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COLÉGIO MARISTA DE MACEIÓ

NAP – NÚCLEO DE APOIO PEDAGÓGICO

2008 MÉDIO MATUTINO III 09/2008

JOÃO ARAÚJO MATEMÁTICA

TRIGONOMETRIA

I - RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Elementos:

Relações Métricas

1. Num triângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos

catetos. (Teorema de Pitágoras)

2. Num triângulo retângulo, o quadrado da medida de cada cateto é igual ao

produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela.

3. Num triângulo retângulo, o quadrado da

medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a

hipotenusa.

4. Num triângulo retângulo, o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a ela é

igual ao produto das medidas dos catetos.

ALUNO(A)

ANO ENSINO TURMA TURNO UNIDADE DATA

DISCIPLINA PROFESSOR(A)

Page 2: tRIGONOMETRIA MARISTA

II –RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER

1. Triângulo acutângulo

- O quadrado da medida de um lado oposto a um ângulo é igual à soma dos quadrados das medidas

dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas de um desses lados pela medida da

projeção do outro sobre ele.

2. Triângulo obtusângulo

- O quadrado da medida de um lado oposto a um ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados das

medidas dos outros dois lados, mais o dobro do produto da medida de um desses lados pela medida

da projeção do outro sobre ele.

Page 3: tRIGONOMETRIA MARISTA

III – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1. O seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da

hipotenusa.

2. O cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da

hipotenusa.

3. A tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do

cateto adjacente.

Page 4: tRIGONOMETRIA MARISTA

Tabela

Ângulo

30º 45º 60º

Seno ½

cosseno

½

Tangente

1

IV – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER

1. Lei dos cossenos

Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos

outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo

aposto ao primeiro lado, ou seja:

a) a2 = b

2 + c

2 - 2 b c . cos

b) b2 = a

2 + c

2 - 2 a c . cos

c) c2 = a

2 + b

2 - 2 a b . cos

Page 5: tRIGONOMETRIA MARISTA

2. Leis dos senos

Em todo triângulo, as medidas dos seus lados proporcionais aos senos dos lados opostos.

V – ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Num triângulo qualquer, a área é igual ao semiproduto das medidas de dois lados pelo seno do

ângulo formado por esses lados.

Estudo de Circunferência VI – ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois

de seus pontos.

Page 6: tRIGONOMETRIA MARISTA

VII – ÂNGULO CENTRAL

Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, determinamos o ângulo

central

Utilizando as mesmas medidas para um arco unitário (arco de medida igual a 1)

e seu correspondente ângulo central, dizemos que as medidas do arco e do

ângulo central que o determina são iguais.

Obs.: note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse

arco.

Ex.:

Obs.: Cada arco determina um ângulo e cada ângulo determina um arco. Por isso, as

unidades utilizada para medir arcos são os mesmos usados para medir ângulos.

VIII – UNIDADES DE MEDIDAS

Grau

Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360, da

circunferência que contém o arco.

Page 7: tRIGONOMETRIA MARISTA

- Um minuto é igual a 1/60

- Um segundo é igual a 1/60 do minuto.

Símbolos

grau ( º )

minuto ( ‘ )

segundo ( “ )

Radiano

Medida de um ângulo central subtendido por um arco igual ao raio da circunferência que contém o

arco.

Obs.: Seja a circunferência de raio r e o segmento AB que a representa.

- O comprimento da circunferência é dado por : C = 2 r

IX – MEDIDAS DE ÂNGULOS E ARCOS

Grau Grado Radiano

90º 100

180º 200

270º 300

360º 400 2

Page 8: tRIGONOMETRIA MARISTA

X – COMPRIMENTO DE UM ARCO

Consideremos a figura

A medida do ângulo em radianos é igual ao quociente entre o comprimento

S do arco pelo raio da circunferência.

Ou seja:

01. CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA: Uma circunferência se diz orientada quando se escolhe um sentido de percurso.

Obs.: Convenciona-se como positivo o sentido anti-horário.

02. ARCO ORIENTADO: É todo arco definido sobre uma circunferência orientada.

Arco AB ( + )

03. ARCO NULO: É todo arco cujo comprimento é zero; e a origem e a extremidade são coincidentes.

+

+

+ +

+

-

-

- -

-

A

B

+

A

B

-

A = B o

Page 9: tRIGONOMETRIA MARISTA

04. CICLO TRIGONOMÉTRICO: É uma circunferência orientada de centro na origem do sistema de eixos cartesianos, de raio

unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário.

AB = + 90º = rd2

AB' = - 90º = - rd

2

Obs.: O ponto A(1 , 0) é a origem de todos os arcos trigonométricos.

05. QUADRANTE: O sistema cartesiano divide o ciclo trigonométrico em quatro partes denominadas de quadrante.

0º 90º 1º Quadrante

90º 180º 2º Quadrante

180º 270º 3º Quadrante

270º 360º 4º Quadrante

Obs.: Arcos que medem 0º, 90º, 180º, 270º, 360º e seus côngruos não pertencem a nenhum dos

quadrante.

B

B'

A' A'

1

-1

-1 1

I Q

o

II Q

III Q IV Q

90º = rd2

0º = 0 rd

360º = 2 rd rd = 180º

270º = rd2

3

Page 10: tRIGONOMETRIA MARISTA

06. ARCOS CÔNGRUOS: Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. De maneira geral:

- Se um arco mede graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por, º + K .

360º, onde K Z.

- Se um arco mede radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por + 2K,

onde K Z. - Quando a medida do arco é dada em radianos, convertemos essa medida para graus. Ex.: 1: Determine a extremidade dos seguintes arcos. a) 420º

420 360

60º 1

420º = 60º + 1 . 360º (expressão geral)

número de voltas completas o arco de 420º tem a mesma extremidade que o arco de 60º.

b) rd3

10 º600

3

180.10

600 360

240º 1

600 = 240º + 1 . 360º

número de voltas completas. o arco de 600º tem a mesma extremidade que o arco de 240º.

