SBI-IFUSP
I~III 11111 11111111111111 ~~II~II 1111111 111 I~IIIII IIIII~IIIII 305M810T3734
UNIVERSIDADE DE SAtildeO PAULO INSTITUTO DE FiacuteSICA
Efeitos de desordem ou aperiodicidade sobre o comportamento de sistemas
magneacuteticos
Andreacute de Pinho Vieira
Tese de Doutorado submetida ao Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo
Orientador Prof Dr Silvio Roberto de Azevedo Salinas
BANCA EXAMINADORA
Prof Dr Eduardo Miranda (UNICAMP) Prof Dr Francisco Castilho Aacutelcaraz (USP - Satildeo Carlos)
Prof Dr Francisco Castilla Becerra (USP) prof Dr Lindberg Lima Gonccedilalves (UFC)
Prof Dr Silvio Roberto de Azevedo Salinas (USP)
Satildeo Paulo IacutetJ LfAA1--t7fPlt-) middot 2002
()
Prof Anmando Corbani Ferrll residente da Comissatildeo de Poacutes Gra~
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo
Tombo ~--~ L lL 1shy
VbV-=r~ y Y(middoti
FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo
Vieira Andreacute de Pinho
Efeitos de Desordem ou Aperiodicidade sobre o Comportamento de Sistemas Magneacuteticos
Satildeo Paulo 2002
Tese (Doutoramento) Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica - Departamento Fiacutesica Geral
Orientador Prof Dr Silvio R de Azevedo Salinas Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica Estatiacutesticamiddot e
Termodinacircmica
Unitermos 1 Sistemas Magneacuteticos Desordenados 2 Sistemas Quase-unidimensionais 3 Interaccedilotildees Aperioacutedicas 4 Sistemas de Spins Mistos 5 Modelo XYQuacircntico
USPIIFSBI-0602002
t
Agradecimentos
Gostaria de agradecer ao Prof Silvio Salinas pela orientaccedilatildeo confianccedila e independecircncia que me concedeu e pelo muito que aprendi com seu exemplo de perseveranccedila e otimismo ao Prof Lindberg Gonccedilalves natildeo apenas por ter me apresentado agrave fiacutesica estatiacutestica mas tambeacutem pela disponibilidade e laquo atenccedilatildeo constantes ao Thomaacutes Haddad pelas incontaacuteveis discussotildees sobre tantos assuntos e pela paciecircncia e determinaccedilatildeo em me resgatar da idiotia da vida rural aos professores Carlos Becerra e Armando Paduan Filho pelos esclarecimentos essenciais agrave primeira parte deste trabalho agrave Dra Angsula Ghosh e aos colegas Paulo de Tarso Muzy e Masayuki Hase companheiros de jornada por compartilharem duacutevidas e conhecimentos aos membros do grupo de fiacutesica estatiacutestica e aos demais amigos do Instituto de Fiacutesica pela agradaacutevel e frutiacutefera convivecircncia agrave Maacutercia Silvani e agrave Rosatildengela Rodrigues que tanto me auxiliaram nos meandros burocraacuteticos e agrave Fapesp pelo apoio financeiro
Agrave Dani expresso minha devoccedilatildeo e a gratidatildeo por seu carinho e pelos tantos bons momentos agrave minha matildee agrave Bia e agrave Mariana mais que o reconheshy
11gt
cimento pela dedicaccedilatildeo infinita meu lamento pela atenccedilatildeo que lhes neguei ao longo destes uacuteltimos quatro anos ao meu pai e agrave Sula meu obrigado pelas palavras de apoio em momentos centrais Agrave Ivna e ao Marcelo assim como agrave Lia e ao Bibi agradeccedilo a generosa acolhida no iniacutecio desta etapa
~
t
shy
Resumo
Consideramos os efeitos de desordem ou aperiodicidade sobre trecircs sistemas magneacuteticos distintos Inicialmente apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para descrever a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente induzida por diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais O moshy(shydelo trata exatamente as correlaccedilotildees ao longo da direccedilatildeo dominante levando em conta as demais interaccedilotildees por meio de um campo efetivo Em seguida utilizamos uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls para avaliar os efeitos de um campo cristalino aleatoacuterio sobre os diagramas de fases de um modelo de Ising de spins mistos Mostramos que a desordem eacute capaz de modificar a natureza dos pontos multicriacuteticos existentes no limite unishyforme do modelo Finalmente estudamos os efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas atraveacutes de cacirclculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema em um modelo de feacutermions livres Apontamos evidecircncias de que em temperatura zero existe um uacutenico ponto fixo universal caracteriacutestico de uma fase de singleto aleatoacuterio que governa o comportamento do modelo na presenccedila de interaccedilotildees desordenadas No caso de interaccedilotildees aperioacutedicas
I ~
obtemos resultados consistentes com previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo indicando para uma certa classe de sequumlecircncias de substituiccedilatildeo um comporshytamento semelhante agravequele associado agrave desordem
imiddot
j
~
~
r
Abstract
We consider effects of disorder or aperiodicity on three different magnetic systems First we present a phenomenological model to describe the thershymal dependence of the dilution-induced remanent magnetization in a class of quasi-one-dimensional antiferromagnets The model treats correlations along
( the dominant direction in an exact way while including the remaining inte- i ractions via an effective field Then we use a self-consistent Bethe-Peierls ~
j
approximation to gauge the effects of a random crystal field on the phase diagram of a mixed-spin Ising mode We show that disorder may have proshyfound effects on the multicritical behavior associated with the uniform limit of the mo de Finally we study effects of random or aperiodic interactions on the behavior of the quantum XX chain at low temperatures by performing numerical calculations based on a mapping of the system onto a free-fermion mo de We present evidence that at zero temperature there exists a single universal fixed-point associated with a random-singlet phase which governs the behavior of the model in the presence of disordered interactions In the case of aperiodic interactions our results are consistent with renormalizationshygroup predictions indicating for a certain class of substitution sequences a
behavior similar to the one induced by disorder ltgt
(
K
~
c
Sumaacuterio
(
Introduccedilatildeo 3
1 Modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos 7 11 Introduccedilatildeo 7 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos 11 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear 13 14 Conclusotildees 18
2 Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria 21 21 Introduccedilatildeo 21 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo 23
23 Versatildeo de Curie-Weiss 26 bullmiddotv_
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls 28 25 Conclusotildees 34
3 Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativomiddot de desordem e aperiodicidade 37 31 Introduccedilatildeo 37 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres 40 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias 45
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 46 332 Resultados numeacutericos 51
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas 62 ( 341 Sequumlecircncias aperioacutedicas 63 342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 67 343 Resultados numeacutericos 73
35 Conclusotildees 86
A Cadeia de Ising de spin S com campos alternados 89
1
(
SUMAacuteRIO SUMAacuteRIO
B Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio 93
C Outros trabalhos 95
iacutemiddot~
2
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
VbV-=r~ y Y(middoti
FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo
Vieira Andreacute de Pinho
Efeitos de Desordem ou Aperiodicidade sobre o Comportamento de Sistemas Magneacuteticos
Satildeo Paulo 2002
Tese (Doutoramento) Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica - Departamento Fiacutesica Geral
Orientador Prof Dr Silvio R de Azevedo Salinas Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica Estatiacutesticamiddot e
Termodinacircmica
Unitermos 1 Sistemas Magneacuteticos Desordenados 2 Sistemas Quase-unidimensionais 3 Interaccedilotildees Aperioacutedicas 4 Sistemas de Spins Mistos 5 Modelo XYQuacircntico
USPIIFSBI-0602002
t
Agradecimentos
Gostaria de agradecer ao Prof Silvio Salinas pela orientaccedilatildeo confianccedila e independecircncia que me concedeu e pelo muito que aprendi com seu exemplo de perseveranccedila e otimismo ao Prof Lindberg Gonccedilalves natildeo apenas por ter me apresentado agrave fiacutesica estatiacutestica mas tambeacutem pela disponibilidade e laquo atenccedilatildeo constantes ao Thomaacutes Haddad pelas incontaacuteveis discussotildees sobre tantos assuntos e pela paciecircncia e determinaccedilatildeo em me resgatar da idiotia da vida rural aos professores Carlos Becerra e Armando Paduan Filho pelos esclarecimentos essenciais agrave primeira parte deste trabalho agrave Dra Angsula Ghosh e aos colegas Paulo de Tarso Muzy e Masayuki Hase companheiros de jornada por compartilharem duacutevidas e conhecimentos aos membros do grupo de fiacutesica estatiacutestica e aos demais amigos do Instituto de Fiacutesica pela agradaacutevel e frutiacutefera convivecircncia agrave Maacutercia Silvani e agrave Rosatildengela Rodrigues que tanto me auxiliaram nos meandros burocraacuteticos e agrave Fapesp pelo apoio financeiro
Agrave Dani expresso minha devoccedilatildeo e a gratidatildeo por seu carinho e pelos tantos bons momentos agrave minha matildee agrave Bia e agrave Mariana mais que o reconheshy
11gt
cimento pela dedicaccedilatildeo infinita meu lamento pela atenccedilatildeo que lhes neguei ao longo destes uacuteltimos quatro anos ao meu pai e agrave Sula meu obrigado pelas palavras de apoio em momentos centrais Agrave Ivna e ao Marcelo assim como agrave Lia e ao Bibi agradeccedilo a generosa acolhida no iniacutecio desta etapa
~
t
shy
Resumo
Consideramos os efeitos de desordem ou aperiodicidade sobre trecircs sistemas magneacuteticos distintos Inicialmente apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para descrever a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente induzida por diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais O moshy(shydelo trata exatamente as correlaccedilotildees ao longo da direccedilatildeo dominante levando em conta as demais interaccedilotildees por meio de um campo efetivo Em seguida utilizamos uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls para avaliar os efeitos de um campo cristalino aleatoacuterio sobre os diagramas de fases de um modelo de Ising de spins mistos Mostramos que a desordem eacute capaz de modificar a natureza dos pontos multicriacuteticos existentes no limite unishyforme do modelo Finalmente estudamos os efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas atraveacutes de cacirclculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema em um modelo de feacutermions livres Apontamos evidecircncias de que em temperatura zero existe um uacutenico ponto fixo universal caracteriacutestico de uma fase de singleto aleatoacuterio que governa o comportamento do modelo na presenccedila de interaccedilotildees desordenadas No caso de interaccedilotildees aperioacutedicas
I ~
obtemos resultados consistentes com previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo indicando para uma certa classe de sequumlecircncias de substituiccedilatildeo um comporshytamento semelhante agravequele associado agrave desordem
imiddot
j
~
~
r
Abstract
We consider effects of disorder or aperiodicity on three different magnetic systems First we present a phenomenological model to describe the thershymal dependence of the dilution-induced remanent magnetization in a class of quasi-one-dimensional antiferromagnets The model treats correlations along
( the dominant direction in an exact way while including the remaining inte- i ractions via an effective field Then we use a self-consistent Bethe-Peierls ~
j
approximation to gauge the effects of a random crystal field on the phase diagram of a mixed-spin Ising mode We show that disorder may have proshyfound effects on the multicritical behavior associated with the uniform limit of the mo de Finally we study effects of random or aperiodic interactions on the behavior of the quantum XX chain at low temperatures by performing numerical calculations based on a mapping of the system onto a free-fermion mo de We present evidence that at zero temperature there exists a single universal fixed-point associated with a random-singlet phase which governs the behavior of the model in the presence of disordered interactions In the case of aperiodic interactions our results are consistent with renormalizationshygroup predictions indicating for a certain class of substitution sequences a
behavior similar to the one induced by disorder ltgt
(
K
~
c
Sumaacuterio
(
Introduccedilatildeo 3
1 Modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos 7 11 Introduccedilatildeo 7 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos 11 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear 13 14 Conclusotildees 18
2 Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria 21 21 Introduccedilatildeo 21 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo 23
23 Versatildeo de Curie-Weiss 26 bullmiddotv_
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls 28 25 Conclusotildees 34
3 Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativomiddot de desordem e aperiodicidade 37 31 Introduccedilatildeo 37 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres 40 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias 45
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 46 332 Resultados numeacutericos 51
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas 62 ( 341 Sequumlecircncias aperioacutedicas 63 342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 67 343 Resultados numeacutericos 73
35 Conclusotildees 86
A Cadeia de Ising de spin S com campos alternados 89
1
(
SUMAacuteRIO SUMAacuteRIO
B Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio 93
C Outros trabalhos 95
iacutemiddot~
2
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
t
Agradecimentos
Gostaria de agradecer ao Prof Silvio Salinas pela orientaccedilatildeo confianccedila e independecircncia que me concedeu e pelo muito que aprendi com seu exemplo de perseveranccedila e otimismo ao Prof Lindberg Gonccedilalves natildeo apenas por ter me apresentado agrave fiacutesica estatiacutestica mas tambeacutem pela disponibilidade e laquo atenccedilatildeo constantes ao Thomaacutes Haddad pelas incontaacuteveis discussotildees sobre tantos assuntos e pela paciecircncia e determinaccedilatildeo em me resgatar da idiotia da vida rural aos professores Carlos Becerra e Armando Paduan Filho pelos esclarecimentos essenciais agrave primeira parte deste trabalho agrave Dra Angsula Ghosh e aos colegas Paulo de Tarso Muzy e Masayuki Hase companheiros de jornada por compartilharem duacutevidas e conhecimentos aos membros do grupo de fiacutesica estatiacutestica e aos demais amigos do Instituto de Fiacutesica pela agradaacutevel e frutiacutefera convivecircncia agrave Maacutercia Silvani e agrave Rosatildengela Rodrigues que tanto me auxiliaram nos meandros burocraacuteticos e agrave Fapesp pelo apoio financeiro
Agrave Dani expresso minha devoccedilatildeo e a gratidatildeo por seu carinho e pelos tantos bons momentos agrave minha matildee agrave Bia e agrave Mariana mais que o reconheshy
11gt
cimento pela dedicaccedilatildeo infinita meu lamento pela atenccedilatildeo que lhes neguei ao longo destes uacuteltimos quatro anos ao meu pai e agrave Sula meu obrigado pelas palavras de apoio em momentos centrais Agrave Ivna e ao Marcelo assim como agrave Lia e ao Bibi agradeccedilo a generosa acolhida no iniacutecio desta etapa
~
t
shy
Resumo
Consideramos os efeitos de desordem ou aperiodicidade sobre trecircs sistemas magneacuteticos distintos Inicialmente apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para descrever a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente induzida por diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais O moshy(shydelo trata exatamente as correlaccedilotildees ao longo da direccedilatildeo dominante levando em conta as demais interaccedilotildees por meio de um campo efetivo Em seguida utilizamos uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls para avaliar os efeitos de um campo cristalino aleatoacuterio sobre os diagramas de fases de um modelo de Ising de spins mistos Mostramos que a desordem eacute capaz de modificar a natureza dos pontos multicriacuteticos existentes no limite unishyforme do modelo Finalmente estudamos os efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas atraveacutes de cacirclculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema em um modelo de feacutermions livres Apontamos evidecircncias de que em temperatura zero existe um uacutenico ponto fixo universal caracteriacutestico de uma fase de singleto aleatoacuterio que governa o comportamento do modelo na presenccedila de interaccedilotildees desordenadas No caso de interaccedilotildees aperioacutedicas
I ~
obtemos resultados consistentes com previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo indicando para uma certa classe de sequumlecircncias de substituiccedilatildeo um comporshytamento semelhante agravequele associado agrave desordem
imiddot
j
~
~
r
Abstract
We consider effects of disorder or aperiodicity on three different magnetic systems First we present a phenomenological model to describe the thershymal dependence of the dilution-induced remanent magnetization in a class of quasi-one-dimensional antiferromagnets The model treats correlations along
( the dominant direction in an exact way while including the remaining inte- i ractions via an effective field Then we use a self-consistent Bethe-Peierls ~
j
approximation to gauge the effects of a random crystal field on the phase diagram of a mixed-spin Ising mode We show that disorder may have proshyfound effects on the multicritical behavior associated with the uniform limit of the mo de Finally we study effects of random or aperiodic interactions on the behavior of the quantum XX chain at low temperatures by performing numerical calculations based on a mapping of the system onto a free-fermion mo de We present evidence that at zero temperature there exists a single universal fixed-point associated with a random-singlet phase which governs the behavior of the model in the presence of disordered interactions In the case of aperiodic interactions our results are consistent with renormalizationshygroup predictions indicating for a certain class of substitution sequences a
behavior similar to the one induced by disorder ltgt
(
K
~
c
Sumaacuterio
(
Introduccedilatildeo 3
1 Modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos 7 11 Introduccedilatildeo 7 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos 11 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear 13 14 Conclusotildees 18
2 Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria 21 21 Introduccedilatildeo 21 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo 23
23 Versatildeo de Curie-Weiss 26 bullmiddotv_
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls 28 25 Conclusotildees 34
3 Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativomiddot de desordem e aperiodicidade 37 31 Introduccedilatildeo 37 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres 40 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias 45
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 46 332 Resultados numeacutericos 51
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas 62 ( 341 Sequumlecircncias aperioacutedicas 63 342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 67 343 Resultados numeacutericos 73
35 Conclusotildees 86
A Cadeia de Ising de spin S com campos alternados 89
1
(
SUMAacuteRIO SUMAacuteRIO
B Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio 93
C Outros trabalhos 95
iacutemiddot~
2
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
shy
Resumo
Consideramos os efeitos de desordem ou aperiodicidade sobre trecircs sistemas magneacuteticos distintos Inicialmente apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para descrever a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente induzida por diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais O moshy(shydelo trata exatamente as correlaccedilotildees ao longo da direccedilatildeo dominante levando em conta as demais interaccedilotildees por meio de um campo efetivo Em seguida utilizamos uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls para avaliar os efeitos de um campo cristalino aleatoacuterio sobre os diagramas de fases de um modelo de Ising de spins mistos Mostramos que a desordem eacute capaz de modificar a natureza dos pontos multicriacuteticos existentes no limite unishyforme do modelo Finalmente estudamos os efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas atraveacutes de cacirclculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema em um modelo de feacutermions livres Apontamos evidecircncias de que em temperatura zero existe um uacutenico ponto fixo universal caracteriacutestico de uma fase de singleto aleatoacuterio que governa o comportamento do modelo na presenccedila de interaccedilotildees desordenadas No caso de interaccedilotildees aperioacutedicas
I ~
obtemos resultados consistentes com previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo indicando para uma certa classe de sequumlecircncias de substituiccedilatildeo um comporshytamento semelhante agravequele associado agrave desordem
imiddot
j
~
~
r
Abstract
We consider effects of disorder or aperiodicity on three different magnetic systems First we present a phenomenological model to describe the thershymal dependence of the dilution-induced remanent magnetization in a class of quasi-one-dimensional antiferromagnets The model treats correlations along
( the dominant direction in an exact way while including the remaining inte- i ractions via an effective field Then we use a self-consistent Bethe-Peierls ~
j
approximation to gauge the effects of a random crystal field on the phase diagram of a mixed-spin Ising mode We show that disorder may have proshyfound effects on the multicritical behavior associated with the uniform limit of the mo de Finally we study effects of random or aperiodic interactions on the behavior of the quantum XX chain at low temperatures by performing numerical calculations based on a mapping of the system onto a free-fermion mo de We present evidence that at zero temperature there exists a single universal fixed-point associated with a random-singlet phase which governs the behavior of the model in the presence of disordered interactions In the case of aperiodic interactions our results are consistent with renormalizationshygroup predictions indicating for a certain class of substitution sequences a
behavior similar to the one induced by disorder ltgt
(
K
~
c
Sumaacuterio
(
Introduccedilatildeo 3
1 Modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos 7 11 Introduccedilatildeo 7 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos 11 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear 13 14 Conclusotildees 18
2 Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria 21 21 Introduccedilatildeo 21 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo 23
23 Versatildeo de Curie-Weiss 26 bullmiddotv_
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls 28 25 Conclusotildees 34
3 Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativomiddot de desordem e aperiodicidade 37 31 Introduccedilatildeo 37 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres 40 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias 45
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 46 332 Resultados numeacutericos 51
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas 62 ( 341 Sequumlecircncias aperioacutedicas 63 342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 67 343 Resultados numeacutericos 73
35 Conclusotildees 86
A Cadeia de Ising de spin S com campos alternados 89
1
(
SUMAacuteRIO SUMAacuteRIO
B Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio 93
C Outros trabalhos 95
iacutemiddot~
2
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
r
Abstract
We consider effects of disorder or aperiodicity on three different magnetic systems First we present a phenomenological model to describe the thershymal dependence of the dilution-induced remanent magnetization in a class of quasi-one-dimensional antiferromagnets The model treats correlations along
( the dominant direction in an exact way while including the remaining inte- i ractions via an effective field Then we use a self-consistent Bethe-Peierls ~
j
approximation to gauge the effects of a random crystal field on the phase diagram of a mixed-spin Ising mode We show that disorder may have proshyfound effects on the multicritical behavior associated with the uniform limit of the mo de Finally we study effects of random or aperiodic interactions on the behavior of the quantum XX chain at low temperatures by performing numerical calculations based on a mapping of the system onto a free-fermion mo de We present evidence that at zero temperature there exists a single universal fixed-point associated with a random-singlet phase which governs the behavior of the model in the presence of disordered interactions In the case of aperiodic interactions our results are consistent with renormalizationshygroup predictions indicating for a certain class of substitution sequences a
behavior similar to the one induced by disorder ltgt
(
K
~
c
Sumaacuterio
(
Introduccedilatildeo 3
1 Modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos 7 11 Introduccedilatildeo 7 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos 11 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear 13 14 Conclusotildees 18
2 Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria 21 21 Introduccedilatildeo 21 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo 23
23 Versatildeo de Curie-Weiss 26 bullmiddotv_
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls 28 25 Conclusotildees 34
3 Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativomiddot de desordem e aperiodicidade 37 31 Introduccedilatildeo 37 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres 40 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias 45
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 46 332 Resultados numeacutericos 51
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas 62 ( 341 Sequumlecircncias aperioacutedicas 63 342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 67 343 Resultados numeacutericos 73
35 Conclusotildees 86
A Cadeia de Ising de spin S com campos alternados 89
1
(
SUMAacuteRIO SUMAacuteRIO
B Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio 93
C Outros trabalhos 95
iacutemiddot~
2
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
c
Sumaacuterio
(
Introduccedilatildeo 3
1 Modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos 7 11 Introduccedilatildeo 7 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos 11 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear 13 14 Conclusotildees 18
2 Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria 21 21 Introduccedilatildeo 21 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo 23
23 Versatildeo de Curie-Weiss 26 bullmiddotv_
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls 28 25 Conclusotildees 34
3 Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativomiddot de desordem e aperiodicidade 37 31 Introduccedilatildeo 37 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres 40 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias 45
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 46 332 Resultados numeacutericos 51
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas 62 ( 341 Sequumlecircncias aperioacutedicas 63 342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real 67 343 Resultados numeacutericos 73
35 Conclusotildees 86
A Cadeia de Ising de spin S com campos alternados 89
1
(
SUMAacuteRIO SUMAacuteRIO
B Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio 93
C Outros trabalhos 95
iacutemiddot~
2
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
SUMAacuteRIO SUMAacuteRIO
B Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio 93
C Outros trabalhos 95
iacutemiddot~
2
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
(
Introduccedilatildeo
