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PROFMAT – SBM – 2011:

RESOLUÇÃO DA PROVA DO CONCURSO AO MESTRADO PROFISSÍONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - 2011:

QUESTÕES OBJETIVAS:

QUESTÃO 01: O número 2/327 é igual a:

(A)1/18 (B) 1/81 (C)1/9 (D)-18 (E)9

Resolução:

22 233 233 3 127 3 3 3

ALTERNATIVA C

QUESTÃO 02: Um pacote de biscoitos tem 10 biscoitos e pesa e pesa 85 gramas. É dada a informação de que 15 gramas do biscoito correspondem a 90 kcal. Quantas calorias têm cada biscoito?

(A)38 kcal (B) 43 kcal (C)46 kcal (D)51 kcal (E)56 kcal

Resolução:

15 gramas__________90 kcal

85 gramas__________ x kcal

85 90 85 = =

15x x

17 90

17 30 510 kcal

Assim 10 biscoitos têm 510 kcal então:

Um biscoito tem 51 kcal.

x x

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 03: No dia do aniversário de João em 2010, uma pessoa perguntou a idade dele. João respondeu: “Se eu não contasse os sábados e os domingos da minha vida, eu teria 40 anos de idade”. João nasceu no ano de:

Resolução:Um ano tem 365 dias ou 366 se for bissexto.

Como cada semana tem 7 dias 365 7 = 52 semanas e 1 dia (2 dias se for bissexto).

Logo um ano terá 52 sábados e 52 domingos (poderá ter no máximo 53)

Como João descartou os sábados e domingos na contagem da sua idade e considerando que

um ano tenha 364 dias , temos:

364 40 = 14560 dias

Como João só considerou na contagem de sua idade os dias de segu

nda a sexta, então:

364 104 260 dias, isto é, somente 260 dias são computados a cada ano, real.

Seja X uma unidade de tempo (u.t) igual a 52 dias, assim em um ano teremos 7X u.t,

___________ 52 dias

___

________14560 dias

14560280 280 , observe que João considerou que:

52280

40 , mas na verdade como a cada ano NÃO foi considerado 2X u.t, temos:7

28056

5, 2010 - 56 1954, observem

k X k X

Xanos

anosX

Daí

que João poderia ter nascido entre os anos de 1955 e 1953,

pois não foi dado maiores informações a respeito da data CORRETA do nascimento de João.

ALTERNATIVA B

QUESTÃO 04: Numa papelaria, pacotes contendo 500 folhas de papel são armazenados em pilhas. Cada folha tem espessura de 0,1 mm. Ignorando a espessura do papel utilizado para embrulhar os pacotes, podemos afirmar que a altura de uma pilha de 60 pacotes é aproximadamente igual à altura de

(A) um gato (B) uma mesa comum (c) uma pessoa adulta

(D) uma sala de aula (E) um prédio de três andares

Resolução:

500 0,1 50 mm

50 60 = 3000 mm 3000 mm = 3 metros

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 05: O valor exato de 2 2666666 333334 é:

(A) 6333332 10 (B) 9333334 10 (c) 8333332 10

(D) 8333334 10 (E) 10333332 10

Resolução:

2 2

2 2 6

Usando o produto notável ( ) ( ) , :

666666 333334 (666666 333334) (666666 333334)

666666 333334 100000 333332

666666 333334 333332 10

a b a b a b temos

ALTERNATIVA A

QUESTÃO 06: Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas a uma distância 2 uma da outra. Ab

é um segmento unitário contido em s, X é um ponto de r com 5AX e Pé o pé daperpendicular baixada de B sobre AX.

O comprimento de BP é:

(A)2/3 (B)1/5 (C) 2/5 (D) 3/4 (E) 2/3

Traçando pelo ponto A uma reta t perpendicular a reta r no ponto Q, podemos montar a figura abaixo:

Observando a figura acima podemos verificar que os triângulos APB e XQA são semelhantes, assim:

1 2

5 2 5

PBPB

ALTERNATIVA C

QUESTÃO 07:

O gráfico acima mostra a quantidade de aparelhos de ar condicionado vendidos por semana numa loja do Rio de Janeiro entre janeiro de 1991 e dezembro de 1993.

O gráfico indica que, nesse período:

(A) A venda de aparelhos de ar condicionado cresceu constantemente.(B) A venda de aparelhos de ar condicionado permaneceu constante.(C) A venda de aparelhos de ar condicionado foi maior em julho de 93 do que em julho de 91.(D) A venda de aparelho de ar condicionado foi maior em outubro de 92 do que em janeiro de92.(E) A venda de aparelhos de ar condicionado foi menor no verão de 93 do que no verão de 92.

Resolução:

As alternativas A e B: São claramente FALSAS, pois, o gráfico mostra exatamente o contrário, isto é, que houve sempre uma constante variação de vendas.

A alternativa C: É CORRETA, pois, em JULHO de 1993 a média das vendas de aparelhos de ar condicionado foi próxima de 60 aparelhos vendidos por semana, contra a média de vendas de JULHO de 1991 que foi próxima de 20 aparelhos vendidos por semana.