60º

420º

A

240º

600º

Page 11: tRIGONOMETRIA MARISTA

07. PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA DE UM ARCO

Denominamos de primeira determinação positiva o arco de graus de um arco que mede

graus sendo o arco côngruo a e º360 .

Ex.: Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:

a) 420º

420º 360

60º 1 420º = 60º + 1 . 360 1ª determinação positiva

* Expressão geral = 60º + K . 360º b) - 1110º

1110º 360

30º 3 - 1110 = - 30º + 3 . 360 - 30 + 360 = 330º 1ª determinação positiva

* Expressão geral = 330º + K . 360º

08. NÚMEROS TRIGONOMÉTRICOS:

* Seno (sen) de um arco: É a ordenada da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico: * sen x = OP (lê-se seno de x) * Cosseno (cos) de m arco: É a abscissa da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico. cos x = OM (lê-se cosseno de x)

B

A

p

O

x

O

x

A M

Page 12: tRIGONOMETRIA MARISTA

09. VALORES IMPORTANTES DE sen x e cos x:

x = 0º = 0 rd

1º0cos

0º0sen

x = 90º = 2

02

cosº90cos

12

senº90sen

x = 180º = rd

1cosº180cos

0senº180sen

x = 270º = rd2

3

02

3cosº270cos

12

3sen270sen

x = 360º = 2 rd

12cosº360cos

02senº360sen

10. VARIAÇÃO DO SINAL DO SENO E DO COSSENO:

I Quadrante

0xcos

0xsen III Quadrante

0xcos

0xsen

II Quadrante

0xcos

0xsen IV Quadrante

0xcos

0xsen

Resumo Sinais do seno sinais do cosseno

* Sabemos que o ciclo trigonométrico possui raio unitário, então os valores do seno e do cosseno estão compreendidos entre - 1 e 1. Logo:

- 1 sen x 1 e - 1 cos x 1

A

+ +

- -

+ -

- +

A

Page 13: tRIGONOMETRIA MARISTA

11. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 30º:

A medida da altura em função do lado é dado por: h = 2

3

sen 30º =

2 cos 30º =

2

3

sen 30º =

1x

2 cos 30º =

1x

2

3

sen 30º = 2

1 cos 30º =

2

3

sen 60º =

2

3

cos 60º =

2

sen 60º =

1x

2

3 cos 60º =

1x

2

sen 60º = 2

3 cos 60º =

2

1

Resumindo:

1) sen 30º = 2

1 3) sen 60º =

2

3

2) cos 30º = 2

3 4) cos 60º =

2

1

30º

60º

h

A

B

C

2

M

Page 14: tRIGONOMETRIA MARISTA

12. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 30º NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 13. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 45º: Seja o quadrado

A medida da diagonal d em função do lado é dado por:

d = 2

No triângulo retângulo BAD, temos:

sen 45º = 2

cos 45º =

2

sen 45º = 2

2x

2

cos 45º =

2

2x

2

sen 45º =

.2

2 cos 45º =

.2

2

sen 45º = 2

2 cos 45º =

2

2

90º

60º

30º

330º

300º

270º

240º

210º

180º

150º

120º 1

-1

-1 1

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

C D

45º

45º B A

.

O

Page 15: tRIGONOMETRIA MARISTA

14. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 45º NO CICLOTRIGONOMÉTRICO

15. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE AS FUNÇÕES DE UM MESMO ARCO: I - Tangente (tg) de um arco É o quociente entre o seno (sen) e o cosseno (cos) desse arco, ou seja:

tg x = xcos

xsen

Seja o ciclo trigonométrico da figura e T a interseção da reta OM com o eixo das tangentes.

Definimos com tangente (do arco AM ou do ângulo x) a medida algébrica do segmento AT , e indicamos tg x = AT

II - Cotangente de arco (cotg) Define-se a cotangente como a razão entre o cosseno e o seno de um arco ou seja:

cotg x = xsen

xcos

2

2

90º

270º

180º

1 135º 45º

315º 225º

-1 1

-1

2

2

2

2

2

2

O

o M'

M''

y

x x

tg T

A

Page 16: tRIGONOMETRIA MARISTA

Observação: A cotangente dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos, não é definida pois:

cotg 0º = º0sen

º0cos =

0

1 cotg 180º =

º180sen

º180cos =

0

1

III - Secante (sec) de um arco É o inverso do cosseno desse arco, ou seja:

sec x = xcos

1

A secante dos arcos de 90º, 270º e seus côngruos, não é definida, pois:

sec 90º = º90cos

1 =

0

1 sec 270º =

º270cos

1 =

0

1

IV - Cossecante (cossec) de um arco

É o inverso do seno (sen) desse arco, ou seja:

cossec x = xsen

1

Observação: A cossecante dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos não está definida, pois

cossec 0º = º0sen

1 =

0

1 cossec 180º =

º180

1 =

V - Sen2 x + cos2 x = 1 x R

Demonstração:

22

22

)x(cosxcos

)xsen(xsen

Page 17: tRIGONOMETRIA MARISTA

Observe: cos x = OM sen x = OP OB = 1 (raio do ciclo trigonométrico)

Aplicando o teorema de Pitagoras, vem: (OM)2 + (MB)2 = (OB)2 (OM)2 + (OP)2 = (OB)2 Substituindo temos: (cos x)2 + (sen x)2 = 12 cos2 x + sen2 x = 1

16. RELAÇÕES DERIVADAS: Das relações fundamentais podemos deduzir outras que são muito usadas no cálculo.

I cotg x = xtg

1 (x K

2

, K Z).

II sec2 x = 1 + tg2 x

Demonstração:

sec2 x = 1 + tg2 x sec2 x = xcos

12

sec2 x = 1 + xcos

xsen

2

2

sec2 x = sec2 x

sec2 x = xcos

xsenxcos

2

22

O M

P B

A

Page 18: tRIGONOMETRIA MARISTA

III cossec2 x = 1 + cotg2 x Demonstração:

cossec2 x = 1 + xsen

xcos

2

2

cossec2 x = xsen

xcosxsen

2

22

cossec2 x = xsen

12

cossec2 x = cossec2 x

17. REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE: Arcos no 2º Quadrante Se x é um arco do 2º quadrante, então (180 - x) será um arco do 1º quadrante. Logo: sen x = sen (180 - x)

cos x = - cos (180 -x)

Arcos no 3º Quadrante Se x é um arco do 3º quadrante, então (x – 180) será do 1º quadrante.

