MOD Modelagem de Sistemas
Cap.05 - Sistemas de 1 Ordem
Prof. Tiago S Vtor
Referncia
Figuras retiradas do livro Engenharia de Controle Moderno, do autor Norman S. Nise, 6 ed., Ed. Wiley.
Introduo
Representao matemtica de Sistemas Funes de Transferncias
Eq. de Estado e de Sada
Aps representao Analisar respostas transiente e estacionria
Verificar se caractersticas fornecem comportamento desejado
Ordem do sistema Ordem da eq. dif.
Ordem do denominado da FT
Ordem do nmero de eq. de 1 ordem no espao de estados
5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema
Resposta do Sistema Soma de duas respostas: a resposta forada e a resposta natural.
Forada: reposta em regime permanente ou soluo particular
Natural: soluo homognia
Plos de uma FT Valores da varivel s que levam o valor da FT a tender ao infinito
Razes do polinmio caracterstico no denominador
Zeros de uma FT Valores da varivel s que anulam o valor da FT a tender ao infinito
Razes do numerador
5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema
Plos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem Exemplo para G(s)
Polo em s = -5
Zero em s = -2
5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema
Resposta ao degrau Multiplicando G(s) por uma funo degrau
1. Polo de entrada gera resposta forada
Polo na origem gerou degrau na sada
2. Polo da FT gera resposta natural
Polo em -5 gerou (e-5t)
3. Polo sobre eixo real
Gera resposta exponencial e-t
a localizao do polo no eixo real
Quanto mais esquerda, mais rpido o decaimento para zero
4. Zeros e polos geram amplitudes para ambas respostas forada e natural (A e B)
5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema
5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema
Tcnica para obter resposta por inspeo Cada polo do sistemas (sobre o eixo real)
Gera uma resposta exponencial da resposta natural
Polo de entrada Gera resposta forada
5.2 Plos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo Escrever sada c(t) em termo gerais. Identificar termos natura e forado.
TL-1
Lista 5A
Para G(s) Escrever por inspeo a sada c(t) em termos gerais para uma entrada degrau
Os polos determinam a natureza da resposta no domnio do tempo.
5.3 Sistemas de 1 Ordem
Comportamento destes sistemas Sem zeros para que as especificaes de desempenho sejam definidas
Para entrada degrau: R(s) = 1/s
TL-1
Parmetro a. Quanto t = 1/a :
3 especificaes de desempenho da resposta transiente: , Tr e Ts
5.3 Sistemas de 1 Ordem
Constante de Tempo () Fator 1/a
Tempo para o termo e-at decair 37% do valor inicial
Tempo necessrio para resposta ao degrau atingir 63% do valor final
Velocidade que o sistema responde a uma entrada degrau Mais afastado o polo do eixo imaginrio, mais rpida a resposta transiente
Inverso da Constante de Tempo Termo a, 1/segundo: frequncia exponencial
Derivada de e-at em t = 0 vale a. a representa a taxa inicial de variao da exponencial em t = 0
5.3 Sistemas de 1 Ordem
Tempo de subida, Tr Tempo necessrio para partindo de 10% atinja 90% do valor final
Diferena no tempo entre c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1
5.3 Sistemas de 1 Ordem
Tempo de assentamento, Ts Tempo para a resposta alcanar uma faixa de valores de 2% em torno do seu
valor final e ali permanecer
Fazendo c(t) = 0,98
5.3 Sistemas de 1 Ordem
FT de 1 ordem obtidas experimentalmente FT uma representao do sistema da entrada at a sada
Resposta a degrau pode conduzir uma representao mesmo no se conhecendo internamente o sistema
Com um degrau unitrio, pode-se Medir Constante de Tempo
Valor em Regime Estacionrio
Assim, encontra FT
Caractersticas da reposta 1 ordem: - no presena de sobre valor- Inclinao inicial no-nula
Valor Final: 0,72 Valor em : 0,63 x 0,72 = 0,45
Em 0,45: = 0,13 s a = 1/0,13 = 7,7
Resposta forada atinge valor em regime estacionrio de K/a = 0,72
Logo, K = 5,54
Grfico gerado de:
Lista 5B
Obter Tc, Tr e Ts
Para a FT