( Em maior ou menor grau todos os materiais existentes na natureza exibem imperfeiccedilotildees ou caracteriacutesticas natildeo-homogecircneas O sucesso da descriccedilatildeo dos vaacuterios materiais atraveacutes de modelos uniformes depende de quatildeo profundos satildeo os efeitos das impurezas sobre as propriedades desses sistemas Em muitos casos tais efeitos satildeo relevantes exigindo a modificaccedilatildeo dos modelos empreshygados de modo a levar em consideraccedilatildeo elementos de natildeo-homogeneidade Na maioria das situaccedilotildees isso torna o tratamento matemaacutetico consideravelshymente mais enredado como demonstram os modelos para vidros de spin [Binshyder e Young 1986] Em consequumlecircncia torna-se muitas vezes imprescindiacutevel a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de aproximaccedilatildeo em associaccedilatildeo ou natildeo a ferramentas de simulaccedilatildeo computacional
A anaacutelise de modelos estatiacutesticos com elementos aleatoacuterios parece ter sido formalizada por Brout [1959] e Mazo [1963] Uma distinccedilatildeo essencial deve ser feita entre o limite de desordem temperada em que as impurezas satildeo consideradas fixas e o limite recozido em que as impurezas atingem o equiliacutebrio teacutermico com o restante do sistema Essa distinccedilatildeo tem como base a diferenccedila entre as escalas do tempo de relaxaccedilatildeo das impurezas Ti e do tempo de relaxaccedilatildeo das variaacuteveis naturais do sistema uniforme subjacente T s Na grande maioria dos casos de interesse fiacutesico esses tempos ~atildeo tais que Ti tgt Ts portanto as impurezas devem ser consideradas como essencialmente fixas e o limite temperado eacute mais apropriado
No que diz respeito aos fenocircmenos criacuteticos os efeitos de desordem satildeo aquilatados pelo criteacuterio heuriacutestico de Harris [1974] Segundo esse criteacuterio sendo a o expoente criacutetico associado ao calor especiacutefico de um sistema unishy
~c forme a introduccedilatildeo de desordem produz alteraccedilatildeo no comportamento criacutetico desse sistema se a gt O Isso ajudou a compreender discrepacircncias entre moshydelos que previam divergecircncias no calor especiacutefico associadas a transiccedilotildees de fase em certos materiais e medidas experimentais que verificavam apenas maacuteximos suaves Posteriormente o criteacuterio foi validado e estendido utilishyzando teacutecnicas de grupo de renormalizaccedilatildeo [Lubensky 1975]
Fora da criticalidade a presenccedila de natildeo-homogeneidades pode produshy
3
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
Introduccedilatildeo
zir comportamentos inteiramente novos em certos materiais especialmente aqueles de baixa dimensionalidade Exemplos disso satildeo os fenocircmenos de ordem por desordem [Oseroff et alo 1995 Wessel et alo 2001] em que a adiccedilatildeo de impurezas a sistemas cujo estado fundamental eacute desordenado inshyduz o aparecimento de ordem antiferromagneacutetica em baixas temperaturas Nesses e em outros fenocircmenos como as singularidades - natildeo-criacuteticas - de Griffiths exibidas pela cadeia de Ising quacircntica desordenada [Fisher 1995] um ingrediente essencial eacute o caraacuteter eminentemente quacircntico das flutuaccedilotildees presentes
Nos uacuteltimos anos tambeacutem ganhou interesse o estudo de sistemas natildeoshyhomogecircneos com caracteriacutesticas determiniacutesticas concretizados nos quaseshycristais Essas estruturas satildeo aperioacutedicas e natildeo constituem cristais genuiacuteshynos apresentando simetrias proibidas para redes de Bravais correspondem na realidade a projeccedilotildees irracionais de redes perioacutedicas de dimensionalidade elevada sobre espaccedilos de dimensatildeo inferior Em funccedilatildeo da ausecircncia de perioshydicidade eacute natural indagar ateacute que ponto essas estruturas produzem efeitos semelhantes agravequeles induzidos por aleatoriedade
Uma resposta a essa questatildeo eacute dada quanto ao comportamento criacutetico pelo criteacuterio heuriacutestico de Luck [1993a] Esse criteacuterio em si proacuteprio uma extensatildeo do criteacuterio de Harris toma por base um expoente w associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Para um dado sistema caso esse expoente exceda um certo valor-limite (que depende dos expoentes criacuteticos do sistema perioacutedico subjacente) o criteacuterio prevecirc que a aperiodicishydade eacute capaz de alterar a criticalidade Ainda segundo o criteacuterio de Luck inshygredientes aperioacutedicos caracterizados por flutuaccedilotildees geomeacutetricas tatildeo ou mais intensas que aquelas produzidas por aleatoriedade satildeo certamente capazes de afetar o comportamento criacutetico de sistemas que satisfazem o criteacuterio de Harris Os resultados fornecidos pelos estudos comparativos jaacute realizados (veja por exemplo Igloacutei et alo [1998]) indicam entretanto que as semeshylhanccedilas entre desordem e aperiodicidade limitam-se ao proacuteprio ponto criacutetico Fora da criticalidade os dois tipos de natildeo-homogeneidades produzem efeitos geralmente distintos
Neste trabalho consideramos trecircs problemas em que a presenccedila de natildeoshyhomogeneidades eacute determinante Os problemas satildeo discutidos em capiacutetulos distintos como tentamos tornar tais capiacutetulos autocontidos com suas proacuteshyprias introduccedilotildees e conclusotildees traccedilamos aqui apenas um panorama de seu conteuacutedo
No primeiro capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para desshycrever o comportamento da magnetizaccedilatildeo remanente induzida pela diluiccedilatildeo numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais estudados no La-
Imiddot~
4
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
boratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP Discutimos algumas caracteriacutesticas dos materiais e descrevemos os resultados experishymentais e as justificativas para a formulaccedilatildeo de nosso modelo Mostramos que ele fornece uma descriccedilatildeo razoaacutevel da dependecircncia teacutermica da magneshytizaccedilatildeo remanente fazendo uso de um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com as estimativas experimentais
No segundo capiacutetulo consideramos os efeitos de desordem sobre o diashygrama de fases de sistemas que exibem comportamento tricriacutetico Para tanto estudamos o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria emshypregando uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Comparamos os resultados com aqueles obtidos a partir de um tratamento de campo meacuteshydio e apresentamos a soluccedilatildeo do problema em uma dimensatildeo para testar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo
O terceiro capiacutetulo eacute dedicado a um estudo comparativo dos efeitos de interaccedilotildees desordenadas e aperioacutedicas sobre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Existem indiacutecios de que a presenccedila de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas nesse sistema pode induzir em baixas temperashyturas uma fase completamente distinta daquela que caracteriza o modelo uniforme Discutimos previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as proprishyedades dos sistemas e apresentamos resultados de caacutelculos numeacutericos que realizamos para verificar essas previsotildees bem como para investigar grandeshyzas sobre as quais o grupo de renormalizaccedilatildeo natildeo fornece informaccedilotildees como eacute o caso das correlaccedilotildees entre spins na cadeia com interaccedilotildees aperioacutedicas
No final do texto incluiacutemos trecircs apecircndices dois dos quais tratam de asshy
pectos teacutecnicos dos capiacutetulos 1 e 2 o t~rceiro apecircndice reproduz dois artigos resultantes de colaboraccedilotildees desenvolvidas paralelamente ao nosso programa de doutoramento
(-
5
(
rfmiddot )gt
Capiacutetulo 1
li ~~ Modelo fenomenoloacutegico para a
magnetizaccedilatildeo remanente de antiferromagnetos quase-unidimensionais diluiacutedos
Neste capiacutetulo apresentamos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetishyzaccedilatildeo remanente observada em baixas temperaturas nos antiferromagnetos quase-unidimensionais (CH3NH3 ) Mnl-x CdxCls 2H20 e (CH3 hNH2 Mnl-x CdxCls 2H20 Em nosso modelo supomos a existecircncia de momentos magshy neacuteticos desemparelhados induzidos em segmentos de tamanho iacutempar gerados ao longo das cadeias de Mn2+ pela diluiccedilatildeo do iacuteon magneacutetico Supomos ainda que esses momentos permaneccedilam correlacionados ferromagneticamente apoacutes a remoccedilatildeo do campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cashydeia linear (essencialmente de campo meacutedio) e um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais fomos capazes de reproduzir a dependecircncia aproximadamente linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temshyperatura observada nos compostos reais
11 Introduccedilatildeo (
Em baixas temperaturas sistemas quase-unidimensionais exibem uma varieshydade de comportamentos interessantes como cruzamento dimensional [Smith e Friedberg 1968 de Jonge et alo 1975 Wang 1997] paramagnetismo quacircnshytico aleatoacuterio [Nguyen et alo 1996] fenocircmenos de ordem-por-desordem [Oseshyroff et alo 1995 Azuma et alo 1997] e fases de Griffiths [Fisher 1995 Young e Rieger 1996] que tecircm motivado diversas investigaccedilotildees teoacutericas e experishy
7
E ~
11 1
mentais Na maioria desses sistemas o ordenamento tridimensional eacute afinal induzido por interaccedilotildees entre as cadeias Tirando proveito dos diversos resulshytados analiacuteticos disponiacuteveis para modelos unidimensionais esse ordenamento tem sido descrito de vaacuterias formas A maioria das abordagens eacute baseada em aproximaccedilotildees de cadeia linear [Scalapino et alo 1975 Trudeau e Plumer 1995 Schulz 1996] que tratam as correlaccedilotildees ao longo das cadeias de forma exata introduzindo ao mesmo tempo as interaccedilotildees entre cadeias atraveacutes de campos efetivos Essas aproximaccedilotildees foram aplicadas com sucesso a sistemas puros dando ainda origem a teorias de Ginzburg-Landau generalizadas que levam em conta flutuaccedilotildees [Scalapino et alo 1975 McKenzie 1995J Aleacutem disso tambeacutem foram bastante utilizadas para descrever efeitos de desordem [Imry et ai 1975 Hone et ai 1975 Schouten et alo 1980 Korenblit e Shender 1993 Eggert et ai 2002] que estatildeo entre os principais toacutepicos da pesquisa em sistemas quase-unidimensionais
Tratamos aqui de uma classe de materiais quase-unidimensionais estushydados no Laboratoacuterio de Estado Soacutelido e Baixas Temperaturas do IFUSP [Paduan-Filho et ai 1998 Becerra et alo 2000] representada pelos comshypostos (CH3 NH3)MnCI3 bull 2H20 (ou MMC) e (CHahNH2 MnCla 2H20 (ou DMMC) que constituem sistemas de spins localizados nos quais os iacuteons Mn2+ (de spin S = 52) arranjam~se ao longo do eixo cristalino b formando cadeias e satildeo acoplados antiferromagneticamente entre si por uma interaccedilatildeo intracashydeias JkB da ordem de 3 K Medidas de suscetibilidade magneacutetica e calor especiacutefico [Simizu et aI 1984] indicam o surgimento de ordem de longo alshycance tridimensional em temperaturas de Neacuteel TN = 412 K para o MMC e TN = 636 K para o DMMC com o alinhamento dos momentos magneacuteticos ocorrendo ao longo do eixo a do cristal Essas temperaturas satildeo compatiacuteveis com interaccedilotildees entre cadeias IJd - IJI x 10-2
O caraacuteter dessas interaccedilotildees natildeo ecirc relatado na literatura Entretanto o comportamento dos materiais quando diluiacutedos com iacuteons natildeo-magneacuteticos Cd2+ sugere que interaccedilotildees ferroshymagneacuteticas entre cadeias estejam presentes como discutiremos mais adiante Em temperaturas acima de T - 10 K as medidas de suscetibilidade satildeo bem descritas por um modelo de Heisenberg quacircntico de spin S = 52 no entanto em temperaturas mais baixas efeitos de anisotropia (com provaacutevel origem dipolar) tornam-se relevantes [Simizu et aI 1984] como evidencishyado na figura 11 Caacutelculos baseados num modelo de Heisenberg claacutessico com paracircmetros derivados de experimentos com o DMMC reforccedilam a imshyportacircncia da anisotropia [Schouten et aI 1980] Em particular mostra-se que o comportamento do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias exibe um cruzamento de tipo Heisenberg para tipo Ising com a diminuiccedilatildeo da temperatura esse comportamento eacute ilustrado na figura 12
A substituiccedilatildeo de pequenas quantidades de iacuteons Mn2+ por iacuteons natildeo-
P
8
-----
tecirc
Capiacutetulo 1 11 Introduccedilatildeo
6~i-----------~--~--~--~--~--~--~
X 10- 2 (CH 3 NH 3)MnCI 2 H 03 2
0_
o a-ois x b-Ollis
I I + c-oxis
t~ t 2rl1 --- Clossicol Heisenberg choin
1 -- Smiddot 52 Heisenberg chain ( Jlk=-301 K for both)
TN=412K
Ot O 20 40 60 80 100
T(K)
Figura 11 Suscetibilidades magneacuteticas ao longo dos eixos do cristal para o MMC puro Fica evidente a anisotropia acentuada em temperaturas inferiores a 10 K Extraiacutedo de Simizu et alo [1984]
ti Q1
1t
11
~
J Hoisenbergll Ii Ii
001
t
~(QMMCl
lsOg I I I I I
aOl O) T -kTI21JISIS+11
~middot1 Figura 12 Inverso do comprimento de correlaccedilatildeo ao longo das cadeias como funccedilatildeo da temperatura para os compostos DMMC e CMC (de propriedades esshytruturais e magneacuteticas semelhantes agraves do MMC) calculado para o modelo XYZ claacutessico com paracircmetros estimados experimentalmente Eacute perceptiacutevel a mudanccedila de comportamento do tipo Heisenberg para Ising em temperaturas inferiores a T 01 Extraiacutedo de Schouten et alo [1980]
9
(
11 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 1
magneacuteticos Cd2+ induz o aparecimento de uma magnetizaccedilatildeo remanente [Paduan-Filho et alo 1998 Becerra et alo 2000] abaixo de TN quando as amostras satildeo resfriadas na presenccedila de campos de alguns oersteds dirigishydos ao longo do eixo faacuteciL Observa-se que essa magnetizaccedilatildeo remanente varia de forma aproximadamente linear com a temperatura exceto na imeshydiata vizinhanccedila de TN onde efeitos de desmagnetizaccedilatildeo parecem relevantes [Paduan-Filho et al 1998] Aleacutem disso mede-se um excesso de suscetibishylidade paralela geralmente associado agrave existecircncia de momentos magneacuteticos desemparelhados nos segmentos de tamanho iacutempar produzidos ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo [Dupas e Renard 1978] Aparentemente a dependecircncia (quase) linear da magnetizaccedilatildeo remanente com a temperatura tem caraacuteter universal como sugerido a partir de medidas [Becerra et alo 2000] realizadas no DMMC dopado com Cd2+ (natildeo-magneacutetico) e Cu2+ (S = 12) Experiecircncias realizadas nos compostos similares CsMnCI3 middot2H20 (CMC) e CsMnBr32H20 (CMB) dopados com Cu2+ nos quais os sinais das interaccedilotildees entre cadeias satildeo bem conhecidos revelaram [Carvalho et alo 2001] que uma magnetizaccedilatildeo remanente aparece no CMB em que os acoplamentos entre cadeias satildeo ferroshymagneacuteticos ao longo de uma das direccedilotildees transversas e antiferromagneacuteticas ao longo da outra por outro lado natildeo se observa esse efeito no CMC em que todas as interaccedilotildees satildeo antiferromagneacuteticas Esses resultados experimentais juntamente com a observaccedilatildeo de que algum acoplamento ferromagneacutetico efeshytivo eacute necessaacuterio para gerar uma magnetizaccedilatildeo remanente natildeo-nula levaram agrave ideacuteia de que interaccedilotildees ferromagneacuteticas devem tambeacutem estar presentes no DMMC e no MMC [Becerra et alo 2000] Entretanto na ausecircncia de dados experimentais ateacute o momento natildeo parece haver evidecircncias conclusivas sobre esse ponto
Neste capiacutetulo introduzimos e discutimos um modelo fenomenoloacutegico para o comportamento magneacutetico de baixas temperaturas do DMMC e do MMC diluiacutedos Em virtude dos efeitos de anisotropia jaacute mencionados acreshyditamos que os aspectos qualitativos desse comportamento sejam captados por um modelo de Ising de spin S 52 que no limite puro (e no caso mais simples) eacute descrito pela hamiltoniana
1-- J~SrSr+b ~~ JjSrSr+ocirc (11) r r li
em que J gt O r eacute um vetor da rede b ecirc o vetor primitivo ao longo do eixo cristalino b 6 eacute um vetor que conecta um siacutetio a seus vizinhos mais proacutexishymos no plano ac Jl JL gt Ose 6 for paralelo ao eixo a e Jl = -JL se 6 for paralelo ao eixo C Nossa abordagem baseia-se numa aproximaccedilatildeo de cadeia linear que trata os acoplamentos intracadeia (J) exatamente inshytroduzindo simultaneamente as fracas interaccedilotildees entre cadeias (JL laquo J)
10
1lt I
t
Capiacutetulo 1 12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
via termos de Curie-Weiss conectando todos os spins (de forma a produzir um campo efetivo alternado que combine as interaccedilotildees intercadeias ferro- e antiferromagneacuteticas evitando efeitos de frustraccedilatildeo) Em temperaturas sushyficientemente baixas as cadeias ordenam-se antiferromagneticamente com uma estrutura bipartite caracteriacutestica Como consequumlecircncia da diluiccedilatildeo uma cadeia muito longa divide-se em segmentos finitos e momentos magneacuteticos desemparelhados aparecem nas extremidades dos segmentos de tamanho Iacutemshypar Com base na fenomenologia dos sistemas supomos que esses momentos correlacionem-se ferromagneticamente sendo sua direccedilatildeo determinada nos
experimentos pelo campo de resfriamento Para cada segmento de spins a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser calculada exatamente a energia livre total da cadeia eacute obtida pela soma das energias livres dos segmentos de todos os tashymanhos com pesos apropriados Esse processo eacute detalhado na seccedilatildeo 12 Em seguida na seccedilatildeo 13 incluiacutemos os termos de Curie-Weiss e discutimos os resultados da aproximaccedilatildeo Mostramos que essa abordagem reproduz satisfashytoriamente a dependecircncia da magnetizaccedilatildeo com a temperatura e a existecircncia de um excesso de suscetibilidade Discutimos tambeacutem a contribuiccedilatildeo dos vaacuterios segmentos agrave suscetibilidade
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
Consideramos inicialmente um segmento aberto de n spins de Isiacuteng com acoshyplamentos antiferromagneacuteticos e campos alternados descrito pela hamiltonishyana
n-l n n
1in = J 2 SjSj+ - L hjSj - D 2 sJ (12) j=l j=l j=l
em que J gt O e hj hI (hz) para J Impar (par) introduzimos tambeacutem um campo cristalino D como paracircmetro adicional de ajuste As variaacuteveis de spin Sj assumem os valores plusmnlZ plusmn3z e plusmn52 Os campos alternados satildeo introduzidos de modo a abrir espaccedilo para um campo efetivo alternado necesshy
L saacuterio agrave descriccedilatildeo de ordem de longo alcance antiferromagneacutetica na presenccedila de interaccedilotildees entre cadeias Em consonacircncia com a hipoacutetese fenomenoloacutegica de que haacute momentos magneacuteticos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo preferencial determinada pelo campo de resfriamento supomos que os spins nas extremidades dos segmentos de tamanho iacutempar sofram sempre a accedilatildeo de um campo hI Removido o campo os momentos permaneceriam globalshymente desemparelhados devido a efeitos de piacutenning produzidos pelas impushy
11
t
12 Interaccedilotildees entre primeiros vizinhos Capiacutetulo 1
rezas natildeo-magneacuteticas l Nos segmentos de tamanho par a escolha particular
de um campo h l em j 1 eacute irrelevante jaacute que nesses casos a funccedilatildeo de particcedilatildeo eacute simeacutetrica com respeito ao intercacircmbio de hl e h2
Como consideramos valores finitos de n devemos separar os segmentos de acordo com a paridade de seus tamanhos Utilizando a conhecida teacutecnica da matriz de transferecircncia podemos escrever as funccedilotildees de particcedilatildeo para tamanhos iacutempares e pares respectivamente como
Z~_I = (VI jT n
-2 VI) (13)
e
Z~ = (VIjTn22TII V2) (V2T2Tn-21 VI) (14)
onde n eacute um nuacutemero par T = TI T 2 os elementos das matrizes T I e T2 (de tamanho 6 x 6) satildeo dados por
TdSiacute Sj) exp -~JSiSj ~~hISi ~~h2Sj ~D (Sl SJ) (15)
T2(Si Sj) TdSj Si) (16)
e as componentes dos vetores VI e V2 satildeo
et 3(hSj+DSJ)vo(Sj) a=12 (17)
As energias livres associadas aos segmentos de tamanhos pares e iacutempares satildeo dadas por
-kBTlnZ~_I (18)
e FP= InZP (19)nn
Tomamos agora uma cadeia muito longa e supomos que cada um de seus N siacutetios esteja ocupado por um spin com probabilidade p Para O lt p lt 1 a cadeia eacute composta de segmentos finitos separados por siacutetios vazios (Le ocupados por iacuteons natildeo-magneacuteticos) No limite N --+ 00 o nuacutemero de segmentos de tamanho n eacute NP(n) N(l - ppn Supondo que cada segmento seja descrito pela hamiltoniana da eq (12) a energia livre total por spin seraacute dada pela seacuterie infinita
fpv(h l h2 T) L [P(n l)F~_1 + P(n)Frf] (110) p npar
r I
~
10 exato mecanismo que produziria esse pinning natildeo parece claro ateacute o momento
12
t
Capitulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Para p lt 1 uma vez que nP(n) torna-se despreziacutevel para n suficiente grande essa seacuterie infinita pode ser truncada e calculada numericamente Isso deshymanda a multiplicaccedilatildeo expliacutecita das matrizes envolvidas e eacute factiacutevel ateacute temperaturas bastante baixas No caso puro (p = 1) precisamos recorrer a um outro tipo de caacutelculo que descrevemos no apecircndice A
Denominemos de tipo 1 (tipo 2) aqueles spins sob accedilatildeo de um campo h1
(h2 ) Os nuacutemeros N 1 e N2 de spins de cada tipo numa cadeia podem ser determinados se notarmos que num segmento de tamanho n haacute n2 spins do tipo 1 se n for par e (n + 1)2 spins do tipo 1 se n for iacutempar Assim as
l fraccedilotildees de spins do tipo 1 e do tipo 2 satildeo
1 n 1 )n _ __p_N = L P(n) + ~ P(n 2 - 1 + p (111) N 2 nparn impar
e 2N 2 n 1 n pL P(n) 2 + ~ P(n) 2 = 1 + p (112)
N n iacutempar n par
respectivamente Para p lt 1 a diferenccedila entre essas fraccedilotildees daraacute obviamente origem a uma magnetizaccedilatildeo resultante natildeo nula em temperatura zero desde que h 1 e h 2 tenham sentidos opostos
13 Aproximaccedilatildeo da ca9eia linear
A fim de representar o fraco acoplamento entre cadeias nos compostos reais supomos agora que aleacutem dos acoplamentos entre primeiros vizinhos dentro de cada segmento todos os spins numa cadeia estejam conectados entre si por interaccedilotildees de Curie-Weiss (CW) ferromagneacuteticas Supomos ainda que as interaccedilotildees CW entre dois spins do tipo 1 ou do tipo 2 tenham intensidade JcwN mas que as interaccedilotildees CW entre spins de tipos distintos sejam mais fracas por um fator Introduzimos esse fator para permitir um eventual acoplamento obliacutequo entre cadeias (ou seja fora do plano perpendicular agrave
jgt direccedilatildeo b) no limite puro (p 1) esperamos que as cadeias exibam ordem antiferromagneacutetica e assim deve ser menor que a unidade Na presenccedila de diluiccedilatildeo esperamos que a estrutura antiferromagneacutetica sobreviva no interior de cada segmento o que em princiacutepio poderia levar a uma variaccedilatildeo de com a concentraccedilatildeo p jaacute que o arranjo magneacutetico nos planos perpendiculares agraves cadeias seria perturbado De todo modo nossos resultados sugerem para um valor muito pequeno ou nulo nos compostos aqui considerados
13
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
Escrevemos a contribuiccedilatildeo dos spins do tipo 1 para as interaccedilotildees de CurieshyWeiss como
E(l) Jcw ~ s (~S I = Sj) (113)cw NLJ~LJ) iEAl jEAl )EA2
em que Aa denota o conjunto dos spins do tipo a (a 12) Analogamente temos
E~ -7 L Si (I L Sj + L Sj) iEA2 jEAl jEA2
Decorre entatildeo que a contribuiccedilatildeo das interaccedilotildees de Curie-Weiss para a enershygia total por spin eacute
Ecw = -pJcw(mi + 2rymlm2 + m~) (114)
onde ml (m2) eacute a magnetizaccedilatildeo por iacuteon magneacutetico dos spins do tipo 1 (tipo 2) Como Ecw depende apenas das meacutedias ml e m2 e natildeo dos detalhes da conshyfiguraccedilatildeo dos spins eacute conveniente realizar uma mudanccedila de variaacuteveis Assim introduzimos o potencial de Helmholtz por spin apv(mI m2 T) associado agraves interaccedilotildees entre primeiros vizinhos definido pela transformaccedilatildeo de Legendre
apv(ml m2 T) = jpv(hI h2T) + m1h1 m2h2 (115)
em que h1 e h2 satildeo campos efetivos e
ml (aj pv )ah1 h2T
e m2 (aj pv )ah2 hlT
(116)
Para valores fixos de ml e m2 escrevemos um potencial de Helmholtz total
a(ml m2 T) apV(ml 1 m2 T) + Ecw (117)
a partir do qual obtemos as relaccedilotildees entre os campos magneacuteticos externos hI h2 e os campos efetivos
~
h1 = (aaa ) h-1 - 2pJCW (ml + 1m 2) (118) ml m2T
e analogamente
( aa ) shyh2 = -a h2 - 2pJCW (ryml + m2) (119) m2 mlT
14
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
Comparando esses uacuteltimos resultados (paraY O) com o campo local no siacutetio r devido a seus ql vizinhos mais proacuteximos nas cadeias adjacentes obtido a partir da hamiltoniana na eq (11) podemos estimar que
Jcw 21
Pql Jl (120)
para pequenas diluiccedilotildees (1 - P 1) As magnetizaccedilotildees estaacuteveis termodinamicamente satildeo aquelas que minimishy
zem o funcional de energia livre (
4gt (hI h2 Ti mIl m2) a(mI m2 T) mlhl - m2h2
fpv (hI h2 T) - Ecw (121)
Para baixas temperaturas e pequenas razotildees JcwJ impondo hI = h2 O os valores estaacuteveis de mI e m2 tecircm sinais opostos Na presenccedila de diluiccedilatildeo (p lt 1) jaacute que temos ImI m2 o modelo prevecirc a existecircncia de uma magnetizaccedilatildeo remanente m r por siacutetio dada por
m r p(ml m2) (122)
No limite T -+ O m r atinge um valor de saturaccedilatildeo
p(1 - p) S (123)(~ limmr = (1 p) T-lgtO
com neste caso S = 52 Podemos calcular a suscetibilidade (ferromagneacutetica) a campo nulo XO imshy
pondo h I = h2 = h e tomando o limite h -+ O
8mr (124)Xo = l~ 8h h=Omlm2
Obtemos ainda a temperatura de Neacuteel pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
82cp 82CP _ 2~ =0 (125) 8m2
I 8m2 2
ml=m2=O
na ausecircncia de campo externo Na figura 13 mostramos os dados experimentais [Becerra et aI 2000] para
a dependecircncia com a temperatura da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC dopado com 45 de Cd (a concentraccedilatildeo foi estimada a partir de ajustes
15
t
13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear Capiacutetulo 1
o
TI Txp
15rl-------r-------r--------------------~------_
o dados experimentais (DMMC com 45 de Cd) 2
teoria (S =52J J =15 X 10- TN =114 T~XP)cw
eshyi
ishy
05
Figura 13 Dados experimentais (ciacuterculos) e caacutelculos teoacutericos (curva soacutelida) para a dependecircncia teacutermica da magnetizaccedilatildeo remanente no DMMC com 45 de Cd A magnetizaccedilatildeo estaacute normalizada a seu valor na temperatura mais baixa em que haacute dados experimentais disponiacuteveis
das medidas em altas temperaturas a uma lei de Curie-Weiss) Mostramos tambeacutem resultados de nossos caacutelculos para a magnetizaccedilatildeo remanente com diluiccedilatildeo de 45 Jcw J 15 X 10-2 = O e D = O Obtivemos o meshylhor ajuste para a porccedilatildeo linear da curva impondo uma temperatura de Neacuteel (TN ) teoacuterica 14 superior ao valor experimental (o que equivale a ajustar J) Acreditamos que esse seja um procedimento razoaacutevel jaacute que nossos caacutelculos tecircm caraacuteter de campo meacutedio de modo que natildeo esperamos obter concordacircncia quantitativa para o valor de TN Eacute claro que os aspectos qualitativos de nosshysos caacutelculos satildeo insensiacuteveis a pequenas variaccedilotildees nos paracircmetros entretanto natildeo nos foi possiacutevel reproduzir o comportamento universal verificado expeshyrimentalmente (ou seja natildeo obtivemos colapso dos dados correspondentes a diversos conjuntos de paracircmetros) Destacamos que a escolha de valores poshysitivos e grandes para o campo cristalino transforma o sistema num modelo de Ising de spin S - 12 nesse caso a dependecircncia linear de m r com a temshyperatura natildeo pode ser bem reproduzida Eacute importante notar que em vista da eq (120) o valor de Jcw J utilizado no ajuste eacute inteiramente compatiacutevel com a estimativa experimental J1 J 10-2 mencionada anteriormente A(J
