Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Química
Curso de Licenciatura em Química
Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria & Química
Haroldo Candal da Silva
Rio de Janeiro
2014
Haroldo Candal da Silva
Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria & Química
Monografia submetida ao corpo docente do
Instituto de Química da Universidade do Estado do Rio
de Janeiro como requisito final para obtenção do diploma
de Licenciatura em Química.
Orientadora: Professora Dr.ª Maria de Fátima Teixeira Gomes
Rio de Janeiro
2014
Haroldo Candal da Silva
Aprovado em ________________________________________________
Banca Examinadora: _________________________________________
_____________________________________________
Profª. Drª. Maria de Fátima Teixeira Gomes (Orientadora)
Departamento de Química Geral e Inorgânica - Instituto de Química - UERJ
_____________________________________________
Prof.ª Dr.ª Angela Sanches Rocha
Departamento de Físico-Química - Instituto de Química - UERJ
_____________________________________________
Prof. Dr. Maurício Tavares de Macedo Cruz
Departamento de Química Geral e Inorgânica - Instituto de Química - UERJ
Rio de Janeiro
2014
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a Deus, que supriu minhas necessidades e
renovou minhas forças durante a Graduação e em todos os
momentos de minha vida, através de meus pais, amigos,
professores, muitos dos quais são como familiares para mim.
AGRADECIMENTOS
À minha família, em especial, pai e mãe, que sempre se
dedicaram para me dar o melhor e são exemplos de amor.
Aos professores Ilton Jornada, Fátima Gomes e Angela Sanches
por mostrarem imensa preocupação com minha formação
acadêmica e por estarem sempre presentes.
Aos professores que lecionam no curso de Licenciatura em
Química da UERJ.
À Direção e aos professores do Colégio Estadual Professor
Ernesto Faria, em especial à professora Denise Gutman, por
quem tenho grande carinho e admiração.
Aos alunos do Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, em
especial aos que frequentaram a turma 3001, que se formou em
2013, os quais tive o privilégio de acompanhar desde o início do
Ensino Médio e de vivenciar com eles as minhas primeiras
experiências na carreira docente.
Aos meus colegas de Curso, em especial, Marcos Leal e Dayane
Sales, que estiveram comigo em momentos difíceis ao longo da
Graduação.
O valor da educação:
“Apega-te à instrução e não a largues; guarda-a, porque ela é a tua vida.”
Provérbios 4:3
RESUMO
CANDAL, Haroldo da Silva. Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria &
Química. Monografia (Graduação em Licenciatura em Química) – Instituto de Química –
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
O objetivo desta Monografia é relatar estratégias e sequências didáticas, que foram
desenvolvidas por um estudante da UERJ, que participa como bolsista do Programa
Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID/Capes), do Subprojeto-Química, com
alunos do Ensino Médio, do Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, localizado no Rio de
Janeiro, no ano Internacional da Matemática, visando relacionar Geometria e Química. As
sequências didáticas foram desenvolvidas para projetos escolares que visaram deixar claro
para os estudantes, o papel instrumental da Matemática na proposição de modelos
explicativos para as estruturas dos materiais. Os projetos escolares foram desenvolvidos por
dois grupos, um do segundo ano e outro do terceiro, os quais trabalharam, respectivamente, os
temas: “Geometria dos sólidos cristalinos” e “Aplicando conceitos da Geometria na
determinação de raios atômicos de alguns metais”. No início das atividades foram aplicados
questionários que foram utilizados para levantar os conhecimentos prévios e para orientar a
busca de informações. Os alunos que trabalharam com o primeiro tema, a partir das
informações colhidas em consultas a livros e a internet, elaboraram cartazes e montaram
modelos representativos das redes cristalinas utilizando massa de modelar e palitos de fósforo.
A sequência didática relacionada ao segundo tema envolveu, além de respostas ao
questionário, a determinação das massas e das dimensões de amostras cilíndricas de alumínio,
zinco e cobre; a realização de cálculos químicos e a aplicação de conceitos da Geometria para
determinação dos volumes atômicos e dos correspondentes raios atômicos dos três metais.
Consideramos que as sequências didáticas promoveram a interdisciplinaridade entre a
Geometria e a Química e, também, favoreceram a contextualização de conceitos das duas
disciplinas. A aplicação dos projetos escolares contribuiu de forma significativa para o
aprendizado de conceitos, promoveu o desenvolvimento de várias habilidades e os trabalhos
em equipe.
Palavras-chave:
Sequências didáticas, interdisciplinaridade, Geometria e Química, estruturas cristalinas; raios
atômicos.
ABSTRACT
Candal, Haroldo da Silva. Interdisciplinary Didactic sequences: Geometry & Chemistry.
Monograph (Undergraduate Degree in Chemistry) - Institute of Chemistry – Universidade do
Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
The purpose of this monograph is to report strategies and didactic sequences that were
developed by a student from the UERJ who participate in the Institutional Scholarship
Program for Teacher Initiation (PIBID/Capes), Chemistry-Subproject, involving high school
students of Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, located in Rio de Janeiro, Brazil. This
project was done during the International Year of Mathematics, and it aims to relate Geometry
and Chemistry. The didactic sequences were developed for school projects that aim to show
the instrumental role of mathematics in making models for material structures. The school
projects were developed by two groups, one group of second-year high school students, and
another group of third-year high school students. The groups worked, respectively, on the
following themes: "crystalline solids of Geometry" and "Applying concepts of geometry in
determining atomic radii of metals". Questionnaires were used to get prior knowledge and to
guide the search for information. Students who worked with the first theme developed posters
and set up representative models of crystal lattices using modeling clay and matchsticks. The
didactic sequence of the second theme included answering a questionnaire and conducting
chemical calculations. It also included determining the geometry of the atomic volumes, and
calculating the masses and dimensions of cylindrical samples of aluminum, zinc, and copper.
We believe that these didactic sequences promoted interdisciplinary learning of Geometry and
Chemistry and also favored the concepts of both disciplines. The implementation of the
school projects contributed to the teaching of several concepts, and it also promoted
teamwork and the development of several skills.
Keywords: Didactic sequences, Interdisciplinary, Geometry and Chemistry, Crystal
structures, and Atomic radii.
