Transformada de Fourier em tempo

discreto

Capítulo 2*:

*Baseado no capítulo 5 do livro texto: “Sinais e Sistemas” de Alan V. Oppenheim, 2ª edição.

Prof. Alan Petrônio PinheiroUniversidade Federal de Uberlândia

Faculdade de Engenharia Elétrica

alanpetronio@ufu.br

Sinais e Sistemas 2• Vamos relembrar a “big picture”

2 de 15

• Introdução tempo discreto

• Formulação matemática

• Propriedades

• Simetria

• Linearidades

• Deslocamento tempo-freq.

• Expansão no tempo

• Multiplicação e convolução

• Dualidade

• Outras (tabela propriedades)

• Tabela (transf. sinais)

• Sistemas e eq. diferenças

• Exercícios

Capítulo 2:

Transf. de Fourier em

tempo discreto

Contexto

Trans. FourierTEMPO

CONTÍNUO

Trans. FourierTEMPO

DISCRETO

Caracteri. no tempo e freq. de sinais e

sistemas

AmostragemTransf.

ZAplicações

controle

Sinais e Sistemas 2• “Cenas do capítulo passado ...”

• Conceito de tempo discreto

– Processo discretização:

– Representação:

– Amostragem (Ts e Fs)

• t=n.Ts

3 de 15

Introdução ao tempo discreto

01

11

11

01

10

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

memória

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• Formulação matemática

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• Multiplicação e convolução

• Dualidade

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• Sistemas e eq. diferenças

• Exercícios

Capítulo 2:

Transf. de Fourier em

tempo discreto

Sinais e Sistemas 2• Formulação matemática:

• Diferença entre:

– (i) série,

– (ii) TF em tempo contínuo

– (iii) TF em tempo discreto

– (iv) transformada discreta de Fourier (DFT)

4 de 15

[ ] ( )=π

ωω ωπ 22

1deeXnx njj

( ) [ ]∞

−∞=

−=n

njjenxeX

ωω

síntese

análise

NnmjN

n

enxmX

/21

0

)()(

π−−

−

=

( ) [ ]∞

−∞=

−=n

njj enxeX ωω

Formulação matemática TFTD

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• Multiplicação e convolução

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• Sistemas e eq. diferenças

• Exercícios

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Transf. de Fourier em

tempo discreto

Sinais e Sistemas 2• Característica importante do kernel discretizado:

– ejωn é periódico a cada 2π (para mesmo n)

– Isto quer dizer que ej0n = ej2πn = ej4πn = ...

• O eixo de frequências agora não é mais dado em Hertz!

– Frequência vai de 0 a ϖ

– Para converter em Hertz:

• regra de três onde ϖ equivale a Fs/2 Hertz

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• Formulação matemática

• Propriedades

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• Sistemas e eq. diferenças

• Exercícios

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tempo discreto

Sinais e Sistemas 2• Condições para existência:

– x[n] for somável

– Ou tiver energia finita

• Outra característica importante: simetria par

• Séries mais comuns:

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[ ]∞

−∞=

∞<n

nx

[ ]∞

−∞=

∞<n

nx2

)()(*

nNXnX −=

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tempo discreto

Sinais e Sistemas 2Exemplo: estime a TF do sinal:

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[ ] [ ] 1 , <= anuanxn

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Sinais e Sistemas 2

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Propriedades

• Geralmente similares a do tempo contínuo

1) Simetria do espectro

– Não vale para o tempo contínuo

2) Linearidade

)()( )2( ωπω jjeXeX =+

[ ] [ ] ( ) ( )ωω jjebXeaXnbxnax 2121 +→←+

ℑ

( ) ωjeX

( )ωjeX∠

par de ω

ímpar de ω

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• Propriedades

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tempo discreto

Sinais e Sistemas 2 3) Deslocamento tempo-frequência-tempo

Exemplo: considere a resposta ideal do filtro passa-baixas ��������

com frequência corte .

A partir dela, projeto o filtro passa alta com resposta a freq. similar a:

9 de 15

[ ] ( )ωjeXnx →←ℑ

[ ] ( )ωω jnjeXennx 0

0

−ℑ→←−

[ ] ( ))( 00 ωωω −ℑ→←jnj

eXnxe

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Transf. de Fourier em

tempo discreto

Sinais e Sistemas 24) Expansão no tempo

Exemplo:

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( )[ ][ ]

=kn

knknxnx k

de múltiplofor não se,0

de múltiplofor se,

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5) Convolução

6) Multiplicação no tempo

logo

[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=

h[n]x[n] y[n]

)()()( ωωω jjjeHeXeY =

[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 =

[ ] ( )ωjeXnx 11 →←ℑ [ ] ( )ωjeXnx 22 →←

ℑ

( ) [ ] [ ] [ ]∞

−∞=

−∞

−∞=

− ==n

nj

n

njj enxnxenyeY ωωω21

( ) ( ) ( )−=

π

θωθω θπ 2

)(

212

1deXeXeY jjj Convolução periódica de

������� e � �����

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Sinais e Sistemas 27) Questão da dualidade

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Existe dualidade tempo contínuo

NÃO existe dualidade tempo discreto

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Sinais e Sistemas 2• Formato:

• Matematizando:

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Sistemas caracterizados por equações de

diferenças

h[n]x[n] y[n]

X(e jω) H(e jω) Y(e jω)

[ ] [ ]==

−=−M

k

k

N

k

k knxbknya00

( ) ( )=

−

=

− =M

k

jjk

k

N

k

jjk

k eXebeYea00

ωωωω

( ) ( )( )

=

−

=

−

==N

k

jk

k

M

k

jk

k

j

jj

ea

eb

eX

eYeH

0

0

ω

ω

ω

ωω

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Exercícios

1) Considere o sistema abaixo formado pelos módulos. Os sistemas ��� ��� são filtros passa baixas com frequências de corte em � 4⁄ e ganho unitário na banda de passagem. Determine a comportamento global do sistema.

2) Determine a resposta ao impulso do sistema LIT causal que é caracterizado pela equação de diferenças:

Dados/dicas: • roots([1 -3/4 1/8])

ans = 0.5 e 0.25

• Polo=(1 - r.e-jw)• Frações parciais tempo discreto: chamar e-jw=u (função Matlab: residuez)

[ ] [ ] [ ] [ ]nxnynyny 228

11

4

3=−+−−