Transcript
Page 1: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 1

3. Análise de Sinais no Domínio da Frequência Como se viu, pode-se extrair um grande número de informações de sinais periódicos e aperiódicos no domínio do tempo. A questão agora é: quando se torna mais conveniente analisar um sinal no domínio da frequência? Desde já se sabe que o domínio da frequência pressupõe periodicidade no tempo, isto é, para existir um mapeamento entre os domínios do tempo e da frequência deve-se assumir que os fenômenos no domínio do tempo se repetem em intervalos iguais a T, sendo T o período de tempo que contém um ciclo do sinal de frequência f. Com isso se estabelece a regra básica de mapeamento entre os dois domínios:

fT

=1

Tudo se passa como se o domínio da frequência enxergasse o domínio do tempo sob a ótica de intervalos regulares de tempo. Para perceber melhor as vantagens que essa representação de sinais pode trazer, tome-se um sinal com representação simples nos dois domínios: a senóide. 3.1 Representação no Domínio do Tempo No domínio do tempo precisa-se definir explicitamente a função e os parâmetros que a caracterizam, por exemplo:

)2sen(.)( ϕ−π= ftAtx

Figura 3.1 Representação de senóide no domínio do tempo.

portanto, tem-se três parâmetros característicos (A, T, ϕ ):

A= amplitude

Tf

= =1 2π

ω = período

ϕ = fase inicial

No caso de sinal composto de k frequências, são 3k parâmetros além da função analítica (no caso a função seno) para caracterizar a sucessão de valores no domínio do tempo.

Page 2: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 2

3.2 Representação no Domínio da Frequência No domínio da frequência esse mesmo sinal é representado apenas pelos seus parâmetros, ficando subentendida a função temporal escolhida como referência na decomposição: x f A f( ) [ , , ]→ ϕ

Amplitude

f0

Fase

−ϕ

f0

A

Figura 3.2 Representação de senóide no domínio da frequência.

Uma vez que a função periódica de referência já está implícita no domínio da frequência, a caracterização do sinal decomposto em termos dessa referência necessita apenas dos parâmetros resultantes da decomposição. 3.3 Representação de Sinais Periódicos Compostos: (ondas triangular, quadrada, etc.) Um sinal periódico qualquer pode ser expresso como série de senos e cossenos. Por exemplo a função:

f t t t t t1 1 1 1 112

2 13

3 14

4( ) sen sen sen sen ...= − + − +ω ω ω ω

produz uma onda dente de serra, com valor de pico π2

.

Figura 3.3 Primeiros 5 termos da série da onda dente de serra.

Por outro lado a função: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−= ...t5cos

51t3cos

31tcos4)t(f 1112 ωωω

π

produz uma onda quadrada de amplitude unitária.

Page 3: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 3

Figura 3.4 Primeiros 5 termos da série de uma onda quadrada.

A função correspondente a uma onda triangular é dada por:

f t t t t3 1 1 14 1

93 1

255( ) sen sen sen ...= − + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥π

ω ω ω

Figura 3.5 Primeiros 3 termos da série da onda triangular.

Os três exemplos mostram algumas propriedades gerais importantes das denominadas séries de Fourier ou, como são também chamadas, as séries harmônicas:

1 - as séries são formadas por múltiplos inteiros da frequência fundamental ( )f h =ωπ1

2.

As frequências múltiplas são chamadas harmônicas (fh = h.f1, h = 2,3,4...).

2 - se a função é par [f(t) = f(-t)], a série contém apenas termos em cosseno; se for ímpar [f(t) = -f(-t)], contém apenas termos em seno.

3 - se a função apresentar simetria de meia onda )]()([ 2Ttftf +−= então a série não

contém harmônicos pares, pois só as ímpares satisfazem essa propriedade.

4 - se a série for truncada, aparece o efeito Gibbs nas descontinuidades, devido à falta dos termos de alta frequência.