LISTAGEM DE FIGURAS
Figura 1 – Estruturas do quartzo (sólido cristalino) e do vidro (sólido amorfo)......................15
Figura 2 – Estrutura do gelo .....................................................................................................16
Figura 3 – Estruturas dos alótropos do carbono........................................................................17
Figura 4 - Representação expandida de uma estrutura hexagonal compacta ...........................17
Figura 5 – Representação das estruturas hexagonal e cúbicas compactas................................18
Figura 6 – Representação de uma rede cristalina formada pela repetição de células
triclínicas...................................................................................................................................19
Figura 7 - Representação das células unitárias dos sete sistemas cristalinos............................20
Figura 8 – Representação das células unitárias: c.s., c.c.c., c.f.c..............................................20
Figura 9 - Representação dos quatorze retículos de Bravais....................................................21
Figura 10 - Representação da célula unitária do cloreto de sódio ...........................................22
Figura 11 - Relação entre os raios dos íons Na+ e do Cl
- e as dimensões da célula unitária do
NaCl..........................................................................................................................................22
Figura 12 - Frações de Na+ e do Cl
- em uma célula unitária cúbica de faces centradas do
NaCl..........................................................................................................................................22
Figura 13 - Relação entre o comprimento da aresta (a) e o raio (R) do átomo.........................26
Figura 14 - Representação de um átomo inscrito na célula unitária cúbica simples de aresta
a.................................................................................................................................................27
Figura 15 - Estrutura cristalina do diamante.............................................................................29
Figura 16 - Estrutura cristalina do grafite.................................................................................30
Figura 17 - Rede cristalina do quartzo......................................................................................31
Figura 18 - Rede cristalina do cloreto de sódio .......................................................................31
Figura 19 - Arranjo geométrico do cristal sulfato de cobre - triclínico ...................................32
Figura 20 - Molécula de enxofre, S8........................................................................................32
Figura 21 - Rede cristalina do quartzo construída com massa de modelar e palitos ...............33
Figura 22 - Célula unitária do NaCl construída com massa de modelar e palitos....................33
Figura 23 - Representação da molécula de S8 e do sistema hexagonal com massa de modelar e
palitos ......................................................................................................................................34
Figura 24 - Cartazes apresentados pelos alunos sobre sólidos amorfos e cristalinos...............34
LISTAGEM DE TABELAS
Tabela 1 - Os sete sistemas cristalinos ....................................................................................19
Tabela 2 - Dados relativos às amostras de alumínio, zinco e cobre.........................................36
Tabela 3 - Raios atômicos do alumínio, zinco e cobre calculados admitindo-se a hipótese I 37
Tabela 4 - Raios atômicos do alumínio, zinco e cobre calculados admitindo-se a hipótese II.38
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO........................................................................................................................12
1. A ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS............................................................ 16
1.1. Os sólidos moleculares ..................................................................................................... 15
1.2. Os sólidos reticulares ....................................................................................................... 16
1.3. Os sólidos metálicos ......................................................................................................... 17
1.4. Células Unitárias .............................................................................................................. 18
1.5. Estruturas Iônicas ............................................................................................................. 21
2. METODOLOGIA ............................................................................................................... 23
3. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS.............................................................. 28
3.1. A Geometria dos Sólidos Cristalinos................................................................................ 28
3.2. Aplicando conceitos da Geometria na determinação de raios atômicos de alguns
metais .......................................................................................................................................28
4. CONCLUSÃO .................................................................................................................... 39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 40
ANEXO ................................................................................................................................... 42
12
INTRODUÇÃO
As atuais Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, MEC,
2013) preconizam que o currículo deve contemplar quatro áreas de conhecimento, a saber:
Linguagens, Matemática, Ciências da Natureza (Biologia, Física e Química) e Ciências
Humanas. Há uma recomendação explícita para que esta organização por áreas não dilua nem
exclua “componentes curriculares com especificidades e saberes próprios construídos e
sistematizados” (p. 196), mas pelo contrário, que as relações entre eles sejam fortalecidas
mediante o uso de metodologias de ensino que privilegiam a contextualização e a
interdisciplinaridade ou outras formas de interação e articulação.
O “papel instrumental” da Matemática, isto é, seu uso como uma ferramenta aparece
muito claramente nas tarefas cotidianas, assim como na resolução de problemas específicos de
diferentes áreas do conhecimento e em, praticamente, todas as atividades humanas. O
aprendizado em Matemática no Ensino Médio também desempenha um “papel formativo”, ao
contribuir para o “desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes”
(BRASIL, MEC, 2000, p. 40).
Como destacam os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM)
A Matemática possui uma linguagem formalizada que utiliza um sistema próprio de códigos e
regras que permite comunicar ideias, modelar a realidade e interpretá-la. O aprendizado da
Matemática requer a apropriação pelo indivíduo dessa linguagem simbólica, que foi
socialmente construída ao longo da história da humanidade, e esse processo é normalmente
lento e trabalhoso. O anexo apresenta alguns símbolos universais da Matemática.
A Química como a Matemática, se caracteriza por utilizar uma linguagem própria e
sua assimilação é indispensável para a compreensão dessa ciência. Desse modo, entre as
competências e habilidades primeiras a serem desenvolvidas no Ensino Médio estão “traduzir
a linguagem discursiva em linguagem simbólica da Química e vice-versa” e “traduzir a
linguagem discursiva em outras linguagens usadas em Química: gráficos, tabelas e relações
matemáticas” (BRASIL, MEC, 2000, p. 39). Neste sentido, fica evidente a necessidade de
integrar os conteúdos dessas duas áreas numa perspectiva interdisciplinar.
A existência de uma relação estreita entre as áreas de Matemática e Química está clara
nos procedimentos que devem ser desenvolvidos no aprendiz, no que diz respeito aos
domínios da investigação e compreensão, detalhados nas Orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+), dos quais destacamos:
“identificar as informações ou variáveis relevantes em uma situação-problema e elaborar
13
possíveis estratégias para equacioná-la ou resolvê-la”; “identificar regularidades e
invariantes” nas interações e transformações químicas; selecionar e utilizar instrumentos de
cálculo e “instrumentos para medidas de massa, temperatura, volume, densidade e
concentração”; “compreender e fazer uso apropriado de escalas” (de instrumentos como
termômetros, balanças e indicadores de pH); “fazer estimativas, elaborar hipóteses e
interpretar resultados” partindo de “relações entre massas, energia ou intervalos de tempo em
transformações químicas”, etc. (BRASIL, MEC, 2002, p. 90 e 91). Essas relações evidenciam
não só o papel instrumental da Matemática no ensino-aprendizagem de Química, mas também
o seu papel formativo ao “ajudar a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo”
(BRASIL, MEC, 2000, p. 40).
A Química utiliza diretamente recursos matemáticos, tais como fórmulas, conceitos e
teoremas para explicar suas leis, desde as proporções entre os átomos em um composto iônico
até as complexas equações diferenciais de Schrödinger que descrevem as funções de onda, ou
desde a relação entre espaço e tempo (que define velocidade média) até as belíssimas
equações da mecânica quântica, ela está sempre ali, como ferramenta ou fundamento.
Atualmente, no Ensino Fundamental II (correspondente aos 6º, 7º, 8º e 9º anos), a
Matemática é tratada nas equações simples (primeiro grau, segundo grau e polinômios) e
alguns conceitos fundamentais da Geometria Plana, tais como ponto, reta, planos, polígonos,
círculos, cálculos de comprimento, área e volume. Esses conceitos são cruciais para o
entendimento da Física e da Química, pois elas se utilizam deles para explicar seus
fenômenos. De forma mais específica, em Química, noções de geometria molecular permitem
prever a solubilidade de uma substância e interpretar suas temperaturas de fusão e ebulição.
Contudo, o Ensino de Geometria tem passado por mudanças constantes ao longo dos
últimos anos. Ferreira (2005) aponta para o fato de que, na década de 70 surgira uma
valorização dos axiomas e definições rigorosas dos conceitos matemáticos e uma dedicação
excessiva de tempo para o ensino da teoria e linguagem dos conjuntos, bem como outros
tópicos da Matemática. Assim, afirma a autora, “é possível que esse rigor e ênfase nos
postulados e axiomas tenha produzido um efeito prolongado, afastando os professores de
ensinar geometria” (p.8).
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, um dos critérios
mais importantes que devem estar presentes em uma metodologia de ensino que vise à
aprendizagem significativa é o da interdisciplinaridade. Assuntos de Química, como Cálculos
Estequiométricos, que tratam das proporções entre as quantidades de substâncias que
participam de reações químicas, são transmitidos aos alunos de forma mecânica, pois o
14
conceito de proporção se perde (muitas vezes) ainda no ensino fundamental. Dessa forma, a
tarefa de aprender as transformações das unidades de quantidade de matéria se torna muito
mais difícil uma vez que, com deficiências nas operações com razões e proporções, os
cálculos são reduzidos às regras de três realizadas de forma memorizada e mecânica. Dressler
e Robaina (2012), ao proporem uma nova abordagem do ensino de Estequiometria, mostram a
carência do desenvolvimento de uma capacidade de interpretar problemas de Química com
raciocínio lógico e matemático simples, sem a aplicação de regras memorizadas e
mecanizações desnecessárias:
Infelizmente, por ser um assunto complexo e com grau de dificuldade maior,
professores tendem a reduzi-lo a expressões matemáticas e regras de três. Ou
seja, tornam a estequiometria uma mecanização de cálculos e ‘regrinhas’, não
levando a interpretação de problemas propriamente ditos. (p.1)
Desta forma, torna-se fundamental uma abordagem interdisciplinar no Ensino de
Química que trabalhe os conceitos dessa disciplina sem perder a conexão com a Matemática
com a qual está fundamentada (no caso da estequiometria, a ideia de proporção). Assuntos
como geometria molecular, cinética química, soluções (principalmente quanto ao
entendimento das unidades de concentração) trazem consigo assuntos tratados na Matemática
já conhecida pelos alunos e, infelizmente, esses tópicos são abordados, na maioria das vezes,
de forma excessivamente conteudista, sem que haja a relação com os conceitos matemáticos
que as regem (não por que esta interação não exista, mas sim por que o próprio professor não
realiza a conexão ao ensinar o conteúdo).
