T E M A
 N G U L O S E
T R I Â N G U L O S
CONTEÚDOSCONTEÚDOS
• Ângulos
Complemento
Suplemento
Exemplos
• Triângulos
Classificações
Exemplos
Definição [ Ângulos ]
Chamamos ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem.
O
A
B
b
a
AOB BOA aOb
O ponto O é o vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-retas
OA e OB.����������������������������
O
A
B
b
a
AOB BOA aOb
[ Ângulos Consecutivos ]
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles coincide com um lado do outro.
O
A
B
C
consecBO utA sCOC ivoe
OC o lado comum��������������
[ Ângulos Adjacentes ]
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns.
O
A
B
C
e adjacBO eOB CA ntes
[ Ângulos Complementares]
Dois ângulos são ditos complementares quando a soma de suas medidas é 90°.
AOC BOC
90O
B
A
C
O
C
[ Exemplo ]
Qual o ângulo que excede o seu complemento em 76°?
[ Solução ]
Chamemos o ângulo procurado de x. Logo, seu complemento será (90° – x).
Como o ângulo excede o complemento em 76° temos x = (90° – x) + 76°,
encontrando 2x = 166° e logo x = 83°.
[ Ângulos Suplementares ]
Dois ângulos são ditos suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.
A
CB O
AOC 180 BOC
[ Observação ]
O ângulo de medida 90° é chamado de
ângulo reto, e o de medida 180°, de
ângulo raso.
. x35
[ Exemplo ]
Obtenha o valor de x abaixo:
[ Solução ]
Basta ver que 35° + 90° + x = 180°, logo x = 180° - 125° = 55°.
[ Ângulos Opostos pelo vértice (o.p.v.) ]
Dois ângulos são o.p.v. se , e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.
O
A
BC
D
AOB e DOC o.p.v.
[ Observação ]
Dois ângulos o.p.v. são congruentes.
[ Exemplo ]
Encontrar o valor de abaixo:
x y
A
BC
D
2x y
4 2x y
[ Solução ]
2x y x y
2 0x y x y
2 0x y
2x y i
Inicialmente temos que:
x y
A
BC
D
2x y
4 2x y
Ox y
A
BC
D
2x yO
Por outro lado, 4 2 2 180x y x y
6 3 180x y ii
Substituindo (i) em (ii), obtemos
6 2 3 180y y
9 180y
20y x y
A
BC
D
2x y
4 2x y
[ Solução ]
A
BC
D
2x y
4 2x y
Por último, 4 2x y
4 2 2y y
6y
6 20
120
[ Solução ]
A
BC
D 4 2x y
x y
A
BC
2x y
A
BC
D 4 2x yA
BC
Definição [ Bissetriz de um ângulo ]
Uma semi-reta Oc interna a um ângulo aÔb é chamada bissetriz desse ângulo se, e somente se,
aOc bOc
Oa
b
c
m aOc m bOc
[ Exemplo ]
Vamos obter x, sabendo que a semi-reta OP é bissetriz do ângulo AÔB:
30x 2y
10y
O A
P
B
[ Solução ]
Como OP é bissetriz temos
y – 10° = x + 30°, assim y – x = 40° (1)
Por outro lado sabemos que
2y + y –10° + x + 30° = 180°, assim
3y + x = 160° (2)
30x 2y
10y
O A
P
B
[ Solução ]
Por último resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2)
y – x = 40°
3y + x = 160°
encontramos:
y = 50° e x = 10°.
[ Classificação de Um Ângulo Quanto à Medida]
• Agudo: quando mede menos que 90°
• Obtuso: quando mede mais que 90°
x
x
x < 90°
x > 90°
Definição [ Triângulos ]
Dados três pontos A, B e C, não colineares, chamamos triângulo ABC e indicamos por ▲ABC, à reunião dos segmentos AB, BC e AC.
A
CB
c
a
b
A
BB C
A
C
c
a
b
[ Triângulos ]
Identificando seus elementos temos:A
CB
• A, B e C são vértices;
• Os segmentos AB, BC e AC de medidas c, a, e b; são os lados;
• , e são os ângulos internos.A B C
[ Classificação dos triângulos ]
Essa classificação é feita observando-se dois critérios:
(1°) Lados: (2°) Ângulos:
* Escaleno * Retângulo
* Isósceles * Acutângulo
* Equilátero * Obtusângulo
[ Classificação dos triângulos ]
[ Escaleno ]
Todos os lados possuem medidas diferentes.
A
CB
x
y
z
, ,x y x z y z
[ Classificação dos triângulos ]
[ Isósceles ]
Possui dois lados com medidas iguais
(consequentemente, os ângulos da base
BC são iguais). A
CB
x
y
x
A
CB
2 40x y 45x
[ Exemplo ]
Se o ▲ABC é isósceles de base BC, determine x e y.
