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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAUNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIADepartamento de Engenharia Civil
Disciplina: 2117 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I
NOTAS DE AULA
FLEXO NORMAL SIMPLES - VIGAS
Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)
Bauru/SPnovembro/2010
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APRESENTAO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1288 Estruturas
de Concreto I, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade
Estadual Paulista UNESP, Campus de Bauru/SP.
O texto apresentado est de acordo com as prescries contidas na norma NBR 6118/2003
(Projeto de estruturas de concreto Procedimento), conforme a verso corrigida de maro de
2004, para o projeto e dimensionamento das vigas de concreto armado flexo normal simples.
A apostila apresenta o estudo das sees retangulares com armaduras simples e dupla e das
sees T com armadura simples, para solicitao de flexo simples.
Visando iniciar o clculo prtico das vigas dos edifcios, so introduzidos alguns tpicos
adicionais, como o clculo das cargas verticais sobre as vigas e algumas prescries na norma
para as vigas simples e contnuas.
O texto constante desta apostila no inclui todos os tpicos relativos ao projeto das vigas,
como o dimensionamento aos esforos cortantes e aos momentos torores, ancoragem nos apoios,
etc. Nas apostilas da disciplina 1309 - Estruturas de Concreto II - esses temas sero abordados.
Quaisquer crticas e sugestes sero bem-vindas, pois assim a apostila poder ser
melhorada.
O autor agradece ao tcnico derson dos Santos Martins, pela confeco dos desenhos.
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SUMRIO
1. INTRODUO ....................................................................................................................... 12. DEFINIO DE VIGA...........................................................................................................13. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS FLEXO E FORACORTANTE.................................................................................................................................... 24. COMPARAO DOS DOMNIOS 2, 3 E 4 .......................................................................... 55. HIPTESES DE CLCULO................................................................................................... 76. SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES.....................................................8
6.1 EQUAES DE EQUILBRIO.......................................................................................... 86.2 CLCULO COM COEFICIENTES K .............................................................................126.3 EXEMPLOS NUMRICOS ............................................................................................. 13
7. SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA...................................................... 317.1 EQUAES DE EQUILBRIO........................................................................................ 317.2 CLCULO MEDIANTE FRMULAS COM COEFICIENTES K................................. 357.3 EXEMPLOS NUMRICOS ............................................................................................. 36
8. SEO T ...............................................................................................................................438.1 LARGURA COLABORANTE......................................................................................... 508.2 SEO T COM ARMADURA SIMPLES.......................................................................53
8.2.1 EQUAES DE EQUILBRIO................................................................................. 538.2.2 CLCULO COM EQUAES COM COEFICIENTES K...................................... 568.2.3 EXEMPLOS NUMRICOS ......................................................................................57
9. PRESCRIES GERAIS PARA AS VIGAS....................................................................... 689.1 VO EFETIVO................................................................................................................. 689.2 DEFINIO DA ALTURA E DA LARGURA............................................................... 689.3 CARGAS VERTICAIS NAS VIGAS...............................................................................69
9.3.1 Peso Prprio ...............................................................................................................699.3.2 Paredes........................................................................................................................709.3.3 Lajes ........................................................................................................................... 709.3.4 Outras Vigas...............................................................................................................70
9.4 DISPOSIES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS............................................... 709.4.1 Armaduras Longitudinais Mximas e Mnimas ......................................................... 709.4.2 Armadura Mnima de Trao ..................................................................................... 71
1. 719.4.3 Armadura Longitudinal Mxima................................................................................719.4.4 Armadura de Pele ....................................................................................................... 72
9.5 ARMADURAS DE LIGAO MESA-ALMA............................................................... 729.6 ESPAAMENTO LIVRE ENTRE AS BARRAS............................................................73
10. EXERCCIOS PROPOSTOS................................................................................................. 73REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................................... 79BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR......................................................................................... 80TABELAS ANEXAS....................................................................................................................81
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FLEXO NORMAL SIMPLES - VIGAS
1. INTRODUO
A flexo simples definida como a flexo sem fora normal. Quando a flexo ocorreacompanhada de fora normal tem-se a flexo composta.
Solicitaes normais so aquelas cujos esforos solicitantes produzem tenses normais(perpendiculares) s sees transversais dos elementos estruturais. Os esforos que provocamtenses normais so o momento fletor (M) e a fora normal (N).
Nas estruturas de concreto armado so trs os elementos estruturais mais importantes: aslajes, as vigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, so sumetidas flexonormal simples, embora possam tambm, eventualmente, estarem submetidas flexo composta.Por isso, o dimensionamento de sees retangulares e sees T sob flexo normal simples aatividade diria mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de concreto armado(SANTOS, 1983). De modo que o estudo da flexo simples muito importante.
O estudo da flexo normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o corretoentendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compresso e peloao sob trao, em sees retangulares e T, visando lev-lo a bem dimensionar ou verificar aresistncia dessas sees.
O equacionamento para a resoluo dos problemas da flexo simples deduzido emfuno de duas equaes de equilbrio da esttica, e que proporciona as aqui chamadas equaes
tericas, que podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais.Tambm apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, largamenteutilizado no Brasil.
importante esclarecer o aluno que no estudo desta apostila ele aprender a dimensionaras sees transversais das vigas aos momentos fletores mximos, e fazer o detalhamento dasarmaduras de flexo apenas na seo transversal correspondente. Nesta disciplina o estudo dasvigas est apenas iniciando. O estudo completo das vigas simples ou contnuas, comdimensionamentos aos esforos cortantes e momentos torores, bem como o detalhamentocompleto e ancoragem das armaduras, s ser alcanado ao trmino da disciplina 2123 -Estruturas de Concreto II. Alm disso, outros tpicos relativos s vigas, como fissurao e flecha,sero estudados na disciplina 2158 Estruturas de Concreto IV.
2. DEFINIO DE VIGA
So elementos lineares em que a flexo preponderante (NBR 6118/03, item 14.4.1.1).Elementos lineares so aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos trsvezes a maior dimenso da seo transversal, sendo tambm denominada barras.
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3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS FLEXO E FORA CORTANTE
Considere uma viga de concreto armado biapoiada (Figura 1), submetida a duas foras
concentradas P crescentes e de igual intensidade. A armadura composta por armaduralongitudinal, resistente s tenses de trao provenientes da flexo, e armadura transversal,dimensionada para resistir aos esforos cortantes, composta por estribos verticais no ladoesquerdo da viga e estribos e barras dobradas no lado direito da viga.
A Figura 2a mostra as trajetrias das tenses principais de trao e de compresso da vigaainda no estdio I. Observe que no trecho de flexo pura as trajetrias das tenses de compressoe de trao so paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetrias dastenses so inclinadas devido influncia dos esforos cortantes.
Enquanto a resistncia trao do concreto superior s tenses principais de trao, nosurgem fissuras na viga. As primeiras fissuras de flexo s surgem na regio de mximosmomentos fletores, no instante que as tenses de trao atuantes igualam e superam a resistncia
do concreto trao na flexo (Figura 2b). Para este nvel de carregamento a viga apresentatrechos fissurados, no estdio II, e trechos no fissurados, no estdio I. Note que a direo ouinclinao das fissuras aproximadamente perpendicular direo das tenses principais detrao, ou seja, a inclinao das fissuras depende da inclinao das tenses principais de trao.Por esta razo, na regio de flexo pura, as fissuras so verticais.
A Figura 2c mostra os diagramas de deformaes e de tenses nas sees ae bda viga,nos estdios I e II, respectivamente. No estdio I a mxima tenso de compresso (c) ainda podeser avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo no valendo para o estdio II.
Com o carregamento num patamar superior comeam a surgir fissuras inclinadas nasproximidades dos apoios, por influncia das foras cortantes atuando em conjunto com osmomentos fletores. Essas fissuras inclinadas so chamadas de fissuras de cisalhamento (Figura2d), que no um termo adequado porque tenses de cisalhamento no ocorrem por aoexclusiva de fora cortante. Sugerimos fissura de flexo com cortante. Com carga elevada, aviga, em quase toda a sua extenso, apresenta-se no estdio II. Apenas nas proximidades dosapoios a viga permanece no estdio I.
Armadura Transversal(somente estribos)
Armadura Transversal(estribos e barras dobradas)
P
l
+
+-
M
V
P
Figura 1 Viga biapoiada e diagramas de esforos solicitantes.(LEONHARDT e MNNIG - 1982).
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a
a
b
b
Estdio I Estdio II Estdio I
Seo a-a Seo b-b c
s
c
s
c c
s t
c=e Ec
ct,f<
trao
compresso
a)
b)
c)
b
b
Estdio II
Seo b-b
s
c
s
c = fc
> fy
d)
e)
Figura 2 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada.(LEONHARDT e MNNIG - 1982).
No caso de uma viga bi-apoiada sob carregamento uniformemente distribudo, no estdio
I, as tenses principais na altura da linha neutra (a meia altura da viga) apresentam inclinao de45(ou 135) em relao ao eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 3. Observe quenas regies prximas aos apoios as trajetrias das tenses principais inclinam-se por influnciadas foras cortantes, mantendo, no entanto, a perpendicularidade entre as trajetrias.
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4
+
-
+
II
I
Direo de (tenses de trao) Direo de (tenses de compresso)
III
M
V
x
Figura 3 - Trajetria das tenses principais de uma viga bi-apoiada no estdio I sob
carregamento uniformemente distribudo (LEONHARDT e MNNIG, 1982).
O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tenso nos infinitos pontosque compem a viga, e que podem ser representados por um conjunto de diferentes componentes,em funo da orientao do sistema de eixos considerados. Como exemplo, a Figura 4 mostra arepresentao dos estados de tenso em dois pontos da viga, conforme os eixos coordenados x-y eos eixos principais. O estado de tenso segundo os eixos x-y define as tenses normais x, as
tenses ye as tenses de cisalhamento xye yx. O estado de tenso segundo os eixos principaisdefinem as tenses principais de trao Ie de compresso II.A tenso ypode ser em geral desprezada, tendo importncia apenas nos trechos prximos
introduo de cargas. O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como basenormalmente as tenses x e xy.