razatildeo calculada entre as temperaturas de Neacuteel dos modelos diluiacutedo e puro eacute de 086 comparada agrave estimativa experimental [Becerra et alo 2000] de
16
-------------------------------------
Capiacutetulo 1 13 Aproximaccedilatildeo da cadeia linear
03 ri------~--------r-------_------_------_------__
15 X 10-2
1- P =45 S=5(2 modelo puro
otilde ~ 02
~ E = Sl
8(gt ~O1 N
~~ ~~ o I -f----- j
o 05 15
TN
00 4 8 12
kBTIJ
Figura 14 Suscetibiacutelidade teoacuterica a campo nulo por iacuteon magneacutetico no limite puro (curva tracejada) e para diluiccedilatildeo de 45 (curva soacutelida)) utilizando os messhymos paracircmetros que na figura 13 As setas indicam a temperatura de Neacuteel corresshypondente) inferior no caso diluiacutedo O detalhe mostra o comportamento em baixas temperaturas
099 para o material real a diferenccedila pode ser creditada) pelo menos parcishyalmente ao fato de que nosso modelo considera apenas graus de liberdade uniaxiais para os spins O valor de saacuteturaccedilatildeo de m r para diluiccedilatildeo de 1 obtido da eq (123)) corresponde a 0497 da magnetizaccedilatildeo de sub-rede no sistema puro em excelente concordacircncia com a estimativa experimental [Paduan-Filho et alo 1998] de 05 para o MMC com 1 de Cd
Na figura 14 utilizamos o conjunto anterior de paracircmetros para calcular a dependecircncia teacutermica da suscetibilidade a campo nulo XO tanto no limite puro quanto para diluiccedilatildeo de 45 O maacuteximo alargado nessas curvas reflete as correlaccedilotildees de curto alcance antiferromagneacuteticas) enquanto as cuacutespides (inshydicadas na figura pelas setas) correspondem agraves temperaturas de Neacuteel Como se evidencia no detalhe) o caso diluiacutedo apresenta caracteriacutesticas distintas em lti baixas temperaturas o pequeno maacuteximo proacuteximo a T = O deve-se aos spins isolados cuja uacutenica escala de energia eacute determinada pelos fracos acoplamenshytos de Curie-Weiss enquanto a saliecircncia vizinha eacute produzida pelos pequenos segmentos de tamanho iacutempar cujos spins fronteiriccedilos estatildeo desemparelhados (segmentos de tamanho par tecircm contribuiccedilatildeo despreziacutevel para Xo em tempeshyraturas tatildeo baixas) tais detalhes satildeo ilustrados na figura 15 Haacute um claro
17
V shy
004
Jw J= 15 x 10-2
S=52
14 Conclusotildees Capiacutetulo 1
006--~--~~---~---~~
O j l
~
002
~o 05 10
kBTI J
Figura 15 Contribuiccedilotildees dos segmentos de tamanho 1 para a suscetibilidade a campo nulo mostrada na figura 14 As curvas soacutelidas correspondem a 1= 1 3 5 e 7 enquanto a curva tracejada corresponde a 1 = 2 comprimento responsaacutevel pela maior contribuiccedilatildeo entre os segmentos de tamanho par nessa faixa de temperaturas
contraste com o limite puro em que a suscetibilidade anula-se exponencialshymente para T lt TN
Por fim devemos mencionar que nossa abordagem eacute uma generalizaccedilatildeo daquela utilizada por Slotte [1985] para investigar a cadeia de Ising diluiacuteda de spin S 12 com competiccedilatildeo entre interaccedilotildees de curto e longo alcance N o entanto em virtude da presenccedila de competiccedilatildeo o modelo de Slotte natildeo contempla a possibilidade de ordem antiferromagneacutetica de longo alcance em temperaturas finitas mesmo no limite puro
14 Conclusotildees
Introduzimos um modelo fenomenoloacutegico para a magnetizaccedilatildeo remanente (mr ) observada numa classe de antiferromagnetos diluiacutedos quase-unidimenshysionais compostos de cadeias de spins fracamente interagentes O modelo supotildee a existecircncia de spins desemparelhados nas extremidades de segmentos de tamanho iacutempar formados ao longo das cadeias pela diluiccedilatildeo Supotildee ainda que esses spins permaneccedilam ferro magneticamente correlacionados apoacutes a reshymoccedilatildeo de um campo de resfriamento Utilizando uma aproximaccedilatildeo de cadeia linear em que as interaccedilotildees entre cadeias satildeo tratadas num niacutevel de campo
15 20
18
~gt
1 14 Conclusotildees
meacutedio fomos capazes de reproduzir a dependecircncia (aproximadamente) linear de ffir com a temperatura utilizando um conjunto de paracircmetros compatiacuteveis com estimativas experimentais
Nossa aproximaccedilatildeo de cadeia linear eacute baseada na suposiccedilatildeo de que mesmo em presenccedila de diluiccedilatildeo cada segmento experimente um campo efetivo alshyternado Claramente essa suposiccedilatildeo tambeacutem utilizada recentemente por
et aI [2002J no estudo de outra classe de antiferromagnetos diluiacutedos estaacute sujeita a algumas restriccedilotildees Dependendo da concentraccedilatildeo de impurezas 1 p a existecircncia de momentos desemparelhados apontando numa direccedilatildeo
t preferencial poderia levar agrave completa desestabilizaccedilatildeo do ordenamento magshyneacutetico perpendicular agraves cadeias2 Nesse caso os spins ao longo das cadeias experimentariam o mesmo campo efetivo independentemente de suas posishyccedilotildees De fato um tratamento baseado nessa uacuteltima premissa daria origem a uma transiccedilatildeo ferromagneacutetica (com suscetibilidade divergente) e o ordenashymento antiferromagneacutetico de longo alcance natildeo seria recuperado mesmo no limite p -+ 1 Efetuamos os caacutelculos correspondentes nas vizinhanccedilas desse limite e verificamos que a temperatura criacutetica depende linearmente de 1 p sendo portanto muito pequena em comparaccedilatildeo aos resultados experimentais Aleacutem disso natildeo eacute possiacutevel reproduzir a dependecircncia teacutermica linear de m r
Concluiacutemos que nossa aproximaccedilatildeo eacute satisfatoacuteria ao menos para as baixas concentraccedilotildees de impurezas aqui consideradas em que a ocorrecircncia de dois iacuteons natildeo-magneacuteticos adjacentes na mesma cadeia eacute um evento raro
Resta ainda a tarefa de identificar o exato mecanismo responsaacutevel pela persistecircncia de correlaccedilotildees ferromagneacuteticas entre os spins desemparelhados Sugerimos que simulaccedilotildees de Monte Garlo baseadas na hamiltoniana da eq (12) seriam uacuteteis para verificar se eacute suficiente ou necessaacuteria a presenccedila tanto de interaccedilotildees entre cadeias ferro- quanto antiferromagneacuteticas para dar origem a uma magnetizaccedilatildeo remanente em sistemas quase-unidimensionais Nossas tentativas de elucidar esse ponto utilizando um modelo de spin-l2 no entanto revelaram-se infrutiacuteferas
2Isto pode ser visto se considerarmos o efeito numa certa cadeia de dois iacuteons natildeoshymagneacuteticos adjacentes separando dois segmentos de tamanho iacutempar o que inverte os papeacuteis das sub-redes alternadas
19
(
Capiacutetulo 2
t Modelo de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria
Neste capiacutetulo investigamos o diagrama de fases de um modelo de Ising de spins mistos na presenccedila de anisotropia aleatoacuteria Derivamos a soluccedilatildeo exata do modelo em uma dimensatildeo apresentamos resultados de campo meacutedio e realizamos caacutelculos auto consistentes de Bethe-Peierls Dependendo da conshycentraccedilatildeo de impurezas surgem linhas de transiccedilatildeo e pontos multicriacuteticos adicionais Descrevemos tambeacutem conexotildees entre o modelo e um problema de percolaccedilatildeo
(
2 1 Introduccedilatildeo
Agrave parte sua relevacircncia na descriccedilatildeo de materiais ferrimagneacuteticos os modelos de spins mistos tecircm tambeacutem interesse puramente teoacuterico estando entre os sistemas mais simples a exibir comportamento tricriacutetico Desse modo satildeo especialmente convenientes para o estudo dos efeitos de natildeo-homogeneidades sobre o diagrama de fases e o comportamento multicriacutetico de sistemas magshyneacuteticos A partir de alguns resultados exatos [Gonccedilalves 1985 da Silva e Salinas 1991] e de vaacuterios caacutelculos aproximados [Zhang e Yang 1993 Quadros e Salinas 1994 Buendiacutea e Novotny 1997 Tucker 1999] temos agora um bom
( panorama dos diagramas de fases de modelos de Ising de spin-lj2-spin-1 na presenccedila de um campo cristalino Nosso objetivo aqui eacute utilizar esse moshydelo para investigar os efeitos de desordem sobre a localizaccedilatildeo das linhas de transiccedilatildeo e o ponto tricriacutetico
O modelo de Ising de spins mistos eacute definido como um sistema bipartite com variaacuteveis de spin a = plusmn1 e S = 0 plusmn1 sobre os siacutetios das sub-redes A e B respectivamente Incluindo apenas interaccedilotildees entre primeiros vizinhos
21
11 ~
21 Introduccedilatildeo Capiacutetulo 2
(pertencentes a sub-redes distintas) e termos de um uacutenico iacuteon a hamiltoniana mais geral definida no espaccedilo par de spins pode ser escrita como
H = -J L (JiSj + D L S] (21) laquoEAJEB) jEB
em que a primeira soma varre os pares de vizinhos mais prOXlmos a seshygunda soma varre os siacutetios da sub-rede B e supomos que o paracircmetro J seja positivo (correspondendo a acoplamentos ferromagneacuteticos) Para D gt O o campo cristalino favorece os estados Sj = O a competiccedilatildeo entre os termos
de interaccedilatildeo e de anisotropia leva ao aparecimento de um ponto tricriacutetico Haacute caacutelculos exatos para as funccedilotildees termodinacircmicas associadas ao modelo
da eq (21) numa cadeia simples e em algumas estruturas bidimensionais de coordenaccedilatildeo tripla Numa rede honeycomb o problema pode ser mapeado num modelo de Ising de spin-Ij2 numa rede triangular que natildeo apresenta ponto tricriacutetico [Domb 1980 Gonccedilalves 1985] O modelo pode tambeacutem ser resolvido exatamente numa rede de Bethe (a regiatildeo central de uma aacutervore de Cayley) [da Silva e Salinas 1991] levando aos mesmos resultados de um recente caacutelculo variacional de aglomerados [Thcker 1999] Os resultados na rede de Bethe de coordenaccedilatildeo q indicam a ausecircncia de um ponto tricriacutetico para q lt 5 em conformidade com caacutelculos de grupo de renormalizaccedilatildeo de Migdal-Kadanoff [Quadros e Salinas 1994] No limite de coordenaccedilatildeo infishynita da rede de Bethe recuperam-se os resultados conhecidos da versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) do modelo que apresenta um ponto tricriacutetico Um caacutelculo aproximado de campo efetivo IKaneyoshi 1987] previa um ponto tricriacutetico para q 2 4 mas esse resultado tem sido posto em duacutevida mais recentemente [Bobaacutek e JurCisin 1997 de Lima et alo 2001]
Para analisar os efeitos de desordem consideramos a hamiltoniana
H = -J L (JiSj + L DjS] (22) (iEAjEB) jEB
em que Dj eacute um conjunto de variaacuteveis aleatoacuterias independentes e identicashymente distribuiacutedas associadas agrave distribuiccedilatildeo binaacuteria de probabilidades
p(Dj) = pOacute(Dj ) + (1 - p)Oacute(Dj - D) (23)
Com essa escolha de desordem e para D gt qJ o estado fundamental pode ser mapeado num problema de percolaccedilatildeo no qual a diluiccedilatildeo afeta os siacutetios pertencentes a apenas uma das sub-redes (correspondente aos spins S = 1) Tal associaccedilatildeo eacute facilmente percebida se notarmos que um campo cristalino uniforme D gt qJ leva a Sj = O para todo j quebrando a conectividade
22
-C-
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
entre as variaacuteveis de spin-l2 A presenccedila de uma distribuiccedilatildeo de campos cristalinos D = O localizados aleatoriamente recobra localmente aquela coshynectividade e para valores suficientemente altos de p leva agrave formaccedilatildeo de um aglomerado percolante No caso um tanto artificial de desordem recozida na rede honeycomb haacute uma soluccedilatildeo exata [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] para as propriedades termodinacircmicas do modelo de spins mistos descrito pelas eqs (22) e (23)1 Para o caso fisicamente mais relevante de desordem tempeshyrada haacute caacutelculos aproximados utilizando uma teoria de campo efetivo com correlaccedilotildees [Kaneyoshi 1988] que prevecircem o (esperado) enfraquecimento do
(I comportamento tricriacutetico em virtude da presenccedila de desordem
Nosso objetivo neste capiacutetulo eacute obter as propriedades do modelo desorshydenado a partir de uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls que leva em consideraccedilatildeo as correlaccedilotildees entre vizinhos mais proacuteximos e no caso uniforme correspondente eacute anaacuteloga a um caacutelculo exato na rede de Bethe No intuito de avaliar a confiabilidade da aproximaccedilatildeo estudamos dois limites que permitem um tratamento exato Inicialmente derivamos a soluccedilatildeo do modelo desordenado em uma dimensatildeo Em seguida apresentamos os reshysultados para o diagrama de fases temperatura versus anisotropia segundo a versatildeo de Curie-Weiss (campo meacutedio) com a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Finalmente discutimos a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
Numa cadeia aberta com N + 1 siacutetios (N par) e na ausecircncia de campo externo a hamiltoniana do modelo de Ising de spins mistos pode ser escrita como
lV2 lV2
H = -lI (ajSj + Sjaj+l) + IDjS (24) j=l j=l
Dada uma configuraccedilatildeo de desordem D = Dl DlV 2 efetuamos o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj para escrever
J3HZD = I I eshycr s
1 lV2f
Irr I + 2e-llj cosh[K(aj + aj+l)J (25) cr j=l
1Eacute interessante destacar que a soluccedilatildeo do caso recozido (obtida mantendo a concenshytraccedilatildeo de impurezas independente da temperatura) reproduz a concentraccedilatildeo criacutetica do problema de percolaccedilatildeo associado ao estado fundamental do modelo com desordem temshyperada que eacute equivalente ao problema usual de percolaccedilatildeo de siacutetios na rede triangular
23
1middot
i
22 exata em uma dimensatildeo 2
com K = f3J e lj = f3Dj Introduzindo um prefator Aj
A (1 2e-6j ) [1 2e-6j cosh(2K)] (26)
e uma interaccedilatildeo efetiva Kj tal que
2Kj 1 + 2e-6j cosh(2K) e (27)
1 + 2e-6j
a funccedilatildeo de particcedilatildeo pode ser escrita na forma fatorada
N2
ZD L rr AjeKjUjoj+
u j=l
N2rr 2 [1 2e-6j cosh2 K] (28) j=l
Da eq (28) obtemos a meacutedia teacutermica
acirc In Z 2e-6j cosh2 K (S]D = (29)
acirclj = 1 + 2e-6j cosh2 K
que depende apenas do valor do campo cristalino no j-eacutesimo siacutetio Como conshysideramos um modelo unidimensional com interaccedilotildees entre primeiros vizinhos a campo nulo as meacutedias teacutermicas (Si e (Ji satildeo iguais a zero Efetuando a meacutedia sobre a desordem obtemos o valor esperado
N2
Q = J(S]) D np(Di)dDi = Jp(Dj) (S]) D dDj (210) t=l
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem as suscetibilidades magneacuteticas das sub-redes J e S satildeo dadas por
N
1 2 2+1
Xu D = 11m ( ) (211)kBT N--+oo N + 2 Lt Lt JjJk D j=l k=l
e 1 2 N2 N2
XsD = kBT J~ N LL (SjSk)D (212) j=l k=l
As correlaccedilotildees de dois spins
1 ( J Jk) = -3H (213)J D 7 J Dl Lt Lt JjJk e
u S
24
f~ - shy
Capiacutetulo 2 22 Soluccedilatildeo exata em uma dimensatildeo
e _ 1 -f3H (214)(SjSk)D - 7f Dl D D SjSk e
u S
podem ser calculadas se introduzirmos a transformaccedilatildeo
Tj = OjOj+1 com TO = 01 (215)
Apoacutes algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas temos
k-1 2 sinh2 Kcf (OjOk) D = rr 6 ~ (216) e + 2 cos ~=J
e
sinh2K sinh2K (SjSk) D
e6j + 2 cosh2 K e6k + 2 cosh2 K
k-1 2 sinh2 K x rr y (217)
i=j+1
com j lt k Obtemos entatildeo os valores esperados
N2
9u(lk - jl) = J(OjOk)D rr p(Di)dDi i=1
( (Qtanh2 K)lk- jl (218)
e
J N2
9s(lk - jl) (SjSk) D rr P(Di)dDi i=1
Q (Q tanh2 K) Ik-jl (219)
que dependem apenas da distacircncia entre os siacutetios j e k Representando por [ ]des a meacutedia sobre a desordem os valores esperados das suscetibilidades satildeo dados por
~ 1 1 + Qtanh2 K ~ (220)[xuld~ = k~T [1+ 2 ~gU (rl] kBT 1- Qtanh2 K
e Q 1 + Qtanh2 K
(221)[xld~ = k~T [Q+2~g(rl] kBT 1 - Qtanh2 K
com Q determinado pela eq (210)
25
v
23 Versatildeo de Curie-Weiss 2
23 Versatildeo de Curie-Weiss
Na versatildeo de Curie-Weiss do modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria estudada originalmente por Josueacute Xavier de Carvalho [1996] a hamiltoniana eacute dada por
H = - ~ LoltLSj + L DjS (222) iEA jEB jEB
em que as somas estendem-se sobre todos os siacutetios pertencentes a cada uma das sub-redes
Para uma dada configuraccedilatildeo de desordem Dj calculamos a funccedilatildeo de particcedilatildeo efetuando o traccedilo parcial sobre as variaacuteveis de spin Sj No limite termodinacircmico utilizamos o meacutetodo de Laplace e tomamos meacutedias sobre a desordem para obter o funcional de energia livre
[1 (a) 1[1In 2 a) - 1213 2 (1 + a) In(l 2(1- a) In(l - a)] 2~ Jp(DB ) In [1 + 2e-f3DB cosh(j3Ja)] dDB middot (223)
A partir da minimizaccedilatildeo de w(a) com relaccedilatildeo a a obtemos a magnetizaccedilatildeo da sub-rede A
2 sinh (13 Ja) dD] (224)a = tanh j3J p(DB ) ef3DB + 2cosh(j3Ja) B[ J em que a variaacutevel aleatoacuteria D B satisfaz a distribuiccedilatildeo de probabilidades da eq (23) Podemos agora calcular os diversos valores esperados Temos por exemplo
Q Jp(DB ) (S1) dDB
J D p ( B)
2cosh(j3Ja) IHL ~ I n T dDBmiddot (225)
A linha criacutetica eacute determinada pela condiccedilatildeo
~ lu=o O et = 2(K 1) -lPK
2
1-1pK2 (226)
com 6 j3D e K = j3J A estabilidade termodinacircmica da linha criacutetica depende do sinal da quarta derivada de [1(a) em a = O Sendo assim eacute
26
I
1 gt~
2 23 Versatildeo de Curie-Weiss
1--------___ P
Q terro 05
O~---------------------L--~
2
(~ p~15 ferro-li LP =005 10342lSJi
f 10
P para ~~- Q 1 - --_~ 103340)68 031P 0372
ferro-I05
O ~
o 02 04 06 08
12
terro-II p=004 15
__ para 1
Pclt --~ Q
ferro-I
O
para
L__~~__~~~-L__L--L__~-J__~
O U4 U6 08
2
1 1
P =008 15
1
Q
05
ldeg kBTJ
Figura 21 Diagramas de fases da versatildeo de Curie-Weiss para valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo de desordem p
possiacutevel a existecircncia de um ponto tricriacutetico definido pela condiccedilatildeo adicional
K 2 9p -- 9 186p + 177p28
4 l1 = O = 3 (227) 804 0=0 8p
o ponto tricriacutetico eacute estaacutevel para
86 l1 ~ O p s Pm = 004485 (228)
806 0=0
ou seja o comportamento tricriacutetico eacute suprimido para concentraccedilotildees de deshysordem maiores que aproximadamente 45
Na figura 21 mostramos alguns diagramas de fases no plano D x T para um conjunto de valores tiacutepicos da concentraccedilatildeo p No caso puro (p O) haacute
ti simplesmente um ponto tricriacutetico H separando a linha criacutetica da linha de
transiccedilotildees de primeira ordem Para Olt p s Pm = 004485 o ponto tricriacuteshytico persiste (veja a figo 21 para p 004) No entanto em temperaturas baixas e valores suficientemente grandes de D surge uma fase ferro magneacutetica de baixa densidade (em que Q -+ p quando T -+ O) que denominamos de fase ferro-lI para valores fixos de D o aumento da temperatura induz uma transiccedilatildeo de segunda ordem da fase ferro-lI para a fase paramagneacutetica Essa
27
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
transiccedilatildeo eacute representada por uma linha criacutetica que encontra a linha de prishymeira ordem num ponto criacutetico terminal PCe1 separando a linha de primeira ordem em duas regiotildees distintas (i) em temperaturas mais altas ocorrem transiccedilotildees entre a fase ferromagneacutetica usual (ferro-I) de alta densidade (em que Q -+ 1 quando T -+ O) e a fase paramagneacutetica (ii) em temperaturas mais baixas as transiccedilotildees conectam as fases ferro-I e ferro-lI e a fronteira de primeira ordem termina num ponto criacutetico simples Pcs numa temperatura finita
Para Pm = 004485 lt P lt 359 005084 o ponto tricriacutetico eacute substishytuiacutedo por um ponto criacutetico terminal e um ponto criacutetico simples separados por uma linha de primeira ordem entre as fases ferromagneacuteticas (veja o detalhe na figo 21 para p 005)
Para p 359 a linha criacutetica eacute completamente estaacutevel (veja a figo 21 para p = 008) Entretanto para p S 01 ainda existe uma pequena regiatildeo de temperaturas finitas em que ocorrem transiccedilotildees (de primeira ordem) entre as fases ferromagneacuteticas
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Para estimar os efeitos de correlaccedilotildees ignorados pelos caacutelculos de CurieshyWeiss recorremos agora a uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls Como o modelo eacute definido sobre uma rede bipartite precisamos considerar dois aglomerados distintos de coordenaccedilatildeo q ilustrados na figura 22 Num deles que denominamos de aglomerado A o siacutetio central eacute ocupado por um spin (J 12 conectado a q spiacutens do tipo S = 1 No outro aglomerado que chamamos de B haacute um spin central S = 1 cercado por q variaacuteveis de spin-Ij2 Seguindo a prescriccedilatildeo usual da aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls supomos que os spins perifeacutericos no aglomerado A sofram a accedilatildeo de um campo magneacutetico efetivo hB e de um campo cristalino efetivo D e que s~bre os spins perifeacutericos do aglomerado B atue um campo magneacutetico efetivo hA O campo cristalino sobre o siacutetio central do aglomerado B eacute uma variaacutevel aleatoacuteria D B Consideshyramos tambeacutem campos magneacuteticos externos hA e hBl agindo sobre os siacutetios centrais dos aglomerados A e B respectivamente
As funccedilotildees de particcedilatildeo associadas aos dois aglomerados satildeo dadas por
ZA eYA [1 + 2e-amp cosh(iB K)r+ e-YA [1 2e-amp cosh(iB K)r (229)
e
ZB = [2 cosh(iA))q +e-DB eYB [2 cosh(iA + K))q + [2cosh(iA K)]q) (230)
28
R-middot olt
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
A B
h8 D hA
hA h8 DB
bull spin-I2
O spin-I
~
Figura 22 Aglomerados utilizados na aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls_
com = f3h 6 = f3D e K = f3J Os campos efetivos iA iB e Li satildeo determinados pelas equaccedilotildees de consistecircncia
=[( )] =olnZA=~J (D)olnZB O OJ des ~ p B ~ _ dDB (231)
UA q UA
8 = [(8-)] = ~ olnZA = J (D )olnZB J des ~ - P B ~ dDB (232)
q UB UB
e
Q =[(8)] =_~oln_ZA=_J (D )olnZB dD (233)J des q 06 P B 06B B
em que (- ) e [- middot]des indicam as meacutedias teacutermica e sobre a desordem re~ lt- pectivamente Salientamos que a introduccedilatildeo do campo cristalino efetivo D
eacute essencial para alcanccedilar a consistecircncia entre as equaccedilotildees para os dois agloshymerados
Para analisar o comportamento criacutetico eacute conveniente escolher como vashyriaacuteveis termodinacircmicas independentes a magnetizaccedilatildeo 0 a temperatura T e os campos externos hB e D B Assim o campo externo hA fica escrito como funccedilatildeo dessas variaacuteveis
Na ausecircncia de campos externos (hA = hB = O) temos
1 + [2(q - 1) - q2] Vo + (q - 1)2V02 oAI (234)200 0-=0 1 + (q - 2)Vaacute - (q - 1)2V0
shy com Vaacute = Qo tanh2 K e~middotI
J 2coshq K 2coshK - - D dDB = - (235)Qo = Qlo-=o - p( B) etgtB + 2 coshqK etgt + 2 cosh K
Para calcular a derivada na eq (234) tomamos a derivada impliacutecita das equaccedilotildees de consistecircncia com relaccedilatildeo a 0 impondo a condiccedilatildeo O = Oe elimishynando as derivadas envolvendo 8 Q e os campos efetivos Lembramos ainda
29
-ti
24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls Capiacutetulo 2
que para (J = O temos S = iA 7B = O jaacute que essas variaacuteveis satildeo funccedilotildees iacutempares de (J para hA = hB O Tomando q = 2 a eq (234) reproduz a expressatildeo exata da suscetibilidade da sub-rede A em uma dimensatildeo eq (220) De fato para q 2 natildeo eacute difiacutecil verificar que recuperamos todos os resultados unidimensionais exatos
As transiccedilotildees de segunda ordem a campo nulo (hA = hB O) satisfazem a condiccedilatildeo
8YAI = O (236)8(J 0=0
Eacute faacutecil ver que no caso puro correspondente a p(DB ) = oacute(DB D) a linha criacutetica eacute dada por
Ll In 2 (coshK)q-2 [q(q - 2) cosh2K - (q 1)2J (237)
em concordacircncia com os resultados da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991] e com o caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999]
Utilizando agora a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) obtemos
2 coshq K 2 coshq K Qo=P n oTT+(l-p) _-- (238)
Assim a equaccedilatildeo da linha criacutetica eacute
2 (1 - p) 1J(K)e (239)Ll
1J(K) coshq K
com 1 cosh2K 2coshq K
1J(K) (240)(q - 1)2 cosh2K - 1 p 1 + 2 cosh q K
No limite T -+ O (K -+ (0) temos
qKLl e (q - 1)2 1 e (241)
2q-l 1 - p(q 1)2
que possui uma soluccedilatildeo real para Ll se
1 1 - p(q - I gt O===- p lt Per (242)(q - 1)2
Este uacuteltimo resultado eacute esperado para uma rede de Bethe como podemos ver pelos seguintes argumentos Consideremos uma aacutervore de Cayley cujos siacutetios localizados em camadas alternadas (correspondentes por exemplo a camadas de ordem iacutempar) estejam ocupados com probabilidade p enquanto
30
i
31shy
lt
2 24 U UiLLalaU de Bethe-Peierls
os demais siacutetios estejam sempre ocupados Se q for a coordenaccedilatildeo da aacutershyvore o nuacutemero meacutedio de caminhos entre a raiz Ro e a primeira camada seraacute dado por p(q - 1) enquanto teremos p(q 1)2 caminhos de Ro ateacute a segunda camada Prosseguindo nesse raciociacutenio vemos que o nuacutemero meacutedio de camishynhos entre a raiz e a 2n-eacutesima camada seraacute dado por pn(q l)2n De modo a que exista ao menos um caminho ateacute a superfiacutecie da aacutervore (correspondente a n -7 (0) seraacute necessaacuterio que p(q-1)2 2 1 justamente a condiccedilatildeo expressa pela eq (242) Esse resultado juntamente com a reproduccedilatildeo da soluccedilatildeo unishydimensional exata poderia sugerir que nossa abordagem tambeacutem produzisse resultados exatos na rede de Bethe mesmo na presenccedila de desordem Enshytretanto como apontado em tratamentos semelhantes anteriores [Bell 1975 Young 1976] isso eacute verdadeiro somente na fase paramagneacutetica (e em parshyticular nas linhas criacuteticas) jaacute que somente ali eacute correto supor que todos os siacutetios perifeacutericos sofram a accedilatildeo do mesmo campo efetivo (nulo) A existecircncia de um aglomerado percolante que natildeo levamos em conta aqui impede que nossa aproximaccedilatildeo produza resultados precisos nas fases ordenadas
Consideramos agora a eq (239) no limite de coordenaccedilatildeo infinita (q -7
(Xl e K -7 O com qK K) Temos entatildeo
( K2- 1) - ~pK2 eLl 2 _ (243)
1- ~pK2
( que concorda com a eq (226) para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo Os pontos tricriacuteticos satildeo determinados pela eq (236) suplementada pela
condiccedilatildeo rA IJ3 = O
3Ja 0-=0
o que nos leva agrave equaccedilatildeo
2q2 - 10q + 6 (q 2)(q - 3)2 (244)(q 1)5 tanh2 K + 3qWotanh K (q - 1)3
com Wo dado por
q 2 2cosh K dD
Wo B (245)= Jfp(DB ) (eLlB + 2 coshq K )
Os pontos tricriacuteticos satildeo estaacuteveis se
J5rA I gt O 5Ja 0-=0
31
24 de Bethe-Peierls 2
Para calcular essa uacuteltima derivada tomamos novamente derivadas impliacutecitas das equaccedilotildees de consistecircncia (ateacute quinta ordem) com respeito a (J em (J = O e eliminamos todas as derivadas envolvendo S Q e os campos efetivos Em contraste com as anaacutelises anteriores natildeo fomos capazes de obter expressotildees fechadas para a condiccedilatildeo de estabilidade dos pontos tricriacuteticos mas eacute possiacutevel recorrer a teacutecnicas numeacutericas
Para o modelo puro temos Wo = Q5 Portanto a eq (244) assume a forma
tanh K = 1 (5Q=3 (246)q-lV~
novamente idecircntica ao resultado da rede de Bethe [da Silva e Salinas 1991 e ao caacutelculo variacional de aglomerados [Tucker 1999] Notemos que essa uacuteltima equaccedilatildeo possui soluccedilotildees reais somente se q gt 4561553 Assim a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls natildeo prevecirc um ponto tricriacutetico para a rede quadrada (q 4)
Particularizando para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) temos
1 2 cosh q K ) 2]Wo Q~ [1 + P (1 (247)l-p Qo 1 + 2 coshq K
No limite de coordenaccedilatildeo infinita podemos escrever
1 P 2 - 2) 2]WO = -- 1 + -- 1 - -K (248)-_ [ 1 P ( 3
o que leva agrave equaccedilatildeo
k 2 - 3 [1 + 1 P P (1 - ~k 2 + ~k 4
) 1 2 = O (249)
no ponto tricriacutetico De fato uma das soluccedilotildees dessa equaccedilatildeo corresponde agrave eq (227) vaacutelida para a versatildeo de Curie-Weiss do modelo enquanto a outra soluccedilatildeo representa uma situaccedilatildeo termodinamicamente instaacutevel
