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Page 1: Transformada de Fourier Transformada de Fourier Contínua e Discreta

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier Contínua e Discreta

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Jean Baptiste Joseph Fourier

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0 0 01

( ) ( cos sin )n nn

f t a a n t b n t

Série Trigonométrica de Fourier

Seja f(t) uma função periódica de período T. A série de Fourier para esta função é a representação em forma de

uma soma infinita de cossenos e senos.

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0

0

( )

01 ( )

t T

ta f t dt

T

0

0

0

0

( )

0

( )

0

2 ( )cos

2 ( )sin

t T

n t

t T

n t

a f t n tdtT

b f t n tdtT

a0 é o valor médio de f(t), assim a0 é a componente d-c, ou, digamos, a amplitude da componente de "freqüência zero da série trigonométrica.

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Série Exponencial de Fourier

0( ) jn tn

n

f t F e

00

0

1 ( )t T jn t

n tF f t e dt

T

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/ 2 / 2( )

0 / 2 / 2

A tf t

t T

0

0

/ 2

/ 2

/ 2

/ 2

1 ( )

1

T jn tdtn

jn t

F f t eT

Ae dtT

0

0 0

/ 2

0 / 2

/ 2 / 2

0

00

0

0

22

2 sin( / 2)

sin / 2/ 2

jn t

jn jn

A ejn T

e eAn T jA n

n T

nAT n

Exemplo

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A função entre colchetes tem a forma sen(x) / x . Essa função desempenha um papel importante na teoria de comunicações e é conhecida como a função de amostragem. Abreviada como:

( )( ) sen xSa xx

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0( )2nAFn Sa

T

02T

e

0

2n n

T

( )A nFn SaT T

0( ) ( ) jn t

n

A nf t Sa eT T

e

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Transformada de Fourier

[ ( )] ( ) j tf t f t e dt

1 1[ ( ] ( )2

j tF F e d

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Função Impulso

( ) 1t dt

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t t dt f t t dt f t

Tempo t 0

1 (t)

Representa a propriedade da amostragem

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Transformada de Fourier que Envolvem Funções Impulso

[ ( )] 1t

[ ( )] ( ) j tt t e dt

A Transformada de Fourier de uma Função Impulso

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Sinais Senoidais Eternos

0 0 0[cos ] [ ( ) ( )]t

/2

0 0/2

[cos ] lim cos . j tt t e

0 00

( ) ( )[cos ] lim{ [ ] [ ]}2 2 2 2

t Sa Sa

Da mesma forma, podemos mostrar que:

0 0 0[ ] [ ( ) ( )]sen t j

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Propriedade de Deslocamento em Freqüência

00( ) ( )j tf t e F

Freqüentemente, nos sistemas de comunicação, deseja-se transladar o espectro de freqüência. Essa translação é geralmente feita multiplicando-se um sinal f(t) por um sinal senoidal. Esse processo é conhecido como modulação.

Observe que:0 0

01( )cos ( ) ( )2

j t j tf t t f t e f t e

0 0 01( )cos ( ) ( )2

f t t F F

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O Processo de modulação translada o espectro de freqüência. A figura abaixo mostra um exemplo de translação em freqüência causada pela modulação.

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Diferenciação e Integração no Tempo

( ) ( )df j Fdt

( ) ( )f t F

1( ) ( )t

f d Fj

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Exemplo

Avalie a transformada de Fourier de uma função trapezoidal.

2

2 ( ) ( ) ( ) ( )( )

d f A t b t a t a t bdt b a

00( ) j tt t e

2( ) ( )( )

j b j a j a j bAj F e e e eb a

2

2 cos cos( )( )A a bF

b a

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Teorema da Convolução

1 2( ) ( ) ( )f t f f t d

Dadas duas funções, formamos a integral.

A integral da convolução também é expressa como:

1 2( ) ( )* ( )f t f t f t

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Convolução de uma Função com uma Função Impulso Unitária

1 2 1 2( )* ( ) ( )f t t t t f t t t

( )* ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t d f t

Isso é facilmente verificado, utilizando a propriedade da amostragem

Podemos verificar também que:

( )* ( ) ( )f t t T f t T

1 2 1 2( )* ( ) ( )t t t t t t t


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