X
y
X
yy = 0
x
X
y
( - )
( + )
III
( - )
( + )
+
xy
yx
Figura 4 Componentes de tenso segundo os estados de tenso relativos aos eixos principais eaos eixos nas direes x e y (LEONHARDT e MNNIG, 1982).
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4. COMPARAO DOS DOMNIOS 2, 3 E 4
As deformaes nos materiais componentes das vigas de concreto armado submetidas flexo simples encontram-se nos domnios de deformaes 2, 3 ou 4, conforme definidos na NBR6118/03 (item 17.2.2). A anlise das Figura 5 e Figura 6 permite fazer as seguintes consideraes
das vigas na flexo simples em relao aos domnios 2, 3 e 4:a) Domnio 2
No domnio 2 a deformao de alongamento na armadura tracionada (sd) fixa e igual a10 , e a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida de concreto ( cd) varia entrezero e 3,5 (0 cd3,5 ). Sob a deformao de 10 a tenso na armadura corresponde mxima permitida no ao (fyd), como se pode verificar no diagrama x do ao mostrado naFigura 6. No domnio 2, portanto, a armadura tracionada econmica, isto , a mxima tenso
possvel no ao pode ser implementada nessa armadura.Na questo relativa segurana, a ruptura, se vier a ocorrer, ser chamada com aviso
prvio, isto , como a armadura continuar escoando alm dos 10 , a fissurao na viga serintensa e ocorrer antes de uma possvel ruptura por esmagamento do concreto na regiocomprimida. A intensa fissurao ser visvel e funcionar como um aviso aos usurios docomportamento inadequado da viga, alertando-os, de modo que sejam tomadas medidas visando aevacuao da construo, antes que uma possvel ruptura possa vir a ocorrer.
As vigas dimensionadas no domnio 2 so, por vezes, chamadas subarmadas. Embora essetermo conste na NBR 6118/03 ele no ser utilizado neste texto, pois inadequado, dando a falsaidia de que a seo tem armadura insuficiente. Na verdade, a seo no domnio 2 tem a rea dearmadura necessria, nem mais nem menos.
Conforme definido na Eq. 31 do item 9.9 da apostila de Fundamentos do Concreto
Armado (BASTOS, 2006), o valor de x2lim fixo e igual a 0,26d.
Superarmada
Seo
x
B
3,5 0
0
A
10
2
3
4
Zona tilyd
As
2lim
3limx
Figura 5 Diagrama de deformaes dos domnios 2, 3 e 4.
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Zona til
10 s
ydf
s
yd Sees
Superarmadas
Figura 6 - Zonas de dimensionamento em funo da deformao no ao.
b) Domnio 3
No domnio 3 a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida corresponde aovalor ltimo ou mximo, de 3,5 . A deformao de alongamento na armadura tracionada variaentre yd(deformao de incio de escoamento do ao) e 10 , o que significa que a armaduraescoa de um certo valor. Verifica-se na Figura 6 que a tenso na armadura a mxima permitida,igual a fyd, pois qualquer que seja a deformao entre yde 10 (zona til), a tenso ser fyd. Issoimplica que, assim como no domnio 2, a armadura tambm econmica no domnio 3.
Neste domnio, portanto, tanto o concreto como o ao so aproveitados ao mximo, aocontrrio do domnio 2, onde o concreto tem deformaes menores que a mxima de 3,5 .
A ruptura no domnio 3 tambm chamada com aviso prvio, pois a armadura, aoescoar, acarretar fissuras visveis na viga, antes que o concreto possa romper-se poresmagamento
Quando a viga tem as deformaes ltimas de 3,5 no concreto e 10 na armaduraalcanadas simultaneamente, costuma-se dizer que a seo normalmente armada. A linhaneutra coincide com o x2lim, e a seo est no limite entre os domnios 2 e 3.
Na Tabela 1 constam os valores da deformao de incio de escoamento do ao (yd), olimite da posio da linha neutra entre os domnios 3 e 4 (x3lim) e x3lim, para os diferentes tiposde ao existentes para concreto armado.
Tabela 1 - Valores de yd, x3lime x3limem funo da categoria do ao.
AO yd() x3lim x3lim
CA-25 laminado a quente 1,04 0,77 d 0,77CA-50 laminado a quente 2,07 0,63 d 0,63
CA-60 trefilado a frio 2,48 0,59 d 0,59
c) Domnio 4
No domnio 4 a deformao de encurtamento na fibra mais comprimida est com o valormximo de 3,5 , e a armadura tracionada no est escoando, pois a sua deformao menor queyd. Neste caso, conforme se pode notar no diagrama x do ao mostrado na Figura 6, a tenso
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na armadura menor que a mxima permitida. A armadura resulta, portanto, anti-econmica, poisno aproveita a mxima capacidade do ao. Diz-se ento que a armadura est folgada e a seo chamada superarmada, como mostrado nas Figura 5 e Figura 6.
O projeto das vigas no domnio 4 deve ser evitado, pois alm da questo da economia aruptura ser do tipo frgil, ousem aviso prvio, onde o concreto rompe por compresso (cd
> 3,5 ), causando o colapso da estrutura antes da intensa fissurao provocada pelo aumento doalongamento na armadura tracionada.Como concluso pode-se afirmar: No se deve projetar as vigas flexo simples no
domnio 4, e sim nos domnios 2 e 3, com preferncia ao domnio 3 por ser mais econmico.
5. HIPTESES DE CLCULO
Na determinao dos esforos resistentes de elementos fletidos, como vigas, lajes epilares, so admitidas as seguintes hipteses bsicas (NBR 6118/03 item 17.2.2):a) As sees transversais permanecem planas at a ruptura, com distribuio linear das
deformaes na seo;b) A deformao em cada barra de ao a mesma do concreto no seu entorno. Essa propriedadeocorre desde que haja aderncia entre o concreto e a barra de ao;c) No estado limite ltimo (ELU) despreza-se obrigatoriamente a resistncia do concreto trao;d) O encurtamento de ruptura convencional do concreto nas sees no inteiramente comprimidas de 3,5 (domnios 3, 4 e 4a);e) O alongamento mximo permitido ao longo da armadura de trao de 10 , a fim de prevenirdeformaes plsticas excessivas;f) A distribuio das tenses de compresso no concreto ocorre segundo o diagrama tenso-deformaoparbola-retngulo. Porm, permitida a substituio desse diagrama pelo retangularsimplificado, com altura y = 0,8x, e a mesma tenso de compresso cd, como mostrado na Figura7.
h
3,5
2
x
y=0,8x
c c
LN
Figura 7 Diagramas x parbola-retngulo e retangular simplificado para
distribuio de tenses de compresso no concreto.
A tenso de compresso no concreto (cd) definida como:
f1) no caso da largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no diminuir da linha neutraem direo borda comprimida (Figura 8), a tenso :
c
ckcdcd
f85,0f85,0
== (Eq. 1)
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8
LN
Figura 8 - Sees com tenso de compresso igual a 0,85 fcd.
f2) em caso contrrio, isto , quando a seo diminui (Figura 9), a tenso :
c
ckcdcd
f8,0f8,0
== (Eq. 2)
LN
Figura 9 - Sees com tenso de compresso igual a 0,8 fcd.
g) A tenso nas armaduras a correspondente deformao determinada de acordo com ashipteses anteriores e obtida nos diagramas tenso-deformao do ao (ver Figura 6).
6. SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES
Embora as vigas possam ter a seo transversal com qualquer forma geomtrica, namaioria dos casos da prtica a seo a retangular.
Define-se viga com armadura simples a seo que necessita apenas de uma armaduralongitudinal resistente tracionada. No entanto, por questes construtivas so colocadas barraslongitudinais tambm na regio comprimida, para a amarrao dos estribos, no sendo estaarmadura considerada no clculo de flexo como armadura resistente, ou seja, na seo comarmadura simples as tenses de compresso so resistidas unicamente pelo concreto.
No item 7 ser estudada a seo com armadura dupla, que aquela que necessita tambmde uma armadura resistente comprimida, alm da armadura tracionada.
Na seqncia sero deduzidas as equaes vlidas apenas para a seo retangular. Asequaes para outras formas geomtricas da seo transversal podem ser deduzidas de modosemelhante deduo seguinte.
6.1 EQUAES DE EQUILBRIO
A formulao dos esforos internos resistentes da seo feita com base nas equaes deequilbrio das foras normais e dos momentos fletores:
- 0N= - 0M= (Eq. 9)
A Figura 10 mostra a seo transversal de uma viga sob flexo simples, de formaretangular e solicitada por momento fletor positivo, com largura bwe altura h, armadura Ase rea
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Acde concreto comprimido, delimitada pela linha neutra (LN). A linha neutra demarcada peladistncia x, contada a partir da fibra mais comprimida da seo transversal. A altura til d,considerada da fibra mais comprimida at o centro de gravidade da armadura longitudinaltracionada.
O diagrama de deformaes ao longo da altura da seo, com as deformaes notveis cd
(mxima deformao de encurtamento do concreto comprimido) e sd (deformao dealongamento na armadura tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuio detenses de compresso, com altura y = 0,8x, e as respectivas resultantes de tenso (Rcce Rst) estotambm mostrados na Figura 10.
As
hd
sdd- x
Rst
wb
cA'
sA
M
ccRx y
= 0,8x
LN
cd
stR
zcc
ccR
0,85 fcd
cd
Figura 10 Distribuio de tenses e deformaes em viga de seo
retangular com armadura simples.