Logo: sen x = - sen (x – 180º) cos x = - cos (x – 180º)

Arcos no 4º Quadrante Se x é um arco do 4º quadrante, então (360º - x) será um arco do 1º quadrante. Logo: sen x = - sen (360º - x) cos x = cos (360º - x)

Page 19: tRIGONOMETRIA MARISTA

18. ARCOS COMPLEMENTARES E ARCOS SUPLEMENTARES:

1. Arcos Suplementares

Dois arcos são chamados arcos suplementares, quando a soma dos dois arcos for 180º ou rad. Os senos de dois arcos suplementares são iguais, e os cossenos de dois arcos suplementares são opostos.

2. Arcos complementares

Dois arcos são chamados complementares quando, quando a soma dos dois arcos for 90º ou 2

ρ

rad. O seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e vice-versa.

19. TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

I. Adição e Subtração de Arcos

Sendo a e b a medida de dois arcos quaisquer. Pode-se provar que são válidas,

para as seguintes identidades. 1. sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 2. sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a 3. cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 4. cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b.

5. tg (a + b) = btg.atg1

btgatg

6. tg (a – b) = btg.atg1

btgatg

Page 20: tRIGONOMETRIA MARISTA

II – Arco Duplo

Sabendo-se que: 2a = a + a, então 1. sen 2a = sen (a + a) = sen a cos a + sen a cos a sen 2a = 2 . sen a cos a 2. cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a cos 2a = cos2 a – sen2 a

3. tg 2a = tg (a + a) = atg.atg1

atgatg

tg 2a = atg1

atg22

III. Arco Triplo Seno do arco triplo 1. sen 3x = 3 sen x – 4 sen3 x Cosseno do arco triplo cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x Obs.: Pelas igualdades das fórmulas demonstradas, podemos escrever: sen 6a = sen (3a + 3a) = sen 3a cos 3a + sen 3a cos 3a sen 6a = 2 sen 3a cos 3a cos 6a = cos (3a + 3a) = cos 3a cos 3a – sen 3a sen 3a cos 6a = cos2 3a

tg 6a = tg (3a + tg 3a) = a3tg.a3tg1

a3tga3tg

tg 6a = a3tg1

a3tg22

Page 21: tRIGONOMETRIA MARISTA

IV. Arco Metade

Seno do Arco Metade Sabemos que: cos 2x = cos2 – sen2 x cos 2x = 1 – sen2 x – sen2 x cos 2x = 1 – 2 sen2 x

fazendo 2x = a x = 2

a

substituindo temos

cos a = 1 – 2 sen2 2

a

2 sen2 2

a = 1 – cos a

sen2 2

acos1

2

a

sen 2

acos1

2

a

Cosseno do Arco Metade Sabemos que: cos 2x = cos2 x – sen2 x cos 2x = cos2 x – (1 – cos2 x) cos 2x = cos2 x – 1 + cos2 x cos 2x = 2 cos2 x – 1

fazendo 2x = a x = 2

a

substituindo temos:

cos a = 2 . cos2 2

a – 1

2 cos2 2

a = cos a + 1

cos2 2

1acos

2

a cos

2

1cos

2

aa

Page 22: tRIGONOMETRIA MARISTA

Obs.: O sinal positivo ou negativo é determinado pelo quadrante em que se encontra a função

seno ou cosseno.

Tangente do Arco Metade Sabendo que:

tg x = xcos

xsen

fazendo x = 2

a

temos

tg

2

acos

2

asen

2

a

tg

2

acos1

2

acos1

2

a

tg acos1

2x

2

acos1

2

a

tg acos1

acos1

2

a

20. FÓRMULA DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO:

Sabendo que: sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a cos b fazendo a + b = x a + b = x a – b = y a – b = y (-1)

2a = x + y a + b = x – a + b = – y

a = 2

yx 2b = x – y b =

2

yx

Temos:

Page 23: tRIGONOMETRIA MARISTA

1. sen x + sen y = 2 . sen

2

yxcos.

2

yx

concluímos que:

2. sen x – sen y = 2 . sen

2

yxcos.

2

yx

3. cos x + cos y = 2 cos

2

yxsen.

2

yx

4. cos x – cos y = – 2 sen

2

yxsen.

2

yx

21. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: Demonstrar uma identidade trigonométrica é provar que as igualdades que envolvem as

funções trigonométricas, são verdadeiras. Ex.: mostrar que:

xcosxsen1 2

22

2 )x(cosxsen1

1 – sen2 x = cos2 x cos2 x = cos2 x

22. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

I – Função do Seno É a função que associa a cada arco x R o número sen x R.

Gráfico da função seno f(x) = sen x ou y = sen x

x y

0 0

2

1

0

2

3

-1

2 0

Domínio = R

Imagem = { y R -1 y 1 }

y

x

- 1

+ 1

2

2

3

2

o

Page 24: tRIGONOMETRIA MARISTA

Período - 2

Obs.: O gráfico da função seno é chamado de senóide.

Propriedades da Função Seno

1) A função seno é definida de R R, o domínio é o conjunto dos números reais. D(sen x) = R 2) Na circunferência trigonométrica, o raio é igual a 1. O conjunto imagem dessa função é, portanto, Im (sen x) [ -1 , 1 ]

3) A função y = sen x é periódica, pois a função se repete a cada 2. Logo o período da função seno

é 2. 4) A função seno é positiva no 1º ou no 2º quadrante e negativa no 3º ou 4º quadrante. 5) A função seno é crescente no 1º e no 4º quadrantes e decrescente 2º e 3º quadrantes 6) Como sen x = - sen (-x) ou sen (-x) = - sen x concluímos que a função seno é impar. e seu gráfico

apresenta simetria em relação à origem O.

