Séries de Fourier
Profa. Maria Suzana Balparda
DFM – Departamento de Física e Matemática
CEFET-MG
1º semestre/2010
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 – 1830 , matemático e físico francês
Principal obra: “Teoria Analítica do Calor” publicada em 1822
Ao estudar a equação da distribuição e propagação do calor, Fourier introduziu a idéia, que ele afirmou ser verdadeira, sem prova, de que toda função periódica (contínua ou não) pode ser igualada a uma soma de senóides, finita ou infinita.
L L L L
Séries de Fourier
•Aproximar funções periódicas por soma de funções senoidais
•Utilização das senóides como protótipo de função periódica
•Uso em resolução de equações diferenciais parciais
•Extensão de função definida em intervalo finito à reta real
•Estudo das funções periódicas pares ou ímpares
•Base para o desenvolvimento da Transformada de Fourier
Motivação e utilidade:
Construção da série de Fourier
Problema de Fourier:
Dada uma função f (x) , periódica de período T = 2L,
determinar os coeficientes an e bn das senóides Sn(x)
para que tenhamos ∑∞
==
0nn(x)Sf(x)
Consideramos as senóides
período : 2L , L , 2L/3 , L/2 , ...n
2LTn =2Ln frequência
)sen()cos()(L
xnbL
xnaxS nnnπ+π=
Função Senoidal
Exemplos
n=1L=π
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos(x) sen(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
(1/2)cos(x)-sen(x) Exemplos de senóides S1(x), de período 2L
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
-(1/2)cos(x)+(3/2)sen(x)
-3 - 2 -1 0 1 2 3-2 . 5
-2
-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
-(2)cos(x)-(3/2)sen(x)
)sen()cos()(Lxb
LxaxS π+π= 111
cos(2x) sen(2x)-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0 . 8
-0 . 6
-0 . 4
-0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
n=2
L=π-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
(1/2)cos(2x)-sen(2x)
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
Exemplos de S2(x) , de período L-(1/2)cos(2x)+(3/2)sen(2x)
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
-(2)cos(x)-(3/2)sen(x)
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2 . 5
- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
Função Senoidal )sen()cos()(L
xbL
xaxS π+π= 22222
AMPLITUDE E ÂNGULO DE FASE
Toda função senoidal do tipo S(x)= a cos(ω.x)+b sen(ω.x)também pode ser escrita como S(x)= A. cos(ω.x + θ) ou como S(x)= A. sen(ω.x - σ)
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
A
θ/ω
σ/ω
Período=2π/ω
Neste caso, A é a amplitude de S , (calculada por A2=a2+ b2 )θ e σ são ângulos de fase,
nas formas cosseno ou seno para ST=2π/ω é o período e f = ω /(2π) é a frequência
COMBINAÇÃO DE SENÓIDES DE PERÍODOS DIFERENTES Caso 1: períodos com relação racional
-3 -2 -1 0 1 2 3-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
S1(x)= (1/2)cos(x)-sen(x) S2(x)= -(1/2)cos(2x)+(3/2)sen(2x)
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 2 . 5
- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
S1(x) + S2(x)Exemplos de combinações
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 2 . 5
- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
S1(x) - S2(x)
COMBINAÇÃO DE SENÓIDES DE PERÍODOS DIFERENTES
-3 - 2 - 1 0 1 2 3-1 . 5
- 1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
S1(x) S2(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2 . 5
-2
-1 . 5
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
S3(x)
S1(x) + S2(x) + S3(x)
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
S1(x) + S2(x) - S3(x)
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
COMBINAÇÃO DE SENÓIDES DE PERÍODOS DIFERENTES Caso 2: períodos com relação irracional
S1(x)= – cos(x) S (x)= sen( x)22
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
Exemplos de combinações
S1(x) –2 S (x)2
-10 -5 5 10
-3
-2
-1
1
2
3
S1(x)+ (5/6) S (x)2
-10 -5 5 10
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Algumas propriedades de seno e cosseno :
mndxLxmLxnL
L e inteiros para,0)/cos()./sen()1 =ππ∫−
mndxLxmLxnL
L inteiros para,0)/sen()./sen()2 ≠=ππ∫−
mndxLxmLxnL
L inteiros para,0)/cos()./cos()3 ≠=ππ∫−
1 inteiroqualquer para,)/(sen)4 2 ≥=π∫−nLdxLxn
L
L
1 inteiroqualquer para,)/(cos)5 2 ≥=π∫−nLdxLxn
L
L
(1), (2), (3) ⇒ funções seno e cosseno são “ortogonais”
Questões básicas relativas às séries de Fourier
1º Problema de Fourier:
Dada uma função real f (x) , periódica de período T ,
determinar os coeficientes an e bn das senóides Sn(x)
para que tenhamos , onde T = 2L∑∞
==
0nn(x)Sf(x)
2º Problema de Fourier:
A série é convergente ? Para qualquer valor de x ?