Existem muitas formas de transformar uma metodologia mecanizada em uma forma de
abordagem mais completa e eficaz. Oficinas interdisciplinares são ótimos exemplos que
podem trazer grandes resultados na aprendizagem de um determinado tema. Feiras de
Ciências tem tomado espaço como um tipo de atividade que pode trazer grande impacto em
sala de aula. Segundo Valadares (2001, p.2) “as feiras de ciências constituem um bom
exemplo de atividades voltadas para aumentar a motivação dos alunos”. Na grande maioria
das vezes uma Feira de Ciências parece ser confundida pela equipe pedagógica de uma escola
com um mostruário de experimentos. Cabe ressaltar que o objetivo de uma atividade dessa
natureza é realizar atividades relacionadas a situações da sociedade (tais como meio ambiente,
saúde e sustentabilidade) de forma a trazer reflexões de como o conhecimento científico
aprendido pelos estudantes pode ajudar a combater situações que geram danos ao ser humano
e ao mundo que o abriga. Assim, se várias atividades experimentais forem realizadas em um
15
local e ao mesmo tempo estiverem destituídas de qualquer objetivo além do espetáculo, torna-
se inútil e desconexa.
OBJETIVO
O objetivo desta Monografia é relatar estratégias e sequências didáticas que foram
desenvolvidas por um bolsista PIBID/Capes do Subprojeto de Química com alunos do Ensino
Médio, do Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, localizado no Rio de Janeiro, no ano
Internacional da Matemática, visando relacionar Geometria e Química. As sequências
didáticas desenvolvidas para os projetos escolares visaram deixar claro para os estudantes, o
papel instrumental da Matemática na proposição de modelos explicativos para as estruturas
dos materiais.
16
1. A ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Em um sólido, as partículas estão mantidas em posições rígidas e praticamente não
têm liberdade de movimento. Nos sólidos cristalinos as partículas (moléculas, átomos ou íons)
estão dispostas em um arranjo ordenado, diz-se que os sólidos cristalinos têm ordem de longo
alcance, ou seja, as partículas estão dispostas em arranjos regulares nas três dimensões do
espaço. Água (H2O), cloreto de sódio (NaCl), nitrato de potássio (KNO3), glicose (C6H12O6),
ferro (Fe), alumínio (Al), quartzo (SiO2) e diamante (C) são exemplos de substâncias que
formam sólidos nos quais as partículas constituintes estão organizadas em arranjos cristalinos.
Entretanto, há sólidos em que estes arranjos não estão presentes. São sólidos amorfos nos
quais, em longo alcance, não há qualquer ordenação na disposição das partículas no espaço
(mesmo que, em curto alcance, haja alguma ordem). É o que acontece, por exemplo, nos
vidros, borrachas, etc. (ATKINS & JONES, 2012). Na figura 1 estão representadas a
estruturas cristalina da sílica e a estrutura amorfa de um vidro.
(a) (b)
Figura 1: Estruturas: (a) do quartzo (sólido cristalino) e (b) do vidro (sólido amorfo). (Fonte:
CHANG & GOLGSBY, 2013, p. 495)
Os sólidos cristalinos são classificados de acordo com o tipo de ligação que mantém
unidas as partículas (moléculas, átomos ou íons) constituintes em: sólidos moleculares,
sólidos reticulares, sólidos metálicos e sólidos iônicos.
1.1. Os sólidos moleculares
Os sólidos moleculares são formados por moléculas e são as forças intermoleculares
que mantém a proximidade entre elas, de modo que as propriedades físicas desses compostos
dependem da natureza e da energia dessas forças (ATKINS & JONES, 2012). Na água sólida,
17
por exemplo, as moléculas de H2O estão organizadas de modo que cada átomo de oxigênio
está ligado a quatro átomos de hidrogênio, que estão dirigidos para os vértices de um
tetraedro. Duas dessas ligações são ligações covalentes e duas são ligações de hidrogênio. A
estrutura tridimensional do gelo está representada na figura 2, onde as ligações covalentes
estão representadas por traços curtos contínuos e as ligações de hidrogênio, mais fracas, por
linhas pontilhadas mais compridas entre oxigênio e hidrogênio.
Figura 2: Estrutura do gelo. (Fonte: CHANG & GOLGSBY, 2013, p. 387)
1.2. Os sólidos reticulares:
Os sólidos reticulares são formados por átomos unidos por ligações covalentes que
formam uma rede tridimensional que se espalha por todo o cristal, como ocorre no quartzo
(SiO2), por exemplo. Para fundir um sólido reticular, é necessário quebrar ligações covalentes,
que são muito mais fortes que as interações intermoleculares existentes nos sólidos
moleculares. (ATKINS, 2012).
Dois exemplos clássicos de sólidos reticulares são os alótropos do carbono: diamante e
grafita. No caso do diamante, cada átomo de carbono está ligado covalentemente a outro
átomo de carbono, em um arranjo tetraédrico, formando uma estrutura tridimensional infinita.
por isso sua grande dureza. Na grafita cada átomo de carbono está cercado por outros três
átomos de carbono numa geometria trigonal plana, de modo que a estrutura é uma
combinação de hexágonos que se empacotam em “lâminas” perfeitamente planas cuja
interação entre elas é do tipo Van der Waals. O diamante tem dureza alta (alta resistência a ser
riscado) e a grafita tem dureza baixa (facilmente riscada). Esta diferença reside no fato de que
no diamante são rompidas ligações covalentes simples carbono-carbono e na grafita são
rompidas forças fracas do tipo Van der Waals. (ATKINS & JONES, 2012). Na figura 3 está
18
representado o arranjo tridimensional dos átomos de carbono na estrutura do diamante e a
estrutura laminar (em lâminas) da grafita.
(a) (b)
Figura 3: Estruturas de dois alótropos do carbono: (a) diamante e (b) grafita. (Fonte: CHANG
& GOLDSBY, 2013, p. 394).
1.3. Os sólidos metálicos
Os sólidos metálicos são formados por cátions dos metais envoltos em seus elétrons de
valência, que devido as suas baixas energias de ionização, são perdidos pelos átomos. Os
cátions metálicos ficam rodeados por um “mar” de elétrons que cancelam suas cargas
positivas. “Os elétrons do mar de elétrons são móveis e passam de cátion a cátion facilmente,
conduzindo, assim, uma corrente elétrica” (ATKINS & JONES, 2012, p. 44).
É comum utilizar um modelo que usa esferas rígidas para representar o arranjo dos cátions em
um sólido metálico. O modelo considera que as esferas (cátions) se empilham, deixando o
mínimo espaço livre entre elas (como acontece com laranjas organizadas nas bancas de um
supermercado), com uma organização denominada de estrutura de empacotamento compacto.
Há duas formas diferentes de empacotamento compacto, o que leva a estrutura hexagonal
compacta (hc) e a que leva a uma estrutura cúbica compacta (cc). Considerando-se três
camadas de esferas superpostas, temos que na estrutura hexagonal compacta (hc), a primeira e
a terceira camadas de esferas ocupam posições idênticas e estão localizadas nas depressões da
camada intermediária, reproduzindo um padrão ABAB... Na estrutura cúbica compacta (cc), a
primeira e a terceira camadas ocupam as depressões da camada intermediária, mas a terceira
camada difere da primeira por uma rotação de 60°, reproduzindo, agora, o padrão ABCABC...
A esfera central, nos dois empacotamentos, está rodeada de doze esferas, ou seja, o número de
coordenação do átomo central é 12, ele tem doze átomos semelhantes ao seu redor. A figura 4
19
apresenta a disposição dos doze vizinhos mais próximos da esfera central em representações
expandidas de estruturas hexagonal e cúbica de empacotamento compacto. A figura 5
apresenta as estruturas hexagonal compacta (hc) e cúbica compacta (cc).