II – Função Cosseno

É a função que associa a cada arco x R o número sen x R.

Gráfico da Função Cosseno f(x) = cos x ou y = cos x

x y

0 1

2

0

-1

2

3

0

0

Domínio = R

Page 25: tRIGONOMETRIA MARISTA

Imagem = { y R -1 y 1 }

Período = 2 Obs.: O gráfico da função cosseno é chamada de co-senóide.

Propriedade da Função Cosseno.

1) A função cosseno é definida de R R, o domínio é o conjunto dos números reais. D(cos x) = R 2) Pelo fato de o ciclotrigonométrico ter raio igual a 1 o cosseno não pode assumir valores

maiores que 1 ou menos que - 1. O conjunto imagem da função cosseno é, Im = [ -1 ; 1 ]

3) A função y = cos x é periódica, pois a função se repete a cada 2. Logo o período da função

cosseno é 2. 4) A função cosseno é positiva no 1º ou no 4º quadrante e negativa no 2º ou 3º quadrante. 5) A função cosseno é crescente no 3º e no 4º quadrantes e decrescente no 1º e 2 quadrantes. 6) Como cos x = cos (- x), concluímos que a função cosseno é par. E seu gráfico apresenta

simetria em relação a origem.

III - Função Tangente

Gráfico da função tangente

x y

0 0

2

0

2

3

2 0

4

5

2 2

3

4

3

4

7

4

2

Page 26: tRIGONOMETRIA MARISTA

Propriedades do gráfico da Tangente 1) O gráfico da função tangente é chamado tangentoide.

2) O domínio da função y = tg x é D = { x R x 2

+ k com K Z}.

3) A imagem da função y = tg x é o intervalo ] - , + [, isto é, - < tg x < + .

4) O período da função y = tg x é p = . 5) A função y = tg x é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes. 6) A função y = tg x é uma função crescente ou seja: ela é crescente no 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. 7) A função y = tg x é impar, isto é, tg x = - tg(-x)

IV – Função co-tangente Gráfico da função co-tangente

x y

0

2

0

2

3

0

2

Propriedades da Função Co-tangente 1) O gráfico da função co-tangente é chamado co-tangentoide.

2) O domínio da função y = cotg x é D = {x R x K com K Z}

3) A imagem da função y = cotg x é o intervalo ] - < cotg x < + .

4) O período da função y = cotg x é igual a . 5) A função y = cotg x é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes. 6) A função y = cotg x é uma função decrescente ou seja, é decrescente no 1º, 2º, 3º e 4º

quadrantes. 7) A função y = cotg x é impar, isto é: cotg x = - cotg (-x).

Page 27: tRIGONOMETRIA MARISTA

V – Função Secante

Propriedades

1) O domínio da função y = sec x é x 2

+ K , K Z.

2) A imagem da função y = sec x é sec x - 1 ou sec 1

VI – Função Cossecante

Propriedades

1) O domínio da função y = cossec x é x K , K Z.

2) A imagem da função y = cossec x é cossec x - 1 ou cossec x 1

23. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

1 – Definição Denomina de equação trigonométrica toda equação em que figura uma função

trigonométrica, com um arco desconhecido. Exemplos:

1) sen x = 0 3) cos = - 2

2

2) cos x = 2

1 4) tg x = 3

Page 28: tRIGONOMETRIA MARISTA

2 – Resolução de equações trigonométrica Resolver uma equação é determinarmos todos os valores que satisfaçam essa equação.

Ex.: 1 Resolver a equação sen =

sen = 2

1.

sen = sen 6

K

ouK

26

26

Logo: S = ZKKouK

,26

52

6

Ex.: 2 Resolver a equação cos = 2

2

cos = 2

2

cos = cos 4

K

ouK

24

24

(k Z)

6

-

6

o 2

1

4

4

Page 29: tRIGONOMETRIA MARISTA

Logo: S =

ZKK ,24

Ex.: 3 Resolver a equação tg = 3

3

tg = 3

3

tg = tg 6

= 6

+ K , K Z.

Logo: S =

ZKK ,6

24. INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA:

1) Definição; Denominamos de inequação trigonométrica toda inequação em que figura uma função

trigonométrica com arco desconhecido. Exemplos:

1) sen x > 2

1 3) tg x 1

2) cos x - 2

2 4) 2 sen2 x – sen x 0

2) Resolução de inequações trigonométricas

Exemplo: Resolver a inequação sen x 0, para 0 x 2.

sen x 0 0 0 x

Page 30: tRIGONOMETRIA MARISTA

S = { x R 0 x }

01. (FAAP-SP) Calcular a área do triângulo ABC, de altura h = 2 , sendo = 30º e = 45º.

02. (FGV-SP) No ∆ABC da figura, Â = 90º, B = 60º e AB = 50cm. Calcule o comprimento do

segmento AC .

03. FAAP-SP) A soma dos comprimentos das base de um trapézio retângulo vale 30m. A base maior

mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo agudo mede 30º.

04. (FUVEST-SP) Na figura, ABCD é um trapézio, BC = 2, BD = 4 e o ângulo ABC é reto.

a) Calcule a área do triângulo ACD.

b) Determine AB , sabendo que BV = 3VD.

C

A B

H

h

^

B A

C

V

A B

D C

Page 31: tRIGONOMETRIA MARISTA

05. (Unesp - SP) A área de um triângulo retângulo é de 12 dm2. Se um dos catetos é

3

2do outro, calcule

a medida da hipotenusa desse triângulo.

06. Um topógrafo coloca seu teodolito à margem de um rio, onde observa uma árvores sob um ângulo

de 60º. Recuando 30m vê a mesma árvore sob ângulo de 30º. Sabendo que a luneta do Teodolito

está a 1,80 m do solo, calcular a altura da árvore e a largura do rio (com aproximadamente de 0,01).

07. (FAAP-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30m. A base maior

mede do dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo agudo mede 30º.

08. Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca 13h25min.

