PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – PPGEM
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O ESTUDO DE SUPERFÍCIES REGRADAS MEDIADO POR
MODELOS DE PCOC NO ENSINO SUPERIOR
ILHÉUS – BA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – DCET
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – PPGEM
GRUPO DE PESQUISA EM ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA EM
AMBIENTE COMPUTACIONAL – GPEMAC
O ESTUDO DE SUPERFÍCIES REGRADAS MEDIADO POR
MODELOS DE PCOC NO ENSINO SUPERIOR
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da Pró-
Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação da
Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC,
como pré-requisito parcial para obtenção do
Título de Mestre em Educação Matemática.
Área de Concentração: Educação Matemática
Orientador: Prof. Dr. Afonso Henriques
ILHÉUS – BA
2021
S725 Sousa, Marcos Felipe Santana de. O estudo de superfícies
regradas mediado por modelos de PCOC no ensino superior / Marcos
Felipe Santa de Sousa. - Ilhéus, BA : UESC, 2021. 228f. : il. ;
anexo. Orientador : Afonso Henriques. Dissertação (mestrado) –
Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática. Inclui referências.
1. Geometria – Estudo e ensino. 2. Superfícies (matemática).
3.Modelos concretos - Análise. 4. Projetos de construção. I. Hen-
Riques, Afonso. II. Título. CDD – 512.5
MARCOS FELIPE SANTANA DE SOUSA
O ESTUDO DE SUPERFÍCIES REGRADAS MEDIADO POR MODELOS DE PCOC
NO ENSINO SUPERIOR.
Pós-Graduação em Educação Matemática – PPGEM,
em cumprimento parcial para a obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática.
APROVADA PELA COMISSÃO EXAMINADORA
Examinadora – UESC
DEDICATÓRIA
incentivos
longo dessa jornada
AGRADECIMENTOS
À minha mãe, Adriana, maior responsável por esse sonho tornar-se
realidade. Mulher
guerreira que nunca poupou esforços para superar as dificuldades e
sempre oferecer as melhores
condições possíveis. Te amo, mamãe!
Ao meu pai, Marcos, por me incentivar e ensinar que a vida não é
fácil e é preciso ser
forte para superar as adversidades. Meu velho, você é um
exemplo!
À minha irmã, Ana Flávia, pela amizade de sempre. As conversas mais
inteligentes
sempre são com você, minha irmã.
Ao Professor e Orientador Dr. Afonso Henriques, por acreditar em
mim e compartilhar
seu vasto conhecimento nos encontros do GPEMAC e orientações.
Agradeço também pela
paciência e compreensão nos momentos difíceis. Minha eterna
gratidão ao senhor, Professor
Afonso.
À Professora Rosane Funato, que me incentivou, cobrou, ensinou e
orientou no
momento mais difícil da graduação, dando o pontapé inicial que
resultou nesse trabalho. Boss,
espero que continue esse trabalho incrível, você é a melhor.
À Professora Eurivalda e ao Professor André, por aceitarem o
convite de compor a banca
e avaliar o trabalho, propondo ricas contribuições à
pesquisa.
À Anna Carolina, mulher incrível que entrou na minha vida há pouco
tempo e me
acompanhou na reta final. Seu carinho, atenção, auxílio e cobrança
foram fundamentais para a
conclusão desse trabalho. Moça, você é demais!
À Maritza e Carlos Augusto, pessoas com quem convivo desde a
graduação e que hoje
posso chamar de amigos. Agradeço por vocês serem os melhores
colegas desse mestrado.
Espero ter a amizade de vocês sempre.
Aos colegas do curso, em especial Sidnéia, Lânia e Helenita,
meninas com quem
compartilhei ótimos momentos em aula, almoços e conversas virtuais.
Foi ótimo conhecer
vocês.
proporcionadas para a minha formação profissional. Obrigado por
tanto.
À minha bisavó, Maria, pelas orações de proteção.
Aos meus avós Domingos e Railda, pelo apoio para tudo e qualquer
necessidade.
Aos meus tios Adriano e Mayara e seus filhos Luís Henrique e Maria
Gabriela, pessoas
presentes em todos momentos da minha vida. Viver com vocês é sempre
melhor.
Às minhas tias Sônia e Lia, que na verdade são minhas mães.
Obrigado por todo
cuidado.
À todos familiares que estavam presentes e me apoiaram ao longo
dessa caminhada.
Ao Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em
Ambiente
Computacional – GPEMAC, pelas contribuições ao meu trabalho.
Agradeço também pelas
discussões proporcionadas ao longo desses anos, fundamentais para a
minha formação
profissional.
Enfim, a todos aqueles que participaram direta ou indiretamente na
realização desse
sonho, expresso a minha sincera gratidão!
EPÍGRAFE
alguma forma continuamos a viver
naqueles cujos olhos aprenderam a ver o
mundo pela magia da nossa palavra. O
professor, assim, não morre jamais.
(Rubem Alves)
ENSINO SUPERIOR
Nessa Dissertação objetivamos realizar uma análise institucional
acerca das Superfícies
Regradas, em um curso de Licenciatura em Matemática, que favoreça a
elaboração de Projetos
de Construção de Objetos Concretos (PCOC) (que se leem peceocê),
bem como de uma
Sequência Didática em torno desses Projetos. Assim, no
desenvolvimento da pesquisa com um
olhar no processo ensino-aprendizagem dessas superfícies,
realizamos a análise de cinco
elementos institucionais, a saber: as Diretrizes Curriculares
Nacionais para os cursos de
Matemática, o Projeto Acadêmico Curricular da instituição de
referência, um Livro Didático, a
Tecnologia (software GeoGebra) e os Modelos Concretos Manipuláveis,
na perspectiva de
PCOC. Esses últimos foram construídos no Laboratório de
Visualização Matemática (L@VIM)
da UESC, mediante a utilização de duas técnicas artesanais
denominadas Papietagem e
Palietagem. A primeira técnica exige basicamente a presença de
papeis, cola e um molde para
a construção de esculturas. A segunda se utiliza de palitos e
elásticos para a ficção de materiais.
A referida construção no L@VIM parte da utilização das
potencialidades do ambiente
computacional GeoGebra. Esse ambiente, além de favorecer a obtenção
de moldes, permite a
construção das Superfícies Regradas, manipuláveis virtualmente em
tempo real na tela do
computador, podendo ser comparadas com os PCOC correspondentes
manipuláveis a mão livre
pelo sujeito. Os PCOC que construímos nessa Dissertação são modelos
referentes ao estudo de
Superfície Cilíndrica, Superfície Cônica, Hiperboloide de uma folha
e Paraboloide Hiperbólico.
Contudo, nos questionamos, como integrar esses modelos na
perspectiva de PCOC no processo
ensino-aprendizagem das Superfícies Regradas em Geometria
Analítica? Para buscar respostas
para esse questionamento e fundamentar a nossa pesquisa,
encontramos elementos de reflexão
em um quadro teórico constituído pela Abordagem Instrumental, pela
Teoria Antropológica do
Didático e pela Teoria de Registros de Representação Semiótica.
Além disso, adotamos como
metodologia de pesquisa a Análise Institucional & Sequência
Didática, proposta em dois
importantes momentos: a Pesquisa Interna e a Pesquisa Externa. Em
função do isolamento
social ocorrido no último ano de realização dessa Dissertação,
causado pela COVID-19,
restringimos o percurso metodológico na Pesquisa Interna. Os
resultados obtidos revelam que
existe escassez de trabalhos sob a ótica da Educação Matemática,
comprovada a partir da
revisão de literatura, sobre as Superfícies Regradas propostas em
Geometria Analítica, e a
ausência de situações de estudos ou praxeologias completas,
mediante a gestão de tarefas,
capazes de inverter o modelo praxeológico dominante na instituição
de referência, que valoriza
o tratamento algébrico para o acesso de objetos correspondentes no
registro gráfico, em
detrimento do processo inverso. Esse último processo ou praxeologia
de Geometria à Álgebra,
permitiu responder a nossa questão apresentada acima, utilizando os
PCOC.
PALAVRAS-CHAVE: Modelos Concretos. Análise Institucional &
Sequência Didática.