A alternativa D: É FALSA, pois, em OUTUBRO de 1992 a média das vendas de aparelhos de ar condicionado foi próxima de 40 aparelhos vendidos por semana, contra a média de vendas de JANEIRO de 1992 que foi próxima de 80 aparelhos vendidos por semana.

A alternativa E: É FALSA, pois, no verão de 1993 (O verão começa em meados de DEZEMBRO até meados de MARÇO) a média das vendas de aparelhos de ar condicionado foi próxima de 100 à 110 aparelhos vendidos por semana, contra a média de vendas no verão de 1992 que foi próxima de 80 à 90 aparelhos vendidos por semana.

ALTERNATIVA C

QUESTÃO 08: Um grupo de jovens aluga por 342 reais uma van para um passeio, findo o qual três deles saíram sem pagar. Os outros tiveram que completar o total pagando, cada um deles, 19 reais a mais. O número de jovens era de:

(A)5 (B)9 (C)10 (D)12 (E)19

Resolução:

Sejam x o número de jovens e y o valor em reais, assim de acordo com o enunciado podemos montar o sistema abaixo:

342

3 ( 19) 342

342 342 OBS: encarar a resolução desse sistema dá trabalho

19 3 57 342 19 3 57

Observem que 342 = 2 3 3 19

Logo o número de jovens NÃO pode ser igual a 8,

x y

x y x y

xy x y x y

10 e 12.

Daí, só nos resta as alternativas (B) 9 e (E) 19.

342Se 9 38 (nunca vi uma van com 38 lugares, nem em São Paulo, onde

9algumas pessoas costumam viajar em pé nas vans), mas essa é a respos

x y

ta correta, pois,

substituindo 9 em 19 3 57 19 9 3 57 171 3 57 3 114

38 ok!

342Por outro lado se 19 18, mas essa resposta NÃO é correta, pois,

substituindo 19 em 19 3 57 19 19 3

x x y y y y

x y

x x y y

57 361 3 57 3 304

101 NÃO é um valor inteiro.

y y

ALTERNATIVA B

QUESTÃO 09: Um campeonato com 25 clubes é disputado num ano, com um único turno, pelo sistema de pontos corridos (cada clube joga uma vez com cada um dos outros). Em cada semana há sempre o mesmo número de jogos e não há jogos na semana do Natal nem na do Carnaval. O número de jogos que devem ser disputados em cada semana é:

(A)5 (B)4 (C)8 (D)6 (E)10

Resolução:

: 1, 2, 3,..., 25 , onde ci, com 1 i 25, são os clubes.

Configuração: C = {X1, X2} / Xi O e X1 X2, representam as partidas.

Objetos O c c c c

225

25 24Calculando C | | 300

2 1C C

Como em um ano temos 52 semanas, tirando-se duas (a do Natal e a do Carnaval) teremos 50 semanas para ocorrer os jogos, assim:

300O número de jogos por semana será = 6 jogos

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 10: Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias ele compra 9 vacas. Depois desta última compra, a reserva de ração foi suficiente para alimentar as por mais:

(A) 40 dias (B) 36 dias (C)32 dias (D) 30 dias (E) 28 dias

Resolução:

Suponha que uma vaca consome em um dia uma quantidade de ração (QR); isto é:

1 vaca_________1 dia___________1QR

Logo:

16 vacas_________62 dias___________992 QRs

: Após 14 dias, ele vende 4 vacas

16 vaca

Dê

s_________14 dias___________224 QRs

Logo restou 992 224 768 QRs

Dê: Passados mais 15 dias ele compra 9 vacas

12 vacas_________15 dias___________180 QRs

Logo restou 768 180 588 QRs

21 vacas_________X

dias___________588 QRs

588Logo X = 28 dias

ALTERNATIVA E

QUESTÃO 11: Quando x e y assumem quaisquer valores positivos, das expressões abaixo, a única que não muda de sinal é:

2 2A 2x y y 2B 5x x C x x

2 2D x xy y 2 2E 3x xy y

Resolução:

2 2

2 2 2 2

2 2

A 2

Contra-exemplo :

fazendo 1 3 ( , ) 2 (1,3) 1 2 3 3 1 6 9 2

fazendo 2 1 ( , ) 2 (2,1) 2 2 1 1 4 2 1 5

B 5

Contra-exemplo :

fazendo 1 ( ) 5 (1) 1

x y y

x e y f x y x y y f

x x

x f x x x f

2 2

2 2 2 2 2 2

5 1 1 5 3

fazendo 6 ( ) 5 (6) 6 5 6 36 30 6

Contra-exemplo :

1 1 1 1 1 1 1 2 1fazendo ( ) ( )

4 4 4 4 4 2 4 4 4

fazendo 4 ( ) (4) 4 4 4 2 2

D ( , ) ( , )

x f x x x f

x x

x f x x x f

x xy y f x y x xy y f x y x xy y

2 2

2 2 2 2 2 2 2

( )

Logo ( , ) ( ) é sempre positiva, pois, ( ) 0 e 0

E 3 ( , ) 3 2 ( )

( , ) ( )

Contra-exemplo :

fazendo 2 2 ( , ) ( )

xy xy x y xy

f x y x y xy x y xy

x xy y f x y x xy y x xy y xy x y xy

f x y x y xy

x e y f x y x y x

2 2

(2,2) (2 2) 2 2 0 4 4

fazendo 3 1 ( , ) ( ) (3,1) (3 1) 3 1 4 3 1

y f

x e y f x y x y xy f

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 12: A base AB do triângulo ABC mede 8 cm e está situada sobre a reta r. O segmento DE, também sobre r, mede 5 cm. Pelos pontos D e E traçamos paralelas a AC e a BC respectivamente, as quais se cortam no ponto P formando o triângulo DEF.