09. Determinar, em graus, a medida do arco.

a) 4

3 rad. d)

3

5rad.

b) 6

5 rad. e)

6

7 rad.

c) 3

4 rad. f)

12

5

10. Calcule, em radianos, as medidas dos arcos:

a) 45º d) 330º

b) 240º e) 72º

c) 300º

11. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca:

a) 2h30min d) 12h47min

b) 12h15min e) 20h29min

c) 3h45min

30º 60º

H

1,80m 1,80m 30m

Page 32: tRIGONOMETRIA MARISTA

12. Determine, e graus e rad, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às

18h20min.

13. A figura a seguir representa a planta do terraço de um apartamento.Qual o perímetro do piso desse

terraço? Considere 14,3 .

14. (PUC-RJ) Calcule o ângulo entre os ponteiros do relógio às 4 horas e 20 minutos.

15. Um automóvel percorre uma distância de 12 Km. Sabendo que o raio de cada roda mede 30cm,

calcule o número de voltas dadas por uma das rodas.

Adote = 3,14.

16. Calcule o raio de uma circunferência sabendo que seu comprimento é 280 cm.

Use = 3,14.

17. Determine em qual quadrante está a extremidade de cada um dos arcos abaixo.

a) 5

3 e)

4

9

b) 6

7 f)

4

13

c) 3

5 g)

6

11

d) 4

3 h)

6

7

18. Dentre os arcos abaixo, identifique os côngruos.

a) - 30º e 330º d) 3

rad e

3

30 rad

b) 10º e 700º e) 3

rad e

3

30rad

c) 1º e 1081º

19. Calcule a medida da 1ª determinação positiva dos arcos:

a) 750º d) 2

33rad

4m 4m

4m 4m 5m

Page 33: tRIGONOMETRIA MARISTA

b) 3810º e) 4

9rad

c) - 500º f) 4

rad

20. Calcule a determinação principal e escreva a expressão geral dos arcos côngruos dos arcos de:

a) 1910º d) 7

85rad

b) 2925º e) 4

75rad

c) - 2580º f) 9

235 rad

21. (PUC-SP) Determine x, de modo que se verifique sen

= 3

1x2

22. (FUVEST-SP) Qual dos números é o maior? justifique.

a) sen 830º ou sen 1195º.

b) cos (-535º) ou cos 190º.

23. (FUVEST-SP) Foram feitos os gráficos das funções f(x) = sen 4x e g(x) = 100

x, para x no

intervalo [0 , 2[. Determine o número de pontos comuns aos dois gráficos.

24. (MACK-SP) Determine o domínio de y = x3sen para o x .

25. (UFRN) Dada a função f:R , em que f(x) = xsen2

3x4x 2

, determine o conjunto dos x R, tal que

f(x) > 0.

26. (FTD) Determine m para que exista o arco x, satisfazendo as igualdades:

a) sen x = 3m + 10

b) sen x = m1

2m5

27. (FTD) Simplifique:

a)

)x4(tg.x2

7sen.)x5(cos

x2

15tg.x

2cos.)x(sen

Page 34: tRIGONOMETRIA MARISTA

28. (FEI-SP) Sendo x um ângulo do primeiro quadrante e tg x = 3, calcule sem x.

29. (PUC-SP0 Sendo cos x = m

1 e sen x =

m

1m , determine m.

30. Sabendo que sen x = a e cos x = a, calcule o valor de a.

31. Determine m para que se tenha, simultaneamente, cossec x = m + 1 e cotg x = m4 .

32. (UFSC) Conhecendo o valor de sen x = 5

3 e x

2,0 , calcule o valor numérico da expressão

1

2

2

xseccos.xsen.6

xtg.xseccosxgcot.xsec

.

33. (FET-SP) Sendo x = 3

1 com 0 x

2

, calcule: j =

xseccos1

xtgxcos.xsen

34. (ITA - SP) Sabendo que o cos = - 7

3 e tg < 0, calcule o valor da expressão x =

2tg1

tg2.

35 . (PUC-SP) Sabendo que cossec x = 4

5 e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão 25

sen2 x - 9 tg

2 x.

36. (FUVEST-SP) Se tg x = 4

3, com

2

3x

, determine o valor de y = cos x - sen x.

37. (FTD) Sabendo que 9 . sen2 x + 18 . cos

2 x = 13, com 0 < x <

2

, calcule sen x e cos x.

38. (FTD) Demonstre que

Page 35: tRIGONOMETRIA MARISTA

a) (se x + tg x) (cos x + cotg x) = (1 + sen x) (1 + cos x)

b) (1 + tg x)2 + (1 - tg x)

2 = 2 . sec

2 x

39. (FTD) Demonstre as identidades.

a) 2)aseccosag(cotacos1

acos1

b) sen2 x . tg

2 x + cos

2 x , cotg

2 x = tg

2 x + cotg

2 x - 1

40. (FTD) Sabendo que x é um arco com extremidade no 3º quadrante, determine o sinal da expressão

y, dada por:

a) y = xtg.xsen.4

xgcot.xseccos.xcos.3 2

b) y = xtg.xseccos.xsec

xcos.xsen3

23

41. (FTD) Diga em que quadrante se localiza a extremidade do arco x, sabendo que:

a) cos x > 0 e cotg x < 0

b) cossec x < 0 e tg x < 0

c) sec x > 0 e sen x < 0

42. (Cefet-MG) Calcule os valores de T que satisfazem a igualdade:

sec x = t2

T21

.

43. (UFF-RJ) Determine os valores de m de modo que se verifiquem simultaneamente as igualdades:

a) sec x = 2m e tg x = 2

1m

b) cotg x = 1m e sen x = 2m

1mm2m 23

Page 36: tRIGONOMETRIA MARISTA

44. (UFF-RJ) Calcule o valor de:

y = cos

2 10º + cos

2 20º + cos

2 30º + cos

2 60º + cos

2 70º + cos

2 80º

45. (Vunesp-SP) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma

distância x da base do farol, a partir de um ângulo , conforme a figura:

a) Admitindo-se que sen = 5

3, calcule a distância x.

b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na

qual o ângulo passou exatamente para 2 , calcule a nova distância x' a que o barco se

encontrará da base do farol.

