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Condução de calor em regime transiente
2º. semestre, 2016
Transferência de calor
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Condução de calor em regime transiente
Muitos problemas de transferência de calor são dependentes do tempo. São problemas não-estacionários ou transientes que surgem quando as condições de contorno de um sistema são mudadas.
Por exemplo, se a temperatura superficial de um sistema for alterada, a temperatura em cada ponto desse sistema também começará a mudar.Essas mudanças continuarão até que uma distribuição de temperaturas estacionárias seja alcançada.
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Condução de calor em regime transiente
Em um lingote de metal quente, removido de um forno e exposto a uma corrente de ar frio a energia será transferida por convecção e radiação de uma superfície para a vizinhança.
Da mesma forma, haverá uma transferência de calor por condução no interior da peça. Assim haverá uma diminuição da temperatura em cada ponto do lingote com o tempo, até que uma condição de regime estacionário seja alcançada.
Processo similar é o resfriamento de alimentos, onde o produto é submetido a uma corrente de ar a baixa temperatura e a temperatura do produto diminui gradativamente, até atingir uma mesma condição de regime estacionário.
4
Condução de calor em regime transiente
O comportamento da temperatura depende do tempo e da posição no sólido e ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e resfriamento.O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises, considerando:� A variação de temperatura no interior do sólido é desprezível (variação com a posição) e somente há variação com o tempo: T(t)
� A variação da temperatura no sólido com a posição e o tempo: T(x,t)
Exemplos de aplicação:- Tratamento térmico;- Lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma corrente de ar frio;- Produção de novos materiais com propriedades melhoradas;- Resfriamento e congelamento de alimentos.
Principalmente em metais com elevada condutividade térmica.
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Um problema simples e comum de condução transiente envolve um sólido que passa por uma súbita mudança no seu ambiente térmico. Como exemplo, em um processo de têmpera, o metal a uma temperatura inicial Ti é submetido a um rápido resfriamento através da imersão em um meio líquido a uma temperatura T∞, mais baixa que Ti (Ti > T∞ ).Para t>0, a temperatura do metal diminuirá, até alcançar a T∞ .
Esse método pode ser utilizado quando o sólido apresentar resistência interna desprezível.
Método da capacitância global
Isto se deve à convecção na interface sólido-líquido.
6
A essência do método da capacitância global é a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente, ou seja, os gradientes de temperatura no interior do sólido são desprezíveis.Pela Lei de Fourier, um gradiente desprezível implica a existência de uma condutividade térmica, k, infinita, o que é obviamente impossível.
� No entanto, essa solução é aproximada se a resistência interna à transferência de calor por condução dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a superfície e o meio (convecção).
� Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área superficial e o volume, como por exemplo em placas finas e fios.
Método da capacitância global
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Ao desprezar os gradiente de temperatura no interior do sólido, o problema não pode mais ser analisado do ponto de vista da equação do calor.
Como alternativa, a resposta transiente é determinada através de um balanço global de energia no sólido. Esse balanço deve relacionar a taxa de perda de calor na superfície com a taxa de variação de sua energia interna, isso é:
ou
ou
onde As é a área superficial do sólido, em m2, ρ sua massa específica, em kg/m3, V o seu volume, em m3 e cp o calor específico, em J/kgK. Na mesma eq., T representa a temperatura e t o tempo.
Método da capacitância global
=
interna energia
da variaçãode Taxa
sólido do
calor de perda de Taxa(1)
acumsai EE && =− (2)
dt
)t(dTVc)T)t(T(hA ps ρ=−− ∞
(3)
8
Dimensionalmente, a eq. (3) é:
Por conveniência, se define uma variação de temperatura como:
Se T∞ for considerada uma constante,
a eq. (3) fica:
Método da capacitância global
(4)
4342144 344 21
Ws
J
s
K
kgK
Jm
m
kg
p
WKmKm
W
s dt
)t(dTVc)T)t(T(hA
===
∞ =−−
33
22
ρ(3)
massa do sólido
∞−= T)t(T)t(θ
dt
)t(dT
dt
)t(d =θ
( )tdt
)t(d
hA
Vc
s
p θθρ−= (5)
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Separando as variáveis e integrando a eq. (5) a partir da condição inicial (t=0 e T(0)=Ti:
onde
Efetuando as integrações na eq. (6):
pois:
Método da capacitância global
(7)
(6)
∞−= TTiiθ
( ) ( ) ∫∫ −=⇒−=t
s
p
s
dtt
)t(d
hA
Vcdt
t
)t(d
hA
Vci 0
θθ θ
θρθθρ
(8)tlnhA
Vci
s
p =θθρ
( ) θθ
θθθθθ
θθ θ
θθθ
i
ii lnlnlnlnln
t
)t(dii
−==−==∫
Esta equação é usada para determinar o tempo em que um sólido leva para atingir a temperatura T.
