EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
ÍNDICE Introdução ................................................................................................................... 2
1 Equações Diferenciais do Tipo Hiperbólico .......................................................... 3
1.1 Métodos de Resolução das EDP .................................................................... 3
1.1.1 Método da Integração Básica Directa ...................................................... 4
1.1.2 Método de Mudança de Variáveis ........................................................... 5
1.1.3 Separação de Variáveis ........................................................................... 8
2 Série de Fourier .................................................................................................. 10
2.1 Funções Pares e Ímpares ............................................................................ 11
2.1.1 Propriedades das Funções Pares e Ímpares ......................................... 12
2.2 Série de Fourier de Cossenos e de Senos ................................................... 12
2.3 Equação de Uma Oscilação de Uma Corda ................................................. 13
2.3.1 Solução da Equação da Onda pelo Método de Fourier ......................... 13
Conclusão ................................................................................................................. 17
Referências Bibliográficas ......................................................................................... 18
Integrantes do Grupo ................................................................................................. 19
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
2
INTRODUÇÃO A Matemática na sua abrangência, oferece conexões preponderantes a diversos
campos científicos. Salientando a aparição das Equações Diferenciais Parciais como
sustento de diversos problemas físicos como: Problema de mecânica de fluidos, de
sólidos-dinâmica, de elasticidade, de transferência de calor, da teoria
electromagnética, mecânica quântica, e outros.
Nas EDP de Ordem Superior aparecem as EDP Lineares Homogéneas e não
Homogéneas. No que tange as EDP de 2ª ordem eis a classificação: Hiperbólico,
Elíptico e Parabólico.
No entanto a nossa abordagem cingir-se-á, nas Equações Diferenciais Parciais de
tipo Hiperbólico, abarcando assim a demonstração e resolução da mesma, a
equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do
problema e solução da equação da corda pelos métodos de Fourier.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
3
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO
Dada uma EDP na forma, GFUy
UE
x
UD
y
UC
yx
UB
x
UA
2
22
2
2
onde
todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem das variáveis
em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo
Hiperbólico se, .
EXEMPLOS.
1. Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
a)
b)
Solução:
a)
( ) é uma equação diferencial hiperbólica.
b)
não é uma equação diferencial hiperbólica.
EXERCÍCIOS.
1-Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
)
b)
c)
1.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS EDP
Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de
uma equação diferencial.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
4
1.1.1 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO BÁSICA DIRECTA
No método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s (Equações
Diferencias Ordinárias) exactas, quando integramos em ordem a uma das variáveis,
consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função
arbitrária nas outras variáveis como uma constante.
EXEMPLOS.
1. Sabendo que U é uma função de x e de y, determinar as soluções gerais das
equações diferenciais parciais seguintes:
a) ( ) b) ( )
Solução:
a) ( )
, Integrando ambos os membros em ordem a x, como U é uma função de x e
y, então considera-se como constante uma função em ordem a y.
Logo vem:
( ) ( ), que é neste caso a solução geral.
b) ( )
Integrando primeiro em ordem a vem ( ) ( ) e integrando agora em
ordem a y temos como solução geral
( ) ∫ ( ) ( ).
EXERCÍCIOS
Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais Seguintes:
a. ( )
b. ( )
c. ( )
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
5
1.1.2 MÉTODO DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Para a EDP ( ) ( ) ( ) Definimos a equação
diferencial característica associada como:
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) As curvas características
associadas são as soluções da equação diferencial (ordinária) característica.
Exemplo de equações características de uma EDP A equação
definida em 2 ,tem a equação característica ( ) ( )
A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características:
É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo
de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que
oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica
associada.
Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler) =0
Onde são números reais. Usando as mudanças de variáveis:
e aplicando a regra da cadeia poderemos escrever :
e
E assim temos:
Neste caso a solução geral é dada por ( ) ( ) ( ) De forma análoga temos:
(
)
(
)
(
)
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
6
Assim:
(
) (
)
Ou seja:
Ou em uma notação mais simples:
( ) Analogamente:
(
)
(
)
(
)
(
)
)
( )
)
Ou mais simplesmente:
( ) ( )
Do mesmo modo:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
Ou seja:
Ou ainda vem:
( )
EXEMPLO.
