Transferencia de CalorEscoamento Interno - Parte 1
Filipe Fernandes de [email protected]
Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia
Universidade Federal de Juiz de Fora
Engenharia Mecanica
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Introducao
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Introducao
I O escoamento de liıquido ou de gas atraves de tubos ou dutos ecomumente usado em aplicacoes de aquecimento e resfriamento;
I O fluido em tais aplicacoes e forcado a fluir por meio de umventilador ou bomba atraves de uma secao de escoamento que sejasuficientemente longa para proporcionar a transferencia de calordesejada;
I A maioria dos fluidos, especialmente os lıquidos, sao transportadosem tubos circulares;
I Isso ocorre porque tubos com secao transversal circular podemsuportar grandes diferencas entre pressao interna e externa semsofrer deformacoes significativas;
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Introducao
I Os tubos nao circulares sao normalmente usados em aplicacoescomo sistemas de aquecimento e resfriamento de edifıcios, em que adiferenca de pressao e relativamente pequena e os custos defabricacao e instalacao sao mais baixos;
I Para uma area de superfıcie fixa, o tubo circular fornece a maiortransferencia de calor com a menor queda de pressao, o que explicaa enorme popularidade dos tubos circulares em equipamentos detransferencia de calor;
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Consideracoes Hidrodinamicas
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Consideracoes FluidodinamicasI Considere o escoamento laminar no interior de um tubo circular de
raio ro , onde o fluido entra no tubo com uma velocidade uniforme;I Quando o fluido entra em contato com a superfıcie, os efeitos
viscosos se tornam importantes e uma camada-limite se desenvolvecom o aumento de x ;
I Esse desenvolvimento ocorre a custa do encolhimento da regiao deescoamento nao viscoso e termina com a fusao da camada-limite noeixo central do tubo;
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Consideracoes Fluidodinamicas
I Apos essa fusao, os efeitos viscosos se estendem ao longo de toda asecao transversal do tubo e o perfil de velocidades nao mais sealtera ao long de x ;
I Diz-se, entao, que o escoamento esta plenamente desenvolvido e adistancia entre a entrada do tubo e o ponto onde essa condicao eatingida e conhecida por comprimento de entrada fluidodinamica(ou hidrodinamica), xcd ,v ;
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Consideracoes Fluidodinamicas
I No escoamento laminar o perfil de velocidades na regiao deescoamento plenamente desenvolvido e parabolico;
I No escoamento turbulento, o perfil de velocidades e mais achatadodevido a mistura turbulenta na direcao radial.
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Consideracoes Fluidodinamicas
I A extensao da regiao de entrada depende se o escoamento e laminarou turbulento;
I O numero de Reynolds para o escoamento em um tubo circular edefinido como;
ReD =ρumD
µ=
umD
ν(1)
I Sendo um a velocidade media do fluido na secao transversal.
I Em um escoamento plenamente desenvolvido, o numero deReynolds crıtico, e:
ReD,c ≈ 2300 (2)
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Consideracoes Fluidodinamicas
I Para o escoamento laminar (ReD ≤ 2300), o comprimento deentrada fluidodinamica pode ser obtido a partir de,(
xcd ,vD
)lam
≈ 0, 05ReD (3)
I Para o escoamento turbulento tem-se:(xcd ,vD
)turb
≈ 10 (4)
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Velocidade Media
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Velocidade Media
I Uma vez que a velocidade varia ao longo da secao transversal e naoha uma corrente livre bem definida, e necessario trabalhar com umavelocidade media ao lidar com escoamentos internos;
I Essa velocidade e definida de tal forma que, quando multiplicadapela massa especıfica do fluido ρ e pela area da secao transversal dotubo Atr , obtem-se a vazao massica do escoamento;
m = ρumAtr (5)
I A vazao massica pode ser representada pela integral do fluxo demassa (ρu) na secao transversal:
m =
∫Atr
ρu(r , x)dAtr (6)
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Velocidade Media
I Assim, para o escoamento incompressıvel em um tubo circular,tem-se
um =2
r20
∫ r0
0u(r , x)rdr (7)
I Para o escoamento incompressıvel em regime estacionario em umtubo com area de secao transversal uniforme, m e um saoconstantes, independentes de x ;
I Para o escoamento em um tubo circular (Atr = πD2/4), o numerode Reynolds se reduz a:
ReD =4m
πDµ(8)
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Perfil de Velocidades na Regiao de EscoamentoPlenamente Desenvolvido Laminar
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Perfil de Velocidades na Regiao de EscoamentoPlenamente Desenvolvido Laminar
I Uma caracterıstica importante das condicoes fluidodinamicas naregiao plenamente desenvolvida e que o componente radial davelocidade (v) e o gradiente do componente axial da velocidade(∂u/∂x), sao iguais a zero qualquer que seja a posicao;
∂u
∂x= 0 v = 0 (9)
I Assim, o componente axial da velocidade depende somente de r ,u(x , r) = u(r);
I A dependencia radial da velocidade axial pode ser obtida atraves daresolucao da equacao do momento na direcao x.