T/2

T

T/2

T

Page 4: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 4

3.4 Como aplicar a Análise de Fourier As propriedades anteriores ajudam a simplificar a análise qualitativa, porém se necessita de uma técnica para "quebrar" a função em sua série harmônica. Para isso recorre-se à decomposição do sinal periódico através da combinação de funções cosseno e seno, resultando na chamada série de Fourier:

∑∑∞

=

=

ω+ω+=ω1

11

10 )sen()cos()(h

hh

h thBthAAtf

T2

1πω =

A análise pela série de Fourier, no domínio da frequência, para sinais periódicos, resume-se a determinar os valores dos coeficientes A e B da série, uma vez que se conhece o período T da função de referência. Sabendo que as funções cosseno e seno são ortogonais, a decomposição de Fourier pode ser vista como uma operação de projeção em base de sinais ortogonais:

f1fe

c12.f2 f2

fe

Figura 3.6 Decomposição ortogonal do sinal f1.

C12 é a medida da projeção ortogonal da função f1 sobre a função f2. Para determinar C12 sobre um intervalo de tempo [ta,tb] pode-se utilizar a técnica de erro quadrático médio mínimo para a função de erro fe , dada por

fe (t)= f1 (t)- C12. f2 (t), ou seja, f1 (t)= fe (t)+ C12. f2 (t)

O erro quadrático médio no intervalo será, portanto: dttftt

etb

ta eab

ab .)(1 2∫−=

O mínimo dessa função será encontrado impondo: ∂∂

ec

ab

120=

Por essa técnica chega-se à relação seguinte (ver demonstração no final do capítulo): i

∫∫= b

a

b

a

dttf

dttftfC

).(

)().(2

2

2112

Page 5: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 5

Se f1 e f2 forem ortogonais, então C12 é nulo no intervalo dado. No caso da série de Fourier obtêm-se, por analogia, que:

=== ∫∫

∫−

− π

ππ

π

π

π ωωπω

ωωtd.)t(f

21

td.1

td.1).t(fA0 valor médio no período

∫∫

∫ π

π−π

π−

π

π− ωωωπ

=ωω

ωωω= tdthtf

tdth

tdthtfAh ).cos().(1

).(cos

).cos(.)(1

12

1

∫∫

∫ π

π−π

π−

π

π− ωωωπ

=ωω

ωωω= tdthtf

tdth

tdthtfBh .)sen(.)(1

.)(sen

.)sen(.)(1

12

11

Cada coeficiente pode ser interpretado como sendo o dobro do valor médio da função, ponderado pela respectiva base harmônica. Notar que os coeficientes (das funções seno ou cosseno) serão números reais, podendo ser positivos ou negativos. Uma vez obtidos os coeficientes, pode-se dispor o espectro na forma seguinte:

1

-1/2

1/3

1/4

1/5

f1

2f1

3f1 5f1

4f1 f

A

Figura 3.7 Espectro de amplitude da onda dente de serra.

Como se pode notar, coeficientes negativos correspondem à fase de 180°. 3.5 Representação da Série de Fourier na Forma Exponencial Existem vantagens, na hora de generalizar a análise de Fourier, em usar a representação pela série exponencial complexa, ao invés de usar funções seno e cosseno:

tjh

hh eatf 1.)( ω

−∞=∑= ,...2,1,0 ±±=h

onde: ah = coeficiente complexo Notar que para h = 0 resulta o termo médio (CC) e para h = ±1 resulta a onda fundamental. Isso pode ser verificado impondo-se as condições de simetria par e ímpar: se a h = a -h resulta termo cosseno se a.h = -a -h resulta termo seno para verificar, basta considerar que:

Page 6: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 6

e e tj t j tω ω

ω+=

2cos

e ej

tj t j tω ω

ω−

=−

2sen tjee tjtj ω=− ω−ω sen2

resultando a forma de Euler: e j.ω.t = cos ωt + j.senωt

Uma vez que k pode assumir valores positivos e negativos, diz-se que essa série é bilateral. 3.5.1 Série Exponencial Complexa Unilateral Pode-se rearranjar a soma bilateral na forma de série exponencial unilateral:

[ ]∑∞

=

ω−−

ω ++=1

011)(

h

thjh

thjh eaeaatf h=1, 2, 3....