10
A eq. (8) também pode ser escrita como:
Dessa forma, essa equação pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no tempo t.
Na eq. (9), o termo:
é denominado de constante de tempo térmica, em s. Assim, a eq. (9) pode ser reescrita como:
Método da capacitância global
(11)
(9)
(10)
−=
−−=
∞
∞
p
s
ii Vc
hAtexp
TT
T)t(T
ρθθ
( ) τρ =
p
s
VchA
1
−=−
−=∞
∞
τθθ 1
texpTT
T)t(T
ii
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Analisando a eq. (9):
E por analogia a um sistema elétrico, pode-se definir:
e
Dessa forma, a eq. (10) fica:
Método da capacitância global
(13)
(9)
(12)
−=
−−=
∞
∞
p
s
ii Vc
hAtexp
TT
T)t(T
ρθθ
RhAs
=1
CVcp =ρ
Resistência à T.C. por convecção
Capacitância térmica do sólido
( ) CRVchA p
s
⋅==
τρ1 (14)
12
Pela análise da eq. (14) fica evidente que qualquer aumento de R ou C causará uma resposta mais lenta do sólido às mudanças no ambiente térmico e aumentará o tempo para alcançar o equilíbrio térmico.
Pela observação da figura abaixo, nota-se que a temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞.Da mesma forma, quanto maior a massa do corpo e/ou seu calor específico, maior será o valor de τ e, por tanto, mais tempo levará para aquecer ou resfriar.
Método da capacitância global
( ) CRVchA p
s
⋅==
τρ1
(14)
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A energia total transferida durante o processo, Q, é dada por:
Substituindo o valor de θ , conforme a Eq. (9) nessa equação:
Integrando a Eq. (16):
ou
Isso é:Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna ou Q é – se a energia interna aumenta (sólido é aquecido).
Método da capacitância global
(15)∫ ∫==t t
s dthAqdtQ0 0
θ
dt)tVc
hAexp(hAQ
t
p
sis ∫ −=
0 ρθ (16)
−−= t
Vc
hAexpVcQ
p
sip ρ
θρ 1 (17)
acumEQ =− (18)
Ver slide seguinte
14
dt)tVc
hAexp(hAQ
t
p
sis ∫ −=
0 ρθ(16)
4434421
∫ −=
−−
∫ −=
a
edte
tis
atat
dt)atexp(hAQ0
θ
( )
p
s
p
s
p
s
t
p
s
Vc
hA
exptVc
hAexp
Vc
hA
tVc
hAexp
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
−
=−
− 0
0
−
−
−
=
p
s
p
s
is
Vc
hA
tVc
hAexp
hAQ
ρ
ρθ
1
−−= t
Vc
hAexpVcQ
p
sip ρ
θρ 1 (17)
→ a
→ =1
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O método apresentado anteriormente caracteriza-se por sua simplicidade e conveniência para a solução de problemas transientes de aquecimento ou de resfriamento.
A questão que surge é: quais as condições em que o método pode ser aplicado com precisão satisfatória??
Para essa análise, considere a condução em regime estacionário através de uma placa plana com área A. A placa plana possui uma superfície mantida à T1 enquanto a outra, a T2 , está exposta a um fluido de temperatura T∞ < T1. Fazendo um balanço de energia na superfície:
Validade do método da capacitância global
(19))TT(hA)TT(L
kA∞−=− 221
Bik
hL
R
R
hA/
kA/L
TT
TT
conv
cond ====−−
∞ 12
21
Rearranjando essa equação, resulta em:
(20)
A grandeza ressaltada na eq. (20) é chamado de número de Biot e é um parâmetro adimensional.
k
hLBi = (21)
16
O número de Biot (Bi) é a razão entre as resistências interna e externa. Dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo à diferença de temperatura entre a superfície e o fluido.
Validade do método da capacitância global
(22)Bik
hL
R
R
hA/
kA/L
TT
TT
conv
cond ====−−
∞ 12
21
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Observando a figura abaixo:
Validade do método da capacitância global
Se:- Bi<<1, é razoável assumir uma distribuição de temperatura uniforme no sólido, em qualquer
tempo durante o processo transiente →→→→ T(x,t)≈≈≈≈T(t). Ou seja, se a resistência à condução no interior do sólido é muito menor do que a resistência à convecção através da camada limite no fluido.