Na tabela 21 para vaacuterios valores do nuacutemero de coordenaccedilatildeo q e utilishyzando a distribuiccedilatildeo binaacuteria mostramos os valores correspondentes da conshycentraccedilatildeo Pm na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel e da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Vemos que para q lt 10 o comportamento tricriacuteshytico eacute suprimido em Pm lt Pcn enquanto para q 2 11 essa supressatildeo ocorre em Pm gt Permiddot Como mostrado na tabela 21 o valor de Pm aumenta com q indicando que a desordem eacute mais efetiva para pequenos nuacutemeros de coordeshynaccedilatildeo
32
c
Capiacutetulo 2 24 Aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
Tabela 21 Valores da concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per e da concentraccedilatildeo Prn na qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel como funccedilotildees da coordenaccedilatildeo q segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
q
5 6
10
ltf
11 20
100 00
Per 62500 X 10-2
40000 x 10 2
12346 X 10-2
10000 x 10 2
27701 x 10 3
10203 X 10-4
O
Prn 74161 X 10-4
20454 X 10-3
98265 X 10-3
11665 x 10 2
23001 x 10 2
39707 X 10-2
44850 x 10 2 -
Como os efeitos da desordem binaacuteria dependem fortemente da coordenashyccedilatildeo discutimos agora os diagramas de fases para os casos tiacutepicos
Para q = 3 e 4 natildeo haacute pontos tricriacuteticos O diagrama D x T apresenta apenas uma linha criacutetica completamente estaacutevel O principal efeito da desorshydem eacute tornar a fase paramagneacutetica instaacutevel em T = O independentemente do valor de D para P maior que a concentraccedilatildeo criacutetica de percolaccedilatildeo Per Os diagramas de fases na figura 23 para q = 3 concordam qualitativamente com os resultados exatos na rede honeycomb (tambeacutem de coordenaccedilatildeo tri shypla) com desordem recozida [Gonccedilalves e Gonccedilalves 1991] Em T = O haacute
( ateacute mesmo concordacircncia quantitativa acerca do valor do campo cristalino em Per dado por Der = 5J3 embora eacute cl~ro essa concordacircncia natildeo se estenda ao proacuteprio valor de Per Nossos resultados para q = 3 e q = 4 tambeacutem conshycordam qualitativamente com aqueles obtidos por uma abordagem de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real para o modelo de Blume-Emery-Griffiths bidimensional num campo cristalino aleatoacuteriomiddot [Branco 1999]
Para 5 q 10 a concentraccedilatildeo Prn acima da qual o ponto tricriacutetico torna-se instaacutevel eacute menor que Per Para P lt Prn a desordem reduz a temshyperatura tricriacutetica e encurta a linha de transiccedilotildees de primeira ordem Para Prn lt P lt Per O ponto tricriacutetico eacute substituiacutedo por um ponto criacutetico termishynal Pee e um ponto criacutetico simples Pes como na versatildeo de Curie-Weiss do modelo No entanto a fase paramagneacutetica eacute estaacutevel em T = O se D gt qJf e a linha de primeira ordem atinge D = qJ em T = O Com o aumento de p inicialmente o ponto criacutetico terminal Pee e depois o ponto criacutetico simples Pes atingem o eixo T = O em valores de P que podem ser determinados por uma expansatildeo de baixas temperaturas das equaccedilotildees de consistecircncia (veja o apecircndice B) Na figura 24 apresentamos o diagrama D x T para q = 6 e P = 0011 Para determinar as linhas de primeira ordem mostradas na figura
33
(
2 25 Conclusotildees
2 I
q=3 p = IrL ~lt
~ p= 15 ~ 1
p=oQ
~ para
05 ferro
00 02 06 kBTqJ
Figura 23 Diagramas de fases para coordenaccedilatildeo q = 3 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
resolvemos numericamente as equaccedilotildees de consistecircncia a fim de satisfazer as condiccedilotildees hA (01) = hA (02) = dege
102
hA (O) dO = 0 (250) 01
correspondentes a uma construccedilatildeo de Maxwell Para q ~ 11 temos Prn gt Per de modo que o comportamento do sistema
eacute bastante semelhante agraves previsotildees da versatildeo de Curie-Weiss do modelo
25 Conclusotildees
Neste capiacutetulo realizamos caacutelculos detalhados para os diagramas de fase de um modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleagravetoacuteria segundo uma aproximaccedilatildeo autoconsistente de Bethe-Peierls (que se revela exata em uma dimensatildeo) e comparamos os resultados com aqueles da versatildeo de Curie~ Weiss do modelo (em que se desprezam correlaccedilotildees) Para uma distribuiccedilatildeo binaacuteria de campos cristalinos obtivemos expressotildees fechadas para as linhas criacuteticas e a localizaccedilatildeo dos pontos tricriacuteticos Dependendo da concentraccedilatildeo de desordem p os resultados de campo meacutedio para os diagramas D x T prevecircem linhas de primeira ordem e pontos multicriacuteticos adicionais aleacutem de uma regiatildeo ferromagneacutetica que se estende agraves mais baixas temperaturas para
04
34
l
2 25 Conclusotildees
para
1 p p ce cs
~ ferro-IQ
05 ~
00
ferro-I
02
02 04 06 08 kBT qJ
Figura 24 Diagrama de fases para coordenaccedilatildeo q = 6 e concentraccedilatildeo de desorshydem p = 0011 segundo a aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls
qualquer valor do campo cristalino A aproximaccedilatildeo de Bethe-Peierls mostra que essa regiatildeo ferromagneacutetica eacute suprimida para concentraccedilotildees abaixo de um certo valor limite Aleacutem disso os resultados de Bethe-Peierls apontam para a ausecircncia de comportamento tricriacutetico em redes com coordenaccedilatildeo q
(
~ 4 Todos os resultados aqui apresentados concordam com previsotildees gerais para os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees de primeira ordem e pontos multicriacuteticos (para uma revisatildeo recenteacute veja um trabalho de Cardy [1999])
~
35
t
Capiacutetulo 3
f Cadeia XX quacircntica com interaccedilotildees natildeo-homogecircneas estudo comparativo de desordem e aperiodicidade
Neste capiacutetulo consideramos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedishycas sobre o comportamento da cadeia quacircntica XX em baixas temperaturas Revisamos anaacutelises de grupo de renormalizaccedilatildeo bastante distintas realizadas por Fisher para o caso desordenado e por Hermisson para o caso aperioacutedico e destacamos as previsotildees desses tratamentos para as propriedades das fases presentes nesses sistemas Em seguida apresentamos nossos caacutelculos numeacuteshyricos e procuramos apontar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre os efeitos dos dois tipos de natildeo-homogeneidades
31 Introduccedilatildeo
Em temperaturas relativamente baixas as propriedades magneacuteticas de vaacuterios materiais isolantes satildeo bem descritos pelo modelo de Heisenberg anisotroacutepico ou modelo XYZ definido pelo hamiltoniano
l
Hxyz = L (J~ms~sn + J~mS~S + J~ms~sn) (31) nm
em que as somas percorrem os siacutetios de uma rede e os Ss satildeo operadores de spin 12 que obedecem a regras de comutaccedilatildeo caracteriacutesticas e estatildeo sujeitos a flutuaccedilotildees quacircnticas relacionadas ao princiacutepio de incerteza de Heisenberg
37
d~ ~
31 3
Em uma dimensatildeo o espectro de energia e as autofunccedilotildees do modelo XYZ podem ser obtidos atraveacutes do ansatz de Bethe [1931] e suas generashylizaccedilotildees (para uma revisatildeo abrangente veja Gaudin [1983]) Entretanto o caacutelculo analiacutetico das propriedades termodinacircmicas em temperaturas finitas eacute bastante complexo
Um modelo essencialmente quacircntico e de tratamento bem mais simples eacute o modelo XY antiferromagneacutetico definido (em uma dimensatildeo) pelo hamilshytoniano
Hxy = L (JS~S~+l + JXSX~+l) (32) n
o modelo uniforme (J~ = 1 + Y JX = 1 Y) foi resolvido por Lieb Schultz e Mattis [1961] atraveacutes do mapeamento num sistema de feacutermions livres O modelo apresenta um gap entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados e exibe ordem de longo alcance para qualquer Y =1= O no ponto isotroacutepico (( = O) que define o modelo XX o sistema eacute criacutetico (ou seja o gap se anula) e as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental decaem algebricamente caracterizando uma ordem de quase longo alcance As formas assintoacuteticas dessas correlaccedilotildees satildeo [McCoy 1968]
1 1I(S~S~+r)1 I(SXSX+r) I rv r 1J 1]x = 2 (33)
e para r iacutempar
I(S~S~+r)1 rv r 1 1Jz 1]z = 2 (34)
As propriedades da cadeia XX satildeo qualitativamente semelhantes agravequelas da cadeia XXZ (um modelo XYZ com J~ JX J gt O J~ =J6) no reshygime -1 lt 6 lt 1 Em particular nesse regime o mapeamento da cadeia XXZ num modelo de Luttinger permite o caacutelculo do comportamento assintoacuteshytico das correlaccedilotildees de pares no estado fundamental que exibem decaimento algeacutebrico com expoentes dependentes de 6 [Luther e Peschel 1975]
O modelo XY pode ser identificado a duas cadeias de Ising quacircnticas desacopladas atraveacutes da introduccedilatildeo das matrizes de Pauli [Fisher 1994]
2n (jY 4SY SY (35)(j~n+ ~ = 11 (2S]) 2n+l 2n 2n+l
2 )=1
2n+l
T Y 4SY SY (36)Tn+i 11 (2S]) 2n+ 2n+l 2n+2 j=1
38
t
Capiacutetulo 3 31 Introduccedilatildeo
que permitem expressar o hamiltoniano na forma
Hxy i L (J~nTn_~Tn+~ + 1n+1Tn+~) n
i L (J~n-la~n_a~n+~ + Jfnan+~) (37) n
A funccedilatildeo dos campos transversos nessas cadeias de Ising quacircnticas eacute desemshypenhada pelas interaccedilotildees J~ Esse mapeamento mostra que a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY uniforme que induz a mudanccedila na direccedilatildeo do
( ordenamento magneacutetico quando o paracircmetro Y troca de sinal tem natureza idecircntica agrave transiccedilatildeo induzida pelo campo transverso na cadeia de Ising quacircnshytica1bull
A cadeia XX pode ser mapeada num modelo tight-binding com hopping entre primeiros vizinhos cujas versotildees natildeo-homogecircneas foram extensamente estudadas Para esses modelos existem resultados tanto na presenccedila de deshysordem quanto de aperiodicidade Os efeitos de natildeo-homogeneidades nas integrais de hopping (correspondentes agraves interaccedilotildees entre os spins no modelo XX) satildeo radicalmente distintos dos efeitos de um potencial (correspondente a um campo magneacutetico transverso) natildeo-homogecircneo podendo produzir (e produzindo sempre no caso desordenado) um estado estendido no centro da banda [Eggarter e Riedinger 1978] posiccedilatildeo que corresponde ao niacutevel de Fermi no modelo Xx Isso se reflete numa seacuterie de comportamentos anocircmalos das propriedades das cadeias XX no limite de baixas temperaturas (T -+ O) Em particular a suscetibilidade associada a um campo infinitesimal na direccedilatildeo z passa a divergir em T = O Nesse limite a desordem deve tambeacutem levar o sisshytema a uma fase caracterizada pela existecircncia de pares de spins que embora separados por distacircncias arbitraacuterias encontram-se fortemente acoplados em estados singleto induzindo uma diferenciaccedilatildeo entre comportamento tiacutepico e meacutedio das correlaccedilotildees no estado fundamental [Fisher 1994] fase de
singleto aleatoacuterio eacute estaacutevel com respeito agrave introduccedilatildeo de uma anisotropia uniforme 6 e parece assim governar o comportamento do modelo XXZ no regime _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994] Embora haja tambeacutem previsotildees para as propriedades termodinacircmicas do modelo XX na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas [Luck e Nieuwenhuizen 1986 Hermisson 2000] desconhecemos
t) resultados correspondentes para correlaccedilotildees Um dos nossos objetivos aqui eacute tentar estabelecer ateacute que ponto as fases induzidas por desordem e aperiodishycidade assemelham-se aleacutem de buscar reproduzir numericamente as diversas previsotildees existentes
1 Como a cadeia de Ising quacircntica corresponde ao limite anisotroacutepico extremo do moshydelo de Ising claacutessico em duas dimensotildees essas transiccedilotildees pertencem todas agrave classe de universalidade de Onsager
39
lt1
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
Na seccedilatildeo 32 detalhamos o conhecido mapeamento da cadeia XX num modelo de feacutermions natildeo-interagentes que utilizamos em nossos caacutelculos nushymeacutericos e apresentamos a forma de caacutelculo de diversas grandezas relacioshynadas agrave cadeia XX a partir das propriedades do sistema de feacutermions Na seccedilatildeo 33 revisamos o tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo para o moshydelo XX com interaccedilotildees aleatoacuterias [Fisher 1994] e as previsotildees decorrentes bem como as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio Apresentamos ainda nossos resultados numeacutericos Iniciamos a seccedilatildeo 34 referente agrave cadeia XX com interaccedilotildees aperioacutedicas com uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacutedicas e regras de substituiccedilatildeo Em seguida revisamos o meacutetodo de grupo de renorshymalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para tratar o modelo XY com interaccedilotildees aperioacutedicas apresentando suas previsotildees para a criticalidade e as propriedashydes do sistema em baixas temperaturas Finalizamos a seccedilatildeo apresentando nossos resultados numeacutericos
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Consideremos uma cadeia XX antiferromagneacutetica na presenccedila de um campo transverso sujeita a condiccedilotildees perioacutedicas de contorno e descrita pelo hamilshytoniano
N N
H= L s~ + L Cn (S~S~+l + S~S~+l) (38) n=l n=l
em que Cn 2 O e os operadores de spin satisfazem as regras de comutaccedilatilde02
[Sj SJ = iOacutejkSj (39)
e as regras equivalentes obtidas pela permutaccedilatildeo ciacuteclica dos operadores Utishylizando os operadores de abaixamento e levantamento S e S definidos por
S plusmn - Sx syn (310)n - n t
o hamiltoniano pode ser escrito na forma
H = -h LN
(sts ~) + LN
~eacuten (st S+l + S St+l) (311) n=l n=l
2Fixamos fi == 1
40
i
i-
~ shy
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
Para diagonalizaacute-Ia seguimos Lieb Schultz e Mattis [1961] introduzindo a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner
n-l )s-n exp
( -iirI CCj Cn (312)
)=1
n-l )+ - t tSn - cn exp
( -ir= CjCj (313)
)=1
em que os cs satildeo operadores de feacutermions Desse modo podemos reescrever o hamiltoniano como
N N
H = -hI(c~cn-~) ~ I En (C~Cn+1 + C~+1 Cn ) n=1 n=1
~EN (C~Cl + clcN) (1 eiacute llN) (314)
o termo de fronteira proporcional a EN envolve o operador nuacutemero de feacutershymions
N N
N = I c~Cn = ir I (~ + Sj) 1 + Sotal (315)2 n=l n=l
A forma na eq (314) corresponde a um modelo tight-binding num potenshycial uniforme Notemos que o hamiltoniano em termos dos feacutermions deve i( satisfazer condiccedilotildees de contorno perioacutedicas se N for iacutempar e condiccedilotildees anshytiperioacutedicas se N for par Em virtude da simetria azimutal do modelo XX o operador N comuta com o hamiltoniano portanto os autoestados de H separam-se em setores de N par e N iacutempar3 Apesar de irrelevante para o caacutelculo de grandezas estaacuteticas no limite termodinacircmico (N ---+ (0) o termo de fronteira natildeo pode ser desprezado nos caacutelculos em cadeias finitas
Apoacutes a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo
N
7k I cfJtncn (316) n=1
com ~ N
I cfJtc cfJtj Oacuteij (317) k=l
3No modelo XY anisotroacutepico e em particular no modelo de Ising quacircntico somente a paridade exp(i1fN) eacute um bom nuacutemero quacircntico mas obviamente a conclusatildeo de que os autoestados de H separam-se em setores de paridade definida com respeito a N permanece vaacutelida
41
~
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
escrevemos finalmente o hamiltoniano na forma diagonal
N
H = L A~ ( 7Jkr7k ~) (318) k=l
em que os niacuteveis de energia A~ satildeo autovalores da matriz A plusmn cujos elementos satildeo
Ai(h) = -hOacuteij ~fJ~lOacuteij-l + ~fJOacuteij+l (319)
com as constantes de troca efetivas
C para 1 j N - 1 Cmiddot-plusmn (320)J plusmn~j para j N
sendo o sinal positivo (negativo) correspondente a condiccedilotildees de contorno perioacutedicas (antiperioacutedicas) Os coeficientes CP~n satildeo elementos do autovetor tgt~ de A plusmn correspondente ao autovalor A~ A transformaccedilatildeo (316) conserva o nuacutemero de feacutermions
N N
N LCCj I 7Jk7Jk (321) j=l k=l
Na ausecircncia de campo o problema de autovalores de A plusmn ecirc escrito como
1 plusmn -plusmn 1 plusmn =plusmn Aplusmnplusmn2+kj-lCj~1 + 2+kj+lCj = k +kj (322)
de onde vemos que se um certo A eacute autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = cpj entatildeo A - A eacute tambeacutem autovalor de Aplusmn associado ao autovetor tgt = (-1)jcpj desde que N seja par Nesse caso o espectro de autovalores de A plusmn eacute simeacutetrico em relaccedilatildeo a zero possuindo N 2 niacuteveis de energia positivos e N 2 niacuteveis negativos O estado fundamental do hamiltoniano corresponde agrave ocupaccedilatildeo por feacutermions de todos os niacuteveis de energia negativos contendo assim N 2 feacutermions4 Dessa forma o estado fundamental do modelo ecirc descrito corretamente por um hamiltoniano de feacutermions com condiccedilotildees de contorno antiperioacutedicas se N 2 for par e condiccedilotildees perioacutedicas se N 2 for iacutempar A introduccedilatildeo de um campo simplesmente translada o espectroS deslocando o niacutevel de Fermi da posiccedilatildeo kF = N 2 e fazendo variar o nuacutemero de feacutermions Nesse caso bem como nos caacutelculos em temperaturas finitas que exigem
4Eacute importante lembrar que o espectro de Aplusmn natildeo corresponde ao espectro do hamilshytoniano que ecirc obtido por todas as somas possiacuteveis envolvendo os niacuteveis At adequados a cada estado
5Decorre da estrutura da matriz Aplusmn que At(h) = At(Q) h
42
Capiacutetulo 3 32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres
um conhecimento de todo o espectro do hamiltoniano torna-se dispendioso determinar a condiccedilatildeo de contorno apropriada para os feacutermions o que nos leva a trabalhar entatildeo com cadeias de spins abertas (cN O) Isso possui a vantagem adicional de reduzir a matriz A a uma forma tridiagonal o que acelera substancialmente os caacutelculos numeacutericos Para os caacutelculos de correlaccedilotildees no entanto eacute importante a utilizaccedilatildeo de cadeias fechadas a fim de eliminar os efeitos de fronteira
Utilizando o teorema de Wick podemos demonstrar que as correlaccedilotildees de pares no estado fundamental
[ N
CZZ(r) = ~ lI (SISI+r) j=1
e N
CXX(r) = ~ lI (SjSj+r) j=1
satildeo obtidas de (Sf SI) = i (9ii9jj - 9ij9ji) (323)
e 9ii+ 9ii+2 9ij
1 (324)(Si S])
4 9j-1i+1 gj-lj
i] sendo os gij s dados por
kF N
gij I 4gt4gttj - I 4gt4gttmiddot (325) k=1 k=kF+1
Eacute interessante ainda obter as correlaccedilotildees de corda (string-correlation funcshytions)
N
(326)QZZ(r) =~ lI (SI exp [i7r (SI+ + SI+2 + Sj+r-1)] Sj+r) j=1
p ~ e I
IN O(r) = I~ (Siexp [i1r (Si+1 + Si+2 + SJ+H)] Sr) I (327)
com r iacutempar introduzidas [den Nijs e Rommelse 1989] para medir a ordem topoloacutegica de longo alcance oculta em cadeias de spin inteiro nas quais a
43
~i
32 Mapeamento da cadeia XX num sistema de feacutermions livres Capiacutetulo 3
correlaccedilatildeo de pares anula-se exponencialmente em funccedilatildeo do gap de Halshydane Numa cadeia XX dimerizada (ou seja com interaccedilotildees que se alternam regularmente entre dois valores distintos Jmin e Jmax) que tambeacutem apresenta um gap de excitaccedilotildees as correlaccedilotildees de corda tendem a um valor finito em grandes distacircncias Utilizando a identidade SZ = -i exp (i1fSZ) 2 podemos mostrar que para r iacutempar
1(s (g eiSi+) s~) (2ir- (SJSJ+lSJ+2 SJ+r-ISJ+r)
gjj gjj+l gjj+r(-Ir
(328)4
gj+rj gj+rj+r
e analogamente
r-l ) )~ i7rSJ+n ~ _ r-I x ~ x bullbull ~ ~ ( SJ ( SJ+r - (21) (SJ SJ+ISJ+2 SJ+r-ISJ+r)11 e
gjj+l gjj+3 gjj+r
(329)4
gj+r-lj+l gj+r-lj+r
Para avaliar os efeitos de interaccedilotildees natildeo-homogecircneas eacute uacutetil separar as corshyrelaccedilotildees de corda nas contribuiccedilotildees originadas em siacutetios pares e iacutempares ou seja
OXX(r) = OfX(r) + OX(r)
com
N2
OfX(r) ~ )2 (S~j-l exp [i1f (S~j + S~j+l + S~j+r-2)] S~j+r-l) j=l
(330) e
N2
OX(r) ~ j2 (S~j exp [i1f (S~j+l S~j+2 + + S~j+r-l)] S~j+r) j=l
(331) Procedemos analogamente para OZZ(r) Numa cadeia perfeitamente dimeshyrizada (em que Jmin = O e Jmax 00 com as ligaccedilotildees nulas nas posiccedilotildees pares) obteriacuteamos OfX(r) = 1 e OX(r) = O para todo r iacutempar
44
Imiddot
i)
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
As propriedades termodinacircmicas podem ser obtidas a partir da energia livre dada por6
T T N i = - N In (Tre-3H
) = - N L In [2 cosh (~jJAk) ] (332) k=l
em que os As agora correspondem aos niacuteveis de energia dos feacutermions com condiccedilotildees de contorno livres Temos assim expressotildees para a magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo
t~ _ (ai) 1 N m - - oh T = - 2N Ltanh (~jJAk) (333)
k=l
para a suscetibilidade correspondente
zz 4 N(om)x=- _fJ 21 (334)oh - 4N L sech (2jJAk) T k=l
e para o calor especiacutefico a campo constante
o2 i ) 1 N Ch = -T ( oT2 h = N ~ (~jJAk)2 sech
2 (~jJAk) (335)
~ Eeacute
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
o estudo de versotildees aleatoacuterias de cadeias quacircnticas de spins tomou grande impulso nos uacuteltimos anos em funccedilatildeo do interesse em entender os efeitos de desordem sobre transiccedilotildees quacircnticas [Sachdev 1999] Aleacutem de tratamentos de desordem fraca [Doty e Fisher 1992 McKenzie 1996 Bunder e McKenshyzie 1999 entre outros] existem vaacuterios estudos para desordem forte baseados num meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real proposto por Ma Dasgupta e Hu [1979] para o modelo de Heisenberg isotroacutepic07 (ou modelo XXX) Haacute alguns anos esse meacutetodo foi amplamente generalizado por Daniel Fisher que o aplicou ao modelo de Ising quacircntico [Fisher 1992 1995] e ao
)r modelo XYZ [1994] Entre os resultados marcantes obtidos por Fisher estaacute a confirmaccedilatildeo da existecircncia das fases de Griffiths [1969] no modelo de Ising quacircntico com ligaccedilotildees e campos aleatoacuterios equivalente ao limite anisotroacutepico extremo do modelo de McCoy-Wu [McCoy e Wu 1968] Num universo cresshycente outros desenvolvimentos baseados no meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu
6Fixamos kB == 1 de modo que j3 = IT 7Veja tambeacutem Dasgupta e Ma [1980]
45
ccedil
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
incluem a aplicaccedilatildeo a cadeias aleatoacuterias dimerizadas [Hyman et alo 19961 ao modelo de Heisenberg plusmnJ [Furusaki et alo 1994 Westenberg et alo 1995] e a sistemas de spin maior que 12 [Saguia et alo 2000 Saguia et aI 2001J bem corno a escadas de spins com interaccedilotildees aleatoacuterias [Meacutelin et aI 2002]
V aacuterias das previsotildees de Fisher foram confirmadas por meio de caacutelculos numeacutericos no modelo de Ising quacircntico [Young e Rieger 1996 Young 1997 Fisher e Young 1998] e no modelo XXZ [Haas et alo 1993] Em particular para o modelo XX Henelius e Girvin [1998] estudaram as correlaccedilotildees no estado fundamental utilizando uma distribuiccedilatildeo de probabilidades do tipo caixa dada por
p(Jn ) = J~xB (Jmax - Jn ) B(Jn ) (336)
em que B(x) eacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside novamente obtendo resultados compatiacuteveis com os esperados para urna fase de singleto aleatoacuterio
Nesta seccedilatildeo procuramos verificar a existecircncia da fase de singleto aleatoacuterio em modelos XX com interaccedilotildees escolhidas a partir de diversas distribuiccedilotildees de probabilidade para as quais natildeo eacute evidente a validade do tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher (por razotildees que ficaratildeo claras adiante) Entre essas distribuiccedilotildees estudamos urna distribuiccedilatildeo do tipo caixa
p(Jn ) = (Jmax Jmin)-l B(Jrnax - Jn ) B(Jn J min ) (337)
com Jmin O e distribuiccedilotildees binaacuterias
p( Jn ) = ~8 (Jn Jmin ) + ~8 (Jn - Jrnax ) (338)
Na subseccedilatildeo 331 resumimos as previsotildees de Fisher para as propriedades da fase de singleto aleatoacuterio induzida pela desordem de ligaccedilotildees no modelo XX Na subseccedilatildeo seguinte apresentamos e discutimos nossos resultados numeacutericos para o problema
331 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos um modelo XX antiferromagneacutetico na ausecircncia de campo descrito pelo hamiltoniano
-t
H I Jn (S~S~+1 + S~~+1) I ~Jn (SS+1 + SS+1) (339) n n
em que as interaccedilotildees Jn ~ O satildeo variaacuteveis independentes obtidas da mesma distribuiccedilatildeo de probabilidades p(Jn ) O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu consiste em identificar a ligaccedilatildeo mais forte na cadeia digamos J2 = no e
46
Capitulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
considerar os spins por ela conectados bem como seus primeiros vizinhos O termo relevante do hamiltoniano eacute
Hl - 4 H23 (H12 H34 ) = H23 + H (340)
com
H23 ~no (sts Sst) (341)
e jgt ~ H = ~J1 (SiS slst) ~J3 (StSi + SS) (342)
Tratando H como uma perturbaccedilatildeo a H 23 cujo estado estado fundashymental eacute um singleto eacute possiacutevel mostrar que ateacute segunda ordem em_ J13nO o termo H l - 4 pode ser substituiacutedo por um hamiltoniano efetivo H 14 cujos elementos diagonais na base IW14) ISi) reg ISD satildeo dados por
J1 J3 (W14I S+S -1 W ) (8 Is1 t) (t Istl 8)(W141H141 W 14 ) = 4n 1 4 14 Lt Eo t s - Et
J1 J3 ( _ + (8 Istl t) (t IS-I 8)+ 4n W141 S1 S41 W14) ~ Es _ Et 3 (343)
o
em que 18) denota o singleto fundamental de H 23 e It) os estados excitados A menos de uma constante o hamiltoniano efetivo pode ser escrito como
C ~
H14 ~j (Si Si SISI) (344)
com J1J3j (345)no
desde que J 1 3 ~ no Para uma distribuiccedilatildeo p(J n ) contiacutenua tal que p( J n gt Jmax ) 0 e natildeo muito concentrada em torno de Jmax eacute bastante provaacutevel que a condiccedilatildeo impliacutecita nessa aproximaccedilatildeo perturbativa seja satisfeita Nesse caso o par de spins S2 e S3 bem como as ligaccedilotildees J1 J3 e no podem ser eliminados do problema em baixas energias produzindo uma interaccedilatildeo efetiva deg- j lt J13 entre os spins SI e S4 que assim estaratildeo tambeacutem~r acoplados antiferromagneticamente atraveacutes das excitaccedilotildees virtuais do par S2-S3 conforme se vecirc da eq (343) Essa operaccedilatildeo reduz a escala de energia do sistema e altera a distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas
Obtemos assim para o sistema como um todo o hamiltoniano efetivo total
H H +HI4 (346)
47
(
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
do qual novamente identificamos a ligaccedilatildeo (efetiva) mais forte repetindo o procedimento anterior Em alguma etapa desse processo iterativo a ligashyccedilatildeo efetiva i entre os spins 8 1 e 84 tambeacutem seraacute eliminada produzindo um novo acoplamento efetivo entre dois outros spins separados por uma distacircnshycia arbitraacuteria Como todas as interaccedilotildees efetivas continuaratildeo sendo antifershyromagneacuteticas o estado fundamental de qualquer par de spins efetivamente acoplados num certo passo do processo seraacute um singleto Portanto numa esshycala muito baixa de energia ou seja em baixas temperaturas podemos dizer que o sistema encontra-se numa fase de singleto aleatoacuterio em que cada spin forma um par singleto com um outro spin a uma distacircncia arbitraacuteria Como cada passo do processo diminui a escala de energia do sistema as ligaccedilotildees de singleto mais longas seratildeo tipicamente mais fracas que aquelas mais curtas Eacute importante notar que as ligaccedilotildees entre os pares singletos jamais se cruzam
Quando a escala de energia do sistema eacute reduzida de O para O - dO a variaccedilatildeo da distribuiccedilatildeo de probabilidades das interaccedilotildees efetivas eacute descrita pela equaccedilatildeo
- n ap(J O) 1 (- J1J2 )- ao = P(O O) o dJ1dJ2P(J1 0)P(J2 0)0 J - n (347)
que define os fluxos da renormalizaccedilatildeo Na expressatildeo acima P(J O)dJ reshypresenta a probabilidade da ocorrecircncia de uma interaccedilatildeo com valor entre J e J +dJ quando a maior interaccedilatildeo presente eacute O Como mostrado por Fisher [1994] a expressatildeo
p(io) = 0(0) (i)~(n)-lO O 0(0 - i) (348)