Para sinais reais, a condição de simetria complexa tem que ser satisfeita, ou seja,

∗− = hh aa , devido ao teorema de Parseval (a energia deve se manter tanto no domínio do tempo

como no da frequência). Portanto:

[ ]∑∞

=

ω−∗ω ++=1

011 ..)(

h

tjhh

tjhh eaeaatf (I)

Assumindo ainda que cada coeficiente complexo é formado pelas partes real e imaginária na forma:

( )hhh BjAa −=21 h > 0,

de modo que: ( )hhhh jBAaa +== ∗− 2

1

resulta que a equação (I) pode ser escrita como:

[ ]∑∞

=

ω+ω+=1

110 )sen()cos()(h

hh thBthAatf

que é a própria série de Fourier de cossenos e senos formulada inicialmente.

Portanto, as três formas de representação da série de Fourier: série de senos e cossenos; série exponencial complexa bilateral; série exponencial complexa unilateral, são equivalentes e intercambiáveis. Com os coeficientes de uma série pode-se determinar os coeficientes da outra. 3.6. Da Série de Fourier à Transformada de Fourier Existe uma relação direta entre a forma exponencial complexa e a forma em termos de senos e cossenos da série de Fourier. Devido à relação entre os coeficientes das duas formas, ou seja, para h > 0:

( )hhh jBAa −=21 ( )hhh jBAa +=− 2

1

Pode-se obter os coeficientes complexos ah a partir dos coeficientes reais Ah e Bh:

Page 7: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 7

∫π

π−ωωω

π= tdthtfAh ).cos()(1

1 ∫π

π−ωωω

π= tdthtfBh ).sen().(1

1

resultando:

[ ] tdthjthtfah ωω−ωωπ

= ∫π

π−.)sen(.)cos()(

21

11

tdetfa thjh ωω

π= ∫

π

π−

ω− ..)(21

1 h = 0, ±1, ±2....

Notar que tjhe 1ω− é um operador de rotação cuja amplitude é 1. Portanto, cada

coeficiente ah corresponde ao valor médio da função f(ωt), ponderada pelo operador que gira com velocidade hω1, a qual define a periodicidade harmônica. 3.6.1 Análise de um Sinal com Especial Interesse: O Trem de Pulsos

f(x)

x=ω1tx=0 π 2π

T1

1

2π/k

Figura 3.8 Trem de pulsos unitários.

Esse sinal é importante para se chegar à Transformada de Fourier. Por conveniência,

tome-se o sinal com período 1

12Tωπ

= , o pulso com amplitude 1 e duração Δt= 2πk

. Notar que

k agora pode ser interpretado como uma frequência múltipla de ω1, uma vez que Δt é uma fração de T1.

Sabe-se que os coeficientes da série complexa de Fourier são dados por:

∫−

−=k

k

xmjm dx.e

21a

π

ππ para x = ω1t m=0, ±1, ±2...

resultando para:

m=0 k1

kk21a0 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

πππ

e para m≠0 [ ]jmkm e

2jm1a −

−=

πk

k

π

π−

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

π−

ππ−

km

mee

jmk

mjk

mjsen1

21

Logo, o trem de pulsos pode ser escrito como sendo a série:

Page 8: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 8

∑∑∞

∞−=

−∞=

π

=m

xmjm

m

xmj eae

km

km

kxf ..

)sen(.1)( m=0, ±1, ±2....

onde os coeficientes valem: ak

mk

mk

m =1 .

sen( )π

π

A função sen( )m

k

mk

π

π é chamada função sinc(.) e, para argumento contínuo, apresenta a

seguinte forma:

Figura 3.9 Função sinc(.).

Essa função define a envoltória para os valores dos coeficientes am do trem de pulsos. No caso do trem de pulsos, verifica-se que os coeficientes são definidos para as abcissas da função sinc apenas para valores específicos ou discretos, dados por:

mk k k kπ π π π= ± ± ±0 2 3, , , ,....pois m=0, ±1, ±2, ±3....