A “soma” da série é igual ao valor da função ?
∫
∫
∫
−
−
−
>
π=
>
π=
===
L
Ln
L
Ln
L
Loo
o
ndxL
xnxfL
b
ndxL
xnxfL
a
dxxfL
aaMS
0para,sen).(1
0para,cos).(1
)(1onde,2
∑∑
∞
=
∞
=
π+π+==
10)sen()cos()()(
nnn
nn L
xnbL
xnaMxSxf
Resposta ao 1º Problema de Fourier:
Para que se possa obter:
deve-se fazer:
DEFINIÇÃO: f(x) é seccionalmente contínua em um intervalo [-a,b] se o intervalo tem uma partição a=xo<x1<x2<...<xn=b de modo que:• f é contínua em cada subintervalo (xi-1,xi) aberto• f tem limite finito nas extremidades de cada subintervalo
TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DE FOURIERSe a função f(x) é períodica de período T=2L , e
se f(x) e sua derivada f’(x) são seccionalmente contínuas no intervalo [-L , L],
então a série de Fourier ∑∞
=
+
π+
12 n
o xxa
Lnπsenb
Lncosa nn
converge para f(x) em todos os pontos x onde f é contínua, e
converge para a média dos limites laterais, nos pontos x onde f é descontínua
Resposta ao 2º Problema de Fourier:
O que quer dizer o Teorema de Fourier ?
Se a função f(x) satisfaz as condições do teorema, então
• contínua é onde todopara f(x)xxf(x)flim kk,)(=
∞→
adescontínu é onde todopara2
f(x)xxfxf(x)flim kk,)()( −+
∞→
+=•
• a função fk(x) é chamada de aproximação de Fourier de ordem k para a função f(x)
Como consequência:
é uma função contínua e periódica
∑=
+
+=
k
n
xxM1 L
nπsenbL
nπcosa(x)f nnkCada “soma parcial”
∑∞
=
π+π+=
1)sen()cos()(
nnn L
xnbL
xnaMxf
Formas alternativas para a Série de Fourier
∑∞
=
σ−π+=1
)sen()(n
nn LxnAMxf
Relações entre coeficientes an , bn amplitude An e ângulos θn e σn
para n ≥ 1
• An2 = an
2 + bn2
• an= Ancos(θn) = - Ansen(σn)
• bn= - An sen(θn) = Ancos(σn)
•Convenção: quando an=bn=0, fazemos θn=σn =0
∑∞
=
θ+π+=1
)cos()(n
nn LxnAMxf
∑∑∞
=
∞
=
θ++=
+
+=
112 nn
n
o xMxxaL
nπcosAL
nπsenbL
nπcosaf(x) nnn
M = ao /2 : valor médio da função f(x)
an , bn : coeficientes de Fourier
( )11 θ+ω= xcosA(x)S 1: harmônico fundamental ou primeiro harmônico
( )nnn x θ+ω= cosA(x)S n: n-ésimo harmônico
An : amplitudes
θn : ângulos de fase ( 0 ≤ θn < 2 π )
Notação e nomenclatura:
ω = ω1 = π/L = 2π /T ; ωn = n.ω
fn = n/(2L) : frequência do n-ésimo harmônico
1º Exemplo de desenvolvimento em série de Fourier
-2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Função f(x) de período T=2, tal que f(x) = x2 , no intervalo [-1,1]
M = 1/3 (valor médio da função em [-1,1]a1= -0.405285 , a2= 0.101321 , a3=-0.0450157, b1 = b2 = b3 = 0aproximação de Fourier de ordem 3: f3(x)=1/3 - 0.405 cos(πx) + 0.101cos(2.πx) - 0.045cos(3.πx)
-2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
gráfico de f(x)gráfico de f1(x)gráfico de f3(x)
2º Exemplo de desenvolvimento em série de FourierFunção f(x) de período T=2, tal que f(x) = -x3 - x2 + x + 1 , no intervalo [-1,1]
M=ao/2 = 2/3=0.666667 (valor médio da função em [-1,1]a1= 0.405285, a2= -0.101321, a3= 0.0450316, b1 = 0.387018 , b2 =-0.0483773, b3= 0.014334
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f(x)f1(x)f3(x)
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
fn : aproximação de Fourier de ordens n =1 e n=3
PROPRIEDADES ESPECIAIS :
2) Se a função f(x) é par, isto é, f(x) = f(- x) , então bn=0 e