A razão (ABC)

(DEF)

área

áreavale:

(A)1,25 (B)1,60 (C)3,20 (D)2,32 (E)2,56

De acordo com o enunciado podemos verificar que os triângulos ACB e DFE são semelhantes, assim:

2 2 2 (ABC) (ABC) 8 (ABC) 16 256

2,56 (DEF) (DEF) 5 (DEF) 10 100

área AB área área

área DE área área

ALTERNATIVA E

QUESTÃO 13: Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais taxa de manutenção mensal de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa 2500 reais, porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. A partir de quantos meses de uso a compra na loja A se torna mais vantajosa que na loja B?

(A) 30 (B) 72 (C)39 (D) 63 (E) 44

De acordo com enunciado podemos escrever as funções abaixo:

Loja A: ( ) 3800 20

Loja B: ( ) 2500 50

Queremos determinar ( ) ( ) 2500 50 3800 20 30 1300

130043,333...

Como é inteiro 44

f x x

g x x

Onde f e g são funções de

g x f x x x x

x x meses

ALTERNATIVA E

QUESTÃO 14: Dividindo 6 por 7, o 100º algarismo da expansão decimal que aparece após a vírgula é:

(A) 1 (B)2 (C)4 (D)5 (E) 7

Observação teórica:

1A dízima periódica simples 0,142857... (possui seis casas decimais no período)

7é conhecida como um número mágico, pois para um numerador diferente de um múltiplo

de 7, esses algarismos se repetirão

ciclicamente, basta saber o primeiro que os demais se

repetem ciclicamente na ordem 142857.

6Como 6 7 0,8 0,857142...

7Como queremos o 100º algarismo basta dividir 100 por 6, assim:

100 6 = 16 inteiros

96 algarismos

e sobram 4

6Logo 0,857142857142...8571428571

ALTERNATIVA AQUESTÃO 15: Segundo informações do último censo do IBGE, a população brasileira cresceu cerca de 12%, entre os anos de 2000 a 2010. No mesmo período, a população urbana passou de cerca de 81% para cerca de 84% da população total. A partir dessas informações, podemos concluir que a população não urbana no período:

(A) decresceu aproximadamente 8% (B) decresceu aproximadamente 6%(C) permaneceu aproximadamente a mesma (D) cresceu aproximadamente 9%(E) cresceu aproximadamente 12%

Sem perda de generalidade, suponha que a população brasileira seja de 10.000 pessoas.

Com o crescimente de 12% (entre 2000 e 2010), passou a ser igual a 11.200 pessoas.

Como a população urbana antes desse período era de 81% de (10.000), ou seja, era uma

população de 8.100 pessoas ( a NÃO urbana era de 1900 pessoas), como houve um

crescimento de 3%, então passou a ser igual a 11.200 0,84 = 9.408 pesso as, assim a

população NÃO urbana, nesse período, é de 11.200 - 9.408 = 1.792 pessoas.

Como a população NÃO urbana era de 1900 pessoas e passou a ser de 1792 pessoas, então:

1900______100%

1792______X

X 1792 100

19 00 94,3 % decresceu aproximadamente 6%.

ALTERNATIVA B

QUESTÃO 16: Uma sequência de números naturais é definida por 1 2 3nna a para todo

00 e 5.n a O valor de 9a é:

(A)612 (B)825 (C)1027 (D)1286 (E) 2048

Resolução:

1 1 0 1

1 2 2

1 3 2 3

Fazendo 0 em 2 3 2 3 2 5 3 10 3 7 7 ;

Fazendo 1 em 2 3 2 3 2 7 3 14 3 11 11 ;

Fazendo 2 em 2 3 2 3 2 11 3 22 3 19 19 ;

Fazendo 3 em

n a a a a a

41 4 3 2 3 2 3 2 19 3 38 3 35 35 ;

OBS: o problema pode ser resolvido continuando o processo, mas observando a sequência

podemos comprovar que é uma P.A de terceira ordem, assim:

7____11_

nna a a a a

5 6 7 8 9___19____35____ ____ ____ ____ ____

+4 +8 +16 +x1 +x2 +x3 +x4 +x5

Essas diferenças abaixo formam um P.A de 2ª ordem, isto é:

8 4 4, 16 8 8, 32 16 16,...

4____8__

a a a a a

__16____.... (P.A de 2ª ordem); isto é, 4___8___16___28___44____...

Essas diferenças abaixo formam um P.A de 1ª ordem, isto é:

8 4 4, 16 8 8, ...