Determinar a solução geral para a equação:
Solução:
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
7
Determinando primeiro a equação característica ordinária vem: ( ) ( ) ( )( )
Integrando cada uma das equações temos
, fazendo
Fazendo também . Então:
=
(
)
(
)
(
)
(
)
Ou simplesmente:
Analogamente:
(
)
(
)
(
)
(
)
Ou apenas:
Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos:
( )
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
8
, Aplicando o método da integração básica directa temos que: ( ) ( ) ( ) que é solução da equação
Com as variáveis originais obtemos a solução:
( ) ( ) ( ) que é a solução geral.
EXERCÍCIOS.
Usando as transformações indicadas, resolver a seguinte equação:
a) 0456 yyxyxx
ZZZ
Pelas condições: yxvyxu 2;34
1.1.3 SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Quando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de
x por uma função de y, como:
( ) ( ) ( )
As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas
variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que:
,
E que
,
EXEMPLOS.
Determine:
a)
b)
Solução:
a)
Visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é
independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são
independentes de x como de y. Por outras palavras cada lado da equação deve ser
uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação como
ou
Desta forma distinguimos os três casos seguintes:
CASO I
Se as duas igualdades
, então temos:
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
9
, assim temos as Respectivas equações auxiliares seguintes:
, onde para x e para
Dessa forma temos as soluções seguintes:
x x , assim uma solução particular da EDP
dada é: U =XY
( x x )
x
x onde
CASO II
Se as igualdades
onde para x e para y
temos que , assim as soluções respectivas são:
x x , a solução particular
correspondente é:
( x x )
x
x onde e
representa a unidade imaginária.
CASO III
Se 0, as igualdades
onde
PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO
Se , são soluções particulares de uma equação diferencial em
derivadas parciais linear e homogénea, então a combinação linear
também é uma solução, em que são constantes e 0
k
Assim é também solução da equação anterior a expressão:
x
x x
x
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
10
)
então
pelas equações auxiliares temos que
, então vem:
X= e Y=
, assim a solução produto
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 SÉRIE DE FOURIER A série de Fourier de uma função f definida em um intervalo( ) é
( )
∑ (
)
onde:
∫ ( )
,
∫ ( )
∫ ( )
EXEMPLOS.
Determine as séries de Fourier das seguintes funções no intervalo dado:
) ( ) {
) ( ) {
) ( ) {
Solução:
) ( ) {
A série de Fourier de função f (x) é dada por:
( )
∑ (
)
,
Determinando os coeficientes temos:
∫ ( )
– , Neste caso
∫ ( )
∫
–
∫ ( )
–
∫ ( )
–
∫
∫
∫
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
11
∫ ( )
–
∫ ( )
–
∫ ( )
[ ]
( )
[ ( ) ] Então a série de Fourier para a função dada
é: ( )
∑
[ ( ) ]
) ( ) {
∫ ( )
–
∫ ( )
–
∫ ∫
–
[ ]
[ ]
∫ ( )
– ∫ ( ) ∫ ∫
–
–
Integrando por partes a segunda parcela temos:
[ ( )]
[
( ) ]
[( ) ]
∫ ( ) ∫
∫
[ ]
[
( )
]
logo a série correspondente é:
( )
∑
[( ) ]
EXERCÍCIOS.
1- Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado:
) ( ) {
) ( ) {
2.1 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
A função seno e co-seno são funções impar e par respectivamente, ou seja, uma
função é par se ( ) ( ) e é ímpar se ( ) ( ).
Vemos que ( ) ( )
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
12
2.1.1 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
a) O produto de duas funções pares é par
b) O produto de duas funções ímpares é par
c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função
ímpar
d) A soma ou diferença de duas funções pares é par
e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar
f) Se f é par, ∫ ( ) ∫ ( )
g) Se é ímpar, ∫ ( )
2.2 SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E DE SENOS
I) A série de Fourier de uma função par num intervalo (-p, p) é a série de
Co-senos ( )
∑
Em que
∫ ( )
e
∫ ( )
II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo (-p, p) é a série de senos:
( ) ∑
, onde
∫ ( )
EXEMPLOS.
1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:
a) ( )
b) ( )
Solução: a) ( )
Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem: ( ) ( ), mas ( ) ( ) logo a função é ímpar, assim podemos desenvolver em série de Fourier de senos.