0,)cos().(20
≥π= ∫ ndxL
xnxfL
aL
nSÉRIE DE COSSENOS
3) Se a função f(x) é ímpar, isto é, f(x) = -f(- x) , então an=0 e
1,)sen().(20
≥π= ∫ ndxL
xnxfL
bL
nSÉRIE DE SENOS
∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
π+
π=
π+π
000)sen()cos()sen()cos(
nn
nn
nnn L
xnbL
xnaL
xnbL
xna1) função PAR função ÍMPAR
Exemplo: Série de Fourierpara onda senoidal retificada
fk : aproximações de Fourier de ordens k-5 -2.5 2.5 5 7.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6 -4 -2 2 4 6
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k=2k=1
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k=3 k=4
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k=6k=5
n an bn An θn (rad) θn (graus)0 2/π 0,6366 0 - - -
1 0 0 0,5 0,5 3π/2 270
2 -2/(3π) -0,2122 0 0,2122 π 180
3 0 0 0 0 0 0
4 -2/(15π) -0,0424 0 0,0424 π 180
5 0 0 0 0 0 0
6 -2/(35π) -0,0182 0 0,0182 π 180
7 0 0 0 0 0 0
8 -2/(63π) -0,0101 0 0,0101 π 180
Cálculo e Tabela de valores para os coeficientes de Fourier an , bn , amplitude An e ângulo δn
Conclusão: f(x) ≈ 0.318 + 0.5 sen[x] - 0.2122 cos[2x] - 0.0424cos[4x] + ...
≈ 0.318 +0.5 cos[x+3π/2] +0.2122 cos[2x+π] +0.0424 cos[4x+π] +...
∫=π
π 0)cos().sen(1 dxnxxan
∫=π
π 0)sen().sen(1 dxnxxbn
⇒ a1=0 ; an= – (1+cos(nπ))/(n2-1)π , n≠1
⇒ b1=1/2 ; bn= 0 , n≠1
Exemplo: Série de Fouriercom função descontínua
Função f(x) de período T=2, tal que f(x) = x , se 0< x <1 , f(x) = 0 , se -1< x <0
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fk : aproximações de Fourier de ordens k
k =6 k =12
Tabela de valores para os coeficientes de Fourier an , bn
e para amplitude An e ângulo θn para cada senóide Sn
∫ π=1
0)cos(. dxxnxan
∫ π=1
0)sen(. dxxnxbn
⇒ ao=1/2; an= –2/(nπ)2, n ímpar ; an=0, n par ≠ 0
⇒ b1=(-1)n+1/(nπ), n>0
n an bn An θn(rad) θn(graus)
0 1/2 0.5000 - - - - -
1 -2/π2 -0.2026 1/(π) 0.3183 0.3773 4.1455 237.52
2 0 0. -1/(2π) -0.1592 0.1592 π/2 90
3 -2/(9π2) -0.0225 1/(3π) 0.1061 0.1085 4.5033 258.02
4 0 0. -1/(4π) -0.0796 0.0796 π/2 90
5 -2/(25π2) -0.0081 1/(5π) 0.0637 0.0642 4.5858 262.74
6 0 0. -1/(6π) -0.0531 0.0531 π/2 90
7 -2/(49π2) -0.0041 1/(7π) 0.0455 0.0457 4.6217 264.80
8 0 0. -1/(8π) -0.0398 0.0398 π/2 90
9 -2/(81π2) -0.0025 1/(9π) 0.0354 0.0355 4.6418 265.95
10 0 0. -1/(10π) -0.0318 0.0318 π/2 90
11 -2/(121π2) -0.0017 1/(11π) 0.0289 0.0290 4.6546 266.69
12 0 0. -1/(12π) -0.0265 0.0265 π/2 90
Séries de Fourier ESPECIAIS para função definida em [0,L]
CASO 1 :Série de Cossenos (extensão par)
∑∞
=
+=
12 nn
oL
xnπcosaa
f(x)
A técnica consiste em supor que a função é estendida ao intervalo [-L,L] de modo que f(-x)=f(x) , e estendida à reta real periodicamente com período 2L, e determinar série de Fourier para a função par.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
L
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0,)cos().(20
≥π= ∫ ndxL
xnxfL
aL
n
EXEMPLO: f(x)=(1-2 x)(2-x)(4-x);
0≤ x ≤ 4( )∫
π−−−=4
0)
4cos()4)(2)(21(
42 dxxnxxxan
1 2 3 4
-2
2
4
6
8
n an
0 2.66671 -2.35662 1.62113 2.85294 0.40535 1.11686 0.18017 0.58248 0.1013
f4
f6
f81 2 3 4
-4
-2
2
4
6
8
A técnica consiste em definir em estender f(x) ao intervalo [-L,L] de modo que f(-x) = - f(x) (ímpar)e à reta, com período 2L.