Geometria Analítica. Referências Teóricas. PCOC.
THE STUDY OF RULED SURFACES MEDIATED BY PCOC IN
HIGHER EDUCATION
ABSTRACT
In this Dissertation we aim to carry out an institutional analysis
about the Ruled Surfaces, in a
Mathematics Degree course, which favors the elaboration of Concrete
Object Construction
Projects (PCOC), as well as a Didactic Sequence around these
Projects. Thus, in the
development of research with a look at the teaching-learning
process of these surfaces, we
carried out the analysis of five institutional elements, namely:
the National Curriculum
Guidelines for Mathematics courses, the Academic Curricular Project
of the reference
institution, a Didactic Book, the Technology (GeoGebra software)
and the Manipulable
Concrete Models, from the perspective of PCOC. The latter were
built at the UESC's
Mathematical Visualization Laboratory (L@VIM), using two artisanal
techniques called
Papietagem and Palietagem. The first technique basically requires
the presence of paper, glue
and a mold for the construction of sculptures. The second uses
sticks and rubber bands for the
fiction of materials. The aforementioned construction in L@VIM is
based on the use of the
potential of the GeoGebra computing environment. This environment,
in addition to favoring
the acquisition of molds, allows the construction of Regulated
Surfaces, which can be
manipulated virtually in real time on the computer screen, and can
be compared with the
corresponding PCOCs which can be manipulated by the individual on
freehand. The PCOCs
that we built in this Dissertation are models referring to the
study of Cylindrical Surface,
Conical Surface, Hyperboloid of a leaf and Hyperbolic Paraboloid.
However, we ask ourselves,
how to integrate these models in the PCOC perspective in the
teaching-learning process of Rule
Surfaces in Analytical Geometry? To find answers to this question
and to base our research, we
found elements of reflection in a theoretical group constituted by
the Instrumental Approach,
the Anthropological Theory of Didactics and the Registers of
Semiotic Representation Theory.
In addition, we adopted the Institutional Analysis & Didactic
Sequence as a research
methodology, proposed in two important moments: Internal Research
and External Research.
Due to the social isolation that occurred in the last year of this
Dissertation, caused by COVID-
19, we restricted the methodological path in Internal Research. The
results obtained reveal that
there is a scarcity of works from the perspective of Mathematical
Education, proven from the
literature review, on the Rule Surfaces proposed in Analytical
Geometry, and the absence of
complete study situations or praxeologies, through task management,
capable of to invert the
prevailing praxeological model in the reference institution, which
values algebraic treatment
for the access of corresponding objects in the graphic register, to
the detriment of the reverse
process. This last process or praxeology from Geometry to Algebra,
allowed us to answer our
question presented above, using the PCOC.
KEYWORDS: Concrete Models. Institutional Analysis & Didactic
Sequence. Analytical
Geometry. Theoretical References. PCOC.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de união de retas que compõem Superfícies
Regradas .............................. 28
Figura 2: Exemplos mais simples de Superfícies Regradas dados por
Flôres (2012) .............. 30
Figura 3: Exemplos de superfícies generalizadas considerados por
Oliveira e Almeida (2016) .. 32
Figura 4: Modelo de Situações de Atividades Instrumentais (SAI) na
teoria .......................... 44
Figura 5: Ilustração de um sujeito (pesquisador) estabelecendo uma
relação com objeto do saber
mediante a leitura
........................................................................................................................
44
Figura 6: Ilustração da interface do GeoGebra 3D na relação
sujeito-instrumento ................. 45
Figura 7: Visualização da relação de GeoGebra com um crivo de uma
Superfície Regrada ... 45
Figura 8: Modelo SAI na prática do pesquisador durante a Pesquisa
Interna .......................... 46
Figura 9: Área de trabalho inicial do
GeoGebra.......................................................................
47
Figura 11: Modelo SAI na Pesquisa
Externa............................................................................
50
Figura 13: Relações entre os elementos primitivos da TAD
.................................................... 55
Figura 14: Relações institucionais a um instrumento
...............................................................
56
Figura 15: Visualização do modelo PCOC em mão de um sujeito
.......................................... 59
Figura 16: Sistema de coordenadas cartesianas ortogonal
tridimensional ............................... 61
Figura 17: Ilustração de um processo de comparação de métricas do
PCOC .......................... 61
Figura 18: Representação do modelo PCOC no registro gráfico em
ambiente papel/lápis ..... 62
Figura 19: Possíveis registros de representações de um objeto
matemático ............................ 65
Figura 20: Tratamento, conversão e coordenação de representações de
um objeto entre registros .... 68
Figura 21: A IES e algumas micros instituições
......................................................................
71
Figura 22: Os momentos e fases da AI&SD
............................................................................
73
Figura 23: Esquema organizacional de uma Sequência Didática
............................................. 78
Figura 24: Estruturas organizacionais do LD
...........................................................................
87
Figura 25: Esquema de análise do LD na EOL
........................................................................
88
Figura 26: Visualização de uma base no registro gráfico
......................................................... 94
Figura 27: Visualização dos eixos coordenados e dos planos
coordenados no registro gráfico ... 95
Figura 28: Ilustração da distinção de representações de um vetor e
de um ponto ................... 96
Figura 29: Representação de um campo vetorial genérico em que M, N
e P são funções
escalares
....................................................................................................................................
96
Figura 30: Representações nos registros gráfico e algébrico da
elipse .................................... 98
Figura 31: Representações nos registros gráfico e algébrico da
hipérbole............................. 100
Figura 32: Representações nos registros gráfico e algébrico da
parábola .............................. 101
Figura 33: Representações, no registro gráfico, de reta secante a
uma curva ........................ 103
Figura 34: Representação de uma reta tangente e uma reta normal em
uma elipse ............... 104
Figura 35: Visualização de Reta tangente a uma hipérbole e a uma
parábola ....................... 105
Figura 36: Visualização de uma superfície cônica circular reta no
registro gráfico .............. 106
Figura 37: Seções cônicas
......................................................................................................
106
Figura 38: Interseção da Superfície Cônica com o plano de equação =
2 .......................... 107
Figura 39: Interseção da Superfície Cônica com o plano de equação =
0 .......................... 108
Figura 40: Interseção da Superfície Cônica com os planos de equação
= 0 e = 0 ......... 108
Figura 41: O hiperboloide de uma folha e suas interseções
................................................... 114
Figura 42: Esculturas com aspectos de um hiperboloide de uma
folha.................................. 115
Figura 43: Crivo de hiperboloide de uma folha obtido com linha e
argola ............................ 115
Figura 44: Construção do paraboloide hiperbólico
................................................................
125
Figura 45: Representações no registro gráfico das quádricas
cilíndricas ............................... 127
Figura 46: Quádrica cônica e as interseções com os planos
coordenados.............................. 129
Figura 47: Representação no registro gráfico de um plano
.................................................... 132
Figura 48: Representação de uma superfície cilíndrica
..........................................................
133
Figura 49: Representação, no registro gráfico, de vetor diretor
............................................. 134
Figura 50: Elementos de uma Superfície Cilíndrica
...............................................................
134
Figura 51: Translação da curva em uma Superfície Cilíndrica
........................................... 135
Figura 52: Representação de uma Superfície Cônica
.............................................................
138
Figura 53: Elementos de uma Superfície Cônica
...................................................................
138
Figura 54: Translação da curva em uma Superfície Cônica
............................................... 139
Figura 55: Interface do site do GeoGebra
..............................................................................
146
Figura 56: Interface inicial do software GeoGebra
................................................................
146
Figura 57: Interface da janela de visualização 3D do GeoGebra
........................................... 147
Figura 58: Interação entre as duas janelas de visualizações do
GeoGebra ............................ 147
Figura 59: Construção das curvas de níveis do Hiperboloide de uma
folha .......................... 150
Figura 60: Pontos pertencentes às curvas de níveis do Hiperboloide
de uma folha ............... 151
Figura 61: Curvas de níveis do Hiperboloide de uma folha
................................................... 152
Figura 62: Recorte das seções planas
.....................................................................................