( ) ∑
,
∫ ( )
∫
∫
[
]
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
13
, a série correspondente para este caso é:
( )
∑
( )
,
b) ( )
( ) ( ) , Conclui-se que a função é par.
Por ser par, o desenvolvimento desta função será mediante a série de Fourier de co-seno.
( ) ∑
∫ ( )
∫
[ ]
∫ ( )
∫
*
(
) +
( )
∑
EXERCÍCIOS.
Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:
a) ( ) b) ( )
c) ( )
d) ( )
2.3 EQUAÇÃO DE UMA OSCILAÇÃO DE UMA CORDA
2.3.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA PELO MÉTODO DE FOURIER
A equação
se chama de oscilação de uma corda
(equação de corda vibrante ), onde é considerado como uma constante positiva, a
menos que se especifique o contrário.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
14
CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA
O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma
função ( ), para e , que satisfaça a equação das ondas, as
condições de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido
como um problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF.
Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição
de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a
hipótese de extremidades fixas implica que ( ) ( ) ,Para . Que são
chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a
natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, é o
deslocamento inicial da corda, representado por u (x,0) e o modo como a corda é
abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial ( ). Assim
devem ser dados
( ) ( )
( ) ( ) ; que são chamadas de condições iniciais.
EXEMPLOS
1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas acima:
( ) ( ) , Para
) ( ) ( )
|
( )
( ) ( )
) ( )
( )
|
Solução
( ) ( )
) ( ) ( )
|
( )
Separando as variáveis tem-se:
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
15
Onde as suas equações auxiliares são:
Resolvendo estas equações auxiliares, tem-se: ,
Atendendo as condições de fronteira, temos ( ) ( )
0
Esta última equação define os valores próprios
As funções próprias respectivas são
,
As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na fronteira
são (
)
( ) ∑(
)
Como t=0 na última expressão, obtemos então
( ) ∑
( )
Sendo que e que
∫ ( )
E para determinar , apenas derivamos ( ) em ordem a t e fazemos t=0:
∑(
)
|
( ) ∑ (
)
Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do
intervalo no intervalo, o coeficiente total (
)deve estar na forma
∫ ( )
∫ ( )
A solução do problema está formada por série, com definidos respectivamente.
E é importante notar que quando a corda se solta partindo de repouso,
( ) , para todo em em consequência,
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
16
( ) ( )
) ( )
( )
|
Vimos no exemplo anterior que resolvendo a equação da onda pelo método de separação de variáveis obtém-se:
, então atendendo as condições de fronteira e iniciais vem: ( ) ( )
Então, ∑ (
)
Impondo ( )
( ) ∑
∑(
)
( ) ∑
( ) ∑ (
)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as
condições citadas:
a) ( ) ( ) ( ) , ( )
b) ( ) ( ) ( ) , ( )
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
17
CONCLUSÃO Portanto, é de salientar que uma EDP na forma,
Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem
das variáveis em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do
Tipo Hiperbólico se, . E para resolver as EDP do tipo hiperbólico,
aplicam-se alguns métodos tais como: método da integração básica directa, método
de mudança de variáveis, separação de variáveis e o princípio de superposição.
Ainda nesta abordagem, aparece as séries Fourier, a equação de oscilação de uma
corda pelos métodos de Fourier.
Assim incide a imensa preponderância das equações diferenciais do tipo hiperbólico
nos diversos problemas físicos.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
18
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C., Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed,
USA.
BRONSON, Richard, COSTA, Gabriel, Equações Diferenciais,
ColeçãoSchaum, McGraw- Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.
FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers, Dover Publications Inc., (1993), New York, USA.
FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Análise de Fourier e Equações Diferenciais
Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.
Hispanoamericana, S. A, (1983), México.
KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado ,vol 1 e 2, EdgardBlucher Editora e
EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.
KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingenieríavol 2,
LimusaWiley, (2003), 3 ªed, México.
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol II
SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.
SPIEGEL, MurrayR. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
19
INTEGRANTES DO GRUPO Emília Muteca
Evaristo Hakombo Oliveira
Mateus das Neves Bango
Paulo dos Santos Cambinda
Francisco Javela Pereira
Samuel José Domingos Maquengo
Recommended