Para ilustrar melhor a forma de distribuio das tenses de compresso na seo, a Figura11 mostra a seo transversal em perspectiva, com os diagramas parbola-retngulo e retangular
simplificado, como apresentados no item 5. O equacionamento apresentado a seguir ser feitosegundo o diagrama retangular simplificado, que conduz a equaes mais simples e comresultados muito prximos queles obtidos com o diagrama parbola-retngulo.
z
0,4x
0,8x
0,85fcd
bw
ccRAs
x
cd
ccR
Rst
As
wb
x
LN LN
stR
0,85f
Figura 11 Distribuio de tenses de compresso segundo os diagramas
parbola-retngulo e retangular simplificado.
a) Equilbrio de Foras Normais
Considerando que na flexo simples no ocorrem foras normais solicitantes, e que a foraresultante das tenses de compresso no concreto deve estar em equilbrio com a fora resultantedas tenses de trao na armadura As, como indicadas na Figura 10, pode-se escrever:
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stcc RR = (Eq. 10)
Tomando da Resistncia dos Materiais queA
R= , a fora resultante das tenses de
compresso no concreto, considerando o diagrama retangular simplificado, pode ser escrita como:
ccdcc 'AR =
Considerando a rea de concreto comprimido (Ac) correspondente ao diagrama retangularsimplificado com altura 0,8 x fica:
wcdcc bx8,0f85,0R =
cdwcc fxb68,0R = (Eq. 11)
e a fora resultante das tenses de trao na armadura tracionada:
ssdst AR = (Eq. 12)
com sd= tenso de clculo na armadura tracionada;As= rea de ao da armadura tracionada.
b) Equilbrio de Momentos Fletores
Considerando o equilbrio de momentos fletores na seo, o momento fletor solicitante
deve ser equilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto comprimidoe pela armadura tracionada. Assumindo valores de clculo, por simplicidade de notao ambos osmomentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de clculo Md, tal que:
Msolic= Mresist= Md
As foras resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armaduratracionada, formam um binrio oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito:
Md = Rcc. zcc (Eq. 13)
Md = Rst. zcc (Eq. 14)
onde: Rcc . zcc = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido;Rst . zcc = o momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada.
Com zcc= d 0,4x e aplicando a Eq. 11 na Eq. 13 fica:
( )x4,0dfxb68,0M cdwd = (Eq. 15)
onde: bw= largura da seo;
x = posio da linha neutra;fcd= resistncia de clculo do concreto compresso;d = altura til.
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Md definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concretocomprimido. O valor de Mddeve ser considerado em valor absoluto na Eq. 15.
Substituindo a Eq. 12 na Eq. 14 define-se o momento interno resistente proporcionado pelaarmadura tracionada:
( )x4,0dAM ssdd = (Eq. 16)
Isolando a rea de armadura tracionada:
( )x4,0dM
Asd
ds
= (Eq. 17)
As Eq. 15 e 17 proporcionam o dimensionamento das sees retangulares com armadurasimples. Nota-se que so sete as variveis contidas nas duas equaes, o que leva, portanto, nanecessidade de se adotarem valores para cinco das sete variveis. De modo geral, na prtica
fixam-se os materiais (concreto e ao) e a seo transversal, e o momento fletor solicitantegeralmente conhecido, ficando como incgnitas apenas a posio da linha neutra (x) e a rea dearmadura (As).
Com a Eq. 15 determina-se a posio xpara a linha neutra, e comparando xcom os valoresx2lime x3limdefini-se qual o domnio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4). Nos domnios 2 ou 3 atenso na armadura tracionada (sd) igual mxima tenso possvel, isto , fyd(ver diagramasnas Figura 5 e Figura 6). Definidos x e sdcalcula-se a rea de armadura tracionada (As) com aEq. 17.
Se resultar o domnio 4, a seo dever ser dimensionada com armadura dupla, como sever no item 8. Caso no se queira dimensionar a viga com armadura dupla, alguma alteraodeve ser feita de modo a tornar x x3lim , e resultar, como conseqncia, os domnios 2 ou 3.Portanto, algum parmetro deve ser alterado para diminuir o valor de x. Conforme a Eq. 15verifica-se que para diminuir x pode-se:
- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md);- aumentar a largura ou a altura da viga (> d);- aumentar a resistncia do concreto.
Dessas possibilidades, geralmente a mais vivel de ser implementada na prtica oaumento da altura da viga (h). Seno, resta ainda estudar a possibilidade de fazer a armaduradupla.
No caso da seo transversal da viga for de apoio ou de ligao com outros elementosestruturais, h ainda outras consideraes a serem feitas. Segundo a NBR 6118/03 (item 14.6.4.3),a capacidade de rotao dos elementos estruturais funo da posio da linha neutra no ELU.Quanto menor for x/d, tanto maior ser essa capacidade. Com o intuito de melhorar aductilidade das vigas nessas situaes, a norma impe que a posio da linha neutra deveobedecer aos seguintes limites:
a) x= x/d 0,50 para concretos C35 ou de menor resistncia (fck35 MPa); ou
b) x= x/d 0,40 para concretos superiores ao C35 (fck> 35 MPa). (Eq. 18)
Com esses limites deseja-se aumentar a ductilidade das vigas, que a sua capacidade dealcanar maior deformao at a ruptura.
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c) Permanncia da Seo Plana
Do diagrama de deformaes mostrado na Figura 10 define-se a relao entre asdeformaes de clculo na armadura (sd) e no concreto correspondente fibra mais comprimida:
xd xsdcd
= (Eq. 19)
Considerando-se a varivel x, que relaciona a posio da linha neutra com a altura til d,tem-se:
d
xx= (Eq. 20)
Substituindo x por x. d na Eq. 19 fica:
sdcd
cdx +
= (Eq. 21)
6.2 CLCULO COM COEFICIENTES K
Com o intuito de facilitar o clculo manual, h muitos anos vem se ensinando no Brasil autilizao de tabelas com coeficientes K. Para diferentes posies da linha neutra, expressa pelarelao x= x/d, so tabelados coeficientes Kce Ks, relativos resistncia do concreto e tensona armadura tracionada. Os coeficientes Kc e Ks encontram-se apresentados nas Tabela A-1 e
Tabela A-2, constantes do Anexo no final desta apostila. A Tabela A-1 para apenas o ao CA-50e a Tabela A-2 para todos os tipos de ao para Concreto Armado.Considerando a Eq. 15, ( )x4,0dfxb68,0M cdwd = , substituindo x por x .d encontram-
se:( )d4,0dfdb68,0M xcdxwd =
( )xcd2
xwd 4,01fdb68,0M =
Introduzindo o coeficiente Kc:
c
2w
d Kdb
M =
com ( )xcdxc
4,01f68,0K
1= (Eq. 22)
Isolando o coeficiente Kctem-se:
d
2w
c M
dbK = (Eq. 23)
O coeficiente Kcest apresentado na Tabela A-1. Observe na Eq. 22 que Kcdepende daresistncia do concreto compresso (fcd) e da posio da linha neutra, expressa pela varivel x.
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O coeficiente tabelado Ks definido substituindo-se x por x. d na Eq. 17:
( )x4,0dM
Asd
ds
= ( )d4,01
MA
xsd
ds
=
com( )xsd
s 4,011K
= (Eq. 24)
a rea de armadura tracionada As, em funo do coeficiente Ks:
d
MKA dss= (Eq. 25)
O coeficiente Ksest apresentado na Tabela A-1. Observe que Ksdepende da tenso naarmadura tracionada (sd) e da posio da linha neutra, expressa por x.
6.3 EXEMPLOS NUMRICOS
As vigas tm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos: dedimensionamento e de verificao. Os trs primeiros exemplos apresentados so dedimensionamento e os dois ltimos so de verificao.
O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessria para uma viga,sendo previamente conhecidos: os materiais, a seo transversal e o momento fletor solicitante.Esse tipo de clculo normalmente feito durante a fase de projeto das estruturas, para a sua futuraconstruo.
Nos problemas de verificao a incgnita principal o mximo momento fletor que aseo pode resistir. Problemas de verificao normalmente ocorrem quando a viga pertence a umaconstruo j executada e em utilizao, e se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga.Para isso necessrio conhecer os materiais que compem a viga, como a classe do concreto (fck),o tipo de ao, a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seo transversal, asdimenses da seo transversal, etc.
Na grande maioria dos casos da prtica os problemas so de dimensionamento, eesporadicamente ocorrem os problemas de verificao e, por este motivo, ser dada maior nfaseaos problemas de dimensionamento.
Aps o estudo dos exemplos seguintes o aluno deve fazer os exerccios propostos no item10.
1) Para uma viga que tem ligao com outros elementos estruturais (Figura 12), calcular para omomento fletor mximo: a rea de armadura longitudinal de flexo e as deformaes na fibra deconcreto mais comprimida e na armadura de flexo tracionada. So conhecidos:
Mk,mx= 10.000 kN.cm h = 50 cmc = f = 1,4 ; s= 1,15 bw = 20 cmconcreto C20 (fck= 20 MPa) d = 47 cm (altura til)ao CA-50 c = 2,0 cm (cobrimento nominal)t= 5 mm (dimetro do estribo)concreto com brita 1 (dmx= 19 mm)
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Mk,mx
A
A
lef
bw20 cm
h = 50 cm
Figura 12 - Viga bi-apoiada.
RESOLUO
O problema de dimensionamento, aquele que mais ocorre no dia a dia do engenheiroestrutural. A incgnita principal a rea de armadura tracionada (As), alm da posio da linhaneutra, dada pela varivel x, que deve ser determinada primeiramente. A resoluo ser feitasegundo as equaes tericas deduzidas do equilbrio da seo (Eq. 15 e 17), e tambm comaplicao das equaes com coeficientes tabelados K.