152
Figura 63: Construção do pré-molde do Hiperboloide de uma folha
..................................... 153
Figura 64: Construção do molde do Hiperboloide de uma folha
........................................... 154
Figura 65: Construção da superfície
.......................................................................................
155
Figura 66: Construção do Hiperboloide de uma folha
...........................................................
156
Figura 67: Interseção da Superfície Cilíndrica com planos paralelos
ao plano_xy ................ 157
Figura 68: Representações, nos registros algébrico e gráfico, da
circunferência de raio igual a
quatro
......................................................................................................................................
157
Figura 69: Recorte do papel ofício
.........................................................................................
158
Figura 70: Construção do molde da Superfície Cilíndrica mediante
aplicação da técnica de
Papietagem
..............................................................................................................................
158
Figura 71: Modelo concreto da Superfície Cilíndrica obtido mediante
aplicação da técnica de
Papietagem
.............................................................................................................................
159
Figura 72: Visualização de interseções da Superfície Cônica com
planos paralelos ao plano_ ... 159
Figura 73: Construção das curvas de níveis da Superfície Cônica
......................................... 160
Figura 74: Curvas de níveis da Superfície Cônica
.................................................................
160
Figura 75: Recorte e colagem da região plana da Superfície Cônica
..................................... 161
Figura 76: Construção do pré-molde e do molde da Superfície Cônica
................................. 161
Figura 77: Modelo concreto da Superfície Cônica obtido através da
técnica de Papietagem .. 161
Figura 78: Interseção do Paraboloide Hiperbólico com planos
paralelos ao plano_ ......... 162
Figura 79: Parábola de equação = −8225 + 8
................................................................
163
Figura 80: Parábolas de equações = −24 + 4 e = −8225 + 8
..................................... 163
Figura 81: Curvas de níveis do Paraboloide Hiperbólico
....................................................... 164
Figura 82: Construção do pré-molde e do molde do Paraboloide
Hiperbólico ...................... 165
Figura 83: Modelo concreto do Paraboloide Hiperbólico obtido
através da técnica de
Papietagem
.............................................................................................................................
165
Figura 84: Medidas das argolas e dos palitos para construção da
Superfície Cilíndrica........ 167
Figura 85: Construção do modelo concreto da Superfície Cilíndrica
com a técnica de
Palietagem
..............................................................................................................................
167
Figura 86: Modelo concreto da Superfície Cilíndrica com a técnica
de Palietagem .............. 168
Figura 87: Medidas das argolas e dos palitos para construção da
Superfície Cônica ............ 168
Figura 88: Construção do modelo concreto da Superfície Cônica com a
técnica de Palietagem
................................................................................................................................................
169
Figura 89: Construção da estrutura do Paraboloide Hiperbólico
........................................... 170
Figura 90: Construção do modelo concreto do Paraboloide Hiperbólico
com a técnica de
Palietagem
..............................................................................................................................
170
Figura 91: Construção da estrutura do Hiperboloide de uma folha
........................................ 171
Figura 92: Construção do modelo concreto do Hiperboloide de uma
folha com a técnica de
Palietagem
..............................................................................................................................
171
Figura 93: Visualização do PCOC da Superfície Cilíndrica obtido
através da técnica de
Papietagem
.............................................................................................................................
175
Figura 94: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cilíndrica
no ambiente
papel/lápis
...............................................................................................................................
176
Figura 95: PCOC da Superfície Cilíndrica obtido através da técnica
de Palietagem ............. 183
Figura 96: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cilíndrica
no ambiente
papel/lápis
...............................................................................................................................
184
Figura 97: Visualização das medidas do PCOC da Superfície Cônica
obtido através da técnica
de Papietagem
.........................................................................................................................
186
Figura 98: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cônica no
ambiente papel/lápis ... 187
Figura 99: Traços da Superfície Cônica no plano_
............................................................
190
Figura 100: PCOC da Superfície Cônica obtido através da técnica de
Palietagem ............... 194
Figura 101: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cônica no
ambiente papel/lápis . 195
Figura 102: Visualização das medidas do PCOC do Hiperboloide de uma
folha obtido através
da técnica de Papietagem
........................................................................................................
197
Figura 103: Representação do modelo de PCOC do Hiperboloide de uma
folha no ambiente
papel/lápis
...............................................................................................................................
198
Figura 104: Técnica de aproximação para determinar valor do
elemento .......................... 202
Figura 105: Medidas do PCOC do Hiperboloide de uma folha obtido
através da técnica de
Palietagem
..............................................................................................................................
206
Figura 106: Representação do modelo de PCOC do Hiperboloide de uma
folha no ambiente
papel/lápis
...............................................................................................................................
207
Figura 107: Visualização das medidas do PCOC do Paraboloide
Hiperbólico obtido através da
técnica de Papietagem
............................................................................................................
208
Figura 108: Medidas do PCOC do Paraboloide Hiperbólico obtido
através da técnica de
Papietagem
.............................................................................................................................
209
Figura 109: Representação do modelo de PCOC do Paraboloide
Hiperbólico no ambiente
papel/lápis
...............................................................................................................................
209
Figura 110: Manipulação e medidas do PCOC do Paraboloide
Hiperbólico obtido através da
técnica de
palietagem..............................................................................................................
215
Figura 111: Representação do modelo de PCOC do Paraboloide
Hiperbólico no ambiente
papel/lápis
...............................................................................................................................
216
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Obras analisadas cujo objeto de estudo são as Superfícies
Regradas ..................... 27
Quadro 2: Obras analisadas de objetos matemáticos diversos
................................................. 33
Quadro 3: Conjectura da interseção de duas Superfícies
......................................................... 48
Quadro 4: Exemplo de Gerador de Tarefa acerca das Superfícies
Regradas envolvendo o
GeoGebra
.................................................................................................................................
49
Quadro 5: Modelo Praxeológico de Gestão de Tarefas (MPGT)
............................................. 58
Quadro 6: Gerador de tarefa em Geometria Analítica envolvendo uma
Superfície Regrada .. 58
Quadro 7: Visualização de uma Superfície Regrada nos diferentes
registros .......................... 66
Quadro 8: Elementos constituintes de uma Instituição
............................................................
71
Quadro 9: Etapas do percurso metodológico da AI&SD
......................................................... 74
Quadro 10: Elementos Institucionais selecionados para análise
.............................................. 76
Quadro 11: Estruturas organizacionais do Livro Didático
....................................................... 77
Quadro 12: Elementos Institucionais selecionados para análise
.............................................. 80
Quadro 13: Competências e habilidades esperadas dos formados em
Bacharelado e
Licenciatura em Matemática
....................................................................................................
81
Quadro 14: Capacidades próprias ao licenciado em Matemática
............................................. 82
Quadro 15: Habilidades e competências do futuro Professor de
Matemática .......................... 85
Quadro 16: Ementa de Geometria Analítica no curso de Licenciatura
em Matemática da
UESC
........................................................................................................................................
86
Quadro 17: Bibliografia básica da disciplina de Geometria Analítica
na UESC ..................... 86
Quadro 18: Referência do LD analisado
..................................................................................
88
Quadro 19: Estrutura organizacional global do Livro Didático
............................................... 89
Quadro 20: Estrutura organizacional regional do capítulo 13
.................................................. 91
Quadro 21: Estrutura organizacional regional do capítulo 22
.................................................. 91
Quadro 22: Estrutura organizacional regional do capítulo 25
.................................................. 92
Quadro 23: Estrutura organizacional regional do capítulo 26
.................................................. 92
Quadro 24: Estrutura Organizacional Local da seção única do
capítulo 13 ............................. 93
Quadro 25: Definições de vetor e base
.....................................................................................
94
Quadro 26: Definições da seção 13.1
.......................................................................................
95
Quadro 27: Estrutura Organizacional Local da seção 22.1
...................................................... 97
Quadro 28: Definição de elipse
................................................................................................
97
Quadro 29: Definição de hipérbole
..........................................................................................
99
Quadro 30: Definição de parábola
..........................................................................................
101
Quadro 31: Estrutura Organizacional Local da seção 22.4
.................................................... 102
Quadro 32: Definição de reta secante a uma curva
................................................................