Podemos visualizar o que ocorre com os coeficientes am se os representarmos para dois casos, por exemplo, k=3 e k=5:

Figura 3.10 Coeficientes am do trem de pulsos para k=3.

Page 9: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 9

Figura 3.11 Coeficientes am do trem de pulsos para k=5.

Quanto menor a duração do pulso (maior k), mais os coeficientes se aproximam e

diminuem de amplitude. Se, ao invés de reduzir a duração, aumentar o período entre pulsos (T1 ), tem-se, no limite, um trem de pulsos com período infinito, ou seja, apenas um pulso na origem. Com isso, a frequência fundamental ( )ω π

11

2=

T tende a zero, e os componentes se

aproximam tanto que formam um espectro contínuo com amplitudes infinitesimais:

a f x e dxT

f t e dtmjmx jm t

T

T

= =−

−∫ ∫1

21

1 2

21

1

1

π π

πω( ). . ( ). .

/

/

Como am tende a zero, enquanto T1 tende a infinito, o produto am.T1 tende a uma constante:

)(dt.e).t(fTa tj1m

)T(ωω ℑ== ∫

∞−

∞→

A função contínua ℑ(ω) é chamada transformada ou integral de Fourier. A função inversa é obtida da série:

∑ ∫∑∞

∞−=

∞−

ωω∞

∞−=

ω

ω↓

ωωℑπ

=πω

ωℑ=

ωℑ=

m

tjtmj

m

tmj deeeT

tf

11Tma

.).(21.

2)(.)()( 11 1

1

notar os limites usados para essas associações de operações contínuas e discretas: T1 → ∞ ω1 → dω m.ω1 → ω ∑ ∫→

Resumindo: A Transformada de Fourier (TF) mapeia sinais aperiódicos para o domínio da frequência, resultando um espectro contínuo através da Integral de Fourier:

∫∞

∞−

−=ℑ dt.e).t(f)( tjωω ∫∞

∞−

ω ωωℑπ

= detf tj .).(21)(

Page 10: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 10

3.6.2 Exemplos de aplicação:

a) Obter a TF da seguinte onda retangular com período 1

12Tωπ

= :

τ-τ

A

T1 t Figura 3.12 Trem de pulsos

Os coeficientes da TF são:

AT2dt.A

T1a

110

ττ

τ

== ∫−

(média do período)

e o termo genérico, de ordem k, vale:

[ ] )0k()ksen(.Tk2.Aee.

TjkAdt.e.A

T1a 1

11

kjkj

11

tkj

1k

111 ≠=−−

== −

−∫ τωωω

τωτωτ

τ

ω

portanto, multiplicando numerador e denominador por τ:

τπ

τπτ

τωτωτ

1

1

11

1

1k

T2k

T2ksen

.T

A2k

)ksen(.

TA2a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

==

Esse coeficiente se anula cada vez que o argumento se torna múltiplo de π, ou seja, quando n

T2.k

1

=τ (inteiro).

Para n=1 temos τ2

Tk 1= representa o inverso do ciclo de trabalho.

Figura 3.13 Coeficientes da Transformada de Fourier da onda retangular.

Portanto, para a onda periódica resulta um espectro discreto, cuja resolução é dada por

1

1 T2πωωΔ == .

Notar que a duração do pulso (2τ) define a largura da faixa de frequências (primeiro cruzamento da função sinc por zero).

Page 11: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 11

b) Transformada de Fourier do pulso isolado:

τ-τ

A

t

Figura 3.14 Pulso isolado e respectivo espectro contínuo do.

Neste caso, como T1 → ∞ , o pulso é expresso por:

tjm

m

T

T

tjm

m

tjmm edtetfeTatf 1

1

1

11 ..).(.)(2/

2/1

ω∞

−∞= −

ω−∞

−∞=

ω ∑ ∫∑⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡==

portanto a TF é dada por: ℑ =( )ω a T f t e dtmjm t

T

T

12

21

1

1

= −∫ ( ). ./

e AdttfdttfTaT

T

.2).().(2/

2/10

1

1

τ=== ∫∫τ

τ−

Notar que para o pulso isolado o espectro é uma função contínua de ω. A duração do pulso (2τ) continua definindo a largura da faixa de frequência do lóbulo

principal. No caso do pulso ser estreito, o espectro se alarga na proporção inversa da duração do

pulso (2τ), enquanto que a amplitude diminui.