O momento fletor de clculo :kN.cm000.1410000.4,1M.M kfd ===
com fo coeficiente de segurana que majora os esforos solicitantes.O valor que delimita os domnios 2 e 3 dado por x 2lim, definido na Eq. 30 da apostila de
Fundamentos do Concreto Armado (BASTOS, 2006), sendo x2limfixo e igual a 0,26d:
cm2,1247.26,0d26,0x lim2 ===
A delimitao entre os domnios 3 e 4 dada por x 3lim. Para o ao CA-50, conforme aTabela A-1, x3lim:
x3lim= 0,63 d = 0,63 . 47 = 29,6 cm
a) Resoluo com as Equaes Tericas
Com a Eq. 15 determina-se a posio (x) da linha neutra para a seo:
( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ( )x4,0474,1
0,2
x20.68,014000 =
08,1801x5,117x 2 =+
=
=
cm1,18x
cm4,99x
2
1
A primeira raiz no interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, comomostrado na Figura 13. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posio da linhaneutra deve ser medida a partir da borda superior comprimida.
Observe que as unidades adotadas para as variveis da Eq. 15 foram o kN e o cm. Seoutras unidades diferentes forem adotadas deve-se tomar o cuidado de mant-las em todas asvariveis.
importante observar que o momento fletor deve ser colocado na equao com o seuvalor absoluto. O momento fletor positivo traciona a parte inferior da viga, e para resistir a ele
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colocada uma armadura longitudinal chamada armadura positiva. No caso de momento fletornegativo colocada a armadura negativa, prxima borda superior da viga.
Comparando a posio da linha neutra (x) com os limites x2lim e x3lim determina-se odomnio em que a viga se encontra:
cm6,29xcm1,18xcm2,12x lim3lim2 =
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d
MKA dss= = 04,847
14000027,0 = cm2
Comparando os resultados obtidos segundo as duas formulaes verifica-se que os valoresso muito prximos.
c) Detalhamento da armadura na seo transversal
Inicialmente deve-se comparar a armadura calculada (As = 8,10 cm2) com a armadura
mnima longitudinal prescrita pela NBR 6118/03. Conforme a Tabela 2, para concreto C20 eseo retangular, pode-se considerar a armadura mnima de flexo como:
As,mn= 0,15 % bwh = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2
Verifica-se que a armadura calculada de 8,10 cm2 maior que a armadura mnima.Quando a armadura calculada for menor que a armadura mnima, deve ser disposta a rea daarmadura mnima na seo transversal da viga.
A escolha do dimetro ou dos dimetros e do nmero de barras para atender rea dearmadura calculada admite diversas possibilidades. Um ou mais dimetros podem ser escolhidos,
preferencialmente dimetros prximos entre si. A rea de ao escolhida deve atender rea dearmadura calculada, preferencialmente com uma pequena folga, mas segundo sugesto do autoradmite-se uma rea at 5 % inferior calculada.
O nmero de barras deve ser aquele que no resulte numa fissurao significativa na viga enem dificuldades adicionais durante a confeco da armadura. A fissurao diminuda quantomais barras finas so utilizadas. Porm, deve-se cuidar para no ocorrer exageros.
Para a rea de armadura calculada neste exemplo, de 8,10 cm2, com auxlio das Tabela A-3 e Tabela A-4, podem ser enumeradas as seguintes combinaes:
- 16 8 mm = 8,00 cm2;- 10 10 mm = 8,00 cm2;- 7 12,5 mm = 8,75 cm2;- 4 16 mm = 8,00 cm2;- 3 16 mm + 2 12,5 mm = 8,50 cm2;- 3 20 mm = 9,45 cm2;- 2 20 mm + 1 16 mm = 8,30 cm2;- 2 20 mm + 2 12,5 mm = 8,80 cm2.
Outras combinaes de nmero de barras e de dimetros podem ser enumeradas. A escolhade uma das combinaes listadas deve levar em conta os fatores: fissurao, facilidade deexecuo, porte da obra, nmero de camadas de barras, exeqibilidade (largura da viga
principalmente), entre outros.Detalhamentos com uma nica camada resultam sees mais resistentes que sees com
duas ou mais camadas de barras, pois quanto mais prximo estiver o centro de gravidade daarmadura borda tracionada, maior ser a resistncia da seo. Define-se como camada as barrasque esto numa mesma linha paralela linha de borda da seo. O menor nmero possvel decamadas deve ser um dos objetivos do detalhamento.
Das combinaes listadas, 16 8 e 10 10 devem ser descartadas porque o nmero debarras excessivo, o que aumentaria o trabalho do armador (operrio responsvel pela confeco
das armaduras nas construes). Por outro lado, as trs ltimas combinaes, com o dimetro de20 mm, tm um nmero pequeno de barras, no sendo o ideal para a fissurao, alm do fato dabarra de 20 mm representar maiores dificuldades no seu manuseio, confeco de ganchos, etc.Entre todas as combinaes, as melhores alternativas so 7 12,5 e 4 16 mm, sendo esta ltima
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pior para a fissurao, mas que certamente ficar dentro de valores mximos recomendados pelaNBR 6118/03. O estudo da fissurao nas vigas ser apresentado na disciplina 1365 Estruturasde Concreto IV.
Na escolha entre 7 12,5 e 4 16 mm deve-se tambm atentar para o porte da obra.Construes de pequeno porte devem ter especificados dimetros preferencialmente at 12,5 mm,
pois a maioria delas no tm mquinas eltricas de corte de barras, onde so cortadas com serrasou guilhotinas manuais, com capacidade de corte de barras at 12,5 mm. Guilhotinas maiores sopraticamente inexistentes nas obras de pequeno porte. Alm disso, as armaduras so feitas porpedreiros e ajudantes e no armadores profissionais. No h tambm bancadas de trabalhoadequadas para o dobramento das barras. De modo que recomendamos dimetros de at 12,5 mm
para as obras de pequeno porte, e acima de 12,5 mm apenas para as obras de maior porte, comtrabalho de armadores profissionais.
Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, extremamente importante que aarmadura Ascalculada seja disposta na posio correta da viga, isto , nas proximidades da bordasob tenses de trao, que no caso em questo a borda inferior. Um erro de posicionamento daarmadura, como as barras serem colocadas na borda superior, pode resultar no srio
comprometimento da viga em servio, podendo-a levar inclusive ao colapso imediatamente retirada dos escoramentos.
A disposio das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar umadistncia livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o surgimentode nichos de concretagem, chamados na prtica de bicheira. Para isso, conforme apresentado noitem 6.3 (Eq. 7), o espaamento livre horizontal mnimo entre as barras dado por:
agrmx,
mn,h
d2,1
cm2
e l
Quando as barras de uma mesma camada tm dimetros diferentes, a verificao doespaamento livre mnimo (eh,mn) entre as barras deve ser feita aplicando-se a Eq. 7 acima. Poroutro lado, quando as barras da camada tm o mesmo dimetro, a verificao pode ser feita comauxlio da Tabela A-4, que mostra a Largura bwmnima para um dado cobrimento nominal (c).Determina-se a largura mnima na interseco entre a coluna e a linha da tabela, correspondenteao nmero de barras da camada e o dimetro das barras, respectivamente. O valor para a largurade bwmnimo depende do dimetro mximo da brita de maior dimenso utilizada no concreto.
A Figura 14 mostra o detalhamento da armadura na seo transversal da viga, onde foiadotada a combinao 4 16 mm (a combinao 7 12,5 mm deve ser feita como atividade do
aluno). Para 4 16 mm, na Tabela A-4 encontra-se a largura mnima de 19 cm para concreto combrita 1 e cobrimento de 2,0 cm. Como a largura da viga 20 cm, maior que a largura mnima, possvel alojar as quatro barras numa nica camada, atendendo ao espaamento livre mnimo.
Alm da armadura tracionada Asdevem ser dispostas tambm no mnimo duas barras naborda superior da seo, barras construtivas chamadas porta-estribos, que servem para aamarrao dos estribos da viga. Armaduras construtivas so muito comuns nos elementosestruturais de concreto armado, auxiliam na confeco e montagem das armaduras e colaboramcom a resistncia da pea, embora no sejam levadas em conta nos clculos.
A distncia a, medida entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra maistracionada da seo transversal, neste caso dada pela soma do cobrimento, do dimetro doestribo e metade do dimetro da armadura:
a = 2,0 + 0,5 + 1,6/2 = 3,3 cm
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A altura til d, definida como a distncia entre o centro de gravidade da armaduratracionada fibra mais comprimida da seo transversal, conforme o detalhamento da Figura 14:
d = h a = 50 3,3 = 46,7 cm
O valor inicialmente adotado para a altura til dfoi 47 cm. Existe, portanto, uma pequenadiferena de 0,3 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real calculado em funo dodetalhamento escolhido. Pequenas diferenas, de at 1cm ou 2 cm podem, de modo geral, seremdesconsideradas em vigas de dimenses correntes, no havendo a necessidade de se recalcular aarmadura, pois a diferena de armadura geralmente pequena.
50 d
a
20
416(8,00 cm)
Figura 14 Detalhamento da armadura longitudinal Asna seo transversal.
d) Deformaes na fibra mais comprimida (concreto) e na armadura tracionada
No domnio 3 a deformao de encurtamento na fibra de concreto mais comprimida fixae igual a 3,5 . A deformao na armadura Asvaria de yd(2,07 para o ao CA-50) a 10 ,
podendo ser calculada pela Eq. 19. Considerando d = h a = 50 3,3 = 46,7 cm:
xd
x
sd
cd
=
1,187,46
1,185,3
sd
=
sd= 5,5
A Figura 15 ilustra as deformaes nos materiais e os domnios 2 e 3 de deformao.
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=10 yd 0
3,5 0
5,5
x2lim
3limx
2,07
2
3
4
x = 18,1 cm
LN
cd
d
Figura 15 Diagrama de domnios e deformaes no concreto
comprimido e na armadura tracionada.
2) Calcular a altura til (d) e a armadura longitudinal de flexo (As), para o mximo momentofletor positivo da viga de seo retangular, mostrada na Figura 16. Dados:
concreto C25 t= 5 mm (dimetro do estribo)ao CA-50 c = 2,5 cm
bw = 20 cm concreto com brita 1Mk,mx= 12.570 kN.cm c = f = 1,4 ; s= 1,15
M = 12.570 kN.cmk,mx
Figura 16 Esquema esttico e diagrama de momentos fletores.