[ Solução ]
A
CB
2 40x 45x yy
Sabemos que os ângulos da base são iguais, logo,
Assim y + x + 45° = 180° e obtemos y + x = 135°(1)
Da mesma forma y + 2x - 40° = 180°, obtemos então y + 2x = 220°(2)
Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) encontramos;
x = 85° e y = 50°
[ Solução ]
[ Classificação dos triângulos ]
[ Equilátero ]
Todos os lados possuem a mesma medida (consequentemente, os ângulos também):
A
CB
xx
x60 60
60
A
CB
xx
60
[ Classificação dos triângulos ]
[ Observação ]
No triângulo eqüilátero a altura divide a base BC em duas partes iguais:
2
x.
H
h
2
x
De fato observando o triângulo AHC e utilizando uma das relações trigonométricas temos:
y
A
CB
xx
.H
h
60
cos 60y
x
1
2
y
x
2
xy
Podemos deduzir também a fórmula da altura deste triângulo:
:No AHC2
2 2
2
xh x
A
CB
xx
.H
h
60
2
x2
x
3
2
xh
22 2
4
xh x
22 3
4
xh
[ Exemplo ]
Num triângulo isósceles, de perímetro 32 cm, a altura relativa à base vale 8 cm. Calcule as medidas dos lados congruentes.
A
CB.
H
8
[ Solução ]
Fazendo AB = AC = x, vem:
BC = 32 − 2x
Como H é o ponto médio de BC, temos:
BH = HC = 16 − x
xx
A
CB.
H
8
B
A
C
xx
.H
8
16 x 16 x
:No AHC
22 28 16 x x
Portanto, AB = AC = 10 cm.
32 320x
10x
[ Classificação dos triângulos ]
[ Retângulo ]
Possui um ângulo reto.
.
A
CB
[ Classificação dos triângulos ]
[ Acutângulo ]
Possui todos os ângulos agudos.
A
CB
0 , , 90
[ Classificação dos triângulos ]
[ Obtusângulo ]
Possui um ângulo obtuso.
A
CB
90 180
[ Definições Importantes ]
Mediana de um triângulo − é um segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
A
CB1M
1AM mediana do lado BC
1AM mediana do vertice A
[ Definições Importantes ]
Bissetriz interna de um triângulo − é o segmento que une um vértice ao lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.
1AS bissetriz do lado BC
1AS bissetriz do vertice A
A
CB1S
11BAS CAS
[ Teorema Importante ]
Teorema do ângulo externo − Dado um ▲ABC um ângulo externo deste triângulo é sempre maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
A
CB
Em particular temos que
A
CB
180
Agora como
180 180
[ Observação ]
(1) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo,
(2) Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois (desigualdade triangular), ou seja:
A
CB
c
a
b
c a b
a b c
b a c
[ Exemplo ]
Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo AÔC. Se α = 40° e β = 30°, qual o valor de γ ?
rA C
O
.H
[ Solução ]
Como α + β = 70°, temos AÔC=110° e, como r é bissetriz, m(rÔC) = m(rÔA)=55°.
Por outro lado observando o ▲AOH temos que AÔH = 50°, mas como AÔH + γ = 55°, logo temos γ = 5°.
rA C
O
.H
[Congruência de Triângulos]
A idéia de congruência: duas figuras
planas são congruentes quando têm a
mesma forma e as mesmas dimensões
(isto é, o mesmo tamanho).
Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:
ABC DEF
Consideremos os triângulos abaixo:
A
C
B R
T
S
Existe congruência entre os lados:
AB e RS, BC e ST, CA e TR
e entre os ângulos:
A e R , B e S , C e T
Daí, o triângulo ABC é congruente ao
triângulo RST. Escrevemos:ABC RST
Dois triângulos são congruentes, se os
seus elementos correspondentes são
ordenadamente congruentes, isto é, os
lados correspondentes e os ângulos
correspondentes dos triângulos têm as
mesmas medidas.
Para verificar se dois triângulos são
congruentes, não é necessário conhecer a
medida de todos os elementos. Basta
conhecer três elementos, entre os quais
esteja presente pelo menos um lado.
[ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados
são conhecidos.
Se dois triângulos têm, ordenadamente,
os três lados congruentes, então eles são
congruentes. Observe que os elementos
congruentes têm a mesma marca.
R S
T
A
C
B
[ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois
lados e um ângulo.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então eles são
congruentes.
BA
C
R S
T
[ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados
dois ângulos e um lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado e os dois ângulos a
ele adjacentes, então eles são
congruentes.
A
C
BR S
T
[ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]:
Conhecido um lado, um ângulo e um
ângulo oposto ao lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado
então eles são congruentes.
BA
C
R S
T
[ Exemplo 1 ]:
Na figura, o triângulo ABC é congruente
ao triângulo DEC. Determine o valor de x
e y. E
A DC
B
..3x
5y
y + 48°
2x + 10°
[Solução]:
3x
5y
y + 48°
E
A DC
B
..