Figura 4: Representação expandida de uma estrutura hexagonal compacta (hc) (à esquerda) e
de uma estrutura cúbica compacta (cc) (à direita). (Fonte: LEE, 1999, p. 18)
(a) (b)
Figura 5: Representação da estrutura (a) cúbica compacta (cc); (b) hexagonal compacta (hc).
(Fonte: SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 57).
1.4. Células unitárias
Em um cristal, átomos, íons ou moléculas se empilham tridimensionalmente segundo
um padrão ou unidade que se replica indefinidamente. Esse padrão é denominado célula
unitária, e corresponde “a menor unidade que, quando empilhada repetidamente sem lacunas,
pode reproduzir o cristal inteiro” (ATKINS & JONES, 2012, p. 188). A figura 6 exemplifica
uma rede cristalina formada pela repetição de uma célula unitária tricínica.
20
Figura 6: Representação de uma rede cristalina formada pela repetição de células triclínicas.
(Fonte: CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 387).
Todos os cristais são classificados, de acordo com suas características geométricas, em
um dos sete sistemas cristalinos, denominados de cúbico, tetragonal, ortorrômbico,
hexagonal, trigonal (ou romboédrico), monoclínico e triclínico. A cada sistema cristalino
corresponde um tipo de célula unitária primitiva, que é definida pelos comprimentos das
arestas e pelos valores dos ângulos entre elas, esses valores são denominados parâmetros de
rede da célula unitária. A figura 7 exibe o desenho das células unitárias dos sete sistemas
cristalinos e a tabela 1 apresenta os seus parâmetros de rede (Fonte: CHANG & GOLDSBY,
2013, p. 480).
Alguns sistemas cristalinos admitem mais de um tipo de célula unitária. Para o sistema
cúbico, por exemplo, existem três tipos de células unitárias: a cúbica simples (c.s), a cúbica de
corpo centrado (c.c.c) e a cúbica de faces centradas (c.f.c). A soma de todos os tipos de
células unitárias resulta em quatorze “retículos de Bravais” (ATKINS & JONES, 2012, p. 189).
A figura 8 apresenta os três tipos de células unitárias do sistema cristalino cúbico: cúbica
simples (c.s), cúbica de corpo centrado (c.c.c) e cúbica de faces centradas (c.f.c). A figura 9
exibe os quatorze retículos de Bravais.
Tabela 1: Os sete sistemas cristalinos
Sistema Parâmetros de rede da célula unitária
Comprimentos Ângulos
Cúbico a = b = c = = = 90°
Tetragonal a = b c = = = 90°
Ortorrômbico a b c = = = 90°
Hexagonal a = b c = 120°
Trigonal a = b = c = = 90°
Monoclínico a b c 90° = 90°
Triclínico a b c 90°
21
Figura 7: Representação das células unitárias dos sete sistemas cristalinos. Na sequência,
acima: cúbico, tetragonal, ortorrômbico e hexagonal; abaixo: trigonal, monoclínico e
triclínico.
(a) (b) (c)
Figura 8: Três células unitária cúbicas, acima representadas com pontos (expandida) e abaixo
com esferas maciças: (a) cúbica simples (c.s); (b) cúbica de corpo centrado (c.c.c) e (c) cúbica
de faces centradas (c.f.c). (Fonte: KOTZ & TREICHEL, 2002, p. 419).
1.5. Estruturas Iônicas:
Os sólidos iônicos são formados por um empilhamento tridimensional de cátions de
metais e ânions, geralmente, de elementos com alta eletroafinidade, que se mantém unidos
devido a forças de atração de natureza coulombiana que se estabelecem entre íons de cargas
opostas. O cloreto de sódio, por exemplo, os íons de cargas opostas regularmente distribuídos
se organizam em uma rede cristalina cúbica que se repete tridimensionalmente. A menor
unidade que se repete e que mantém a forma de organização espacial dos íons é uma célula
22
unitária cúbica de faces centradas (c.f.c). Na figura 10 está representada a célula unitária do
NaCl, na forma expandida e com as esferas, que representam os íons, em contato umas com as
outras (fonte: CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 54).
Figura 9: Representação dos quatorze retículos de Bravais.
Fonte: http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg
(a) (b)
Figura 10: Representação da célula unitária do cloreto de sódio (a) estrutura expandida e (b)
esferas em contato umas com as outras. Os íons, Na+ e Cl
-, estão representados pelas esferas,
menor e maior, respectivamente.
23
O comprimento da aresta da célula unitária do NaCl corresponde ao dobro da soma dos
raios iônicos do Na+ e do Cl
-, como exemplifica a figura 10. Os raios iônicos do Na
+ e do Cl
-
são, respectivamente, iguais a 95 e 181 pm; o comprimento da aresta da célula unitária do
NaCl é igual a 2 (95+181)pm = 552 pm. O valor experimental, obtido pela técnica de difração
de raio X, para o comprimento da aresta da célula unitária do NaCl é 564 pm (CHANG &
GOLDSBY, 2013, p. 488). Os resultados mostram uma pequena diferença entre o dado
teórico obtido utilizando-se um modelo (célula unitária c.f.c. e valores estimados de raios
iônicos no NaCl) e o valor obtido experimentalmente.
A figura 11 apresenta a relação entre os raios dos íons Na+ e do Cl
- e as dimensões da
célula unitária do NaCl (Fonte: idem, p. 488). A figura 12 exibe as frações de Na+ e do Cl
- em
uma célula unitária cúbica de faces centradas (Fonte: ibidem, p. 489).
Figura 11: Relação entre os raios dos íons Na
+ e do Cl
- e as dimensões da célula unitária do
NaCl. O comprimento da aresta é igual ao dobro da soma dos dois raios iônicos.
Figura 12: Frações de Na+ e do Cl
- em uma célula unitária cúbica de faces centradas do NaCl.
24
2- METODOLOGIA
As sequências didáticas que serão relatadas foram desenvolvidos no Colégio Estadual
Professor Ernesto Faria, situado no bairro de São Cristovão, no Rio de Janeiro, onde atuei
pelo período de três anos (de março de 2011 a fevereiro de 2014) como bolsista de iniciação à
docência, sendo os últimos trinta meses como bolsista do Subprojeto Química do PIBID
(Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência). O PIBID é um programa da
CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior), que fornece
bolsas de iniciação à docência para os alunos de licenciatura, para os professores das escolas
que supervisionam as atividades e para os professores da Universidade que coordenam o
PIBID na instituição de ensino.
A escola possui, como tradição, a realização anual de uma Feira do Conhecimento
(evento no qual os alunos se dividem em grupos para apresentarem trabalhos sobre um
determinado assunto). No ano de 2011 foi o Ano Internacional da Química em lembrança da
premiação da física polonesa Marie Curie ao isolar os elementos Rádio e Polônio, o que lhe
proporcionou o prêmio Nobel de Química em 1911. A homenagem a esse centenário
possibilitou a apresentação de diversos trabalhos envolvendo temas nas áreas de alimentos,
meio ambiente e saúde. No ano de 2012, dois grandes nomes da cultura Brasileira foram
homenageados: Jorge Amado e Luiz Gonzaga. Neste ano, o escritor e o músico completariam
100 anos e os assuntos a serem abordados na Feira do Conhecimento foram relacionados com
os centenários. No ano de 2013 foi comemorado o Ano Internacional da Matemática, tema da
Feira do Conhecimento no ano em questão.
Foram propostas sequências didáticas para dois projetos escolares que tinham por
objetivo geral deixar claro para os estudantes, o papel instrumental da Matemática na
proposição de modelos explicativos para as estruturas dos materiais. Descreveremos a seguir,
as sequências didáticas que foram desenvolvidos com duas turmas do Ensino Médio, do turno
diurno, no ano de 2013, visando estabelecer correlações interdisciplinares entre a Química e a
Matemática. Foram constituídos dois grupos. Grupo 1: composto por seis alunos da turma
2002 (2º ano) e Grupo 2: formado por cinco alunos da turma 3001 (3º ano).