- Aumentando o número Bi, o gradiente de temperatura dentro do sólido é significativo →→→→T(x,t)
- Bi>>1, o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre a superfície e o fluido.
18
Para testar a validade do método, aplica-se a relação:
Se essa condição for satisfeita, o erro associado à utilização do método da capacitância global é pequeno.
Na eq. (23), Lct é o “comprimento característico”, isso é, o comprimento da condução dentro do objeto. A energia térmica será conduzida para fora do objeto através do caminho mais fácil, isso é, o mais curto.
Para uma placa plana de espessura 2L e simetria na posição central, como mostrado na figura abaixo, o comprimento característico , Lct, será dado por:
Validade do método da capacitância global
(23)
(24)
10,k
hLBi ct <=
LLct =
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Para outras formas geométricas, mais complexas, Lct é dado pela eq. (25):
onde V é a volume do sólido e As é a área da sua superfície.
Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria
(25)
sct A
VL =
20
� Para uma esfera de raio r, o eixo de simetria está em r = 0:
� Para um cilindro de raio r e altura H o eixo de simetria está também em r = 0:
Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria
(26)
22
33
4
63
4
DrA
DrV
s ππ
ππ
==
==34
34
2
3
r
r
rLct ==
π
π
H
HDHrA
HDHrV
s ππ
ππ
==
==
24
22
22
2 r
Hr
HrLct ==
ππ (27)
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Número adimensional de Fourier (Fo)
Revendo a Eq. (9):
o termo marcado em vermelho pode ser reescrito utilizando o conceito de Lct:
onde então o número de Fourier e dado por:
Esse número adimensional é denominado de tempo adimensional ou tempo relativo e que, como o número de Biot, caracteriza problemas de condução transiente. Na eq. α é a difusividade térmica do material.
−=
−−=
∞
∞
p
s
ii Vc
hAtexp
TT
T)t(T
ρθθ
(28)
(9)
22ct
ct
ctp
ct
pctct
ct
pctp
s
L
t
k
hL
L
t
c
k
k
hL
cL
ht
kL
kL
cL
ht
Vc
hAt
αρρρρ
====
FoBiL
t
k
hL
Vc
thA
ct
ct
p
s ⋅==2
αρ
(29)
2ctL
tFo
α= (30)
22
Número adimensional de Fourier (Fo)
Voltando novamente na Eq. (9) e substituindo introduzindo nessa equação a Eq. (29):
( )FoBiexpTT
T)t(T
ii
⋅−=−
−=∞
∞
θθ (31)
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Bolas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150 K seguido do resfriamento lento até 400 K, em um ambiente com ar a T∞ = 325 K e h = 20 W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejam
k=40W/mK, ρ = 7800 kg/m3 e cp = 600 J/kgK:
a) Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento;b) Desenhe a curva de resfriamento até uma temperatura próxima mas superior a T∞;c) Estime a temperatura do sólido na metade do tempo total de resfriamento
Exemplo 1:
24
Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção, h, para o ar escoando sobre uma esfera à partir da observação do comportamento dinâmico da temperatura da esfera.
A esfera tem D=12,7 mm e encontra-se inicialmente a 66 °C antes de ser inserida em uma corrente de ar a 27 °C. Um termopar na superfície externa da esfera indica 55 °C após 69 s da inserção da esfera na corrente de ar. A esfera se comporta como um objeto espacialmente isotérmico? Mostrar.
Exemplo 2:
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Processos com gradiente de temperatura no sólido
O método da capacitância global foi apresentado anteriormente e sua validade foi demonstrada para condições nas quais o gradiente de temperatura no interior do sólido pode ser considerado desprezível.
No entanto, surgem situações nas quais o método da capacitância global não é adequado pois os gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis.
Os problemas de condução de calor transiente são descritos pela equação do calor, que em coordenadas retangulares é dada por:
A solução dessa equação fornece a variação da temperatura com o tempo e com as coordenadas espaciais.
(32)
26
Processos com gradiente de temperatura no sólido
Em muitos problemas, como é o caso da parede plana mostrado anteriormente, somente uma coordenada espacial é necessária para descrever a distribuição interna da temperatura. Para o caso de ausência de geração interna de calor e condutividade térmica k constante, a Eq. 32 ficará reduzida a:
Para resolver a Eq. (34), determinando a distribuição de temperatura T(x,t), é necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno.