46. (FTD) Determine os valores de:

a) sen 15º

b) cos 105º

c) tg 105º

47. (FTD) Sabendo que sen x = 2

2, cos y =

2

3 e que x e y têm extremidades no 1º cuadrante, calcule:

a) sen (x + y)

b) cos (x + y)

c) tg (x + y)

48. (FTD) Demonstre que a igualdade cos (a + b) . cos (a - b) = cos2 a + cos

2 b - 1 é uma identidade.

49. Demonstre que o valor numérico da expressão y = )º30x(cos)º30x(cos

)xº30(sen)º60x(cos

é

3

3.

50. (FTD) Simplifique a expressão

a3cos.a4cosa2cos.a3cos

a3sen.a4cosa2sen.a3cos

=

.

36 m

x

Page 37: tRIGONOMETRIA MARISTA

51. (UFU-MG) Determine o período de f(x) = 6 . sen x . cos x.

52. (FEI-SP) Calcule:

L = sen )x(cosx2

cos)x(senx2

53. (PUC-SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, calcule tg y.

54. (Faap-SP) Calcule sen 2x, e sen x = 4

3 e x é um arco do 2º quadrante.

55. (Cescem-SP) Sendo 4º quadrante e cos = 5

1, calcule cos 2.

56. (FEI-SP) Se sen x - cos x = 5

1, calcule sen 2x.

57. (FEI-SP) Calcule sen 2x, sabendo que tg x + cotg x = 3.

58. (Faap-SP) Se a e b são ângulos positivos inferiores a 180º, calcule sen 2a e cos 2b, sabendo que

sec a = - 2

3 e cos b =

3

1.

59. (Faap-SP) Se tg a = 7

1 e sen b =

10

1, calcule tg (a + 2b). Supondo 0 < a, b <

2

.

60. (Fei-SP) Sendo tg A = 2 e tg B = 1, ache tg (A - B).

61. (UF-CE) Se sen x + cos x = 3

1, calcule. sen 2x.

62. (Mauá-SP) Dado sen x = 4

26 , calcule cos 2x.

Page 38: tRIGONOMETRIA MARISTA

63. (Ita-SP) Transforme em produto a expressão:

y = sen 3x + sen x.

64. (PUC-SP) Transforme em produto sen a + 2 sen 2a + sen 3a.

65. (Mack-SP) Resolva a equação 2sen2 x + 6cos x - cos 2x = 5.

66. (Cesgranrio) Resolva a equação (cos x + sen x)2 =

2

1.

67. (Vunesp) Determine um valor de n N, tal que n

seja solução da equação 8 cos

4 - 8 cos

2 + 1 =

0

68. (Fatec-SP) Resolva a inequação 0 < 1 + 2 cos 2x < 3 + 1, para 0 x .

69. ((Fuvest-SP) Resolva a inequação 4

1 sen . cos <

2

2, sendo 0 e em radianos.

70. ((Fuvest-SP) No intervalo 0 x 2

, determine o conjunto solução:

a) da equação sen 2x - cos x = 0

b) da inequação sen 2x - cos x > 0.

Page 39: tRIGONOMETRIA MARISTA

TESTES DE VESTIBULARES

1. (Cefet-PR) Na figura, HC = 9m e AH = 12 m.

A medida de AB é, em metros:

a) 15 c) 25 e) 35

b) 20 d) 30

2. (FTD) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são 1 cm e 2 cm. A medida da altura do

triângulo relativo à hipotenusa, em centímetros, é igual a:

a) 2

1 c)

5

3 e)

7

3

b) 2

2 d)

5

2

3. (EEAr) As bases de um trapézio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traça-se uma paralela às

bases. O comprimento dessa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa

paralela, em centímetros, é:

a) 24 c) 28

b) 26 d) 30

4. (FTD) Quando o sol encontra a 54º acima do horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão,

mede 12 cm. Qual é a altura dessa árvore? *use tg 54º 1,376

5. (UFRGS) Sabendo-se que a = 1 e b = 3 , na figura, então C é igual a:

a) 2

2 c)

2

1 e) 3

b) 2

3 d) 1

6. (Mackonzie-SP) Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é o dobro da medida de um dos

catetos. O ângulo oposto ao menor lado desse triângulo mede:

a) 36º c) 45º e) 72º

C

4

A B

b

2

a c

Page 40: tRIGONOMETRIA MARISTA

b) 60º d) 30º

7. (UFRN) Considerando o triângulo retângulo abaixo, qual das alternativas é falsa?

a) cos = 5

3 d) tg =

5

4

b) + = 90º e) tg = 3

4

c) sen = 5

4

8. (Unifor-CE) Se cos 26º = k, então é verdade que seu 64º é igual a:

a) k c) k

1 e) 1 – k

2

b) – k d) k2

9. (UGF) O valor de m indicado na figura é igual a:

a) cm35 c) 8 cm

b) 6 cm d) 10cm

e) cm310

10. (F. C. Chagas-BA) Calcule o valor de x na figura.

a) x = 50 c) x = 100

b) x = 60 d) x = 2

3100

e) x não pode ser determinado por falta de dados:

11. (FET-SP) No triângulo da figura, o valor do cos é:

a) 12

6 d)

4

6

b) 2

3 e)

3

62

5

4

3

B

E 30º

cm310

m

30º

C D A

30º

30º

100 x

2 4

3

Page 41: tRIGONOMETRIA MARISTA

c) 2

1

12. (FEI-SP) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo

interno formado entre os lados AB e BC mede 60º, então o lado AC mede:

a) cm37 c) cm132 e) cm22

b) cm13 d) cm33

13. (Cescem-SP) Se uma circunferência tem um raio unitário (1 cm), a medida de um ângulo central,

em radianos:

a) é igual ao arco por ele subtendido.

b) é numericamente igual à medida do arco por ele subtendido.

c) é 1 cm.

d) é igual a 1 radiano.

e) n.d.a.