4____8____....(P.A de 1ª ordem); isto é, 4___8___12___16_

6 5

7 6

8 7

9 8

__20____24...

Podemos concluir que x1=32 67;

De modo análogo temos:

x2=64 2 67 64 131; 131;

x3=128 3 131 128 259; 259 ;

x4=256 4 259 256 515; 515 ;

x5=512 5

a a x a

a a x

9515 512 1027; 1027 ;

Observem que a resposta NÃO poderia ser PAR!

ALTERNATIVA C

QUESTÃO 17: Se a expressão 2 4y ax bx , com x , assume um máximo 12y no

ponto 2,x então o módulo de a é igual a:

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5

Resolução:

Como 2 4 4 0 12

Do mesmo como 2 , pondo esse valor em 4, temos :

12 2 2 4 8 4 2 4 2 8 2 2 4 2

4 0Daí, de (1) e (2) 2 4 2 2

2 4

vértice

bx b a a b

x y ax bx

a b a b a b a b

a ba a a

a b

ALTERNATIVA B

QUESTÃO 18: A soma das raízes da equação 3 2 2x x é igual a:

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10

Solução:

2 2

Para resolver essa equação irracional, temos que ter:

3 2 0 e 0, na verdade, além disso, temos que testar os valores encontrados, então:

3 2 2 3 2 2 3 2 4 4 2 6 4 2

3 2 3 2

x x

x x x x x x x x x

x x x x

2 2

1 2

6 9 4 10 9 0

1 ou 9

pondo 1 em 3 2 2 3 1 2 1 2 1 3 NÃO serve!

pondo 9 em 3 2 2 3 9 2 9 2 25 3 2 5 5 ok!

x x x x x

x x

Mas

x x x

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 19: Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para os seus três filhos, com o este bilhete:

“Dividam igualmente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a terça parte do dinheiro e saiu.

O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro à mãe deixou?

(A)25 reais (B)35 reais (C)45 reais (D)48 reais (E) 55 reais

Vamos resolver usando um método “muito legal” que era conhecido pelos antigos Egípcios, que é A REGRA DA FALSA POSIÇÃO.

Esse processo é uma aplicação da regra de três, que consiste em “chutar” um valor conveniente e submeter, esse valor, ao problema. Se você leitor tiver sorte no “chute” vai acertar, mas não é preciso ter sorte, pois esse método nos leva a solução.

Vamos supor que a mãe tenha deixado R$ 36,00, assim, de acordo com o problema:

O 1º filho pegou a terça parte, isto é 36/3 = 12, logo restou R$ 24,00;

O 2º filho pegou a terça parte, isto é 24/3 = 8, logo restou R$ 16,00;

O 3º filho pegou o que sobrou, isto é, R$ 16,00.

Vamos resolver a seguinte regra de três: O valor “chutado” inicialmente está para o valor encontrado ao ser submetido às condições do problema, assim como o valor que queremos determinar está para o valor conhecido, no caso R$ 20,00.

36 _________16

_________ 20

36 20 72045

16 16

x x

Outro modo:

Podemos fazer de traz pra frente, isto é:

Seja Y o dinheiro deixado por Maria (mãe dos três filhos) e seja X o dinheiro deixado pelo 1º filho que repartiu o dinheiro, assim:

Como o 3º filho pegou o que sobrou, isto é, pegou 2/3 de X (dinheiro deixado pelo 1º filho), como 2/3 de X = 20 então X = R$ 30, 00;

Do mesmo modo, o 1º filho pegou 1/3 de Y (dinheiro deixado por sua mãe) e deixou para os seus irmãos 2/3 de Y = 30 então Y = R$ 45,00.

ALTERNATIVA C

QUESTÃO 20: Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. O número que ocupa a 50ª posição é:

(A)25413 (B)254312 (C)31245 (D)31254 (E)31425

Resolução:

Observem que:

O número de permutações em que o algarismo UM ocupa a ordem das centanas de milhar é:

__ _4_ _3_ _2_ _1_ 4! 24 possibilidades

Do mesmo modo, o mesmo se dá para qualquer um dos algarismo

s 2, 3, 4 ou 5.

Assim temos quarenta e oito números, isto é:

12345

12354

.............

1543248 números

21345

21354

.............

25432

Bas

ta encontrar os dois próximos, assim:

31245

31254 é o número que ocupa a 50ª posição.

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 21: O campo magnético do sol periodicamente se torna muito mais intenso, aparecem às manchas solares e ocorrem as tempestades que são enormes explosões. Isto dura alguns meses e depois desaparece. Tal fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de 1755 e se repete com regularidade a cada 11 anos. A última vez; que esse fato ocorreu foi em

Conforme o enunciado tal fenômeno é modelado pela sequência aritmética ou progressão aritmética, assim:

1755 ( 1) 11 1744 11 que é o termo geral da sequência.

1744Como e se quer a última vez que esse fato ocorreu então vamos testar

se o maior valor das alternatimas serve, logo:

Se 2008

n n

a n a n

2008 1744 264

24, ok!11 11

ALTERNATIVA E

QUESTÃO 22: Um grupo de crianças brinca em torno de várias cadeiras. Se duas crianças sentam em cada cadeira, uma criança fica de pé. Se três crianças sentam em cada cadeira, uma cadeira fica vazia. O número de crianças é:

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10

Resolução:

Sejam x o número de cadeiras e y o número de crianças, assim de acordo com o enunciado podemos montar o sistema abaixo:

Observem que podemos concluir pelo enunciado que o número de crianças é ímpar e múltiplo de três!