Notar que o termo α é chamado de difusividade térmica e que no SI sua unidade é m2/s
t
T
t
Tc
x
Tk
x p ∂∂=
∂∂=
∂∂
∂∂
αρ 1 (33)
t
T
t
T
k
c
x
T p
∂∂=
∂∂=
∂∂
αρ 1
2
2(34)
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Processos com gradiente de temperatura no sólido
Para um problema típico de condução transiente, como o mostrado na figura anterior, a condição inicial pode ser dada por:
que significa que no tempo t=0, todo o volume do sólido encontra-se na mesma temperatura.
As condições de contorno para esse caso são dadas por:
( ) iT,xT =0 (35)
00
=∂∂
=xx
T (36)
(37)
A eq. (36) reflete a exigência de simetria no plano central da parede.
A eq. (37) descreve a condição na superfície para t>0.
( )[ ]∞=
−=∂∂− Tt,LTh
x
Tk
Lx
28
Processos com gradiente de temperatura no sólido
Fica evidente pela análise das equações anteriores que, além de serem dependentes da posição (x) e do tempo (t), também dependem de uma série de parâmetros físicos, conforme Eq. (38):
O problema pode, então, ser resolvido analiticamente ou numericamente, como será visto posteriormente.
No entanto, em primeiro lugar será mostrado as vantagens que podem ser obtidas pela adimensionalização das equações que descrevem o processo. Isso pode ser feito pelo agrupamento das variáveis relevantes em grupos apropriados.
Por exemplo, se T é a variável dependente e for a diferença de temperatura, ao dividi-la pela máxima temperatura possível , a forma adimensional da variável dependente pode ser dada por:
e, como consequência, θ* deve estar no intervalo 0≤θ*≤1.
( )h,,k,L,T,T,t,xTT i α∞= (38)
(39)
∞−= TTθ∞−= TTiiθ
∞
∞
−−==
TT
TT
ii
*
θθθ
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Processos com gradiente de temperatura no sólido
Uma coordenada espacial adimensional pode ser definida como:
onde L é a metade da espessura da parede plana.
Um tempo adimensional pode se definido como:
onde t* é equivalente ao adimensional número de Fourier, visto anteriormente. Substituindo as eq. (39) a (41) na eq. (34), a equação do calor pode ser dada por:
L
xx* = (40)
(41)FoL
tt* ==
2
α
Fox
*
*
*
∂∂=
∂∂ θθ
2
2(42)
30
Processos com gradiente de temperatura no sólido
As condições de contorno para a eq. (42) são então dadas como:
onde Bi é o número de Biot. Na forma adimensional, a dependência funcional pode ser representada como:
O número de Fo fornece uma medida da efetividade relativa com a qual um sólido conduz e armazena energia térmica.
(43)
(44)
(45)
10 =),x( **θ
0=∂∂
*
*
x
θ
)t,(Bix
***
*
1θθ −=∂∂
(46))Bi,Fo,x(f ** =θ
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Processos com gradiente de temperatura no sólido
A Eq. (46) mostra que para uma dada geometria, a distribuição transiente de temperatura éuma função universal de x*, Fo e Bi. Isso é, a solução não depende de valores particulares de Ti,T∞, L, k, α ou h.
Soluções analíticas exatas para problemas de condução transiente foram obtidas para muitasgeometrias e condições de contorno simples.
A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo a transformada de Laplacee outras, método de separação de variáveis, método das diferenças finitas e dos elementosfinitos.
32
Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esferaEssas soluções são válidas para Fo >0,2.
a. Caso das paredes planas com espessura 2L:Se a espessura for pequena quando comparada à largura e à altura da parede, é razoável supor que a condução ocorra exclusivamente na direção x.
� Temperatura
ou
onde representa a temperatura adimensional no plano central (x* =0):
)xcos()Foexp(C **1
211 ξξθ −=
)xcos( **o
*1ξθθ =
∞
∞
−−=−=
TT
TT)Foexp(C
i
o*o
211 ξθ
*oθ
(47)
(48)
(49)
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Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esferaOs coeficientes C1 e ξ1 (em radianos) são calculados por:
Os valores de C1 e ξ1 são tabelados para cada geometria em função de Bi. Por exemplo:
( )11
11 22
4
ξξξ
sen
senC
+=
Bitan =11 ξξ
(50)
(51)
34
Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera
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Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esferaA quantidade total de energia,Q, que deixou (ou entrou) a parede até um dado instante de tempot éobtida através da aplicação de um balanço de energia:
Igualando a quantidade de energia a partir da parede,Q, com Esai e fazendoEent =0, a partir de umacondição inicial (t=0) até qualquer tempo (t>0):
ou
onde a integração é realizada no volume da parede. Esse resultado pode ser adimensionalizado pelaintrodução da grandeza:
que pode ser interpretada como a energia interna inicial da parede em relação à temperatura do fluido.Essa equação também representa a máxima transferência de energiaque poderia ocorrer se o processo seestendesse atét=∞.