14. (PUC-SP) Na figura, = 1,5 rad, AC = 1,5 e o comprimento do arco AB é 3. Qual é a medida do

arco CD?

a) 1,33

b) 4,5

c) 5,25

d) 6,50

e) 7,25

15. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 min?

a) 9

16 c)

3

4 e)

3

3

b) 3

5 d)

2

4

16. (ITA-SP) O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15

minutos é:

a) 142º 30’ c) 142º

b) 142º 40’ d) 141º 30’

e) n.d.a.

17. (PUC-SP) Qual dos pares de ângulos é côngruo de 120º?

D

B

0

A

C

Page 42: tRIGONOMETRIA MARISTA

a) –240º e 1920º d) –100º e 0º

b) 300º e 1560º e) n.d.a.

c) 200º e 600º

18. (UFPA) Um arco côngruo de 5

137 rad é

a) rad5

2 c) rad

5

b) 3 rad d) 2 rad

e) rad5

7

19. (Mack-SP) A menor determinação positiva de – 4900 é:

a) 100º c) 40º e) n.d.a.

b) 140º d) 80º

20. (UFRS) Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados?

a)

k24

3

b)

k4

3

c) 2

k

4

3

d)

k4

21. (Santa Casa – SP) Se A = sen 580, B = sen (-780º) e C = cos 350º, então é verdade que:

a) A < B < C c) A < C < B

b) B < A < C d) B < C < A

f) C < B < A

22. (OPUC-SP) O valor de sen x é:

a) crescente em todo intervalo de 0 a .

b) decrescente em todo intervalo de 2

3 a 2.

c) decrescente em todo intervalo de 2

3 a 0.

d) crescente em todo intervalo de 2

3 a

2

.

e) crescente em todo o intervalo de 2

a

2

.

y

M1

135º

0 x

M2

Page 43: tRIGONOMETRIA MARISTA

23. (PUC-SP) Na função trigonométrica y = - 3 = sem (x - 4

), o período e o conjunto imagem são

iguais, respectivamente, a:

a) 5

e {2 , 4} d)

4

9 e [-1 , 1]

b) 2 e {-4 , -2} e) n.d.a.

c) 2 e [-1, 1]

24. (FEI-SP) O período da função y – 5 . cos (4x + 3

)

a) 5

c)

2

e) n.d.a.

b) 2

1 d)

3

25. (Mack-SP) Se x = 2

, então,

x4secxseccos2

xtg

x2cos2

xgcot2xsen

é igual a:

a) –2 c) 2

1 e) 4

b) 0 d) 2

26. (FGV-SP) simplificando-se a expressão

asec.acastg.acos

aseccos.atg.asen, obtém-se:

a) 0 c) sen2 a e) tg

2 a

b) sec2 a d) 1

27.(U. E. Ponta Grossa) O quadrante em que a tangente, a secante e o cosseno são negativos é o:

a) 1º c) 3º e) n.d.a.

b) 2º d) 4º

28. (PUC-SP) O valor de sen 1200º igual a:

a) cos 60º c) cos 30º e) cos 45º

b) – sen 60º d) – sen 30º

Page 44: tRIGONOMETRIA MARISTA

29. (Cescea-SP) O valor da expressão cos 150º + sen 300º - tg 225º - cos 90º é:

a) 13 c) 13 e) não sei

b) 13 d) 2

33

30. (Faap-SP) Se sen x = 5

3 , com x 4º quadrante, então tg x é:

a) 4

3 c)

5

4 e)

5

4

b) 2

1 d)

4

3

31. (Fafig-PR) Se sen x = 3

2 e

x

2, então:

a) tg x = 2

7 c) cos x =

3

5

b) cotg x = 7

2 d) sec x =

5

53

e) cossec x = 2

1

32. (UFMA) Sabendo-se que tg x = - 2 e que é um arco do segundo quadrante, então cos x + sen x

vale:

a) 5

5 c)

5

5 e)

3

5

b) 3

3 d)

3

3

33. (PUC-SP) Se x pertence ao 4º quadrante e séc x = 2 , então a expressão xseccosxgcot1

xseccosxtg1

é

igual a:

a) – 1 c) 1 d)

b) 0 d) – 2

Page 45: tRIGONOMETRIA MARISTA

34. (Cefet-MG) Se sen 2

1

6

, então sen

6

19 é:

a) 2

1 c) 0 e)

2

3

b) 2

3 d)

2

1

35. (UFRN) Sabendo-se que sen x = 3

1 e x está no 1º quadrante, qual o valor de cos

x

3?

a) 6

32 c)

6

23 e)

6

3

b) 6

322 d)

3

2

36. (Fatec-SP) Se sen 2x = 2

1, então tg x + cotg x é igual a:

a) 8 c) 4 e) 1

b) 6 d) 2

37. (Mackenzie-SP) Se tg x - 3 e 0 < x < 2

, então tg

2

x vale:

a) 2

3 c)

4

1 e)

2

3

b) 2

1 d)

3

3

38. (FEI-SP) Sendo tg A = 2 e tg B = 1, então tg (A – B) é:

a) 2

1 c)

3

1 e)

4

1

b) 1 d) 3

2

Page 46: tRIGONOMETRIA MARISTA

39. (Mack-SP) Se sec x = 5

13 e

2

3x

, então o valor de sen 2x é:

a) 13

12 c)

13

12 e)

144

125

b) 169

120 d)

169

120

40. (PUC-SP) Sabendo-se que tg2 x =

16

9 e que tg

2 y =

16

84, o valor de tg (x + y) . tg (x – y) é:

a) 2,4 c) 1,8 e) 1

b) 5,2 d) 0

41. (PUC-SP) Considere a identidade cos 2a = cos2 a – sen

2 a. Se cos x =

25

7, então cos

2

x vale:

a) 50

7 c)

25

3 e)

25

18

b) 5

2 d)

5

4

42. (UF-PA) O menor valor positivo de x que satisfaz a equação 2 sen x – 1 = 0 é:

a) 6

c)

