Se 119909 e 119910 estatildeo relacionados pela equaccedilatildeo 119910 = 119891(x)
bull Domiacutenio conjunto de todas as entradas
permitidas dos valores de 119909
bull Imagem conjunto de todas as saiacutedas dos
valores de 119910
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Consideraccedilotildees fiacutesicas ou geomeacutetricas podem
impor restriccedilotildees ao domiacutenio
Exemplo Se a funccedilatildeo 119910 = 1199092 representar a
aacuterea de um quadrado de lado 119909 o domiacutenio
estaraacute restrito aos nuacutemeros reais positivos
Prof Henrique A M Faria
ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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ldquo115 Se uma funccedilatildeo de variaacutevel real a valores
reais for definida por uma foacutermula e se natildeo houver
um domiacutenio explicitado entatildeo deve ser entendido
que o domiacutenio consiste em todos os nuacutemeros reais
para que a foacutermula decirc lugar a um valor real Isso eacute
denominado domiacutenio natural da funccedilatildeordquo
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
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Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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O domiacutenio e imagem de 119891 podem ser identificados no graacutefico 119910 = 119891 119909 sobre os eixos coordenados
Prof Henrique A M Faria Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Encontrar o domiacutenio natural de
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
43 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
45
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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Encontrar o domiacutenio natural de
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
44 Fonte Howard Anton 2007
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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70 Fonte Howard Anton 2007
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
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2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
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c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
Novas tecnologias facilitam o Caacutelculo
Sistemas Algeacutebricos Computacionais
Capacidade graacutefica e execuccedilatildeo de caacutelculos
Prof Henrique A M Faria
Mathematica (Wolfram) Mathway Geogebra Winplot (gratuito para windows)
Prof Henrique A M Faria
Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Mathway Geogebra Symbolab
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Mesmo os softwares pagos permitem uma seacuterie de recursos gratuitos
Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
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Funccedilotildees racionais
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2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
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Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
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a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
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b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
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Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
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A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Obter o graacutefico das funccedilotildees no Smartphone
a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
Prof Henrique A M Faria
Prof Henrique A M Faria
119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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a) 119891 119909 = 1199093 b) 119891 119909 =1
(119909minus1)(119909minus3)
c) 119891 119909 = 119905119892119909 d) 119891 119909 = 1199092 minus 5119909 + 6
e) 119891 119909 =1
(119909minus1) f) 119891 119909 = 11990923
g) 119891 119909 =1
(1199092minus1) h) 119891 119909 = 119909(30 minus 2119909)(25 minus 2119909)
49 Fonte Howard Anton 2007
Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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Duas funccedilotildees 119891 e 119892 ser adicionadas
multiplicadas e divididas de forma natural
O domiacutenio da funccedilatildeo resultante seraacute a
intersecccedilatildeo dos domiacutenios de 119891 e 119892
Nos casos em que uma das funccedilotildees estaacute no
denominador exclui-se o ponto para o qual a
funccedilatildeo zera
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
Prof Henrique A M Faria
Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
Prof Henrique A M Faria
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119891 119860 rarr 119861
Soma 119891 119909 + 119892 119909 = 119891 + 119892 119909
Diferenccedila 119891 119909 minus 119892 119909 = 119891 minus 119892 119909
Produto 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909
Quociente 119891 119909 119892 119909 = 119891119892 119909 p 119892 119909 ne 0
Sejam f e g com domiacutenio A e imagem B
119892 119860 rarr 119861
Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
Prof Henrique A M Faria
Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
Prof Henrique A M Faria
Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
Prof Henrique A M Faria
Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
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Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
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1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Encontrar o domiacutenio das funccedilotildees 119893 = 119891119892
a) 119891 119909 = 119909 minus 2 119892 119909 = 119909 minus 3
b) 119891 119909 = 119909 119892 119909 = 119909
52 Fonte Howard Anton 2007
Natildeo tem anaacutelogo com operaccedilatildeo aritmeacutetica
Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
uma outra funccedilatildeo
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
54 Fonte Howard Anton 2007
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
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Informalmente a funccedilatildeo composta eacute obtida
substituindo-se a variaacutevel independente por
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
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A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Funccedilotildees racionais