ALTERNATIVA D

2 1 2 1 3 34

3 3 3 3 2 1

Como 2 1 2 4 1 9 9

x y x y x yx

x y x y x y

y x y y

QUESTÃO 23: A figura ao abaixo é formada por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se um número inteiro.

O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos a seguir é a soma dos números que estão escondidos nos quadrados pintados.

O número do quadradinho central é:

(A)2 (B)5 (C)7 (D)9 (E)13

Seja a cruz abaixo que identifica cada pequeno quadrado, logo de acordo com essa configuração, temos:

1 2 3 4 26

1 2 3 5 29

2 3 4 5 22 somando-se membro a membro, temos:

1 3 4 5 23

1 2 4 5 24

4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 26 29 22 23 24

4 1 2 3 4 5 124

1241 2 3 4 5 31

n n n n

n n n n n

2 3 4 5 31

Como queremos o valor de 3, então:

1 2 3 4 5 313 31 24 7 3 7

1 2 4 5 24

n n n n

n n n n nn n

n n n n

ALTERNATIVA C

QUESTÃO 24: Considere que 0,47710 . O valor de x tal que 10 9000x é:

(A)3,556 (B)3,628 (C)3,746 (D)3,882 (E)3,954

Essa questão foi ANULADA, apesar disso o número 0,4771010 3, pois log 3 0,4771...,

considerando esse fato nós podemos resolver a questão, assim:

2 3

0,477 0,477 0,954

0,954 0,954 3 0,954 3 3,954

2 2

Como 9000=3 10

10 3 10 3 10 9

10 1000 9 1000 10 10 9000 10 9000 10 9000

Logo 3,954x

ALTERNATIVA E

QUESTÃO 25: Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças, quintas e sábados e é completamente sincera o resto dos dias da semana. Felipe chega um certo dia na cidade e mantém o seguinte diálogo com a pessoa X:

-Felipe: Que dia é hoje?-X: Sábado-Felipe: Que dia será amanhã?

- X: Quarta-feira.

Em que dia da semana foi mantido este diálogo?

(A) Sábado (B) Quinta-feira (C) Segunda-feira (D) Terça-feira (E) Sexta-feira

DIADOMINGO FALA A VERDADESEGUNDA FALA A VERDADE

TERÇA MENTEQUARTA FALA A VERDADEQUINTA MENTESEXTA FALA A VERDADE

SÁBADO MENTE

Resolvendo:

Dê: Felipe: Que dia é hoje?-X: Sábado

É claro que “HOJE” NÃO PODE ser SÁBADO, pois, esse é um dos dias que X MENTE, por outro lado, esse dia tem que ser TERÇA-FEIRA ou QUINTA FEIRA, porque desse modo é claro que X está mentindo!

Dê: - Felipe: Que dia será amanhã?- X: Quarta-feira.

Pelo exposto anteriormente, X mentiu novamente, porem se o dia que ocorreu tal diálogo fosse TERÇA-FEIRA então X teria falado a verdade nessa segunda pergunta o que contradiz a nossa hipótese inicial de que X estaria mentindo.Logo o dia que ocorreu o diálogo foi QUINTA FEIRA.

ALTERNATIVA B

QUESTÃO 26: O número 2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente?

(A) 126 (B)144 (C)186 (D)210 (E)252

Resolvendo:

Podemos notar que queremos contar os numerais que possuem algarismos distintos, se o problema pedisse quantos são os numerais de quatro algarismos distintos entre 1000 e 9999 a resposta seria mais intuitiva e “simples”, mas observando os numerais formados pelos algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4}, temos:

24 númerais

1234, 1243, 1324, 1342, ...., 4312, 4321

Podemos concluir que são 24 possíbilidades, mas somente um numeral se encaixa no pedido do

enuncado do problema, a saber:

O num

eral 1234, que está em ordem crescente!

Daí, para resolver o problema basta contarmos quantos conjuntos com quatro algarismos distintos

podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

4 49 9

, isto é, devemos escolher quatro

algarismos de nove possíveis.

A ferramenta matematica que nos ajuda a resolver esse problema é a combinação simples, que

conta conjuntos.

Então:

9 8 7 6

4 3 2 1C C

9 82

7 6 4 3 2

4 49 963 2 126

1 C C

ALTERNATIVA A

QUESTÃO 27: Se espremermos um círculo de raio 10 em entre duas retas paralelas que distam entre si 10 em, obteremos uma figura de área menor, mas de mesmo perímetro que o círculo original.

Se as partes curvas desta figura obtida são semicircunferências, a razão da área da figura espremida pela área do círculo inicial é:

(A) 3/4 (B)4/3 (C)2/3 (D)3/2 (E) /4

Resolução:

É claro que essa deformação não alterou o “perímetro”, desse modo o perímetro do círculo(circunferência) de raio 10 cm e o perímetro da figura deformada são iguais.