102
Quadro 33: Definições de reta tangente e reta normal à
Elipse.............................................. 103
Quadro 34: Definições de reta tangente e reta normal à hipérbole
........................................ 103
Quadro 35: Definições de reta tangente e reta normal à parábola
.......................................... 103
Quadro 36: Estrutura Organizacional Local da seção 22.5
.................................................... 104
Quadro 37: Estrutura Organizacional Local da seção 22.8
.................................................... 105
Quadro 38: Tarefa de interseção de Superfície Cônica com planos
....................................... 107
Quadro 39: Estrutura Organizacional Local da seção 25.0
.................................................... 109
Quadro 40: Definição de Quádrica
.........................................................................................
109
Quadro 41: Estrutura Organizacional Local da seção 25.1
.................................................... 110
Quadro 42: Definição de um Elipsoide
..................................................................................
110
Quadro 43: Estrutura Organizacional Local da seção 25.2
.................................................... 111
Quadro 44: Definição de Hiperboloide de uma folha
.............................................................
111
Quadro 45: Definição de Superfícies Regradas
......................................................................
116
Quadro 46: Apresentação do exemplo realizado pelos autores do
LD................................... 116
Quadro 47: Tarefa reelaborada sobre o Hiperboloide de uma folha
...................................... 117
Quadro 48: Tarefas que compõem a técnica na resolução da t1 do GT4
............................... 117
Quadro 49: Tarefas que compõem a técnica na resolução da t2 do GT4
............................... 118
Quadro 50: Tarefas que compõem a técnica na resolução da t3 do GT4
............................... 119
Quadro 51: Técnica na resolução da t4 do GT4
.....................................................................
120
Quadro 52: Definição de Hiperboloide de duas folhas
...........................................................
121
Quadro 53: Estrutura Organizacional Local da seção 25.3
.................................................... 121
Quadro 54: Definição de Paraboloide
....................................................................................
121
Quadro 55: Definição de Paraboloide Hiperbólico
................................................................
122
Quadro 56: Estrutura Organizacional Local da seção 25.4
.................................................... 125
Quadro 57: Definição de Quádrica Cilíndrica
........................................................................
125
Quadro 58: Estrutura Organizacional Local da seção 25.5
.................................................... 127
Quadro 59: Definição de Quádrica
Cônica.............................................................................
127
Quadro 61: Equações reduzidas das Superfícies Regradas
.................................................... 130
Quadro 62: Estrutura Organizacional Local da seção 26.1
.................................................... 131
Quadro 63: Definição de Superfície
.......................................................................................
131
Quadro 64: Estrutura Organizacional Local da seção 26.2
.................................................... 132
Quadro 65: Definição de Superfície Cilíndrica
......................................................................
133
Quadro 66: Definição de vetor diretor
....................................................................................
134
Quadro 67: Apresentação do exemplo realizado pelos autores do
LD................................... 135
Quadro 68: Tarefa reelaborada sobre a Superfície Cilíndrica
................................................ 136
Quadro 69: Técnica de resolução da t1 do GT5
.....................................................................
136
Quadro 70: Técnica de resolução da t2 do GT5
.....................................................................
137
Quadro 71: Estrutura Organizacional Local da seção 26.3
.................................................... 137
Quadro 72: Definição de Superfície Cônica
...........................................................................
137
Quadro 73: Apresentação do exemplo realizado pelos autores do
LD................................... 139
Quadro 74: Tarefa reelaborada sobre a Superfície Cônica
..................................................... 139
Quadro 75: Técnica de resolução da t1 do GT6
.....................................................................
140
Quadro 76: Técnica de resolução da t2 do GT6
.....................................................................
141
Quadro 77: Estrutura Organizacional Local da seção 26.4
.................................................... 142
Quadro 78: Definição de Superfície de Rotação
....................................................................
143
Quadro 79: Ferramentas do GeoGebra utilizadas nessa Dissertação.
.................................... 148
Quadro 80: Materiais utilizados na aplicação da técnica Papietagem
.................................... 149
Quadro 81: Observações úteis na consolidação do 10o passo
................................................ 154
Quadro 82: Dispositivo Experimental
....................................................................................
173
Quadro 83: Ordem de apresentação da análise a priori das
superfícies ................................. 174
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABIN Abordagem Instrumental
BDTD Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações
GPEMAC Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em
Ambiente
Computacional
JVRA Janela de Visualização do Registro Algébrico
JVRG Janela de Visualização do Registro Gráfico
L@VIM Laboratório de Visualização Matemática
LD Livro Didático
PAC Projeto Acadêmico Curricular
SD Sequência Didática
TCC Trabalho de Conclusão de Curso
TRRS Teoria de Registros de Representação Semiótica
UESC Universidade Estadual de Santa Cruz
SUMÁRIO
1.2 Objetivo Geral
.................................................................................................................
24
1.3 Organização da Dissertação
............................................................................................
25
2. REVISÃO DE LITERATURA
..........................................................................................
27
2.1 Análise de obras Superfícies Regradas como objeto matemático de
referência ............. 27
2.2 Análise de obras no domínio da Geometria que utilizam softwares
ou MCM ............... 32
2.3 Considerações sobre a Revisão de Literatura
.................................................................
40
3. QUADRO TEÓRICO
........................................................................................................
42
3.2 Teoria Antropológica do Didático
..................................................................................
52
3.2.1 Relação Pessoal e Relação Institucional com um objeto
......................................... 54
3.2.2 Relação institucional a um instrumento
...................................................................
55
3.2.3 Abordagem Praxeológica
.........................................................................................
56
4. METODOLOGIA
...............................................................................................................
70
5.1 Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática
................................... 80
5.2 O Projeto Acadêmico Curricular (PAC)
.........................................................................
83
5.3 O Livro Didático (LD)
....................................................................................................
87
5.3.1 Estrutura Organizacional Global do
LD...................................................................
89
5.3.2 Estrutura Organizacional Regional do LD
...............................................................
91
5.3.3 Estrutura Organizacional Local do LD
....................................................................
93
5.3.3.1.1 Análise Local da seção 13.1
...........................................................................
93
5.3.3.2.1 Análise Local da seção 22.1
...........................................................................
97
5.3.3.2.2 Análise Local da seção 22.2
.........................................................................
102
5.3.3.2.3 Análise Local da seção 22.3
.........................................................................
102
5.3.3.2.4 Análise Local da seção 22.4
.........................................................................
102
5.3.3.2.5 Análise Local da seção 22.5
.........................................................................
104
5.3.3.2.6 Análise Local da seção 22.8
.........................................................................
105
5.3.3.3.1 Análise Local da seção 25.0
.........................................................................
109
5.3.3.3.2 Análise Local da seção 25.1
.........................................................................
110
5.3.3.3.3 Análise Local da seção 25.2
.........................................................................
111
5.3.3.3.4 Análise Local da seção 25.3
.........................................................................
121
5.3.3.3.5 Análise Local da seção 25.4
.........................................................................
125
5.3.3.3.6 Análise Local da seção 25.5
.........................................................................
127
5.3.3.3.7 Análise Local da seção 25.6
.........................................................................
129
5.3.3.4.1 Análise Local da seção 26.1
.........................................................................
131
5.3.3.4.2 Análise Local da seção 26.2
.........................................................................
132
5.3.3.4.3 Análise Local da seção 26.3
.........................................................................
137
5.3.3.4.4 Análise Local da seção 26.4
.........................................................................
142
5.3.4 Considerações sobre a análise do LD
.....................................................................
143
5.4 O GeoGebra
..................................................................................................................
145
5.5 Os PCOC
.......................................................................................................................
149
5.5.2 Palietagem
..............................................................................................................
166
5.5.2.4 Palietagem do Hiperboloide de uma folha
...................................................... 171
5.6 Sequência Didática
.......................................................................................................
172
5.6.1 Análise a priori das tarefas do dispositivo experimental
....................................... 174
5.6.1.1 Análise a priori – PCOC representante da Superfície
Cilíndrica .................... 174
5.6.1.2 Análise a priori – PCOC representante da Superfície Cônica
......................... 186
5.6.1.3 Análise a priori – PCOC representante do Hiperboloide de
uma folha ........... 197
5.6.1.4 Análise a priori – PCOC representante do Paraboloide
Hiperbólico .............. 208
6. CONSIDERAÇÕES
.........................................................................................................