em que Oeacute a funccedilatildeo degrau de Heaviside e 0(0) = lln(OoO) corresponde a uma soluccedilatildeo de ponto fixo (O laquo 0 0 ) da equaccedilatildeo de fluxos A forma de escala acima eacute singular em i = O fornecendo um indiacutecio de que a renormalizaccedilatildeo torna-se assintoticamente exata em baixiacutessimas escalas de energia ou seja quando T -+ o A soluccedilatildeo dada pela eq (348) eacute conhecida como ponto fixo de singleto aleatoacuterio (random-singlet fixed point) Na verdade esse ponto fixo deve governar o comportamento da cadeia XXZ com interaccedilotildees aleatoacuterias para qualquer anisotropia uniforme _12 lt 6 lt 1 [Fisher 1994]
Da forma da distribuiccedilatildeo de ponto fixo p(i O) seguem diversas previsotildees sobre o comportamento do sistema Eacute possiacutevel mostrar que o nuacutemero de spins ativos (ou seja que ainda natildeo foram eliminados pela renormalizaccedilatildeo) numa escala de energia O eacute tal que
1 (349)
no ~ [ln(Oo0)]2
48
middotI
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
de modo que a distacircncia tiacutepica entre spins eacute
1 2Lo rv - rv [ln(non)] (350)
nO
Jaacute que P(J j n) diverge exponencialmente para J -+ 0 podemos consideshyrar que numa certa temperatura (que define a escala de energia n) os spins conectados por ligaccedilotildees J j gt T estaratildeo fortemente conectados sendo portanto pouco afetados pelas flutuaccedilotildees teacutermicasj por outro lado os spins
t~ conectados por ligaccedilotildees J j lt T estaratildeo essencialmente livres Desse modo a suscetibilidade deve se comportar como
L zz nT 1 (351)X rv X rv T rv T[ln(noT)J2
Uma forma de escala idecircntica a essa uacuteltima decorre para Xzz de um argumento de Eggarter e Riedinger [1978J para o modelo tight-binding com hopping aleatoacuterio Mapeando o problema na difusatildeo de uma partiacutecula na presenccedila de um parede refletora e de um sumidouro esses autores obtiveshyram para a densidade de estados (em torno do centro da banda) a forma assintoacutetica
p(E) _1 (In 1Eo 1)-3 (352)rv
lEI E
vaacutelida em princiacutepio para qualquer distribuiccedilatildeo de desordemBbull A equivalecircncia lt com a eq (351) segue da integraccedilatildeo dessa uacuteltima expressatildeo ateacute E rv Tj veja
a eq (3115) De modo semelhante a forma de escala do calor especiacutefico em baixas temperaturas deve ser dada por
1 (353)
Ch rv [ln(noT)]3
Tambeacutem ecirc possiacutevel obter informaccedilotildees sobre o comportamento das correlashyccedilotildees de pares no estado fundamental Devido agrave natureza da fase de singleto aleatoacuterio as correlaccedilotildees meacutedias e as correlaccedilotildees tiacutepicas comportam-se de modo diverso As correlaccedilotildees meacutedias satildeo dominadas pelos (relativamente rashyros) pares singleto fortemente acoplados A probabilidade de que um certo
c par de spins Si e Sj separados por uma distacircncia rij forme um singleto eacute proporcional agrave probabilidade de que ambos estejam ainda ativos na escala de energia nij na qual Loj rv rijo Como a probabilidade de que Si esteja ainda ativo ateacute uma escala de energia n eacute grosso modo independente da probabishylidade equivalente para Sj ateacute que n rv n ij a probabilidade de que ambos
80 mesmo resultado foi obtido posteriormente de forma mais rigorosa por Dhar [1980]
49
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
estejam ativos na escala rlij eacute aproximadamente nt r Estando ambosrv ij
ainda ativos existe uma boa chance de que formem um par singleto Os raros pares singlet09 resultantes fortemente acoplados estabelecem limites inferiores para a forma de escala das correlaccedilotildees e concluiacutemos que
1C(r) (Sj Sj+r) rv r
2 (354)
Eacute interessante notar que essa previsatildeo indica que a desordem induz um decaishymento isotroacutepico das correlaccedilotildees mais raacutepido que no caso homogecircneo mas ainda assim descrito por uma lei de potecircncia
Por outro lado as correlaccedilotildees entre pares de spins tiacutepicos satildeo muito fracas Como a renormalizaccedilatildeo de um certo par de spins gera um acoplamento entre seus primeiros vizinhos muito mais fraco que aqueles previamente existentes como se vecirc da eq (345) e da forma de P( D) a correlaccedilatildeo entre dois spins Si e Sj quaisquer separados por esse par eacute tipicamente inferior agrave correlaccedilatildeo dos pares singleto por um fator da ordem de rlijrlO exp (-yrij) Arv
correlaccedilatildeo tiacutepica que deve ser da ordem dessa escala de energia eacute dada entatildeo por
Ctip(r) exp (InC(r)) rv e-aft (355)
sendo a uma constante10 Segundo Fisher [1994] In Cij r deve convergir em distribuiccedilatildeo para uma distribuiccedilatildeo natildeo-trivial quando rij raquo L
Utilizando o mapeamento definido pelas equaccedilotildees (35) e (36) eacute possiacutevel mostrar que as correlaccedilotildees de corda da cadeia XX relacionam-se agraves correshylaccedilotildees de pares do modelo de Ising quacircntico A partir daiacute e utilizando os resultados obtidos para o modelo de Ising quacircntico aleatoacuterio por Fisher [1992 1995] obtecircm-se as formas de escala
QXX(r) QZZ(r) rv rT- 2 (356)rv
sendo T = (1 + J5)2 a razatildeo aacuteurea (T - 2 ~ -0382) As distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees de corda tiacutepicas reescaladas por yrij tambeacutem devem convergir para uma distribuiccedilatildeo fixa segundo Fisher [1992 1995] Por outro lado no caso uniforme as correlaccedilotildees de corda devem decair de acordo com as formas assintoacuteticas
1 o 1 rvQXx (r) rTJg Tx = 4 (357)
90corre que dos N(N -1)2 pares distintos de spins existentes numa cadeia de tamanho N o nuacutemero de pares singleto estaacute limitado a N 2
10A utilizaccedilatildeo da funccedilatildeo ln(x) na definiccedilatildeo das correlaccedilotildees tiacutepicas tem por objetivo filtrar da meacutedia a influecircncia das correlaccedilotildees dos pares singleto tornando as contribuiccedilotildees de cada par de spins aproximadamente equivalentes
)
i
50
~te
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
200 i 111111 i i IIllli 1 I o
Q JminlJma = O N = 21480
deg0Q
O JmiiJma =14 N=8192
150 O JmiJmax =12 N= 8192
O JmiiJma =34 N=327680
s ~ degOQ7Ecirc2 1000
0 QO
~~ U OUuuml Q bdegUuuml
o~ o -uumlO o(
50 ~-()ltgt-()O-ltgt-O-ltgt-ltgt-ltgt-O uumlD-o o o ~o o
-ltgt-0-ltgt-000 008g uuml-t-tsUuml-Uuml-friacute-friacute-ts~~~ZX~~
10-6 10-4 10deg
T
Figura 31 Suscetibilidade transversa XZZ a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa para vaacuterios valores da razatildeo Jmin Jmax e diferentes tamanhos de cadeia N Em cadagrave caso os resultados correspondem a meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem Note que a ordenada eacute (XZZT) -12 e a abscissa encontrashyse em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (351) O tamanho de cadeia necessaacuterio para reproduzir a forma de escala eacute cada vez maior agrave
medida que a razatildeo Jmin Jmax se aproxima da unidade
e 1
nO -QZZ(r) rv rTg middotz - 2middot (358)
332 Resultados numeacutericos
No intuito de verificar a universalidade da fase de singleto aleatoacuterio na preshysenccedila de interaccedilotildees desordenadas realizamos estudos numeacutericos de cadeias XX com acoplamentos aleatoacuterios independentes escolhidos a partir de distrishybuiccedilotildees do tipo caixa
-J
p(Jn ) = (Jmax - Jmin)-1 e(Jmax - Jn ) e(Jn - Jmin ) (359)
e distribuiccedilotildees binaacuterias
p(Jn ) = ~6 (Jn - Jmin ) + ~6 (Jn - Jmax ) (360)
O meacutetodo de Ma Dasgupta e Hu quando aplicado a essas distribuiccedilotildees tende a produzir um grande nuacutemero de decimaccedilotildees ruins (aquelas em que
51
t
33 aleatoacuterias 3
40 Q
JrolJm=O N=2148aQ
O ltgt J rolJ max =14 N =8192 Q o JrolJm = 112 N=819230
U o JrolJm =34 N= 32768bQ
-qu b u~ Qnn b7~~ 201-- 0 Qb
0Oacute-ltgt(gto Duu Q
ltgtltgtltgt(gt 00 O o (gtltgt(gtltgt(gt~08B
IO~-t6 ~~l~~~~~9QQQQQQCO oO bull
oi r bullbull I I 10- 111111 100~1~1~1~11~l~I----~I~O~~--10-6 2
T
Figura 32 Calor especiacutefico Ch a campo nulo na cadeia XX aberta com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees do tipo caixa Note que a ordenada eacute c~13 e a abscissa encontra-se em escala logariacutetmica Em baixas temperaturas observamos claramente um comportamento em acordo com a forma de escala (353)
a interaccedilatildeo central do bloco a ser eliminado natildeo tem intensidade bastante superior agraves ligaccedilotildees vizinhas) assim natildeo eacute evidente que o comportamento associado corresponda a uma fase de singleto aleatoacuterio
Para cada distribuiccedilatildeo determinamos as propriedades termodinacircmicas as correlaccedilotildees de pares e de corda C(r) e O(r) nas direccedilotildees x e z bem como os histogramas InC(r)Vi e InO(r)Vi A distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O foi estudada por Henelius e Girvin [1998] que obtiveram para as correlaccedilotildees resultados compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher
Consideremos inicialmente as propriedades termodinacircmicas mais especishyficamente a suscetibilidade transversa a campo nulo e o calor especiacutefico em baixas temperaturas Tanto para distribuiccedilotildees do tipo caixa como para disshytribuiccedilotildees binaacuterias fomos capazes de reproduzir as formas de escala (351) e (353) embora seja necessaacuterio considerar cadeias cada vez mais longas agrave medida que a razatildeo J min J max se aproxima da unidade Nas figuras 31 e 32 mostramos nossos resultados para as distribuiccedilotildees do tipo caixa enshyquanto na figura 33 apresentamos comportamentos tiacutepicos para as distribuishyccedilotildees binaacuterias Eacute interessante notar que nesse uacuteltimo caso fixando uma razatildeo JminJmax as formas de escala previstas podem ser recuperadas utilizando tamanhos inferiores agravequeles necessaacuterios para distribuiccedilotildees do tipo caixa Esse
f
(
52
3 33 aleatoacuterias
125 1 li i litllll I i IillI I
Oh 00
S 100 oQI
QUf tl QQ~ 75
00
deg0
o xzz I rruacutenJmax 34
o xzzJrruacutenmax 112 bull ch bull I rruacuteil rrmx 34
bull ch I rruacuteil IM 112 j-
U On b o I CI-oU o
mr onu 00
OUCI-o o 0 00 00~ 25~ OOo8g~ DO o
o _--bullbullbullhat_gg o 10-6 10-4 10-2 10deg
T
Figura 33 Suscetibilidade transversa e calor especiacutefico a campo nulo na cashydeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de distribuiccedilotildees binaacuterias Novamente observamos a concordacircncia do comportamento em baixas temshyperatunis com as previsotildees das formas de escala (351) e (353) Os caacutelculos foram realizados utilizando cadeias abertas de tamanho N = 8192 e meacutedias sobre 1000 realizaccedilotildees de desordem
resultado pode ser compreendido agrave luz do processo de decimaccedilatildeo envolvido no tratamento de grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real o nuacutemero de decishymaccedilotildees ruins no caso de distribuiccedilotildees binaacuterias (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores Jmin ou Jmax ) eacute claramente inferior ao que se verifica no caso de distribuiccedilotildees contiacutenuas (em que as ligaccedilotildees vizinhas possuem valores entre Jmin e Jmax) Uma decimaccedilatildeo ruim indica a necessidade de considerar bloshycos maiores do que pares de spins para que o tratamento perturbativo faccedila sentido em analogia ao que ocorre no caso da cadeia de Heisenberg de spin-1 [Saguia et alo 2002] dessa forma parece plausiacutevel que um maior nuacutemero de decimaccedilotildees ruins exija que se observe o sistema em escalas de comprimento mais longas para que seja recuperado o comportamento assintoacutetico
Para o caacutelculo das correlaccedilotildees adotamos condiccedilotildees de contorno perioacutedishycas a fim de minimizar efeitos de fronteirall Nesse caacutelculo como precisamos dos autovetores associados aos niacuteveis de energia dos feacutermions o que aumenta
IIRestam os efeitos de tamanho finito que se manifestam em cadeias de tamanho N por meio de um miacutenimo nas correlaccedilotildees na distacircncia N 2 correspondente agrave maior sepashyraccedilatildeo possiacutevel entre spins numa cadeia fechada A presenccedila desse miacutenimo invariavelmente perturba o decaimento das correlaccedilotildees e impede que a forma assintoacutetica se revele inequishyvocamente
53
aleatoacuterias33 3
consideravelmente o tempo de computaccedilatildeo estamos limitados a trabalhar com menores tamanhos de cadeia Uma dificuldade que se impotildee eacute inferir o comportamento das correlaccedilotildees numa cadeia infinita a partir de resultashydos para cadeias finitas Para tentar contornar essa dificuldade utilizamos o seguinte meacutetodo definimos tamanhos miacutenimo e maacuteximo para as cadeias Nmin e Nmax e realizamos caacutelculos para nc tamanhos de cadeia igualmente espaccedilados entre esses extremos para cada tamanho obtemos estimativas para as correlaccedilotildees em nr distacircncias com valores entre rmin e r max finalshymente para cada distacircncia extrapolamos os resultados correspondentes aos vaacuterios tamanhos de cadeia utilizando o algoritmo eacutepsilon (veja por exemplo Barber [1983]) Esse meacutetodo produz excelentes resultados quando aplicado a sistemas uniformes como mostram as figuras 34 e 35 Por outro lado o meacutetodo utilizado por Henelius e Girvin [1998] consiste em tomar vaacuterios tamanhos de cadeia efetuando meacutedias para as correlaccedilotildees entre spins sepashyrados pela maior distacircncia possiacutevel e buscar reproduzir o comportamento assintoacutetico pela simples junccedilatildeo dos resultados numa mesma curva Com esse meacutetodo apesar de reproduzir as previsotildees de Fisher para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin O esses autores natildeo obtiveram a mesma concordacircncia para Jmin gt O conjecturando que uma possiacutevel origem para a falha esteja numa convergecircncia lenta para o regime assintoacutetico Nossa expectativa eacute de que com o meacutetodo que utilizamos possamos acelerar essa convergecircncia ao mesmo tempo em que trabalhamos com menores tamanhos de cadeia pershymitindo obter uma melhor estatiacutestica Nossos resultados confirmam essa expectativa embora parcialmente
Quando introduzimos a aleatoriedade o meacutetodo funciona bem para algushymas grandezas desde que utilizemos tamanhos Nmin e N max suficientemente separados e produzamos uma estimativa estatisticamente confiaacutevel das meacuteshydias Por restriccedilotildees de tempo computacional realizamos majoritariamente caacutelculos para N min 64 e N rnax = 256 tomando meacutedias para 104 a 105
realizaccedilotildees de desordem (dependendo do tamanho da cadeia) Estudamos distribuiccedilotildees (tanto binaacuterias quanto do tipo caixa) com J rnin Jrnax 14 e J rnin Jmax 12 As estimativas para os expoentes estatildeo mostradas na tabela 31 Em todos os casos obtivemos expoentes rz e r~ compatiacuteveis com as previsotildees de Fisher Entretanto os expoentes rx e r~ mostram uma maior variaccedilatildeo dependendo inclusive dos tamanhos miacutenimo e maacuteximo da cadeia Eacute possiacutevel que as correlaccedilotildees CXx (r) e oxx (r) apresentem uma convergecircnshycia lenta para o regime assintoacutetic012 em comparaccedilatildeo com czz (r) e OZZ (r)
12Mesmo para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O estudada por Henelius e Girvin atraveacutes de um meacutetodo distinto do que empregamos obtivemos 1Jx = 174(2) e 1J~ 0377(7) utilizando Nmin 128 e Nmax = 512 com meacutedias sobre ateacute 105 realizaccedilotildees
54
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
17
G-GDOO--o-ooa__-o__c--o_ o o C(r) 64-128 Ii 10-21shy
o C(r) 128-256 U o C(r)256-512 o CU(r) 64-128
O-o o CU(r) 128-256 000_0 I o C(r) 256-512110-4
0 00_0
0-00
3 r 10
~t Figura 34 Correlaccedilotildees meacutedias de pares CXX(r) e CZZ(r) na cadeia XX unishyforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Apresenshytamos trecircs conjuntos de tamanhos com cadeias de N min 64 a N max = 128 N min = 128 a Nmax = 256 e N min 256 a Nmax = 512 siacutetios Para cada conjunto utilizamos nc = 5 tamanhos de cadeia calculando as correlaccedilotildees em n r 5 distacircncias entre rmin N min4 e r max = N max2 Nos pontos de intersecccedilatildeo dos conjuntos fica evidente a consistecircncia do meacutetodo Os expoenshytes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos fJx = 12 e fJz = 2 com precisatildeo relativa de 10-3
I ~ ~
55
~v
33 Interaccedilotildees aleatoacuterias Capiacutetulo 3
o-oooO-n-OiJC_ilooiJ Io Oxx(r) 64-1281 i I o Oxx(r) 128-256 atilde
deg0-0 o Oxx(r)256-51210-1 fshy V-oO-uuml-oshy o ou(r) 64-128
o o(r) 128-256 -00-0_ 0 o 256-512
3 r 10
Figura 35 Correlaccedilotildees meacutedias de corda QXX(r) e QZZ(r) na cadeia XX uniforme obtidas segundo o meacutetodo de extrapolaccedilatildeo descrito no texto Os paracircmetros satildeo os mesmos da figura anterior Novamente fica evidenciada a consistecircncia do meacutetodo Os expoentes obtidos a partir de ajustes concordam com os resultados exatos 1]~ = 14 e 1]~ = 12 com precisatildeo relativa de 10-2
Em todo caso observamos claramente uma diferenccedila nos expoentes de deshycaimento das correlaccedilotildees com respeito ao caso uniforme em concordacircncia com as previsotildees [Doty e Fisher 1992] de que um ingrediente infinitesimal de desordem eacute suficiente para afastar o sistema da linha de pontos fixos que governa o comportamento do modelo XXZ puro no regime _12 lt 6 1
Tambeacutem nos histogramas do logaritmo das correlaccedilotildees observamos uma melhor concordacircncia com as previsotildees do grupo de renormalizaccedilatildeo para os caacutelculos envolvendo a componente z dos spins O colapso mais evidente corresponde aos histogramas de In QZz (r) vir especialmente para as distrishybuiccedilotildees binaacuterias como se vecirc nas figuras 36 a 39
Os histogramas das correlaccedilotildees de pares para os tamanhos que estudashymos natildeo exibem um colapso claro e o maacuteximo da distribuiccedilatildeo migra para valores maiores da abscissa com o aumento do tamanho da cadeia No enshytanto como evidenciado nas figuras 310 e 311 a forma da distribuiccedilatildeo permanece aproximadamente constante Como In C(r) estaacute limitado a valoshyres negativos jaacute que C(r) lt 1 esperamos que ocorra realmente o colapso das distribuiccedilotildees para maiores tamanhos de cadeia
de desordem Embora a estimativa para f~ seja compatiacutevel com a previsatildeo f~ ~ 0382 a estimativa para fx ainda difere da previsatildeo fx = 2
56
l r
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
Tabela 31 Estimativas para os expoentes de decaimento das correlaccedilotildees meacutedias na cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias As extrapolaccedilotildees foram realizadas a partir de caacutelculos para nc = 5 tamanhos de cadeia entre Nmin = 64 Nmax = 256 tomando meacutedias sobre 104 a 105 realizaccedilotildees de desordem As previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio satildeo TJx TJz = 2 e TJ~ TJ~ 0382 Os nuacutemeros entre parecircnteses representam o erro no uacuteltimo diacutegito dos ajustes numeacutericos
distribuiccedilatildeo distribuiccedilatildeo fase de do tipo caixa binaacuteria singleto
JminJmax 14 12 lj4 lj2 aleatoacuterio
7]z 204(1) 2067(2) 199(2) 2061(8) 2
7]~ 0381(2) 0395(3) 03717(9) 0374(3) 0382 7]x 100(1) 0755(9) 131(2) 0914(4) 2
7]~ 0303(2) 0266(1) 03269(9) 0291(2) 0382
101FF-----~--r---r--------r---r--------r-~
~ J J 1
Nr- 10degr mm max = 4 shy-t
1Jr-
8 10shy
s ~
10-2
10-3
1
(t ln(d Z )r 12
Figura 36 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com raccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa Jmin Jmax 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
inteshycom
57
33 aleatoacuterias 3
ld~----------------------------
0110 Ishy
l---shy-I -1 gt10
~ - e 10-2
~
10-gt
10-4
J IJ = 12mm max
ln(OZZ)r12
Figura 37 Histogramas de InOZZ(r)vr para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
iS- I t$~ 10-1 I
ltgt c 10-2 = ~
10-3
10-4
10-51 -50 -40 -30 -20 -10 00
ln(011)r12
Figura 38 Histogramas de In OZz (r) vr para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = Ij4 e diferentes tamanhos de cadeia N
10IeacuteE------------------r------------------r---------
100~ JminJmax = 14
---shy N=64 I N= 1281 - N=256
I r I j
58
-----
(~
Capiacutetulo 3 33 Interaccedilotildees aleatoacuterias
101otilde------------------r------------------
01 J II =12lO=- mm max
~ - -1 gt--10
~ -- A
f1 -2 CIO o
t 10-3
10-4
~ li ~
4~
~( 10-51 I I I I I I
-3) -25 -20 -15 -10 -05 00
ln(dz)rI2
Figura 39 Histogramas de In ozz (r) JT para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 12 e diferentes tamanhos de cadeia N
r 10IFE---------r--------~----_----r-----_--_---------
J IJ =114 mm max
S----- lO o
t lO-I -- s (
10-2
fi
f
10-3 iacute J
-4~
~ ~
l1
10_50 -40middotmiddot -30 -20 -10 00( ln(c)t2
Figura 310 Histogramas de In CZz (r) JT para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = 14 e diferentes tamanhos de cadeia N
59
o
33 aleatoacuterias 3
J J = 14rmn max
10-2
10-3
Figura 311 Histogramas de In GXX(r)Vi para a cadeia XX com inteshyraccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax = Ij2 e diferentes tamanhos de cadeia N
I
i Imiddot
o~ I
Figura 312 Graacutefico de Ox contra Ofx para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin Jmax
14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram 2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1
com n entre 2 e 7
ll ltlshya
J J == 14rrun max
N=256
lO 10-4
~
10-2 10deg
60
( shy
3 33 t-rIriltgtQ aleatoacuterias
Q$I~oafIIO
J IJ =14nun max
N=256
10-8
laquo
OI
Figura 313 Graacutefico de o~a contra Ora para a cadeia XX com interaccedilotildees aleatoacuterias obtidas a partir de uma distribuiccedilatildeo binaacuteria com Jmin Jmax = 14 Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram
2ncalculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a r 1 com n entre 2 e 7
Uma outra evidecircncia de que todos os tipos de desordem que estudamos levam o sistema agrave fase de singleto aleatoacuterio ecirc fornecida pelo comportamento
( das componentes aja e oa de oaa(r) definidas pelas eqs (330) e (331) Como as ligaccedilotildees entre pares singleto nunca se cruzam na fase de singleto aleatoacuterio as componentes aja e oa numa dada cadeia apresentam uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo se aja ecirc de ordem 1 oa eacute necessariamente peshyquena13 Esse efeito constatado no estudo de Henelius e Girvin [1998] para a distribuiccedilatildeo do tipo caixa com Jmin = O eacute tambeacutem observado nas distrishybuiccedilotildees que estudamos conforme mostram as figuras 312 e 313 Como ecirc esperado na ausecircncia de dimerizaccedilatildeo os graacuteficos correspondentes satildeo simeacuteshytricos em relaccedilatildeo ao eixo aia = oa Eacute interessante notar que a separaccedilatildeo entre as escalas de aia e Ox ecirc mais acentuada no caso da distribuiccedilatildeo binaacuteria (figura 313)
r-shy Em resumo acreditamos que nossos resultados constituem evidecircncias em shyfavor da universalidade da fase de singleto aleatoacuterio em cadeias XX com interaccedilotildees desordenadas Na proacutexima seccedilatildeo consideramos cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas
13Essa anticorrelaccedilatildeo tambeacutem se verifica embora em grau atenuado quando as demais correlaccedilotildees satildeo separadas em componentes iniciadas em siacutetios pares e iacutempares
61
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
o interesse no estudo de sistemas aperioacutedicos foi amplificado pela descoshyberta dos quase-cristais [Schechtman et alo 1984] Desde entatildeo um nuacutemero consideraacutevel de trabalhos cientiacuteficos foi dedicado ao estudo do efeito de apeshyriodicidade sobre modelos teoacutericos Uma caracteriacutestica comum a todos esses estudos eacute o interesse em compreender os efeitos combinados das caracteriacutesshyticas geomeacutetricas inerentes agrave aperiodicidade e das propriedades fiacutesicas dos vaacuterios sistemas No caso de modelos magneacuteticos Luck [1993a] formulou um criteacuterio heuriacutestico semelhante ao famoso criteacuterio de Harris [1974] para avashyliar os efeitos de flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas por aperiodicidade sobre o comportamento criacutetico Desde entatildeo esse criteacuterio tem sido verificado para um grande nuacutemero de casos a comeccedilar pelo modelo de Ising quacircntico [Luck 1993b Hermisson et alo 1997]
Versotildees aperioacutedicas do modelo XY foram tambeacutem bastante estudadas especialmente em conexatildeo com propriedades de localizaccedilatildeo nos modelos tightshybinding correspondentes veja por exemplo Satija [1994] e referecircncias ali contidas As propriedades espectrais e termodinacircmicas da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia aperioacutedica de Fibonacci foram estudadas por Luck e Nieuwenhuizen [1986] atraveacutes de um meacutetodo particular de grupo de renormalizaccedilatildeo Recentemente Hermisson [2000J generalizou um outro meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo introduzido para estudar o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Hermisson et alo 1997] e chegou a uma seacuterie de previsotildees para as mesmas propriedades na presenccedila de interaccedilotildees aperioacutedicas gerais em cadeias XY nas vizinhanccedilas da criticalidade Uma linha de invesshytigaccedilatildeo relacionada consiste em identificar as semelhanccedilas entre os efeitos de interaccedilotildees aperioacutedicas e aleatoacuterias Dentre as previsotildees de Hermisson [2000] estaacute a de que nos casos em que a aperiodicidade altera o comportamento da cadeia XV ambos os tipos de natildeo-homogeneidade produzem efeitos similares sobre as propriedades termodinacircmicas no ponto criacutetico
Nosso objetivo nesta seccedilatildeo eacute duplo Atraveacutes de caacutelculos numeacutericos preshytendemos verificar as previsotildees de Hermisson para as propriedades espectrais e termodinacircmicas de cadeias XX com interaccedilotildees aperioacutedicas Buscamos tamshybeacutem observar os efeitos de aperiodicidade sobre as correlaccedilotildees entre spins no estado fundamental e identificar ateacute que ponto a fase induzida em T = O por aperiodicidade relevante assemelha-se agrave fase de singleto aleatoacuterio produzida no modelo XX pela introduccedilatildeo de interaccedilotildees desordenadas
Na subseccedilatildeo 341 apresentamos uma discussatildeo sobre sequumlecircncias aperioacuteshydicas sua caracterizaccedilatildeo e algumas de suas propriedades Tambeacutem introshyduzimos as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizaremos em nossos caacutelculos Em seguida na subseccedilatildeo 342 revisamos o meacutetodo de grupo de renormalizaccedilatildeo
62
~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
de Hermisson e suas previsotildees Finalmente na subseccedilatildeo seguinte expomos e discutimos nossos resultados numeacutericos
341 Sequumlecircncias aperioacutedicas
Uma sequumlecircncia aperioacutedica eacute gerada por uma regra de substituiccedilatildeo p atuando sobre um alfabeto A aI a2 an de n letras e atribuindo a cada uma delas uma determinada palavra Wi Explicitamente
p ai -)- Wi (361)
sendo a palavra Wi uma cadeia finita de letras Como exemplo consideremos a famosa sequumlecircncia de Fibonacci gerada pela regra
fb aI = a -)- W a ab p (362)a2 = b -)- Wb = a
cuja iteraccedilatildeo produz
a -)- ab -)- aba -)- abaab -)- abaababa -)- (363)
Assim como a sequumlecircncia de Fibonacci todas as sequencias aperioacutedicas de que trataremos aqui seratildeo binaacuterias ou seja definidas sobre um alfabeto de duas letras
V aacuterias propriedades estatiacutesticas de uma sequumlecircncia aperioacutedica estatildeo contishyt~ das na sua matriz de substituiccedilatildeo M definida para uma sequumlecircncia binaacuteria por
M = ( a (wa) a (Wb) ) (364)b (wa ) b (Wb)
em que a (wfl) denota o nuacutemero de letras a na palavra wfl (a (3 E a b) Para a sequumlecircncia de Fibonacci temos
Mfb=(ll) (365)10
Eacute faacutecil ver que partindo de uma uacutenica letra a correspondente a um vetor f (1 O)t sua multiplicaccedilatildeo repetida por M fornece um vetor cujas componentes
satildeo respectivamente os nuacutemeros N~a) e N~b) de letras a e b na sequumlecircncia produzida apoacutes n iteraccedilotildees da regra de substituiccedilatildeo
