- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Vasos de PressoIntroduo A tenso plana existe praticamente em todas as estruturas comuns, incluindo prdios mquinas, veculos e aeronaves.

Objetivo: Apresentar aplicaes prticas envolvendo tenso plana Vasos de presso Tanques de ar comprimido e tubulao de gua. Determinao das tenses e deformaes nas paredes dessas estruturas devido a presses internas oriundas dos gases ou lquidos comprimidos.

Vasos de Presso So estruturas fechadas contendo lquidos ou gases sob presso.

Exemplos: Tanques, tubos e cabines pressurizadas em aeronaves e veculos espaciais.

Vasos de Presso de paredes finas (Estruturas de Cascas) Cpulas de telhados, asas de avies e cascos de submarinos. A relao r t > 10 , onde r o raio e t a espessura da parede.

Salete Souza de Oliveira Buffoni

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Considere o vaso de presso de parede fina da Figura 1, pode ser um tanque de ar comprimido.

Figura 1 Vaso de presso esfrico. (Gere,2003)

Figura 2- Seo transversal de vaso de presso esfrico mostrando o raio interno r, a espessura da parede t e a presso interna p. (Gere, 2003). Consideraes: A presso interna p maior que a presso externa. Vamos cortar a esfera em um plano diametral vertical, como na Figura 3 e isolar metade da casca e seu contedo fludo como um nico corpo livre.

Figura 3- Tenses de trao na parede de um vaso de presso esfrico

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A fora de presso resultante :P = p r 2

( )

(1)

Em que r o raio interno da esfera. P a presso interna resultante que a presso interna acima da presso agindo no exterior do vaso. Se as presses internas e externas forem as mesmas, nenhuma tenso desenvolvida na parede do vaso. Devido a simetria, a tenso de trao uniforme ao redor da circunferncia.

Devido a parede ser fina podemos considerar que a tenso est uniformemente distribuda atravs da espessura t. A preciso dessa aproximao aumenta conforme a casa fica mais fina e diminui conforme a casca fica mais espessa. Resultante das tenses de trao na parede : (2rm t )

(2)

Em que t a espessura da parede e rm seu raio mdio:rm = r + t 2

(3)

Da Figura 3.b, fazendo o equilbrio de foras na horizontal tem-se:

F

horiz

=0

(2rm t ) p r 2 = 0

( )

(4)

Da eq. (4) obtemos as tenses de trao na parede do vaso:=pr 2 2rm t

(5)

A anlise aqui realizada vlida para cascas finas, assim pode-se desconsiderar a pequena diferena entre os dois raios e substituir r por rm ou rm por r. As tenses so mais prximas s tenses exatas tericas se usarmos o raio interno r em vez do raio mdio rm. Adotamos a frmula a seguir para calcular as tenses de trao na parede de uma casca esfrica:=pr 2t

(6)

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evidente da simetria da casca que obtemos a mesma equao para as tenses de trao quando cortamos atravs do centro da esfera em qualquer direo .

Concluso: A parede de um vaso esfrico pressurizado est submetida a tenses de trao uniformes em todas as direes.

Essa condio de tenso est representada na Figura 3.c pelo pequeno elemento de tenso com tenses agindo em direes mutuamente perpendiculares.

Tenses de Membrana: So as tenses que agem tangencialmente superfcie curvada da casca.

O nome surgiu do fato de que essas so as nicas tenses que existem em membranas verdadeiras, como bolhas de sabo e tiras finas de borracha.

Tenses na Superfcie Externa Na maioria das vezes a superfcie externa do vaso de presso esfrico est livre de quaisquer carregamentos. Dessa forma, o elemento 3.c est em tenso biaxial. O elemento 3.c est mostrado na Figura 4.a.

Figura 4 Tenses em vaso de presso esfrico na (a) superfcie externa e (b) superfcie interna. Na Figura 4 os eixos x e y so tangenciais a superfcie da esfera e o eixo z perpendicular a superfcie. Tenses normais x e y = Tenses de Membrana Tenso normal z = 0

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Nenhuma tenso de cisalhamento age nos lados desse elemento.