O perímetro, ou mais usualmente o comprimento da circunferência é calculado pela fórmula

2 , onde r é o raio da circunferência, então antes da deformação:

C=2 10 =20 C = 20

C r

A figura acima pode ser dividida em três partes, conforme a figura abaixo, juntando as parte A e C temos uma circunferência de diâmetro igual a 10 cm (raio 5 cm), logo o seu comprimento é igual a C = 2 5 C = 10 .

O valor de 2x na figura B é igual ao comprimento da circunferência antes da deformação menos o comprimento da circunferência formada pelas partes A e C, isto é, 20 10 10 .

Então o valor de 2x 10 ou 10

x = 5 x 5 cm2

Logo a área da figura espremida é igual à área da parte B mais a área do círculo formado pelas partes A e B então:

ALTERNATIVA A

50 25 75 75 cm²

A área do círculo antes da deformação é igual a 100 cm²

75 3 3Então

100 4 4

A B C A B C

cículo

A B C A B C

cículo cículo

S S

QUESTÃO 28: • Em uma festa há 13 casais. Cada homem cumprimenta com um aperto de mão os outros convidados, exceto sua própria esposa. As mulheres recebem apertos de mão, mas não procuram ninguém para cumprimentar.Quantos apertos de mão são dados pelos 26 participantes?

(A)234 (B)235 (C)236 (D)237 (E)238

Resolução:

Suponha que os casais sejam identificados por um número que varia do 1 ao 13, além disso, que os treze casais estão de pé e que o esposo do primeiro casal cumprimenta os casais, exceto sua própria esposa, após isso ele vai para a mesa destinada ao 1º casal, porem sua esposa permanece no local, dessa forma o primeiro esposo cumprimentou 24 participantes. Do mesmo modo o esposo do segundo casal cumprimenta as pessoas presentes, exceto sua própria esposa, após isso ele vai para a mesa destinada ao 2º casal, dessa forma o segundo esposo cumprimentou 23 participantes, continuando esse processo podemos montar a tabela abaixo:

Somando esses valores encontramos 234.

13 13 13

Por outro lado poderíamos usar P.A, isto é:

Seja a sequência (24, 23, 22, ..., )

24 12 ( 1) 24 12 12

A soma desses valores é igual a:

24 12S 13 S 18 13 S 234

a a a

ALTERNATIVA A

ESPOSO CUPRIMENTOS1º 242º 233º 224º 215º 206º 197º 188º 179º 16

10º 1511º 1412º 1313º 12

QUESTÃO 29: O máximo divisor comum entre dois números naturais é16 e o mínimo múltiplo comum desses mesmos números é 576.

Podemos garantir que:

(A) Os dois números são maiores que 50(B) O produto dos dois números é maior que 8000(C) Os dois números são múltiplos de 32(D) Os dois números são divisores de 96 (E) Um dos números é múltiplo do outro

Para resolver a questão vamos fazer uso de uma relação existente entre o MDC e o MMC de dois números A e B, que é a relação abaixo:

, ,

De acordo com essa relação o Item B é o correto, pois:

576 16 9216

Usando que 576 16 9216, podemos mostrar que os outros itens são falsos.

A B mmc A B mdc A B

A B

ALTERNATIVA B

QUESTÃO 30: Um terreno triangular foi dividido em três terrenos menores conforme a figura.

Então: (A) A área do terreno B é a metade da área do terreno A(B) A área do terreno C é maior do que a área do terreno A(C) A área do terreno B é1/3 da área do terreno A(D) A área do terreno A é igual à área do terreno C (E) A área do terreno B é maior do que a área do terreno A '

Resolução:De acordo com o enunciado e figura acima podemos notar que os triângulos formados pelo “terreno A”, “terreno B” e triângulo formado pelos três terrenos são semelhantes, assim:

(A) 40 (A) (A)2 4 (A) 4 (B)

(B) 20 (B) (B)

Seja (B) B (A) 4 B 1

(A B C) 60 (A B C) (A B C)3 9

(B) 20 (B) (B)

área área áreaárea área

área área área

área área

área área área

(A B C) 9 (B)

Como ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 4 B 2

, 1 2 ( ) (A) 4 B

rea área

área A B C área A área B área C B área C

Daí e área C área

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 31: Os gráficos das funções reais 2 5( ) ( )

4f x x b e g x x possuem um

único ponto em comum. O valor de b é:

(A)0 (B)4 (C)-1 (D)5

4 (E)1

Resolução:

2 2

De acordo com o enunciado ( ) ( ) P

5 5( ) ( ) 0

4 4

Como ( ) ( ) P 0

51 4 1 ( ) 0 1 4 5 0 4 4 1

f x g x

f x g x x b x x x b

f x g x

b b b b

ALTERNATIVA E

QUESTÃO 32: Quando Joãozinho tirou 9,8 em uma prova, sua média subiu 0,1. Na prova seguinte, ele tirou 7,0 e sua média caiu 0,2.Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas últimas?

(A)10 (B)5 (C)6 (D)8 (E)9

Resolução:

Sejam:

S, n, k, a soma das notas, o número de notas e a média das notas respectivamente

antes de se conhecer a nota 9,8;

Dê: Quando Joãozinho tirou 9,8 em uma prova, sua média subiu 0,1.

9,8

Sk S kn

0,1 9,8 0,1 1 9,8 0,1 0,11

9,7 0,1 1

Dê: Na prova seguinte, ele tirou 7,0 e sua média caiu 0,2.