RESOLUO
Como a altura da viga no est fixada, dado que a altura til d uma incgnita, oproblema admite infinitas solues, tanto no domnio 2 como no domnio 3. No domnio 4 no seadmite o dimensionamento, como j explicado.
O problema resolvido fixando-se a posio da linha neutra, isto , adotando-se um valorpara x, e para cada xadotado resulta um par d/ As.
A posio da linha neutra pode se estender at o limite entre os domnios 3 e 4, isto , aposio da linha neutra (x) pode variar de zero a x3lim. Com o objetivo de mostrar duas soluesentre as infinitas existentes, o exemplo ser resolvido com a posio da linha neutra fixada em
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duas diferentes posies: no limite entre os domnios 2 e 3 (x = x2lim) e 3 e 4 (x = x3lim) verFigura 5.
Ambas as solues visam dimensionar a viga com armadura simples, pois outras soluespossveis com armadura dupla no sero apresentadas neste exemplo.
A resoluo do exerccio ser feita segundo as equaes do tipo K, ficando a resoluopelas equaes tericas como tarefa para o aluno. O clculo pelas equaes tericas (Eq. 15 e 17)faz-se arbitrando valores para x (x2lime x3limpor exemplo) na Eq. 15, donde obtm-se um valorcorrespondente para d. A rea de armadura calculada ento com a Eq. 17, tendo todas as suasvariveis conhecidas.
O momento fletor de clculo :kN.cm598.1712570.4,1MM kfd ===
a) Linha neutra passando por x2lim
Com a linha neutra em x2lim implica que x= x2lim= 0,26 (ver Eq. 31 no item 10.9 daapostila Fundamentos do Concreto Armado, de BASTOS, 2006). Com x= 0,26, na Tabela A-1
para concreto C25 e ao CA-50 encontram-se:
=
=
026,0K
5,3K
s
c
Com a Eq. 23 calcula-se a altura til d:
d
2w
c M
dbK = cm5,55
20
17598.5,3
b
MKd
w
dc ===
A rea de armadura As(Eq. 25) resulta:
2dss cm24,85,55
17598026,0
d
MKA ===
Um arranjo possvel de barras para a rea calculada 3 16 mm + 2 12,5 mm = 8,50cm2. H vrias outras combinaes ou arranjos possveis.
A posio da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 20:
cm4,145,55.26,0dx xd
x
lim2xlim2x =====
A Figura 17 mostra a posio da linha neutra, os domnios e o diagrama de deformaespara a seo em anlise. Observe que, com a linha neutra passando por x2lim, a deformao deencurtamento no concreto comprimido (cd) igual a 3,5 , e a deformao de alongamento naarmadura (sd) igual a 10,0 , ambas iguais aos mximos valores permitidos pela NBR6118/03.
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10 yd
2limx
0 3,5
x = 14,42lim
= 3,5 cd
sdAs
LN
As
20
55,5
2
3
cA'
h
Figura 17 Diagrama de domnios e deformaes nos materiais
com a linha neutra passando em x2lim.
A Figura 18 mostra o detalhamento da armadura na seo transversal. Como j observado
no exerccio anterior, extremamente importante posicionar corretamente a armadura A s,dispondo-a prxima face tracionada da seo, que neste caso a face inferior, pois a viga estsolicitada por momento fletor positivo.
Inicialmente, deve-se tentar colocar as cinco barras na primeira camada, prxima bordatracionada. Como foram escolhidos dois dimetros diferentes para a armadura no possvelutilizar a Tabela A-4 para verificar a possibilidade de alojar as cinco barras numa nica camada.
Neste caso, a verificao deve ser feita comparando o espaamento livre existente entre as barrascom o espaamento mnimo preconizado pela NBR 6118/03.
Considerando a barra de maior dimetro e concreto com brita 1 (dmx,agr = 19 mm), oespaamento mnimo entre as barras, conforme a Eq. 7 :
==
=
cm3,29,12,1d2,1
cm6,1
cm2
e
agr,mx
mn,h l eh,mn= 2,3 cm
O espaamento livre existente entre as barras, considerando as cinco barras numa nicacamada :
( )[ ]7,1
4
6,1.325,15,05,2220eh =
+++= cm
Como eh = 1,7 < eh,mn = 2,3 cm, as cinco barras no podem ser alojadas numa nicacamada. Como uma segunda tentativa uma barra 12,5 deve ser deslocada para a segundacamada (acima da primeira), o que resulta para eh:
( )[ ]7,2
3
25,16,1.35,05,2220eh =
+++= cm
Como eh= 2,7 > eh,mn= 2,3 cm, as quatro barras podem ser alojadas na primeira camada.A barra 12,5 da segunda camada fica amarrada num dos ramos verticais dos estribos.
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22
x = x = 14,4
55,5
60
20
3 16
a
2 12,5
e = 2,7h
c
LN2lim
1 cam.
Figura 18 Detalhamento da armadura na seo transversal
e posio da linha neutra em x = x2lim.
No h a necessidade de determinar a posio exata do centro de gravidade da armaduraAs, a posio aproximada suficiente, no conduzindo a erro significativo. No exemplo, o centrode gravidade pode ser tomado na linha que passa pela face superior das barras 16 mm.
A distncia (a) entre o centro de gravidade (CG) da armadura longitudinal tracionada (As) fibra mais tracionada da seo neste caso :
a = c + t+ l/2 = 2,5 + 0,5 + 1,6 = 4,6 cm
A altura da viga a soma da altura til dcom a distncia a:
h = d + a = 55,5 + 4,6 = 60,1 cm 60 cm
Para as vigas recomenda-se adotar alturas com valores mltiplos de 5 cm ou 10 cm.A armadura mnima de flexo, conforme a Tabela 2, :
hb%15,0A wmn,s = 2
mn,s cm80,160200015,0A ==
As= 8,24 cm2> As,mn= 1,80 cm
2 dispor a armadura calculada.
b) Linha neutra passando por x3lim
Com a linha neutra em x3lim implica que x = x3lim = 0,63 (ver Tabela 13 na apostilaFundamentos do Concreto Armado, de BASTOS, 2006). Com x= 0,63, na Tabela A-1 para
concreto C25 e ao CA-50, encontram-se:
=
=
031,0K
7,1K
s
c
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23
Com a Eq. 23 calcula-se a altura til d:
d
2w
c M
dbK = cm7,38
20
17598.7,1
b
MKd
w
dc ===
A rea de armadura As(Eq. 25) resulta:
2dss cm10,147,38
17598031,0
d
MKA ===
Um arranjo de barras composto por 7 16 mm = 14,00 cm2. Outros arranjos podem serutilizados.
A posio da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 20:
cm4,247,38.63,0dx xdx
lim3xlim3x =====
A Figura 19 mostra a posio da linha neutra, os domnios e o diagrama de deformaespara a seo em anlise. Observe que, com a linha neutra passando por x3lim, a deformao deencurtamento no concreto comprimido (cd) igual a 3,5 , e a deformao de alongamento naarmadura (sd) igual a yd, igual a 2,07 para o ao CA-50 (ver Tabela 1).
10 yd
sA
x3lim
sd
3,5
LN
0
B
24,43limx
= 3,5 cd
20
sA
38,7
A'c
h
2
3
Figura 19 Diagrama de domnios e deformaes nos materiais
com a linha neutra passando em x3lim.
Na distribuio das sete barras 16 mm na seo transversal pode-se fazer uso Tabela A-4, para se determinar quantas camadas de barras so necessrias. O intuito de alojar o maiornmero de barras numa primeira camada. Na Tabela A-4 verifica-se que a largura bwmnimanecessria para alojar 7 16 mm de 31 cm, maior que a largura existente, de 20 cm, no sendo
possvel, portanto, alojar as sete barras. Cinco barras tambm no podem, j que bw,mn= 23 cmsupera a largura existente. Mas quatro barras podem ser alojadas numa nica camada, comomostrado na Tabela A-4, a largura bw,mnde 20 cm igual largura da viga.
As trs outras barras restantes devem ser dispostas numa segunda camada, posicionadas
com o espaamento livre mnimo (ev,mn) relativo face superior das barras da primeira camada.Duas das trs barras so amarradas nos ramos verticais dos estribos, e a terceira barra pode sercolocada no meio, apoiada em pequenos segmentos de barra de ao com dimetro idntico ao doestribo, como mostrado na Figura 20.
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24
O espaamento livre mnimo vertical entre as barras, conforme a Eq. 8 :
==
=
cm0,19,15,0d5,0
cm6,1
cm2
e
agr,mx
mn,v l ev,mn= 2,0 cm
De modo geral, o espaamento livre entre camadas resulta igual a 2,0 cm.
C.G.
20
38,743,8
3 limx = x = 24,4A'c
a
3 16
4 16
ev
t
c
0,5
Figura 20 Detalhamento da armadura na seo transversale posio da linha neutra em x = x3lim.
Adotando-se a posio do centro de gravidade da armadura de forma aproximada, numalinha passando a 0,5 cm acima da superfcie superior das barras 16 mm da primeira camada, adistncia a(distncia do centro de gravidade CG - da armadura longitudinal tracionada (As) fibra mais tracionada da seo) :
a = 2,5 + 0,5 + 1,6 + 0,5 = 5,1 cm
Para a altura da viga resulta:
h = d + a = 38,7 + 5,1 = 43,8 cm
A altura calculada para a viga, de 43,8 cm no uma medida padro de execuo naprtica das construes. comum adotarem alturas mltiplas de 5 cm ou 10 cm para as vigas, oque levaria altura de 45 cm.
a3) Comparao dos resultados
Os clculos efetuados com a linha neutra fixada em x2lime x3limforneceram as solues:
a) x2lim: h = 60 cm , As= 8,24 cm2;
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b) x3lim: h = 45 cm , As= 14,10 cm2.