τ-τ

A

t

Figura 3.15 Pulso isolado estreito e seu espectro contínuo.

No caso de pulso largo, acontece o oposto, o espectro se estreita e aumenta amplitude em torno da origem:

A

Page 12: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 12

τ-τ

A

t Figura 3.16 Pulso isolado largo e seu espectro contínuo.

Continuando essa expansão da duração do pulso, pode-se, no limite, considerar o

degrau como um pulso de duração infinita, daí o seu espectro de concentrar em um impulso na origem.

0 ω Figura 3.17 Espectro do degrau.

A questão é: quanto vale a amplitude da vareta do espectro do degrau? Ver próximo item. 3.7 Da Transformada de Fourier à Transformada de Laplace Para existir a TF é preciso que no intervalo -∞ < t < ∞ a integral seja finita, ou seja:

∞<∫∞

∞−

− dte).t(f tjω

Como e-j.ω.t tem magnitude 1, uma condição suficiente é que: ∞<∫∞

∞−dt.)t(f

Porém, essa condição não é satisfeita por várias funções de interesse prático, como as funções seno, cosseno, degrau, as quais, portanto, não possuem transformada de Fourier. No entanto, limitando as funções periódicas entre -T e +T e depois fazendo T→ ∞ pode-se obter a transformada. Para o degrau u(t), pode-se utilizar outro processo, que é supor decaimento exponencial (e-σ.t ) do degrau, e fazer o valor da atenuação tender a zero (σ→ 0) após calcular a transformada.

1

e-σt

t0 Figura 3.18 Função atenuação do degrau.

[ ]ωσωσ

ω ωσωσ

j1e.e

)j(1dt.e.e)(G 0

tjt

0

tjt

+=

+−==

∞−−∞ −−∫ (σ >0)

Para obter o espectro do degrau não basta zerar σ, pois em ω=0 ocorre uma singularidade. Porém, levantando essa singularidade, vê-se que:

Page 13: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 13

para ω=0, resulta: σ1)0(G =

e, para ω>>0, resulta: ω

ωj1)(G ≅

ou seja, o espectro é contínuo e decrescente. A fase inicial é zero e atrasa até -90°.

1

t0

ω

ω

∠G( )ω

G( )ω

Degrau unitário

1/σ

-90°

Figura 3.19 Transformada de Fourier do degrau unitário.

3.7.1 A Transformada de Laplace Incorporando-se a técnica de atenuação à transformada de Fourier, resulta a Transformada de Laplace.

∫∫∞ +−∞ −− ==

0

t).j(

0

tjta dt.e).t(fdt.e.e).t(f)(G ωσωσω

Designando s j= +σ ω resulta:

∫∞ −=

0

ts dt.e).t(f)s(L

A integral agora tem que começar em t=0 uma vez que para t<0 a atenuação vira ampliação, e portanto a integral se torna divergente. 3.7.2 Comparação da Transformada de Laplace e de Fourier: Uma vez que:

dt.e).t(f)(tjω

ω−∞

∞−∫=ℑ

∫∞ −=

0

ts dt.e).t(f)s(L

percebe-se que, enquanto Fourier expande f(t) em um conjunto infinito de exponenciais tipo