9,8 7,00,1 0,2 16,8 0,1 2

16,8 2 0,1 0,2 17 2 0,1 2

Daí, de

k S k n S kn k nn

k n

Sk S k n

S kn k n k n

(1) e (2), temos:

9,7 0,126,7 3 8,9

17 2 0,1

Pondo esse valor em 9,7 0,1 9,7 8,9 0,1 0,1 0,8

Logo 2 10

k nk k

k n

k n n n

ALTERNATIVA A

QUESTÃO 33: Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética de números inteiros positivos, de razão máxima. Assinale o termo seguinte ao termo 590:

(A)599 (B)603 (C)717 (D)707 (E)612

m termos n termos

Sendo 5, 356 e 590 termos de uma PA, podemos escrever :

5 _________ 356 _________ 590

Usando o conceito de inserir e interpolar "k " meios aritméticos entre os números a e b, vem:

351 ( 1)6 5 [( 2) 1]

234 1590 356 [( 2) 1]

351 234Logo ou

( 1) ( 1)

Dessa forma para termos r máximo, o mmc [ (m+1), (n+1)], deve ser mínimo.

Como o mdc (351, 234)

m rm r

n rn r

r rm n

= 117

117 3 117 2 ou

( 1) ( 1)

Como a razão é máxima então:

117

1 3 2 1

1 2

Então o próximo termo é igual a 590 117 707

Obs. Poderíamos usar o sequinte esquema:

5 _________ 3

r rm n

m m e n

56 __________ 590 como e

351 356 5 351 1

234 590 356 234 2

Como a é o máximo de (1) e (2), temos que (351

a a n m r a a p n rn m p na an p

n m r n m r n m r

p n r p n r p nr

razão r mdc

1 1

, 234) (351, 234) 117

logo 117, assim o próximo número da sequência depois de 590 é 590

590 117 707

p p

mdc

r a r

a a

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 34: Eduardo pensou em dois números naturais a e b. Sabe-se que apenas uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira. Assinale-a.

(A) ab é um número par

(B) 5 7a b e b a (C) 4 3a b e a b (D) 2a b

(E) para pelo menos um dos números a ou b é par

Resolução:

Se a alternativa A for verdadeira então alternativa E também é verdadeira e vice-versa.

Logo essas duas alternativas NÃO servem;

5Da alternativa B 2 12 6 1

Não serve, pois

a bb b a

b a

a e b

devem ser naturais;

4Da alternativa C 4 4 1 3

3 0

Se a alternativa C for verdadeira então alternativa D também é verdadeira

Logo a alternativa C NÃO serve;

A alternativa D é verdadei

a bb b a

a b

ra, basta para isso fazer 1, em 2 1 1 2; ok!a b a b

ALTERNATIVA D

QUESTÃO 35: Os jogadores A e B têm, cada um, 3 cartas na mão, e sabem as cartas do oponente. Jogarão em 3 rodadas depositando uma carta na mesa em cada rodada, um após o outro. O vencedor da rodada será aquele que jogar a carta mais alta. O jogador A será o primeiro a jogar a carta na primeira rodada, e nas outras duas rodadas o primeiro a jogar será o vencedor da rodada anterior. Vence o jogo quem ganhar mais rodadas. Suponha que A tenha as cartas com números 3, 6 e 10, e que B tenha as cartas 2, 7 e 9. São feitas as seguintes afirmativas:

I - Entre todos os possíveis pares formados por uma carta de A e uma carta de B, há mais pares em que A ganha.

II - A melhor estratégia para A é sempre jogar a carta mais alta.

III - Se A jogar 3 ou 6 na primeira rodada, poderá ganhar com qualquer resposta de B.

Assinale a alternativa correta, com respeito às afirmações I, II e III (nesta ordem):(A) FALSA, VERDADEIRA, FALSA (B) VERDADEIRA, VERDADEIRA, FALSA (C) VERDADEIRA, FALSA, VERDADEIRA (D) FALSA, FALSA, VERDADEIRA(E) VERDADEIRA, FALSA, FALSA

Resolução:AFIRMAÇÃO I VERDADEIRA.

Seja (x, y), um par onde x representa uma carta do jogador A e y representa uma carta do jogador B.

Observem que existem 9 pares possíveis.

Pares que o jogador A ganha:

0; 2), (10; 7), (10; 9),

(6; 2),

(3; 2),

Pares que o jogador B ganha:

(3; 9), (6; 9)

(3; 7), (6; 7)

AFIRMAÇÃO II FALSA.

Contra-exemplo:

Como A começa o jogo, suponha que A jogue a carta "mais alta", isto

é, de maior valor, a de número 10.

Daí, como com qualquer carta B perderá, basta então B jogar a carta de menor valor, isto é, a carta de

número 2.

Nas próximas rodadas B ganhará forçosamente, pois, os pares restantes possíveis serão:

(6; 9) ou (6; 7)

ou onde B ganha sempre!

(3; 9) ou (3; 7)

AFIRMAÇÃO III VERADEIRA.

Como A começa o jogo, suponha que A jogue a carta de número 3 ou 6.