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Perfil de Velocidades na Regiao de EscoamentoPlenamente Desenvolvido Laminar
I Para as condicoes da equacao 9, o fluxo lıquido de momento e nuloem qualquer ponto na regiao plenamente desenvolvida;
I Portanto, a exigencia de conservacao do momento se reduz a umsimples equilıbrio entre as forcas de cisalhamento e as forcas depressao no escoamento;
I Aplicando o equilıbrio de forcas, chega-se a:
µ
r
d
dr
(rdu
dr
)=
dp
dx(10)
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Perfil de Velocidades na Regiao de EscoamentoPlenamente Desenvolvido Laminar
I Resolvendo a equacao 10, tem-se:
u(r) = − 1
4µ
(dp
dx
)r20
[1−
(r
r0
)2](11)
I Substituindo a equacao 11 em 7, obtem-se:
um = − r20
8µ
dp
dx(12)
I Escrevendo u(r) em termos da velocidade media:
u(r)
um= 2
[1−
(r
r0
)2](13)
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Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido
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Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido
I A queda de pressao em um escoamento interno determina aexigencia de potencia em bombas ou sopradores;
I Para determinar a queda de pressao, e conveniente trabalhar com ofator de atrito de Moody (ou de Darcy), que e um parametroadimensional definido pela expressao:
f =−(dp/dx)D
ρu2m/2
(14)
I Essa grandeza nao deve ser confundida com o coeficiente de atrito(Cf ), algumas vezes tambem chamado de fator de atrito deFanning, que e definido como:
Cf =τs
ρu2m/2
=f
4(15)
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Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido
I Utilizando a definicao de numero de Reynolds e a equacao 12,tem-se que, para o escoamento laminar plenamente desenvolvido:
f =64
ReD(16)
I Para um escoamento turbulento plenamente desenvolvido, a analisee muito mais complicada e sao utilizados resultados experimentais;
I Alem de depender do numero de Reynolds, o fator de atrito e umafuncao das condicoes na superfıcie do tubo e aumenta com arugosidade da superfıcie (e);
I Pode-se utilizar equacao 17 ou o diagrama de Moody para obtencaode f .
1√f
= −2log
[−e/D
3, 7+
2, 51
ReD√f
](17)
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Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido
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Consideracoes Termicas
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Consideracoes TermicasI Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme T (r , 0), que
e menor do que a temperatura da superfıcie, ocorre transferencia decalor por conveccao e uma camada-limite termica comeca a sedesenvolver;
I Se a condicao na superfıcie do tubo for fixada pela imposicao deuma temperatura uniforme (Ts e constante) ou de um fluxo termicouniforme (q
′′s e constante), termina-se por atingir uma condicao
termica plenamente desenvolvida;
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Consideracoes Termicas
I A forma do perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T (r , x)difere em funcao da condicao mantida na superfıcie, temperatura oufluxo termico uniformes;
I Entretanto, em ambas as condicoes superficiais, a diferenca entre atemperatura do fluido e a sua temperatura na entrada(T (r , x)− T∞) aumenta com o aumento de x .