Page 14: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 14

ej.ω.t, que dão origem a senos e cossenos sobre todo o intervalo -∞ < t < ∞, Laplace expande f(t) em um conjunto infinito de exponenciais complexas tipo es.t, que dão origem não apenas a senos e cossenos, como também a exponenciais crescentes e decrescentes, e combinações deles, resultando modos oscilatórios decrescentes (amortecidos) e crescentes (instáveis). Essa é uma importante generalização, mas que só se aplica para t ≥ 0. Essa transformação atende a grande parte dos sinais físicos, e por isso encontrou grande aplicação na área de controle moderno. Neste caso, convertendo cada sinal para o domínio da frequência pela transformada de Laplace, descobre-se que a função de transferência descreve a relação entrada-saída dos dispositivos que intervêm no processo. Sistemas complicados podem ser analisados através das relações matemáticas no domínio da frequência, gerando funções complexas H(s) que podem ser decompostas em pólos e zeros que são as raízes dos polinômios do denominador e numerador de H(s). Os pólos e zeros podem ser usados para caracterizar o comportamento dinâmico do sistema sob diferentes condições de excitação e controle. Porém esse é assunto para outro curso.

Page 15: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 15

Apêndice: Exemplos de uso do MathCad para análise de Fourier

Ondas periódicas e aperiódicas

t 0 .001, 3..:=

s1 t( ) 2 cos 15 t⋅( )⋅ 5 sin 20 t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

5

0

5

10

s1 t( )

tO máximo divisor comum entre as frequências de cada onda períodica é 5, logo o período é:

To5

2 π⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

:= s1 0( ) 2=

s1 To( ) 2=To 1.257=

Seja outra forma de onda:

s2 t( ) 2 cos 15 t⋅( )⋅ 1 cos 10 π⋅ t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 34

2

0

2

4

s2 t( )

tEmbora cada sinal, individualmente, seja periódico, como as frequencia não estão em uma relação RACIONAL, ou seja, NÃO SÃO MÚLTIPLAS inteiras de um fator comum, a onda resultante não é periódica

Page 16: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 16

Coeficientes da série de Fourier para a onda s1(t)

w1 2π

To⋅:=

Ao1

To To−2

To2

ts1 t( )⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Ao 0=

n 1 10..:=

An2

To To−2

To2

ts1 t( ) cos n w1( )⋅ t⋅[ ]⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Bn2

To To−2

To2

ts1 t( ) sin n w1⋅ t⋅( )⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

An00

2

0

0

0

0

0

0

0

= Bn0

502·10 -15

0

5

034·10 -15

0

0

612·10 -15

736·10 -15

0

=

Page 17: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 17

Outra forma de onda s1 t( ) sign cos 15 t⋅( )( )12

+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

s1 t( )

t

w1 15:= To 2π

w1⋅:=

To 0.419=

Ao1

To To−2

To2

ts1 t( )⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Ao 0.5=

n 1 10..:=

An2

To To−2

To2

ts1 t( ) cos n w1( )⋅ t⋅[ ]⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

An1.273

0

0.424

0

0.255

0

0.182

0

0.141

0

= Bn2

To To−2

To2

ts1 t( ) sin n w1⋅ t⋅( )⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=Bn00

0

0

0

0

0

0

0

=

Page 18: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 18

Reconstrução do sinal:

x t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

0

2

x t( )

tx t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+ A3 cos 3 w1⋅ t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

0

2

x t( )

t

x t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+ A3 cos 3 w1⋅ t⋅( )⋅+ A5cos 5 w1⋅ t⋅( )+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

0

2

x t( )

tx t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+ A3 cos 3 w1⋅ t⋅( )⋅+ A5cos 5 w1⋅ t⋅( )+ A7 cos 7 w1⋅ t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0

1

2

x t( )

t

Page 19: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 19

E 2:=Outra forma de onda

s1 t( ) E cos w1 t⋅( )( )⋅:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

s1 t( )

t

Toπ 2⋅w1

:= To 0.419=

Termo geral, para n par:Ao

1To To−

2

To2

ts1 t( )⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Ao 1.273= An4 1−( )

n2⋅

1 n2−( ) π⋅E⋅:=

n

n 1 10..:=

An2

To To−2

To2

ts1 t( ) cos n w1( )⋅ t⋅[ ]⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

An0

0.849

0

-0.17

0

0.073

0

-0.04

0

0.026

= Bn00

0

0

0

0

0

0

0

0

=

Bn2

To To−2

To2

ts1 t( ) sin n w1⋅ t⋅( )⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Page 20: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 20