Daí, para B ganhar, essa rodada, terá que jogar a carta de número 7 ou 9.

Suponha que B tenha jogado a car

ta de número 7, porém como o ganhador,

no caso o jogador B, deve começar a próxima rodada, então:

O jogador A ganhará o jogo, jogando em cada rodada a carta de número 3 ou 10,

dependendo da carta jogada por B em cada rodada, isto é, se B jogar a carta de

número 2 então o jogador A joga a carta de número 3 e se B jogar a carta de

número 9 então o jogador A joga a carta de número 10.

Se o jogador B perder a rodada, quando o jogador A jogou uma das cartas

3 ou 6, então:

O jogador A ganhará o jogo na próxima rodada, bastando para isso jogar a

carta de número 10.

ALTERNATIVA C

QUESTÕES DISCURSIVAS:

Questão 1

Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida, Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lápis tivesse custado 1 real a mais, ele teria pago, em média, R$7,75 por cada item comprado. Determine a quantidade de canetas que Joaquim comprou.

Resolução:

De acordo com enunciado podemos montar o sistema abaixo:

7,50 ( )

1 1 7,75 ( )

2 7,50 ( )

7,75 ( )

2 7,50 ( ) 1 substituindo (1) em (2), temos:

2 7,75 ( ) 2

7,50 ( ) 7,75 ( ) 0,25 ( )

n m m n m n

mn m n

mn m mn n m n

mn m n

mn m n m n

m n m n m n m n m n

0,25 0,25

50,25 0,25 0,75 1,25 3 5 3

5 5 10 8Substituindo (3) em (1) 2 7,50 ( ) 7,50

3 3 3 3

m n m n

mn n m m n m n m n

m m m mm m

m m

87,50

3 10 7,50 8 2 5 7,50 4 5

1,5 4 6

m m

Logo a quantidade de canetas que Joaquim comprou foi igual a 6.

Questão 2Uma equipe esportiva composta por 6 jogadoras está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até 3 substituições e, para isto, o técnico dispõe de 4 jogadoras no banco. Quantas formações distintas podem iniciar o segundo tempo?

Resolução:

1, 2, 3, 4, 5, 6 , 1 6, são os jogadoras titulares da equipe;

= 7, 8, 9, 10 , 7 10, são os jogadoras reservas da equipe;

C = 1, 2, 3, 5, 6 / , , 1 6 , são as

T J J J J J J onde Ji i

R J J J J onde Ji i

O T R

X X X X X Xi O Xi Xj i j

formações distintas

que podem iniciar o segundo tempo da partida.

Considere a seguinte partição de C:

1 2 3 4, , 1 4.

1 é a formação inicial da equipe, sem a troca de jogado

C C C C C com Ci Cj i j

Onde

ra;

2 é a formação inicial da equipe com a troca de uma jogadora;

3 é a formação inicial da equipe com a troca de duas jogadoras;

4 é a formação inicial da equipe com a troca de três jogadoras;

Cálculo de C1:

Como C1 é a formação inicial da equipe, sem a troca de jogadora então:

C1 = 1 formação;

Cálculo de C2 - usando decisões:

d1: escolha de um jogadora que pertencente a T para ser substituída;

d2: escolha de um jogadora que pertencente a R para entrar na equipe;

Assim, como #d1 6 e #d2 4

Daí, Princípio Multiplicativo, temos que:

C2 = # d1 # d2 = 6 4 = 24 formações

Cálculo de C3 - usand

o decisões:

d1: escolha de DUAS jogadoras que pertencentem a T para serem substituídas;

d2: escolha de DUAS jogadoras que pertencentem a R para entrarem na equipe;

6 5Assim, como #d1 15 e #d

2 1C

4 32 6

2 1Daí, Princípio Multiplicativo, temos que:

C3 = # d1 # d2 = 15 6 = 90

Cálculo de C4 - usando decisões:

d1: escolha de TRÊS jogadoras que pertencentem a T para serem substituídas;

d2: escolha de TRÊS jogadoras que pertencentem a R para entrarem na equipe;

Assim, como #d1 3 34

6 5 4 20 e #d2 4

3 2 1

Daí, pelo Princípio Multiplicativo, temos que:

C4 = # d1 # d2 = 20 4 = 80

Logo pelo Princípio Aditivo, temos que:

C C1 C2 C3 C4 1+24 + 90 + 80 = 195 formações.

C C

Logo são 195 formações distintas que podem iniciar o segundo tempo.

Questão 3Considere um triângulo retângulo isósceles ABC com hipotenusa BC. Tomando o ponto A como centro e AB como raio, consideramos o arco de circunferência delimitado pela corda BC. Consideremos ainda a semicircunferência de diâmetro BC, conforme a figura abaixo. Designamos por T a área da região triangular ABC e por S e L as áreas das outras duas regiões. Prove que L = T.

Resolução:

2 22 2 2 2

Primeiramente como o triângulo ABC é retângulo isósceles, então:

Sendo 2 (diagonal do quadrado):

Demonstração, usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

AC AB k BC k

BC AB AC BC k k B

2 2 2

Como a região formada pela união das regiões L e S é uma semicircunferência de

diâmetro BC, temos:

k 22

S S como S (1)2 4 4 4