Usando as equaes de transformao para a tenso temos: 'x = x + y2 +

x y2

cos(2 ) + xy sen(2 ) =

(7) (8)

'xy =

x y2

sen(2 ) + xy cos(2 ) = 0

Como esperado. Quando consideramos elementos obtidos rotacionando-se os eixos sobre o eixo z, as tenses normais permanecem constantes e no h tenses de cisalhamento. Todo plano um plano principal e toda a direo uma direo principal. Dessa forma, as tenses principais no elemento so:1 =2 =pr 2t

3 =0

(9)

1 e 2 agem no plano xy e 3 age na direo z. Sabemos que podemos obter as

tenses de cisalhamento mximas atravs de rotaes de 45 sobre outros dois eixos principais quaisquer. Como resultado obtemos trs conjuntos de tenses de cisalhamento mximas positiva e negativa

( )

' max x

=

22

( )

' max y

=

12

( )

' max z

=

1 22

(10)

Em que os subscritos indicam os eixos principais sobre os quais as rotaes de 45 ocorreram. Essas tenses so chamadas de tenses de cisalhamento fora do plano. Para obter as tenses de cisalhamento mximas, devemos considerar as rotaes fora do plano, isto , as rotaes sobre os eixos x e y. Dessa forma, tem-se: max = 2 = pr 4t

(11)

Essas so as maiores tenses de cisalhamento no elemento.

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Tenses na superfcie interna

Repetindo a Figura 4 aqui, sabemos que : x = y = z = p

(12)

A tenso de compresso na direo z diminui de p na superfcie interna at zero na superfcie externa . O elemento da Figura 4.b est em tenso triaxial com tenses principais dadas por:1 =2 =pr 2t

3 = p

(13)

Figura 4 Tenses em vaso de presso esfrico na (a) superfcie externa e (b) superfcie interna.

A tenso de cisalhamento mxima fora do plano : max = +p2 = pr p p r + = + 1 4 t 2 2 2t

(14)

Quando o vaso tem parede fina, ou seja, a relao r/t muito grande, ento podemos desprezar o termo 1 no parnteses perante a relao r/2t, ou seja, a tenso principal na direo z pequena quando comparada com as tenses principais 1 e 2 . Consequentemente consideramos o estado de tenso na superfcie interna, o mesmo na superfcie externa (tenso biaxial). Usamos as equaes (6), (9) e (11) para obter as tenses num vaso de presso esfrico.

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Comentrios gerais: Os vasos de presso geralmente tem aberturas em suas paredes (para servir como entradas e sadas para os fludos de trabalho). Essas caractersticas resultam em: 1- No uniformidades na distribuio de tenso, ou concentraes de tenso, que no podem ser analisadas pelas frmulas elementares descritas aqui.

Limitaes: 1- A espessura da parede deve ser pequena em comparao s outras dimenses ( r t 10 ) 2- A presso interna deve exceder a presso externa (para evitar flambagem) 3- A anlise apresentada nesta seo baseada apenas nos efeitos de presso interna. 4- As frmulas descritas no so vlidas em pontos de concentraes de tenso.

Vasos de presso cilndricos So encontrados em configuraes industriais. Ex: Tanques de ar comprimido, motores de foguete Nos lares Ex: Extintores de incndio e latas de spray Canos pressurizados, como canos de abastecimento de gua tambm se classificam como vasos de presso cilndricos. Apresenta-se uma ilustrao de vasos de presso cilndricos na Figura 5.

Figura 5- Vasos de presso cilndricos com sees transversais circulares.

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Tenso circunferencial

Seja o vaso cilndrico AB de parede fina submetido a presso interna da Figura 6 . Um elemento com suas faces perpendiculares e paralelas ao eixo, est ilustrado na parede do tanque. 1 e 2 so as tenses de membrana na parede.

Figura 6 Tenses em vasos de presso cilndricos.

Fazemos dois cortes mn e pq perpendiculares ao eixo longitudinal e a uma distncia b, Figura 6.a. Fazemos um terceiro corte como na Figura 6.b. Tenses que agem no corte longitudinal mpqn Tenses circunfernciais : 1 Presso interna: p

As tenses e presses tambm agem nas faces esquerda e direita do corpo livre. No entanto, essas tenses e presses no so ilustradas na figura por que elas no entram na equao de equilbrio que usaremos. Tem-se a seguinte equao de equilbrio: 1 (2bt ) 2 pbr = 0

(15)

Da eq. (15) obtemos a frmula para a tenso circunferencial no cilindro:

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8

1 =

pr t

(16)

Essa tenso uniformemente distribuda sobre a espessura da parede, desde que a espessura seja pequena se comparada com o raio.