2x + 10°
Como os triângulos ABC e DEC são congruentes (nessa ordem de elementos),
Temos que 3x = 2x + 10° e
5y = y + 48°, logo,
x = 10° e y = 12°.
[Proposição 1] A soma das medidas de
quaisquer dois ângulos internos de um
triângulo é menor que 180°.
[Demonstração]
Sabemos que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é 180°, logo, a
soma de dois deles é menor que 180°.
[Corolário 1]
Todo triângulo possui pelo menos dois
ângulos internos agudos.
Dois triângulos que têm os mesmos ângulos NÃO são, necessariamente congruentes.
CONTEÚDOSCONTEÚDOS
• Triângulos
Definição
Critérios de semelhança
Exemplos
Definição [ Semelhança de Triângulos ]
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes (homólogos) proporcionais.
'A
'C'B
'c
'a
'b
A
CB
c
a
b
'A
'C'B
'c
'a
'b
A
CB
c
a
b
' ' 'ABC A B C
A A'
B B'' ' '
C C'
a b ce k
a b c
onde k é a razão de semelhança.
[ Exemplo 1 ]
Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura abaixo são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1° para o 2° é 3/2, determine:
(1) Os lados do ▲ABC,
(2) A razão entre seus perímetros. 'A
'C'B
10
14
12
A
CB
c
a
b
[ Solução ]
Utilizando a razão de semelhança temos
3
14 12 10 2
a b c
3
14 2
a 21a
3
12 2
b 18b
3
10 2
c 15c
[ Solução ]
Dessa forma o perímetro do ▲ABC é
54 u.c. Verificando a razão entre os
perímetros desses triângulos temos:
2 54 3
2 ' ' ' 36 2
p ABC
p A B C
A razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança entre eles.
[ Teorema Fundamental ]
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
//DE BC ADE ABC ���������������������������������������� ���
A
CB
D E
[ Exemplo 2 ]
Se as retas DE e BC são paralelas, determine o valor de x.
A
CB
D E3
6
x
8
[ Solução ]
Já sabemos (pelo teorema anterior) que
os triângulos ABC e ADE são
semelhantes. Vamos então:
(1) separar as figuras
(2) escrever a proporção entre os lados
conhecidos.
A
CB
D E3
6
x
8
A
CB
9
x
A
D E
6
8
[ Solução ]
Escrevendo a proporção entre os lados correspondentes temos
6 8
9 x 6 72x 12x
A
CB
9
x
A
D E
6
8
[ Solução ]
[ Critérios de Semelhança ]
Em resposta à pergunta anterior temos:
[1º caso] Dois triângulos com dois ângulos ordenadamente congruentes são semelhantes.
B DA
CB
D E
A e angulo comum
ADE ABC
[ Critérios de Semelhança ]
[2º caso] Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e com ângulos compreendidos congruentes são semelhantes.
A
CB
c b
'A
'C'B
'c 'b
'A A
' '
b ck
b c
' ' 'ABC A B C
[ Critérios de Semelhança ]
[3º caso] Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.
' ' '
a b ck
a b c
' ' 'ABC A B C
A
C
Bc
ba
'A
'C
'B'c
'b'a
[ Exemplo 3 ]
Na figura abaixo, obtenha x:
.
x.5
815
17
A
CB D
E
[ Solução ]
Inicialmente separamos os triângulos e verificamos em qual caso de semelhança eles se enquadram
.815
17
A
CB B D
E
x5 .
[ Solução ]
Estão envolvidos dois triângulos retângulos com o ângulo do vértice B comum aos dois. Portanto se enquadram no 1° caso.
.815
17
A
CB B D
E
x5 .
[ Solução ]
Portanto
.815
17
A
CB B D
E
x
5.
8 15
5x 15 40x
40
15x
8
3x
[ Exemplo 4 ]
Determine a medida do lado do quadrado na figura abaixo:
6
.
.
.
.A
C
B
4DE
[ Solução ]
Observamos que os triângulos EDC e ABC são semelhantes pelo 1° caso.
Chamemos o lado do quadrado de x, assim
6
.
.
.
.A
C
B
4DE
xx
x
x
4 x
[ Solução ]
6
.
.
.
.A
C
B
4DE
xx
x
x
4 x
Portanto: 4
4 6
x x 4 24 6x x
10 24x 2,4x
[ Referências ]
• Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e
aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004.
• Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos,
Funções e Progressões. São Paulo:
FTD,1992.
Crescer é
Ser cada dia um pouco mais nós mesmos.
Dar espontaneamente sem cobrar inconscientemente. ...
Aprender a ser feliz de dentro para fora. ... Sentir a vida na natureza. ...
Reconhecer nossos erros e valorizar nossas virtudes. ...
Entender que temos o espaço de uma vida inteira para crescer. ...
Assumir que nunca seremos grandes, que o importante é estar sempre crescendo.