Os alunos do Grupo 1 desenvolveram atividades relacionadas à “Geometria dos
sólidos cristalinos”. O objetivo do trabalho era a construção de modelos com bolas e varetas
para ilustrar os principais sistemas cristalinos. Inicialmente, para conduzir a aquisição de
conhecimentos sobre o tema, os alunos foram colocados frente a alguns questionamentos que
25
seriam respondidos através de pesquisas a livros, páginas virtuais, dentre outros. As questões
estão listadas a seguir.
1. O que diferencia sólidos cristalinos de sólidos amorfos?
2. Que materiais existentes na natureza ou de uso cotidiano apresentam aspecto
cristalino?
3. Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com aspecto cristalino quando
visto ao microscópio? E vice-versa?
4. Em um sólido cristalino as partículas que o constituem (átomos, moléculas ou íons)
estão organizadas em um arranjo geométrico que determina a forma como ele se
mostra (hábito cristalino). Todos os cristais são classificados, de acordo com suas
características geométricas, em um de sete sistemas cristalinos. Pesquise sobre as
características geométricas desses sistemas.
5. Quais os sistemas cristalinos dos cristais de quartzo, cloreto de sódio, sulfato de cobre
e enxofre?
Com as pesquisas realizadas, os alunos participaram de algumas reuniões, em horário
extracurricular, para discutir o tema e tirar dúvidas. Durante os encontros, foram testados
alguns modelos construídos com bolas de isopor e palito de churrasco, porém o material foi
posteriormente trocado por massa de modelar e palitos de churrasco, que deixava a estrutura
mais rígida.
Os alunos do grupo 2 desenvolveram o tema “Aplicando conceitos da Geometria na
determinação de raios atômicos de alguns metais”. O objetivo desta atividade foi fazer uso de
ferramentas da Geometria Espacial e da Química (como cálculos químicos) para estimar o
tamanho dos raios atômicos de alguns metais. O procedimento inicial, voltado para a busca de
respostas pelos alunos, também foi feito com este grupo. As questões formuladas foram as
que se seguem.
1. Qual é a ordem de grandeza do tamanho de um átomo? Qual seria a unidade de
comprimento mais adequada para expressar o seu tamanho?
2. Se não é possível ver um átomo, como os cientistas determinam seu tamanho?
3. Todos os átomos têm o mesmo tamanho? Por quê? De que depende o tamanho de um
átomo?
4. Consulte uma tabela periódica que apresente os raios atômicos dos elementos
químicos. Identifique que elemento químico apresenta o menor raio atômico e também
o que apresenta o maior. Apresente uma explicação para o fato.
26
As reuniões, feitas em horário extraclasse, foram utilizadas para discutir as respostas
dadas pelos alunos às perguntas formuladas e orientá-los sobre as etapas que seriam
desenvolvidas na determinação experimental dos raios atômicos dos metais. Em linhas gerais,
os estudantes deveriam seguir o procedimento descrito abaixo.
1. Determinar o volume das amostras de alumínio, zinco e cobre, de formato geométrico
cilíndrico, utilizando conceitos da Matemática.
2. Com auxílio de uma balança, determinar as massas das amostras metálicas.
3. Calcular o número de átomos de metal presentes em cada amostra metálica.
4. Determinar o volume ocupado por cada átomo de metal nas amostras.
5. Determinar os raios atômicos dos metais alumínio, zinco e cobre.
6. Comparar os valores determinados experimentalmente com valores da literatura.
Para determinar o volume ocupado por cada átomo de metal nas amostras, foram
consideradas duas hipóteses, I e II.
(I) Não há espaço vazio entre os átomos. Assim sendo, o volume da amostra metálica
dividido pelo número total de átomos do metal que a constitui fornece o volume de
cada átomo (VA). Considerando que o átomo é uma esfera (Modelo Atômico de
Dalton), é possível determinar seu raio (R).
Volume (esfera) = 4/3 R3
(II) Há espaços vazios entre os átomos. Como modelo explicativo considerou-se que o
sólido metálico é formado pelo empilhamento tridimensional de cubos - células
unitárias cúbicas simples (c.s.). É fácil demonstrar matematicamente que se cada
átomo dos oito vértices do cubo é compartilhado por oito cubos vizinhos, apenas, um
oitavo de cada átomo dos vértices ‘pertence’ a uma célula unitária, logo há um átomo
(8 vértices x 1/8 de átomo) em cada uma dessas células (ATKINS & JONES, 2012, p.
188). Na figura 13 está explicita essa relação matemática e também fica claro que o
comprimento da aresta (a) é igual ao dobro do raio (R) do átomo de metal.
Portanto, o número de átomos (N) é igual ao número de células unitárias e o volume
da célula unitária cúbica é igual ao próprio volume VA. Considerando ainda que o
átomo é uma esfera e que está inscrito no cubo, pode-se determinar o raio do átomo,
uma vez que a aresta do cubo é igual ao diâmetro da esfera (SIMONI & TUBINO,
1999).
27
a = 2R
Figura 13: Relação entre o comprimento da aresta (a) e o raio (R) do átomo. Somente um
oitavo de cada átomo dos vértices ‘pertence’ a uma célula unitária cúbica simples. (Fonte:
CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 484).
A partir da figura 13, temos que volume do cubo pode ser determinado pela expressão:
Volume (cubo) = aresta3 = a
3 = (2R)
3
Volume (cubo) = 8R3
Se há um átomo (8 vértices x 1/8 de átomo) em cada célula unitária cúbica simples e se
considerarmos que este átomo está no centro do cubo, podemos usar a figura 14 para modelá-
lo. A esfera ao centro representa um átomo, de raio a/2, inscrito em uma célula unitária cúbica
simples de aresta a.
Figura 14: Representação de um átomo inscrito na célula unitária cúbica simples de aresta a.
A partir das massas das amostras metálicas (em gramas) e do conceito de mol foram
determinados os valores de N (número de átomos existentes nas amostras). Usando um
paquímetro, os alunos coletaram dados relativos às dimensões das amostras e utilizaram os
conceitos de Geometria espacial para determinar os volumes dos sólidos.
28
Partindo das duas hipóteses foram determinados os volumes atômicos (VA) pelas
fórmulas V = 4/3R3 (hipótese I) e V = 8R
3 (hipótese II). Os valores obtidos foram
comparados com os valores de referência (SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 44).
Como especificado no início deste capítulo, os projetos foram planejados visando
desenvolver trabalhos para serem exibidos pelos estudantes na Feira do Conhecimento. A
socialização dos produtos finais dos projetos demandou que os estudantes elaborassem textos
e cartazes para exposições orais, além da montagem de modelos. No Capítulo 3 são
apresentados relatos sobre o desenvolvimento dos trabalhos e seus resultados.
29
3- ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Os resultados das atividades realizadas serão descritos em dois momentos diferentes,
de modo que os trabalhos do grupo 1 referentes ao tema “A Geometria dos Sólidos
Cristalinos” serão citados primeiro e, posteriormente serão relatados os resultados do grupo 2
que realizou as atividades sobre o tema “Aplicando conceitos da Geometria na determinação
de raios atômicos de alguns metais”.
3.1. A Geometria dos Sólidos Cristalinos
O questionário aplicado no início das atividades serviu como um ponto de partida para
trabalhar os conceitos necessários para realizar a sequência didática. Os alunos foram
orientados a pesquisar em alguns endereços eletrônicos confiáveis e nos livros didáticos,
contidos na própria biblioteca da escola, respostas para as questões formuladas pelo professor.
Em relação à pergunta – “O que diferencia sólidos cristalinos de sólidos amorfos?” –
nenhum aluno soube responde-la corretamente, sem consultar materiais de apoio. De modo
geral, os estudantes afirmaram que todo sólido é cristalino, pelo simples fato de ser sólido, ou
seja, na concepção dos alunos, as substâncias amorfas estariam nos estados líquido ou gasoso.