Os resultados permitem tecer as seguintes consideraes:
- quanto menor for o valor de x ou a profundidade da linha neutra dentro da seo
transversal, maior ser a altura resultante para a viga e menor ser a rea de armaduratracionada. Com a maior altura da seo o brao de alavanca z entre as forasresultantes internas tambm maior, o que leva a menor necessidade de armadura;
- as vigas dimensionadas no domnio 2 resultam vigas com maior altura e menorarmadura que as vigas dimensionadas no domnio 3;
- a considerao anterior implica que as vigas dimensionadas no domnio 2 consomemmaiores volumes de concreto e maiores quantidades de frma, escoramento, mo-de-obra, etc. Um estudo de custos deve constatar que o dimensionamento no domnio 2resulta num custo maior que o dimensionamento no domnio 3, apesar do menorconsumo de ao proporcionado pelo domnio 2;
- outro aspecto importante que o dimensionamento no domnio 3, com vigas de menor
altura, resultam vigas mais flexveis, sujeitas a flechas de maior magnitude.
3) Calcular a armaduraAsde uma viga submetida flexo simples, sendo dados:concreto C25 c = 2,5 cmao CA-50 t= 6,3 mm (dimetro do estribo)h = 60 cm concreto com brita 1
bw= 22 cm c = f = 1,4 ; s= 1,15Mk = - 15.000 kN.cm (momento fletor negativo no apoio da viga)
RESOLUONeste caso, como todas as variveis esto fixadas, com exceo da posio da linha neutra
(x) e da rea de armadura As, existe apenas uma soluo, dada pelo par x - As. A resoluo iniciada pela determinao de x e em seguida pelo clculo de As. A questo ser resolvidautilizando-se as equaes tericas e tambm com as equaes com coeficientes K.
A altura til dno conhecida porque no se conhece o arranjo da armadura na seotransversal. necessrio estimar d, que a altura da viga menos a distncia entre o centro degravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada (chamada distncia a). A distncia adepende da armadura As, da largura da viga, do dimetro do estribo e principalmente da espessurado cobrimento de concreto, que, quanto maior, maior ser a distncia a. De modo geral, para asvigas correntes, o valor de avaria de 3 cm a 6 cm. A soluo adotar um valor para ae depoisverificar o valor exato no detalhamento da armadura na seo transversal. Normalmente no
necessrio recalcular a armadura para o valor de a determinado no detalhamento, dado que avariao de armadura geralmente pequena.Para a distncia a desta questo ser adotado o valor de 5 cm, e conseqentemente d:
d = h 5 cm = 60 5 = 55 cm
O clculo ser feito segundo as equaes tericas e do tipo K. O momento fletor de clculo:
kN.cm000.2115000.4,1MM kfd ===
(o sinal do momento fletor negativo no deve ser considerado nos clculos).
a) Resoluo com Equaes Tericas
Os limites entre os domnios 2,3 e 4 so:
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x2lim= 0,26d = 0,26 . 55 = 14,3 cm
x3lim= 0,63d = 0,63 . 55 = 34,7 cm (para o ao CA-50)
Com a Eq. 15 determina-se a posio da linha neutra para a seo:
( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ( )x4,0554,15,2
x22.68,021000 =
x = 16,2 cm
Comparando a posio da linha neutra (x) com os limites x2lime x3limdetermina-se qual odomnio em que a viga se encontra:
cm7,34xcm2,16xcm3,14x lim3lim2 === a seo est no domnio 3.
Como a seo de apoio da viga, os limites fornecidos na Eq. 18 necessitam serobedecidos. Sendo concreto C25 tem-se:
x/d = 16,2/55 = 0,29 < 0,5 como o limite foi atendido existe soluo comarmadura simples.
A rea de armadura calculada pela Eq. 17:
( )x4,0dM
Asd
ds
= ( )
95,92,16.4,055
15,1
5021000
As =
= cm2
b) Resoluo com Equaes com Coeficientes K
A posio da linha neutra determinada com o clculo de Kc(Eq. 23):
d
2w
c M
dbK = 2,3
21000
55.22K
2
c ==
Observe que o momento fletor de clculo (Md) considerado com o seu valor absoluto noclculo de Kc.
Com Kc= 3,2, para concreto C25 e ao CA-50 na Tabela A-1 encontram-se: Ks = 0,026,
x= 0,29 e domnio 3. Para momento fletor negativo no apoio da viga, a norma limita a relao
x
= x/d em 0,50 para o concreto C25, conforme mostrado na Eq. 18. A viga atende, portanto, a estalimitao, pois x= 0,29 < 0,50. Isso significa que a seo pode ser dimensionada com armadurasimples, sem necessidade de se fazer qualquer alterao nos dados iniciais.
A rea de armadura (Eq. 25) resulta:
2dss cm93,955
21000026,0
d
MKA === (5 16 mm = 10,00 cm
2)
A armadura mnima para a viga, conforme a Tabela 2, :
hb%15,0A wmn,s = 2
mn,s cm98,160.22.0015,0A ==
As> As,mn= 1,98 cm2
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O detalhamento da armadura na seo transversal est mostrado na Figura 21. Como omomento fletor negativo, a armadura deve obrigatoriamente ser disposta prxima facesuperior tracionada da seo. Seria um erro gravssimo fazer o contrrio, com a armadura A snolado inferior da viga. Tanto no projeto quanto na execuo das vigas, especial ateno deve serdada a este detalhe.
A posio do centro de gravidade da armadura foi adotada de forma aproximada, a 5 mmda face inferior das barras da primeira camada. Para vigas de pequeno porte no h a necessidadede se determinar com rigor a posio exata do centro de gravidade da armadura.
Na distribuio das barras da armadura longitudinal negativa nas sees transversais dasvigas importante deixar espao suficiente entre as barras para a passagem da agulha do vibrador.Deve-se ter em mente qual o dimetro da agulha do vibrador que ser utilizado. Os dimetros deagulha mais comuns utilizados na prtica so de 25 mm e 49 mm. De preferncia o espaamentoentre as barras deve ser um pouco superior ao dimetro da agulha, para permitir a penetrao daagulha com facilidade, sem que se tenha que forar a sua passagem.
Para quatro e trs barras na primeira camada os espaamentos livres horizontais entre asbarras so:
( )[ ]1,3
3
6,1463,05,2222e 4,h =
++= cm
( )[ ]5,5
2
6,1363,05,2222e 3,h =
++= cm
Considerando o dimetro da agulha do vibrador igual a 49 mm, verifica-se que devem serdispostas apenas trs barras na primeira camada, e as duas outras na segunda camada.
O espaamento livre mnimo horizontal entre as barras (Eq. 7):
=
=
cm2,3=1,91,2d1,2
cm1,6
cm2
e
agrmx,
mn,h l eh,mn= 2,3 cm
O espaamento livre mnimo vertical entre as barras das camadas (Eq. 8):
=
=
cm1,0=1,9.0,5d0,5
cm1,6
cm2
e
agrmx,
mn,v l ev,mn= 2,0 cm
A distncia entre o centro de gravidade da armadura e a face tracionada da viga, adotadainicialmente como 5 cm, :
a = 2,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5,2 cm
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C.G.
ae = 2 cmv
0.5
1 cam.
2 cam.
5 1610,00 cm
60
c t
C.G.
a
d
22
Figura 21 Detalhamento da armadura negativa na seo transversal.
4) Dada a seo retangular de uma viga, como mostrada na Figura 22, calcular qual o momentofletor admissvel (de servio). So conhecidos:
46
20
50A = 8,00 cms
bw= 20 cmf = c= 1,4h = 50 cm
s= 1,15d = 46 cmAs= 8,00 cm
2concreto C20ao CA-50
Figura 22 Caractersticas da seo transversal.
RESOLUOO problema agora no de dimensionamento, e sim de verificao. As variveis a serem
determinadas so a posio da linha neutra (x) e o momento fletor de servio ou admissvel (Mk).A resoluo deve ser feita por meio das equaes tericas. A primeira equao a
considerar a de equilbrio das foras resultantes na seo transversal (Eq. 10).Rcc= Rst
As resultantes de compresso no concreto comprimido e de trao na armadura so (Eq. 11e 12):
wcdcc bx8,0f85,0R =
ssdst AR =
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Inicialmente deve-se supor que a seo foi dimensionada nos domnios 2 ou 3, onde tem-se:
15,1
50ff
s
ykydsd =
==
Aplicando a Eq. 10 determina-se a posio da linha neutra (x):
ssdwcd Abx8,0f85,0 =
cm9,17x00,815,1
5020.x8,0
4,1
0,285,0 ==
necessrio verificar se a hiptese inicialmente considerada da viga estar nos domnios 2ou 3 verdadeira, o que se faz comparando xcom os valores limites x2lime x3lim:
x2lim = 0,26 d = 0,26 . 46 = 12,0 cm
x3lim = 0,63 d = 0,63 . 46 = 29,0 cm
x2lim = 12,0 < x = 17,9 < x3lim = 29,0 cm
Verifica-se que a seo encontra-se no domnio 3, e realmente sd igual a fyd. O momentofletor de servio pode ser calculado pelas Eq. 15 ou 16:
( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ou ( )x4,0dAM sdsd =
( ) kN.cm650.9=M9,17.4,04615,1
5000,8M4,1 kk =
Portanto, o momento fletor caracterstico a que a seo pode resistir 9.650 kN.cm(momento positivo).
5) Determinar o mximo momento fletor que pode suportar uma viga com a seo mostrada naFigura 23. Dados:
40
20
3
3 209,45 cm
concreto C25
ao CA-50As = 9,45 cm2
c= f= 1,4s= 1,15d = 36 cm
Figura 23 - Seo transversal da viga.
RESOLUO
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Como no exerccio anterior, o problema de verificao e a incgnita principal doproblema o momento fletor caracterstico (Mk) a que a seo transversal pode resistir.