Reconstrução do sinal

x t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31.27

1.272

1.274

1.276

x t( )

tx t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+ A2 cos 2 w1⋅ t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

x t( )

t

x t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+ A2 cos 2 w1⋅ t⋅( )⋅+ A4cos 4 w1⋅ t⋅( )+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

x t( )

tx t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+ A2 cos 2 w1⋅ t⋅( )⋅+ A4cos 4 w1⋅ t⋅( )+ A6 cos 6 w1⋅ t⋅( )⋅+:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

x t( )

t

Page 21: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 21

Análise de Trem de Pulsos Pulso de largura variável t 0 0.0001, 1..:=

w1 2 π⋅ 5⋅:=

s1 t( )sign cos 2 π⋅ 5⋅ t⋅( ) 0.9−( ) 1+

2:= To 2

πw1⋅:=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

s1 t( )

tTo 0.2=

n 1 30..:=

Ao1

To To−2

To2

ts1 t( )⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

An2

To To−2

To2

ts1 t( ) cos n w1( )⋅ t⋅[ ]⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Ao 0.144=

An0.2770.251

0.209

0.156

0.099

0.045

419·10 -3

-0.036

-0.056

-0.063

-0.057

-0.04

-0.02

419·10 -3

0.02

0.032

=

Bn2

To To−2

To2

ts1 t( ) sin n w1⋅ t⋅( )⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Bn00

0

0

0

0

0

0

0

=

Page 22: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 22

Reconstrução do sinal

x t( ) Ao A1 cos w1 t⋅( )⋅+:=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

0

0.5

x t( )

t

x t( ) Ao

1

5

n

An cos n w1⋅ t⋅( )⋅ Bn sin n w1⋅ t⋅( )⋅+( )∑=

+:=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0

1

2

x t( )

t

x t( ) Ao

1

30

n

An cos n w1⋅ t⋅( )⋅ Bn sin n w1⋅ t⋅( )⋅+( )∑=

+:=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

0

0.5

1

1.5

x t( )

t

Page 23: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 23

Análise dos coeficientes

n 0 40..:=

an1

To To−2

To2

ts1 t( ) e i− n⋅ w1⋅ t⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=an

0.1440.139

0.125

0.104

0.077

0.049

0.022

097·10 -4

-0.018

-0.028

-0.032

-0.028

-0.02

981·10 -3

097·10 -4

842·10 -3

0.016

0.019

0.017

0.013

6.26·10 -3

096·10 -4

6.91·10 -3

-0.011

-0.013

-0.012

115·10 -3

468·10 -3

095·10 -4

393·10 -3

722·10 -3

=

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 400.05

0

0.05

0.1

0.15

an

n

Page 24: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 24

Em direção ao impulso isolado e seu espectro contínuo e constante:

t 0 0.0001, 0.2..:=

w1 2 π⋅ 5⋅:=

s1 t( )sign cos 2 π⋅ 5⋅ t⋅( ) 0.995−( ) 1+

2:= To 2

πw1⋅:=

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0

0.5

1

s1 t( )

t

an1

To To−2

To2

ts1 t( ) e i− n⋅ w1⋅ t⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:= To 0.2=an

0.0320.032

0.032

0.031

0.031

0.031

0.03

0.029

0.029

0.028

0.027

0.026

0.025

0.024

0.022

0.021

=

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

0.05

0

0.05

an

n

Page 25: Série e Transformada de Fourier

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

DSCE – FEEC - UNICAMP 25

i Demonstração

[ ]

[ ]

∫∫

∫∫

=⇒

=−⇒

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−∂

∂=

∂∂

⋅−−

=

b

a

b

a

t

tab

ab

t

tab

ab

dttf

dttftfC

dttftfdttfC

dttfCtftfCtfttCC

e

dttfCtftt

e

b

a

b

a

).(

)().(

0).().(2).(2

0.)(.)()(2)(1

.)()(1

22

2112

212

212

2212

22112

21

1212

22121


Recommended