O fato de que o estado sólido de uma substância ou material ser caracterizado por ter, ao nível
macroscópico, uma forma definida, enquanto líquidos e gases, assumirem a forma do
recipiente em que estão contidos, foi interpretada pelos alunos como sendo também uma
característica microscópica do material.
A partir das consultas, os alunos tiveram o primeiro contato com conceitos como
“estrutura cristalina”, “célula unitária” e “hábito cristalino”, que precisaram ser melhor
elucidados em encontros realizados no contraturno, no período da tarde.
Sobre a segunda pergunta – “Que materiais existentes na natureza ou de uso cotidiano
apresentam aspecto cristalino?” – os alunos responderam, inicial e majoritariamente,
“diamante”, alegando que o alótropo do carbono os fazia lembrar a palavra “cristal”. Após a
pesquisa sobre sólidos cristalinos e amorfos (primeira pergunta), os alunos formularam
respostas mais elaboradas, dando como exemplos de sólidos cristalinos o cloreto de sódio
(NaCl), o sulfato de cobre II (CuSO4) e o quartzo (SiO2).
Mais uma vez, as respostas iniciais dos alunos remeteram a aspectos macroscópicos e,
neste caso, também ao senso comum, ao associar o diamante a um cristal. Por outro lado, não
30
raro, quando o conceito de alotropia é abordado nos livros didáticos ou pelos professores, ao
serem exemplificados os alótropos do carbono, o diamante é apresentado na forma de um
cristal lapidado, em múltiplas faces que resplandecem o seu brilho vítreo. Uma imagem desse
tipo, consta no próprio livro texto adotado na escola (PEQUIS, 2010, p. 280) e está
reproduzida na figura 15.
Figura 15: Estrutura cristalina do diamante (PEQUIS, 2010, p.280)
O fato de que a diferença entre sólidos cristalinos e amorfos depende de uma
propriedade microscópica do material só se torna compreensível para o aluno a partir da
apropriação do conceito científico de sólido cristalino, o que requer que este seja introduzido
aos conceitos de estrutura cristalina e célula unitária. Esta compreensão pode ser
enormemente facilitada utilizando modelos explicativos construídos com bolas e varetas.
A terceira questão – “Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com
aspecto cristalino quando visto ao microscópio? E vice-versa?” – foi formulada com o
objetivo de favorecer discussões sobre aspectos macroscópicos e microscópicos dos materiais
sólidos, de modo a levar a conclusão que o primeiro, ou seja, sua aparência a olho nu, não é
suficiente para se afirmar se este é ou não um material cristalino (possui ou não uma estrutura
cristalina). Ao se observa uma amostra de ferro, alumínio ou de grafite não fica evidente que
estes materiais são sólidos cristalinos. Retornando aos exemplos dos alótropos do carbono
presentes nos livros didáticos, a imagem associada ao alótropo grafite, geralmente, um lápis,
não remete a existência de uma estrutura cristalina no grafite, diferente do que ocorre na
imagem utilizada para o diamante, o que pode induzir o leitor a concluir que se trata de um
31
material amorfo. Tal imagem pode ser encontrada também no livro didático supracitado,
reproduzida na figura 16.
Figura 16: Estrutura cristalina do grafite (PEQUIS, 2010, p.280)
Ao responder a questão “Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com
aspecto cristalino quando visto ao microscópio? E vice-versa?”, os alunos se limitaram
basicamente à exemplificação das estruturas do quartzo e do vidro (um material amorfo,
apesar, de sua aparência cristalina), apresentando figuras esquemáticas de suas estruturas
microscópicas. Vários materiais amorfos poderiam ser exemplificados como plásticos,
borrachas, resinas, etc. Um aspecto importante a destacar é que mesmo que uma resina ou um
plástico seja moldado de forma a apresentar superfícies planas bem definidas (faces planas)
dispostas em ângulos bem definidos simulando um cristal, ele não apresentará uma estrutura
cristalina interna e, dessa forma, não se constitui o que cientificamente denominamos de um
material cristalino.
Os dois últimos itens do questionário inicial orientavam os alunos a procurar na
literatura e em fontes virtuais as características geométricas dos sete sistemas cristalinos, bem
como identificar materiais que cristalizam segundo estes sistemas. Para tal, os alunos
deveriam pesquisar sobre as estruturas cristalinas do quartzo, cloreto de sódio, sulfato de
cobre II e das duas formas alotrópicas do enxofre. No próprio livro didático adotado era
possível obter as seguintes informações:
32
- Imagem representativa da rede cristalina do quartzo (PEQUIS, 2010, p. 275). Exibida na
figura 17.
Figura 17: Rede cristalina do quartzo (SiO2). As esferas maiores representam átomos de
oxigênio e as esferas menores átomos de silício.
- Imagem representativa da rede cristalina cúbica do cloreto de sódio (PEQUIS, 2010, p. 273),
exibida na figura 18, com a legenda que reproduzimos abaixo dela.
Figura 18: Rede cristalina do cloreto de sódio
“Nesta ilustração, átomos do elemento químico sódio são representados na cor cinza e átomos de cloro
são representado na cor verde e em tamanho maior. O átomo central de cloro foi destacado uma
tonalidade mais escura, embora seja igual aos demais, para facilitar a análise da imagem. Note que
este átomo central de cloro é rodeado por seis átomos de sódio. Esses, por sua vez, são rodeados por
outros átomos de cloro, numa estrutura que se repete continuamente (PEQUIS, 2010, p. 273).
- “Os cristais de sulfato de cobre possuem lados e ângulos diferentes, sua forma geométrica é
denominada triclínica” (PEQUIS, 2010, p. 292). O livro apresenta ainda a figura do arranjo do
cristal de sulfato de cobre, exibida na figura 19.
33
Figura 19: Arranjo geométrico do cristal sulfato de cobre - triclínico (PEQUIS, 2010, p.292)
O enxofre é um sólido molecular que pode ser encontrado na natureza em duas formas
cristalinas, o enxofre rômbico e o enxofre monoclínico. São dois alótropos de fórmula
molecular S8, nos quais átomos de enxofre estão ligados covalentemente formando anéis em
forma de coroa (Figura 20). A diferença entre os dois alótropos do enxofre está no arranjo
espacial dos átomos de enxofre no retículo cristalino, ou seja, na forma como as coroas S8 são
empilhadas para constituir o sólido (ATKINS & JONES, 2012, p. 650). Os anéis se mantêm
unidos por forças intermoleculares fracas, do tipo dipolo-dipolo-induzido ou forças de
London.
Figura 20: Molécula de enxofre, S8. Oito átomos de enxofre ligados covalentemente formando
um anel em forma de coroa.
Após a realização das pesquisas, os alunos orientados pelo bolsista Pibid elaboraram
cartazes e montaram estruturas cristalinas utilizando massa de modelar, de diversas cores, e
palitos de fósforo ou de churrasco. Os trabalhos elaborados pelo grupo 1 foram apresentados
na Feira de Ciências realizada no Colégio Ernesto Faria. O desempenho dos alunos e os
produtos finais do projeto foram considerados satisfatórios pela professora de Química da
turma, Professora Denise Gutman, e pela equipe de professores que avaliou o grupo 1 quando
foi feita a exposição para a comunidade escolar, durante a Feira de Ciências. As figuras 21 e
22 exibem alguns dos produtos do projeto exibido pelos alunos no dia da Feira de Ciências.
34
Figura 21: Rede cristalina do quartzo (SiO2) construída com massa de modelar e palitos. As
esferas maiores representam átomos de oxigênio e as esferas menores átomos de silício.
Figura 22: Célula unitária do NaCl construída com massa de modelar e palitos. Átomos do
elemento químico sódio são representados na cor azul e átomos de cloro estão representados na cor
vermelha e em tamanho maior. Ao fundo cartaz sobre o cloreto de sódio.
35
Figura 23: Representação de oito átomos de enxofre (em massa modelar verde) ligados
covalentemente formando um anel em forma de coroa na molécula de enxofre, S8, e cartaz
sobre o enxofre. À frente, representação do sistema cristalino hexagonal (em massa de
modelar laranja).