Da equao de equilbrio de foras normais (Eq. 10), tem-se o equilbrio das forasresultantes:
Rcc= Rst
As resultantes de compresso no concreto comprimido e de trao na armadura so (Eq. 11e 12):
wcdcc bx8,0f85,0R =
ssdst AR =
Supondo-se inicialmente que a seo foi dimensionada nos domnios 2 ou 3, a tenso naarmadura :
15,1
50ff
s
ykydsd =
==
Aplicando a Eq. 10 determina-se a posio da linha neutra (x):
ssdwcd Abx8,0f85,0 =
cm9,16x45,915,1
5020.x8,0
4,1
5,285,0 ==
necessrio verificar se a hiptese inicialmente considerada da viga estar nos domnios 2ou 3 verdadeira, o que se faz comparando xcom os valores limites x2lime x3lim. Para x2limtem-se:
x2lim = 0,26 d = 0,26 . 36 = 9,4 cm
O valor de x3limpode variar em funo da verso da norma que foi considerada quando doclculo de dimensionamento da viga. Na NBR 6118/80 o valor para x3limera de 0,63d e na NBR6118/03 o valor foi reduzido para 0,50d (para fck35 MPa) no caso de se tratar de seo de apoioda viga ou ocorrer ligao com outros elementos estruturais. Como a armadura negativa muito
provvel que se trate de seo de apoio. Deste modo tem-se:x3lim = 0,63 d = 0,63 . 36 = 22,7 cm (NBR 6118/80) ou
x3lim = 0,50 d = 0,50 . 36 = 18,0 cm (NBR 6118/03).x2lim = 9,4 < x = 16,9 < x3lim = 22,7 cm ou 18,0 cm
Verifica-se que, para qualquer que seja o valor de x3lim considerado, a viga foidimensionada no domnio 3, o que muito comum de ocorrer na prtica. Desse modo, a hipteseinicial foi confirmada e realmente tem-se sd= fyd.
O momento fletor de servio pode ser calculado pelas Eq. 15 ou 16:
( )x4,0dfxb68,0M cdwd = ou ( )x4,0dAM sdsd =
( ) kN.cm8.581=M9,16.4,03615,150
45,9M4,1 kk = Portanto, o momento fletor caracterstico a que a seo pode resistir 8.581 kN.cm
(momento negativo).
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7. SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA
Define-se seo com armadura dupla a seo que, alm da armadura resistente tracionada,
contm tambm armadura longitudinal resistente na regio comprimida, ali colocada para auxiliaro concreto na resistncia s tenses de compresso.A armadura dupla um artifcio que permite dimensionar as sees cujas deformaes
encontram-se no domnio 4, sem que haja a necessidade de se alterar algum dos parmetrosinicialmente adotados. A seo com armadura dupla surge como soluo ao dimensionamentoanti-econmico e contra a segurana (ruptura frgil, sem aviso prvio) proporcionado pelodomnio 4. Este domnio evitado alterando-se a posio da linha neutra para o limite entre osdomnios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra passando por x 3lim, no que resulta na mxima seocomprimida possvel no domnio 3. Ao se fazer assim, a rea de concreto comprimido no maisconsiderada para a resistncia da seo compensada pelo acrscimo de uma armaduralongitudinal prxima borda comprimida, que ir auxiliar o concreto no trabalho de resistncia s
tenses de compresso.Por outro lado, os novos limites impostos pela NBR 6118/03 (item 14.6.4.3) para aposio da linha neutra (mostrados na Eq. 18), a fim de melhorar a ductilidade das estruturas nasregies de apoio das vigas ou de ligao com outros elementos estruturais, so tambm motivos
para a utilizao de armadura dupla. Quando a linha neutra excede os limites, ao invs de seaumentar a altura da seo, por exemplo, geralmente possvel manter todos os dados iniciaisacrescentando uma armadura na regio comprimida da viga, e desse modo no ultrapassar oslimites impostos pela norma.
Na maioria dos casos da prtica a necessidade de armadura dupla surge nas sees sobmomentos fletores negativos, nos apoios intermedirios das vigas contnuas. Como os momentosfletores negativos so significativamente maiores que os momentos fletores mximos positivosnos vos, eles requerem sees transversais com alturas bem maiores que os momentos positivos.Mas fixar a altura das vigas em funo dos momentos negativos aumenta o seu custo, pois se naseo de apoio a altura fixada a ideal, nas sees dos vos a altura resulta exagerada. Da queuma soluo simples e econmica pode ser fixar a altura da viga de tal forma que resultearmadura dupla nos apoios e armadura simples nos vos.
7.1 EQUAES DE EQUILBRIO
Do mesmo modo como feito na deduo das equaes para a seo com armadura simples,
a formulao ser desenvolvida com base nas duas equaes de equilbrio da esttica (Eq. 9).A Figura 24 mostra a seo retangular de uma viga, com armadura tracionada A s earmadura comprimida As, submetida a momento fletor positivo. O diagrama de distribuio detenses de compresso no concreto aquele retangular simplificado, com altura 0,8x.
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sA'Rsc
'sdscR
scz
b
y = 0,8x
M
sA
A'sd'
h d
d - x
x
w
LN
sA
Rst
ccR
cd
sd
R cc
stR
cd
zcc
0,85 fcd
cA'
Figura 24 - Seo retangular com armadura dupla.
a) Equilbrio de Foras Normais
Na flexo simples no ocorre a fora normal, de forma que existem apenas as forasresultantes relativas aos esforos resistentes internos, que devem se equilibrar, de tal forma que:
stsccc RRR =+ (Eq. 26)
sendo: Rcc = fora resultante de compresso proporcionada pelo concreto comprimido;Rsc = fora resultante de compresso proporcionada pela armadura comprimida;Rst = fora resultante de trao proporcionada pela armadura tracionada;sd= tenso de clculo na armadura comprimida;
sd = tenso de clculo na armadura tracionada.
Considerando que R = . A, as foras resultantes, definidas com auxlio da Figura 24, so:
Rcc= 0,85 fcd 0,8 x bw (Eq. 27)
Rsc= Assd (Eq. 28)
Rst= Assd (Eq. 29)
b) Equilbrio de Momentos FletoresO momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelo momento interno resistente,
proporcionado pelo concreto comprimido e pelas armaduras tracionada e comprimida, que podemser representados pelo momento fletor de clculo Md:
Msolic= Mresist= MdFazendo o equilbrio de momentos fletores em torno da linha de ao da fora resultante
Rst, o momento resistente compresso ser dado pelas foras resultantes de compressomultiplicadas pelas suas respectivas distncias linha de ao de Rst(braos de alavanca zccezsc):
Md= Rcc . zcc+ Rsc . zsc
Substituindo Rcce Rscpelas Eq. 27 e 28 fica:
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Md= 0,85 fcd 0,8 x bw(zcc) + A's 'sd(zsc)
Aplicando as distncias zcce zsca equao torna-se:
Md= 0,68 bwx fcd(d - 0,4x) + A's'sd(d - d') (Eq. 30)
Com o intuito de facilitar o clculo pode-se decompor o momento fletor M d em duasparcelas, como indicado na Figura 25, tal que:
Md= M1d+ M2d (Eq. 31)
As
LN
sA' A's
d
d'
0,4 x
z = d - 0,4xcc
z = d - d'sc= +
sAMd ==
s1MA
1d ++s2A
M2d
a) b) c)
As2s1A
0,8xx
Figura 25 - Decomposio da seo com armadura dupla.
O momento fletor M1dcorresponde ao primeiro termo da Eq. 30, cujo significado fsico ode ser o momento interno resistente proporcionado por uma parcela As1da armadura tracionada e
pela rea de concreto comprimido com a maior altura possvel, conforme esquema mostrado naFigura 25b.
( )x4,0dfxb68,0M cdwd1 = (Eq. 32)
O valor de x deve ser adotado conforme os critrios da NBR 6118/03 j apresentados,havendo as seguintes possibilidades:
a) x = x3lim(0,77d para o ao CA-25, 0,63d para CA-50 e 0,59d para CA-60) nas sees que nosejam de apoio da viga nem de ligao com outros elementos estruturais;
b) x = 0,5d para concretos at C35 nas sees de apoio da viga ou de ligao com outroselementos estruturais;
c) x = 0,4d para concretos de classes acima do C35 nas sees de apoio da viga ou de ligao comoutros elementos estruturais.
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34
Determinada a primeira parcela M1ddo momento fletor total, pode-se calcular a segundaparcela como:
d1dd2 MMM = (Eq. 33)
A armadura comprimida Asequilibra a parcela As2da armadura tracionada total (As), esurge do equilbrio de momentos fletores na seo da Figura 25c, como a fora resultante naarmadura comprimida multiplicada pela distncia armadura tracionada:
M2d= Rsc. zsc
Aplicando a Eq. 28 de Rscfica:
( )ddAzAM sdsscsdsd2 ==
Isolando a rea de armadura comprimida:
( )ddM
Asd
d2s
= (Eq. 34)
A tenso sd na armadura comprimida depende do tipo de ao e da posio dessaarmadura dentro da seo transversal, expressa pela relao d/d, e da posio xassumida para alinha neutra, conforme um dos trs valores indicados (x3lim, 0,5d ou 0,4d). Os valores para atenso na armadura comprimida (sd) esto mostrados nas Tabela A-5, Tabela A-7 e Tabela A-9,em funo da relao d/d, da posio assumida para a linha neutra e do tipo de ao.
As parcelas As1e As2da armadura tracionada resultam do equilbrio de momentos fletoresnas sees b e c indicadas na Figura 25. So dadas pelas foras resultantes nas armadurastracionadas multiplicadas pelos respectivos braos de alavanca, isto , a distncia entre asresultantes que se equilibram na seo.