219
1. INTRODUÇÃO
Durante a minha1 formação inicial na Instituição de Ensino Superior
(IES) designada
Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), em Ilhéus, Bahia,
Brasil, cursando a Licenciatura
em Matemática, deparei-me com duas atividades vistas por muitos,
como “ruins”, “loucuras”
ou até mesmo sem futuro, que são: estudar a Matemática e dedicar-me
à profissão de Professor2.
A primeira é considerada por alguns como a pior disciplina e, a
segunda, como uma profissão
pouco respeitada e não valorizada no Brasil. Ambas as atividades se
estabeleceram como
grandes desafios para mim, nesse curso que concluí no segundo
semestre de 2018. Mas, qual
foi a grande motivação para eu suplantar esses desafios?
Tudo começou ainda no Ensino Médio, onde conheci duas faces da
Matemática: a
primeira consiste naquela que a maioria dos alunos tem acesso ou
está habituada a praticar,
notadamente, a resolução de problemas com base nos conhecimentos,
estritamente, algébricos.
A segunda refere-se àquela que pode ser notável no dia-a-dia,
perceptível e palpável, podendo
ser tratada, além da mobilização de conhecimentos algébricos ou
aritméticos, ou de ambos os
conhecimentos, no contexto geométrico.
No tocante a segunda atividade sublinhada acima, tive uma
Professora de Matemática,
no 2º ano do Ensino Médio, que utilizava diferentes instrumentos
didáticos, tais como
“materiais concretos manipuláveis”3 e softwares4 matemáticos, que
antes eu não conhecia, mas
que tornavam as aulas mais atraentes, no sentido de que estes
permitiam o acesso aos objetos
matemáticos de forma dinâmica ou palpável pelos alunos, em
diferentes configurações do que
eu estava acostumado até o 1º ano do Ensino Médio. Essa prática me
permitia o contato com a
Geometria, a partir da utilização de instrumentos, e se constituía
como uma nova forma de
aprender a Matemática, despertando o meu interesse em aprofundar os
meus estudos no
domínio geométrico, enquanto uma das partes da Matemática. Desse
modo, ficava claro para mim
que o caminho para isso era cursar a Licenciatura em Matemática e,
foi esse o caminho que eu segui.
Durante a graduação, em sua maior parte, deparei-me, novamente, com
a primeira face
da Matemática, cuja ênfase era dada em teoremas, corolários, lemas,
resolução de problemas
1 Durante a apresentação da motivação pessoal do autor será
utilizado o verbo na primeira pessoa do singular. 2 O termo
Professor será e deveria sempre ser escrito com a letra P
Maiúscula, pois este é um profissional que
merece e deve ser respeitado como os outros. O simples gesto de
aplicar essa letra engrandece também a sua
personalidade (HENRIQUES, 2019, p. 13). 3 É todo instrumento
ergonômico e cognitivo, tangível a mão livre, capaz de permitir a
gestão de conhecimentos,
sendo, portanto, útil no processo ensino-aprendizagem de objetos de
saberes institucionais. (HENRIQUES, 2019,
p. 33) 4 A citar, particularmente o GeoGebra e o
Cabri-Géomètre.
22
Geometria Analítica, Geometria Descritiva e Desenho Geométrico, em
que a Geometria ocupa
um espaço significativo, no sentido de que a maioria dos objetos de
estudo visados passa pela
mobilização de conhecimentos geométricos. De alguma maneira, em
alguns momentos aquela
outra face da Matemática (a segunda) estava presente, mas era com a
menor parcela do tempo
durante o desenvolvimento dos estudos visados.
Vale sublinhar que no decorrer do referido curso de graduação, tive
a oportunidade de
fazer parte do Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da
Matemática em Ambiente
Computacional (GPEMAC), mediante ao convite que obtive da minha
orientadora de Trabalho
de Conclusão de Curso (TCC), que é uma das coordenadoras desse
grupo. Os estudos e
atividades realizados durante os encontros semanais do GPEMAC, no
Laboratório de
Visualização Matemática (L@VIM) da UESC, visam, dentre outros
aspectos, o tratamento da
Matemática mediante a utilização de Materiais Concretos
Manipuláveis (MCM) e de softwares
matemáticos, preocupando-se, essencialmente, com o processo
ensino-aprendizagem5.
Foi nesse âmbito que passei a relacionar-me com aquela face da
Matemática que a minha
Professora de Matemática do 2º ano no Ensino Médio começou a
apresentar, quando utilizava
diferentes instrumentos didáticos. Com efeito, em concordância com
as atividades
desenvolvidas no GPEMAC, diferentes inquietações continuaram a
emergir em torno das
minhas concepções matemáticas. Dentre elas, a seguinte: como
poderia integrar-me,
efetivamente, nas atividades realizadas neste grupo, de modo que
aprofundasse os meus
conhecimentos no domínio geométrico, que contribuíssem no
desenvolvimento do meu TCC?
No decorrer do tempo, com as atividades realizadas nesse grupo,
assim como no Curso
de Licenciatura em Matemática, percebi a diversidade de
possibilidades de estudos
proporcionados pelo domínio geométrico, interessando-me
particularmente com uma parcela
dela que consiste no objeto matemático denominado “Superfícies
Regradas”, pois, a
organização matemática deste, permite a mobilização de saberes de
objetos geométricos tais
como curvas e superfícies úteis na construção de MCM.
É importante apresentarmos, de antemão, a definição do referido
objeto matemático, ou
seja, a Superfície Regrada. Uma Superfície Regrada é uma reunião,
conveniente, de retas que
obedecem a uma determinada regra. Superfícies: Cônica, Cilíndrica e
Plana, bem como um
Hiperboloide de uma folha, são exemplos de Superfícies
Regradas.
5 Ver na primeira etapa do nosso percurso metodológico sobre as
escolhas que fizemos em relação à utilização
simultânea das palavras ensino e aprendizagem.
23
Além de realizar um estudo teórico acerca destas superfícies, no
referido TCC, no
contexto puramente matemático, construímos6 materiais concretos
manipuláveis a mão livre,
destinados aos estudos desse tipo de superfície, utilizando as
técnicas denominadas
“Papietagem e Palietagem”7. Paralelamente a isso, buscamos a
compreensão desse objeto
matemático por meio de representações correspondentes em diferentes
registros, contando, para isso,
com as potencialidades dos ambientes computacionais Maple e
GeoGebra no âmbito instrumental.
Com isso, durante a defesa do mencionado TCC, foi proposto, pela
banca avaliadora,
que aprofundássemos os estudos nesse domínio, realizando,
inclusive, a aplicação do material
que construímos, envolvendo sujeitos das IES, em particular
estudantes, para avaliar as
potencialidades efetivas do referido material. Com essa proposta da
banca, me parecia evidente
prosseguir com os meus estudos no âmbito de Pós-Graduação em
Educação em Matemática
(PPGEM), por ser o domínio ou área de trabalhos que possibilita
espaço de investigação
envolvendo a referida sugestão. Assim, sabendo da existência desse
Programa na UESC, que
no mesmo ano da defesa publicou um edital do processo seletivo, não
perdi a oportunidade para
candidatar-me nesse processo. Para a minha felicidade, fui
aprovado.
Ao ingressar no PPGEM, no primeiro semestre do ano de 2019, achei
por bem da minha
formação continuada direcionar as minhas pesquisas, na perspectiva
de Educação Matemática,
continuando no GPEMAC, que é também um grupo ligado a esse
programa, considerando o
caminho que vinha percorrendo ao longo da graduação, retomando
assim a pesquisa realizada
para o desenvolvimento do TCC.
Contudo, no início do ano de 2020, o Congresso Nacional Brasileiro
decretou8 estado
de calamidade pública devido à emergência de saúde de importância
internacional relacionada
à pandemia do novo coronavírus (Covid-19). Um dos efeitos desse
decreto incidiu na suspensão
das aulas presenciais nas Instituições de Ensino sem definição do
tempo de suas retomadas,
impactando diretamente no propósito de muitas pesquisas, em
particular na nossa que tinha
como objetivo principal: “analisar as práticas efetivas mobilizadas
pelos estudantes de uma IES
quando utilizam, simultaneamente, os MCM das Superfícies Regradas e
as técnicas do
ambiente papel/lápis na realização de tarefas referentes a essas
superfícies”.