CASO 2:Série de Senos (extensão ímpar)
∑∞
=
=
1n
xenL
nπsbf(x) n0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
-1 -0.5 0.5 1
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
1,)sen().(20
≥= ∫ ndxL
xnxfL
bL
nπ
EXEMPLO: f(x)=x – x3 ; 0≤ x ≤ 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1
0.2
0.3
n bn
1 0.3870
2 -0.0484
3 0.0143
4 -0.0060
5 0.0031
6 -0.0018
7 0.0011
8 -0.0008
∫ π−=1
03 )sen()(2 dxxnxxbn
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1
0.2
0.3
0.4
f1
f2
f3
CASO 3:Série de Fourier de Senos especial para função f (x) , definida em intervalo [0,L]
Observamos que a série de Fourier do CASO 2 tem senóides
com frequência fundamental = 1/(2L) e frequências harmônicas = n /(2L)
Lπxn.sen
Existem casos especiais em que haverá necessidade de se desenvolver séries de Fourier de senos, como no CASO 2, porém com senóides tenham frequências que sejam múltiplos impares de 1/(4L) ,
isto é,
∑∞
=
=
1sen
n
x2Lπbf(x) n 1)-(2n
Chamaremos esta série de SÉRIE DE SENOS ESPECIAL, para f(x)
Justifica-se a construção da série de senos especial ,
para uma função f(x) definida em intervalo [0,L], do seguinte modo:
∑∞
=
1n
xen2L
π1)-(2nscn
1,)2
)12(sen().(2012 ≥−== ∫− ndx
Lxnxf
Lbc
L
nnπ
3. Verifica-se, devido à simetria, que os coeficientes de ordem par são nulos (b2n=0) e que os coeficientes de ordem ímpar podem ser calculados dobrando-se o valor da integral em [0,L]. Obtém-se, então
1. estende-se f(x) ao intervalo [L,2L] fazendo-se f(2L-x)=f(x), obtendo-se uma função estendida simétrica em relação à reta vertical x =L
L 2L
1,)2
sen().(22 2
0≥= ∫ ndx
Lxnxf
Lb
L
nπ
1. calculam-se os coeficientes da série de senos “ordinária” para a função estendida (com período 4L), ou seja,
CASO 4:Série de Fourier de Cossenos especial para função f (x) , definida em intervalo [0,L]
De modo similar ao Caso3, existem aplicações em que há necessidade de se desenvolver séries de Fourier de cossenos, como no CASO 1, porém com frequências que sejam múltiplos ímpares de 1/(4L), como no Caso 3
isto é,
∑∞
=
=
11)-(2ncos
n
x2Lπcf(x) n
Neste caso, os coeficientes são calculados como:
1,)2
)12(cos().(20
≥π−= ∫ ndxL
xnxfL
cL
n
Chamaremos esta série de SÉRIE DE COSSENOS ESPECIAL, para f(x)
Integração e Diferenciação de Séries de Fourier:
∑∞
=
π+π+=
1)sen()cos(
2)(
nnn
oL
xnbL
xnaa
xf