O maior autovalor da matriz de substituiccedilatildeo Agrave+ governa assintoticashymente a forma como o comprimento Nn da sequumlecircncia varia com o nuacutemero n de iteraccedilotildees ou seja
Nn fV Agrave~ (366)
63
34 3
As componentes de seu autovetor correspondente v+ fornecem diretamente a frequumlecircncia Pab de letras a b na sequumlecircncia infinita O outro autovalor de M Agrave_ estaacute associado agraves flutuaccedilotildees geomeacutetricas geradas pela aperiodicidade Definindo a flutuaccedilatildeo gn do nuacutemero de letras a apoacutes n iteraccedilotildees com relaccedilatildeo ao valor esperado a partir da sequumlecircncia infinita
N (a) 7H gn n - PalVn (367)
eacute possiacutevel mostrar que14
Ignl IAgrave_ln = N W (368)rv n Imiddot dando origem agrave definiccedilatildeo do expoente de flutuaccedilatildeo geomeacutetrica w da sequumlecircncia aperioacutedica
In IAgrave-I w (369)
InAgrave+
O teorema de Perron-Frobenius garante que se os elementos de alguma potecircncia de M forem estritamente positivos (o que geralmente ocorre em sequumlecircncias aperioacutedicas) os autovalores de M seratildeo tais que Agrave+ gt 1 e Agrave+ gtIAgrave-I Como consequumlecircncia o expoente de flutuaccedilatildeo eacute sempre menor que um Se IAgrave-I lt 1 as flutuaccedilotildees geomeacutetricas satildeo eliminadas ao longo das iteraccedilotildees e w lt O nesse caso dizemos que a sequumlecircncia possui flutuaccedilotildees limitadas Se IAgrave-I gt 1 resultando em w gt 0 as flutuaccedilotildees tornam-se ilimitadas agrave medida que cresce o comprimento da sequumlecircncia Q caso IAgrave-I = 1 que leva a w 0 eacute marginal o caraacuteter das flutuaccedilotildees depende da ordem das letras na regra de substituiccedilatildeo
A generalizaccedilatildeo das definiccedilotildees da matriz de substituiccedilatildeo e do expoente de flutuaccedilatildeo para regras de substituiccedilatildeo envolvendo mais de duas letras eacute natural e natildeo apresenta dificuldades Os papeacuteis de Agrave+ e Agrave_ passam a ser desempenhados pelos maiores autovalores (em moacutedulo) da matriz de substishytuiccedilatildeo
O criteacuterio heuriacutestico de Luck avalia os efeitos da presenccedila de acoplamentos aperioacutedicos caracterizados por um expoente de flutuaccedilatildeo w sobre o comporshytamento criacutetico de um sistema fiacutesico [Luck 1993a] Sendo 1 o expoente do comprimento de correlaccedilatildeo do sistema uniforme e d o nuacutemero de dimensotildees ao longo das quais a aperiodicidade estaacute presente o criteacuterio prevecirc que a apeshyriodicidade seraacute relevante (ou seja o comportamento criacutetico seraacute modificado)
14Como Nagravea)+Nagravelraquo = N n e Pa +PIgt = 1 a flutuaccedilatildeo correspondente no nuacutemero de letras b eacute simplesmente -gn
64
C~
Capiacutetulo 3 34
se o expoente w exceder um certo valor criacutetico15
1 Wc = 1- dv (370)
Eacute importante ter em mente que o expoente de flutuaccedilatildeo envolvido no criteacuterio eacute determinado natildeo apenas pela sequumlecircncia aperioacutedica mas pela forma segundo a qual com base na sequumlecircncia a aperiodicidade eacute implementada no sistema Isso fica claro por exemplo no estudo de Haddad Pinho e Salinas [2000J para
-e o modelo de Potts aperioacutedico em redes hieraacuterquicas Outros fatores mais sutis podem tambeacutem influir na definiccedilatildeo apropriada de w como veremos adiante para o modelo XY Em outras palavras natildeo existe uma relaccedilatildeo riacutegida entre flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas de uma sequumlecircncia aperioacutedica e a relevacircncia dessa aperiodicidade para o comportamento criacutetico de um sistema fiacutesico
Apresentamos a seguir as sequumlecircncias aperioacutedicas nas quais nos concentrashyremos neste trabalho
bull A sequumlecircncia de Fibonacci definida anteriormente eacute provavelmente a mais conhecida sequumlecircncia aperioacutedica O comprimento da sequumlecircncia agrave medida que a regra eacute iterada corresponde aos nuacutemeros de Fibonacci I 2 3 5 81321 Os autovalores de Mfb satildeo Agrave~ T e Agrave~
l sendo T = (1 + vIacute5) 2 a razatildeo aacuteurea Segue da eq (369) que
wfb de modo que a sequumlecircncia de Fibonacci eacute caracterizada por flutuaccedilotildees geomeacutetricas limitadas
bull A sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute definida pela regra de substituiccedilatildeo 1
p a --t W a = aab pr (371)
b --t Wb a
e pela matriz de substituiccedilatildeo
Mrp = (2 1) (372)1 O
rpOs autovalores de Mrp satildeo Agravef = 1 V2 levando tambeacutem a w 1
15Eacute interessante notar que no caso de acoplamentos aleatoacuterios caracterizados por w = 12 em funccedilatildeo da lei dos grandes nuacutemeros e levando em conta a relaccedilatildeo de hiperescala dv = 2 - 0 o criteacuterio de Luck reproduz o ceacutelebre criteacuterio de Harris para a relevacircncia de desordem [Harris 1974]
65
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
bull A sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t wa ab (373)lP aab -t WIJ
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mdp (374)(i ~) dp
lt bull
com autovalores Agrave~ 2 e Agrave~ = -1 Temos assim w O corresponshydendo a flutuaccedilotildees geomeacutetricas marginais
bull A sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo eacute definida pela regra
a -t W a abb ptp
(375)b -t WIJ = aaa
cuja matriz de substituiccedilatildeo eacute
Mtp ( ~) (376)
com autovalores Agrave~ = 3 e Agrave~ = Portanto w tp log3 2 ~ 0631 caracterizando flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas
bull Finalmente a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro que envolve quatro letras eacute definida por
a -t W a ac
rs b -t WIJ = dc p (377)
c -t W c = ab d -t Wd = db
Para obtermos uma sequumlecircncia binaacuteria aplicamos prB aos pares ac dc ab e db e identificamos c =a e d b para escrever a regra de substituiccedilatildeo
aa --gt w = aaab ab -t WaIJ aaba
(378)p~s ba -t WIJa bbab
bb -t WIJb = bbba
e a matriz
101 OC1 O O J (379)M~s = O 1 O 1
O O 1 1
66
c
12
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
cujos dois maiores autovalores satildeo Agraveiacutes 2 e Agrave2s = 2 Essa sequumlecircncia de Rudin-Shapiro reduzida assim como a sequumlecircncia original induz flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas caracterizadas pelo expoente de flushytuaccedilatildeo wfS 12 idecircntico ao expoente de flutuaccedilatildeo de acoplamentos aleatoacuterios
Na proacutexima subseccedilatildeo apresentamos o tratamento de grupo de renormashylizaccedilatildeo utilizado por Hermisson para o estudo do comportamento criacutetico do modelo XY
ccedil
342 O grupo de renormalizaccedilatildeo no espaccedilo real
Consideremos o modelo XY descrito pelo hamiltoniano
N
H L (JiSiSJ+l + JJSJSJ+l) (380) j=l
As interaccedilotildees Ji e JJ satildeo escolhidas respectivamente a partir de dois conshyjuntos de valores J e J~ em que as letras aj satisfazem uma sequumlecircncia
J J
aperioacutedica O mecirctodo de grupo de renormalizaccedilatildeo utilizado por Hermisson consiste inicialmente em aplicar a transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner [Lieb et aI 1961] para obter as equaccedilotildees acopladas
Aklj(k) JX (k) Jy(k) (381)j-lfj-l + jfj+lJ
11J nlCk) JXnl(k)AkcJ)k) (382)-l fj-l + j fj+ll
em que Ak satildeo os niacuteveis de energia dos feacutermions Definindo
(k) (k) (k) (k) lJ2j f2j lJ2j-l lj2j-ll (383) ~(k) nl(k) ~(k) _ (k)
lJ2j f2j lJ2j-l - cJ2j-ll (384)
as equaccedilotildees (381) e (382) desacoplam-se tornando-se equivalentes agravequelas obtidas de dois hamiltonianos tight-binding independentes
~~ Nf2~r~
Hl L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j 1) (2jl) + hc (385) j=l
e Nf2
H2 = L (J~j 12j) (2j 11 + J~j_112j -1) (2jl) + hc (386) j=l
67
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
em que hc denota o hermitiano conjugado do termo anterior16 Os hamilshytonianos estatildeo relacionados pelo intercacircmbio dos roacutetulos x e y de modo que a anaacutelise pode se restringir sem perda de generalidade a Hl
Em seguida com a definiccedilatildeo das matrizes de espalhamento Sjlj+1 dadas tmiddotpor
AJij_l -JijJij-l ) (387)Sjlj+l ( -JijJij+l AJij +1
as equaccedilotildees (381) e (382) satildeo reescritas na forma17
r2j-l ) r2 ) (388)( Sjlj+1 ( r2j~1 r2j+2
Com um pouco de aacutelgebra eacute possiacutevel mostrar que essas equaccedilotildees levam agrave forma iterada
( r2j-l ) = SI ( T2j ) (389)
r21 J 1 r21-1
para j lt l desde que as matrizes Sjll transformem-se como
Sjll Sjlj+1 Sj+llj+2 SI-lll (390)
com o produto definido pela expressatildeo
aI b1 ) (a2 b2 ) (alO) 1 ( bl cla2 )( Cl dI C2 d2 O d2 + 1 d1a2 CIC2 d
bl
1
b2
b2
C2 bull
(391) A transformaccedilatildeo de renormalizaccedilatildeo consiste em desinfiar a sequencia
aperioacutedica de ligaccedilotildees atraveacutes de produtos dos blocos apropriados de mashytrizes S Para tanto como a matriz Sjij+1 depende de trecircs ligaccedilotildees conseshycutivas eacute preciso modificar a regra original de substituiccedilatildeo para considerar substituiccedilotildees de pares de letras18 Ou seja no caso de sequumlecircncias binaacuterias a partir de uma regra original
p a -+ wa (392)
160 mesmo resultado decorre da aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo de Jordan-Wigner a cada um dos modelos de Ising quacircnticos desacoplados da eq (37)
l7Suprimimos os iacutendices (k) para simplificar a notaccedilatildeo l8Que natildeo seja necessaacuterio considerar uma regra para triplas de ligaccedilotildees eacute consequumlecircncia
do fato de que as matrizes SjlHl e Sj+1 Ij+2 cujo produto fornece a matriz SjIH2 possuem uma ligaccedilatildeo em comum reduzindo a dois o nuacutemero de ligaccedilotildees independentes em cada matriz S
68
uacute
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
19com a E a b define-se uma nova regra
P2 (aj3) ~ w a(3 w a w(3
com uma matriz de substituiccedilatildeo
aa (Waa ) aa (Wab) aa (Wba) aa (Wbb) ) M - ab (Waa ) ab (Wab) ab (Wba) ab (Wbb) (393)
2 - ba (W aa ) ba (Wab) ba (Wba) ba (Wbb) ( -q bb (W aa ) bb (Wab) bb (Wba) bb (Wbb)
Denotando por Vi os autovetores de M2 e por Agravei seus autovalores os elemenshytos Pa(3 do autovetor VI correspondente ao maior autovalor Agravel fornecem as frequumlecircncias dos pares de letras na sequumlecircncia infinita Eacute importante notar que a nova regra P2 envolve pares de letras que natildeo se sobrepotildeem Assim caso algum dos possiacuteveis pares de letras natildeo ocorra na sequumlecircncia infinita a ordem da matriz M 2 deve ser reduzida Por exemplo na sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra
a ~ ab pdP (394)
b~ aa
a regra dos pares eacute dp aa ~ (ab) (ab) (395)
i~ P2 ab ~ (ab) (aa)
jaacute que as combinaccedilotildees ba e bb natildeo ocorrem Dessa forma a matriz M~P fica reduzida a
M~P = (O 1) (396)2 1
Modificando a regra de substituiccedilatildeo original para satisfazer as condiccedilotildees
a ~ W a = aWab ~ Wb = bw~
o que sempre pode ser feito sem alterar a sequumlecircncia infinita (por exemplo substituindo a regra por seu quadrado ou aplicando operaccedilotildees de inversatildeoraquo global das palavras) Hermisson foi capaz de estabelecer relaccedilotildees de recorshyrecircncia consistentes para as matrizes S Na maioria dos casos essa~relaccedilotildees de recorrecircncia envolvem a obtenccedilatildeo de uma matriz renormalizada Sa(3Y para
19Existem sequumlecircncias aperioacutedicas para as quais uma regra de substituiccedilatildeo de pares natildeo pode ser formulada No entanto eacute possiacutevel trataacute-las utilizando um conjunto de subsequumlecircnshycias de comprimento miacutenimo [Hermisson 2000]
69
t
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
cada par de letras (0(3) da sequumlecircncia por meio do produto das matrizes S correspondentes aos pares de letras na palavra wafJ para detalhes veja Hershymisson [2000] No centro da banda (A O) onde ocorre o comportamento criacutetico do modelo XY a equaccedilatildeo de fluxos da renormalizaccedilatildeo eacute dada por
li = M~p (397)
em que as componentes dos acoplamentos reduzidos p satildeo
p J1afJ In (398) C
fJ
A partir de combinaccedilotildees lineares dos J1afJ podemos definir o paracircmetro
JXJY-I a ar (399)= n JXJY b b
que mede a intensidade da aperiodicidade isotroacutepica e os paracircmetros assoshyciados agrave aperiodicidade anisotroacutepica
JX a Jb
~a eIn J ~b =ln Jr (3100)
o ponto fixo de Onsager corresponde agrave soluccedilatildeo trivial p O Fica claro que os acoplamentos reduzidos representam os desvios locais em relaccedilatildeo agrave criticashylidade Os campos de escala Ui e os autovalores do grupo de renormalizaccedilatildeo Yi decorrem dos autovalores e autovetores de M 2
In Ixil Ui = p Vi (3101)Yi = In xl
Na ausecircncia de aperiodicidade o anulamento do campo de escala princishypal UI) associado ao autovalor do grupo de renormalizaccedilatildeo YI 1 controla a criticalidade do modelo A condiccedilatildeo criacutetica eacute
UI = LPCafJ)J1afJ = [lnJ~j]med [lnJj-l]med O (3102) (afJ)
em que [ Jmed denota a meacutedia sobre todas as ligaccedilotildees (pares num caso iacutempares no outro) A anaacutelise do hamiltoniano H 2 leva a uma condiccedilatildeo de criticalidade anaacuteloga20 expressa por
[lnJj]med - [lnJ~j-I]med O (3103)
20Como o comportamento criacutetico do modelo XY estaacute relacionado agrave existecircncia de niacuteveis de energia A -t 0 basta que uma das condiccedilotildees seja satisfeita para que se estabeleccedila a criticalidade
70
(gt
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
Combinando as duas expressotildees anteriores obtemos a condiccedilatildeo geral de crishyticalidade para o modelo XY dada por
b min lbA brl IbA - brl = O (3104)
com bA [lnJjJrned - [lnJJ]rned (3105)
e
) br [In (J~jJij)Jmed [In (J~j-lJKj-l)Jrned (3106)
Da equaccedilatildeo (37) vemos que a condiccedilatildeo bA = O eacute equivalente agrave famosa condiccedilatildeo de criticalidade do modelo de Ising quacircntico
[In Jj]rned - [In hj]rned = O (3107)
obtida originalmente por Pfeuty [1979J Por outro lado para o modelo XX (em que Jj JI Jj) a eq (3106) deixa claro que a dimerizaccedilatildeo elimina a criticalidade do modelo ao provocar a abertura de um gap de excitaccedilotildees
Na presenccedila de aperiodicidade surgem contribuiccedilotildees natildeo-nulas na direshyccedilatildeo dos demais campos de escala Entretanto para sequumlecircncias binaacuterias em que apenas trecircs razotildees entre as interaccedilotildees podem ser definidas (por exemplo Jt J J J e J J) os quatro campos de escala natildeo satildeo todos indepenshydentes e alguns deles podem se anular juntamente com UI Sendo assim
eacute preciso definir apropriadamente o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de acoplamentos reduzidos Esse expoente que denotamos por wjt relacionashyse a Agrave2 o segundo maior autovalor (em moacutedulo) da matriz M2 desde que o campo de escala associado U2 natildeo se anule para uma escolha geneacuterica de acoplamentos criacuteticos21 bull Explicitamente
In IAgrave21 wjt = Y2 = In AgraveI
Lmiddot
Note que se U2 eacute natildeo-nulo quando UI = O wjt eacute o expoente de flutuaccedilatildeo associado agrave sequumlecircncia de pares definida pela regra de substituiccedilatildeo P2 O campo de escala U2 (natildeo-nulo) seraacute relevante desde que IAgrave21 gt 1 o que
tj corresponde a wjt gt O Como a transiccedilatildeo de anisotropia do modelo XY em d 1 eacute caracterizada por v = 1 jaacute que pertence agrave classe de universalidade de Onsager o criteacuterio de Luck eacute satisfeito desde que as flutuaccedilotildees da sequumlecircncia sejam medidas com relaccedilatildeo aos acoplamentos reduzidos Vamos ver que em
21 Essa condiccedilatildeo sobre U2 eacute importante e pode levar a que urna sequumlecircncia aperioacutedica reshylevante para o comportamento criacutetico de um modelo XY anisotroacutepico revele-se irrelevante para o modelo XX corno veremos na proacutexima subseccedilatildeo
71
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
geral wJ difere de w o expoente de flutuaccedilatildeo da sequumlecircncia de interaccedilotildees original
A anaacutelise de Hermisson para o escalamento criacutetico do espectro de feacutermions leva nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal agrave forma
A 6z Oacute -r O (3108)
vaacutelida nas vizinhanccedilas da criticalidade O expoente z dado por
In (AgraveM+AgraveM -)Z = --------- (3109)
21nAgrave+
relaciona-se ao maior autovalor Agrave+ da matriz de substituiccedilatildeo da sequumlecircncia original bem como aos maiores autovalores AgraveMplusmn das matrizes Mplusmn definidas por
Iwpl2 k
Mf3a(3 = exp(=f2Pa(3) Oacute (2k-1) (2) f3IIIexp (plusmn2P (Zl-1) (2t)) ~ wp wp a Wp Wp
kl [=1
(3110) em que IWa (31 denota o nuacutemero de letras da palavra wa f3 w~6 denota a kshyecircsima letra da palavra wa (3 e Oacute indica um delta de Kronecker Nos casos de aperiodicidade irrelevante eacute possiacutevel mostrar que z 1 Os casos marginais (wJ O) levam a 1 lt z lt 00 com o expoente variando continuamente com a razatildeo entre as interaccedilotildees [Hermisson 2000] Para aperiodicidade relevante a divergecircncia das flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos leva a um escalamento exponencial dos niacuteveis de energia mais baixos na forma de tamanho finito
Ak AI exp -c(Nlk)w (3111)
Do escalamento criacutetico do espectro decorrem as formas de escala (para A -r 0+) da densidade integrada de estados nos casos de aperiodicidade irrelevante ou marginal
H (A) AI Alz9 (In AI In Agrave+) (3112)
em que 9 eacute uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio e nos casos de aperiodicidade relevante
wH (A) IlnAI-1 - (3113)
A partir dessas formas de escala e das equaccedilotildees (335) e (334) escritas no limite termodinacircmico como
Ch = ~B2 JdH (A) A2sech2 (BA) (3114)
~
(
t
72
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
e
XZZ = ~8 JdH (A) sech2 a8A) (3115)
podemos derivar o comportamento de baixas temperaturas do calor especiacutefico e da suscetibilidade a campo nulo Para8raquo 1 as expressotildees acima satildeo dominadas pela regiatildeo de A ~ 8-1 de modo que obtemos
Ch rv T 1 zG (ln T In Agrave+) (3116)
XZZ rv T 1 z - 1G (In T In Agrave+) (3117) f~
(sendo G novamente uma funccedilatildeo de periacuteodo unitaacuterio) para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
1 (3118)
Ch rv IlnTI
1ZZ (3119)X rv T IlnTI
para aperiodicidade relevante Eacute interessante notar que no caso em que Wp 12 correspondente ao expoente de flutuaccedilatildeo de desordem descorrelacishyonada as expressotildees (3118) e (3119) satildeo idecircnticas agraves previsotildees para a fase de singleto aleatoacuterio eqs (353) e (351)
A magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso h em T O eacute dada pela densidade integrada de estados de A O a A = h e portanto sua forma
( de escala para pequenos campos eacute
m(h) rv h1Zg(lnhlnAgrave+) (3120)
para aperiodicidade irrelevante ou marginal e
m(h) 11 pn hl-1
W gt (3121)
para aperiodicidade relevante
343 Resultados numeacutericos
Utilizando a teacutecnica de feacutermions livres descrita na seccedilatildeo 32 realizamos caacutelcushylos numeacutericos para o modelo XX com interaccedilotildees escolhidas segundo diversas ~ sequumlecircncias aperioacutedicas Apresentamos a seguir os resultados que obtivemos separando-os nos casos em que a aperiodicidade eacute irrelevante marginal ou relevante Como mencionamos na subseccedilatildeo anterior a relevacircncia da aperioshydi cidade eacute dada natildeo pelas flutuaccedilotildees da sequumlecircncia mas pelas flutuaccedilotildees dos acoplamentos reduzidos equivalentes agraves flutuaccedilotildees de pares de letras que natildeo se sobrepotildeem
73
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
~~-gtfCt
~
10-1
10-2
z=1 jr
-- J IIb =14[ a I _ J II = 131
I a b
10-51 f I Ir I J I li fil I I
10-4 10-3 10-2 10-1 10deg 101
T
Figura 314 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Para ambas as razotildees entre os dois valores das interaccedilotildees Ja e Jb observamos um decaimento linear em baixas temperaturas em concordacircncia com a previsatildeo de que a aperiodicidade eacute irrelevante
Aperiodicidade irrelevante
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo cuja regra de substituiccedilatildeo eacute dada pela eq (375) corresponde a
6330)M tp = 1 2 2 3 (3122)2 1 223(
1 223
com autovalores gt1 = 9 gt2 4 gt3 gt4 = 0 conduzindo a um expoente de flutuaccedilatildeo wr log32 e a flutuaccedilotildees geomeacutetricas ilimitadas Para um modelo XY anisotroacutepico utilizando as definiccedilotildees das eqs (399) e (3100) os campos de escala satildeo
uiP = 3~a + 2~b u~P = 2 (~a - ~b)
(3123)uP = r u~P = r
74
(
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
0 I 11111 li I [ij -rrrn I li I10 [
o O---O--O__rshy~
---0---0 __ o oshyQ - --- --o
hiacute
D
t)
tl (]
7 JiJb = 14 N= 3 btl
Q o C(r) TI = 0518(2)
x o o C(r) TI = 199(2)
z
111111 ttrI 11tH li ltIl110-811_-----LL~1001
10 r
Figura 315 Correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees la lb 14 distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicashy
37ccedilatildeo de periacuteodo O caacutelculo foi realizado para uma cadeia com N 2187 siacutetios As correlaccedilotildees decaem algebricamente em longas distacircncias com exshypoentes compatiacuteveis com os resultados do modelo uniforme flx = 12 e fiz = 2
A condiccedilatildeo de criticalidade eacute portanto c UI = O ~g = -~~a
e em geral temos U2 -5~a =1= Ono ponto criacutetico de modo que a aperiodishycidade eacute relevante Entretanto no modelo XX como ~a = ~b O o campo de escala U2 tambeacutem se anula Eacute necessaacuterio considerar entatildeo os demais camshypos de escala para verificar a relevacircncia da aperiodicidade Ocorre que como Agrave3 = Agrave4 = O o que conduz a um expoente de flutuaccedilatildeo
(w~rp = InAgrave3 - (3124)InAgrave1 shy
a aperiodicidade isotroacutepica eacute totalmente irrelevante ~ Confirmamos essa previsatildeo calculando vaacuterias propriedades da cadeia XX
com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de triplicaccedilatildeo de periacuteodo Em todos os casos obtivemos resultados qualitativamente idecircnticos agravequeles esperados para o modelo uniforme independentemente da razatildeo entre as interaccedilotildees la e lb A suscetibilidade transversa a campo nulo tende a um valor constante em baixas temperaturas como previsto pela eq (3117) com
75
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
gtshy
10-1 0____ o 0-____ -- -------0i
i- --0-------0-------0______ V
10-2 ------D______ 0 ------0-----_0______ 0-----__0 0-----_0
-------0----___0
10-3
------0
10-41 1 1 bullbull f I
l~ l~ l~ l~ r
Figura 316 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci O expoente do decaimento varia com a razatildeo Ja Jb entre as interaccedilotildees
z 1 Da mesma forma o calor especiacutefico comporta-se de acordo com a eq (3116) variando linearmente com a temperatura para T -+ O como se vecirc na figura 314 A magnetizaccedilatildeo induzida em T = O tambeacutem varia linearmente com o campo As correlaccedilotildees meacutedias de pares no estado fundamental decaem algebricamente com expoentes compatiacuteveis com aqueles da cadeia uniforme22
fJx = lj2 e fJz = 2 como mostrado na figura 315
Aperiodicidade marginal
A regra de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia de Fibonacci leva agrave matriz de su bstituiccedilatildeo
5 4 4) 2 876 (3125)Mfb ( 867
jaacute que o par (bb) natildeo estaacute presente Os autovalores de M~ satildeo Agrave~ = 9 4V5 Agrave~ = 1 eAgrave~ 9 - 4V5 que levam a w~ = O Os campos de escala para o
22Nos caacutelculos das correlaccedilotildees nas cadeias aperioacutedicas natildeo conseguimos utilizar o meacuteshytodo de extrapolaccedilatildeo descrito na subseccedilatildeo 332 provavelmente em virtude do caraacuteter ilimitado das flutuaccedilotildees geomeacutetricas induzidas pela aperiodicidade Tentamos contornar essa dificuldade utilizando os maiores tamanhos de cadeias possiacuteveis levando em conta o tempo de computaccedilatildeo associado
76
A J~
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
8
6 i - ~ eshycr
-ti
I 4
o tipo JPb == 13 li = 0889(3) o tip I deg JPb = 12 li =0647(2) 0
N= 2584 o
o deg 0 o
0 o 0
o -- _O
0---0 0-0-----(J
2~ 1 2 310deg 10 10 10
r
Figura 317 Correlaccedilatildeo tiacutepica de pares C~~(r) no estado fundamental da cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Fibonacci Verificamos um decaimento algeacutebrico caracterizado por expoentes muito proacuteshyximos daqueles obtidos para as correlaccedilotildees meacutedias (veja a figura anterior)
modelo XX satildeo u~ = O u~ = 2In(JaJb)
u~=O
de modo que a aperiodicidade isotroacutepica eacute de fato marginal A variaccedilatildeo do expoente z com a razatildeo entre as interaccedilotildees foi prevista por Luck e Nieuweshynhuizen [1986] utilizando uma teacutecnica de grupo de renormalizaccedilatildeo distinta daquela utilizada por Hermisson e restrita agrave sequumlecircncia de Fibonacciacute Verishyficamos numericamente a dependecircncia do expoente TJx com a razatildeo entre as interaccedilotildees como mostra a figura 316 A dependecircncia das correlaccedilotildees tiacutepicas Cti~(r) com a distacircncia mostrada na figura 317 indica que natildeo haacute distinccedilatildeo apreciaacutevel entre comportamento tiacutepico e meacutedio nesse caso
A matriz de substituiccedilatildeo de pares da sequumlecircncia da razatildeo de prata eacute ~
3 2 2)M~P = 2 2 1 (3126)( 212
jaacute que aqui tambeacutem o par (bb) natildeo ocorre Os autovalores de Mi satildeo Agrave~P = 3 2V2 Agravei 1 e Agrave~P = 3 - 2V2 levando novamente a aperiodicidade
77
~
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
tJ
10-1
10-2
bull Obullbull
lt7~-- d
- JPb =115 lIz =0523(6) - shy JPb 12 lIz = 08415(5)
10-51 11 I 11 pu li li 11 II 11 11 ti11 til
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Figura 318 Dependecircncia teacutermica do calor especiacutefico do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Os exposhyentes obtidos pelo ajuste dos resultados numeacutericos em baixas temperaturas apresentam excelente concordacircncia com as previsotildees da eq (3127) corresshypondentes a 1z = 052346 e 1z = 084133 para Ja Jb = 15 e Ja Jb = 12 respectivamente Os caacutelculos numeacutericos foram realizados em cadeias abertas contendo N = 47321 ligaccedilotildees
78
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ltgtlt 10deg
10-1
10-21 IIIII I lI 111111 IIIII f lf1 t I tIl
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ]00 ]OI
T
Figura 319 Dependecircncia teacutermica da suscetibilidade transversa a campo nulo do modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata Novamente os expoentes obtidos pelo ajuste dos resultados em baixas temperaturas concordam com as previsotildees da eq (3127)
isotroacutepica marginal O expoente zrp pode ser obtido da eq (3109) e eacute dado por [Hermisson 2000](1 In8
ZFP -- (3127) -- In (1 + v2)
em que
8 ~ ( ( + vi(2 + 4) (3128)
e (= Ja + Jb
(3129)Jb Ja
Nossos resultados numeacutericos estatildeo inteiramente de acordo com essa previsatildeo para zrp A partir de caacutelculos do calor especiacutefico e da suscetibilidade para dois valores distintos da razatildeo Ja Jb mostrados nas figuras 318 e 319 obtemos valores para zrp compatiacuteveis tanto entre si quanto com a eq (3127) Os
~ resultados para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = O (figura 320) concordam natildeo somente com as previsotildees para o expoente z mas tambeacutem com previsotildees obtidas utilizando teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo [Arlego et al 2001] indicando que os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs satildeo determinados pela topologia da sequumlecircncia e independem portanto da razatildeo entre as interaccedilotildees23
bull
23 A existecircncia dos platocircs de magnetizaccedilatildeo e das oscilaccedilotildees log-perioacutedicas nas funccedilotildees
79
JPb =15 1z =05234(8)
-- JPb 112 lz = 084137(8)
_o ~gt
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
IOO~E-------r--rr1Ir------r1rTM-shy I I I li j I i I 2 ~
N =47321
~
0
10-2
10-3 10-2 10-1 10
h