Em conformidade com a metodologia que adotamos, a referida análise
depende da
aplicação de uma Sequência Didática (SD) aos estudantes em sala de
aula ou laboratório de
ensino presencial. Não obstante, diante desse cenário, com um olhar
na vigência
6 O procedimento de construção desses materiais será apresentado
posteriormente nessa Dissertação. 7 A Papietagem e a Palietagem são
técnicas artesanais distintas, e serão descritas posteriormente
nessa Dissertação. 8 Decreto Edição 55-C, publicado em 20/03/2020
no Diário Oficial da União.
24
predeterminada para a realização do Mestrado no Brasil, foi
necessário reelaborar os objetivos
dessa Dissertação e, consequentemente, a nossa questão de pesquisa,
deixando a aplicação da
SD como perspectiva futura.
Assim, considerando os estudos que são frequentemente realizados no
GPEMAC,
proporcionando elementos teóricos de análise de fenômenos
emergentes no processo ensino-
aprendizagem, mais especificamente a Abordagem Instrumental,
proposta por Rabardel (1995),
a Teoria Antropológica do Didático, proposta por Chevallard (1992)
e a Teoria de Registros de
Representação Semiótica, proposta por Duval (1993), juntamente com
as discussões realizadas nas
orientações, reformulamos a nossa questão de pesquisa que buscamos
responder, como segue:
1.1 Questão de Pesquisa
Quais são os elementos de uma Noosfera necessários em uma análise
institucional
acerca das Superfícies Regradas, em um curso de Licenciatura em
Matemática, que
favorecem a elaboração de Projetos de Construção de Objetos
Concretos (PCOC), bem
como de uma Sequência Didática em torno desses Projetos, visando a
integração desses
PCOC no processo ensino-aprendizagem em Geometria Analítica?
Este questionamento sugere a apresentação do seguinte objetivo
geral da nossa pesquisa
que almejamos alcançar.
1.2 Objetivo Geral
Realizar uma análise institucional acerca das Superfícies Regradas,
em um curso de
Licenciatura em Matemática, que favoreça a elaboração de Projetos
de Construção de
Objetos Concretos (PCOC), bem como de uma Sequência Didática em
torno desses
Projetos visando a integração desses PCOC no processo
ensino-aprendizagem em
Geometria Analítica.
Considerando a nossa questão e o objetivo geral da pesquisa,
apresentamos, a seguir, os
nossos objetivos específicos como delimitadores do caminho que
percorremos com base na
metodologia que adotamos que será descrita posteriormente, proposta
por Henriques (2016),
em dois momentos denominados Pesquisa Interna e Pesquisa Externa,
visando responder a
nossa questão e, por conseguinte, alcançarmos o nosso objetivo
geral. Para favorecer a nossa
comunicação, consideramos que seja importante apresentar, de
antemão, a definição de cada
um dos momentos de pesquisa, propostos por Henriques (2019):
A pesquisa interna é uma sondagem realizada pelo pesquisador ou por
um grupo de
pesquisadores, sem intervenção de sujeitos externos. É o momento
pelo qual o
pesquisador procura compreender melhor o seu objeto de estudo. Ele
conjectura,
problematiza, formula hipóteses, questiona-se, define o quadro
teórico, os objetivos,
descreve o percurso metodológico da sua pesquisa, escolhe, analisa
os elementos
institucionais específicos e apresenta resultados parciais. (Op.
Cit. 27)
A pesquisa externa é uma sondagem realizada pelo pesquisador ou por
grupo de
25
pesquisadores envolvendo sujeitos externos como público alvo. É o
momento pelo
qual o pesquisador aplica os estudos desenvolvidos na pesquisa
interna. Esta
aplicação pode ou não envolver seres humanos. Por exemplo, a
aplicação de uma
sequência para o estudo de práticas efetivas de estudantes de uma
instituição é uma
pesquisa externa. (Op. Cit. 27)
Em virtude das mudanças ocorridas no nosso planejamento, conforme
descrito acima,
restringimos a nossa Dissertação na Pesquisa Interna, delineando,
portanto, os objetivos
específicos que apreciamos a seguir.
1.2.1 Objetivos Específicos na Pesquisa Interna
Analisar os elementos institucionais que norteiam e compõem o curso
de Licenciatura
em Matemática, a saber: as Diretrizes Curriculares Nacionais para
os cursos de
Matemática, com um olhar nas recomendações ou diretrizes para
elaboração de cursos
de Licenciaturas em Matemática no Brasil, o Projeto Acadêmico
Curricular (PAC), o
Livro Didático (LD) e as Tecnologias utilizadas;
Realizar a análise institucional de cada elemento institucional
identificado na Instituição
de Referência;
Analisar as potencialidades e os entraves do software GeoGebra,
enquanto Tecnologia
útil no desenvolvimento e aplicação das técnicas de Papietagem e de
Palietagem na
construção de MCM como PCOC para o estudo de Superfícies
Regradas;
Analisar as potencialidades de MCM construídos durante o
desenvolvimento da
Dissertação na Pesquisa Interna, visando a organização de uma
Sequência Didática;
Organizar uma Sequência Didática (SD) útil para análise das
práticas efetivas de
estudantes do curso de Licenciatura em Matemática, assim como no
processo ensino-
aprendizagem de Superfícies Regradas;
Assim, para respondermos a nossa questão de pesquisa e,
consequentemente, atingir os
objetivos traçados, realizamos uma revisão de literatura acerca do
objeto de estudo, as
Superfícies Regradas. De um modo geral, organizamos a nossa
Dissertação em seis capítulos,
em função da escolha do nosso objeto matemático de estudo.
1.3 Organização da Dissertação
No primeiro capítulo, apresentamos a Introdução, onde descrevemos a
problemática
motivadora deste trabalho, a questão de pesquisa, o objetivo geral
e os específicos, assim como
esta organização da Dissertação.
26
No segundo capítulo apresentamos a nossa Revisão de Literatura, com
base na
problemática, questão de pesquisa e nos nossos objetivos, em torno
do objeto matemático de
referência escolhido anteriormente, notadamente as Superfícies
Regradas, na tentativa de
compreender a problemática, inquietações e os objetivos que tem
motivado os outros
pesquisadores sobre o tema. Para nortear a busca, demos ênfase na
observação das diferentes
representações e recursos didáticos colocados em jogo pelos
pesquisadores, nos trabalhos que
tivemos acesso na literatura.
No terceiro capítulo apresentamos o Quadro Teórico de referência
que utilizamos na
realização de nossa pesquisa, composto pelas três teorias já
mencionadas, que são geralmente
utilizadas em pesquisas desenvolvidas no GPEMAC, a saber: a Teoria
Antropológica do
Didático (TAD), proposta por Yves Chevallard (1992), a Teoria de
Registros de Representação
Semiótica (TRRS), proposta por Reymond Duval (1993) e a Abordagem
Instrumental (ABIN),
proposta por Pierre Rabardel (1995).
No quarto capítulo apresentamos a Metodologia de pesquisa que
utilizamos no
desenvolvimento dessa Dissertação, notadamente a Análise
Institucional & Sequência Didática
(AI&SD), proposta por Henriques (2016), evidenciando assim, o
nosso percurso metodológico.
No quinto capítulo apresentamos a Análise Institucional de
Referência, realizada em
torno de elementos institucionais e que cobre a análise dos mesmos,
a saber: as Diretrizes
Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, com um olhar
nas recomendações ou
diretrizes para elaboração de cursos de Licenciaturas em Matemática
no Brasil, o Projeto
Acadêmico Curricular (PAC), os Livros Didáticos (LD) e as
Tecnologias adotadas. Destacamos
que todos esses elementos são reconhecidos na Instituição de
referência escolhida em nossa
pesquisa, mais especificamente a UESC.
O sexto capítulo, sendo o último, corresponde às Considerações de
nossa pesquisa, onde
apresentamos as reflexões e perspectivas futuras, bem como
esperamos responder à questão de
pesquisa, atingindo, dessa maneira, os objetivos traçados.