Figura 24: Cartazes apresentados pelos alunos sobre sólidos amorfos e cristalinos
36
3.2. Aplicando conceitos da Geometria na determinação de raios atômicos de alguns
metais
A sequência didática iniciou com os alunos do grupo 2 respondendo a um
questionário. Para as perguntas “Qual é a ordem de grandeza do tamanho de um átomo? Qual
seria a unidade de comprimento mais adequada para expressar o seu tamanho?” não foram
obtidas respostas “pré-pesquisa”, talvez devido à abstração do tema, mas o certo é que vários
alunos só tinham conhecimento de unidades de comprimento do intervalo “km-mm”,
desconheciam ou não lembravam de submúltiplos do milímetro, como μm e nm. Após
algumas consultas, os alunos chegaram a conclusão que a unidade de comprimento mais
adequada para expressa a medida do comprimento de raios atômicos e iônicos é o picômetro
(1 pm corresponde a 1 x 10-12
m).
Em relação a segunda questão – “Se não é possível ver um átomo, como os cientistas
determinam seu tamanho?” –, os alunos só conseguiram produzir informações coerentes após
realizar algumas consultas. Na verdade nunca haviam pensado sobre isso. Após as leituras
realizadas, citaram que poderia ser utilizada a técnica de difração de raios X. Naturalmente,
esta informação foi, apenas, literal, sem uma compreensão significativa do que se trata, de
como isto pode ser feito. Saber como os cientistas determinam o raio atômico se mostrou por
complexo demais, para o nível de entendimento dos alunos. Haveria alguma forma mais
simples de determinar raios atômicos?
As perguntas “Todos os átomos têm o mesmo tamanho? Por quê? De que depende o
tamanho de um átomo?” foi parcialmente respondida, pois os alunos já tinham aprendido o
conceito de raio atômico no 1º ano do Ensino Médio, quando estudaram as Propriedades
Periódicas. Porém, os alunos sentiram necessidade de recorrer a livros didáticos na biblioteca
da escola, para se certificarem que faziam correlações corretas entre tamanho do átomo e
número de camadas eletrônicas e com a quantidade crescente de elétrons na última camada.
A última pergunta do questionário – “Consulte uma tabela periódica que apresente os
raios atômicos dos elementos químicos. Identifique que elemento químico apresenta o menor
raio atômico e também o que apresenta o maior. Apresente uma explicação para o fato.” –
Os alunos fizeram as consultas e responderam oralmente com relativa facilidade, entretanto,
tiveram dificuldade em redigir suas explicações de forma clara.
Após este requisito teórico, os alunos seguiram para a fase da elaboração do
experimento e coleta dos dados, bem como a comparação destes com os valores disponíveis
na literatura. Os materiais estudados foram amostras cilíndricas dos metais alumínio, zinco e
37
cobre. Primeiramente, os alunos foram questionados sobre como determinar o volume do
sólido usando conceitos da Geometria. Os alunos pensaram a respeito e concluíram que
deveriam conhecer o comprimento e o diâmetro de cada uma das amostras cilíndricas.
Utilizando um paquímetro, e com a ajuda do bolsista Pibid, tomaram as medidas e realizaram
os cálculos devidos, considerando que o volume de um cilindro pode ser calculado pela
expressão:
v = hr2
Onde h é igual à altura do cilindro e r é igual ao raio de seu círculo base.
Em um segundo momento os alunos foram questionados sobre quantos átomos de
metal havia em cada amostra e também sobre como “descobrir” o volume ocupado por cada
um destes átomos. Como os alunos já haviam estudado Cálculos Químicos, não tiveram
dificuldades em propor que seria necessário conhecer as massas das amostras e estabelecer
relações proporcionais com o mol das substâncias e com a Constante de Avogadro.
Conhecido o volume de cada amostra (v) e o número de átomos existentes em cada uma delas
(N), é possível conhecer o volume ocupado por cada átomo (VA), o que corresponde à razão
v/N. As massas foram determinadas em uma balança semianalítica e foram realizados os
cálculos necessários.
Na tabela 2 são apresentados dados das amostras de alumínio, zinco e cobre, onde v
corresponde ao volume da amostra, na unidade cm3; m corresponde a massa da amostra, na
unidade grama; N corresponde ao número de átomos, calculado a partir da constante de
Avogadro, e VA o volume ocupado por cada átomo de metal.
Tabela 2: Dados relativos às amostras de alumínio, zinco e cobre. Volume das amostras (v),
massas das amostras (m), número de átomos existentes em cada amostra (N) e volume
ocupado por cada átomo de metal (VA).
METAIS v (cm3) m (g) N (átomos) VA (cm
3)
Alumínio 3,14 cm3 8,48 1,89.10
23 1,66 x 10
-23
Zinco 1,05 cm3 7,38 6,79.10
22 1,54 x 10
-23
Cobre 3,14 cm3 28,13 2,67.10
23 1,18 x 10
-23
Após a realização dos cálculos acima, os alunos foram levados a pensar em dois
modelos explicativos para a natureza da estrutura interna dos metais, a que admitia que não
38
existem espaços vazios entre os átomos, denominada hipótese I, e a que admitia a existência
de espaços vazios entre os átomos, hipótese II.
Admitindo a hipótese I, de que não há espaço vazio entre os átomos, o volume
ocupado por cada átomo de metal (VA) corresponde ao seu próprio volume atômico.
Considerando que o átomo é uma esfera (Modelo Atômico de Dalton), foi possível determinar
o raio atômico (R) pela expressão:
VA = 4/3 RA3
Onde VA é igual ao volume atômico e RA, o raio atômico.
A tabela 3 apresenta os raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre
admitindo-se a hipótese I. Esses valores são confrontados com valores de referência
(SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 44).
Tabela 3: Raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre admitindo-se a hipótese I.
Volume atômico (VA), raio atômico calculado admitindo-se a hipótese I (RA-I) e raio
atômico de referência (RA ref.)
METAIS VA (cm3) RA-I (pm) RA ref (pm)
Alumínio 1,66 x 10-23
158 143
Zinco 1,54 x 10-23
154 137
Cobre 1,18 x 10-23
141 128
Os resultados mostraram que os raios atômicos calculados, admitindo-se a hipótese I,
foram maiores que os raios atômicos determinados experimentalmente com técnicas mais
sofisticadas. Como poderíamos interpretar esses resultados? Esta questão norteou as
discussões com o grupo. A hipótese I é bem mais simples que a hipótese II, e é certo que
facilita os cálculos. Entretanto, sabe-se que ao conceber que não há espaços vazios na matéria
estamos incorrendo em erros, pois esta é descontínua.
Ao admitir a hipótese II, que há espaços vazios entre os átomos, o número de átomos
(N) é igual ao número de células unitárias e o volume da célula unitária cúbica é igual ao
volume ocupado por cada átomo de metal (VA). Considerando ainda que o átomo é uma
esfera e que está inscrito no cubo, pode-se determinar o raio do átomo, pela expressão:
VA = 8RA3
39
Onde VA é igual ao volume da célula unitária cúbica e RA, o raio atômico.
A tabela 4 apresenta os raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre
admitindo-se a hipótese II. Esses valores são confrontados com valores de referência
(SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 46).
Tabela 4: Raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre admitindo-se a hipótese
II. Volume da célula unitária cúbica (VA), raio atômico calculado admitindo-se a hipótese II
(RA-II) e raio atômico de referência (RA ref.)
METAIS VA (cm3) RA-II (pm) RA ref (pm)
Alumínio 1,66 x 10-23
128 143
Zinco 1,54 x 10-23
124 137
Cobre 1,18 x 10-23
114 128
Os resultados mostraram que os raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e
cobre, admitindo-se a hipótese II, foram menores que os raios atômicos de referência. Como
poderíamos interpretar esses resultados? O modelo explicativo adotado considerou o
empilhamento tridimensional de cubos. A célula unitária escolhida, para facilitar os cálculos,
foi a célula cúbica simples (c.s.), que é a menos compacta dos três tipos de células cúbicas, ou
seja, o espaço vazio é o maior possível nesse caso.