Figura 320 Magnetizaccedilatildeo induzida por um campo transverso em T = O para o modelo XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia da razatildeo de prata para duas razotildees distintas entre as interaccedilotildees Ja e Jbbull As curvas obtidas satildeo escadas do diabo cuja inclinaccedilatildeo depende de Ja Jb sendo dada pelo inverso do expoente z entretanto os valores de magnetizaccedilatildeo correspondentes aos platocircs dependem apenas da topologia da sequumlecircncia
Assim como no caso da sequumlecircncia de Fibonacci as correlaccedilotildees de pares cxx e Cti~ comportam-se de forma essencialmente idecircntica com expoentes de decaimento que variam com a razatildeo Ja Jb
Aperiodicidade relevante
Para a cadeia XX com interaccedilotildees definidas segundo a sequumlecircncia de RudinshyShapiro reduzida a duas letras a matriz de substituiccedilatildeo de pares eq (379) leva a autovalores e campos de escala dados por
Agraveiacutes = 2 uf = O sAgrave~s = vI2 u2 2 (v12 -1) In (JaJb) (3130)
Agrave~s = O uiacutes O Agraveis O uiacutes = - 2 ( vI2 + 1) In ( Ja Jb)
de modo que o expoente de flutuaccedilatildeo eacute w~s = 12 e a aperiodicidade eacute releshyvante Destacamos que w~s eacute igual ao expoente de flutuaccedilatildeo correspondente a
termodinacircmicas eacute reflexo do caraacuteter fractal do espectro de excitaccedilotildees derivado por sua vez da auto-similaridade das sequumlecircncias aperioacutedicas
80
r i
~
f ~
1)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
80 I li I li i IIiII li
JjJb =13 60
~~~
I I lI I li
10-4
I ~
40 E
Uuml 20
O I lI 11111111 I 1
10-10 10-8 10-6
hIa
Figura 321 Inverso da raiz quadrada da magnetizaccedilatildeo induzida como funshyccedilatildeo do campo em T = Ona cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo prinshycipais exibem um escalamento logariacutetmico com o campo em concordacircncia com a previsatildeo da eq (3121)
acoplamentos aleatoacuterios Assim a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro eacute apropriadac para uma comparaccedilatildeo dos efeitos induzidos por desordem e aperiodicidade
Vejamos primeiramente as propriedades relacionadas ao espectro de feacutershymions O escalamento dos niacuteveis de energia nas proximidades do centro da banda deve seguir a dependecircncia exponencial24 da eq (3111) com wJL = 12
Nossos resultados numeacutericos para a magnetizaccedilatildeo induzida em T = Oconcorshydam com essa previsatildeo expressa na forma da eq(3121) como mostra a figura 321 Os extremos dos platocircs de magnetizaccedilatildeo principais correspondentes aos niacuteveis de energia imediatamente acima dos maiores gaps satisfazem a forma de escala esperada No entanto natildeo fomos capazes de observar clarashymente a dependecircncia teacutermica prevista nas eqs (3118) e (3119) para o calor especiacutefico e a suscetibilidade mesmo utilizando cadeias com tamanhos da ordem de N = 106 Acreditamos que isso se deva ao escalamento exponenshycial do espectro fermiocircnico que exigiria cadeias ainda maiores para que sua estrutura fosse corretamente captada Entretanto instabilidades numeacutericas nos algoritmos de diagonalizaccedilatildeo dificultam esses caacutelculos
241sso corresponde a um expoente z = 00 caracterizando o que se chama de dinacircmica ativada
81
- ~~-
~
c
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
O_~-middoteacute-~h_Llt______ gtS 10-
21- 0-00 0 l tt
0 0 tt) middotnU
~ middotmiddottmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotn 00 0- t o n
12 o middotmiddotmiddotmiddotmiddothmiddoto -0 1O-4f- N = 2 middotmiddotmiddotmiddot D
D~otl lilB = 34 Tl = 126(2) Ix
o lilB = 112 Tl 128(3) ~ I o lAIJB =15 Tlx =128(5)
x I
10-61 I r 1 I I It I
0 1 2 310 10 10 10
r
Figura 322 Correlaccedilatildeo meacutedia de pares CXX(r) no estado fundamental da cashydeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os ajustes para o comportamento de longas distacircncias satildeo compatiacuteveis com um expoente de decaimento constante para as vaacuterias razotildees entre as inteshyraccedilotildees No caso Ja Jb = 34 notamos um claro cruzamento entre um deshycaimento com expoente 1x 12 caracteriacutestico da cadeia uniforme e um decaimento mais raacutepido com o aumento da distacircncia entre os spins
82
l)
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~-
t fi -
Q
10-4
-61 ~_--__ 1deg_25 -15 -10 00
ln(CX)2
Figura 323 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees GXX(r) reescaladas por yr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
As correlaccedilotildees de pares GXX(r) apresentam um comportamento clarashymente distinto do caso uniforme mas que aparentemente independe da razatildeo Ja Jb como vemos na figura 322 O expoente de decaimento situa-se em torno de fIx = 54 em contraste com a previsatildeo fIx = 2 para a fase de singleto aleatoacuterio Por outro lado para cadeias de vaacuterios tamanhos as distribuiccedilotildees do logaritmo das correlaccedilotildees reescaladas por yr parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica como mostrado nas figuras 323 324 e 325 Nesses caacutelculos para obter uma melhor estatiacutestica recorremos a um meacutetodo utilizado por Igloacutei Karevski e Rieger [1998] no estudo da cadeia de Ising quacircntica com interaccedilotildees aperioacutedicas O meacutetodo consiste em fixar um tamashynho de cadeia N e tomar meacutedias sobre ( em princiacutepio) todas as subsequumlecircncias distintas de tamanho N contidas na sequumlecircncia aperioacutedica infinita Para a
loi ~
sequumlecircncia de Rudin-Shapiro esse nuacutemero de subsequumlecircncias eacute inferior a 16N
Utilizando o mesmo meacutetodo calculamos tambeacutem o comportamento das correlaccedilotildees de corda OXX(r) separando as contribuiccedilotildees Orx e O~x definidas pelas eqs (330) e (331) Como jaacute mencionamos anteriormente o fato de as ligaccedilotildees fortes na fase de singleto aleatoacuterio natildeo se cruzarem induz uma tendecircncia agrave anticorrelaccedilatildeo entre Orx e O~x Observamos essa anticorrelashy
83
34 Interaccedilotildees aperioacutedicas Capiacutetulo 3
10deg
IIb = 14 -
~ 10-2
~ s ~
i
lu -6 -5 -4 -3 -2 -I o ln(CZ)12
Figura 324 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees CZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
lOO[
IIb = 14 - ~
~ ~ 10-2
~ -
~ 10-4
1 ~I04~~liacute~~~~~-+~- l
-2 I
ln(dz)rl12 o
I Figura 325 Distribuiccedilatildeo do logaritmo das correlaccedilotildees OZZ(r) reescaladas por Vr para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro Os resultados obtidos para cadeias de tamanhos N = 64 128 e 256 com r = N 2 parecem colapsar numa mesma distribuiccedilatildeo assintoacutetica
84
()
Capiacutetulo 3 34 Interaccedilotildees aperioacutedicas
~ o C)
(~
10-6 10-4
oX
Figura 326 Graacutefico de O~x contra OjX para a cadeia XX com interaccedilotildees distribuiacutedas segundo a sequumlecircncia de Rudin-Shapiro evidenciando a anticorshy
10-2
10-6
JiJb = 14
N=256
10-2 10deg
relaccedilatildeo entre as duas grandezas Os caacutelculos utilizaram cadeias com N = 256 siacutetios e as correlaccedilotildees foram calculadas entre spins separados por distacircncias correspondentes a potecircncias de 2 entre r = 4 e r = 128
ccedilatildeo na cadeia XX com interaccedilotildees seguindo a sequumlecircncia de Rudin-Shapir025
como evidenciado na figura 326 Acreditamos que esse comportamento alishyado ao aparente colapso das distribuiccedilotildees das correlaccedilotildees tiacutepicas configuram forte evidecircncia de que a aperiodicidade induz uma fase semelhante agrave fase de singleto aleatoacuterio
Por fim consideramos a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo definida pela regra da eq (373) Ateacute aqui todas as sequumlecircncias aperioacutedicas que utilizamos possuem a propriedade de que o valor meacutedio das ligaccedilotildees nas posiccedilotildees iacutempares eacute igual ao valor meacutedio nas posiccedilotildees pares26 Como natildeo gera pares (ba) a sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo carece dessa propriedade exibindo uma
dimerizaccedilatildeo meacutedia Para a cadeia XX os campos de escala associados satildeo
u~P = 2ln (Ja Jb) (3131)
u~P In (Ja Jb )
25Um efeito semelhante tambeacutem pode ser observado para aperiodicidade marginal No entanto comparando as correlaccedilotildees correspondentes agraves mesmas distacircncias a razatildeo min Ore O~a O~a Oia nesse caso eacute tipicamente trecircs ordens de grandeza superior agravequela observada para a sequumlecircncia de Rudin-Shapiacutero Aleacutem disso natildeo se verifica o colapso das distribuiccedilotildees dos logaritmos das correlaccedilotildees reescaladas pela raiz quadrada da distacircncia
26Isso pode ser comprovado calculando o autovetor correspondente ao maior autovalor da matriz de subsituiccedilatildeo de pares Em todas as sequumlecircncias anteriores obtemos Pab = Pba
85
~gt
35 Conclusotildees 3
e o modelo eacute criacutetico apenas no caso uniforme (Ja = Jb) Na presenccedila de aperishyodicidade abre-se um gap no centro da banda e as correlaccedilotildees caracterizamshyse por um decaimento exponencial com um comprimento de correlaccedilatildeo que varia com a razatildeo Ja Jb divergindo no limite uniforme Esse resultado conshycorda com aqueles obtidos para o modelo de Ising quacircntico aperioacutedico [Igloacutei et aI 1998] quanto agrave ausecircncia de uma fase de Griffiths nas vizinhanccedilas da criticalidade Tal fato contrasta com a presenccedila de uma fase de Griffiths no modelo XX aleatoacuterio dimerizado [Hyman et aI 1996] no qual a desordem forte induz um decaimento exponencial das correlaccedilotildees mas impede a abershy
Itura de um gap de excitaccedilotildees como consequumlecircncia embora o sistema natildeo exiba ordem de longo alcance a suscetibilidade diverge em toda uma fase localizada em torno do ponto criacutetico
35 Conclusotildees
Neste capiacutetulo estudamos efeitos de interaccedilotildees aleatoacuterias ou aperioacutedicas soshybre o comportamento da cadeia XX quacircntica em baixas temperaturas Atrashyveacutes de caacutelculos numeacutericos baseados no mapeamento do sistema num modelo de feacutermions livres obtivemos resultados para vaacuterias distribuiccedilotildees de desorshydem e sequumlecircncias aperioacutedicas
Para interaccedilotildees aleatoacuterias de maneira geral nossos resultados reforccedilam a hipoacutetese de universalidade da fase de singleto aleatoacuterio prevista pelo trashytamento de grupo de renormalizaccedilatildeo de Fisher Essa fase caracteriza-se pela existecircncia de raros pares de spins acoplados em estados singleto que doshyminam o comportamento meacutedio das correlaccedilotildees Conseguimos confirmar as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo para as formas de escala das funccedilotildees termodinacircmicas e de algumas correlaccedilotildees Mesmo nos casos em que essa confirmaccedilatildeo natildeo foi observada verificamos um claro desvio em relaccedilatildeo ao comportamento do modelo uniforme
Para interaccedilotildees aperioacutedicas obtivemos resultados em concordacircncia com as previsotildees de grupo de renormalizaccedilatildeo de Hermisson quanto agraves propriedashydes termodinacircmicas e aos expoentes criacuteticos dinacircmicos nos casos de aperiodishycidade irrelevante e marginal Observamos decaimentos das correlaccedilotildees com expoentes idecircnticos aos do modelo uniforme para aperiodicidade irrelevante e expoentes dependentes da razatildeo entre as interaccedilotildees para aperiodicidade marginal No caso de aperiodicidade relevante obtivemos comportamentos das correlaccedilotildees compatiacuteveis com uma mudanccedila na criticalidade do modelo e propriedades assemelhadas agravequelas da fase de singleto aleatoacuterio
Pretendemos em breve estender os caacutelculos do modelo desordenado a maiores tamanhos de cadeias para reforccedilar as evidecircncias que jaacute obtivemos
86
3 35 Conclusotildees
Pretendemos tambeacutem efetuar caacutelculos numeacutericos baseados no processo de decimaccedilatildeo perturbativo de Ma Dasgupta e Hu adaptados agrave topologia das sequumlecircncias aperioacutedicas para verificar atraveacutes do fluxo da distribuiccedilatildeo das interaccedilotildees efetivas ateacute que ponto a fase induzida por aperiodicidade relevante identifica-se com a fase de singleto aleatoacuterio
r
~~
87
~
J
~j I
I
ii
Apecircndice A
~~ middot1 Cadeia de Ising de spin S com
campos alternados
Consideramos aqui o caso puro do modelo introduzido no capiacutetulo 1 No limite termodinacircmico como se torna desnecessaacuteria a distinccedilatildeo entre segmenshytos de tamanhos pares e iacutempares a energia livre por spin do modelo com interaccedilotildees somente entre primeiros vizinhos eacute dada simplesmente por
1 fpv (h1 h2 T) -kBTln AgravemaJo (AI)
2
sendo Agravemax o maior autovalor da matriz T definida na seccedilatildeo 12 Na presenccedila
de interaccedilotildees de Curie-Weiss de acordo com os resultados da seccedilatildeo 13 as magnetizaccedilotildees de sub-rede ml e m2 satildeo aquelas que minimizam o funcional
~
(fgt (hb h2T ml m2) fpv (h1 h2T) + Jcw (mi + 2mlm2 mD (A2)
com os campos efetivos h1 e h2 dados por
h1 h1+ 2Jcw (ml + m2) (A3) h2 h2+ 2Jcw (m2 + ml) (A4)
A suscetibilidade ferromagneacutetica a campo nulo eacute obtida impondo h1 h2 h e calculando
~ cP fpv(hI h2 T) (A5)Xo = - acirch2
h=Omlmz
enquanto a temperatura de Neacuteel TN1 eacute determinada pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
2acirc2(fgt acirc (fgt ( acirc2(fgt ) 2 (A6)
acircmi acircm~ - acircmlacircm2 ml=mZ=O O
89
middotit~
Apecircndice A
Tanto a obtenccedilatildeo das magnetizaccedilotildees de sub-rede quanto os caacutelculos de XO e TN envolvem derivadas do autovalor Agravemax Num modelo de spin S = 52 em que T eacute uma matriz 6 x 6 natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas gerais para seus autovalores No entanto uma vez obtida uma soluccedilatildeo numeacuterica eacute possiacutevel calcular suas derivadas de forma numericamente exata dentro de certas condiccedilotildees
Denotemos por Agravej os autovalores de uma matriz simeacutetrica T e por Xj os autovetores correspondentes Os elementos de T dependem de um conjunto de paracircmetros LaJ Temos entatildeo
TXj AgravejXj (A7) t x~T
J xFJ) (A8)
em que X denota o transposto de Xj Derivando a eq (A7) com respeito a La temos
acircT T acircXj acircAgravej acircXj (A9)acircLa acircLa Xj + lj acircLa
Multiplicando agrave esquerda por x~ e utilizando a eq (A8) obtemos
acircAgravej xtacircT t acircXj (AIO)acircL Oij i acircLa Xj + (Agravei Agravej)XiacircLa a
Segue dessa uacuteltima equaccedilatildeo que
acircAgravej _ t acirc~ (All)acircLa - Xj acircLa Xj
e que para i =I j t acircXj I t acircT
X (A12)iacircLa (Agravej - Agravei ) xi acircLa Xj
Eacute importante notar que embora a eq (All) seja sempre vaacutelida a eq (A12) tem sentido apenas no caso em que os autovalores de T satildeo natildeoshydegenerados l Normalizando os autovetores Xj obtemos ainda uma outra equaccedilatildeo
acircXj Oxt _ (A13)JacircLa
que juntamente com a eq (A12) forma um sistema cuja soluccedilatildeo fornece as derivadas primeiras dos autovetores Xj
1Felizmente a matriz T definida no capiacutetulo 1 satisfaz essa propriedade exceto na temperatura de Neacuteel
t
i
90
l1-llLULG A
Derivando agora a eq (A9) com respeito a Lf3 e multiplicando agrave esquerda por x temos
82) 8T 8xj 8T 8Xj)_-=-J _ t (A14)x j8Lf38La shy 8La 8Lf3 + 8Lf3 8La
Eacute evidente que procedendo de modo anaacutelogo podemos encontrar expressotildees para derivadas em qualquer ordem dos autovalores e autovetores de T
~1
-II~shy
~
91
~
1-
Apecircndice B
( Expansatildeo de baixas temperaturas para o modelo de spins mistos aleatoacuterio
Tratamos aqui da expansatildeo de baixas temperaturas para a o modelo de Ising de spins mistos com anisotropia aleatoacuteria segundo a aproximaccedilatildeo de BetheshyPeierls como discutido no capiacutetulo 2 Para a distribuiccedilatildeo binaacuteria da eq (23) no limite de baixas temperaturas (K = 3J ~ 1) se desprezamos termos de ordem exp (-2K) ou superior as equaccedilotildees de consistecircncia (231)-(233) para o aglomerado A levam agraves expressotildees
t~
1 1 +a q 1 ~ C+ (RI)IA=2ln~+2ln1 rY
l+ac+ 1- a C_s (R2)2 2
e
(R3)
com eplusmnYB
(BA)Cplusmn = el-K + eplusmniB
~~ Para o aglomerado B temos
a = ptanh (qiA) + (1 _ p) T(iA) tanh(iA) + 6tanh(qiA) (B5)T(iA) 6
s = p tanh (qiA) (1 - p) (_ ~ tanh (iA)) (B6)TA +
93
-~
B
Q=p (1 8
p)~ (B7)
com 8 = exp(qK shy ~) (B8)
e q
r(x) = 2 (B9)
Resolvendo as eqs (B2) e (B3) para Cplusmn em termos de 0 S e Q e utilizando as eqs (B5)-(B7) podemos escrever a eq (Bl) na forma
1 q 1+0 _ IA(O) = 2 In 1 _ O qlA(O ) (BlO)
em que 1A(O) ecirc determinado pela soluccedilatildeo da eq (B5) Notemos que de acordo com as eqs (BlO) e (B5) IA(O) e 1A(O) dependem da temperatura apenas por meio do paracircmetro 8 No limite T - 0 esse paracircmetro vai a zero (se D gt qJ) ou diverge (se D lt qJ) exceto nas vizinhanccedilas do ponto Po com coordenadas D qJ e T O onde 8 pode assumir qualquer valor
Como a equaccedilatildeo de estado (BlO) torna-se assintoticamente exata no lishymite T - 0 podemos utilizaacute-la para determinar os valores de p em que o ponto criacutetico terminal e o ponto criacutetico simples atingem Po e assim desapashyrecem Para tanto impomos as condiccedilotildees
IA(Oe) alA I~ = 0 (B11)~~I~ das quais obtemos os valores de Oe 8e e Pe em que o ponto criacutetico terminal atinge Po e as condiccedilotildees
aI I IUS (B12)IA(Os) a U=Ua = o IA(O)dO = 0
que fornecem os valores correspondentes Os 8s e Ps para o ponto criacutetico simples
tomiddot
~
94
t
Apecircndice C
Outros trabalhos
Reproduzimos nas paacuteginas seguintes dois artigos resultantes de projetos em que estivemos envolvidos paralelamente ao nosso programa de doutorashymento O primeiro deles em colaboraccedilatildeo com Lindberg Lima Gonccedilalves e Leniacutelson Pereira dos Santos Coutinho da Universidade Federal do Cearaacute descreve um estudo das transiccedilotildees quacircnticas no estado fundamental de uma variante do modelo XXZ em que as interaccedilotildees transversas satildeo introduzidas via um termo de Curie-Weiss O outro trabalho realizado em colaborashyccedilatildeo com Paulo de Tarso M uzy e Silvio Salinas consiste em uma abordagem analiacutetica dos efeitos de desordem correlacionada sobre o comportamento de modelos de Potts em redes hieraacuterquicas correspondentes a aproximaccedilotildees de Migdal-Kadanoff para redes de Bravais
to-o
95
-
Apecircndice C
A4 Journal 01 ~ magnetlsm Irl and ~ magnetlcIrl materiais
ElSEVIER Journal of Magnetism and Magnetic Materials 226-230 (2001) 601-602 wwwelseviercomllocateljmmm
The one-dimensional X XZ model with long-range interactions
LL Gonccedilalvesa AP Vieira h LPS Coutinhoa
Departamento de Fiacutesica Universidade Federal do Cearaacute Campus do Piei ex Postal 6030 60451-970 Fortaleza CE Brazil Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Cx Postal 66318 05315-970 Satildeo Paulo SP Brozil
Abstract
The one-dimensional XXZ model (s =1 N sites) with uniform long-range interactions among lhe transvers components of the spins is considered The Hamiltonian of the model is explicitly given by H = JI7= I (sjsi+ 1 + s~sJ+) - (INJI7= 1 sJs - hI7= 1si where the s are halfthe Pauli spin matrices The modeliacutes exact1y solved by applying the Jordan-Wigner fermionization foUowed by a Gaussian transformation In the absence of the long-range interactions (l = O) the model which reduces to the isotropic XY modei is known to exhibit a secondshyorder quantum-phase transition driven by the field at zero temperature It is shown that in the presence of the long-range interactions (I O) the nature of the transition is strongly affected For I gt O which favours the ordering of the transverse components of the spins the transition is changed from second to first order due to the competition between transverse and xy couplings On the other hand for I lt O which induces complete frustration of the spins a secondshyorder transition is still present although the system is driven out of ils usual universality class and its criticai exponents assume lypical mean-field values copy 2001 EIsevier Science BV Ali rights reserved
Keywords Quantum transilions One-dimensional systems Long-range inleractions
The observed criticai behaviour of magnetic materiais in the very low-temperature limit has renewed the intershyes1 in the study of magnetic quantum transitions (1] Since these transitions which are governed by quantum fluctuations occur at T O one-dimensional models playan important role in their study Therefore we will consider the exactly soluble one-dimensional XXZ model (s = 1) with a uniform long-range interaction among the spins along the z direction Due to the longshyrange interaction lhe model also presents classical critishycai behaviour with transitions of first and second order andit has already been considered by Suzuki (2] Since his study was restricted to the analysis of the classical second-order transition of the model and we are interestshyed in its quantum transitions the model will be conshysidered again In particular we will be interested in the effect of the long-range interaction on its quantum critishycai behaviour
Corresponding author Fax + 55middot85-288-96-36 Emiddotmail address lindbergfisiacutecaufcbr (LL Gonccedilalves)
The Hamiltonian of lhe model is given by
N I N N H=JI (s)sl+1 +s7sJ+j-- I sis~ hI si (1)
j=1 N j bullk=l j=l
where J gt O N is lhe number of sites on lhe lattice and we assume periodic boundary conditions By applying the Jordan-Wigner fermionization (34] followed by a Gaussian transformation we can write the partition function of the model as
ZN = Tre-H C(f3)-(NIZ)Tre- ii(ldZ (2)
with
- fJJ t t tH(z) = - (cjCj+ 1 + Cj + 1 Cj) n(z) - cjcjgt (3)2 ~l
whereii(z) = fJ(h - I) + J2iacutefiz C(fJ) depends onlyon the temperature a boundary term has been neglected in H(z) and the Cj are fermion operators
Introducing the Fourier transforms
Cj = ~te-ikjecirc (4)
0304middot885301$- see fronl malter copy 2001 Elsevier Seienee BV Ali righls reserved PII S0304- 8 85 3 (00)00 69 0-9
96
c
602 LL Gonccedilalves el ai I JoumaJ ofMagnelism and Magnetic Materiais 226-230 (2001) 601-602
we can rewrite H(z) in the diagonal form
H(z) = Leurok(z)ecirclecircb (5)bull
where euro(z) = pJ cos k - h(z) and due to the periodic boundary conditions k = 21tnN (n 1 N) The parshytition function is then given by
ZN = C(P)fe -ltN21) [1 + e-1] dz (6)
~ which in the thermodynamic limit (N - 00) can be evaluated by the saddle-point method By expliacutecit calcushylation we conclude that
m=(Isj)Nj
_1 2 (7)
where Zo is the value or z which makes the integrand in Eq (6) a maximum
Noting that zojfiIacute is just the average number of fermions per energy leveI we can write the equation of state of the system
1 f (8)dk m = 21t o 1 + ei(ml 2 where locirc(m) pJ cos k - P(h + 21m) In the limit T deg (p 00) for (h + 21m) - J Eq (8) takes the form
1 1 (h + 21m)m itarccos --J-- (9)2 which for I 0 readily reduces to the well-known exshypression for the XX chain [5] To analyze the behaviour ~~ of the model near the quantum criticai point assuming h ~ 0 we define the order parameter [6] (J t - m and expand Eq (9) to second order in (J -+ 0+ obtaining
n2 2 21 -(J -(J (10)2 J
where h J I For I degwe regain the usual XX chaiacuten result
(J ~ (h h)IZ (11)
while for I lt degwe get the expected meanmiddotfield scaling form
(J -(h - h)l (12)
Note that (10) cannot be satisfied for I gt 0 an indicashytion that in case the model undergoes a first-order transition at h h to a 3tate where the transverse magshy
~ netization is saturated (m = t) In this case there is a hysshyteresis cycle associated to the transition which is dueacute to the presence of metastable states These states can be identified by looking at the free energy functional which
~
Imllt112
IIJ
Fig 1 Phase diagram of the model at T
Iml=112
O TIle solid and dashed lines indicate second- and fust-order phase transitions respectively TIle diagram has of course mirror symmetry with respect to the IIJ axis
for (h + 21m) - J and as T -+ 0 is given by
f(m) = - ~ - ~(Sin cp cp COS cp) + I(m m) (13)
where cp is defined as
h + 21m)cp = arccos --J- (14)(
Taking the limit h degin Eq (13) and by imposing that f(O) = f(t) which are minima of the free energy we can show that the systems presents spontaneous magnetizshyation for IJ ~ 4n
The previous analysis allows us to determine the phase diagram of the model at zero temperature shown in Fig
1 Notice that there must be a finite temperature criticai line ending at the point (hfJlJ) (10) which is thus analogous to a bicritical point The finite temperature behaviour ofthe model will be considered in future work
This work was partially financed by the Brazilian agencies CNPq FINEP and Fapesp A P Vieira thanks T A S Haddad and S R Salinas for useful discussions
References
[1] SL Sondhi SM Girvin JP Carini D Shahar Rev Mod Phys 69 (1997) 315
[2] M Suzuki J Phys Soe Jpn 21 (1966) 2140 [3] P Jordan E Wigner Z Physik 47 (1928 631 [4] li Liegt T Schultz D Mattis Ann Phys 16 (1961) 407 [5] TIl Niemeijer Physiacuteca 36 (1967) 377 [6] JP de Lima LL Gonccedilalves Mod Phys Letl B 8 (1994)
871
97 (
Apecircndice C
PHYSlCAL REV1EW E VOLUME 65 046120
Correlated disordered interactions on Potts models
P T Muzy A P Vieirat and S R Salinas Instituto de Fiacutesica Universidade de Satildeo Paulo Caixa PostaI 66318 05315-970Satildeo Paulo Sao Paulo Brazil
(Received 1 Navember 2001 published 2 Apnl 2002)
Using a weak-disorder scheme and reaI-space renormaliztion-group techniques we obtain anaIyncal results for the criticai behaviar af various q-state Potts madels with correlated disordered exchange interactions along dI of d spalial dimensions on hierarchical (Migdal-Kadanoft) lalnces Onr results indicate qualitative differshyences between the cases d-d=1 (for which we fied nonpbysical random fixed poinlS suggesting the exisshylenee of nonperturbative fixed distributions) and d-dgt 1 (for which we do find acceptable perlurbarlive random fixed points) in agreement with previous numerical calculations by Andelman and Aharony [Phys ltRev B 31 4305 (1985)] We also redcrive a cntcrioo for relevance of correlted disorder which generalizes the usual Harris critcrion
DOI 1011 03IPbysRevE65046120
I INTRODUCTION
The effects of disorder on the criticai properties of statiacutesshytical models have been the subject of much work in the las decades In the context of rendom interactions Hanis [1 J derived a heuristic criterion to gauge the relevance of uncorshyrelated disorder to the criticai behavior which iacutes predicted to remain unchanged if the specific-heat exponent a of the unshyderlying pure syslem is negative If 11gt0 disorder becomes relevant anel in the language of the renormaliacutezation group (RG) one expects a f10w to a new fixed poinl (characterized by a nonzero-wiacutedth fixed distribution of the random varishyables)
It later became c1ear that the Hanis criterion must be genshyeralized in a number of situations [2-6J since a iacutes not aIshyways identifiable with ltgt the crossover exponent of the width of the distribution of the disorder variables In particushylar random variables correlated along di of the d spatial dimensions giacuteve rise to the scaling relation [24]
ltgt=a+dIJJ (1)
where JJ is the correlation-Iength exponent of the pure sysshytem Usiacuteng a real-space RG approach based on numerical calculatiacuteons [7J Andelman and Aharony [4] investigated various q-state Potts models with random exchange conshystants finding qualitative differences between the cases d - digt 1 (which yields finite-temperature fixed distributions) and d-d1 = I (whiacutech embodies the McCoy-Wu model [8] and yields an iacutenfinite-disorder zerc-temperature fixed point) An intuitive iIIustration of the spedal role of the d - d 1= 1 case is that for any infinitesimal concentration of zero bonds (with a suitable assignment of the random intershyactions) the system would break into noninteracting (d - 1 )-dimensional structures and the RG f10ws would be reshydirected to the pure fixed point of the carresponding system in d-I dimensions
E1ectronic address ptmnzyuolcombr lElectroulc address apvieiraifuspbr Electronic address ssalinasifuspbr
1 063-651XJ2oo2l65( 4 )046120(7)$2000 6S 046120-1 copy2002 The American Physical Society
PACS number(s) 0550+q 05 IOCe