Para a seo bda Figura 25:
( )x4,0dAzAM sd1sccsd1sd1 ==
Isolando a parcela As1da armadura tracionada:
( )x4,0dM
A sd
d11s = (Eq. 35)
Para a seo cda Figura 25:( )ddAzAM sd2sscsd2sd2 ==
Isolando a parcela As2da armadura tracionada:
( )ddM
Asd
d22s
= (Eq. 36)
A armadura total tracionada a soma da parcelas As1e As2:
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35
2s1ss AAA += (Eq. 37)
onde:As1 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente
proporcionado pela rea de concreto comprimido com altura x;As2 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente
proporcionado pela armadura comprimida A's.
c) Permanncia das Sees Planas
Conforme o diagrama de deformaes mostrado na Figura 24 definem-se as relaes entreas deformaes de clculo nas armaduras tracionada (sd) e comprimida (sd) e no concreto dafibra mais comprimida da seo.
xd
x
sd
cd
=
(Eq. 38)
xddxxsdsdcd
=
=
(Eq. 39)
Assumindo a relao entre a posio da linha neutra e a altura til d pode-se tambmescrever:
d
xx=
sdcd
cdx
+
= (Eq. 40)
7.2 CLCULO MEDIANTE FRMULAS COM COEFICIENTES K
O clculo de dimensionamento das vigas flexo simples pode ser feito com equaesmais simples, fazendo-se uso dos coeficientes K, como mostrados nas Tabela A-1 e Tabela A-2.
Inicialmente deve-se definir qual ser a posio da linha neutra na seo transversal. Se forseo de apoio ou de ligao com outro elemento estrutural, a varivel xser adotada em funoda classe do concreto:
a) x= x/d = 0,5 para concretos at C35;
b) x= x/d = 0,4 para concretos de resistncia acima do C35.
Se a seo no for de apoio ou de ligao, a posio da linha neutra poder ser assumidapassando por x3lim, isto , no limite entre os domnios 3 e 4. Para o ao CA-50 dever serassumido, portanto, x= 0,63.
Definida a posio da linha neutra, deve-se determinar os valores correspondentes de Kclime de Kslimna Tabela A-1 ou Tabela A-2, conhecendo-se a classe do concreto e a categoria do ao.O momento fletor M1dfica assim determinado:
limc
2w
d1 K
dbM = (Eq. 41)
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A parcela M2ddo momento total tambm fica determinada:
d1dd2 MMM = (Eq. 42)
A rea total de armadura tracionada fica determinada por:
( )ddfM
d
MKA
yd
d2d1limss
+= (Eq. 43)
A rea de armadura comprimida :
dd
MKA d2ss
= (Eq. 44)
O coeficiente Ks o inverso da tenso na armadura comprimida, assumindo diferentesvalores em funo da relao d/d e da posio adotada para a linha neutra, que pode estarlocalizada em x3lim, 0,5d ou 0,4d. Os valores de Ksesto mostrados nas Tabela A-6, Tabela A-8 eTabela A-10:
sds
1K
= (Eq. 45)
7.3 EXEMPLOS NUMRICOS
1) Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal de flexo para o momento fletor negativo noapoio intermedirio de uma viga contnua, considerando os dados a seguir:
bw= 20 cmh = 50 cmMk = - 15.700 kN.cmconcreto C25ao CA-50c = 2,5 cmt= 6,3 mm
brita 1
-
Mk
RESOLUOO problema em questo de dimensionamento da rea de armadura e as incgnitas so a
posio da linha neutra (x) e a rea de armadura (As). Inicialmente no se conhece o domnio dedeformao da seo, o que significa que uma incgnita se a seo ser dimensionada comarmadura simples ou dupla. Para essa definio necessrio determinar xe o domnio em que aseo se encontra.
O momento fletor de clculo, em valor absoluto, :
Md= f. Mk= 1,4 . 15700 = 21.980 kN.cm
Como no se conhece o detalhamento da armadura, no possvel determinar a altura tild, de modo que deve ser adotado inicialmente um valor para d, que igual a altura da viga menosa distncia entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a face tracionada da seo (aver Figura 26). Adotando a = 5 cm, dresulta:
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d = h - 4 cm = 50 - 5 = 45 cm
Para a distncia d entre o centro de gravidade da armadura comprimida facecomprimida da seo ser adotado o valor de 3 cm (ver Figura 26).
Os limites entre os domnios 2, 3 e 4 so:
x2lim = 0,26 d = 0,26 . 45 = 11,7 cm
x3lim = 0,63 d = 0,63 . 45 = 28,4 cm (para o ao CA-50)
a) Resoluo com Equaes Tericas
A posio da linha neutra (x) determinada pela Eq. 15, com o valor absoluto de Md:
( )x4,0dfxb68,0M cdwd =
( )x4,0454,1
5,2x20.68,021980 = x = 26,2 cm
Observe que x2lim = 11,7 < x = 26,2 < x3lim = 28,4 cm, o que significa que a seo seencontra no domnio 3.
A relao x/d :
x/d = 26,2/45 = 0,58
Como a seo de apoio deve-se ter, para o concreto C25, x/d 0,5. Para fazer a seoatender a este limite necessrio modificar algum dos dados de entrada. Analisando a Eq. 15, quefornece x, verificam-se as seguintes alternativas:
- diminuir a solicitao (Md);- aumentar as dimenses da seo transversal, principalmente a altura (h);- aumentar a resistncia do concreto (fck).
Das alternativas listadas, de modo geral, a nica que resulta exeqvel o aumento daaltura da seo. Diminuir a solicitao depende de outros fatores, como diminuir o carregamento,o vo, etc., o que geralmente invivel. Aumentar a largura da seo tambm no uma soluo
prtica, pois normalmente as vigas so projetadas para ficarem completamente embutidas nasparedes. No usual tambm fazer os elementos estruturais de um mesmo pavimento comconcretos de diferentes resistncias.
Uma outra soluo, que ser adotada neste exemplo e ser mostrada em seguida, dimensionar a seo com armadura dupla, sem se fazer qualquer alterao nos dados de entradainiciais.
A nova posio para a linha neutra pode ser assumida em infinitos valores, at o limite de0,5d. Geralmente, assume-se o maior valor possvel:
x = 0,5 d = 0,5 . 45 = 22,5 cm
Aplicando o novo valor de xna Eq. 32 determina-se o valor para M1d:
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( )x4,0dfxb68,0M cdwd1 =
( ) kN.cm671.195,22.4,0454,1
5,25,22.20.68,0M d1 ==
Aplicando a Eq. 33 determina-se o valor da segunda parcela do momento fletor resistente:
M2d= Md - M1d = 21980 - 19671 = 2.309 kN.cm
Para CA-50 e d/d = 3/45 = 0,07, conforme a Tabela A-7 a tenso na armaduracomprimida (sd) 435 MPa = 43,5 kN/cm
2.Do momento fletor M2d, aplicando a Eq. 34, resulta a armadura comprimida:
( )ddM
Asd
d2s
= ( )
2cm26,13455,43
2309=
= (2 10 = 1,60 cm2)
As reas de armaduras tracionadas so determinadas com as Eq. 35 e 36, considerando queno domnio 3 a tenso sdna armadura igual a fyd:
( ) ( )
2
sd
d11s cm57,12
5,22.4,04515,1
5019671
x4,0d
MA =
=
=
( )
( )
2
sd
d22s cm26,1
34515,1
502309
dd
MA =
=
=
A rea total de armadura tracionada :
22s1ss cm82,1326,157,12AAA =+=+= (3 20 + 2 16 = 13,45 cm
2)
b) Resoluo com Equaes com Coeficientes K
O coeficiente Kc calculado pela Eq. 23:
8,121980
45.20M
dbK2
d
2w
c ===
Na Tabela A-1, com concreto C25 e ao CA-50, verifica-se que a seo est no domnio 3e x= 0,58 > 0,5, o que no pode por se tratar de seo de apoio. Neste caso, uma soluo paraatender ao limite mximo, entre outras possveis, dimensionar a seo com armadura dupla.Com x= 0,5, na Tabela A-1 encontram-se:
=
=
029,0K
1,2K
lims
limc
A primeira parcela do momento fletor resistente (Eq. 41) :
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kN.cm286.191,2
45.20
K
dbM
2
limc
2w
d1 ===
A segunda parcela do momento fletor resistente (Eq. 42) :
M2d= Md- M1d= 21.980 19286 = 2.694 kN.cm
Com d = 3 cm, e sendo d/d = 3/45 = 0,07, para o CA-50 na Tabela A-8 tem-se K s=0,023.
As reas de armadura comprimida e tracionada (Eq. 44 e 43) so:2d2
ss cm48,1345
2694023,0
dd
MKA =
=
= (2 10 = 1,60 cm2)
( )ddf
M
d
MKA
yd
d2d1limss
+=
( )
2cm90,13345
15,150
2694
45
19286029,0 =
+=
O detalhamento das armaduras na seo transversal est mostrado na Figura 26. Outrosarranjos com nmero de barras e dimetros diferentes poderiam ser utilizados.
Como j comentado em outros exemplos numricos anteriores, importante posicionarcorretamente as armaduras na seo transversal. Como o momento fletor solicitante negativo aarmadura tracionada Asdeve obrigatoriamente ser posicionada prxima borda superior da viga,sendo esta chamada armadura negativa, e a armadura comprimida (As) deve ser posicionada na
borda inferior, que est comprimida pelo momento fletor negativo.
O valor dfoi inicialmente adotado igual a 3 cm. O seu valor, conforme o detalhamento daarmadura:d' = 2,0 + 0,63 + 1,0/2 = 3,1 cm
O espaamento vertical livre mnimo entre as faces das barras das primeira e segundacamadas da armadura negativa (Eq. 8):
=
=
cm1,0=1,9.0,50,5d
cm2,0
cm2
e
agrmx,
mn,v l cm0,2e mn,v =
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40
2 10
d'
CG
2 163 20
eh
e v,mn
d
a
20
50
0,63
2,0
2,0
2,0
0,5a
CG
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