Tenso longitudinal

Fazemos o equilbrio da Figura 6.c. A equao de equilbrio para o corpo livre da Figura 6.c temos: 2 (2rt ) pr 2 = 0

(17)

Assim tem-se:2 =pr 2t

(18)

Essa tenso igual a tenso de membrana em um vaso esfrico.

Comparando as equaes (16) e (18) nota-se que a tenso circunferencial em um vaso cilndrico igual ao dobro da tenso longitudinal 1 = 2 2

(19)

Tenses na superfcie externa As tenses principais 1 e 2 na superfcie externa de um vaso cilndrico esto ilustradas no elemento de tenso da Figura 7.a

Figura 7- Tenses em um vaso de presso cilndrico (a) na superfcie externa e (b) na superfcie interna.

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As tenses de cisalhamento mximas no plano so obtidas atravs de uma rotao de 45 sobre os eixos z: essas tenses so:

( max )z = 1 22

=

14

=

pr 4t

(20)

As tenses de cisalhamento mximas fora do plano so obtidas atravs de uma rotao de 45 sobre os eixos x e y: essas tenses so:

( max )x = 12

=

pr 2t

( max ) y = 22

=

pr 4t

(21)

Comparando as expresses (20) e (21), vemos que a tenso de cisalhamento mxima absoluta : max = 12 = pr 2t

(22)

Essa tenso ocorre em um plano que foi rotacionado a 45 sobre o eixo x.

Tenses na Superfcie Interna

Repetimos a Figura 7 aqui. As condies de tenso na superfcie interna da parede do vaso esto ilustradas na Figura 7.b. As tenses principais so:1 =pr pr 2 = 3 = p t 2t

(23)

Figura 7- Tenses em um vaso de presso cilndrico (a) na superfcie externa e (b) na superfcie interna. As trs tenses de cisalhamento mximas, obtidas atravs de rotaes de 45 sobre os eixos x, y e z, so:1 32

( max )x =

=

pr p ( max ) y = 2 3 = pr + p + 2t 2 2 4t 2

( max )z = ` 1 22

=

pr 4t

(24)

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A primeira dessas trs tenses maior. No entanto, como explicado na discusso de tenses de cisalhamento em uma casca esfrica, podemos desconsiderar o termo adicional p/2 nas equaes (24). Em todos os exemplos e problemas de vasos de presso cilndricos, iremos desconsiderar a presena da tenso de compresso na direo z. (Essa tenso de compresso varia de p na superfcie interna at zero na superfcie externa). Assim, as tenses na superfcie interna tornam-se as mesmas que na superfcie externa (tenso biaxial). As frmulas deduzidas so vlidas em pontos longe das descontinuidades que causam concentrao de tenses. Nas extremidades do cilindro onde as cabeas so presas e a geometria varia abruptamente.

Exerccios: 1. Um tanque de ar comprimido tendo um dimetro interno de 18 polegadas e uma espessura de parede de de polegada formado soldando-se dois hemisfrios de ao como na Figura 8. (a) Se a tenso de trao admissvel no ao for 14.000 psi, qual a mxima presso do ar permitida p a no tanque? (b) Se a tenso de cisalhamento admissvel no ao for 6000 psi, qual a mxima presso permitida p b ? (c) Se a deformao normal na superfcie externa do tanque no deve

exceder 0,0003, qual a mxima presso permitida p c ? ( Assuma que a lei de Hooke seja vlida e que o mdulo de elasticidade para o ao seja 29 x 106 psi e o coeficiente de Poisson seja 0,28) (d) Testes nos sulcos soldados mostram que a falha ocorre quando a carga de trao nas soldas excede 8,1 kips por polegada de solda. Se o fator de segurana contra falha exigido for 2,5, qual a presso mxima permitida p d ? (e) Considerando-se os quatro fatores anteriores, qual a presso admissvelp adm no tanque?

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Figura 8- Vaso de presso esfrico. Resposta: (a) p a = 777 ,8 psi (b) p b = 666 ,7 psi (c) p c = 671,3 psi (d) p d = 720 ,0 psi (e)p adm = 666 psi

Estudar o exemplo 8.2 do Gere, pgina 417.

Referncias Bibliogrficas:1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistncia dos Materiais, 3. Ed., Makron Books, 1995. 2. Gere, J. M. Mecnica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistncia dos Materiais, 3. Ed., Editora Livros Tcnicos e Cientficos, 2000.

Observaes: 1- O presente texto baseado nas referncias citadas. 2- Todas as figuras se encontram nas referncias citadas.

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