In the present paper we use a (perturbatiacuteve) weakshydisorder [910] real-space RG scheme to analyze the criticai behaviacuteor af q-state POtls models with correlated disordered exchange interactions on various hierarchicallattices whose exact recursion relations are equivalent to those produced by Migdal-Kadanoff approxiacutemations for Bravaiacutes lattices Using t1uacutes weak-disorder scheme we obtain analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshyorder distribution (which are supposed to remain sufficiently small under the RG iterations) Ali calculations are pershyformed in the viacutecinity of ltgt=O in a region where disorder is relevant Depending on the diference between the dimenshysionality of the system (ti) and lhe number of dimensions in whiacutech disorder is correlated (di) we distinguish two possishybiacutelities (i) For d-d l = 1 the weak-disorder scheme proshyduces a nonphysiacutecal fixed-point probability diacutestribution characterized by a negative variance which suggests the exshyistence of a nonperturbative (infinite-disorder) fixedshypoint (ii) For d - digt 1 the scheme yields a physically acshyceptable perturbative fixed-point distribution Although obtained by an altemative approach the maiacuten results of this paper are in agreement with the numerica findings of Andelshyman and Aharony [4]
The outline of the paper is as follows We first rederive Eq (I) and obtain a criterion for relevance of correlated diacutesarder involviacuteng the number of independent random varishyables in the unit cell of the Iattice and the first derivatiacuteve of the recursiacuteon relations at the pure fixed point TIuacutes is done in Seco 11 In Seco m we consider q-state Potts models on varishyous hierarchical lattices with d - d t = I Using a weakshydisorder scheme we obtaiacuten a new (random) fixed poiacutent for q larger than a characteristic value qo where disorder becomes relevan As in a previous publication [10] this fixed pojnt is located in a nonphysical region of the parameter space sugshygesting tha a nonperturbative fixed paint must be present In Seco IV we study a similar problem with di = I and d= 3 In t1uacutes case we obtain a physically acceptable finite-disorder fixed point for qgtqo as in the fully disordered model studshyied by Derrida and Gardner [9J (although in our case the usual Harris criterion iacutes not satisfied) In Seco V we consider an Ising model (q=2) on a diamond lattice wiacuteth b=2 bonds and 1branches (where 1 instead of q iacutes the control param-
f
iI
gt
98
c
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
eter) which constitutes anolher example of a d - d = 1 sysshytem As in Seco m weak disorder again predicts a nonphysishycal random fixed poinl In lhe final section we give some conclusions
li CRITERION FOR RELEVANCE OF CORRELATED DISORDER
Following Andelman and Aharony [4] we consider a d-dimensional bond-disordered model in which lhe disorder variables are correlated along d spatial directions We asshy
~~ sume lhat under renOlmalization wilh a lenglh rescaling facshytor b lhe model satisfies a recursion relation
dR(x X2 bullbullbull xn) connecting n=bd - independem (and identically distributed) random variables to a renonnalized variable x (In lhis paper lhese variables are related to reshyduced exchange couplings) Defining lhe deviations ei=xi
where xc=R(xx xc) is lhe criticaI fixed point of lhe pure system we expand R in a Taylor series about Xc to write
n aR 1 n a2R I - B+- 2 Eiej+ JXj Xc 2 i1=1 iJxiiJxIacutexc
(2)
n aR aR n aR a2R I 8 2 = 2 - - smiddotgmiddot+ 2 - -- B-B-Si
1= 1 iJx Xc aXjcc I J ijJc I iJXi te iJXjiJXk Xc I
(3)+
and similarly for lhe higher powers of g Averaging over lhe random variables we get
2 2 n aR I I n a R I a R (g)=L- (e)+-L- (g2)+L~- (e)2i~l aXi 2 i~ ax~ iiacute iJxiaXj
Xc I Xc Cc
+ (4)
n (aR ) 2 aR aR(e2)= ~ aXj (s2)+ ~ aXj aXjl (s+ Xc Xc Xc
(5)
and corresponding expressions for lhe higher moments of lhe deviations Since (g) is a measure of lhe distance to lhe fixed point it plays lhe role of temperature On lhe olher hand (g2) is a measure of lhe strenglh of disorder
The criticai behavior of lhe model is related to lhe eigenshyvalues of lhe matrix
a( s Ir (6)M= a(eS
evaluated at lhe fixed point It is clear lhat lhe set of recurshy~ sion relations for lhe moments of lhe deviations always has a
pure fixed point (e) = (e 2) bullbullbull = O At lhat point lt can be shown [11] lhat M is a triangular matrix and lhat its two Jargest eigenvalues are given by
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
A _ a(s) _plusmnaRI (7)1- a(B) -i~1 aXi pure XI
and
a(e2) I A2 (8)
n (~lxJ= a(e2 puro
Assuming lhat for ali iacute and j
(9)il = ~I =w Xc Xf
and invoking lhe usual scaling hypolheses
A=bY and A 2 =Ar=bltgtY (10)
which define lhe lhermal exponent y and lhe crossover exshyponent q we get
qy=2y-(d-d l )middot (Ul
Then using lhe hyperscaIing relation
d dlnb 0=2--=2--- (12)
y ln(nw)
we obtain
(13)q= 0+ = y
which clearly shows lhat lhe Hanis criterion (q agtO) is not satisfied in lhe presence of correlated disorder As ly is usually identified wilh lhe correlation-Ienglh exponent v lhis last result is equivalem to Eg (1) lt also shows lhat for dIgt O lhe crossover expoent is Jarger lhan a which indishycates lhat correlated disorder induces slronger (geometrical) fluctuations than uncorrelated disorder
The general criterion for relevance of disorder is qgt0 lhat is
di agt-2 _ middot (14)
d dl
From Eqs (7)-(9) lhis is equivalent to
nw2gt 1 (15)
This last result was also derived in a different context by MukheIji and Bhattachrujee [5] and generalizes a crlterion pointed out by Derrida et ai [3]
In lhe case of lhe fully disordered system analyzed by Derrida and Gardner [9] for which d = O lhe requirement in Eq (14) turns out to be equivalent to lhe usual form of lhe Harris crlterion (0gt0)
046120-2
99
r
Apecircndice C
CORRELATED DISORDERED INlERAcrroNS ON POTTS PHYSlCAL REVIEW E 65 046120
(MigdaJ-Kadanoff) recursion relations In this section we consiacuteder the following models
(A) Random layered diacuteamond lattice Fig 2(a) whose recursion relation is
- ( xlx2+q-I r (I7)x=RA(XIX2)- xI+x2+q-2l-v I 8 (a) (b)
FIG I (a) lhe diamond hierarchical laltice (witb b= 2 and I =2) (b) lhe necklace hierarchicallattice (wltb b=2 and 1=2)
DI POITS MODELS WITH COIlRELATED DISORDER d-d=l CASE
The successive generalions of a hierarchicaJ lattice are obtained by replacing an existing bond in the previous genshyeration by a unit cell of new bonds in the next generation In Fig leal we show the first two stages of the construction of the simple diamond lattice (with b = 2 bonds and 1= 2 brancbes) The necklace hierarchicallattice with b = 2 bonds and 1=2 branches is iIlustrated in Fig 1(b)
We now consider a q-state Polts model given by the HamiJtonian
rlp = L J igt1 (16) (i])
where the sum is over nearest-neighbor sites on a hierarchishycal lattice the spin variables Ti assume q vaIues fj iacutes the Kronecker delta symbol and JijgtO is a sei of independent and identiacutecally distributed random variables Instead of conshysidering a fully disordered arrangement of interactions we look ai correlated diacutesorder either aIong layers [see Fiacutegs 2(a) and 2(craquo) or aIong brancbes [see Figs 2(b) and 2(d)] of the hierarchicaI structure
Introduciacuteng the more convenient variable x=exp(j3Ji) where f3 is the inverse absolute temperature iacutet iacutes straightforshyward to decimate the internaI degrees of freedom to obtain
(a) (b)A-Ir A_IrV V (c) (d)
JIOh_lr JOJ
Jlt)J
O I FIG 2 Correlated distribution of Tandom interactions ou diashy
mond and neckIace hierarchical [auices
(B) Random brancbed diamond lattice Fig 2(b) with reshycursion relation
( x2+q-I ) ( xi+q-I )
x=RB(xIxt= 2I+q-2 2xz+q-2 (18)
(C) Random layered neck1ace lattice Fig 2(c) with reshycursion relation
r lt J
x=RdXtX2= (19)
(D) Random branched necklace lattice Fig 2(lt1) with recursion relation
Xix~+q-l (20)x =RD(xIgtX2)- XI X2+q-
Notice that in ali these mndels diacutesorder is correlaled along on1y one spatiaJ directiacuteon (d l = I) while the effectiacuteve dishymension is d=2 According to Eq (14) we then expect disshyorder to be relevant for O gt - 2
We now write x=xc+e and xi=xc+ei to perform Taylor series expansions about the criticai point of the unishyform systems given by xc=R(xc xc) For ali of these mndshyeis with n = 2 independent vaJues of the exchange paramshyeters (along either layers or bonds) it is straightforward to write the recursiacuteon relation
e =w(el + 2)+m(ei+ i)+ f(e li+ere2)+P 12
+ ceiei+k(e~+ e~)+a(e+ ~ (21)
where w m p J c k and a are mode1-dependent Taylor coefficients (that depend on the topology of the particular models ilIustrated in Fiacuteg 2 see Sec 11)
The weak-disorder approximation [910] consists in asshysuming that
and in general
()_(e 2)_ Agrave
(e 3)_(e4 )_ Agrave2
(e 2p-1)_(e2p )_ AgraveP
(22)
(23)
(24)
where ( ) is a quenched average and Agrave is a suitable small parameter Wiacutethin this approximation we can use Eq (21) to write recursion relations for the moments of the deviation up to second order in Agrave
046120-3
INSTITUTO DE FiacuteSICA
Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo 100
Tombo _ 3 t z ~ Q2C t
I~~
c
~ J
~~
~
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
(s ) = 2w(s) +p(S)2+ 2m( 2) +2f(e )(sZ) +c(e)
+2k(s3)+2a(eacute) (25)
(s2) = 2w2(s)2+2w2(e) +4w(m+ p)(s)(s)
+ (2m 2+4fw+ p2)(s2)2+4wm(e 3)
+ (4wk+2m 2 )(eacute) (26)
(s3) =3w(e)(e2)+3(m +p )(e2 )2+ w(e3)+3m(s4) (27)
and
(B4)=3w2(e)2+w2(eacute) (28)
It is easy to see that there is always a nonrandom fixed point
(S)=(S2)=(Sl) =(e4)=O (29)
associated with the critical behavior of the pure IDode As we poinled out in the previous section lhis lixed poinl beshycomes unstable with respect to disorder for 2w2gt 1 This can also be seen by an inspection of the asymptotic behavior of Eq (26) which shows that up to order Agrave the renonnalized second moment depends only on (2) with the coefficient 2w2 bull Thus we expect the onset of a random fixed poinl ai a critical value qo of the number of POIIS states From the expression
xc=R(xc Xc) (30)
for the pure fixed point we can express q as a function of Xc and using the condition 2w2 = I determine the criticai value xc(qo) For both diamond structures displayed in Figs 2(a) and 2(b) we have
I)(xc-I) (31)
and xc(qo)=215127 which leads to qo=053732 For both necklace structures in Figs 2(c) and 2(d) we have
q=(xc-I)(x-l) (32)
with xc(qo)=146672 which also leads to qo = 0537 32 Disorder is predicted to be reJevanl for q gtqomiddot
We now introduce the small parameter
dxcI dXclAgrave=xc(q)-xc(qo)=T (q-qo)=T Ilq (33) q qo q qo
to investigate a q-state Potts model in the immediate vicinity of the characteristic value qo lt should be pointed out that as the symmetry of the order parameter is one of the factors expected to determine the universality class of the models Ilq is the appropriate parameter to considero However Agrave is more convenient for the algebraic manipulations From inshyspection of Eqs (25)-(28) we see that up to first-order terms in Agrave coefficients w and m are written as
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
TABLE 1 Coefficients of the weak-disorder expansIacuteon for the models ia Fiacuteg 2
Coefficient Model (A) Model (B) Model (C) Model (D)
a -000926 000917 -092623 002894 c 008549 000016 138173 007163 k 004676 -001302 025648 -002801
f -005370 000608 -033156 -004706
p 065117 023242 156929 053634
1 w= ifi+w1Agrave and m=mo+mlAgrave (34)
lt is straightforward to calculate W I = 013325 for the diamond structures and w1= 0390 8g for the necklace structures Also we have mo= -019088 and ml =019865 for modeJ (A) mo=0OI849 and ml =000758 for model (B) mo=-048935 and ml = 122433 bull for model (C) and mo=002711 and ml =002027 for model (D) In order to obtain the reshymaining coefficients iacutet is enough to keep the zeroth order term in Agrave (see the values up to five digits in Table 1)
We are finally prepared to obtain up to lowest order in Ilq the nonzero values of the moments at the random fixed point By substituting the weak-disorder assumptions Eqs (22) and (23) into Eqs (25)-(28) and then imposing conmiddot sistency between equal powers of Ilq we obtain the leading lerms for fixed values of the momenls as lisled in Table lI
In order lO perfonn a linear stability analysis about the fixed points we have to calculate the eigenvalues A I 10 A of the matrix
a(e) M= a()
As it should be anticipated from universality it tums out that the eigenvalues (and so the criticai exponents) are the same for models (A) to (D) We always have two eigenvalues Al and A4 whose absolute values are smaller than unity About the pure lixed point we have
fi+031O 181lq (35)
1+ 0438 661lq (36)
with a specific heat exponent
TABLE lI Moments af the deviations defining the random lixed points of the models in Fig 2 according to the weak-disorder exshypansion
Moment Model (A) Model (8) Mode1 (C) Mode1(D)
(e)l1q 14904 10208 -44401 034798
(e 2)l1q 16170 -11434 18791 -26575 (e)(l1q)2 14445 32573 46390 39946 (e 4)(l1q)2 78441 39221 10593 21187
046120-4
101
c
CORRELATBD DISORDERED INTBRACTIONS ON POTTS
JOJ2 I OJ~ J
FlG 3 The hierarchicallattice with d= 3 and di = I considered in Seco IV
ap = -2+253141Aq
At the random fixed point we have
A)= vIz+O836 70Aq (37)
A~)= I-04386Mq (38)
which lead to the exponent
a= -2+682843Aq (39)
From Eq (36) we see tha disorder becomes relevant for AqgtO TIlus as shown in Table lI the weak-disorder expanshysion gives negative (and thus nonphysical) values of the secshyond moment aI the random fixed point formodels (A) to (D) This suggests tha the random fixed poinl in these syslems (for which d - dI = I) is nonperturbatiacuteve in agreement wiacuteth numerical calculations [4] that predic an infinite-disorder fixed point Another odd feature of the weak-disorder results iacutes that the predicted value of the specific-heat exponent in the presence of disorder (ar) is larger than the corresponding quantity (ap) for the pure model in disagreement with the general belief that disorder should weaken the transition
Iv A POTTS MODEL WITB CORRELATED DISORDER d-dtgtl CASE
In arder to examine the d - dIgt I case we now consider a Potts model on a necklace hierarchicallattice [4] shown in Fig 3 with d=3 and dI = I TIle unit cell contaiacutens n=4 independent random variables and in terms of the variables x=exp(f3J) the recursion relatian is given by
XI XZX3X4+q-1 (40)R(XIX2X3X)= XIx Z+X3X+q-2middot
Following the same steps as in Seco m we have
q=(xc-I)(x~- I) (41)
TABLE m Vaues of lhe weak-disorder coeffieients for me mode in Seco IV
Pt p C c fI f2 k a
3fi 4-1
fi -- -I
I09fi-I44 32
25-1Sfi --16shy
ll-sJ2 -1-6shy
7fi-1O -6-4shy
046120-5
PHYSICAL REVIEW E 6S 046120
qo=4+2v1z and xc(qo)= I + vIz Performing again the weak-disorder expansion (and troncation) and taking the avshyerage over the disorder variables we ablain the seI of recurshysion relatiom
(amp)=4w(amp)+2(PI +2p2)(amp)2+4m(2)+4(fI +212)(amp)
X(2)+2(CI + 2C2)(2)2+4k(amp3)+4a( 4) (42)
(2)= 12w2()2+4w 2(2) +8w(3m+PI +2p2)()(2)
+[12m2+8w(fI + 212)+ 2(pt+2Pi)](2)2
+ 8wm(3)+ (8wk+ 4m2)(4) (43)
(e 3)= 9w(s)(2)+ 3(3m + PI + 2pz)( 2)2+ w(3)
+ 3m(e 4) (44)
and
(4)=9w2(e 2)2+ w2(e4) (45)
It should be noted thal due to the smaller synunetry of the lattice we now have a larger set of coefficients Also noUce lhat in this case qo is determined from the condiUon 4w2
= I About the criticai vaiue qo and to leading order in Aq wehave
I w=2+---- (46)
and
vIz-2 133-94v1z A (47)m=-g-+ q
TIle values for the remaining coefficients are Iisted in Table ID
The moments of the deviations at the random fixed point are written as
I (e)= 7(5-3v1z)Aq
1 rshy(e-)= 7(4- y2)Aq
3 (s3)= 4tj(95v1z-128)(Aq)2
6 (eacute)= 4tj(9-4v1z)(Aqj2 (48)
bull I
102
~
Apecircndice C
P T MUZY A P VIEIRA AND S R SALINAS
-v--- I branches
~ FIG 4 A diamond hierarchicallattice with b= 2 bonds and I branches
Perfomuacuteng a linear stability anaIysis abOllt lhe pure Ilxed poinl we obtain
AY)=2 + (l7J2-24)aq (49)
Al= 1+ (17J2-24)aq (50)
wilh a specific-heal exponent
a =-I+~--- (51)p 2 shy
while about lhe random fixed point we have
1 Al=2-1(92-65fi)aq (52)
A[l= 1-l7J2-24)aq (53)
wilh
3 ___ ~~ a=-l 14 (54)
These results show lhat once more disorder becomes relshyevant for aqgto but now we obtain a positive (and lhus physicaly acceptable) vaIue of lhe second moment of lhe deviations at lhe random Ilxed paim We aIso have a lt a P So as in lhe fully disordered mode (d 1 = O) studied by Derrida and Gardner [9] and in agreement wilh numericaI calculations [4] lhe weak-diacutesorder scheme predicts a (perturshybative) finite-disorder fixed polnl wilh vaIues of lhe criticai exponents continuously approaching Ihose of lhe pure model as aq-gto
V AN ISING MODEL WITH CORRELATED DISORDER
The set of recursion relations given by Eqs (25) to (28) wilh a suitable redefinition of parameters can also be used 10 anaIyze an Ising model on a more general diamond structure wilh b = 2 bonds and i branches and COITeJated disordered ferromagnetic exchange interactious aIong lhe layers (see Fig 4) For this structure we also have d - dI = I While in ~ lhe Potts models we have a natural parameter q for varying a we now change lhe topology of lhe lattice by varying i to obtain lhe same effect
PHYSICAL REVIEW E 650461W
U sing lhe standard Ising Hamiltonian
H= z Jj(TUj (55) (t)
wilh (Ti = t I and introducing lhe more convenient transmisshysivity variable ti = tanh fJJi lhe decimation of lhe inlerrnedishyate spins leads 10 lhe recursion relation
I =R(tI12)= lanhilanh- 1(llt2) (56)
As in Seco UI wenow wrile I =le+C and 11=le+ I where
Ic=Rte Ie (57)
is lhe criticaI transmissivity of lhe uniform mode We Ihen perform quenched averages and use lhe weak-disorder asshysumption to obtain Eqs (25) lo (28)
The criticai paramelers for relevance of disorder io =144976 and Ic(O) =079951 come from Eqs (57) and (15) The smaIl parameter Agrave can be chosen as
dXe I dxJAgrave=lc(i)-le(lo)=df (i-lo)==jf M (58)
lo ltlo
Again we use Agrave as a convenient parameter for aIgebraic mashynipulations allhough ai is lhe physically relevanl variable The Taylor coefficienls in Eqs (25) to (28) are given by w =fi2-054522Agrave m=-049698-065422Agrave a =011520 c= 164903 k=-012543 f=-161924 and p = - 010953 We Ihen caculale lhe leading vaIues of lhe moments aI lhe random fixed point
(e)= -064971al
- 0270 7Ml
- 0300 84( ai)2
+021993(al)2 (59)
A linear slability anaIysis leads lo lhe eigenvaIues AiacuteP)
=fi+071884ai and 1+101659M for lhe pure fixed poinl and 120537M and A[)= I -101659al for lhe random fixed point From these values we see Ihat disorder iacutes elevant for algtO but we again have (c2) ltO in Ihis case
We lhen obtain lhe speciacutefie heat criticaI exponents
ap = 107163+251471M (60)
and
a r= 107163+ 5563 79M (61)
For MltO which corresponds to alt -107163 lhe pure fixed point is stable and lhe random model displays lhe same critica behavior as ils pure counterpart For aigtO which correspands to agt -10713 (yielding again ar gtlYp) we antieipate a Ilovel class of (random) criticaI beshy
046120-6
103
c
CORRELATED DISORDERED INTERACTIONS ON POTIS
havior but lhe fixed point musl be nonpertUlbative as sugshygested by lhe nonphysical characler of lhe weak-disorder reshysuIts
VI CONCLUSIONS
We have used a weak-disorder scheme and real-space renormalization-group techniques to look at the effects of correated disorder on lhe criticaI behavior of some q-state Potts models with correlated disordered ferromagnetic intershyactions a10ng di out of d spatial dimensions We have written exact recursion relations on diamond and necldace hierarchishycal structures which are equivalent lo Migdal-Kadanoff apshyproximations for the corresponding Bravais lattices
The weak-disorder scheme leads to analytical results by truncating the recursion relations for the moments of the disshytribution function We firs used scaling arguments to redshyerive a general expression for the Hanis criterion to gauge lhe relevance of disorder (and show that iacutet is related to the number of independent Tandom variables in the unit cell of lhe lattice and the first derivative of lhe recursion relations at the pure fixed point) We then performed a number of calcushylations to compare with numerical findings by Andelman and Aharony
For q-stale Potts models on various hierarchical lattices with ferrornagnetic random exchange inleractions correlated a10ng dI = 1 out of d= 2dimensions we oblained anew (rsnshydom) fixed poinl for q larger Ihan a characteristie value qo where disorder becomes relevant This fixed poinl however is located in a nonphysical region of parameter space which suggests Ihal a nonpertnrbative (infinile-disorder) fixed point must be presenl (as poinled oul by lhe calculations of Andelshyman and Aharony) For a q-slate Potts model on a diamond lattice wilh dI I and d- 3 we obtained a physically ao ceptable fiuite-disorder fixed point for qgtqo as in lhe fully
PHYSICAL REVIEW E 65 046120
disordered model analyzed by Denida and Gardner (alshyIhough in our case the usual expression of lhe Harris eriteshyrion iacutes nOI fulfilled) Also we consiacutedered an Ising model (q = 2) on a diamond lattice wilh b - 2 bonda and I brsnches (where inslead of is lhe control parameter) which is another example of a 1 system Agaln the weakshydisorder expansion predicls a nonphysical rsndom fixed point
To summarize lhe results of this paper we point oul thal in lhe vicinity of lhe point where disorder becomes relevant lhe weakmiddotdisorder scheme a1ways produces a pertnrbative random fixed point but Ihere are two distinct possibilities depending on lhe difference between d and dI (iacute) If d-dl
I lhe pertnrbative fixed point is cbaracterized by a negashytive variance and is Ihus nonphysical suggesling the erisshytence of another nonperturhative fixed point (ii) If d-d I gt I the scheme predicts a physiacutecally acceptable pertnrbative fixed point It should be mentioned Ihat Ihis same picture holda for fairly general hierarchical lattices in particular those with noniterating bonda as considered by Griffiths and Kauffman [12] Furthermore in the case of lhe quantum Ising mode with bond disorder which corresponda to lhe extreme-auisotropy limit of lhe two-dimensional McCoy-Wu model (d-dI = I) Fisher [13] was able to obtain a (presumshyably exact) fixed-point probability distribution with infinile variance lt is certainiy interesting to investigate whelher similar conclusions slill hold for other models (as the probshylem of directed polyrners in flllllom environments [5]) on eilher hierarchical or Bravais lattices
ACKNOWLEDGMENTS
This worlc was partially financed by lhe Brazilian agenshycies CNPq and Fapesp
4 ~
[I] AB lIams J Phys C 7 1671 (1974) [2] TC Lubensky Phys Rev B 11 3573 (1975) [3] B Derrid H Dlckiacutenson and J Yeomans J Phys A 18 L53
(1985) [4] D Andelman and A Aharony Phys Rev B 31 4305 (1985) [5] S Mukberji and SM Bhattacbatjee Phys Rev E 52 1930
(1995) [6] A Efral Phys Rev E 63 066112 (2001) [7] D Andelman and AN Berker Phys Rev B 29 2630 (1984)
[8] BM McCoy and TT Wu Phys Rev 176 631 (1968) [9] B Derrlda and E Gardner J Phys A 17 3223 (1984)
[10] PT Muzy and SR Salinas Iot J Mod Phys B 13 397 (1999)
[11] A Efral and M Schwartz Phys Rev E 62 2952 (2000) [12] RB Griffiths and M Kaullnan Phys Rev B 26 5022 (1982)
M Kaullnan and RB Griffitbs ibid 24496 (1981) [13] Ds Fisher Phys Rev Lett 69 534 (1992) Phys Rev B 51
6411 (1995)
046120-7
104
Referecircncias
ARLEGO M CABRA D C e GRYNBERG M D (2001) Phys Rev B 64 134419
AZUMA M FUJISHIRO Y TAKANO M NOHARA M e TAKAGI H (1997) Phys Rev B 55
BARBER M N (1983) In Phase Transitions and Critical Phenomena Domb C e Lebowitz J L editores voI 8 p 145 Academic Press New York
BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F (2000) J Phys Condenso Matter 12 6207
BELL G M (1975) J Phys C Solid State Phys 8 669
BETHE H A (1931) Z Physik 71 205
BINDER K e YOUNG A P (1986) Rev Mod Phys 58 801
BOBAacuteK A e JURCISIN M (1997) Physica A 240 647
BRANCO N S (1999) Phys Rev B 60 1033
BROUT R (1959) Phys Rev 115 824
BUENDIacuteA G M e NOVOTNY M A (1997) J Phys Condenso Matter 9 5951
t BUNDER J E e McKENZIE R H (1999) Phys Rev B 60344
CARDY J L (1999) Physica A 263 215
CARVALHO Z V BECERRA C C PADUAN-FILHO A e PALACIO F
(2001) J Magn Magn Mater 226-230 615
DA SILVA N R e SALINAS S R (1991) Phys Rev B 44852
105
Referecircncias
DASGUPTA C e MA S-K (1980) Phys Rev B 22 1305
DE CARVALHO J X (1996) Dissertaccedilatildeo de mestrado Instituto de Fiacutesica
Universidade de Satildeo Paulo
DE JONGE W J M SWUumlSTE C
(1975) Phys Rev B 12 5858 H W KOPINGA K e TAKEDA K
DE LIMA A L STOSIC B D e FITTIPALDI r P (2001) J Magn Magn Mater 226-230 635
DEN NIJS M e ROMMELSE K (1989) Phys Rev B 40 4709 iacute I
DHAR D (1980) Physiea A 102 370
DOMB C (1980) Adv Phys 9 149
DOTY C A e FISHER D S (1992) Phys Rev B 45 2167
DUPAS C e RENARD J P (1978) Phys Rev B 18401
EGGARTER T P e RIEDINGER R (1978) Phys Rev B 18569
EGGERT S) AFFLECK r e HORTON M D P (2002) Phys Rev Lett 89 047202
FISHER D S (1992) Phys Rev Lett 69 534
FISHER D S (1994) Phys Rev B 503799
FISHER D S (1995) Phys Rev B 51 6411
FISHER D S e YOUNG A P (1998) Phys Rev B 589131
FURUSAKI A SIGRIST M LEE
(1994) Phys Rev Lett 73 2622 P A TANAKA K e NAGAOSA N
GAUDIN M (1983) La Fondion dOnde de Bethe Masson Paris
GONCcedilALVES J R
104-107 261 e GONCcedilALVES L L (1991) J Magn Magn Mater l
GONCcedilALVES L L (1985) Phys Ser 32 248
GRIFFITHS R B (1969) Phys Rev Lett 23 17
HAAS S RIERA J e DAGOTTO (1993) Phys Rev B 48 13174
106
Referecircncias
HADDAD T A S PINHO S T R e SALINAS S R (2000) Phys Rev E 613330
HARRIS A B (1974) J Phys C 7 1671
HENELIUS P e GIRVIN S M (1998) Phys Rev B 5711457
HERMISSON J (2000) J Phys A Math Gen 33 57
HERMISSON J GRIMM U e BAAKE M (1997) J Phys A Math Gen 307315
HONE D MONTANO P A TONEGAWA e IMRY Y (1975) Phys Rev B 12 5141
HYMAN R A YANG K BHATT R N e GIRVIN S M (1996) Phys Rev Lett 76 839
IGLOacuteI F KAREVSKI D e RIEGER H (1998) Eur Phys J B 1 513
Itv1RY Y MONTANO P A e HONE D (1975) Phys Rev B 12253
KANEYOSHI T (1987) J Phys Soe Jpn 562675
KANEYOSHI T (1988) Physiea A 153 556
KORENBLIT I Y e SHENDER E F (1993) Phys Rev B 48 9478
LIEB E SCHULTZ T e MATTIS D (1961) Ann Phys 16407
LUBENSKY T C (1975) Phys Rev B 11 3573
LUCK J M (1993a) Europhys Lett 24 359
LUCK J M (1993b) J Stat Phys 72 417
LUCK J M e NIEUWENHUIZEN (1986) Europhys Lett 2 257
LUTHER A e PESCHEL I (1975) Phys Rev B 123908 ~-
MA S-K DASGUPTA C e Hu C-K (1979) Phys Rev Lett 43 1434
MAZO R M (1963) J Chem Phys 39 1224
McCoy B (1968) Phys Rev 173531
McCoy B e Wu T (1968) Phys Rev 176631
107
Referecircncias
McKENZIE R H (1995) Phys Rev B 51 6249
McKENZIE R H (1996) Phys Rev Lett 77 4804
MEacuteLIN R LIN Y LAJKOacute P RIEGER H e IGLOacuteI F (2002) Phys Rev B 65 104415
NGUYEN T N LEE P A e ZUR LOYE H-C (1996) Science 271489
OSEROFF S B CHEONG S-W AKTAS B HUNDLEY M F FISK Z e Rupp JR L W (1995) Phys Rev Lett 74 1450
PADUAN-FILHO A BECERRA C C e PALACIO F (1998) Phys Rev B 583197
PFEUTY P (1979) Phys Lett A 72 245
QUADROS S G A e SALINAS S R (1994) Physica A 206 479
SACHDEV S (1999) Quantum Phase Transitions Cambridge University c
Press Cambridge
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2000) Phys Rev B 625541
SAGUIA A BOECHAT B e CONTINENTINO M A (2002) Phys Rev Lett 89 117202
SAGUIA A BOECHAT B CONTINENTINO M A e DE ALCAcircNTARA BONshy
FIM O F (2001) Phys Rev B 63052414
SATIJA I I (1994) Phys Rev B 49 3391
SCALAPINO D J IMRY Y e PINCUS P (1975) Phys Rev B 112042
SCHECHTMAN D) BLECH L GRATIAS D e CAHN J W (1984) Phys Rev Lett 53 1951
SCHOUTEN J C BOERSMA F) KOPINGA K e DE JONGE W J M
(1980) Phys Rev B 21 4084
SCHULZ H J (1996) Phys Rev Lett 77 2790
SIMIZU S CHEN J e FRIEDBERG S A (1984) J Appl Phys 55 2398
SLOTTE P A (1985) J Phys C Solid State Phys 18
108
l
i
1shy
I I I
I I
Ir
Referecircncias
SMITH T e FRIEDBERG S A (1968) Phys Rev 176 660
TRUDEAU Y e PLUMER M L (1995) Phys Rev B 51 5868
TUCKER J W (1999) J Magn Magn Mater 195733
WANG Z (1997) Phys Rev Lett 78 126
WESSEL S NORMAND B SIGRIST M e HAAS S (2001) Phys Rev Lett 86 1086
WESTENBERG E FURUSAKI A SIGRIST M e LEE P A (1995) Phys Rev Lett 754302
YOUNG A P (1976) J Phys C Solid State Phys 9 2103
YOUNG A P (1997) Phys Rev B 56 1169l
YOUNG A P e RIEGER H (1996) Phys Rev B 538486
ZHANG G-M e YANG C-Z (1993) Phys Rev B 489452
109
- I
Recommended
![ililt til ill - USP · T]NIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA SBI-IFUSP r ililt iltil ililt ]iltill[l1ilJltilru ilil ffit ililt til ill Estudo de sítios de cromo em vidros](https://img.document.onl/doc/110x75/5e810704bd3b6c1fe130cf8c/ililt-til-ill-tniversidade-de-sfo-paulo-instituto-de-fsica-sbi-ifusp-r-ililt.jpg)