De qualquer modo, os resultados obtidos, considerando-se tanto a hipótese I como a
hipótese II, foram surpreendentes para os alunos que ficaram surpresos quando perceberam
que o erro relativo foi menor que 13%, pois utilizaram instrumentos simples (balança e
paquímetro) para realizar as medidas e a técnica utilizada foi muito menos sofisticada que a
difração de raios X, sobre a qual haviam lido ao responder a terceira questão no começo do
trabalho. Questionados que fator ou fatores poderiam ainda induzir a erros no experimento, os
alunos destacaram as deformidades das amostras metálicas, pois estas não correspondiam a
cilindros totalmente regulares.
O experimento permitiu perceber a importância da formulação de hipóteses na busca
de se estabelecer conexões entre conceitos teóricos e dados práticos visando à proposição de
modelos explicativos para a natureza da matéria. É importante que os estudantes percebam
que os modelos não são a própria realidade, mas tentativas de aproximação dela. Os
resultados contribuíram neste sentido e mostraram que é necessário fazer novas conjecturas.
40
4. CONCLUSÃO
A análise dos resultados obtidos no decorrer da realização das atividades e ao final,
com a exibição dos trabalhos na Feira de Ciências, nos levou a concluir que as sequências
didáticas planejadas para desenvolver os projetos escolares contribuíram de forma
significativa para o aprendizado dos alunos e possibilitaram estabelecer as relações
interdisciplinares desejadas entre a Geometria e a Química.
O procedimento inicial de busca de respostas pelos alunos para os questionamentos
apresentados pelo bolsista PIBID possibilitou o resgate de alguns conceitos da Química e da
Matemática (raio atômico, variação dos raios atômicos ao longo da tabela periódica,
diferenciação entre sólidos amorfos e cristalinos; conversão de unidades de comprimento,
etc.), o aprendizado de novos conceitos (sistemas cristalinos, como os cientistas determinam
os raios atômicos) e preparou os alunos para as demais atividades da sequência didática. Ao
longo do desenvolvimento dos projetos escolares “Geometria dos sólidos cristalinos” e
“Aplicando conceitos da Geometria na determinação de raios atômicos de alguns metais”
surgiu necessidade de serem abordados ainda outros conceitos, especialmente os relacionados
a cálculos químicos e ao uso de algoritmos comuns ao campo da Geometria. Desse modo,
consideramos que as sequências didáticas além de promoverem a interdisciplinaridade entre a
Geometria e a Química, favoreceram a contextualização de conceitos das duas disciplinas.
A aquisição de informações em diferentes fontes de informação para responder os
questionamentos, a construção de modelos de estruturas cristalinas com o auxílio de massa de
modelar e palitos, a determinação das massas e a tomada das dimensões das amostras
metálicas, a elaboração de cartazes e a comunicação dos resultados dos trabalhos na Feira de
Ciências proporcionou desenvolver e aprimorar várias habilidades, favorecendo a aquisição
de conteúdos procedimentais, que desempenham um papel relevante em um currículo para o
aprendizado de ciências (POZO & GÓMEZ CRESPO, 2009).
No decorrer do trabalho foram observadas mudanças sutis no comportamento dos
alunos, até mesmo em alguns com histórico de indisciplina e desinteresse. Creditamos as
mudanças ao trabalho em equipe, ao estímulo do orientador e a uma maior motivação dos
próprios alunos para desenvolver as tarefas. O fato dos projetos terem sido desenvolvidos
visando à apresentação de seus produtos em uma Feira de Ciências gerou um senso de
apropriação sobre o conhecimento construído e a responsabilidade por sua transmissão à
comunidade escolar.
41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ATKINS, P.; JONES, L.; Princípios de Química: questionando a vida moderna e o meio
ambiente. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ensino Médio. Parte
III. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 2000. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf. Acesso em 7 de julho de 2014.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ensino Médio.
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 2002. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso em 7 de julho de
2014.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação
Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Conselho Nacional da Educação.
Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília: MEC, SEB, DICEI,
2013. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12663&Itemid=1
152. Acesso em 7 de julho de 2014.
CHANG, R.; GOLDSBY, K. A. Química. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
DRESSLER, A. C. “Ensino de Estequiometria Através de Práticas Pedagógicas.”In: III
Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia. UTFPR, Ponta Grossa, PR, 2012.
Disponível em:
www.sinect.com.br/2012/down.php?id=2756&q=1. Acesso em 17 de dezembro de 2014.
FERREIRA, A. C. C. “Ensino da Geometria no Brasil: enfatizando o período do Movimento
da Matemática Moderna.” In: V EDUCERE / III Congresso Nacional da Área de Educação.
PUC-PR, Curitiba, 2005. Disponível em:
http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2005/anaisEvento/documentos/painel/TCCI136.
pdf. Acesso em 13 de setembro de 2014.
42
KOTZ, J. C.; TREICHEL, P. Química & Reações Químicas. 4. ed., vol. 1. Rio de Janeiro:
LTD, 2002.
LEE, J. D. Química Inorgânica não tão concisa. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
PEQUIS. Santos, W; Mól, G. (org.). 1. ed. São Paulo: Nova Geração, 2010.
POZO, J, I.; GÓMEZ CRESPO, M. A. A Aprendizagem e o Ensino de Ciências: do
conhecimento cotidiano ao conhecimento científico. 5. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
SIMONI, J. A.; TUBINO, M. Determinação do raio atômico. Química Nova na Escola, n. 9,
maio 1999, p. 40-42.
SHRIVER, D.; ATKINS, P. Química Inorgânica, 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
VALADARES, Eduardo Campos. Propostas de Experimentos de Baixo Custo Centradas no
Aluno e na Comunidade. Química Nova na Escola, n. 13, maio 2011, p. 38-40.
Endereços eletrônicos citados:
http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg
43
ANEXO
Alguns símbolos comuns em Matemática
Símbolo Nome Definição
Razão É a divisão de duas grandezas, com o objetivo de
compará-las.
Potência “n-ésima” de um
número real.
É um produto de “n” fatores iguais a “a”.
Raiz “n-ésima” de um número
real.
É um número cuja potência “n-ésima” é igual a “a”.
União É a união de dois conjuntos, formado pelos
elementos que estão em A ou B, ou ambos.
A Intersecção É o conjunto formado pelos elementos pertencentes
aos conjuntos A e B simultaneamente.
“Para todo” Símbolo que traz referência à um conjunto de
valores.
Somatório É a soma algébrica de todos os valores da grandeza
“i” desde a posição zero até ao infinito.
Integral indefinida Corresponde à antiderivada da função f(x) somada à
uma constante. A integral pode ser interpretada como
a área sob a curva da função.
Derivada parcial Corresponde à inclinação da reta tangente à função
f(x,y) paralela ao eixo x.
Alguns símbolos comuns em Química
Símbolo Nome Definição Z Número atômico É o número de prótons no núcleo do átomo de um
elemento.
A Número de massa É o número de núcleons (prótons e nêutrons) no
átomo de um elemento.
Xn-
Ânion É uma espécie originada de um átomo X depois de
receber “n” elétrons.
X(aq) Solução aquosa Indica que o composto X está dissolvido em água.
→ Seta de reação Indica a ocorrência de uma transformação.
:C: Representação de Lewis Representação que faz referência quantos elétrons
estão na camada de valência do átomo de um
elemento químico.
Aquecimento Indica que uma reação química ocorre sob
aquecimento dos reagentes.
Bibliografia consultada
BIANCHINI E. Matemática. 7. ed. São Paulo: Moderna, 2011.
FUGITA, F.; FERNANDES, M. A. M., POLICASTRO, M. S., TAMASHIRO, W. Matemática. São
Paulo: Edições SM, 2009, (Coleção Ser Protagonista).
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
ATKINS, P.; JONES, L.; Princípios de Química: questionando a vida moderna e o meio ambiente. 5.
ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
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