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Consideracoes Termicas
I Para o escoamento laminar, o comprimento de entrada termicopode ser representado por:(
xcd ,tD
)lam
≈ 0, 05ReDPr (18)
I Para o caso turbulento pode-se assumir:(xcd ,tD
)turb
≈ 10 (19)
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A Temperatura Media
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A Temperatura Media
I Da mesma forma que o caso da camada limite de velocidade, aausencia de uma temperatura fixa na corrente livre exige o uso deuma temperatura media;
I Para fornecer uma definicao para a temperatura media, comecamosretornando a
q = mcp(Tsai − Tent) (20)
I Esta implicito que a temperatura e uniforme nas secoes transversaisna entrada e na saıda.
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A Temperatura MediaI Defini-se a temperatura media de modo que o termo mcpTm seja
igual a taxa real de adveccao de energia termica integrada na secaotransversal;
I Essa taxa real de adveccao pode ser obtida pela integracao doproduto entre o fluxo de massa (ρu) e a energia interna por unidadede massa (cpT ) em toda a secao transversal do escoamento;
mcpTm =
∫Atr
ρucpT (r , x)dAtr (21)
I Assumindo que ρ e cp sao constantes, tem-se
Tm =2
umr20
∫ r0
0uT (r , x)rdr (22)
I Quando multiplicada pela vazao massica e pelo calor especıfico, Tm
fornece a taxa na qual a energia termica e carregada pelo fluido amedida que ele escoa ao longo do tubo.
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Lei do Resfriamento de Newton
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A Temperatura Media
I A temperatura media Tm e uma temperatura de referenciaconveniente para escoamentos internos, desempenhando um papelmuito semelhante aquele da temperatura na corrente livre T∞ nosescoamentos externos;
I Consequentemente, a lei do resfriamento de Newton pode serrepresentada pela expressao:
q′′s = hx(Ts − Tm) (23)
I Onde hx e o coeficiente de transferencia de calor por convecao local ;I Para Ts = cte ⇒ q
′′
s (x);I Para q
′′
s = cte ⇒ Ts(x).
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A Temperatura Media
I No entanto, ha uma diferenca essencial entre Tm e T∞;I Enquanto T∞ e constante no sentido do escoamento, Tm tem que
variar neste sentido;I O valor de Tm aumenta com x se a transferencia de calor for da
superfıcie para o fluido (Ts > Tm);I Diminui com x se o oposto estiver acontecendo (Ts < Tm).
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Condicoes Plenamente Desenvolvidas
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Condicoes Plenamente Desenvolvidas
I Como existe transferencia de calor convectiva entre a superfıcie e ofluido, a temperatura do fluido deve se alterar com x , pode-sequestionar se condicoes termicas plenamente desenvolvidas serao defato atingidas;
I Se houver transferencia de calor, dTm/dx e ∂T/∂x em qualquerraio r , sao diferentes de zero.
I Consequentemente, o perfil de temperaturas T (r) estacontinuamente mudando com x , levando a crer que uma condicaoplenamente desenvolvida nunca podera ser atingida
I Essa contradicao aparente pode ser resolvida trabalhando-se comuma forma adimensional da temperatura;
θ =Ts(x)− T (r , x)
Ts(x)− Tm(x)(24)
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Condicoes Plenamente Desenvolvidas
I Sabe-se que ha condicoes nas quais essa razao se tornaindependente de x ;
I Isto e, embora o perfil de temperaturas T (r) continue variando comx , a forma relativa desse perfil permanece inalterada e diz-se que oescoamento esta termicamente plenamente desenvolvido;
I A exigencia para tal condicao e formalmente estabelecida pelaexpressao:
∂
∂x
[Ts(x)− T (r , x)
Ts(x)− Tm(x)
]= 0 (25)
I Onde Ts e a temperatura da superfıcie do tubo, T e a temperaturalocal do fluido e Tm e a temperatura media do fluido na secaotransversal do tubo;
I Valido para q′′
s e Ts constantes.