3

e)

b) 4

d)

2

43. (UF-ES) As soluções da equação trigonométrica 2 sec x = tg + cotg x são:

a) 6

7e

6

5,

6

d)

6

5e

6

b) 3

5e

6

5,

6

e) n.d.a.

c) 3

7e

6

Page 47: tRIGONOMETRIA MARISTA

44. (Cecfet-MG) Se cos x < 2

1 e 0 < x < , então:

a) 6

5x

6

d) 0 < x <

3

b) 3

2x

3

e)

x

3

2

c) x < 3

45. (UF-RGS) No intervalo real

2,0 , o conjunto solução da desigualdade sen x. cos x

2

1 é:

a)

15,0 d)

8,0

b)

12,0 e)

6,0

c)

10,0

46. (UFAL) Se cos x = 2

1 e 0

2x

o valor da expressão

xsecxsecscos

xtg2E

é:

a) )33(4

3 c)

4

359

b) 13

32236 d)

4

359 e) 2

47. (UFAL) Se cos x = 2

1, o valor de cos 2x é:

a) 2

2 c)

22

1 e)

2

1

b) 2

1 d) 0

48. (Fatec-SP) Se x é um arco de 3º quadrante e cos x = 5

4 , então cossec x é igual a:

a) 3

5 c)

5

3 e)

3

5

b) 5

3 d)

5

4

Page 48: tRIGONOMETRIA MARISTA

49. (Unama-PA) Sendo M = xgcot1

xseccosxsec

, cos x =

5

1 e x pertencente ao 4º quadrante, então:

a) M = 5

5 d) M = 5

b) M = 55 e) M = 25

c) M = 5

50. U.F. Ouro Preto-MG) Se cos x = n

1n então

1xgcot

1tg2

x2

é igual a:

a) 2)1n(

1n2

c)

2)1n(

1n

b) 2n

1n2 d)

2

2

n

)1n(

e) 1n2

)1n( 2

51. A expressão sen (a + b) . sen (a – b) é equivalente a:

a) cos b – cos a d) sen2 b – sen

2 a

b) sen b – sen a e) sen (a2 – b

2)

c) cos2 b – cos

2 a

52. (UF-CE) Sabenendo que cos = 2

3 e que sen =

2

1 , podemos afirmar corretamente que cos (0

+ 2

) + sem (0 +

2

2) é igual a:

a) 0 d) 2

1

2

3

b) 2

1

2

3 e)

2

1

2

3

c) 2

1

2

3

Page 49: tRIGONOMETRIA MARISTA

GABARITO

APLICAÇÕES

01. A = 6326

1

02. 50 3 cm

03. 3

310

04. a) 32 b) 36

05. 132 dm

06.

m

mh

15

75,27

07. 3

310 m

08. 107º 30'

09. a) 135º d) 300º

b) 150º e) 210º

c) 240º f) 75º

10. a) rad4

d) rad

6

11

b) rad3

4 e) rad

5

2

c) rad3

5

11. a) 105º d) 131º30'

b) 82º30' e) 80º30'

c) 157º30'

12. 10º ; rad10

13

13. 30,56 m

14. 10º ou 350º

15. 6369,42

16. 55,58 cm

17. a) II Quadrante

b) III Quandrante

c) I Quadrante

d) II Quadrante

e) I Quadrante

f) I Quadrante

g) I Quadrante

h) II Quadrante

18. A , C , E

19. a) 30º d) rad2

b) 210º e) rad4

c) 220º

20. a) 110º, 110º + k . 360º (k z)

b) 45º, 45º + K . 360º

c) 300º , 300º + K . 360º

d) k

27

,7

e) k

24

3,

4

3

f)

k29

17,

9

17

21. – 1 x 2

22. a) sen 830º

b) cos 190º

23. 8

24. x R 0 x 3

ou

3

2 x

25. {x R x < 1 ou x > 3 }

26. a) 33

11 m

b) 2

1

4

1 m

27. a) -1 b) - tg x

28. 10

103

29. – 1,2

30. 2

51

31. – 4 ou 1

32. 12

67

33. 72

2

34. 31

1012

35. zero

36. 5

1

37. sen x = 3

5 e cos x =

3

2

38. a) mostrar que a igualda-

de é verdadeira

b) mostrar que a igualda-

de é verdadeira

39. Demonstração

40. a) y < 0

b) y < 0

41. a) 4º quadrante

b) 4º quadrante

c) 4º quadrante

42. T - 1 ou T 1 e T 2

43. a)

1

3

m

oum

b) m = 0 ou m = - 1

44. 3

45. a) 48 m b) 10,5 m

Page 50: tRIGONOMETRIA MARISTA

46. a) 4

26

b) 4

62

47. a) 4

26

b) 4

26

48. Demonstração

49. Demonstração

50. – cotg 6a

51.

52. L = 0

53. 10

3

54. 8

73

55. 25

23

56. 25

24

57. 3

2

58. sen 2a = 0

54

cos 2b = 9

7

59. 1

60. 3

1

61. 3

2

62. 2

3

63. 2 sen 2x . cos x

64. 4 sen 2a. cos2

2

a

65. {x = 2K ou

x = 3

+ 2K , K Z}

66. x = 2

7 + K ou

x = 12

11 + K com K Z

67. n = 8

68. {1 x R 12

< x <

3

}

69. { R 12

12

5}

70. a)

2,

6

b)

2,

6

GABARITO

TESTES DE

VESTIBULARES

01. b

02. d

03. d

04. 16,512 m

05. c

06. d

07. d

08. a

09. d

10. a

11. a

12. b

13. b

14. c

15. b

16. a

17. a

18. e

19. b

20. b

21. b

22. e

23. b

24. b

25. d

26. e

27. b

28. c

29. a

30. a

31. c

32. a

33. a

34. a

35. b

36. c

37. d

38. c

39. d

40. a

41. d

42. a

43. d

44. b

45. e

46. d

47. d

48. a

49. d

50. a

51. c

52. c