Considerando função f(x) que satisfaz as condições do teorema de Fourier, podemos dizer que “podemos obter integral e derivada de f(x) através de sua série de Fourier termo a termo” , isto é, se
então, onde f’(x) existir, tem-se
∑∞
=
ππ+ππ−=
1
)cos()sen()('n
nn Lxn
Lnb
Lxn
Lnaxf
obtendo assim a série de Fourier para a derivada f’(x)
OUTRAS PROPRIEDADES:
∑ ∑
∑ ∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
++
++
+
++
++=
1 1
1 1
11
)cos()sen()sen()cos(
)sen()sen()cos()cos(
)sen(.2
.2
)cos(.2
.222
)().(
m nmnmn
m nmnmn
nn
on
o
nn
on
ooo
Lxm
LxnAb
Lxm
LxnBa
Lxm
LxnBb
Lxm
LxnAa
LxnbABa
LxnaAAaAaxgxf
ππππ
ππππ
ππ
∑∞
=
π+π+=
1)sen()cos(
2)(
nnn
oL
xnbL
xnaa
xf
∑∞
=
π+π+=
1)sen()cos(
2)(
nnn
oL
xnBL
xnAA
xgSupondo
⇒ ( )dxL
dxxgxfL
L
L
L
L ∫∫ −−= .....1)().(1
Fazendo f = g na igualdade anterior, obtemos uma identidade conhecida como Identidade (ou teorema) de Parseval
( ) [ ]∑∫∞
=−
++=1
222
2 )()(2
)()(1
nnn
oL
Lba
adxxf
L
Consequências: 1)
2)
0limlim == nn ba
esconvergent séries sãoe1
2
1
2 ∑∑∞
=
∞
= nn
nn ba
Integrando e usando as propriedades de “ortogonalidade” das funções seno e cosseno, obtemos a identidade
[ ]∑∫∞
=−
++=12
)().(1
nnnnn
ooL
LBbAa
Aadxxgxf
L
( )2)()(1)(
22
1
2 oL
Ln
nadxxf
LA −=⇒ ∫∑ −
∞
=
Uma aplicação: CÁLCULO DE SOMAS DE ALGUMAS SÉRIES NUMÉRICAS
(1) A “onda quadrada” [ definida por: f(x)=0, se -1<x<0 e f(x)=1, se 0<x<1 ]
tem coeficientes a0=1 , an=0, se n ≠0 , b2n=0 e b2n-1=2/(2n-1)π
(I) com uso da identidade de Parseval: Exemplos:
( )6π
n1 2
1n2 =⇒=⇒==
− ∑∑∫∑∞
=
∞
=−
∞
=
+
)32(14
32)1(2 2
12
1
1
2
1
21
ππ nn
n
ndxx
n
(2) A função “dente de serra” [ f(x) = x , se-1<x<1 e f(x+2)=f(x) ]
tem coeficientes an=0, bn=(-1)n+12/(nπ) . Do mesmo modo:
Usando a identidade de Parseval, calcula-se que:
( )8π
1)(2n1 2
1n2 =
−⇒−=
−⇒==
−
++ ∑∑∫∑∞
=
∞
=−
∞
=
)211(
)12(141)(
)12(20
21 2
12
1
11
22
2
ππ nn n
dxxfn
(1) Para a “onda quadrada” [ f(x)=0, se -1<x<0 e f(x)=1, se 0<x<1 ]
( ) ( ) inteiro todopara ,)12(sen12
221)(
1≠π−
π−+= ∑
∞
=xxn
nxf
n
4π
1)(2n1)(
1n
1n=
−−⇒π−
−π+=⇒= ∑∑
∞
=
+∞
= 2)12(sen
1212
211
21
1
nn
xn
Fazendo
(II) com uso da identidade da própria série de Fourier: Exemplos:
11 para,)sen()1(21
1
<<−−= ∑∞
=
+
xxnn
xn
n
ππ
(2) A função “dente de serra” [ f(x) = x , se-1<x<1 e f(x+2)=f(x) ]
41)(2k1)(
71
51
311
1k
1k π=−
−=+−+− ∑∞
=
+
Novamente obtemos
k
k
kk
k
k
n
n
kkn
n)1(
12)1(2)1(
12)1(2)
2sen()1(2
21
1
2
1
1)12(
1
1
−−
−=−−
−=−= ∑∑∑∞
=
∞
=
+−∞
=
+
πππ
π
Fazendo x =1/2 , teremos:
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