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Encontrar a funccedilatildeo composta 119891(119892 119909 )
a) 119891 119909 = 1199092 119892 119909 = 119909 + 1
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Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
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119892
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132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
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Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
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Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
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A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
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Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
henriquefariaunespbr
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Composiccedilatildeo de duas funccedilotildees 119891 e 119892 que origina uma nova funccedilatildeo (119943 ∘ 119944) (Lecirc-se 119891 bola 119892)
Imagem 119892(119909) deve estar no domiacutenio de 119891
119891
119909 Domiacutenio de 119892
119892(119909)
Domiacutenio de 119891
119891(119892(119909))
119892
119891(119892 119909 )
132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
Prof Henrique A M Faria
Fonte Howard Anton 2007
57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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Vendas anuais de carros
61
119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
Fonte Howard Anton 10 ed 2014
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Resolver os exemplos dados em aula
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Funccedilotildees polinomiais
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Funccedilotildees inversas
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132 Dadas duas funccedilotildees f e g a composiccedilatildeo de
f e g denotada por 119943 ∘ 119944 eacute a funccedilatildeo definida por
(119943 ∘ 119944)(119909) = 119891 119892(119909)
Por definiccedilatildeo o domiacutenio de 119943 ∘ 119944 consiste em
todo 119909 no domiacutenio de g para o qual 119892(119909) estaacute
no domiacutenio de f
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57
Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
58 Fonte Howard Anton 2007
Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
ordenados das curvas destas funccedilotildees
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
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Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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Uma mancha de oacuteleo sobre uma superfiacutecie de aacutegua eacute originada a partir de um vazamento que se manteacutem constante ao longo do tempo Essa mancha eacute esfeacuterica e a aacuterea pode ser obtida em funccedilatildeo do raio
119860 = 119860(119903) = 1205871199032
Por outro lado o raio cresce em funccedilatildeo do tempo 119905 em minutos seguindo a expressatildeo
119903 = 119903 119905 = 15119905 + 05 [119888119898]
Encontrar a expressatildeo da aacuterea em funccedilatildeo do tempo
Encontrar a funccedilatildeo composta (119943 ∘ 119944)(119961)
a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
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Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
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da nova funccedilatildeo seraacute a soma dos pares
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
70 Fonte Howard Anton 2007
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
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a) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
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Encontrar a funccedilatildeo composta (119944 ∘ 119943)(119961)
b) 119891 119909 = 1199092 + 3 119892 119909 = 119909
59 Fonte Howard Anton 2007
A partir de graacuteficos conhecidos eacute possiacutevel
esboccedilar graacuteficos de funccedilotildees relacionadas
Quando duas funccedilotildees satildeo somadas o graacutefico
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
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Esboccedilar o graacutefico de y = 119909 minus 3 + 2
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Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
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A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
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Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
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A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
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133
Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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119879 119905 = 119873 119905 + 119880 119905 119879(119905) = 119873 + 119880 119905
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Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
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Utilizar o teorema 133 para identificar simetrias no graacutefico de 119909 = 1199102
85 Fonte Howard Anton 2007
A funccedilatildeo f eacute par se 119891 minus119909 = 119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo ao eixo y
A funccedilatildeo f eacute iacutempar se 119891 minus119909 = minus119891 119909
Graacutefico simeacutetrico em relaccedilatildeo agrave origem
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2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Fonte Howard Anton 8 ed 2007
Reler o capiacutetulo 1 do livro texto (Howard)
Resolver os exemplos dados em aula
Realizar a lista de exerciacutecios (baixar no site)
Prof Henrique A M Faria
Funccedilotildees polinomiais
Funccedilotildees racionais
Funccedilotildees inversas
Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Prof Henrique A M Faria
1 ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo - volume 1 8 ed Satildeo Paulo Bookman 2007
2 BIZELLI Maria Helena SS BARROZO Sidineia Caacutelculo para um Curso de Quiacutemica ndash volume 1 1 ed Satildeo Paulo Cultura Acadecircmica 2009
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Figuras ANTON Howard BIVENS Irl C DAVIS Stephen L Caacutelculo ndash v1 10 ed Satildeo Paulo Bookman 2014
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