Assim, com base nessa organização global dessa Dissertação,
apresentamos, no capítulo
seguinte, a Revisão de Literatura que realizamos em torno do nosso
objeto matemático de
referência.
27
2. REVISÃO DE LITERATURA
Destinamos esse capítulo para a apresentação da revisão de
literatura que realizamos em
torno do nosso objeto matemático de referência. Para isso, foi
necessário efetuarmos,
inicialmente, um mapeamento de pesquisas concluídas na literatura
em torno do nosso objeto
de estudo, utilizando para isso a Biblioteca Digital Brasileira de
Teses e Dissertações (BDTD)
como fonte ou base de busca de dados.
Sublinhamos, de antemão, que existe escassez de pesquisas sobre as
Superfícies
Regradas na ótica da Educação Matemática. Assim, na tentativa de
alimentar mais a nossa
revisão, decidimos também analisar pesquisas que utilizaram os
ambientes computacionais de
aprendizagem ou modelos concretos manipuláveis (MCM) a mão livre
envolvendo objetos
Geométricos com perspectivas Analíticas.
Nesse sentido, dividimos a apresentação da nossa análise em dois
grupos: o primeiro
incide sobre as pesquisas que revelam explicitamente as Superfícies
Regradas como objeto de
estudo. O segundo incide sobre as pesquisas que tratam de objetos
matemáticos diversos no
domínio de Geometria utilizando softwares de geometria dinâmica ou
MCM. Em ambos
grupos, consideramos como critérios de análise a observação do
título de cada obra, dos
objetivos, do quadro teórico, da metodologia adotada e dos
resultados alcançados em cada
pesquisa encontrada.
2.1 Análise de obras Superfícies Regradas como objeto matemático de
referência
O mapeamento que realizamos sobre as pesquisas que tratam,
explicitamente, deste
objeto nos permitiu reunir as referências que, apresentamos no
Quadro 1, contendo os nomes
dos autores, os títulos dos trabalhos e o ano da publicação de cada
um.
Quadro 1: Obras analisadas cujo objeto de estudo são as Superfícies
Regradas
Autores Obras/Títulos9 Ano
Rodrigo Martins MARTINS, R. Singularidades das Superfícies Regradas
em
. 60 f. Dissertação de Mestrado. USP, São Carlos, 2004. 2004
Elaine Altino
Freire Leite
LEITE, E. A. F. Superfícies Regradas de Bonnet. 78 f.
Dissertação de Mestrado. UFG, Goiânia, 2011. 2011
Márcia Viaro
2012.
2012
9 Para conservar o destaque em negrito de todos os títulos, na obra
publicada na revista, não destacamos o
periódico.
28
C. Q. D.- Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru,
v.
8, p. 51-75, 2016.
Fonte: Dados da pesquisa
Dentre as obras apresentadas no Quadro 1, apenas a última que não é
Dissertação de
Mestrado, e refere-se a um artigo científico publicado em uma
revista.
Na pesquisa intitulada “Singularidades das Superfícies Regradas em
”, o autor
inicia afirmando que o estudo de Superfícies Regradas em 3 é um
assunto clássico em
Geometria Diferencial. Para ele, o interesse por esse tema tem
reaparecido em áreas diversas
como a Geometria Diferencial Projetiva, a Computação Gráfica e o
Desenho Industrial.
Interessado pelas singularidades das Superfícies Regradas, o autor
traça como objetivo
de pesquisa “estudar as singularidades genéricas de Superfícies
Regradas e comparar o
comportamento genérico destas singularidades com as singularidades
genéricas da subclasse
das superfícies desenvolvíveis” (MARTINS, 2004, p. 5).
Após realizar essa breve apresentação das Superfícies Regradas e
algumas de suas
singularidades, o autor destina todo o seu trabalho para a
apresentação de definições,
proposições, corolários e demonstrações em torno do seu objeto de
estudo, mas reserva espaço
para representações, no registro gráfico, de cada superfície por
ele estudada. Contudo, o autor
não realiza qualquer descrição, na língua materna, das
características das mesmas, centrando
apenas a sua pesquisa em tratamentos algébricos para a verificação
de que as referidas
Superfícies são, de fato, Regradas.
Apresentamos na Figura 1, algumas dessas superfícies consideradas
pelo autor, no
registro gráfico, obtidas através da união de retas ao longo de uma
curva, notadamente a
circunferência.
Figura 1: Exemplo de união de retas que compõem Superfícies
Regradas
Superfície Cilindrica Superfície Cônica Hiperboloide de uma
folha
Fonte: Martins (2004, p. 2-3).
29
Martins (2004) utiliza o termo regrado para se referir a
configuração desse tipo de
superfícies.
Seguindo os critérios da nossa análise, constamos que essa
Dissertação foi desenvolvida
na Pesquisa Interna e considera a Geometria Diferencial como teoria
de base. Contudo, o autor
não evidencia a metodologia adotada. Além disso, como a sua
investigação não entrou na
Pesquisa Externa, os resultados esperados são baseados, unicamente,
nas demonstrações de
teoremas e de lemas apresentados, consideradas, portanto, como
produto final da pesquisa.
Na segunda obra que analisamos, intitulada “Superfícies Regradas de
Bonnet”, a
autora inicia afirmando que apresentará o resultado dos estudos
sobre Superfícies Regradas de
Bonnet, destacando que as mesmas levam esse nome pelo fato de que o
autor, Pierre Ossian
Bonnet, desenvolveu estudos que determinaram superfícies reais que
admitem pelo menos uma
isometria não trivial que preserve as curvaturas principais.
Na introdução, a autora não apresenta o objetivo geral de sua
pesquisa, contudo revela
objetivos para cada um dos capítulos de sua Dissertação. No
capítulo dedicado às Superfícies
Regradas, especificamente o capítulo três da obra, consta o
seguinte objetivo:
No capítulo 3 daremos uma atenção especial à Superfícies Regradas e
suas
propriedades, observaremos que toda Superfície Regrada que possui
curvatura média
constante é mínima e neste caso a função D(v) citada anteriormente
é igual a zero e
para Superfícies Regradas Isotérmicas de Weingarten serão feitos os
cálculos para
mostrar que podemos identificar estas superfícies pelos valores do
parâmetro de
distribuição, da abscissa dos pontos centrais e da função D’, todos
iguais a zero.
Temos que nesses dois casos de Superfícies a função D é constante,
o que
observaremos no capítulo 5 que são helicoides e admitem infinitas
isometrias (LEITE,
2011, p. 14).
No capítulo que antecede ao terceiro, a autora preocupa-se com a
recapitulação de
conceitos básicos que a mesma considera indispensáveis para a
compreensão de superfícies,
apresentando definições e proposições, porém, sem qualquer
representação correspondente no
registro gráfico. O mesmo ocorre no desenvolvimento no terceiro
capítulo, referente às
Superfícies Regradas, isto é, a autora investe na apresentação de
definições e proposições, e
suas respectivas demonstrações.
Constatamos ainda que todos os capítulos seguem a estrutura,
preocupa-se assim com a
apresentação de definições, teoremas, lemas, proposições e as
respectivas demonstrações. Em
toda obra, encontramos apenas duas representações de superfícies no
registro gráfico, situadas
em duas das três últimas páginas da Dissertação. De forma análoga
com a Dissertação de
Martins (2004), a autora desta obra também considera a Geometria
Diferencial como quadro
teórico sem, contudo, evidenciar a metodologia adotada. O trabalho
foi exclusivamente
30
final da pesquisa.
Na terceira obra analisada, intitulada “Hélices, Curvas de Bertrand
e Superfícies
Regradas”, a autora inicia afirmando que a sua pesquisa visa um
estudo sobre hélices e curvas
de Bertrand, destacando que há muitas aplicações interessantes de
hélices, sendo que as
estruturas helicoidais surgem, por exemplo, em nanomolas, nanotubos
de carbono, na forma da
hélice dupla do DNA, em escadas helicoidais, entre outras.