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Condicoes Plenamente Desenvolvidas
I Como a razao entre temperaturas e independente de x, a derivadadessa razao em relacao a r tambem deve ser independente de x .Assim,
∂
∂r
(Ts − T
Ts − Tm
)∣∣∣∣r=r0
= −−∂T/∂r |r=r0
Ts − Tm6= f (x) (26)
I Da Lei de Fourier,
q′′s = −k ∂T
∂y
∣∣∣∣y=0
= k∂T
∂r
∣∣∣∣r=r0
(27)
I Da Lei de Resfriamento de Newton,
q′′s = hx(Ts − Tm) (28)
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Condicoes Plenamente Desenvolvidas
I Manipulando as equancoes anteriores, pode-se chegar a:
hxk6= f (x) (29)
I Portanto, no escoamento termicamente plenamente desenvolvido deum fluido com propriedades constantes, o coeficiente detransferencia de calor por conveccao local e uma constante,independente de x ;
I Na entrada, hx varia com x .
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Condicoes Plenamente Desenvolvidas
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Balanco de Energia
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Balanco de Energia
I Como o escoamento em um tubo e completamente confinado, umbalanco de energia pode ser utilizado para determinar:
I Como a temperatura media Tm(x) varia com a posicao ao longo dotubo;
I Como a transferencia de calor por conveccao total qconv estarelacionada a diferenca entre as temperaturas na entrada e na saıdado tubo;
I Considerando o escoamento em um tubo mostrado, o fluidoescoando a uma vazao massica constante m e transferencia de calorpor conveccao ocorrendo na superfıcie interna;
I Pode-se assumir as seguintes simplificacoes:I Dissipacao viscosa desprezıvel;I Escoamento incompressıvel;I Despreza-se a conducao na direcao axial.
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Balanco de EnergiaI Fazendo um balanco de energia global no tubo, chega-se a,
qconv = mcp(Tm,sai − Tm,ent) (30)
I Expressao geral que se aplica independentemente da natureza dascondicoes termicas na superfıcie e no escoamento no tubo.
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Balanco de EnergiaI Aplicando o balanco energetico a um volume de controle diferencial
no tubo, tem-se:
dqconv = mcp[(Tm − dTm)− Tm] (31)
dqconv = mcpdTm (32)
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Balanco de Energia
I A taxa de calor por conveccao pode ser reescrita na seguinte forma,
dqconv = q′′s Pdx (33)
q′′s = h(Ts − Tm) (34)
I Onde P e o perımetro da secao transversal.
I Dessa forma, reescrevendo a relacao 32,
dTm
dx=
q′′s P
mcp=
P
mcph(Ts − Tm) (35)
I A solucao para Tm(x) depende da condicao termica na superfıcie.
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Fluxo Termico Constante na Superfıcie
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Fluxo Termico Constante na Superfıcie
I Para o caso de um fluxo de calor constante na superfıcie do tubo,encontra-se Tm(x) resolvendo a seguinte equacao:
dTm
dx=
q′′s P
mcp(36)
Tm(0) = Tm,ent (37)
I Resolvendo 36 com a condicao inicial 37, tem-se
Tm(x) = Tm,ent +q
′′s P
mcpx (38)
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Fluxo Termico Constante na Superfıcie
I A troca de calor total pode ser determinada por:
qconv = q′′s PL (39)
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Fluxo Termico Constante na Superfıcie
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Exemplos
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Exemplos
I Exemplo 1 - Um sistema para aquecer agua de uma temperatura deentrada Tm,ent = 20°C ate uma temperatura de saıdaTm,sai = 60°C envolve a passagem da agua atraves de um tubo deparede espessa, com diametros interno e externo de 20 e 40mm,respectivamente. A superfıcie externa do tubo encontra-se isolada eaquecimento eletrico no interior da parede fornece uma taxa degeracao uniforme q = 106W /m3.
(a) Para uma vazao massica da agua m = 0, 1kg/s, qual deve ser ocomprimento do tubo para que a temperatura de saıda desejada sejaalcancada?
(b) Se a temperatura da superfıcie interna do tubo em sua saıda forTs = 70°C , qual e o coeficiente de transferencia de calor porconveccao local na saıda do tubo?