acumsaient EEE ∆=−
[ ])(E)t(EQ 0−−=
( )[ ]∫ −−= dVTt,xTcQ ipρ
( )∞−−= TTVcQ ipo ρ
(52)
(53)
(54)
(55)
36
Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esferaSupondo propriedades constantes, a razão entre a quantidade total de energia transferida a partir daparede ao longo do intervalo de tempot e a transferência máxima possível é dada por:
Introduzindo a Eq. (48) na Eq. (56) e integrando:
E os valores deC1 e ξ1 podem ser obtidos diretamente na tabela.
( )[ ] ( )dVVV
dV
TT
Tt,xT
Q
Q *
i
i
o∫∫ −=
−−−=∞
θ11
*
o
sen
Q
Q0
1
11 θξ
ξ−=
(56)
(57)
Ver slide seguinte!!
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( )[ ] ( )dVVV
dV
TT
Tt,xT
Q
Q *
i
i
o∫∫ −=
−−−=∞
θ11
( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( )∞
∞∞
∞
∞∞
∞ −−−−=
−−+−=
−−
TT
TTTt,xT
TT
TTTt,xT
TT
Tt,xT
i
i
i
i
i
i
( )( ) ( )1−=
−−−
−−
∞
∞
∞
∞ *
i
i
i TT
TT
TT
Tt,xT θ
Substituindo esses dois termos na primeira equação e considerando o sinal negativo:
( ) ** θθ −=−− 11
38
Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo (infinito)e esferaDa mesma forma que para parede plana ondeFo>0,2, para um cilindro longo (infinito), utiliza-se umaidealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na direção radial. Razoável paraL/ro>=10.
ondeJo(x) é a função de Bessel (tabelada). Essa equação também pode ser escrita como:
onde
A energia transferida durante o processo é dada por:
e J1(x) é a função de Bessel (tabelada). Nessas equações:
)r(J)Foexp(C *o
*1
211 ξξθ −=
)r(Jo **o
*1ξθθ =
∞
∞
−−=−=
TT
TT)Foexp(C
i
o*o
211 ξθ
)(JQ
Q *o
o11
1
21 ξ
ξθ−=
(58)
(59)
(60)
(61)
o
*
r
rr =
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Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo (infinito)e esferaSimilarmente para uma esfera de raioro:
ondeJo(x) é a função de Bessel (tabelada). Essa equação também pode ser escrita como:
onde
A energia transferida durante o processo é dada por:
e
)r(senr
)Foexp(C **
*1
1
211
1 ξξ
ξθ −=
)r(senr
**
*o
*1
1
1 ξξ
θθ =
∞−∞−=−=
TTi
TTo)Foexp(C*
o2
11 ξθ
[ ])cos()(senQ
Q *o
o1113
1
31 ξξξ
ξθ −−=
(62)
(63)
(64)
(65)
o
*
r
rr =
40
Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo (infinito) e esfera Apresentando outra vez a Tab. 5.1 (Incropera) ou Tab. 4.2 (Çengel):
Obs.: na tabela do Çengel,
1ξ 1ξ 1ξ
1111 C e A== λξ
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41
1ξ 1ξ 1ξ
42
Funções de Bessel )x(Jo )x(J1
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Sólido semi-infinito
Idealização útil para muitos problemas práticos. Pode ser usada para determinar a resposta transienteperto da superfície do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólidofinito onde nos instantesiniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi afetada pelas alterações superficiais.
44
Sólido semi-infinito
Condição inicial: t=0 � T(∞,t)=Ti
Condições de contorno:
)t,x(t
T
x
T
∂∂=
∂∂
α1
2
2
Temperatura na superfície constante
Fluxo térmico na superfície constante
Convecção na superfície
(65)
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45
Soluções analíticas aproximadas
Caso 1: temperatura na superfície constante.
ondeerf é a função erro de Gauss, cujos valores podem ser calculados ou pegos da tabela.
T(x, t)−TsTi −Ts
= erfx
2 αt
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