Em seguida, Flôres (2012) aponta que o estudo de hélices e curvas
de Bertrand também
será feito do ponto de vista de curvas sobre Superfícies Regradas,
dedicando o capítulo dois
para uma apresentação prévia do que ela chama de “teoria clássica
de Superfícies Regradas” e
o capítulo três para o estudo citado. Assim, encontramos no segundo
capítulo, a apresentação
de Curvas Especiais, onde a autora destaca as curvas no espaço,
hélices e curvas de Bertrand.
No terceiro capítulo, reservado ao estudo das Superfícies Regradas,
a autora inicia
afirmando que esse é um tema clássico em Geometria Diferencial, com
aplicabilidade em outras
áreas, definindo esse objeto, intuitivamente, “como uma superfície
gerada por uma linha reta
movendo-se ao longo de uma curva” (FLÔRES, 2012, p. 31). Segundo a
autora, os exemplos
mais simples de Superfícies Regradas são as superfícies tangentes a
uma curva regular e,
equivocadamente, ela cita os cilindros e os cones como exemplo.
Mas, paradoxalmente, aos
exemplos citados, apresenta duas superfícies no registro gráfico,
conforme Figura 2, que não
são sólidos como exemplificado pela autora. Pois, pelo o nosso
entendimento conceitual, os
cilindros e os cones citados não são superfícies, e sim, sólidos
delimitados por Superfícies.
Figura 2: Exemplos mais simples de Superfícies Regradas dados por
Flôres (2012)
Fonte: Flôres (2012, p. 32).
Essa obra apresenta semelhanças com as anteriores, no sentido de
que a autora centraliza
sua pesquisa na apresentação de definições, teoremas, proposições e
suas respectivas
demonstrações. Por outro lado, destacamos que nessa Dissertação
temos acesso a um conjunto
maior de representações no registro gráfico. Constatamos que essas
representações são fruto de
31
tratamentos algébricos, convertidos, portanto, para o registro
gráfico. Contudo, o trabalho de
Flôres (2012) também se restringe na Pesquisa Interna, sem
explicitar a metodologia adotada e
considerando a Geometria Diferencial como teoria de base.
A quarta obra que analisamos é intitulada “Superfícies Regradas” e
trata-se de um
artigo publicado em uma revista. Nesse trabalho, os autores apontam
como objetivo de pesquisa
“estudar uma importante classe de superfícies, constituída por
aquelas que contêm uma
infinidade de retas: as Superfícies Regradas” (OLIVEIRA, ALMEIDA,
2016, p. 51).
Os autores afirmam que os exemplos mais óbvios dessa classe são os
cones e os
cilindros, mas destacam que várias Superfícies Quádricas, incluindo
o Paraboloide Hiperbólico
e o Hiperboloide de uma folha são também Superfícies Regradas. Os
autores citam ainda que
o Helicoide e a faixa de Möbius também pertencem à classe das
Regradas. De forma análoga
que a concepção de Flôres (2012), aqui também os autores se
equivocam, conceitualmente,
quando citam cones e cilindros como superfícies, ao invés de
superfície cônica e cilíndrica
circular reta.
Com o intuito de apresentar as parametrizações e as propriedades
das Superfícies
Regradas, os autores também utilizam definições, proposições e
demonstrações
correspondentes.
significativa de representações de superfícies, mobilizadas pelos
autores algebricamente, no
registro gráfico e das descrições correspondentes na língua
materna, mas com os mesmos
problemas conceituais que destacamos anteriormente.
Em um dos exemplos, os autores descrevem que um Cilindro
Generalizado é uma
Superfície Regrada gerada por uma família de retas em uma direção
fixa, determinada por um
vetor diretor, e uma curva que está contida em um plano , não
estando o vetor diretor paralelo
a esse plano.
Além disso, os autores descrevem um Cone Generalizado como uma
Superfície Regrada
gerada por uma família de retas que passam por um mesmo ponto ao
longo de uma curva que
está contida em um plano , não estando o ponto P contido no
referido plano.
Percebe-se, com esses exemplos, claramente a confirmação do
equívoco conceitual
vivenciado e difundido pelos autores referente às superfícies e
sólidos, pois, nos dá a entender
que para eles, superfície e sólido significam o mesmo objeto com a
mesma definição, o que não
é verdade a rigor conceitual matemático.
Apresentamos na Figura 3, os resultados das conversões das
referidas descrições
consideradas pelos autores, da língua materna para o registro
gráfico, que de fato são
32
Figura 3: Exemplos de superfícies generalizadas considerados por
Oliveira e Almeida (2016)
Cilindro Generalizado Cone Generalizado
Os autores, mesmo tendo como objetivo as parametrizações das
Superfícies Regradas,
destacam a todo o momento, especialmente sobre representações no
registro gráfico, a
característica de que essas superfícies são geradas por uma família
de retas. Além de superfícies
tangentes, os demais exemplos que encontramos nessa obra referem-se
a Hiperboloide de uma
folha, a Paraboloide Hiperbólico e a Guarda-Chuva de Whitney.
Assim como nas obras anteriores, os autores não utilizaram um
quadro teórico de
referência, salvo as teorias próprias dos objetos matemáticos
colocados em estudo. Entendemos
esse aspecto por se tratarem de trabalhos imersos, integralmente,
no domínio da Matemática
Pura. Além disso, constatamos também, nessas pesquisas, a ausência
da apresentação explícita
das metodologias adotadas e da aplicação ou intenção de aplicar as
pesquisas com estudantes.
Encerrada a análise desse primeiro grupo de obras, referentes às
pesquisas que envolvem
as Superfícies Regradas como objeto matemático de referência,
passamos, a seguir, para a
apresentação da análise que realizamos sobre as pesquisas que
compõem o segundo grupo
destacado anteriormente.
2.2 Análise de obras no domínio da Geometria que utilizam softwares
ou MCM
Nessa seção, apresentamos a nossa análise referente às obras com
ênfase no estudo de
objetos do domínio geométrico, em especial da Geometria Analítica,
e na utilização de
tecnologias digitais ou materiais concretos manipuláveis como
recurso didático no processo
ensino-aprendizagem desses objetos. Portanto, assim como no grupo
anterior, concentramos
nossa análise aos títulos, aos objetivos, ao quadro teórico, às
metodologias adotadas e aos
resultados obtidos. Dessa maneira, apresentamos no Quadro 2 o
segundo grupo que analisamos,
contendo os autores, os títulos dos seus trabalhos e o ano de
publicação dos mesmos.
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Autores Obras ou Títulos Ano
Adriana Richit
inicial docente em Matemática. 171 f. Dissertação de
Mestrado. UNESP, Rio Claro, 2005.
2005
SANTOS, R. S. Tecnologias digitais na sala de aula para
aprendizagem de conceitos de Geometria Analítica:
manipulações no software GrafEq. 137 f. Dissertação de
Mestrado. UFRGS, Porto Alegre, 2008.
2008
Teófilo Oliveira
de Paula
PAULA, T. O. O ensino de Geometria Analítica com o uso
do GeoGebra. 77 f. Dissertação de Mestrado. UFRRJ, Rio de
Janeiro, 2013.
MARQUES, S. A. S. S. Prototipagem rápida de PCOC na
impressora 3D para o ensino e aprendizagem de Integrais
duplas e triplas. 230 f. Dissertação de Mestrado. UESC,
Ilhéus, 2016.
aprendizagem de Geometria Espacial no Ensino Médio. 349
f. Dissertação de Mestrado. UESC, Ilhéus, 2018.
2018
Fonte: Dados da pesquisa
Na primeira obra apresentada no Quadro 2, intitulada “Projetos em
geometria
analítica usando software de geometria dinâmica: repensando a
formação inicial docente
em Matemática”, Richit (2005) inicia apresentando a justificativa
para elaboração de sua
pesquisa. Segundo a autora, suas experiências enquanto acadêmica
com recursos tecnológicos
despertaram o seu interesse por explorá-los, mesmo tendo em vista
que seria necessário
constante aprendizado para utilizá-los.
A autora afirma que suas preocupações com questões educacionais
relacionadas ao
ensino de Matemática a conduziram a participar de eventos na área
de Educação e Educação
Matemática. Richit (2005) revela ainda que a realiza&cce