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Exemplos
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Temperatura Constante na Superfıcie
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Temperatura Constante na Superfıcie
I Resultados para a taxa de transferencia de calor total e para adistribuicao das temperaturas medias sao inteiramente diferentespara a condicao de temperatura superficial constante;
I Para e o caso de temperatura constante, e preciso solucionar aequacao:
dTm
dx=
P
mcph(Ts − Tm) (40)
I Definindo ∆T = Ts − Tm, a equacao 40 se torna:
dTm
dx=
d(∆T )
dx=
P
mcph∆T (41)
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Temperatura Constante na Superfıcie
I Para resolver 41, separa-se as variaveis e integra-se a equacao,∫ ∆Tsai
∆Tent
d(∆T )
∆T=
P
mcp
∫ L
0hdx (42)
I O que resulta em,
ln∆Tsai
∆Tent= − PL
mcphL (43)
I Reordenando, tem-se
Ts − Tm,sai
Ts − Tm,ent= exp
(− PL
mcphL
)(44)
I Sendo hL, o valor medio de h de todo tubo;
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Temperatura Constante na Superfıcie
I Integrado da entrada do tubo ate alguma posicao x no interior dotubo, tem-se , ∫ ∆Tx
∆Tent
d(∆T )
∆T=
P
mcp
∫ x
0hdx (45)
I O que resulta em,
Ts − Tm(x)
Ts − Tm,ent= exp
(− Px
mcphx
)(46)
I Sendo hx , o valor medio de h da entrada do tubo ate a posicao x ;
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Temperatura Constante na Superfıcie
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Temperatura Constante na Superfıcie
I A determinacao de uma expressao para a taxa de transferencia decalor total qconv e dificultada pela natureza exponencial dadiminuicao da temperatura;
I Reescrevendo a equacao 30, tem-se
qconv = mcp((Ts − Tm,sai )− (Ts − Tm,ent)) (47)
qconv = mcp(∆Tsai −∆Tent) (48)
I E substituindo uma expressao para mcp retirada da equacao 43,obtem-se:
qconv = hLAs∆Tml (49)
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Temperatura Constante na Superfıcie
I Onde As e a area superficial do tubo (As = P · L) e ∆Tml e a medialogarıtmica das diferencas de temperaturas,
∆Tml =∆Tsai −∆Tent
ln(∆Tsai/∆Tent)(50)
I Onde ∆T = Ts − Tm.
I A equacao 49 e a forma da lei do resfriamento de Newton para todaa extensao do tubo;
I A natureza logarıtmica de ∆Tml e devido a natureza exponencial dadiminuicao da temperatura.
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Temperatura Constante na SuperfıcieI E importante observar que, em muitas aplicacoes, e a temperatura
de um fluido externo, e nao a temperatura superficial do tubo, que eespecificada;
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Temperatura Constante na Superfıcie
I Nestes casos, os resultados dessa secao ainda podem ser usados seTs for substituıda por T∞ e hL por UL (o coeficiente global detransferencia de calor medio);
∆Tsai
∆Tent=
T∞ − Tm,sai
T∞ − Tm,ent= exp
(− ULAs
mcp
)(51)
q = ULAs∆Tml (52)
I Onde UL foi definido como:
1
ULAs
= Rtot (53)
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Temperatura Constante na Superfıcie
I Reescrevendo as equacoes 51 e 52 em termos de Rtot , tem-se
∆Tsai
∆Tent=
T∞ − Tm,sai
T∞ − Tm,ent= exp
(− 1
mcpRtot
)(54)
q =∆Tml
Rtot(55)
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Exemplos
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Exemplos
I Exemplo 2 - Vapor de agua condensando sobre a superfıcie externade um tubo circular de parede fina, com diametro D = 50mm ecomprimento L = 6m, mantem uma temperatura na superfıcieexterna uniforme de 100°C . Agua escoa atraves do tubo a umavazao de m = 0, 25kg/s e suas temperaturas na entrada e na saıdado tubo sao Tm,ent = 15°C e Tm,sai = 57°C . Qual e o coeficienteconvectivo medio associado ao escoamento da agua?
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